aplicaÇao de equaÇÕes integrais a conduÇÃo do ?· aplicaÇÃo de equaÇÕes integrais a...

Download APLICAÇAO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS A CONDUÇÃO DO ?· aplicaÇÃo de equaÇÕes integrais a conpuÇao…

Post on 25-Jan-2019

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

APLICAAO DE EQUAES INTEGRAIS A CONDUO DO

CALOR TRANSIENTE COM RADIAAO E

CONVECO COMBINADAS

Dissertaao submetida Universidade

Federal de Santa Catarina para a obteno

do Grau de Mestre em Engenharia.

MANOEL LUIZ GONZLEZ

Dezembro, 1978

- 11 -

APLICAO DE EQUAES INTEGRAIS A CONPUAO DO

CALOR TRANSIENTE COM RADIAAO E CONVECO COMBINADAS

MANOEL LUIZ GONZLEZ

Esta dissertao foi julgada para a obteno

do titulo de MESTRE EM ENGENHARIA

na especialidade: Engenharia Mecnica, na rea de Con

centrao: Termotcnica, e aprovada em sua forma f^

nal pelo Curso de Ps-Graduao.

Pro. Srgio Colle, D"! Sc. - Orientador

^rof. Arno Blass , Ph. D . - Coordenador

Apresentada perante a banca examinadora composta por:

Prof. Hyppolito do Valle Pereira F , Ph.D.

Prof. Rogrio Tadeu da Silva Ferreira, Ph.D,

Pro. Narciso Angel Ramos Arroyo, M. Sc.

- 11A p l i c a o d e Eq u a e s I n t e g r a i s Co n d u o do

Ca l o r T r a n s i e n t e com Ra d i a o e Co n v e c o Co m b i n a d a s

MAWOEL LUIZ GOhlILEI

Esta dissertao foi julgada para a obteno

do titulo de

MESTRE EM ENGENHARIA

na Especialidade: Engenharia Mecnica, na rea de

concentrao: Termotcnica , e aprovada em sua for

ma final pelo Curso de Ps-Graduao.

/Apresentada perante^ banca exjjn-i-na^T eroTnppsta por:

Prof. Rtgerio Tadeu da Silva Ferreira, Ph.D

Prof. Narciso An/el Ramos Arroyo, M. Sc.

- 111 -

Ofe r e c i m e n t o :

A m in ha esposa,

a minhas filhas,

a meus pais.

- IV -

AGRADECIMENTOS:

- a Universidade Federal de Santa Catarina na

pessoa do Prof. Arno Blass, pela oportunidade proporcionada.

- ao Prof. Srgio Colle, pela orientaao.

- a Pontifcia Universidade Catlica do Rio

Grande do Sul pelo apoio financeiro parcial.

- ao Centro de Processamento de Dados da Un

veraidade Federal do Rio Grande do Sul, pela disponibilidade de

computador} sem a qual teria sido impossvel concluir este urab^

lho.

- a todos os amigos e colegas, em especial os

da rea de Termotcnica, que contriburam, de alguma forma, para

a realizao deste trabalho.

- a meus pais, pelo apoio.

- a minha esposa e filhas, pela pacincia e re

signaao.

- V -

S U M R I O

1 - INDRODUO - 1

2 - FORMULAO DOS PROBLEMAS - 7

3 - SOLUO DO PROBLEMA DA CONDUO DO CALOR TRANSIENTE COM 0 AUXLIO

DO TEOREMA DE GREEN E DA FUNO DE GREEN FUNDAMENTAL - 20

4 - ESQUEMA NUMRICO PARA A SOLUO DE PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS - 35

5 - SOLUO DO PROBLEMA DO CILINDRO - 41

6 - SOLUO DO PROBLEMA DO PRISMA - 61

7 - ANLISE DOS RESULTADOS - 79

8 - CONCLUSO E SUGESTES - 92

9 - BILBIOGRAFIA - 94

APNDICE I - 96

LISTA DE FIGUMS E TABELAS

- VI -

FIGURA 2-1 ; Geometria para o problema do cilindro

FIGURA 2-2 ; Geometria para o problema do prisma

FIGURA 2-3 : Geometria para o fator de forma F

FIGURA 3-1 : Regio regular no espao-tempo

FIGURA 5-1 : ngulos para o clculo do fator de forma

FIGURA 5-2 : Comparaao das solues (Bi=0.1;r=0.0)

FIGURA 5-3 : Comparao das solues (Bi=0.1;r=1.0)

FIGURA 5-4 : Comparao das solues (Bi=1.0;r=0.0)

FIGURA 5-5 ; Comparao das solues (Bi=*1.0;r=1.0)

FIGURA 5-6 : Comparao das solues (Bi=4.0;r=0.0)

FIGURA 5-7 : Comparao das solues (Bi=4.0;r=l.0)

FIGURA 5-8 : Energia dissipada Q/Qq para o cilindro com Bi=0.1

FIGURA 5-9 : Taxa de calor/taxa de calor inicial para o cilindro com Bi=0.1

FIGURA 5-10: Energia dissipada Q/Qq para o cilindro com Bi=1.0

FIGURA 5-11: Taxa de calor/taxa de calor inicial para o cilindro com Bi=1.0

FIGURA 5-12: Energia dissipada Q/Qq para o cilindro com Bi=4.0

FIGURA 5-13: Taxa de calor/taxa de calor inicial para o cilindro com Bi4.0

FIGURA 5-14: Isotermas para o cilindro (Fo=0.02)

