Existemdiferentestamanhosdeinfinito?Aoinfinito...ealm!BuzzLightyearQuandodizemosquedoisconjuntosfinitostmomesmotamanho?Quandoelespossuemamesmaquantidadedeelementos.Podemosutilizaressemtodoparacompararotamanhodeconjuntosinfinitos?Quantosnmerosnaturaisexistem?1,2,3,4,5,6,Quantosnmerosparesexistem?2,4,6,8,10,12,Infinitoumaquantidade?(Infinitoumnmero?)Infinitosignificasemfim.Quandodizemosquealgumacoisainfinita,queremosdizerqueessacoisanoacaba,notemfim,continuaparasempre.Porexemplo,quandodizemqueouniversoinfinito(serqueelemesmoinfinito?),estoquerendodizerqueelenoacaba,queelenotemfim,queelecontinuaparasempre,quenoexistenenhumaquantidade(nmero)quepossarepresentarseutamanho.Existemmaisnmerosnaturaisounmerospares?(Ora,existemmaisnmerosnaturais,poisosnmerosnaturaisincluemosnmerosparesmaisosnmerosmpares.)Essarelaochamadadeincluso.Dizemosqueoconjuntodosnmerosnaturaiscontmoconjuntodosnmerospares.Outraideiautlizadaparacompararotamanhodeconjuntosinfinitos.Quandodizemosquedoisconjuntosinfinitostmomesmotamanho?Quandoexisteumarelaoumparaumentreosconjuntos.Oqueumarelaoumparaum?umarelaoquepareaoselementosdeumconjuntocomoselementosdeoutroconjunto,deformaquenenhumelementofiquesempar.possvelcriarumarelaoumparaumentreoconjuntodosnmerosnaturaiseoconjuntodosnmerospares?possvelcriarumarelaoumparaumentreoconjuntodosnmerosnaturaiseoconjuntodosnmerosinteiros?possvelcriarumarelaoumparaumentreoconjuntodosnmerosnaturaiseoconjuntodosnmerosracionais?possvelcriarumarelaoumparaumentreoconjuntodosnmerosnaturaiseoconjuntodosnmerosreaisentre0e1?Suponhaquesejapossvel.Entoexisteumalistacomtodososnmerosreaisentre0e1.Apartirdessalistapossvelcriarumnmerorealentre0e1quenoestnalista.Vamosconstruiressenmerodaseguinteforma:oensimodgitodessenmeroigualaoensimodgitodoensimonmerodalistamais1.Casooensimodgitodoensimonmerodalistaseja9,entooensimodgitodonmeroqueestamoscriandoser0.Paraalistaacima,utilizandoonossomtodo,criamosonmero:Essenmeronopodeestarnalista,poisseeleforoensimonmerodalista,entoseuensimodgitoserdiferente.Logoasuposioquefizemosdequeessalistaexistefalsae,portanto,nopossvelcriarumarelaoumparaumentreoconjuntodosnmerosnaturaiseoconjuntodosnmerosreaisentre0e1.Issoquerdizerqueoinfinitodosnmerosreaismaiorqueoinfinitodosnmerosnaturais.