Ondas e Meios ContnuosJ M Machado da SilvaCom a colaborao de:Jos Brochado Oliveira e Jos Monteiro MoreiraDepartamento de Fsica - Faculdade de CinciasUniversidade do PortoIntroduoEstasliesdestinam-seaalunosdosegundoanodecursosdeFsicaeQumica do Ensino Superior. O nvel de conhecimentos matemticos exigido o do primeiro ano das licenciaturas, mas com frequncia das disciplinas deAnlise Matemtica.Em alguns captulos introduziram-se, de uma forma sinttica, conhecimen-tos matemticos fundamentais para a compreenso dos assuntos versados.Ocontedodestas lies , obviamente, tratadoemmuitas evariadaspublicaes, reectindo nalguns casos, o modo como os assuntos so versadosna bibliograa; inclui-se, contudo, para alm do estudo das Vibraes e Ondas,doiscaptulossobreElasticidadeeFluidos. Cincoconjuntosdeproblemas,incluindo aplicaes de computao numrica,so sugeridos e as respectivasresolues so apresentadas, separadamente, no capitulo nal.Estasliesbeneciarambastantedasdiculdadesedvidaslevantadaspelos alunos.Um agradecimento profundo devido aos professores Jos Brochado Oliveirae Jos Monteiro Moreira pelas sugestes, aditamentos, crticas e reviso rigo-rosa do texto.Porto, 28 Fevereiro 2010indice1 Vibraes 11.1 Oscilador harmnico mecnico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Equao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Energia do oscilador harmnico mecnico. . . . . . . . . 21.1.3 Sobreposio, a uma dimenso, de duas oscilaes har-mnicas simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Sobreposiodeduasoscilaessimplescomamesmafrequncia e de direces ortogonais. . . . . . . . . . . . 61.1.5 Sobreposio den (n 1) osciladores harmnicos sim-ples com a mesma amplitude e diferenas de fase conse-cutivas iguais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Sobreposio den (n 1) osciladores harmnicos sim-ples de iguais amplitudes e fases aleatrias. . . . . . . . . 91.2 Oscilador harmnico com amortecimento . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Equao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Energia do oscilador com amortecimento. . . . . . . . . . 131.3 Oscilaes foradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Equao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Energia associada fora aplicada. . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Problemas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Osciladores acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.1 Modos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Energias expressas em funo das coordenadas normais. . 281.4.3 Srie e integral de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.4 Problemas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Ondas 392.1 Ondas transversais em cordas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.1 Energias cintica e potencial. . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.2 Impedncia caracterstica de uma corda . . . . . . . . . 432.1.3 Descontinuidade numa corda; alterao da densidade li-near de massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.4 Velocidade de grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.5 Ondas a duas dimenses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 Ondas longitudinais em barras homogneas e isotrpicas. . . . . 552.2.1 Equao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55ii2.2.2 Energia dos modos de vibrao. . . . . . . . . . . . . . . 582.2.3 Ondas sonoras num gs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Ondas electromagnticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.1 Ondas no vcuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.2 Intensidade da onda electromagntica. . . . . . . . . . . 652.3.3 Difraco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.4 Transmisso de energia electromagntica em meios limi-tados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.5 Problemas III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823 Elasticidade 843.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.1 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.2 Deformaes uniformes. Extenso e compresso . . . . . 853.1.3 Toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.4 Flexo de uma barra.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.1.5 Problemas IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984 Fluidos 1004.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.1 Hidrosttica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.2 Hidrodinmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.1.3 Problemas V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205 Respostas aos problemas. 1246 Apndices 1586.1 Fora quase-elstica bidimensional.Integrao da equao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . 1586.2 Oscilaes em circuitos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.2.1 Oscilador harmnico simples. . . . . . . . . . . . . . . . 1606.2.2 Oscilador harmnico com amortecimento . . . . . . . . . 1606.2.3 Osciladorharmnicocomamortecimentoaoqual estaplicada uma tenso elctricaV0 cos t. . . . . . . . . . . 1616.3 Estudo vectorial da sobreposio den (n 1) osciladores har-mnicossimplescomamesmaamplitudeediferenasdefaseconsecutivas iguais (v. pg. 8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.4 Estudo vectorial da sobreposio den (n 1) osciladores har-mnicos simples de iguais amplitudes e fases aleatrias (v. pg. 9).1646.5 Modos normais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.6 Mdulo de Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.7 Velocidade de som no ar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.8 Ondas de exo em meios elsticos homogneos e isotrpicos. . . 1716.9 Lei de Ampre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.10Densidade de energia. Propagao. . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.11Ondas electromagnticas em linhas bilares . . . . . . . . . . . 1776.12Ondas de mar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179iii6.12.1 Ondas a uma dimenso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.12.2 Ondas a duas dimenses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Bibliograa 184ivCaptulo 1Vibraes1.1 Oscilador harmnico mecnico1.1.1 Equao de movimento.Noosciladorharmnicosimplesaforaaplicadaproporcional aodesloca-mento da partcula relativamente sua posio de equilbrio [v. g. 1.1 a)].EstaFigura 1.1:Exemplos de osciladores harmnicos simples: a) massa sujeita a umafora quase-elstica, 20=k/m; b)pndulosimples,idealec)cubo auctuarnum udo. Os sistemasb) ec) so equivalentes aa), sendok =mg/l emb) ek = SLg [L> C] emc) .fora (fora elstica) tende a levar a partcula para a posio de equilbrio e, auma dimenso, tem a forma Fx= k x, sendo k a constante elstica (k > 0).A equao de movimento :m..x= k x,em que..x= d2x/dt2. A equao anterior pode-se escrever como..x + kmx = 0.(1.1)Designa-sefrequentementeestaforaporforaquase-elsticaporquenomundofsicoreal no h exacta proporcionalidade entre a fora e o deslocamento.Conhecida tambm por rigidez.As dimenses de k so [k] = MLT2/L = MT2e as dimenses de k/mso[k/m] = MT2/M= T2.1O cociente k/m o quadrado da frequncia angular prpria 0,0=_k/m; sendo 0= 2f0, emque f0 afrequnciaprpria, resultaf0= 1/(2)_k/m; o perodo T0= 1/f0correspondente ser portantoT0= 2_m/k.Asoluodaeq. (1.1)x=Acos (0t ), comosepodevericarporsubstituio;A e so constantes a determinar pelas condies iniciais.Asegundaderivadatemporal de x..x=A20 cos (0t ) =20x.Substituindo na eq. (1.1) tem-se 20x + (k/m) x 0 t, com0=_k/m.Pode-sefacilmentevericar que x =Asen(0t ) tambmsoluodaeq. (1.1).De uma maneira concisa podemos escreverx=Aei(0t) englobando assolues em cosseno e seno; notando que..x= A20(i2)ei(0t)= 20Aei(0t)= 20x, (1.2)i. e. x=Aei(0t) uma soluo da eq. (1.1); a soluo expressa em cossenoseraparterealdex, x=Re Aei(0t)=Acos (0t )eaexpressaemseno ser a parte imaginria dex,x = ImAei(0t)= Asen(0t ).A soluo Acos(0t) e as suas derivadas esto representadas na g. (1.2)1.1.2 Energia do oscilador harmnico mecnico.Neste exemplo em que se supe, idealmente, que no h perdas de energia, aenergia total,Etot,Etot= Ecin + Epot, (1.3)mantm-se constante.Ecin= (1/2) m.x2 a energia cintica eEpot=_x0kx

dx

= (1/2) kx2 aenergia potencial., tambm, habitual estudar o movimento no espao vectorial usando o con-ceito de fasor; fasor umvector bidimensional utilizado para representar uma vi-brao harmnica simples. Odeslocamento associado ao movimento harmnico sim-ples, x = Acos (0t ), corresponde projeco no eixo das abcissas do vectorx(t) = A[cos (0t ) i + sen(0t ) j], i.e. possvel representar uma oscilao de am-plitude mxima A e ngulo de fase usando um vector de magnitude A que roda no sentidodirecto com velocidade angular. O texto mostra como esta equivalncia pode ser trans-posta para o espao da varivel complexa.O deslocamento x pode ainda ser escrito, no espao da varivel complexa, de uma maneiramais compacta: x = AeitsendoA = Aei.OlivrodeNeedham[12] umaexcelentebaseparaousodavarivel complexaedacorrespondente representao vectorial._x0kx

dx

o trabalho realizado pelo sistema contra"a fora elstica exterior. O zeroda energia potencial escolhido parax = 0.2Figura 1.2: Valores do deslocamento, velocidade e acelerao em funo do tempo paraum oscilador harmnico; a fase igual a zero nesta representao.Pode-se facilmente vericar queEtot constante no tempo; com efeitodEtotdt=d(12m.x2)d.xd.xdt+d(12kx2)dxdxdt= (m..x +kx).x, e portanto (1.4)dEtotdt 0, t (v. eq. 1.1).Os valores mximos da energia cintica e potencial so respectivamenteEmaxcin= (12m.x2)max=12mA220[cos2(0t )]max=12mA220Emaxpot= (12kx2)max=12kA2[sen2(0t )]max=12kA2.A g. (1.3) representa os valores das energias (Ecin, Epot, Etot) para cadaposio da partcula de massam.Fora quase-elstica bidimensional.Se a nica fora que actua na partcula de massam da forma (v. g. 1.4)F= kr r = (x, y)a equao de movimento m..r +kr = 0. (1.5) equao vectorial (eq. 1.5) correspodem duas equaes escalaresm..x +kx = 0m..y+ky= 0Sendok=m20resultaqueosvaloresmximosdasduasenergiassoiguais; i.e. h,neste exemplo simples, total converso de energia cintica em energia potencial e vice-versa.3Figura 1.3: Energias cintica, potencial e total em funo do deslocamento x para umoscilador harmnico simples. Ecin = Epot ocorre nos pontosx = A/2.Figura 1.4: Oscilador harmnico bidimensional.cujas solues, por analogia com a soluo da eq. (1.1) sox = A1 cos (0t 1)y= A2 cos (0t 2);A1,A2,1 e2 so constantes a determinar pelas condies iniciais.A trajectria da partcula , no caso geral, uma elipse [v. mais adiante oestudo detalhado de oscilaes harmnicas ortogonais com a mesma frequncia(subseco 1.1.4, pg. 6)].A integrao da equao de movimento (eq. 1.5), sem a desdobrar em duasequaes escalares, estudada no Ap. 6.1.1.1.3 Sobreposio,aumadimenso,deduasoscilaesharmnicas simples.Se as componentes dos fasores associados aos deslocamentos forem_x1y1_ = A1_cos (t + 1)sen(t + 1)_e_x2y2_ = A2_cos (t +2)sen(t + 2)_aprojecododeslocamentototal segundooeixodos xsersimplesmentex = A1 cos (t +1) +A2 cos (t + 2). Este resultado tem uma representao4vectorial imediata, qual est associada uma soma de dois termos complexos(v. g.1.5 e eq. 1.6).Figura1.5: Oscilaoharmnicasimplesaolongodoeixoxresultantededuasos-cilaes com a mesma frequncia angular. A projeco da oscilao resultante no eixodosx x = Rcos (t +).x = Re( A1ei(t+1)+A2ei(t+2)) = Rcos (t + ). (1.6)Os valores deR e obtm-se facilmente do diagrama vectorial:R2= (A1 + A2 cos )2+ (A2 sen )2= A21 + A22 + 2A1A2 cos = A21 + A22 + 2A1A2 cos (21),tg =A1 sen 1 + A2 sen 2A1 cos 1 + A2 cos 2.Oscilaes simples de frequncias diferentes; batimentos.Um caso interessante o de duas oscilaes harmnicas simples com amplitudesiguais mas de frequncias diferentes:x1= Acos (1t + 1)x2= Acos (2t + 2) sendo, e.g.,2> 1.O deslocamento resultantex = x1 + x2 serx = x1 + x2= Acos (1t + 1) + Acos (2t + 2)= 2Acos_(2 + 1) t + 2 + 12_cos_(21) t + 212_.Consideremosocasoemque1=2=0; arepresentaogrcadexada g. (1.6). Se as frequncias so muito prximas uma da outra a frequnciadaondaresultante1 2; aamplitudedaondamoduladapelotermosinusoidal deamplitude 2Aefrequncia(2 1)/2, frequnciaquenestahiptese muito pequena. A oscilao da amplitude entre mximos e mnimos conhecida em acstica por batimento.Note que a frequncia dos mximos e dos mnimos (21)/2.5Figura 1.6: Sobreposio de duas oscilaes harmnicas simples de frequncias diferen-tes e da mesma amplitude. A curva a tracejado representa a modulao da amplitudeda onda resultante se a razo (2 +1)/(21) for um nmero inteiro.1.1.4 Sobreposio de duas oscilaes simples com a mesmafrequncia e de direces ortogonais.O movimento resultante de uma partcula em que a projeco do deslocamentosegundo o eixo dosx ey uma funo sinusoidal do tempo:x = A1 cos (t 1)y= A2 cos (t 2)obtm-se eliminando a varivelt das duas equaes anteriores. Este processoconduz a.xA1= cos t cos 1 + sent sen1yA2= cos t cos 2 + sent sen2,pelo que(xA1sen2yA2sen1)2+ (xA1cos 2yA2cos 1)2= sen2(21)de que resulta a equaox2A21+y2A222xyA1A2cos (21) = sen2(21). (1.7)A expresso (1.7) a equao geral de uma elipse.Casos partculares importantes:a)2 1=/2; os eixos principais da elipse so os eixos coordenadosx, y. A equao da elipse reduz-se ax2A21+y2A22= 1.sendo as dimenses dos eixos da elipse2A1 e2A2.SeA1= A2= A, a equao a de uma circunferncia de raioA:x2+ y2= A2.6b) 21= 0, 2, ..., 2n... (ninteiro); a elipse degenera numa recta quepassa pela origem e tem a inclinaoA2/A1:y=A2A1x.b) 21= , 3..., (2n+1)... (ninteiro); obtm-se tambm a equaode uma recta que passa pela origem mas com inclinao A2/A1:y= A2A1x.A g. (1.7) representa os deslocamentos resultantes paraA1=A2e diversosvaloresdadiferenadefase =2 1. Estasgurassodesignadasporguras de Lissajous.Figura1.7: ExemplosdegurasdeLissajousparadeslocamentosdeamplitudesefrequncias iguais e diferentes fases.Consideremos deslocamentos que tm frequncias diferentes nas direces doseixosx ey:x = A1 cos (1t + 1)y= A2 cos (2t + 2).Destas relaes obtm-se representaes grcasy= y(x) que dependem dosFigura 1.8: Figuras de Lissajous para frequncias1 ,= 2.valores deA1,A2,1,2,2 1. A g. (1.8) mostra exemplos de guras deLissajousparaA1=A2,2 1=/2eemque1umnmeronaturalimpar,2 um nmero natural par e [12[ = 1.Jules Antoine Lissajous, matemtico francs (4 Maro 1822 - 24 Junho 1880).71.1.5 Sobreposioden(n 1)osciladoresharmnicossimples comamesmaamplitudeediferenas defase consecutivas iguais.A soma que se pretende calcular n1

