Hidrulica Maro/2013

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FUNDAMENTOS DE HIDRULICA

1. INTRODUO MECNICA DOS FLUIDOS E HIDRULICA

1.1 Conceituao

Streeter define os fluidos como "uma substncia que se deforma

continuamente quando submetida a uma tenso de cisalhamento, no importando quo

pequena possa ser esta "tenso".

Uma fora de cisalhamento a componente tangencial da fora que age sobre a

superfcie; dividida pela rea da superfcie d origem tenso mdia de cisalhamento.

Pode-se dizer assim que a tenso de cisalhamento em um ponto o valor limite da

razo entre a fora de cisalhamento e a rea, quando esta tende a um ponto.

Seja uma substncia contida entre duas placas planas e paralelas, como mostra

a Figura 1.

Figura 1 Deformao de um fludo contido entre duas placas.

Considere-se que as placas so suficientemente grandes para que as

perturbaes das bordas no influam na experincia. Se a placa inferior fixa e uma

fora F aplicada tangencialmente na placa superior, de rea A, surge uma tenso de

cisalhamento na substncia.

Tenso de cisalhamento A

F

Se a placa sob a ao da fora movimentar-se com velocidade vi constante e o

fluido escoar com cada partcula movimentando-se paralelamente placa e com

vi

vo

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velocidade, v, variando na vertical de vo a vi, tem-se ento o caso de a substncia

entre as placas ser um fluido.

Experimentalmente verificou-se tambm que para escoamento em regime

laminar, caso da experincia, a fora F proporcional rea A, velocidade v e

inversamente distncia vertical, Y.

Y

v A F i

Logo, a equao pode ser escrita assim: dy

dv

Y

v i

O termo o fator de proporcionalidade, denominado coeficiente de

viscosidade dinmica (ou absoluta) dos fluidos. uma caracterstica dos fluidos. Um

fluido por hiptese sem viscosidade e sem compressibilidade denominado fluido

"perfeito" ou ideal".

1.2. Algumas propriedades dos fluidos

a) Viscosidade

Newton disse que a viscosidade a propriedade que tem os fluidos de resistirem

ao cisalhamento. Em outras palavras seria dizer que a viscosidade a propriedade que

possibilita s camadas fluidas resistirem ao escoamento recproco.

Y

v A F

Pela expresso de Newton verifica-se que o atrito tanto maior quanto mais

viscoso o fluido. Verifica-se tambm que a resistncia cresce com a velocidade de

deslizamento, o que diferencia o atrito dos lquidos daquele que ocorre nos slidos,

onde a velocidade no tem influncia e sim a presso.

Da expresso anterior verifica-se ainda que o coeficiente de viscosidade

dinmica tem dimenso FTL-2. A unidade no sistema Tcnico kgf s m-2. No sistema

CGS a unidade o Poise (dina s cm-2).

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Em conseqncia inclusive da viscosidade, o escoamento dos fluidos dentro das

canalizaes somente se verifica com certa perda de energia, o que pode ser

verificado na Figura 2.

Figura 2 - Ilustrao da perda de carga em uma tubulao.

A viscosidade pode ser expressa tambm atravs de outro coeficiente, o

coeficiente de viscosidade cinemtica (), que por definio a relao entre o

coeficiente de viscosidade dinmica e a massa especfica. Sua dimenso L2T-1 e a

unidade no SI m2 s-1; no CGS o Stoke (cm2 s-1). A Tabela 1 apresenta os valores

de viscosidade cinemtica da gua, em funo da temperatura.

Tabela 1 Valores de viscosidade cinemtica da gua

Temperatura (oC) Viscosidade (x 10-6 m2 s-1)

0 1,79 5 1,52

10 1,31 15 1,14 20 1,01 25 0,90 30 0,80 40 0,66 50 0,56 60 0,48 70 0,42 80 0,37 90 0,33

100 0,30

b) Coeso

E a propriedade que permite s molculas fluidas resistirem a pequenos

esforos de tenso. A formao da gota d'gua devida coeso. um fenmeno

eletroqumico.

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c) Adeso

Quando atrao exercida sobre molculas lquidas pelas molculas de um

slido maior que a atrao eletroqumica existente entre as molculas do lquido

(coeso) ocorre a adeso do lquido s paredes do slido. A gua tem maior adeso

que coeso por isto o menisco em um tubo de pequeno dimetro (1,0 cm, por exemplo)

perfeitamente visvel como ascendente do centro para a periferia; o contrrio ocorre

com o mercrio cuja adeso e menor que a coeso.

Outras propriedades dos fluidos so tenso superficial, capilaridade e

elasticidade.

Algumas relaes so muito importantes no estudo dos fluidos por caracteriz-

los. As principais so:

a) Massa especfica (): a massa da unidade de volume de um lquido. A

unidade no Sistema Tcnico UTM m-3 ou kgf s2 m-4 A massa especfica da

gua a 4C e 102 kgf s2 m-4.

b) Peso especfico (): o peso da unidade de volume de um lquido. A

unidade e kgf m-3 no Tcnico. No SIU N m-3. O peso especfico da gua a

4C 1000 kgf m-3. Se F = m a = g.

c) Densidade (d): a relao entre a unidade de peso ou de massa de um fluido

e a unidade de peso ou massa da gua a 4 oC.

2. HIDROSTTICA

a parte da Hidrulica que estuda os lquidos em repouso, bem como as foras

que podem ser aplicadas em corpos neles submersos.

2.1 Presso

a fora que atua em uma superfcie por unidade de rea. Quando a fora atua

uniformemente distribuda sobre a rea:

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A

Fp

em que:

p = presso, Pa (N m-2), kgf m-2, kgf cm-2;

F = fora aplicada, normal superfcie, N, kgf; e

A = rea sobre a qual a fora est atuando, m2, cm2.

2.2 Lei de Pascal

Seja um lquido homogneo e em equilbrio, no interior do qual isola-se um

prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitrio (Figura 3). Se o prisma estiver

em equilbrio, a somatria das foras atuantes na direo X ser nula. (Fx = 0).

ds

dysen ; )1 ds( sen ps)1 dy( px

pspx ;ds

dy ps

ds

dypx ;

ds

dy ds psdypx

Figura 3 Foras atuantes em um prisma.

Na direo Y deve ocorrer o mesmo: Fy = 0, havendo o equilbrio. Logo:

V P ; V

P ; dw )1ds( cos ps )1 dx( py

2

1dy dx ds cos psdx py

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Sendo o prisma elementar, suas dimenses so infinitesimais e portanto, a fora

resultante de seu peso desprezvel. Portanto:

pspypxpspy ;ds

dx ps

ds

dxpy ;

ds

dx ds psdxpy

Ento, px = py = ps. Este o princpio de Pascal, que se anuncia: Em qualquer ponto

no interior de uma massa lquida em repouso e homognea, a presso a mesma em

todos as direes.

A prensa hidrulica uma importante aplicao desta lei. Na Figura abaixo,

considere que o dimetro do mbulo maior seja de 4 vezes o dimetro do mbulo

menor. Se for aplicada uma fora F1 = 50 N, a presso do fluido transmitir, ao mbulo

maior, uma fora F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N. (p1 = p2 F1 A2 = F2 A1 )

Figura 4 Aplicao da Lei de Pascal.

2.3 Lei de Stevin

Na Figura 5, A a rea das faces, P o peso da massa lquida e h a

diferena de nvel entre os pontos considerados. Como V P e h AV ento

h A P .

Se o sistema estiver em equilbrio, Fy = 0, e, portanto:

0A ph A A p

0A pPA p

21

21

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hpp

ou h pp

h A A pA p

1212

12

Figura 5 Demonstrao da Lei de Stevin.

A diferena de presso entre dois pontos da massa de um lquido em equilbrio

igual diferena de nvel entre os pontos, multiplicada pelo peso especfico do

lquido.

Exerccio: Calcular a fora P que deve ser aplicada no mbolo menor da prensa

hidrulica da figura, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no mbolo maior. Os

cilindros esto cheios, de um leo com densidade 0,75 e as sees dos mbolos so,

respectivamente, 40 e 4000 cm2. Resposta: 42,8 kgf.

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3. MANOMETRIA

As presses so grandezas fsicas muito importantes no trabalho com fluidos,

haja vista a equao fundamental da Esttica dos fluidos, que expressa em termos

de presses e esforos.

