UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA'1

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

Análise e Projeto de Controladores PID Adaptatives Baseados

em Istimaçio de Parâmetros: Um Estudo de Caso

por

Wesley Romão

Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção

do grau de Mestre em Ciência da Computação.

Orientador: Prof. Antonio Augusto Rodrigues Coelho, Dr.

Florianópolis, agosto de 1996

Análise e Projeto de Controladores PID Adaptativos Baseados em Estimaçãode Parâmetros: um Estudo de Caso

Wesley Romão

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de Mestre em Ciências da Computação, Especialidade Sistemas de Computação, e aprovada em sua forma final pelo Curso de Pós-Graduação em Ciências da Computação da Universidade Federal de Santa Catarina.

i .

Prof. Antojiio Augusto RodriguesCoelho, Dr. Sc. Orientador, EEL, UFSC

Prof. Murilo Silva de Camargo, Dr. Eng. Coordenador do Curso, INE, UFSC

Banca Examinadora:

Prof. Anton^c/ Augusto Rodrigues Coelho, Dr. Sc. Presidente, EEL, UFSC

Prof. Joãi I Bosco da Mota Alvès^Dr. Sc. 'INE, UFS

iapaglia, Dr. Ing.

Prof. Francisco José Gomes, Dr. Sc. FE, UFJF

Ao onisciente Deus criador do universo, e a seu filho Jesus, homem,

sejam atribuídas toda honra e glória.

À minha querida esposa Rosicler, que me incentivou e apoiou

durante todo o curso de mestrado.

Agradecimentos

Ao professor e orientador Antonio Augusto Rodrigues Coelho, pela minha introdução na área de controle adaptativo e pela orientação permanente sempre disponível.

Ao Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), onde o meu orientador está vinculado.

Ao amigo José Mazzucco Junior e esposa, pela acolhida, atenção e confiança dispensada.

Ao Colega de mestrado Greco, pelo companheirismo.

À Deus, pela paz, força e realização em tudo que tenho feito.

À minha esposa,fiel ajudadora, que está sempre ao meu lado me estimulando a continuar na batalha.

À minha mãe, Catarina, e minha irmã Dirce, pela interseção e apoio.

Ao Departamento de Informática da Universidade Estadual de Maringá, que investiu em meu aperfeiçoamento técnico, permitindo que eu realizasse o curso de pós-graduação.

Ao Departamento de Informática e de Estatística da UFSC, onde realizei o curso de mestrado.

À CAPES, que me concedeu uma bolsa de estudos.

RESUMO

Este trabalho apresenta um estudo comparativo de cinco controladores PID adaptativos quando empregados no controle de um processo térmico que apresenta atraso de transporte. O método mais popular de identificação paramétrica, denominado mínimos quadrados recursivo, é utilizado para estimar os parâmetros do controlador ou do processo. Algumas modificações no algoritmo básico do estimador, que estão disponíveis na literatura, são introduzidas com o objetivo de manter o algoritmo alerta à mudanças paramétricas no processo. O processo avaliado é composto por dois tanques interligados onde a variável controlada é a temperatura em um dos tanques e a variável de controle atua em uma resistência elétrica que aquece a água no outro tanque. O processo é simulado em computador através de um modelo matemático discreto de segunda ordem. Os algoritmos de controle são implementados via MATLAB e resultados de simulação são apresentados;

ABSTRACT

This work presents a comparative study of five adaptive PID controllers applied to the control of a temperature process with time delay. The most popular identification method, called Recursive Least-Squares, is used for on-line controller or process model parameter estimation. Several modifications in the basic estimator algorithm, which have appeared in the literature, are discussed. The basic scheme is slightly altered in order to prevent loss of alertness to changing process parameters. The evaluated process consists of two tanks connected by a pipe where the temperature in the second tank is the controlled variable adjusted by an electrical heater in the first tank (control variable). The process is simulated by a computer through the second-order discrete mathematical model. The control algorithms are implemented by MATLAB and simulation results are shown.

SUMÁRIO

Página1. Considerações Iniciais....................................................................................... 1

1.1 Introdução.................................................................................................... 11.2 Objetivo........................................................................................................ 21.3 Justificativa.................................................................................................. 21.4 Estruturada Tese ........................................................................................... 3

2. Conceitos Básicos em Controle Automático.................._.....__....________... 042.1 Introdução................................ :............................................................................. 042.2 Histórico do Controle Automático............................................................... ..........042.3 Organização da Automação Industrial......................................................... ..........052.4 Definições Básicas em Controle de Processos............................................ ..........062.5 Análise da Resposta de um Sistema de Controle........................................ ..........082.6 Conclusão......................... ........................... ................................................ ..........09

3. Fundamentos em Controle PID Adaptativo.................................................... ..........103.1 Introdução......................................... .......................................................... .......... 103.2 Controlador PID........................................................................................... .......... 10

3.2.1 Modelagem Matemática do Controlador PID .................................. ..........123.2.2 Controladores PID Modificados..................................................................13

3.3 Modelos de Processos............ ............................................................................... 153.4 Controle Adaptativo..................................................................................... .......... 16

3.4.1 Evolução do Controle Adaptativo ...................................................... .......... 163.4.2 Controlador PID no Contexto Adaptativo........................................ ...........18

3.5 Estimador dos Mínimos Quadrados Recursivo.......................................... ........... 203.5.1 Estimação de Processos Variantes no Tempo........... ..................................233.5.2 MQR com Fator de Esquecimento Variável..................................... .......... 243.5.3 MQR com Atualização da Matriz de Covariância........................... .......... 253.5.4 MQR Amortecido.............................................................................. ........... 26

3.6 Conclusão..................................................................................................... .......... 27

4. Descrição das Técnicas de Controle PID Adaptativas .................................... .......... 284.1 Introdução............................................................................................ ................... 284.2 Projeto do Controlador PID Adaptativo de Clarke e Gawthrop................. ........... 294.3 Projeto do Controlador PID Adaptativo de Cameron.................................. ...........354.4 Projeto do Controlador PID Adaptativo de Zhu-zh i................................... ........... 40

ix

4.5 Projeto do Controlador PID Adaptativo de De Keyser..........................................434.6 Projeto do Controlador PI Adaptativo de Camacho...............................................474.7 Conclusão.................................................................................................................48

5. Resultados de Simulação via MATLAB........ .................................. ..........................505.1 Introdução............................................................................................................... 505.2 Características do Processo de Temperatura..........................................................505.3 Modelagem Matemática do Processo Simulado....................................................515.4 Considerações para a Simulação.................................................................. ..........525.5 Resultados com o Controlador PID de Ganhos Fixos................................. ..........545.6 Resultados com o Controlador PID Adaptativo de Clarke/Gawthrop........ .......... 565.7 Resultados com o Controlador PID Adaptativo de Cameron..................... .......... 585.8 Resultados com o Controlador PID Adaptativo de Zhu-zhi....................... ...........645.9 Resultados com o Controlador PID Adaptativo de De Keyser................... .......... 685.10 Resultados com o Controlador PI Adaptativo de Camacho..................... ...........705.11 Comparações das Técnicas de Controle...............................................................735.12 Conclusão.............................................................................................................. 73

6. Conclusões G erais......................................................................................................... 75

Referências Bibliográficas................................................................................................77

Ánexos...................................................................................................................... ...........81Anexo 1 - Controlador PID de Ganhos Fixos................................................................ 81Anexo 2 - Controlador PID Adaptativo de Clarke e Gawthrop......................... ...........83Anexo 3 - Controlador PID Adaptativo de Camerom.............. .......................... .......... 85Anexo 4 - Controlador PID Adaptativo de Zhu-zhi.......................................................87Anexo 5 - Controlador PID Adaptativo de De Keyser.................................................. 89Anexo 6 - Controlador PI Adaptativo de Camacho.......................................................91

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CAPÍTULO 1

Considerações Iniciais

1.1 Introdução

Na indústria, muitos processos (ou máquinas) necessitam do auxílio do computador para obterem o melhor desempenho produtivo (maximizar a qualidade do produto, minimizar o consumo de energia, diminuir os impactos negativos ao meio ambiente e outros). A partir de informações obtidas de um processo em tempo real, através de técnicas matemáticas ou inteligentes o computador determina atuações ao processo que podem adequa-lo às condições de operação. Para proporcionar um comportamento apropriado ao processo existem vários algoritmos de controle (controladores) disponíveis na literatura de controle de processos [ROMÃO, 1996],

A maioria dos sistemas de controle de processos utilizados, e os mais conhecidos até a atualidade, são os do tipo Proporcional, Integral e Derivativo, ou de 3 termos, denominados PID.

Durante as últimas décadas observa-se um considerável interesse em uma nova concepção de sistemas de controle, denominados adaptativos (ou auto-ajustáveis), os quais automaticamente ajustam os parâmetros do controlador, em tempo real, junto ao processo em resposta a mudanças na planta ou ambiente. Os controladores adaptativos proporcionam um meio sistemático e flexível na solução de problemas de controle devidos a existência de processos com incertezas, não-linearidades e parâmetros variantes no tempo. Uma possibilidade de implementação é projetar controladores adaptativos adequando-os para que apresentem uma estrutura do tipo PID.

No meio industrial, a principal motivação para se projetar controladores adaptativos consiste em garantir um produto manufaturado de qualidade constante, um comportamento controlado das unidades industriais e a economia de energia e de matéria prima durante todo tempo de operação. Mais particularmente, controle adaptativo tem sido utilizado no controle de instalações polivalentes, normalmente usadas na indústria de química fina, em reatores e bioreatores, em processos de separação (destilação, extração líquido-líquido, absorção) e processos térmicos (fomos, trocadores de calor, aquecedores).

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Os métodos de projeto para o desenvolvimento de controladores PID adaptativos tem sido baseados na minimização de uma função custo ou através da alocação dos pólos (zeros) em malha fechada para obter-se o comportamento especificado pelo usuário. Um número considerável de resultados teóricos e de aplicações de controladores adaptativos estão disponíveis na literatura, conforme apresentado em [CLARKE, 1975], [PARKS, 1980], [SEBORG, 1986] e [ÂSTRÕM, 1990a],

'.

1.2 Objetivo

O objetivo da tese é projetar controladores PID adaptativos e avaliar o melhor desempenho, suficiente pàra controlar um processo térmico que apresenta atraso de transporte^ A avaliação é realizada através da análise dos resultados de simulação, via MATLAB, baseada nas seguintes especificações: ,

1

• tempo de estabilização', considera-se o tempo que o sistema necessita para a saída alcançar e manter-se dentro de uma aproximação de 5% do valor final;

• sobre-elevação: percentual máximo de desvio da saída acima do valor de referência;• variância do erro: soma do erro quadrático entre a referência e a saída, dividida pelo número

de amostras;• variância do controle: soma do erro quadrático entre o sinal de controle e a média do

controle, dividida pelo número de amostras;• efeito da perturbação: considera-se o percentual de desvio na saída do sistema devido a uma

perturbação inserida na saída do processo durante um determinado intervalo de tempo; esforço computacional, quantidade total de operações realizadas durante a simulação.

Para selecionar o controlador mais adequado para o estudo de caso, é feita a revisão dos projetos e a comparação do desempenho de cinco controladores PID adaptativos apresentados na literatura: [CAMERON, 1983], [ZHU-ZHI, 1985], [DE KEYSER, 1988], [ROFFEL, 1989] e [CAMACHO, 1992],

1.3 Justificativa

Aproximadamente 90 a 95% de todos os problemas de controle podem ser resolvidos através do emprego de controladores PID [ÂSTRÕM, 1996],

\ O controlador PID proporciona um desempenho satisfatório no acompanhamento de um sinal de \ referência e na rejeição de perturbações quando o processo controlado é de ordem reduzida, (linear e invariante no tempo.

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No entanto, se o processo não apresenta as simplicidades mencionadas, o desempenho do controlador PID de ganhos fixos pode ficar comprometido ou exigir repetidos ajustes de sintonia dos seus parâmetros (tarefa de sintonização nem sempre trivial). Neste caso, uma-altemativa é a utilização de estratégias de controle adaptativo.

O processo térmico estudado pode ser controlado por um controlador PID de ganhos fixos (veja resultados de simulação na seção 5.5). Entretanto, para se obter um desempenho adequado, sem a necessidade de uma nova sintonia dos ganhos, na presença de incertezas, ou sintonia por tentativa e erro, sugere-se a utilização de controladores adaptativos com estrutura PID, possibilitando a escolha da melhor técnica de controle PID adaptativa para a aplicação particular.