j=0Acos (t + j ) (t = 0) (1.8)que pode ser expressa comoR = Re_n1

j=0Aei(t+j )_;explicitando, toma a formaR = ReAeit+ Aei(t+)+ ... + Aei[t+(n1)];nos clculos intermdios que se seguem no se assinalar queR a parte realda soma; contudo o resultado pretendido ser a parte real do clculo nal. AresultanteR ser, portanto, a parte real da somaAeit[1 + z + z2+ ... + z(n1)], z= ei. (1.9)A soma, S, entre parntesis rectos uma progresso geomtrica de razoz e tem o valorS=1 z(n1).z1 z=1 zn1 z=1 ein1 ei.A soma (1.9) toma a formaAeitS= Aeit1 ein1 ei= Aeitein/2(ein/2ein/2)ei/2(ei/2ei/2)= Aei[t+(n1)/2].sen(n/2)sen(/2).A parte real deste complexo ser:Rcos (t +) = A sen(n/2)sen(/2)cos [t + (n 1)2], (1.10)resultado que calculado pelo mtodo vectorial no Ap. 6.3, pg (163).O mdulo da resultanteRdepende dee consequentemente de; Senfor muito elevado, torna-se muito pequeno e a amplitude mxima da somatende paraA= nA e a fase para = (n 1)2 n2.8Nestas condiessen(/2) 2eR = Asen(n/2)sen(/2)Asen/n= nAsen= A sen. (1.11)O valor deR em funo de est representado na g. (1.9).Figura 1.9: Representao grca da funoA( sen/). Os pontos de anulamentoocorrem para = m comm inteiro (positivo ou negativo).1.1.6 Sobreposioden(n 1)osciladoresharmnicossimples de iguais amplitudes e fases aleatrias.Consideremos, no espao bidimensional, n osciladores harmnicos simples coma mesma amplitudeA, de fases aleatriasp (0 p 2), medidas relativa-mente a um dos eixos coordenados (e. g. x).A resultanteR :R = A

peipe a respectiva normaR2ter o valorR2= A2_n

p=1eip.n

q=1eiq_ = A2__n

p=1ei0+n

p,q=1p=qei(pq)__= A2__n +n

p,q=1p=qei(pq). .S__= A2n__1 +1nn

p,q=1p=qei(pq)__.Este conceito conhecido em Fsica Estatstica por passeio aleatrio (em ingls randomwalk").S real (R2,A2en so reais).9Dada a aleatoriedade das fases de esperar que diferenas lm e (lm)tenham a mesma probabilidade, i.e. paran 11nn

p,q=1p=qei(pq) 0,resultandoR2= A2n R =nA. (1.12)Este mesmo resultado obtido por um processo vectorial no Ap. 6.4, pg 164.Estevalorvlidoparaacomposiodenosciladoresharmnicosdefasealeatria; se a fase fosse a mesma para todos os osciladores o valor da resultanteseriaRf= nA resultandoRRf=1n.1.2 Oscilador harmnico com amortecimento1.2.1 Equao de movimento.Se partcula de massam [v. g. 1.1 b)] estiver aplicada, alm da fora quase--elstica, umaforadeatrito, odeslocamentodapartculaalteradorela-tivamenteaodoosciladorharmnicosimples. Ag. (1.10)representaumaFigura 1.10: Oscilador (m, k) sujeito a fora de atrito.partcula de massam sujeita a uma fora quase-elstica , kx, e a uma forade atrito, b.x. A equao de movimento m..x= kx b.x, i. e.m..x +b.x +kx = 0. (1.13)Considera-se, neste exemplo, o atrito entre as superfcies de dois slidos em contacto eem movimento relativo (atrito cintico). Se as superfcies no estiverem em movimento, oatrito designado por atrito esttico. Outras manifestaes de atrito podem ser resumidasem:- atrito entre camadas vizinhas de um uido em movimento relativo (viscosidade, v. pg.103).- atrito de um uido que separa dois slidos (lubricao).- atritoresponsvelpelaresistnciadeumuidoaomovimentodeumslidocolocadonoseu interior.- atritointernoqueseopeaomovimentodascamadasdeumslidosujeitoaforasdedeformao.10A integrao desta equao pode ser feita por ensaio de solues; considere-sex = Ceat, sendo C e a constantes.Calculando a primeira e a segunda derivadase substituindo obtm-se a equaoCeat(ma2+ ba +k) = 0.Umadassoluespossiveis, Ceat=0, aquecorrespondeausnciademovimento (x = 0, t). As solues que descrevem o movimento da partculadecorrem das solues da equao caractersticama2+ba +k = 0, da qual seobtm os valores possveis dea:a = b2m _b24m2 km.A soluo geral da equao , portantox = Aeb2mt+

b24m2km

t+ Beb2mt

b24m2km

t,em que A e B so constantes arbitrrias a determinar pelas condies iniciais.A igualdade anterior pode ser expressa de uma forma mais concisa fazendo = b/m e=_b2/(4m2) k/m,x = e(/2) t(Ae t+Be t). (1.14)Os valores de condicionam o comportamento fsico da partcula; h trs casosdistintos:1. real b2/(4m2) k/m > 0 b > 2mk.2. = 0 b = 2mk.3. imaginrio b2/(4m2) k/m < 0 b < 2mk.No caso 1, designado por amortecimento forte, pode-se escreverx da formax = e(/2) t_C2 (e t+ e t) +D2 (e te t)_, oux = e(/2) t[C ch( t) + Dsh( t)] . (1.15)Se, como exemplo, considerarmos que as condies iniciais sot=0,x0=0,a equao toma a forma (v. g. 1.11)x = De(/2) t[sh( t)] .A partcula sujeita a um impulso (v0 ,=0, t=0) afasta-se da sua posio deequilbrio, x0, regressandoax0muitolentamenteesemoscilaremtornodex0.A derivada dx/dt De(/2) t[(/2) sh( t) +ch( t)];dx/dt anula-se quando t [e(/2) t0] e quando tgh( tmax) = 2/; note-se que 2< .11Figura 1.11: Amortecimento forte (t = 0, x0 = 0, v0> 0).Nocaso2, designadoporamortecimentocrtico, asoluodaequaoma2+ba+k =0, a =/2, dupla. Asoluodaequaodiferencialm..x+b.x+k=0, (equaodiferencialdesegundaordem)terduascons-tantes arbitrrias e no se reduzir apenas ax = Ce(/2) t(v. eq. 1.15 quando 0). A soluo neste caso (v. g. 1.12)x = (E + Ft)e(/2) t(E eFconstantes.)como se pode vericar por substituio na equao diferencial do movimento.Em amortecimento crtico o retorno posio de equilbrio faz-se num tempomnimo".Figura1.12: a)Amortecimentoforte(t =0, x0=0, v0>0); b)Amortecimentocrtico (t = 0, x0 = 0, v0> 0). Dependendo das condies iniciaisx0ev0, x(t) podeou no cruzar a origem. Tudo depende do balano entre as energias cintica e potencialiniciais e do sentido em que as condies iniciais so impostas.No caso 3, designado por amortecimento fraco ou pseudo-peridico amorte-cido,=1_(k/m) b2/(2m)2= i_(k/m) b2/(2m)2.Ag. (1.12) corresponde s condies iniciais t =0 x0=0,.x0= V0, i. e.x(t) =V0t e(/2) t; ovalormximododeslocamento, xmaxobtm-secalculandooins-tantet=tmaxemque.x=0;.x=V0e(/2) t(1 /2 t)=0 tmax=2/, resultandoxmax = V0te(/2) t= (2V0/)e1.12Figura 1.13: Deslocamento x(t) de um oscilador harmnico com amortecimento fraco,b < 2mk, sendo parat = 0, x0 = 0, v0> 0.Escrevendoa=_(k/m) b2/(2m)2, tem-se= i a, resultando para odeslocamentox(v. eq. 1.14)x = e/2 t(Aeia t+ Beia t). (1.16)Exprimindo as constantesA eB em constantesCe atravs das relaesA =C2ei; B=C2ei(B conjugada deA),obtm-sex = Ce(/2) t ei(a t+)+ ei(a t+)2, i.e. (1.17)x = Ce(/2) tcos (at + ). (1.18)1.2.2 Energia do oscilador com amortecimento.A soma das energias cintica e potencial,WW=12m.x2+ 12kx2.Arazodasamplitudes x(t) e x(t +T) r =ebT/(2m)(v. g. 1.13) (valorque, empartcular, omesmosex(t)formximo); ologaritmonatural destarazodesignadopordecrementologartmico, . SeoamortecimentoforpequenopodemosconsiderarqueT2_m/k, resultandoparaovalor=(b/2m) Tb/mk. Comoomovimentono rigorosamente peridico (a amplitude mxima decresce no tempo) designa-seTporpseudo-perodo.13Pode-sefacilmentevericar (v. eq.1.4, pg 3) que, havendoamortecimento, aquantidadeWvaria no tempo:dWdt= (m..x +kx).x, (1.19)i. e. (v. eq. 1.13)dWdt= b.x2 0. (1.20)Seb ,=0, aenergiaWdecrescenotempo,deixandodeserumaconstantecomo no movimento harmnico simples sem amortecimento. A diminuio deenergia no tempo traduz-se no decrscimo da amplitude da vibrao. A taxade amortecimento tanto maior quanto maior forb.Calculemos o valor deWno caso de amortecimento fraco,W=12mC2et_2+12a sen[2(at +)] +142cos [2(at + )]_.(1.21)O valor mdio, ,deWao longo de um elevado nmero de ciclosobtm-se notando que os termos em seno e cosseno descrevem, em cada ciclo,pequenas oscilaes de Weorespectivocontributoparaovalor mdio,portanto, desprezvel. Assim< W>=12 m2C2et. (1.22)O valor mdio< W> decresce por um factor1/e por cada1/ de acrscimodo tempo.A taxa de perda relativa do valor mdio da energia, t, 1< W> d < W>dt= . (1.23)Factor de qualidade, Q [I].muitasvezesnecessrioquanticaroamortecimento, usandoparaissoodesignado factor de qualidade,Q, denido porQ a . (1.24)A fora de amortecimento b.x ope-se"ao movimento; extrai, permanentemente, ener-gia do sistema, nunca a devolvendo.Note-se que2= k/m e quex2= C2etcos2(at +).x2= C2et_(2/4) cos2(at +) +2a sen2(at +) + (1/2) asen[2(at +)]_.14SeQ for muito elevado, i. e. Q 1 ( a) ea=_(k/m) b2/(2m)2_k/m = 0; nesta aproximao Q =0 .Note-se que o decrscimo do valor mdio relativo da energia por ciclo (v. eq. 1.23)T=2=2Q . (1.25)O factor de qualidade representa o nmero de radianos para o qual a energiamdia do sistema decai1/e do valor inicial.1.3 Oscilaes foradas.1.3.1 Equao de movimentoConsidere-seumapartculademassamsujeitasforasquase-elstica, deatrito e a uma fora exterior que varia sinusoidalmente como tempo,F =F0 cos t; F0aamplitudedaforaquetemadirecodoeixodosx e= 2/T a frequncia angular, sendoTo perodo.Figura1.14: Osciladormecnicosujeitosforasquase-elstica, deatritoeaumafora exteriorF0 cos t.A equao de movimento m..x +b.x +kx = F0 cos t. (1.26)A soluo desta equao a soma de dois termos; um a soluo da equaosem segundo membro (equao homogna associada),designado por integralgeral, e o outro termo o integral (ou soluo) partcular da equao completa.A soluo geral decai no tempo para zero, conforme se estudou anteriormente;t = (1/) < W>= W0et= W0e1[W0 =12 m2A2(v. eq. 1.22, pg 14)].O nmero de radianos correspondente , portanto,t = / = Q (v. eq. 1.25).A frequncia angular a frequncia da fora exterior e no a frequncia do osciladorsimples sem amortecimento, _k/m; para evitar utilizar o mesmo simbolo com signicadosdiferentes, usa-se0 = _k/m.15o integral partcular descrever, aps um certo intervalo de tempo, a evoluox(t); oestadodescritounicamenteporestetermosemincluir, portanto, otermo transitrio o denominado estado estacionrio.Caso a fora excitadora seja peridica (ou no) pode-se, como veremos adi-ante, decomp-la numa srie (integral) de termos sinusoidais discretos (contnu-os)usandoodesenvolvimentoemsrie(integral)deFourier. Arespostadosistema, por este ser linear, ser a soma (integral) das respostas a cada umadas excitaes consideradas na srie (integral) de Fourier.Para determinar a soluo partcular far-se- uso da varivel complexa,x = x0ei tcom x0= Aei;a soluo a determinar serx = Re x = Acos ( t ).SendoRe(m..x +b.x +kx) = m..x +b.x +kx e Re(F0ei t) = F0 cos t,a soluo ser, portanto, a parte real do integral partcular da equaom..x +b.x +kx = F0ei t. (1.27)Facilmente se obtm as seguintes igualdades:.x = ix0ei t= ix..x = 2x0ei t= 2x;substituindo na eq. (1.27) tem-se(2m +ib + k) x0= F0, (1.28)i. e.x0=F0i[b + i(mk/)]=F0/(i)Z0. (1.29)A quantidade Z0= b+i(mk/) designada por impedncia do sistema;pode ser expressa na formaZ0= Z0ei, sendoZ0=_b2+ (mk/)2(1.30)tg =mk/b=Xb; (1.31)X=m k/ designado habitualmente por reactncia. Por substituioobtm-se os seguintes resultados:x0=F0/Z0ei(/2)x = Re(x0ei t) = Re_F0/Z0ei( t/2)_ =F0/Z0cos ( t /2),No necessariamente a sinusoidal pura.16i. e.x =F0/Z0sen( t ) = x0 sen( t ); (1.32)e a velocidadev=.x,.x=F0Z0cos ( t ) = v0cos ( t ). (1.33)A amplitude da velocidadev0=F0Z0=F0_b2+ (mk/)2. (1.34) funo da frequncia (v. g. 1.15).Figura 1.15: Amplitude da velocidade do oscilador, sujeito a uma fora aplicada, emfuno da sua frequncia angular.Abaixasfrequncias, k/ m, aoscilaocontrolada"pelarigidezdosistema; a altas frequncias,m k/, a oscilao controlada"pela massa(inrcia)dosistema. frequncia0, frequnciaprpriadoosciladorsemamortecimento, a impedncia tem o valor mnimo, Z0=b, e a amplitude davelocidade tem o valor mximo(v. g. 1.15)vmax0=F0b.Quando a velocidade mxima, = 0, i.e. a velocidade e a fora esto emfase; quando a frequncia> 0 a fase > 0, i. e. a velocidade est atrasadarelativamente fora; se=_T0PdtT,(1.38)i.e. .< P> =F20Z0T_T0cos tcos (t ) dt=F20Z0T_T0_cos2t cos +12 sen(2t)sen_dt=F202Z0cos .(1.39)Estapotnciafornecidapelaforaaplicadadissipadapelaforadeatrito.Com efeito a potncia associada fora de atrito b.x ..x= b.x2= bF20Z20cos2(t ),a que corresponde o valor mdio< P>=12bF20Z20=12F20Z0cos ,(1.40)que exactamente o valor da energia mdia fornecida pela fora aplicada (ex-terior) ao sistema.Curva de absoro.Note-se que na expresso de < P>(v. eq. 1.40) se = 0,cos mximo e Z0 minimo, por ser X= 0(20= k/m); resulta, portanto, que < P> mximoe igual aF20/(2b).Ag. (1.19)representaovalormdiodapotnciaemfunodafrequncia da fora aplicada, . A agudeza"da curva de absoro depende daconstante de amortecimentob; frequncia0,Z0 reduz-se ab. Os mximosde absoro de potncia e da velocidade ocorrem mesma frequncia (0).O valor mdio o trabalho realizado num perodo a dividir pelo prprio perodo.Viu-se anteriormente que _T0sen(2t) dt = 0 e que1T_T0cos2t dt =12.Na pg. (16) determinou-se a tangente da diferena de fase: tg =X/b a que corres-pondem os valores cos = b/b2+X2= b/Z0 e sen = X/b2+X2= X/Z0.20Figura1.19: Potnciamdiafornecidapelaforaaplicadaemfunodafrequnciaangular.Factor de qualidade, Q [II].A denio do factor de qualidade Q para a absoro de energia no exacta-mente igual denio usada anteriormente, baseada no decrscimo temporalda energia. habitual, neste contexto, denirQ comoQ =021,salientando, deste modo, o aumento da agudeza"da curva para valores cres-centesdeQ. Asfrequncias 1e2soasfrequnciascorrespondentesametade da mdia da potncia absorbida,F20/(4b). A este valor correspondecos Z0=12b,i. e.bZ0.1Z0=12b,e portantoZ20= b2+ X2= 2b2X2= b2 X= mk/= b.H duas solues para,1 e2; se2> 1, tem-se_2mk/2= b1mk/1= b,(1.41)resultando(2221)m = (2 + 1)b, ou21=bm,21 geralmente designado por largura de banda.ValorestpicosdeQ: amortecedoresdeportas: 1/2; diapaso: 1000; cavidadesressonantesdemicro-ondasnabandados10 GHz: 5000; relgiosatmicos, cavidadesressonantes supercondutoras na banda da rdio frequncia, lasers de elevadoQ: 1011.21pelo queQ =0mb. (1.42)O factor de qualidade, Q, uma quantidade que est relacionada com a razodo valor mximo do deslocamento e do valor do deslocamento a = 0; a razodestes dois valores (v. eqs. 1.35 e 1.37)xmaxx=0=kab=m20b20_1 b2420m2_=0Q20_1 14Q2_=Q_1 14Q2_1/2,que se reduz, paraQ 1 axmaxx=0 Q_1 +18Q2_ Q, (1.43)i. e. ovalordodeslocamentoa 0amplicado, frequncia

