APLICAÇÃO DO ALGORITMO DOS VAGALUMES NA IDENTIFICAÇÃO SIMULTÂNEA DA ESPESSURA ÓPTICA E ALBEDO COM VARIAÇÃO ESPACIAL EM UM PROBLEMA

INVERSO DE TRANSFERÊNCIA RADIATIVA

Rubens L. Cirino Instituto Politécnico – IPRJ – Nova Friburgo

Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ

Diego C. Knupp Agência Nacional de Transportes Terrestres – ANTT

Antônio J. Silva Neto Instituto Politécnico – IPRJ – Nova Friburgo

Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ

Resumo: A necessidade de solução de problemas de otimização aparece em diferentes

contextos com aplicações práticas, notadamente em engenharia, onde tem importância no

contexto de otimização de desenho de produtos, layout de produção e logística. Outro contexto

onde a solução de problemas de otimização exerce papel fundamental é na solução de

problemas inversos, quando formulados implicitamente e a solução é dada pela minimização de

uma função objetivo dada pelo somatório dos resíduos entre as medidas experimentais e as

grandezas calculadas em função dos parâmetros sendo estimados. Neste trabalho, motivados

por um problema inverso em transferência radiativa, introduzimos a utilização da heurística

conhecida como algoritmo dos vagalumes (Firefly Algorithm – FA) na minimização da função

objetivo para solução do problema inverso de estimativa simultânea da espessura óptica e do

albedo com variação espacial, formulado como um problema de estimativa de parâmetros. Os

resultados são criticamente comparados a dois outros métodos estocásticos de otimização

bastante difundidos na comunidade científica, o algoritmo de colisões de partículas (Particle

Collision Algorithm – PCA) e o algoritmo de enxame de partículas (Particle Swarm

Optimization – PSO), que já foram utilizados com sucesso pelos autores na solução de

problemas inversos em transferência radiativa. O desempenho superior do algoritmo dos

vagalumes observado no caso teste apresentado motiva o estudo mais aprofundado,

hibridizações e derivações com base nesta heurística em trabalhos futuros.

Introdução

Os problemas inversos são geralmente formulados implicitamente [1], definindo-se uma função

objetivo dada pela soma dos quadrados dos resíduos entre as medidas experimentais e os

correspondentes valores calculados através do modelo direto, em função dos parâmetros que se

deseja estimar. Assim, a solução do problema inverso se torna o problema de minimização da

função objetivo definida. Dada a forma funcional da função objetivo, geralmente complexa e

repleta de mínimos locais, o emprego direto de métodos determinísticos de otimização pode

levar à não convergência da solução ou à estagnação em um dos mínimos locais. Métodos

estocásticos de otimização, geralmente inspirados em comportamentos observados na natureza,

têm se apresentado eficazes na recuperação de mínimos globais [2], mesmo de funções

complexas, dado um número suficientemente alto de iterações. O desenvolvimento paulatino na

velocidade de processamento dos computadores vem permitindo tanto a utilização de métodos

estocásticos de otimização quanto a proposição de modelos computacionais cada vez mais

complexos em problemas de engenharia, motivando o desenvolvimento de novas heurísticas e

suas aplicações em uma vasta gama de problemas.

O estudo de problemas inversos aplicados à transferência radiativa tem sido objeto de intensa

pesquisa objetivando atender a diversas aplicações que vão desde a medicina até a indústria [3],

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onde geralmente se busca a realização de testes não invasivos/destrutivos [4]. Nosso grupo de

pesquisa publicou diversos trabalhos em transferência radiativa onde buscou-se comparar

métodos estocásticos de otimização já estabelecidos, bem como testar novas propostas de

hibridização e variações de métodos tradicionais. Apenas para citar alguns exemplos,

abordamos o PCA e o Luus-Jaakola [5], o PSO [6], O recozimento simulado (Simulated

Annealing – SA), algoritmos genéticos (Genetic Algorithms – GA), otimização por colônia de

formigas (Ant Colony Optimization – ACO), otimização extrema generalizada (Generalized

Extremal Optimization – GEO) e evolução diferencial (Differential Evolution – DE) [2].