1.4 Estrutura da Tese

Este trabalho constitui-se de seis capítulos esquematizados da seguinte forma: Considerações Iniciais. Conceitos Básicos em Controle Automático. Fundamentos em Controle PID Adaptativo. Descrição das Técnicas de Controle PID Adaptativas. Resultados de Simulação via MATLAB. Conclusões Gerais.

O capítulo 1 contém introdução, objetivo, justificativa e a descrição da estrutura da tese, enquanto que o capítulo 2 é dedicado à introdução dos conceitos básicos utilizados na área de controle automático, visando facilitar o entendimento por parte do leitor que não está acostumado com os principais termos desta área.

No capítulo 3 apresenta-se um estudo sobre os controladores PID e controladores adaptativos, destacando-se a importância de se empregar controladores adaptativos com estrutura PID. Discute-se também a estimação de parâmetros através do método dos mínimos quadrados recursivo destacando-se algumas modificações, para melhorar a robustez do estimador, disponíveis na literatura.

No capítulo 4 apresenta-se as técnicas de projeto, os algoritmos e as deduções dos controladores PED adaptativos avaliados, enfocando tanto a lei de controle quanto a estimação de parâmetros.

O capítulo 5 abrange a modelagem matemática e a descrição da planta utilizada no estudo simulado. Os detalhes de implementação dos algoritmos e os resultados de simulação computacionais com os diferentes tipos de controladores são mostrados.

Finalmente, as conclusões e sugestões para futuros trabalhos são apresentadas no capítulo 6.

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CAPÍTULO 2

Conceitos Básicos em Controle Automático

2.1 Introdução 7

A modernização da indústria tem desencadeado uma profunda mudança nos parâmetros sociais e econômicos mundiais. Com o desenvolvimento tecnológico, o computador passou a integrar todos os setores produtivos da indústria, representando um fator decisivo no aumento da produtividade, na qualidade dos produtos e na flexibilidade de produção.

Assim, como em todas as áreas de produção ou prestação de serviços, a implementação de sistemas de computação representa um dos principais ingredientes para o desenvolvimento da área de controle automático de processos industriais.

Este capítulo tem por objetivo situar o trabalho no universo dos sistemas de computação, introduzindo os principais conceitos básicos relacionados em sistemas de controle automático.

Na seção 2.2 apresenta-se a evolução do controle automático, enquanto que na seção 2.3 descreve-se a hierarquia organizacional da automação industrial.

A seção 2.4 é dedicada às definições básicas utilizadas nesta tese. Na seção 2.5 apresenta-se fundamentos de análise da resposta transitória de sistemas de controle e, na seção 2.6, descreve- se as conclusões deste capítulo.

2.2 Histórico do Controle Automático

Com a revolução industrial, iniciada na Inglaterra, o trabalho muscular foi substituído pelo trabalho das máquinas. No século 18, James Watt desenvolveu o primeiro sistema de controle automático de velocidade de uma máquina a vapor, denominado de controlador centrífugo. Em 1922, Minorsky desenvolveu um controlador automático para pilotagem de navios baseado em equações diferenciais [GOMIDE,1986].

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Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento para determinar a estabilidade de sistemas em malha fechada através da análise da resposta a entrada senoidal em sistemas de malha aberta. Em 1934, Hazen discutiu o projeto de servomecanismos à relê para acompanhar uma entrada variável. Na década de 1940, engenheiros começaram a projetar sistemas de controle lineares com realimentação.

Na indústria de processos, foi introduzida a instrumentação eletrônica que possibilitou a instalação de salas de controle construídas a grandes distâncias dos processos.

Com a introdução do controle numérico abriu-se uma nova fase, uma vez que baseava-se no uso de computadores digitais como parte integrante do sistema de controle. O computador passou a representar um fator decisivo no aumento da produtividade, na qualidade dos produtos e na flexibilidade de produção.;Os sistemas de computação começaram a ser introduzidos em todos

l os segmentos da indústria, desde o nível de chão de fábrica até ao nível da gestão empresarial, dando origem à automação industrial.

A proliferação dos microcomputadores e a melhoria das interfaces e periféricos permitiram diminuir os custos e aumentar a velocidade e eficiência dos equipamentos computacionais. Além disso, ^ surgimento das redes locais e o desenvolvimento da tecnologia da informação contribuíram para dar origem a automação industrial integrada.

Naturalmente, um grande impacto econômico e social está associado a estes desenvolvimentos tecnológicos. Fatores como, competitividade, qualidade, custos, uso racional da matéria prima, dentre outros, estão exigindo uma maior eficiência nas indústrias.^A junção da tecnologia, da metodologia (sistema, controle, otimização, modelagem, etc.) e dos conhecimentos sobre a dinâmica dós processos proporcionaram um novo período na automação: o período da ^ automação industrial integrada inteligente, com a implementação de controladores ótimos^J idaptativos e com inteligência artificial.

2.3 Organização da Automação Industrial

Devido as características dos processos industriais (grandes quantidades de materiais, energia e informações envolvidas), os operadores, supervisores, gerentes e diretores devem estar continuamente informados a respeito do estado da planta. O objetivo é ajustar a produção para atender as necessidades de mercado, mantendo uma alta produtividade, qualidade e baixos custos de produção. As decisões estratégicas, provenientes dos níveis superiores, devem ser incorporados ao processo produtivo. Para isto, são necessários sistemas de computação integrados.

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í Um sistema de informação e controle integrados, em uma indústria moderna, pode ser visto a como sendo composto de uma hierarquia com múltiplos subsistemas localizados em áreas (_diferentes [GOMIDE,1986], interligados através de um sistema de redej Funcionalmente, as

tarefas associadas aos vários segmentos da indústria podem ser agregadas em cinco níveis básicos:

i) nível de gerenciamento: a partir deste nível tem-se acesso a qualquer informação da hierarquia, como por exemplo o gráfico demonstrativo do andamento de um determinado sinal de controle ou o estoque de determinado produto, de forma a obter informações para tomadas de decisão;

ii) nível de planejamento: deve planejar o uso eficiente de recursos, minimizar custos, maximizar a produção e a qualidade dos produtos;

iii) nível de coordenação: estabelece um programa de produção para os subsistemas. Fornece serviços de aquisição de dados, para estudo e análise pela engenharia, de alocação de pessoal, além de serviços de comunicação entre os níveis inferiores e superiores;

iv) nível de supervisão: possui a função básica de coletar, processar e manter as bases de dados atualizadas; realiza diagnósticos nos elementos do próprio nível e do nível inferior, fornece serviços de interfaces homem/máquina e mantém comunicação com os outros níveis;

v) nível de controle direto da planta: é responsável em manter as condições normais de operação do processo nos limites preestabelecidos pelo operador. Possui a função de detectar e responder a qualquer situação irregular da planta.

Cada nível pode ser automatizado por um sistema de computação que, para ser desenvolvido, exige análise e projeto envolvendo conhecimentos básicos específicos do seu seguimento.

2.4 Defíní^õe^BlísTcãs em Controle de Processos

A presente tese se insere no nível hierárquico de controle direto da planta. Nesta seção apresenta-se conceitos básicos, utilizados neste nível, tais como:

j i) sistemas: combinação de componentes que agem em conjunto para alcançarem um ' determinado objetivo;

ii) Processos: existem várias definições. Nesta tese designaremos qualquer operação a ser controlada. Exemplos são processos químicos, biológicos, térmicos e econômicos;

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iii) controle de processos: é a técnica que consiste em medir o que se deseja controlar, comparar o resultado da medição com o valor que para ela se deseja e agir sobre o sistema no sentido de diminuir a diferença existente;

iv) malha aberta: sistema no qual a saída não têm efeito na ação do controle, isto é, a saída não é medida nem realimentada para comparação com a entrada;

v) controle em malha fechada: sistema no qual o sinal de saída do processo tem efeito direto na ação de controle;

vi) sistema de controle realimentado: sistema em malha fechada onde a saída do processo é comparada com a referência para se obter a diferença (erro) que é utilizada como entrada no controlador. Veja figura 2.1.

vii) perturbação: é um sinal que tende a afetar adversamente o valor da saída de um sistema;

viii) controladores adaptativos: as características dinâmicas da maioria dos sistemas de controle não são constantes devido a várias razões, tais como deterioração de componentes ao longo do tempo ou variações em parâmetros e ambiente (por exemplo, variações das condições atmosféricas de um sistema de controle de temperatura). Se as variações nos parâmetros do processo e ambiente forem significativas, um controlador satisfatório deve possuir a habilidade de adaptação. A adaptação implica a habilidade de se auto-ajustar de acordo com variações imprevisíveis nas condições de ambiente ou estrutura. Os controladores que possuem esta habilidade de adaptação são denominados controladores,/ adaptativos.

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Figura 2.1 - Sistema de controle com realimentação.

Na figura 2.1, tem-se: yr(t) é a referência ou valor desejado; y(t) é a saída do processo (variável controlada); e(t) é a diferença (erro) entre a referência e a saída; e u(t) é a variável manipulada.

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Em sistemas de controle onde as entradas são conhecidas antecipadamente no tempo, e na ausência de perturbações, é aconselhável utilizar controle em malha aberta (simples e de baixo custo para implementação). Na presença de perturbações e/ou variações imprevisíveis no sistema, modificando o comportamento dinâmico do processo controlado, deve-se implementar controle em malha fechada. .__

A comparação, entre a saída do processo e a referência desejada, fornece o sinal de erro, e(t). O controlador recebe o sinal de erro e modifica a variável controlada, y(t), de acordo com o tipo de correção, u(t), inerente a ele. A forma de correção caracteriza o controlador que é classificado segundo suas ações de controle. O sinal de erro é a informação utilizada pelo controlador para manipular a entrada do processo e é denominado de controle com realimentação negativa, sendo utilizado pela maioria dos sistemas de controle automático.

Os tipos de operação de malha de realimentação negativa são classificados de acordo com:

a) operação servo:■ objetiva fazer a variável controlada acompanhar a variação da referência. Neste caso não ocorrem perturbações e sim variações do valor desejado;

b) operação reguladora: esta é a operação mais comum em processos industriais e visa manter a variável manipulada em um valor fixo igual ao valor desejado, yr(t), apesar da presença de perturbações.

2.5 Análise da Resposta de um Sistema de Controle

Um sistema de controle direto da planta requer a análise e projeto preliminares antes da sua efetiva implementação. ̂ p rim eiro passo para a análise de um sistema de controle é encontrar um modelo matemático que o represente satisfatoriamente [OGATA, 1993], Depois do modelo existem vários métodos para análise do desempenho do sistema. ^

(Para comparar o desempenho de vários sistemas, especifica-se sinais de teste de entrada ej [compara-se as respostas da saída dos diferentes sistemasj Muitos critérios de projeto são baseados em tais sinais ou na resposta à mudanças iniciais. O uso de sinais de teste se justifica pela correlação existente entre o comportamento de um sistema diante de sinais de teste e a capacidade do sistema para responder aos sinais de entradas reais.

(Os principais sinais de teste utilizados, para a análise e o projeto de desempenho de sistemas dei, ^controle, são as funções: degrau, rampa, aceleração, impulso e senoidaljEm geral, estuda-se a

qualidade de sistemas (comportamento dinâmico) através da resposta à referência degrau ou onda quadrada.

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ÍA resposta de um sistema de controle consiste em duas partes: a resposta transitória e a resposta/ de regime. Entende-se por resposta transitória aquela que vai do estado inicial até um estado] final. Por resposta de regime, entende-se a maneira como a saída do sistema se comporta quando) o tempo tende ao infinito.

Ao projetar-se um sistema de controle, deve-se prever o seu comportamento dinâmico. A característica mais importante do comportamento é a estabilidade absoluta, isto é, se o sistema é estável ou instável [OGATA, 1993], Um sistema está em equilíbrio, na ausência de qualquer perturbação ou referência, se a saída permanece no mesmo estado. Além do comportamento dinâmico do processo deve-se considerar a estabilidade relativa em termos de tempo de subida, sobre-elevação, tempo de pico e máximo valor de pico.

Em determinadas implementações, a resposta transitória de um sistema real apresenta oscilações antes de alcançar o estado de regime. Se a saida de um sistema em regime não acompanha a referência de operação, diz-se que o sistema apresenta erro em regime. Ao analisar um sistema, deve-se avaliar o comportamento da resposta transitória (tempo de estabilização) e o valor do erro em regime.

