Apontamento 2013-13

JURO SIMPLES E JURO COMPOSTO

Juro. Juro simples. Juro composto.

Descrição breve

O juro é a retribuição devida a quem cede temporariamente um capital. O juro calculado

com base no método dito simples é proporcional à extensão do prazo da cedência e ao

valor do capital inicial. O cálculo do juro com base no método dito composto define

uma relação não linear entre o valor do juro e a extensão do prazo da cedência. O

método simples é usado em empréstmos cujo prazo não excede em geral um ano.

JURO

Certas trocas financeiras tomam a forma duma transferência temporária da propriedade

dum ativo e duma cedência do seu uso: São os chamados contratos de mútuo ou mútuos.

Num mútuo, o ativo é cedido pelo proprietário por um certo período de tempo ao fim do

qual lhe deve ser restituído num outro tanto de igual género e qualidade juntamente com

a retribuição acordada. O ativo cedido é o capital do mútuo. A parte a quem o capital é

cedido temporariamente é o devedor (Lat. debitor). A parte a quem pertence o capital

cedido inicialmente é o credor (Lat. creditor). O juro é a renda ou retribuição devida ao

credor pelo uso do seu capital. O período de tempo da cedência do capital é o prazo do

mútuo. O capital e o juro não são necessariamente medidos em termos duma mesma

mercadoria; aqui tratamos sobretudo de situações em que são medidos em unidades

monetárias duma mesma moeda, podendo o capital ser também chamado principal.1

Se faz favor INCLUIR AQUI: Figura 13-1

Juro simples.

A cedência temporária dum capital em dinheiro pode tomar a forma dum empréstimo,

investimento, ou depósito. Suponha que eu fiz a aplicação de (–) 1.000,00 euros num

depósito a prazo no meu banco há um ano. Hoje, volto ao banco para proceder à

liquidação do depósito. Nesta troca financeira, eu sou o credor ou depositante, enquanto

o banco é o devedor ou depositário. O banco tem a obrigação de restituir a quantia

depositada há um ano e a de pagar o juro acordado pelo uso que fez do meu capital no

último ano. Foi-me prometido receber (+) 1.040,00 euros i.e. 1.000,00 euros relativos à

restituição do capital, mais 40,00 euros em razão do juro acordado.

1 Aqui não há risco de incumprimento: O devedor restitui sempre o valor total do capital, tal como efetua

o pagamento do juro acordado atempadamente. Quando tal não acontece, o credor deve esperar obter em

princípio um juro maior. Este juro adicional é chamado prémio de risco: o juro adicional é a retribuição

adicional pelo risco acrescido.

[ 2 ]

A capitalização dum valor em dinheiro é este processo da sua transformação ao fim

dum certo período de tempo num valor geralmente maior em razão tão-só do seu uso

produtivo. O juro é o incremento de valor dum capital ao fim dum certo prazo. A

variável central dum qualquer processo de capitalização é o tempo. O incremento de

valor de uma unidade de capital (medida em euros, dólares, ou ienes), ao fim de uma

unidade de tempo (v.g. um dia, um mês, ou um ano) é a taxa unitária do juro ou

simplesmente taxa de juro. A taxa de juro representa assim o custo do empréstimo dum

capital unitário, ou o retorno da aplicação ou investimento dum capital unitário. No

exemplo do meu depósito, o valor do juro pago pelo depositário (v.g. o banco) por cada

euro do capital inicial é a taxa de juro do depósito: 40/1.000 = 0,040 ou 4 por cento.

Uma vez conhecidos os valores do capital inicial e da taxa de juro, o cálculo do juro

depende só do conhecimento do prazo.

JURO SIMPLES

Há vários métodos de cálculo do juro dum empréstimo, investimento, ou depósito. O

método mais simples faz uso de três variáveis: o capital inicial, a taxa de juro, e o prazo

da cedência temporária do capital. Vamos retomar o exemplo do depósito com o prazo

de um ano mas em que o capital é agora só de uma unidade, ou um euro. O prazo do

depósito é o número t de unidades de tempo que medeiam entre a data t = 0 da

constituição do depósito e o vencimento do depósito uma unidade de tempo depois. A

unidade de tempo usada aqui é o ano e por isso tem-se o vencimento do depósito na data

t = 1. O capital unitário é representado pelo valor X(0) = 1,00 euro, a quantia devida ao

banco (o devedor) na data da constituição do depósito.

