1

ELEMENTOS DA LÓGICA MATEMÁTICA

FUNÇÕES ELEMENTARES

LIMITES E CONTINUIDADE

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO

2

1. NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA

O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos da matemática. O principal objetivo consiste na investigação da validade de argumentos.

1.1 PROPOSIÇÕES

Proposição é uma sentença declarativa, afirmativa e que deve

exprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita na

forma simbólica ou na linguagem usual.

Exemplos:

1) Sen 60° = 2

3

2) Marleide é professora.

3) Orleans se localiza no estado de Santa Catarina.

Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1)

se a proposição é verdadeira e é a falsidade (0) se a proposição é

falsa.

Exemplos: a) Orleans fica no nordeste.

b) Sen(30°) + cos(60°) = 1

O valor lógico da proposição a) é a falsidade (0), e da proposição b) é a verdade (1).

As proposições podem ser simples ou compostas.

SIMPLES COMPOSTA

Não contém nenhuma outra

proposição como parte integrante de si mesma.

Formada por duas ou mais

proposições relacionadas pelos conectivos “e”, “ou” e “se então” .

Notação: letras minúsculas do

alfabeto

Notação: letras maiúsculas do

alfabeto

Exemplos:

1) p: Maria é bonita. q: Maria é estudiosa.

2) p: 1+2=3

q: 21

Exemplo:

1) P(p,q): Maria é bonita e estudiosa.

2) Q(p,q): 1+2=3 ou 21.

3

1.2- PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA MATEMÁTICA

a) Princípio da Não-contradição

Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira e

falsa”.

b) Princípio do terceiro excluído

Toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outro estado lógico para ela.

De acordo com esses princípios, podemos afirmar que toda

proposição admite um e um só dos valores 1 e 0.

Conectivos Lógicos: são palavras ou expressões que se usam para

formar novas proposições, a partir de proposições dadas.

Exemplos: P: O número 9 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar.

Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.

R: Se João estuda, então sabe a matéria.

1.3- TABELA VERDADE

O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2n, onde n

é o número de proposições componentes.

PROPOSIÇÃO Nº DE PROPOSIÇÕES

SIMPLES

Nº DE LINHAS DA

TABELA

P 1 21 = 2

P(p,q) 2 22 = 4

P(p,q,r) 3 23 = 8

P(p,q,r,...,n-1,n) n 2n

p

0

1

p q r

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

p q

0 0

0 1

1 0

1 1

4

EXERCÍCIOS

1. Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes

proposições: a) O número 2 é o único número par que é primo. V(a)=

b) A área do quadrado de lado 3 é 6. V(b)=

c) Log3 3 = 1 V(c)=

d) A solução da equação 4x-8=12 em R é S={4}. V(d)=

e) O conjunto solução de 3x = 81 é S = {4}. V(e) = f) Todo número divisível por 5 termina em 0. V(f)=

g) –2 < 0. V(g)=

h) O par {x,x} = {x}. V(h)=

i) O par ordenado (x,x)=(x). V(i)= j) x2. x5 = x7 . V(j)=

2.Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes

proposições: a) O polinômio f(x)=x3+mx-5 é divisível por x-3 quando m é igual a

4. V(a) =

b) A função f:RR definida por f(x)=x+2, é uma função crescente.

V(b) =

c) A função f:RR definida por f(x)=x2 +1, é uma função crescente.

V(c)=

d) Se logx-logy=log2 e 9x-y = 81 então o valor de x+y é 6. V(d) =

e) A imagem da função y=x² - 2x é [-1, ∞[. V(e) =

f) A forma fatorada de x² - 4x + 4 = (x-2)² ; V(f)=

g) A forma fatorada de x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4); V(g) =

h) A fórmula para a determinação do volume do cilindro é

V = hR2 V(h) =

i) 2

1

xx V(i) =

j) x

x

x

1 V(j) =

3. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 1.

4. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 0.

5

1.4-OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES

1) Negação ( ‘ )ou : não

Exemplos:

Altera o valor lógico de uma proposição, isto é, V(p) = 0 então

V(p‟) = 1 ou se V(p) = 1 então V(p‟) = 0. Lê-se: “não p”.

Exemplos: I) p: 1+4=5 V(p)=1 p‟: 1+45 V(p‟)=0

II) q: João é estudante V(q)=0 q‟:João não é estudante

V(q‟)=1

Tabela Verdade:

p P‟

0 1

1 0

2) Conjunção ( . )

A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando

V(p)=1 e V(q)=1, e falsa nos demais casos. Notação: p.q também se utiliza o símbolo : e

Lê-se: p e q

Exemplos:

I) p: Maria é alegre V(p)=1 q: Maria é simpática V(q)=1

P(p,q): p.q: Maria é alegre e simpática. V(p.q)=1

II) r: log22=1 V(r)=1 s: 20=2 V(s)=0 Q(r,s): r.s : log22=1 e 20=2 V(r.s) = 0

Tabela Verdade:

p q p.q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Obs.: Equivale a ligação em série de interruptores.