Depois da análise e antes da implementação de um sistema de controle, o estudo de simulação é J _o caminho indicado para simplificar o projeto de controladores confiáveis e robustosj Uma alternativa é a simulação utilizando o ambiente MATLAB que contém uma linguagem de programação própria simplificada, através de macro comandos, de grande capacidade algorítmica que simplifica o desenvolvimento do sistema.

Um sistema de controle direto da planta pode ser implementado através de “hardware” ou “software”. A presente tese apresenta a análise e. projeto de um sistema de controle por “software” indo até a fase de definição da melhor estratégia de controle e do algoritmo a ser implementado.

2.6 Conclusão

Os sistemas de computação estão por toda parte inclusive na área de controle automático. Neste capítulo, apresentou-se um histórico da automação industrial e a sua organização hierárquica, destacando-se o nível de controle direto da planta como objeto de estudo na presente tese.

Em automação industrial, o controle direto da planta envolve um sistema de computação que requer conceitos básicos os quais foram definidos. Além disso, foi introduzida a análise da resposta do sistema, enfatizando-se a necessidade de se realizar estudos de simulação antes da efetiva implementação de um sistema de controle automático através de “software”.

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3.1 Introdução

O objetivo deste capítulo é apresentar os principais conceitos envolvidos no projeto de controladores PID adaptativos. Na seção 3.2 tem-se a modelagem matemática contínua e discreta do controlador PID bem como as modificações estruturais que podem ser efetuadas visando uma concepção de controle robusto.

Na seção 3.3 mostra-se os diferentes tipos de modelos para representação de processos, enquanto que, na seção 3.4, apresenta-se a evolução do controle adaptativo, a diferença entre controle adaptativo direto e indireto e o controlador PID no contexto auto-ajustável .

A seção 3.5 dedica-se a apresentação do estimador do mínimos quadrados recursivo, com diversas modificações apresentadas na literatura, para melhorar o desempenho na estimação de parâmetros.

3.2 Controlador PID

É de conhecimento comum, por parte de operadores, engenheiros e de pesquisadores da área de automação industrial, a existência de controladores com as propriedades de ação Proporcional, Integral e Derivativa, denominado de PID, ou de três termos, como descrito por [ÂSTRÔM, 1990a] e [COELHO, 1994a],

Os controladores PID surgiram na década de 30 quando eram implementados por dispositivos pneumáticos e mecânicos. Com o advento dos semicondutores, os controladores PID passaram a ser implementados em “hardware” analógico. Na década de 60, com o aparecimento dos circuitos integrados, foram implementados em “hardware” digital.

Com o surgimento dos computadores, na década de 50, desenvolveram-se os controladores PID digitais implementados por “software”.

11

Desde a década de 80, com o barateamento dos microcomputadores, os controladores PID estão sendo extensivamente utilizados na indústria mundial e atualmente fazem parte do cotidiano de engenheiros e operadores que atuam a nível de chão de fábrica (local onde existem os processos a serem controlados, instrumentação e controladores).

\f\ ̂O controlador PID a muito tempo é o algoritmo de controle mais utilizado, é capaz de controlar\

v Luma grande variedade de processos se sintonizado adequadamente e está incorporado a operação J de processos industriais devido a sua simplicidade, baixo custo e ao fato de que normalmentej

^proporciona um desempenho satisfatório ao processo controlado ([ÂSTRÕM, 1996] e [POULIN, 1996]).

Na verdade existe uma classe de controladores, denominada PID, dividida da seguinte forma:0 Oo n 'íroVci }yo ( P \ D

Controlador Proporcional (P): fornece uma relação linear (ganho) entre o sinal de entrada e a saída do controlador;

Controlador Proporcional e Integral (PI): ação proporcional associada com uma ação integral que faz a saída do controlador aumentar numa taxa proporcional a integral da entrada do controlador;

Controlador Proporcional e Derivativo (PD): ação proporcional associada com uma ação derivativa na qual a saída do controlador é diretamente proporcional à taxa de variação da sua entrada, ou seja, com base na tendência do erro, a ação derivativa se antecipa na ação de

controle.

Controlador PID: incorpora as três ações descritas anteriormente.

O controle PI é apropriado para sistemas onde um comportamento de primeira ordem é dominante, enquanto o controle PID é indicado para sistemas com dinâmicas de segunda ordem, sendo estes casos obtidos na maior parte dos processos encontrados na indústria [ÂSTRÕM,

vJ995],

Os controladores PID podem ser empregados, também, em processos complexos que são difíceis para controlar, desde que não se requeira um ótimo desempenho: No entanto, existem situações práticas onde é possível obter um comportamento dinâmico melhor através de outros tipos de controladores. Exemplos típicos são processos com um longo atraso de transporte e sistemas oscilatórios. Entretanto, existem casos onde os controladores PID são mesmo inadequados.

3.2.1 Modelagem Matemática do Controlador PID

Um controlador PID digital pode ser obtido do controlador PID analógico. Considere a equação contínua do controlador PID dada por

u(t) = Kpe(t) + KiJ e(t)dt + Kd de(t)dt

(3.1)

onde Kp é o ganho proporcional; Ki é o ganho integral; Kd é o ganho derivativo; u(t) é o sinal de controle; e(t) é o erro entre a referência (yr) e a saída do processo (y), dado por

e(t) = yr(t) - y(t)

Aplicando a transformada de Laplace [ISERMANNl 1981 ] na equação (3.1) tem-se

(3.2)

VU(s) =

KiKp + —- + Kds

sE(s) (3.3)

Substituindo-se a derivada pela diferença de primeira ordem e a integral pela aproximação retangular, obtém-se a equação discreta do controlador PID dada por

U(z) =KiTs Kd _k

Kp + ------- + — (1 -z ')1 - z 1 Ts

E(z) (3.4)

onde Ts é o período de amostragem.

Os controladores PID, representados pelas equações (3.1) e (3.4), são designados de algoritmos posicionais porque a saída do algoritmo é a variável de controle. Em muitos casos é natural que o algoritmo de controle gere um valor para ser adicionado ao sinal de controle anterior. Uma lei de controle deste tipo é denominada de algoritmo de velocidade. Em implementações digitais, o algoritmo de velocidade também é denominado de algoritmo de controle incremental.

A partir da equação (3.4) obtém-se a equação do controlador PID discreto incremental dado por

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Existem várias concepções para implementar um controlador PID. Estruturas diferentes fornecem desempenhos diferentes com relação ao sistema em malha fechada e a possibilidade de sintonizar o controlador é também influenciada pela escolha da estrutura [WITTENMARK, 1979],

É fácil observar que variações bruscas na referência, yr(t), influenciam diretamente o erro e(t) que varia instantaneamente conforme a equação (3.2). Quando ocorrem variações bruscas no erro, e(t), os termos proporcional e derivativo geram ações de controle, u(t), que podem ser excessivas (de grande magnitude) a ponto de comprometer a operação do atuador do processo. Para solucionar este problema as ações proporcional e derivativa podem ser consideradas apenas sobre a saída, y(t), através de diferentes combinações apresentadas nos diagramas em blocos das figuras 3.1 a 3.5, sendo:

a) controlador PID convencional (figura 3.1) onde as ações proporcional, integral e derivativa atuam sobre o erro entre a saída do processo e a referência;

3.2.2 Controladores PID Modificados

Figura 3.1 - Controlador PID convencional

b) controlador PI+D (figura 3.2) realiza a ação derivativa apenas no sinal de saída e as ações proporcional e integral sobre o erro. E a estrutura implementada na maioria dos controladoresPID;

-v(t)

Figura 3.2 - Controlador PI+D

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c) controlador P+I+D (figura 3.3) é a menos utilizada. Aqui as ações proporcional e derivativa atuam apenas no sinal de saída, enquanto a áção integral atua sobre o erro;

Figura 3.3 - Controlador P+I+D

d) controlador PIDf (figura 3.4) pode ser interpretado como um controlador PI, em cascata com uma ação derivativa filtrada, que atua sobre o erro;

Figura 3.4 - Controlador PID{-

e) controlador PI + Df (figura 3.5) corresponde ao controlador PI, que atua sobre o erro, mais uma ação derivativa filtrada que ocorre apenas sobre o sinal de saída do processo.

Figura 3.5 - Controlador PI + Dt-

Conforme [WITTENMARK, 1979], geralmente as versões contínuas (d) e (e), mostradas nas figuras 3.4 e 3.5, são mais fáceis de sintonizar do que as versões (a), (b) e (c), mostradas nas figura 3.1, 3.2 e 3.3, respectivamente. Nos projetos dos controladores PID adaptativos desenvolvidos no capítulo 3, são implementadas as estruturas das figuras 3.1 e 3.3.

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3.3 Modelos de Processos

Dependendo da técnica de controle a ser empregada no projeto de controladores adaptativos, é necessário a consideração de um modelo que represente satisfatoriamente o processo a ser controlado. Um processo pode ser representado pela expressão geral dada por

A(z-')y(t) = z-tB(z-')u(t) + H ^ i a t ) (3.6)D(z )

onde A, B, C, D são polinómios em z \ de ordens nA, nB, iiç e nD, respectivamente; y(t) é a saída do processo; u(t) é a entrada; ç(t) é um ruído branco discreto de média nula e de variância finita; k é o atraso de transporte discreto do sistema. A tabela 3.1 ilustra seis casos particulares de modelos lineares (representando uma variedade de processos), obtidos à partir da expressão (3.6), onde o parâmetro “n” representa a ordem do sistema.

Os aspectos adaptativos de um controlador, ou seja, a contínua estimação dos parâmetros do modelo baseada nas medidas de entrada e saída do processo, permitem a utilização de modelos lineares como uma aproximação de sistemas não-lineares. Assim, um controlador adaptativo pode controlar adequadamente um sistema não-linear [SCHMIDT, 1995],

Tabela 3.1 - Modelos lineares utilizados em controle

Modelo nA Ob nr nD DARX (AutoRegressive exogenous) n < n 0 0 1

ARMA (AR Moving Average) n 0 > 0 0 1ARMAX (ARMA exogenous) n < n > 0 0 1

ARIX (ARX Integrated) n < n 0 1 1 - z 1

ARIMAX (ARMAX Integrated) n < n >0 1 1 - z 1FIR (Finite Impulse Response) 0 nH- 1 - -

No projeto dos controladores avaliados neste trabalho, são utilizados os modelos ARX, ARMAX, ARIMAX e FIR.

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O prefixo Adapt (do inglês) significa mudança de comportamento em função das circunstâncias. Em controle, um sistema adaptativo é aquele que pode modificar seu comportamento em resposta a mudanças na dinâmica do processo e diante de perturbações. Sistemas adaptativos possuem capacidades importantes e propriedades interessantes que podem ser incorporadas no projeto de novos controladores.

Em um sistema de controle adaptativo, as características dinâmicas devem ser identificadas em todos os instantes de modo que os parâmetros do controlador possam ser ajustados de maneira a manter o melhor desempenho. Este conceito possui um grande atrativo para o projetista desde que um sistema de controle adaptativo, além de acomodar variações ambientais, também acomodará erros ou incertezas de projeto de engenharia moderados e compensará pequenas falhas de componentes do sistema, aumentando a confiabilidade global do sistema.

Há muito tempo sistemas adaptativos tem sido desenvolvidos e aplicados no controle de processos. A pesquisa em controle adaptativo é multidisciplinar, tendo ligação com as seguintes áreas: Sistemas Lineares; Sistemas Não-Lineares; Teoria da Estabilidade; Projeto de Controladores; Controle Estocástico; Sistemas Amostrados; Identificação de Sistemas; Estimação de Parâmetros; Controle por Computador; Inteligência Artificial; Redes Neurais; Controle Fuzzy; Sistemas Especialistas e Otimização.

3.4 Controle Adaptativo

3.4.1 Evolução do Controle Adaptativo

No início da década de 50, houve pesquisa em controle adaptativo objetivando o projeto de aeronaves automatizadas de alto desempenho que operassem em grande velocidade e altitude. Era necessário projetar controladores sofisticados que apresentassem robustez em grande variedade de condições de operação. No entanto, naquela época não existia uma teoria de controle disponível para explicação de determinados fenômenos.