r, pelofactorQ.Note-se que se [x[ 1, o desenvolvimento em srie de (1 x)1/2(1 x)1/2= 1 + 12 x + 38 x2+ 1 + 12 x se [x[ 1.221.3.3 Problemas I1. Considere um conjunto de oito osciladores em srie que geram sinais daformavn(t) =Acos (t + n4), (n=0,1,7)Determineanalticaegeometricamente",(a) a resultante destes oito osciladores.(b) a resultante se acrescentar um novo oscilador e(c) o nmero de osciladores necessrios para que o sinal resultante sejanulo.2. O movimento de uma partcula de massa m, sujeita aco de uma molade constantek descrito pelo vector de posior[x(t), y(t)]:_x(t) = Asen(t)y(t) = Bcos (t)(1.44)(a) Determine a trajectria da partcula,f(x, y) = 0.(b) Calcule as energias cintica e potencial; comente o valor obtido paraa soma das duas energias.(c) Determine o produto vectorial,S= (Sx, Sy, Sz) = r v, do vectorde posio da partcula pelo respectivo vector velocidade. Expliciteo valor de cada umas das componentes do produto vectorial e efectueoclculousandox(t)ey(t)(v. eq. 1.44); justiquesicamenteosvalores obtidos.(d) Qual o signicado geomtrico de12 Sz [v. questo (2c)]?3. Um oscilador harmnico mecnico representado por uma partcula demassam, coeciente de atritob e constante elsticak. Os valores deme k so, respectivamente 1 Kg e 4 Kg/s2. A partcula est em movimentoem regime crtico.(a) Calcule o coeciente de atrito.(b) O deslocamentox(t) da partcula dado porx(t) = 2 (1 + 2 t) e2 t. (1.45)Calcule o deslocamento e a velocidade no instante inicial (t = 0).Conrme, porinspecodaequao (1.45), oresultadoobtidonaalnea (3a).(c) Determine as energias cinticaEc(t) e potencialU(t) da partcula;obtenhaporclculodirectoaenergiadissipadaporatrito. Com-pare o valor da somaEc + Ucom a energia dissipada e comente oresultado.234. Considere um sistema livre caracterizado por m,k e b de valores m = 1,k = 2 e b = 4 (S.I.) e que no instante t = 0 tem a amplitude x(0) = 8 cme a velocidadev(0) = 2 cm/s.(a) Determine:i. As expresses dex(t) ev(t) e represente-as gracamente.ii. Asexpressesdasenergiascinticaepotencial emfunodavarivelt.iii. A energia dissipada no processo (t [0, +[)(b) Ser que o sistema atravessa alguma vez a posio de equilbrio?(c) Repita este mesmo problema com as condies iniciaisx(0) = 2 cme v(0) = 8 cm/s. Quais so as concluses que retira dos resultadosobtidos?5. Considere um sistemam, k, b livre cujos parmetros, no S.I., som = 1,k = 4 eb = 1. As condies iniciais sot = 0_x(0) = 0, 1v(0) = 0, 1.Determine:(a) As expresses de x(t) e v(t) e faa a respectiva representao grca.(b) O pseudo-perodo, decremento logartimico e factor de qualidade dosistema.(c) Repita os clculos da alnea anterior parab = 0, 1.(d) Admita que se aplica a este sistema uma fora exteriorF0 cos (t),F0=1(S.I.); faaarepresentaogrcadapotnciamdiaab-sorvida pelo sistema em funo da frequncia para os dois valoresdebconsideradosnasalneas(5b)e(5c). Obtenha, apartirdascurvas, valores numricos das larguras de banda e compare-os comosvalorestericos. Calculeosvaloresdosfactoresdequalidade.Relacione os valores mximos das curvasP1(), P2() e justiquedum outro modo o valor da respectiva razo.(e) A energia dissipada no intervalo [0, 5] e a energia total dissipada noprocesso.(f) A fraco da energia dissipada por pseudo-perodo.(g) O inverso da razo entre a amplitude do movimento num dado ins-tante (A) e a amplitude aps5 oscilaes completas.241.4 Osciladores acoplados.Aequaodemovimentodeumpndulosimples(v. g. 1.20)demassam,comprimentol, para valores do ngulo muito pequenos, i. e.sen tg =xl ,m..x= mgxl..x +glx = 0 (20=gl).Figura 1.20: Pndulo simples.Se se ligarem dois pndulos simples, idnticos, por uma mola de constanteelstica k e de massa desprezvel (v. g. 1.21), as equaes de movimento parao conjunto de pndulos e mola, soFigura 1.21: Pndulos acoplados.m..x1= mglx1k(x1x2)m..x2= mglx2k(x2x1),(1.46)Opndulosimplesidealmenteumamassamsuspensaporumoinextensvel edemassa desprezvel; o atrito no ponto de suspenso suposto nulo. Note-se que na aproxi-mao de pequenos ngulos cos 1 2/2. A equao de movimento (2alei de Newton)do pndulo m(l.2) = mg cos T , sendo T= [T [ (T a fora de tenso exercida peloo na massam).25que se podem escrever na forma seguinte..x1+20 x1= km(x1x2)..x2+20 x2= km(x2x1).(1.47)Estepardeequaestomaumaformamaissimplesseseescolheremduasnovas coordenadas,X1 eX2 do seguinte modoX1= x1 + x2X2= x1x2.Se se somarem e subtrairem as duas equaes (1.47), obtm-se,..X1+20 X1= 0..X2+(20 +2km) X2= 0.(1.48)1.4.1 Modos normaisAs equaes (1.47) deram origem, por mudana de coordenadas(x1,x2=X1,X2), aumnovosistema(v. eqs. 1.48)emquecadaumadasequaesexpressaapenasnumadasnovascoordenadas, i.e. asequaes(1.47) foram desacopladas.As frequncias angulares associadas s eqs. (1.48) so1= 02=_20 +2km, 2> 1.Estes dois estados de vibrao, descritos pelas eqs. (1.48) so designados pormodos normais do sistema (v. g. 1.22), 1 e 2 so as correspondentes frequn-cias dos modos de vibrao eX1 eX2 so as coordenadas normais. Estudare-mos este conceito de modos normais de um modo mais geral no apndice (6.5).SeascondiesiniciaisforemtaisqueX2=0, t, sacoordenadaX1Figura 1.22: Modos de vibrao prprios de dois pndulos ideais acoplados.eventualmentenonulaeosistemaserdescritopelaprimeiraequaodo26sistema de eqs.(1.48). SendoX2= 0 x1= x2, os pndulos oscilam em fase,ambos com a mesma frequncia1= 0. A mola no comprimida nem dis-tendida e os pndulos oscilam como se estivessem desacoplados com as mesmascondies iniciais [v. g. 1.22 a)].Se X1=0, t, x1= x2, ospndulososcilamemoposiodefase[v. g. 1.22 b)]; o movimento do sistema descrito pela segunda equao do sis-tema de eqs.(1.48).A frequncia maior porque a mola distendida/comprimi-da, actuando em cada um dos pndulos.No caso geral em que o sistema no est num dos modos de vibrao, assolues parax1 ex2 decorrem deX1= x1 + x2= X01 cos (1t + 1)X2= x1x2= X02 cos (2t + 2),i.e.x1=12[X01 cos (1t + 1) + X02 cos (2t + 2)]= Acos (1t + 1) + Bcos (2t + 2)x2=12[X01 cos (1t + 1) X02 cos (2t +2)]= Acos (1t + 1) Bcos (2t + 2), (A =12X01, B=12X02).Consideremos um exemplo, em que as condies iniciais so:t = 0_x1= 2x0; x2= 0.x1=.x2= 0;(1.49)substituindo estas condies iniciais nas equaes do deslocamento e das suasderivadas, obtm-se___Acos 1 + Bcos 2= 2x0Acos 1Bcos 2= 0A1 sen1 + B2 sen2= 0A1 sen1B2 sen2= 0.(1.50)AsoluodestesistemadeequaesA=B=x0e1=2=0aquecorrespondem os deslocamentosx1 ex2,x1= x0 cos 1t + x0 cos 2t = 2x0 cos (21)t2cos (2 + 1)t2x2= x0 cos 1t x0 cos 2t = 2x0 sen(21)t2sen(2 + 1)t2,deslocamentos que esto representados na g. (1.23).As curvas da g. (1.23) evidenciam a troca de energia potencial entre osdoispndulos. Pode-semostrarquequalquerposiodosistemadospn-dulos acoplados uma combinao das coordenadas normais; como exemplo,Note que a troca de energia potencial ou cintica completa s acontece se simultanea-menteasmassasdosdoispndulosforemiguaisesearazo(1 + 2)/(2 1)forumnmero inteiro; os pndulos individuais podem trocar energia, mas no h troca de energiaentre os modos normais de vibrao.27Figura 1.23: Deslocamentos dos pndulos acoplados [x1(0) = 2x0, x2(0) = 0,.x1 (0) == 0,.x2 (0) = 0].considere-seaposiox1=2x0ex2=0. Ag. (1.24)mostraclaramentecomo estes deslocamentos dos pndulos so obtidos por sobreposio das co-ordenadas normaisX1 eX2.Figura 1.24: Decomposio do estado inicial dos pndulos acoplados em estados nor-mais.1.4.2 Energias expressas em funo das coordenadas nor-mais.Aenergiacintica, EcexpressaemfunodascoordenadasnormaistemaformaEc=12 m2.X12+12 m2.X22; (1.51)Quandoosistemadepartculas oscilanumdos modos devibraoafrequnciadeoscilao dos pndulos a mesma,1 ou 2 conforme o modo; no caso geral a oscilao dospndulos acoplados expressa como uma combinao linear das oscilaes destes modos devibrao.A energia cintica do sistema Ec = (1/2) m.x12+(1/2) m.x22; substituindo.x1 e.x2 por.X1e por.X2 [.x1= (1/2)(.X1 +.X2),.x2= (1/2)(.X1 .X2)] resulta a eq. (1.51).28se se redenirem as coordenadas normais comoX1q=_m2 X1X2q=_m2 X2,as equaes de energia cintica e potencial tomam a formaEc=12.X21q+12.X22qEpot=1221X21q +1222X22qA energia total do sistema E= Ec + Epot=_12.X21q+1221X21q_+_12.X22q+1222X22q_. (1.52)Podem-seobterestesvaloresdaenergiacinticaepotencial expressosemfunodascoordenadas normais a partir das equaes das energias potencial e cintica para cada um dospndulos e da energia potencial elstica para a mola; note-se,por exemplo,que a energiapotencial elsticadamola(1/2) k (x1 x2)2equeaenergiapotencial decadaumdospndulos mg(l l cos ) mg[l l(1 2/2)] = m(g/l)x2/2 = m21x2/2.291.4.3 Srie e integral de Fourier.No estudo da srie e integral de Fourier vamos considerar funesde umasvarivel, bemcomportadas"e peridicas num intervalo2, i. e.f(x + 2m) = f(x)., m Z, em queZ o conjunto dos nmeros inteiros.A funo f(x) pode ser decomposta, no caso mais geral, numa soma innitade termos sen(nx) ecos (nx),f(x) =a02+ a1 cos (x) + a2 cos (2x) + +an cos (nx) + (1.53)+ b1 sen (x) + b2 sen (2x) + + bn sen (nx) +,(1.54)ouf(x) =a02+

