aplicações de números complexos

7/21/2019 Aplicaes de Nmeros Complexos

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APLICAES DOS NMEROS COMPLEXOS GEOMETRIAEdmilson Motta - Colgio Etapa

Nvel Avanado

importante ter em mente que os nmeros complexos no so apenas vetores; eles podem ser multiplicados. Nas aplicaes Geometria, ns faremos uso extensivo desta propriedade. Nmeros omplexos so particularmente eficientes para certos tipos de pro!lemas, mas podem "erar dificuldades artificiais em pro!lemas que admitem soluesmais diretas utili#ando outros m$todos.

Na Geometria %lementar, os tri&n"ulos so as peas !'sicas e a con"ru(ncia e asemel)ana de tri&n"ulos, os conceitos fundamentais. Ns comearemos carateri#ando asemel)ana de tri&n"ulos em termos de nmeros complexos. *nicialmente, vamos esta!elecer al"umas convenes. +e am z -, z , z / , w- , w , w/ nmeros complexos. Ns di#emos que

z - z z / e w-w w/ so semel)antes, e escrevemos z - z z / 0 w -w w/ , se e somente se, o&n"ulo em z k $ i"ual ao &n"ulo emwk , k 1 -, , /, e t(m mesma orientao, isto $, am!os anti2)or'rios ou am!os )or'rios 34e a fi"ura a se"uir.5

-

z /

w /

w -

w

+e os tri&n"ulos tem orientaes distintas 3um )or'rio, o outro anti2)or'rio5, entoescrevemos

z - z z / 0 w-w w/ 3reverso5

omo para complexos , e distintos,

==

53ar"53ar"ar"

medida do &n"ulo orientado entre

,e

ento , , so colineares a medida do &n"ulo orientado entre

e $mltipla de

. 66 66

66 66 6 6666666666

=

=

R

Exerccio 1:

7ostre que

$ ima"in'rio puro .8 66 66

66 66

=

+

Generali#ando, para quatro pontos distintos , , , C ,

,99 66 66

66 66

=

R


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al$m disso, e tem a mesma direo se, e somente se,

$ um real positivo;

$ ima"in'rio puro .8 66 66

66 66

=

+

Exerccio 2:7ostre que, se 8, ento .8>+=+

Teorem : z - z z / 0 w-w w/ .8

-

- #

-

/

--

-/

-

-/

-==

=

w z

w

w z

ww

ww

z z

z z

Demo!"#r $%o: :ois tri&n"ulos so semel)antes se, e somente se, 3caso < 5 as ra#es entreas medidas de dois pares de lados correspondentes so i"uais e os &n"ulos entre estes ladosso i"uais 3incluindo a orientao5.


3/9

z - z z / 0 w-w w/ 3reverso5 .8

-

- #

-

/

66

/

66

-

66

-

66

-

66

/

66

-

66

-/

- =

=

w z

w

w z

ww

ww

z z

z z

Demo!"#r $%o: =emos que 66 /

66 66

- www0 w- w w/ 3reverso5. o"o

z - z z / 0 w-w w/ 3reverso5 z - z z / 0 66 /

66 66

- www

Exerccio (:omplete a demonstrao acima, verificando que 66

/

66 66

- www0 w-w w/

3reverso5.

4e amos a"ora al"uns exemplos de aplicaes mais espec>ficas.

CARACTERI)AES DOS TRI*NG+LOS E,+IL-TEROS.+endo ,8- =++

z - z z / $ equil'tero z - z z / 0 z / z - z 8

-

- #

-

./

-.

/-

=

z z

z

z z

8--///- =++ z z z z z z z z z 85353 /-/- =++++ z z z z z z

853ou853 /-/- =++=++ z z z z z z


4/9

8

-

- #

- -

ou8

-

- #

- -

/

..

-

./

.

-

==

z

z

z

z

z - z z / 0 - ou z - z z / 0 - 3"eometricamente, esta ltima caracteri#ao $ !astante intuitiva5.

8

-

x

y

O TEOREMA DE NAPOLE/O.+o!re cada lado de um tri&n"ulo ar!itr'rio, desen)e um tri&n"ulo equil'tero 3no exterior5.=emos ento que os !aricentros desses tr(s tri&n"ulos equil'teros so os v$rtices de um quartotri&n"ulo equil'tero.

z

w / w

z /

w -

z -

/

-

Demo!"#r $%o: +e am z - z z / o tri&n"ulo dado; w- z / z , z / w z -, z z -w/ tri&n"ulos equil'teros com a

mesma orientao que - , di"amos; e - , , / , os !aricentros desses tri&n"ulos. %nto


5/9

8

8

8

/-

-/

/-

=++

=++

=++

w z z

z w z

z z w

?ara provarmos que - / $ equil'tero, calculamos53

/53

/53

/-

/--//-/-w z z z w z z z w ++++++++=++

1 .855353533/

-/--//- =++++++++ w z z z w z z z w

?ortanto - / $ um tri&n"ulo equil'tero.

Exerccio 0:+endo , , , nmeros complexos, temos que

5353535355.33 =+3a5 < partir da identidade acima, mostre que

. +

3!5 :emonstre o teorema de ?tolomeu2%uler@

?ara quaisquer pontos A, B, C, D no plano, AB CD A BC DA AC BD ,com i"ualdade se, e somente se, estes quatro pontos so conc>clicos oucolineares.

