aplicacao integral - primeiras aulas

Download Aplicacao Integral - Primeiras Aulas

Post on 09-Jul-2015

1.090 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Chapter 1 Aplicaes da Integral Simples1.1 rea de regies planares

Seja R a regio limitada pelo grco da funo y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) 0 para todo [a, b]. A rea da regio R dado pela frmula:b

A=a

f (x)dx. y

y y = f (x) R O a b x

y = f (x)

O

a x1 x2

xi xi+1 b = xn

x

DEMONSTRAO Tomemos nmeros x0 , x1 , x2 , , xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < < xn = b e, x , x , , x tais que x [xi1 , xi ]. Ento 1 2 n in

A (x1 x0 ) f (x ) + (x2 x0 ) f (x ) + + (xn xn1 ) f (x ) = = 1 2 nx1 x2 xn

xi f (x ) ii=1

2

Cap.1: Aplicaes da Integral Simplesn

Sec.1: rea de regies planaresb

A= Resumindo:

max xi 0

lim

xi f (x ) = ii=1

f (x) dxa

Seja R a regio delimitada pela curva y = f (x), f contnua em [a, b], pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, ento a rea A de R dado porb

A=a

|f (x)|dx.

Em particular se R a regio delimitada pela curva y = f (x), pelas retas verticais f (x) 0 para c < x < b ento a rea A de R dado porb c b

x = a e x = b, e eixo x, tais que f contnua em [a, b], f (x) 0 para a < x < c e

A=a

|f (x)|dx =

f (x)dx +a c

f (x)dx.

Seja R a regio delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], pelas retas horizontais y = c e y = d, e eixo y, ento a rea A de R dado pord

A=c

|g(y)|dy.

Seja R a regio delimitada pelas curvas y = f1 (x), y = f2 (x) interceptando nos pontos com abscissas x = a e x = b, ento a rea A de R dado porb

A=a

|f1 (x) f2 (x)| dx.

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

3

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares Seja R a regio delimitada pelas curvas x = g1 (y), x = g2 (y) interceptando nos pontos com ordenadas y = c e y = d, ento a rea A de R dado pord

A=c

|g1(y) g2 (y)|dy.

Exemplo 1.1. Calcular a rea da gura do plano limitada pela curva y = tg x e o eixo x e tal que /3 x /4. Soluo/4 0 /4

y

A=/3

|tg(x)|dx =

tg(x)dx +/3 0

tg(x)dx

/3 /4

x

/4 A = [ ln( cos x)]0 /3 + [ ln( cos x)]0 3 A = ln(2). 2

Exemplo 1.2. Calcular a rea da gura do plano limitada pela curva y = log2 (x) e o eixo x e tal que 1/2 x 4. Soluo A =1/2 4 1 4 1

y 1/2 1 4 x

Usando integrao por partes 15 ln(2) 5 A= . 2 ln(2)

| log2 (x)|dx =

1/2

log2 (x)dx +

log2 (x)dx

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

4

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares Exemplo 1.3. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas f (x) = 2x2 + 10 e g(x) = 4x + 16 de modo que 2 x 5. Soluo y

Para determinar os limites de integrao fazemos a interseo das curvas: y = 2x2 + 10 e y = 4x + 16 2x2 + 10 = 4x + 16 x = 1, 3. 2 A=1 2 3

15

3

5

x

[(2x2 +10)(4x16)]dx+1

[(4x+16)(2x2 +10)]dx+3

[(2x2 +10)(4x+16)]dx

142 . A= 3

1.1 Observao. Se f e g so funes contnuas em R, para calcular a rea da regio entre as curvas y = f (x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de interseo entre as curvas e o sinal de f (x) g(x). No h necessidade de mais detalhes sobre o grco de f ou de g. Exemplo 1.4. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas y1 = x5 x3 + 2x2 x + 3 e y2 = x4 + x3 + 2x2 x + 3. Soluo Intersees: y1 = y2 x5 x4 2x3 = 0 x3 (x2 x 2) = 0 x3 (x + 1)(x 2) = 0 x = 0 ou x = 1 ou x = 2. Sinal de y1 y2 = x3 (x + 1)(x 2) : 1 0 2 +++ +++

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

5

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Logo,0 2 0

Sec.1: rea de regies planares2 0

A=1

(y1 y2 )dx

0

(y1 y2 )dx =

1

(x5 x4 2x3 )dx

(x5 x4 2x3 )dx =

116 . 30

Exemplo 1.5. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas y 2 +y1x = 0 e y x = 0. Soluo Neste exemplo convm tomar y como varivel independente e as funes x = f (y) = y 2 + y 1 e x = g(y) = y As intersees da parbola e da reta x = y2 + y 1 e x = y1

y 1

x 1

so os pontos (1, 1) e (1, 1). A=1

1

4 A= . 3

|y (y 2 + y 1)|dy =

(y 2 + 1)dy1

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

6

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.2

Exerccios

Sec.2: Exerccios

[1] Determine a rea da regio do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.3) xy = 4 e x + y = 5 2 x (1.2) x = 8 + 2y y 2, y = 1, y = 3 e x = 0 (1.4) y = 2x , y = 2x x2 , x = 0 e x = 2 (1.6) y = |x2 4| e y = 2 (1.8) y = 9 , y = 9x e y = x x

