apÊndice 1 - conversÃo entre sistemas de coordenadas
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APÊNDICE 1 - CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS DE
COORDENADAS
Este Apêndice apresenta expressões para a conversão entre coordenadas esféricas e
cartesianas, bem como expressões para a conversão entre o sistemas fixo à antena
transmissora e o sistema fixo ao cenário. O uso de qualquer das três Seções que serão
apresentadas é dependente da forma de implementação escolhida.
Sejam os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, apresentados abaixo.
coordenadas cartesianas coordenadas esféricas
Figura A.1.1 - Sistemas de coordenadas esféricas e cartesianas
X
Y
Z
x
y
z
X
Y
Z
φ
θr↔V
&
xa yaza V
&
φa
θa
ra
397
A.1.1. Conversão entre coordenadas cartesianas e esféricas
Relações entre os vetores unitários :
θ
φθ
φθ
θ−θ=
φ+φθ+φθ=
φ−φθ+φθ=
asenacosa
acosasencosasensena
asenacoscosacossena
rz
ry
rx
(A.1.1)
yx
zyx
zyxr
acosasena
asenasencosacoscosa
acosasensenacossena
φ+φ−=
θ−φθ+φθ=
θ+φθ+φθ=
φ
θ (A.1.2)
que levam a:
e
z
y
x
0cossen
sensencoscoscos
cossensencossenr
φφ−θ−φθφθ
θφθφθ=
φθ (A.1.3)
φθ
θ−θφφθφθφ−φθφθ
=
r
0sencos
cossencossensen
sencoscoscossen
z
y
x
(A.1.4)
A.1.2. Conversão entre coordenadas esféricas e sistema fixo ao
raio
Essa Seção tem utilidade quando o Método das Imagens é implementado segundo a forma
apresentada em [1], onde o sistema de coordenadas da antena transmissora é refletido no
ponto imagem, substituindo o problema real. Essa não foi a metodologia apresentada na Seção
4.2.3.1 (reflexão) pois, como visto naquela Seção, a abordagem do problema da reflexão foi
feita apenas através da determinação de sistemas fixos aos raios incidente e refletido. A seguir
é apresentada a conversão entre vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas fixo à
antena transmissora e as componentes soft e hard do campo incidente, conforme apresentado
em [1]
398
Para a reflexão e transmissão :
1hˆa a β=→θ - componente hard relativo à Figura 4-4, onde
1s ˆa- a α−=→φ - componente soft em F é inserido o sistema de
coordenadas esféricas
Para a difração :
'ˆa- a s β−=→θ - componente soft referente à Figura 4-9, onde
'ˆa- a h φ−=→φ - componente hard em F insere-se o sistema de
coordenadas esféricas
A conversão de sistema fixo ao raio para coordenadas cartesianas pode ser feita convertendo-
se de fixo ao raio para esféricas e então de esféricas para cartesianas..
A.1.3. Conversão de componentes de campo do raio oriundo da
antena transmissora para o sistema fixo ao cenário
A formulação que se segue deve ser utilizada quando o raio originário da antena transmissora
intercepta um obstáculo, para que o vetor campo elétrico esteja representado nas coordenadas
do sistema fixo ao cenário e, dessa forma, possa ser decomposto segundo os vetores unitários
dos sistemas fixos ao raio (que foram obtidos a partir das coordenadas do sistema fixo ao
cenário).
Para campo expresso em componentes θ ou φ , ou ambas :
'y cos'x senˆ
'z sen'y sencos'x coscosˆ
φ+φ−=φ
θ−φθ+φθ=θ(A.1.5)
399
onde o sistema (x’, y’, z’) é o sistema fixo à antena transmissora, ilustrado na Figura
A.1.2.
Usando as expressões que forem necessárias entre as duas apresentadas, o campo lançado
expresso originalmente em coordenadas esféricas estará convertido para o sistema cartesiano
fixo à antena transmissora. A conversão para o sistema fixo ao cenário é realizada da maneira
descrita adiante.
O vetor de campo no sistema cartesiano fixo à antena transmissora é, como ilustra a Figura
A.1.2 :
'zc'yb'xa ++ (A.1.6)
Figura A.1.2 - Sistema de coordenadas fixo à antena transmissora
Devem ser determinados os pontos (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) no sistema cartesiano fixo ao
cenário. Para tanto, são utilizadas as expressões (5-1). As coordenadas obtidas, agora
expressas no sistema fixo ao cenário, são denominadas (ac,0,0), (0,bc,0) e (0,0,cc),
respectivamente.
x’
y’
z’
Tx(x0, y0, z0)
..
.(0, b, 0)
(0, 0, c)
(a, 0, 0)
400
Então, no sistema de coordenadas fixo ao cenário :
vetor (ac,0,0) - vetor (x0, y0 , z0) → gera a componente 'xa de (A.1.6) expressa no
sistema fixo ao cenário;
vetor (0,bc,0) - vetor (x0, y0 , z0) → gera a componente 'yb de (A.1.6) expressa no
sistema fixo ao cenário;
vetor (0,0,cc) - vetor (x0, y0 , z0) → gera a componente 'zc de (A.1.6) expressa no
sistema fixo ao cenário.
A expressão final do vetor convertido é dada pela soma das três componentes calculadas. O
vetor de campo estará, então, expresso em coordenadas x, y, z do sistema fixo ao cenário.
A.1.4. Referências Bibliográficas
[1] - Manuel F. Cátedra and Jesús Pérez-Arriaga, “Cell Planning for Wireless
Communications,” Artech House - Mobile Communications Series, 1999.
APÊNDICE 2 - DETERMI NAÇÃO DE INTERVALO
ANGULAR DE LANÇAMENTO DE RAIOS,
ESFERA DE RECEPÇÃO E PAR (θ,φ)
O intervalo angular de lançamento de raios (α) é, naturalmente, determinado apenas para o
Método SBR (Shooting and Bouncing Rays), uma vez que o conceito de esfera de recepção
(onde o conhecimento do ângulo α se faz necessário) só é definido para este método. Embora
o interesse neste trabalho recaia sobre os modelos em três dimensões, são também
apresentados procedimentos para propagação em duas dimensões, na Seção A.2.1.
A.2.1. Para propagação em duas dimensões, no plano xy
A.2.1.1. Determinação de α
O lançamento de raios é feito ao longo de uma circunferência. O valor de α pode ser
estipulado ou calculado. Estipular um valor qualquer não é recomendado, pelo fato de que na
maior parte das vezes não será obtido um lançamento uniforme, ou seja, os raios não
representarão porções iguais da frente de onda cilíndrica.
O cálculo de α é baseado no número de raios que se deseja lançar, e provê um lançamento
uniforme.
raios de desejado número
2π=α (A.2.1)
402
A.2.1.2. Mapeamento dos intervalos de lançamento e determinação de (θ,
φ) do sistema de coordenadas esféricas fixo à antena
A.2.1.2.1. Para o Método SBR
Cada raio estará espaçado de seu vizinho de um ângulo α. A representação em coordenadas
polares é apropriada para a determinação da direção dos raios e de (θ, φ), como se segue.
Coordenadas polares :
x = r.cosβ
y = r.senβ
Figura A.2.1 - Coordenadas polares para lançamento de raios em duas dimensões
Nas equações de conversão entre coordenadas cartesianas e polares, apresentadas na Figura
A.2.1, é feito r = 1 e o ângulo β é variado em intervalos α de lançamento de raios. Para cada
valor de β obtido :
− o par (θ, φ), para a entrada na tabela do diagrama de radiação, é dado por (π/2, β);
− calcula-se as componentes x e y através das expressões de coordenadas polares
apresentadas. A coordenada (x, y, 0) do vetor diretor do raio lançado é convertida
para o sistema de coordenadas fixo ao cenário através das expressões (5-1), para
que se determine o vetor u , na direção do raio, no sistema fixo ao cenário.
XY
Z
αα
X
Y
rβ
403
Na recepção também é necessário a obtenção do par (θ, φ), em relação ao sistema da
antena receptora. O procedimento é semelhante ao realizado para a antena transmissora,
com a diferença de que, conhecidos x e y do ponto origem do raio que chega ao receptor
(expressos no sistema de coordenadas fixo à antena receptora, através de conversão usando
expressões (5-3)), obtém-se φ. Ao realizar o procedimento de forma análoga ao que foi
feito para o lançamento de raios, é assumido que o raio recebido atinge exatamente a
origem do sistema de coordenadas da antena receptora. Deve-se ter atenção à correta
determinação de quadrantes em todos os cálculos efetuados que envolvam arcos cosseno.
A.2.1.2.2. Para o Método das Imagens
Uma vez determinado o unitário u na direção do raio que parte da antena transmissora, o par
(θ,φ) é determinado da seguinte forma :
θ = π/2
φ = ( )u'.xarccos (A.2.2)
onde :
'x - vetor unitário na direção do eixo x do sistema de coordenadas fixo à
antena transmissora;
u deve estar expresso no sistema de coordenadas fixo à antena transmissora.
Antes do cálculo de φ, deve ser observada a metodologia descrita para a correta determinação
do quadrante de φ, apresentada após o final da Seção A.2.2.3.2.
Na recepção também é necessário a obtenção do par (θ, φ), em relação ao sistema da antena
receptora. O procedimento é o mesmo realizado para a antena transmissora, com atenção para
a necessidade de se inverter a orientação do vetor unitário diretor do raio recebido a ser
utilizado na expressão de φ, para que a geometria fique como a da antena transmissora.
404
A.2.2. Para lançamento em três dimensões
A.2.2.1. Descrição da metodologia de lançamento e recepção para o
Método SBR
O objetivo do lançamento de raios é que se gere tubos de raios iguais em todas as direções do
espaço, ou seja, devem ser lançados raios com igual espaçamento angular entre si. A técnica
proposta foi extraída da referência [1] e consiste em se inscrever um icosaedro regular
(poliedro com vinte faces que são triângulos equiláteros) em uma esfera unitária centrada na
antena transmissora.
Na Figura A.2.2 são ilustrados a esfera centrada na antena transmissora e o icosaedro regular.
icosaedro regular
Figura A.2.2 - Esfera e icosaedro de lançamento (Método SBR)
Os raios são lançados através dos doze vértices do poliedro de forma que cada raio representa
uma frente de onda pentagonal, como ilustrado na Figura A.2.2. Na verdade, o formato da
frente de onda assim gerada é obtido pela projeção do pentágono na superfície esférica, que
.Txr = 1
raio lançado
elemento de frente deonda esférica(tubo de raios)
frente de ondapentagonal
405
corresponde à forma real da frente de onda. Os raios assim lançados estarão espaçados de 63o
entre si. [1]
Para que sejam lançados mais do que doze raios, deve ser realizado o seguinte procedimento.
Cada face do icosaedro é subdividida por linhas paralelas aos lados da face, gerando
triângulos equiláteros menores, como ilustrado na Figura A.2.3.
Figura A.2.3 - Aumento da resolução de raios lançados através do icosaedro (Método SBR)
Os raios são lançados passando por todos os vértices criados. As frentes de onda de raios que
passam pelos doze vértices originais continuam pentagonais. As frentes de onda dos raios que
passam por vértices interiores ou por vértices que estão nas arestas das faces do icosaedro são
hexagonais, como ilustra a Figura A.2.3. Com essa técnica, todos os raios gerados terão,
aproximadamente, o mesmo espaçamento angular entre si. [1]
Seja N a freqüência de subdivisão das faces (N = 4, na Figura A.2.3), o número de raios
lançados é dado por :
número de raios lançados = 10N2 + 2
1
2
3
4
vértice original da face
vértice sobre aresta da face
vértice interior à face
frente de onda
face do icosaedro, subdivididapara aumentar a resolução deraios lançados
406
Assim, seja n o número desejado de raios a serem lançados :
10
2 - nN = (A.2.3)
O valor de N a ser utilizado deverá ser o inteiro que mais se aproximar do valor de N
calculado por (A.2.3).
Como se observa pela Figura A.2.3, o número de frentes de onda hexagonais predominará na
propagação em relação a frentes de onda pentagonais. A obtenção do raio da esfera de
recepção se baseia na geometria hexagonal, como apresentado a seguir. Sejam dois raios
vizinhos cujas frentes de onda são apresentadas no plano perpendicular à propagação,
conforme ilustrado na Figura A.2.4.
Figura A.2.4 - Geometria para a obtenção do raio da esfera de recepção (Método SBR)
projeção de um raio
projeção do raio vizinhoα/2
d
rR
300
407
Na Figura A.2.4, as frentes hexagonais estão inscritas em círculos que constituem-se na
representação em duas dimensões de esferas de recepção. Na geometria auxiliar desenhada na
figura, d é a distância unfolded já definida no Capítulo 5, r é a distância perpendicular entre o
centro de um hexágono e um de seus lados e α é a separação angular entre raios vizinhos.
Pela geometria da Figura A.2.4 :
/2)d.tg(r d
r)2/(tg α≅∴≅α (A.2.4)
Como α/2 é um ângulo pequeno, (A.2.4) pode ser reescrita por :
2dr
α≅ (A.2.5)
O raio R da esfera de recepção pode, então, ser determinado :
2
3Rr
2
3
R
r30cos o =∴== (A.2.6)
Igualando (A.2.5) e (A.2.6), chega-se a :
3
d R
2
3R
2d
α=∴=α(A.2.7)
Como observado na Figura A.2.4, a geometria pressupõe superposição entre as esferas dos
raios adjacentes. Dessa forma, evita-se que um ponto de recepção seja perdido (não seja
englobado pelo tubo de raios de nenhum dos raios vizinhos). Porém, essa particularidade da
geometria pode gerar dupla recepção, ou seja, um mesmo ponto de recepção ser atingido por
raios vizinhos, o que, como já mencionado, não é desejado já que fisicamente tubos de raios
não se superpõem. Sugestões para a solução do problema foram apresentadas no Capítulo 5,
na Seção 5.4.2.3 (Recepção).