6

3) Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica (+)

A soma lógica de duas proposições p e q é uma proposição falsa

quando V(p)=0 e V(q)=0 e verdadeira nos demais casos. Notação: p + q também se utiliza o símbolo : ou

Lê-se: p ou q

Exemplos:

I) p: = 3 V(p)=0

q: 9-3=6 V(q)=1

V(p+q)=1

II) p: 2 < 1 V(p)=0

q: 2 < 2 V(q)=0

V(p+q) = 0

Tabela Verdade:

p q p+q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

4) Disjunção Exclusiva ( )

A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma proposição

verdadeira quando os valores lógicos das proposições são diferentes, isto é V(p) V(q).

Notação: pq

Lê-se: p ou q, mas não ambas.

Exemplos:

I) p: Maria é alta V(p)=1 q: Maria é baixa V(q)=0 P(p,q): (pq): Maria é alta ou baixa.

V(pq):1

II) p: < 3 V(p)=0

q: 3>2 V(q)=1

V(p,q)=1

7

Tabela Verdade

p q pq

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

5) Condicional ()

O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa

quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Em todos os outros casos o resultado é verdadeiro. A proposição p é

chamada antecedente e a proposição q é o conseqüente.

Notação: p q

Lê-se: “se p então q”

Exemplos:

I) p:tg4

=1 V(p)=1

q: sen0º=0 V(q)=1

V(p,q)=1

II) p: cos2

2

4

V(p)=1

q: tg 04

V(q)=0

V(p,q)=0

Tabela Verdade

p q pq

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

8

6) Bicondicional ()

Esta operação equivale a duas operações do tipo

condicional. Seu resultado é verdadeiro quando os valores

lógicos das proposições forem iguais.

Notação: p q

Lê-se: “p se e somente se q”

Exemplos:

I) p: 2 V(p)=1

q: 2 > 1 V(q)=1

V(p,q)=1

II) p: Z3 V(p)=0

q: 13 V(q)=1

V(p,q)=0

Tabela Verdade

p q pq

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

1.5- ORDEM DE PRECEDÊNCIA ENTRE OS OPERADORES

a) Negação ( „ )

b) Conjunção e Soma Lógica (.) e (+) c) Condicional ()

d) Bicondicional ()

Exemplo: a) pq r (bicondicional)

b) p + q‟ q.r (condicional)

c) p+(q‟ q.r‟) (soma lógica e condicional)

EXERCÍCIOS

1) Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tênis. Escrever na linguagem usual as seguintes proposições:

a) p+q

b) p.q

c) p.q‟

9

d) p´.q‟

e) (p‟)‟

f) (p‟.q‟)‟

2) Dadas as proposições p: Maria é bonita e q: Maria é elegante,

escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Maria é bonita e elegante.

b) Maria é bonita, mas não é elegante.

c) Não é verdade que Maria é feia ou elegante. d) É falso que Maria é feia ou que não é elegante.

3) Classificar as proposições compostas abaixo, como conjunção,

disjunção, condicional, bicondicional ou negação: a) (p.q‟)‟

b) p+(q.r‟)

c) p.(qr)

d) p.qr‟

e) (p.q‟)‟+(r+s)

f) (p+q‟)(r.s)

g) [p(q.r)].s

h) [p(q.r)]‟

i) [p+(q.r)]‟ s‟

j) (pq) r‟

4) Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

a) 3+2=7 e 5+5=10

b) sen=0 e cos=0

c) 3>2 ou sen90º>tg45º

d) se |-1|< 0 então sen90º=1

e) 3>1 30=3

f) > 4 3 > 5

g) tg =1 se e somente se sen=0

h) Não é verdade que o número 12 é um número ímpar

i) (1+1=24+3=5)‟

j) (sen0º=0 ou cos0º=1)‟

5) Sabendo que V(p)=1 e V(q)=0, determinar o valor lógico de cada uma das proposições:

a) p.q‟

b) p+q‟

c) p´.q d) p‟.q‟

e) p‟+q‟

f) p.(p´+q)

10

6) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo que:

a) V(q)=0 e V(p.q)=0

b) V(q)=0 e V(p+q)=0 c) V(q)=0 e V(pq)=0

d) V(q)=0 e V(pq)=1

e) V(q)=1 e V(pq)=0

f) V(q)=0 e V(pq)=1

As funções reais Vamos dar uma esquentadinha em nosso tico e o teco (hehehehehe), já estudaram as funções e suas principais características na disciplina de Matemática básica. Em cada caso identifique o nome de cada função a partir das características da sua representação gráfica. a) b)

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c) d)

e) f)

Agora vamos construir os gráficos das funções trigonométricas, seno,

cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Dado as funções abaixo represente graficamente e determine o domínio e a

imagem em cada caso. a) f(x) = sen(x) b) g(x) = cos(x)

12

c)f(x) = tg(x) d) f(x) = cotag(x)

e) f(x) = sec(x) f) f(x) = cossec(x)

f) f(x) = sen(2x) g) g(x) = cos(2x)

13

g) y= 2 sen(x) h) y = - 3 cos(x) Outras funções podem ser representadas graficamente desde que respeitados seu campo de definição, vejamos os exemplos:

a) Veja o gráfico da função racional f(x) = x

1

Neste caso observa-se que a função

não é definida para x = 0. Mas o que

acontece com o valor da função

quando x se aproxima se 0 pela

direita e pela esquerda?