No sculo XVII Torricelli executou sua conhecida e clebre experincia ao nvel

do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercrio em uma cuba, o lquido

fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milmetros de

altura.

A concluso lgica era de que o ar atmosfrico tinha peso, por conseguinte

exercia presso. Esta presso, medida ao nvel do mar, correspondia a uma coluna de

mercrio de 762 mm de altura. Este valor de presso foi chamado de "uma atmosfera

Fsica". Como o peso especfico do mercrio 13.600 kgf m-3, vem:

13.600 kgf m-3 x 0,762 m = 10.363 kgf m-2 = 1,036 kgf cm-2

Como a densidade do mercrio 13,6, a mesma presso atmosfrica.

equilibraria uma coluna de gua de: 13,6 . 0,762 = 10,36 m.

Na prtica da hidrulica se utiliza a atmosfera "tcnica" que vale 735 mm Hg.

735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf.m-2 = 1,0 kgf.cm-2 = 1,034 atm.

Exerccio: A Figura 6 reproduz a experincia de Torricelli em uma certa localidade,

quando foi utilizado o mercrio como lquido manomtrico. Se, ao invs de mercrio,

tivesse sido utilizado um leo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna

de leo? Resposta: 11,20 m.c.o. (metros de coluna de leo)

A presso atmosfrica medida por barmetros ou por bargrafos, que so

barmetros registradores. A presso atmosfrica varia com a altitude; para cada 100

metros de elevao de altitude ocorre um decrscimo na presso atmosfrica de 0,012

atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a presso :

patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm

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Figura 6 Exemplo da experincia de Torricelli.

3.1 Tipos de presso

A um fluido com presso atmosfrica pode-se acrescentar ou "retirar presso.

Tais presses so denominadas efetivas" ou manomtricas, por que so medidas por

manmetros e podem ser positivas ou negativas.

Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar presso

atmosfrica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar ser

injetado dentro do recipiente e a presso ir subindo concomitantemente, o que ser

mostrado pelo manmetro. O ponteiro girar para a direita (rea positiva) partindo do

valor zero.

Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a presso

manomtrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vcuo, ilustrada

com o sinal (-), a presso ir caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial

(zero). Neste ponto a presso reinante no interior do recipiente somente a presso

atmosfrica, a qual no acusada por manmetros.

Com a continuao do processo, a presso passar a ser negativa, com o

ponteiro do manmetro girando para a esquerda; estar ocorrendo o que denomina-se

"vcuo" ou depresso. Desligando-se o conjunto, o manmetro estar marcando uma

presso negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2.

Praticamente um fluido est sujeito, portanto, a dois tipos de presso: a

atmosfrica e a efetiva. A somatria dos valores das duas presses dar o que

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denomina-se presso absoluta. No exemplo considerado, sendo por hiptese a

presso igual a 0,9 atm, as presses absolutas sero:

a) para presso efetiva nula (ar presso atmosfrica no interior do recipiente)

pabs = patm + pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm

b) para presso efetiva de 1,2 atm

pabs = patm + pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm

c) para presso efetiva de -0,2 atm

pabs = patm + pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm

Pode-se verificar que na situao do caso c, a presso absoluta menor que a

presso atmosfrica local. Logo, h depresso ou vcuo, no interior do recipiente.

Como j mencionado a presso efetiva medida por manmetros. Vacumetro

o manmetro que mede presses efetivas negativas.

3.2 Classificao dos medidores de presso

3.2.1. Manmetro de lquido ou de coluna lquida

So aqueles que medem as presses em funo das alturas da coluna dos

lquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam:

piezmetro simples (ou tubo piezomtrico ou manmetro aberto); manmetro de tubo

em U (e tambm manmetro de duplo U) e manmetro diferencial.

a) Piezmetro simples, Tubo Piezomtrico ou Manmetro Aberto

o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente inserido

no interior do ambiente onde se deseja medir a presso. O lquido circulante no

conduto se elevar no tubo piezomtrico a uma altura h, que corrigida do efeito da

capilaridade, d diretamente a presso em altura de coluna lquida.

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A presso no ponto A ser: h pA (Lei de Stevin), em que pA a presso em

A (N m-2 ou kgf m-2); o peso especfico do lquido (N m-3 ou kgf m-3) e h a altura de

coluna lquida acima do ponto A (m).

O dimetro do tubo piezomtrico deve ser maior que 1 cm, quando o efeito da

capilaridade desprezvel. O tubo piezomtrico pode ser inserido em qualquer posio

em torno de uma tubulao que o lquido atingir a mesma altura h, acima de A (Figura

7).

pA = h

Figura 7 Esquema de um tubo piezomtrico.

b) Manmetro de tubo em U

usado quando a presso a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno.

Para tanto necessrio o uso de lquidos manomtricos que permitam reduzir ou

ampliar as alturas da coluna lquida (Figura 8).

Esta reduo ou ampliao da coluna obtida utilizando-se um outro lquido que

tenha maior ou menor peso especfico, em relao ao lquido escoante. Este outro

lquido denominado lquido manomtrico, e deve apresentar algumas caractersticas,

como:

- no ser miscvel com o lquido escoante;

- formar meniscos bem definidos;

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- ter densidade bem determinada.

Figura 8 Esquema de um tubo em U.

Para pequenas presses os lquidos manomtricos mais comuns so: gua,

cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para

grandes presses, o lquido mais usado o mercrio.

Nos manmetros de tubo em U, a presso j no dada diretamente pela altura

da coluna lquida, mas atravs de equaes que caracterizam o equipamento.

Para se conhecer a presso em A, deve-se proceder da forma seguinte:

1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas lquidas e

cancele as colunas equivalentes;

2) Comeando em uma das extremidades escreva o valor da presso nesse

ponto; sendo incgnita use um smbolo;

3) Escreva em continuao o valor da presso representada por uma a uma

das colunas lquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso

especfico do fluido; cada parcela ser precedida do sinal (+) se a coluna

tender a escoar para adiante sob a ao da gravidade e (-) em caso

contrrio;

4) Atingindo-se o ltimo menisco a expresso ser igualada presso nesse

ponto, seja ela conhecida ou incgnita.

h

h y

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Baseando-se nestes preceitos, pela Figura 8 chega-se a dois pontos: 1 e 2,

onde: pA + 1 y - 2 h = patm = 0.

O ndice 2 se refere s caractersticas do lquido manomtrico.

Exerccios:

- Com base no tensimetro de mercrio da Figura 9, mostre que o potencial

matricial no ponto A .

Figura 9 Desenho esquemtico de um tensimetro de mercrio.

- A Figura 10 representa um manmetro duplo U instalado em uma tubulao.

Calcule a presso no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, kgf cm-2 e Pa. Considere:

- lquido escoando na tubulao: gua;

- lquido manomtrico: mercrio;

- x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm.

Resposta: 4.204 kgf m-2; 0,4204 kgf cm-2; 42.040 Pa

12A hhh6,12

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Figura 10 Manmetro de duplo U.

c) Manmetro Diferencial

o aparelho usado para medir a diferena de presso entre dois pontos.

B231A py h )hyx(p

123BA )hyx(y h pp

em que pA pB a diferena de presso entre A e B.

Figura 11 Esquema de um manmetro diferencial.

Exerccio: Considere o manmetro conectado a uma tubulao, como mostra a Figura

12. Sabendo que a densidade do leo 0,83, calcule a diferena de presso entre os

pontos 1 e 2. Resposta: 90,10 kgf m-2.

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Figura 12 Exemplo de um manmetro diferencial.

3.2.2. Manmetro metlico ou de Bourdon

So os manmetros metlicos os mais utilizados na prtica, pois permitem

leitura direta da presso em um mostrador (Figura 13). As presses so determinadas

pela deformao de uma haste metlica oca, provocada pela presso do lquido na

mesma.

Figura 13 Vista de um manmetro (esquerda) e de um vacumetro (direita).

A deformao movimenta um ponteiro que se desloca em uma escala.

constitudo de um tubo metlico transversal (seo reta) elptica que tende a se

deformar quando a presso P aumenta. Com isso a seo reta tende a ser circular que

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por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metlico e movimenta o

ponteiro sobre a escala graduada diretamente para medir a presso correspondente

deformao. So usados para medir presses muito grandes.