n=1an cos (nx) +

n=1bn sen(nx); (1.55)asfunes sen(nx)ecos (nx)sousadasnestecontextoporsatisfazeremsseguintes condies de ortogonalidade e de normalizao,_cos (mx) sen(nx)dx = 0 m, n_cos (mx) cos (nx)dx = 0 m ,= n= 2 m = n = 0= m = n > 0_sen(mx) sen(nx)dx = 0 m ,= n= m = n > 0As condies anteriores permitem calcular os coecientes, a0, an e bn conformeest indicado a seguir,a0=1_f(x)dx [dobro do valor mdio da funof(x)]an=1_f(x) cos (nx)dx (1.56)bn=1_f(x) sen(nx)dxSignica que a funof(x) satisfaz s condies de Dirichlet (v. nota de rodap,pg 34).Recorde-se quesen(nx) e cos (nx) so funes peridicas; os valores dos coecientesanebn traduzem a importncia"de cada um dos harmnicos.Estes integrais so simples de calcular; como exemplo indica-se o procedimento adoptadono clculo do integral _ cos (mx) cos (mx)dx, paran = m._ cos (mx) cos (mx)dx = _ cos2(mx)dx;_cos2(mx)dx =_12[1 + cos (2mx)]dx =12_x + sin 2mx2m_= .Se a funo for parf(x) = f(x) bn = 0, n;se for imparf(x) = f(x) an = 0, n30Exemplo simplesConsidere-se a onda quadrada denida da formaf(x) = 1 0 x < = 0 x < 0f(x) = f(x + 2m), m ZFigura 1.25: Onda quadrada de perodo 2.Os coecientes soa0=1_f(x)dx =1_01dx =1 = 1an=1_01 cos (nx)dx=1_ sen(nx)n_0= 0 an= 0, nbn=1_01sen(nx)dx=1_cos (nx)n_0=1n[1 cos (n)]bn= 0 npar=2nnmpar.A srie que representaf(x) f(x) =12+2_sen(x) +sen(3x)3+sen(5x)5+_. (1.57)Para se apreciar a aproximao resultante, a g. (1.26) representa a soma dedoisetrstermosdasriedeFourier. AumentandoonmerodetermosaO domnio de integrao [0, ] porquef(x) nula em [, 0].A funof(x) pode ser transformada numa funo impar por translaco de 1/2 aolongo do eixo das ordenadas e da s conter termosa0 ebn ,= 0.31Figura1.26: Ajustedaondaquadradacomdois, 1/2 + (2/) sen(x), etrs, 1/2 +(2/) senx + (2/) sen(3x)/3, termos.Figura1.27: Ajustedaondaquadradacomdoistermos, 1/2 + (2/) sen(x), esetetermos, 1/2 + (2/) senx + (2/) sen(3x)/3 + + (2/) sen(11x)/11.qualidade do ajuste aumenta; os primeiros sete termos j comeam a sugerir aforma de onda quadrada (v. g. 1.27).Srie de Fourier expressa na varivel complexa.Sendocos (x) =12(eix+ eix)sen(x) =12i(eixeix),a srie de Fourier com a formada eq. (1.55) pode transformar-se, usandoasrelaes anteriores, na forma seguinte, mais compactaf(x) =a02+12

n=1an(einx+ einx) +12i

n=1bn(einxeinx)ouf(x) =

n=cneinx.Noteodecrscimodaamplitudedostermosdasriecomaordemdorespectivohar-mnico.32As condies de ortogonalidade anteriores tomam agora a forma_eimxeinxdx = 2, sem = n= 0, sem ,= ne os coecientes so obtidos da equaocn=12_einxf(x)dx. (1.58)Pode-se vericar facilmente quec0=12 a0cn=12 (anibn)cn=12 (an + ibn) (cn conjugado decn).Funes com periodicidade arbitrria.Considerou-se atrs quef(x) tinha um perodo2;pode-se generalizar parauma funo de perodo2L,i.e. f(x + 2Lm)=f(x), m Z. Deste modo afuno pode ser expressa na srief(x) =a02+

n=1_an cos_nxL_+ bn sen_nxL__(1.59)coma0=1L_LLf(x)dxan=1L_LLf(x) cos_nxL_dx (1.60)bn=1L_LLf(x) sen_nxL_dxe na forma exponencialf(x) =

n=cneinLx, (1.61)sendo os coecientes obtidos porcn=12L_+LLf(x) einLxdx. (1.62)Se a funof(x) for peridica no intervalo [L, L] em vez de o ser no intervalo [, ],pode-setransformarointervalodeintegraode[, ] para[L, L] procedendoaumasimples transformao de variveis: x = (/L) x

, i.e. dx = (/L) dx

, ou exprimindo x

emfuno de x, x

= (L/) x. Substituindo esta relao nas expresses (1.55) e (1.56) obtm-se(1.59) e (1.60) aps substituir a varivelx

porx.33Integral de Fourier.Se a funof(x) no for peridica no se pode exprimirf(x) numa srie deFourier mas,se forem vericadas certas condies de continuidade,a funopode ser decompostanumnmeroinnito, contnuo, de componentes deFourier".Se Ltender parainnito, ter-se-umafunoaperidica; neste casopode-se usar o formalismo anterior no limiteL . Se se designarkn=nLa funof(x) toma a formaf(x) =

n=cneiknx; (1.63)paraelevadosvaloresde L, asrieanteriorcontmumnmeroelevadodeondas em que oskn de ondas sucessivas diferem de valores muito pequenosk = kn+1kn=L.Para analisarmos a transformao da eq. (1.63) quandoL substitu-imos os coecientescn pela expresso (1.62):f(x) =

n=einxL12L_LLf(x)einxLdx=12

n=eiknxk_LLf(x)eiknxdxQuandoL e, consequentemente, k 0, aexpressolimitedestaequao f(x) =12_eikxdk_f(x)eikxdx,(1.64)podendo ser expressa na seguinte formaf(x) =_+c(k)eikxdk (1.65)c(k) =12_+f(x)eikxdx.(1.66)O processo descrito mais complexo que o apresentado neste texto.Se a funo f(x) for contnua em qualquer intervalo nito, se tiver um nmero nito demximos e mnimos e o integral_[f(x)[dx convergir, a expresso def(x) na forma daeq. (1.64) vlida (condies de Dirichlet [2]).Se a funo for uma funo do tempo,f(t), a transformada de Fourier toma a formaf(t) =_+c()eitd (1.67)c() =12_+f(t)eitdt. (1.68)34Exemplo.Determinar a representao,no integral complexo de Fourier,da funo,re-presentada, a cheio, na g. (1.28),f(x) =___0 < x < 01 0 x 10 1 < x < .(1.69)A eq. (1.66) permite calcular os coecientsc(k),Figura 1.28: Impulso quadrado espacial.c(k) =_+f(x)eikxdx =_10eikxdx = 1ik_eikx10=ik_eik1_= iei k/2k_ei k/2ei k/2_ = ei k/2 sen(k/2)k/2= ei k/2sinc(k/2).A representao de Fourier da funof(x) , portanto, (v. eq. 1.65)f(x) =i2_+1k_eik1_eikxdk =i2_+1k_eik(x1)eikx_dk=12_+eik(x1/2)sinc(k/2)dk.O factor exponencial, eik/2, resulta do facto da funo degrau no estar simetricamentecentrada na origem [i.e. resulta de uma translaco de12 da funo (a tracejado) no sentidopositivo do eixo das abcissas].351.4.4 Problemas II1. Determine a srie de Fourier correspondente funo sinusoidal do temporepresentada na g. (1.29).Figura 1.292. Determine o deslocamento x(t), em regime estacionrio, para um sistemamecnico caracterizado porm=2, b=1, k=2 (sistema S.I.) quandosujeito fora peridica representada na g. (1.30).Figura 1.303. (a) Determine a transformada de Fourier da funo pedestal delargura2"[v. g. 1.31(a)].(a) (b)Figura 1.31(b) Usandooresultadodaquesto (3a) e oteoremadatranslacodetermineatransformadadeFourier dafunorepresentadanag. [1.31(b)].(c) Faaasrepresentaesgrcasdastransformadascalculadasem(3a) e (3b).364. Considere o sistema de dois pndulos acoplados representados na g. (1.32).Figura 1.32(a) Escreva as equaes diferenciais de movimento do sistema.(b) Determineosmodosnormaisdevibrao(frequnciasprpriaseamplitudes correspondentes).(c) Mostre que as coordenadas normais so dadas pelas expresses:_X1=m1x1 + m2x2m2X2= x1x2.5. Calcule as frequncias prprias de vibrao do sistema mecnico repre-sentado na g. (1.33). As molas no exercem foras quando os pndulosesto na posio vertical.Figura 1.336. Considere o sistema representado na g. (1.34), designado habitualmentepor biela-manivela.O segmento de comprimentoR=CP(manivela) roda com velocidadeangularem torno do pontoC;o segmento de comprimentoL=PQ(barra de unio) est articulado no ponto Pao segmento CP; o extremoQdabarradeunioestligadobielaquedescreveummovimentorectilneo ao longo do eixo dosx (L > R).37Figura 1.34: .(a) Mostre quei. x = f() = Rcos + L_1 [(R/L) sen]21,( = t).ii. A funof() par e peridica de perodo2.iii. QuandoL a funof() converge paraRcos .(b) Usando um mtodo computacional apropriado e para = L/R > 1,determineoscoecientes andasriedeFourierdef()paraosseguintesvaloresde : =1, 1; =2e =4. Comenteosresultados obtidos.(c) Calcule analiticamente, usando um desenvolvimento em srie ade-quado, os referidos coecientesan para os casos da alnea anterior.Compare-os com os obtidos computacionalmente.(d) Para o caso limite = 1, mostre que os resultados computacionaiscoincidemcomosobtidosusandoodesenvolvimentoemsriedeFourierde f() =2 cos 1(R=1)nointervalo[/2, /2]ef()=0nointervalo[/2, 3/2]. Faaarepresentaogrcadef()para=1; 1, 01; 1, 001nointervalo[0, 2/3]; representeem detalhe o grco na vizinhana de/2. Comente os resultadosobtidos, nomeadamenteocomportamentofsicodabielaquando 1.38Captulo 2OndasEste captulo apresenta conceitos bsicos sobre propagao de ondas els-ticastransversaiselongitudinaisnummeiomaterialedeondastransversaiselectromagnticas no vazio.2.1 Ondas transversais em cordas.Considere-seumacorda", noabsolutamentergida, demassaporunidadede comprimento;a corda susceptivel de aumentar o seu comprimento deuma quantidade muito menor que o comprimento total. O efeito da gravidadesupostodesprezvel, oqueseconsegue, por exemplo, seacordaestivercolocada numa mesa muito polida e em que as foras de atrito sejam, portanto,desprezveis. Admite-sequeatenso T constanteaolongodacorda. Asondasdesignam-seportransversaisseodeslocamentodecadapartculadacorda for perpendicular direco de propagao.Vamos estudar o movimento de um elemento da corda, macroscopicamentepequeno, de comprimentods (v. g. 2.1). A corda no estado de equilbrio (es-Figura2.1: Cordademassaporunidadedecomprimento, sujeitaaumapequenadeformao.ticada") estcolocadaao longodo eixodosx e oelemento PQ temo valor39