Na década de 60 existiram contribuições para a teoria de controle que proporcionaram o avanço na área de controle adaptativo. Nesta época foram introduzidas as teorias de espaço de estados e da estabilidade e foram alcançados resultados importantes em teoria de controle estocástico [ÂSTRÒM, 1989], Também obteve-se desenvolvimentos em identificação de sistemas e estimação de parâmetros (veja seção 3.5 sobre estimação).

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De fato, o trabalho de pesquisa tem proporcionado um importante desenvolvimento na área de controle adaptativo nos últimos vinte anos. Vários livros e artigos que abordam aspectos importantes da área de controle adaptativo estão disponíveis ([PARKS, 1980], [ÂSTRÕM, 1989], [ZARROP, 1991], [NAJIM, 1991], [LANDAU, 1993], [POULIN, 1996], [ÂSTRÕM, 1996], por exemplo).

No início da década de 70 foram desenvolvidas várias modificações para o estimador de parâmetros em combinação com vários métodos de projeto. Muitas aplicações foram divulgadas, mas os resultados teóricos foram limitados.

O progresso da teoria de controle adaptativo e a disponibilidade de microcomputadores permitiu o sucesso de diversas aplicações no final da década de 70 e início da década de 80. Conforme [LANDAU, 1993], esta fase é denominada de primeira geração de algoritmos de controle adaptativo (controladores baseados em modelo de referência, controladores auto-ajustáveis de variância mínima).

A segunda geração de controladores adaptativos é o resultado da combinação do esquema de controle adaptativo indireto (veja seção 3.4.2), utilizando um estimador robusto, com um projeto de controle satisfazendo os seguintes requisitos:

i) grande aplicabilidade, ou seja, a planta a ser controlada pode ter zeros estáveis ou instáveis, pólos estáveis ou instáveis e atraso de transporte desconhecido ou variável;

ii) a lei de controle deve ser robusta, com uma boa margem de segurança contra instabilidade;

iii) robustez diante de perturbações;

iv)as especificações devem ser simples.

Conforme [LANDAU, 1993], um estimador robusto é aquele que reconhece a existência de um termo não modelado na resposta do processo, além do ruído e dàs perturbações.

Um algoritmo de controle de segunda geração, figura 3.6, deve possuir um módulo supervisor para assegurar as duas tarefas seguintes:

i) Deve decidir se o estimador prossegue ou interrompe sua atuação, dependendo das medidas de entrada e saída;

ii) Avaliar se o modelo estimado é aceitável antes de efetivamente computar o sinal de controle.

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Segundo [COELHO, 1992], para prevenir imprecisões no algoritmo de estimação, com respeito a “tumoff’, “wind-up”, parâmetros variantes e dinâmicas não modeladas, o módulo de supervisão deve:

i) monitorar o erro de previsão e estimativas de parâmetros para mudanças abruptas no processo que resultem na ruptura do modelo estimado;

ii) ajustar os parâmetros de projeto do algoritmo de estimação às mudanças nas condições de operação do processo;

iii) selecionar um conjunto apropriado de parâmetros para síntese da lei de controle.

Figura 3.6 - Segunda geração de controladores adaptativos.

As tarefas atribuídas ao módulo supervisor tendem a ser enriquecidas a medida que novas pesquisas estão sendo desenvolvidas.

3.4.2 Controlador PID no Contexto Adaptativo

Sistemas de controle PID convencionais até hoje são o esteio da automação industrial [SCHMIDT, 1995], No entanto, estes sistemas tendem a ser insuficientes diante de sistemas complexos (por exemplo: sistemas de ordem superior).

Em processos complexos, onde os controladores PID de ganhos fixos apresentam um desempenho insatisfatório, uma alternativa é a utilização de controladores adaptativos, os quais devem apresentar robustez para se auto-ajustar diante de mudanças na dinâmica do processo ou na presença de perturbação.

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Para facilitar o entendimento e utilização dos controladores adaptativos, por parte de técnicos e operadores, os controladores adaptativos podem ser projetados para apresentar uma estrutura PID, os quais apresentam parâmetros conhecidos por operadores, e são denominados controladores PID adaptativos. Um controlador PID adaptativo também pode ser usado para sintonizar um controlador PID convencional. O controlador PID adaptativo utiliza um estimador de parâmetros recursivo (veja seção 3.5) em tempo real, para sintonização dos ganhos do controlador PID. O estimador deve ser iterativo e o modelo do sistema deve ser atualizado a cada período de amostragem.

Dois procedimentos são disponíveis para o projeto de um controlador PID adaptativo: direto ou indireto. No procedimento de projeto indireto, baseado na técnica auto-ajustável, o controle é calculado supondo os parâmetros do processo conhecidos. Um estimador é utilizado para obter os parâmetros do processo a partir das medidas de entrada e saída e, a seguir, substitui-se os parâmetros pelos valores estimados, de forma recursiva. A partir dos parâmetros estimados do processo calcula-se os parâmetros do controlador. Veja a figura 3.7.

Cálculo dos Parâmetros do Controlador

ReferênciaControlador

PID

Estimação dos Parâmetros do

Processo

Entrada,

Figura 3.7 - Controle adaptativo INDIRETO.

No procedimento direto, o modelo do processo é re-parametrizado em termos dos parâmetros do controlador. A parametrização é possível usando os métodos de controle de variância mínima, alocação de pólos ou modelo de referência. Logo, o estimador é utilizado para obter os parâmetros do controlador diretamente a partir das medidas de entrada e saída. Veja a figura 3.8.

Figura 3.8 - Controle adaptativo DIRETO.

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3.5 Estimador dos Mínimos Quadrados Recursivo

O mecanismo de estimação de parâmetros é o coração de um sistema de controle adaptativo, o qual depende principalmente da eficiência do estimador. A estimação dos parâmetros é realizada baseando-se nas medidas obtidas da entrada e saída do processo.

Os parâmetros estimados são, em geral, variantes no tempo e o modelo estimado é uma simplificação (abstração) do sistema real. Isto permite a atualização dos parâmetros, em um modelo linear, que pode estar representando um modelo não-linear.

Na implementação de um controlador adaptativo o algoritmo de estimação de parâmetros deve ser recursivo, permitindo que o modelo do sistema seja atualizado a cada período de amostragem quando novas medidas estão disponíveis. Na literatura encontra-se diferentes algoritmos de estimação recursiva. O método mais popular é o dos Mínimos Quadrados Recursivo (MQR) [ÂSTRÕM, 1990b],

Para obter o algoritmo dos MQR, deve-se partir de um modelo que satisfaça o objetivo de projeto objeto da aplicação a que o estimador é destinado. No algoritmo descrito em [SEBORG, 1986], para obter um algoritmo para estimação indireta, considera-se o modelo ARMAX (veja tabela 3 .1) e a ordem do polinómio C(z"') igual a zero, ou seja, C(z*!) = 1.

Neste caso, o processo pode ser representado pela seguinte equação vetoriai

onde s(t) representa o erro de estimação o qual admite-se ser estatisticamente independente da entrada e da saída. ?

As informações (medidas) ou vetor de regressão, vy, e o vetor de parâmetros, 0, são definidos como

y(t) = y T(t - l)0(t -1 ) + s(t) (3-7)

\|/T(t -1 ) = [—y(t - 1) ,-y (t - 2),...-y(t - nA ),u(t - k),u(t - k - l),...u(t - k - nB)] (3.8)

(3.9)

Em cada período de amostragem novas medidas de entrada/saída tomam-se disponíveis e são utilizados juntamente com o modelo do sistema para gerar um novo erro de modelagem. Pode-se visualizar o processo de estimação em termos de um modelo paralelo (figura 3.9).

21

Figura 3.9 - Esquema de operação do estimador

Para determinar a estimativa ótima é necessário definir uma função custo que minimize o índice de desempenho (J). Este índice é uma medida quantitativa do desempenho do estimador, medindo o desvio do valor estimado, y (t) , em relação ao valor real, y(t). O objetivo é encontrar

a estimativa dos parâmetros desconhecidos (0) que minimize a função custo dada por

(3-10)

onde jp (t) é o valor previsto para a saída, baseado em 9, y(t) é o valor atual e N é o número de

amostras.

As equações que compõem o estimador MQR [SEBORG, 1986] são

FC(t) = ------1 + vj/ (t)M (t-l)i|/(t)

M(t) = [l-K (t)v |/T(t)]M (t-l)

m = h t - V + K ( t\y { t) -y ( t)]

(3-11)

(3-12)

(3.13)

onde K(t) é o ganho do filtro de Kalman; I é a matriz identidade e M(t) é denominada de matriz de covariância.

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M(t) é uma matriz definida positiva que reflete a magnitude do erro de estimação e seus elementos tendem a decrescer quando novas medidas são processadas no algoritmo. Na equação(3.13) o ganho é multiplicado pelo erro de previsão para produzir o termo de correção para o vetor de parâmetros do modelo. Se o ruído e(t) tem média zero, os parâmetros estimados (0)

A

tendem aos parâmetros verdadeiros, isto é, E { 0 ) - 9 .

Conforme [POULIN, 1996], para obter resultados satisfatórios do estimador é importante a utilização de filtros. Ruídos e perturbações externas devem ser atenuadas para se obter dados confiáveis para identificação e atualização do modelo estimado. Igualmente, quando não há ruído ou perturbações, é necessário o uso de filtros para mascarar o efeito de dinâmicas não- modeladas, tais como sistemas de ordem superior representados por modelos de baixa ordem.

A

No início de operação do estimador, os valores para 0(0) e M(0) devem ser atribuídos. Caso os valores dos parâmetros estejam disponíveis, estes valores devem ser utilizados para 0(0), com M(0) = m.I, onde m »10. Quando nenhum conhecimento sobre o sistema está disponível, 0(0) pode começar com valores pequenos e m assumindo um valor alto (m «103 ou maior).

No início da estimação, se as estimativas iniciais são pobres, M(t) é construída como uma matriz diagonal com elementos positivos e de magnitude elevada. Quando as estimativas melhoram os elementos de M(t) decrescem em magnitude, de modo que o ganho, K(t), se reduz para zero. O tamanho dos elementos da diagonal de M(t) esta relacionado com a variação dos correspondentes elementos em 0. Por exemplo, se o elemento M (l,l) é pequeno, significa que a estimativa do parâmetro 0(1) é adequada (variância baixa). Se é grande, significa que a estimativa não é adequada.

Em controle adaptativo, durante a fase inicial quando os parâmetros do sistema estão sendo sintonizados, o controle não é adequado e considerável mudança pode ocorrer nas variáveis, comprometendo o comportamento dinâmico do sistema em malha fechada.

Se os parâmetros são variantes no tempo, deve-se modificar o estimador para evitar que o ganho tome-se pequeno. As soluções mais empregadas são: fator de esquecimento ou atualização da matriz de covariância M(t).

O MQR pode ser resumido pelo seguinte algoritmo:

i) Atualizar v|/(t+1) com as novas medidas;TT Aii) Calcular o erro de modelagem pela equação erro(t + 1) = y(t + 1) - v|/ (t)0(t);

iii) Calcular o ganho K(t+1) pela equação (3.11);iv)Calcular 0(t + 1) através da equação (3.13);v) Calcular M(t+1) pela equação (3.12).

23

3.5.1 Estimação de Processos Variantes no Tempo

Quando o número de iterações do estimador aumenta, os parâmetros podem convergir. Esta convergência é normalmente refletida pela diminuição dos elementos da matriz M(t). Esta convergência é desejável para o caso de sistema invariantes no tempo. Entretanto, quando o sistema é variante no tempo, é necessário evitar que os elementos da matriz M(t) se tomem diminutos a ponto de impossibilitar a correção dos parâmetros estimados.

O rastreamento de parâmetros variantes no tempo é um importante problema de estimação, independente da aplicação dada ao estimador, o qual deve ser eficaz no rastreamento das mudanças no sistema.

Em determinados processos os parâmetros dos modelos não são constantes. As mudanças existem devido a não-linearidades e a influências externas ou internas com o tempo. Em controle adaptativo é necessário utilizar um modelo, para o estimador, que represente adequadamente o comportamento do sistema.

Na prática procura-se um compromisso entre a capacidade de adaptação, M(t) grande, e a convergência no algoritmo de estimação, M(t) pequeno. Este compromisso pode ser controlado por: atualização de M(t) ou através do uso de um fator de esquecimento (X).

