apostila 1 estatistica ii csoc 2014 1

7/22/2019 Apostila 1 Estatistica II Csoc 2014 1

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Universidade Estadual de Montes Claros

Centro de Cincias Exatas e Tecnolgicas CCETDepartamento de Cincias Exatas

APOSTILA 1 ESTATSTICA IICURSO DE CINCIAS SOCIAIS

Prof. Jorge Santana

Montes ClarosFevereiro/2014


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1 ESTIMAO DE PARMETROS (INFERNCIA ESTATSTICA)

Um dos objetivos bsicos da experimentao a estimao de parmetros. Estuda-se umapopulao cuja distribuio considerada conhecida por meio de sua funo de densidadede probabilidade, f(X, 1, 2, ..., p) onde X uma varivel aleatria e i, i = 1, 2, ..., p,so os parmetros da distribuio. Usualmente, impraticvel observar toda umapopulao, seja pelo custo carssimo seja por dificuldades diversas. Examina-se ento umaamostra. Se essa amostra for bastante representativa, os resultados obtidos podero ser

generalizados para toda populao.O pesquisador poder levantar hipteses daspossibilidades das generalizaes dos resultados aos experimentos semelhantes. Devertestar essas hipteses que podero ser rejeitadas.Um experimento pode ter por finalidade adeterminao da estimativa de um parmetro de uma funo.Toda concluso tirada poruma amostragem, quando generalizada para a populao, vir acompanhada de um grau deincerteza ou risco.Ao conjunto de tcnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau deconfiabilidade, de confiana, nas afirmaes que faz para a populao, baseadas nosresultados das amostras, damos o nome de Inferncia Estatstica. O problemafundamental da Inferncia Estatstica, portanto, medir o grau de incerteza ou riscodessasgeneralizaes. Os instrumentos da Inferncia Estatstica permitem a viabilidade das

concluses por meio de afirmaes estatsticas.

Morettin, Luiz Gonzaga. Estatstica Bsica Inferncia, p. 39. Makron Books,So Paulo, 2000.

2 ESTIMAO INTERVALAR (INTERVALO DE CONFIANA) INTRODUO

Um parmetro uma medida da populao que, geralmente, desconhecida. O levantamento de dados poramostragem permite estimar o valor do parmetro, admitindo-se, neste caso, certa margem de erro. Estamargem de erro quando subtrada e somada ao valor da estimativa pontual, estabelece os limites dentro dos

quais se espera encontrar o verdadeiro valor do parmetro. Esses limites so conhecidos como limites deconfiana, e determinam um Intervalo de Confiana (IC) onde dever estar o valor do parmetro.

Logo, a estimao por intervalo consiste na fixao de dois valores tais que (1 ) seja a probabilidade deque o intervalo, determinado pelos limites de confiana, contenha o valor do parmetro.

: nvel de significncia ou grau de desconfiana.1 : coeficiente de confiana ou nvel de confiana.

Portanto, nos d a medida da incerteza da inferncia (nvel de significncia).

Assim, a partir da informao da amostra, devemos calcular os limites de um intervalo, valores crticos, que em(1 )% dos casos inclua o valor do parmetro a estimar e em % dos casos no inclua o valor do parmetro.

A idia geral, pois, dos intervalos de confiana : a partir da estimativa pontual calculam-se os limites deconfiana, subtraindo-se e somando-se a esta estimativa pontual o Erro (E) de estimao.

Considerando como estimador de eEa margem de erro, as expresses dos intervalos so:

IC: E ou, o que equivalente: IC: ( E, +E)

2.1 Intervalo de confiana (IC) para a mdia, , com desvio padro populacional () conhecido.


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Quando a varincia populacional conhecida, para qualquer tamanho de amostra, usa-se a distribuio normalpadro (Z). A expresso do Intervalo de Confiana (IC) :

nZxIC

:

Exemplo

A fim de se estudar o rendimento familiar mdio mensal (R$) dos acadmicos do curso de matemtica/Noturnoda Unimontes, levantou-se uma amostra de 26 alunos que apresentou mdia de exatamente R$ 950,00. Sabe-seque o desvio padro populacional () conhecido e vale R$ 230,00. Calcule os Intervalos de Confiana (IC)com os seguintes nveis de confiabilidade:

a) 0,90 ou 90% b) 0,95 ou 95% c) 0,99 ou 99%

2.2 Intervalo de confiana (IC) para a mdia, , com desvio padro populacional () conhecido eaplicao do fator de correo.

O fator de correo dado por:1

N

nN. Ele serve para minimizar a perda de preciso da amostragem devido a

no-reposio (amostragem sem reposio). Obviamente que o fator de correo s pode ser aplicado se seconhece o tamanho da populao (N). A expresso do Intervalo de Confiana fica:

1:

N

nN

nZxIC

OndeN o tamanho da populao.

