APLICAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO NO ESTUDO DE FUNÇÕES

APRESENTAÇÃO

O presente trabalho refere à produção didático - pedagógico apresentado

como unidade didática, onde optou-se em apresentar situações de ensino com

diferentes atividades relacionadas ao estudo de funções no 9º ano do Ensino

Fundamental, complementando com definições. Este material apresenta sugestões

para os professores trabalharem em sala de aula de um modo diferenciado,

buscando situações que possam ser modeladas aplicando o conteúdo estruturante

funções.

A opção em trabalhar o conteúdo estruturante funções por meio da

modelagem matemática como estratégia metodológica, visa o desenvolvimento dos

conteúdos com condições de inovação e criação, investigando situações observadas

pelo aluno em sua realidade sócio-cultural, tornando o processo de ensino

aprendizagem mais significativo e efetivo.

A APRESENTAÇÃO FORMAL DO CONTEÚDO FUNÇÕES NO ENSINO FUNDAMENTAL

O conteúdo estruturante funções para o ensino de matemática no Ensino

Fundamental pressupõe a compreensão da relação de dependência entre duas

grandezas. O estudo específico de funções tem início apenas no 9º Ano do Ensino

Fundamental e muitos livros dirigidos para estudantes dessa série apresentam um

grau elevado de formalização, incluindo definições gerais e o estudo de tipos

particulares de funções e formas de representações. Tais formalizações geralmente

utilizadas pelos professores dificultam a aprendizagem dos alunos e a compreensão

dos conceitos matemáticos. Uma abordagem informal para a introdução do conceito,

utilizando exemplos de variações de grandezas relacionadas, retirados de situações

1

do cotidiano ou de outras áreas de conhecimento pode tornar o ensino de funções

mais significativo para os alunos.

A MODELAGEM MATEMÁTICA E SUA APLICAÇÃO NO ESTUDO DE FUNÇÕES DO ENSINO FUNDAMENTAL

A educação tem um papel fundamental no desenvolvimento das sociedades e

das pessoas, principalmente neste milênio, que requer a construção de uma escola

voltada para a cidadania. Entende-se que a escola, hoje, deve ir além de garantir

que os alunos aprendam a ler, a escrever e a contar. Ela deve ser um espaço que

permite pensar, aprender e agir para enfrentar e resolver problemas que se colocam

diante das mudanças que ocorrem fora e dentro da mesma. Reforçando a idéia, as

Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008,

p.21), afirmam que “entende-se a escola como o espaço de confronto e dialogo

entre os conhecimentos sistematizados e os conhecimentos do cotidiano popular”.

Consideramos que a finalidade do ensino é contribuir para a formação integral

das pessoas para que sejam capazes de compreender a sociedade e intervir nela

com o objetivo de melhorá-la.

A matemática contribui para a formação do cidadão, pois possibilita a

compreensão do mundo que o rodeia, pois o conhecimento matemático permeia

muitas linguagens e práticas do dia-a-dia. A educação matemática envolve as

múltiplas relações e determinações entre ensino, aprendizagem e conhecimento

matemático.

Para o estudo dos conteúdos matemáticos na perspectiva proposta pela

Educação Matemática existem as propostas metodológica denominadas de

tendências da educação matemática: história da matemática, jogos matemáticos,

etnomatemática, resolução de problemas, e modelagem matemática. Nesta unidade

didática a modelagem matemática será a metodologia de pesquisa norteadora do

processo investigativo.

A modelagem matemática é estudada e defendida por diversos estudiosos

Biembengut (1996, p. 1-14), afirma que a modelagem “é um processo que emerge

2

da própria razão e participa da nossa vida como forma de constituição e de

expressão do conhecimento”. Então, a modelagem pode ser expressa posterior a

sentimentos internos das observações e situações do cotidiano.