O presente trabalho está focado no estudo do Firefly Algorithm (FA) para a solução de um

problema em transferência radiativa onde é considerado que o albedo de espalhamento

apresenta variação espacial e deve ser estimado [7]. Neste trabalho também consideramos a

estimativa simultânea da espessura óptica do meio [8]. Com o intuito de ter uma medida

objetiva do desempenho do FA, comparamos suas soluções com dois outros métodos

estocásticos já bastante difundidos na comunidade científica, PCA e PSO, cuja aplicação no

tratamento de problemas inversos em transferência radiativa já foi abordada com sucesso [2,6].

Formulação Matemática e Solução do Problema Direto

Considera-se um meio unidimensional, cinza, heterogêneo, com espalhamento isotrópico de

espessura óptica τ0 , com superfícies de contorno transparentes. Os contornos em τ = 0 e τ = τ0

estão sujeitos a fontes externas de radiação isotrópica com intensidades A1 e A2,

respectivamente, como ilustra esquematicamente a Fig. 1, onde 1 2 0ρ ρ= = .

Figura 1. Representação esquemática de um meio participante unidimensional sujeito à

incidência de radiação originada por fontes externas.

O modelo matemático para a interação da radiação com o meio participante é dado pela equação

de Boltzmann, que para o caso de simetria azimutal e albedo com dependência espacial é escrito

na forma adimensional como:

;),(2

)(),(

),( '1

1

' µτω

τττ

µ duIx

uIuI

∫−=+∂

∂ em 0 < τ < τ0 , para -1≤µ≤ 1 (1a)

0,),(,0,),0( 201 <=>= µµτµµ AIAI (1b,c)

onde τ é a variável óptica, I é a intensidade da radiação, µ é o cosseno do ângulo polar e )(τω é

o albedo de espalhamento que aqui é representado como a seguinte expansão:

∑=

=K

k

k

kD0

)( ττω (2)

Quando a geometria, as propriedades radiativas e as condições de contorno são conhecidas, o

problema (1) pode ser resolvido e a intensidade da radiação I é determinada para todo o domínio

espacial e angular, isto é, 0 ≤ τ ≤ τ0 e -1 ≤ µ ≤ 1. Este é o chamado problema direto. Quando as

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propriedades radiativas ou as condições de contorno não são conhecidas, mas dados

experimentais das intensidades de radiação podem ser obtidos, os parâmetros desconhecidos

podem ser estimados através da proposição de um problema inverso.

Formulação Matemática e Solução do Problema Inverso

Considere a espessura óptica do meio, τ0 , e o albedo com dependência espacial,

representado na forma dada pela Eq. (2), sejam desconhecidos. Ou seja, desejamos encontrar

estimativas para τ0 e os coeficientes , k = 0,1,2,..., K. Portanto, temos o seguinte vetor de

incógnitas:

Considere que os dados experimentais adquiridos em ambos os contornos, externamente ao

meio, em diferentes ângulos polares, podem ser obtidos. Assim, temos a disposição Yi, i = 1, 2,

3,..., Nd, onde Nd é o número total de dados experimentais. Este problema inverso pode, então,

ser formulado como um problema de otimização, onde buscamos minimizar a função objetivo

dada pelo somatório dos quadrados dos resíduos:

Neste trabalho, dados experimentais reais não estão disponíveis e as intensidades experimentais,

, são então simuladas, calculando-se os valores com a solução do problema (1) usando os

valores exatos dos parâmetros que desejamos estimar no problema inverso. A estes valores são

adicionados ruídos aleatórios de uma distribuição normal com média zero, simulando erros

experimentais:

(5)

onde r são números aleatórios de uma distribuição normal com média zero e desvio padrão

unitário, e eσ simula o desvio padrão dos erros de medição.

Para a minimização da função objetivo dada pela Eq. (4), neste trabalho utilizamos o algoritmo

dos vagalumes, cuja descrição é dada em maiores detalhes a seguir. De modo a ser objetivo

quanto ao desempenho deste método na solução do problema investigado, fazemos uma

comparação crítica com dois outros métodos estocásticos já bastante difundidos, o algoritmo de

colisões de partículas (Particle Collision Algorithm – PCA) e o algoritmo de enxame de

partículas (Particle Swarm Optimization – PSO). Por questões de brevidade, as descrições

destes dois últimos métodos serão omitidas, mas podem ser encontradas em detalhes nas

referências [9-12].

