apêndice 01 - teoria elementar dos números inteiros 01

PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] NMEROS INTEIROS 01A: OPERAES FUNDAMENTAIS Postulamos que existem objetos matemticos chamados de nmeros inteiros e duas operaes primitivas definidas sobre os mesmos que satisfazem a especficos nove axiomas. As mencionadas duas operaes primitivas so: Adio: Que a cada par de inteiros x e y associa um nico inteiro denominado a sua soma: x y . Multiplicao: Que a cada par de inteiros x e y associa um nico inteiro dito o seu produto: xy . Observao: Exigimos ainda a consistncia dessas duas operaes, isto , se x1 , x2 , y1 , y2 so inteiros tais que x1 = x2 e y1 = y2 , ento: x1 y1 = x2 y2 e x1y1 = x2y2 . Estes so os citados nove axiomas: I.A-B) Axiomas de comutatividade: a) Para quaisquer inteiros x e y : x y = y x . b) Para quaisquer inteiros x e y : x y = y x .

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com IV.A) Axioma do inverso aditivo: Para todo nmero inteiro x existe um nico nmero inteiro x (o inverso aditivo de x ou o seu simtrico ou o seu oposto) tal que: x x = x x = 0 . IV.B) Axioma do cancelamento multiplicativo: quaisquer inteiros x , y e z 0 : x z = yz x = y . Para

V) Axioma de distributividade: Para quaisquer inteiros x , y e z: x y z = y z x = x y x z . Algumas consequncias: Do oposto do oposto: Para todo inteiro x : x x = 0 . Donde, da unicidade do inverso aditivo de x : x = x . Da definio da operao de Subtrao a operao que a de nmeros inteiros x e y associa inteiro denominado a sua diferena: x y = x y . Da igualdade diferena: Para inteiros x e y : subtrao: cada par um nico

II.A-B) Axiomas de associatividade: I) a) Para quaisquer inteiros x , y e z : x y z = x y z . b) Para quaisquer inteiros x , y e z : x y z = x y z . III.A-B) Axiomas dos neutros: a) Existe um nico inteiro 0 (chamado de zero ou de neutro aditivo) tal que para todo inteiro x : x 0 = 0 x = x . b) Existe um nico inteiro 1 (chamado de um ou de neutro multiplicativo e diferente de zero) tal que para todo inteiro x : x 1 = 1x = x . II) x = y x y = 0: x = y x y = y y x y = 0 x = y x y = 0: x y = 0 x y = 0 x y y = 0 y x y y = y x 0 = y x = y Concluso: x = y x y = 0 .Professor Castanheira Pgina 1

PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] Propriedade 01 ( do absorvente multiplicativo ): Para todo inteiro x : PROVA: x x = 0 1 x x = 0 0 1 x x = 0 0 x 1 x x = 0 0 x x x = 0 0 x x x = 0 0 x 0 = 0 0x = 0 C.Q.D. Consequncia imediata: O zero o nico inteiro que possui a Propriedade 01 acima. Com efeito, se existisse outro, digamos y , ele teria que satisfazer tal condio para todo nmero inteiro x , inclusive x = 1 . Donde encontramos a seguinte contradio: yx = y1 = y = 0 . O zero dito o absorvente multiplicativo. Propriedade 02 (da obteno multiplicativa do oposto): Para todo inteiro x : PROVA:0 x = 0 1 1 x = 0 1 x 1 x = 0 x 1 x = 0

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com Propriedade 03 ( da regra dos sinais ): Para quaisquer inteiros x e y : a x y = x y b x y = x y c x y = x y PROVA:a x y = 1 x y = 1 x y = x y b x y = y x = y x = x y c x y = x y = x y = xy

0x = 0 .

1 x = x .