O juro J(0, 1) relativo ao período de tempo (0, 1) ficou acordado em 0,040 euros ou 4

cêntimos de um euro. No final do ano, o saldo da conta do depósito a prazo é igual a

1,040 euros. A unidade de tempo ao fim da qual o juro se diz produzido ou formado, é o

período de formação do juro ou período de contagem do juro. O período de contagem

do juro pode ser diário, mensal, ou anual. Neste exemplo, o período de contagem do

juro é anual e coincide com o prazo inicial do depósito. O valor capitalizado da

aplicação de um euro é o valor final X(1) = 1,040 euros do processo de capitalização.

040,1040,000,1)1,0()0()1( JXX euros.

O juro )1,0(J também pode ser representado através duma proporção r(0, 1) do capital.

040,100,1100

400,1)0()1,0()0()1( XrXX euros.

A proporção r(0, 1) é a taxa anual do juro relativa ao período de um ano: É o

incremento de valor de cada unidade de capital no fim do período de contagem do juro.

[ 3 ]

Esta taxa anual do juro é também uma taxa periódica do juro relativa ao prazo (0, 1) de

um ano: É o incremento de valor duma unidade de capital no fim do prazo do processo

de capitalização. O juro formado num processo de capitalização cujo prazo é igual ao

período de contagem do juro, é um juro simples. O juro simples pode por isso ser

interpretado como uma proporção do capital inicial.

Considere agora um processo de capitalização cujo prazo é de dois anos e que inclui

dois períodos anuais de contagem do juro: Seja então um depósito a dois anos de um

euro com uma taxa de juro anual de 4 por cento a pagar anualmente. O juro formado no

primeiro período de contagem do juro é igual ao juro formado na aplicação de um euro

a um ano. O valor X(1) no início do segundo período de contagem do juro i.e. o período

(1, 2) depende do destino dado ao montante J(0, 1) do juro formado no primeiro período

de contagem do juro. As alternativas sobre o destino a dar ao juro entretanto formado

são duas: (1) o juro pode ser creditado na conta à ordem do depositante sem rendimento

adicional i.e. numa conta sem juros, ou (2) o juro mantém-se na conta do depósito a

prazo sendo logo acrescentado ao valor do capital entretanto acumulado.

Um processo de capitalização simples segue a primeira alternativa: O juro pago no final

de cada período de contagem deixa de ser parte do processo de capitalização.2 Neste

caso, o valor do capital que serve de base ao cálculo do juro no segundo período de

contagem do juro é o valor do capital inicial. O valor X(2) no fim do segundo período

de contagem do juro é igual ao total do capital inicial mais os juros formados em cada

um dos períodos de contagem. Tem-se assim que:

)0()2,1()0()1,0()0()2,1()1,0()0()2( XrXrXJJXX .

A proporção r(1, 2) é a taxa anual do juro relativa ao período (1, 2). As condições do

depósito a prazo são normalmente contratadas na data da sua constituição, e as taxas de

juro anuais relativas aos dois períodos de contagem dos juros são geralmente iguais.

Assim, tem-se que rrr )2,1()1,0( .

)0(2)0()2( XrXX .

Pegando novamente no exemplo da aplicação de um euro mas agora por um prazo de

dois anos, conclui-se que o valor capitalizado do depósito inicial de um euro na data do

vencimento (ao fim de dois anos) é igual ao total do capital inicial mais os saldos da

conta do depósito a prazo e da conta à ordem.

2 Alguns Autores distinguem dois tipos de processos de capitalização simples: (1) o processo que leva só

em conta o saldo da conta do depósito a prazo, o processo puro de capitalização simples; e (2) o processo

que inclui os saldos das duas contas, o processo dito de capitalização simples. Deste modo, o processo de

capitalização simples que é analisado aqui é um processo dito de capitalização simples em que a decisão

de destinar o saldo da conta à ordem ao consumo imediato é independente da decisão financeira.