Algoritmo dos Vagalumes (Firefly Algorithm - FA)

Para uma melhor compreensão do Firefly Algorithm (FA) [11,12], duas características do

algoritmo devem ser destacadas: como se dá a variação da intensidade da luz percebida pelo

vagalume; e como é formulada a atratividade entre os vagalumes. A intensidade de emissão de

luz por parte de um vagalume é proporcional à função objetivo, porém a intensidade de luz

percebida por um vagalume decai em função da distância entre os vagalumes. Logo, a

intensidade percebida por um vagalume é dada por: , em que é a intensidade

da luz emitida; r é a distância Euclidiana entre os vagalumes i e j, sendo i o vagalume mais

brilhante e j o vagalume menos brilhante; γ é o parâmetro de absorção da luz pelo meio. Desta maneira o fator de atratividade pode ser formulado como:

(6)

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onde é a atratividade para uma distância r = 0, e pode ser fixado em . Assim, a

movimentação em um dado passo de tempo t de um vagalume i em direção a um melhor

vagalume j é definida como:

onde o segundo termo do lado direito da equação insere o fator de atratividade enquanto o

terceiro termo, regulado pelo parâmetro , insere aleatoriedade no caminho percorrido pelo

vagalume; rand é um número aleatório de uma distribuição uniforme entre 0 e 1. O

Pseudocódigo do Firefly Algorithm é apresentado na Fig. 2.

Figura 2. Pseudocódigo do Firefly Algorithm.

Resultados e Discussão

Nos resultados apresentados para o caso teste selecionado a seguir, foram utilizados dois níveis

de ruído diferentes na simulação dos dados experimentais, com e ,

resultando em erros de até 2% e 5%, respectivamente. O problema selecionado para os testes

possui espessura óptica unitária, isto é, 0 1τ = e o albedo com variação espacial é dado por uma

reta, ( )ω τ τ= . Consideramos ainda a iluminação externa dada por 1 1A = e 2 0A = , nas Eqs.

(1b,c).

No procedimento de solução do problema inverso, consideramos que a expansão dada pela Eq.

(2) possui três termos, ou seja, K = 3. Portanto, para o exemplo investigado, temos os seguintes

valores exatos dos parâmetros a serem estimados:

0 0 1 2{ 1, 0, 1, 0}exatoZ D D Dτ= = = = =r

(8)

Na solução do problema de otimização, consideramos os seguintes parâmetros para o FA:

20n = , 20MaxGerações = , e 1γ = . A escolha destes parâmetros foi baseada em

[11]. O PSO, por sua vez, foi ajustado considerando uma população de 80 partículas por 20

gerações e para os parâmetros foi considerado 2α β= = e 1γ = , escolhidos também com

base na ref. [11]. Quanto ao PCA, este método não apresenta a necessidade de ajuste de outros

parâmetros além do número de iterações no loop externo e interno, que aqui foram escolhidos

como 20 e 20, em ambos os casos. Os parâmetros que definem o número de iterações foram

escolhidos de modo que os três métodos desempenhassem aproximadamente o mesmo esforço

computacional, neste caso, em torno de 4500 avaliações da função objetivo. Os algoritmos

foram executados em um PC com processador Intel Core2 Duo CPU T6670 @2.20GHz,

2.96GB RAM, e sistema operacional Windows 7.0 de 32 bits. Cada execução, para cada um dos

métodos, levou aproximadamente 23 minutos.

Início

Definir a função objetivo;

Definir os parâmetros ;

Gerar a população inicial de vagalumes

Para t=1 até ;

Calcular a intensidade para proporcionalmente à função

objetivo;

Para i=1 até n;

Calcular o fator de atratividade de acordo com ;

Mover o vagalume i em direção aos vagalumes mais

brilhantes.

Verificar se o vagalume está dentro dos limites;

Fim-Para

Fim-Para

Pós-processar e visualizar os resultados

Fim

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Para cada método, a solução do problema de otimização foi executada por 11 vezes de forma

independente, considerando o mesmo conjunto de dados experimentais. Como os métodos são

estocásticos, esperamos uma solução distinta a cada execução e o objetivo de várias execuções é

medir a dispersão das soluções obtidas. Nas Tabs. 1 e 2 a seguir, apresentamos o resumo das

soluções para os três métodos estudados, considerando 2 e 5% de ruído nos dados

experimentais, respectivamente. Nestas tabelas, e se referem à melhor e à pior

estimativa obtida dentre as 11 execuções, respectivamente. Aqui, melhores estimativas são

consideradas quando levam a um menor valor na avaliação da função objetivo.