O algoritmo dos MQR utilizando fator de esquecimento, apresentado por [SHAH, 1991], produz um estimador de parâmetros que minimiza a função custo quadrática dada por

do modelo a ser estimado. O parâmetro X é um escalar (0<^<1) que fornece um meio flexível para aumentar o peso das medidas mais recentes em detrimento das medidas antigas.

O algoritmo recursivo, o qual é mais apropriado para aplicações ém tempo real tal como controle auto-ajustável, atualiza o vetor 0 para cada período de amostragem quando um novo conjunto de dados é obtido.

O algoritmo básico do método MQR, utilizando fator de esquecimento [SHAH, 1991], é obtido a partir da minimização da função custo quadrática dada pela equação (3.14). A estimação, na forma recursiva, é dada por

(3.14)

O vetor contém os valores passados de entrada e saída e a sua dimensão depende da ordem

M (t) '1 = XM(t - i r 1 + v|/(t)vj/T(t) (3.15)

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0(t) = 0(t -1 ) + M(t)v|/(t)[y(t) - V|/T(t)Ô(t -1)] (3.16)

O algoritmo, dado pelas equações (3.15) e (3.16), proporciona um esforço computacional significativo para calcular a inversa da matriz M(t) em cada período de amostragem. Com o uso do lema da inversão o algoritmo pode ser obtido em uma forma tal que a inversão da matriz M(t) é substituída pela inversão de um escalar [SHAH, 1991],

A lei para atualização do vetor de parâmetros, (3.16), é substituída por

0(t) = 0(t - 1) + K(t)[y(t) - y T(t)0(t - 1)] (3.17)

O ganho é dado por

K(t) = ------ W - W )------ ■X + y (t)M(t - l)v|/(t)

e a matriz de covariância, (3.15), é substituída por

(3.19)M ( t ) 4X + i|/T(t)M(t - l)v|/(t)

Uma dificuldade com este algoritmo é que, mantendo A,=l o algoritmo não se mantém alerta. Mantendo À<1, a matriz de covariância M(t) pode crescer demasiadamente quando não ocorrem mudanças significativas no sistema. As soluções possíveis para este problema são o emprego de um fator de esquecimento variável ou atualização da matriz de covariância, descritos nas seções a seguir.

3.5.2 MQR com Fator de Esquecimento Variável

Para assegurar que o algoritmo dos MQR se mantenha alerta é necessário utilizar o parâmetro X na equações (3.18) e (3.19). O objetivo é fazer À(t) tender para 1 quando o erro de previsão é pequeno e fazer À.(t) pequeno (0<X(t) < 1) se o erro de previsão é grande.

Utilizar um valor de À,<1 significa que a função custo, na equação (3.14), é minimizada dando mais peso para as medidas mais recentes. A escolha de X também envolve um compromisso interessante; X pequeno faz o estimador incerto (M(t) e K(t) se tomam grandes) e X grande faz com que o estimador tenha dificuldades para acompanhar variações bruscas nos parâmetros.

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Além disso, o uso do fator de esquecimento trabalha adequadamente se o processo tiver excitação. Caso contrário, o fator de esquecimento exponencial conduz a um “overflow” na matriz de covariância. Isto pode ser facilmente entendido como segue: se M(t - l)v|/(t) = 0,

então, na equação (3.19), M(t) = M(t-1)/À. Assim, M(t) cresce exponencialmente e qualquer pequena mudança futura no valor de vjy(.) conduz para uma mudança grande nos parâmetros.

Portanto, deve-se manter À,(t) em 1 ou na vizinhança (X(t) * 0,999). Quando uma mudança paramétrica é detectada, À,(t) pode ser alterado para 0,95, o que implica na rápida variação no vetor de parâmetros, seguido por um ajuste exponencial crescendo para 1 ou 0,999.

O fator de esquecimento com ajuste exponencial, mostrado em [ZARROP, 1991], pode ser implementado por

A.(t) = A.0A.(t -1 ) + A.(l . (3.20)

onde À(t) é o fator de esquecimento exponencial; X() é o fator de esquecimento inicial (ko< 1) e

X é o fator de esquecimento final (X ~ 1).

Na equação (3.20), em regime, se não existir mudança paramétrica significativa, À.(t) tende para X.

3.5.3 MQR com Atualização da Matriz de Covariância

Um mecanismo alternativo para impedir a diminuição dos elementos da matriz M(t) é aumentar os seus valores através da adição de uma matriz diagonal constante definida positiva QM. Assim, a equação (3.19) pode ser substituída por

^ ^ ( t - l ) - ^ - 1̂ 1^ - - » (3.21)1 + V (t)M(t - l)iy(t)

M(t) = M(t) + Qm (3.22)

A matriz QM é adicionada apenas em determinados momentos para tomar o algoritmo alerta, isto é, quando o traço da matriz M(t) < k mim ou quando o erro de previsão se toma maior que um valor preestabelecido. Se o traço de M(t) > k mim, então M(t) = M(t).

Esta técnica pode acarretar variações excessivas nos parâmetros estimados após a reinicialização da matriz de covariância e degradar o desempenho do sistema. Para evitar esta degradação, durante este período transitório pode-se utilizar, na lei de controle, os parâmetros que foram estimados antes da reinicialização da matriz M(t) [COELHO, 1990],

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É usual considerar Qm uma matriz diagonal por simplicidade. Se somente certos parâmetros mudam, então Qm pode ser selecionada com zeros na diagonal em todas as posições exceto naquelas que correspondam aos parâmetros variantes. Por exemplo, se é conhecido que somente o primeiro e o terceiro elementos no vetor de parâmetros modificam, em um sistema com quatro parâmetros, então Qm é dada por

Os valores de qi e q3 devem refletir a magnitude da mudança dos parâmetros. Existe considerável liberdade na seleção da magnitude dos elementos da diagonal de Qm. Entretanto, a adição de QM aumenta o tamanho do passo de ajuste e um valor grande para QM produz uma elevada alteração nos correspondentes parâmetros estimados.

3.5.4 MQR Amortecido

Outra alternativa, apresentada na literatura, é atualizar o vetor de parâmetros além da sua variação normal em cada período de amostragem [SHAH, 1991], Este método é apropriado para controle adaptativo pois permite a ponderação do incremento dos elementos do vetor de parâmetros estimados [POULIN, 1996]. O estimador é obtido através da minimização da função custo quadrática dada por

onde Ad(t) é uma matriz de ponderação diagonal, a ser definido no projeto, que penaliza as

variações dos parâmetros.

As equações para obter o vetor de parâmetros e a matriz de covariância são dadas por

QM(t) = diag(q, 0 q3 0) (3.23)

N / \

= X {*-N“‘[y(t) - v T(t)ê]2 + Ad (t)]|ê(t) - ê(t - 1)| |2 j (3.24)

0(t) = ê(t - 1) + M(t)v|/(t)[y(t) - y(t)] + M(t)XAd(t)[ê(t - 1) - ê(t - 2)]

M (t)-1 = X M (t-l)-‘ +vj/(t)i|/T(t) + [Ad(t)-À A d( t - l)]l (3.26)

(3.25)

Quando a matriz de ponderação Ad(t) é diag(0„ 0, ... , 0), o algoritmo MQR amortecido é

equivalente ao algoritmo de estimação MQR (Ji = J2). O MQR amortecido é discutido e resultados práticos são apresentados em [POULIN, 1996],

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3.6 Conclusão

Neste capítulo apresentou-se uma breve introdução sobre controladores PID mostrando as diferentes estruturas possíveis para implementação e a opção de se projetar controladores auto- ajustáveis com estrutura PID, denominados de controladores PID adaptativos. Apresentou-se, também, a evolução do controle adaptativo e o seu contexto multidisciplinar.

A evolução da teoria de controle adaptativo e o desenvolvimento tecnológico dos computadores tem viabilizado a aplicação prática destes controladores. Vários estudos para industrialização tem sido desenvolvidos e muitos controladores adaptativos de propósito geral já estão disponíveis comercialmente.

Mostrou-se que os controladores PID adaptativos apresentam uma estrutura alternativa no controle de processos complexos quando controladores de ganhos fixos são ineficazes e comprometem as respostas transitórias requeridas dos processos controlados. A estrutura de controle PID adaptativo é interessante em ambientes industriais pela familiarização e facilidade de entendimento por parte dos operadores de processos.

Os métodos de projeto de controladores adaptativos considerados são baseados em estimação de parâmetros e o estimador dos mínimos quadrados recursivo foi apresentado. Concluiu-se que não existe um algoritmo genérico do MQR para propósito geral, mas é recomendável considerar o uso das várias modificações no algoritmo básico a fim de manter o algoritmo alerta na presença de mudanças nos parâmetros do processo, em geral com a utilização do fator de esquecimento e atualização da matriz de covariância.

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4.1 Introdução

Em geral, controladores adaptativos necessariamente não tem uma estrutura do tipo Proporcional, Integral e Derivativa (PID). Como descrito no capítulo dois, é de considerável interesse obter-se um controlador auto-ajustável com estrutura PID. Para isto, é necessário restringir a lei de controle, obtida através das técnicas de controle adaptativas, para que seja representada por uma equação de segunda ordem semelhante a equação convencional do controlador PID (equação 3.5). Este capítulo é dedicado ao desenvolvimento das técnicas de projeto e dos algoritmos dos controladores adaptativos com estrutura PID.

Na seção 4.2 apresenta-se a técnica de projeto e algoritmo para o controlador PID adaptativo proposto por Clarke/Gawthrop, descrito em [ROFFEL, 1989], onde um parâmetro de projeto, capaz de alterar a magnitude do incremento do controle, pode ser manipulado pelo usuário. Este é um projeto baseado no método de variância mínima [COELHO, 1996a].

A seção 4.3 é dedicada à descrição da técnica de projeto e algoritmo do controlador PID adaptativo modificado de Clarke e Gawthrop, apresentado por [CAMERON, 1983], Nesta técnica é utilizada uma estrutura PED modificada (veja seção 3.2.2), onde a referência aparece apenas no termo integral e a saída é filtrada (yf).

A técnica de projeto e algoritmo do controlador PID adaptativo apresentado por [ZHU-ZHI, 1985] é descrita na seção 4.4. Esta é uma técnica por alocação de pólos [COELHO, 1996a] onde o comportamento desejado para o sistema é previamente especificado através de uma função de transferência (modelo de referência para o processo controlado).

Na seção 4.5, descreve-se a técnica de [DE KEYSER, 1988] e, na seção 4.6, a técnica de [CAMACHO, 1992],

29

4.2 Projeto do Controlador PID Adaptativo de Clarke e Gawthrop

Conforme [ROFFEL, 1989], no método de Clarke e Gawthrop o processo é representado pelo modelo incremental ARIMAX (veja seção 3.3) dado por

y(t) = ~ z ’ku(t) + -^~4(t) (4.1)A AA

onde A, B, C são polinómios no operador z '1; u(t) é a entrada do processo; y(t) é a saída do processo; A = 1 - z'1 e £,(t) é o ruído. Este modelo pode ser escrito na forma preditiva

y(t + k) = ^ u { t)+ -^ -Ç ít + k) (4.2)A AA

O objetivo é projetar um controlador que minimize a função custo

min J = E + £))" + Ç(A u(t))" | (4.3)

onde Ç é um parâmetro de projeto de ponderação do incremento do controle e y(t + k) é a

saída estimada para k passos a frente.

O termo desconhecido do ruído £,(t + k) pode ser expressado em termos passados e futuros

como

C Ç(t + k) = EÇ(t + k) + J U ( t ) (4.4)AA AA

que é equivalente a

-u t + k) = EÇ(t + k) + — - Ç(t + k)AA AA

da qual

= E + ^ - (4.5)AA AA '

ou

C = EAA + Fz~k (4.6)

30

A equação (4.6) é muitas vezes referida como Equação Diophantine, onde os polinómios E, F, são dados por

£-(z-')=l + f;e,.2-/ (4.7)( = 1

n r ' )=f;/,í-' (4-8)/=i

sendo que

nE = k - l

/ n By ( t + k ) = -

(4.9)nF = max(nA,n c - k )

onde nA e nc são as ordens dos polinómios A e C, respectivamente.