[ 4 ]

080,100,1100

400,1

100

400,1)2( X euros.

O valor capitalizado dum processo segundo a regra de capitalização simples é sempre

igual à soma do capital mais o total dos juros formados em todos os períodos de

contagem.

Exercício 1. Considere um depósito de mil euros com o prazo de trinta anos a que está

associada uma taxa de juro anual de 4 por cento. Calcule o valor capitalizado do

depósito na data do seu vencimento segundo a regra de capitalização simples.

Solução. O saldo da conta do depósito no final de cada ano do prazo até à data do

vencimento pode ser acompanhado na última coluna do Quadro seguinte.

Ano Saldo

inicial

4% Juro

simples

Saldo

final

1 1.000,00 + 00,000.104,0 = 1,040.00

2 1.000,00 + 00,000.104,0 = 1,080.00

3 1.000,00 + 00,000.104,0 = 1,120.00

4 1.000,00 + 00,000.104,0 = 1,160.00

30 1.000,00 + 00,000.104,0 = 2,200.00

Usando a regra de capitalização simples, o juro formado em cada período de contagem é

calculado com base no valor do capital inicial. O montante do juro formado em cada

período anual é sempre igual a 40,00 euros. ┐

Definição 2 (Juro dito simples): O juro simples J(0, t) que o principal X(0) vence ao fim

de t unidades de tempo à taxa r(0, t) de juro por unidade de tempo, é igual a:

)0(),0(),0( XttrtJ onde +Nt .

+N é o conjunto dos inteiros positivos. ┐

O valor capitalizado dum empréstimo, investimento, ou depósito, ao fim de t unidades

de tempo ou anos, é igual à soma do capital inicial mais o juro dito simples.

[ 5 ]

ttrXtJXtX ),0(1)0(),0()0()( .

A expressão entre parêntesis, ttr ),0(1 , é o chamado fator de acumulação ou fator de

capitalização que corresponde ao juro simples. O valor do factor de capitalização

obtém-se ao dividir o valor capitalizado pelo valor do capital inicial.

ttrX

tX ),0(1

)0(

)(.

O factor de capitalização simples representa o valor acumulado ou capitalizado dum

capital unitário até ao fim dum número t de unidades de tempo que é calculado usando a

regra de capitalização simples.

O juro simples foi definido até aqui para prazos que são múltiplos da unidade do tempo

(v.g. um, dois, e trinta anos). Porém, a regra de capitalização simples é usada sobretudo

no cálculo do juro de empréstimos, investimentos, ou depósitos, com prazos inferiores a

um ano. Os prazos abaixo de um ano são assim representados como uma fracção do

número efetivo de dias do prazo do processo a dividir pelo número de dias da unidade

do tempo. A unidade de tempo em certos países corresponde ao Ano comercial (de 360

dias); noutros países, a unidade de tempo corresponde ao Ano civil (365 dias). As duas

convenções mais usadas sobre a contagem de dias em prazos abaixo de um ano são

designadas Actual/360 e Actual/365. A convenção Actual/360 é usada nos mercados do

dinheiro em euros, dólares dos EUA, francos Suíços, e nas moedas dos países Nórdicos.

Definição 3 (Juro simples em prazos curtos). O juro simples J(0, n) que o principal X(0)

vence ao fim de n dias à taxa r (0, n) de juro anual, é igual a:

)0(),0(),0( XAno

nnrnJ onde +Qn .

Ano é o número de dias da unidade de tempo relevante (360 ou 365 dias). +Q é o

conjunto dos racionais positivos. ┐

Quando se trata dum crédito em euros com um prazo inferior a um ano, há que contar o

número efetivo de dias do prazo. O juro J(0, n) que o capital X(0) denominado em euros

vence ao fim de n dias efetivos à taxa anual r(0, n) de juro em regime de capitalização

simples, é então igual a:

)0(360

),0(),0( Xn

nrnJ .

Exercício 4. Considere um depósito de mil euros com o prazo de 180 dias que paga um

juro simples à taxa anual de 4 por cento. Calcule o valor do juro simples.

[ 6 ]

Solução. O valor do juro simples em euros ao fim de meio ano, é igual a:

00,2000,000.1360

180

100

4)0(

360

180)180,0()180,0( XrJ euros.