Já Bassanezi (2000, p. 57-61), tem a modelagem como uma arte a ser

desenvolvida transformando os problemas da vida real em problemas matemáticos

com a condição de resolvê-los e interpretá-los dentro das expectativas do mundo

real. Assim o autor valoriza os conhecimentos prévios do aluno que podem ser

inseridos e transformados em conteúdos matemáticos. Bassanezi (2009, p. 24),

também afirma que a modelagem só se torna eficiente a partir do momento que

temos consciência que ela é trabalhada com a aproximação da realidade, isto é, que

estamos elaborando sobre representações de um sistema ou parte dele.

Para D’AMBROSIO,

O individuo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador da realidade. Sendo que ele recebe informações sobre determinada situação e busca através da reflexão a representação dessa situação em grau de complexidade. Para se chegar ao modelo é necessário que o indivíduo faca uma analise global da realidade na qual tem sua ação, onde define estratégias para criar o mesmo, sendo esse processo caracterizado de modelagem. (D'AMBROSIO, 1986, p. 65).

Observando as afirmações dos estudiosos, pode-se entender a modelagem

em dois contextos de estudo: como metodologia para o processo ensino e

aprendizagem e como ferramenta para resolução de problemas. Nesta aplicação da

unidade didática será utilizada a modelagem como metodologia de ensino e

aprendizagem, não descartando a possibilidade do uso de outras propostas das

tendências da educação matemática, pois, apenas uma não dá conta do universo de

pesquisa, como explicitado nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do

Estado do Paraná “a abordagem dos conteúdos específicos podem transitar por

todas as tendências da educação matemática”. (PARANÁ, 2008, p.68).

Na aplicação da modelagem matemática para o estudo das funções, o aluno

resolve os problemas propostos, articulando-o com as situações reais. Portanto, a

modelagem a partir de situações envolvendo dados coletados pelo aluno torna-se

um desafio para o mesmo, pois ele buscará esses dados no ambiente em que vive.

BARBOSA (2002, p. 06), coloca a modelagem como ambiente de aprendizagem no

3

qual a articulação da investigação com outras áreas do conhecimento se dá

naturalmente.

É possível desenvolver um trabalho dentro da modelagem matemática, pois, a

mesma tem como objetivo criar condições para que o aluno aprenda, dentro de sua

realidade, utilizando seus conceitos básicos e promovendo a ampliação do

conhecimento. Bassanezi (2002, p.174) afirma que “um modelo matemático é um

conjunto consistente de equações ou estruturas matemáticas, elaborado para

corresponder a algum fenômeno – este pode ser físico, biológico, social ou

psicológico”.

A idéia que se tem atualmente de funções está relacionada diretamente a

teoria dos conjuntos, desenvolvida a partir do século XX. Quando se relacionam

grandezas variáveis surge o conceito de função que é muito utilizado em diversas

ciências, como por exemplo, a Física, a Química, a Biologia, por isso julgar-se

conveniente o seu desenvolvimento por meio da modelagem matemática.

As funções se encontram como conteúdos estruturantes nas Diretrizes

Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná. O Ensino Fundamental

engloba a função afim e a função quadrática, no Ensino Médio engloba as funções

polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, modular, progressão

aritmética e geométrica, nesta unidade será abordada apenas às funções afins e

quadráticas.

Assim o estudo de funções apresenta conceitos e representações diversas,

nos quais é necessário, entender os conhecimentos matemáticos e os sentidos que

pode assumir nos diferentes contextos e aplicações, e quais os significados que

pode ter para o aluno.

O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações- problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. (Brasil 2006, p.121)

Neste trabalho o estudo do conteúdo funções será apresentado por meio de

unidade didática, contendo diversas situações de ensino, com a explicação dos

conteúdos, dos objetivos, das metodologias e das atividades direcionadas para os

4

alunos, os quais poderão ser utilizados pelos professores de matemática no

desenvolvimento de sua prática educativa.