408
Para raios vizinhos oriundos de um ponto de difração, a dedução não é válida pelo fato de não
se poder associar um formato hexagonal (ou pentagonal) à frente de onda difratada.
A.2.2.2. Determinação de α
A determinação de α é realizada através do produto escalar entre raios vizinhos. Uma vez
desenhado o icosaedro, são escolhidos dois vértices vizinhos (a inclusão dos vértices na tabela
de vértices do icosaedro pode ser feita de forma que vértices vizinhos estejam em alocações
consecutivas, para facilitar a escolha). Escolhidos os vértices, é feito produto interno entre os
unitários dos dois vetores que unem a origem do sistema de coordenadas da antena
transmissora a cada um dos dois vértices escolhidos. O procedimento é como se segue.
Sejam :
vértices escolhidos : A e B
vetores unitários correspondentes : B
BB e
A
AA
&
&
&
&
==
( )B.Aarccos=α (A.2.8)
Deve-se atentar para a correta determinação do quadrante do ângulo assim obtido.
A.2.2.3. Mapeamento dos intervalos de lançamento e determinação de (θ,
φ) do sistema de coordenadas esféricas fixo à antena
A.2.2.3.1. Para o Método SBR
Serão lançados raios através dos vértices do icosaedro, cujas coordenadas cartesianas são
conhecidas. A obtenção do par (θ, φ) à partir das coordenadas cartesianas dos vértices é
realizada da seguinte maneira.
409
=φ
++=θ
x
yarctan
zyx
zarccos
222
(A.2.9)
onde :
(x, y, z) - é a coordenada do vértice (a rigor, poderia ser a coordenada de
qualquer ponto posterior à origem do raio. Porém, o ponto no
vértice é o primeiro ponto conhecido). O ponto (x, y, z) deverá
estar, naturalmente, no sistema de coordenadas da antena
transmissora.
Também aqui deve ser verificada a correta determinação dos ângulos θ e φ, no que diz
respeito aos quadrantes obtidos no cálculo dos arcos cosseno e tangente.
Assim como para o lançamento em duas dimensões, as coordenadas dos vértices do icosaedro
deverão ser convertidas para o sistema de coordenadas fixo ao cenário (expressões (5-1)),
para que se obtenha o vetor u , na direção do raio.
Na recepção também é necessária a obtenção do par (θ, φ), em relação ao sistema da antena
receptora. O procedimento é o mesmo realizado para a antena transmissora, com a observação
de que o ponto (x, y, z) das expressões (A.2.9) é o ponto origem do raio que chega ao receptor
e também deve, naturalmente, estar expresso nas coordenadas do sistema fixo à antena
receptora (conversão através das expressões (5-3)).
A.2.2.3.2. Para o Método das Imagens
As expressões para obtenção do par (θ, φ) são iguais às descritas para o método SBR. É
importante atentar para o fato de que o ponto de destino do raio originário na antena
transmissora (ou seja, o ponto onde ocorre a primeira reflexão ou difração) deverá estar
expresso no sistema de coordenadas fixo à antena transmissora, para a determinação do par
(θ, φ).
410
Para a recepção, é válida a mesma observação feita para o Método SBR.
Tanto para o Método SBR quanto para o Método das Imagens, o procedimento a seguir deve
ser utilizado, para a certificação do quadrante dos ângulos θ e φ calculados.
O seguinte teste deve ser realizado antes do cálculo de φ :
se a componente y = 0
se a componente x > 0 , então φ = 0
se a componente x < 0 , então φ = π
caso contrário, deve ser utilizado o procedimento de determinação de quadrante
descrito a seguir. Para a determinação do ângulo θ, sempre deve ser utilizado o
procedimento de determinação de quadrante descrito a seguir.
Para a correta determinação de θ
se θ calculado estiver no intervalo π < θ ≤ 2π , o valor de θ a ser utilizado (valor
corrigido) é dado por : θ = 2π - θ calculado ;
caso contrário, o valor calculado de θ deve ser utilizado.
Para a correta determinação de φ
se a componente y > 0 :
se φ calculado estiver no intervalo 0 < φ < π , o valor calculado de φ deve ser
utilizado ;
caso contrário, o valor de φ a ser utilizado é dado por : φ = φ calculado - π .
se a componente y < 0 :
411
se φ calculado estiver no intervalo π < φ < 2π , o valor calculado de φ deve ser
utilizado ;
caso contrário, o valor de φ a ser utilizado é dado por : φ = π + φ calculado.
Alternativamente ao uso das expressões (A.2.9), pode-se usar as seguintes expressões para a
determinação do par (θ, φ), tanto para o Método SBR como para o Método das Imagens :
( )( )'x.uarccos
'z.uarccos
=φ=θ
(A.2.10)
onde :
u - vetor unitário diretor do raio
'x e 'z - vetores unitários dos eixos z e x, respectivamente, do sistema fixo à
antena transmissora
Antes do cálculo de φ, deve ser feita a verificação já apresentada.
A.2.3. Referências Bibliográficas
[1] - Scott Y. Seidel and Theodore S. Rappaport, “Site-Specific Propagation Prediction for
Wireless In-Building Personal Communication System Design,” IEEE Trans. on Veh.
Technol., vol. 43, no. 4, Nov. 1994.
APÊNDICE 3 - DETALHAMENTOS RELATIVOS AO
CÁLCULO DA DIFRAÇÃO
Nesse Apêndice são apresentados detalhamentos relativos ao uso das expressões envolvidas
no cálculo da difração e listadas na Seção 4.2.3.3.3 do Capítulo 4. Serão tratadas :
− a Função de Transição de Fresnel;
− a reciprocidade na escolha das faces “0” e “n” de uma aresta;
− a correta determinação de quadrantes dos ângulos φ e φ’.
A.3.1. Função de Transição de Fresnel
Quando o argumento da Função de Transição de Fresnel é maior que 10, aproximadamente, a
função pode ser substituída pelo valor unitário. Para valores inferiores, especialmente para
kLa < 2π, o cálculo da função de transição passa a ser importante por se tratarem de regiões
de transição.
As seguintes aproximações podem ser utilizadas em substituição à expressão exata da Função
de Transição de Fresnel, F(x), apresentada em (4-73). Tais aproximações não envolvem o
cálculo de integral, podendo ser vantajosas no que se refere à velocidade de computação. A
seguir, são apresentadas as diferentes aproximações, conforme o intervalo de argumentos da
Função de Transição de Fresnel. [1]
para x > 5,5 :
432 x16
75
x8
15j
x4
3
x2
j1)x(F +−−+≅ (A.3.1)
para 0,3 < x ≤ 5,5 , é usado o esquema de interpolação abaixo :
( ) ( )[ ]( ) ( )i
i1i
i1ii xx
xx
xFxF)x(F)x(F −
−−
+≅+
+ (A.3.2)
413
com xi , F(xi) e [F(xi+1) - F(xi)] / (xi+1 - xi) apresentados na Tabela A.3.1 a
seguir.
xi F(xi) [F(xi+1) – F(xi)] / (xi+1 – xi)
0,3 0,5729 + j0,2677 0
0,5 0,6768 + j0,2682 0,5195 + j0,0025
0,7 0,7439 + j0,2549 0,3355 – j0,0665
1,0 0,8095 + j0,2322 0,2187 – j0,0757
1,5 0,8730 + j0,1982 0,1270 – j0,0680
2,3 0,9240 + j0,1577 0,0638 – j0,0506
4,0 0,9658 + j0,1073 0,0246 – j0,0296
5,5 0,9797 + j0,0828 0,0093 – j0,0163
Tabela A.3.1 - Valores para interpolação da expressão (A.3.2)
Observação a respeito da Tabela A.3.1 :
A referência [1] apresenta a segunda e terceira colunas erroneamente invertidas. A correção
foi feita com base nos algoritmos apresentados na própria referência e em [2]. Da mesma
forma, os valores complexos da primeira coluna para xi = 1,0 e da segunda coluna para xi =
1,5 foram corrigidos baseados nos mesmos algoritmos.
Dando prosseguimento à definição das aproximações para F(x) :
para 0 ≤ x ≤ 0,3 :
( )4/xj4/j2
4/j e3
ex2xe2x)x(F π+
π−π
−−π= (A.3.3)
para x < 0 :
F[x] = F* [|x|] , onde “*” indica o complexo conjugado (A.3.4)
414
A seguir é apresentado o resultado da execução do programa que compara a expressão exata
da Função de Transição de Fresnel com as aproximações para essa função. A listagem do
programa é apresentada na Seção A.11.1 do Apêndice 11.
No programa, a integral que faz parte da Função de Transição de Fresnel foi expressa de
forma diferente da apresentada na expressão (4-73). Isso foi feito para que se eliminasse o
limite superior infinito da integração naquela expressão. A transformação foi realizada como
explicado a seguir.
Sabendo-se que :
( ) ( ) ( ) I duusenjduucosdujuexpx x x
222 =−=−∫ ∫ ∫∞ ∞ ∞
Prosseguindo no desenvolvimento :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∴−−−π=+
+−π=
−π−−π=
=
−−−=
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫∞∞
duusenjucosj122
1duusenjduucos-
j122
1duusen
22
1jduucos
22
1
duusenduusenjduucosduucosI
x
0
22x
0
2x
0
2
x
0
2x
0
2
x
0
2
0
2x
0
2
0
2
( ) ( )∫ −−−π=x
0
2 dujuexpj122
1I (A.3.5)
415
Figura A.3.1 - Função de Transição de Fresnel, exata e aproximada
função F(x) exata : linhas contínuas;
função F(x) aproximada : linhas “-.-.”
A Figura A.3.1 obtida pelo cálculo da expressão exata é como a figura apresentada em [1],
Ap. B], e a função aproximada a reproduz com fidelidade, como pode ser observado.
Caso se opte por usar a Função de Transição de Fresnel F[x] na sua forma exata, deve ser
inserido no algoritmo que, se x > 5x102, então F[x] = 1. Tal teste é necessário pelo fato de ter
sido observado na plotagem de F(x) que, para valores do argumento que excedam 5x102
(aproximadamente), o comportamento de F(x) exata é errôneo (passa a não tender a um).
Possivelmente, o problema observado é causado pelo algoritmo usado (Método dos Trapézios
amplitude
fase(rad)
kLa±(β)
416
Repetidos) no cálculo da integral envolvida na expressão da Função de Transição de Fresnel.
O uso de um método numérico mais eficiente resolveria o problema, sem necessidade de
efetuar o teste de condição.
Se for feita a opção pelo uso das expressões aproximadas, não é necessário inserir o teste de
condição. As próprias aproximações geram F[x] = 1 para x > 10 (aproximadamente).
A.3.2. Independência dos cálculos em relação à escolha das faces
“0” e “n”
Na Seção A.11.3 do Apêndice 11, é apresentado um programa que determina os coeficientes
de difração Ds,h de um raio difratado. Serão apresentadas duas execuções do programa, onde
apenas uma das faces é iluminada. As duas execuções representam a mesma situação física,
ou seja, ambas analisam o mesmo raio incidente e o mesmo raio difratado. Porém, na primeira
execução, a face onde o raio incide é denominada face “0”; na segunda execução, a
denominação de faces é invertida.
A situação de iluminação de ambas as faces simultaneamente também foi testada, gerando,
assim como nas outras situações, resultados iguais de Ds,h independente da denominação das
faces. Para evitar repetição, são apresentadas apenas as execuções para uma face iluminada.
No exemplo que será apresentado, foi feita incidência segundo o plano normal à aresta (a
aresta é reta por simplicidade e por ser essa a situação de interesse no método de traçado de
raios), ou seja, o problema foi resumido a duas dimensões para simplificar a implementação
do cálculo de θi , embora as conclusões obtidas sejam gerais. Em duas dimensões, θi pode ser
obtido da seguinte maneira, com o auxílio da Figura A.3.2.
417
a - apenas face “0” iluminada b - apenas face “n” iluminada
c - ambas as faces iluminadas
Figura A.3.2 - Determinação de ângulos de incidência em duas dimensões
Apenas face “0” iluminada
Seja a Figura A.3.2a :
'2
: para0hs, ii0 φ−π=θ=θΓ (A.3.6)
o módulo é necessário devido à situação em
que φ’ > π/2 (quando o raio incidente passou
por 0n , no sentido horário da ilustração ao lado)
“0”“n”
θi0,nθin,0
“n”“0”
n,0n
0,nnnπ
“0” “n”
θi0
θin nπ
φ’
3π/2
0n
nn−
f
“0”“n”
θin
θi0nπ
φ’
prolongamentodo raio
normal àface “0”
θi0
nn
0n−
f
418
2
3'n : para
nhs, iin
π−φ−π=θ=θΓ (A.3.7)
o módulo é necessário devido à situação em que
φ’ > (nπ - 3π/2) (quando o raio incidente passou
por nn− , no sentido horário da ilustração ao lado)
Apenas face “n” iluminada
Seja a Figura A.3.2b :
π−φ−π=θ=θΓ
2' : para
0hs, ii0 (A.3.8)
o módulo é necessário devido à situação em que
φ’ > 3π/2 (quando o raio incidente passou por 0n− ,
no sentido anti-horário da ilustração ao lado).
Essa situação é a representada na ilustração ao lado.