C.Q.D. Comentrio: Para um professor falando pela primeira vez sobre a regra dos sinais, talvez coubesse uma prova numrica. Fazendo (por exemplo) x = 2 e y = 5 , obtemos: 0 5 = 0 2 2 5 = 0

E da unicidade do inverso aditivo de x : 1 x = x . C.Q.D. Consequncia imediata: Pondo x = 1 na ltima igualdade obtemos que 11 = 1 = 1 e ainda que 11 = 11 = 11 = 1 . Consequncia imediata: Obter o oposto do inteiro x o mesmo que multiplic-lo por 1 .

2 5 2 5 = 0 E da unicidade do inverso aditivo: 2 5 = 2 5 = 10 . Donde se seguiriam as demais provas numricas dos itens restantes da Propriedade 03.

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PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] Propriedade 04 ( do cancelamento aditivo ): Para quaisquer inteiros x , y e z : x z = y z PROVA: I) x = y x z = y z . x = y .

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com Consequncia imediata: Um produto de dois inteiros igual a zero se e somente se pelo menos um dos dois nmeros igual a zero. Consequncia imediata: Um produto de dois inteiros diferente de zero se e somente se os dois nmeros so diferentes de zero. Propriedade 07 ( da anulao quadrtico linear ): Para quaisquer inteiros x , y e z : x y = x z x = 0 ou y = z . PROVA: xy = xz xy xz = 0 xy xz = 0 xy z = 0 x = 0 ou y z = 0 x = y . x = 0 ou y z = 0 x = 0 ou y = z C.Q.D. Definio do quadrado de um inteiro: Se x um inteiro, definimos quadrado de x = x 2 pela igualdade x 2 = xx . imediato que: x 2 = 0 x = 0 . Propriedade 08 ( do produto de dois conjugados ): Para quaisquer inteiros x e y : x y x y = x 2 y 2 . PROVA: x y x y = x y x y = xx y yx y =

II) x = y x z = y z : x z = y z x z z = y z z x z z = y z z x 0 = y 0 x = y Concluso: x z = y z C.Q.D Propriedade 05 ( do cancelamento multiplicativo ): Para inteiros x , y e z 0 : x z = yz x = y .

PROVA: um axioma da presente teoria. C.Q.D. Observao: As Propriedades 04-05 (Propriedades 06-09) so aquelas fundamentais para a resoluo de equaes lineares ( equaes quadrticas ). Propriedade 06 ( da anulao de um produto ): Para quaisquer inteiros x e y : x y = 0 x = 0 ou y = 0 . PROVA: I) x y = 0 x = 0 ou y = 0 :

x xy xy y = x 2 xy xy y 2 = x 2 xy xy y 2 = x 2 0 y 2 = x 2 y 2 = x y C.Q.D.2 2

2

2

Supondo que x e y so ambos diferentes de zero, segue a contradio: x y = 0 y x =0 . II) x y = 0 x = 0 ou y = 0 : A recproca trivial, uma vez que: 00 = 0y = x 0 = 0 . C.Q.D.


PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] Propriedade 09 ( da igualdade de dois quadrados ): Se x e y so inteiros: x 2 = y 2 x =y . PROVA: x2 = y 2 x y = 0 x yx y = 0 x y = 0 ou x y = 0 x = y ou x = y x = y C.Q.D. Consequncia imediata: Os quadrados de dois inteiros so iguais se e somente se os nmeros so iguais ou opostos. Observao final (unicidade dos neutros): A unicidade dos neutros no precisa ser exigida nos axiomas. Com efeito, se n1 e n2 so neutros distintos da operao de operador (servindo tanto para a adio quanto para a multiplicao), obtemos a seguinte contradio: n1 = n1 n2 = n2 . Observao final (unicidade do inverso aditivo): A unicidade do inverso aditivo no precisa ser exigida nos axiomas. Com efeito, se s1 e s2 so inversos aditivos distintos de x , obtemos a contradio: s1 = s1 x s2 = s1 x s2 = s2 . Observao final (um diferente de zero): Por outro lado, os nove axiomas acima devem realmente exigir explicitamente que um seja diferente de zero, caso contrrio no poderamos garantir a existncia de nenhum inteiro diferente de zero. Podemos concluir ainda que: 11 = 1 0 1 0 . Observao final (cancelamento multiplicativo): Para quaisquer inteiros x , y e z 0 o axioma de cancelamento multiplicativo traz de fato apenas a seguinte nova implicao: x z = yz x = y .2 2

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com x y z e xyz .

