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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo

CAPTULO 01JUROS SIMPLES e compostoINTRODUO A matemtica financeira est presente em nosso cotidiano de forma direta ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores sero os benefcios que teremos, tanto para ganhar dinheiro como para evitar perde-lo. Como por exemplo, na escolha do melhor financiamento de um bem ou onde fazer aplicaes financeiras. O estudo da Matemtica Financeira todo feito em funo do crescimento do capital (C) aplicado com o tempo. Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou dinheiro. O montante (M), ou seja, o valor final do capital aplicado dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que uma frao do capital inicial, qual damos o nome de juro. Juro (J) , portanto, a compensao financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o capital de outra. O juro cobrado em funo de um coeficiente, chamado taxa de juro (i), que dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um intervalo de tempo (ano, semestre, ms, etc), tomado como unidade, denominado perodo financeiro ou, abreviadamente perodo (t ou n). Existem duas formas de serem calculados os juros a cada perodo: calculando sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro caso esse crescimento se comporta como um progresso aritmtica (P.A.) e no segundo caso o montante aumenta segundo uma progresso geometrica (P.G.). De outra forma temos: Quando os juros so acrescentados, ao capital inicialmente aplicado, somente aps o trmino da aplicao, podemos dizer que estamos calculando juros simples. Quando os juros so incorporados ao capital aps cada perodo de tempo, criando assim um novo capital a cada perodo, dizemos que estamos fazendo uma capitalizao ou calculando juros compostos. Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rpido, pois seu aumento exponencial (juros compostos).

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CAPITAL (C): Aplicao, investimento, saldo inicial, valor inicial, valor atual, valor presente e principal. JUROS (J): Ganho, rendimento, excedente e compessao financeira.

TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de juros e percentual de juros.

TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de juros e percentual de juros.

TEMPO (t): Prazo, perodo, nmero de perodos e unidades de tempo.

LINK:Para compreender melhor esse assunto, de grande valia conhecer bem o conceito de porcentagem, pois uma ferramenta importante em tudo o que diz respeito a matemtica financeira. Lembre-se que x% de y, significa uma frao de y, ou seja, x partes de y para cada 100.x% de y x .y 100

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoJUROS SIMPLES

Na capitalizao simples, o juro produzido em vrios perodos financeiros constante em cada perodo e proporcional ao capital aplicado, sendo este coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros. CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTO: A importncia de R$ 600,00 aplicada numa instituio financeira taxa de 6% ao ms (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante aps esse tempo? No problema apresentado anteriormente, temos: capital aplicado .............. R$ 600,00 taxa % ao ms .............. 6% = 6/100 = 0,06 tempo em meses .......... 3 meses Temos que: Aps o 1 perodo, os juros sero: 0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00 Aps o 2 perodo, os juros sero: R$ 36,00 + R$ 36,00 = R$ 72,00 Aps o 3 perodo, os juros sero: R$ 72,00 + R$ 36,00 = R$ 108,00 Assim, o montante (capital mais rendimentos) ser de: R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00 Vamos generalizar, deduzindo uma frmula para calcular os juros simples.C capital aplicado i taxa % por perodo de tempo t nmero de perodos de tempo

Ento, temos Aps o 1 perodo, o total de juros ser: C.i; Aps o 2 perodo, o total de juros ser: C.i+C.i; Aps o 3 perodo, o total ser: C.i+C.i+C.i; Aps o t-simo perodo, o total de juros ser:

C.i + C.i + C.i + .... + C.i.t parcelas

Assim, a frmula que fornece o total de juros simples : J = C.i.t O montante final de: M=C+J

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro EvaristoVamos resolver novamente nosso problema, utilizando as frmulas citadas. Calculando os juros simples, temos: J = 600.0,06.3 = 108 O montante ser de: M = C + J = 600 + 108 = 708

LINK:Nas aplicaes financeiras, frequentemente os bancos comerciais adotam conveno diferente para contagem do prazo. O tempo pode ser contado de duas formas: ANO CIVIL: 365 dias ANO COMERCIAL: 360 dias JUROS COMERCIAL (ORDINRIOS) Adotam o ano comercial, ou seja, 30 dias para os meses e 360 dias para o ano. Nas aplicaes prticas e por conveno, quando nos referimos apenas ao nmero de meses, utilizaremos o ms comercial com 30 dias, de forma indiferente. JUROS EXATOS Adotam o ano civil e por isso deve ser contado o tempo exato. Fica implcito que deve ser usado o juro exato quando forem dadas as datas da negociao e do vencimento, portanto a contagem dos dias deve ser exata, inclusive considerando anos bissextos. importante saber que os bancos trabalham com juros ordinrios e tempo exato. Na contagem dos dias, em geral, exclui-se o primeiro e inclui-se o ltimo dia.