CONTEÚDOS

∙

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• Noção intuitiva de função

• Conceito de função

• Formação de uma função

• Aplicação da lei de formação de uma função

• Função afim

• Função Polinomial do 2º grau (quadrática)

• Função Polinomial do 2° grau (quadrática)

OBJETIVOS

6

• Identificar situações problemas que possam ser modeladas aplicando o

conceito matemático de funções.

• Utilizar a modelagem matemática no estudo das funções, afim e quadrática, no

Ensino Fundamental.

• Desenvolver estratégias de aprendizagem na resolução de atividades

matemáticas aplicando modelos reais.

• Criar seqüências de ensino para o estudo de funções a partir de situações

reais.

• Relacionar os resultados das situações de ensino estudadas com outros

conteúdos da matemática ou outras áreas do conhecimento.

Conteúdos: Noção intuitiva de funções

Conceito de funções

Objetivos:

Compreender a idéia de funções.

Estabelecer dependência entre as situações propostas.

A sequência de ensino "funções",é direcionada ao estudo de funções. O seu

desenvolvimento está vinculado à idéia de relação de dependência entre grandezas.

Em muitas situações e fenômenos sejam (físicos, químicos, biológicos, econômicos

ou sociais), procura-se identificar as grandezas relacionadas, e como estas

relacionam-se entre si. Também é possível mostrar a organização de dados em

tabelas e os representar por meio de gráficos e, essas representações articulam os

números e a álgebra.

7

SITUAÇÃO DE ENSINO 1 – Introdução ao Estudo das Funções

ATIVIDADES PROPOSTAS

Imagem 1- http://www.google.com.br/images

8

Em salto de paraquedas, a velocidade do paraquedista sofre influência de vários

fatores, como por exemplo, a ação da gravidade e a resistência do ar. Enquanto o

paraquedas estiver fechado, podemos considerar que o corpo esta em queda livre. Após

o salto, quanto mais tempo permanecer fechado maior será a velocidade com que o

paraquedista cairá. (MORI, 2009, p. 184). 

Atividade 1 : Conceituando Funções

ATENÇÃO LEIA O TEXTO

a) Você já viu uma apresentação de paraquedismo? Em caso afirmativo

descreva essa experiência.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

b) Você sabe o que é ação da gravidade?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

c) Explique: “o corpo esta em queda livre”.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

d) Podemos afirmar que a velocidade do paraquedista depende do tempo?

Justifique sua resposta.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

e) A palavra depende pode ser substituída por outra sem prejudicar o sentido da

frase?

_________________________________________________________________

9

AGORA É SUA VEZ!..

f) Descreva uma situação que depende de outro acontecimento relacionado ao

seu cotidiano escolar.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

10

COMPLETANDO

Dizemos que quando existe uma relação de dependência entre duas grandezas

estamos conceituando função. Nas situações apresentadas a velocidade depende

entre outros fatores, do tempo. Então, velocidade é função do tempo.

Relacionando com outras situações encontramos a palavra função com diferentes

significados em anúncios comerciais, notícias, informações publicadas, entre outros,

como por exemplo:

• O preço das hortaliças aumentou em função das fortes geadas na

região Sul.

• Calcula-se a área de um quadrado em função da medida de seu lado.

Assim, uma função é uma grandeza variável que depende de outras grandezas.

a) Quais as vantagens da prática da corrida para uma pessoa?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

b) Do que depende o desempenho de um corredor?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

11

A prática da corrida é muito saudável e a cada dia, ganha mais adeptos.

Além de melhorar a condição cardiovascular, correr aumenta a resistência do corpo

e queima calorias, o que auxilia no controle do peso corporal. Porém quem pratica

esse esporte deve ser acompanhado por um profissional que oriente o tempo e a

velocidade da corrida e que tenha um cuidado com algumas articulações do corpo,

afim de não ocorrerem lesões. (SAAB, 2009, p. 20)

Atividade 2 – Ampliando o Conceito de Funções e Suas Representações

LEIA O TEXTO

AGORA E SUA VEZ RESPONDA AS QUESTÕES

Você pode perceber no exemplo anterior que as funções podem ser

observadas em diferentes situações cotidianas e podem ser expressas de diferentes

formas.