( )'n2
: paranhs, iin φ−π−π=θ=θΓ (A.3.9)
o módulo é necessário devido à situação em que
φ’ < (nπ - π/2) (quando o raio incidente passou por nn ,
no sentido horário da ilustração ao lado)
Ambas as faces iluminadas
Seja a Figura A.3.3c :
'2
: para0hs, ii0 φ−π=θ=θΓ (A.3.10)
vale o mesmo comentário feito para a
situação em que apenas a face “0” é iluminada
419
2'n: para
nh,s iin
π−φ−π=θ=θΓ (A.3.11)
vale o mesmo comentário feito para a
situação em que apenas a face “n” é iluminada
A.3.3. Conferência de quadrantes dos ângulos φ e φ’
Na definição dos ângulos φ e φ’ em (4-81) e (4-79), respectivamente, foi utilizada uma
metodologia para verificação se a função arco cosseno utilizada gera o ângulo correto, ou
seja, gera um ângulo no quadrante correto. A obtenção da metodologia é simples, como
descrito a seguir.
Pela análise da Figura 4-10, verifica-se que :
se 0 ≤ φ’ ≤ π
o cosseno do ângulo formado entre os vetores 0'
.proj n e s&
será negativo ou nulo, de
forma que ( ) 0n.s 0'
.proj ≥−&
se π < φ’ < 2π
o cosseno do ângulo formado entre os vetores 0'
.proj n e s&
será positivo, de forma que
( ) 0n.s 0'
.proj <−&
se 0 ≤ φ ≤ π
o cosseno do ângulo formado entre os vetores 0.proj n e s&
será positivo ou nulo, de
forma que ( ) 0n.s 0'
.proj ≥&
se π < φ < 2π
o cosseno do ângulo formado entre os vetores 0.proj n e s&
será negativo, de forma que
( ) 0n.s 0'
.proj <&
420
Dessa forma, são definidos os valores :
( )0.proj
0'
.proj
n.sT
n.s'T&
&
=
−=(A.3.12)
Se T’ ≥ 0 e o ângulo φ’ obtido pela função arccos não atender a 0 ≤ φ’ ≤ π, o ângulo obtido,
embora possua o mesmo cosseno do ângulo correto, está no quadrante errado. O mesmo é
válido para T, em relação ao ângulo φ. O mesmo raciocínio deve ser aplicado na situação
onde T’ (T) < 0, quando então devemos ter π < φ’ (φ) < 2π.
Se é verificado que o ângulo calculado não está correto, a correção de quadrante é feita
subtraindo-se o ângulo calculado de 2π (ângulo correto = 2π - ângulo calculado).
A.3.4. Referências Bibliográficas
[1] - D. A. McNamara, C. W. I. Pistorius and J. A. G. Malherbe, “Introduction to the
Uniform Geometrical Theory of Diffraction,” Artech House, 1990.
[2] - Constantine A. Balanis, “Advanced Engineering Electromagnetics,” John Wiley &
Sons, 1989.
[3] - Robert G. Kouyoumjian and Prabhakar H. Pathak, “A Uniform Geometrical Theory os
Diffraction for an Edge in a Perfectly Conducting Surface,” Proceedings of the IEEE,
vol. 62, no. 11, Nov. 1974.
[4] - Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, “Handbook of Mathematical Functions,”
Dover Publications, Inc., 1970.
APÊNDICE 4 - INTERSEÇÃO ENTRE RAIO E FACE E
BACKFACE CULLING
Este Apêndice apresenta o detalhamento relativo ao teste de sombreamento, envolvendo
também a técnica básica Backface Culling. Em conjunto com o Capítulo 5, o presente
Apêndice fornece as metodologias necessárias à determinação de interseções entre raios e
faces planas.
A.4.1. Backface Culling
Essa técnica permite que seja verificado se determinada face de um sólido pode ser atingida
por um dado raio, ou se a face está encoberta por outras do sólido. O teste é feito verificando-
se a relação entre o vetor diretor do raio e o vetor normal à face analisada, orientado para fora
do sólido do qual a face faz parte. A Figura A.4.1 ilustra o procedimento de Backface Culling.
Figura A.4.1 - Backface Culling
u
1n
2n
422
Uma face pode ser atingida pelo raio se a seguinte condição for satisfeita :
0n.u < (A.4.1)
onde u é o vetor diretor do raio propagante e nˆ é a normal à face analisada.
O Backface Culling determina, portanto, se a face está “de frente” para o raio. Caso a
condição não seja atendida, a face pode ser descartada em verificações de obstrução. O teste
também pode ser utilizado para que seja verificado se um raio que parta de determinada
origem pode atingir a face. Nesse caso (muito útil para o Método das Imagens), o vetor u do
teste é o vetor com origem no ponto fonte em questão e fim em um dos vértices da face a ser
analisada.
A.4.2. Interseção entre raio e face (teste de sombreamento)
A verificação de interseção raio-face é um procedimento primordial em uma técnica de
traçado de raios e deve ser utilizada sempre que for necessário testar o bloqueio de um raio
por determinada face. No Método SBR, o teste de sombreamento é realizado no percurso de
todos os novos raios gerados, para determinar se alguma face é interceptada. Caso sejam
utilizadas técnicas de aceleração apropriadas, será menor o número de faces para as quais seve
ser aplicado o teste de sombreamento. No Método das Imagens, as metodologias descritas
nesse Apêndice podem ser utilizadas na sua totalidade, para o teste de sombreamento em um
determinado percurso (Tx - face, face - face, ou face - Rx) já definido, como também pode ser
utilizada apenas a porção deste Apêndice relativa à verificação se um determinado ponto do
plano da face está sobre a face (Seção A.4.2.3 do Apêndice). O uso apenas da Seção A.4.2.3 é
necessário quando se deseja verificar se um possível ponto de reflexão determinado em um
plano pelo Método das Imagens é, de fato, um ponto de reflexão (está sobre uma face do
plano).
Da mesma forma, a implementação da busca por pontos de difração em conjunto com o
Método das Imagens também requer a realização de testes de sombreamento nos percursos
definidos pelas classes de trajetórias de raios.
423
O teste de sombreamento consiste de duas etapas básicas :
− verificação da interseção entre o raio e o plano que contém a face;
− verificação se o ponto de interseção pertence à face.
Para a execução do teste é necessário que se conheça a respeito de cada face :
− equação do plano que contém a face (descrita na Seção A.4.2.1 deste Apêndice);
Embora haja mais de uma maneira de se definir o plano, a definição através do uso
do vetor unitário normal é mais conveniente;
− vetor normal à face (detalhamento apresentado no Apêndice 7, Seção A.7.2).
Uma forma de acelerar a busca por faces para a realização do teste de sombreamento (na
ausência de uma técnica de aceleração específica para tal), ao invés de se testar todas as faces,
é realizar antes o teste Backface Culling. Seja uma determinada face, define-se :
b&
- vetor ligando a origem do raio a qualquer vértice da face analisada
n - normal à face
Se b&
. n < 0 , é possível que a face seja atingida pelo raio; caso contrário, a face não precisa
ser testada quanto ao sombreamento. A aplicação do Backface Culling, embora não garanta a
eliminação de todas as faces, já que podem existir faces situadas atrás do raio (sem interesse,
portanto) que atendam à inequação do produto escalar, permite que se elimine faces
localizadas à frente do raio que nunca poderiam ser atingidas por não estarem voltadas para
ele.
A.4.2.1. Plano que contém a face
A determinação das equações dos planos das faces do cenário é um procedimento que ocorre
uma única vez na execução do programa de traçado de raios.
424
A equação de um plano é escrita da forma Ax + By + C z + D = 0. Embora a forma de se
determinar a equação de um plano não seja única, é apresentada a maneira usual, através do
vetor unitário normal ao plano. Conhecendo-se o vetor unitário normal à face, os coeficientes
são dados por :
)CzByAx(D
n)C,B,A(
111 ++−==
(A.4.2)
onde :
(x1 , y1 , z1) - qualquer ponto da face (um vértice, por exemplo)
A.4.2.2. Verificação de interseção entre o raio e o plano da face
Primeiramente deve ser definida a reta que contém o raio. As equações paramétricas de uma
reta no espaço são [1] :
x = x0 + λa
y = y0 + λb (A.4.3)
z = z0 + λc
onde :
(a,b,c) = u - vetor unitário diretor do raio
(x0, y0, z0) - ponto qualquer conhecido, sobre a reta
(x, y, z) - ponto sobre a reta, para um dado valor de λ
λ - parâmetro que, ao percorrer os números Reais, descreve a reta. O parâmetro λ
é positivo se o ponto (x, y, z) é posterior ao ponto (x0 , y0 , z0), no sentido do
vetor diretor (a, b, c); equivalentemente, λ será negativo para pontos anteriores
à (x0 , y0 , z0).
A verificação da interseção propriamente dita é efetuada pelo produto escalar nˆ.u , onde u é o
vetor unitário diretor do raio e nˆ é a normal à face em questão.
Se n.u = 0 , há duas possibilidades de interesse. São elas :
425
− o raio é paralelo ao plano e, portanto, não há interseção;
− raio está sobre o plano. Para isso, também é necessário que
0Dn.r0 =+&
(A.4.4)
onde :
0r&
- vetor que une a origem do sistema de coordenadas fixo ao cenário à
origem do raio (ponto onde o raio surge)
D - um dos coeficientes da equação do plano, como já descrito
Nesse caso, é possível que o raio propagante atinja um lado da face, causando
difração (método SBR). No Método das Imagens, uma ocorrência desse tipo (raio
sobre um plano e que intercepta uma aresta nesse plano) é também considerada
obstrução, e conclui-se que o percurso analisado não pode existir. Para que seja
feita essa verificação, são utilizadas as expressões de verificação de cruzamento
entre uma linha orientada (o raio sobre o plano, nesse caso) e um segmento (cada
lado da face sobre o plano), (A.4.7). Basta que seja verificada a existência de um
cruzamento com um lado qualquer de uma face para que se conclua que o
percurso analisado não existe (Método das Imagens).
A expressão (A.4.4) é compreendida através da explicação que se segue. Em equações de
plano representadas da forma Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor unitário normal
ao plano, o coeficiente D é a distância perpendicular entre a origem do sistema de
coordenadas e o plano (D é positivo se a orientação da normal é voltada para a origem e é
negativo em caso contrário). O produto nˆ.r0&
fornece a distância perpendicular entre a origem
do raio e a origem do sistema de coordenadas, como ilustra a Figura A.4.2.
426
Figura A.4.2 - Raio sobre o plano da face
Pela Figura A.4.2 é observado facilmente que, se Dn.r0 −=&
, o ponto origem do raio estará
sobre o plano. Como a condição 0n.u = já havia sido atendida, conclui-se que o vetor está
sobre o plano.
Por outro lado, se 0n.u ≠ há interseção entre o plano da face e a reta que contém o raio. A
determinação do ponto de interseção entre a reta que contém o raio e o plano que contém a
face é feita da forma que se segue.
Um ponto de interseção reta-plano corresponde ao valor de λ : [1]
( )CcBbAa
DCzByAx 000
+++++
−=λ (A.4.5)
onde :
(x0 , y0 , z0) - ponto origem do raio, que é um ponto conhecido da reta
A, B, C e D - coeficientes da equação do plano
(a, b, c) - vetor unitário diretor do raio
Só interessam valores positivos de λ, pois valores negativos correspondem a faces
interceptadas pela reta do raio, mas que estão atrás do ponto origem do raio, (x0 , y0 , zo).
origem do sistema decoordenadas
0r&
n
raio paralelo aoplano
D(negativo)
427
Uma vez calculado o valor de λ, se este é maior que zero, são usadas as equações (A.4.3), e o
ponto de interseção (xi , yi , zi) é determinado.
Para cada face testada quanto à interseção com o raio, será obtido um valor de λ (poderá
haver valores iguais, para faces situadas em um mesmo plano). O valor de λ é maior para
pontos mais afastados do ponto origem (x0 , y0 , z0), na direção do unitário diretor do raio.
Para o Método das Imagens, como o raio para o qual será aplicado o teste de sombreamento já
possui pontos origem e fim conhecidos, primeiramente são determinados os valores de λ para
esses dois pontos. Os valores de λ de interesse (válidos) serão apenas os que estiverem entre
os dois valores limite obtidos.
Para ambos os métodos (SBR e Imagem), todos os valores válidos de λ obtidos são então
dispostos em ordem crescente. É então verificado se os pontos de interseção correspondentes
a cada valor de λ armazenado (seguindo a ordenação crescente) pertencem a uma face contida
em cada plano, ou se pertencem apenas ao plano (situação em que não há interesse). Tão logo
seja encontrado um ponto de interseção pertencente a uma face, o processo de busca é
interrompido e a interseção raio-plano é confirmada. É interessante atentar para o fato de que,
em implementações baseadas no Método das Imagens, não importa qual é a primeira face
interceptada, e sim, apenas se alguma face é interceptada ou não (o que é suficiente para que
se decida se determinado percurso existe ou não). Portanto, nesse tipo de implementação, não
é necessário que se ordene λ.
Outra solução possível seria calcular λ para todas as faces (independente de orientação da
face em relação ao raio) e, após eliminadas todas as faces que apresentassem λ < 0, aplicar o
Backface Culling para eliminar faces à frente do raio mas que não poderão ser atingidas por
ele. A implementação de ambas as soluções pode indicar qual abordagem é a mais eficiente.
Alternativamente, quando os pontos origem e fim do raio (pontos 10 r e r&&
, respectivamente)
são conhecidos, o que ocorre em implementações baseadas no Método das Imagens, a
428
expressão (A.4.6) a seguir pode ser utilizada em lugar do tratamento apresentado até aqui
(envolvendo o parâmetro λ).