14

b) Vamos pensar na função racional f(x) = 2

1

x

x

Vamos pensar eu uma função definida por várias sentenças

c) f(x) =

2,3

2,12

sex

sex

Neste caso observa-se que a função

não é definida para x =2. Mas o que

acontece com o valor da função

quando x se aproxima se 2 pela

direita e pela esquerda? Analise

sempre a linha do gráfico.

Neste caso observa-se que a função

não é definida para x =2. Mas o que

acontece com o valor da função

quando x se aproxima se 2 pela

direita e pela esquerda? Analise

sempre a linha do gráfico.

15

Um dos mais importantes temas em Cálculo é a análise das relações entre as quantidades físicas e Matemáticas. Tais relações muitas vezes podem ser descritas em termos de gráficos, de fórmulas, de dados numéricos ou de palavras. As funções representam um importante instrumento de análise das relações matemáticas e físicas. Um problema: Um fabricante que produz caixas abertas de papelão de formas retangulares, dispondo de folhas com faces retangulares com 29 cm por 21 cm de comprimento. Cortando-se pequenos quadrados dos cantos e dobrando-se para cima os lados o departamento de Pesquisa e Desenvolvimento pede que você determine o tamanho do quadrado o qual resulta numa caixa com maior volume.

1. CÁLCULO UMA GRANDE INVENÇÃO HUMANA: UM POUCO DA HISTÓRIA

O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução de problemas que envolviam movimento. A geometria, a álgebra e a trigonometria aplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante: os métodos de cálculo no entanto são necessários para estudar as órbitas dos planetas, para calcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregada através de um campo eletromagnético, e de um modo geral para tratar de todos os aspectos do movimento.

Embora o cálculo tenha sido criado para resolver problemas da física, tem inúmeras aplicações em outros campos. Uma das razões de sua versatilidade é o fato de que a derivada é aplicada ao estudo de taxa de variação em geral, e não só do movimento. Exemplos: o químico utiliza para prever resultados de diversas reações químicas, o biólogo para pesquisa da taxa de crescimento. O eletricista para descrever a variação da taxa da corrente num circuito elétrico. Os economistas para resolver problemas de lucros e perdas. Muitos problemas que envolvem máximos e mínimos podem ser tratados com auxílio da derivada, exemplos: como uma empresa pode maximizar sua receita? Como pode um fabricante minimizar seus custos na produção de um artigo?

A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das

16

partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

Durante a realização das olimpíadas um dos repórter fez a seguinte fala: “segundo estudos da evolução da capacidade humana acredita-se que o ser humano está chegando em seu limite quando ao tempo mínimo de natação”. Para que foi utilizada a palavra “limite” neste caso? Em que situações aparecem a palavra limite? Qual o significado da palavra limite em nosso contexto? O desenvolvimento do Cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva. Esses problemas requerem um processo de limite para a sua solução. Entretanto, o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações, na verdade tantas, que, de fato, o conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos de cálculo estão baseados.

Considere as seguintes situações: 1) Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1

Vamos desenvolver as seguintes etapas : Primeira : hachurar metade dessa figura

Segunda : hachurar metade do que restou em branco.

Área hachurada :2

1

Área hachurada : 4

3

4

1

2

1

17

Terceira : hachurar, novamente, metade do restou em branco.

Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1.

2) Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas: a) 1,2,3,4,5,... b) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,... c)1,0,-1,-2,-3,... d)1,3/2,3,5/4,5,7/6,7,...

Em a) os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão tende para o infinito . Na sucessão b) os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Na sucessão c) os termos desta sucessão tendem para o menos infinito ou que o limite da sucessão tende para o menos infinito . Em d) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.

Área hachurada : 1 + 1 + 1 = 7

2 4 8 8

1 , 3 , 7,...,

2 4 8

Quando dizemos que a área hachurada tende a 1, significa que

ela se aproxima de 1, sem no

entanto assumir esse valor.

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3) Pensamos na trajetória de uma bola cuja altura é uma função do tempo, expressa pelo gráfico

a) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 3s? b) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 2s? O LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Considere as seguintes funções:

1) Sabe-se que a área do quadrado é uma função do lado definida como 2A . O

que acontece com a área quando a medida do lado tende para 2?

