aplicacao integral - primeiras aulas

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Chapter 1 Aplicaes da Integral Simples1.1 rea de regies planares

Seja R a regio limitada pelo grco da funo y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) 0 para todo [a, b]. A rea da regio R dado pela frmula:b

A=a

f (x)dx. y

y y = f (x) R O a b x

y = f (x)

O

a x1 x2

xi xi+1 b = xn

x

DEMONSTRAO Tomemos nmeros x0 , x1 , x2 , , xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < < xn = b e, x , x , , x tais que x [xi1 , xi ]. Ento 1 2 n in

A (x1 x0 ) f (x ) + (x2 x0 ) f (x ) + + (xn xn1 ) f (x ) = = 1 2 nx1 x2 xn

xi f (x ) ii=1

2

Cap.1: Aplicaes da Integral Simplesn

Sec.1: rea de regies planaresb

A= Resumindo:

max xi 0

lim

xi f (x ) = ii=1

f (x) dxa

Seja R a regio delimitada pela curva y = f (x), f contnua em [a, b], pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, ento a rea A de R dado porb

A=a

|f (x)|dx.

Em particular se R a regio delimitada pela curva y = f (x), pelas retas verticais f (x) 0 para c < x < b ento a rea A de R dado porb c b

x = a e x = b, e eixo x, tais que f contnua em [a, b], f (x) 0 para a < x < c e

A=a

|f (x)|dx =

f (x)dx +a c

f (x)dx.

Seja R a regio delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], pelas retas horizontais y = c e y = d, e eixo y, ento a rea A de R dado pord

A=c

|g(y)|dy.

Seja R a regio delimitada pelas curvas y = f1 (x), y = f2 (x) interceptando nos pontos com abscissas x = a e x = b, ento a rea A de R dado porb

A=a

|f1 (x) f2 (x)| dx.

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

3

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares Seja R a regio delimitada pelas curvas x = g1 (y), x = g2 (y) interceptando nos pontos com ordenadas y = c e y = d, ento a rea A de R dado pord

A=c

|g1(y) g2 (y)|dy.

Exemplo 1.1. Calcular a rea da gura do plano limitada pela curva y = tg x e o eixo x e tal que /3 x /4. Soluo/4 0 /4

y

A=/3

|tg(x)|dx =

tg(x)dx +/3 0

tg(x)dx

/3 /4

x

/4 A = [ ln( cos x)]0 /3 + [ ln( cos x)]0 3 A = ln(2). 2

Exemplo 1.2. Calcular a rea da gura do plano limitada pela curva y = log2 (x) e o eixo x e tal que 1/2 x 4. Soluo A =1/2 4 1 4 1

y 1/2 1 4 x

Usando integrao por partes 15 ln(2) 5 A= . 2 ln(2)

| log2 (x)|dx =

1/2

log2 (x)dx +

log2 (x)dx

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

4

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares Exemplo 1.3. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas f (x) = 2x2 + 10 e g(x) = 4x + 16 de modo que 2 x 5. Soluo y

Para determinar os limites de integrao fazemos a interseo das curvas: y = 2x2 + 10 e y = 4x + 16 2x2 + 10 = 4x + 16 x = 1, 3. 2 A=1 2 3

15

3

5

x

[(2x2 +10)(4x16)]dx+1

[(4x+16)(2x2 +10)]dx+3

[(2x2 +10)(4x+16)]dx

142 . A= 3

1.1 Observao. Se f e g so funes contnuas em R, para calcular a rea da regio entre as curvas y = f (x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de interseo entre as curvas e o sinal de f (x) g(x). No h necessidade de mais detalhes sobre o grco de f ou de g. Exemplo 1.4. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas y1 = x5 x3 + 2x2 x + 3 e y2 = x4 + x3 + 2x2 x + 3. Soluo Intersees: y1 = y2 x5 x4 2x3 = 0 x3 (x2 x 2) = 0 x3 (x + 1)(x 2) = 0 x = 0 ou x = 1 ou x = 2. Sinal de y1 y2 = x3 (x + 1)(x 2) : 1 0 2 +++ +++

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

5

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Logo,0 2 0

Sec.1: rea de regies planares2 0

A=1

(y1 y2 )dx

0

(y1 y2 )dx =

1

(x5 x4 2x3 )dx

(x5 x4 2x3 )dx =

116 . 30

Exemplo 1.5. Calcular a rea da gura do plano limitada pelas curvas y 2 +y1x = 0 e y x = 0. Soluo Neste exemplo convm tomar y como varivel independente e as funes x = f (y) = y 2 + y 1 e x = g(y) = y As intersees da parbola e da reta x = y2 + y 1 e x = y1

y 1

x 1

so os pontos (1, 1) e (1, 1). A=1

1

4 A= . 3

|y (y 2 + y 1)|dy =

(y 2 + 1)dy1

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6

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.2

Exerccios

Sec.2: Exerccios

[1] Determine a rea da regio do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: (1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.3) xy = 4 e x + y = 5 2 x (1.2) x = 8 + 2y y 2, y = 1, y = 3 e x = 0 (1.4) y = 2x , y = 2x x2 , x = 0 e x = 2 (1.6) y = |x2 4| e y = 2 (1.8) y = 9 , y = 9x e y = x x

(1.5) y = 2x, y = 1 e y =

(1.7) y = x3 3x e y = 2x2 (1.9) f (x) = x|x| e g(x) = x3

(1.10) x = y 2 2 e x = 6 y 2

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7

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.3

Volume de slidos

Sec.3: Volume de slidos

Introduo Volume de um cilindro reto Admitiremos inicialmente a denio de volume para cilindros retos: Tomemos um plano e uma regio R deste plano, com rea A limitada por uma curva fechada C. Consideremos uma reta r perpendicular ao plano e tomemos a superfcie cilndrica tal que C seja sua diretriz e r uma geratriz (isto , obtida pela reunio de todas as retas paralelas a r passando por algum ponto de C). Consideremos um plano, , paralelo a . A regio do espao limitada pela superfcie cilndrica e pelos dois planos um cilindro de base R e altura h, sendo h a distncia entre os dois planos. O volume do cilindro , V = A.h. Dado um slido, tomemos um eixo orientado OX e, para todo nmero real x, o plano perpendicular a OX em x (isto passando pelo ponto de abscissa x do eixo). Suponhamos que: Para todo x R, o plano

em x intercepta o slido se, e somente, se x [a, b].

Se x [a, b] a interseco

uma regio desse plano com rea que indicaremos por A(x).

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8

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos Se a funo A(x), denida em [a, b], contnua ento o volume do slido :

b

V =a

A(x) dx

Deduo da frmula: Tomemos nmeros x0 , x1 , x2 , ..., xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b e nmeros a1 , a2 , ..., an tais que ai [xi1 , xi ]. O cilindro cuja base a interseco do plano perpendicular ao eixo OX em ai com on

slido e cuja altura (xi xi1 ) tem volume igual a A(ai )(xi xi1 ) e ento V (x1 x0 ) A(a1 ) + (x2 x1 ) A(a2 ) + + (xn xn1 ) A(an ) = =x1 x2 n xn b

xi A(ai )i=1

V =

max xi 0

lim

xi A(ai ) =i=1 a

A(x) dx

Chamaremos as interseces do slido com os planos perpendiculares ao eixo de sees planas do slido transversais ao eixo OX ou de sees planas. Exemplo 1.6. Calcular o volume de uma pirmide cuja base um quadrado de lado 2 e cuja altura 3. Soluo Tomemos o eixo OY perpendicular ao plano da base da pirmide, ortogonal a um dos lados da base e sua origem e orientao como indicados na gura ao lado.

e que indicaremos por L. Ento a seo plana tem rea A = L2 e o volume da pirmide3

Para todo y [0, 3] a seo plana transversal a OY um quadrado cujo lado varia com y dado por V =0

L2 dy. 9

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Para relacionarmos L e y, tomemos: Um plano perpendicular ao plano dessa base e contendo o eixo. A projeo da pirmide neste plano (veja gura ao lado).