( ) n.rr
Dn.rt
01
0i &&
&
−+−= (A.4.6)
onde, há interseção raio-plano se 0 ≤ ti ≤ 1
Pela Figura A.4.3 é possível compreender o significado da expressão (A.4.6).
Figura A.4.3 - Interseção raio plano da face
Na expressão (A.4.6), ( ) n.rr 01
&&
− é o comprimento do raio projetado perpendicularmente ao
plano, enquanto que ( )Dn.r0 +&
é a soma da distância perpendicular ao plano entre a origem do
sistema de coordenadas e a origem do raio com a distância perpendicular entre a origem do
sistema e o plano (D). Sempre que ( ) n.rr 01
&&
− for maior que ( )Dn.r0 +&
, o raio terá atravessado
o plano. O sinal negativo em (A.4.6) serve para inverter o sinal da razão entre as projeções e,
assim, tornar ti positivo caso haja interseção, de forma que seu valor seja usado na equação
paramétrica do raio ( )010 rrtr)t(r&&&&
−+= para determinar o ponto de interseção.
0r&
1r&
n
origem do sistemade coordenadas
D(negativo)
n.r0
&
( ) n.rr 01
&& −
429
A determinação do ponto de interseção raio-plano através de (A.4.6) e da equação paramétrica
do raio é interessante para se calcular pontos de reflexão no Método das Imagens, por
exemplo, onde são conhecidos a origem e o fim do raio.
O processo de determinação se um ponto de interseção raio-plano pertence a uma face do
plano é descrito no item seguinte.
A.4.2.3. Verificação se o ponto de interseção raio-plano pertence a uma
face
O procedimento, conhecido por Jordan Curve, é apresentado a seguir (Figura A.4.4). [2]
− a partir do ponto de interseção, é traçada uma semi-reta orientada (linha orientada) em
qualquer direção, sobre o plano da face;
− é então computado o número de cruzamentos da linha orientada com os lados da face.
• se o número for par, o ponto de interseção está fora da face
• se o número for ímpar, o ponto de interseção está dentro da face
Figura A.4.4 - Teste Jordan Curve
(pontos ir&
são exemplos de pontos de interseção)
.ir*
.
3 cruzamentos → dentro da face
2 cruzamentos → fora da face
X
Yir*
430
Aqui é importante atentar para a situação em que um mesmo plano contenha mais de uma
face. Na contagem do número de interseções entre a linha orientada e os lados de face, deve
ser verificado se todos os lados interceptados pertencem a uma mesma face. A contagem não
deve misturar interseções em lados de faces distintas situadas em um mesmo plano.
A.4.2.3.1. Cruzamento da linha orientada com os lados da face
− é inserido um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional sobre o plano (para
simplificar, um dos eixos pode ser um dos lados da face, e o outro, naturalmente,
perpendicular ao primeiro);
− para simplificar e otimizar o algoritmo, a linha traçada a partir do ponto de interseção é
paralela ao eixo x (Figura A.4.4). A aplicação dos procedimentos que serão
apresentados depende desse detalhe, como ficará claro.
Os lados da face são segmentos com extremos dados por
( ) ( )2s2ss21s1s1s y,xr e y,xr ==&&
, no sistema de coordenadas do plano. Cada segmento
tem a seguinte equação paramétrica :
( ) 1t0 , rrtrr 1s2s1s ≤≤−+=&&&&
Ocorre interseção linha orientada-segmento se as condições seguintes forem
satisfeitas :
ys1 ≠ ys2 ;
0 ≤ ts ≤ 1 , onde 1s2s
1sis yy
yyt
−−= ; (A.4.7)
xi ≤ xs1 + ts(xs2 – xs1) .
A primeira condição em (A.4.7) assegura que a linha orientada e o segmento não são
paralelos; a segunda, garante que a reta que contém a linha orientada efetivamente
intercepta o segmento, e não apenas a reta que contém o segmento; e a terceira
condição certifica que a linha orientada não está cruzando o segmento em um ponto
situado antes do primeiro ponto da linha orientada, ou seja, assegura que a interseção
431
ocorre efetivamente entre o segmento e a linha orientada, e não apenas entre o
segmento e a reta que contém a linha orientada.
A situação em que ( )1s2ss1si xxtxx −+= corresponde à difração (método SBR) ou,
evidentemente, ao descarte do percurso analisado, no Método das Imagens.
− uma situação particular ocorre quando o segmento está total ou parcialmente contido
na linha orientada. Para isso, as condições (A.4.8) a seguir devem ser satisfeitas :
ys1 = ys2 = yi ; (A.4.8)
xi < xs1 ou xi < xs2 . (xi não pode ser menor que ambos xs1 e xs2)
A primeira condição em (A.4.8) garante que o segmento está na reta que contém a
linha orientada; e a segunda, assegura que há pelo menos uma porção (e apenas uma
porção) do segmento à frente da origem da linha orientada. Se essa situação ocorrer,
não serão realizadas as verificações de interseção entre a linha orientada e os outros
segmentos. O ponto de interseção pertence à face (está sobre uma aresta do sólido), e
ocorre difração (método SBR) ou conclui-se que o percurso não existe, no Método das
Imagens.
Um problema verificado no algoritmo da Jordan Curve é a situação em que a linha orientada
cruza apenas vértice (um ou mais de um) e nenhum lado da face pois, nesse caso, a linha pode
entrar ou sair da face e o algoritmo não perceberá. Uma alternativa de solução seria a
seguinte. Ao se verificar que essa situação ocorreu, é feito com que o sistema de coordenadas
criado sobre o plano mude de orientação. Como a linha orientada é paralela a x, ela também
terá sua direção alterada e a verificação de cruzamento recomeça, possivelmente, sem o
cruzamento de vértices apenas. A translação do eixo x também é uma solução possível, desde
que se garanta que a linha orientada seja criada sobre este eixo (e não apenas paralela a ele),
de forma que ela seja também transladada. A referência [3] propõe um método muito mais
elaborado e que, segundo a própria referência, é o método ótimo para se resolver o problema.
432
A.4.2.4. Sumário do procedimento
Os diagramas a seguir sumarizam o procedimento de teste de interseção raio-face (teste de
sombreamento).
Figura A.4.5 - Sumário do procedimento de teste de interseção raio-face (I)
reta que contém o raioplano
raio e plano são paralelos ?
raio no plano ?
raio rasante aoplano
não há interseçãoraio-plano
SIM
SIM
NÃO
NÃO
face
determinação do planoda face
determinação do ponto deinterseção reta-plano
plano a frente do raio(λ > 0) ?
SIM NÃO
não há interseçãoraio-planoarmazenamento da posição da
face segundo ordenaçãocrescente de valores de λ
realizado uma únicavez na execução
interseção com ladode face, no plano ?
SIM NÃO
Método SBR : difração
Método das Imagens :percurso analisado nãoexiste
não há interseçãoraio-plano
433
Uma observação a ser feita é de que, no Método das Imagens, o teste “plano a frente do raio
(λ > 0) ?” é substituído por “plano entre início e fim do raio ?”. A resposta ao teste é obtida
pela comparação entre λ obtido e os valores de λ do ponto origem do raio (λ = 0) e do ponto
fim do raio, como já explicado (a menos que se use a expressão alternativa apresentada,
através do parâmetro ti de interseção raio-plano).
Figura A.4.6 - Sumário do procedimento de teste de interseção raio-face (II)
Vale ressaltar que o procedimento de determinação se o ponto de interseção pertence
efetivamente a uma face do cenário é executado uma vez apenas por plano, independente do
plano possuir mais de uma face.
procedimento é repetido paratodos os planos a serem
analisados
ponto de interseção (segundoordenação feita) pertence a
face do plano ?
SIM NÃO
há interseção raio-face eo teste é terminado
plano testado era oúltimo da lista
ordenada ?
SIM NÃO
o raio não interceptanenhuma face
é testado o próximoelemento da lista
ordenada
434
A.4.2.5. Otimização do algoritmo de interseção raio-face, para faces
especiais
Uma proposta de otimização dos procedimentos descritos é apresentada em [2] e parte do
princípio de que muitas das faces do cenário serão verticais. Para essas faces, pode-se utilizar
um outro algoritmo de teste de interseção raio-face, cuja implementação é descrita adiante.
− o eixo z do sistema de coordenadas fixo ao cenário deve ser orientado verticalmente
(embora essa seja uma escolha natural, aqui é uma obrigatoriedade). Dessa forma, o
plano xy corresponde ao plano horizontal do cenário, perpendicular, portanto, às faces
verticais. Esse sistema é o ilustrado na Figura 5-1, no Capítulo 5;
− no plano horizontal (plano xy), as faces verticais são representadas por segmentos, que
correspondem à projeção horizontal da face. Dessa maneira, a análise da interseção
raio-face é dividida em duas etapas :
• a reta que contém o raio propagante é projetada sobre o plano horizontal (anulando
a componente z da reta). É determinado se há interseção da reta projetada com o
segmento (projeção da face). Esse primeiro passo é reduzido a um teste de
interseção em duas dimensões;
• caso seja encontrado um ponto de interseção, a componente z do raio deve ser
determinada. O valor de z é comparado com os valores de z dos vértices da face
analisada, determinando se o ponto efetivamente está sobre a face.
O procedimento apresentado a seguir descreve como se determina interseção entre
segmentos em um plano (plano xy, no caso), e é necessário para se determinar a
interseção entre a projeção do raio e a projeção da face, no plano xy.
A.4.2.5.1. Interseção entre segmentos no plano xy
Os dois segmentos envolvidos são determinados pelos seus extremos
( ) ( ) ( ) ( )4s4ss43s3ss32s2ss21s1s1s y,xr , y,xr e y,xr , y,xr ====&&&&
, respectivamente.
435
Na reta que contém o raio, um dos pontos (xs , ys) é a própria origem do raio, sem a
componente z, (x0 , y0). O outro ponto (xs , ys) da reta do raio (referente ao extremo oposto à
origem do raio), no Método das Imagens é o ponto fim do raio (já conhecido), sem a
componente z. No método SBR, entretanto, esse ponto (xs , ys) deve ser determinado da
seguinte maneira :
• no início da execução, deve ser estipulado um par (xM , yM), fixo, limite para o
cenário;
• a equação da reta que contém o raio, projetada em xy é :
x = x0 + λa’ (A.4.9)
y = y0 + λb’
onde :
x0 e y0 - componentes x e y da origem do raio
(a’, b’) - vetor diretor (u ) do raio projetado em xy
projeção de u em xy : ( )zz.uuP −=&
, onde zˆ é o unitário do
eixo z
unitário : )'b,'a( P
P'u == &
&
λ - parâmetro que, percorrendo os números Reais, descreve a projeção
da reta
• nas equações (A.4.9) é feito x = xM e y = yM
Serão obtidos então, dois valores para λ (será obtido um mesmo valor para λ
apenas se, por coincidência, o par (xM , yM) pertencer à reta). Deve ser escolhido o
menor valor, positivo, de λ. Com o valor escolhido de λ, é calculado xs (ou ys)
oposto à origem do raio. A outra componente (ys , ou xs , respectivamente) será o
próprio yM ou xM , conforme o λ escolhido tenha sido obtido à partir de yM ou de
xM , respectivamente.
436
Se os dois λ’s obtidos forem negativos, deve ser estipulado (xM , yM) = (0, 0). Essa
nova coordenada é então levada às equações (A.4.9) e o menor valor, positivo de λ
deve ser tomado, como já descrito para par (xM , yM) original.
Uma observação a ser feita é que, para o funcionamento do procedimento descrito,
é necessário que o posicionamento da origem do sistema de coordenadas fixo ao
cenário seja da forma ilustrada na Figura 5-1, em um extremo do cenário.
Obtidos os dois pontos extremos de ambos os segmentos, o teste de interseção continua
através da definição dos seguintes coeficientes :
A = ys2 – ys1 , A’ = ys4 – ys3 , B = xs1 – xs2 , B’ = xs3 – xs4 ,
C = ys1xs2 – ys2xs1 , C’ = ys3xs4 – ys4xs3 (A.4.10)
Se AB’ – A’B = 0, os segmentos são paralelos, e não há interseção, a menos que o raio esteja
no plano da face, quando então deve ser verificado se há interseção; caso contrário, as retas
que contêm os segmentos se interceptam no ponto :
B'A'AB
A'C'CAy
B'A'AB
C'B'BCx II −
−=−−= (A.4.11)
Deve ainda ser verificado se o ponto (xI , yI) efetivamente pertence aos dois segmentos. Para
isso, as condições a serem atendidas são :
1yy
yy0 ou 1
xx
xx0
; 1yy
yy0 ou 1
xx
xx0
3s4s
3sI
3ss4
3sI
1ss2
1sI
1s2s
1sI
≤−−
≤≤−−
≤
≤−−
≤≤−−
≤(A.4.12)
Não foi investigada a situação em que o raio está no plano da face. Nessa situação, caso os
dois segmentos tenham pelo menos um ponto em comum, há possibilidade de interseção raio-
face.