Exemplo

Considere os dados do enunciado do exemplo anterior e admitida que o tamanho da populao (nmero deacadmicos do curso de Matemtica/Noturno da Unimontes) seja 120 alunos.Aplique o fator de correo e calcule os intervalos com os seguintes nveis de confiabilidade:

a) 0,90 ou 90% b) 0,95 ou 95% c) 0,99 ou 99%

2.3 Intervalo de confiana (IC) para a mdia, , com desvio padro populacional () NO conhecido.

Quando no se conhece a varincia populacional (2), h dois casos:

1 caso: n > 30Usa-se a distribuio normal, substituindo o desvio padro populacional () pelo desvio padro amostral (s). Asfrmulas dos Intervalos de Confiana passam a ser:

Sem fator de correo:n

sZxIC :


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4

Com fator de correo:1

:

N

nN

n

sZxIC

Exemplo

Pretende-se estimar o peso mdio (kg) dos acadmicos do curso de Sistemas de Informao da Unimontes.Uma amostra de 42 acadmicos mostrou mdia de 68,2 kg e desvio padro de 9,1 kg. Pede-se:

a) Construir o IC de 95%.b) Considerar que o tamanho da populao seja N = 150 e recalcular o IC de 95% com o fator de correo.

2 caso: n30

Usa-se a distribuio t de Student, considerando os graus de liberdade (GL) que so dados pela expresso: GL= n-1. As frmulas do IC so:


stxIC

n

1;

2

:

Com fator de correo: 1:

1;2

N

nN

n

stxIC

n

Exemplo

Com o objetivo de avaliar a altura mdia (em metros) dos acadmicos do curso de Zootecnia da Unimontes,retirou-se uma amostra de 25 alunos que mostrou mdia de 1,68m e desvio padro de 0,20m. Pede-se:

a) Construir o IC de 95%.b) Considerar que o tamanho da populao seja N = 80 e recalcular o IC de 95% com o fator de correo.2.4 Intervalo de confiana (IC) para a proporo P, no caso de grandes amostras (n > 30).

Este tipo de IC bastante utilizado em pesquisas de inteno de votos e em pesquisas de mercado. Aqui no seest estimando uma mdia e sim uma proporo favorvel a determinada caracterstica ou evento. Por exemplo:votar no candidatoA, comprar o produto Y, encontrar peas defeituosas de uma linha de produo, etc. A idiabsica : a partir de uma proporo amostral )(p l-se: p chapu favorvel ao evento de interesse, estima-se a proporo populacional P. Geralmente, o IC para a proporo expresso em percentagem. Usa-se, sempre,a distribuio normal (Z), pois as amostras so grandes.

n

xp = Proporo amostral favorvel ao evento;x o n. indivduos com a caracterstica avaliada.

pq 1 = L-se: qu chapu. o complementar de ;p ou seja, proporo no favorvel ao evento.

fcil perceber que: 1 =+qp .As expresses dos Intervalos de Confiana so:


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5


qpZpIC

:

Com fator de correo: 1

:

N

nN

n

qpZpIC

Exemplo

Tibrcio candidato a prefeito de uma cidade. A fim de verificar a preferncia do eleitorado pelo seu nome,encomendou junto a um Instituto uma pesquisa de inteno de votos. Uma amostra de 1.000 eleitores apontouque 600 votariam no Tibrcio. Pede-se:

a) Construir o Intervalo de 95% de confiana para a proporo de votos do Tibrcio.b) Sabendo-se que na cidade h 8.000 eleitores, construa o Intervalo de 95% de Confiana com o fator de

correo.

3 DETERMINAO DO TAMANHO DE AMOSTRAS

Para determinar o tamanho ideal de uma amostra, seja ela relacionada mdia ou proporo, basta verificar oIntervalo de Confiana que se aplicaria em cada caso e deduzir a frmula do tamanho da amostra, levando emconsiderao a expresso do Erro (E). Pode-se fixar, priori, o Erro e calcular o tamanho mnimo da amostra;como tambm se pode, a partir de uma amostra j extrada, verificar qual o erro de estimao correspondente(tal fato bastante comum nas aplicaes prticas).

