Antenas e Propagação

Folha de exercícios nº2 – Conceitos Fundamentais

1. Uma onda electromagnética plana e uniforme propaga-se em meio livre. O campo

magnético H

é dado por:

1ˆ ˆ( 2 )

120jkze

H x y

[A/m]

a) Determine o campo eléctrico.

b) Determine o (valor médio no tempo do) vector de Poynting.

2. Uma onda plana e uniforme propaga-se na direcção –z em espaço livre. Suponha que o

campo eléctrico está orientado na direcção x, tem amplitude (fasorial) igual a 410-3 V/m

em z=0, e que a frequência de oscilação é de 300 MHz. Calcule:

a) Os fasores dos campos eléctrico e magnético.

b) Os campos eléctrico e magnético como função do tempo.

c) O valor médio no tempo do vector de Poynting e o vector de Poynting instantâneo. 3. Uma onda electromagnética plana propaga-se no interior da Terra, que se supõe um

dieléctrico perfeito e ilimitado. Se a permitividade relativa da Terra for 9, determine a

velocidade de fase, o comprimento de onda, e a impedância intrínseca. Considere que a

frequência de oscilação é de 1 MHz.

4. O campo eléctrico de uma onda plana e uniforme é:

2 /4ˆ ˆ10 2 (1 )jky je j e E x z

[V/m]

a) Determine o estado de polarização da onda.

b) Determine o sentido de rotação.

c) Desenhe a curva de polarização.

5. O fasor do campo magnético associado a uma onda plana e uniforme é dado por:

310ˆ ˆ( )

120jkyj e

H x z

[A/m]

a) Determine o estado de polarização da onda.

b) Diga qual o sentido de rotação.

c) Esboce a curva de polarização.

6. Numa região em meio livre, o fasor do campo magnético é:

/40 ˆ ˆ(1 ) 2jky jEe j e

H x z

[A/m]

a) Caracterize o estado de polarização da onda electromagnética.

b) Determine o campo eléctrico.

7. Uma onda plana e uniforme propaga-se num meio dieléctrico com r=4 e r=1, e incide

no ar. O campo eléctrico incidente é dado por,

3 ˆ2 10

i j ze E y

[V/m] a) Determine o campo magnético incidente.

b) Calcule os coeficientes de reflexão e

transmissão.

c) Determine os campos eléctrico e magnético

transmitidos/ reflectidos.

d) Determine as densidades de potência incidente, reflectida, e transmitida.

8. Calcule a percentagem de potência transmitida/reflectida quando uma onda plana que se

propaga no ar incide perpendicularmente na superfície dum lago. Suponha que a água do

lago não tem perdas, e que a constante dieléctrica da água é 81.

9. Calcule o ângulo de Brewster e ângulo crítico para uma onda plana paralelamente

polarizada quando a interface é:

a) de água para ar (permitividade relativa da água é 81).

b) de ar para água.

c) de vidro de elevada densidade (r=9) para o ar.

10. Uma interface plano separa uma região de

ar de um dieléctrico sem perdas com =40.

Uma onda plana que se propaga na região do ar

incide normalmente à interface, e é

caracterizada por um campo eléctrico com

amplitude fasorial de 210-3 V/m. Para a

frequência de oscilação de 3GHz calcule:

a) O coeficiente de reflexão.

b) O SWR no espaço livre.

c) Os valores máximos e mínimos do campo eléctrico no ar.

11. A antena do transmissor duma comunicação

Terra-Ar é colocada 10 m acima do nível da água

do mar. Considere que o transmissor e o receptor

estão distanciados de 10 km. Determine a altura

h2 por forma que a onda reflectida pela água não

tenha componente com polarização paralela.

12. A grandes distâncias de observação o campo

radiado por uma antena num satélite que comunica

com um submarino submerso, é localmente TEM

(suponha que a onda é uniforme e plana).

Considere que o campo incidente na interface tem

amplitude 1mV/m e que o submarino está

exactamente debaixo do satélite. Para a frequência de oscilação de 1MHz, determine:

a) A intensidade do campo eléctrico reflectido.

b) O SWR no ar.

c) As densidades de potência incidente e reflectida.

d) A intensidade do campo eléctrico transmitido.

e) A densidade de potência transmitida.

f) A profundidade para a qual o campo transmitido decai para 36.8% do valor na interface.

g) A profundidade do submarino por forma a que a sua distância da superfície do oceano seja 20.

h) O tempo que a onda leva a propagar-se da superfície do oceano a uma profundidade de 100m.

i) A razão entre as velocidades de propagação da onda na água e no ar. 13. Uma onda plana com polarização circular LCP propaga-se no ar e incide

perpendicularmente na água. A água é caracterizada por r=81 e =0.1 S/m, conforme

indicado na legenda da figura. Suponha que a frequência é de 1GHz, e que o campo

incidente é,

0ˆ ˆ( )i j jkxe E e E y z

[V/m]

a) Determine o valor de .

b) Escreva expressão do campo magnético

incidente.

c) Calcule os campos reflectidos.

d) Determine o estado de polarização

(incluindo sentido de rotação) da onda reflectida.

e) Calcule os campos transmitidos.

f) Determine o estado de polarização (incluindo sentido de rotação) da onda

transmitida.

g) Determine a percentagem (relativamente à onda incidente) das densidades de

potência reflectida e transmitida.

