Governo do Distrito Federal Secretaria de Estado de Educao Gerncia Regional de Ensino do Plano Piloto Centro de Ensino Mdio Paulo Freire http://professorcarlos.ninehum.co m

Anlise Combinatria - 01 Princpios fundamentais da contagemData:

/Professor Carlos Alberto

/

Aluno:

Srie: 3

Turma:

1. IntroduoQuando duas moedas (consideradas honestas) forem lanadas para cima, os resultados sero KK, KC, CK e CC onde K significa cara e C significa coroa. Nesta situao temos 4 possveis resultados. Se no lugar de duas moedas forem usadas 50 moedas, a listagem dos possveis resultados seria praticamente impossvel, pois a quantidade de resultados 250 = 1125899906842624. No estudo de Probabilidades e Estatstica, situaes como esta so comuns. Para tornar possvel a anlise de casos em que o nmero de elementos envolvidos muito grande torna-se importante a teoria da formao dos agrupamentos e a determinao da quantidade de elementos destes agrupamentos. Os problemas de contagem fazem parte da chamada Anlise Combinatria. Nesta apostila sero analisados alguns elementos da Anlise Combinatria aplicveis Probabilidade e Estatstica.

2dinheiro para assistir a apenas 1 evento destes 5 que foram descritos anteriormente. Quantos so os programas que voc pode fazer neste sbado? Vejamos ento: Vamos supor agora que cada programa custe apenas 1 real, e que voc s tenha um real. Como voc tem dinheiro para apenas um evento (programa), ento ou voc assiste ao filme 1 ou ao filme 2 ou ao filme 3 ou pea de teatro 1 ou pea de teatro 2. A ideia prestar ateno no conetivo ou do problema. Ou escolhe F1, ou escolhe F2, ou escolhe F3, e assim por diante. Deste modo estamos dividindo o problema em casos. E como j citei anteriormente aparecer a ideia do conetivo ou. Caso eu escolha ver um filme, terei 3 opes ou caso eu escolha ver uma pea de teatro, terei 2 opes. Como voc pode observar os elementos de um conjunto no pertencem a outro, pois so distintos, logo eles so disjuntos. (A interseco vazia) Logo pelo principio aditivo. Se A e B so dois conjuntos disjuntos (A B = ) com respectivamente , f e t elementos, ento A U B possui f+t elementos. A={ f|f um filme} = {F1,F2,F3}, e B= { t|t uma pea de teatro} = {T1,T2} Logo A U B = { F1,F2,F3,T1,T2} Assim ao todo so 3+2 = 5 programas. Note que, a ocorrncia de um dos eventos no est condicionada ocorrncia do evento anterior. Assim que se pode concluir: se existem m1 possibilidades de ocorrer um evento E1, m2 possibilidades de ocorrer um evento E2 e m3 para ocorrer o evento E3, o nmero total de possibilidades de ocorrer o evento E1 ou o evento E2 ou o evento E3, ser de m1 + m2 + m3 desde que os eventos no apresentem elementos comuns. Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usar, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar. Soluo:

O princpio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, tambm pode ser enunciado da seguinte forma: Se uma deciso d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outra deciso d2 puder ser tomada de m maneiras, o nmero total de maneiras de tomarmos as decises d1 e d2 ser n m. Repare que diferente do Princpio Aditivo, neste voc tem que tomar duas decises em sequncia, ou seja, ocorrncia de um dos eventos est condicionada ocorrncia do evento anterior. Aqui a ideia prestar ateno no conetivo e. No exemplo temos duas decises a serem tomadas: d1: escolher uma dentre as 3 blusas d2: escolher uma dentre as 2 saias Assim, Maria dispe de 3 2 = 6 maneiras de tomar as decises d1 e d2, ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir.

3. Princpio multiplicativ oA multiplicao tambm a base de um raciocnio muito importante em Matemtica, chamado princpio multiplicativo. O princpio multiplicativo constitui a ferramenta bsica para resolver problemas de contagem sem que seja necessrio enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos). Existem aplicaes em diversas reas como, por exemplo, Gentica e Probabilidade.Ver vdeo referente aula 48 do Novo Telecurso em http://www.youtube.com/ watch?v=7e3R3niAVFY.