1,8 1,9 1,98 1,99 1,999

2A

3,24 3,61 3,9204 3,9601 3,996001

2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001

2A

4,41 4,0401 4,004001 4,000400 4,00004

Esta função tende a 4 quando x tende a 2. Diz-se que se 2 então 4A . Esta situação pode ser observada no

gráfico abaixo: Se considerarmos a medida do lado como x e a medida da área como y, temos:

19

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Assim pode-se representar em termos de limite da seguinte forma: 4lim 2

2

x

x

2) Consideramos a função f definida pela equação:

1

)1.(32)(

x

xxxf . Sendo

que f esta definida para todos os valores de x exceto x = 1. Assim, se 1x , o

numerador e o denominador podem ser divididos por )1( x para obtermos:

1 xpara 32)( xxf

Estudaremos os valores da função )(xf , quando x estiver próximo a 1, mas

não igual a 1. Quadro (1):

X 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999

1

)1.(32)(

x

xxxf

)1( x

3 3,5 4 4,5 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998

Quadro (2) :

X 2 1,75 1,50 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001

1

)1.(32)(

x

xxxf

)1( x

7 6,5 6,0 5,5 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002

20

Vemos, de ambos os quadros, que quando x aproxima-se cada vez mais de 1, f(x) aproxima- se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo x estiver de 1, f(x) estará mais próxima de 5. No gráfico visualiza-se a seguinte imagem:

Outros exemplos:

1) Consideremos o gráfico da função f :IRIR, definida por f(x) = x + 2.

O quadro a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x :

x 2 2,3 2,9 2,99 ... 3,03 3,4 3,9

f(x) = x + 2 4 4,3 4,9 4,99 ... 5,01 5,4 5,9

De acordo com o exposto, podemos dizer que :

• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos :

5lim )(3

xx

f

• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos :

5)(lim3

xfx

Em particular, vemos no nosso exemplo que :

5)1(

)1).(32(lim

1

x

xx

x , mas que:

)1(

)1).(32(

x

xx não

é definida para x = 1.

21

Podemos representar somente por :

2) Consideramos também o gráfico da função f : IRIR, definida por :

Observe :

• quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é:

• quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é:

Estes limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemos

que: Neste caso não existe o limite de f(x) quando x tende a 3.

Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é:

Observando a figura podemos afirmar que:

3,,2

3,,)(

xsex

xsexxf

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax

Lg xbx

)(lim Lxg

bx

)(lim

3)(lim3

xfx

5)(lim3

xfx

5)(lim3

xfx

22

Isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b e escrevemos :

Seja f uma função definida nos reais cujo gráfico está na figura abaixo, definida à direita e a esquerda de b.

b

L1

L2

X

Y

2)(lim Lf xbx

1)(lim Lf xbx

Lg xbx

)(lim

23

Vamos retomar o conteúdo do primeiro semestre de Matemática básica ( função definida por várias sentenças. Atividade: Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e responda cada item

1) f(x) =

0,

0,2

2 xsex

sex

a) )(0 -

lim xx

f

b) )(0

lim xx

f

c) )(0

lim xx

f

2) f(x) =

1,3

1,12

xsex

sex

a) )(1 -

lim xx

f

b) )(1

lim xx

f

c) )(1

lim xx

f

3) (x) =

2,1

2,3

xsex

se

a) )(2

lim xx

f

b) )(2

lim xx

f

c) )(2

lim xx

f

Outros exemplos:

1. Seja h definida por:

11

11)(

-x se x

se xx-xh

a) Faça um esboço do gráfico de h. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:

i) )(lim1

xhx

=

ii) )(lim1

xhx

=

iii) )(lim1

xhx

=

24

2. Seja a função f definida por: f(x)=

0 xsex -3

0 xse 2x

a) Faça um esboço do gráfico de f. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:

i) )(lim0

xfx

=

ii) )(lim0

xfx

=

iii) )(lim0

xfx

=

EXERCÍCIOS

1) Faça um esboço do gráfico e determine se existir o limite indicado:

a)

2 xse ,x-1

2 xse 2,

2 x ,1

2

2

)(

sex

f x

i) ( ) 2

lim xx

f

ii) )( 2

lim xx

f

iii) )(2

lim xx

f

b)

1 xparax -2

1 xpara 2

1 xpara 2

)(

x

f x

( ) ( ) ( )x 11 x 1

) lim ii) lim iii) limx x xx

i f f f

c)

121

11

112

)(

x, se x-

, se x

, se xx

f x

i) )(1 _

lim xx

f

ii) )( 1

lim xx

f

iii) )(1

lim xx

f

25

d)

0

01

02

2

2

)(

para x -x

para x

para xx

f x

i) )(0

lim xx

f

ii) )(0

lim xx

f

iii) )(0

lim xx

f

e)

1 xse ,3-

1 xse 1,-

1 x ,2

)(

se

f x

i) )(1 -

lim xx

f

ii) )( 1

lim xx

f

iii) )(1

lim xx

f

f)