P0Q0. Sey for o deslocamento deds, a equao de equilbrio dinmico Tsen( + d) Tsen = ds2yt2Tcos d = ds2yt2. (2.1)Note-se quetg=yxe que, portanto,d tg = [1 + tg2()]d =2yx2 dx,ou1cos2() d =2yx2 dx, i. e.cos d = cos3() 2yx2 dx.A eq. (2.1) toma a forma2yt2= Tcos3() 2yx2 xs= Tcos4() 2yx2(2.2)Se os deslocamentos forem sucientemente pequenos [(y/x)21] tem--secos 1, i.e. a eq. (2.2) pode ser escrita na forma2yx2=1v22yt2(2.3)em quev2= T ,sendov=_T / uma quantidade positiva. A soluo geral da eq. (2.3) y= y(x, t) = f(x vt) + g(x + vt),(2.4)em quefegso funes arbitrrias, obedecendo a certas condies de con-tinuidade.O cosseno e o seno do ngulo podem, tambm, ser expressos em funo das derivadasespaciais, cos = x/s, sen = y/s.Com efeito, cos = [1+tg2()]1= [1+(y/x)2]1; nesta aproximao [(y/x) 1],sendods = _dx2+dy2= dx_1 + (y/x)2, resultads dx, ou incluindo mais um termono desenvolvimento de _1 + (y/x)2,ds dx[1 + 12(y/x)2].[Da pg. 40] fcil vericar que qualquer das funes f(xvt) e g(x+vt) uma soluo daeq. (2.3); consideremos, como exemplo, a funo f(x vt); se se zer a mudana de varivel40Figura 2.2: Onda progressiva (t2> t1).Seanicasoluofor y =f(x vt), duas partculas teroomesmodeslocamento em instantes consecutivos (t1 e t2) ocupando as posies x1 e x2,se (v. g. 2.2)x1vt1= x2vt2, = x2x1= v(t2t1). = v=x2x1t2t1;a ondaf(x vt) propaga-se no sentido positivo do eixo dosx com velocidadevconservandoaforma; prova-seigualmentequeg(x + vt)umaondaquese propaga no sentido negativo do eixo dosx com a mesma velocidadev. Asoluo mais geral ser a sobreposio de duas ondas, eventualmente distintas,que se propagam em sentidos contrrios com a mesma velocidade.2.1.1 Energias cintica e potencial.A energia cintica o integral da contribuio de cada um dos elementosdxda corda,dEc=12(yt)2dm =12.y2dm =12.y2 dx,i. e.Ec=_L12.y2 dx, (2.5)sendoL o comprimento total da corda.A energia potencial U o trabalho elementar da fora T , T (dsdx), sendods dx o aumento de comprimento do elemento PQ; a energia potencial totaltem, portanto, o valorU=_T (dsdx) _T dx[1+12(yx)2]dx (v. nota de rodap , pg 40), (2.6)x vt = p o clculo das derivadas da eq. (2.3) conduz afx=fp

px=fp, por serpx= 1;a segunda derivada calcula-se de modo anlogo,2fx2=p(fx) px=2fp2 ; procede-se demodo semelhante no clculo das derivadas defrelativamente at; indica-se a seguir de ummodo sucinto os passos do clculo:ft=fp

pt=fp(v),2ft2=p(ft )pt=2fp2v2;por substituio verica-se quef uma soluo da eq. (2.3).41i.e.U=12T_ _yx_2dx. (2.7)Se a soluo da eq. (2.3) for uma das ondas,f(x vt) oug(x + vt), o clculodas energias cintica e potencial conduz ao resultadoEc=12_ v2(f )2dx =12_T (f )2dx =12T_(f )2dx (2.8)eU=12T_(f )2dx, (2.9)i. e. as energias cintica e potencial so iguais; obter-se-ia o mesmo resultadoparaaondag(x + vt). Esteresultadonosevericarnecessariamente, nocaso mais geral, para a ondaf(x vt) + g(x + vt).Condies iniciais.As funes f(xvt) e g(x+vt) so arbitrrias; se se impuserem condies ini-ciais esta arbitrariedade deixar de existir; sejamy(t=0)= (x) e.y(t=0)= (x).Destas condies iniciais resultaf(x) + g(x) = (x) (2.10)vf

(x) + vg

(x) = (x).Integrando a ltima destas duas equaes obtm-sef(x) + g(x) =1v_xconst(z)dz.(2.11)Obtm-se, desta equao e da eq. (2.10)f(x) =12_(x) 1v_xconst(z)dz_g(x) =12_(x) +1v_xconst(z)dz_.O deslocamentoy, t, , consequentementeSey = f(x vt) e se designarmosx vt porp, tem-seyt=dfdppt= f

. (v), em quef

=dfdp; sey = g(x +vt) obter-se-iayt=dgdqgt= g

. v, sendoq = x +vt. No caso geral,y =f(x vt) + g(x + vt), o resultado simplesmenteyt=f

. (v) + g

. v, equivalente ayt=fx(v) +gxv.Note-se que a derivada de um integral relativamente ao ndice superior (sendo varivel)igualaovalordafunointegrandaparaoargumentoigualaondicesuperior. Deummodo geral:ddx_h(x)g(x)F(t) dt = F (h(x)) dh(x)dxF (g(x)) dg(x)dx.42Figura 2.3: Corda qual est aplicada uma fora,F= F0eit, na origem.y=12_(x vt) + (x +vt) 1v_xvtconst(z)dz +1v_x+vtconst(z)dz_y=12_(x vt) + (x +vt) +1v_x+vtxvt(z)dz_.2.1.2 Impedncia caracterstica de uma cordaMuito do que se referir nesta seco aplica-se a vrios tipos de ondas: ondaselsticas (ondas acsticas), ondas de corrente e tenso elctrica e ondas electro-magnticas. A impedncia, a denir, ser uma quantidade real se o meio nofor dissipativo e ser determinada pelas energias elstica e inercial; se houverperdasaimpednciaconterumtermoimaginrio. Semprequeapropriadoutilizar-se- a varivel complexa. A corda apresenta uma impedncia" ondaque a percorre; no caso em estudo uma impedncia transversal,Z, denidaporZ=Fv,(2.12)sendoFe vaforaevelocidadetransversais, respectivamente. Asondastransversaisquepercorremacordasituadanoplanoxysodevidasaumafora sinusoidal, F=F0eit, (v. g. 2.3) com a direco, y, normal direcoda corda em repouso, x. No ponto de aplicao da fora, o equilbrio das forasconduz, t, igualdadeF0eit= Tsen Ttg= T (yx)x=0. (2.13)Sendoy= Aei(tkx),Impedncia um conceito que surge em diversas reas da Fsica e que traduz a respostado sistema a uma excitao exterior [oscilaes foradas (v. pg. 16), ondas sonoras (v. pg. 61),ondas electromagnticas (v. pg. 66) e linhas bilares (v. pg. 76)].v a velocidade da partcula; no deve ser confundida com a velocidade de propagaoda onda, i. e. v ,= v.Se [[ 1.[k] = L1; v. o signicado dek, pg 44.43resultam as seguintes igualdadesF0eit T (yx)x=0= ikT AeitA =F0ikT=F0i_vT_[k =v,(v. subseco 2.1.3)]y=F0i_vT_ei(tkx).A velocidade das partculas da corda,v, v= .y= F0_vT_ei(tkx). (2.14)A impedncia transversal ser, portanto,Z=F0v= Tv= v.2.1.3 Descontinuidadenumacorda; alteraodadensi-dade linear de massa.Consideremoscomosoluodaequaodemovimentoumaondasinusoidalapropagar-senosentidopositivodoeixodosx; oargumentodafunodeonda ter que ser da formax vt. Para garantir a adimensionalidade pode--se escrever o argumento na forma(t x/v); =2T,sendoTo perodotemporal da onda.A soluo ter a formay= Acos [(t xv) + ],sendo A e duas constantes a determinar pelas condies iniciais; as dimensesde/v so as do inverso de um comprimento. A quantidadek = /v desi-gnada por nmero de onda e escreve-se comok =2 , sendo o comprimentode onda (perodo espacial).No instante t = 0, a forma da corda y= Acos ( kx), representada nag. (2.4), onde se indica o valor do comprimento de onda.No pontox = 0 ligam-se duas cordas semi-innitas de densidades lineares1e 2ededeslocamentos, relativamenteposiodeequilbrio, y1e y2respectivamente (v. g. 2.5). Se a onda se iniciar na corda1 (deslocamentoy1)e se propagar, e.g. no sentido positivo do eixo dosx, ao atingir a juno das[] = T1.Torna-se muitas vezes conveniente,como j foi referido,escrevery=Re(Bei(tkx)),sendoB = Aei; uma outra forma, equivalente y = Cei(tkx)+Cei(tkx), sendoCoconjugado deCeB = 2C.Note-se quev = /k.44Figura 2.4: Representao no instante t = 0 da onda y = Acos (t kx +), ( ,= 0).Figura 2.5: Duas cordas, de densidades diferentes, ligadas no pontox = 0.duas cordas ser parcialmente reectida e parcialmente transmitida. Na formacomplexay1= yinc +yrefy2= ytran,em queyinc= A1ei(tk1x)yref= B1ei(t+k1x)ytran= A2ei(tk2x).A1podeserescolhido, semperdadegeneralidade, real(fasenula), masA2e B1poderosercomplexos(faseseventualmentenonulas). Astrson-dasteroamesmafrequncia, massendoasdensidadeslinearesdiferentesadvmv1 ,=v2, k1 ,=k2e1 ,=2. Aondareectidatem, evidentemente,omesmocomprimentode ondadaondaincidente (mesmomeio). Sendo= v1k1= v2k2, tem-se _T /1k1=_T /2k2 e portantok21k22=12. (2.15)Para determinarA2 e B1, i.e. para caracterizar as ondas reectida e transmi-tida usam-se as condies fronteira (as condies fsicas na juno), que nestecasosoascondiesnopontox=0. Havendocontinuidadefsica, tem-sey1= y2,t; as derivadas sero tambm iguais, i. e. y1/x = y2/x,t. Seestaltimacondionofossesatisfeitater-se-iaumaforanitaaplicadaNote-se que as primeiras derivadas teriam uma descontinuidade nita no pontox = 0.45num troo"innitesimal da corda, com a consequente acelerao innita. Asduas condies conduzem aA1 +B1= A2i(k1A1 + k1B1) = ik2A2,a que correspondem as solues,B1A1=k1k2k1 + k2;A2A1=2k1k1 + k2.(2.16)Comok1,k2eA1soreais, tambmsoreaisB1 e A2 (v. eq. 2.16). A2positivo para todos os valores de k1 e k2, o que signica que a onda transmitidaest sempre em fase com a onda incidente. B1 positivo se k1> k2 e negativo sek1< k2; a onda reectida est em fase com a onda incidente se esta se propagarno sentido da corda mais densa para a menos densa (k1> k2 1> 2) e emoposio de fase se1< 2.Dene-se coeciente de reexo, R, pela razo [B1/A1[2que neste exemploR =B1A12=_k1k2k1 + k2_2=_121 +2_2. (2.17)As eqs. (2.8) e(2.9) mostram que a energia da onda proporcional ao quadradoda sua amplitude, o que signica que R representa o cociente entre a energiareectida e a energia incidente.O coeciente de transmisso, T, denido pela razo entre a energia trans-mitidaeaenergiaincidente; se, comonestecaso, nohouverdissipaodeenergia T igual aT = 1 R = 412(1 +2)2.(2.18)Ondas estacionrias em cordas de comprimento nito.Se a corda tiver o comprimento L e estiver xa nos seus extremos, as condiesfronteira so, t,y= 0_x = 0x = L.(2.19)Se nas eqs. (2.16) multiplicarmos numeradores e denominadores das fraces por T /(2)obtm-seB1A1=1v12v21v1 +2v2=Z1Z2Z1 +Z2;A2A1=21v11v1 +2v2=2Z1Z1 +Z2.Asexpressesdoscoecientes Re Temfunodasimpednciassofacilmenteobti-das (v. nota de rodap , pg 46),R =_Z1Z2Z1 +Z2_2, T =4Z1Z2(Z1 +Z2)2.SeZ1=Z2 R = 0,a energia reectida nula;diz-se,neste caso,que h adaptao deimpedncias.46Estas condies fronteira esto associadas a ondas estacionrias, i. e. a ondascujoperl nosedesloca"noespao; podehaver, paraalmdospontosnafronteira, outros pontos da corda cujo deslocamento seja nulo, t. Isto sugereque se procurem solues do tipoX(x)T(t), produto de duas funes, umafuno apenas da coordenada espacial e outra funo apenas do tempo; destemodogarante-sequeascondiesfronteirasosatisfeitas t. Estemtododesignadopelomtododeseparaodevariveis. Sey(x, t) =X(x)T(t),resulta, por substituio na eq. (2.3)1Xd2Xdx2=1v2Td2Tdt2, (2.20)em que o primeiro membro s funo dex e o segundo s funo det. Paraque a igualdade seja satisfeita necessrio que qualquer dos dois membros daequaosejaigual aumaconstante, designadaporconstantedeseparao;seja a constante p2. ResultarX