O saldo da conta do depósito a seis meses no vencimento é igual a 1.020,00 euros. ┐

A taxa de juro é apresentada normalmente sob a forma duma percentagem, v.g. 4 por

cento. Uma percentagem é um valor que “divide por 100”. Para efeitos de cálculo, a

taxa corresponde a um factor decimal como é 0,040 ou uma fracção como é 4/100.

A convenção Actual/365 é usada sobretudo nos mercados do dinheiro dos países da

Commonwealth britânica e no Japão: nos mercados do dinheiro em libras, dólares da

Austrália, Canadá e Nova Zelândia, e no mercado do dinheiro em ienes.

Exercício 5. Considere um depósito de mil libras esterlinas com o prazo de 180 dias que

paga um juro simples à taxa anual de 4 por cento. Calcule o valor do juro simples.

Solução. O valor do juro simples em libras ao fim de meio ano, é igual a:

7260,1900,000.1365

180

100

4)0(

365

180)180,0()180,0( XrJ libras.

O saldo da conta do depósito a seis meses no vencimento é igual a 1.019,73 libras. ┐

O valor capitalizado dum crédito no fim do prazo de t anos é igual ao total do principal

mais o juro.

),0()0(),0( tJXtX .

Do mesmo modo, o valor capitalizado dum crédito no fim do prazo de n dias é igual ao

total do principal mais o juro.

),0()0(),0( nJXnX .

A característica fundamental do juro simples dum empréstimo, investimento, ou

depósito, é que o juro formado deixa de vencer qualquer outra retribuição quando é

creditado na conta à ordem a que está associado: O juro formado sai do processo de

capitalização. Esta é a inconsistência fundamental do juro simples nos prazos mais

longos, quando precisamente o período de contagem do juro é normalmente anual. O

exemplo seguinte ilustra esta inconsistência fundamental do juro simples.

Exemplo 6. Considere uma sequência de dois depósitos: Suponha um primeiro depósito

de mil euros com o prazo de um ano que paga um juro dito simples à taxa anual de 4

por cento. Na data de vencimento deste primeiro depósito, ao fim de um ano, o valor do

saldo da conta do depósito é aplicado num segundo depósito a um ano com iguais

[ 7 ]

condições de retribuição. Calcula-se agora o valor capitalizado do segundo depósito no

seu vencimento. O juro simples do segundo depósito no final do segundo ano, é igual a:

60,4100,040.11100

4)2,1( J euros.

O saldo final da conta do segundo depósito é igual a 1.081,60 euros. Este valor é assim

inconsistente com o valor capitalizado de 1.080,00 euros do depósito a dois anos cujo

juro é calculado com base na regra de capitalizaçãosimples. ┐

Perguntas de revisão

1. Quantos dias são precisos para transformar o capital inicial de 1.450,00 euros

em 1.500,00 euros com base numa taxa de juro anual de 4 por cento em regime

de capitalização simples?

2. Qual é a taxa de juro anual que permite transformar em regime de capitalização

simples o capital inicial 1.450,00 euros em 1.500,00 euros ao fim de 30 dias?

JURO COMPOSTO

Analisamos agora o cálculo do juro num processo que usa a regra de capitalização

composta. Suponha novamente um depósito de um euro com o prazo inicial de dois

anos que inclui dois períodos de contagem do juro. O cálculo do juro formado no fim do

primeiro período de contagem é idêntico ao cálculo que usa a regra de capitalização

simples. O saldo da conta do depósito a prazo no fim do primeiro ano é igual ao total do

capital inicial mais o valor do juro simples.

)0()1,0()0()1( XrXX .

Contrariamente ao que se fez no processo que usa a regra de capitalização simples, o

valor do capital no início do segundo período de contagem do juro é o valor X(1) do

saldo da conta do depósito a prazo no fim do primeiro período de contagem. O juro

formado no primeiro período de contagem não é aqui deixado fora do processo.

)1()2,1()1()2( XRXX .

Com o valor X(1) igual ao saldo da conta do depósito no fim do período (0, 1), tem-se:

)0()2,1()1,0()0()2,1()0()1,0()0()2( XRRXRXRXX .