437
A.4.2.5.2. Determinação da componente z
Verificado que o ponto de interseção (xI , yI) pertence a ambos os segmentos, deve ser
determinada a componente z correspondente a esse ponto. Sejam :
(xi , yi , zi) - coordenada do ponto inicial (Pi) do segmento de reta que contém o raio
(xf , yf , zf) - coordenada do ponto final (Pf) do segmento de reta que contém o raio
(xI , yI , zI) - coordenada do ponto de interseção (PI) entre o segmento de reta que
contém o raio e o plano da face
A - distância entre as projeções de PI e Pi no plano xy. Deve ser utilizada
expressão de distância do Apêndice 7 (Seção A.7.1), com (x1 , y1 , z1) =
(xi , yi , 0) e (x2 , y2 , z2) = (xI , yI , 0)
B - distância entre as projeções de Pf e Pi no plano xy. Cálculo da mesma
forma de A, porém (x1 , y1 , z1) = (xi , yi , 0) e (x2 , y2 , z2) = (xf , yf , 0)
Obtém-se ( )
B
A.zz'z if −= , e a coordenada zI é dada por z = zi + z’.
É verificado se a componente zI corresponde a um ponto sobre uma face do plano, através da
comparação de zI com as componentes z dos vértices da face (ou das faces) do plano. Se é
verificado que o ponto de interseção pertence a uma face do plano, é feita a ordenação
segundo λ conforme já apresentado na metodologia de cálculo de interseção anterior. A
ordenação basear-se-á nos valores de λ dos pontos de interseção obtidos por (A.4.5) quando
levados às expressões (A.4.3), onde é feito x = xI e y = yI .
Caso o ponto de interseção não pertença a nenhuma face, não é necessário incluir o respectivo
plano interceptado na lista ordenada de valores de λ, naturalmente.
É importante observar que a implementação de Técnicas de Aceleração conforme as
propostas no Capítulo 5, por exemplo, pode implicar em adaptações em alguns procedimentos
do teste de sombreamento proposto nesse Apêndice. Deve ser feita uma análise cuidadosa
para que as técnicas de aceleração se adequem ao método de forma coerente.
438
A.4.3. Referências Bibliográficas
[1] - Luiz Adauto Medeiros, Nirzi Gonçalves de Andrade e Augusto Maurício Wanderley,
“Álgebra vetorial e Geometria”, Editora Campus, 1981.
[2] - Manuel F. Cátedra and Jesús Pérez-Arriaga, “Cell Planning for Wireless
Communications,” Artech House - Mobile Communications Series, 1999.
[3] - A. S. Glassner, (Ed.), “An Introduction to Ray Tracing,” San Diego, CA, Academic
Press, 1989.
APÊNDICE 5 - RECEPÇÃO - ESFERA DE RECEPÇÃO
(MÉTODO SBR)
Esse Apêndice apresenta o método de determinação da recepção de um raio por um ponto de
recepção, através do conceito de esfera de recepção, apresentado na Seção 5.4.2.3 do Capítulo
5 e na Seção A.2.2.1 do Apêndice 2. Antes, porém, é descrito um breve procedimento para a
escolha dos pontos de recepção a serem analisados quanto à recepção de determinado raio.
Esse procedimento pode ser entendido como uma técnica de aceleração para a determinação
dos pontos de recepção relevantes para determinado raio propagante, no Método SBR
(Shooting and Bouncing Rays).
Para cada raio propagante deve ser verificado onde o raio termina, ou seja, primeiramente
devem ser realizados os testes de sombreamento, para verificar se o raio é obstruído. Esse
procedimento é exatamente o procedimento usual a ser adotado com todo raio a partir de sua
geração, como já descrito. Caso o raio seja obstruído, o plano que contém a face interceptada
dividirá o cenário em duas partes. Só deverão ser analisados quanto à recepção os pontos de
recepção localizados antes do plano (em relação à normal ao plano).
A etapa seguinte consiste na definição da posição relativa entre todos os pontos de recepção e
o plano interceptado. Sejam :
P&
- vetor ligando o ponto de recepção ao ponto de interseção
n - normal à face interceptada (orientada para fora do sólido do qual a face faz parte,
como definição usual da normal)
Se 0P.n <&
, o ponto de recepção está à frente do plano em relação à normal ao plano.
A verificação é feita para todos os pontos de recepção, até que se determine quais estão antes
(à frente) do plano. Dentre os pontos situados à frente do plano de interseção, devem ser
escolhidos para verificação de recepção apenas aqueles que estejam também à frente da
origem do raio. Sejam :
440
u - vetor unitário diretor do raio
RP&
- vetor com origem na origem do raio e extremo no ponto de recepção
Se RP.u&
< 0 , o ponto de recepção está após o início do raio e deverá, então, ser considerado.
Os dois produtos escalares apresentados, aplicados a todos os pontos de recepção, permitem
que se limite o número de pontos de recepção a serem examinados quanto à recepção. Caso o
raio não seja obstruído, é feito apenas o segundo produto escalar, evidentemente.
Definidos os pontos de recepção a serem analisados quanto à recepção do raio, as seguintes
etapas devem ser realizadas para que se determine a recepção. Sejam :
u - unitário diretor do raio
P0 - ponto de recepção
W - ponto origem do raio
− é definido o vetor ( )WP0
&&
− , onde :
0P&
- vetor que une a origem do sistema de coordenadas fixo ao cenário ao ponto P0
W&
- vetor que une a origem do sistema de coordenadas fixo ao cenário ao ponto W
− é calculada a distância d’ entre o ponto W e a projeção perpendicular do ponto de
recepção sobre a reta que contém o raio (Figura A.5.1). A distância d’ é dada por :
( ) u. WP'd 0
&&
−= (A.5.1)
Figura A.5.1 - Geometria auxiliar para verificação de recepção (Método SBR)
.uP0.
W
raio
WP0
&&
−
.d’
PI
441
− o comprimento unfolded será a soma de d’ com a distância total percorrida pelo passado
do raio (família de raios que lhe deu origem), de acordo com sua fonte, como já explicado
no Capítulo 5, na sua Seção 5.4.2.3.
− é determinado o ponto de interseção entre a reta do raio e a reta perpendicular a ela e que
passa pelo ponto de recepção, Po . Ou seja, é determinado o ponto de recepção projetado
sobre a reta que contém o raio (Figura A.5.1). Esse ponto é determinado da seguinte
forma. Sejam :
zzyyxxW
e zzyyxxu'd'd
WWW
'd'd'd
++=
++==&
&
(A.5.2)
O vetor que une a origem ao ponto de interseção PI é dado por ( )W'd&&
+ e, então o ponto de
interseção PI é dado por : PI = (xd’ + xW , yd’ + yW , zd’ + zW) .
− a última etapa consiste na verificação se a projeção perpendicular do ponto de recepção
sobre o raio, PI , pertence à esfera de recepção. Sejam :
(xI , yI , zI) - ponto de interseção (PI)
(x0 , y0 , z0) - ponto de recepção (P0)
3
dR
α= - raio da esfera de recepção centrada no ponto de recepção
• verificação :
(xI - x0)2 + (yI - y0)
2 + (zI - z0)2 ≤ R2 (A.5.3)
Se o resultado da verificação (A.5.3) for verdadeiro, o raio é recebido.
APÊNDICE 6 - DETERMI NAÇÃO DO RAIO
TRANSMITIDO - PONTO DE GERAÇÃO
DO RAIO E DIREÇÃO DE PROPAGAÇÃO
A.6.1. Direção do raio refratado
Baseado no desenvolvimento apresentado em [1, Sec. 5.4.2] e em [2, Sec. 9.8], é apresentado
a seguir o procedimento de cálculo do ângulo real de refração na primeira interface de uma
estrutura atravessada (Figura 4-6 e Figura 5-5), cujo resultado consta no Capítulo 4,
expressões (4-37) a (4-42). Seja a Figura A.6.1.
a b
Figura A.6.1 - Geometria para cálculo de ângulo de refração
Na Figura A.6.1a, o meio 1 é o ar e o meio 2 é o meio que compõe a estrutura. Define-se,
então :
γ1 = α1 + jβ1 = jβ1 (A.6.1-a)
γ2 = α2 + jβ2 (A.6.1-b)
z
xmeio 1 meio 2
face(primeira interface daestrutura)
θi
θt
z
x
θx
θz
443
Pela Lei de Snell da Refração (4-25) :
i22
1i
2
1t sen
j
jsensen θ
β+αβ
=θγγ
=θ (A.6.2)
( )ν+ν==θ
β+α
β−±=θ−±=θ ν senjcosssesen
j
j1sen1cos j
i2
2
22
1t
2t
(A.6.3)
A expressão do campo refratado para o meio 2 pode ser escrita da seguinte forma :
2E&
= 2E&
exp[-γ2(x.senθt + z.cosθt)] = 2E&
exp[-(α2 + jβ2)(x.senθt + z.cosθt)] (A.6.4)
Substituindo (A.6.2) e (A.6.3) em (A.6.4) :
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]{ }νβ+να+θβ−νβ−να−=
=
ν+ν+θ
β+αβ
β+α−=
cossens.zsenxjexpsencoss.zexpE
senjcoss.zsenj
j.xjexpEE
22i1222
i22
12222
&
&&
(A.6.5)
Fazendo :
p = s(α2 cosν - β2 senν) (A.6.6-a)
q = s(α2 senν + β2 cosν) (A.6.6-b)
E levando em (A.6.5), tem-se :
2E&
= 2E&
exp(-zp)exp[-j(β1 x.senθi+zq)] (A.6.7)
Deseja-se escrever a segunda exponencial de (A.6.7) da forma exp[-j(β’ z z + β’ x x)], onde :
β’ z = β’cosθz - constante de propagação da onda em z (Figura A.6.1b)
'
'cos z
z ββ=θ (A.6.8)
444
β’ x = β’cos θx = β’sen θz - constante de propagação da onda em x (Figura A.6.1b)
'
'sen x
z ββ=θ (A.6.9)
Como 22z
2x ''' β=β+β :
2z
2x
zz
''
'cos
β+β
β=θ ;
2z
2x
xz
''
'sen
β+ββ=θ (A.6.10)
Comparando a segunda exponencial de (A.6.7) com exp[-j(β’ z z + β’ x x)], é obtido :
β’ x = β1 senθi e (A.6.11)
β’ z = q (A.6.12)
que, levados a (A.6.10), fornecem :
( ) 22i1
z
qsen
qcos
+θβ=θ ;
( ) 22i1
i1z
qsen
sensen
+θβ
θβ=θ (A.6.13)
O ângulo θz é o ângulo real entre 0 e π/2 que se deseja determinar. Para isso, é necessário que
se obtenha o parâmetro q, o que é feito conforme descrito a seguir.
O parâmetro q fica definido ao se calcular s e ν de (A.6.3). Para isso, as expressões (A.6.2) e
(A.6.3) serão apresentadas de uma forma mais conveniente aos cálculos.
Multiplicando e dividindo (A.6.2) por (α2 - jβ2) é obtido :
( ) ( )
( ) it
i2222
22
1i222
222
1t
senjbasen
senjsenjj
sen
θ+=θ
∴θα+ββ+α
β=θβ−αβ+α
β=θ(A.6.14)
onde :
22
22
21aβ+α
ββ= e 22
22
21bβ+α
αβ= (a > 0 e b > 0) (A.6.15)
445
A expressão (A.6.3) fica :
( ) ( ) ν=θ+−−=θ+−=θ−=θ ji
222i
22t
2t sesenjab2ba1senjba1sen1cos
(A.6.16)
A expressão (A.6.16) é elevada ao quadrado e os termos reais e imaginários são agrupados,
chegando a um sistema de duas equações e duas incógnitas :
1 - (a2 - b2 + 2jab) sen2θi = s2 e2jν = s2[cos(2ν) + jsen(2ν)] ∴
1 - (a2 - b2)sen2θi = s2 cos(2ν) (A.6.17-a)
-2ab sen2θi = s2 sen(2ν) (A.6.17-b)
Dividindo (A.6.17-b) por (A.6.17-a) :
( ) ( )( )
( ) (cte.) Asenba1
senab2
sen21
sen1sen2
sen21
sen1sen2
sencos
cossen2
2cos
2sen2tg
um para
dadoi
222i
2
2
2
2
2
22
iθ=
θ−−θ−
=ν−
ν−ν±
∴ν−
ν−ν±=ν−ν
νν=νν=ν
(A.6.18)
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1A4
Acos.sen
1A4
Asen1sen
1A4
Asensen
A1Asen41Asen4senA4senA4Asen4sen4
Asen4sen41
sen4sen4A
sen21
sen1sen4A
sen21
sen1sen2
2
222
2
222
2
242
224224222242
242
422
22
222
2
2
2
+=νν∴
+=ν−ν∴
+=ν−ν
∴=+ν−+ν∴ν+ν−=ν−ν
∴=ν+ν−
ν−ν∴=ν−
ν−ν∴=
ν−
ν−ν±
(A.6.19)
Sabendo que sen(2ν) = 2senνcosν :
sen2(2ν) = 2sen2νcos2ν ∴ ( )
4
2sencossen
222 ν=νν (A.6.20)
Levando (A.6.20) a (A.6.19), chega-se a :
446
( )( ) ( )
1AA
2sen1A4
A4
2sen2
2
2
22
+±=ν∴
+=ν
(A.6.21)
Da equação (A.6.17-b), sabemos que sen(2ν) ≤ 0. Então :
( )1A
A2sen 2
2
+−=ν (A.6.22)
O módulo de cosθt , s, é determinado à partir de (A.6.17-b) e (A.6.22), como se segue (na
verdade, é obtido s2 , necessário ao cálculo de q2, como será visto) :
-2ab sen2θi = s2 sen(2ν) ∴ ∴
+−=θ−
1A
Assenab2 2
22
i2
1AA
senab2s
2
2
i2
2
+
θ= (A.6.23)
De (A.6.6-a) e (A.6.6-b) :
( )( )νβ+ννβα+να=
νβ+ννβα−να=22
22222
222
22222
222
22
coscossen2sensq
sencossen2cossp(A.6.24)
Sabendo que :
2senνcosν = sen(2ν) , (A.6.25-a)
( )ν−=ν 2cos2
1
2
1sen2 e (A.6.25-b)
( )ν+=ν 2cos2
1
2
1cos2 (A.6.25-c)
( ) ( ) ( )
ν+β+νβα+
ν−α= 2cos
2
1
2
12sen2cos
2
1
2
1sq 2
22222
22 (A.6.26)
447
Da equação (A.6.17-a) é obtido :
( ) ( )2
i222
s
senba12cos
θ−−=ν (A.6.27)
que, substituido em (A.6.26), fornece q2 em função de valores conhecidos.