3.3 Relaes entre as unidades de presso

Considerando a Atmosfera tcnica:

1 atm = 735 mmHg = 1,0 kgf cm-2 = 10,0 mca = 14,7 psi = 105 Pa = 102 kPa =

104 kgf m-2 = 1,0 bar = 1000 mbar

4. HIDRODINMICA

4.1 Fundamentos do escoamento dos fluidos

As leis tericas da Hidrodinmica so formuladas admitindo-se que os fluidos

sejam ideais, isto , que no possuam viscosidade, coeso, elasticidade, etc. de modo

que no haja tenso de cisalhamento em qualquer ponto da massa fluida. Durante a

movimentao, as partculas fluidas deslocam-se de um ponto a outro continuamente,

sem que a massa do fluido sofra desintegrao, permanecendo sempre contnua, sem

vazios ou soluo de continuidade.

4.2 Linhas de Fluxo

As linhas de fluxo so linhas imaginrias tomadas atravs do fluido para indicar a

direo da velocidade em diversas sees do escoamento. Gozam da propriedade de

no serem atravessadas por partculas de fluido.

Em cada ponto de uma linha de fluxo existe, em cada instante t, uma partcula

animada de uma velocidade v. As linhas de fluxo so, portanto, as curvas que, no

mesmo instante t considerado, se mantm tangentes em todos os pontos s

velocidades v1.

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Em geral as linhas de fluxo so instantneas porque as sucessivas partculas que

passam pelo mesmo ponto no espao tm velocidades diferentes nesse ponto.

Tambm, partculas que passam por A no decorrer do tempo, podem ir para B, para C

etc., mesmo com velocidade v1; ainda mais, uma partcula que esteja em A no

instante t, com velocidade v1 poder, no instante t+dt, estar com velocidade v2 em

outro ponto. Nestes casos vistos, a trajetria de cada partcula difere da linha de fluxo.

Se todas as partculas que passam por A tem, nesse ponto, velocidade v1, o

regime de escoamento dito permanente e se ao longo da trajetria, a velocidade se

mantm constante, o movimento dito uniforme e a trajetria coincide com a linha de

fluxo (Figura 14).

Figura 14 Linhas de fluxo.

Admitindo-se que o campo da velocidade v seja contnuo, pode-se considerar

como tubo de fluxo (Figura 15), o tubo imaginrio limitado por linhas de fluxo e que

constitui-se em uma seo de rea infinitesimal, na qual a velocidade de escoamento

no ponto mdio representativa da velocidade mdia na seo.

Figura 15 Tubo de fluxo.

- Vazo

Cortando-se o tubo de fluxo da Figura anterior, por um plano normal s linhas de

fluxo, essa seo atravessada no instante t, por um volume de fluido dado por:

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A QdA v

sendo Q a vazo, isto , o volume escoado com velocidade v na seo de rea A e

na unidade de tempo. A superfcie do tubo de corrente pode estar em contato com uma

parede slida, como no caso dos condutos forados ou sob presso, ou pode estar em

contato com outro fluido, como nos canais, onde o lquido tem uma superfcie em

contato com a atmosfera.

4.3 Classificao dos Movimentos

Nas massas fluidas em movimento possvel distinguir os seguintes tipos de

escoamento:

a) Escoamento no-permanente: os elementos que definem o escoamento variam em

uma mesma seo com o passar do tempo. No instante t1 tem-se a vazo Q1 e no

instante t2 tem-se a vazo Q2, sendo uma diferente da outra. Nas ondas de cheia,

por exemplo, tem-se este tipo de escoamento.

b) Escoamento permanente: aquele em que os elementos que o definem (fora,

velocidade, presso) em uma mesma seo permanecem inalterados com o passar

do tempo. Todas as partculas que passam por um determinado ponto no interior da

massa lquida tero, neste ponto, a qualquer tempo, velocidade constante.

O movimento permanente pode ser ainda:

- Uniforme: quando a velocidade mdia do fluxo ao longo de sua trajetria constante.

Neste caso, v1 = v2 e A1 = A2;

- Variado: a velocidade varia ao longo do escoamento. Pode ser acelerado ou

retardado.

4.4 Conservao da Massa Equao da continuidade

A equao da continuidade a equao da conservao da massa expressa

para fluidos incompressveis (massa especfica constante).

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19

Em um tubo de corrente de dimenses finitas, a quantidade de fluido com massa

especfica 1 que passa pela seo A1, com velocidade mdia v1, na unidade de tempo

:

1111 A v

t

m

Por analogia, na seo 2 tem-se: 2222 A v t

m

Em se tratando de regime permanente a massa contida no interior do tubo invarivel,

logo:

MtetanconsA v A v 222111

Esta a equao da conservao da massa. Tratando-se de lquidos, que so

praticamente incompressveis, 1 igual a 2. Ento:

A vQ ou A vA vA v nn2211

A equao da continuidade mostra que, no regime permanente, o volume de

lquido que, na unidade de tempo, atravessa todas as sees da corrente sempre o

mesmo.

4.5 Equao de Bernoulli

Aplicando-se a equao de Euler (equaes gerais do movimento) aos lquidos

em movimento permanente, sob a ao da fora gravitacional, e em dois pontos de

uma tubulao, por exemplo, tem-se:

constante z 2g

v

p z

2g

v

p1

211

2

222

Este o teorema de Bernoulli, que se anuncia: Ao longo de qualquer linha de

corrente constante a somatria das energias cintica (g2

v2), piezomtrica (

p) e

potencial (z). importante notar que cada um desses termos pode ser expresso em

Hidrulica Maro/2013

20

unidade linear, constituindo o que denomina-se carga ou altura ou energia por

unidade de peso.

Em 1875, Froude apresentou importantes experincias sobre o teorema de

Bernoulli. Uma delas consiste numa canalizao horizontal e de dimetro varivel,

conectada a um reservatrio de nvel constante. De acordo com a Figura 16,

instalando-se piezmetros nas diversas sees, verifica-se que a gua sobe alturas

diferentes; nas sees de menor dimetro, a velocidade maior e, portanto, tambm

maior a carga cintica, resultando menor carga de presso. Como as sees so

conhecidas, podem-se verificar a distribuio e a constncia da carga total (soma das

alturas).

Figura 16 - Ilustrao do Teorema de Bernoulli.

Exerccio: Um lquido incompressvel de massa especfica igual a 800 kg m-3 escoa

pelo duto representado na Figura 17 com vazo de 10 L s-1. Admitindo o escoamento

como ideal e em regime permanente, calcule a diferena de presso entre as sees 1

e 2. (1 N = 1 kg m s-2).

Resposta: 3.058,10 kgf m-2 ou 30.000 N m-2 = 30.000 Pa = 30 kPa.

Figura 17 Exemplo da aplicao da equao de Bernoulli.

Hidrulica Maro/2013

21

5. ESCOAMENTO EM CONDUTOS LIVRES

5.1 Generalidades

O escoamento em condutos livres caracterizado por apresentar uma superfcie

livre na qual reina a presso atmosfrica. Estes escoamentos tm um grande nmero

de aplicaes prticas na engenharia, estando presentes em reas como o

saneamento, a drenagem urbana, irrigao, hidroeletricidade, navegao e

conservao do meio ambiente.

Figura 41 Canal principal do permetro irrigado do Gorutuba.

Os problemas apresentados pelos escoamentos livres so mais complexos de

serem resolvidos, uma vez que a superfcie livre pode variar no espao e no tempo e,

como conseqncia, a profundidade do escoamento, a vazo, a declividade do fundo e

a do espelho lquido so grandezas interdependentes. Desta forma, dados

experimentais sobre os condutos livres so, usualmente, de difcil apropriao.

De modo geral, a seo transversal dos condutos livres pode assumir qualquer

forma e a rugosidade das paredes internas tem grande variabilidade, podendo ser lisas

ou irregulares, como a dos canais naturais. Alm disto, a rugosidade das paredes pode

variar com a profundidade do escoamento e, conseqentemente, a seleo do

coeficiente de atrito cercada de maiores incertezas em relao dos condutos

forados.

Hidrulica Maro/2013

22

5.2 Escoamento Uniforme em Canais

Em condies normais, tem-se nos canais um movimento uniforme, ou seja, a

velocidade mdia da gua constante ao longo do canal.

