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UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE

COMPUTAÇÃO

Análise Multinível Wavelet como Fitness naSintonia de Controladores utilizando

Meta-heurísticas

André Henrique Matias Pires

Orientador: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo

Dissertação de Mestrado apresentada aoPrograma de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica e de Computação da UFRN (área deconcentração: Automação e Sistemas) comoparte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências.

Número de ordem do PPgEEC: M509Natal, RN, dezembro de 2017

Pires, André Henrique Matias. Análise multinível wavelet como fitness na sintonia decontroladores utilizando meta-heurísticas / André HenriqueMatias Pires. - 2017. 76 f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-graduação emEngenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, 2018. Orientador: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo.

1. Wavelet - Dissertação. 2. Controle PID - Dissertação. 3.MIMO - Dissertação. 4. Enxame de partículas - Dissertação. 5.Algoritmo genético - Dissertação. 6. Algoritmo do vagalume -Dissertação. I. Araújo, Fábio Meneghetti Ugulino de. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 004.8

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

15/262 - ANA CRISTINA CAVALCANTI TINOCO

Agradecimentos

A Deus, Senhor da minha vida e a Sua Virgem Mãe. A minha família, em especial a meuspais, Ilana e Adonizedeque, que sempre me incentivaram e deram todo o apoio e carinhonecessário, qualquer conquista devo a eles e a sua dedicação. A meus irmãos Pedro e Mi-guel. A minha doce namorada, Ana Carolina, que soube compreender a falta de tempo,sempre me apoiou e muito me ajudou nas revisões desse trabalho. Ao meu orientador,Fábio Meneghetti, e a todos os colegas do laboratório de controle de processos, em es-pecial Alcemy, Brunna, Mário Sérgio, Missilene, Kleiton e Willians, sempre dispostos aauxiliar e à UFRN e a CAPES pelo financiamento dos estudos durante o mestrado.

.

Resumo

O controle de sistemas dinâmicos apresenta-se como um desafio. Os métodos tradici-onalmente utilizados na sintonia apresentam a dificuldade em expressar as especificaçõespretendidas e conseguir encontrar controladores que atendam a esses requerimentos, so-bretudo quando o caso exige controladores mais complexos, como no caso de problemasMIMO (Multiple Input Multiple Output). Devido à crescente competitividade na indús-tria, torna-se imprescindível utilizar técnicas de sintonia mais eficientes e que de fato con-sigam encontrar controladores com desempenho pretendido. Pode-se, para isso, utilizarmeta-heurísticas, como Particle Swarm Optimization (PSO), Algoritmo Genético (AG) eAlgoritmo do Vagalume(AV) para a obtenção dos parâmetros do controlador de acordocom uma função de avaliação, a qual deve conseguir, de fato, codificar o quão bom é umdado controlador, expressando de forma adequada as especificações desejadas, de modoque a meta-heurística empregada consiga encontrar o controlador que melhor satisfaça talfunção. Em vista disso, propõe-se a utilização da análise wavelet multiníveis, já muitopresente na literatura, voltada para outras aplicações, sobretudo na análise de sinais, sonse imagens, para a confecção de um índice a ser utilizado como função de avaliação naotimização de controladores. A análise wavelet permite a apreensão de informações docomportamento e forma do sinal, informando frequência de um sinal ao longo do tempo,característica que pode ser desejável, na avaliação e projeto de controladores sendo, assim,possível avaliar separadamente o desempenho do transitório e do regime permanente. Foifeito um estudo de caso, encontrando o controle otimizado de um sistema MIMO de qua-tro tanques acoplados. Foi feito um estudo comparativo com outras funções de avaliaçãoapresentadas na literatura e com o método do LGR (Lugar Geométrico das Raizes). Oscontroladores implementados apresentaram o desempenho esperado, e aquele encontradoutilizando o índice proposto presentou melhor desempenho.

Palavras-chave:Wavelet, Controle PID, MIMO, Meta-heurística, Enxame de partícu-las, Algoritmo genético, Algoritmo do vagalume.

Abstract

The control of dynamic systems is a challenge, the methods traditionally used in tu-ning present the difficulty in expressing the desired specifications and being able to findcontrollers that produce these requirements, especially when the case requires more com-plex controllers, as in the case of Multiple Input Multiple Output (MIMO) problems. Dueto the increasing competitiveness in the industry, it becomes imperative to use more effi-cient tuning techniques and that in fact can find controllers with the desired performance.For this, one can use metaheuristics, such as Particle Swarm Optimization (PSO), GeneticAlgorithm (AG) and Vagalume Algorithm (AV) to obtain the parameters of the controlleraccording to a fitness function, which should in fact code how good a given controller is,adequately expressing the desired specifications, so that the metaheuristic employed canfind the optimal controller, which best satisfies the chosen fitness function. Therefore, it isproposed to use the multilevel wavelet analysis, already present in the literature, focusedon other applications, especially in the analysis of signals, sounds and images, for the cre-ation of an index to be used as a fitness function in control optimization. Wavelet analysisallows to capture information on the behavior and shape of the signal by informing thefrequency of a signal over time, a characteristic that may be desirable, in the evaluationand design of controllers and, thus, it is possible to separately evaluate the transient andsteady-state performances. A case study will be done, finding control of a MIMO sys-tem of four coupled tanks. A comparative study was made with other fitness functionspresented in the literature and with the LGR (Geometric Place of Roots) method. Theimplemented controllers presented the expected performance, and the one found usingthe proposed index presented better performance.

Keywords: Wavelet, PID control, MIMO, Meta-heuristic, Particle swarm optimiza-tion, Genetic algorithm, Firefly algorithm.

Sumário

Lista de Figuras iii

Lista de Quadros e Tabelas v

Lista de Símbolos e Abreviaturas vi

1 Introdução 1

2 Fundamentação Teórica 52.1 Meta-heurísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Algoritmo Genético (AG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Enxame de Partículas (PSO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Algoritmo do Vagalume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Avaliação de Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Integral do Erro Absoluto (IAE): . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Integral do Erro Absoluto Ponderado no Tempo (ITAE): . . . . . 112.2.3 Integral do Erro Quadrático (ISE): . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.4 Índice Goodhart(IG): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Transformada Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1 Controlador P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.4 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Sistemas Multivariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.1 Desacoplamento de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.1.1 Desacoplador Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.1.2 Desacoplador Simplificado . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.1.3 Desacoplador Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Metodologia 233.1 Análise Wavelet Multiníveis como Função de Avaliação . . . . . . . . . . 243.2 Sistema de quatro tanques acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 Matriz de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Projeto do desacoplador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

i

3.4 Projeto dos controladores PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Sintonia usando Meta-heurísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Resultados 374.1 Escolha dos valores dos parâmetros k1 e k2 de W . . . . . . . . . . . . . 374.2 Comparação das diferentes meta-heurísticas . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Comparação entre diferentes índices e o LGR . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Conclusão 58

Referências bibliográficas 60

Lista de Figuras

2.1 Fluxograma de funcionamento de um AG. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Fluxograma de funcionamento de um PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Fluxograma de funcionamento do Algoritmo do Vagalume . . . . . . . . 102.4 Algumas funções wavelet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 As operações de escala e translação na função Wavelet mãe . . . . . . . . 152.6 Diagrama de blocos do filtro que implementa a transformada wavelet dis-

creta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7 Diagrama de blocos de um banco de filtros de nível três que implementa

a transformada wavelet discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 Estrutura de um Desacoplador para um sistema com duas entradas e duas

saídas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9 Estrutura de um Desacoplador Invertido para um sistema com duas entra-

das e duas saídas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Exemplo: sinal de saída de um sistema de tanques, para uma dada trajetória. 253.2 Coeficientes de Aproximação do sinal da Figura 3.1. . . . . . . . . . . . 263.3 Coeficientes de Detalhe do sinal da Figura 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Sistema de quatro tanques acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 LGR de q′1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 LGR de q′2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 LGR após cancelamento do polo de malha aberta . . . . . . . . . . . . . 34

4.1 Saída do sistema y1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Saída do sistema y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Sinal de controle u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Sinal de controle u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5 Saída do sistema y1 ao primeiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6 Saída do sistema y2 ao primeiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.7 Saída do sistema y1 ao segundo degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8 Saída do sistema y2 ao segundo degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.9 Saída do sistema y1 ao terceiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.10 Saída do sistema y2 ao terceiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.11 Saída do sistema y1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.12 Saída do sistema y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.13 Sinal de controle u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.14 Sinal de controle u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.15 Saída do sistema y1 ao primeiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iii

4.16 Saída do sistema y2 ao primeiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.17 Saída do sistema y1 ao segundo degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.18 Saída do sistema y2 ao segundo degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.19 Saída do sistema y1 ao terceiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.20 Saída do sistema y2 ao terceiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.21 Saída do sistema y1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.22 Saída do sistema y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.23 Sinal de controle u1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.24 Sinal de controle u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.25 Saída do sistema y1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.26 Saída do sistema y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.27 Saída do sistema y1 ao primeiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.28 Saída do sistema y2 ao primeiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.29 Saída do sistema y1 ao segundo degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.30 Saída do sistema y2 ao segundo degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.31 Saída do sistema y1 ao terceiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.32 Saída do sistema y2 ao terceiro degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Lista de Quadros e Tabelas

3.1 Constantes usadas na modelagem do sistema de tanques acoplados . . . . 29

4.1 Parâmetros encontrados para os controladores . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Parâmetros encontrados para os controladores . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Parâmetros encontrados para os controladores . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Parâmetros encontrados para os controladores PI e para o desacoplador . . 50

v

Lista de Símbolos e Abreviaturas

AG Algoritmo Genético

AV Algoritmo do Vagalume

CA Coeficientes de Aproximação

CD Coeficientes de Detalhe

IAE Integral do Erro Absoluto

IG Índice Goodhart

ISE Integral do Erro Quradrático

ITAE Integral do Erro Absoluto Ponderado no Tempo

LGR Lugar Geométrico das Raizes

MIMO Multiple Input Multiple Output

PD Proporcional Derivativo

PI Proporcional Integrativo

PID Proporcional Integrativo Derivativo

PSO Particle Swarm Optimization

STFT Short Time Fourier Transform

vi

Capítulo 1

Introdução

Devido à crescente competitividade da indústria e a busca pelo aumento da produ-ção, há uma progressiva necessidade do incremento da eficiência na fabricação dos maisdiversos produtos. Tais incrementos possibilitam a redução dos custos de produção, mini-mizando, por sua vez, o custo final da mercadoria e reduzindo os insumos, com benefícioseconômicos e para o meio ambiente. Uma estratégia que vem sendo usada nos últimos sé-culos para o aumento da eficiência da produção é o uso dos sistemas automáticos, que vi-sam substituir a ação do homem na execução de diversas atividades, que, atualmente, sãorealizadas por computadores que realizam tarefas de controle ou supervisão de processosindustriais (ONOFRE, 2011). Controladores automáticos podem ser implementados combase em diferentes algoritmos sendo o mais utilizado o controlador PID implementado emCLPs (BAZANELLA et al., 2005). Tal estratégia de controle empregada na maioria dasplataformas de controle comercial, caracteriza-se por sua robustez, fácil entendimento epor apresentar desempenho satisfatório para uma grande variedade de processos (WANG,2001).

Essa necessidade das fábricas melhorarem seus processos, produtos e serviços demodo a garantir a competitividade dos seus produtos e o aumento da produção (ONO-FRE, 2011) gera a necessidade de otimização da sintonia dos controladores. É importanteressaltar que, mesmo uma pequena melhoria de desempenho pode resultar em aumentosconsideráveis de lucro em algumas aplicações, é o caso da indústria de petróleo e gás,conforme apresentado em Campos (2006), em que, por exemplo, uma melhoria de 0,5%no desempenho, em relação à recuperação de gás liquefeito de petróleo em uma unidadede processamento de gás natural, acarretou um aumento considerável nos ganhos anuais.