Exerccio :3a5 +e ama, b, c, d, e, f nmeros complexos. ?rove que

.--. =

=

d b

d f

e f ea

cacb

f a

f e

d ed c

bcba

3!5 Btili#ando o item anterior, resolva o se"uinte pro!lema do !anco da *7C DE@

+e a ABCDEF um )ex'"ono convexo tal que - e /F8 . FA

EF

DE

CD

BC

AB F D B ==++

?rove que - . DB

FD

EF

AE

CA

BC =

MAIS EXEMPLOS

PRO LEMA(BANCO / IMO 98)+e a ABC um tri&n"ulo, H o seu ortocentro,O o seu circuncentro e R o seu circunraio. +e a Do sim$trico de A com relao a BC , E o sim$trico de B com relao a AC e F o sim$trico deC com relao a AB.?rove que D, E e F so colineares se, e somente se,OH 1 R.

RESOL+/O:+e ama, b , c, h e 8 as coordenadas complexas do A, B, C, H e O, respectivamente.

onseq entemente, 66 66 66 Rccbbaa === e h 1 a Ab Ac. omo D $ o sim$trico de A comrelao a BC , d satisfa#

666666666

=

bcba

bcbd ( ) .8

66 66 66 66 66

=

+

cbcbacbd cb 3-5

=emos que


6/9

,53

e 53 66 66 66 66

bccb R

cbcbbc

cb Rcb

==su!stituindo em 3-5, o!temos

, a

bck a

abcabcd

=++=

,53

53

bcah R

bccba R

d =++=

ondek 1 bc A ca Aab.


7/9

5.35.3

5.3 5.3 5353

...

.

bhabcbk

chabcck-

cba

bac-a R

=

5H5353533

cba

abchk baaccb R =

e ,I 66

abck Rh = se"ue que D , E e F so colineares

. H

8H 8

66

ROH

Rhh

abchk

=

=

=

=

PRO LEMA(Olimpada Chinesa 98)+e a D um ponto no interior de um tri&n"ulo acut&n"ulo ABC , com

DA DB AB A DB DC BC A DC DA CA 1 AB BC CA. :etermine quais so as poss>veis posies que D pode ocupar.

RESOL+/O:+e ama, b, c, e 8 as coordenadas complexas de A, B, C e D, respectivamente. =emos, ento

que DA DB AB A DB DC BC A DC DA CA 1 AB BC CA 3J5553533535353 cabcabcaacbccbabba =++omo

553533535353 cabcabcacabcbcabab =++ , sendo 5,3- ababw =

/-/-/ 3J55,35,3 wwwwwwcacawbcbcw ++=++== e portanto,w- , w ,w/ esto alin)ados.


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onsidere a circunfer(ncia centrada na ori"em e se am z -, z , L, z n os nmeros complexosque representam os pontos. ?odemos assumir que -...5-3 - = nn z z z 3verifiqueM 5.

onsidere ainda o se"uinte polin mio

== 55...353353 - n z w z w z ww p -53 -... --

- ++=++++ wQwwawaw nnnn

%nto| p3 z 5| $ o produto das dist&ncias do ponto representado pelo nmero complexo z aos pontos dados .

o"o, se z $ um nmero complexo de mdulo -, ento| p3 z 59 .+e amw-, w ,L wn as ra>#esn2$simas da unidade.+a!e2se que 8...- =+++

k n

k k www para todo k 1 -, ,L, n K -. ?ortanto.853...5353 - =+++ nwQwQwQ +e Q3w5 no $ identicamente nulo, ento, para al"um j, Q

3w j5 $ diferente de #ero e tem parte real no ne"ativa, poisQ385 1 8 eQ tem no m'ximon K -ra>#es. onsequentemente, 53 53 >+= j j wQw p , uma contradio.:esta forma o polin mioQ $ identicamente nulo e p3 z 5 1 z n A -. #es z -, z , L, z n do polin mio p3 z 5 formam umn2'"ono re"ular.

M i" &34!" exerccio" re& cio! 5o".

PRO LEMA 1(IMO %&)=odos os &n"ulos internos de umn- '"ono so i"uais e seus lados satisfa#em a relao

....- naaa ?rove que ....- naaa ===

PRO LEMA 2('reinamento para IMO 9 )?rove que para todo inteiro positivo .5353, nn iin + onclua que os &n"ulos a"udos do

tri&n"ulo de lados /, H e O so irracionais quando expressos em "raus.PRO LEMA ((IMO $):etermine se existem ou no -DPO pontos so!re a circunfer(ncia unit'ria tais que a dist&nciaentre quaisquer dois $ um nmero racional.

PRO LEMA 0(Olimpada *om+nia 9 )+e am p, q C , q 8. +e as ra>#es da equao 8=++ q px x t(m o mesmo mdulo, mostre

que q p

$ um nmero real.

PRO LEMA (,ele-o para IMO 9 )

< 'rea do pol>"ono n A A A ...- $ . +o dados um &n"ulo e um pontoQ. QodemosQ deum &n"ulo no sentido anti2)or'rio ao redor de Ai para encontrar um ponto ! i.


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! k so! a rotao com centro -+k A e &n"ulo de - 8 3sentido )or'rio5. ?rove que se ! -DEF1 ! 8 , ento o tri&n"ulo /- A A A $ equil'tero.

PRO LEMA 8(Olimpada n"ria #899)H/-8 ,,,, A A A A A dividem a circunfer(ncia unit'ria em cinco partes i"uais. ?rove que

.O53 /-8 = A A A A

PRO LEMA 9(. tnam $$)n

A A A ,...,- $ um pol>"ono re"ular inscrito em uma circunfer(ncia de raio" e centroO. !

$ um ponto so!re

-OA . 7ostre que

==

n

k

nnk " O! !A

-

.

PRO LEMA 1:ados um ponto ! so!re uma circunfer(ncia unit'ria e os v$rtices n A A A ,...,- de umn-'"ono re"ular inscrito, prove que

HHH-- ... e ... nn !A !A !A !A !A !A ++++++

so constantes.

i;&io3r

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