Logaritmos e Terremotos: Aplicação da escala logarítmica nos abalos sísmicos

Cynthia Adeline Pinheiro Henrique UNIMESP – Centro Universitário Metropolitano de São Paulo

Novembro/2006

Sinopse: Através do contexto histórico de como surgiram os logaritmos fazer com que o leitor reflita sobre sua importância para a humanidade. Através de exemplos de aplicação, mostrar que utilizamos muito seus conceitos em nosso dia-a-dia. Introdução:

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, notamos que a forma como é trabalhado um tema é essencial para o aprendizado.

Quando utilizamos certos recursos de aprendizagem como associar aplicações ao assunto que vamos trabalhar, podemos como a forma de ensinar e também a forma de como o aluno irá aprender pode ficar mais interessante. Fazendo-se o aluno compreende a relação de um assunto com situações reais.

Quando o aluno consegue perceber onde ele irá aplicar o conceito que ele está estudando, com certeza irá ter mais interesse em aprender.

A forma como é apresentado um assunto é muito importante, pois desperta a curiosidade e um maior incentivo, principalmente quando o assunto parece ser sem muita importância em seu dia-a-dia.

Saber utilizar vários recursos como, por exemplo, relacionar o tema com a realidade do aluno(onde na maioria das vezes nas escolas não é o que acontece), irá fazer com que o aprendizado fique mais prazeroso para eles como recomenda os Parâmetros Curriculares Nacionais.

Por esse motivo no interior desse trabalho vamos relacionar o estudo da matemática com outros conhecimentos, como as ciências da natureza, que será a aplicação desenvolvida, fazendo com que o educando possa usar maneiras diferentes de pensamento através de situações-problema, que os levem a refletir que a matemática está presente em diferentes áreas do conhecimento.

Vamos estudar sobre escalas de medidas de intensidade dos abalos sísmicos e para isso precisamos entender um pouco sobre alguns fenômenos geológicos.

O Brasil era considerado um pais que não tinha alôs sísmicos até pouco tempo atrás, por não se conhecerem registros de sismos destrutivos, e os poucos abalos sentidos eram interpretados como simples acomodações das camadas. Estudos sismológicos a partir da década de 70 mostrara que a atividade sísmica no Brasil, apesar de baixa, não pode ser desprezada e é resultado de forças geológicas que atuam em toda placa que contém o continente Sul-americano.

Contexto Histórico do Logaritmo:

O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII, quando já era premente a necessidade de facilitar os trabalhosos cálculos trigonométricos da Astronomia e da Navegação. A idéia básica era substituir operações muito complicadas, como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. Os principais

inventores dos logaritmos foram o suíço Joost Biirgi(1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos trabalhos foram produzidos independentemente um do outro.

As primeiras tábuas de logaritmos de Napier apareceram em 1614, em Edimburgo, ao passo que as de Biirgi só apareceram em 1620, em Praga, onde ele trabalhou como assistente de Kepler. Portanto quando Biirgi publicou sus tábuas, as de Napier já eram conhecidas em toda a Europa. No entanto, é provável que Biirgi tivesse concebido os logaritmos antes mesmo de Napier.

Os logaritmos foram reconhecidos como uma invenção realmente extraordinária logo após a publicação de Napier em 1614.Convém mencionar que esses primeiros logaritmos neperianos tinham sérios inconvenientes e foram logo modificados por ele mesmo e por Henry Briggs (1561-1631), um dos primeiros e mais ardentes entusiastas do trabalho de Napier. O resultado foi o aparecimento dos logaritmos de Briggs, ou logaritmos decimais.

Briggs publicou sus primeira tábua em 1617; depois, em versão bem mais ampliada, 1624.