As técnicas de otimização são capazes de transportar o mecanismo de adaptação paraconstruir um procedimento computacional para tratar de problemas de otimização de altacomplexidade (CUNHA; TAKAHASHI; ANTUNES, 2012), sendo classificadas em de-terminísticas e heurísticas. Os métodos determinísticos são baseados em valores numé-ricos exatos, como derivadas ou gradientes, ou aproximações destas; os heurísticos sãoestocásticos, no sentido que em diferentes execuções um método retornará diferentes so-luções, porém tendem a uma solução subótima. Entre as heurísticas existe um grupodenominado de meta-heurísticas que se caracterizam pela aproximação com modelos na-turais, sendo bastante utilizada por basear-se em conceitos bastante simples e de fácilimplementação, não necessitam de informações de gradientes, podendo ignorar ótimos

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

locais e serem utilizadas em uma ampla gama de problemas.As meta-heurísticas dividem-se em quatro tipos: as baseadas em processos evoluci-

onários (Evolution Based), baseadas em processos físicos (Physics Based), baseadas emenxames de partículas (Swarm Based), e aquelas baseadas no comportamento humano(Human Based). As mais conhecidas e utilizadas, pela maior facilidade de implementa-ção são as Evolution Based e as Swarm Based. No que diz respeito a diminuição do custocomputacional, as Swarm Based são mais eficientes, por utilizarem apenas operações ma-temáticas simples, quando comparados com etapas das Evolution Based, como seleção,crossover, mutação, o que as tornam mais simples de serem implementadas (MIRJA-LILI; LEWIS, 2016). Existem diversos métodos de otimização propostos na literatura. OAlgoritmo Genético, Enxame de Partículas, Evolução Diferencial, Colônia de Abelhas,Busca Cuco, Busca Gravitacional e Busca Harmônica são os algoritmos de otimizaçãomais utilizados em aplicações científicas atualmente (CIVICIOGLU; BESDOK, 2013).O trabalho de Civicioglu e Besdok (2013) apresentou uma grande revisão histórica sobreesses métodos.

Em 1973, John Henry Holland propôs o Algoritmo Genético, que consiste em umatécnica de busca e otimização que procura varrer o espaço de possíveis soluções. Para isso,é feita uma analogia dos resultados potenciais com indivíduos biológicos, codificados deforma análoga à genética de Mendel e que evoluem de acordo com as teorias de seleçãonatural de Darwin.

Em 1995, Kennedy e Eberhart propuseram o método conhecido como otimização porEnxame de Partículas (Particle Swarm Optimization - PSO), que com base no voo debandos de pássaros ou no nado de cardumes de peixes, representa potenciais soluçõescomo sendo partículas que se movimentam em um espaço de busca. No mesmo ano,Eberhart et al. (1995) expõe uma outra proposta de otimizador swarm based. Yang eXin-She (2009) expuseram o Algoritmo do Vagalume, muito semelhante ao PSO, estealgoritmo se baseia no voo dos vagalumes considerando o brilho de sua bioluminescência.

Para a sintonia de controladores utilizando meta-heurísticas, é necessária a avaliaçãodo seu desempenho, e no caso de sintonia automática, há uma necessidade de que essaavaliação de desempenho possa ser codificada por meio de uma função de avaliação.Goodhart (1994), no processo de sintonia automática para uma planta térmica, propõeum índice que avalia a resposta da planta, seu sinal de controle e a variância do sinal decontrole, para este fim. Outros índices, como integral do erro absoluto (IAE) e integral doerro absoluto ponderado no tempo (ITAE), são recorrentes na literatura.

A escolha da função custo é, sem dúvida, uma das dificuldades na otimização au-tomática de controladores e um dos fatores mais importantes na obtenção da respostadesejada. Uma escolha inadequada da função custo pode levar o algoritmo de otimiza-ção a convergir para um resultado que supostamente seria o ótimo, por possuir a melhorfunção custo, que no entanto não constitui aquele realmente desejado. À vista disso, acodificação por meio da função custo do que é realmente o controlador desejado constituium desafio. Uma possível solução é projetar uma função custo utilizando transformadawavelet, que consiste em uma poderosa ferramenta matemática. Essa forma de decomporo sinal permite a identificação de padrões, a comparação entre sinais e um conjunto deoutras aplicações.


Kronland-Martinet (1987) utilizou transformadas wavelet para análise de padrões so-noros. Mallat (1989) mostrou os conceitos da transformada wavelet, apresentando comoum sinal é decomposto em funções wavelets em diferentes resoluções de frequência, re-presentando, então um sinal no domínio wavelet. O mesmo foi feito por Magalhões em2007. Em 2013, Vilani utilizou este recurso juntamente com a transformada de Fourrierpara a análise aplicada à temperatura do ar. A análise wavelet permite a apreensão deinformações do comportamento e forma do sinal. A capacidade de decompor o sinal nafrequência e no tempo de forma simultânea, significa que se pode apreender a frequên-cia de um sinal ao longo do tempo, característica que pode ser desejável, na avaliaçãoe projeto de controladores, sendo assim, possível avaliar separadamente o desempenhodo transitório e do regime permanente, visto que estes apresentam diferentes frequências.Assim, pode-se avaliar a suavidade da resposta.

Segundo Gosmann (2002), o processo de tanques acoplados é bastante adequado paraser utilizado como estudo de caso na avaliação de estratégias de controle, por ser bastantecomum na indústria, principalmente a química, petroquímica, de celulose e de alimentos,e por ser de fácil construção e de modelagem relativamente simples, o que possibilitaque diferentes controladores possam ser projetados, implementados e testados de formarápida e eficiente. Assim, o sistema escolhido para avaliar a sintonia de controladorespelas heurística é um sistema quádruplo de tanques acoplados, visando controlar os níveisdos tanques inferiores. Para o caso sob estudo, utilizou-se uma modelagem de um sistemabaseada na planta didática da Quanser para controle de nível, utilizando-se o caso MIMO.Optou-se pelo uso de desacoplamento, visto que o processo é multivariável e as variáveisenvolvidas possuem certo acoplamento, com isso, a influência de uma variável nas outrasé minimizada, em conjunto com dois controladores PI.

É importante ressaltar que geralmente, problemas práticos apresentam diversas variá-veis a serem controladas em simultâneo, tratando-se, como no estudo de caso abordado,de casos MIMO. Nesse contexto, o trabalho de Kavanagh (1957) foi um dos primeiros adestacar os sistemas dinâmicos multivariáveis, ou seja, que possuem mais de uma entradae mais de uma saída, se utilizando, para isso das teorias de matrizes para o controle des-ses sistemas. Wang e Guo (1984) prosseguem os estudos nesse campo apresentando umalgoritmo geral para a identificação dos parâmetros na matriz de função de transferênciade um sistema MIMO.

A utilização de teorias de matrizes permitiu que os sistemas MIMO sejam representa-dos de forma mais aproximada da utilizada pelos sistemas com uma entrada e uma saída.A função de transferência que seria utilizada nesse caso é substituída, no caso MIMO, poruma matriz de funções de transferências, em que cada elemento possui uma relação entreuma das entradas e uma das saídas (CHEN, 1995).

A sintonia de um controlador MIMO resulta em um problema de otimização multiob-jetiva, em que otimizar uma das saídas acaba afetando outras saídas, o que torna a sintoniamais complexa. Dessa maneira é necessário estabelecer uma única função de aptidão, emgeral obtida pela soma ponderada das funções de custos. Nesse contexto, a utilização demeta-heurísticas é promissora, e a necessidade de bem expressar a qualidade do controle,para fazer o papel de função de avaliação torna-se flagrante.

O uso de AG para projetar controladores e definir seus parâmetros vem sendo rela-


tado na literatura que trata do controle difuso, controle baseado em modelo de restrição eotimização de controle (ARRUDA, 2008). Essa estratégia vem sendo utilizada há algunsanos com diversas meta-heurísticas. Dimeo e Lee (1995) utilizaram AG para a sintoniade um controlador PI (Proporcional Integral) MIMO para a turbina de uma caldeira. Ju-ang, Huang e Liu (2008) utilizaram AG do tipo de valor real para a sintonia de quatrocontroladores PID (Proporcional Integral Derivativo) para um sistema MIMO de rotorduplo. Gargari et al. (2008) aplicaram um algoritmo colonial competitivo para a sinto-nia de um controlador PID multivariável em um coluna de destilação MIMO. El-Garhye El-Shimy (2007) utilizaram PSO para o projeto de desacoplador em sistemas MIMO.Su e Wong (2007) projetaram, por meio de uma variante do PSO um controlador MIMOpara o processo de polimento mecânico químico, utilizado na indústria de semiconduto-res. E Coelho e Mariani (2012) utiliza algoritmo do vagalume baseado no mapa caóticode Tinkerbell para a sintonia de um controlador PID multivariável.

Neste trabalho, será estudada a utilização da análise mutinível wavelet como funçãocusto de meta-heurísticas para a sintonia de controladores PID no caso MIMO, comoParticle Swarm Optimization, o Algoritmo Genético e Algoritmo do Vagalume. Será rea-lizado um estudo de caso, em um sistema de quatro tanques acoplados, de modo a verificara eficiência da estratégia proposta, comparando com a sintonia pelo método de LGR, eutilizando as mesmas meta-heurísticas com outras funções de avaliação, já consolidadasna literatura.

No Capítulo 2, será apresentada uma revisão bibliográfica que dará fundamentaçãoteórica à função custo proposta nesse trabalho e sua utilização no estudo de caso queserá abordado. Assim, serão apresentados os conceitos de meta-heurísticas, os índices deavaliação de controladores comumente utilizados pela literatura, transformada wavelet,controladores PID e sistemas multivariáveis. No Capítulo 3, será apresentada a funçãocusto proposta, o sistema que será utilizado como estudo de caso, a obtenção de seus con-troladores utilizando o cálculo de desacopladores e do lugar geométrico das raízes (LGR)e, por fim, a estratégia para utilização da função custo proposta na sintonia utilizandometa-heurísticas. No Capítulo 4, serão apresentados os resultados obtidos e uma brevecomparação dos controladores encontrados. O Capítulo 5 apresentará as conclusões dotrabalho.

Capítulo 2

Fundamentação Teórica

Neste capítulo serão apresentados conceitos essenciais para a compreensão do tra-balho. Serão abordados a transformada wavelet e a função de avaliação proposta quese utiliza da análise wavelet multinível. Também serão apresentados controladores PID,controle MIMO utilizando desacopladores, o algoritmo genético, o algoritmo particleswarm optimization e algoritmo do vagalume, abordando suas principais características edetalhes do seu funcionamento e os índices de avaliação de controladores recorrentes naliteratura e utilizados como função de avaliação

2.1 Meta-heurísticasMétodos de otimização são processos matemáticos para diversas aplicações, capazes

de maximizar ou minimizar funções custo ou objetivo, ou seja, algoritmos capazes debuscar um melhor resultado, baseado em uma função de avaliação escolhida de acordocom o problema.

Existem vários métodos de otimização, que se classificam em métodos determinísti-cos, quando se pode prever todos os seus passos de posse do seu ponto de partida, ouestocásticos, quando se baseiam em processos aleatórios, executando-se de forma repe-tida para achar a melhor solução. Existem ainda técnicas definidas por uma regra derivadada experiência, definindo uma melhor solução baseada em suas regras. Essa solução nãopossui garantia de otimalidade, mas pode ser considerada uma boa solução.

Métodos heurísticos são algoritmos exploratórios, que têm como objetivo resolver umdado problema, sem que para isso seja necessário utilizar uma quantidade muito grandede recursos, buscando encontrar uma solução de boa qualidade, não necessariamente aótima. Geralmente, não envolvem a implementação computacional de um conhecimentoespecializado, sendo nesse caso, denominado de “busca cega” e partem de uma soluçãoviável, e por meio de iterações sucessivas buscam se aproximar de um ponto ótimo.

Dentre as heurísticas existe um grupo denominado de meta-heurísticas, que são estra-tégias inteligentes para projetar ou melhorar os procedimentos heurísticos. São aplicadaspara encontrar respostas a problemas que carecem de informações, não se sabendo a formada função a ser otimizada e havendo pouca informação heurística disponível, de sorte quemétodos baseados em força bruta não são viáveis devido ao espaço de solução ser muitogrande.

CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 6

Segundo a definição original, meta-heurísticas são métodos de solução que coordenamprocedimentos de buscas locais com estratégias de mais alto nível, de modo a criar umprocesso capaz de escapar de mínimos locais e realizar uma busca robusta no espaço desoluções de um problema (GLOVER, 1986).

Algoritmos como o AG, o PSO e Algoritmo do Vagalume são métodos metaheurísti-cos de otimização. Nesses métodos, usam-se técnicas de heurísticas e procedimentos pro-babilísticos combinados como guia na busca em todo espaço de pesquisa e sua vizinhança,evitando paradas prematuras em soluções boas, porém, não ótimas. Essas técnicas serãoabordadas a seguir.

2.1.1 Algoritmo Genético (AG)Holland (1975) propôs um novo conceito de algoritmo, o AG, classificado como um

método evolutivo, uma vez que se baseia na teoria da evolução das espécies de CharlesDarwin (Severino et al. 2014), capaz de explorar informações prévias para encontrarvalores em seu espaço de busca, no qual se espera que os valores ótimos estejam pre-sentes. O AG usa conceitos da genética e da evolução darwiniana como inspiração pararealização de um algoritmo matemático, que funciona de forma análoga a esses processosbiológicos. Ao se comparar o conjunto de possíveis respostas com a população de umadeterminada espécie em evolução, os indivíduos mais aptos tem maiores chances de pro-pagarem seus genes ao longo das gerações e terem seus materiais genéticos conservadose recombinados, gerando indivíduos mais evoluídos, ou seja, mais aptos.