Existem vrias equaes para o clculo da velocidade mdia da gua (v) em um

canal, tais como:

Chezy (1769);

Ganguillert-Kutter (1869);

Bazin (1897);

Manning (1890);

Gauckler-Strickler (1923).

Porm as mais utilizadas so as de Chezy e de Manning. A equao de Chezy

pode ser expressa da seguinte forma:

D R Cv h

sendo

Rh = raio hidrulico (A/P);

D = declividade do canal, m m-1.

C= coeficiente de Chezy;

O coeficiente C depende dos parmetros de resistncia ao escoamento e da

seo transversal e pode ser expresso da seguinte forma:

f

g8C

em que f o fator de atrito da equao de perda de carga e g a acelerao local da

gravidade.

A equao de Manning baseada na equao anterior, mas com uma mudana

no coeficiente C, que pode ser escrito como:

n

RC

6/1h

Hidrulica Maro/2013

23

em que n uma caracterstica da rugosidade da superfcie (tabelado). Substituindo o

valor de C na equao de Chezy tem-se:

2/13/2h D R n

1v

Alguns valores de n para a frmula de Manning:

Natureza da Parede Estado da parede

Perf. Bom Reg. Mau

Cimento liso 0,010 0,011 0,012 0,013 Argamassa de cimento 0,011 0,012 0,013 0,015 Aqueduto de madeira aparelhada 0,010 0,012 0,012 0,014 Aqueduto de madeira no aparelhada 0,011 0,013 0,014 0,015 Canais revestidos de concreto 0,012 0,014 0,016 0,018 Paredes metlicas, lisas e semi-circulares 0,011 0,012 0,028 0,030 Paredes de terra, canais retos e uniformes 0,017 0,020 0,023 0,030 Paredes rugosas de pedras irregulares 0,035 0,040 0,045 -- Canais de terra com grandes meandros 0,023 0,025 0,028 0,030 Canais de terra dragados 0,025 0,028 0,030 0,033 Canais com leito de pedras rugosas e com vegetao 0,025 0,030 0,035 0,040 Canais com fundo de terra e com pedras nas margens 0.028 0.030 0.033 0.035

5.3 Conceitos Importantes

a) rea Molhada (A)

Parte da seo transversal do canal que ocupada pelo lquido.

b) Permetro Molhado (P)

Comprimento relativo ao contato do lquido com as paredes do canal.

c) Largura Superficial (B)

Largura da superfcie do lquido em contato com a atmosfera.

d) Profundidade (y)

Altura do lquido acima do fundo do canal.

e) Profundidade Hidrulica (yh)

Hidrulica Maro/2013

24

Razo entre a rea molhada e a largura superficial.

yh = A/B

f) Raio Hidrulico (Rh)

Razo entre a rea molhada e o permetro molhado.

Rh = A/P

5.4 Forma dos Canais

As formas geomtricas mais usuais em canais so retangulares, trapezoidal e

triangular. Os parmetros rea, raio hidrulico so facilmente calculados, conforme

frmulas a seguir:

a) Seo trapezoidal

Figura 42 Canal trapezoidal.

)ymb(yA 1my2bP2

P

ARh ym2bB

m = tg = cotg = inclinao das paredes do canal

b) seo triangular

2myA 1my2P 2

1m2

myR

2h

ym2B

c) seo retangular

ByA y2bP y2b

byRh

bB

6.5 Dimensionamento do Canal

Hidrulica Maro/2013

25

Aplicando a equao de continuidade na equao de Chezy-Manning, tem-se:

2/13/2 1

SRAn

Q h

em que Q a vazo, produto da rea transversal da seo de escoamento pela

velocidade mdia da gua.

Normalmente n e S so parmetros definidos e conhecidos. Quando se conhece

as dimenses do canal, o clculo da vazo explcito. Porm, quando se deseja

conhecer ou dimensionar a base e altura de um canal, tendo-se a vazo de projeto, a

soluo fica no explcita e deve ser obtida por mtodos numricos, bacos, tabelas ou

tentativas.

5.5.1 Mtodo das Tentativas

Consiste em assumir valores para os parmetros que definem a rea e o raio

hidrulico de um canal e, em seguida, aplicar a equao de Manning e a equao da

continuidade, para calcular qual ser a vazo com os valores assumidos. A relao

entre os valores assumidos para os parmetros geomtricos do canal pode variar ou

permanecer constante. Comparar a vazo calculada com a vazo conhecida; caso no

sejam idnticas, repetir os clculos at encontrar o valor para a vazo. Recomenda-se

utilizar o seguinte tipo de quadro:

b y A P Rh Rh2/3

n

S v* Q** Q=Q ?

* 2/13/2

1

SRn

v h **Q = v A

5.6 Taludes e velocidades recomendadas

A velocidade em uma seo transversal de um canal calculada pela equao

de Chezy-Manning, porm seu valor pode ser restringido por limitaes da qualidade

da gua e da resistncia dos taludes. Velocidades muito grandes podem provocar

Hidrulica Maro/2013

26

eroso no leito e no fundo do canal, destruindo-o. Velocidades muito baixas podem

possibilitar a sedimentao de partculas em suspenso, obstruindo o canal.

As Tabelas a seguir apresentam limites de velocidade e de inclinao dos

taludes em funo da natureza da parede.

Velocidades mdia e mxima em um canal, em funo da natureza da parede.

Natureza da parede do canal Velocidade (m.s-1)

Mdia mxima

Areia muito fina 0,23 0,30 Areia solta mdia 0,30 0,46 Areia grossa 0,46 0,61 Terreno arenoso comum 0,61 0,76 Terreno silto-argiloso 0,76 0,84 Terreno de aluvio 0,84 0,91 Terreno argiloso compacto 0,91 1,14 Terreno argiloso duro 1,22 1,52 Cascalho grosso, pedregulho 1,52 1,83 Rochas sedimentares moles 1,83 2,44 Alvenaria 2,44 3,05 Rochas compactas 3,05 4,00 Concreto 4,00 6,00

Velocidades mnimas em um canal a fim de evitar sedimentao.

Tipo de suspenso na gua Velocidade (m.s-1)

gua com suspenso fina 0,30 gua transportando areia 0,45 guas residurias - esgotos 0,60

Inclinao dos taludes dos canais.

Natureza da parede do canal m

Canais em terra sem revestimento 2,5 a 5 Canais em saibro 2,0 Cascalho rolio 1,75 Terra compacta sem revestimento 1,50 Terra muito compacta rocha 1,25 Rocha estratificada 0,50 Rocha compacta 0,0

Hidrulica Maro/2013

27

5.7 Informaes adicionais

Para situaes em que a vazo muito varivel ao longo do tempo, o canal

pode ser dimensionado contemplando as diferentes condies de escoamento.

Normalmente em reas urbanas, os canais so dimensionados para tal situao, ou

seja, na poca seca do ano, a contribuio da rede pluvial pequena ou nula,

reduzindo sensivelmente a vazo escoada. Dessa forma, o canal teria duas sees de

escoamento, atendendo as distintas situaes de fluxo. A Figura 43 ilustra essa

situao.

Figura 43 Canal com dupla seo de escoamento.

5.8 Escoamento Variado em Canais

Os canais uniformes e o escoamento uniforme no existem na natureza. At

mesmo no caso de condutos artificiais prismtico, longos e de pequena declividade, as

condies apenas se aproximam do movimento uniforme.

Essas condies de semelhana apenas acontecem a partir de uma certa

distncia da seo inicial e deixam de existir a uma certa distncia da seo final (nas

extremidades a profundidade e a velocidade so variveis).

Hidrulica Maro/2013

28

Nos canais com escoamento uniforme o regime poder se alterar, passando a

variado em conseqncia de mudanas de declividade, variao de seo e presena

de obstculos.

5.8.1 Energia Especfica

Em qualquer seo transversal de um conduto livre, a carga pode ser obtida a

partir da seguinte expresso:

g

VyZHT

2

2

Observao:

No escoamento livre, a carga de presso pode ser substituda pela profundidade

do escoamento, com as presses sendo consideradas como hidrostticas.

Py

Em condutos livres a sua declividade denominado como gradiente hidrulico.

Uma representao das linhas de carga e piezomtrica num conduto livre

apresentada a seguir.

Figura 44 Representao das linhas de carga e piezomtrica num conduto livre.

Conforme os condutos forados, a soma das diferentes parcelas de carga

permite a construo da linha de carga total ou linha de energia. A perda de carga

entra as duas sees (1) e (2) quaisquer dada por H1-H2.