( )( ) ( )( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )
νβα+
θ−−+β+
θ−−−α=
=
νβα+ν+β+ν−α=
2sens
senba11
s
senba11
2
1s
2sen2cos12cos12
1sq
222i
222222
i222
22
2
2222
22
22
(A.6.28)
No numerador da expressão de cosθz , em (A.6.13), deve ser utilizado o resultado positivo da
raiz quadrada de (A.6.28), já que cosθz é positivo (0 < θz < π/2).
A.6.2. Ponto de saída e direção do raio transmitido
A seguir é apresentado o desenvolvimento para a determinação do ponto de saída S do raio
transmitido por uma estrutura, bem como sua direção. A Figura 5-5 auxilia na visualização
dos vetores e projeções apresentados desse ponto em diante. Seja iˆ o vetor unitário diretor do
raio incidente, é determinada a projeção de iˆ sobre face que o obstrui :
( )nn.iii f −=&
(A.6.29)
onde :
n - vetor unitário normal à estrutura (orientado para fora, como usual)
O vetor unitário de fi&
é dado por : f
ff
i
ii
&
&
=
O vetor que une a origem à projeção do ponto de incidência na face oposta à face de
incidência (ponto I’ na Figura 5-5, localizado na face por onde o raio transmitido sai da
estrutura) é dado por :
( ) Indd&&
+−= (A.6.30)
448
onde :
I&
- vetor ligando a origem ao ponto de incidência
d - espessura do obstáculo
n - vetor unitário normal à estrutura (orientado para fora, como usual)
Denominando :
( )nd − = (xd , yd , xd) e (A.6.31-a)
I&
= (xI , yI , zI) (A.6.31-b)
a projeção do ponto de incidência na face de saída do raio transmitido é dada por :
I’ = (xd + xI , yd + yI , zd + zI) (A.6.32)
O vetor que liga a origem ao ponto em que o raio transmitido emerge (S) é obtido da seguinte
forma :
fiade +=&
&
(A.6.33)
onde :
a = d.tanθz como ilustrado na Figura 5-5
demais elementos são como já determinados
Fazendo novas denominações :
d&
→ (xI’ , yI’ , zI’ ) e (A.6.34-a)
( )fff aiaiaif z,y,xia → (A.6.34-b)
o ponto em que o raio transmitido emerge é dado por
( )fff ai'Iai'Iai'I zz,yy,xxS +++= (A.6.35)
Deve ser verificado se o ponto S está efetivamente sobre a face oposta à de incidência, e não
apenas sobre o plano que contém a face. O procedimento de verificação é o descrito na Seção
449
A.4.2.3 do Apêndice 4 (Jordan Curve), onde o ponto de interseção raio-plano a que o
procedimento se refere é o próprio ponto S.
A direção do raio transmitido é dada pelo vetor iˆ (pois os meios 1 e 3 são iguais). Este será o
unitário diretor (u ) do raio transmitido.
A.6.3. Referências Bibliográficas
[1] - Constantine A. Balanis, “Advanced Engineering Electromagnetics,” John Wiley &
Sons, 1989.
[2] - Julius Adams Stratton, “Electromagnetic Theory,” McGraw-Hill Book Company, Inc.,
1941.
APÊNDICE 7 - DISTÂNCIA ENTRE PONTOS E NORMAL
À FACE
A.7.1. Distância entre dois pontos quaisquer
Utilizada em qualquer cálculo ao longo do texto principal ou Apêndices, que necessite da
determinação da distância entre dois pontos quaisquer. Sejam os dois pontos dados por :
(x1 , y1 , z1) e (x2 , y2 , z2)
A distância entre os dois pontos é obtida pela expressão :
( ) ( ) ( )212
212
212 zzyyxxd −+−+−= (A.7.1)
A.7.2. Vetor normal à face
A seguir são apresentadas duas maneiras de se determinar o vetor normal a uma superfície
plana, necessário em diversas equações ao longo dos Capítulos 4 e 5.
Primeira forma
Seja a Figura A.7.1 seguir, representativa de uma face. São escolhidos dois vetores sobre o
plano da face, como mostrado. Estando os vértices da face tabelados, a partir dos três
primeiros da tabela, por exemplo, são criados os vetores :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zzzyyyxxxp
e zzzyyyxxxp
2323232
2121211
−+−+−=−+−+−=
&
&
(A.7.2)
O vetor normal é dado por 21 p x pn&&&
= (produto vetorial) e, então, o vetor unitário normal é
n
nn
&
&
= .
451
Figura A.7.1 - Geometria para determinação de vetor normal à face plana (forma I)
O problema com essa definição é que ela é muito genérica. A maior parte dos cálculos
envolvendo o vetor normal exige que sua orientação seja voltada para fora do sólido do qual a
face faz parte. A segunda forma, apresentada a seguir, garante a orientação da normal, a
menos de situações especiais.
Segunda forma
Seja a Figura A.7.2 adiante.
Figura A.7.2 - Geometria para determinação de vetor normal à face plana (forma II)
.
.. .P1
P2
P3
origem
2p&
1p&
21p
&
12p
&
i
452
O vetor normal à superfície da Figura A.7.2 é dado por 21 px pn&&& = , onde os vetores 21 p e p
&&
são também dados por (A.7.2). O vetor n&
obtido poderá estar orientado para dentro ou para
fora do sólido. Para verificar a orientação da normal, e corrigi-la se for o caso, o procedimento
é como se segue. Seja :
an.i =&
(A.7.3)
se a < 0 , a normal está para fora do sólido;
se a > 0 , a normal está para dentro do sólido. Então o sentido de n&
deverá ser
invertido;
se a = 0 , o raio incidente é rasante ao plano da face. Não é possível verificar o
sentido da normal.
Esse método tem a desvantagem de necessitar de um raio incidente na face para que o sentido
correto da normal seja determinado. Outra alternativa de cálculo é através da determinação do
centro de massa do sólido do qual a face faz parte. Essa solução é válida para sólidos
convexos apenas, para os quais é possível garantir que o centro de massa é um ponto interior
ao sólido e, então aproveitar esse fato para determinar a normal com o sentido correto.
Na implementação do algoritmo de traçado de raios proposto, os arquivos de entrada que
descrevem o cenário (arquivos de extensão DXF) já fornecem as normais às faces orientadas
para fora dos sólidos.
APÊNDICE 8 - PONTO IMAGEM E PONTO DE
REFLEXÃO
A.8.1. Determinação do ponto imagem
Para a determinação da imagem de uma fonte (real ou virtual) em relação a um plano
qualquer, deve ser conhecida a distância perpendicular da fonte ao plano, para que a mesma
distância seja adotada entre o plano e a imagem I. São agora apresentadas duas formas de se
calcular a distância da fonte F ao plano da face.
1. conhecendo um ponto no plano (primeiro vértice da tabela de vértices da face, por
exemplo), seja a Figura A.8.1 :
− o ponto é denominado Q;
− o vetor que une a origem a Q é Q&
;
− denominando F&
o vetor posição da fonte, cria-se o vetor ( )QF&&
−
− sendo nˆ o unitário normal à face contida no plano, a distância perpendicular da
fonte F ao plano é dada por :
( )n.QFd&&
−= (A.8.1)
Figura A.8.1 - Geometria auxiliar para a determinação da distância da fonte ao plano da face
.Q
.origem
.F
d
Q&
F&
( )QF&&
−n
454
2. conhecendo a equação do plano que contém a face. Sejam :
(x0 , y0 , z0) - coordenada da fonte F
Ax + By + Cz + D = 0 - equação do plano da face
A distância perpendicular da fonte F ao plano é dada por :
222
000
CBA
DCzByAxd
+++++= (A.8.2)
Sejam, conforme a Figura A.8.2 :
F&
- vetor unindo a origem à fonte F : (xS , yS , zS)
N&
- vetor ligando F a I : (xN , yN , zN)
nd2N −=&
(A.8.3)
onde :
d - distância calculada no sub-item anterior, dada por (A.8.1) ou (A.8.2)
Figura A.8.2 - Geometria auxiliar para a determinação do ponto imagem
.origem
.FF
&
nd
.d
I
N&I
&
455
O vetor posição da imagem I é dado por :
NFI&&&
+= (A.8.4)
Então, o ponto I é : I = (xF + xN , yF + yN , zF + zN) = (xI , yI , zI) (A.8.5)
A.8.2. Ponto de reflexão
A.8.2.1. Verificação se F e O (observador) estão no mesmo lado do plano
A verificação é necessária pois se a fonte F e o observador O não estiverem no mesmo lado
do plano (à frente ou atrás) que contém uma face refletora, não poderá haver reflexão.
Sejam :
v&
- vetor que une um ponto do plano (um vértice da face, por exemplo) ao ponto O
n - normal à face
Deve se atendido, além do backface culling :
0n.v >&
(A.8.6)
para que ambos os pontos (F e O) estejam no mesmo lado do plano.
A.8.2.2. Determinação do Ponto de Reflexão
O ponto de reflexão é determinado através da interseção entre o segmento que une I a O e o
plano. Na verdade, como já salientado no Capítulo 5, o ponto R pode estar apenas no plano da
face (e não na face) e, então, não ser um ponto de reflexão.
456
− vetor ligando I a O ( R&
)
(xo - xI , yo - yI , zo - zI)
onde :
(xo , yo , zo) - ponto de observação
(xI , yI , zI) - ponto imagem
unitário diretor do raio refletido : R
Ru
&
&
=
O ponto de reflexão é determinado pela interseção de R&
com o plano da face refletora. Pode
ser utilizada a expressão (A.4.5) do Apêndice 4 para obter o parâmetro λ. Na expressão, (xo ,
yo , zo) é o ponto imagem e o vetor (a, b, c) é o vetor diretor u . Obtido λ, o ponto de
interseção é determinado pela expressão (A.4.3) do mesmo Apêndice. Outra forma é, como
dito no Apêndice 4, utilizar a expressão (A.4.6) em conjunto com a equação paramétrica do
vetor R&
, ( )IOtI)t(R&&&&
−+= .
Determinado o ponto de interseção, é feita a verificação se o ponto pertence a uma face do
plano, através de procedimento apresentado no Apêndice 4, Seção A.4.2.3.
APÊNDICE 9 - DEDUÇÃO DE EXPRESSÕES DE BUSCA
POR PONTOS DE DIFRAÇÃO
Nesse Apêndice serão deduzidas as expressões de busca por pontos de difração utilizadas nas
Seções 5.4.3.3.3 a 5.4.3.3.5 (classes de percursos de propagação envolvendo difração), do
Capítulo 5.
A.9.1. Difração simples
Seja a Figura 5-21, reproduzida na Figura A.9.1, ilustrando um raio incidente em uma aresta.
Figura A.9.1 - Geometria para determinação do ponto de difração Q em uma difração
simples
Da Figura A.9.1 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )112111
2
111
21
21f
21
2f
21
pF . pFd pF . pFpFpFd
'ddd 'ddd
&&
&&
&&
&&
&&
&&
−−=∴−−=−=−=
−=∴+=(A.9.1)
..
.. .df
do
aresta
d1 d2
Q&
1p&
2p&
O&
F&
iu
du
1'd 2'd
458
A dimensão d’1 é a projeção do vetor ( )1pF&
&
− na direção do vetor unitário sobre a aresta. O
vetor unitário sobre a aresta é dado por :
( )( )12
12
pp
ppe
&&
&&
−−= (A.9.2)
de forma que a projeção d’1 é calculada por :
( ) ( ) ( )( )12
121111 pp
pp . pFd' e . pF'd
&&
&&
&
&
&
&
−−
−=∴−= (A.9.3)
Então :
( ) ( )( )
2
12
121
21 pp
pp . pF'd
−−
−=&&
&&
&&
e
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
12
12111f pp
pp . pFpF . pFd
−−
−−−−=&&
&&
&&
&&
&&
(A.9.4)
Seja novamente a Figura A.9.1.
( ) ( ) ( )112212
22
22o
22
2o
22
pO . pOd pOd
'ddd 'ddd&
&&
&&
&
−−=∴−=
−=∴+=(A.9.5)
A dimensão d’2 é a projeção do vetor ( )1pO&
&
− na direção do vetor unitário sobre a aresta, eˆ .
Ou seja :
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2
12
121
22
12
1212 pp
pp . pOd'
pp
pp . pO'd
−−
−=∴−−
−=&&
&&
&
&
&&
&&
&
&
e
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
12
12111o pp
pp . pOpO . pOd
−−
−−−−=&&
&&
&
&
&
&
&
&
(A.9.6)
459
Sejam rf(t) e ro(t) as projeções do vetor ( )F)t(Q*&
− e do vetor ( ))t(QO&&
− , respectivamente, na
aresta.