Com efeito: x y z = x z y = y z x = y z x = y x z = y x z = z y x = z x y Observao final: A multiplicao pode ser indicada por justaposio, isto : xy = xy ; xyz = xyz etc. Observao final: Notando que x y = x y ; x y = x y ; x y = x y So sempre verdadeiras as seguintes igualdades: x y z = xy xz x y z = xy xz x y z = xy xz x y z = xy xz x y z = xy xz x y z = xy xz x y z = xy xz x y z = xy xz Em particular para x = 1 : y z = y z y z = y z y z = y z y z = y z y z = y z y z = y z y z = y z y z = y z

Observao final (distributividade): O axioma de distributividade garante que a operao de multiplicao tem precedncia maior do que a da operao de adio. Observao final (sobre a soma/produto de trs nmeros inteiros): Os nove axiomas acima determinam, independentemente de ordem e de associao, a soma e o produto de trs quaisquer inteiros x , y e z . Isto , so definidos unicamente os seguintes nmeros:Professor Castanheira Pgina 4

PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] NMEROS INTEIROS 01B: OS POSITIVOS, O ZERO E OS NEGATIVOS Postulamos que existem destacados nmeros inteiros, chamados de nmeros inteiros positivos, regidos pelos seguintes dois axiomas: I) Axioma de fechamento positivo: A soma e o produto de quaisquer dois inteiros positivos so tambm inteiros positivos. II) Axioma de tricotomia: Dado um inteiro x qualquer, tem-se sempre que uma, e somente uma, das seguintes trs afirmaes verdadeira: x positivo ou x = 0 ou x positivo Definies fundamentais: inteiros quaisquer: Sejam x , y e z

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com Propriedade 01 ( do quadrado... positivo definido ): Para todo inteiro x : Para todo inteiro x : PROVA: x = 0 x = 0 = 0 0 = 0. x 0 x 2 = xx 0. x 0 x = xx = x x 0. C.Q.D. Consequncia imediata: No possvel um nmero inteiro x tal que x 2 0 . Consequncia imediata: O inteiro 1 (com 1 negativo): 1 = 11 = 12 0 . Propriedade 02 ( da regra dos sinais ): Sejam x e y inteiros quaisquer: a) x 0 e y 0 xy 0 . b) x 0 e y 0 ou x 0 e y 0 xy 0 . c) x 0 e y 0 xy 0 . PROVA: a) Imediata dos axiomas. b) x y = xy 0 xy 0 . b) x y = xy 0 xy 0 . c) xy = xy 0 . C.Q.D. Propriedade 03 ( da transitividade da relao ): positivo2 2 2

x2 0 .

x2= 0 x = 0 .

a) x um nmero inteiro positivo se e somente se x um nmero inteiro negativo, ou, equivalentemente, x um inteiro positivo se e somente se x um inteiro negativo. b) A afirmao x y ( x maior do que y ) equivale a dizer que x y positivo. Donde z 0 se e somente se z 0 = z positivo, donde: x y x y 0 . c) A afirmao x y ( x menor do que y ) equivale a dizer que x y negativo. Donde z 0 se e somente se z 0 = z negativo, donde: x y x y 0 e x y y x . d) Dizer x y ( x maior do que ou igual a y ) equivale a dizer que: x y ou x = y . e) Dizer x y ( x menor do que ou igual a y ) equivale a dizer que: x y ou x = y . f) A afirmao x y z ( x y z ) deve ser entendida do seguinte modo: x y e y z ( x y e y z ). Consequncia imediata da tricotomia: verdadeira uma, e somente uma, das seguintes trs possibilidades (onde x e y so inteiros quaisquer): x y ou x = y ou x y

Sejam x , y e z inteiros quaisquer: x y e yz x z . PROVA: x y e yz x y 0 e y z 0 x y y z 0 x y y z 0 x y y z 0 x z 0 x z C.Q.D.


PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] Consequncia imediata: x y e y z x z . Consequncia imediata:

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com Propriedade 06 ( da anti-multiplicatividade negativa da relao ): Sejam inteiros x , y e z 0 :

x y z xz x y xz yz . x y z xz PROVA: Propriedade 04 ( da aditividade da relao Sejam x , y e z inteiros quaisquer: x y xz y z . PROVA: x y x y 0 x y 0 0 x y z z 0 x y z z 0 x z y z 0 x z y z 0 x z y z 0 xz yz C.Q.D. Consequncia imediata: x y x z y z Propriedade 05 ( da multiplicatividade positiva da relao ): Sejam inteiros x , y e z 0 : x y xz yz . PROVA:x y x y 0 x y z 0 xz yz 0 xz yz

): x y x y 0 x y z 0 xz yz 0 xz yz C.Q.D. Consequncia imediata: x y e z 0 xz yz . Consequncia imediata: Se x e y so inteiros quaisquer as seguintes afirmaes so equivalentes: x y e x y . Observao: A relao aditiva e multiplicativa maior do que multiplicativa positiva. de igualdade = transitiva, em geral, enquanto a relao transitiva, aditiva e apenas Com efeito:

x = y e y = z x = z transitiva x=y xz= yz x = y xz = yz aditiva multiplicativa

Propriedade 07 ( da consistncia aditiva da relao ): Para quaisquer inteiros x1 , y1 , x2 , y2 : x1 x2 e y1 y2 x1 y1 x2 y2 . PROVA:x1 y1 x2 y1 e x2 y1 x2 y2 x1 y1 x2 y2

C.Q.D. Consequncia imediata: x1 x2 e y1 y2 x1 y1 x2 y2 . Propriedade 08 ( da consistncia multiplicativa positiva da relao ): Para quaisquer inteiros positivos x1 , y1 , x2 , y2 : x1 x2 e y1 y2 x1y1 x2y2 .

C.Q.D. Consequncia imediata: x y e z 0 xz yz .


PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] PROVA: x1y1 x2y1 e x2y1 x2y2 x1y1 x2y2 C.Q.D. Consequncia imediata: 0 x1 x2 e 0 y1 y2 x1y1 x2y2 . Observao: A relao de igualdade = consistente no senso aditivo e no senso multiplicativo em geral (ver topo deste volume), enquanto a relao maior do que consistente no senso aditivo e consistente apenas no senso multiplicativo positivo. Propriedade 09 (da anulao de uma soma de Se x e y so inteiros:x2 y2= 0 x = y = 0 .quadrados):

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com Pela tricotomia, para cada par de nmeros inteiros positivos x e y , exatamente um dos trs primeiros membros verdadeiro (os outros dois sendo falsos), donde o respectivo segundo membro verdadeiro e, mais uma vez pela tricotomia, o nico segundo membro verdadeiro (os outros dois sendo falsos). O que verifica, para cada par de inteiros positivos x e y , as trs equivalncias. C.Q.D. Definio: Min a , b o menor dentre a e b , Max a , b o maior dentre a e b , garantindo-se que Min a , a = Max a , a = a . Propriedade 11 ( das relaes quadrticas ): Se x e y so inteiros: (a) Min y , y x Max y , y x 2 y 2 (b) Min y , y = x ou x = Max y , y x 2 = y 2 (c)x Min y , y ou Max y , y x x 2 y 2