Segundo Bueno (2009), os algoritmos genéticos são baseados em um conjunto desoluções possíveis, não envolvem modelagem do problema, o algoritmo apresenta comoresultado uma população de soluções e não apenas uma, trata-se de um método probabilís-tico, ou seja, uma mesma população inicial dificilmente apresentará os mesmos resultadospara um mesmo problema.

Para a execução do algoritmo, cria-se uma população de indivíduos, em que cada indi-víduo é uma solução a ser testada no problema. Essa população é avaliada de acordo comuma função objetivo e definida de acordo com o problema. Geralmente, cada indivíduo écodificado como um cromossomo, tendo suas informações a serem otimizadas dispostascomo um vetor. Realiza-se a seleção, em que, por meio do índice de aptidão e baseado naavaliação, é encontrada a probabilidade de determinado indivíduo se reproduzir.

O índice de aptidão indica qual dos candidatos tem maior chance de se reproduzir epassar seus "genes"para as próximas gerações, de modo a privilegiar os indivíduos maisaptos. A seleção pode ser usada tanto na escolha de quais indivíduos serão progenitores,quanto na escolha dos melhores adaptados para passar à próxima geração (SANTOS,2002).

Após a seleção, serão escolhidos dois indivíduos para realizar o crossover ou cruza-mento, que é a recombinação do material genético destes indivíduos, resultando em doisnovos indivíduos, o que será repetido até se gerar uma nova população. Os indivíduospodem ser escolhidos para cruzamento segundo diversas estratégias. Pode-se utilizar ométodo da roleta, em que se irá sortear dois indivíduos para cruzamento, sendo a chancede ser escolhido proporcional a sua aptidão. Existem ainda outras estratégias na literatura,


métodos como o rodeio, em que se formam grupos de indivíduos. Dentro deste grupo, oindivíduo será escolhido para realizar o cruzamento, tendo sempre mais chances de serselecionado aquele com melhor desempenho. Na estratégia adotada por Bueno (2009),para cada cruzamento são escolhidos, aleatoriamente, dois indivíduos já previamente se-lecionados. Em seguida, são definidos, também aleatoriamente, dois locus para então ascargas genéticas serem trocadas gerando dois novos indivíduos.

Existem também diversos métodos de cruzamento ou crossover. Este pode ser imple-mentado pela simples troca de parte de um cromossomo com o outro em um determinadoponto, que pode ser aleatória ou não. Existem métodos matemáticos que operam combase na média aritmética e diversos outros métodos, geralmente provenientes da combi-nação dessas estratégias, no que tange a técnicas de crossover. Alguns indivíduos podemperpetuar seu material genético sem a necessidade de serem escolhidos para crossover,essa técnica é denominada elitismo e se escolhem os melhores indivíduos da populaçãopara terem seus materiais genéticos conservados na próxima população.

Além do cruzamento pode ser aplicada a técnica de mutação, em que o indivíduo sele-cionado pode sofrê-la ou não. Para realização de mutação, inicialmente é definida a taxa,ou porcentagem de mutação na população, com base na qual é dada a probabilidade deum indivíduo sofrer ou não mutação. No geral, mutação altera um indivíduo de formaaleatória, permitindo que o espaço de busca seja varrido de forma mais eficiente e com-pleta. Segundo Bueno (2009), a parametrização da mutação e de sua taxa de ocorrênciapermite um maior controle sobre a diversidade e evolução da população, o que pode serdesejável quando se almeja estabelecer parâmetros otimizados de busca.

Após a geração da nova população é feita novamente uma avaliação e pode-se aplicaro crossover repetindo o processo até que seja atingido um critério de parada pré-definido.O critério de parada não garante solução ótima, baseando-se em soluções quase ótimas.Apesar das diferentes metodologias adotadas pelos diversos autores para implementaçãode algoritmos genéticos, a estrutura base desses algoritmos permanece a mesma. Pode-seobservar na Figura 2.1 o fluxograma de um AG.

Assim, o AG une a utilização de números gerados aleatoriamente e informações degerações anteriores para avaliar e melhorar uma população de potenciais candidatos aoinvés de um único ponto de cada vez (MARLER; ARORA, 2004), aproveitando-se dofato de existir uma população de valores a serem testados, e não apenas um único ponto,tornando mais fácil a busca por todo espaço de pesquisa, além de empregar operaçõescomo a mutação, que garante que o algoritmo não estacionará em pontos de mínimo oumáximo local (PIRES et al. 2013).

2.1.2 Enxame de Partículas (PSO)O método Enxame de Partículas (em inglês, Particle Swarm Optimization - PSO) é

uma meta-heurística de busca proposta por Kennedy e Eberhart (1995), para a qual éfeita uma analogia do conjunto de possíveis soluções com um enxame de partículas paraencontrar a melhor solução. Cada partícula é uma possível solução para o problema sendoavaliada segundo uma função custo pré-definida. As informações a serem otimizadas sãocodificadas na forma de posições em um espaço multidimensional, estando cada partícula


Figura 2.1: Fluxograma de funcionamento de um AG.

Fonte: Autoria própria

não só contida nesse espaço, como em movimento nele. Esse movimento é regido porregras que imitam o voo de animais como pássaros.

Desta forma, cada partícula possui suas próprias características, como a posição atualno espaço de busca, x(k), velocidade atual da partícula, v(k), a sua melhor posição,pbest(k), que é a melhor posição encontrada pela partícula no espaço de busca em to-das as iterações, ou seja, a posição em que dada partícula recebeu a sua melhor avaliação.Assim como as partículas, todo enxame gerado pelo PSO possui sua própria caracterís-tica que é a melhor posição encontrada entre todas as partículas de todos os enxames jáavaliados, o gbest(k).

Como este comportamento de movimentação no espaço é baseado no voo de pássaros,esse algoritmo é considerado bioinspirado. Em cada instante n é feita uma atualizaçãopara os valores que definem as partículas. A velocidade atualizada da partícula é v(n+1) e velocidade atual é v(n), assim, como, posição atualizada da partícula é x(n + 1)e x(n) a posição atual, φ1 é uma constante que mostra o quanto a partícula confia naprópria experiência e φ2 é o quanto a partícula confia na experiência do grupo, sendo r1e r2 números randômicos que variam entre 0 e 1 para normalizá-los, já o parâmetro wé um fator que representa a inércia da partícula, que tenderá a manter a movimentaçãono sentido em que se movia quanto maior for este valor. De posse dessas informações,


podemos utilizar as equações abaixo, que descrevem o comportamento das partículas noespaço, atualizando a posição e a velocidade de cada uma delas.

v(n+1) = wv(n)+ r1φ1(pbest(n)− x(n))+ r2φ2(gbest(n)− x(n)) (2.1)

x(n+1) = x(n)+ v(n+1) (2.2)

A Figura 2.2 apresenta um fluxograma de um PSO.

Figura 2.2: Fluxograma de funcionamento de um PSO


2.1.3 Algoritmo do VagalumeO Algoritmo do Vagalume é uma meta-heurística proposta por Xin-She Yang (2008)

e inspirada na luminosidade intermitente dos vagalumes. Cada solução candidata é codi-


ficada por um vagalume, que em conjunto, compõe uma população que se altera a cadaiteração para encontrar a melhor solução.

Cada vagalume é avaliado segundo uma função custo pré-definida que será expressapor sua atratividade ou intensidade de seu brilho. As informações a serem otimizadas sãocodificadas na forma de posições em um espaço multidimensional, estando cada vagalumenão só contido nesse espaço, como em movimento nele.

O algoritmo assume três premissas: 1) Cada vagalume poderá ser atraído por todosos outros vagalumes; 2) A atratividade de cada vagalume é proporcional ao seu brilho,sendo atraído por aquele que ele percebe ser mais brilhante que ele, porém a percepçãoda intensidade do brilho reduz com o aumento da distância entre eles; 3) Se não houvervagalumes mais brilhantes, o movimento será aleatório.

Pode-se entender o funcionamento do Algoritmo do Vagalume por meio do diagramaexpresso na Figura 2.3.

Figura 2.3: Fluxograma de funcionamento do Algoritmo do Vagalume



A atualização para cada par de vagalumes é dada por:

xi(n+1) = xi(n)+βe−γr2i j(x j(n)− xi(n))+αε(n) (2.3)

Sendo n a iteração, xi e x j são as posições dos vagalumes i e j respectivamente, formandoum par de vagalumes, ε é um vetor aleatório com distribuição gaussiana e α, β e γ sãoparâmetros que determinam a velocidade de convergência, o critério de redução da per-cepção da luminosidade de acordo com a distância e um fator de aleatoriedade, análogo àmutação no AG, respectivamente. Enquanto ri j é a distância euclidiana entre os vagalu-mes i e j.

2.2 Avaliação de ControladoresOs índices de avaliação servem para estabelecer um critério principal para avaliar o

desempenho de controladores associados as respectivas funções fitness, ou funções deavaliação, possibilitando avaliar e comparar os diferentes controladores projetados parauma determinada planta ou processo. O índice deve indicar corretamente se uma soluçãoé melhor que a outra, permitindo identificar qual resposta está mais próxima da respostaótima. Vários índices são encontrados na literatura para esse fim, os mais comuns sãoos que envolvem a integração do erro em relação ao setpoint, podem ser citado comoexemplos: Integral do Erro Absoluto (IAE), Integral do erro absoluto ponderado no tempo(ITAE), Integral do Erro Quadrático (ISE).

Quando a solução procurada se trata de respostas a sistemas de controle pode-se citarainda o Índice de Goodhart (IG), o qual se destaca por avaliar tanto a resposta do sistemaem relação ao setpoint quanto o sinal de controle, possibilitando portanto, uma análisemais completa.

2.2.1 Integral do Erro Absoluto (IAE):

É dada pela equação 2.4. Do inglês, Integral Absolute Error (IAE).

IAE =1L

L

∑n=1|e(n)| (2.4)

em que e(n) representa o erro e L representa o número total de amostras, sendo n o instantede tempo.

2.2.2 Integral do Erro Absoluto Ponderado no Tempo (ITAE):

É dada pela equação 2.5. Do inglês, Integral Time-weighted Absolute Error (ITAE).

ITAE =1L

L

∑n=1

n|e(n)|. (2.5)


em que e(n) representa o erro, n expressa o instante de tempo e L representa o númerototal de amostras.

2.2.3 Integral do Erro Quadrático (ISE):

É dada pela equação 2.6. Do inglês Integral Squared Error (ISE).

ISE =1N

L

∑n=1

e(n)2 (2.6)

em que e(n) representa o erro e L representa o número total de amostras, sendo n o instantede tempo.

2.2.4 Índice Goodhart(IG):Proposto por Goodhart (1994), o índice é descrito pela equação 2.7.

IG = α1 · ε1 +α2 · ε2 +α3 · ε3 (2.7)

em que α1, α2 e α3 são os pesos atribuídos a ε1, ε2, e ε3, respectivamente. Esses sãoexpressos pelas equações:

ε1 =1L

L

∑n=1

u(n) (2.8)

ε2 =1L

L

∑n=1

(u(n)− ε1)2 (2.9)

ε3 =1L

L

∑n=1

(s(n)− y(n))2 (2.10)

em que u(n) representa a ação de controle, s(n) é a referência, y(n) é a resposta do sistema,n o instante de tempo e, por fim, L que representa a quantidade de pontos avaliados.

2.3 Transformada WaveletFourier, no século XIX, mostrou que qualquer função periódica pode ser expressa

como uma soma infinita de funções exponenciais complexas periódicas. Anos depois,suas teorias foram generalizadas para funções não periódicas.

Em 1965, desenvolveu-se um novo algoritmo denominado de Transformada Rápidade Fourier, tornando a transformada de Fourier ainda mais popular (STRANG, 1996).A transformada de Fourier fornece informações das frequências de um sinal em todos osinstantes de tempo, fornecendo o espectro de frequência do sinal, de menos a mais infinito.Isto significa que a Transformada de Fourier apenas indica se um certo componente defrequência existe ou não (STRANG, 1996). Essas informações são independentes de


quando o componente aparece, o que não é adequado para algumas aplicações, Assimsendo, foi desenvolvida uma representação de frequência de tempo linear chamada ShortTime Fourier Transform (STFT).