Hidrulica Maro/2013

29

Define-se energia especfica como sendo a carga medida a partir do fundo do

canal, sendo definida por:

g

VyH E

2

2

Se considerarmos a equao da continuidade, teremos:

2

2

2 Ag

QyH E

Como a rea funo da profundidade, a energia especfica torna-se funo da

profundidade y, para um determinado valor de vazo, assim teremos:

212

2

)(2EEE

yfg

QyH EE

Se representarmos graficamente a variao das diferentes parcelas que

constituem a energia especfica, teremos:

Figura 45 Curva de energia especfica.

Sendo:

ys = profundidade subcrtica, fluvial, superior e tranquilo;

yc = profundidade crtica;

yI = profundidade supercrtica, rpida, inferior e torrencial;

Ec = Energia crtica.

Hidrulica Maro/2013

30

Observao:

A energia especfica no uma funo montona crescente com y. Existe um

valor mnimo de energia (denominado energia crtica, Ec) que possui uma

correspondente profundidade, chamada de profundidade crtica.

5.8.2 Profundidade Crtica, Declividade Crtica, Velocidade Crtica e Vazo

Crtica

a profundidade de gua em um canal que corresponde ao valor mnimo de

carga especfica. Para um canal de seo qualquer, temos:

32

B

A

g

Q

Essa equao obtida derivando-se a equao de energia especfica em funo

de y.

Como consequncia do conceito de profundidade crtica, trs outras definies

podem ser estabelecidas, so elas: declividade crtica, velocidade crtica e vazo

crtica.

Declividade crtica aquela que conduz fluido a profundidade crtica.

Declividades superiores crtica aumentaro a velocidade de escoamento da gua,

provocando, para uma vazo constante, diminuio da profundidade do escoamento.

Desta forma, declividades maiores que a crtica so denominadas supercrticas.

Profundidades inferiores crtica sero denominadas supercrticas.

5.8.3 Nmero de Froude

O nmero de Froude (Fr) to importante para o escoamento livre, assim como

o nmero de Reynolds para os condutos forados. Ele um adimensional importante

em Hidrulica, permitindo o estabelecimento de diferentes interpretaes das

condies de escoamento correspondente ao limite entre os regimes fluvial e torrencial.

Desta forma, sempre que ocorrer mudana no regime de escoamento, a

profundidade deve passar pelo seu valor crtico. Esta passagem, no entanto, pode

ocorrer de forma gradual ou brusca, de acordo com o regime do escoamento de

montante e com a singularidade que provocou a variao.

Hidrulica Maro/2013

31

O nmero de Froude pode ser obtido por meio da seguinte equao:

hyg

vFr

Sendo:

Fr = nmero de Froude;

V = velocidade (m/s);

g = gravidade (m/s);

yh = profundidade hidrulica (m).

Os valores do nmero de Froude de acordo com os tipos de escoamento so:

Fr = 1 => Escoamento crtico;

Fr < 1 => Escoamento subcrtico;

Fr > 1 => Escoamento supercrtico.

Diversas situaes prticas permitem observar a mudana do regime de

escoamento. So exemplos da passagem do regime subcrtico para o supercrtico:

Passagem de uma declividade subcrtica para uma declividade supercrtica;

Queda livre, a partir de uma declividade crtica a montante;

Escoamento junto crista de vertedores;

Estreitamento da seo.

A mudana do regime supercrtico para o subcrtico observada, por exemplo,

em mudanas de declividade e em sadas de comportas. O escoamento em regime

crtico (ou em suas imediaes) instvel. Assim a menor mudana de energia

especfica provocar sensvel mudana da profundidade de gua no canal.

Onde se verifica a mudana de regime (supercrtico para subcrtico e vice-

versa), chamamos de seo de controle. Estas sees so importantes porque

atravs delas possvel se determinar a vazo por meio apenas da profundidade

crtica.

Hidrulica Maro/2013

32

5.8.4. Transies

So estruturas hidrulicas que conduzem o lquido de uma seo para outra, de

modo a causar o mnimo de perda de carga e no modificar as condies de

escoamento montante.

Muitas vezes o canal precisar passar por modificaes, como por exemplo, a

passagem sob uma estrada ou a suspenso em algum trecho. Existe ainda a

possibilidade de sofrer uma reduo ou alargamento de sua seo. Essas modificaes

podero causar alteraes na profundidade do escoamento.

Nas situaes anteriormente descritas necessrio efetuar o estudo de energia

especfica para o correto dimensionamento e construo das estruturas hidrulicas no

canal. Evitando assim, transbordamentos ou represamentos de gua.

5.8.4.1. Anlise do Nvel de gua na Ascenso ou Depresso Suave

no Fundo do Canal

A equao abaixo descreve o comportamento da profundidade do nvel de gua

de acordo com o regime de escoamento e com a ascenso/depresso suave no fundo

do canal.

dx

dzFr

dx

dy )1( 2

a) Ascenso Suave

a.1) Escoamento Subcrtico

Temos: Fr1; 0dx

dz; 0dx

dy

Logo o nvel de gua vai subir.

b) Depresso Suave

b.1) Escoamento Subcrtico

Temos: Fr

Hidrulica Maro/2013

33

b.2) Escoamento Supercrtico

Temos: Fr>1; 0dx

dz; 0dx

dy

Logo o nvel de gua vai descer.

5.8.4.2. Anlise do Nvel de gua na Contrao ou Expanso da

Seo

A equao abaixo descreve o comportamento da profundidade do nvel de

gua de acordo com o regime de escoamento e com a contrao/expanso da

seo.

dx

db

b

yFrFr

dx

dy )()1( 22

a) Contrao

a.1) Regime Subcrtico

Temos: Fr1; 0dx

db; 0dx

dy

Logo o nvel de gua vai subir.

b) Expanso

b.1) Regime Subcrtico

Temos: Fr1; 0dx

db; 0dx

dy

Logo o nvel de gua vai descer.

Hidrulica Maro/2013

34

5.9. Movimento Gradualmente Variado

5.9.1. Conceito

Quando h uma variedade gradual da profundidade, temos que:

0

L

v

Onde:

v a velocidade do escoamento;

L o comprimento do escoamento.

5.9.2. Importncia

a) Delimitao de reas inundveis;

b) Volume acumulado.

5.9.3. Classificao

a) Movimento gradualmente variado acelerado (MGVA);

b) Movimento gradualmente variado retardado (MGVR).

5.9.4. Clculo das Curvas de Remanso

Existem duas maneiras de se resolver o problema do movimento gradualmente

variado, sendo uma qualitativa e outra quantitativa.

5.9.4.1. Resoluo Qualitativa

a) Canal com declividade fraca: M

So aqueles inferiores a declividade crtica e que conduzem a vazo na

profundidade normal e regime subcrtico. utilizada a letra M, que uma abreviao

da palavra MILD, que significa suave.

b) Canal com declividade forte: S

So aqueles cujas declividades so superiores a crtica. Usa-se a abreviao S

de STEEP, que significa ngreme.

c) Canal com declividade crtica: C

Hidrulica Maro/2013

35

So aqueles canais cuja declividade igual a declividade crtica, verificada

quando Froude igual a 1. Usa-se a abreviao C de CRITICAL, que significa crtica.

d) Canal com declividade Adversa: A

So aqueles cuja declividade adversa, isto , ao invs de descer, a declividade

ascendente. Usa-se a abreviao A de ADVERSE, que significa adversa.

a) Canal com declividade nula: H

So aqueles sem declividade, isto , esto na horizontal. Usa-se a abreviao

H, de horizontal.

5.9.4.2. Resoluo Quantitativa

a) Mtodo numrico de integrao trecho a trecho

Mtodo Direto

Aplicado a condutos livres prismticos

Mtodo Standard

Aplicado a condutos livres no prismticos

b) Mtodo Grfico

c) Mtodo da Integrao Direta

Observao:

Nesse curso veremos o mtodo (c) para condutos prismticos.

Mtodo de integrao Direta para Condutos Prismticos:

Esse mtodo considera que a declividade do nvel de gua diferente da

declividade do fundo do canal e que os condutos utilizados so de seo prismtica.