Sec.3: Volume de slidos

da base, paralelo a um dos lados

Usando semelhana de tringulos temos 3y 3 6 2y = L= L 2 3 Logo,3

V =0

6 2y 3

2

1 dy = 9

3

(3624y+4y 2) dy = 40

Vemos aqui uma conrmao da proposio apresentada no Ensino Mdio: Ah O volume da pirmide de base A e altura h V = . 3 Exemplo 1.7. Calcular o volume de uma esfera de raio igual a 2. Soluo

Podemos escolher um eixo OY qualquer. Como indicado na gura ao lado, escolhemos um eixo tal que o plano perpendicular a ele na origem passa pelo centro da esfera.

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Para todo y [2, 2] a seo plana transver-

Sec.3: Volume de slidos

sal a OY um crculo cujo raio varia com y e que indicaremos por r. Ento a seo plana tem rea A = r 2 e o volume da esfera dado por V =2 2

r 2 dy

Ou usando a simetria da esfera2

V = 20

r 2 dy

Para relacionarmos r e y, tomemos a interseco da esfera com um plano que contenha o eixo e passe pelo seu centro. Pelo Teorema de Pitgoras (veja gura ao lado), r 2 + y 2 = 22 r = 4 y 2 Logo,2

V = 20

4 y2

2

2

dy = 20

(4y 2 ) dy =

32 . 3

Vemos aqui uma conrmao de outra proposio apresentada no Ensino Mdio: 4R3 O volume da esfera de raio R : V = . 3 Exemplo 1.8. Represente gracamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano z = 1 e a superfcie de equao z = x2 + y 2 . Soluo Representao grca: Dado um plano de equao z = c, c constante, (isto perpendicular a OZ), para obtermos sua interseco com a superfcie, substitumos z = c na equao z = x2 + y 2 , obtendo,

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Logo, a interseco Se c > 0, um crculo no plano z = c de

Sec.3: Volume de slidos

equao x2 + y 2 = c. Portanto com raio c.

Se c = 0, o ponto (0, 0) Se c < 0, vazia Logo trata-se de uma superfcie de revoluo em torno de OZ. Para considerar a interseco da superfcie com o plano Y OZ, substitumos x = 0 na equao z = x2 + y 2 obtendo a equao da parbola z = y 2 . Portanto a superfcie gerada pela rotao desta parbola em torno de OZ ( um parabolide de revoluo).

Na gura ao lado temos um esboo do slido limitado pela superfcie e pelo plano z = 1. Clculo do volume: Para todo z [0, 1] a seo plana transversal a OZ um circulo cujo raio z. Ento a seo plana tem rea A = ( z)2 = z e o volume do slido dado por1

V =0

z dz =

2 z 2

1 0

=

. 2

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos Exemplo 1.9. Represente gracamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano x2 y 2 z = 1 e a superfcie de equao z = + () 4 9 Soluo Representao grca: Como no exemplo anterior, a interseco de um plano de equao z = c, c constante, com x2 y 2 a superfcie, obtm-se substitumos z = c na equao (*), resultando + =c 4 9 Logo, a interseco : Vazia , se c < 0. (0, 0) , se c = 0. x2 y2 Uma elipse no plano z = c, de equao 2 + 2 = 1 e portanto com (2 c) (3 c) semi-eixos 2 c e 3 c se c > 0. Para considerar a interseco da superfcie com o plano Y OZ e com o plano XOZ, y2 x2 substitumos x = 0 e y = 0 na equao () obtendo as parbolas z = ez= . 9 4 Trata-se de um parabolide elptico. Ou seja, a representao grca semelhante do parabolide de revoluo - basta substituir os crculos por elipses. Clculo do volume: Para todo z [0, 1] a seo plana transversal a OZ uma elipse com semi-eixos 2 z e 3 z. Ento essa seo plana tem rea A = (2 z)(3 z) = 6z e o volume do slido dado por V = 60 1

z dz = 3 z 2

1 0

= 3.

Exemplo 1.10. Represente gracamente e calcule o volume do elipside de equao x2 y 2 + + z2 = 1 4 9 Soluo Representao grca: Como no exemplo anterior, a interseco de um plano de equao z = c, c constante, com ().

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos a superfcie, obtm-se substitumos z = c na equao () resultando na equao,0

y x y2 x 2 + +c =1 + = 1 c2 4 9 4 9 De acordo com o sinal de 1 c2 , temos que a interseco : Vazia, se c > 1 ou c < 1. (0, 0) , se c = 1 ou c = 1 Uma elipse no plano z = c, de equao x2 y2 + 2 2 = 1 e 2 1 c2 3 1 c2 portanto com semi-eixos 2 1 c2 e 3 1 c2 , se 1 < c < 1 As sees transversais a OX tambm so elipses, de equaes z2 c2 1 42

2

2

2

+ 3

y2 c2 1 42

= 1,

obtidas fazendo-se x = c na equao (), para 2 < c < 2. De modo anlogo temos que as sees transversais a OY so elipses. A seguir temos um esboo do slido Clculo do volume: Para todo z [1, 1] a seo plana transversal a OZ uma elipse com semi-eixos 2 1 c2 e 3 1 c2 . Ento essa seo plana A = (2 1 z 2 )(3 1 z 2 ) = 6(1 z 2 ) e o volume do slido dado por z3 V = 6 (1z ) dz = 6 z 3 12 1 1

tem rea

= 8.1

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.3: Volume de slidos

Exemplo 1.11. Calcule o volume do slido que interseco dos cilindros x2 + y 2 = 1 e x2 + z 2 = 1 (gura ao lado)

Soluo Clculo do volume: Tomemos o eixo OX e as interseces de cada um dos cilindro com planos perpendiculares a esse eixo. Para o cilindro x2 + y 2 = 1, fazendo x = c, c constante, na equao desse cilindro obtemos c2 + y 2 = 1 y = 1 c2

Logo a interseco com o plano x = c : Vazia, se c > 1 ou c < 1. A reta do plano x = c de ou c = 1 equao y = 0 , se c = 1

A regio do plano x = c lim-

itada pelas duas retas parale las y = 1 c2 se 1 < c 1 ou c < 1. A reta do plano x = c de equao z = 0 , se c = 1 ou c = 1 A regio do plano x = c limitada pelas duas retas paralelas z = 1 c2 se 1 k para c y d, o volume V de S dado pord

uma regio delimitada pelas curvas x = g1 (y), x = g2 (y) e pelas retas horizontais

V =c

[g1 (y) k]2 [g2 (y) k]2 dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta y = k, uma x = b, sendo f1 (x) f2 (x) > k para a x b, o volume V de S dado porb

regio delimitada pelas curvas y = f1 (x), y = f2 (x) e pelas retas verticais x = a e

V =a

[f1 (x) k]2 [f2 (x) k]2 dx.

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo Exemplo 1.16. Considere a regio do plano delimitada pelo eixo x, o grco de y = x, para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos 2 slidos gerados. Soluo (a) Rotao em torno do eixo x y 2 y= x O O 2 x y

x

2

x

Para cada x [0, 2], a seo transversal ao eixo Ox um circulo gerado pela rotao do segmento vertical de comprimento y = x. Logo, possui rea A(x) = y 2 e o volume do slido igual a V =0 2 2

y 2dx =0

xdx = 2.

(b) Rotao em torno do eixo y

y

sal ao eixo Oy um anel circular de 2 raio externo igual 2 e raio interno igual x = y 2 e portanto tem rea igual Logo o volume do slido igual a 2 16 2 4 V = (4 y )dy = . 5 0 A(y) = 22 x2 = 4y 4 = (4y 4 ).