Na STFT, o sinal é dividido em segmentos suficientemente pequenos, ao ponto depoder-se assumir que o sinal é estacionário, escolhendo para isso uma função janela. Con-tudo, a STFT enfrenta o desafio do Princípio de Incerteza de Heisenberg (MANJUNATH;MA, 1996), o que originalmente se aplicaria à medição da velocidade e localização departículas em movimento, pode ser aplicado, nesse caso, à informação de frequência e detempo de um sinal. Por esse princípio, não é possível conhecer a representação exata defrequência-tempo de um sinal simultaneamente, não sendo possível saber quais compo-nentes espectrais existem em um dado instante de tempo. Em vista disso, quanto maisestreita a janela escolhida, melhor será a resolução do tempo, se aproximando mais deum sinal estacionário. Contudo, há a progressiva perda de resolução de frequência, assim,dependendo da aplicação, deve-se escolher uma janela adequada.

Quando os componentes de frequência estão bem separados, é possível com poucosacrifício na frequência, obter uma boa resolução no tempo. No entanto, se este não foro caso, torna-se difícil encontrar uma boa janela (WANG et al.; 1997)(ABRAMOVITZ,STEGUN; 1972)(CERVENKA; MOUSTIER, 1993). Uma abordagem alternativa seriaanalisar o sinal usando transformada wavelet, que permite a análise do sinal em dife-rentes frequências com diferentes resoluções. Assim, pode-se decompor e descrever umsinal em funções wavelet, podendo dessa forma representá-lo em diferentes escalas defrequência e de tempo, representando uma ferramenta poderosa para a análise de sinais(MAGALHÃES et al., 2007) (VILANI et al., 2013). A análise wavelet possui aplicaçõesem compressão de dados, separação de componentes, eliminação de ruído e detecção deautossemelhança.

A transformada wavelet é projetada para dar uma alta resolução de tempo e baixaresolução de frequência para altas frequências e alta resolução de frequência e baixa re-solução de tempo para baixas frequências, o que faz sentido, especialmente quando osinal tem componentes de alta frequência com durações curtas e os componentes de baixafrequência têm longa duração. Existem duas diferenças principais entre a Transformadade Fourier Curta (STFT) e a Transformação Wavelet Contínua (DARILMAZ, 2006):1. Não se toma as transformadas de Fourier dos sinais obtidos do janelamento (LAINE,FAN; 1993)(STRANG, 1996).2. A largura da janela é alterada conforme a transformada é computada para cada compo-nente espectral, o que é provavelmente a característica mais significativa da transformadawavelet.

A wavelet mãe é a função wavelet usada como protótipo para gerar as outras fun-ções usadas como as janelas da transformada wavelet, pela sua mudança de escala, porcompressão ou expansão; e translação, que é a localização da janela e como a janela édeslocada através do sinal no tempo. A relação entre escala e frequência é que as escalasbaixas correspondem a altas frequências e escalas altas a baixas frequências.

Para ser considerada uma wavelet, uma função, ψ(t) tem que atender as seguintescaracterísticas:

1- A área total sob a curva da função é 0:∫

∞

−∞ψ(t)dt = 0.


2- A energia da função é finita:∫

∞

−∞|ψ(t)|2dt < L, com L ∈ R∗+.

Alguns exemplos de funções wavelets são encontrados na Figura 2.4.

Figura 2.4: Algumas funções wavelet.

Fonte: (DARILMAZ, 2006)

A transformada wavelet contínua de um sinal, f (t), é dada por (DARILMAZ, 2006):

C(a,b) =∫

∞

−∞

f (t)Ψ∗a,b(t)dt (2.11)

em que, Ψ∗a,b(t) é o conjugado de Ψa,b(t) dado por:

Ψa,b(t) = a−12 Ψ

(t−b

a

). (2.12)

A Equação 2.12 apresenta Ψa,b(t), que é uma função de janela da wavelet mãe, sendoa a escala e b a translação. Assim, Ψa,b(t) é obtida pelas operações de translação e escalada função wavelet mãe ψ(t). Na Figura 2.5, pode-se observar estas duas operações, atranslação desloca a janela no tempo, enquanto a escala diminui ou aumenta a duração dosinal. É a operação de escala que permitirá guardar a informação da frequência do sinal,quanto mais curto, ou seja, quanto menor a escala maior será a frequência correspondente.Os coeficientes da transformada wavelet contínua não podem ser obtidos com praticidadepor meio de computadores, devido a necessidade de utilização de equações analíticas,suas integráis, etc. Assim, para procedimentos computacionais costuma-se discretizar atransformada wavelet contínua, pela amostragem dos coeficientes. Esse procedimento dáorigem às séries wavelet, conhecidas como transformada wavelet discreta. A abordagemse assemelha à usada no tratamento de sinais pela transformada de Fourrier, com a dife-rença que a taxa de amostragem varia de acordo com a escala em que se está tratandoo sinal. A transformada wavelet discreta da função f (n) é dada por (DO; VETTERLI,1999):

C(a,b) =C( j,k) = ∑nεZ

f (n)Ψ j,k(n) (2.13)

em que,

Ψ j,k(n) = ao− j

2 Ψ(ao− jn− kbo),ao > 1;bo > 0 (2.14)

Sendo j e k as equivalente discretas de a e b respectivamente.


Figura 2.5: As operações de escala e translação na função Wavelet mãe

Fonte: Adaptado de Darilmaz (2006)

Os fundamentos da transformada wavelet discreta remontam ao ano de 1976, comos trabalhos de Croiser, Esteban e Galand para o desenvolvimento de uma técnica paradecomposição de sinais de tempo discreto. Contudo, a transformada wavelet discreta pos-sui redundâncias que geram um custo computacional bastante elevado. Mais tarde, seriadesenvolvida uma técnica chamada codificação de sub-bandas, dando origem a análisemultinível. Posteriormente, Vetterli(1992) otimizou o esquema de codificação sub-banda,removendo as redundâncias da codificação piramidal.

Na codificação sub-banda, no caso discreto, o sinal é analisado em diferentes níveisatravés de filtros com diferentes frequências de corte. Podendo ser implementada porum banco de filtros passa-baixa e passa-alta conforme Mallat (1989). Para as pequenasescalas o sinal é tratado por filtros passa-alta e para grandes escalas por filtros passa-baixa.A quantidade de informação do sinal em cada nível é alterada pelas operações de filtrageme o nível é alterado por operações de subamostragem. A subamostragem correspondendoa redução da taxa de amostragem.

A escolha mais usual é fazer uma amostragem diádica dos coeficientes, ou seja, esco-lher ao = 2 e bo = 1, obtendo a Equação 2.15.

Ψ j,k(n) = 2−j2 Ψ(2− jn− k) (2.15)


Considere um sinal discreto representado por uma sequência x(n),n = 0,1,2,3, .... Afiltragem desse sinal é dada pela sua convolução com a função de resposta ao impulsoz(n) do filtro, conforme apresentado na Equação 2.16.

y(n) = x(n)∗ z(n) =∞

∑k=−∞

x(k)z(n− k) (2.16)

Fazendo o sinal passar por um filtro passa-baixa com metade da banda do sinal origi-nal, a maior frequência presente nesse sinal será de π/2 radianos. Assim, pode-se excluirmetade das amostras do sinal sem deixar de atender ao critério de Nyquist. Sendo feitauma subamostragem por um fator de 2, reduzindo a frequência de amostragem pela me-tade. Obtém-se, desse modo, a Equação 2.17.

y(n) = x(n)∗ z(n) =∞

∑k=−∞

x(k)z(2n− k) (2.17)

Passando metade da banda do sinal através de um filtro passa-baixa reduz-se metadedos seus componente de frequências, reduzindo pela metade sua resolução, permitindodobrar a escala em que se está analisando o sinal sem que haja perda de informação naanálise. Consegue-se, desta maneira, analisar o sinal em diferentes bandas de frequên-cia com diferentes resoluções, ou níveis, pela decomposição do sinal em dois conjun-tos: aproximação, constituído pelas frequências obtidas pelo filtro passabaixa; e detalhe,constituído pelas frequências obtidas pelo filtro passa-alta. A saída de cada filtro é, su-bamostrada por um fator de dois. Esse processo pode ser descrito pela Equações 2.18e pela Equações 2.19, sendo d(n) e a(n), respectivamente, as saídas do filtro passa-altae passa-baixa subamostradas por um fator de 2, sendo o passabaixa g(n) e o passa-altah(n). As sequências d(n) e a(n), respectivamente, são também conhecidas como detalhese aproximações do sinal x(n).

a(n) = x(n)∗g(n) =∞

∑k=−∞

x(k)g(2n− k) (2.18)

d(n) = x(n)∗h(n) =∞

∑k=−∞

x(k)h(2n− k) (2.19)

Na Figura 2.6, apresenta-se um banco de filtros de nível um e, na Figura 2.7 o de níveltrês, que implementam o cálculo da transformada wavelet discreta.

Assim se obtém, em cada nível, os Coeficientes de Aproximação, CA, que guardaminformações sobre a forma geral do sinal, correspondente as baixas frequências, e osCoeficientes de Detalhe, CD, correspondentes às altas frequências.

2.4 Controladores PIDControlador a três termos ou controlador proporcional integral derivativo (PID) con-

vencional tem sido bastante desenvolvido e aplicado há muito tempo, sendo amplamente


Figura 2.6: Diagrama de blocos do filtro que implementa a transformada wavelet discreta.


Figura 2.7: Diagrama de blocos de um banco de filtros de nível três que implementa atransformada wavelet discreta.



utilizado para a automação industrial e o controle do processo. O principal motivo édevido à sua simplicidade de operação, a facilidade de concepção, o baixo custo, a ma-nutenção barata e a eficácia de controle para a maioria dos sistemas lineares (TANG,2001). Eles são o controladores proporcional (P), proporcional integral(PI), proporcionalderivativo (PD) e o proporcional integral derivativo (PID) propriamente dito. A seguir,serão apresentadas mais informações desses controladores, adotando as definições dadapor Dorf (2013).

2.4.1 Controlador PO controlador P é definido apenas por uma entrada, o erro entre o sinal de referência

e o sinal da variável de processo, e(t) e por uma saída u(t), que representa o sinal decontrole que será aplicado à planta, a qual pode ser calculada da seguinte forma:

u(t) = Kp · e(t) (2.20)

2.4.2 Controlador PDO controlador PD tem duas entradas, o erro entre o sinal de referência e o sinal da

variável de processo representado por e(t) ede(t)

dt, que representa a derivada do sinal do

erro. Possui ainda uma saída u(t), que é o sinal de controle que será aplicado à planta, aqual pode ser calculada da seguinte forma:

u(t) = Kp · e(t)+Kdde(t)

dt(2.21)

2.4.3 Controlador PIO controlador PI tem duas entradas, o erro entre o sinal de referência e o sinal da

variável de processo representado por e(t) e∫

e(t)dt que representa a integral do sinal doerro. Possui ainda uma saída, u(t), que é o sinal de controle que será aplicado à planta, aqual pode ser calculada da seguinte forma:

u(t) = Kp · e(t)+Ki

∫e(t)dt (2.22)

2.4.4 Controlador PIDO controlador PID tem três entradas, o erro entre o sinal de referência e o sinal da

variável de processo representado por e(t),de(t)

dt, que é a derivada do sinal do erro, e∫

e(t)dt, que é a integral do sinal do erro. Possui ainda uma saída u(t), que é o sinal decontrole que será aplicado à planta, a qual pode ser calculada da seguinte forma:

du(t) = Kp · e(t)+Ki

∫e(t)dt +Kd ·

de(t)dt

(2.23)


2.5 Sistemas Multivariáveis

É comum que o estudo de sistemas de controle abordem apenas uma variável contro-lada e uma variável manipulada, ou seja, sistemas com uma única entrada e uma únicasaída (SISO - Single Input Single Output). Contudo, em muitos problemas práticos decontrole, existe uma quantidade maior de variáveis a serem controladas e a serem mani-puladas. Esses problemas são denominados de problemas de controle multivariável, ousistemas de controle de múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO - Multiple InputMultiple Output).

Nesses sistemas, pode-se considerar cada malha de controle separadamente, desdeque elas não interajam uma com as outras (SMITH; CORRIPIO, 1985). Contudo, nemsempre isso ocorre. Em geral, uma alteração em uma variável manipulada costuma afe-tar todas as variáveis controladas. Por causa dessas interações do processo, a seleção damelhor ligação entre as variáveis controladas e manipuladas de um sistema de controlemultivariável pode ser uma tarefa difícil (SEBORG et al., 2010). Assim, o controle efi-ciente desses sistemas torna-se um problema complexo, já que métodos de controle jáconsolidados para casos de sistemas SISO nem sempre podem ser estendidos diretamentepara o caso MIMO (CHEN; ZHANG, 2006).