1 xse 21

-1 xse 42)(

x

xxf

i) )(1- -

lim xx

f

ii) )( 1-

lim xx

f

iii) )(1-

lim xx

f

2) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir:

)(lim)

)(lim)

)(lim)

)(lim)

)(lim)

4

3

3

xfe

xfd

xfc

xfb

xfa

x

x

x

x

x

26

3) Seja a função f definida pelo gráfico:

Intuitivamente encontre se existir:

)(lim)

)(lim)

)(lim)

)(lim)

)(lim)

2

2

2

xfe

xfd

xfc

xfb

xfa

x

x

x

x

x

4) Seja a função f definida pelo gráfico:

lim ( )x a

f x L

Intuitivamente encontre se existir:

0

0

0

2

2

2

) lim ( )

) lim ( )

) lim ( )

) lim ( )

) lim ( )

) ( )lim

x

x

x

x

x

x

a f x

b f x

c f x

d f x

e f x

f f x

27

DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, pode ser escrito como:

Se para qualquer 0 ,mesmo pequeno, existir um 0, tal que:

Lxf )( sempre que ax0 .

Exemplo: Considere f: RR definida por y = 2x - 1. O que acontece com y

quando x está muito próximo de 3?

x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001

y = 2x-1 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002

Tab.1

x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999

y = 2x-1 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998

Tab.2

1 =5,2-5,02=0,18

2 =5,02-5,002=0,018

3 =5,002-5,0002=0,0018

4 =5,0002-5,00002=0,00018

5 =5,00002-5,000002=0,000018

1 = 3,1-3,01=0,09

2 = 3,01-3,001=0,009

3 = 3,001-3,0001=0,0009

4 = 3,0001-3,00001=0,00009

5 = 3,00001-3,000001=0,000009 QUAL É A RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO? 0,18 e 0,09? 0,018 e 0,009? 0,0018 e 0,0009? Pode-se concluir que: 0,09 x 2 = 0,18 0,009 x 2 = 0,018

0,0009 x 2 = 0,0018 Logo podemos concluir que = 2 x

28

Outro exemplo:

O que significa provar que o 533

2lim

3

x

x?

Significa que devemos mostrar que para qualquer 0 ,mesmo pequeno, existe

um 0, tal que: Lf x)( sempre que ax0 , isto é:

Dados que neste caso tem-se:

f(x) = 33

2

x L = 5 a = 3 então:

5)33

2(

x sempre que 30 x

23

2x sempre que 30 x

3

62x sempre que 30 x

33

2x sempre que 30 x

2

33

x sempre que 30 x

Comparando-se as desigualdades tem-se que:

= 2

3

Outro modo utilizando as desigualdades temos:

3- < x < 3+ 5- < y < 5+

5- < y < 5+

5- < 33

2x < 5+

5--3 < x3

2 < 5+-3

3.(2-) < 2x < 3.(2+)

2

)2.(3 < x <

2

)2.(3

2

33

2

33

x

Logo = 2

3

Vejamos graficamente a situação descrita acima.

29

Podemos dizer que y se aproxima de 5 quando x se aproxima de 3, ou melhor, y toma valores tão próximos de 5 quanto quisermos, para valores de x

suficientemente próximos de 3. Logo 53

3

2lim

3

x

x

Exercícios

1) Usando a definição de limite prove que:

13)54(lim)

2)13(lim)

2

1

xb

xa

x

x

2) Segundo a definição de limite considera-se as seguintes condições: Se

Lxfax

)(lim é afirmar que, para qualquer número positivo , haverá sempre um

número positivo tal que | f(x) – L | < válido sempre que 0 < | x – a | < . Na

maioria dos casos o valor de depende de , e quanto menor for escolhido,

menor será o necessário. Usando a definição de limite determine um tal que

| f(x) – L | < sempre que 0 < | x – a | < .

a) f(x) = x + 3 , L = 5, a = 2, = 0,01, 5)3(lim2

xx

30

b) f(x) = 2

1x L = 3, a = 5, = 0,1, 3

2

1lim

5

x

x

PROPRIEDADES DOS LIMITES

1. Unicidade: Se x a

lim ( ) e se lim ( )x a

f x b f x c

, então b = c.

2. Se a, m e n são números reais, então namnmxax

.)(lim

Casos particulares:

1. Se f(x) = x, então lim ( ) limx a x a

f x x a

.

2. Se f(x) = n, então nnax

lim (o limite de uma constante é a própria constante).