+p2X= 0..T+v2p2T= 0;as solues destas equaes soX cos (px + ), T cos (vp t + ).O deslocamento y(x, t) , portanto, y(x, t) cos (px + ) cos (vp t + ), em quep = k,vp = vk = , i. e.y(x, t) = Acos (kx + )cos (t + ). (2.21)Sendoy(0, t) = 0, resultacos = 0 [= (2n + 1)2); n, inteiro], i.e.y(x, t) = Asen(kx)cos (t + ),e comoy(L, t) = 0 tem-sesen(kL) = 0 knL = n, oun=nvL.No confundir o signicado do smboloTemT(t) com o usado para designar o perodode uma funo.Estasequaessinusoidaissosoluesdaequaodiferencial (2.3); oscossenos, natotalidadeouemparte, podemser substituidos por senos easoluocompletaseriaasoma deste tipo de termos para diferentes valores dep. Esta soluo resulta da constantedeseparaoadoptada, p2, sernegativa; seaconstantefossepositiva, +p2, assoluesseriamX epx, T evpt. A soluo geral incluiria termos dos dois tipos, sinusoidaise exponenciais de expoente real (uma delas seria divergente o que no traduz uma situaofsica possvel).Relaes entre grandezas caractersticas das ondas: sendo afrequnciaangular,fa frequncia linear,To perodo,k o nmero de onda e o comprimento de onda, tem-se = 2f, f=1T , k =2.47Estas frequncias so as frequncias normais, conhecidas em Mecnica Qun- Ou modos de vi-brao normais.tica por frequncias prprias.A soluo para cada modo de vibrao yn(x, t) = An sen(knx)cos (nt + n) (2.22)Aos diferentes valores da frequncia n (n = 1,2,3...) esto associados di-ferentes valores do nmero de onda k e do comprimento de onda ,kn=n/L,n=2L/n,L=nn/2 , i. e. ocomprimentodacordaLummltiplo de meios comprimentos de onda (v. g. 2.6).Os pontos de deslocamento nulo (oscilao nula) so designados por nodose as posies respectivas sox = 0, Ln, 2Ln

(n 1)Ln, L.Ospontosdemximaamplitude, designadosporanti-nodosouventres,tm as coordenadas seguintes:x =L2n, 3L2n, 5L2n

(2n 1)L2n.Figura2.6: Modofundamental (n=1)eseisharmnicosnumacordadeextremosxos.Energia de cada modo de vibrao.Com base nas eqs. (2.5) e (2.7) podem-se exprimir as energias cintica e po-tencial de cada modo de vibrao da seguinte formaEc,n=_L012.yn2 dxUn=12T_L0_ynx_2dx.Os valores das derivadas.yn eynxso.yn= Ann sen(knx) sen(nt + n) = Ann sen(nvx) sen(nt + n)ynx= Ankn cos (knx) cos (nt + n) = Annvcos (nvx) cos (nt + n),48resultandoEc,n=12A2n 2nsen2(nt + n)_L0sen2(nvx) dxUn=12A2nT_nv_2cos2(nt + n)_L0cos2(nvx) dx.Sendo T = v2, obtm-seFigura 2.7: Contribuiesdaenergiacinticaepotencialdecadamododevibraopara a energia total.Ec,n=14A2n L2nsen2(nt + n)Un=14A2n L2ncos2(nt + n)pelo que a energia total,En, toma o valorEn= Ec,n +Un=14A2n L2n; (v. g. 2.7) (2.23)sendo a massa por unidade de comprimento, m= L a massa da corda,podendo a energia total ser escrita comoEn=14A2nm2n.2.1.4 Velocidade de grupo.Se duas ondas se propagam na direco x com a mesma amplitude mas com fre-quncias e nmeros de onda diferentes, a sobreposio das ondasAsen(1t k1x), Asen(2t k2x)conduz aumaondaresultante (v. g. 2.8)que apresenta aspectos semelhantes aos estudados na seco (1.1.3) relativa abatimentos (v. pg. 5),y= Asen(1t k1x) + Asen(2t k2x)y= 2Asen(0t k0x) cos( t k x) , (2.24)_L0sen2(nvx) dx =_L0cos2(nvx) dx =L2 .49em que0= (1 + 2)/2 k0= (k1 + k2)/2= (21)/2 k = (k2k1)/2A envolvente, formada por uma srie consecutiva de lbulos fechados (v. g. 2.8),Figura2.8: Evoluotemporaldasobreposiodeduasondasnumpontoxo, x=const..propaga-se com a velocidade vg=k; vg designada por velocidade de grupo.Se as componentes sinusoidais que formam a onda tiverem velocidades de fase,v= /k, diferentes, as componentes sinusoidais da onda no se propagaro emsincronismo e a onda deixar de manter a forma inicial. Diz-se, neste caso, queo meio dispersivo e a relao (k) a relao de disperso. Se a frequncia das componentes da onda tiver uma variao contnua, a velocidade de grupo o limitevg=limk0k=ddk. (2.25)A velocidade de grupo pode ser expressa em funo do comprimento de onda; sendok = 2/, tem-sevg= 122dd= 2dfd,emquefafrequncialinear. Pode-seigualmenteexprimir vgemfunodavelocidadedefaserepresentativadaonda(noexemplodeduasondasdefrequncias prximas1 2 ,v= /k),vg=ddk=d(vk)dk= v + kdvdk= v dvd. (2.26)Sedvd> 0 (caso mais frequente), a velocidade de grupo menor que a veloci-dade de fase, vg< v, (disperso normal"); sevg> va disperso designadapordispersoanmala"(v. g. 2.9). Aimportnciadavelocidadedegrupodecorredeseravelocidadedomximodaamplitudedogrupo, i. e. vgavelocidade de propagao da energia do grupo.50Velocidadedegrupodeumaondaden(n>2)componentessinu-soidais.O exemplo que se trata nesta seco o de n componentes sinusoidais em queas frequncias de componentes consecutivas diferem de um valor constante epequeno, i. e. j+1= j+. A resultante da sobreposio das n componentesR =n

j=1Acos [1t + (j 1) t];Sedesignarmos =.trecupera-seoresultadoobtidonasoma(6.13); ovalormdiodasfrequncias< >=1+12(n 1) earesultantedasobreposio das componentes sinusoidais A sen(n t/2)sen( t/2)cos (< >t). (2.27)A largura de banda = n e a resultante expressa em toma a formaR(t) = Rcos (< >t) = Asen( t/2)sen[ t/(2n)] cos (< >t). (2.28)Figura2.9: Dependncia(k)parameios: a)- semdisperso; b)- comdispersonormal;c) - com disperso anmala.Para valores elevados denR(t) = nA sen( t/2) t/2cos (< >t) = Asencos (< >t), (2.29)em queA= nA e = t/2. No instantet = 0,R(t) tem o valor mximoR(t=0)= A; decorrido um intervalo de tempot,t = 2/ = , (2.30)Elevadon valores pequenos desen[ t/(2n)], i.e. sen[ t/(2n)] t/(2n).Paran 1, , no instantet, metade da diferena de fase entre a primeira e a ltimacomponente da onda.51Figura2.10: Relaoentrea)alargura(incerteza)deumimpulsotemporal eb)alargura das componentes espectrais (frequncias) que o geram.R(t) anula-se (v. 2.10); o valor de2t a largura do impulso central; usualconsiderart como a medida da largura do impulso no suposto que nesteintervalo, centrado no ponto t = 0, que h maior contribuio para a deniodo impulso ([Asen[ > A/2). A relao det com a frequncia linear,f, ft = 1. (2.31)Estas igualdades devem ser consideradas como relaes entre as incertezas dasgrandezas,t ef,t; para realar isto mesmo escreve-seft 1 t 2, (2.32)sendo esta aproximao conhecida como teorema da largura de banda. Esteteorema signica que um impulso de duraot resulta da sobreposio decomponentes cujas frequncias estocontidas numintervalo ; parape-quenosvaloresdetmaiorointervalodefrequnciasnecessriasparaaboa denio do impulso; dito de um modo equivalente, se um sinal tem umaduraopequenanotemponopodeserobtidoapenasporsobreposiodeondas de elevadas frequncias mas tambm com a contribuio de termos debaixa frequncia.Em Mecnica Quntica existe uma relao anloga, princpio de incerteza de Heisenberg,que relaciona incertezas entre pares de variveis conjugadas.522.1.5 Ondas a duas dimenses.No estudo da propagao de ondas a duas dimenses (e.g. membranas) usa-seprocedimento anlogo ao do estudo das ondas a uma dimenso (v. na pg. 39oestudodasondasemcordas). Considera-seumamembranadeespessuraFigura 2.11: Elemento innitesimal de uma membrana de espessura desprezvel.desprezvel sujeitaaumaforaT; sesetraarumalinhadecomprimentounitrionasuasuperfcie, apartedamembranadeumdosladosexercenaoutra parte uma fora uniforme por unidade de comprimento T . A membranaemrepousoestsituadanumplanoparaleloaoplano(x, y); estudar-se-odeslocamentoz(x, y) perpendicular ao plano(x, y). A g. 2.11 representa umelemento innitesimal da membrana de ladosx ey; a componente segundoo eixo doszda resultante do par de foras que actuam nos lados

ABe

CD T y (2z/x2) x e a correspondente componente segundo o eixo doszdoslados

AD e

BC T x (2z/y2) y.A equao de movimento da membrana de massa por unidade de superfcie,, entoT2zx2 xy +T2zy2 xy= xy 2zt2,que se reduz a2zx2+2zy2=1T /2zt2,ou2zx2+2zy2=1v22zt2(2.33)sendo v a velocidade de propagao da onda na membrana. Um exemplo sim-ples e ilustrativo o de uma membrana rectangular de lados a e b (v. g. 2.12);na posio de equilbrio a membrana est situada no plano x y; o lado a est noeixo dos x e o lado b no eixo dos y. Supe-se que os quatro lados da membranaAdmitindoqueaforadagravidademuitomenor queaassociadatenso, i. e. g xy T2zx2xy, T2zy2xy.53Figura 2.12: Membrana no planoxy (ladosa eb) na congurao de repouso.esto xos, i.e. z=0,t, o que para a posio da membrana relativamenteaos eixos signicaz= 0(x = 0, x = a, y= 0, y= b).Parasedeterminar as solues estacionrias pode-seutilizar omtodode separao de variveis, i.e. ensaia-se a soluo z(x, y, t) = X(x)Y (y)T(t)(v. pg. 47).Substituindo z(x, y, t) = X(x)Y (y)T(t) na eq. (2.33) obtm-se a relaoX

X+Y

Y=1v2..TT ,que ter que ser vlida x, y, t o que implica queX

X= g2,Y

Y= h2,1v2..TT= k2,em queg, h, k so constantes reais eg2+ h2= k2. A soluo serz(x, y, t) = C cos (gx + )cos (hy + )cos (kvt + ).Da condio fronteira z= 0,se x = 0e se y= 0 resulta cos = 0 ecos = 0,i. e. C cos (gx + )cos (hy + ) C sen(gx) sen(hy). Dez= 0, sex = ae sey= b resulta, comm en inteiros positivos,g= m/a eh = n/b, i. e.z(x, y, t) = C sin (max)sen(nby)cos (kvt + ), (2.34)sendok2m,n=_m2a2+n2b2_2,em que(m, n) identicam o modo normal de vibrao.A frequnciaf= /(2) = kv/(2) fm,n=_m2a2+n2b2_

T4Asgs. (2.13), (2.14)e(2.15)mostramquatrodiferentesmodosdevibraotransversal deumamembrana[m=1, n=1; a) m=2, n=1,b) m=1,n = 2 em = 2, n = 2].54Figura 2.13: Modo de vibrao de uma membrana comm = 1, n = 1.(a)m = 2, n = 1 (b)m = 1, n = 2Figura 2.14: Modos de vibrao de uma membrana para diferentes valores dem en.2.2 Ondas longitudinais em barras homognease isotrpicas.O estudo que se faz nesta seco o da propagao de ondas longitudinaisem cilindros homogneos e isotrpicos de pequena seco recta e em gases.2.2.1 Equao de movimento.Se se aplicarem tenses nos extremos de um cilindro (v. g. 2.16), T =F/S,S =R2, ocilindrodeforma-se, aumentandodecomprimentoseasforasforem tractivas e diminuindo de comprimento se as foras forem compressivas.Sendo l a variao de comprimento, verica-se experimentalmente que a ten-so aplicada proporcional variao relativa de comprimentol/l0, caso astenses aplicadas no sejam muito elevadas (v. g. 6.9 no apndice 6.6, pg. 169),i. e.T = Ell0. (2.35)Esta relao conhecida por Lei de Hooke, sendo o coeciente de proporcio-nalidade,E, designado por mdulo de Young.Nas ondas longitudinais o deslocamento das partculas tem a mesma direco da propa-gao da onda.Conhecido tambm por mdulo elstico.55Figura2.15: Vibraotransversal deumamembranaquadrada; modonormal comm = 2, n = 2.Figura 2.16: Barra cilndrica sujeita a foras tractivas (F, F).Ag. (2.17)representaaprojeconoplanodopapel deumslidodeseco recta, S, uniforme.Um plano normal direco de propagao da onda,suposta ser a da geratriz do slido, e de abcissax, desloca-se para a posiox+; umoutro plano de abcissa x+x passar a ocupar a posiox + + x + .Figura 2.17: Elongao de um segmento de barra sujeito a uma fora tractiva.Se x for muito pequeno a tenso na seco P

ser T (P

) = Eextens aocompr. inicial,i. e.T (P

) = Elimx0x + xx= Ex. (2.36)Oelemento

P

Q

, , temamesmamassaqueoelemento PQ, S x; oelongamentodoelementodabarraxquandox 0caracterizadopelosvalores de no tempo, (t).A acelerao do elemento P

