Aplicacao Integral - Primeiras Aulas

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Chapter 1 Aplicaes da Integral Simples1.1 rea de regies planares

Seja R a regio limitada pelo grco da funo y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) 0 para todo [a, b]. A rea da regio R dado pela frmula:b

A=a

f (x)dx. y

y y = f (x) R O a b x

y = f (x)

O

a x1 x2

xi xi+1 b = xn

x

DEMONSTRAO Tomemos nmeros x0 , x1 , x2 , , xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < < xn = b e, x , x , , x tais que x [xi1 , xi ]. Ento 1 2 n in

A (x1 x0 ) f (x ) + (x2 x0 ) f (x ) + + (xn xn1 ) f (x ) = = 1 2 nx1 x2 xn

xi f (x ) ii=1

2

Cap.1: Aplicaes da Integral Simplesn

Sec.1: rea de regies planaresb

A= Resumindo:

max xi 0

lim

xi f (x ) = ii=1

f (x) dxa

Seja R a regio delimitada pela curva y = f (x), f contnua em [a, b], pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, ento a rea A de R dado porb

A=a

|f (x)|dx.

Em particular se R a regio delimitada pela curva y = f (x), pelas retas verticais f (x) 0 para c < x < b ento a rea A de R dado porb c b

x = a e x = b, e eixo x, tais que f contnua em [a, b], f (x) 0 para a < x < c e

A=a

|f (x)|dx =

f (x)dx +a c

f (x)dx.

Seja R a regio delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], pelas retas horizontais y = c e y = d, e eixo y, ento a rea A de R dado pord

A=c

|g(y)|dy.

Seja R a regio delimitada pelas curvas y = f1 (x), y = f2 (x) interceptando nos pontos com abscissas x = a e x = b, ento a rea A de R dado porb

A=a

|f1 (x) f2 (x)| dx.

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

3

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares Seja R a regio delimitada pelas curvas x = g1 (y), x = g2 (y) interceptando nos pontos com ordenadas y = c e y = d, ento a rea A de R dado pord

A=c

|g1(y) g2 (y)|dy.

Exemplo 1.1. Calcular a rea da gura do plano limitada pela curva y = tg x e o eixo x e tal que /3 x /4. Soluo/4 0 /4

y

A=/3

|tg(x)|dx =

tg(x)dx +/3 0

tg(x)dx

/3 /4

x

/4 A = [ ln( cos x)]0 /3 + [ ln( cos x)]0 3 A = ln(2). 2

Exemplo 1.2. Calcular a rea da gura do plano limitada pela curva y = log2 (x) e o eixo x e tal que 1/2 x 4. Soluo A =1/2 4 1 4 1

y 1/2 1 4 x

Usando integrao por partes 15 ln(2) 5 A= . 2 ln(2)

| log2 (x)|dx =

1/2

log2 (x)dx +

log2 (x)dx

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares Exemplo 1.3. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas f (x) = 2x2 + 10 e g(x) = 4x + 16 de modo que 2 x 5. Soluo y

Para determinar os limites de integrao fazemos a interseo das curvas: y = 2x2 + 10 e y = 4x + 16 2x2 + 10 = 4x + 16 x = 1, 3. 2 A=1 2 3

15

3

5

x

[(2x2 +10)(4x16)]dx+1

[(4x+16)(2x2 +10)]dx+3

[(2x2 +10)(4x+16)]dx

142 . A= 3

1.1 Observao. Se f e g so funes contnuas em R, para calcular a rea da regio entre as curvas y = f (x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de interseo entre as curvas e o sinal de f (x) g(x). No h necessidade de mais detalhes sobre o grco de f ou de g. Exemplo 1.4. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas y1 = x5 x3 + 2x2 x + 3 e y2 = x4 + x3 + 2x2 x + 3. Soluo Intersees: y1 = y2 x5 x4 2x3 = 0 x3 (x2 x 2) = 0 x3 (x + 1)(x 2) = 0 x = 0 ou x = 1 ou x = 2. Sinal de y1 y2 = x3 (x + 1)(x 2) : 1 0 2 +++ +++