3. Se cxgbxfaax

)(lim e )(limx

, então:

a) cbxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)]()([lim

b) cbxgxfxgxfaxaxax

.)(lim).(lim)]().([lim

c) )0()(lim

)(lim

)(

)(lim

c

c

b

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

d) kbxfkxfkaxax

)(lim)(.lim

e) *Zn ,)(lim)]([lim

nn

ax

n

axbxfxf

f) imparxfxfbxfxfaxax

nn

ax

n

ax

** Zn e 0)(lim seou Zn e 0)(lim se ;)(lim)(lim

4. Funções Polinomiais

Se ,...)( 01

1

1 axaxaxaxf n

n

n

n

então:

)(...)(lim 001

1

10

xfaxaxaxaxf n

n

n

nxx

31

Exemplos:

1)

)65(lim3

xx

2)

xx 4lim

3)

)833(lim 2

2xx

x

4)

5

13lim

2

x

x

5)

2

1 1lim x

x

6)

)7853(lim 23

2xxx

x

7)

5

32lim

2

3

2 x

xx

x

8)

2

4 )75(lim x

x

9)

3

4 17lim

x

x

x

32

EXERCÍCIOS

Encontre o valor dos seguintes limite

4/1

3/1

4

16

3

23

23

2

1

234

1

2

4

223

2

6

1

)32(lim)8

1lim)7

4.1lim)6

3

365lim)5

1lim)4

2

14lim)3

1523lim)2

12lim)1

x

x

x

tt

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

x

x

x

t

x

x

x

x

x

3

18lim)12

821

1lim)11

133lim)10

1

1lim)9

1

2

2

1

2

3

1

1

x

x

x

x

xxx

x

x

x

x

x

x

33

CÁLCULO DE LIMITES e SUAS INDETERMINAÇÕES O que significa uma indeterminação? Como sair de uma indeterminação?

As expressões 00, , ,0 ,0 , ,1

0

, são ditas indeterminações. O

que fazer quando se encontra tais situações?

Por exemplo 0

0.

Sejam f e g funções tais que 0)(lim)(lim

xgxfaxax

. Nada se pode afirmar, a

princípio sobre o limite do quociente g

f. Dependendo das funções ele pode

assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que 0

0 é um

símbolo de indeterminação. Exemplo:

Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2.

0)(lim)(lim00

xgxfxx

e 0limlim)(lim

)(lim

02

3

0

0

0

xx

x

xg

xf

xx

x

x

Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários. Obs.: Sempre que estamos diante de um limite com ax , que resulte a

indeterminação 0

0 e a função dada é do tipo racional

xempolinômios

xQ

xPxf

)(

)()( é possível fazer uma simplificação, pois os

polinômios serão divisíveis por (x-a). Exemplos:

1

1lim)1

2

1 x

x

x

34

32

1074lim)2

2

33

1 xx

xxx

x

3

27lim)3

3

3 x

x

x

4

412lim)4

4 x

x

x

35

EXERCÍCIOS

Encontre o valor dos limites:

52

532lim)10

36254

20173lim)9

5

227lim)8

28lim)7

93lim)6

5

312lim)5

1

21lim)4

2012

65lim)3

3

6lim)2

2

8lim)1

2

2

5

2

2

4

5

5

3

0

2

0

5

1

2

2

2

2

3

3

2

x

xx

xx

xx

x

x

h

h

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x

xx

x

x

x

x

x

h

x

x

x

x

x

x

36

LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA X TENDENDO AO INFINITO

O símbolo não representa um número; portanto, não se efetuam com ele as operações que realizamos com os números reais.

Alguns exemplos:

1) Observe o gráfico da função x

xf1

)( :

01

lim xx

, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é

zero.

01

lim xx

, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é

zero.

xx

1lim

0

, ou seja, quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce

indefinidamente e o limite é infinito (+).

xx

1lim

0

, ou seja, quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y

decresce indefinidamente e o limite é menos infinito (-).

37

2) Observe o gráfico da função .1

)(2x

xf

Quando x cresce ou decresce indefinidamente a função se aproxima de

zero, ou seja y tende a zero. Simbolicamente temos: 01

lim2

xx e

01

lim2

xx.

Quando x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, y cresce

indefinidamente, isto é, y tende a mais infinito e indicamos:

20

1lim

xx

e

20

1lim

xx

.

3) Considere :1

)(3x

xf

38

De modo análogo às situações anteriores, percebe-se que quando x cresce ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero. Notação:

01

lim3

xx.

Definição: Se nN* e se f: R* R é a função definida por

nxxf

1)( , então:

01

lim)(lim nxx x

xf e 01

lim)(lim nxx x

xf

De modo geral: 0lim

nx x

k

4) Seja a função f: R-{2} R tal que 2

3)(

xxf cujo gráfico é:

Observa-se que:

)(lim2

xfx

)(lim2

xfx

)(lim2

xfx

não existe, pois os limites laterais são diferentes.

0)(lim

xfx

LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA X TENDENDO A MAIS OU MENOS

INFINITO

Considere a função polinomial f(x), de grau n, com an0.