(1.5) y = 2x, y = 1 e y =

(1.7) y = x3 3x e y = 2x2 (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3

(1.10) x = y 2 2 e x = 6 y 2

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

7

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.3

Volume de slidos

Sec.3: Volume de slidos

Introduo Volume de um cilindro reto Admitiremos inicialmente a denio de volume para cilindros retos: Tomemos um plano e uma regio R deste plano, com rea A limitada por uma curva fechada C. Consideremos uma reta r perpendicular ao plano e tomemos a superfcie cilndrica tal que C seja sua diretriz e r uma geratriz (isto , obtida pela reunio de todas as retas paralelas a r passando por algum ponto de C). Consideremos um plano, , paralelo a . A regio do espao limitada pela superfcie cilndrica e pelos dois planos um cilindro de base R e altura h, sendo h a distncia entre os dois planos. O volume do cilindro , V = A.h. Dado um slido, tomemos um eixo orientado OX e, para todo nmero real x, o plano perpendicular a OX em x (isto passando pelo ponto de abscissa x do eixo). Suponhamos que: Para todo x R, o plano

em x intercepta o slido se, e somente, se x [a, b].

Se x [a, b] a interseco

uma regio desse plano com rea que indicaremos por A(x).

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

8

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos Se a funo A(x), denida em [a, b], contnua ento o volume do slido :

b

V =a

A(x) dx

Deduo da frmula: Tomemos nmeros x0 , x1 , x2 , ..., xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b e nmeros a1 , a2 , ..., an tais que ai [xi1 , xi ]. O cilindro cuja base a interseco do plano perpendicular ao eixo OX em ai com on

slido e cuja altura (xi xi1 ) tem volume igual a A(ai )(xi xi1 ) e ento V (x1 x0 ) A(a1 ) + (x2 x1 ) A(a2 ) + + (xn xn1 ) A(an ) = =x1 x2 n xn b

xi A(ai )i=1

V =

max xi 0

lim

xi A(ai ) =i=1 a

A(x) dx

Chamaremos as interseces do slido com os planos perpendiculares ao eixo de sees planas do slido transversais ao eixo OX ou de sees planas. Exemplo 1.6. Calcular o volume de uma pirmide cuja base um quadrado de lado 2 e cuja altura 3. Soluo Tomemos o eixo OY perpendicular ao plano da base da pirmide, ortogonal a um dos lados da base e sua origem e orientao como indicados na gura ao lado.

e que indicaremos por L. Ento a seo plana tem rea A = L2 e o volume da pirmide3

Para todo y [0, 3] a seo plana transversal a OY um quadrado cujo lado varia com y dado por V =0

L2 dy. 9

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Para relacionarmos L e y, tomemos: Um plano perpendicular ao plano dessa base e contendo o eixo. A projeo da pirmide neste plano (veja gura ao lado).

Sec.3: Volume de slidos

da base, paralelo a um dos lados

Usando semelhana de tringulos temos 3y 3 6 2y = L= L 2 3 Logo,3

V =0

6 2y 3

2

1 dy = 9

3

(3624y+4y 2) dy = 40

Vemos aqui uma conrmao da proposio apresentada no Ensino Mdio: Ah O volume da pirmide de base A e altura h V = . 3 Exemplo 1.7. Calcular o volume de uma esfera de raio igual a 2. Soluo

Podemos escolher um eixo OY qualquer. Como indicado na gura ao lado, escolhemos um eixo tal que o plano perpendicular a ele na origem passa pelo centro da esfera.

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

10

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Para todo y [2, 2] a seo plana transver-

Sec.3: Volume de slidos

sal a OY um crculo cujo raio varia com y e que indicaremos por r. Ento a seo plana tem rea A = r 2 e o volume da esfera dado por V =2 2

r 2 dy

Ou usando a simetria da esfera2

V = 20

r 2 dy

Para relacionarmos r e y, tomemos a interseco da esfera com um plano que contenha o eixo e passe pelo seu centro. Pelo Teorema de Pitgoras (veja gura ao lado), r 2 + y 2 = 22 r = 4 y 2 Logo,2

V = 20

4 y2

2

2

dy = 20

(4y 2 ) dy =

32 . 3

Vemos aqui uma conrmao de outra proposio apresentada no Ensino Mdio: 4R3 O volume da esfera de raio R : V = . 3 Exemplo 1.8. Represente gracamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano z = 1 e a superfcie de equao z = x2 + y 2 . Soluo Representao grca: Dado um plano de equao z = c, c constante, (isto perpendicular a OZ), para obtermos sua interseco com a superfcie, substitumos z = c na equao z = x2 + y 2 , obtendo,

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

11

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Logo, a interseco Se c > 0, um crculo no plano z = c de

Sec.3: Volume de slidos

equao x2 + y 2 = c. Portanto com raio c.