Para cada y [0, 2], a seo transver-

y2 x 2 x

O

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo Exemplo 1.17. Determine o volume do slido obtido pelo rotao do parte da regio delimitada por y = 3 x e y = x/4 na primeira quadrante ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Soluo Pontos de Interseo: x x = 0, x = 8 e y = 0, y = 2. 4 y (a) Rotao em torno do eixo x x1/3 = y 2 3 y2 y1 y= Ox 4

y=

x

O 8 x

x

8

x

Para cada x [0, 8], a seo transversal ao eixo Ox um anel circular de raio x x externo y2 = 3 x e raio interno y1 = e portanto tem rea A(x) = ( 3 x)2 ( )2 = 4 4 x2 2/3 x . Logo o volume do slido igual a 16 8 x2 128 V = x2/3 dx = . 16 15 0 (b) Rotao em torno do eixo y Para cada y [0, 2], a seo transversal

y 2 y

ao eixo Oy um anel circular de raio externo x2 = 4y e raio interno igual x1 = y 3 e portanto tem rea igual A(y) = (4y)2 (y 3)2 = (16y 2 y 6). Logo o volume do slido igual a2

O

x1

x2

8

x V =0

(16y 2 y 6 )dy =

512 . 21

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo Exemplo 1.18. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio delimitada pelas curvas y = x2 e y = x, ao redor da reta x = 2. Soluo Pontos de Interseo: x2 = y 1 y= x x x = 0, x = 1

y = x2 O 1 x

y 1

y

5

4

2

O

x1

x2 1

x

Para cada y [0, 1], a seo transversal a reta x = 2 um anel circular de raio externo (x2 + 2) = ( y + 2) e raio interno (x1 + 2) = (y 2 + 2) e portanto tem rea A(y) = ( y + 2)2 (y 2 + 2)2 = (y + 4y 1/2 y 4 4y 2). Logo o volume do slido igual a1

V =0

(y + 4y 1/2 y 4 4y 2 )dy =

49 . 30

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27

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.5: Slidos de revoluo

Mtodo dos invlucros cilndricosUsamos este mtodo quando a rotao feito em torno do eixo do varivel dependente y, (y = f (x)) e impossvel de escreve x como funo de y. Suponhamos que um slido de revoluo obtido rotacionando-se, em torno do eixo y, uma regio R delimitada pela curva y = f (x), sendo f uma funo contnua num intervalo [a, b], f (x) 0, e pelas retas verticais x = a e x = b, como mostra a gura abaixo. y y y = f (x) R O a x x + x b x b x

Dividimos R em faixas verticais de largura innitsima x como mostrado na Figura. Quando uma faixa vertical girada em torno do eixo y, ela gera uma casca cilndrica de espessura x e volume V . Esta casca cilndrica a diferena entre um cilindro exterior do raio (x + x) e um cilindro interior do raio x. Ambos os cilindros tm a altura innitamente prximo a f (x). Assim o volume desta casca cilndrica V cilindro exterior cilindro interior (x + x)2 f (x) x2 f (x) = x2 + 2xx + (x)2 x2 f (x) = 2xx + (x)2 f (x) V 2xf (x)x

O volume total do slido de revoluo ser, de acordo com o Teorema Fundamental,b

V =a

2xf (x)dx.

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28

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples 1.2 Observao. Denotamos

Sec.5: Slidos de revoluo

A(x) = 2xf (x) = 2(raio)(altura) Ou seja A(x) representa a rea lateral de um cilindro de raio x e altura f (x). Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo x, uma horizontais y = c e y = d, o volume V de S dado pord

regio delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], g(y) 0, e pelas retas

V =c

2yg(y)dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo y uma regio delimitada pelas curvas y = f1 (x), y = f2 (x) e pelas retas verticais x = a e x = b, sendo f1 (x) f2 (x) para a x b, o volume V de S dado porb

V =a

2x f1 (x) f2 (x) dx.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo x, uma e y = d, sendo g1 (y) g2 (y) para c y d, o volume V de S dado pord

regio delimitada pelas curvas x = g1 (y), x = g2 (y) e pelas retas horizontais y = c

V =c

2y g1 (y) g2 (y) dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta y = k,

uma regio delimitada pelas curvas x = g1 (y), x = g2 (y) e pelas retas horizontais

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

29

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo y = c e y = d, sendo g1 (y) g2 (y) > k para c y d, o volume V de S dado pord

V =c

2|y k| g1 (y) g2 (y) dy.

Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta x = k, uma x = b, sendo f1 (x) f2 (x) > k para a x b, o volume V de S dado porb

regio delimitada pelas curvas y = f1 (x), y = f2 (x) e pelas retas verticais x = a e

V =a

2|x k| f1 (x) f2 (x) dx.

Exemplo 1.19. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio limitada pela parabola y = 2x2 x3 o eixo x em torno do eixo y. Soluo y

f (x)O 2 x

x

A(x) = 2(raio)(altura) = 2x(2x2 x3 ) = 2(2x3 x4 ) Logo V =0 2

2(2x3 x4 ) dx =

16 5

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

30

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo Exemplo 1.20. Determine o volume do slido obtido pelo rotao do parte da regio delimitada por y = 3 x e y = x/4 na primeira quadrante ao redor do eixo x. Soluo y 2 3 2 y= x y= Ox 4

y

y O 8 x x

A(y) = 2(raio)(altura) = 2y(4y y 3) = 2(4y 2 y 4 ) Logo V =0 2

2(4y 2 y 4) dy =

128 15

Exemplo 1.21. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio delimitada pelas curvas y = x2 e y = x, ao redor da reta x = 2. Soluo y

5

4

2

O

x

1

x

A(x) = 2(raio)(altura) = 2(x + 2)( x x2 ) = 2(x3/2 x3 + 2x1/2 2x2 ) Logo V =0 1

2(x3/2 x3 + 2x1/2 2x2 ) dx =

49 30

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

31

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.6

Exerccios

Sec.6: Exerccios

[1] Calcule o volume do slido obtido pela rotao da regio do plano limitada pelo grco ex + ex da funo f (x) = , com x [1, 1], em torno do eixo Ox. 2 [2] Calcule o volume do slido obtido pela rotao da regio do plano limitada pelo grco da elipse E : 9x2 + y 2 = 9 em torno do: (2.1) Eixo maior (2.2) Eixo menor.

[3] Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio compreendida entre o(s) grco(s) de: (3.1) y = (x 1)(x 3)2 e o eixo x, ao redor do eixo y (3.2) y = 3 x, x = 8 e o eixo x, ao redor do eixo x

(3.3) y = 2 x 1 e y = x 1, ao redor da reta x = 6 (3.4) x = (y 2)2 e y = x, ao redor da reta y = 1 (3.5) y = sen x, para 0 x , ao redor do eixo x

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

32

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.7

Momentos estticos e centrides

Sec.7: Momentos e centrides

No nosso dia-a-dia, nos deparamos com muitas situaes em que precisamos manter um sistema de corpos em equilbrio. Para conseguirmos apoiar uma placa plana em uma haste na, de forma que a mesma que em equilbrio, o ponto de apoio da haste deve estar localizado no centro de massa ou centride da placa, considerando-se o campo gravitacional uniforme. Ou at mesmo para arrumar a carga de um caminho necessrio que a mesma esteja em equilbrio para evitar acidentes por tombamento da carga, ou desgastes de pneus e suspenso. Da, temos necessidade de determinar o centro de massa ou centride no s de placas planas de formatos variados, como tambm arames, os, e slidos tri-dimensionais. Ao longo desse trabalho vamos mostrar como encontrar centro de massa ou centrides como aplicao do clculo integral em vrias situaes. Vale ressaltar nesse momento a diferena entre centro de massa e centro de gravidade. O centro de massa independe de fatores externo, como por exemplo da acelerao da gravidade local. J o centro de gravidade depende do campo gravitacional. Assim, o centro de massa e o centro de gravidade s coincidem quando o campo gravitacional for uniforme. Como podemos encontrar o centro de massa? Inicialmente vamos imaginar uma situao bem simples, como por exemplo uma gangorra. A gangorra est apoiado num suporte como mostra a gura a seguir. p1 d1 d2 p2

Vamos considerar duas pessoas sentadas nas extremidades com pesos p1 e p2 e distncias ao ponto de apoio d1 e d2 respectivamente. Pela lei da Alavanca de Arquimedes a gangorra s estar em equilbrio se:

p1 d 1 = p2 d 2 . Agora vamos analisar a situao do ponto de vista uni-dimensional, considerando Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 33

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides a origem da reta real como mostra a gura abaixo e denotaremos por xg o centro de gravidade da gangorra, ou seja, o ponto de apoio de forma que a gangorra que em equilbrio, considerando as condies anteriores. x1 p1 xg x2 p2

O

d1

d2

Nesse caso temos que d1 = xg x1 e d2 = x2 xg . Aplicando a lei da Alavanca, temos p1 (xg x1 ) = p2 (x2 xg ) p1 xg p1 x1 = p2 x2 p2 xg p1 xg p2 xg = p1 x1 + p2 x2 xg (p1 + p2 ) = p1 x1 + p2 x2 Da, podemos concluir que p1 x1 + p2 x2 p1 + p2

xg =

(1.1)