2.5.1 Desacoplamento de SistemasUma das formas de tratar a interação entre as variáveis de um sistema MIMO é por

meio da utilização de desacopladores. Esse método visa minimizar os efeitos que umavariável exerce sobre as outras, procurando tornar cada conjunto de entrada e saída prati-camente independente das outras entradas e saídas, o que torna possível realizar um estudomais simples do problema. Esse método permite, por exemplo, desenvolver um controla-dor para cada par de entrada e saída, ou seja, um sistema de controle descentralizado comuma matriz de desacoplamento.

Esse método é implementado com uma matriz C(s) formada pelos controladores refe-rentes a cada par de entrada e saída e com um bloco desacoplador ou compensador D(s),que objetiva fazer com que os controladores observem o processo equivalente Q(s), oqual consiste em um conjunto de processos independentes. Assim a matriz de funções detransferência D(s) visa introduzir dinâmicas que cancelem as interações existentes entreas variáveis do processo, permitindo que seja feito um controle independente para cadauma das malhas do sistema (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011).

A Figura 2.8 apresenta a estrutura de um desacoplador para um sistema com duasentradas e duas saídas, em que d11, d12, d21, d22 são os elementos de D(s), c1, c2 oselementos de C(s) e g11, g12, g21, g22 os elementos da matriz de transferência G(s). Paraque a matriz D(s) cancele as interações existentes entre as variáveis do processo, deveser projetada de maneira que G(s)D(s) resultem na matriz de transferência diagonal Q(s),assim o controlador c1 deve ser projetado para a malha q11 e o controlador c2, para a


malha q22.

D(s) =(

d11 d12d21 d22

)(2.24)

G(s) =(

g11 g12g21 g22

)(2.25)

Q(s) =(

q11 00 q22

)(2.26)

C(s) =(

c11 00 c22

)(2.27)

Q(s) = G(s)D(s) (2.28)

Figura 2.8: Estrutura de um Desacoplador para um sistema com duas entradas e duassaídas.

Fonte: adaptado de Garrido, Vázquez e Morilla (2011)

As técnicas de desacoplamento apresentadas nesse trabalho, que somente se aplicam aplantas MIMO de ordem nxn, são classificadas em: desacoplador ideal, desacoplador sim-plificado e desacoplador invertido. A escolha de um desses métodos é uma tarefa relativa-mente complexa, já que cada técnica apresenta suas vantagens e limitações (GAGNON;POMERLEAU; DESBIENS, 1998).


2.5.1.1 Desacoplador Ideal

Partindo da equação 2.28:

D(s) = G(s)−1Q(s) =(

g22q11 −g12q22−g21q11 g11q22

)(2.29)

A equação 2.29 define o desacoplador ideal proposto por Luyben (1970). Apesarde possibilitar uma maior facilidade no projeto e sintonia do controlador, sua estruturacostuma levar a expressões complexas de D(s), de difícil realização.

2.5.1.2 Desacoplador Simplificado

O desacoplador simplificado é amplamente utilizado na literatura, tendo como maiorvantagem a simplicidade, como seu próprio nome indica, permitindo uma maior faci-lidade no projeto da matriz de desacoplamento. Contudo, os elementos de Q(s) acabasendo composto por somas de funções de transferência, o que as tornam mais complexas,e podem dificultar a sintonia dos controladores. Sua matriz de desacoplamento é dadapela Equação 2.30.

D(s) =

(1 −g12

g11−g21

g221

)(2.30)

Assim, tem-se a seguinte matriz de transferência Q(s):

Q(s) = G(s) ·D(s) =

(g11− g12g21

g220

0 g22− g12g21g11

)(2.31)

2.5.1.3 Desacoplador Invertido

Para evitar complexidade dos elementos de Q(s) do desacoplador simplificado, o de-sacoplador invertido foi proposto por Shinkey (1988) modificando a disposição dos ele-mentos na estrutura do desacoplador conforme apresentado na Figura 2.9.

Assim pode-se calcular D(s) e Q(s) como:

d1(s) =G12(s)G11(s)

(2.32)

d2(s) =G21(s)G22(s)

(2.33)

q1(s) = G11(s) (2.34)

q2(s) = G22(s) (2.35)


Figura 2.9: Estrutura de um Desacoplador Invertido para um sistema com duas entradase duas saídas.

Fonte: Adaptado de Numsomran et al. (2011)

Pela maior simplicidade e facilidade de projeto, agregando as vantagens do desaco-plador ideal e do simplificado, o método do desacoplador invertido será o utilizado nestetrabalho.

Capítulo 3

Metodologia

É basilar ao intuito deste trabalho que se apresente a função de avaliação proposta,que se utiliza da análise wavelet multiníveis, e a validação do seu uso como funçãocusto para meta-heurísticas. Para isso, se propôs um estudo de caso, que consiste nautilização de AG, PSO e AV aplicando diferentes índices como funções custo, inclusiveo aqui proposto, para a sintonia do controle de um sistema de quatro tanques acopla-dos. Pretende-se comparar o desempenho dos controladores encontrados por essas meta-heurísticas utilizando-se desses diferentes índices e também contrapor o resultado dessescom o obtido por um método tradicional de sintonia, no caso, com o uso do desacopladorinvertido e de controladores PIs sintonizados pelo método do LGR.

Para viabilizar a sintonia pelas meta-heurísticas em tempo hábil é necessário simularo sistema adotado, e , para tanto, é importante conhecer a modelo matemático do mesmo.O modelo não-linear é uma boa aproximação da planta real e, por isso, será utilizado tantonas simulações realizadas para a sintonia por meio das meta-heurísticas, quanto para todasas comparações de desempenhos que serão feitas posteriormente. Contudo, o projetodo desacoplador e o dos controladores pelo método do LGR, que serão utilizados paracomparação, exigem um sistema linearizado. Assim, é necessário a obtenção, por meioda linearização, do modelo linearizado da planta proposta. É alicerçado nesse modeloque se pode obter a matriz de transferência, a partir da qual se irá calcular o desacopladorinvertido e o sistema equivalente desacoplado, o último necessário para o projeto doscontroladores PIs.

Desse modo, nesse capítulo, será apresentada a função de avaliação proposta, o sis-tema de quatro tanques acoplados, seu modelo não-linear, o processo de linearização domesmo e a obtenção da matriz de transferência. Serão, ainda, apresentados o cálculo dosdesacopladores e o dos controladores PI pelo método do LGR para esse sistema, e a meto-dologia de obtenção de controladores utilizando AG, PSO e AV, valendo-se dos diferentesíndices como funções de avaliação. No próximo capitulo, se discutirá o desempenho doscontroladores obtidos pelo LGR e pelas diferentes heurísticas, utilizando-se das diversasfunções de avaliação e a comparação das diferentes estratégias.

CAPÍTULO 3. METODOLOGIA 24

3.1 Análise Wavelet Multiníveis como Função de Avalia-ção

Como já foi apresentado no capítulo anterior, a ideia central da análise em wave-let consiste em decompor um sinal a diferentes níveis de resolução, processo conhecidocomo multirresolução (VILANI et al., 2013), ou multinível. A análise multinível permitecobrir um amplo espectro de frequências, porém, sem perder a noção do comportamentotemporal. A transformada wavelet permite avaliar a mudança de frequências de um si-nal ao longo do tempo, sendo seus descritores usados para aferir a similaridade de sinaisdas mais diversas naturezas. Wang (2004)(2005), Sampat (2009), Zhang (2011), Kokare(2003) apresentam o uso da transformada wavelet para verificar a similaridade em ima-gens por meio dos descritores. Kronland-Martinet et al. (1987), Lin (2001) utilizaramos descritores wavelets para verificar similaridade para sinais sonoros. Darilmaz (2006)utilizou análise wavelet multinível para a medição de similaridade em morfologia ocea-nográfica.

No geral, a estratégia utilizada nesses trabalhos consiste em obter a transformada wa-velet discreta do sinal sob análise e do sinal de referência, escolher determinados coefi-cientes da transformada wavelet e compará-los com os mesmos coeficientes em um casotomado como referência. Em Darimalz (2006), por exemplo, procurando detectar altera-ções no fundo do mar, comparavam-se determinados coeficientes wavelet das mediçõesno fundo do mar com os da medição inicial, por meio de uma distância euclideana.

Estratégia similar à usada para a análise e processamento de sinais com essas outrasfinalidades, pode ser adotada para verificar a similaridade entre a resposta de um sistemade controle e o setpoint desejado. Além disso, é possível analisar os diversos níveis wa-velet separadamente, assim sendo, a partir de cada nível analisado pode-se avaliar melhorse a resposta apresentas muitas oscilações de alta frequência, o que pode ser associado aotransitório, assim como o comportamento em regime, visto que esses fenômenos ocorremem frequências distintas e, portanto, em níveis diferentes. Outras possibilidades seriama análise da rejeição de ruído de medição e de rejeição de pertubações, caso consiga-seisolar a faixa de frequência da sua ocorrência.

A abordagem aqui adotada parte da codificação de sub-banda. Um exemplo da de-composição do sinal utilizando essa estrategia pode ser vista na Figura 3.1, que apresentao sinal de saída para um dos tanques do sistema utilizado nesse trabalho; na Figura 3.2,que apresenta os Coeficientes de Aproximação do sinal apresentado anteriormente; e naimagem 3.3 os Coeficientes de Detalhe. Vale ressaltar que esses coeficientes têm ordemde grandeza diferentes.

Os Coeficientes de Detalhe guardam informações pertinentes ao comportamento dotransitório, de modo que, quanto mais próximo esse for dos correspondentes coeficientesdo sinal de referência, mais próxima a resposta do sistema estará, em seu transitório, dareferência do sistema. Assim sendo, pode-se propor uma função de avaliação W , dadapor:

W = k1 ·∑(|Car−Cay|)+ k2 ·∑(|Cdr−Cdy|) (3.1)

Nesta, Car são os Coeficientes de Aproximação do sinal de referência do sistema;


Cdr, os Coeficientes de Detalhe do sinal de referência do sistema; Cay, os Coeficientes deAproximação do sinal de saída do sistema; Cdy, os Coeficientes de Detalhe do sinal desaída do sistema, e k1 e k2, pesos utilizados na ponderação da relevância desses coeficien-tes na análise. Na escolha desses pesos, deve-se levar em consideração, além da diferençade grandeza, o comportamento desejado.

Para tanto, k1 indica a similaridade em baixas frequências da resposta do sistemacom a referência, ou seja, avaliando a forma geral do sinal; e k2, a similaridade nas altasfrequências. Desse modo, valores maiores de k2 indicarão a busca por uma resposta comrápida subida e com menos oscilações de alta frequência no transitório. Caso k2 sejazero, W apresentará valor correspondente ao IAE. Esse índice utiliza apenas um nível dacodificação de sub-banda, contudo dependendo da aplicação pode-se estender a análisepara mais níveis. Para tanto, sendo l a quantidade de níveis em que se está fazendo aanálise:

W = k1 ·∑(|Car−Cay|)+l

∑n=1

kn ·∑(|Cdnr−Cdny|) (3.2)

em que Cdny são os coeficiente de detalhe do sinal de saída do nível n; e Cdnr, os do sinalde referência.

Figura 3.1: Exemplo: sinal de saída de um sistema de tanques, para uma dada trajetória.


Esse aumento no número de níveis analisado abre uma maior gama de possibilidades,pois, muitas vezes, se conhece o espectro de frequência do ruído e das pertubações emum sistema e, a partir dessa decomposição, pode-se obter maiores informações sobre arejeição dos mesmos por um controlador.

No geral, as funções de avaliação apresentadas na literatura funcionam razoavelmentebem quando o sinal de referência é um degrau. Quando se deseja utilizar como sinalde referência uma rampa ou uma senoide, esse estudo se torna mais difícil ou mesmoimpossível, como seria o caso do ITAE. Contudo, a estratégia aqui apresentada possibilita


Figura 3.2: Coeficientes de Aproximação do sinal da Figura 3.1.


Figura 3.3: Coeficientes de Detalhe do sinal da Figura 3.1.



que se avalie, tendo-se acesso a informações do transitório, o desempenho de controladorpara um dado sistema, independentemente da forma do sinal de referência a ser utilizado.

Neste trabalho, será utilizado apenas um nível de decomposição, tendo-se assim, ape-nas os coeficientes de aproximação e os coeficientes de detalhe do primeiro nível, havendocomo parâmetros k1 e k2 a serem ajustados. A implementação da decomposição waveletutilizada é a do Matlab com sua discretização padrão, empregando a família de filtrosDaubechies 1.

3.2 Sistema de quatro tanques acopladosO sistema de tanques acoplados usado neste trabalho é composto por quatro tanques

de fluidos interconectados. Cada tanque é dotado de um orifício localizado na parte infe-rior, possibilitando que o fluido escoe, saindo do tanque por meio da gravidade. Depen-dendo dos diâmetros desses orifícios há uma variação dos parâmetros do sistema. Nestaconfiguração, os tanques se dividem em dois conjuntos verticais, de modo que, em cadaconjunto, um tanque seja posicionado acima do outro, permitindo que seu fluido escoarpelo orifício para o segundo tanque do conjunto. O fluido do segundo tanque irá escoarpara um recipiente de modo a poder ser reutilizado.