PROVA: Considerando x 2 = y 2 , o primeiro membro da igualdade positivo ou zero, enquanto o seu segundo membro negativo ou zero. Logo, a nica forma dela ser verdadeira se ter x = y = 0 . A recproca trivial. C.Q.D. Consequncia imediata: A soma dos quadrados de dois inteiros igual a zero se e somente se os dois nmeros so iguais a zero. Consequncia imediata: A soma dos quadrados de dois inteiros diferente de zero se e somente se pelo menos um dos dois nmeros diferente de zero. Propriedade 10 (da monoticidade do quadrado): Se x e y so inteiros no negativos: a x y x 2 y2 b x = y x 2 = y 2 c x y x 2 y 2

PROVA: (b) x = y2 x = y ou x = y x = Min y , y ou x = Max y , y (a) x y2 x2 y2 0 x y x y 0 x y 0 e x y 0 ou x y 0 e x y 0 y x y ou y x y Min y , y x Max y , y (c) x2 y2 x2 y2 0 x y x y 0 2 2

PROVA: Se pelo menos um dos dois nmeros for igual a zero imediato que se verificam as trs equivalncias acima. Continuemos com x e y ambos positivos: x y e x y x2 y2 e x =y e x=y x =y e x y e x y x2 y2 C.Q.D.Professor Castanheira Pgina 72 2

x y 0 e x y 0 ou x y 0 e x y 0 x y e x y ou x y e x y x Min y , y ou x Max y , y

PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] Observao final: 1 0 1 . O que garante que: 1 0 e 0 1 e 1 1 . A primeira e a segunda afirmao carecem apenas dos nove axiomas originais, enquanto a terceira afirmao precisa ainda dos dois axiomas relativos aos inteiros positivos, ao inteiro zero e aos inteiros negativos. Observao final: 1 1 0 . Com efeito: 1 0 1 1 1 1 1 0 . Definamos o inteiro positivo: dois = 2 = 1 1 . Note para a sequncia que: 2 0 1 1 .

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com x=x x =y y=x reflexiva simtrica

x = y e y = z x = z transitiva Observao final: A relao maior do que ou igual a reflexiva, antissimtrica e transitiva (RAT), sendo, por definio, uma relao de ordem: x x reflexiva

x y e y x x = y antissimtrica x y e y z x z transitiva

As trs ltimas propriedades podem ser provadas facilmente, verificando caso a caso logicamente. Algo que fica como exerccio. Definio: x y e y z x y z .

Observao final: Um inteiro igual ao seu oposto se e somente se ele igual a zero. Com efeito:x x = 0 1x 1x = 0 1 1 x = 0 2x = 20 x = 0

Observao final: Seguem as demais propriedades fundamentais da mencionada relao de ordem (as demonstraes ficam como exerccio): (a) x y x z y z . (b) x y e z 0 xz yz . (c) x y e z 0 xz yz . (d) x1 x2 e y1 y2 x1 y1 x2 y2 . (e) x1 x2 0 e y1 y2 0 x1y1 x2y2 . (f) x y 0 x 2 y 2 . (g) x Min y , y ou Max y , y x x 2 y 2 (h) Min y , y x Max y , y x 2 y 2 Observao final: A resoluo das inequaes lineares se baseia nas Propriedades 04-06. A Propriedade 11 crucial para a resoluo das inequaes quadrticas. Tudo isso complementado pelas propriedades correspondentes da relao maior do que ou igual a . Observao final: O estudo das desigualdades se completa com o assunto valor absoluto a seguir.

Observao final: A operao de subtrao no comutativa. Pois, caso fosse, seria como se todos os inteiros fossem iguais. Absurdo! Com efeito: x y = y x x y y = y y x x = 2y x x x = 2y x x 2x = 2y x = y Observao final: y x = x y . Observao final: A relao de igualdade = reflexiva, simtrica e transitiva (RST), sendo, por definio, uma relao de equivalncia:Professor Castanheira Pgina 8

PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] Definio (valor absoluto de um nmero inteiro): O valor absoluto x de um inteiro x qualquer um nmero definido da seguinte forma: i x 0 x = x ii x = 0 x = 0 iii x 0 x = x

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com PROVA: (a)

x x x e y y y xy x y xy x y x y xy x y x y xy x y(b) Basta trocar y por seu oposto em (a).