01

1

1 ...)( axaxaxaxf n

n

n

n

n

nxx

xaxf

lim)(lim

Obs.: Esses limites são iguais a + ou - conforme o sinal de an e a paridade de n. Quando temos o limite de um quociente de polinômios, com x tendendo a

+, podemos aplicar a seguinte regra prática:

39

qpse

qpseb

a

qpse

xb

xa

bxbxbxb

axaxaxa

q

p

q

q

p

p

xq

q

q

q

p

p

p

p

x

0

lim...

...lim

01

1

1

01

1

1

Analogamente se x tender a -.

PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO

40

Exemplos: 1) Dada a função f(x) = 2x3 -5x2 + 2x -1, calcular:

)(lim)

)(lim)

xfb

xfa

x

x

2) Calcular 734

152lim

2

2

xx

xx

x.

41

3) Calcular 4

12lim

23

4

xx

xx

x.

Teorema: Se 0)(lim

xhax

e cxgax

)(lim com c 0, então:

1) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores positivos, então .)(

)(lim xh

xg

ax

2) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores negativos, então .)(

)(lim xh

xg

ax

3) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores positivos então .)(

)(lim xh

xg

ax

4) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores negativos então .)(

)(lim xh

xg

ax

Exemplos:

xxx

x

xx

xx

xx

xx

x

x

x

2

1lim)3

6

13lim)2

166

562lim)1

231

2

2

2

2

2

2

42

EXERCÍCIOS

1) O estudo dos limites nos permite analisar o comportamento de uma função quando ela se aproxima de um ponto ou quando ela tende ao infinito. A existência do limite de uma função está condicionado a sua igualdade quando tende a um ponto pela direita e pela esquerda. Com base nos estudos realizados sobre limites, calcule os limites abaixo.

xx

xxj

xx

xxi

xx

xxh

xx

xxg

x

xxf

xxe

xxd

xxc

xxb

xxxa

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

6

36

3

5

8

5

4

5

3

36

12

23

5

6

45

1

13412lim)

5321

16lim)

532

26lim)

532

16lim)

13

1312lim)

)544(lim)

)3(lim)

)2(lim)

)473(lim)

)122(lim)

2) Calcule os seguintes limites:

23

23

1

4

1

22

4

1

9

4lim)

9

4lim)

1

2lim)

4lim)

4lim)

4

2lim)

4lim)

1

2lim)

x

xh

x

xg

x

xf

x

xe

x

xd

x

xc

x

xb

x

xa

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1lim)

43

232lim)

32

15lim)

2lim)

1

2lim)

2

2

2

2

4

2

2

3

2

2

1

x

xn

xx

xxm

xx

xxl

x

xj

x

xi

x

x

x

x

x

43

LIMITES QUE ENVOLVEM INFINITO e as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E ASSÍNTOTAS VERTICAIS

Exemplos:

a) Observe o gráfico da função f(x) = 32

4

xquando x tende para 3/2 pela

esquerda e pela direita

Assim podemos concluir que:

32

4lim

2

3

x

x

= e 32

4lim

2

3

x

x

=

Por outro lado no exemplo acima temos que :

32

4lim

xx = e

32

4lim

xx =

b) Observe o gráfico da função f(x) = 1

12

xquando x tende para 1 pela

esquerda e pela direita e quando x tende ao

44

Assim podemos concluir que:

1

12lim

1

xx = e

1

12lim

1

xx =

Por outro lado no exemplo acima temos que :

1

12lim

xx = e

1

12lim

xx =

Pode –se observar que quando x tende a 1 pela direita e pela esquerda os limites são infinitos. Por outro lado quando x tende a infinito positivo ou infinito negativo f(x) tende a 2. Pode-se concluir que 1 é uma assíntota vertical e 2 é uma assíntota horizontal.

DEFINIÇÃO: ASSÍNTOTA VERTICAL:

Veja o gráfico da função f(x) = 12 x

x

Assíntota horizontal y = 2

Assíntota vertical x = 1

45

No caso tem-se que para os valores de x = -1 e x = 1 a função não está definida, estes valores se constituem nas assíntotas verticais conforme segue: Uma linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida:

1)

)(lim xfax

2)

)(lim xfax

3)

)(lim xfax

4)

)(lim_

xfax

ASSÍNTOTA HORIZONTAL

No caso tem-se que para os valores de y = 2 a função nunca atinge este valor , e observe que quando x tende para o infinito a função se aproxima deste valor sem nunca assumir, este valor de aproximação se constituem nas assíntotas horizontais conforme segue: A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida:

1) bxfx

)(lim 2) bxfx

)(lim

Outros exemplos: Determine as assíntotas das funções abaixo:

a) f(x) = 1

3

x

x b) f(x) =

5

62

x

x c) g(x) =

x

x

53

21

46

LIMITE FUNDAMENTAIS ( 2ª parte da apostila) Passa a discussão dos casos que denominamos limites fundamentais 1) Primeiro Limite Fundamental

1sen

lim0

x

x

x

2) Segundo Limite Fundamental

ax

a x

xln

1lim

0

(a > 0 e a 1)

De modo geral: axu

a xu

xln

)(

1lim

)(

0

Em particular: 1ln1

lim0

e

x

e x

x

3) Terceiro Limite Fundamental

ex

x

x

11lim

De modo geral: exu

xu

x

)(

)(

11lim

Teorema do Confronto

Sejam f, g, h funções e a um ponto tal que para todo xa, tem-se g(x)

f(x) h(x).