Q

(x 0) 2/t2;56por aplicao da equao fundamental da dinmica, tem-se (v. g. 2.17) S x2t2=_T (Q

) T (P

)_S (2.37)= STxx = E S2x2 x,resultando a equao de propagao de onda2x2=1v2 2t2, com v2=E . (2.38)A velocidade de propagao das ondas longitudinais na barra _E/.A soluo completa da eq. (2.38) s pode ser obtida se se conhecerem ascondies fronteira:1. Para um extremo livre a tenso nula, T = 0 /x = 0; o desloca-mento no ser em geral nulo.2. Para um extremo xo o deslocamento nulo=0; a tenso no serem geral nula.Se a barra tiver ambos os extremos livres e se analisarmos as ondas esta-cionrias do tipo(x, t) = Acos (px + ) cos (vpt + ),usam-seascondiesfronteirareferidasem(1.), /x=0; parax=0ex = L, obtm-se_x = 0 sen = 0 = 0.x = L sen(pL) = 0 pL = n,(2.39)resultando a seguinte famlia de soluesn(x, t) = An cos_nxL_cos_nvtL+n_. (2.40)A frequncia angular do modo normal de ordemn n= nv/L, sendo a fre-quncia linearfn= nv/(2L) [frequncia do modo fundamental: f1= v/(2L)].Os pontos de deslocamento nulo (nodos) sox =L2n, 3L2n, 5L2n, (2n 1)L2n.Os nodos da tenso ocorrem nas posies dos anti-nodos do deslocamento e/x = Ap sen(px +) cos (vpt +).Adoptando para umdos extremos a abcissa x = 0 e para o outro extremox = L (comprimento da barra).Os anti-nodos esto nas posiesx = 0, Ln, 2Ln,L.57Figura 2.18: Interdependncia de e/x (ou T ) em funo dex.vice--versa (v. g. 2.18).Se a barra estiver xa nos extremos, as condies fronteira so as referidasem (2.)x = 0x = L_(x, t) = 0, t, (2.41)eas solues soanlogas s das vibraes transversais dacordaxanosextremos (v. pg. 48),yn(x, t) = An sen(knx)cos (nt + n), (2.42)sendokn= n/L en= nv/L.2.2.2 Energia dos modos de vibrao.A energia cintica do elemento

P

Q

12 x.2; a energia cintica total ser,portantoEc=_L012.2S dx =12 S A2n_ cos (nt + n)t_2_L0sen2(knx)dx=14 S LA2n_ cos (nt + n)t_2=14 S LA2n2n sen2(nt + n). (2.43)A energia potencial,U, (v. eq. 2.6, pg. 41)U=_L012E_x_2S dx =12SEA2nk2n[cos (nt + n)]2_L0cos2(knx)dx=14SELA2nk2n[cos (nt + n)]2=14 S Lk2nv2A2n cos2(nt + n)(2.44)2.2.3 Ondas sonoras num gs.Considere-se o caso limite em que o gs contido num recipiente e sujeito a vi-braes de pequena amplitude no troca energia com o exterior, estando numestadotermodinamicamentereversveleadiabtico. NapropagaodeumaNote queEc +U=14SL2nA2n; k2nv2= 2n.58onda h variaes locais de presso e o seu efeito depender das caractersti-cas fsicas do gs;uma das constantes elsticas relevantes neste contexto omdulo de compressibilidade denido comoBa= dPdV/V= VdPdV;O valor deBdepender da transformao,se e.g. isotrmica ou adiabtica;estudar-se- o caso da transformao adiabtica, Ba.As transformaes adiab-ticas num gs so regidas pela equao de estadoPV= const., (2.45)sendo a razo dos calores especcos a presso e volume constantes, = cP/cV .Diferenciando a relao (2.45), tem-seVdP+PV1dV= 0,ouVdPdV= P= Ba.As variaes locais depresso, volumeedensidadedogs devidas pas-sagem da onda podem ser expressas,relativamente aos valores de equilbrio,da seguinte forma,P= P0 + p; P= P P0= p dP P= pV= V0 +v; V= V V0= v dVVVV0=vV0 = 0 + a,sendoP0,V0 e 0os valores, respectivamente, da presso, volume e densidadena ausncia da onda. A massa do gs pode ser expressa em funo dos valoresrelativos da variao do volume,v/V0= , e da densidade,a/0= r,m = 0V0= V= 0V0(1 + )(1 + r),resultando(1 + )(1 + r) =1. Oprodutormuitomenorquequalquerdos valores derepelo quer . Com base nestes resultados pode-seescreverBa pv/V0p = Ba= Bar.A equao de propagao da onda obtm-se seguindo procedimento idn-tico ao que conduziu eq. (2.38). Ao aumento relativo de comprimento /x(v. eq. 2.36) corresponde o aumento relativo de volume=vV0=limx0S S x=x(2.46)(comparar gs. 2.17 e 2.19).(1+)(1+r) = 1 (1++r+r) = 1, ou (+r+r) = 0; se [r[ [r[, [[r ;r, 103.59Figura 2.19: Segmento cilndrico de um gs antes e depois da passagem de uma ondasonora.A onda acstica responsvel pela diferena de presso emQ

eP

(v. odesenvolvimento equivalente ao adoptado para a barra slida),P0 + p(x) [P0 + p(x + x)];esta diferena igual a [p(x+x)p(x)] = pxx; a resultante das foras depresso aplicadas ao elemento

P

Q

igual massa do elemento multiplicadapela sua acelerao:Spxx = 0Sx 2t2 .Como (v. eq. 2.46)p = Ba= Bax, (2.47)resulta2x2=0Ba2t2 ;sendoBa/0= P/0, tem-se2x2=1u22t2; u2=P0, (2.48)em queu =P0 a velocidade de propagao da onda sonora.Se a onda sonora se propagar no sentido positivo do eixo dosx, a soluoda equao de movimento =maxei(tkx). A velocidade das partculas, avariao relativa de volume e o excesso de presso so respectivamente.= i; = ik= r; p = Bar = iBak.Adopta-se a letrau para identicar a velocidade das ondas sonoras;a letrav,nestecontexto, usada como sendo o acrscimo de volume local resultante da passagem da onda.60Para uma onda a propagar-se no sentido negativo do eixo dos x, estas grandezastm os valores= maxei(t+kx);.= i; = ik= r; p = Bar = iBak.Impedncia caracterstica.A presso sonora p proporcional a /x(v. eq. 2.47) e esta derivada espacial proporcional derivada temporal.; numa onda sonora, ter-se- portantop = Bax= Ba.u;resultando para a impedncia caractersticaF= Sp = SBau. =Z= SBau.A impedncia caracterstica por unidade de rea , portantoZ=Bau= 0u.Energias cintica e potencial da onda sonora.A energia cintica associada onda (elemento de volumeV0= Sx) Ec=120Sx.2=120.2V0.A respectiva energia potencial,U, calcula--se do modo seguinte:U= _p dV,sendodV avariaodevolumeV V0=v; vestrelacionadocom/x(v. eq. 2.46),v= V0/x = V0p0u2;substituindo em _p dV , obtm-seU=V00u2_p0p dp =12p20u2V0.Se = f(x ut), tem-se.= uf(x ut) = u/x (v. nota de rodap , pg 40).Z tambm designada por impedncia acstica.v. nota de rodap na pg. 61.Ver eq. (2.47); ter em conta queBa = P= u20.61A energia total do elemento de volume E= Ec + U=120_.2+p220u2_V0(2.49)e a densidade por unidade de volumeE= E/V0 E=120_.2+p220u2_; (2.50)para ondas planas toma a formaE= 0.2. (2.51)Se = Acos (t kx), a derivada temporal .= A sen(t kx).A densidade volmica de energia toma, ento, a formaE= A220 sen2(t kx)a que corresponde um valor mdio temporal em qualquer ponto do meio (i. e.x)< E>=1T_t+TtE dt = A220_1T_t+Ttsen2(t kx) dt_< E> =A2202.Intensidade da onda.A intensidade, I, da onda o valor mdio temporal da energia que se propagaporunidadedereaeporunidadedetempo. OvalordeIexpressoemfuno de < E> e da velocidade de propagao u [v. eq.(6.32), apndice 6.10,pg. 176]I=12A2u20.(2.52)Sendo p = 0u. [v. nota de rodap (), pg 62] a amplitude da onda sinusoidalde presso,Ap, Ap= 0uA e o quadradoA2p= 20u22A2; se se exprimir aintensidade da onda em funo da amplitude da onda de presso, obtm-seI=12A2p0u=12A2pZ, (2.53)valor que expresso em funo deApno depende nem da frequncia nem docomprimento de onda; depende apenas do quadrado da amplitude da onda depressoeinversamenteproporcionalimpednciadomeio, comocarac-terstico em expresses da intensidade de onda.Ondas da forma = f(x ut), para as quaisp = 0u..Umpadrodaintensidadedosom, vulgarmenteadoptado, I0=102Wm2; seaintensidade aumentar por um factor de 100 ou mais o efeito no ouvido humano de dor. Sea intensidade do som aumentar de um factor de 10 diz-se que aumentou de 1 B(Bel); o au-mento de 100,1= 1, 26 referido como o aumento de 1 dB(decibel); pessoas com qualidadesauditivas muito boas conseguem detectar variaes de intensidade de 1 dB.622.3 Ondas electromagnticas.As equaes relevantes paraoestudodas ondas electromagnticas soasequaes de Maxwell.Nesta introduo vamos considerar apenas ondas planas;Pode-se, por isso, apresentar conceitos elementares de electromagnetismo su-cientes para o estudo deste tipo de ondas sem ter que recorrer s equaes deMaxwell.2.3.1 Ondas no vcuo.Nas ondas electromagnticas planas os campos elctrico, E, e magntico, B,somutuamenteortogonaiseambososcampossonormaisdirecodepropagao da onda. Adopta-se para direco do campo elctrico, a do eixodosy,E= (0, E, 0), para a da induo do campo magntico, a do eixo dosz,B=(0, 0, B), e para a da propagao, a do eixo dosx(v. g. 2.20). Se hou-ver um campo magntico varivel no tempo induz-se uma fora electromotriz(f.e.m.), E , numcontornofechadoquecircundelinhasdeforadainduomagntica, de acordo com a lei de Faraday,E= t ,sendoE acirculaodovector campoelctrico, E, aolongodocontornofechado, C, onde induzida a f.e.m., E=_C Edl; o uxo da induomagntica B atravs de uma superfcie aberta"qualquer que se apoia no con-tornoC.Figura 2.20: Referencial adoptado paraE, Be sentido de propagao da onda elec-tromagntica plana.O estudo geral das ondas electromagnticas exige o uso das equaes de Maxwell o quedever ser feito num curso mais avanado.O uxo da induo magntica,B, atravs de uma superfcieS __S B.dS, em quedSndS, sendonovectorunitrionormal emcadapontosuperfcieSedSoelementoinnitesimal derea. Esteconceitodeuxoaplica-seaqualqueroutrocampovectorial.Note que o sentido de circulao convencionalmente adoptado o directo relativamente aoversorn.63Figura 2.21: Elementos de superfciexy exz usados para o clculo da circulaodo campo elctrico e induo magntica da onda electromgntica plana.SeocontornoCfor odag. [2.21a)] (permetro2x+2y), tem-se_C Edl =(E+ E)y Ey =E y, quepelalei deFaradayigual taxa de diminuio temporal do uxo da induo magntica atravs de umasuperfcie apoiada e limitada porC,E y= _Bt_xy,i.e. no limite limx0Ex=Ex,Ex= Bt. (2.54)Campos magnticos variveis no tempo, B(t), do origem a campos elctricosvariveis no espao, E(x). A circulao do vector induo magntica ao longodo contorno da g. [2.21 b)] _C Bdl =Bz (B + B)z= Bz, quesegundo a lei de Ampre igual ao produto da permeabilidade magntica pelacorrente de deslocamento que atravessa a superfcie apoiada e limitada por C,i. e.Bz= 0

0_Et_xz;no limite quandox 0, resultaBx= 0

0_Et_, (2.55)i.e. campos elctricos variveis no tempo, E(t), do origem a campos magnti-cos variveis no espao,B(x). Se se derivar a eq. (2.54) relativamente ax e aeq. (2.55) relativamente at e sendo as segundas derivadas2Bxt,2Btxiguais,no campo da continuidade, tem-se2Et2=10

0_2Ex2_. (2.56)Conceitos bsicos sobre a lei de Ampre esto referidos no apndice 6.9, pg. 175.Segundas derivadas contnuas.64Se se tivesse derivado a eq. (2.54) relativamente a t e a eq. (2.55) relativamente ax, obtinha-se uma equao anloga eq. (2.56) mas para a induo magntica,2Bt2=10

0_2Bx2_. (2.57)Os campos elctrico e magntico so regidos pela mesma equao de propa-gao, no dispersiva; a velocidade de propagao da onda no vazio , portantov=1