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

5

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Logo,0 2 0

Sec.1: rea de regies planares2 0

A=1

(y1 y2 )dx

0

(y1 y2 )dx =

1

(x5 x4 2x3 )dx

(x5 x4 2x3 )dx =

116 . 30

Exemplo 1.5. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas y 2 +y1x = 0 e y x = 0. Soluo Neste exemplo convm tomar y como varivel independente e as funes x = f (y) = y 2 + y 1 e x = g(y) = y As intersees da parbola e da reta x = y2 + y 1 e x = y1

y 1

x 1

so os pontos (1, 1) e (1, 1). A=1

1

4 A= . 3

|y (y 2 + y 1)|dy =

(y 2 + 1)dy1

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.2

Exerccios

Sec.2: Exerccios

[1] Determine a rea da regio do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.3) xy = 4 e x + y = 5 2 x (1.2) x = 8 + 2y y 2, y = 1, y = 3 e x = 0 (1.4) y = 2x , y = 2x x2 , x = 0 e x = 2 (1.6) y = |x2 4| e y = 2 (1.8) y = 9 , y = 9x e y = x x

(1.5) y = 2x, y = 1 e y =

(1.7) y = x3 3x e y = 2x2 (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3

(1.10) x = y 2 2 e x = 6 y 2

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.3

Volume de slidos

Sec.3: Volume de slidos

Introduo Volume de um cilindro reto Admitiremos inicialmente a denio de volume para cilindros retos: Tomemos um plano e uma regio R deste plano, com rea A limitada por uma curva fechada C. Consideremos uma reta r perpendicular ao plano e tomemos a superfcie cilndrica tal que C seja sua diretriz e r uma geratriz (isto , obtida pela reunio de todas as retas paralelas a r passando por algum ponto de C). Consideremos um plano, , paralelo a . A regio do espao limitada pela superfcie cilndrica e pelos dois planos um cilindro de base R e altura h, sendo h a distncia entre os dois planos. O volume do cilindro , V = A.h. Dado um slido, tomemos um eixo orientado OX e, para todo nmero real x, o plano perpendicular a OX em x (isto passando pelo ponto de abscissa x do eixo). Suponhamos que: Para todo x R, o plano

em x intercepta o slido se, e somente, se x [a, b].

Se x [a, b] a interseco

uma regio desse plano com rea que indicaremos por A(x).

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos Se a funo A(x), denida em [a, b], contnua ento o volume do slido :

b

V =a

A(x) dx

Deduo da frmula: Tomemos nmeros x0 , x1 , x2 , ..., xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b e nmeros a1 , a2 , ..., an tais que ai [xi1 , xi ]. O cilindro cuja base a interseco do plano perpendicular ao eixo OX em ai com on

slido e cuja altura (xi xi1 ) tem volume igual a A(ai )(xi xi1 ) e ento V (x1 x0 ) A(a1 ) + (x2 x1 ) A(a2 ) + + (xn xn1 ) A(an ) = =x1 x2 n xn b

xi A(ai )i=1

V =

max xi 0

lim

xi A(ai ) =i=1 a

A(x) dx

Chamaremos as interseces do slido com os planos perpendiculares ao eixo de sees planas do slido transversais ao eixo OX ou de sees planas. Exemplo 1.6. Calcular o volume de uma pirmide cuja base um quadrado de lado 2 e cuja altura 3. Soluo Tomemos o eixo OY perpendicular ao plano da base da pirmide, ortogonal a um dos lados da base e sua origem e orientao como indicados na gura ao lado.

e que indicaremos por L. Ento a seo plana tem rea A = L2 e o volume da pirmide3

Para todo y [0, 3] a seo plana transversal a OY um quadrado cujo lado varia com y dado por V =0

L2 dy. 9

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Para relacionarmos L e y, tomemos: Um plano perpendicular ao plano dessa base e contendo o eixo. A projeo da pirmide neste plano (veja gura ao lado).

