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Lajes macias de concreto armado

Prof. Joo Dirceu N. Carvalho Maring, 2007

Sumrio

1 LAJES...........................................................................................................................1 1.1 Introduo .............................................................................................................1 1.2 Vo terico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) .............................1 1.3 Aes usuais em lajes de edifcios........................................................................2 1.4 Classificao .........................................................................................................3 1.5 Lajes Armadas em Duas Direes ........................................................................4 1.5.1 Distribuio das Cargas - Teoria das Grelhas ...............................................4 1.5.2 Determinao dos Momentos Fletores..........................................................6 1.5.3 Determinao das Reaes de Apoio - Lajes armadas em Cruz.................10 1.6 Lajes Armadas em Uma Direo ........................................................................16 1.6.1 Determinao dos esforos..........................................................................16 1.7 A altura til e a altura mnima ............................................................................18 1.7.1 Altura til mnima .......................................................................................21 1.8 Determinao das flechas em lajes e seus valores limites ..................................24 1.8.1 Flecha imediata (elstica)............................................................................26 1.8.2 Flecha diferida no tempo.............................................................................29 1.8.3 Exemplo de aplicao: determinar as alturas para as lajes abaixo..............30 1.9 Extenso e qualidade dos apoios. .......................................................................31 1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2 .....................................32 2 Organizao dos clculos e detalhamento da armadura. ............................................34 2.1 Dispositivos auxiliares de clculo.......................................................................34 2.2 Determinao dos esforos. ................................................................................35 2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (no compensados) ..........................39 2.2.2 Compensao dos momentos fletores .........................................................39 2.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.................................................41 2.3.1 Armaduras mnimas ....................................................................................42 2.4 Detalhes de Formas e armao de lajes ..............................................................47 2.5 Cisalhamento em lajes ........................................................................................50 3 Anexo 1 - Momentos de Engastamento Perfeito........................................................51

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu

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1 LAJES1.1 IntroduoAs placas de concreto, usualmente denominadas lajes, so elementos de superfcie plana (uma das dimenses muito menor que as outras duas) sujeitos principalmente a aes normais ao seu plano. Neste curso sero consideradas as lajes retangulares, submetidas a cargas uniformemente distribudas e/ou cargas de paredes, suportadas por vigas em todo o seu contorno. Posteriormente, em Estruturas em Concreto 2, sero estudadas lajes com outras formas (circular, triangular, em L, etc.), com uma ou duas bordas no vinculadas (caso das lajes de cobertura de garagens, das lajes de muros de arrimo etc.). As lajes podero ter suas bordas simplesmente apoiadas, engastadas, ou livres, e ser adotada a conveno abaixo, para representar cada uma destas vinculaes.

lado simplesmente apoiado lado perfeitamente engastado lado perfeitamente engastado borda livre, ou sem apoio

1.2 Vo terico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.)Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rgidos quanto translao vertical, o vo efetivo deve ser calculado pela seguinte expresso: ef = 0 + a1 + a2h t1 0 t2

0,5.t1 a1 0,3.h

0,5.t2 a2 0,3.h

sendo 0 o vo livre (distncia entre as faces internas dos apoios). Obs:. Para as lajes usual se tomar a distncia de centro a centro dos apoios (vigas) uma vez que a diferena, normalmente pequena (a exceo seria o caso das vigas de maior largura, as vigas de transio por exemplo).

DEC - CTC - UEM

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1.3 Aes usuais em lajes de edifcios.As cargas atuantes nas lajes so as previstas na NBR 6120 (1980). Essas cargas so aplicadas por metro quadrado de laje e podem ser permanentes ou acidentais conforme classificao dada por essa norma.Cargas acidentais ou de utilizao 1,0 m1,0 m 1,0 m

Revest. superior Concreto

1,0m

Revest. inferior

As cargas acidentais ou de utilizao so obtidas atravs da Tabela 2 da NBR 6120 - Valores mnimos das cargas verticais. As cargas permanentes em lajes de edifcios normalmente so constitudas pelo peso prprio da laje de concreto e pelo revestimento, alm do peso de paredes e outros elementos quando apoiados diretamente na laje.