A equação (4.2) pode então ser reescrita com o auxílio da equação (4.6), isto é

AAy(t + k) = BAu(t) + EAAÇ(t + k) + F4(t) (4.10)

A partir da equação (4.1), £(t) pode ser isolado

í(0 = ̂ Ay(0-§r‘Au(0 (411)

Substituindo a equação (4.11) na (4.10), obtém-se

u(t) + E R t + k) + ̂ y ( t ) (4.12)

Com o auxílio da equação Diophantine, (4.6), a equação (4.12) pode ser reescrita como

RF Fy(t + k) = ^ A u(t) + EÇ(t + k) + ̂ y ( t ) (4.13)

A melhor previsão de £(t + k) é zero, desde que £(t) seja assumido como sendo um ruído

branco com média zero. Definindo G = BE, a equação (4.13) é reduzida para

y{t + k) = ^A u { t) + ̂ y { t ) (4.14)

31

A minimização da equação (4.3) é equivalente a ãJ I ôu{t) = 0. Conseqüentemente

8J ■ = y(t + k ) ® 7 ^ + C 'A u ( t) = 0ôu(t) 8u(t)

A derivada de y{l + k ) , na equação (4.14), em relação a u(t) é

ôy(t + k) S (G r _ lVI"|_ 5 (G 8 (B E 58u(t) ôu(t) V C ôu(t) íc J ôu(t) lc J Su(t)

Portanto

'i e .. h .■= b8y(t + k) e0b0

ôu(t) c0 0

Substituindo as equações (4.14) e (4.17) na (4.15), obtém-se

b0 + Ç'Au(t) = 0

Da equação (4.18) pode-se obter o regulador de variância mínima

-Fy(t)G +ÇC

Au(t) =

na qual

C

bo

onde Ç é a ponderação normalizada do incremento do controle.

A lei de controle pode ser obtida substituindo y(t) por e(t), o qual fornece

A u(t)=z M ÜG+ÇC

O diagrama em blocos para o esquema de controle preditivo é mostrado na figura 4.

(4.15)

co y(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

A formulação da lei de controle da equação (4.21) pode ser implementada usando tanto identificação de parâmetros do processo como do controlador.

32

Identificação indireta tem a desvantagem dos coeficientes de F e G terem que ser calculados on­line para cada período de amostragem através da equação Diophantine (4.6), através da comparação dos coeficiente de mesma potência ém z'1. A solução da equação Diophantine pode ser evitada se os coeficientes dos polinómios F e G forem identificados diretamente.

Figura 4.1- Diagrama em blocos para controle preditivo.

Definindo uma saída auxiliar, como

0(t + k) = y(t + k) + ÇAu(t) (4.22)

e substituindo a equação (4.14) na equação (4.22), pode-se obter o modelo regressivo para identificar os parâmetros diretamente através de

<Kt + k) = ^ y(t) + GC + c Au(t) (4.23)

Admitindo C(z'1)=l, a equação (4.23) pode ser reescrita como

<j>(t + k) = d 0y(t) + â ;y(t -1)+.. .+âmy(t - m) + p0 Au(t) + ^ Au(t - 1)+.. .+PL Au(t - l )

Onde L = nB+ k - l , a (z _1) = F(z_1), P(z_1) = G(z~‘) + Ç

(4.24)

Os parâmetros a; e P, podem ser estimados diretamente na implementação do controlador. A equação (4.24) é referenciada como um modelo preditivo porque permite que os valores futuros

A

de <t>{i + k) - y(t + k) + ÇAu(t) sejam previstos a partir dos valores passados de u e y.

A equação da lei de controle, (4.21), para o caso C (z ') = 1, é reescrita como

Au(t) = r e(t) = - ^ r r r r 'e(t)G+Ç

(4.25)

A equação (4.25) também pode ser escrita como

Admitindo-se L = 0, é possível obter uma equação equivalente a estrutura do controlador PID, dada por

A constante m fornece a ordem do controlador, sendo

m=0 => Controlador Proporcional (P);m=l => Controlador Proporcional e Integral (PI);m=2 => Controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID).

O controle de um sistema de primeira ordem (dois alfas) fornece o controlador PI

a o + a i

O controle de um sistema de segunda ordem (três alfas) fornece o controlador PID

p0Au(t) = ( a 0 +a ,z" +...+« mz _m)e(t) (4.27)

(4.28)

A estrutura convencional do controlador PI é definida como

Au(t) = Kp e(t) - e(t - 1) + — e(t)Ti

(4.29)

Comparando as equações (4.28) e (4.29), fornece

aKp = -

Po(4.30)

(4.31)

34

A estrutura geral para o controlador PID, equação (3.5), é dada por

Au(t) = KpTs T d / \

e(t) - e(t - 1) + — e(t) + — (e(t) - 2e(t -1 ) + e(t - 2)) Ti Ts

(4.33)

Uma comparação entre as equações (4.32) e (4.33) mostra que

Kp =-(a, + 2a2)

(4.34)

Ti =(a, + 2oc2)Ts

a 0 +(Xj + a 2(4.35)

-a ,T s Td = 2

+ 2 a 2(4.36)

As equações (4.34) a (4.36), para o cálculo dos parâmetros do controlador PID, são úteis para fornecer gráficos com um claro significado físico para os operadores em chão de fábrica.

Com o objetivo de aplicar o método MQR, a equação (4.24) é reescrita para o instante de tempo atual como

<j)(t) = â 0y ( t - k) + â fy(t - k - l)+...+j30Au(t- k) +j3,Au(t- k - l)+...+j3LAu(t - k - l)

(4.37)Fazendo L=0, para obter o controlador PE), em termos vetoriais

(4.38)

na qual

y/T{t -1) = [y{t - k),y{t - k - 1),..., A u(t - k)]

* '( /- ! ) = ã 0,â x,...,/30

(4.39)

(4.40)

A equação (4.38) define $7) para o modelo. A partir da equação (4.22), $7) para o processo é

definido, para o instante de tempo atual, como

(4.41)

35

A aplicação dos MQR se toma direta e a atualização dos parâmetros do vetor 0 é obtida da equação

eu) = k l - 1)+ m [ m - m ] (4.42)

O algoritmo para o controlador de Clarke/Gawthrop pode ser resumido como segue:

i) Montar os vetores (4.39) e (4.40);ii) Obter uma nova medida da saída do processo e calcular e(t);iii) Calcular a b a 2, a 3 e p0 pelo método MQR;iv)Calcular Kp, Ti e Td pelas equações (4.34), (4.35) e (4.36) respectivamente;v) Calcular Au(t) pela equação (4.33);vi)Calcular u(t) = u(t-l) + Au(t) e aplicar o sinal de controle PID adaptativo;vii)Repetir os passos (ii) até (vi) para cada período de amostragem.

4.3 Projeto do Controlador PID Adaptativo de Cameron

Na proposta apresentada por [CAMERON, 1983] o projeto baseia-se no controlador auto- ajustável de variância mínima generalizada de [CLARKE, 1975], Nesta proposta é assumido um modelo para o processo como sendo de segunda ordem e o controlador resultante possui ainda um parâmetro de ajuste (v) que deve ser sintonizado pelo usuário.

Neste método, para desenvolver o projeto de um controlador PID adaptativo é necessário /inicialmente obter-se o controlador auto-ajustável de variância mínima generalizada e, posteriormente, restringir a sua estrutura de modo que represente o controlador de três termos.

Considere o modelo ARMAX (seção 3.3) dado por

. A(z-, )y(t) = B (z ', ) u ( t -k ) + C(z-1)4(t) (4.43)

O controlador é projetado para minimizar a variância da saída auxiliar <)>(t) dada por

<Kt) = Py(t) + Qu(t - k) - Ryr (t - k) (4.44)

As ponderações P, Q e R são funções de transferências que determinam o comportamento dinâmico do sistema de controle. No entanto, o modelo preditivo utilizado nesta técnica é baseado em uma saída auxiliar que depende apenas de y(t), dado por

<l>y(t) = P(z 1 )y(t) (4.45)

36

onde

p , Pn(z^) Pd(z )

(4.46)

No modelo do processo, para separar termos com medidas conhecidas de termos com medidas desconhecidas, é considerada uma identidade polinomial dada por

CPn = APdE + z-kF (4.47)

Substituindo as equações (4.43) e (4.47) na equação (4.44) obtém-se o modelo preditivo dado por

<t>(t + k) = — y(t) + ? + Q u ( t) -R y r(t) + EÇ(t + k) (4.48)

Considerando que a saída auxiliar depende apenas da saída do processo (R = Q = 0), dado pela equação (4.45), a modelo preditivo toma-se

F FR<|> y (t + k) = - L . y(t) + ^ u(t) + E$(t + k)

Lrj C(4.49)

Admitindo C(z_1) = 1 e G = BE a previsão da saída auxiliar é obtida por

<|>y(t) = Fyf (t - k) + Gu(t - k) + e(t) (4.50)

onde nF = nA + npd , no = nB + k

A saída filtrada, yf(t), é definida como

y f (t) = y(t) (4.51)

Conforme apresentado por [CAMERON, 1983], uma escolha adequada para o filtro de saída é filtro de primeira ordem. Assim, para implementação admite-se um filtro passa-baixa de primeira ordem dado por

Pd(z-, ) = l + pdlz"1 (4.52)

37

onde - \< pdx<0

Da equações (4.51) e (4.52), obtém-se

y f (t) = y(t) - PdiY f(t -1 ) (4.53)

Para impor ao controlador uma estrutura PID é necessário que o polinómio F seja de grau 2. Rescrevendo a equação (4.50) na forma vetorial, o método dos mínimos quadrados recursivo [SEBORG, 1986] pode então ser utilizado para calcular a saída auxiliar estimada dada por

^ y (t) = H/T( t - k ) ê ( t - l ) (4.54)

onde

0T( t - l ) = [fo f, f2 g0 g, ... gnG] (4.55)

i|/T( t - k ) = [yf ( t - k ) y f( t - k - 1) y f( t - k - 2 )

u ( t - k ) u ( t - k - l ) ... u ( t - k - n a)] (4.56)

Retomando a equação (4.48), a saída auxiliar pode ser representada por

<|>(t + k) = <j) (t + k / 1) + <j>(t + k) (4.57)

onde <j>(t + k) representa o erro de previsão, e a previsão para k passos a frente é dada por

f o + k / 1) = £ y ( t ) + [EB + Q]u(t) - Ry, (t) (4.58)

Fazendo <)>*(t + k / 1) = 0 na equação (4.58) obtém-se a lei de controle de Clarke e Gawthrop

que minimiza a variância da saída auxiliar, dada por

U(t)= Ryr(t? ~ ^ yf(- (4.59)G + Q

A ponderação R é selecionada como

R = H0 (4.60)

38

onde Hq é definido como

H0 =' F 'v r dy 7=

Z f .i=0

Z=1 1 + Pdi(4.61)

Como passo final do projeto, para assegurar a convergência em regime da saída, y(t), para a referência, yr(t), uma ação integral deve ser introduzida na lei de controle. Isto pode ser feito de diferentes formas, entretanto [CAMERON, 1983] afirma que vários destes métodos não garantem a eliminação de erro em regime após a entrada de perturbação. Para resolver o problema do erro em regime uma ação integral é introduzida no algoritmo de controle e um novo parâmetro (v) é definido, fazendo

1 - z ~ lG + Q = — (4.62)v

onde “v” é um parâmetro de projeto que permite uma forma de sintonizar o controlador.

Substituindo as equações (4.60) até (4.62) na (4.59) obtém-se o controlador com estrutura PID dado por

Au(t) = v[H0y , ( t ) - ( f 0 + f,z-' + f2z-2)y,(t)] (4.63)

Pode ser observado, através da equação (4.63), que v tem um efeito similar ao ganho do controlador (Kp). Sendo assim, valores grandes de v resultam em um controle vigoroso e uma resposta subamortecida enquanto que com valores pequenos de v obtém-se um controle mais lento e uma resposta sobreamortecida. Quando v=0 resulta no controle em malha aberta.

O controlador PID sem filtro de saída, dado pela equação (3.5), tem sido considerado em vários estudos ([WITTENMARK, 1979] e [ISERMANN, 1981]). No entanto, nesta técnica emprega-se uma estrutura PID modificada (veja seção 3.2.2), onde a referência aparece apenas no termo integral e a saída é filtrada (yf), conforme é mostrado na figura 4.2.

Figura 4.2 - Controlador P+I+D com filtro

39

Introduzindo as modificações da entrada do controlador, ilustradas na figura 4.2, na equação (3.5) obtém-se

Au(t) = K pj-y f (t) + y f (t -1 ) + ̂ [ y r(t) - y r (t)] + ^ - [ - y f (t) + 2yf(t — 1) — y f (t — 2)]]Ts

(4.64)

onde a saída filtrada yf(t) é definida pela equação (4.51).