Sec.3: Volume de slidos

da base, paralelo a um dos lados

Usando semelhana de tringulos temos 3y 3 6 2y = L= L 2 3 Logo,3

V =0

6 2y 3

2

1 dy = 9

3

(3624y+4y 2) dy = 40

Vemos aqui uma conrmao da proposio apresentada no Ensino Mdio: Ah O volume da pirmide de base A e altura h V = . 3 Exemplo 1.7. Calcular o volume de uma esfera de raio igual a 2. Soluo

Podemos escolher um eixo OY qualquer. Como indicado na gura ao lado, escolhemos um eixo tal que o plano perpendicular a ele na origem passa pelo centro da esfera.

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Para todo y [2, 2] a seo plana transver-

Sec.3: Volume de slidos

sal a OY um crculo cujo raio varia com y e que indicaremos por r. Ento a seo plana tem rea A = r 2 e o volume da esfera dado por V =2 2

r 2 dy

Ou usando a simetria da esfera2

V = 20

r 2 dy

Para relacionarmos r e y, tomemos a interseco da esfera com um plano que contenha o eixo e passe pelo seu centro. Pelo Teorema de Pitgoras (veja gura ao lado), r 2 + y 2 = 22 r = 4 y 2 Logo,2

V = 20

4 y2

2

2

dy = 20

(4y 2 ) dy =

32 . 3

Vemos aqui uma conrmao de outra proposio apresentada no Ensino Mdio: 4R3 O volume da esfera de raio R : V = . 3 Exemplo 1.8. Represente gracamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano z = 1 e a superfcie de equao z = x2 + y 2 . Soluo Representao grca: Dado um plano de equao z = c, c constante, (isto perpendicular a OZ), para obtermos sua interseco com a superfcie, substitumos z = c na equao z = x2 + y 2 , obtendo,

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Logo, a interseco Se c > 0, um crculo no plano z = c de

Sec.3: Volume de slidos

equao x2 + y 2 = c. Portanto com raio c.

Se c = 0, o ponto (0, 0) Se c < 0, vazia Logo trata-se de uma superfcie de revoluo em torno de OZ. Para considerar a interseco da superfcie com o plano Y OZ, substitumos x = 0 na equao z = x2 + y 2 obtendo a equao da parbola z = y 2 . Portanto a superfcie gerada pela rotao desta parbola em torno de OZ ( um parabolide de revoluo).

Na gura ao lado temos um esboo do slido limitado pela superfcie e pelo plano z = 1. Clculo do volume: Para todo z [0, 1] a seo plana transversal a OZ um circulo cujo raio z. Ento a seo plana tem rea A = ( z)2 = z e o volume do slido dado por1

V =0

z dz =

2 z 2

1 0

=

. 2

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos Exemplo 1.9. Represente gracamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano x2 y 2 z = 1 e a superfcie de equao z = + () 4 9 Soluo Representao grca: Como no exemplo anterior, a interseco de um plano de equao z = c, c constante, com x2 y 2 a superfcie, obtm-se substitumos z = c na equao (*), resultando + =c 4 9 Logo, a interseco : Vazia , se c < 0. (0, 0) , se c = 0. x2 y2 Uma elipse no plano z = c, de equao 2 + 2 = 1 e portanto com (2 c) (3 c) semi-eixos 2 c e 3 c se c > 0. Para considerar a interseco da superfcie com o plano Y OZ e com o plano XOZ, y2 x2 substitumos x = 0 e y = 0 na equao () obtendo as parbolas z = ez= . 9 4 Trata-se de um parabolide elptico. Ou seja, a representao grca semelhante do parabolide de revoluo - basta substituir os crculos por elipses. Clculo do volume: Para todo z [0, 1] a seo plana transversal a OZ uma elipse com semi-eixos 2 z e 3 z. Ento essa seo plana tem rea A = (2 z)(3 z) = 6z e o volume do slido dado por V = 60 1

z dz = 3 z 2

1 0

= 3.

Exemplo 1.10. Represente gracamente e calcule o volume do elipside de equao x2 y 2 + + z2 = 1 4 9 Soluo Representao grca: Como no exemplo anterior, a interseco de um plano de equao z = c, c constante, com ().