Peso prprio da laje (por m2): 1,0 x 1,0 x hlaje x c Revestimeto (por m2): 0,6 a 1,0 kN/m2 (normalmente usa-se 0,75 0,80 kN/m2) Paredes: Lajes armadas em cruz peso total da parede dividido pela rea da laje

Exemplo: Sala de uma residncia com laje de 9,0 cm. pp = 0,09 x 25 = 2,25 kN/m2

revest. = 0,8 kN/m2 ac. = 1,5 kN/m2 Total = 4,55 kN/m2

Exemplo: Parede de tijolo furado com 15 cm de espessura e 2,6 m de altura. Ppar. = 0,15 x 2,6 x 1,0 x 13 = 5,07 kN/m

se tivermos 2,5 m de parede sobre uma laje macia armada em cruz com 3,5 x 4,0 m: ppar = 5,07 x 2,5 / (3,5 x 4,0) = 12,675 / 14,0 = 0,9 kN/m2.

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu 1.4 Classificao

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De acordo com a relao entre os vos, uma laje pode ser classificada como: Laje Armada em Uma Direo, quando a relao entre os lados for maior que 2, ou Laje Armada em Duas Direes (Armada em Cruz), quando a relao entre os lados for menor ou igual a 2. Vamos entender melhor esta classificao e porque o 2 como divisor, analisemos como se realiza a transferncia de cargas para os apoios, em uma grelha. A figura abaixo apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo uma de vos 1=2 e a outra com 3=22, ambas submetidas a uma carga concentrada P aplicada no cruzamento das vigas (n, cruzamento da longarina com a transversina).P 2 1 = 2 3 = 2 2 P

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Figura 1.1 Grelhas submetidas ao de uma carga concentrada.

Na grelha da esquerda todas as reaes so iguais a 1/4 da carga P enquanto na grelha da direita o clculo nos fornece 1/18 P para as reaes do lado maior e 8/18 P para as reaes do lado menor, ou seja, para os vo iguais h uma transferncia da carga na razo de 50% em cada direo e, para 3 = 22 aproximadamente 11% da carga transferida na direo do vo maior e 89% na direo do vo menor. medida que a relao entre os vos aumenta (3 >> 2) maior ser a transferncia de carga para os apoios do vo menor, ou seja, para uma relao de vos entre 1 e 2 tem-se uma transferncia bidirecional de cargas e para relao de vos maior do que 2 tende-se para uma transferncia unidirecional das cargas A transferncia bidirecional de cargas tpica dos elementos bidimensionais (as lajes) enquanto a transferncia unidirecional das cargas tpica dos elementos unidimensionais (as vigas). Sendo "r", a relao entre os vos, vamos convencionar:

r > 2 Laje armada em uma direo r 2 Lajes armada em duas direes (em Cruz)

DEC - CTC - UEM

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1.5 Lajes Armadas em Duas Direes 1.5.1 Distribuio das Cargas - Teoria das GrelhasO clculo aproximado e feito supondo-se a laje composta por uma srie de faixas de 1,0 m de largura, independentes entre si, submetidas a uma carga suposta uniformemente distribuda.Sendo "p" a carga por metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que parte desta carga "p" atua em uma direo e, a outra parte, na outra direo.

p = px + p y

1.1

A determinao dos quinhes (px e py ) feita admitindo-se a Teoria das Grelhas, a partir da hiptese de que a laje composta por vigas fictcias, independentes entre si, de 1,0 m de largura. Para a laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus quatro lados, conforme a figura abaixo, tem-se os seguintes valores para as flechas, em cada direo: Na figura abaixo foram adotados os eixos horizontal e vertical (x, y) posteriormente ser adotada uma conveno prpria para adot-los.

fx =py y y x x fx px fy

4 5 px l x . 384 EI

1.2 1.3

4 5 p yl y . fy = 384 EI

como se trata de uma grelha fx = f y4 4 px .lx = p y .l y

1.4 1.5

Figura 1.2 Vigas fictcias em uma laje armada em cruz.

e dessa forma obtm-se os quinhes de carga para as direes x e y:

px =

4 ly 4 4 lx + l y

p

py =

4 lx p 4 4 lx + l y

1.6

Estruturas em Concreto I Lajes macias de concreto armado Prof. Joo Dirceu

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No caso de Lajes Continuas Armadas em Cruz, o clculo dos quinhes de carga recai no caso das Lages isoladas, supondo que cada viga ou apoio interno funcione como engastamento perfeito, e cada viga ou apoio externo funcione como apoio simples. Mas preciso ter cuidado com esta explicao acima. Ela muito boa para em uma planta de forma determinar de imediato o tipo de laje, mas, preciso entender que a laje no est engastada na viga. Um painel de laje normalmente engastado em outro painel de laje, ou seja, a continuidade, o engastamen