00.As equaes de ondaanteriores sosatisfeitas por funes arbitrriasf(x vt) e da resulta [v. nota de rodap (), pg 61] queEt= v_Ex_.Desta equao e da eq. (2.54) tem-seEt= v_Bt_.Integrandoestaequaoeamenosdetermosconstantes, independentesdotempo, obtm-se uma relao entre as grandezas do campo elctrico e da in-duo magntica,E= v B. (2.58)Se a onda electromagntica for monocromtica, i. e. E(x, t) = E0 cos (t kx)eB(x, t) = B0 cos (t kx + ), as derivadasE/x e B/t soEx= kE0 sen(t kx)Bt= B0 sen(t kx + );estas expresses so iguais t, x(v. eq. 2.54) o que implica que = 0, se a ondase propaga na direco positiva do eixo dos x e = , se se propaga na direconegativa do eixo dosx(v. g. 2.22). Note-se que o sentido de propagao daonda o do produto vectorialE B.2.3.2 Intensidade da onda electromagntica.Seguindooprocedimentoadoptadoparaasondassonoras, aintensidadedaonda electromagntica I(x, t) =< v u(x, t) >, (2.59)Sendo 0 = 8, 854 187 8171012Fm1e 0 = 4 107NA2(Hm1), resultav=2, 998 108ms1queavelocidadedaluznovazio; estefactolevouMaxwell aconcluir que a luz era de natureza electromagntica.65Figura 2.22: Campos E e B para os dois sentidos de propagao da onda electromag-ntica plana.em queu(x, t) a densidade volmica de energia electromagntica. da teoriado campo electromagntico resulta o seguinte valoru(x, t) (v. [5])u(x, t) =12 0E2+12B20(2.60)= 0E2=B20.(2.61)Se o campo elctrico da onda for sinusoidal [E(x, t) = E0 cos (t kx + )],o valor deI(x, t) resulta igual aI(x, t) =12v0E20.(2.62)De modo anlogo ao processo seguido para as ondas sonoras em que a intensi-dade da onda era expressa em funo da impedncia caracterstica,A2p/(2Z),pode-se denir impedncia da onda electromagntica da formaI=12E20Z,sendoZaimpednciacaractersticadaondaelectromagnticaporunidadede rea. Esta impedncia , no vcuo, igual aZ=1v0=_0

0= 376, 7 .(2.63)V. eq. (2.58).MedindoI(x, t),obtm-seE0 (v. eq. 2.62) eB0 (v. eq. 2.58); por exemplo e como apli-cao: a radiao proveniente do Sol na superfcie terrestre 1 kWm2a que correspondeo valor deE0,E0 = _2 103/(v0) = _2 107/(2, 998 8, 854) = 868 Vm1 1 kVm1;a amplitude da induo magntica E0/v 3 T.Estevalorvlido ; nateoriadocampoelectromagnticoprova-sequenovcuoE/H = 376, 7 , sendoB = 0H.662.3.3 DifracoPor Difraco entende-se um conjunto de fenmenos associados propagaode ondas, tais como deexo, espalhamento e interferncia de ondas que inci-dem em objectos ou fendas. Os obstculos situados no trajecto da onda sodesignados por centros de difraco. Os efeitos que se observam so resultadodas vibraes foradas dos centros de difraco com a consequente produode novas ondas e da sua sobreposio (resultante). O fenmeno de difracoFigura 2.23: Diagrama relativo ao estudo da difraco de ondas planas por duas fendas.inerenteatodootipodeondas; analisaremosapenasalgunsexemplosdedifraco de ondas electromagnticas.Considere-se um exemplo simples de dois centros de difraco (v. g. 2.23);ondas planas incidem perpendicularmente num ecr com duas fendas estreitasparalelas.O ecr no deixa passar as ondas ou porque absorvente ou porque totalmente reector. Pontos muito afastados do ecr recebem a radiao dasfendas na forma de ondas planas. O tipo de onda junto s fendas complexo,mas pode-se esperar que para fendas muito estreitas a radiao tenha simetriaaproximadamente cilindrica.Haverdirecesparaasquaisasondassesobrepemconstrutivamente(em fase) e direces em que o fazem destrutivamente (em oposio de fase;anulam-se se as amplitudes forem iguais). As condies referidas,i) Ondas planas incidentes;ii) Observao em dadas direces a distncias muito maiores qued,so conhecidas por condies de FraunhoferFendas de largura muito menor que o comprimento de onda da onda incidente.Distncias muito maiores qued (d, distncia entre fendas).As condies em que as ondas tm curvatura aprecivel e a distncia de observao dasondas difractadas comparvel ad, so designadas por condies de Fresnel.67Se a amplitude da onda emitida a partir da cada uma das fendas for bemrepresentada por uma funo de,Af(), a sobreposio das duas ondas empontos afastados das fendas representada pelo diagrama da g. (2.24), sendoFigura 2.24: Sobreposio de duas ondas de igual amplitude, desfasadas de.() = kd sen [k = inc2 ]. A resultante , portantoR() = 2Af()cos [12()]. (2.64)Aresultanteoprodutodeduasfunesde , R() =Af() (); Af()depende apenas das caractersticas das fendas e() depende da diferena defase resultante das distncias percorridas pelas ondas entre as fendas e o alvo.A intensidade das ondas proporcional aR2()=A2f() 2(). de es-perar que a amplitude da onda emitida pelas fendas no varie acentuadamentecom, i.e. a intensidade da onda vai depender fundamentalmente de2(),2() = 4 cos2[12kd sen]. [v. g. 2.25]Os mximos de2() ocorrem para as direces dadas por12kd sen = n = sen =2nkd= nd(n = 0, 1, 2,). (2.65)Para ngulos muito pequenos, sen , i. e. a separao angular entre riscasno alvo (mximos) aproximadamente uniforme, /d. Medindo o intervaloentre riscas pode-se determinar experimentalmente em funo de d, ou d emfuno de.Figura 2.25: Represntao da funo 2()/4 para um dado valor ded/. o ngulo formado pelas direces das ondas incidente e difractada (/2 /2).No caso de duas fendas, () = 2[ cos (12kd sen)[.Acresce que habitualmente os ngulos de observao so pequenos.68Sesetiver Nfendasregularmenteespaadas, oresultadoidnticoaoobtido na pg. (9),R() = Af()sen[12N()]sen[12()]= Af()(). (2.66)Figura2.26: Diagramadadifracodeumaondaplanapor Nfendasigualmenteespaadas.Sendo N inteiro, 2() toma o mesmo valor quando (1/2) () aumenta de, i. e. quandosen aumenta de/d.Se() 2n (n = 0, 1, 2,),sen[12N()]sen[12()]00;usando a regra de lHpitalsen[12N()]sen[12()]Ncos [12N()]cos [12()]= N,i.e.() = N, resultandoR() = NAf().As direces denidas por correspondem aos mximos principais"da gurade difraco; nestas direces h sobreposio completa, positiva, das radiaesValores de que satisfazem relao() = 2n (n = 0, 1, 2,).69das diferentes fendas. O valor de n identica a ordem do mximo. H N1 ze-rosentre mximos principais consecutivos, resultando que entre estes mxi-mos h mximos secundrios situados entre os zeros desen[(1/2) N()].Estesmximos tm menor amplitude do que a dos mximos principais (v. g. 2.27).UmmximosecundriocorrespondeaumdiagramaformadopelosvectoresFigura2.27: Somavectorial dasamplitudesdasondasparaN=3; a)Nomximoprincipal os vectores tm a mesma direco e sentido; b) Primeiro zero (os vectores tmresultante nula); c) Primeiro mximo secundrio.componentes que rodam, em conjunto, de um ngulo superior a2; a ampli-tuderesultante, portanto, menorqueNAfeaintensidadedosinal sendo R2() ser tambm menor queN2A2f.Se o nmero de fendas (N) aumentar, o mximo principal torna-se maisestreito. Entre o mximo principal e o zero mais prximo () varia de 2/N, oque corresponde a uma variao angular aproximada de(1/N) . (/d); o mximo est contido numngulo de valor aproximado2 . (1/N) . (/d) que vai decrescendo com o aumento deN. Os mximos sotanto mais localizados quanto mais estreitos forem, i. e. quanto maior forN,tornando mais precisa a medida de oud.Difraco por uma nica fenda de larguraL.Pode-se facilmente generalizar para uma fenda nica o resultado para N fendas,demodoanlogoaoqueseextrapoloude Nosciladoresdamesmaampli-tude para um nmero innito de osciladores (v. pg. 9); a fenda suposta terum nmero innito de osciladores em fase que radiam energia e cujas ondasatingem o alvo com fases eventualmente distintas se o ngulo ,= 0. A difer-Figura 2.28: Difraco de uma onda plana por uma nica fenda de larguraL.ena de fase da radiao proveniente do oscilador num extremo da fenda e oCorrespondentes aos zeros desen[(1/2) N()], i. e. quando (1/2) N() um mltiplointeiro de.70oscilador no outro extremo kLsenque designaremos por(); esta difer-ena de fase a soma das diferenas de fase dos osciladores consecutivos, queser igual ao limite deNquando se passa de um nmero elevado, mas dis-creto de osciladores, para um continuo de osciladores. Se se substituirN por() = kLsen na eq. (1.11) (usandoNem lugar den), tem-se (v. g. 1.9)R() = Asen[12()]12()= Rmaxsen[12()]12(). (2.67)A dependncia na direco da intensidade reduzida I=[R()/Rmax]2, re-presentada na g. (2.29).Figura 2.29: Representao grca da intensidade reduzida funo do parmetro() = Lsen/.Difraco porNfendas de larguraL e espaadas ded,L < d. possvel escrever a amplitude R() para a difraco de N fendas de largura Le espaadas de uma distncia d. Para isso combinam-se as eqs. (2.66) e (2.67),obtendo-se (v. g. 2.30)R() = Rmaxsen[12N()]sen[12()].sen[12()]12(), (2.68)sendo as diferenas de fase que surgem nas equaes anteriores dadas por() = kd sen() = kLsen.V. pg. 9.71Figura 2.30: Representao grca da intensidade reduzida correspondente difracoporNfendas de larguraL igualmente espaadas.A difraco e a teoria de Fourier. possvel,nalguns casos,resolver problemas de difraco em circunstnciasmais severas em termos, por exemplo, da regularidade da largura das fendas.Comoexemplo, porsermuitoinstrutivo, vai-seestudarocasoemquequera largura das fendas quer o seu espaamento no so regulares. Considere-seum ecr com fendas de perl indicado na g. (2.31); o ecr pode ser descritopor uma funo g(x), designada por funo abertura, que representa a larguradas fendas e a amplitude das fontes de radiao virtuais distnciax de umaorigem xa no ecr; o eixo dos x est no plano das fendas (v. g. 2.31).A funog(x)nulanaszonasopacasdoecrenasfendasterumvalorconstanterelacionadocomaamplitudedaondaincidente.Senopontoadoptadocomox=0 (zona opaca do ecr) considerarmos nula a fase,a amplitude da ondano alvo, (x, , t),resultante da onda emitida pela tira"entre os pontosx ex + dx (x, , t)dx = Re [g(x)ei(tkxsen)]; (2.69)a amplitude total da onda no alvo a soma das contribuies de todas as tirasque"formam o ecr,(, t) = Re [_g(x)eikxxdx eit] = Re [D()eit], (2.70)sendokx= k sen a componente do vectork segundo o eixo dosx,D(kx) =_g(x)eikxxdx.Se se comparar esta equao com a eq. (1.66) pode-se concluir que a amplitudecomplexa do sinal que incide no alvo proporcional transformada de Fourierda funo abertura".O exemplo mais simples o da funo abertura descrever uma nica fendade larguraL;se a funo abertura for normalizada amplitudeA0e estiverlimitada pelos pontosx = (1/2) L ex = +(1/2) L pode ser escrita na forma72Figura 2.31: Perl correspondente ao das fendas de difraco que no tm nem larguraconstante nem esto regularmente espaadas.g(x) = A0/L [x[ 12L,sendoA0 uma constante proporcional amplitude da onda incidente no ecr.Facilmente se obtmD(kx) =A0L_L/2L/2eikxxdx = A0__sen(12kxL)12kxL__ = A0 sinc(12kxL). (2.71)Por simples comparao verica-se queD(kx) igual aR()(v. eq. 2.67) e queA0 a amplitudeRmax.Difraco por uma fenda larga e o princpio de incerteza de Heisenberg.O princpio de incerteza de Heisenberg na Mecnica Quntica arma que duasvariveis conjugadas,tais como posio e quantidade de movimento,energiae tempo, etc., nopodemserdeterminadas, simultaneamente, comabsolutapreciso.Considere-se um feixe de fotes descritos por funes de densidade deprobabilidade de posio,fx, e de quantidade de movimento,fp. A incertezana posio e na quantidade de movimento, expressas pelos respectivos desviospadro (x ep), esto relacionadas da seguinte forma:xp /2.(2.72)Para um feixe de fotes que atravessam a fenda de larguraL tem-sex = L. (2.73)Antesdeincidiremnafendaanicacomponentenonulaquerdodesloca-mentoquerdavelocidadeacomponentesegundooeixodos z; depoisdeO sinal de igualdade corresponde ao caso da funo de probabilidade ser do tipo gaus-siano; aconstantedePlanckreduzida, =h/(2), sendohaconstantedePlanck,h = 6, 6262 . 1034J.s.73emergirem da fenda os fotes tm tambm componentes destas duas quanti-dades segundo o eixo dos x. A densidade de probabilidade para a componentevxdadapelacurvadeintensidaderepresentadanag. (2.32). Usaremos,Figura 2.32: Densidade de probabilidade para a componente vx da velocidade de fotesque atravessam uma fenda de larguraL.como critrio, o primeiro mnimo para denir a incerteza da velocidade,vx= v sen1, (2.74)em quev a velocidade da luz e(L/) sen1= (v. eq. 2.67). (2.75)A incerteza na quantidade de movimento , portanto,px= mv sen1, (2.76)sendom a massa do foto. Pode-se reescrever a equao anterior usando arelao de Brogliep = h/px=h sen1. (2.77)