FIGURA 5-15: Isotermas para o cilindro (Fo=0.2)

FIGURA 5-16: Isotermas para o cilindro (Fo=0.7)

9

11

24

42

49

49

50

50

51

51

52

52

53

53

54

54

58

59

60

8

- vil -

FIGURA 6-1 :

FIGURA 6-2 :

FIGURA 6-3 :

FIGURA 6-4 :

FIGURA 6-5 :

FIGURA 6-6 :

FIGURA 6-7 :

FIGURA 6-8 :

FIGURA, 6-9 :

FIGURA 6-10:

FIGURA 6-11:

FIGURA 6-12:

FIGURA 6-13 :

FIGURA 6-14:

FIGURA 6-15:

FIGURA 6-16:

FIGURA A-l :

FIGURA A-2 :

FIGURA A-3 ;

LISTA DE FIGURAS E TABELAS - CONTINUAO

Concordncia dos lados da seo do prisma-

Comparaao das solues (prximo ao centro;Bi=0.1)

Comparaao das solues (prximo ao canto;Bi=0.1)

Comparaao das solues (prximo ao centro;Bi=l.0)

Comparaao das soluoes (prximo ao canto;Bi=1.0)

Comparao das solues (prximo ao centro;Bi=10.0)

Comparao das solues (prximo ao canto;Bi=10.0)

Energia dissipada Q/Q^ para o prisma com Bi=0.1

Taxa de calor/taxa de calor inicial para o prisma com Bi=0.1

Energia dissipada Q/Q^ para o prisma com Bi=1.0

Taxa de calor/taxa de calor inicial para o prisma cora Bi1.0

Energia dissipada Q/Q^ para o prisma com Bi=10.0

Taxa de calor/taxa de calor inicial para o prisma com Bi10.0

Isotermas para o prisma (Fo=0.01)

Isotermas para o prisma (Fo=0.05)

Isotermas para o prisma (Fo= 0.3)

Geometria com o invlucro

Balano trmico no elemento A^

Geometria sem o invlucro

TABELA 5-1 : Resultados para o cilindro (Fo=0.02)

TABELA 5-II : Resultados para o cilindro (Fo=0.2)

TABELA 5-III: Resultados para o cilindro (Fo=0.7)

TABELA 6-1 : Resultados para o prisma (Fo=0.01)

TABELA 6-II : Resultados para o prisma (Fo=0.05)

TABELA 6-III: Resultados para o prisma (Fo=0.3)

62

67

67

68

68 69

69

70

70

71

71

72

72

76

77

78

97

97

97

55

56

57

73

74

75

- V I J 1 -

S I M B O L O G I A

Bi --- numero de Biot

C - calor especfico

div - o perador divergente

{ E } - vetor dos erros para o mtodo de Newton-Raphson

Ej^(z) - integral exponencial de z

- vetor unitrio na direo dos tempos

F - fator de forma

F - taxa de troca de calor

Fo - nmero de Fourier

g(x,t|x^,t^) - funao de Green com polo em (x^,t^)

grad - operador gradiente

h - coeficiente de troca de calor por conveco

h* - distncia da placa ao plano central do c^

lindro ou prisma

- funes de Bessel de ordem zero e um

k - condutividade trmica

L - operador conduo de calor

- IX -

L* - operador adjunto formal do operador condu

ao do calor

- ao de L sobre u

* - semi-largura da placa

n - vetor unitrio normal exterior

Q - c a l o r dissipado

q(x,t) - geraao interna de calor

Ri - -- - nmero de radiaao

E. - regio adimensional correspondente a R*

R* - regio regular

r r*/r * - coordenada radial adimensional o

r* - coordenada radial

r * - raio do cilindro o

R - todo o espao n-dimensional

S - fronteira de R

S* - fronteira de R*

T T*/Too* - temperatura adimensional

- temperatura inicial, adimensional

Tp - temperatura da p 1aca ,adimensional

T* - temperatura

- temperatura inicial

Tp* - temperatura da placa

Too* - temperatura do meio ambiente

t " t*a/r^*^ - tempo adimensional, ou nmero de Fourier

t* - tempo

V - volume

- X -

j w I - matriz das derivadas para o metodo de Newton-

Raphson

X - abcissa, adimensional

X* - abcissa

x^* - largura do prisma

X - vetor n-dimensional

y - ordenada, adimensional

y* - ordenada

y^* - altura do prisma

a -difusi v i d a d e t i r m i c a

ASj - elemento de ordem j da fronteira

6 (x - x^) - distribuio Delta de Dirac, com polo em x^

L - emissividade hemisfrica total

0 - coordenada angular

- diferena de temperatura adimensional

X - autovaloresnp - massa especfica

a - constante de Stefan-Boltzmann

0 - coordenada angular

- operador Laplaciano sobre as coordenadas esp^

ciais

ST ~- derivada parcial da temperatura em relaao a

normal exterior superfcie

- XI -

R E S U M O

0 presente trabalho trata da aplicaao de equ

oes integrais soluo de problemas bidimensionais de conduo

do calor transiente, em meios homogneos e isotrpicos, sob cond^

es de contorno de radiaao e conveco. apresentado o proced^

mento de obteno da equao integral a partir da equaao diferen

ciai da conduo do calor, com o auxlio do teorema de Green e da

funo de Green fundamental. mostrado o desenvolvimento de um

esquema numrico de soluo que resulta em um sistema de equaes

no lineares, definidas no contorno da regio em anlise. 0 sist

ma de equaes resolvido pelo mtodo de Newton - Raphson. 0 m

to