Uma pessoa com 60Kg que pratica corrida com uma velocidade de 9,6km/h gasta aproximadamente, 10kcal por minuto de exercício.

a) Analisando o texto é possível estabelecer uma relação entre os dados

oferecidos? Explique.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

b) Complete a tabela que relaciona a quantidade de calorias consumidas com o

tempo gasto nos exercícios.

12

ANALISE O EXEMPLO ABAIXO:

AGORA É COM VOCÊ

Tempo de corrida (em minutos) Quantidade de quilocalorias gastas (em Kcal)1 10. .. .. .. .. .

c) Quais as grandezas envolvidas na situação anterior?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

d) Que grandezas estão variando na situação apresentada?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

e) A quantidade de calorias gastas depende do tempo de corrida?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

f) A quantidade de calorias gastas está em função do tempo de corrida?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

g) Quantas relações existem entre o tempo de corrida e a quantidade de

quilocalorias gastas?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

h) A partir deste exemplo como podemos conceituar função?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

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Conteúdos: Formação de uma função.

Aplicação da lei de formação de uma função.

Objetivos: Aplicar a relação de grandezas dependentes e independentes na

formação de uma função.

Determinar simbolicamente a lei de formação de uma função.

Aproveitando os dados expostos na tabela da atividade 2 “Ampliando o conceito

de funções e suas representações”, veja como podemos representar as informações

nela contidas:

14

SITUAÇÃO DE ENSINO 2 – Lei de Formação de uma Função

Atividade 1 - Formando e Representando Funções Algebricamente

Q = representa a quantidade de calorias (medida em Kcal)

10 = representa o gasto de Kcal em 1 minuto de corrida

t = tempo de corrida (medido em minutos)

a) De acordo com a tabela, quantas quilocalorias uma pessoa gasta em 1 hora de

corrida?

___________________________________________________________________

b) Que relação é possível estabelecer entre as grandezas, tempo de corrida (t) e

quantidade de quilocalorias (Q)?

___________________________________________________________________

c) Quantas quilocalorias essa pessoa gasta ao praticar 50 minutos de corrida?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

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Q = 10.t

RESPONDA AS QUESTÕES ABAIXO

COMPLETANDO

Pode-se notar que a quantidade de calorias e o tempo gasto são as variáveis

da função. Portanto, a quantidade de calorias varia em função do tempo isto é

depende do tempo. Também é possível afirmar que a quantidade de calorias é a

variável dependente e o tempo é a variável independente. Desse modo

podemos determinar a fórmula ou lei de formação de uma função, a qual possibilita

calcular a quantidade de calorias em função do tempo, desde que se atribuam

valores diferenciados ao tempo. Essa relação de dependência pode ser

representada pela fórmula:

Para definirmos uma função é necessária uma Lei de Formação, isto é, uma

regra geral. Deve ocorrer uma relação entre os elementos de dois grupos, que já

definimos como variáveis dependentes e independentes.

Vamos considerar o conjunto A formado pelos números {-3, -1, 0, 2, 3}, e o

conjunto B representado algebricamente pela Lei de Formação y = x2

Pela Lei de Formação: y = x2, encontraremos os valores para o conjunto B.

x2 yA B-3 9-1 10 02 44 16

Determinamos os pares ordenados (-3, 9); (-1, 1); (0,0); (2,4); (4, 16), essa

relação pode ser representada por um diagrama de flechas.

16

Atividade 2 – Formando e apresentando funções por meio de diagrama

AGORA, ANALISE O EXEMPLO ABAIXO

Diagrama construído através da definição de função

Note que função pode ser determinada por fórmula matemáticas, regras ou

Leis de Formação. Campiteli (2006, p. 22), expressa que esse modo de definição

“consiste em apresentar um conjunto de operações de tal modo que por meio delas,

se possa fazer corresponder a cada valor de A um valor em B”.