Manipulando a equação (4.64) obtém-se

4 , KpTs Ts Td ,̂ ( 2Td^ KpTdAu(t) = — yr(t) - Kpj^l + — + — j y f (t) + Kpj 1 + Jyf (t -1) -Ti V Ts Ts

y f ( t - 2 )

(4.65)

As expressões para os ganhos do controlador PID podem ser obtidas através da comparação dos termos das equações (4.63) e (4.65), obtendo-se

S 5 = v H 0 = - ( f 0 + f1 + f! ) Ti a

(4.66)

Kp ' Ts Td' 1 + — + — Ti Ts

= vf„ (4.67)

Kp 1 + 2.TdTs

= -vf, (4.68)

KpTdTs

= vf, (4.69)

onde

a = l + Pdi (4.70)

A equação (4.66) é uma combinação das equações (4.67) a (4.69). A partir da equação (4.69) obtém-se

vf,Ts Td = —-—

Kp(4.71)

40

Substituindo a equação (4.71) na equação (4.67) obtém-se

TsKp (4.72)

Substituindo a equação (4.71) na equação (4.68) obtém-se

Kp = -v[fj + 2f,] (4.73)

Substituindo as equações (4.71) e (4.72) na equação (4.66) pode-se obter outra equação para Kp, em função de a, dada por

O método proposto por [CAMERON, 1983] pode ser resumido pelo seguinte algoritmo:

i) Definir o ganho v, o filtro da saída Pa, a matriz de covariância inicial M(0) e o Período de Amostragem Ts;

ii) Obter a saída do processo y(t);iii) Calcular o valor da saída filtrada pela equação (4.51);iv) Estimar os parâmetros do controlador pelo método MQR;v) Calcular Td, Ti e Kp através das equações (4.71), (4.72) e (4.74), respectivamente;vi)Calcular o incremento do controle Au(t) através da equação (4.64);vii) Calcular e aplicar o sinal de controle dado por u(t) = u(t-l) + Au(t);viii) Voltar ao passo (ii).

4.4 Projeto do Controlador PID Adaptativo de Zhu-zhi

O projeto apresentado por [ZHU-ZHI, 1985] baseia-se no método de projeto por alocação de pólos [COELHO, 1996a], Nesta técnica uma função de transferência desejada é definida pelo projetista e o procedimento para aplicar o método consiste em:

i) Selecionar uma função de transferência desejada;ii) Projetar o controlador tal que a função de transferência em malha fechada seja igual a função

de transferência desejada;iii) Estimar os parâmetros PID em tempo real através do método MQR.

(4.74)

41

Conforme descrito por [ZHU-ZHI, 1985], para o projeto do controlador a função de transferência em malha fechada deve ser igual a uma função de transferência desejada previamente especificada e dada por

y _y™ _ S(z~1) yr yr T(z~‘)

A figura 4.3 ilustra o procedimento de projeto do controlador.

(4.75)

Figura 4.3 - Projeto do controlador de Zhu-zhi

O controlador PID, dado pela equação (3.5), pode ser representado por

d, + d 7z + diZ u(t) = - L-=T7;— =ÍT— e(t)T s ( l - z - )

onde

d, = KpTsTi

+ Ts + Td

d2 = -Kp[Ts + 2Td]

d 3 = KpTd

Os ganhos do controlador podem então ser. calculados por

~(d2 +2d3)Kp =

(4.76)

(4.77)

(4.78)

(4.79)

Ts(4.80)

42

-Ts(d2 + 2d3)Ti = -----^ -------22 (4.81)

dj + d 2 + d 3

Td = ~Tsd— (4.82)d2 + 2d3

As equações (4.80) a (4.82), para o cálculo dos parâmetros do controlador PID, são úteis para fornecer gráficos com um claro significado físico para os operadores em chão de fábrica.

A partir das equações (4.75) e (4.76) obtém-se

(d, + d 2z~‘ + d ,z -2](T (z - ')-S (zH))y(t) = Ts ( l - z - ' ) S ( z ' ‘)u(t) (4.83)

Definindo-se

y(t) - (t (z_1 ) ~ S(z_1 ))y(t) (4.84)

ü(t) = Ts( l - z - I)S(z-I)u(t) (4.85)

A equação (4.83) toma-se

(d, + d 2z~! + d3z“2)y(t) = ü(t) (4.86)

Para aplicar o método MQR, a equação (4.86) pode ser escrita na forma vetorial

H ( t- l ) = v|/T( t - l ) ê ( t - l ) (4.87)

onde

WT(t - 1) = [y(t - l),y(t - - 3)] (4.88)

ÔT( t - l) = fd1,d 2,d 3l (4.89)

Logo, através da aplicação do método MQR, pode-se obter os parâmetros d x,d2,d3 da equação

(4.76) e, portanto, o controle PID adaptativo é calculado por

/V j ~

d, + d ,z + d.zu(t) = 1 1 - - , 3 [yr(t) - y(t)] (4.90)

43

O algoritmo para o controlador de [ZHU-ZHI, 1985] pode ser resumido como:

i) Escolher T (z! ), S(z’ ), 0(0), M(0) e Ts;ii) No instante t, y(t _ 0 e ü(t - 1) são calculados através das equações (4.84) e (4.85)

respectivamente;A A A

iii) Estimar os parâmetros d 1(t),d2(t),d3(t), pelo método MQR, onde o erro de estimação é dado por erro = u(t — 1) — H/T(t — l)0(t - 1);

iv)Calcular os parâmetros do controlador PID através das equações (4.80) a (4.82);v) Calcular e aplicar o sinal de controle dado pela equação (4.90).

4.5 Projeto do Controlador PID Adaptativo de De Keyser

O objetivo do projeto apresentado por [DE KEYSER, 1988], é fazer com que a saída do processo em malha fechada seja aproximadamente igual a saída de um modelo de referência, o qual é especificado como sendo uma função de transferência de primeira ordem com atraso de transporte e ganho unitário. Os coeficientes do controlador PE) são estimados diretamente.

Esta técnica de controle diferencia-se dos demais projetos PID estudados na medida em que o modelo da resposta impulsiva (FIR) é utilizado no lugar dos modelos ARMAX e ARIMAX (tabela 3.1).

Este método é denominado DIRAC (DIRect Adaptive Control) que, conforme descrito por [DE KEYSER, 1988], em geral não fornece uma resposta de controle tão rápida como os métodos do tipo EPSAC (Extended Prediction Self-Adaptive Control). Neste projeto o desempenho do controlador adaptativo é similar ao do controlador PID, o que é suficiente para regular a maioria dos processos na indústria mas com a vantagem de ser adaptativo. Ô método DIRAC é baseado na relação entre os vários modelos da figura 4.4.

Figura 4.4 - Projeto do Controlador de De Keyser.

44

O modelo R(z ') é especificado pelo projetista e tem a seguinte função de transferência pulsada

p N , _ - l ^

(491 )

O controlador H(z'‘) é dado por um modelo FIR (Finite Impulse Response) da forma

H(z-1) = h0 + M -1 + h2z~2 +.. ,+hnz_n (4.92)

A partir de e(t) e Au(t) pode-se estimar um conjunto de parâmetros para H(z"’) tal que

Au(t) = H(z"’)e(t) (4.93)

Dado o modelo de projeto R(z_1), pode-se calcular a saída de referência r(t). O objetivo é que a saída do processo y(t) varie de acordo com a saída de referência r(t).

Então pode-se calcular

e(t) = yr(t) - y(t) = yr(t) - r(t) (4.94)

Pelo diagrama em blocos da figura 4.4 obtém-se que

r(t) = R(z-1)yr(t) (4.95)

Logo, substituindo a equação (4.95) na equação (4.94), resulta

e(t) = [1-R(z-')] y /t) (4.96)

Pode-se especificar que a variação da entrada de referência, yr(t), varia de forma que a saída de referência correspondente, r(t), seja igual a saída real do processo y(t), isto é

y i( t)_ _ £ £ ! L _ J < ! L (4.97)R(z ) R(z )

Substituindo a equação (4.97) na equação (4.96), fomece

<*t)- ' } y«) (4.98)R(z )

A partir da equação (4.98) pode-se identificar os parâmetros do controlador.

45

Devido as restrições da estrutura do controlador, a saída real do processo y(t) deve acompanhar aproximadamente a saída de referência r(t) definida pela equação (4.97). A resposta, mediante variação na referência e diante de perturbação, é obtida pelo modelo R(z_I). Considera-se um modelo R(z'‘) de primeira ordem, com atraso de transporte, dado por

R(2-, ) = 2-a- i ^ T (4.99)1 - a z

onde d é o atraso de transporte.

A fim de satisfazer o requisito y(t) = yr(t), deve-se especificar R(z_1) tal que R(l) = 1. Logo, o parâmetro de projeto a (0<a<l) pode ser usado para fazer o sistema de controle mais rápido ou mais lento (a—»0 : controle rápido; a —>1 : controle lento). Em aplicações práticas sugere-se o parâmetro a inicial igual a 0.9.

A entrada do controlador, H(z_1), deve ser estimada a partir da equação (4.98) e tem Au(t) como saída. Se o processo a ser controlado apresenta atraso de transporte, em tempo real deve-se usar os sinais com atraso “d”, ou seja, a equação (4.93) se toma

Au(t - d) = H(z 1 )x(t) (4.100)

e, a partir da equação (4.98), e(t) se toma x(t) definido como

(4.101)

Substituindo (4.99) em (4.101), resulta

(4.102)

Considerando a equação (4.100) e definindo

0 = [ho hj ... hn] (4.103)

\|/(t) = [x(t) x ( t - l ) x(t - 2) ... x(t - n)]T (4.104)

conduz ao modelo vetorial para estimação, dado por

Au(t - d) = v|/T (t)0 + s(t) (4.105)

46

onde s é o resíduo do estimador.

Os parâmetros desconhecidos em 9 podem então ser estimados recursivamente, onde o erro de estimação é dado por

erro = ^Àu(t - d) - vj/T(t)0(t - l)j (4.106)

[DE KEYSER, 1988] considera o modelo convencional para o controlador PID, dada pela figura 3.1, onde a ação de controle é baseada no erro entre a entrada e saída do processo.

A partir da equação (3.5), tem-se a equação do controlador PID dada por

Au(t) = K ( l - z - ' ) + — + — ( l - 2 z ‘‘ + z ‘2) V / t í T sl ’ e(t) (4.107)

A partir da equação (4.92), o controlador PID é obtido fazendo n = 2. Então, através dos parâmetros estimados (ho, hI? h2) os ganhos do controlador PID podem ser calculados por

Kp = -(h , + 2h2) (4.108)

T i^ ~Ts(h i + hc2) (h0 +h, + h 2)

(4.109)

-Tsh2 Td = 2

(h, + 2h2)(4.110)

Outra alternativa para estimar os parâmetros diretamente é, a partir da equação (4.107), definir um novo vetor de parâmetros

0 ' = Ts Td Kp Kp— Kp—

Ti Ts(4.111)

e um novo vetor de dados

y '(t) = [x(t) - x(t -1), x(t), x(t) - 2x(t -1 ) + x(t - 2)]1 (4.112)

Com base no erro de estimação, dado pela equação (4.106), o estimador calcula os parâmetros da equação (4.111), os quais estão relacionados diretamente com Kp, Ti e Td.

47

i) Fornecer: 0(0), o atraso “d” e o valor de a;ii) Calcular x(t) pela equação (4.102);iii)Estimar, via o método MQR, os elementos do vetor (4.111);iv) A partir do vetor (4.111) calcular os parâmetros do controlador;v) Calcular o incremento do controle pela equação (4.107);vi)Calcular e aplicar o sinal de controle u(t) = u(t-l) +Au(t);

4.6 Projeto do Controlador PI Adaptativo de Camacho

Na maioria das aplicações práticas implementa-se o controlador PI devido a presença de ruído na malha de controle proveniente da parcela derivativa do controlador, o que pode tomar o sistema instável. Na técnica de controle desenvolvida por [CAMACHO, 1992], a estratégia de controle é PI e o comportamento do processo contínuo é aproximado por uma função de transferência de primeira ordem com atraso de transporte, isto é

O algoritmo para implementação do controlador de [DE KEYSER, 1988] é:

onde go e g2 são os ganhos do controlador PI. Através da escolha do zero do controlador para cancelar o polo da planta, isto é, escolhendo g2 = a, o polinómio característico do sistema em malha fechada é dado por

Se o sistema em malha fechada apresenta um polo dominante em z = A, então go é obtido por

(4.113)

Para representar o processo, utiliza-se o modelo matemático ARX (tabela 3.1) discreto, dado por

G(z ‘) = z '2(b0 + b ,z ‘1) / ( l - a z '1) (4.114)

O controlador é projetado considerando a função de transferência dada por

K(z-1) = g0( l - g 2z-1) / ( l - z - 1) (4.115)

S(z_1) = z3 - z2 + g0b0z + g0b. (4.116)

g0 = A2( l - A ) / ( b 0A + bl) (4.117)

48

Assim, conhecendo-se os parâmetros a, b0 e bi do modelo discreto do processo, obtém-se os ganhos do controlador, g0 e g2, calculados jpara fornecer um comportamento dinâmico ao processo em malha fechada de acordo com o polõ dominante z ~ A.