Desde quando o peso, segundo a lei de Newton a fora exercida sobre o corpo pela atrao gravitacional da Terra temos que p1 = m1 g e p2 = m2 g, em que m1 e m2 so as massas das pessoas que esto sentadas na gangorra e g a acelerao da gravidade aproximadamente igual 9, 8m/s. Com essas considerao a equao 1.9 dada por g m1 x1 + g m2 x2 m1 x1 + m2 x2 = . g m1 + g m2 m1 + m2

xg =

(1.2)

Como nesse caso o campo gravitacional uniforme, vericamos que o centro de gravim1 x1 + m2 x2 dade (xg ) coincide com o centro de massa, que denotaremos por x = . m1 + m2

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

34

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides Conseqentemente, podemos denir o momento esttico da massa de uma partcula em relao a um ponto. 1.3 Definio. Momento Esttico Denimos o momento esttico da massa m1 em relao a origem, denotado por M1 , atravs do produto M1 = m1 x1 , assim como o momento esttico da massa m2 em relao a origem, denotado por M2 , atravs do produto M2 = m2 x2 , em que x1 e x2 representam as distncias das massas m1 e m2 em relao a origem ou ponto referencial. Assim como denimos o momento esttico em relao a um ponto, podemos tambm denir o momento esttico em relao a outros referncias como, por exemplo, uma reta ou um plano. O momento tambm pode ser aplicado a outras grandezas alm da massa como: momento de fora, momento de comprimento, momento de rea, momento de volume etc. Agora vamos considerar a situao de termos um sistema de n partculas com massas m1 , m2 , . . . , mn localizadas nos pontos x1 , x2 , . . . , xn respectivamente sobre o eixo Ox. Nesse caso o centro de massa do sistema dado pela razo entre o somatrio dos momentos e a massa total, como mostra a equao abaixo.n

x=

i=1 n

mi xi mi

=

M m

mx=M

i=1

n

n

em que m =i=1

mi representa a massa total do sistema e M =i=1

mi xi o somatrio

dos momentos estticos de cada partcula em relao a origem.

Observe que o centro de massa um ponto em que podemos concentrar todas as massas do sistema de forma que o somatrio dos momentos em relao ao referencial considerado continua o mesmo. No caso bi-dimensional, vamos considerar que as partculas esto posicionadas no plano cartesiano, como mostrar a gura abaixo. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 35

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples y x1 m3 x3 y3 O

Sec.7: Momentos e centrides

m1 y1

x y2 x2 m2

Seguindo um raciocnio similar ao caso uni-dimensional, j visto, s que agora tomando como referencial os eixos Ox e Oy, temos que o centride, denotado por (x, y), dado por:

x=n

My m

e

y=

Mx , m

em que m =i=1

mi representa a massa total do sistema, e

n

n

My =i=1

mi xi

e

Mx =i=1

mi y i

representam os somatrios dos momentos em relao aos eixos Oy e Ox respectivamente. Observe que o momento de uma partcula em relao ao eixo Ox o produto da massa dessa partcula pela distncia da mesma ao eixo Ox, que uma distncia y. Similarmente, para o momento em relao ao eixo Oy. Assim, o ponto (x, y), que representa o centride, o ponto em que uma nica partcula de massa m teria os mesmos momentos do sistema. Vamos agora nos deter ao clculo do centro de massa ou centride de placas planas nas de material homogneo com densidade uniforme (massa por unidade de rea) e rea supercial A. Inicialmente, vamos encontrar centrides de placas com formato de Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 36

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides guras planas simtricas ou que possuam eixo de simetria. Uma superfcie simtrica em relao a um eixo OO, se para cada ponto P da superfcie existe um ponto P, tal que o segmento PPalm de ser perpendicular ao eixo OO, dividido ao meio pelo eixo. Analogamente, podemos vericar a simetria de uma curva. Nesse caso, ou seja, quando uma superfcie ou curva possui um eixo de simetria o centride em ambas situaes esto sobre esse eixo de simetria. Caso a superfcie ou curva possua dois eixos de simetria, seu centride est na interseo desses dois eixos. Assim, facilmente podemos determinar os centrides de superfcies no formato de guras geomtricas conhecidas como: quadrados, retngulos, tringulos equilteros, crculos, elipses etc. Similarmente, podemos identicar o centride de curvas na forma de circunferncias, elipses etc. Observe que no caso das curvas, nem sempre o centride pertence a mesma. Ver a gura abaixo. xg xg xg xg

Quando temos superfcies compostas de vrias regies sem intersees, o momento dessa superfcie o somatrio dos momentos de cada regio que a compe. Sendo a massa de cada regio da superfcie composta igual a mi = Ai , i = 1, 2, 3 . . . os momentos em relao aos eixos Ox e Oy so respectivamente,n n

My =i=1

Ai xi

e

Mx =i=1

Ai y i .

Nesse caso xi e y i so as distncias dos centrides de cada regio aos eixo OX e Oy respectivamente. Observe a gura abaixo.

6 (x2 , y 2 ) 2 (x1 , y 1 ) 2 8 37

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides Exemplo 1.22. Vamos encontrar o centride da superfcie composta indicada nessa gura. Soluo: J sabemos que o centride de cada quadrado coincido com o seu centro. Assim, vamos encontrar o somatrio dos momentos, considerando Ai a rea do quadrado Qi e y i e xi , suas respectivas distncia ao eixo Ox e Oy, i = 1, 2. Portanto

Mx = A1 y 1 + A2 y 2 = [1(2 2) + 3(6 6)] = 112 e My = A1 x1 + A2 x2 = 1(2 2) + 5(6 6) = 184 A rea total dada por A = 2 2 + 6 6 = 40. Assim, x= My 184 23 = = u.c A 40 5 e y= Mx 112 14 = = u.c A 40 5

Exemplo 1.23. Achar o centride da seo de um pilar indicado na gura a abaixo.

y

50 (x1 , y 1 ) 30 (x2 , y 2 )

0

30

50

x

Soluo: Sabemos que quando a gura possui eixo de simetria, o centride est sobre esse eixo de simetria. Observe que o eixo de simetria do pilar a primeira bissetriz. Mx Portanto, nesse caso, em particular, x = y = , em que Mx o somatrio dos momentos A e A a rea total da superfcie. Assim,

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38

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.7: Momentos e centrides

Mx = y1 A1 + y2 A2 = (25 30 50 + 15 20 30) = 46.500cm3 A = 30 50 + 20 30 = 1500 + 600 = 2100cm2

Conseqentemente, 46.500 = 22cm 2.100

x=y=

E se quisermos encontrar o centride de um tringulo qualquer que no seja equiltero? Nesse caso, se a placa homognea e de espessura constante, o baricentro coincide com o centride de sua superfcie (veja gura abaixo). y B C

y3 y2

G(xg , y g )

y1

A x1 x2 x3 x

Assim, dadas as coordenadas dos vrtices do tringulo podemos determinar o seu baricentro, denotado por (xg , yg ) de forma prtica por: x1 + x2 + x3 3 y1 + y2 + y3 3

xg =

yg =

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39

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides Exemplo 1.24. Encontre o centride da superfcie composta indicada na gura abaixo. y

40 30

O

30

40

x

Soluo: Observe que nessa gura temos a primeira bissetriz como eixo de simetria, Mx assim x = y. Basta, ento, encontrarmos y = . Observe, tambm, que o somatrio A 1 dos momentos Mx o momento do quadrado, Mx subtrado do momento do tringulo,2 Mx e a rea total, A, a rea, A1 do quadrado menos a rea, A2 do tringulo. Portanto

A = A1 + A2 = 40 40

30 30 = 1.150cm2 2 30 30 1 30 2 3 =

27.500 cm3.