ExemploA fim de se estudar o rendimento familiar mdio mensal (R$) dos acadmicos do curso de matemtica/Noturnoda Unimontes, levantou-se uma pr-amostra de 26 alunos que apresentou mdia de exatamente R$ 950,00.Sabe-se que o desvio padro populacional () conhecido e vale R$ 230,00. Admitindo o nvel de confiana de95% e erro de estimao de R$ 50,00, qual dever ser o tamanho mnimo da amostra para atingir a precisodesejada?

1) A expresso do IC a ser utilizada :n

ZxIC

: .

2) Deduzindo a frmula do tamanho da amostra temos:

nZE = , elevando ao quadrado ambos os membros da equao, chega-se facilmente frmula:

2

=

E

Zn

.

3) Calculando o tamanho da amostra

Como Z = 1,96, = 230 eE= 50,00, substituindo esses valores na frmula, temos:


6/8

6

81288256,81)016,9(50

23096,1 22

===

= nn .

Portanto, para que o erro de estimao seja de R$ 50,00, o tamanho mnimo da amostra deve ser de 81acadmicos.

Observaes importantes:

a) Para a maioria dos estatsticos, comum, quando o resultado do clculo no resultar em um valor inteiro,aumentar uma unidade na parte inteira do nmero obtido. No caso, o resultado foi: 81,288256. Ento, deacordo com o que foi dito, o tamanho da amostra seria n= 82, independente de a frao ser ou no igual ousuperior a 0,5. Entretanto, utilizaremos os critrios de arredondamento j conhecidos.

b) A deduo das frmulas para os demais casos segue o mesmo procedimento adotado no exemplo anterior.c) No caso da proporo, quando no se tem nenhuma informao sobre P e nem se retira a pr-amostra,

utilizam-se: 5,0 =p e 5,0 =q .

O quadro abaixo apresenta as expresses dos Intervalos de Confiana e as respectivas frmulas dos tamanhos

de amostra.

FRMULAS INTERVALO DE CONFIANA E TAMANHO DE AMOSTRA

N. Intervalo de Confiana Tamanho de Amostra

1n

zx

2

=

E

zn

21

N

nN

nzx

222

22

)1(

+

=

zNE

Nzn

3n

szx 2

=

E

szn

41

N

nN

n

szx 222

22

)1( szNE

Nszn

+

=

5n

stx

2

=

E

stn

61

N

nN

n

stx 222

22

)1( stNE

Nstn

+

=

7n

qpzp

2

2 E

qpzn

=

81

N

nN

n

qpzp

qpzNE

Nqpzn

)1(

22

2

+

=

EXERCCIOS LISTA 01

INTERVALO DE CONFIANA1) Para estudar a situao salarial em uma empresa, um consultor levantou uma amostra aleatria de 50

salrios recebidos na empresa. Sabe-se, por experincias com empresas similares, que os salrios possuemdesvio padro populacional, , de R$40,00. O salrio mdio amostral obtido foi de R$645,00. Determine ointervalo de confiana (IC) de 95% para o salrio mdio pago por esta empresa e interprete o resultadoobtido.


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2) Uma amostra de 10 domiclios de uma pequena favela mostrou as seguintes quantidades de pessoas porbarraco: 8, 6, 7, 10, 11, 9, 7, 8, 6 e 10. Qual o intervalo de 90% de confiana para o nmero mdio depessoas por barraco daquela localidade?

3) Uma amostra de 100 universitrios da Unimontes mostrou um salrio mdio mensal de R$820,00 e umdesvio padro de R$86,00. Sabendo-se que os salrios possuem distribuio normal, determine os intervaloscom:

a) 90% de confiana b) 95% de confiana c) 99% de confiana4) Se o total de universitrios da Unimontes 2.650 acadmicos, encontre o intervalo de 95% de confiana e

interprete o resultado obtido. (Considerar os dados do enunciado da questo 03)

5) Supondo que a mdia e o desvio padro das notas de um teste de aptido musical para uma amostra de 20estudantes, de uma classe de 100, fossem, respectivamente, 150 e 20; calcular o intervalo de confiana de95% para a mdia.

6) Em uma linha de produo de certa pea mecnica, colheu-se uma amostra de 100 itens, constatando-se que4 peas eram defeituosas. Construir o intervalo de confiana para a proporo das peas defeituosas ao nvelde 90% de confiana.