Outra considerao a se fazer a adoo da velocidade mdia, rea mdia e raio

hidrulico mdio para o clculo da influncia do remanso. Para isso temos:

3/2

2/1hRA

J

Qn

Onde:

Hidrulica Maro/2013

36

n o coeficiente de Manning;

Q a vazo;

J a declividade do nvel de gua;

A a rea mdia;

3/2hR

o raio hidrulico mdio.

2

21 vvv

Onde:

v1 a velocidade na seo 1;

v2 a velocidade na seo 2;

v a velocidade mdia entre a seo 1 e 2.

2

21 AAA

Onde:

A1 a rea da seo 1;

A2 a rea da seo 2;

A a rea mdia entre as sees 1 e 2.

2

21 hhh

RRR

Onde:

Rh1 o raio hidrulico da seo 1;

Rh2 o raio hidrulico da seo 2;

hR o raio hidrulico mdio entre as sees 1 e 2.

JS

EEL

12

Hidrulica Maro/2013

37

Onde:

L o comprimento da influncia do remanso;

E2 a energia especfica em 2;

E1 a energia especfica em 1;

S a declividade do fundo do canal;

J a de declividade do nvel de gua.

5.10. Movimento Bruscamente Variado

5.10.1. Introduo

Ocorre sempre quando h mudana brusca do regime supercrtico para um

subcrtico, ou vice versa.

5.10.2. Caractersticas do Movimento Bruscamente Variado

a) Linha de corrente com inclinao acentuada;

b) No se aplica ao regime uniforme;

c) Ocorre em pequenos trechos.

5.10.3. Ocorrncias

a) Escoamento sobre barragens;

b) Ressaltos.

5.10.4. Ressaltos Hidrulicos

5.10.4.1. Conceito

Fenmeno que ocorre na passagem brusca de um regime supercrtico para um

subcrtico. No ressalto hidrulico, o regime vai passar necessariamente por:

Fr>1 -> Fr=1 -> Fr

Hidrulica Maro/2013

38

5.10.4.3. Classificao do Ressalto

a) Falso ressalto: 1,2

Hidrulica Maro/2013

39

b) o movimento permanente;

c) o escoamento se d ao longo de um tubo de fluxo; e

d) o fluido incompressvel.

A experincia mostra que, em condies reais, o escoamento se afasta do

escoamento ideal. A viscosidade d origem a tenses de cisalhamento e,

portanto, interfere no processo de escoamento. Em consequncia, o fluxo s se

realiza com uma perda de energia, que nada mais que a transformao de

energia mecnica em calor e trabalho.

A equao de Bernoulli, quando aplicada a sees distintas da

canalizao, fornece a carga total em cada seo. Se o lquido ideal, sem

viscosidade, a carga ou energia total permanece constante em todas sees.

Porm, se o lquido real, o seu deslocamento da seo 1 para a seo 2

(Figura 46) ocorrer mediante uma dissipao de energia, necessria para

vencer as resistncias ao escoamento entre as sees. Portanto, a carga total

em 2 ser menor do que em 1 e esta diferena a energia dissipada sob forma

de calor. Como a energia calorfica no tem utilidade no escoamento do lquido,

diz-se que esta parcela a perda de carga ou perda de energia, simbolizada

comumente por hf. possvel observar na Figura 46 que, independente da

forma como a tubulao se encontra instalada, sempre haver dissipao de

energia quando o lquido estiver em movimento.

Analisando as Figuras, alm do plano de referncia, possvel identificar

trs planos:

- PCE Plano de carga efetivo: a linha que demarca a continuidade da altura

da carga inicial, atravs das sucessivas sees de escoamento;

- LP Linha piezomtrica: aquela que une as extremidades das colunas

piezomtricas. Fica acima do conduto de uma distncia igual presso

existente, e expressa em altura do lquido. chamada tambm de gradiente

hidrulico; e

Hidrulica Maro/2013

40

- LE Linha de energia: a linha que representa a energia total do fluido. Fica,

portanto, acima da linha piezomtrica de uma distncia correspondente

energia de velocidade e se o conduto tiver seo uniforme, ela paralela

piezomtrica. A linha piezomtrica pode subir ou descer, em sees de

descontinuidade. A linha de energia somente desce.

Nas Figuras, f21 hEE ou f21 hEE

Como zp

g2

vE

2

, tem-se que: f22

22

11

21 hz

p

g2

vz

p

g2

v

que a equao de Bernoulli aplicada em duas sees quaisquer de um

escoamento de fluido real.

a

b

g2

v21

1P

z2

z1

2P

g2

v22

hf1-2

PCE

LE

LP

g2

v21

1P

z2 z1

2P

g2

v22

hf1-2

PCE

LE

LP

Hidrulica Maro/2013

41

g2V21

g2V22

c

Figura 46- Escoamento de um lquido real em um conduto forado, mostrando a carga total em duas sees de escoamento: a) tubulao em nvel; b) tubulao em aclive; c) tubulao em declive.

Quando existem peas especiais e trechos com dimetros diferentes, as

linhas de carga e piezomtrica vo se alterar ao longo do conduto. Para tra-

las, basta conhecer as cargas de posio, presso e velocidade nos trechos

onde h singularidades na canalizao. A instalao esquematizada na Figura

47 ilustra esta situao.

Figura 47 Perfil de uma canalizao que alimenta o reservatrio R2, a partir do reservatrio R1, com uma reduo de dimetro.

z2

1P

hf1-2

z1

g2

v21

2P

g2

v22

PCE

LE

LP

h1

h2

h3

hf1

hf2 D1

D2

R1

R2

Hidrulica Maro/2013

42

Do reservatrio R1 para R2 existe uma perda de carga total ht, igual

diferena de nvel entre os mesmos. Esta perda de carga devida :

h1 - perda localizada de carga na entrada da canalizao;

hf1 - perda contnua de carga no conduto de dimetro D1;

h2 - perda localizada de carga na reduo do conduto, representada pela

descontinuidade da linha de carga;

hf2 - perda contnua de carga no trecho de dimetro D2; e

h3 - perda de carga na entrada do reservatrio.

Para traar esta linha de carga necessrio calcular as cargas logo aps

a entrada da canalizao, imediatamente antes e aps a reduo de dimetro e

na entrada do reservatrio.

6.1.2 Regimes de movimento

Os hidrulicos do sculo XVIII j observavam que dependendo das

condies de escoamento, a turbulncia era maior ou menor, e

consequentemente a perda de carga. Osborne Reynolds (1842 1912) fez uma

experincia para tentar caracterizar o regime de escoamento, que a princpio ele

imaginava depender da velocidade de escoamento (Figura 48). A experincia

consistia em fazer o fluido escoar com diferentes velocidades, para que se

pudesse distinguir a velocidade de mudana de comportamento dos fluidos em

escoamento e caracterizar estes regimes. Para visualizar mudanas, era

injetado na tubulao o corante permanganato de potssio, utilizado como

contraste.

Hidrulica Maro/2013

43

Figura 48 Esquema da experincia de Reynolds

Inicialmente, usando pequenas velocidades, ele observou que o lquido

escoava-se ordenadamente, como se lamnulas do lquido se deslizassem uma

em relao s outras, e a este estado de movimento, ele denominou laminar.

Logo que a velocidade foi sendo aumentada gradativamente, ele observou que o

lquido passou a escoar de forma desordenada, com as trajetrias das partculas

se cruzando, sem uma direo definida. A este estado de movimento, ele

chamou de turbulento ou desordenado. A Figura 49 apresenta os resultados de

testes demonstrando a experincia de Reynolds. O material completo est

disponvel no endereo:

http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/Apostila/Unidade%203/Simulacao

%20de%20Reynolds%20un%203.pdf

a b

Figura 49 Resultados obtidos em um teste de laboratrio: (a) laminar e (b)

turbulento.

Hidrulica Maro/2013

44

Tentando repetir a sua experincia, em sentido contrrio, comeando de

uma velocidade maior (regime turbulento) e, gradativamente reduzindo a

velocidade, ele observou que o fluido passou do regime turbulento para o

laminar, porm a velocidade que ocorreu nesta passagem era menor que

aquela em que o regime passou laminar a turbulento. Ficou, portanto, uma faixa

de velocidade onde no se pde definir com exatido qual o regime de

escoamento. A esta faixa, chamou de zona de transio.

Ele distinguiu inicialmente tambm duas velocidades:

- velocidade crtica superior: aquela onde ocorre a passagem do

regime laminar para o turbulento; e

- velocidade crtica inferior: aquela onde ocorre a passagem do regime

turbulento para o laminar.