1 2 Mx = Mx Mx = A1 y1 A2 y2 = 40 40 20

Conseqentemente, Mx 27.500 = = 23, 9cm A 1.150

y=x=

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40

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides Exemplo 1.25. Na gura abaixo qual deve ser o valor de x para que a ordenada do centride seja igual a 2? y 8

G1 2 G2 x

3

x

Mx , em que Mx A 1 denota o momento esttico em relao a x e A a rea total. Vamos denotar por Mx o Soluo: Sabemos que a ordenada do centride dada por y =2 momento do retngulo em relao ao eixo x e por Mx o momento do tringulo em relao

ao eixo x, assim como, A1 e A2 as reas do retngulo e do tringulo respectivamente. Assim, A1 = 2x e A2 = Enquanto que Y1 = 1 e Y2 = 1 6 + 2 = 4. 3 Agora vamos encontrar o momento em relao a x e a rea total. (x 3) 6 4 = 2x + 12x 36 = 14x 36. Mx = A1 y1 + A2 y2 = 2x 1 + 2 (x 3) 6 A = 2x + = 2x + 3x 9 = 5x 9. 2 y= Mx 14x 36 = = 2. A 5x 9 (1.3) (x 3) 6 . 2

Resolvendo a equao 1.9, temos

14x 36 = 10x 18 4x = 18 x = 4, 5. Como faremos para encontrar centrides de regies planas que no so formadas por guras geomtricas, as quais j conhecemos o centride, como mostramos anteriormente? Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 41

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides Como por exemplo, o centride de uma regio limitada por uma funo qualquer? Para tanto vamos mostrar como obter uma expresso em integral que calcula centrides desse tipo de regio. Seja R uma regio limitada pelas retas x = a, y = b, o eixo x e a funo contnua f (x) em [a, b]. Vamos dividir o intervalo [a, b], em sub-intervalos pequenos, tomando-se uma partio a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b.

y

f

Ri Ci

a

xi b x x

Seja x = xi1 xi e vamos tomar xi [xi1 , xi ], tal que xi = xi1 + xi , 2 i = 1, 2, . . . , n.

Assim, podemos dizer que a regio aproximadamente a unio dos retngulos de base Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 42

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.7: Momentos e centrides f (xi ) o centride de cada retngulo xi e altura f (i ). Vamos denotar por Ci = xi , x 2 Ri , e por Ai = f (xi ) x a rea de cada retngulo Ri . Portanto, a massa dada por m = Ai . O momento de cada retngulo Ri em relao ao eixo y dado por

My (Ri ) = [ f (xi ) x] massa

xidistancia de Ri ao eixo y

= xi f (xi ) x

Para encontrar o momento da regio R em relao ao eixo y, vamos fazer o mximo dos xi tender a zero. Conseqentemente temos

n

n

b n

My = lim

n

i=1

xi f (xi ) x =b

i=1

lim xi f (xi ) x :=

a

x f (x)dx.

My Da, x= = m Similarmente,

a

x f (x)dx A

=

1 A

b a

x f (x)dx.

Mx (Ri ) = [ f (xi ) x]

f (xi ) 1 = [f (xi )]2 x 2 2

n

Mx = lim

n

i=1

1 [f (xi )]2 x = 2

n n

i=1

lim

1 [f (xi )]2 x := 2

b a

1 [f (x)]2 dx. 2

Conseqentemente,b

Mx y= = m

a

1 [f (x)]2 dx 1 2 = A 2A

b a

1 [f (x)]2 dx. 2

A mesma linha de raciocnio pode ser usada para determinarmos o centride no caso da regio R ser limitada pelas retas y = c e y = d e o eixo y e a funo contnua x = f (y) em [c,d], como mostra a gura abaixo.

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43

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Incluir gura 11 Ver com Joseph

Sec.7: Momentos e centrides

Nesse caso, encontramosb 1 y f (y)dy e x = [f (y)]2dy. 2A a a 1 Exemplo 1.26. Encontrar o centride de da circunferncia de raio r. 4

1 y= A

b

y r

r

x

Soluo: a equao x2 +y 2 = r 2 representa uma circunferncia de raio r. No primeiro quadrante a quarta parte da circunferncia o grco da funo f (x) = r 2 x2 e sua r 2 . Assim, vamos usar os resultados obtidos anteriormente, rea A = 4 b 1 b 1 x f (x)dx e [f (y)]2dy. x= y= A a 2A a Assim, 4 r 2r 0

x=

x r 2 x2 dx

(1.4)

Vamos resolver a integral da equao 1.10 por substituio de varivel, fazendo t = r 2 x2 dt = 2xdx. Para x = 0 t = r 2 e x = r t = 0. Portanto, 4 x = r 2r 0

4 x r 2 x2 dx = 2 rr2

0 r2

2 t3/2 = r 2 3/2

=0

2 r 2

(r 2 )3

2 4 4r = r3 = . 2 3 3r 3 44

t 2 dt = 2 2 r

r2 0

tdt

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Calculando y, temos

Sec.7: Momentos e centrides

r 4 r 2 x2 1 b [f (x)]2 y = dx = 2 dx A a 2 r 0 2 r3 2 2r 3 4r 2 = r3 = 2 = . 2 r 3 r 3 3

2 x3 = 2 r2x r 3

r

0

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45

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.8

Segundo Teorema de Pappus-Guldin

Sec.8: 2o Teorema de Pappus

Agora que voc sabe encontrar centrides de regies planas, j est apto a entender o teorema de Pappus-Guldin, que propicia o clculo do volume do slido gerado pela rotao de uma regio plana em torno de um eixo de rotao. 1.4 Teorema. Se uma regio plana gira em torno de uma reta de seu plano que no a intercepta, o volume gerado igual ao produto da rea da regio plana pelo comprimento da circunferncia percorrida pelo seu centride. Prova. Vamos considerar o eixo x como eixo de rotao e y a ordenada do centride da regio plana e vamos tomar um elemento de rea dA = t dy, como mostra a gura abaixo.

y b

f t S G

g dy

a

x

Assim, queremos mostrar que o volume do slido gerado V o produto da rea da regio plana pelo comprimento da circunferncia percorrida pelo eu centride, ou seja V = A 2y . rea circunferncia Utilizando o mtodo da casca cilndrica, observe que o volume gerado pela rotao da regio S em torno do eixo x dado pela expresso

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

46

Cap.1: Aplicaes da Integral Simplesb

Sec.8: 2o Teorema de Pappus y tdy. (1.5)

V = 2a

Por outro lado, a ordenada do centride dada porb b

y= a a

ydAb

ydA =a

b

dA

A

ydA = yA.a

(1.6)

Como dA = t dy e com os resultados obtidos na equao 1.6, da equao 1.5 temosb b

V = 2a

y tdy = 2

ydA = 2yAa

Assim, ca demonstrado Segundo Teorema de Pappus-Guldin. 2 1.5 Observao. Generalizando, o segundo teorema de Pappus-Goldin nos diz que o volume do slido gerado pela rotao de uma regio plana em torno de um eixo dado por V = 2d A, em que d a distncia do centride da regio ao eixo de rotao e A a rea da regio. Exemplo 1.27. Determinar o volume de um toro gerado pela rotao de um crculo de raio R em torno de um eixo de seu plano distncia K > R do seu centro ( ver gura abaixo).

RG K

Soluo Pelo segundo teorema de Pappus-Goldin, o volume dado por

V = A 2K = R2 2K = 2 2 KR2 . Assim, o volume do toro gerado V = 2 2 KR2 . Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 47

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de Pappus 1.6 Observao. Nesse caso o centride coincidiu com o centro do crculo cuja ordenada K. Ou seja, y = K. Caso a rea no seja um crculo temos que encontrar o centride. Exemplo 1.28. Encontrar o volume gerado pela rotao do tringulo de vrtices (1, 1), (3, 1) e (2, 7) em torno da reta y = 2x, como mostra a gura abaixo. (2, 7) f

d

G

(1, 1) (3, 1)

Soluo Sabemos, pelo segundo teorema de Pappus-Guldin, que o volume do slido gerado dado por V = 2d A, em que, nesse caso, d a distncia do centride do tringulo reta y = 2x e A a rea do tringulo. Portanto, inicialmente, vamos encontrar o centride do tringulo. Como visto anteriormente, temos 1+3+2 =2 3 1+1+7 = 3. 3

xg =

yg =

Portanto o centride do tringulo,G, dado por G = (2, 3). Agora, precisamos da distncia entre o ponto G e a reta y = 2x, e para tanto, Dada uma reta ax + by + c = 0, a distncia entre a reta e o ponto P (x0 , y0 ) dada por ax0 + by0 + c . a2 + b2

vamos nos lembrar como encontrar distncia entre ponto e reta.

d=

Assim, a distncia, d, entre a reta 2x + y = 0 e o ponto G(2, 3) dada por 2 (2 + 1) (3 + 0) 7 5 d= = . 5 2 2 + 12 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 48

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de Pappus Claramente a rea, A, do tringulo A = 6, portanto o volume do slido gerado 7 5 84 5 V = 2d A = 2 6= . 5 5 Exemplo 1.29. Usando o segundo teorema de Pappus-Guldin, determine a ordenada do centride de semi-crculo de raio R.