7) Uma empresa deseja lanar um novo produto no mercado, mas precisa saber a aceitao por parte dosconsumidores. Em uma amostra de 600 consumidores, observa que 369 o comprariam. Ao nvel de 99% deconfiana, construa o intervalo para a proporo dos consumidores favorveis ao novo produto.

8) Numa cidade h 6.000 eleitores. Uma pesquisa pretende estimar a proporo de eleitores que tencionamvotar no candidato da oposio e, para isso, levanta ao acaso uma amostra de 920 eleitores, obtendo 322 quevotaro na oposio. Ao nvel de 90%, qual o intervalo de confiana para a proporo de eleitores quetencionam votar neste candidato?

9) Um fabricante de determinado componente eletrnico utilizado em aparelhos celulares, preocupado com onmero de defeitos apresentados na produo, resolve levantar a proporo de defeituosos num lote de 1000desses itens. Para isso, retira uma amostra aleatria de 400 componentes desse lote e observa que 364 noapresentam defeitos. Calcular o intervalo de 95% de confiana para a proporo de itens defeituosos.

10)No problema anterior, se cada componente sem defeito d um lucro de R$ 10,00 e cada defeituoso provocaum prejuzo de R$ 2,00, possvel esperar um lucro maior que R$ 8.900,00 ao nvel de confiana adotado?Por qu? Faa os clculos apropriados.

11)A partir da lei 11.684, de 2 de junho de 2008, que inclui as disciplinas de Filosofia e Sociologia comoobrigatrias em todas as sries do ensino mdio, intensificaram-se os debates sobre a formao, em nvel degraduao, dos profissionais que atuam ministrando tais contedos. Acredita-se que os profissionaisresponsveis pelo contedo de sociologia no tenham formao especfica nessa rea. Diante disso,desenvolveu-se no Brasil um estudo de levantamento de dados por amostragem sem reposio que captou aformao dos professores que, atualmente, trabalham no ensino mdio com essa disciplina. O grfico abaixomostra o nmero de diferentes professores atuantes por turno de trabalho. Calcule o intervalo de 95% deconfiana para a proporo de graduados que no tm formao em sociologia.


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40

50

60

70

80

90

Nde

profe

ssores

Graduao do professor por turno de trabalho

Manh 79 16 8 2 3

Tarde 68 22 13 5 5

Noite 55 27 17 9 7

Histria Filosofia Sociologia Geografia Outra

TAMANHO DE AMOSTRA

1) Para avaliar o preo mdio de um produto foram amostrados aleatoriamente 5 pontos de vendas, fornecendoum desvio padro de R$ 2,00. Se existem 120 pontos de venda praticando cada um deles seu preo, qualdeve ser o tamanho da amostra para que o preo mdio possa ser estimado com erro de R$ 2,00, ao nvel de99% de confiana?

2) Uma revista especializada em economia amostrou ao acaso 10 empresas de uma indstria para avaliar arentabilidade mdia do setor no ltimo trimestre. A amostra forneceu rendimento mdio de 5% sobre opatrimnio lquido, com desvio padro de 1,6%. Qual dever ser o tamanho da amostra que fornea umaestimativa com erro mximo de 1%, ao nvel de 95% de confiana?

3) Um instituto de pesquisa pretende avaliar a proporo de eleitores que votaro em determinado candidatocom 95% de confiana de que no errar por mais que 3%. Para isto, levantou uma pr-amostra de 100eleitores, dos quais 20 disseram que votariam no candidato. Determine o tamanho da amostra necessriopara atingir a preciso desejada.

4) Suponha que, hipoteticamente, a populao de eleitores de Taiobeiras de 29450. Uma pr-amostra de 450deles revelou que 162 votariam no candidato Viriato Ambrsio. Ao nvel de 95% de confiana, qual deveser o tamanho da amostra que estime a proporo de eleitores do candidato, admitindo um erro mximo de2,2%?

5) Uma firma de assessoria de marketing entrevistou, em um supermercado, 100 clientes, perguntando sobre apreferncia entre duas embalagens, E1 e E2, para o lanamento de um novo produto. Obteve 42% depreferncia para a embalagem E2. Qual deve ser o tamanho de uma amostra que estime a proporo dapreferncia pela embalagem E2ao nvel de 95% de confiana, com erro mximo de 6%?

6)

Um hospital possui atualmente 2312 funcionrios. Qual deve ser o tamanho de uma amostra que avalie aproporo de mulheres que ali trabalham, ao nvel de 95% de confiana e erro mximo de 5%?

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