2. Princpio aditivoExemplo: - Supondo que existam cinemas e teatros em sua cidade, e que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peas de teatro diferentes para passarem no prximo sbado, e que voc tenha

EXEMPLO 1

EXEMPLO 2

3Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada, salsicho), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um fregus pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa? Soluo: Esse e outros problemas da anlise combinatria podem ser representados pela conhecida rvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos por uma rvore o problema do cardpio do restaurante. d2 e d3, consultando os vrios tipos de cardpios possveis. Observe que, percorrendo as opes dadas pelos segmentos esquerda da rvore, o cardpio ficaria frango/salada verde/sorvete enquanto que, escolhendo os segmentos direita, teramos salsicho/salada russa/ frutas. No entanto, nosso objetivo saber as combinaes possveis e calcular o nmero total de possibilidades sem precisar enumerlas, pois muitas vezes isso ser impossvel montar o grafo devido ao grande nmero de opes e/ou de decises envolvidos num problema. As tcnicas da anlise combinatria, como o princpio multiplicativo, nos fornecem solues gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigem engenhosidade, criatividade e uma plena compreenso da situao descrita. Portanto, preciso estudar bem o problema, as condies dadas e as possibilidades envolvidas, ou seja, ter perfeita conscincia dos dados e da resoluo que se busca. se alimentar pagando menos? Soluo: Note que agora temos uma condio sobre as decises d1 e d2: d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsicho). d2: escolher salada verde (apenas uma opo). d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Ento, h 2 1 3 = 6 maneiras de montar cardpios econmicos. (Verifique os cardpios mais econmicos na rvore de possibilidades do exemplo anterior). 9 9 nmeros. 8 = 648

EXEMPLO 5De acordo com o exemplo anterior, se desejssemos contar dentre os 648 nmeros de 3 algarismos distintos apenas os que so pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), como deveramos proceder? Soluo:

EXEMPLO 4Quantos naturais algarismos existem? Soluo: Um nmero de 3 algarismos c d u formado por 3 ordens: Como o algarismo da ordem das centenas no pode ser zero, temos ento trs decises: d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opes). d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que j foi escolhido para ocupar a centena (9 opes). d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que j foram utilizados (8 opes). Portanto, o total de nmeros formados ser nmeros de 3 distintos

O algarismo da unidade poder ser escolhido de 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se o zero foi usado como ltimo algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos (no podemos usar o algarismo j empregado na ltima casa). Se o zero no foi usado como ltimo algarismo, o primeiro s pode ser escolhido de 8 modos (no podemos usar o zero, nem o algarismo j empregado na ltima casa). Para vencer impasse, temos alternativas: este trs

Observe que nesse problema temos trs nveis de deciso: d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes. d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada. d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Usando o princpio multiplicativo, conclumos que temos 4 2 3 = 24 maneiras de tomarmos as trs decises, ou seja, 24 opes de cardpio. Nela podemos ver claramente os trs nveis de deciso d1,

EXEMPLO 3Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preos diferentes, sendo mais baratas as opes que inclussem frango ou salsicho com salada verde, de quantas maneiras voc poderia

a) Abrir o problema em casos (que alternativa mais natural). Contar separadamente os nmeros que tm zero como ltimo algarismo (unidade = 0) e aqueles cujo ltimo algarismo diferente de zero (unidade 0). Terminando em zero temos 1 modo de escolher o ltimo algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezena), num total de 9 8 1 = 72 nmeros. Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de