G

Soluo Vamos denotar por A a rea do semi-crculo de raio R, e por y a ordenada do seu centride. Pelo segundo teorema de Pappus-Guldin, temos R2 2y = 2 R2 y 2

V = A 2y =

(1.7)

Por outro lado, o volume da esfera dado por 4 V = R3 3 Igualando as equaes 1.7 e 1.8 temos 4 4R 2 R2 y = R3 y = . 3 3 4R e observe que 3 a sua abscissa, x nula, pois est sobre o eixo y, que o eixo de simetria. Portanto, a ordenada do centride do semi-crculo de raio R y =

(1.8)

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49

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.9

Exerccios

Sec.9: Exerccios

[1] Determine a posio do centride das seguintes guras e o volume do slidos gerados pela rotao das mesmas em torno da reta indicada abaixo de cada gura: y (1.1) 8 2 3 3 6 2 0 2 reta: y = 10 y 2 y 1 2 0 7 8 10 x 1 2 3 x x 0 2 8 x 6 (1.2) y

reta: x y + 4 = 0 (1.4)

(1.3)

10

8

reta: y 7 = 0

reta: x 4 = 0

[2] Determine as coordenadas do centro de gravidade da regio plana especicada: (2.1) Regio no primeiro quadrante, delimitada pela elipse (2.2) rea delimitada pela curva y = 4 x2 e o eixo x 4 x2 y 2 + = 1, (x 0, y 0) a2 b2

(2.3) rea delimitada pela parbola y 2 = ax e pela reta x = a.

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50

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.9: Exerccios 2 2 [3] Seja R a regio do plano limitado pelas curvas y = x e y = x + 2. (3.1) Esboce R e calcule a sua rea. (3.2) Calcule o centride de R. (3.3) A regio R girado em torno da reta x = 2 formando um slido D. Calcule o volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin. [4] Seja R a regio do plano limitado pelas curvas y = x2 3x + 6 e x + y 3 = 0. (4.1) Esboce R e calcule a sua rea. (4.2) Calcule o centride de R. (4.3) A regio R girado em torno da reta x + y 3 = 0 formando um slido D. Calcule o volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin.

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51

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.10

Comprimento de Arco de uma Curva

Sec.10: Comprimento de arco

Em muitas situaes vamos precisar do comprimento da trajetria percorrida por uma partcula, como por exemplo o comprimento de uma rodovia, constituda de muitas curvas sinuosas. Nesses casos, se faz necessrio o clculo do comprimento do arco de uma dada curva. O nosso objetivo agora poder expressar esse comprimento atravs de uma integral denida. Para tanto, vamos considerar uma funo contnua f com primeira derivada tambm contnua, denida num intervalo fechado [a, b]. Nessas condies, vamos considerar que o grco dessa funo uma curva lisa e sem repeties de trechos como mostrar a gura a seguir.

y

Pn = b

P0 = a f

x

Vamos dividir o intervalo [a, b], em sub-intervalos pequenos, tomando-se uma partio a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b Observe que ao fazermos isso estamos dividindo a curva nos pontos P0 , P1 , P2 , . . . , Pn , tais que P0 (a, y0) e Pn (b, yn ), como mostra a gura seguinte.

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52

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples y Pn1 Pi Pi1 P0 = a f P1 xi yi

Sec.10: Comprimento de arco Pn = b

xi1 xi

x

Assim, fazendo um clculo grosseiro podemos dizer que o comprimento da curva, denotado por L, aproximadamente igual a soma dos comprimentos dos segmentos Pi1 Pi com i = 1, 2, . . . , n. Ou seja,n

L =

P(i1) Pi = P0 P1 + P1 P2 + . . . + P(n1) Pni=1

mento de cada segmento P(i1) Pi , em que i = 1, 2, . . . , n, isto , li = P(i1) Pi . y Pn1 Pi yi Pn = b

Considerando xi = xi x(i1) e yi = yi y(i1) , vamos denotar por li o compri-

Pi1 P0 = a f P1

xi

xi1

xi

x

Na gura anterior, observe o tringulo retngulo, e por Pitgoras temos:

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53

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.10: Comprimento de arco2

li =

(xi

)2

+ (yi

)2

=

(xi )2 (xi )2 + (yi )2 = 2 (xi )

1+

yi xi

|xi |.

Observe que xi um valor positivo, devido a forma que tomamos a partio. Conseqentemente, o comprimento total da curva(L) aproximadamente igual n n

L =

li =i=1 i=1

1+

yi xi

2

xi .

Fazendo o mximo dos xi tender a zero, diminumos o erro nos clculos e renamos a partio, pois n . Assim, passando o limite, temosn n

lim L = lim

n

1+i=1

yi xi

2

n

xi =i=1

n

lim

1+

yi xi

2

xi .

Agora, como f derivvel e contnua em [a, b], o Teorema do Valor Mdio garante que existe ci [xi1 , xi ] tal que yi = f (ci )xi . Dessa forma podemos denir o comprimento da curva comon

L=i=1

n

lim

1+

yi xi

2

b

xi :=a

1 + [f (x)]2 dx.

Portanto conclumos que se f = f (x) uma funo contnua e derivvel para todo x pertencente ao intervalo fechado [a, b] o comprimento da curva lisa do grco de f dado porb

L=a

1 + [f (x)]2 dx.

Analogamente, se g = g(y) uma funo contnua e derivvel em [c, d], temosd

L=c

1 + [g (y)]2dy.

Agora usando o resultado obtido podemos resolver os seguintes exemplos:

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54

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco Exemplo 1.30. Calcule o comprimento de arco da curva de equao ex + ex 2

y=

para

x [1, 1]. f (x) = ex ex , assim 2

Soluo: A derivada da funo y = f (x)

1

L =1 1

1+

ex ex 2

2

1

dx =1

1+

(ex )2 2ex ex + (ex )2 dx 4 (ex )2 + 2 + (ex )2 dx 4

=1

4 + (ex )2 2 + (ex )2 dx = 4 (ex + ex ) dx = 42 1 1

1 1

1

=1

ex + ex dx 4

Como ex + ex > 0 para todo x,

L=

1 2

1

ex + ex dx =1

1 x e ex 2

1 1

=

1 1 2e 2 2 e

=e

1 e

u.c.

ex + ex ex ex Uma curiosidade que as funes y(x) = e y(x) = , so o 2 2 cosseno hiperblico e o seno hiperblico, respectivamente. O grco da funo cosseno hiperblico (ver gura abaixo) uma "catenria" e tem a forma de um o exvel preso pelas pontas e deixado sob ao da gravidade. f

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55

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.10: Comprimento de arco x2 Exemplo 1.31. Calcule o comprimento do arco da parbola y = para x [0, 1]. 2 Soluo x2 e f (x) = x o comprimento do arco da parbola dado por 21

Como f (x) =1

L=0

1 + [f (x)]2 dx igual a L =0

1 + x2 dx. Usando substituio trigonomtrica,

fazendo y = tg(t) e observando o tringulo abaixo, temos 1 1 cos(t) = 1 + x2 = = sec(t) cos(t) 1 + x2 1 + x2 x t 1 sen(t) = tg(t) = x 1 + x2

x dx = sec2 (t)dt 1

x = 0 t = arctg(0) = 0 e y = 1 t = arctg(1) = . 4 Logo, o comprimento de arco da parbola 1

L =0

(1 + x2 )dx =0

4

1 + tg 2 (t) sec2 (t)dt

=

4 sec3 (t)dt = sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)| 4 2 00

sec =

tg + ln sec + tg 4 4 4 4 2

sec(0) tg(0) + ln |sec(0) + tg(0)|

=

2 2 (1) + ln + 1 2 2 2

=

2 + ln 2 + 1 2

u.c. sec3 (t),

Agora, vamos mostrar como obtivemos o resultado da integral da funo sinalizada anteriormente.