A partir do exemplo e das considerações feitas podemos definir função como:

17

Uma relação de um conjunto A em um conjunto B é uma função, quando cada elemento e A estiver associado e um único elemento de B. Usando-se a notação f: A → B indicando que f e função de A em B.

Dada a função f: A→B, definida pela Lei de Formação y = x + 5 e o conjunto

A= {-3, -1, 0, 3, 5}.

a) Represente a função por meio de diagrama

b) Relacione os conjuntos A e B

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Frequentemente, encontramos em jornais, revistas livros gráficos e tabelas

que procuram retratar situações do dia a dia. Esses gráficos e tabelas representam

funções, e por meio delas é possível obter informações relacionadas à realidade

social, econômicas e também relacionar com outras áreas do conhecimento.

18

Atividade 3 – Gráfico de uma Função

AGORA É SUA VEZ

Maria Helena costuma abastecer seu carro no posto “Roda Viva”. Da última vez em que abasteceu, o litro de gasolina custava R$ 2,70. De acordo com as informações:

a) Maria Helena pediu para encher o tanque. Quanto vai pagar?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

a) O valor pago por Maria Helena depende do que?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Podemos estabelecer uma quantidade de litros de gasolina para o carro da Maria

Helena, e assim determinar os valores que ela irá pagar.

Esses valores estão representados na tabela:

Quantidade de litros (L) 10 20 30 40Valor a ser pago (v) 2,70 x 10 = 27,00 2,70 x 20= 54,00 2,70 x 30 =

81,002,70 x 40 =

108,00

19

AGORA, ANALISE A SEGUINTE SITUAÇÃO

a) As grandezas litros (L) e valor pago (v) são variáveis?

_______________________________________________________________

_________________________________________________________________

b) Escreva uma fórmula (lei de formação) que possibilite calcular o valor pago

em reais em função da quantidade de litros abastecidos.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

c) Quantos litros de gasolina, e possível abastecer com R$ 50,00?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

d) Represente os dados da tabela por meio do diagrama.

_________________________________________________________________

A partir dos dados da tabela é possível construir o gráfico da função, seu uso tem

se tornado de grande importância, pois, possibilita a observação de determinados

comportamentos dos dados da situação estudada. Veja o exemplo abaixo e

responda a questão.

Á medida que a quantidade de litros aumenta ou diminui, o que acontece com os

valores a ser pago em reais?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

20

COM AS INFORMAÇÕES DA TABELA RESPONDA

Gráfico 1 - construído através da definição, no Geogebra

Um município concedeu isenção de impostos às indústrias que nele se instalassem. Diversas fábricas transferiram-se para lá e a população aumentou tão rápido que o prefeito teve que enfrentar problemas de moradia e abastecimento de água, entre outros.

Para planejar suas ações, a prefeitura resolveu estimar a população da

cidade no ano de 2015. (Imenes, 2010, p. 191)

21

ANALISE A SEGUINTE SITUAÇÃO

a) Como se pode fazer essa estimativa?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

b) Qual é a fórmula (lei de formação) da função? Quais as grandezas

relacionadas?

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

c) É possível representar por meio de tabelas e gráficos os dados obtidos?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

d) Se for possível a construção do gráfico, construa-o em papel milimetrado.

_________________________________________________________________

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AGORA FAÇA AS ATIVIDADES PROPOSTAS

CONTEÚDOSFunção polinomial do 1º grau (linear)

OBJETIVOSIdentificar função afim e seus elementos

Representar graficamente à função afim

Interpretar gráfico de função afim

Algumas empresas prestadoras de serviços oferecem carros para aluguel.

Carro popular: R$ 60,00 por dia mais R$ 0,60 por quilometro rodado.Carro de luxo R$ 120,00 por dia mais R$ 1,10 por quilometro rodado.