Propriedades imediatas de valor absoluto: Fica para o leitor provar que se x e y so inteiros quaisquer ento: x (a) x 0 e x = . (b) x = 0 x = 0 . (c) x = x x 0 . (d) x x x . (e) xy = xy . (f) x 2 = x2 = x 2 . (g) x = Max x , x . (h) x = Min x , x . (i) x 2 = y 2 x = y x = y . (j) x 2 y 2 x y . (k) x 2 y 2 x y . (l) x 2 y 2 x y . (m) x 2 y 2 x y . (n) y = x ou x = y x = y x = y (o) x y ou y x x y . (p) y x y x y . (q) x y ou y x x y . (r) y x y x y . Propriedade 12 ( da Desigualdade Triangular ): Se x e y so inteiros quaisquer: (a) x y xy . (b) x y xy . (c) xy xy x y . (d) xy xy x y .Professor Castanheira Pgina 9

(c) A desigualdade da esquerda imediata e a desigualdade da direita sai com o uso do item (a) e fica como exerccio. (d) Basta trocar C.Q.D. Observao final: A desigualdade triangular a propriedade mais importante do assunto valor absoluto. Os fundamentos para a resoluo de equaes e inequaes de valor absoluto se encontram nesta pgina. As conexes entre equaes e inequaes de valor absoluto e equaes e inequaes quadrticas tambm so aqui explicitadas. y por seu oposto em (c).

PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] NMEROS INTEIROS 01C: BOA OR5DEM (MNIMA , MXIMA E FINITA) INDUO I (DE CONJUNTOS / DE PROPOSIES)INDUO II (DE CONJUNTOS / DE PROPOSIES)

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com PROVA: Dizer que existe algum nmero inteiro y entre n e n 1 equivale a dizer que existe um inteiro x = y n entre zero e um, o que j vimos ser impossvel. C.Q.D. Comentrio: Devido a, agora provada, integralidade dos inteiros faz sentido dizer finalmente que o um o primeiro menor inteiro positivo (por no existir inteiro entre zero e um), que o dois o segundo menor inteiro positivo (por no existir inteiro entre um e dois) e assim por diante. Estes so exatamente os dez menores inteiros positivos dispostos em rigorosa ordem crescente integral:um dois trs = 1 = 0 1 = 2 = 1 1 = 3 = 2 1

Definio de : Chamemos de de todos os nmeros inteiros.

o conjunto

Definio (de conjunto de inteiros limitado inferiormente):

Se S um conjunto no vazio de inteiros, dizemos que ele limitado inferiormente quando existir um inteiro z 0 que seja menor do que ou igual a cada um dos seus elementos. Note que o z 0 no nico e que no precisa pertencer a S.Definio (do elemento mnimo de um conjunto de inteiros):

Se S um conjunto no vazio de inteiros, dizemos que s0 um elemento mnimo de tal conjunto quando pertencer a ele e for menor do que ou igual a cada um dos seus elementos. Note que elemento mnimo dum conjunto, quando existir, nico. Com efeito, supondo dois mnimos distintos, s1 e s 2 , obtemos a seguinte contradio: s 1 s 2 e s 2 s 1 s1 = s 2 . I) Axioma da Boa Ordem (mnima): Todo conjunto de inteiros, no vazio e limitado inferiormente, possui um nico elemento mnimo. Propriedade 00A (do primeiro menor inteiro positivo):

quatro = 4 = 3 1 cinco seis sete oito = 5 = 4 1 = 6 = 5 1 = 7 = 6 1 = 8 = 7 1

nove = 9 = 8 1 dez = 10 = 9 1

Enfatizamos que: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. No existe inteiro entre zero e um. PROVA: Faremos a prova por contradio. Seja S a reunio de cada inteiro entre zero e um. Tal conjunto limitado inferiormente (por zero) e por hiptese no vazio, donde possui um nico elemento mnimo, que chamaremos de x. Donde obtemos:0 x 1 0 x x 0 x x 12 2