Mais uma vez: As condições do depósito a prazo são normalmente contratadas na data

da sua constituição, pelo que as taxas de juro anuais relativas aos vários períodos de

[ 8 ]

contagem dos juros são geralmente iguais. Assim, os valores das taxas anuais relativas

aos dois períodos de contagem dos juros são iguais i.e. rrr )2,1()1,0( . Tem-se

então que:

)0()1()0()0(2)0()2( 22

XrXrXrXX .

Exercício 7. Considere um depósito de mil euros com o prazo de trinta anos a que está

associada uma taxa de juro anual de 4 por cento. Calcule o valor capitalizado do

depósito na data do seu vencimento segundo a regra de capitalização composta.

Solução. O saldo da conta do depósito no final de cada ano do prazo até à data do

vencimento pode ser acompanhado na última coluna do Quadro seguinte. Para calcular

o valor do juro formado em cada período de contagem, há que multiplicar a taxa

indicada pelo saldo inicial de cada período.

Ano Saldo

inicial

4% Juro

composto

Saldo

final

1 1,000.00 + 0,04×1.000,00 = 1.040,00

2 1,040.00 + 0,04×1.040,00 = 1.081,60

3 1.081,60 + 0,04×1.081,60 = 1.124,86

4 1.124,86 + 0,04×1.124,86 = 1.169,86

30 3.118,65 + 0,04×3.118,65 = 3.243,40

Quando é usada a regra de capitalização composta, o juro formado em cada período de

contagem é baseado no capital inicial e no juro entretanto acumulado em anteriores

períodos de contagem. ┐

Definição 8 (Juro composto): O juro composto J(0, t) que o capital X(0) vence ao fim de

t unidades de tempo à taxa r(0, t) de juro por unidade de tempo capitalizada com a

mesma frequência, é igual a:

)0()1)),0(1((),0( XtrtJ t onde

t N+ .

+N é o conjunto dos inteiros positivos. ┐

Quando se comparam os saldos finais de dois processos de capitalização com o mesmo

prazo de vários anos que usam a regra simples e a regra composta, o desvio crescente

[ 9 ]

dos dois saldos é justificado sobretudo pelo valor crescente da capitalização do juro ou

juro de juro.

Exemplo 9. Vamos usar os dois exemplos sobre um depósito de mil euros com o prazo

de trinta anos e a taxa de juro anual de 4 por cento, para decompor o saldo da conta do

depósito no final de cada período de contagem do juro em três parcelas: o capital inicial,

o montante correspondente ao juro simples, e o montante restante que corresponde ao

juro de juros.

Ano Saldo

final

Capital

inicial

Juro

simples

Juro

de juro

1 1.040,00 – 1.000,00 – 40,00 = 0,00

2 1.081,60 – 1.000,00 – 80,00 = 1,60

3 1.124,86 – 1.000,00 – 120,00 = 4,86

4 1.169,86 – 1.000,00 – 160,00 = 9,86

30 3.243,40 – 1.000,00 – 1.200,00 = 1.043,40

Este exemplo ilustra o crescimento linear do juro simples e o crescimento exponencial

do montante relativo ao juro de juro. ┐

Como já foi referido, as condições de empréstimos, investimentos, e depósitos, são

normalmente definidas na data da contratação, e as taxas de juro relativas aos vários

períodos de contagem dos juros são muitas vezes iguais e constantes. Nada obsta porém

a que sejam tão-só determináveis (v.g. como é o caso dos créditos indexados às médias

Euribor), podendo ser taxas variáveis e nomeadamente crescentes.

Quando as as taxas relativas aos vários períodos de contagem dos juros são variáveis,

importa muitas vezes para efeitos de comparação calcular a taxa média dos períodos de

contagem v.g. a taxa anual média dos vários períodos anuais do prazo. Considere um

depósito de um euro com o prazo inicial de k anos que vence juros a uma taxa anual

variável prédeterminada r(0, k) relativa ao período de contagem (k – 1, k). O valor

capitalizado do depósito na data do vencimento em regime de capitalização anual, vem

dado por:

)0()),0(1()( 1 XkrkX k

k , onde X(0) = 1.