LINK:

Taxa Diria (ao dia) a.d. Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi. Taxa Mensal (ao ms) a.m. Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b. Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t. Taxa Quadrimestral (ao quadrimestre) a.q. Taxa Semestral (ao semestre) a.s. Taxa Anual (ao ano) a.a.

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SIMPLES X COMPOSTO O capital inicial (principal) pode crescer, como j sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto. Vamos ilustrar a diferena entre os crescimentos de um capital atravs juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 so empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos: JUROS SIMPLES ao longo do tempo, somente o principal rende juros. PRINCIPAL = 100 O N DE MESES MONTANTE SIMPLES 1 100 + 10%.100 = 110,00 2 110 + 10%.100 = 120,00 3 120 + 10%.100 = 130,00 4 130 + 10%.100 = 140,00 5 140 + 10%.100 = 150,00

As taxas equivalentes para cada perodo so proporcionais ao tempo.100+10%

110

+10

120

+10

130

+10

140

+20% +30% +40%

JUROS COMPOSTOS aps cada perodo, os juros so incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Tambm conhecido como "juros sobre juros". PRINCIPAL = 100 O N DE MESES MONTANTE COMPOSTO 1 100,00 + 10%.100,00 = 110,00 2 110,00 + 10%.110,00 = 121,00 3 121,00 + 10%.121,00 = 133,10 4 133,10 + 10%.133,10 = 146,41 5 146,41 + 10%.146,41 = 161,05

Nesse caso, as taxas equivalentes para cada perodo no so proporcionais.100+10%

110

+10%

121

+10%

133,1

+10%

146,41

+21% +33,1% +46,41%

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais "rpido". Isto poderia ser ilustrado graficamente como no grfico ao lado.

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Na prtica, as empresas, rgos governamentais e investidores M particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicaes financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples no se justifica em estudos econmicos.C 1

JUROS COMPOSTO

JUROS SIMPLES

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LINK:Para ganhar tempo em muitas questes, o que fundamental em concursos, observe que se um capital x aumenta 20%, ele ir para 120% de x. Dessa forma no necessrio fazer o desenvolvimento: x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x Observe os aumentos e descontos a seguir:

x x x x

+20% +50% +84% +136%

120%x 150%x 184%x 236%x

x x x x

20% 50% 84% +100%

80%x 50%x 16%x

x x x

+100% +200% +400% +800%

2x 3x 5x 9x

200%x x

R Reais I 01. Um capital de R$800 aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, com taxa de 5% a.m.. Irracio Determine o resgate e o rendimento dessa aplicao. nais Q 1 SOLUO: Racion Sem usar frmula, temos que: ais 5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 ms) Z Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos: Inteiros 12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao fim de 12 meses) N Portanto, o resgate (montante) ser Naturai R$ 800,00 + R$ 480,00 = R$ 1280,00 s

EXEMPLOS

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MATEMTICA FINANCEIRA | Pedro Evaristo2 SOLUO: Dados: C = 800 i = 5% a.m. t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo) Aplicando na frmula J = C.i.t, temos J = 800.5%.12 J = 800. 5 .12100

J = 480 (rendimento) Como M = C + J, ento M = 800 + 480 Portanto o resgate (montante) de 1280 reais. 02. Um capital de R$ 600,00, aplicado taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1.080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? SOLUO: 1080 600 = 480 (juros obtidos aps todo o perodo de aplicao) x% de 600 = 480 480 80 80% (porcentagem do rendimento)600 100

Como 80 : 20 = 4, temos: 4.20% = 80% Logo, o tempo de aplicao foi de 4 anos.

LINK:Generalizando, podemos escrever um problema de juros simples assim: Se um capital C, aplicado taxa i ao perodo, no sistema de juros simples, rende juros J, no fim de t perodos, ento: i.C = juros obtidos no fim de 1 perodo (i.C).t = juros obtidos no fim de t perodos J = C . i . t 03. Qual foi o capital que, aplicado taxa de juros simples de 1,5% ao ms, rendeu R$ 90,00 em um tr