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56

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples sec3 (t)dt =

Sec.10: Comprimento de arco sec2 (t)sec(t)dt

Vamos resolver a integral pelo mtodo de integrao por partes, fazendo u = sec(t) du = sec(t)tg(t)dt e dv = sec2 (t)dt v = tg(t). Aplicando o mtodo de integrao por parte, em que sec3 (t)dt = sec(t) tg(t) = sec(t) tg(t) = sec(t) tg(t) udv = uv vdu, temos

tg 2(t)sec(t)dt sec2 (t) 1 sec(t)dt sec3 (t)dt + sec(t)dt

Observe que do outro lado da ltima igualdade encontramos novamente a integral sec3 (t)dt. Resolvendo a igualdade e usando o resultado sec(t)dt = ln |sec(t) + tg(t)| + C, C uma constante, temos

2 Da,

sec3 (t)dt = sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)| + C

sec3 (t)dt =

sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)| +C 2 1 + x2 x + ln 2 1 + x2 + x

=

+C

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57

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco Exemplo 1.32. Calcule o comprimento do arco da curva y = ln(x), em que 3x (8).

Soluo: A derivada da funo y = ln(x) igual arco dado por 8

1 dy = , assim o comprimento do dx x8

L =

1+3

1 x

2

dx = 3

1+3

1 dx x2

8

=

3

x2 + 1 dx = x2

8

x2 + 1 dx |x|

A ltima integral deve ser resolvida pelo mtodo de substituio trigonomtrica. Fazendo x = tg(t) e observando o tringulo abaixo temos 1 1 cos(t) = 1 + x2 = = sec(t) cos(t) 1 + x2 1 + x2 x t tg(t) = sen(t) = x 1 + x2

1 Muitas vezes, principalmente quando vamos fazer muitas substituies de variveis, trocar os limites da integral denida ca complicado, assim podemos colocar o resultado nal em funo de x e utilizar os limites dados no incio. Considerando que 3 x 8, e fazendo a substituio de varivel para t, temos x2 + 1 = x sec3 (t) dt = tg(t)

x dx = sec2 (t)dt 1

tg 2 (t) + 1 2 sec (t)dt = tg(t) 1 cos(t) dt = 3 (t) sen(t) cos

sec(t) sec2 (t) dt tg(t) 1 dt sen(t)

=

cos2 (t)

=

cos2 (t)

1 sen(t) dt = sen(t) sen(t) sen(t) dt (1 cos2 (t))

cos2 (t)

sen(t) dt sen2 (t)

=

cos2 (t)

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58

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco Agora vamos fazer uma substituio de variveis, fazendo

u = cos(t) du = sen(t)dt Dando continuidade,

cos2 (t)

sen(t) dt = (1 cos2 (t)) =

u2 (1

1 du = u2 )

u2 (1

1 du u)(1 + u)

C D A B + 2+ + du u u 1u 1+u

No mtodo de decomposio em fraes parciais, temos que encontrar as constantes A, B, C e D. Para tanto, vamos encontrar o m.m.c. da equao seguinte:

u2 (1

1 A B C D = + 2+ + u)(1 + u) u u 1u 1+u 1 = Au(1 u2 ) + B(1 u2 ) + Cu2 (1 + u) + Du2 (1 u)

Poderamos resolver por igualdade de polinmios, mas um mtodo fcil associarmos valores a u, assim u=0 B = 1 C= 1 2 1 2

u=1

u = 1 D = u=2 Portanto, temos

1 = 6A 3B + 12C 4D A = 0

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59

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples A B C D + 2+ + u u 1u 1+u =

Sec.10: Comprimento de arco 0 1 1 1 2 du u u 2(1 u) 2(1 + u)

du =

1 1 1 1 1 1 + ln|u 1| ln|1 + u| + C = + ln|cos(t) 1| ln|1 + cos(t)| + C u 2 2 cos(t) 2 2

1 , podemos obter o 1 + x2 resultado em funo da varivel x, e enm aplicar os limites de integrao. Usando a relao obtida anteriormente em que cos(t) =

x2

+1 = x

1 1 1 1 1 + ln 1 ln 1 + 2 1 2 2 1+x 1 + x2 1 + x2 1 1 1 1 ln 1 ln 1 + 2 2 2 1+x 1 + x2

8

3

8 3

=

1 + x2 +

=

1 1 + ( 8)2 + ln 2

1 1 ln 2 1 + ( 8)2

1

1 + ( 8)2

1

2 1 1 + ( 3) ln 2

1 1 + ( 3)2

1 +

1 ln 1 + 2

( 3)

1

2

= 3+

1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 + 2 ln 1 + ln 1 + 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 1 4 1 1 1 3 ln ln 2 ln + ln 2 3 2 3 2 2 2 2 1 3 ln u.c. 2 2

= 3+

= 1+

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60

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.11

Exerccios

Sec.11: Exerccios

[1] Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares: 3 1 1 1 (1.2) y = x4 + 2 de x = 1 a x = 2. (1.1) y = ln(1 x2 ) de x = a x = . 4 4 4 8x (1.3) y = 1 ln( sen x) de x = (1.5) y = ax= . 6 4 (1.4) (y 1)2 = (x + 1)3 de x = 0 a x = 1. 1 1 (1.6) x = y 3 + de y = 1 a y = 3. 3 4y

1 x e + ex de x = 0 a x = 1. 2

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61

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.12: rea de superfcies

1.12

rea de superfcies de revoluo

Vamos supor que temos uma curva y = f (x) denida num intervalo [a, b], em que f uma funo positiva e possui derivadas contnuas, ver a gura abaixo. Ao rotacionarmos essa curva em torno do eixo OX um slido gerado. Queremos encontrar uma integral que represente a rea da superfcie desse slido. Para tanto, inicialmente devemos fazer um clculo aproximado. Uma idia dividirmos esse slido em pedaos e aproximar cada pedao de um tronco de cone. Ao somar a rea de superfcie de cada tronco de cone obtemos um clculo aproximado e ao tomarmos o limite o clculo obtido a rea exata da superfcie do slido de revoluo. y y = f (x) l1 r1 x l r2

Inicialmente vamos deduzir uma frmula para encontrar a rea de superfcie do tronco de um cone. Observe o cone planicado ao lado. Atravs da regra de trs abaixo deduzimos a rea do setor circular, que representa a rea lateral do cone de geratriz (l1 + l). O comprimento da circunferncia de raio (l1 + l) est para a rea do crculo com mesmo raio, assim como o comprimento do setor circular de ngulo est para a sua rea.

2 (li + l) (l1 + l)2 2r2 AM = AM 2r2 (l1 + l)2 = l1 r2 . 2 (l1 + l)

(l1 + l)

2r2

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62

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfcies Similarmente, obtermos que a rea lateral do cone menor dada por: Am = r1 l1 . A rea da superfcie de um tronco de cone dada pela rea da superfcie do cone maior menos a do cone menor. Portanto A = Am Am = r2 (l1 + l) r1 l1 = [(r2 r1 )l1 + r2 l]. Agora, por semelhana de tringulos temos l1 + l l1 = r2 l1 = r1 l1 + r1 l (r2 r1 )l1 = r1 l r1 r2 Substituindo o resultado obtido na equao 1.9 temos (1.9)

A = (r1 l + r2 l) = 2rl

(1.10)

1 em que r = (r1 + r2 ) o raio mdio da faixa. 2 Agora vamos deduzir a integral que representa a rea da superfcie do slido de revoluo. Vamos dividir o intervalo [a, b], em sub-intervalos pequenos, tomando-se uma partio a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b, cujos intervalos so iguais. y P0 P1 Pn1 P Pi xn

Pi1 a

b

Observe que ao fazermos isso estamos dividindo a curva nos pontos P0 , P1 , P2 , . . . , Pn , tais que P0 (a, y0 ) e Pn (b, yn ), como mostra a gura anterior. Podemos aproximar o trecho da curva entre xi e xi1 , por um segmento de reta que liga Pi1 (xi1 , yi1) a Pi (xi , yi). Ao girar o segmento de reta Pi1 Pi em torno do eixo OX, obtermos um tronco de pirmide,