O valor capitalizado do mesmo depósito com base na taxa média r por ano, em regime

de capitalização anual, vem dado por:

[ 10 ]

)0()1()( XrkX k , onde X(0) = 1.

O valor r da taxa de juro anual média, pode então ser calculado através de:

1)),0(1( /1

1

kk

k krr .

Exercício 10. Vamos retomar o exemplo do depósito de mil euros com o prazo de trinta

anos cujo juro é calculado com base no regime de capitalização composta, mas em que

as taxas anuais são de 4 por cento na primeira década, de 5 por cento na segunda

década, e de 6 por cento na terceira década. Calcule a taxa anual média do depósito.

Solução. O valor capitalizado do depósito no vencimento, calculado em regime de

capitalização anual, vem dado por:

00,000.1100

61

100

51

100

41)30(

101010

X euros.

A taxa média pode então ser calculado através de:

100

9968,4

100

61

100

51

100

41

30/1101010

r .

A taxa média deste depósito a prazo com taxa crescente é de 4,997 por cento ao ano. ┐

Sumário

O juro é a retribuição paga pelo devedor pelo uso temporário dum capital financeiro que

pertence ao credor. O juro simples é a retribuição que se calcula com base tão-só no

capital de tal modo que o juro entretanto acumulado não vence juros. O juro composto é

o total do juro simples mais o juro de juros. A acumulação do juro entretanto corrido ao

capital é o chamado processo de capitalização.

Conceitos chave

Empréstimo, loan, préstamo, Darlehen, prêt, prestito.

Investimento, investment, inversión, Investition, investissement, investmento.

Depósito, deposit, depósito, Einlage, dépôt, deposito.

Juro, interest, interés, Zinsen, intérêt, interesse.

Taxa de juro, interest rate, tipo de interés, Zinssatz, taux d’intérêt, tasso d’interesse.

[ 11 ]

Juro simples, simple interest, interés simple, Kapitalzinsen, intérêt simple, interesse

semplice.

Juro composto, compound interest, interés compuesto, Zinseszins, intérêts composés,

interesse composto.

Questões

1. Qual é o valor do juro simples dum empréstimo de um milhão de dólares dos

EUA a 5 anos com base numa taxa anual de 4 por cento?

2. Qual é o valor do juro composto anualmente dum investimento de um milhão de

libras esterlinas a 3 anos com base numa taxa anual de 5 por cento?

3. Qual é o capital inicial dum empréstimo a 5 anos cujo valor capitalizado de

1.000,00 euros foi conseguido com uma taxa anual de 4 por cento?

4. Qual é o capital inicial dum empréstimo a 3 anos cujo valor capitalizado de

1.000,00 libras esterlinas foi conseguido com uma taxa anual de 5 por cento?

Exercícios

1. Calcule o valor acumulado no vencimento duma aplicação de um milhão de

euros durante 3 anos em regime de capitalização simples. A taxa de juro

praticada no primeiro ano foi de 4 por cento, no segundo ano foi de 5 por cento,

e no terceiro ano foi de 6 por cento. Calcule a taxa média anual da aplicação.

2. Calcule o valor acumulado no vencimento duma aplicação de um milhão de

euros durante 3 anos em regime de capitalização anual. A taxa de juro praticada

no primeiro ano foi de 4 por cento, no segundo ano foi de 5 por cento, e no

terceiro ano foi de 6 por cento. Calcule a taxa média anual da aplicação.

3. Qual é a taxa que em regime de capitalização simples corresponde à taxa anual

de 4 por cento em regime de capitalização composta anualmente?

Primeira versão: 30 Maio. 1995. Copyright (c) 2013. Francisco J. Comprido.

N.B. Todas as correcções, sugestões e comentários são desde já agradecidos. Muito

obrigado.

[ 12 ]

Figura 13-1: Juro simples.

1.000,00

–

1.040,00

+

0 1 2 3

Período 1 Período 2 Período 3

Figura 13-2: Juro simples.

1.000,00

–

40,00

+

1.040,00

+

0 1 2 3

Período 1 Período 2 Período 3

Figura 13-3: Juro composto.

1.000,00

–

1.081,60

+

0 1 2 3

Período 1 Período 2 Período 3