14. Considere uma onda electromagnética plana linearmente polarizada, propagando-se no

ar e incidindo numa camada dieléctrica plana de grandes dimensões, caracterizada por,

= 0, r = 1, r = 2,7

Suponha que o campo eléctrico forma com o plano de incidência um ângulo de 45º.

a) Caracterize a onda reflectida, quanto o seu estado de polarização, para um ângulo de

incidência de 45º e para um ângulo de incidência igual ao de Brewster.

b) Determine a fracção de potência incidente que é reflectida pela camada dieléctrica

em cada caso.

15. Considere uma onda electromagnética plana circularmente polarizada para a direita,

que se propaga no ar e incide numa camada dieléctrica plana de grandes dimensões

caracterizada por,

= 0, r = 1, r = 5

Suponha que o ângulo de incidência é de 45º e que a densidade de potência da onda

incidente junto à superfície de separação é de 10 W/m2.

a) Caracterize a onda reflectida, quanto ao seu estado de polarização.

b) Determine a densidade de potência da onda reflectida.

16. A altura duma pessoa do chão até ao nível

dos olhos é h, e do nível dos olhos ao topo da

cabeça é h. Um espelho plano de dimensão y

na direcção vertical, é colocado a uma distância

x dessa pessoa. A extremidade superior do

espelho está a uma altura h+h/2 do chão. Qual

é a altura mínima y para que a pessoa consiga ver a sua imagem completa no espelho?

17. Uma onda polarizada linearmente incide num

prisma triangular isósceles de vidro conforme a

figura apresentada. Supondo que a constante

dieléctrica do prisma é 2.25, determine a razão entre

a densidade de potência na saída, oS

e a densidade

de potência na entrada iS

.

18. Um radiador isotrópico é submergido a uma profundidade d abaixo da superfície da

água. Suponha que a constante dieléctrica do mar é 81. Qual é a distância radial máxima x

que um observador se pode afastar continuando a ver a luz ?

19. Um peixe nada debaixo de um barco circular de diâmetro D, conforme a figura

apresentada. Determine o menor ângulo 2c dum cone imaginário dentro do qual o peixe

pode nadar sem ser visto por um observador à superfície da água.

Soluções:

1. a) yx uuE ˆˆ2 jkze

[V/m]; b) zuS ˆ1063.6 3

[W/m2].

2. a) xjkze uE ˆ104 3

[V/m]; b) 3 ˆ4 10 cos t kz xE u

[V/m];

c) zuS ˆ1012.2 8

[W/m2]; 8 2 ˆ4.24 10 cos zt kz S u

[W/m2].

3. smv f /108 ; m100 ; 40 .

4. a) e b) RCP. 5. a) e b) RCP. 6. a) Linear; b) V/mˆˆ1 0 zxjkyeEj uuE

.

7. a) xzji

e uH ˆ120

104

3

[A/m] b) 3/1 3/4t c) yzjr

e uE ˆ3

102 3

[V/m]

yzjt

e uE ˆ1023

4 3

[V/m] ; xzjr

e uH ˆ120

10

3

4 3

[A/m] ; xzjt

e uH ˆ120

10

3

8 3

[A/m]

d) z

iuS ˆ

120

104 6

[W/m2 ] z

ruS ˆ

120

104

9

1 6

[W/m2 ] z

tuS ˆ

120

104

9

8 6

[W/m2 ]

8. 36.0i

t

P

P ; 64.0

i

r

P

P

9. a) º37.6º34.6 cB b) º6.83B c) º47.19º4.18 cB

10. a) 3

1 b) SWR=2 c) 3102

3

4 maxE [V/m] ; 31023

2 minE [V/m]

11. 1101.1 m

12. a) 01.099.0 j b) SWR=199 c) 32,1i

S

nW/m2 ; 29,1r

S

nW/m2

c) 14t

E

V/m e) 7.24t

S

pW/m2 f) 0.5m g) 63.46m h) 15.8 s i) 0.02

14. a) i) Bi ;

uE d.r ˆ2

45.0 ˆ

0

jkeE

ii) º45i ; ˆ.0 ||

1ˆ ˆ0.12 0.36

2jk r dE e

E u u

[V/m] b) i) Bi ; 10,1% ii) º45i ; 7.2%

15. a) Elíptica b) %6.15i

r

P

P

16. 2/2/ hhy

17. 92.16%

18. dxmax 11.0

19. º37.6c