Nestes resultados, fica evidente que o FA foi o que apresentou melhor desempenho na

minimização da função objetivo entre os três algoritmos investigados, para ambos os níveis de

ruído, onde suas melhores estimativas levaram a função objetivo a valores até três ordens de

grandeza inferiores ao PCA e o PSO. Outra importante conclusão que pode ser inferida destas

tabelas diz respeito à dispersão das soluções. O desvio padrão das estimativas obtidas para a

espessura óptica, 0τ , onde os três métodos tiveram bom desempenho – resultando em

estimativas bastante próximas do esperado – o FA demonstrou menor dispersão nas soluções

dentre os três casos. Quanto à dispersão nas estimativas dos coeficientes 0D , 1D e 2D , os

desvios padrão calculados são maiores para o FA com relação ao PCA, entretanto, tanto a média

quanto a melhor solução do FA são muito mais próximas do valor esperado, indicando que o

PCA provavelmente ficou estagnado na redondeza do mesmo mínimo local em várias das 11

execuções.

Ressalta-se ainda, que quanto aos coeficientes 0D , 1D e 2D , o objetivo final é a estimativa da

função ( )ω τ a partir destes coeficientes, e não a estimativa dos parâmetros em si. Portanto, as

Figs. 3a,b apresentam as curvas traçadas a partir das estimadas na melhor execução de cada

método em comparação com a curva exata, ( )ω τ τ= , para dados experimentais simulados com

2% e 5% de erro, respectivamente, onde fica evidente que os três métodos foram capazes de

obter estimativas para os coeficientes que geram curvas que tendem para a curva exata.

Entretanto fica claro que a curva estimada pelo FA foi a que ficou mais próxima do resultado

esperado, praticamente coincidente com a curva exata.

Finalmente, as Figs. 4a,b apresentam a evolução do valor da função objetivo, dada pela solução

naquele momento, com respeito ao número de acessos. Estes resultados confirmam que o FA

apresentou desempenho superior ao PCA e ao PSO, que parecem ficar estagnados em uma

solução por um grande número de iterações, provavelmente um mínimo local. Cabe ressaltar

que o número reduzido de iterações teve justamente o objetivo de evidenciar diferenças de

desempenho entre os três métodos. Outro ponto a ser ressaltado, é o melhor desempenho do FA

alcançado com um ruído de 5% e não com o de 2%. Este resultado não era o esperado, o que

merece, ainda, um estudo mais aprofundado para se tentar levantar a sua causa.

Conclusões

Neste trabalho, motivados por um problema inverso em transferência radiativa, introduzimos a

utilização da heurística conhecida como algoritmo dos vagalumes (Firefly Algorithm – FA) na

minimização da função objetivo para solução do problema inverso de estimativa simultânea da

espessura óptica e do albedo de espalhamento com variação espacial, formulado como um

problema de estimativa de parâmetros. Os resultados são criticamente comparados a dois outros

métodos estocásticos de otimização bastante difundidos na comunidade científica, o algoritmo

de colisões de partículas (Particle Collision Algorithm – PCA) e o algoritmo de enxame de

partículas (Particle Swarm Optimization – PSO), que já foram utilizados com sucesso pelos

autores na solução de problemas inversos em transferência radiativa. Os resultados obtidos pelo

FA são notoriamente superiores aos obtidos pelo PCA e PSO, indicando boa perspectiva na

utilização desta heurística nesta classe de problemas. O trabalho deve prosseguir na investigação

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mais aprofundada dos mecanismos de inteligência artificial do FA para desenvolvimento de

variações e hibridizações específicas, de modo a garantir sua robustez e desempenho,

características desejáveis na solução de problemas computacionalmente intensivos.

(a) (b)

Figura 3. Estimativas de ( )ω τ em comparação com a curva exata para ruídos de: (a) até 2%.

(b) até 5%.

(a) (b)

Tabela 1. Resultados obtidos com o FA, PCA e PSO para dados experimentais simulados com

ruído de: (a) até 2% (b) até 5%.

Agradecimentos Os autores agradecem ao suporte financeiro do Conselho Nacional de Desenvolvimento

Científico e Tecnológico, CNPq e da Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do

Estado do Rio de Janeiro, FAPERJ.

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(a) (b)

Figura 4. Evolução do valor da função objetivo para níveis de ruído de: (a) até 2%. (b) até 5%.

Referências

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