A partir dessas informações podemos criar uma fórmula que permita calcular

a quantidade a ser paga pela locação de um carro popular ou um carro de luxo, por

dia em função dos quilômetros rodados.

23

SITUAÇÃO DE ENSINO 3 – Função Polinomial do 1º grau

Atividade 1 – Identificando e Representando Função Afim

Analisando a seguinte situação:

Para escrever a fórmula retornamos a definição de função afim onde:

Então y é a quantidade a ser paga, em reais, pela locação e x a quantidade de

quilômetros rodados, dessa forma:

↑ preço da diária

Quantidade a ser paga → y = 0,60x + 60

Preço do quilometro rodado

Note que está fórmula é para a locação de um carro popular. Então se uma pessoa

locar um carro e rodar 50 Km em um dia é possível calcular quanto irá pagar.

A fórmula apresentada é uma função afim, que pode ser representada por meio do um gráfico.

24

f(x) = ax + b ou y= ax + b

Veja o exemplo

Para o valor de x = 50, temos:

y = 0,6. 50 + 60

logo y = 90

O valor a ser pago será de R$ 90,00.

Gráfico 2: construído através da definição, no geogebra

a) Cite outra situação em que algo pode ser alugado ou locado.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

b) y = 0,6.x + 60 é uma função afim. Cite as características desse tipo de

função?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

c) Quanto uma pessoa pagaria pela diária de um carro popular se ela

percorresse 100 Km? E 180 Km?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

25

AGORA FAÇA AS ATIVIDADES

d) Escreva uma função afim que permita calcular a quantia y a ser paga pela

locação de um carro de luxo, por dia em função da quantidade x de

quilômetros rodados.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Chama-se funcao polinomial do 1º grau, ou funcao afim, a qualquer funcao f de IR em IR dada por uma lei da forma f( x) = ax + b, onde a e b sao numeros reais dados e a é diferente de zero.

f: IR IR→

CONTEÚDOSFunção polinomial do 2º grau (quadrática)

OBJETIVOS Identificar função quadrática e seus elementos

Representar graficamente a função quadrática

Interpretar gráficos de funções quadráticas

26

SITUAÇÃO DE ENSINO 4 – Função Polinomial do 2º grau

Você já observou construções verticais (prédios), ocupando espaços pequenos que

antes havia casas? Em caso afirmativo descreva.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Imagem 2 - http://www.google.com.br/images

As construções arquitetônicas de hoje priorizam a qualidade de vida de seus

moradores. Essa habilidade de arquitetura em racionalizar espaços, substituindo

casas por edifícios nos leva a uma valiosa competência matemática. Os modelos

matemáticos expostos nos faz entender alguns pontos essenciais sobre como

equacionar situações do cotidiano simplificando cálculos que levariam muito tempo

para serem resolvidos. De acordo com Biembengut e Hein (2005, p. 13),

27

Atividade 1 – Definindo e Representando Função Polinomial de 2º grau (quadrática)

AGORA OBSERVE A IMAGEM

“genericamente, pode se dizer que matemática e realidade são dois conjuntos

disjuntos e a modelagem é um meio de fazê-los interagir”.

AGORA E COM VOCÊ

Em sua opinião quais são as vantagens desse tipo de construção arquitetônica?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Para delimitar uma superfície, que deverá ser da forma retangular, dispõem-se de 60 metros de cerca. Sendo que será aproveitada uma parede de 40metros.Observe a figura e responda as questões:

fig. 1: construção feita no software geogebra

28

Reúna-se com seus colegas e troque idéia sobre a seguinte situação:

a) A área que pode ser calculada esta em função das dimensões da superfície?

Justifique:

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

b) Cite dimensões possíveis para a superfície a ser delimitada, considerando o

material apresentado:

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

c) É possível determinar uma fórmula (lei de formação) que represente a área

da superfície (S) em função do comprimento (c) e da largura (L)? Explique.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

d) Quais devem ser as dimensões da superfície para que a área adquira o valor

Maximo?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Algumas questões podem ser respondidas com facilidade porém outras é

necessário criar um modelo matemático da situação.