Definição dos logaritmos:

Sendo a e b números reais positivos, com b ≠ 1, chamamos de logaritmos de a na base b o expoente real x ao qual se eleva b para obter a:

log b a = x ⇒ b x = a, com a > 0, b > 0 e b ≠ 1

Exemplos: • log

28 = 3, pois 2 3 = 8

• log10

100 = 2, pois 10 2 = 100

Observação: Quando a base é 10, por convenção, omitimos a base, ou seja, log10

x =

logx. Para que log b a = x tenha significado, para todo x real, precisamos impor b > 0, b ≠ 1

e a > 0. A essas restrições chamamos condições de existência dos logaritmos: 1 ≠ b > 0 ⇒ b x > 0 ⇒ a > 0 Assim, não existem, por exemplo:

• log2(-8), pois não existe x tal que 2 x = -8

• log13, pois não existe x tal que 1 x = 3

Vejamos algumas propriedades que vamos utilizar no interior do trabalho:

Logaritmo do produto:

Sendo a, b e c números reais positivos, a ≠ 1, temos: log a (b x c) = log a b + log b c

Veja a demonstração: Sejam x, y e z números reais tais que: log

ab = x ⇒ a x = b (1) log

ac = y ⇒ a y = c (2) log

a(b x c) = z ⇒

a z = bc (3) Substituindo (1) e (2) e (3), temos: a z = a x x a y ⇒ a z = a yx+ ⇒ z = x + y ⇒ log a (b x c) = log a b + log a c

Exemplos: • log

3(81 x 9) = log

381 + log

39 = 4 + 2 = 6

• log2

2 + log2

8 = log2( 2 x 8 ) = log

216 = log

24 = 2

Logaritmo do quociente:

Sendo a, b e c números reais positivos, a ≠ 1, temos:

log a

c

b = log a b - log a c

Vamos demonstrar: Sejam x, y e z números reais tal que:

log a b = x ⇒ a x = b (1) log a c = y ⇒ a y = c (2) log a

c

b = z ⇒ a z =

c

b (3)

Substituindo (1) e (2) em (3), temos:

a z = y

x

a

a ⇒ a z = a x : a y ⇒ a z = a yx− ⇒ z = x – y ⇒ log a

c

b = log a b - log a c

Exemplos:

• log3

81

27 = log

327 - log

381 = 3 – 4 = -1

• log315 - log

35 = log

3

5

15 = log

33 = 1

O Terremoto:

Figura 1:Mapa-Mundi com as divisões das placas tectônicas. Fonte:http://domingos.home.sapo.pt/sismos_2.html Acesso em: 18/11/2006.

Com o lento movimento das placas litosféricas, da ordem de alguns centímetros por ano, tensões vão se acumulando em vários pontos, principalmente perto de suas bordas. As tensões acumuladas podem ser compressivas ou distensivas, dependendo da direção de movimentação relativa entre as placas.Quando essas tensões atingem o limite de resistência das rochas, ocorre uma ruptura, como podemos ver na figura 2, o movimento repentino entre os blocos de cada lado da ruptura geram vibrações que se propagam em todas as direções. O plano de ruptura forma o que se chama de falha geológica. Os terremotos podem ocorrer no contato entre duas placas litosféricas (caso mais freqüente) ou no interior de uma delas, como indicado no exemplo da figura 2, sem que a ruptura atinja a superfície. O ponto onde se inicia a ruptura e a liberação das tensões acumuladas é chamado de hipocentro ou foco. Sua projeção na superfície é o epicentro, e a distância do foco à superfície é a profundidade focal.

Figura 2: o ponto inicial da ruptura é chamado hipocentro ou foco do tremor, e sua projeção na superfície é o epicentro.Fonte: Decifrando a Terra .USP Oficina de Textos.

Embora a palavra terremoto seja utilizada mais para os grandes eventos destrutivos,

enquanto os menores geralmente são chamados de abalos ou tremores de terra, todos são resultado do mesmo processo geológico de acúmulo lento e liberação rápida de tensões. A diferença principal entre os grandes terremotos e os pequenos tremores é o tamanho da área de ruptura, o que determina a intensidade das vibrações emitidas.

Há três causas diferentes pelas quais podem ocorrer os terremotos: vulcanismo, acomodações geológicas das camadas internas da crosta e as causas tectônicas.

Essas movimentações das placas tectônicas dão origem a vários fenômenos, como a formação de cadeias de montanhas, erupção de vulcões, terremotos e maremotos.È natural

coincidir os abalos sísmicos com os locais que apresentam atividade vulcânica e grandes altitudes.