4escolher o ltimo algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismo (no podemos usar o zero, nem o algarismo j usado na ltima casa) e 8 modos de escolher o algarismo do meio (no podemos usar os dois algarismos j empregados nas casas extremas). Logo, temos 8 8 4 = 256 nmeros terminados em um algarismo diferente de zero. A resposta , portanto, 72 + 256 = 328 nmeros. b) Ignorar uma das restries (que uma alternativa mais sofisticada). Ignorando o fato de zero no poder ocupar a centena, teramos 5 modos de escolher o ltimo algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio, num total 9 8 5 = 360 nmeros. Esses 360 nmeros incluem nmeros comeados por zero, que devem ser descontados. Comeando em zero temos 1 modo de escolher o primeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o ltimo (2, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio (no podemos usar os dois algarismos j empregados nas casas extremas), num total de 1 8 4 = 32 nmeros. A resposta , portanto, 360 - 32 = 328 nmeros. c) claro que tambm poderamos ter resolvido o problema determinando todos os nmeros de 3 algarismos distintos (9 9 8 = 648 nmeros), como o caso do Exemplo 4, e abatendo os nmeros mpares de 3 algarismos distintos (5 na ltima casa, 8 na primeira e 8 na segunda), num total de 8 8 5 = 320 nmeros. Assim, a resposta seria 648 320 = 328 nmeros. EXEMPLO 6 As placas de automveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y e W) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros esto sendo todas trocadas e passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cada tipo podemos formar? Soluo: No primeiro caso possvel selecionar um pessoa levar 1 segundo casal homem-mulher? para experimentar 2) Quantos cada combinao nmeros naturais de 2 possvel, trabalhando algarismos distintos ininterruptamente e existem? Quantos anotando cada destes nmeros so tentativa j feita para divisveis por 5? no repeti-la, qual ser 3) Quantas o tempo mximo que palavras contendo 3 poder levar para abrir letras diferentes podem o cofre? ser formadas com um10) No Exemplo 6 alfabeto de 26 letras? vimos que existem 4) Quantos so os 175.760.000 placas gabaritos possveis diferentes de trs letras para um teste de 10 e quatros algarismos. questes de mltipla Jos Carlos Medeiros escolha, com 5 gostaria que a placa de alternativas por seu automvel tivesse questo? as iniciais do seu nome. 5) Com todos os Quantas placas existem nmeros de 01 a 50, com as letras JCM? quantas escolhas de 611) Uma moeda nmeros distintos lanada n vezes podemos fazer? sucessivamente. Se o 6) Uma prova nmero de sequncias consta de oito de resultados possveis questes, do tipo certo 256, qual o valor de ou errado. Quantas n? sequncias de 12) Quantos respostas so possveis segmentos podem ser na resoluo dessa obtidos com prova? extremidades nos 7) De quantas vrtices do hexgono maneiras voc pode ir regular indicado na da cidade X para a figura? cidade Y?

. Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta : 26 26 10 10 10 10 = 6.760.000 No segundo caso

26 26 26 10 10 10 10 = 26 6 760 000 = 175.760.000 A nova forma de identificao de automveis possibilita uma variedade 26 vezes maior. A diferena de 169.000.000, ou seja, 169 milhes de placas diferentes a mais do que anteriormente. Exerccios: 8) O cdigo morse usa palavras contendo de 1 a 4 letras, representadas por ponto e trao. Quantas palavras existem no cdigo morse? 9) O segredo de um cofre formado por uma sequncia de 4 nmeros de 2 dgitos (de 00 a 99). Uma pessoa decide tentar abrir o cofre sem saber a formao do segredo (por exemplo: 15 - 26 00 - 52). Se essa

1) Numa sala h 4 homens e 3 mulheres. De quantos modos

13) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, sem repeti-los, escreve-se x nmeros maiores que 2.400. Qual o valor de x? 14) As cidades A e B disputam a rodada final de um torneio de basquete. Vence o torneio a primeira que ganhar 2 jogos seguidos ou 4 alternados. Mostre de quantas maneiras o torneio pode se desenvolver. 15) Em um jogo de roleta permitido jogar, no mximo, 5 vezes. Em cada jogada, ganha-se ou perde-se 1 real. Inicia-se o jogo

5com 1 real e encerra-se a srie de jogadas se ocorrerem uma dessas hipteses: 1 - perda de todo o dinheiro 2 ganho de 4 reais Quantas so as maneiras de o jogo desenrolar-se? 4) 9.765.625 5) 11.441.304 0 8) 30 11) 8 14) 14

7) 49 10) 10.000 13) 18

Respostas 1) 12 casais

2) a) 81; b) 17