( ) ( )( )12
12f pp
pp . F)t(Qr
&&
&&
&&
−−
−= (A.9.7)
( ) ( )( )12
12o pp
pp . )t(QOr
&&
&&
&&
−−
−= (A.9.8)
Embora a referência [1] apresente rf,o sem módulo, nas suas expressões (3C.4) e (3C.5), o
módulo permite que o resultado seja correto (positivo) independente da escolha dos pontos
extremos da aresta , 1p&
e 2p&
.
Seja agora a seguinte geometria, que pode ser extraída da Figura A.9.1.
Da teoria de difração (cone de Keller), expressa através de (4-62), na Seção 4.2.3.3, é sabido
que β0 = β1 e, então, tan(β0) = tan(β1). Pela ilustração anterior :
∴= r
d
r
d
o
o
f
f
o
o
f
f
d
r
d
r = (A.9.9)
Levando as expressões (A.9.7) e (A.9.8) a (A.9.9), obtém-se :
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )∴
−−
−
=−−
−
d
pp
pp . )t(QO
d
pp
pp . F)t(Q
o
12
12
f
12
12&&
&&
&&
&&
&&
&&
Q
FO
β0 β1
df do
rf roaresta
460
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) f12
12o
12
12 dpp
pp.)t(QOd
pp
pp.F)t(Q
&&
&&
&&
&&
&&
&&
−−−=
−−− (A.9.10)
Como as projeções dos vetores ( ) ( )(t)Q-O e F)t(Q&&&'
− sobre a aresta têm a mesma direção, o
módulo de (A.9.10) pode ser eliminado e, desta forma :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )∴+−=+−
∴−−−=−−−
∴−−=−−
dFd.O . ppddpp).t(Q
dpp).t(Qdpp.Odpp.Fdpp).t(Q
dpp . )t(QOdpp . F)t(Q
of12fo12
f12f12o12o12
f12o12
&&
&&&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&
&&
&&
&&
&&
( ) ( ) ( )fo
of1212 dd
dFd.O . pppp).t(Q
++
−=−&&
&&&&&
(A.9.11)
Sabendo que Q(t) é escrito por sua equação paramétrica da forma :
( )121 pptp)t(Q&&&
&
−+= (A.9.12)
Levando a expressão (A.9.12) em (A.9.11) e fazendo ( )
fo
of
dd
dFdO
++
&&
= A&
, tem-se :
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1212
12112
1212121211212121
pp . pp
pp.pA.ppt
A.pppp.pptpp.p A.pppp . pptp
&&&&
&&&
&
&&
&
&&&&&&&&&
&
&&&&&&&
−−−−−
=
∴−=−−+−∴−=−−+
(A.9.13)
No denominador de t :
( ) ( ) ( ) 2
121212 pppp . pp&&&&&&
−=−− (A.9.14)
Então, chega-se à expressão final para o parâmetro t do ponto de difração.
( )( )
( )
−
++
−−= 1
fo
of2
12
12 pdd
dFdO.
pp
ppt
&
&&
&&
&&
, 0 ≤ t ≤ 1 , para que o ponto efetivamente
pertença à aresta.
(A.9.15)
461
A.9.2. Difração dupla
A seguir serão deduzidas as expressões utilizadas na busca por difração dupla (classe 4). Seja
a Figura 5-22, reproduzida na Figura A.9.2, ilustrando uma situação de dupla difração.
Figura A.9.2 - Geometria para determinação dos pontos Q1 e Q2 da difração dupla
Pela teoria da difração (cone de Keller) e conforme a Figura A.9.2, sabe-se que :
2d2d
1d1i
e.ue.u
e.ue.u
21
1
=
=(A.9.16)
onde :
2
2d
12
12d
1
1i
QO
QOu ;
)t(Q)t(Q
)t(Q)t(Qu ;
F)t(Q
F)t(Qu
21&&
&&
&&
&&
&&
&&
−−=
−−=
−−= (A.9.17)
Substituindo os pontos Q por suas respectivas equações paramétricas, as duas equações de
(A.9.16) podem ser reescritas da forma :
( )( )
( ) ( )( ) ( ) 0e.
etpetp
etpetp
Fetp
Fetp1
111223
111223
111
111 =
+−++−+
−−+−+
&&&&
&&&&
&
&&
&&&
(A.9.18)
.... F
&
1Q&
2Q&
O& 1p
*
2p&3p
&
4p&
iu
1du
2du
1a aresta
2a aresta
1e&
2e&
462
( ) ( )( ) ( )
( )( )
0e.etpO
etpO
etpetp
etpetp2
223
223
111223
111223 =
+−+−−
+−++−+
&&
&
&&
&
&&&&
&&&&
(A.9.19)
As incógnitas do problema são os dois pontos de difração Q1(t) e Q2(t). Como os pontos são
definidos por seus parâmetros t, o sistema possui duas incógnitas e duas equações. A solução
do sistema é numérica, através do Método iterativo de Newton para duas equações. A solução
através do método iterativo é apresentada a seguir.
Segundo o Método iterativo de Newton, sejam duas equações [2] :
F(t1 , t2) = 0 (A.9.20)
G(t1 , t2) = 0 (A.9.21)
As soluções são buscadas iterativamente através das equações (5-25), na Seção 5.4.3.3.4,
onde as derivadas envolvidas são as já apresentadas na própria Seção 5.4.3.3.4. O processo é
interrompido quando determinado valor de erro máximo estipulado é atingido, como também
apresentado na mesma Seção.
A.9.3. Referências Bibliográficas
[1] - Manuel F. Cátedra and Jesús Pérez-Arriaga, “Cell Planning for Wireless
Communications,” Artech House - Mobile Communications Series, 1999.
[2] - Notas de Aula do Curso de Métodos Assintóticos em Teoria Eletromagnética -
Professor Flávio José Vieira Hasselmann, CETUC - PUC/Rio.
APÊNDICE 10 - REFLEXÃO E REFRAÇÃO EM
SUPERFÍCIES CURVAS
A.10.1. Definições Gerais
São apresentados neste Apêndice o cálculo dos raios e direções principais de curvatura das
frentes de onda refletida e refratada em uma superfície dielétrica curva, bem como a
determinação dos campos refletido e refratado, seguindo os desenvolvimentos listados em [1].
A Figura A.10.1 ilustra os parâmetros geométricos relevantes ao problema em questão.
Figura A.10.1 - Reflexão e refração em uma interface dielétrica curva Σ
(vista do plano de incidência, perpendicular a 3,2,13,2,1 zy = × 3,2,1x )
Σn1
n2
. θz
0
(fonte)
a θi
θi
1
.3
c b
θr
.2
1z
n
3z
2z
1z
1x
3z
3x2z
2x
n
u
464
A superfície Σ é a interface entre dois meios infinitos, dielétricos, de índices de refração n1 e
n2 , e pode ser escrita por uma função da forma :
z = f(x,y) (A.10.1)
onde a origem do sistema (x, y, z) coincide com a posição da fonte (centro de fase da
onda incidente) em 0
Para o caso de a fonte emitir ondas esféricas, o campo elétrico em um ponto r = (r, θ, φ)
relacionado ao sistema da fonte é dado por (assumindo variação no tempo da forma ejwt) :
( ) ( )[ ]φθ+φθ= φθ
−
,Qa,Par
e)r(E
rjki
1
(A.10.2)
onde :
c
wn2k 1
11 =
λπ=
com :
w = 2πf [rd/s]
c ≅ 3x108 m/s
n1 - índice de refração do meio 1 = rε
Para as decomposições perpendiculares e paralelas em relação ao plano de incidência (plano
que contém o vetor diretor do raio incidente na interface e a normal a esta), é definido o
escalar ui, da forma :
incidência de plano aoparalela opolarizaçãpara , Eu
incidência de plano aolar perpendicu opolarizaçãpara , Eui//
i
ii
=
= ⊥ (A.10.3)
Decomposições similares são aplicadas ao campo refletido Er e ao campo transmitido Et. Os
dois campos de interesse podem, então, ser escritos da forma :
)1(uTe)DF()2(u ibjk2
t 2−= (A.10.4-a)
)1(uRe)DF()3(u icjk3
r 1−= (A.10.4-b)
465
onde :
b e c - distâncias ilustradas na Figura A.10.1
c
wn2k 2
22 =
λπ=
com elementos como já definidos na expressão de k1
DF - fator de divergência, apresentado adiante
T e R - coeficientes de transmissão e reflexão de Fresnel, respectivamente,
definidos, para uma interface plana, por :
Y1
Y1 Re
Y1
2T
+−=
+= (A.10.5)
onde :
( )( )
θθ
θθ=
paralela opolarizaçãpara , cos/cosn
larperpendicu opolarizaçãpara , cos/cosnY
ir1-
ir(A.10.6)
com :
n = n2 / n1 - índice de refração relativo
θi,r - ângulos de incidência e refração, respectivamente,
conforme definidos em (4-15) e (4-36)
Os índices n1 e n2 são relacionados pela lei de Snell da refração :
n1senθi = n2senθr ∴ ir senn
1sen θ=θ (A.10.7)
O fator (DF)2 é denominado fator de divergência do tubo de raios transmitido, calculado no
ponto 2, referente ao ponto 1. Esse fator é dado por :
( ) ( ) ( )2221
2R/b1
1
R/b1
1DF
++= (A.10.8)
onde :
466
R21 e R22 - raios principais de curvatura da frente de onda refratada, no ponto
1
A convenção de sinais para R21,22 é a seguinte : R21 (R22) é positivo se o tubo de raios
refratado é divergente e negativo se o tubo é convergente. As raízes em (A.10.8) podem ser
reais ou imaginárias, de forma que (DF)2 seja real (positivo ou negativo) ou imaginário
positivo.
O fator (DF)3 é o fator de divergência do tubo de raios refletidos, calculado no ponto 3,
referente ao ponto 1. É dado por :
( ) ( ) ( )3231
3R/c1
1
R/c1
1DF
++= (A.10.9)
O problema a ser resolvido é a determinação dos quatro raios principais de curvatura acima
mencionados, bem como as direções principais de curvatura das frentes de onda refletida e
refratada. O procedimento de obtenção destes parâmetros relativos às frentes de onda refletida
e refratada pode ser sumarizado da seguinte forma. A partir da expansão da representação das
frentes de onda nas vizinhanças do ponto especular, o casamento dos termos lineares reproduz
a lei de Snell e o dos termos quadráticos fornece equações matriciais cuja solução gera as
matrizes de curvatura das frentes de onda refletida e refratada. No caso geral, as matrizes
assim obtidas deverão ser diagonalizadas, para que se obtenha os raios principais de curvatura
(autovalores das matrizes) e as direções principais de curvatura (autovetores das matrizes).
A.10.2. Cálculo das curvaturas das frentes de onda
Sistema de coordenadas no ponto 1 :
Seja um raio que parte de 0, na direção (θ, φ) e intercepta a superfície Σ, descrita por (A.10.1),
em 1. A distância a é dada por :
a.cosθ = f(x = a.senθ.cosφ, y = a.senθ.senφ) (A.10.10)
467
O vetor diretor do raio incidente é, também no sistema de coordenadas esféricas centrado na
fonte 0, escrito da forma :
θ+φθ+φθ= cosasensenacossenaz zyx1 (A.10.11)
A normal à superfície em 1 é :
( )zyyxx aafaf1
n +−−∆
= (A.10.12)
onde :
( ) 2/12y
2x ff1 +++=∆
fx - derivada parcial de f(x,y) em relação a x
fy - derivada parcial de f(x,y) em relação a y
Definindo ∆ como sendo positivo, significa escolher a orientação de nˆ acompanhando a
orientação do raio incidente.
No ponto 1 são introduzidos quatro sistemas ortonormais de vetores base : ( )111 z,y,x , para o
raio incidente 01; ( )222 z,y,x , para o raio refratado 12; ( )333 z,y,x , para o raio refletido 13; e
( )n,v,u para a superfície Σ.
Foi escolhido
1321 z x nvyyy ==== (A.10.13)
que é igual a um vetor unitário normal ao plano de incidência. Obtém-se :
3. 2, 1, npara zx yx ; nx vu nnn === (A.10.14)
A direção dos raios incidente, refratado e refletido é dada, respectivamente, por :
ii1 cosnsenuz θ+θ= (A.10.15-a)
rr2 cosnsenuz θ+θ= (A.10.15-b)
468
ii3 cosnsenuz θ−θ= (A.10.15-c)
onde :
senθr = n-1senθi , 0 ≤ θi , θr ≤ π/2 (A.10.15-d)
Observar que, pela escolha feita em (A.10.13), θi e θr terão valores entre 0 e π/2 .