Existem duas bombas de fluido, cada uma gera um fluxo de fluido que é divididoentre um tanque superior de um conjunto e o tanque inferior do conjunto oposto, comomostrado na Figura 3.4. Esse sistema usualmente tem como objetivo o controle da alturado fluido no tanque inferior de cada conjunto. Essa altura é medida através de um sensorde pressão posicionado na parte inferior de cada tanque. A tensão fornecida a cada bombaconstitui uma entrada ao sistema de controle.

Desde sua proposição e uso em 1996 no Lund Institute of Technology, na Suécia,os estudos desse sistema têm apresentado grande relevância, ilustrando diversos aspectosdo controle multivariável (DESAUTEL, 2014). Entre essas contribuições está a capaci-dade de demonstrar os efeitos que a localização de zeros multivariáveis podem causar(JOHANSSON,1999). Assim, esse sistema tem sido amplamente aplicado na literaturapara o estudo de controle multivariável. O sistema está representado na Figura 3.4.

3.2.1 ModelagemO sistema sob estudo foi modelado a fim de possibilitar a sua implementação foi feita

no software Simulink, facilitando a sintonia por meio das meta-heurística e o calculo dodesacoplador e dos controladores PI. Para a implementação foram adotados os parâme-tros baseados em sistemas de tanques da Quanser, conforme a tabela 3.1. É importantenotar que os quatro tanques do sistema escolhido como estudo de caso são iguais dimen-sionalmente e estruturalmente, possuindo mesmo material e acabamento, assim como osorifícios da parte inferior apresentam as mesmas dimensões.

Sendo x1, x2, x3 e x4 a altura de fluido em cada tanque conforme a Figura 3.4, u1 e u2os sinais de entrada para as bombas e escolhendo-se as saídas, y1 e x2 os níveis dos dois


Figura 3.4: Sistema de quatro tanques acoplados.

Fonte: Adaptado de Johansson (2000)

tanques inferiores. Pelo balanço de massas pode-se chegar às seguintes equações:

dx1(t)dt

=Km1

A1u1(t)−

a1

A1

√2gx1(t) (3.3)

dx2(t)dt

=Km2

A2u2(t)+

a1

A2

√2gx1(t)−

a2

A2

√2gx2(t) (3.4)

dx3(t)dt

=Km2

A3u2(t)−

a3

A3

√2gx3(t) (3.5)

dx4(t)dt

=Km1

A4u1(t)+

a3

A4

√2gx3(t)−

a4

A4

√2gx4(t) (3.6)

y1 = x4 (3.7)

y2 = x2 (3.8)

Esse modelo não-linear do sistema obtido a partir do balanço de massas foi implemen-


Tabela 3.1: Constantes usadas na modelagem do sistema de tanques acoplados

Símbolo Descrição Valor UnidadeKm1 Constante de fluxo da bomba 1 3,3 cm2

s·VKm2 Constante de fluxo da bomba 2 4,6 cm3

s·Va1 Área do orifício de saída do tanque 1 0,178 cma2 Área do orifício de saída do tanque 2 0,178 cma3 Área do orifício de saída do tanque 3 0,178 cma4 Área do orifício de saída do tanque 4 0,178 cmA1 Área da seção transversal do tanque 1 15,25 cm2

A2 Área da seção transversal do tanque 2 15,25 cm2



g Aceleração da gravidade 981 cm/s2

tado no software Simulink e será utilizado para as sintonias utilizando as meta-heurísticas.Contudo, como se pretende fazer a comparação dessas técnicas com o calculo dos desa-copladores e a sintonia dos controladores usando LGR, é necessário aproximar o sistemapor um linear, pois estas técnicas são concebidas para sistemas lineares. Assim, deve-seproceder a linearização do sistema. Para tanto é necessário a escolha de um ponto deoperação, foi escolhido o ponto de operação no qual u1(t) = u10 = 3, u2(t) = u20 = 3,x1(t) = x10 = 1,577, x2(t) = x20 = 9,036, x3(t) = x30 = 3,064 e x4(t) = x40 = 9,036.Realizando a linearização tem-se:

dx1(t)dt

=Km1

A1u1(t)−

a1

A1

√g

2gx10x1(t) (3.9)

dx2(t)dt

=Km2

A2u2(t)+

a1

A2

√g

2x10x1(t)−

a2

A2

√g

2x20x2(t) (3.10)

dx3(t)dt

=Km2

A3u2(t)−

a3

A3

√g

2gx30x3(t) (3.11)

dx4(t)dt

=Km1

A4u1(t)+

a3

A4

√g

2x30x3(t)−

a4

A4

√g

2x40x4(t) (3.12)

y1 = x4 (3.13)

y2 = x2 (3.14)

que, em espaço de estados, pode ser representado por:

x = Ax+Bu (3.15)


y =Cx+Du (3.16)

x1x2x3x4

=

− a1

A1

√g

2x100 0 0

a1A2

√g

2x10− a2

A2

√g

2x200 0

0 0 − a3A3

√g

2x300

0 0 a3A4

√g

2x30− a4

A4

√g

2x40

·

x1x2x3x4

+

km1A1

00 km2

A2

0 km2A3

km1A4

0

·[

u1u2

].

(3.17)

[y1y2

]=

[0 0 0 10 1 0 0

]·

x1x2x3x4

. (3.18)

3.2.2 Matriz de transferênciaPara o projeto do desacoplador e para o posterior projeto dos controladores é necessá-

rio encontrar a matriz de transferência do sistema G(s), que é dado por:

G(s) =C(sI−A)−1B (3.19)

De maneira que: [Y1(s)Y2(s)

]= G(s) ·

[U1(s)U2(s)

](3.20)

Tomando Ti =Aiai

√2xi0

g , partindo da equação 3.17, e seguindo os passos apresentadosnas equações 3.21 e 3.22 encontra-se a equação 3.23. Substituindo a equação 3.23, amatriz A e a matriz B na equação 3.19, conforme apresentado em 3.24, chega-se a equa-ção 3.25, que apresenta a função de transferência G(s).

A =

− 1

T10 0 0

1T1

− 1T2

0 00 0 − 1

T30

0 0 1T3

− 1T4

(3.21)

(sI−A) =

s+ 1

T10 0 0

− 1T1

s+ 1T2

0 00 0 s+ 1

T30

0 0 − 1T3

s+ 1T4

(3.22)


(sI−A)−1 =

1s+ 1

T1

0 0 01

T1·(

s+ 1T1

)·(

s+ 1T2

) 1s+ 1

T2

0 0

0 0 1s+ 1

T3

0

0 0 1T3·(

s+ 1T3

)·(

s+ 1T4

) 1s+ 1

T4

(3.23)

G(s) =[

0 0 0 10 1 0 0

]

1s+ 1

T1

0 0 01

T1·(

s+ 1T1

)·(

s+ 1T2

) 1s+ 1

T2

0 0

0 0 1s+ 1

T3

0

0 0 1T3·(

s+ 1T3

)·(

s+ 1T4

) 1s+ 1

T4

·

km1A1

00 km2

A2

0 km2A3

km1A4

0

.(3.24)

G(s) =

Km1

A4·(

s+ 1T4

) Km2

A3·T3·(

s+ 1T3

)·(

s+ 1T4

)Km1

A1·T1·(

s+ 1T1

)·(

s+ 1T2

) Km2

A2·(

s+ 1T2

) (3.25)

3.3 Projeto do desacopladorUtilizando as equações 2.32 e 2.33 para o desacoplador invertido e de posse da matriz

de transferência encontrada na seção anterior exposta na equação 3.25, pode-se encontrar:

d1(s) =A2 ·Km1

A1 ·Km2 ·T1 ·(

s+ 1T1

) (3.26)

d2(s) =A4 ·Km2

A3 ·Km1 ·T3 ·(

s+ 1T3

) (3.27)

Pode-se ainda encontrar a função de transferência equivalente para cada malha desa-coplada q1(s) e q2(s), substituindo G(s) nas equações 2.34 e 2.35 :

q1(s) =Km1

A4 ·(

s+ 1T4

) (3.28)

q2(s) =Km2

A2 ·(

s+ 1T2

) (3.29)

Os valores de q1(s) e q2(s) serão essenciais para o projeto do controladores para osistema desacoplado, nesse estudo de caso, do controladores PI, visto que, é a partir dessas


Figura 3.5: LGR de q′1


funções de transferência que eles serão calculados.

3.4 Projeto dos controladores PI

Partindo dos valores de q1(s) e q2(s), pode-se calcular controladores para cada malhadesacoplada. Buscando um erro de regime zero para entrada do tipo degrau, escolheu-se autilização de um controlador do tipo PI para cada malha desacoplada. Visa-se, ainda, queo sistema possua pouco ou nenhum overshoot e que se tenha o menor tempo de subidapossível. O projeto desses controladores será feito pelo lugar geométrico das raízes.

Um controlador PI tem como característica um polo na origem e um zero alocávelpelo projetista, além de um ganho ajustável, de modo a atender as especificações deseja-das. Assim, para o projeto, inicialmente adiciona-se um polo na origem de cada sistemadesacoplado, ou seja, se multiplica q1 e q2, encontrados nas equações 3.28 e 3.29 por 1

s .Assim, obtém-se q′1 e q′2 definidos respectivamente nas equações 3.30 e 3.31. Aplicandoos valores da tabela 3.1 e se obtém o gráfico do LGR que serão exibidos respectivamentenas Figuras 3.5 e 3.6.

q′1(s) =Km1

A4 · s ·(

s+ 1T4

) (3.30)

q′2(s) =Km2

A2 · s ·(

s+ 1T2

) (3.31)


Figura 3.6: LGR de q′2


Desse modo pode-se escolher o zero onde se queira, uma possibilidade é cancelaro polo de malha aberta do sistema, tornando o sistema, em malha fechada, de primeiraordem, possuindo um polo que pode ser alocado como se queira pelo ajuste do ganho.Assim, pode-se observar a função de transferência dos dois sistemas desacoplados nasequações 3.32 e 3.33, e o LGR, para os dois sistemas, é apresentado na Figura 3.7. Quantomaior o ganho, menor o erro, porém como o sistema real é saturado, grandes valores deganho não resultarão em um melhor desempenho. Escolheu-se o zero de cada controladorem −1,5, o qual já resulta um ganho elevado, reduzindo o tempo de subida. Valoresque resultassem em polos mais rápidos acabariam levando a mais saturação, o que podeocasionar aumento do overshoot.

q′1(s) · (s+0,0845) =0,21263

s(3.32)

q′2(s) · (s+0,0845) =0,29639

s(3.33)

Como se observa na Figura 3.7, o polo de malha fechada pertence ao LGR. De posseda equação 3.32, pode-se calcular o ganho K p1 conforme a equação 3.34; e de posse daequação 3.33, o ganho Kp2 conforme a equação 3.37.∣∣∣∣K p1 ·

0,21263s

∣∣∣∣s=−1,5

= 1⇒ K p1 = 7,0545 (3.34)


Figura 3.7: LGR após cancelamento do polo de malha aberta


∣∣∣∣K p2 ·0,29639

s

∣∣∣∣s=−1,5

= 1⇒ K p2 = 5,0609 (3.35)

De posse desses valores de ganho e da localização do zero do controlador, os contro-ladores PI, c1 e c2, serão dados por:

C1(s) = 7,0545 · s+0,0845s

⇒ c1(t) = 7,0545 · e(t)+0,5961 ·∫

e(t)dt (3.36)

C2(s) = 5,0609 · s+0,0845s

⇒ c2(t) = 5,0609 · e(t)+0,4276 ·∫

e(t)dt (3.37)

3.5 Sintonia usando Meta-heurísticasCom o objetivo de otimizar o sistema de controle, foi implementado no Matlab roti-

nas computacionais do AG, PSO e Algoritmo do Vagalume, cada um desses algoritmosfoi utilizado para a otimização do K p e do Ki de cada controlador, além dos parâmetrosdenominados de p11, p12, p13, p21, p22 e p23, que são os parâmetros dos desacoplado-res conforme exibido nas equações 3.38 e 3.39. Para que seja possível encontrar valores


adequados para esses parâmetros e otimiza-los é necessário, inicialmente, codifica-los, noAG, como um cromossomo e no PSO e AV, como posições em um espaço multidimensi-onal de possíveis soluções. Esses cromossomos e posições são inicializados com valoresaleatórios, enquanto a velocidade das partículas no PSO foram iniciadas com valor zero.