As erupções vulcânicas servem de previsões de terremotos, antecedendo-os.

Ondas Sísmicas: Uma onda sísmica é uma onda que se propaga através da terra, geralmente como

conseqüência de um sismo, ou devido a uma explosão. Estas ondas são estudadas pelos sismólogos e medidas por sismógrafos.

Tsunamis:

São ondas de grande energia geradas por abalos sísmicos que se propaga no

oceano. È no Oceano Pacífico que ocorreram à maioria dos Tsunamis, por ser uma área

cercada por atividades vulcânicas e freqüentes abalos sísmicos. As tsunamis ao se propagarem no aceno, possuem comprimento de ordem de 150 a

200 Km de extensão e raramente superior a 1 metro de altura. Portanto, em alto mar eles são quase imperceptíveis.Entretanto, ao se aproximar das zonas costeiras mais rasas, a redução da velocidade, devido ao atrito com fundo do seu comprimento,porém a energia continua a mesma. Conseqüentemente, a altura da onda aumenta bastante em pouco tempo. Neste ponto, ela pode atingir 10, 20 e até 30 metros de altura, em função de sua energia e da distância do epicentro da tsunami.

Como se forma a onda mortal:

Vejamos a figura:

1 Figura 3: Como se forma um Tsunami. Fonte:http://www.cientic.com/tema_geologicos.html

Acesso em: 18/11/2006.

1. A ruptura causada pelo tremor no leito do mar empurra a água para cima, dando

início à onda. 2. A onda gigante se move nas profundezas do oceano em velocidade altíssima.

1 Tsunami: Tsunami e maremoto têm o mesmo significado, a origem da palavra tsunami é japonesa, principalmente porque o Japão fica na divisa de duas placas tectônicas, então ocorrem muitos terremotos e eventualmente maremotos.

3. Ao se aproximar da terra, a onda perde velocidade, mais fica mais alta. 4. Ela então avança por terra, destruindo tudo em seu caminho.

A intensidade dos terremotos: A intensidade sísmica é uma classificação dos efeitos que as ondas sísmicas

provocam em determinado lugar. Não é uma medida direta com instrumentos, mas simplesmente uma maneira de descrever os efeitos em pessoas (como as pessoas sentiram) em objetos e construções (barulho e queda de objetos, trincas, ou rachaduras em casas, etc.) e na natureza (movimento de água, escorregamentos, liquefação de solos arenosos, mudanças na topografia,etc).

Como a intensidade é uma classificação e não uma medida, ela está sujeita a muitas incertezas. A maior utilidade da escala de intensidade é no estudo de sismos históricos, sismos ocorridos antes da existência de estações sismograficas.

E escala de Mercalli se baseia nesse conceito de classificar a intensidade dos terremotos a partir dos efeitos em pessoas e estruturas na superfície da terra.

Foi elaborada pelo italiano Giuseppe Mercalli em 1902, tendo sido largamente utilizada antes da invenção da escala de Richter por Charles Francis Richter e Beno Gutenberg em 1935. A forma mais atualmente utilizada nos Estados Unidos é a Escala de Mercalli Modificada (MM), que foi desenvolvida em 1931 pelos sismólogos Harry Wood e Frank Neumann.

Esta escala apresenta limitações uma vez que depende de observação humana,para isso foi criada uma escala que mede a magnitude do terremoto em função da quantidade de energia liberada durante um sismo.

A tabela mostra a Escala de Intensidade Mercalli Modificada(abreviada).

Grau de Intensidade

Descrição dos Efeitos

I Não sentido. Leves efeitos de período longo de terremotos grandes e distantes. II Sentido por poucas pessoas paradas, em andares superiores ou locais favoráveis.

III Sentido dentro de casa. Alguns objetos pendurados oscilam. Vibração parecida à da passagem de um caminhão leve. Duração estimada. Pode não ser reconhecido como um abalo sísmico.

IV Objetos Suspensos oscilam. Vibração parecida à da passagem de um caminhão pesado. Janelas, locas, portas fazem barulho. Paredes e estruturas de madeira rangem.