A.10.3. Matriz de curvatura da superfície Σ, representando a
interface
No ponto 1, os seguintes vetores definem o plano tangente à superfície Σ.
zyy1yzxxx1 afar afar +=+=&&
(A.10.16)
onde :
( )111 z,y,x
111x1 x
z,
x
y,
x
xr
∂∂
∂∂
∂∂
=&
( )111 z,y,x
111y1 y
z,
y
y,
y
xr
∂∂
∂∂
∂∂
=&
derivada das componentes do vetor posição do ponto 1 em relação às
coordenadas (x, y, z) do sistema centrado na fonte 0, no ponto (x1 , y1 , z1)
(x1 , y1 , z1) - coordenada do ponto 1
fx,y - como já definidos na apresentação de (A.10.12)
Em relação aos vetores (A.10.16), a matriz de curvatura de Σ é da seguinte forma :
−−−−
∆=Σ
11111111
11111111
2 FfEgFgGf
FeEfFfGe1Q~
(A.10.17)
onde :
469
( )
yy1
1
xy1
1
xx1
1
2y1
yx1
2x1
2/12y
2x
fg
ff
fe
f1G
ffF
f1E
ff1
−
−
−
∆−=
∆−=
∆−=
+=
=+=
+++=∆
(A.10.18)
a derivada em relação a (x, y, z) é sempre calculada no ponto 1
Agora, a matriz de curvatura expressa em relação a ( )y1x1 r,r&&
é transferida para ( )v,u , da
seguinte forma :
AQ~
AQ 1Σ
−Σ = (A.10.19)
onde :
=
v.ru.r
v.ru.rA
y1y1
x1x1&&
&&
(A.10.20)
A.10.4. Matrizes de curvatura das frentes de onda
Para o caso de onda esférica incidente, a matriz de curvatura Q1 em relação aos vetores
( )11 y,x ou a qualquer outra base de vetores ortonormais é dada por :
Q1 = a-1I (A.10.21)
onde :
a - raio da esfera
I - matriz identidade
Para o caso mais geral de uma frente de onda incidente astigmática, sua matriz principal de
curvatura é dada por :
470
=
i2
i1
1R/10
0R/1Q (A.10.22)
onde i2,1R denotam os raios principais de curvatura da frente de onda incidente
As matrizes de curvatura das frentes refratada (Q2) e refletida (Q3) são expressas em relação
aos pares respectivos de vetores paralelos ao plano de incidência, ( ) ( )3322 y,x e y,x . A
solução de Q2 é encontrada através da seguinte equação matricial :
( ) Σθ−θ+= QcoscosnBQBBQnB ir11T122
T2 (A.10.23)
onde :
1,2. n ,10
0cos
v.yu.y
v.xu.xB n
nn
nnn =
θ=
= (A.10.24)
com :
θ1 ≡ θi
θ2 ≡ θr
A solução para Q3 é dada, analogamente, pela equação matricial
( ) Σθ−= Qcos2BQBBQB i11T133
T3 (A.10.25)
onde :
θ−=
=10
0cos
v.yu.y
v.xu.xB i
33
333 (A.10.26)
A.10.5. Raios principais de curvatura das frentes de onda
Diagonalizando as matrizes Q2,3 , obtém-se seus autovalores, correspondendo aos raios
principais de curvatura. Os raios principais de curvatura da frente de onda refratada (R21 e
R22) ou refletida (R31 e R32) são as raízes da seguinte equação quadrática :
471
( ) 0QdetQ traçoR
1
R
13,22,32
=+− (A.10.27)
onde :
traço - soma dos elementos da diagonal principal da matriz
det - determinante da matriz
A.10.6. Direções principais de curvatura de uma frente de onda
Também a partir das matrizes de curvatura Q2 e Q3 diagonalizadas, é possível se obter as
direções principais de curvatura das frentes de onda refratada e refletida, que correspondem
aos autovetores das matrizes e cujas expressões finais são apresentadas adiante. Sejam
21 x e x as direções principais de curvatura de uma frente de onda. [2], [3]
[ ]wt1
1 rr1
x&& α+
γ= (A.10.28)
[ ]wt2
2 rr1
x&& +β
γ= (A.10.29)
onde :
fFK
GKg
eEK
FKf
gGK
FKf
fFK
EKe
2
2
2
2
1
1
1
1
−−
=−
−=β
−−
=−
−=α
(A.10.30)
com :
( )( )( )∆=
∆=∆=
===
wtww
wttw
wttt
ww
wt
tt
rxr.rg
rxr.rf
rxr.re
r.rG
r.rF
r.rE
&&&
&&&
&&&
&&
&&
&&
(A.10.31)
2FEG−µ=∆ (A.10.32)
472
onde :
µ = ±1 , de forma que a normal nˆ aponte sempre para a
fonte, como é usual convencionar-se
wt r e r&&
- duas direções de curvatura ortogonais da frente de
onda, correspondendo às derivadas dos vetores
posição do raio com relação a t e w.
com :
t e w - coordenadas de parametrização da frente de
onda. Definem planos ortogonais entre si (e à
frente de onda)
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂=
∂∂
∂∂
∂∂
=
2z
2
2
y2
2x
2
ww
z2
y2
x2
tw
2z
2
2
y2
2x
2
tt
w
r,
w
r,
w
rr
wt
r,
wt
r,
wt
rr
t
r,
t
r,
t
rr
&
&
&
(A.10.33)
GF2E
GF2E
22
21
+β+β=γ
α+α+=γ(A.10.34)
Se f = F = 0, a matriz Q2,3 calculada já é diagonal, significando que as linhas de curvatura
(t,w) escolhidas são as próprias linhas de máxima e mínima curvaturas (curvaturas principais),
ou seja, os vetores unitários tangentes à (t,w) definem as direções principais de curvatura da
frente de onda. Os vetores são apresentados em (A.10.35) :
w
w2
t
t1 r
rx ;
r
rx
&
&
&
&
== (A.10.35)
473
A.10.7. Referências Bibliográficas
[1] - Shung-Wu Lee, Mysore S. Sheshadri, Vahraz Jamnejad and Raj Mittra, “Refraction at a
Curved Dieletric Interface : Geometrical Optics Solution,” IEEE Trans. on Microwave
Theory and Techniques, vol. MTT-30, no. 1, Jan. 1982.
[2] - S. W. Lee, “Differential Geometry for GTD applications,” Technical Report, no. EM
77-21;UILU-ENG-77-2264, University of Illinois at Urbana-Champaign, Out. 1977.
Seção A.9.
[3] - Notas de Aula do Curso de Métodos Assintóticos em Teoria Eletromagnética -
Professor Flávio José Vieira Hasselmann, CETUC - PUC/Rio.
APÊNDICE 11 - LISTAGENS DE PROGRAMAS
A.11.1. Expressões exata e aproximada da Função de Transição
de Fresnel
Nesta Seção é apresentado o programa que plota as expressões exata da Função de Transição
de Fresnel, dada pela expressão (4-73), e aproximadas, apresentadas na Seção A.3.1 do
Apêndice 3 para as três faixas distintas de valores do argumento de F(x). O programa foi
executado no software MatLab for Windows, versão 4.2c.1.
% Programa para a comparação entre as expressões exata e aproximadas da Função de
% Transição de Fresnel F(x)
clear all; % limpa registros
x=logspace(-3,1,500); % cria eixo X, em escala logarítmica, com 500
% pontos entre 0.001 e 10
% Definição de valores úteis para o cálculo de F(x) pela expressão exata
x0=0; % limite inferior da integral de 0 a sqrt(x)
a0=1; % valor do integrando no limite inferior (x0=0)
dx=2000; % número de subdivisões entre os limites inferior
% e superior da integral, para aplicação
% do Método dos Trapézios Repetidos
% Laço que calcula F(x) (exata e aproximada), para cada valor de x (500 valores)
475
for i=1:500
% Início do cálculo de F(x) pela expressão exata
% É utilizado o Método numérico dos Trapézios Repetidos
xm=sqrt(x(i)); % limite superior da integral
h=(xm-x0)/dx; % dimensão de cada subdivisão (base dos trapézios)
xint=linspace(x0+h,xm-h,dx-1); % definição de pontos entre os limites
% de integração, para aplicar o método
a=0;
for t=1:(dx-1) % laço que calcula o integrando, segundo o método
a=a+exp(-(xint(t)^2)*j);
end
am=exp(-(xm^2)*j); % valor do integrando no limite superior (xm)
% Integral pelo Método dos Trapézios Repetidos
I(i)=(1/2)*sqrt(pi/2)*(1-j)-((h/2)*(a0+2*a+am));
% Função de Transição de Fresnel
f(i)=2*sqrt(x(i))*exp(x(i)*j)*I(i)*j;
% Início do cálculo de F(x) pelas expressões aproximadas
if (x(i)<=0.3)
apr(i)=(sqrt(pi*x(i))-(2*x(i)*exp((pi/4)*j))-(2/3)*(x(i)^2)*exp(-
(pi/4)*j))*exp(((pi/4)+x(i))*j); % expressão para argumentos x <= 0,3
else
if (x(i)<=5.5) % expressões para argumentos 0,3 < x <= 5,5
if (x(i)<0.5)
476
apr(i)=(0.6768+0.2682*j)+((0.5195+0.0025*j)*(x(i)-0.5));
end
if ((x(i)>=0.5) & (x(i)<0.7))
apr(i)=(0.7439+0.2549*j)+((0.3355-0.0665*j)*(x(i)-0.7));
end
if ((x(i)>=0.7) & (x(i)<1.0))
apr(i)=(0.8095+0.2322*j)+((0.2187-0.0757*j)*(x(i)-1.0));
end
if ((x(i)>=1.0) & (x(i)<1.5))
apr(i)=(0.8730+0.1982*j)+((0.1270-0.0680*j)*(x(i)-1.5));
end
if ((x(i)>=1.5) & (x(i)<2.3))
apr(i)=(0.9240+0.1577*j)+((0.0638-0.0506*j)*(x(i)-2.3));
end
if ((x(i)>=2.3) & (x(i)<4.0))
apr(i)=(0.9658+0.1073*j)+((0.0246-0.0296*j)*(x(i)-4.0));
end
if (x(i)>=4.0)
apr(i)=(0.9797+0.0828*j)+((0.0093-0.0163*j)*(x(i)-5.5));
end
else % expressão para argumentos x > 5,5
apr(i)=1+(j/(2*x(i)))-(3/(4*x(i)^2))-((15*j)/(8*x(i)^3))+(75/(16*x(i)^4));
end
end
end % fim do laço principal
famp=abs(f); % amplitude de F(x) exata
ffase=angle(f); % fase de F(x) exata
apramp=abs(apr); % amplitude de F(x) aproximada
aprfase=angle(apr); % fase de F(x) aproximada
% Plota amplitude e fase de F(x) exata em traço contínuo e
477
% plota amplitude e fase de F(x) aproximada em “-.-.” .
semilogx(x,famp,'w-',x,ffase,'w-',x,apramp,'w-.',x,aprfase,'w-.');
A.11.2. Programas referentes às regiões de transição
Nesta seção são apresentados os dois programas referentes ao comportamento de expressões
da difração nas regiões de transição, como apresentados no item “Fronteiras e Regiões de
Transição”, da Seção 4.2.3.3.3. Os programas são os seguintes :
− Prog1 : apresenta o comportamento das funções cotangente e de Transição de
Fresnel (expressões (4-70)), nas proximidades de uma fronteira (foi escolhida a
fronteira ISB0 para a plotagem);
− Prog2 : verifica a validade da aproximação (4-99) de acordo com os argumentos
da função cotangente e da Função de Transição de Fresnel. O programa plota as
expressões exata e aproximada de cot(x).F(y) (embora o cálculo de F no produto
denominado exato tenha sido efetuado através das aproximações apresentadas em
A.3.1).
Ambos os programas foram executados no software Mathcad, versão 5.0 Plus.
478
479
480
Os gráficos finais são os apresentados na Figura 4-18 do Capítulo 4, onde F1amp(ε) é plotada
na Figura 4-18a e c1(ε) na Figura 4-18b.
4-1 4
481
(4-99)
482
483
Os gráficos finais são os apresentados na Figura 4-19 do Capítulo 4, onde :
− X11(L) e X12(L) são plotadas na Figura 4-19a;
− R11amp(L), ap1amp(L), R12amp(L) e ap2amp(L) são plotadas na Figura 4-19b;
− R11fase(L), ap1fase(L), R12fase(L) e ap2fase(L) são plotadas na Figura 4-19c.
Para ε = 0,01o , a listagem é análoga e as plotagens são apresentadas na Figura 4-20a, Figura
4-20b e na Figura 4-20c.
A.11.3. Cálculo dos coeficientes de difração para teste de
reciprocidade de escolha de faces “0” e “n”
Nesta seção é apresentado o programa Prog3 (Prog31 e Prog32), que calcula a porção dos
coeficientes de difração Ds,h (expressão (4-69)) que é dependente dos ângulos φ e φ’
(expressões (4-81) e (4-79), respectivamente), para que se verifique a irrelevância na escolha
da face “0” para a medição desses ângulos. Como se observa nas duas execuções (Prog31 e
(4-99)
(4-99)
(4-99)
484
Prog32), os valores de Ds e de Dh gerados por cada uma são iguais entre si. O programa foi
executado no software Mathcad, versão 5.0 Plus.
485
486
487
488
489
ângulo entre o raio incidente e a aresta (escolhido para simplificar a implementação do cálculo de θi)
δπ2
slinha 1.5 distância entre a antena transmissora e a aresta, em metros
s 2 distância entre a aresta e a antena receptora, em metros
fator de distância L, em metros. Foi analisada uma situação simples (percurso Tx-aresta-Rx), para simplificar o cálculo de L
L ..s slinha
s slinhasin( )δ 2
Nmais1π βmais
..2 n πNmais2
π βmenos..2 nπ determinação dos fatores N+ e
N- para β+ e β- (quatro combinações)
Nmenos1βmais π
..2 nπNmenos2
βmenos π..2 n π
490
491
492
F( )x3 1j.2 x3
3
.4 x32
15j
.8 x33
75
.16 x34=F( )x3 0.999754 + 0.009053i
F( )x4 1j.2 x4
3
.4 x42
15j
.8 x43
75
.16 x44=F( )x4 0.992211 + 0.050618i
Porção do coeficiente de difração "soft" dependente da escolha de φ e φ'
Ds1 .G0s .cotπ βmenos
.2 nF( )x1 ..R0s cot
π βmais.2 n
F( )x2
Ds2 .Gns .cotπ βmenos
.2 nF( )x3 ..Rns cot
π βmais.2 n
F( )x4
Ds Ds1 Ds2 =Ds 0.729144 0.015309i