São as estratégias de atualização dos algoritmos do vagalume e do PSO, assim comoa seleção, cruzamento, clonagem e mutação no AG que possibilitam que o conjunto devalores para esses parâmetros resultem em controladores cada vez melhores, de acordocom uma determinada métrica ou índice. É necessário, desse modo, que a cada iteraçãode um desses algoritmos seja realizada uma simulação para o sistema não-linear descritonas equações 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, com a estrutura de um desacoplador invertido ecom os dois controladores PI para o controle do sistema. Não há garantia que a estruturado desacoplador, de fato, realize o desacoplamento do sistema, contudo escolheu-se usara mesma estrutura da técnica clássica adotada para possibilitar uma boa comparação.

As simulações do sistema foram realizadas no Simulink, para uma dado sinal de refe-rência fixo, permitindo a isonomia entre as sucessivas simulações. De cada simulação seobtém os sinais de saída, a partir do qual se pode utilizar os diferentes índices, que serãoempregados como função de avaliação nas meta-heurísticas. Foram utilizados quatro ín-dices como funções de avaliação, o IAE, o ITAE, o ISE e a função de avaliação abordadaneste trabalho, W.

d1(s) =p11

p12s+ p13(3.38)

d2(s) =p21

p22s+ p23(3.39)

No AG, adotou-se mutação de 3%, valor normalmente usado, por ser suficiente paraque o algorítimo evite mínimos locais, sem levar a divergência do mesmo. Foi imple-mentado o método da roleta na seleção dos pares para cruzamento. Foi adotado elitismo,preservando o melhor individuo de cada geração na geração seguinte. Os indivíduos fo-ram codificados de forma binária, organizada em cromossomos, que representam os parâ-metros dos controladores. O cruzamento é realizado trocando uma parte do cromossomocom a parte respectiva do par escolhido para fazer o cruzamento e a mutação pela trocade um bit pelo valor oposto. No PSO escolheu-se ω = 0,2, φ1 = 1 e φ2 = 1. No algoritmodo vagalume α = 0,05, β = 1 e γ = 1. Esses valores são os usualmente apresentados naliteratura para esses algoritmos, tendo bom desempenho na maioria dos casos.

O número de indivíduos no AG e o número de partículas no PSO e AV refletem otamanho do espaço de busca da solução desejada. Para melhor se explorar a região debusca, evitando a estagnação em mínimos locais, deve-se aumentar o valor desses parâ-metros, contudo, seu aumento torna o algoritmo mais lento. O número de iterações ou degerações, no caso do AG„ há a tendencia que ao longo das iterações o resultado melhore,contudo essa melhora tende a estagnar, assim o valor desses parâmetros deve ser sufici-ente para a convergência do algorítimo, porém, se for muito grande, pode levar a custocomputacional sem uma melhora da solução devido a estagnação. Assim, o AG foi exe-cutado com trinta e um indivíduos durante cem gerações, para cada uma das funções deavaliação, enquanto o PSO e o AV, foram executado com 31 partículas, ou vagalumes nocaso do AV, ao longo de 100 iterações, para cada função de avaliação. Esses valores fo-


ram suficientes para que os algoritmos tivessem boa convergência. Os resultados obtidosserão discutidos no próximo capítulo.

Capítulo 4

Resultados

Deve-se fazer a ressalva que as meta-heurísticas apresentam um comportamento esto-cástico, de modo que, repetido-se a execução de uma meta-heurística várias vezes, com osmesmos parâmetros, pode-se obter uma diferente solução para cada nova execução, solu-ção essa que pode ser pior ou melhor, de acordo com uma dada métrica, que em execuçõesanteriores. Assim sendo, na análise dos resultados propostos, procurar-se-á observar astendências de comportamento do sistema, comparando-as de acordo com a utilização doscontroladores encontrados pelas diferentes meta-heurísticas, com os diversos índices deavaliação empregados. Além disso, analisar-se-á a influência dos valores dos parâmetrosk1 e k2 do índice W no comportamento dos sistemas com o controle sintonizado pelasheurísticas utilizando esse índice de avaliação como métrica.

Será apresentado inicialmente um estudo da influência dos parâmetros k1 e k2 do ín-dice W , de modo a viabilizar a escolha desses valores para obter-se a resposta pretendida.Serão apresentadas as respostas do sistema e sinais de controle para as diferentes meta-heurísticas, fazendo-se uma análise comparativa. A mesma análise será feita para osdiferentes índices de avaliação usados como métricas.

4.1 Escolha dos valores dos parâmetros k1 e k2 de W

Além de possuírem a função de ponderação para os valores dos coeficientes de detalhee aproximação da decomposição wavelet, que podem ter ordem de grandezas diferentes,os parâmetros k1 e k2 funcionam como pesos que determinam que a análise de um dadonível seja considerada mais intensamente na avaliação, desta maneira, pode-se escolherqual comportamento se deseja que a resposta do sistema ao controlador encontrado pelameta-heurística apresente.

Para averiguar essa diferença no comportamento das respostas dos controladores en-contrados em relação a variação desses parâmetros, se escolheu três duplas de valores(k1;k2) e obteve-se para cada uma delas as respostas do sistema e sinais de controlepara os controladores sintonizados pelas três meta-heurísticas utilizadas. Esses valoresforam escolhidos de modo a compensar a diferença na ordem de grandeza de cada coefi-ciente e dar maior ou menor privilégio a um deles, permitindo a comparação. Escolheu-se(k1;k2) = (1;400), (k1;k2) = (10;400) e (k1;k2) = (1;4000). A Tabela 4.1 exibe os parâ-metros encontrados pelas meta-heurísticas utilizando como função custo o índice proposto

37

CAPÍTULO 4. RESULTADOS 38

Tabela 4.1: Parâmetros encontrados para os controladores

K p1 Ki1 K p2 Ki2 p11 p12 p13 p21 p22 p23AG k1 = 1 e k2 = 400 50,7879 0,1530 34,2767 0,1074 0,2273 8,6925 0,7067 0,2594 0,1245 0,8731

AG k1 = 10 e k2 = 400 75,4122 0,3784 105,6569 0,1335 0,8740 0,9554 0,8595 0,4006 0,8191 0,5404AG k1 = 1 e k2 = 4000 73,3155 0,3129 39,7145 0,1624 0,8771 0,9737 0,8760 0,2880 0,5883 4,9780PSO k1 = 1 e k2 = 400 0,6202 0,0983 0,6025 0,1010 0,2258 0,4431 0,6647 0,3307 0,4466 0,6795

PSO k1 = 10 e k2 = 400 0,9961 0,7188 0,6924 0,1136 0,4587 0,5440 0,7051 0,2302 0,9418 1,0956PSO k1 = 1 e k2 = 4000 0,9223 0,4659 0,5997 0,0441 0,3229 0,4134 0,8646 0,2780 0,6254 0,9277

AV k1 = 1 e k2 = 400 1,3592 0,3342 1,0810 0,0924 0,2121 0,2720 0,5130 0,4246 0,5256 0,8762AV k1 = 10 e k2 = 400 1,7368 0,5786 1,4797 0,1176 0,2432 0,8434 0,7599 0,4046 0,4123 0,8131AV k1 = 1 e k2 = 4000 0,8840 0,0856 0,8748 0,0671 0,3499 0,1315 0,7865 0,2313 0,1588 1,0214

com os diferente valores de k1 e k2.A saída y1 está apresentada na Figura 4.1; a saída y2, na Figura 4.2; o sinal de controle

u1, na Figura 4.3; e o sinal de controle u2, na Figura 4.4. Serão apresentados, para umamelhor analise, a saída y1 expressa na Figura 4.5 e a saída y2, na Figura 4.6 para os valoresde tempo entre 0s e 100s. Com o mesmo propósito, para o tempo entre 200s e 300s, éapresentada a saída y1 na Figura 4.7, e entre 200s e 250s, é apresentada a saída y2 naFigura 4.8. Tem-se, ainda, a saída y1 na Figura 4.9, a saída y2 na Figura 4.10 para valoresde tempo entre 400s e 500s.

Como observa-se nas figuras 4.5, 4.6,4.7, 4.8, 4.9 e 4.10, o aumento do parâmetrok1, observando-se a dupla de valores (k1;k2) = (10;400),representados em cor azul, le-vou às meta-heurísticas privilegiarem, na sintonia, controladores que, no geral, possuíamrespostas com mais oscilações de maiores frequências, enquanto as respostas dos contro-ladores sintonizados com um maior valor do parâmetro k2, o que pode-se observar quando(k1;k2) = (1;4000), levaram, no geral, a sintonia, pelas meta-heurísticas, de controladoresque tivessem respostas com menos oscilações de maiores frequências.

Assim, no estudo de caso, para os valores apresentados, observou-se que maiorespesos, proporcionalmente, para parâmetro k2 inibem um maior número de oscilações demaiores frequências, o que, no geral, levou a ausência ou pequenos overshoot. Contudo,isso não necessariamente resultou em um resultado mais lento para maiores valores dek2. Quando este parâmetro foi privilegiado a resposta encontrada pelos controladoressintonizados tendeu, ou a ser mais lenta de modo que a resposta do sistema seguisselentamente a referência sem maiores oscilações, ou a seguir rapidamente a referência epermanecer estável sobre ela. Essas respostas mais lentas também resultam na reduçãode oscilações em alta frequência.

Esse resultado é esperado, visto que o parâmetro k2 corresponde ao coeficiente dedetalhe que apresenta as informações de maiores frequências do sinal analisado. O parâ-metro k1, por outro lado, privilegia os coeficientes de aproximação que levam em conside-ração a forma geral da onda, privilegiando as baixas frequências. As respostas mais lentasobtidas para maiores valores de k2 podem não ser adequadas, como elas demoram maispara seguir a referência espera-se que o componente de alta e baixa frequência dela sejampiores, assim a que se ter um equilíbrio entre esses dois parâmetros de modo que a res-posta em alta e baixa frequência, referente ao seguimento da referência e alta frequência,referente a menos oscilações, sejam adequadas.


Figura 4.1: Saída do sistema y1





Figura 4.3: Sinal de controle u1





Figura 4.5: Saída do sistema y1 ao primeiro degrau





Figura 4.7: Saída do sistema y1 ao segundo degrau





Figura 4.9: Saída do sistema y1 ao terceiro degrau






K p1 Ki1 K p2 Ki2 p11 p12 p13 p21 p22 p23AG IAE 18,7389 1,0395 105,7245 0,1493 0,0143 0,8217 0,6686 0,1003 0,7894 0,2608

AG ITAE 17,5935 17,8134 4,8915 8,5193 0,3045 0,2397 0,8968 0,2338 1,4857 0,8991AG ISE 34,3502 0,4167 13,3602 0,2008 0,4230 0,0447 0,8299 0,0966 0,2894 0,8453AG W 50,7879 0,1530 34,2767 0,1074 0,2273 8,6925 0,7067 0,2594 0,1245 0,8731

PSO IAE 1,1438 0,8342 1,2013 0,8550 0,0041 0,2978 0,2212 -0,0841 0,9454 1,2652PSO ITAE 1,2106 0,6832 0,5527 0,1173 0,5012 0,5724 0,7268 0,2348 0,4496 1,1784PSO ISE 0,8220 0,7323 0,9814 0,1247 -0,0937 0,4920 0,6074 0,1678 0,4215 0,5847PSO W 0,6202 0,0983 0,6025 0,1010 0,2258 0,4431 0,6647 0,3307 0,4466 0,6795AV IAE 1,6394 0,7504 1,4301 0,1250 0,0570 0,4806 0,1123 0,3654 0,2488 0,7052

AV ITAE 1,5464 0,9932 1,8299 0,5736 0,1047 0,8868 0,6310 0,0813 0,1717 0,9506AV ISE 1,3967 1,1201 1,2886 0,1253 0,2696 0,6663 0,5219 0,4163 0,1317 1,1240AV W 1,3592 0,3342 1,0810 0,0924 0,2121 0,2720 0,5130 0,4246 0,5256 0,8762

Para os valores de (k1;k2) = (1;400) que possuíam valores médios de k1 e k2, pro-porcionalmente, hora apresentaram comportamento mais semelhante ao par (10;400) eoutras ao par (1;4000), contudo, no geral, os sistemas que foram sintonizados por meta-heurísticas que se utilizaram de W com esses parâmetros, apresentaram respostas relati-vamente rápidas e com poucas oscilações.

Espera-se que, para um índice W em que se empregue mais níveis de decomposi-ção wavelet, possa-se fazer análise semelhante. Assim, podendo-se por exemplo reduzircomponentes resultantes de ruído do sensor ou de perturbações, por meio da escolha deparâmetros k com maiores pesos para os coeficientes que expressam a frequência que elespossuem.