Definio (de conjunto de inteiros limitado superiormente): Se S um conjunto no vazio de inteiros, dizemos que ele limitado superiormente quando existir um inteiro z que seja maior do que ou igual a cada um dos seus elementos. Note que o z no nico e que no precisa pertencer a S. Definio (do elemento mximo de um conjunto de inteiros): Se S um conjunto no vazio de inteiros, dizemos que s um elemento mximo de tal conjunto quando pertencer a ele e for maior do que ou igual a cada um dos seus elementos. Note que elemento mximo dum conjunto, quando existir, nico. Com efeito, supondo dois mximos distintos, s1 e s2 , obtemos a seguinte contradio: s 1 s 2 e s 2 s 1 s1 = s 2 . Propriedade da Boa Ordem (mxima): Todo conjunto de inteiros, no vazio e limitado superiormente, possui um nico elemento mximo.

Ou seja, exibimos x 2 , um elemento de S que menor do que o seu mnimo. Contradio! Donde, no existe inteiro entre zero e um. C.Q.D. Definio (de dois inteiros consecutivos): Para cada nmero inteiro n dizemos que os dois nmeros inteiros n e n 1 so consecutivos. Propriedade 00B ( da integralidade dos inteiros ): No existe inteiro entre dois inteiros consecutivos.


PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] Propriedade 01 (da Boa Ordem... Mxima e Mnima): A Propriedade da Boa Ordem (mxima) equivale a Propriedade da Boa Ordem (mnima). PROVA: Seja S um conjunto de inteiros, no vazio e limitado superiormente (inferiormente), donde existe algum inteiro z maior (menor) do que ou igual a cada um dos seus elementos. Definamos o conjunto S como a reunio do oposto de cada elemento de S , donde z menor (maior) do que ou igual a cada elemento de S , que possui ento um nico elemento mnimo (mximo) s . Donde s pertence ao conjunto S e maior (menor) do que ou igual a cada elemento seu, donde s o seu nico elemento mximo (mnimo). C.Q.D. Propriedade 02 (da Boa Ordem... Finita): Todo conjunto de inteiros, no vazio e finito, possui um nico elemento mximo e um nico elemento mnimo. PROVA: Dizer que um conjunto no vazio de inteiros finito o mesmo que dizer que ele limitado inferiormente e superiormente ao mesmo tempo, donde ele possui um nico elemento mnimo e um nico elemento mximo. C.Q.D. Propriedade 03 (de Arquimedes): Se a e b so inteiros com b 0 , ento existe algum inteiro positivo q tal que a bq . PROVA: Faremos a prova da propriedade por contradio, supondo que para todo nmero inteiro a bq 0 . positivo q : Seja S a reunio de cada nmero inteiro da forma a bq com q inteiro positivo. Esse conjunto limitado inferiormente (pois cada um dos seus elementos positivo, por hiptese) e no vazio (tambm pela hiptese acima), donde possui um nico elemento mnimo a bx . Por outro lado, x 1 um inteiro positivo, o que garante que a b x 1 S , donde obtemos a seguinte contradio (um elemento de S menor do que o seu mnimo): 0 a bx 1 = a bx b a bx . Donde existe que a bq . C.Q.D. algum inteiro positivo q tal

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com Propriedade 04 ( da Induo I... De conjuntos ): Se s0 um inteiro fixado e S um conjunto de inteiros maiores do que ou iguais a s0 e que cumpre as seguintes duas condies: (i) s 0 S ; (ii) s S s 1 S . Ento S a reunio de cada inteiro maior do que ou igual a s 0 .(*)

Em (ii) : s um inteiro qualquer maior do que ou igual a s0.