Se Lxgax

)(lim e ,)(lim Lxhax

então .)(lim Lxfax

O teorema do confronto

será utilizado para demonstrar o limite fundamental.

47

Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. 1) Primeiro Limite Fundamental

1sen

lim0

x

x

x

Demonstração:

Da figura temos:

Vamos considerar x 1º quadrante.

Área do triângulo AOM área do setor circular AOM área do triângulo AOT

tgxxx

tgxx

x

sen

2

.11..

2

1

2

sen.1 2

Dividindo por senx temos:

1sen

coscossen

1

cos

1

sen1

x

xxx

x

x

xx

x

11lim

10coscoslim

0

0

x

xx

Pelo Teorema do Confronto, temos: 1sen

lim0

x

x

x

Graficamente, temos:

48

De modo geral: 1)(

)(senlim

0

xu

xu

x

Exemplos:

x

tgx

xsen

xsen

x

xsen

x

x

x

0

0

0

lim)3

4

3lim)2

2lim)1

x

x

x

xsen

x

x

2

cos1lim)6

5

2lim)4

0

0

2) Segundo Limite Fundamental

ax

a x

xln

1lim

0

(a > 0 e a 1)

De modo geral: axu

a xu

xln

)(

1lim

)(

0

Em particular: 1ln1

lim0

e

x

e x

x

Exemplos:

1

1lim)5

5

17lim)4

14lim)3

1lim)2

3

1lim)1

2

1

1

3

0

2

0

3

0

3

0

x

e

x

x

x

e

x

e

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

49

3) Terceiro Limite Fundamental

ex

x

x

11lim

De modo geral: exu

xu

x

)(

)(

11lim

Seja a função

x

xxf

11)(

, definida num domínio D.

O domínio D é determinado pelos valores reais de x que satisfazem a relação

01

1 x

.

,01,D

Atribuindo valores de D a x, temos;

x y

1 2,000

2 2,250

3 2,369

5 2,489

10 2,594

100 2,705

1000 2,717

10000 2,718

-2 4

-3 3,375

-10 2,868

-100 2,732

-1000 2,720

-10000 2,718

. .

. .

. .

e

Para os valores de x que crescem ou decrescem indefinidamente, correspondem valores de y que vão se aproximando do número irracional e, chamado número de Euler.

e = 2,71828182....

50

OBSERVE O GRÁFICO:

A partir do gráfico, temos que:

exx

x

x

x

x

11lim

11lim

Exemplos:

4

4

21lim)4

11lim)3

6lim)2

11lim)1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

51

CONTINUIDADE

Definição

A função f é contínua em um número a se as três condições seguintes forem

satisfeitas: i) f(a) existe

ii) existexfax

)(lim

iii) )()(lim afxfax

Se uma ou mais destas condições não está satisfeita em a, dizemos que a função f é descontínua em a.

Mostra de gráficos de funções que não são contínuas em x=a.

Exemplos: Verifique a continuidade das seguintes funções. Faça um esboço do gráfico.

a)

1 xse 1

1 xse 1)(

x

xxf em x = 1

52

b)

1 xse 4

1 xse 12)(

xxf em x = 1

c)

1 xse 2-

1 xse 1-

1 xse 2

)(xf em x = 1

d)

1 xse 76x

1 xse 1)(

2 x

xxf em x = 1

e)

1 xse 1

1 xse 1

1

)(

2

x

x

xf em x = 1

53

f)

-1 xse 1x-

-1 xse 3)(

xxf em x = -1

Exercícios 1) Trace o gráfico das funções e determine os limites indicados:

1

12

1

)()2 xsex

xse

xsex

xfa

)(lim*

)(lim*

0

1

xf

xf

x

x

01

02

01

)()

xsex

xse

xsex

xgb

)(lim*

)(lim*

)(lim*

1

0

1

xg

xg

xg

x

x

x

01

04)()

2 xsex

xsexxgc

)(lim*

)(lim*

)(lim*

)(lim*

9

0

0

0

xg

xg

xg

xg

x

x

x

x

54

12

1)()

xsex

xsexxpd

)(lim*

)(lim*

)(lim*

)(lim*

15

1

1

1

xp

xp

xp

xp

x

x

x

x

2) A função g está definida por

27

21)(

2

xsex

xsexxg

Esboce o gráfico de g. a) Calcule limite de g quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda. b) A função tem limite em x = 2.. 3) Dado a função

a)Esboce o gráfico e verifique se a função é contínua em x = -1 e x = 1