Repetiu-se a experincia de Reynolds fazendo-a para vrias combinaes

de dimetros e fluidos e concluiu-se que no s a velocidade importante para

caracterizar o regime de escoamento, mas tambm o dimetro da canalizao e

o fluido escoante. Chegou-se a uma expresso que caracteriza o regime de

escoamento:

D v

Re

em que:

Re = conhecido como nmero de Reynolds, adimensional;

v = a velocidade mdia de escoamento, m s-1;

D = o dimetro da canalizao, m; e

= a viscosidade cintica do fluido, m2 s-1. ( gua = 1,02 x 10-6 m2 s-1)

Para definir o regime, basta calcular o nmero de Reynolds e caracteriz-

lo pelos limites.

Se eR 2.000 - regime laminar

Se eR 4.000 - regime turbulento

Se 2.000 < eR < 4.000 - zona de transio

Hidrulica Maro/2013

45

Na zona de transio no se pode determinar com preciso a perda nas

canalizaes.

De modo geral, por causa da pequena viscosidade da gua e pelo fato

da velocidade de escoamento ser sempre superior a 0,4 ou 0,5 m s-1, o regime

dos escoamentos, na prtica, turbulento.

6.1.3 Perda de carga

Todo fluido real possui viscosidade. As observaes experimentais

mostram que quando um fluido escoa, paralelamente a uma superfcie, as

molculas do fluido em contato com a superfcie aderem a esta. como se a

viscosidade tivesse o mesmo efeito de uma cola. A velocidade relativa do fluido

na superfcie da placa zero. As molculas do fluido aderidas superfcie

exercem sobre as demais um efeito de frenagem que diminui, medida que se

aproxima do centro da tubulao. Desta forma, percebe-se que no h atrito da

massa fluida com as paredes da tubulao, devido existncia de uma camada

de velocidade igual a zero junto s paredes, denominada de camada limite.

Portanto, no regime laminar, a perda de carga deve-se unicamente

resistncia oferecida pela camada mais lenta quela mais rpida que lhe

adjacente, ou seja, a energia hidrulica transformada em trabalho na anulao

da resistncia oferecida pelo fluido em escoamento em funo da sua

viscosidade. A resistncia funo das tenses tangenciais que promovem a

transferncia da quantidade de movimento.

No regime turbulento, alm do fenmeno descrito acima, existe ainda

perda de energia nos choques moleculares oriundos do movimento desordenado

das partculas.

A perda de carga est diretamente relacionada com a turbulncia que

ocorre no conduto. Com esta ponderao, possvel imaginar que, em uma

tubulao retilnea, a perda de carga seja menor se comparada com uma

tubulao semelhante, mas com uma srie de peas especiais, tais como

curvas, cotovelos, etc. As peas especiais provocam perdas localizadas pela

Hidrulica Maro/2013

46

maior turbulncia na regio da pea, pois alteram o paralelismo das linhas de

corrente.

Para efeito didtico vamos separar as perdas localizadas da perda de

carga ao longo de uma canalizao retilnea, ou perda contnua de carga.

6.2 Clculos dos condutos forados: perda contnua de carga (hf)

Desde o sculo XVIII, os hidrulicos vm estudando o comportamento

dos fluidos em escoamento. Darcy, hidrulico suo, e outros concluram,

naquela poca, que a perda de carga ao longo das canalizaes era:

- diretamente proporcional ao comprimento do conduto;

- proporcional a uma potncia da velocidade;

- inversamente proporcional a uma potncia do dimetro;

- funo da natureza das paredes, no caso de regime turbulento;

- independente da presso sob a qual o lquido escoa; e

- independente da posio da tubulao e do sentido de escoamento.

Naquela poca, surgiram numerosas frmulas para o dimensionamento

das canalizaes. A maioria delas era especfica para as condies de trabalho

de uma dada regio. Independente disso, todas as equaes seguiam as

pressuposies apresentadas anteriormente, fazendo com que genericamente

pudessem ser representadas por:

LD

Q hf

m

n

sendo os valores de , n e m prprios de cada equao.

Hidrulica Maro/2013

47

6.2.1 Frmulas prticas

a) Frmula de Hazen-Williams

Essa frmula talvez seja a mais utilizada nos pases de influncia

americana. Ela originou-se de um trabalho experimental com grande nmero de

tratamentos (vrios dimetros, vazes e materiais) e repeties. Ela deve ser

utilizada para escoamento de gua temperatura ambiente, para tubulaes

com dimetro maior ou igual a 2 ou 50 mm e para regime turbulento. Ela possui

vrias apresentaes:

54,063,0 J D C 355,0V ou 54,063,2 J D C 279,0Q ou 87,4852,1

852,1

D C

Q646,10J

ou LD C

Q646,10hf

87,4852,1

852,1

em que:

V - velocidade, m s-1;

D - dimetro da canalizao, m;

Q - vazo, m3 s-1;

hf perda contnua de carga, m;

J - perda unitria de carga, m m-1; e

C - coeficiente que depende da natureza das paredes e estado de

conservao de suas paredes internas (Tabela 1).

Tabela 1 - Valores do coeficiente C da frmula de Hazen-Williams (apresentados por E. T. Neves).

Tipo de conduto C

Ao corrugado 60 Ao com juntas loc-bar, novas 130 Ao com juntas loc-bar, usadas 90-100

Ao galvanizado 125 Ao rebitado, novo 110 Ao rebitado, usado 85-90 Ao soldado, novo 130 Ao soldado, usado 90-100

Ao soldado com revestimento especial 130

Hidrulica Maro/2013

48

Ao zincado 140-145 Alumnio 140-145

Cimento-amianto 130-140 Concreto, com bom acabamento 130

Concreto, com acabamento comum 120 Ferro fundido, novo 130 Ferro fundido, usado 90-100

Plstico 140-145 PVC rgido 145-150

b) Frmula de Darcy-Weisbach ou Universal

Esta frmula de uso geral, tanto serve para escoamento em regime

turbulento quanto para o laminar, e tambm utilizada para toda a gama de

dimetros.

g 2 D

VfJ

2

ou 52

2

D g

Q f 8J

ou L

Dg

Qf8hf

52

2

em que f um coeficiente que depende do material e estado de conservao

das paredes, e pode ser determinado no diagrama de Moody (Figura 50).

Na hiptese de regime laminar, f independente da rugosidade relativa

(e/D) e unicamente funo do nmero de Reynolds:

Re

64f

No regime turbulento, o valor de f dependente do nmero de Reynolds e

da rugosidade relativa, em se tratando da transio. No regime turbulento pleno,

o nmero de Reynolds no tem influncia, mas apenas a rugosidade relativa.

A rugosidade relativa a relao entre a rugosidade do material e seu

dimetro. A Tabela 2 fornece a rugosidade dos materiais mais comumente

utilizados.

Tabela 2 - Valores da rugosidade mdia (e) dos materiais empregados em condutos forados.

Hidrulica Maro/2013

49

Tipo de material e ( mm )

Ferro fundido novo 0,26 - 1 Ferro fundido enferrujado 1 - 1,5 Ferro fundido incrustado 1,5 - 3 Ferro fundido asfaltado 0,12 - 0,26

Ao laminado novo 0,0015 Ao comercial 0,046 Ao rebitado 0,092 - 9,2 Ao asfaltado 0,04

Ao galvanizado 0,15 Ao soldado liso 0,1

Ao muito corrodo 2,0 Ao rebitado, com cabeas cortadas 0,3

Cobre ou vidro 0,0015 Concreto centrifugado 0,07

Cimento alisado 0,3 - 0,8 Cimento bruto 1 - 3

Madeira aplainada 0,2 - 0,9 Madeira no aplainada 1,0 - 2,5

Alvenaria de pedra bruta 8 - 15 Tijolo 5

Plstico 0,06 Alvenaria de pedra regular 1

Nestas equaes, a perda de carga unitria, ou seja, a perda de carga

que ocorre em um metro de canalizao retilnea. A perda de carga ao longo de

toda a extenso da canalizao dada por:

L Jhf em que L o comprimento total da canalizao retilnea, m.

Hidrulica Maro/2013

50

Figura 50 - Diagrama de Stanton, segundo Moody, para determinao de valores do coeficiente f, em funo do nmero de Reynolds e da rugosidade relativa.