PROVA: Faremos a prova por contradio. Seja X a reunio de cada inteiro maior do que ou igual a s 0 e que no pertence a S . Tal conjunto limitado inferiormente, por s0 , e no vazio por hiptese. Seja x , tal que s 0 x 1 x , o seu nico elemento mnimo. Como x 1 S , obtemos, devido a condio (ii), que x S . Contradio! Como provamos que X vazio, conclumos ento que S de fato a reunio de cada inteiro maior do que ou igual a s 0 . C.Q.D. Propriedade 05 ( da Induo I... De proposies ): Se s0 um inteiro fixado e P s uma proposio aberta definida sobre os inteiros maiores do que ou iguais a s0 e que cumpre as seguintes duas condies: (i) P s 0 ; (ii) P s P s 1 . Ento P s verdadeira para cada inteiro maior do que ou igual a s 0 .(*)


PROVA: Seja S a soluo de P s , ento tal conjunto, de inteiros maiores do que ou iguais a s0 , satisfaz as seguintes duas condies: (i) s 0 S ; (ii) s S s 1 S . Donde o conjunto S a reunio de cada inteiro maior do que ou igual a s 0 , donde P s verdadeira para cada inteiro maior do que ou igual a s0 . C.Q.D.


PROFESSOR CASTANHEIRA EMAIL: [email protected] Observao: O ltimo enunciado encerra, discutivelmente, a mais poderosa ferramenta para demonstrao de propriedades sobre os nmeros inteiros. Faremos intensivo e extensivo uso da induo nos prximos volumes desta srie de textos sobre a Teoria Elementar dos Nmeros Inteiros. Propriedade 06 ( da Induo II... De conjuntos ): Se s0 um inteiro fixado e S um conjunto de inteiros maiores do que ou iguais a s0 e que cumpre as seguintes duas condies: (i) s 0 S ; (ii) {x s0 x s} S s 1 S . Ento S a reunio de cada inteiro maior do que ou igual a s 0 .(*)

TEORIA ELEMENTAR DOS NMEROS INTEIROS 01 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com PROVA: Seja S a soluo de P s , ento tal conjunto, de inteiros maiores do que ou iguais a s0 , satisfaz as seguintes duas condies: (i) s 0 S ; (ii) {x s0 x s } S s 1 S . Donde o conjunto S a reunio de cada inteiro maior do que ou igual a s 0 , donde P s verdadeira para cada inteiro maior do que ou igual a s0 . C.Q.D. Observao: A Propriedade 05 admite verses de ordem superior, modificando apenas as condies (i) e (ii). Segunda ordem: (i) P s 0 e P s 0 1 ; (ii) P s 1 e P s P s 1 . Terceira ordem: (i) P s 0 e P s 0 1 e P s 0 2 ; (ii) P s 2 e P s 1 e P s P s 1 . etc. As demonstraes ficam por conta do leitor. EM TEMPO: Acima utilizamos P(x) no sentido de P(x) verdadeira.


PROVA: Faremos a prova por contradio. Seja X a reunio de cada inteiro maior do que ou igual a s 0 e que no pertence a S . Tal conjunto limitado inferiormente, por s 0 , e no vazio por hiptese. Seja o nmero x , tal que s 0 x 1 x , o seu nico elemento mnimo. Como cada nmero inteiro desde o s 0 at o x 1 pertence a S , obtemos, devido a condio (ii), que x S . Contradio! Como provamos que X vazio, conclumos ento que S de fato a reunio de cada inteiro maior do que ou igual a s 0 . C.Q.D. Propriedade 07 ( da Induo II... De proposies ): Se s 0 um inteiro fixado e P s uma proposio aberta definida sobre os inteiros maiores do que ou iguais a s0 e que cumpre as seguintes duas condies: (i) P s 0 ; (ii) P x para todo x {x s 0 x s} P s 1 . Ento P s verdadeira para cada inteiro maior do que ou igual a s 0 .(*)

Em (ii) : s um inteiro qualquer maior do que ou igual a s0. Professor Castanheira Pgina 12

apêndice 01 - teoria elementar dos números inteiros 01

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