4.2 Comparação das diferentes meta-heurísticas

Como apresentado na Seção 4.1, os valores (k1;k2) = (1;400), que possuíam valoresmédios de k1 e k2 proporcionalmente, apresentam resultados mais ponderados, resultando,no geral, em um comportamento médio entre os outros valores analisados. Assim sendo, écapaz de traduzir o comportamento das meta-heurísticas utilizando W como função custo.Desse modo, por simplicidade, para as comparações das meta-heurísticas apenas essesvalores de k1 e k2 serão considerados. A Tabela 4.2 apresenta os parâmetros encontradospelas diferentes meta-heurísticas empregando o IAE, ITAE, ISE e W com k1 = 1 e k2 =400.

A saída y1 está exposta na Figura 4.11; a saída y2, na Figura 4.12; o sinal de controleu1, na Figura 4.13; e o sinal de controle u2, na Figura 4.14. Serão apresentadas, para umamelhor analise, a saída y1 expressa na Figura 4.15 e a saída y2, na Figura 4.16 para osvalores de tempo entre 0s e 100s. Com o mesmo propósito, para o tempo entre 200s e300s, é apresentada a saída y1 na Figura 4.17, e entre 200s e 250s, é apresentada a saíday2 na Figura 4.18. Tem-se, ainda, a saída y1 na Figura 4.19, a saída y2 na Figura 4.20 paravalores de tempo entre 400s e 500s.

Utilizando o mesmo critério empregado na Seção 4.1, procura-se uma resposta compouco overshoot, rápida, mas com poucas oscilações de alta frequência. De tal modo,



K p1 Ki1 K p2 Ki2 p11 p12 p13 p21 p22 p23AG IAE 18,7389 1,0395 105,7245 0,1493 0,0143 0,8217 0,6686 0,1003 0,7894 0,2608

AG ITAE 17,5935 17,8134 4,8915 8,5193 0,3045 0,2397 0,8968 0,2338 1,4857 0,8991AG ISE 34,3502 0,4167 13,3602 0,2008 0,4230 0,0447 0,8299 0,0966 0,2894 0,8453

AG k1 = 1 e k2 = 400 50,7879 0,1530 34,2767 0,1074 0,2273 8,6925 0,7067 0,2594 0,1245 0,8731AG k1 = 10 e k2 = 400 75,4122 0,3784 105,6569 0,1335 0,8740 0,9554 0,8595 0,4006 0,8191 0,5404AG k1 = 1 e k2 = 4000 73,3155 0,3129 39,7145 0,1624 0,8771 0,9737 0,8760 0,2880 0,5883 4,9780Desacoplador e LGR 7,0545 0,5961 5,0609 0,4276 71,3920 352,9411 51,2160 51,2160 352,9536 71,3920

o AG encontrou os controladores com melhor desempenho e o PSO aqueles com ospiores desempenhos, enquanto o desempenho dos controladores sintonizados pelo AVmostraram-se bastante semelhantes ao dos sintonizados pelo AG. Assim, infere-se quepara os parâmetros escolhidos, como a forma de codificação do cromossomo, o elitismo,amutação, seleção para o cruzamento, foram mais adequados que os valores de ω, φ1 e φ2no PSO e α, β e γ no AV. Essa diferença levou a uma melhor convergência e melhor ex-ploração do espaço de buscas pelo AG, desse modo, os controladores por ele sintonizadosacabaram apresentando um melhor desempenho.

Como o objetivo principal deste trabalho é demonstrar a viabilidade do índice W comométrica para a sintonia de controladores usando meta-heurísticas, de modo que o opera-dor possa melhor expressar o comportamento que o sistema controlado a ser sintonizadopor esses algoritmos, daqui em diante será utilizada para a comparação os melhores re-sultados encontrados para cada métrica empregada, independente de qual meta-heurísticaencontrou tal sintonia, de modo a facilitar a análise que será apresentada.

4.3 Comparação entre diferentes índices e o LGRSeguindo a metodologia adotada nas seções 3.3 e 3.4 obteve-se os parâmetros ex-

postos na tabela 4.3. O gráfico de cada saída e sinal de controle podem ser vistos nasFiguras 4.21, 4.22, 4.23 e 4.24. Como pode ser visto nas Figuras 4.23 e 4.24 está havendosaturação do sinal de controle. A saturação do sinal de controle faz com que o aumentodo ganho não resulte em uma melhoria do desempenho, podendo inclusive prejudica-lo,ocasionando overshoot,conforme apontado na Seção 3.4. Os parâmetros calculados parao desacoplador e para os controladores PI foram exibidos na Tabela 4.3.

Tabela 4.3: Parâmetros encontrados para os controladores PI e para o desacoplador

K p1 Ki1 K p2 Ki2 p11 p12 p13 p21 p22 p23Desacoplador e LGR 7,0545 0,5961 5,0609 0,4276 71,3920 352,9411 51,2160 51,2160 352,9536 71,3920

Para a comparação entre os diferentes índices estudados neste estudo de caso, escolheu-se o controlador com melhor desempenho encontrado entre as três meta-heurísticas paracada índice, a escolha do melhor controlador por índice teve como critério o próprio ín-dice. Utilizando este critério, para todos os índices os melhores controladores foram en-contrados pelo AG. A Tabela 4.4 exibe os parâmetros do melhor controlador sintonizadopelas meta-heurísticas para cada índice utilizado como função custo.




Para a análise, serão apresentadas as respostas do sistema para os controladores queforam sintonizados utilizando desacoplador invertido e sintonia de controladores pelo mé-todo do LGR e para os que foram sintonizados pelo AG empregando IAE, ITAE, ISE e W .A saída y1 está exposta na Figura 4.25, e a saída y2, na Figura 4.26. Serão apresentadas,para uma melhor analise, a saída y1 expressa na Figura 4.27 e a saída y2, na Figura 4.28para os valores de tempo entre 0s e 100s. Com o mesmo propósito, para o tempo entre200s e 300s, é apresentada a saída y1 na Figura 4.29, e a saída y2 na Figura 4.30. Tem-se,ainda, a saída y1 na Figura 4.31,para valores de tempo entre 400s e 500s; e a saída y2 naFigura 4.32 para valores de tempo entre 400s e 450s.

Utilizando o mesmo critério empregado nas seções anteriores, procura-se uma res-posta rápida, mas com poucas oscilações de alta frequência. Essa é, no geral, a respostaprocurada ao avaliar-se a resposta para uma dado controlador visualmente de posse dográfico da variável controlada: uma resposta sem muitas oscilações, com pouco ou ne-nhum overshoot e que chegue rapidamente a referência. O índice W a partir desse critériose mostrou superior. Além disso, conforme apresentado na Seção 4.1 é possível escolhera partir dos valores de k1 e k2 o comportamento do sistema desejado, de sorte que o ín-dice proposto permite que o operador possa escolher com mais facilidade o controladorpretendido. Pelos gráficos das saídas para cada tanque, pode-se observar que, no geral, oscontroladores encontrados pelas meta-heurísticas apresentaram desempenho um poucomelhor ao serem sintonizados pelos LGR em conjunto com os desacopladores calcula-dos, utilizando os critérios aqui estabelecidos. Apenas a sintonia que se valeu do ITAEapresentou resultado muito pior do que os outros controladores.




Entre as diferentes funções de avaliação percebe-se desempenhos semelhantes. Con-tudo, os controladores encontrados pela função proposta e pelo IAE, apresentaram osmelhores desempenhos. A estratégia clássica, que se vale do uso do desacoplador inver-tido e da sintonia de controladores PI pelo método de LGR, apresentou bom resultado,semelhante ao encontrado pelas meta-heurísticas, sendo pior que as sintonias pelo AGempregando os índices W e IAE, mas melhor que a sintonizada pelo AG empregandoITAE. Porém, a estratégia clássica apresentou a vantagem de sempre possuir erro de re-gime zero. Nesta comparação, o controlador sintonizado de acordo com a função deavaliação proposta com valores de k1 = 10 e K2 = 400 apresentou melhor resultado entretodas as sintonias, ao contrário da comparação feita na Seção 4.1, onde se considerou assintonias encontradas por todas as meta-heurísticas. Isso porque para todos os índices assintonias encontradas pelo AG foram as melhores, e, em detrimento do que ocorreu comas outras duas meta-heurísticas, o índice W com k1 = 10 e K2 = 400 apresentou melhorresposta, pois além de ter um menor tempo de subida, não apresentam grandes valores deovershoot nem muitas oscilações de alta frequência.

Observa-se que nenhuma das sintonias utilizando o índice proposto resultaram emgrandes overshoot, tampouco houveram oscilações de alta frequência, ou seja, não resul-taram em respostas oscilatórias. Ao que parece, ao longo das gerações, as soluções encon-tradas com o AG empregando o índice proposto com k1 = 10 e K2 = 400, que espera-seapresentar um resposta mais rápida porém com mais oscilações, foi perdendo essa carac-terística e preservando aquela, o mesmo não ocorreu, nas outras meta-heurísticas, comopode se observar na análise apresentada na Seção 4.1.

Capítulo 5

Conclusão

Diante do apresentado, pode-se observar a viabilidade da utilização da transformadawavelet e da sua análise multinível, já muito utilizada nas mais diversas aplicações deanálise de sinais, como função de avaliação para meta-heurísticas aplicadas na sintoniade controladores. Durante os testes realizado para comparar diferentes estratégias, tantode utilização de meta-heurísticas como pela utilização de sistema de desacoplamento econtroladores PI por LGR, se tinham como objetivo projetar sistemas de controle queoriginassem resposta com pouco overshoot, rápida, mas com poucas oscilações de altafrequência.

Entre as meta-heurísticas o AG encontrou os controladores com melhor desempenho,os encontrados pelo AV apresentaram desempenho bastante semelhante, enquanto o PSOsintonizou os piores controladores. Atribui-se essa diferença de desempenho dos con-troladores a escolha dos parâmetros de cada algoritmo, escolha essa que é sempre umdesafio, exigindo experiência no uso de uma dada meta-heurística para que se escolha pa-râmetros adequados que resultem em uma convergência satisfatória. A melhor escolha deparâmetros levou a uma adequada exploração do espaço de busca pelo AG possibilitandoo melhor desempenho dos controladores por ele sintonizados.

Já a estratégia clássica, que utiliza do desacoplamento invertido de controladores PIsintonizado pelo método do LGR, comparando-se com o desempenho dos controladoressintonizados pelo AG, aqueles que tiveram melhor desempenho, apresentou resultado se-melhante, tendo pior desempenho que as sintonias pelo AG empregando os índices W eIAE, mas melhor que a sintonia empregando ITAE. Se atribui esse menor desempenhoda estratégia clássica à linearização, visto que o afastar do ponto de operação resulta emsua degradação, enquanto que o projeto de pelas meta-heurísticas considerou o sistemanão-linear, sendo considerado inclusive o sinal de referência empregado.

As diferentes funções de avaliação apresentaram desempenhos semelhantes, destacando-se o IAE e a função proposta. O controlador sintonizado pelo AG com o indice propostocom valores de k1 = 10 e K2 = 400 apresentou melhores resultados entre todas as sin-tonias. Contudo, ao analisar-se os valores de k1 e K2 percebe-se, que maiores valores,proporcionalmente, de k2 inibem um maior número de oscilações de alta frequência, oque, no geral, também levou a menores overshoots, assim para o PSO e o AV a esco-lha de k1 = 10 e k2 = 400 apresentou bastante oscilações de alta frequência, para essasmeta-heurísticas um melhor resultado foi encontrado utilizando k1 = 1 e K2 = 400.

Pelos resultados obtidos, pode-se observar que a função de avaliação proposta conse-

CAPÍTULO 5. CONCLUSÃO 59

guiu mapear adequadamente o desempenho dos controladores para as meta-heurísticas,apontando de forma satisfatória os melhores controladores. Embora o estudo realizadonesse trabalho tenha sido aplicado apenas a análise das oscilações de alta frequência,associadas ao transitório, espera-se que o mesmo possa ser estendido à análise de rejei-ção à pertubação e ao ruído. É importante ressaltar ainda, que se espera que a diferençade desempenho dos controladores encontrados usando a função de avaliação proposta,mostrem-se ainda mais promissoras com controladores mais complexos, ou seja, quandohá mais parâmetros a serem ajustados. Isso porque esses controladores tendem a introdu-zir mais dinâmicas a resposta, podendo resultar em respostas mais oscilatórias quando malsintonizados. A função de avaliação estudada visa, justamente solucionar esse problema.Há de se ressaltar ainda, que ao contrário de outras funções de avaliação, a função deavaliação proposta neste trabalho não pressupõe que o sinal de referência seja um degrau,podendo ser aplicada a quaisquer sinais de referência.

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