V Sentido fora de casa; direção estimada. Pessoas acordam. Liquido em recipiente é perturbado. Objetos pequenos e instáveis são deslocados.Portas oscilam, fecham, abrem.

VI Sentido por todos. Muitos se assustam e saem às ruas. Pessoas andam sem firmeza. Janelas, louças quebradas. Objetos e livros caem de prateleiras. Reboco fraco e construção de má qualidade racham

VII Difícil manter-se em pé. Objetos suspensos vibram. Móveis quebram. Danos em construção de má qualidade, algumas trincas em construção normal. Queda de reboco, ladrilhos ou tijolos mal assentados, telhas. Ondas em piscinas. Pequenos escorregamentos de barrancos arenosos.

VIII Danos em construções normais com colapso parcial. Algum dano em construções reforçadas. Queda de estuque e alguns muros de alvenaria. Queda de chaminés, monumentos, torres e caixa d’ água. Galhos quebram-se das árvores. Trincas no

chão.

IX Pânico geral. Construções comuns bastante danificadas, ás vezes colapso total. Danos em construções reforçadas. Tubulação subterrânea quebrada. Rachaduras visíveis no solo.

X Maioria das construções destruídas até nas fundações. Danos sérios a barragens e diques. Grandes escorregamentos de terra. Água jogada nas margens de rios e canais. Trilhas levemente entortadas.

XI Trilhas bastante entortadas. Tubulações subterrâneas completamente destruídas.

XII Destruição quase total. Grandes blocos de rochas deslocados. Linhas de visada e níveis alterados. Objetos atirados ao ar.

Magnitude e a Escala Richter

Em 1935, para comparar os tamanhos relativos dos sismos, Charles F. Richter, sismólogo americano, formulou uma escala de magnitude baseada na amplitude dos registros das estações sismográficas. O princípio básico da escala é que as magnitudes sejam expressas na escala logarítmica, de maneira que cada ponto na escala corresponda a um fator de 10 vezes na amplitude das vibrações. Por isso é usado o logaritmo de base 10 , onde ele classifica cada grau da escala em 1,2,3... em vez de falar 10,100,1000.... o que dificultaria mais o processo para o cálculo. No entanto o modo de classificá-lo através da escala usada é bem fácil de se trabalhar, correspondendo assim que se houver um abalo de magnitude 4,0 ele será dez vezes maior que o de magnitude 3,0, cem vezes maior que a 2,0, mil vezes maior que a 1,0.

È importante relatar que cada ponto na escala de magnitude corresponde a uma diferença da ordem de 30 vezes na energia liberada.Ou seja um abalo de magnitude 4 libera 30 vezes mais energia que o de magnitude 3. A escala Richter é uma escala logarítmica a magnitude de Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das ondas sísmicas de tipo P(pressão máxima) e S(superficial) a 100 Km do epicentro.

Existem várias fórmulas diferentes para se calcular a magnitude Richter, dependendo do tipo da onda sísmica medida no sismograma.

Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita pó Gutenberg e Richter em 1935:

Log E = 11,8 + 1,5M Onde, E = energia liberada em ergs (1 erg = 10 7− J) M = magnitude do terremoto Uma das fórmulas utilizadas: M L = logA - logA

0

Onde,

A = amplitude máxima medida no sismógrafo A

0= uma amplitude de referência.

Uma das formulas usadas para terremotos de longa distâncias é da magnitude M S :

M S = magnitude do terremoto na escala Richter

A = Amplitude do movimento da onda registrada no sismógrafo(em µ m) f = freqüência da onda (em hertz) A margem de erro na medição de um terremoto é de 0,3 pontos, para mais ou para

menos. A escala M S só é aplicada para sismos com profundidade menores de ~50 Km.

Sismos mais profundos geram relativamente poucas ondas superficiais e sua magnitude ficaria subestimada. Nestes casos, são usadas outras fórmulas para a onda P.

Suponhamos que um terremoto teve como amplitude 1000 micrometros e a

freqüência a 0,1Hz. Qual a magnitude desse terremoto no local onde está instalado o sismógrafo?