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos a superfcie, obtm-se substitumos z = c na equao () resultando na equao,0

y x y2 x 2 + +c =1 + = 1 c2 4 9 4 9 De acordo com o sinal de 1 c2 , temos que a interseco : Vazia, se c > 1 ou c < 1. (0, 0) , se c = 1 ou c = 1 Uma elipse no plano z = c, de equao x2 y2 + 2 2 = 1 e 2 1 c2 3 1 c2 portanto com semi-eixos 2 1 c2 e 3 1 c2 , se 1 < c < 1 As sees transversais a OX tambm so elipses, de equaes z2 c2 1 42

2

2

2

+ 3

y2 c2 1 42

= 1,

obtidas fazendo-se x = c na equao (), para 2 < c < 2. De modo anlogo temos que as sees transversais a OY so elipses. A seguir temos um esboo do slido Clculo do volume: Para todo z [1, 1] a seo plana transversal a OZ uma elipse com semi-eixos 2 1 c2 e 3 1 c2 . Ento essa seo plana A = (2 1 z 2 )(3 1 z 2 ) = 6(1 z 2 ) e o volume do slido dado por z3 V = 6 (1z ) dz = 6 z 3 12 1 1

tem rea

= 8.1

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.3: Volume de slidos

Exemplo 1.11. Calcule o volume do slido que interseco dos cilindros x2 + y 2 = 1 e x2 + z 2 = 1 (gura ao lado)

Soluo Clculo do volume: Tomemos o eixo OX e as interseces de cada um dos cilindro com planos perpendiculares a esse eixo. Para o cilindro x2 + y 2 = 1, fazendo x = c, c constante, na equao desse cilindro obtemos c2 + y 2 = 1 y = 1 c2

Logo a interseco com o plano x = c : Vazia, se c > 1 ou c < 1. A reta do plano x = c de ou c = 1 equao y = 0 , se c = 1

A regio do plano x = c lim-

itada pelas duas retas parale las y = 1 c2 se 1 < c 1 ou c < 1. A reta do plano x = c de equao z = 0 , se c = 1 ou c = 1 A regio do plano x = c limitada pelas duas retas paralelas z = 1 c2 se 1 k para c y d, o volume V de S dado pord

uma regio delimitada pelas curvas x = g1 (y), x = g2 (y) e pelas retas horizontais

V =c

[g1 (y) k]2 [g2 (y) k]2 dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta y = k, uma x = b, sendo f1 (x) f2 (x) > k para a x b, o volume V de S dado porb

regio delimitada pelas curvas y = f1 (x), y = f2 (x) e pelas retas verticais x = a e

V =a

[f1 (x) k]2 [f2 (x) k]2 dx.

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo Exemplo 1.16. Considere a regio do plano delimitada pelo eixo x, o grco de y = x, para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos 2 slidos gerados. Soluo (a) Rotao em torno do eixo x y 2 y= x O O 2 x y

x

2

x

Para cada x [0, 2], a seo transversal ao eixo Ox um circulo gerado pela rotao do segmento vertical de comprimento y = x. Logo, possui rea A(x) = y 2 e o volume do slido igual a V =0 2 2

y 2dx =0

xdx = 2.

(b) Rotao em torno do eixo y

y

sal ao eixo Oy um anel circular de 2 raio externo igual 2 e raio interno igual x = y 2 e portanto tem rea igual Logo o volume do slido igual a 2 16 2 4 V = (4 y )dy = . 5 0 A(y) = 22 x2 = 4y 4 = (4y 4 ).

Para cada y [0, 2], a seo transver-

y2 x 2 x

O

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo Exemplo 1.17. Determine o volume do slido obtido pelo rotao do parte da regio delimitada por y = 3 x e y = x/4 na primeira quadrante ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Soluo Pontos de Interseo: x x = 0, x = 8 e y = 0, y = 2. 4 y (a) Rotao em torno do eixo x x1/3 = y 2 3 y2 y1 y= Ox 4

y=

x

O 8 x

x

8

x

Para cada x [0, 8], a seo transversal ao eixo Ox um anel circular de raio x x externo y2 = 3 x e raio interno y1 = e portanto tem...