Observe a figura e partir da medida x, representando a largura da superfície a

ser delimitada e responda as questões:

29

Fig. 2: construção feita no software geogebra

AGORA E COM VOCÊ

a) Escreva a expressão que representa a medida do comprimento da superfície

delimitada.

_________________________________________________________________

b) Qual fórmula (Lei de Formação) que expressa a área da superfície (S) em

função das dimensões da superfície?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

c) A fórmula encontrada no item b, representa uma função afim? Justifique sua

resposta:

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

30

d) Como se denomina a função definida a partir dessa situação?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

e) Qual é a área da superfície para uma largura de 8m?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Assim como representamos a função afim no plano cartesiano a função

quadrática também pode ser representada.

Analisando, é uma função polinomial do 2º grau (função quadrática), pois, o

maior expoente da variável x é 2. Assim podemos definir:

31

Atividade 2 – Representando função quadrática por meio de gráfico.

Vamos analisar a situação abaixo:

y = x2 – 4x + 3

FUNÇÃO QUADRÁTICA1

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função

f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a e diferente de 0 (zero).

Pela definição de função quadrática a lei de formação é:

ou

Atribuímos os valores a variável x obteremos os valores para y.

x y0 31 02 -13 04 35 8

A partir dos dados da tabela construímos o gráfico. Observe e em seguida

responda as questões propostas

1 www.somatemática.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php.

y = x2 – 4x + 3

32

f(x) = ax2 + bx + c y = ax2 + bx + c

Gráfico 3: construído através da definição, no geogebra

AGORA E COM VOCÊ

a) Os pontos estão alinhados sobre uma mesma reta?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

b) Como é denominada a figura que representa a função quadrática?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

33

PARA LER

34

Atividade 3 - Pesquisa de Campo

As operadoras de telefonia celular oferecem diversos planos de contas buscando alcançar o maior número possível de clientes. O valor de tais planos varia de acordo com o tempo médio das ligações, horário em que são feitas, destino das ligações e, recentemente, também foi implantados os planos de dados, que diz respeito ao acesso à  internet pelo celular. Quando multiplicado o número de operadoras pela quantidade de planos disponíveis, escolher um plano mais adequado ao nosso perfil se torna uma tarefa muito difícil. Par se chegar ao melhor plano, além de ser necessária muita conta, também é preciso muita paciência.

DISPONIVEL EM: http://www.edsouza.net/como-escolher-o-melhor-plano-de-telefonia-celular-e-economizar-nas-ligacoes

Pesquisar três operadoras de telefonia celular e dois planos oferecido pela mesma e

responder as questões abaixo.

a) Preencha a tabela com os seguintes dados:

Operadoras Planos

oferecidos

Custo fixo mensal de

cada plano

Custo adicional por

minuto em cada planoVermelha A B Azul A B Verde A B

b) Qual é o plano mais vantajoso?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

c) Enumerar as vantagens e desvantagens dos dois planos com relação ao

custo das ligações

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

d) Elabore uma fórmula (Lei de formação) que expresse o custo total mensal de

cada plano oferecido pelas operadoras.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

e) Quais as variáveis dependentes e independentes em cada situação?

35

REUNA-SE COM SEUS COLEGAS PARA A TAREFA:

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f) Podemos afirmar que a situação pesquisada é uma função? Em caso

afirmativo é função afim ou quadrática? Explique.

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g) É possível expressar os dados da pesquisa por meio de diagramas e

gráficos? Em caso afirmativo expresse.

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h) Compare os planos das três operadoras e indique o mais vantajoso e a partir

de quantos minutos de uso?

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REFERÊNCIAS

ARQUITETURA. Disponível em: < http://www.google.com.br/imgres>. Acesso em 20 de junho, 2011.

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