M S = log(A . f) + 3,3

M S = log(1000. 0,1) + 3,3

M S = log 100 + 3,3

Log100 = x 10 x = 100 10 x = 10 2 x = 2 M S = 2 + 3,3 M S = 5,3 (com margem de erro 0,3 para mais ou

para menos) na escala Richter. Vejamos um exemplo: As indicações M

1 e M

2, na escala Richter, der dois terremotos estão relacionados

pela fórmula:

M1 - M

2 = log

10

1

2

E

E

Onde E

1 e E

2são as medidas de energia liberada pelos terremotos, sob a forma de

ondas que se propagem pela crosta terrestre. De dois terremotos, em com M1 = 8 e outro

com M2 = 6, qual o valor da razão 1

2

M

M?

8 – 6 = log 1

2

E

E

8 – 6 = logE1 - logE

2

1º Passo: 2º Passo: 8 = logE

1 6 = logE

2

10 8 = E1 10 6 = E

2

Portanto: 1

2

E

E =

8

6

10

10 = 10 8 x 10 6− = 10 2

Vejamos outro exemplo: À distância do foco do sismo, em termos de tempo entre as chegadas das ondas P e

S, é de 24 segundos. A máxima amplitude da onda é de 23mm. A fórmula usada por Richter foi: M = log

10A(mm) + 3x log

10[8 x ∆ t(s)] – 2,92

Onde, M é a magnitude do terremoto, A(mm) é a amplitude(em milímetros) do terremoto

medida em um sismógrafo e ∆ t é o intervalo(em segundos) entre as ondas S(superficial) e P(pressão máxima), também medidas no sismógrafo.

Desenvolvendo temos que: ∆ t = 24s e A = 23mm, aplicando a fórmula: M = logA + 3log(8 x ∆ t) – 2,92 M = log23 + 3log(8 x 24) – 2,92 M = log23 + 3(log8 + log24) – 2,92 M = 23 + 3(log2 3 + log24) – 2,92 M = log 23 + 3(3log2 x 0,30 + log8 x 3) – 2,92 M = log 23 + 3(3 x 0,30 + log8 + log3) – 2,92 M = log 23 + 3(0,9 + 0,9 + 0,48) – 2,92 M = log 23 + 3(2,28) – 2,92 M = 1,36 + 6,84 – 2,92 M = 8,2 – 2,92 M ≅ 5,28 na escala Richter.

Figura 4: No gráfico à distância do foco do sismo, em termos de tempo entre as chegadas de onda P e S, é de 24s. A máxima amplitude é de 23mm.Fonte: http://pt.Wikipedia.org/wiki/Escala_de_Richter

Acesso em : 18/11/2006.

O 2º termo da fórmula 3log(8 ∆ ), depende do intervalo de tempo da onda sísmica. Na física sabemos que a velocidade média é dada por:

V = x

t

∆

∆, onde x∆ é a distância do epicentro ao sismógrafo ∆ t é o intervalo de tempo

da onda sísmica.

8 = x

t

∆

∆ 8x t∆ = ∆

No exemplo, o tempo transcorrido foi de 24s, então 8 24 192x x Km∆ = = . Como 1

milha corresponde a 1609 m (1,609 Km) então:

x∆ = 192 Km 119,3 milhas. Como podemos ver no gráfico acima. Tabela com efeitos dos terremotos e medição de sua magnitude, na escala Richter:

Magnitude Richter Efeitos Menor que 3,5 Geralmente não sentido, mas gravado. Entre 3,5 e 5,4 Ás vezes sentido, mas raramente causa danos. Entre 5,5 e 6,0 No máximo causa pequenos danos a prédios bem construídos, mas

pode danificar seriamente casas mal construídas em regiões próximas.

Entre 6,1 e 6,9 Pode ser destrutivo em áreas em torno de até 100 Km do epicentro. Entre 7,0 e 7,9 Grande terremoto, pode causar sérios danos numa grande faixa de

área. 8,0 ou mais Enorme terremoto, pode causar grandes danos em muitas áreas

mesmo que estejam a centenas de quilômetros.