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63

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

Sec.12: rea de superfcies 1 cuja geratriz l = |Pi1 Pi | e raio mdio igual a r = (yi1 + yi ). Consequentemente, a 2 rea da superfcie do tronco desse cone dada por yi1 + yi |Pi1 Pi |. 2

2

i pertencente ao intervalo [xi1 , xi ], podemos obter uma melhor aproximao, pois yi = f (xi ) f (i ), assim como tambm yi1 = f (xi1 ) f (i). Ainda com intuito de = = comprimento do arco que liga Pi1 a Pi , ou seja, em vez de |Pi1 Pi | podemos escrever 1 + [f (i)]2 x yi1 + yi |Pi1 Pi | 2f (i ) 1 + [f (i )]2 x. = 2 melhorar a aproximao, podemos tomar o comprimento do segmento |Pi1 Pi | como o

Como f contnua, quando x = xi xi1 sucientemente pequeno e considerando

2

Consequentemente, a rea total da superfcie do slido aproximadamenten

2f (i) 1 + [f (i )]2 x.i=1

Agora renando a partio, fazendo n e passando o limite, limi=1 i=1 n n b

2f (i) 1 + [f (i )]2 x :=a

2f (x) 1 + [f (x)]2 dx.

Logo, para uma funo f positiva e com derivada contnua encontramos que a rea de superfcie do slido gerado pela rotao da curva y = f (x) em torno do eixo OX dada porb

A=a

2f (x) 1 + [f (x)]2 dx.

Observe que o termo 2f (x) representa o comprimento da circunferncia descrita por um ponto (x, y) pertencente a curva ao ser girado em trono do eixo OX e o termo ds = 1 + [f (x)]2 dx representa o comprimento da curva.

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64

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfcies Similarmente, se temos uma curva dada pela funo x = g(y), y[c, d], ento a rea da superfcie do slido gerado pela rotao da curva a em trono do eixo y dada pord

A=c

2g(y) 1 + [g (y)]2dy.

Exemplo 1.33. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = x3 ao redor do eixo OX, em que x varia entre 0 e 2.

y f (x) = x3

2

x

b

Soluo: Nesse caso, vamos usar a frmula A =a

2f (x)

1 + [f (x)]2 dx, pois o

raio da circunferncia descrita por um ponto pertencente a curva y = x3 , quando essa gira em torno do eixo OX y = f (x).Vamos encontrar a rea da superfcie do slido obtido resolver a integral abaixo. pela rotao da curva y = x3 , 0 x 2 ao redor do eixo OX. Para tanto devemos

2

2

A=0

2x3

1 + [3x2 ]2 dx =0

2x3 1 + 9x4 dx

Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 9x4 , temos que dt = 36x3 dx e para x = 0 t = 1 e x = 2 t = 144. Substituindo temos2

A =0

2x3 1 + 9x4 dx = 18144

144 1

tdt

t3/2 = 18 3/2

=1

145 145 1 u.a. 27 65

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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfcies Exemplo 1.34. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = x1/3 ao redor do eixo OY , em que y varia entre 1 e 2.

4 3 2 1

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

Soluo: Observe que nesse caso a curva est em funo da varivel x e rotacionada em torno do eixo y. Assim, o raio da circunferncia ao rotacionarmos um ponto pertencente a curva em torno do eixo y dado por um valor x = y 3. Ento vamos usar a frmulad

A=c

2x

dx 1+ dy

2

dy

com c y d.

Assim, temos que resolver a integral2 2

A=1

2y

3

1+

[3y 2 ]2

=1

2y 3

1 + 9y 4dy.

Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 9y 4, temos que dt = 36y 3dy e para y = 1 t = 10 e y = 2 t = 145. Substituindo temos Logo, A =1 145 2

2y

3

1+

[3y 2 ]2 dy

2 = 36

145 10

tdt

t3/2 = 27 3/2

=10

2 145 145 10 10 u.a. 81

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66

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfcies Exemplo 1.35. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = 1 x2 ao redor do eixo OY , em que x varia entre 0 e 1.

y y = 1 x2 x

Soluo: Observe que nesse caso a curva est em funo da varivel x e rotacionada em torno do eixo y. Assim, o raio da circunferncia ao rotacionarmos um ponto pertencente a curva em torno do eixo y dado por um valor x. Dessa forma podemos integrar em relao a x. Ento vamos usar a frmulab

A=a

2x

1+

dy dx

2

dx com a x b.

Assim, temos que resolver a integral1 1

A=0

2x

1 + [2x]2 dx =0

2x 1 + 4x2 dx.

Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 4x2 , temos que dt = 8xdx e para x = 0 t = 1 e x = 1 t = 5. Substituindo temos Logo, A =0 1

2 2x 1 + 4x2 dx = 85

5 1

tdt

t3/2 = 4 3/2

=1

5 5 1 u.a. 6

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67

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.13

Exerccios

Sec.13: Exerccios

Calcular a rea da superfcie gerada pela rotao do arco de curva dado, em torno do eixo indicado: 1) y 2 = 4ax, 0 x 3a; eixo dos x 3) y = 2x, 0 x 2; eixo dos y 5) x = y, 1 y 4; eixo dos y 2) y = 2x, 0 x 2; eixo dos x 4) y = sen x, 0 x ; eixo dos x 6) y = 16 x2 , 3 x 3; eixo dos x

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68

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples

1.14

Respostas dos Exerccios Propostos

Sec.15: Respostas

rea de Regies Planares (pgina 06) 46 (1.1) [2 ln 2 1]u.a (1.2) u.a 3 3 (1.4) 3 4 u.a (1.5) + 2 ln 2 u.a ln 2 3 4 [1] (1.7) 71 u.a (1.8) 18 ln 3 u.a 6 64 (1.10) u.a 3

(1.3)

15 8 ln 2 u.a 2

16 2 + 24 6 64 (1.6) u.a 3 (1.9) 1 u.a 6

Volume de Slidos (pgina 21) h 2 4 3r 3 2 [3] V = (a + ab + b ) u.v [4] V = u.v 3 3 [6] V = 4r 3 u.v 3 2a2 b u.v 3 [7] V = 4r 3 u.v 3 2ab2 u.v 3

8r 3 [5] V = u.v 3 2r 3 u.v [8] V = 3 1 e2 [11] V = 6 u.v

[9] V =

[10] V =

Volume de slidos de revoluo (pgina 32) [1] V = (e4 + 4e2 1) u.v 4e2

[2]

(2.1) V = 4 u.v (3.1) V = 24 u.v 5 (3.4) V = 27 u.v 2

(2.2) V = 12 u.v (3.2) V = 96 u.v 5 2 u.v 2 (3.3) V = 272 u.v 15

[3]

(3.5) V =

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Centrides e 2o Teorema de Pappus (pgina 50) 23 14 (1.1) 4, 37 ; V = 264u.v (1.2) , ; V = 232 2u.v 7 5 5 [1] 44 76 (1.3) 0, 23 ; V = 80u.v (1.4) , ; V = 2(17 )u.v 15 28 84 3 69

Cap.1: Aplicaes da Integral Simples [2] 4a 4b , 3 3 8 u.a 3 8 5 3a ,0 5

Sec.15: Respostas

(2.1)

(2.2) 0,

(2.3)

[3] [4]

(3.1) A =

(3.2) (, y ) = (0, 1) x (4.2) (, y ) = x 25 1, 8

(3.3) V =

32 u.a (4.1) A = 3

256 2 (4.3) V = u.v 15

32 u.v 3

Comprimento de arco de uma curva (pgina 61) 123 (1.1) ln 21 1 u.c (1.2) u.c 5 2 32 [1] 1 (1.4) 1 (2222 1313) u.c (1.5) (e2 1) u.c 27 2e rea de uma superfcie de revoluo (pgina 68) 56 2 a 2) 8 5 1) 3 4) 4[ 2 + ln( 2 + 1)] 5) (17 17 5 5) 6

(1.3) ln

21 u.c 2 3

(1.6)

53 u.c 6

3) 4 5

6) 48

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