Hidrulica Maro/2013

51

6.3 Clculos de condutos forados: perda localizada de carga (h ou ha)

A perda localizada de carga aquela causada por acidentes colocados

ou existentes ao longo da canalizao, tais como as peas especiais. Em

tubulaes com longo comprimento e poucas peas a turbulncia causada por

essas passa a ser desprezvel. Porm em condutos com muitas peas e menor

comprimento, este tipo de perda tem uma importncia muito grande, como no

caso de instalaes prediais. Podem-se desconsiderar as perdas localizadas

quando a velocidade da gua pequena (v < 1,0 m s-1), quando o comprimento

maior que 4.000 vezes o dimetro e quando existem poucas peas no

conduto.

No projeto, as perdas localizadas devem ser somadas contnua.

Considerar ou no as perdas localizadas uma atitude que o projetista ir

tomar, em face das condies locais e da experincia do mesmo.

Expresso de Borda-Belanger

A expresso que calcula as perdas partiu do teorema de Borda-Berlanger

e apresentada como:

g2

V Kh

2

em que:

h - perda de carga causada por uma pea especial, m;

K - coeficiente que depende de cada pea e dimetro, obtido experimentalmente (Tabela 3).

O valor de K depende do regime de escoamento. Para escoamento

plenamente turbulento, Re > 50.000, o valor de K para as peas especiais

praticamente constante, e so os valores encontrados nas tabelas e bacos.

Tabela 3 - Valor do coeficiente K, para clculos das perdas de carga localizadas,

em funo do tipo de pea, segundo J. M. Azevedo Neto.

Hidrulica Maro/2013

52

Tipo da pea K

Ampliao gradual 0,30 Bocais 2,75

Comporta, aberta 1,00 Controlador de vazo 2,50

Cotovelo de 90 0,90

Cotovelo de 45 0,40

Crivo 0,75

Curva de 90 0,40

Curva de 45 0,20

Curva de 22,5 0,10

Entrada normal de canalizao 0,50 Entrada de Borda 1,00

Existncia de pequena derivao 0,03 Juno 0,04

Medidor Venturi 2,50 Reduo gradual 0,15

Registro de ngulo, aberto 5,00 Registro de gaveta, aberto 0,20 Registro de globo, aberto 10,00

Sada de canalizao 1,00 T, passagem direita 0,60

T, sada de lado 1,30 T, sada bilateral 1,80

Vlvula de p 1,75 Vlvula de reteno 2,50

A existncia de peas especiais, alm do material constituinte da

tubulao, dever ser de conhecimento prvio do projetista. Nos problemas

prticos, a vazo Q quase sempre um elemento conhecido. Se for gua que

vai ser conduzida, deve-se saber, a priori, a sua utilidade e seu valor.

Normalmente o dimetro um elemento incgnito e seu valor deve ser

minimizado, pois reflete diretamente nos custos da canalizao. Por outro lado,

se o escoamento no por gravidade, um menor dimetro provocar uma maior

perda de carga que implicar em um maior consumo de energia. Valores

prticos de velocidade existem e podem orientar o projetista na definio do

melhor dimetro.

A literatura cita limites e valores de velocidade mdia recomendados

para as mais diferentes situaes:

Hidrulica Maro/2013

53

- gua com material em suspenso..........................................v > 0,60 m/s

- para instalaes de recalque.......................................0,55 < v < 2,40 m/s

6.4 Condutos Equivalentes

Conceito: Um conduto equivalente a outro ou a outros quando escoa a

mesma vazo sob a mesma perda de carga total.

Pode-se ter uma gama de condutos equivalentes, porm sero

apresentados os condutos equivalentes em srie e em paralelo.

6.4.1. Condutos em srie ou misto

So os condutos constitudos por trechos de tubulao, com mais de um

dimetro diferente, conforme ilustra a Figura 51.

Desconsiderando as perdas secundrias ou localizadas:

3f2f1ffhhhh ...

em que :

fh = a perda de carga total no conduto;

1fh = a perda contnua de carga no trecho de dimetro 1D e comprimento L 1 ;

2fh = idem para dimetro D2 e comprimento L2; e

3fh = idem para dimetro 3D e comprimento 3L .

Hidrulica Maro/2013

54

Figura 51 - Conduto misto com 2 dimetros.

Usando a frmula genrica de perda de carga tem-se:

3m3

n

32m2

n

21m1

n

1eme

n

e

eme

n

ef3m3

n

3f2m2

n

2f1m1

n

1f

LD

QL

D

QL

D

QL

D

Q

LD

Qh;L

D

Qh;L

D

Qh;L

D

Qh

321

Para uma condio de mesma rugosidade,

321e

E como a vazo deve ser a mesma, condio de ser equivalente, a

equao simplifica-se:

m3

3

m2

2

m1

1

me

e

D

L

D

L

D

L

D

L

que a expresso que traduz a regra de Dupuit.

Normalmente, no dimensionamento de condutos, so encontrados

dimetros no comerciais (veja exerccio anterior). Como, por exemplo, cita-se

um caso: D = 133 mm. Se for escolhido o dimetro comercial 125 mm, este no

ir fornecer a vazo desejada ou a perda ultrapassar o limite de projeto. Se for

escolhido 150 mm, que o imediatamente superior, a vazo ser maior que a de

projeto ou a perda de carga ser menor que a projetada. Nesse caso, o

problema pode ser resolvido com a colocao de um registro para aumentar a

perda de carga total e consequentemente reduzir a vazo at o projetado.

Porm, esta sada no a mais econmica, pois o custo das tubulaes cresce

exponencialmente com o dimetro. Ento, a melhor soluo tcnica e

econmica fazer uma associao em srie, ou seja, colocar um trecho do

Hidrulica Maro/2013

55

conduto com o dimetro comercial imediatamente superior, e um trecho com o

dimetro comercial imediatamente inferior, de tal forma que este conduto misto

seja equivalente ao projetado. Porm, quais os comprimentos de cada dimetro?

Suponha que o comprimento total seja L e os comprimentos de cada trecho seja

1L e 2L , de tal forma que:

21 LLL e que 2f1ff hhh

Como genericamente L Jhf , tem-se:

2211 L JL JL J

Fazendo:

22211

2221

21

L JL JL JL J

L J)LL( JL J

LLL

Rearranjando

L )JJ(

)JJ(L)JJ( L)JJ( L

12

121122

em que:

L2 = comprimento do trecho de dimetro D2;

J = perda de carga unitria no conduto de dimetro no comercial;

J1 = perda de carga unitria no conduto de dimetro comercial D1;

J2 = perda de cara unitria no conduto de dimetro comercial D2; e

L = o comprimento total da canalizao.

6.4.2. Condutos em paralelos ou mltiplos

So os condutos que tm as extremidades comuns, ou seja, a presso

no incio de todos a mesma. Tambm a presso no final comum a todos os

condutos.

Hidrulica Maro/2013

56

Observa-se pela Figura 52 que no ponto A, a vazo total Q se bifurca nas

vazes .QeQ,Q 321 Na extremidade final, ponto B, estas vazes voltam a se

somar, voltando-se novamente vazo Q, portanto:

321 QQQQ

Pela equao genrica de perda de carga tem-se que: n

1m

f

L

D hQ

Figura 52 - Esquema de trs condutos em paralelo.

Partindo-se desta equao: n

1

33

m3f

n

1

22

m2f

n

1

11

m1f

n

1

ee

mef

L

D h

L

D h

L

D h

L

D h

Considerando a mesma rugosidade para todos os condutos e como fh

deve ser igual em todos, condio de ser equivalente, tem-se:

n1

3

nm

3

n1

2

nm

2

n1

1

nm

1

n1

e

nm

e

L

D

L

D

L

D

L

D

Se todos os comprimentos forem iguais, a equao acima simplifica-se:

nm

3n

m

2n

m

1n

m

e DDDD

Hidrulica Maro/2013

57

Generalizando:

k

1i

nm

in

m

e DD

Sendo K o nmero de condutos em paralelo.

Se tambm os dimetros forem iguais a D:

D KD

D KD

mn

e

nm

nm

e

A aplicao prtica deste tipo de conduto est na expanso de uma rea ou de

um projeto hidrulico, Por exemplo. Se houver expanso, basta projetar o

conduto para atender ao projeto global que dever ficar em paralelo.