Sismógrafos:

Sismógrafo é o aparelho que registra, as ondas sísmicas, ou seja, a medição da intensidade dos terremotos. O instrumento detecta e mede as ondas sísmicas naturais ou induzidas e permite determinar, principalmente se organizado em rede de vários sismógrafos, a posição exata do foco(hipocentro), dessas ondas e do ponto de chegada superfície terrestre(epicentro) e quantificar a energia desses terremotos expressa na escala Richter.

O gráfico obtido num sismógrafo através do qual se pode observar características da propagação diferentes das ondas sísmicas, designa-se sismograma. Um sismograma, em período de calma sísmica, apresenta o aspecto de uma linha reta com apenas algumas oscilações. Quando ocorre um sismo, os registros tornam-se mais complexos e com oscilações bastante acentuadas, evidenciando a amplitude das diferentes ondas sísmicas.

Conclusão:

No interior deste trabalho, foi desenvolvida uma maneira diferente de ensinar matemática relacionada a outros conhecimentos, despertando no aluno sua capacidade de desenvolver novas formas de pensamento, o que incentiva e define com mais clareza que a matemática está presente em muitas situações do seu cotidiano.

O assunto que foi apresentado é muito comentado nos noticiários, em jornais e revistas o que faz com que seja um bom motivo para, ser trabalhado com os alunos.

Possibilitando que o aluno tenha uma visão mais ampla do mundo, desenvolvendo nele um pensamento mais crítico, para dar andamento aos seus estudos se empenhando mais em aprender.

Anexos: Planeta Vivo http://domingos.home.sapo.pt/sismos_3.html Em 1896, um terremoto engoliu aldeias inteiras ao longo do Sanriku, no Japão, tendo matado cerca de 26.000 pessoas. Folha de São Paulo – Julho/1998 Em 1960, um tsunami do Pacífico com origem no Sul do Chile, após sete horas atingiu a costa do Havaí, onde matou 61 pessoas, 22 horas após a sismo, o tsunami já tinha percorrido 17000 Km, atingindo a costa do Japão em Hocaido, onde matou 180 pessoas. Dois tremores submarinos provocam três tsunamis que mataram pelo menos 2100 pessoas à cidade Aitape, na região da costa de Papua Nova Guiné. 26/12/2004. O terremoto do Indico de 2004 ocorreu a 26 de Dezembro de 2004, cerca das oito da manhã(hora local) O abalo teve magnitude sísmica estimada previamente em 8,9 na escala Richter, posteriormente elevado para 9,0. Ao tremor de terra seguindo-se um tsunami de cerca de 10 metros de altura que devastou as zonas costeiras. O número que era de 150.000 vitimas elevou-se para 220.000. O governo da Indonésia suspendeu as buscas por 70.000 desaparecidos e os incluiu no saldo de vitimas fatais do desastre. O Estado de São Paulo – 17/07/2006. Uma onda de mais de 2 metros de altura, provocada por um, forte terremoto, Resorts e aldeias pesqueiras da Ilha Indonésia de Java, matando pelo menos 126 pessoas e deixando dezenas de desaparecidos. Agências de meteorologia da região tinham enviado alertas sobre o terremoto de 7,7 graus na escala Richter, a 40 Km de profundidade no Oceano Indico, mas os alertas não chegaram as vitimas, pois a ilha densamente povoada não tem um sistema de divulgação adequada. 13/11/2006. Buenos Aires – Um terremoto de magnitude 6,7 estremeceu nesta madrugada o noroeste da Argentina, informou nesta segunda – feira especialistas americanos não há relatórios de danos ou feridos. O tremor também foi sentido na cidade de São Paulo. De acordo com a Defesa Civil, que registrou pelo menos 20 ligações de moradores da capital paulista, os abalos foram sentidos principalmente no centro e nos bairros de Tatuapé, Mooca, Moema, Vila Madalena, Santa Cecília, Vila Guilherme, Vila Ré e Pompéia. Os paulistanos infirmaram que os lustres balançaram, as portas bateram e a terra tremeu por cerca de um minuto. 18/11/2006.

Um terremoto de 6,2 graus na escala Richter foi registrado na região de Kagoshima, no Sudoeste do Japão. Segundo a agência de meteorologia do Japão, não há informações sobre danos humanos ou materiais.

Referências Bibliográficas:

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