O algoritmo para implementação do controlador de [CAMACHO, 1992] é:

i) Fornecer: 0(0) e A;ii) Estimar via MQR os parâmetros da equação (4.114);iii)Calcular go pela equação (4.117);iv)Calcular e aplicar o sinal de controle obtido pela equação (4.115);v) Voltar ao passo (ii).

4.7 Conclusão

Este capítulo apresentou diferentes técnicas de projeto para o controlador PE), segundo uma estrutura adaptativa. A tabela 4.1 evidencia os principais aspectos de implementação de cada controlador.

Tabela 4.1 - Principais características de proieto dos controladores PE) adaptativos

Estratégia Clarke Cameron Zhu-zhi De Keyser CamachoApresentada por (Roffel)

Técnica de Variância Variância Alocação de Modelo de Alocação deProjeto Mínima Mínima Pólos Referência Pólos

ParâmetrosEstimados 4 7 3 3 3Estimação Direta Direta Direta Direta Indireta

ModeloMatemático ARIMAX ARMAX - FEt ARX

Complexidade de Projeto alta alta baixa média baixa

Parâmetros de k k, v S dSintonia ç P T a A

Na técnica apresentada por [ROFFEL, 1989] utiliza-se o controlador PE) convencional onde as ações Proporcional, Integral e Derivativa são aplicadas em função do erro, ou seja, leva-se em consideração a entrada de referência, o que pode causar saturação do integrador ou variações bruscas na ação de controle quando a referência é submetida a uma mudança acentuada.

49

Na técnica proposta por [CAMERON, 1983], utiliza-se uma estrutura PID modificada, onde a referência aparece apenas no termo integral, mãs deve-se determinar o valor inicial do parâmetro de projeto v, o qual se mantém constante durante a operação do controlador o que muitas vezes é indesejável. Para implementações futuras, pode-se utilizar uma técnica baseada em reconhecimento de padrões, proposta por [BUENO, 1989], onde o parâmetro v pode ser ajustado automaticamente.

A técnica de [ZHU-ZHI, 1985] é simples de implementar, se comparada com as técnicas anteriores, e ainda possui a virtude de apresentar apenas três parâmetros do controlador a serem estimados diretamente, o que exige um baixo esforço computacional.

A técnica de [DE KEYSER, 1988] pode fornecer os parâmetros do controlador diretamente através do vetor de parâmetros do estimador, simplificando o algoritmo, enquanto que na técnica de [CAMACHO, 1992] assume-se uma equação de primeira ordem para o processo e utiliza-se a forma indireta para obter os parâmetros do controlador.

50

CAPÍTULO 5

Resultados de Simulação via MATLAB

5.1 Introdução

Neste capítulo analisa-se o(aesempenho dos controladores PID adaptativosyapresentados no capítulo 4. Para avaliação dos algoritmos, é utilizado o modêlü~de um processo térmico em escala de laboratório idealizado por [CAMERON, 1983],

Inicialmente são reveladas as principais características do processo de temperatura e a sua modelagem matemática. Em seguida, são mostrados os resultados de simulação com o controlador PID de ganhos fixos e, na seqüência, apresenta-se os resultados com os controladores PID adaptativos implementados.

5.2 Características do Processo de Temperatura

Para avaliação dos algoritmos de controle adaptativos utiliza-se um processo térmico (figura ) 5.1), em escala de laboratório, apresentado em [CAMERON, 1983], Este processo é constituído

por dois tanques, com sistemas de agitação, conectados através de um cano longo o qual introduz um atraso de transporte ao sistema.

Para a determinação de um modelo que represente satisfatoriamente um processo, é necessário vçonhecimento das principais características do processo^ Em processos experimentais este modelo pode ser obtido à partir da resposta ao degrau ou à partir de balanços de massa e energia.

[A temperatura da água T2(t) no segundo tanque é controlada ajustando o fluxo de calor U(t) em )um sistema elétrico de aquecimento no primeiro tanque. O volume de água em cada tanque é jmantido constante através de uma linha de fluxo W saindo do tanque 2 e outra linha de fluxo com a mesma vazão W entrando no tanque 1.

51

(As dimensões e propriedades físicas para o processo de aquecimento nos tanques são:

Volume dos tanques: VI = 6514 cm3V2 = 3767 cm3

Temperatura da água na entrada: Tl = 18,5 °CTemperatura da água na saída: T2 = 25,2 °CTemperatura ambiente: Ta = 22,2 °CEntrada de controle: u(t) = 0,502 KWTaxa de fluxo da água: W = 3,0 kg/minuto

Figura 5.1 - Sistema de aquecimento em tanques com agitação.

5.3 Modelagem Matemática do Processo Simulado

Conforme apresentado e proposto em [CAMERON, 1983], o modelo dinâmico do processo de temperatura é obtido a partir do balanço de energia para cada tanque e curvas de calibração para o sensor de temperatura e o aquecedor elétrico. Assumindo uma taxa constante de fluxo de águá' de W = 3,0 kg/minuto, o modelo dinâmico, relacionando a variável controlada T2 (°C) e a variável manipulada U (KW), se reduz para a função de transferência ^

- \

AT2(s) 4 ,15e~53sAU(s) ~ ( I1 9 s + l) (7 1 s + l) (51)

onde o atraso de transporte de 53 segundos foi determinado empiricamente.

O modelo matemático da equação (5.1) foi obtido no seguinte ponto de operação:

Temperatura inicial: T2(0) = 25,2 °C;Referência onda quadrada de amplitude: 1,2 °C (T2r);Sinal de controle inicial: u(0) = 0,502 KW;Ruído branco com média zero e variância: 0,001.

52

Utilizando um período de amostragem de 60 segundos, conforme sugestao_de Cameron, obtém- se a função de transferência discreta, dada por

À T 2(z_I) z~2 (0,5725 + 0,365z~1)A U (z-1) (1 - l,034z_1 + 0,259z~2 )

(5.2)

A planta ou processo a ser controlado pode ser representado por uma equação discreta, já que as medidas de entrada e saída do sistema físico podem ser obtidas através de conversores de sinal lanalógico para digital (A/D) e digital para analógico (D/A). A equação a diferenças do processo é dada por

AT2(t) = l,034AT2(t -1 ) - 0,259AT2(t - 2) + 0,5725Au(t - 2) + 0,365Au(t - 3) + T\(t)

(5.3)

\^onde r|(t) representa as incertezas do modelo, imprecisões nas medidas e perturbações.

5.4 Considerações para a Simulação

O aparecimento de vários pacotes de “software” para simulação, tais como TUTSIM, MATLAB, SIMNON, etc., tem facilitado o projeto e análise de sistemas de controle.

[MATLAB, 1992] é um pacote de simulação alternativo, organizado em tomo de operações com matrizes, que oferece facilidades para trabalhar com álgebra linear e inclui potencial gráfico. MATLAB é um programa matemático interativo, cujo aspecto mais importante é a sua fácil extensibilidade. Adicionalmente, permite o desenvolvimento de programas aplicativos através de uma linguagem de comandos simples e potentes os quais requerem um tempo de programação menor do que as linguagens convencionais (Pascal, C++, etc.).

Para comparação das técnicas de controle PID adaptativas, são realizadas várias simulações como auxílio do MATLAB. Para càda simulação aplica-se como referência uma onda quadrada variando entre 25,2 °C e 26,4- °C, com período de 50 e tempo total de simulação de 300 amostras, ilustrados através de gráficos.

As simulações são realizadas considerando-se desejado uma sobre-elevacão nula, ou seja, os parâmetros de projeto são ajustados de forma que o controlador forneça uma resposta sobre- amortecida.

53

Para cada controlador são apresentados, também, os resultados do segundo degrau, situado no intervalo de 150 a 199 amostras, para facilitar a visualização do efeito da perturbação na dinâmica do processo. A perturbação de carga é inserida na forma de 10 pulsos, com amplitude 0,06 (5% do valor da amplitude da referência), adicionada à saída do processo no intervalo de 171 a 180 períodos de amostragem.

Para permitir o cálculo do tempo de estabilização, atender o requisito de sobre-elevação nula e utilizar o mesmo critério em todas as simulações, considera-se os resultados obtidos no terceiro degrau, situado no intervalo de 250 a 299 amostras, onde são efetuados os cálculos de: variância do erro; variância do controle e tempo de estabilização (considera-se uma aproximação de 5% ao valor desejado).

As variâncias são calculadas por [ÂSTRÕM, 1995]

j 299

variância do erro = — V [y r (t) - y(t)]2 (5.4).N ,n »

j 299

variância do controle = — V [u(t) - ü]2 (5.5)N tf^o

onde N = 50 e ü é a média do controle, no intervalo de 250 a 299, calculada por

1 299

“ = - r r Z u« (5-6)N t=250

Adicionalmente, o esforço computacional também é avaliado através de uma função contadora de operações do [MATLAB, 1992] denominada flops.

Para inicialização da matriz de covariância, realiza-se algumas simulações com os controladores adaptativos até obter-se convergência paramétrica. Os valores dos parâmetros convergidos são utilizados como valores iniciais para os vetores de parâmetros, conduzindo, assim, à inicialização da matriz de covariância com valores pequenos próximos à identidade.

54

Objetivando avaliar os controladores PID adaptativos, realiza-se a simulação (programa no anexo 1) do controlador PID de ganhos fixos dado pela equação (3.5).

Uma das aplicações dos controladores PID adaptativos é a sintonização de controladores PID de ganhos fixos. Utilizando o controlador PID adaptativo de Zhu-zhi obtém-se os ganhos iniciais para o controlador PID de ganhos fixos (Kp = 0,07; Ti = 100; Td = 15).

Com o objetivo de alcançar sobre-elevação nula, complementa-se o ajuste dos ganhos por tentativa e erro obtendo-se os seguintes valores para os ganhos (veja resultados na figura 5.2):

Kp = 0,06; Ti =100; Td=15.

CONTROLE

5.5 Resultados com o Controlador PID de Ganhos Fixos

Figura 5.2 - Resposta com o controlador PID de ganhos fixos.

Na figura 5.3 mostra-se o efeito da perturbação, efetuada no intervalo de 171 a 180 amostras, que provoca um desvio (SE) de 32% da referência, na saída do processo.

Na figura 5.4 ilustra-se a resposta com o controlador PID de ganhos fixos, no intervalo de 250 a 299 amostras, que fornece sobre-elevação de 0% e um tempo de estabilização (Te) de 12 min.

R E F E R Ê N C I A e S A I D A

100%

1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 0 0

Figura 5.3 - Resposta com o controlador PED no intervalo de 150 a 199 amostras.

R E F E R E N C I A e S A I D A

1 5%

Figura 5.4 - Resposta com o Controlador PLD no intervalo 250 a 299 amostras.

Resultados:Variância do erro = Variância do controle Número de operações

0,1396;9,4698e-004;11095.

56

Através das simulações (programa no anexo 2) do controlador de Clarke, proposto em [ROFFEL, 1989], utilizando um atraso de transporte discreto k = 2, constata-se que o aumento do parâmetro Ç reduz a sobre-elevação, a variância do erro e a variância do controle. Veja a tabela 5.1.

Tabela 5.1 Sobre-elevacão e Variância em função de £

5.6 Resultados com o Controlador PID Adaptativo de Clarke/Gawthrop

c Sobre- Variância Variância doelevação do Erro controle

10 8,3% 0,1294 8,4944e-00420 4,2% 0,1251 5,640 le-00427 0% 0,1241 4,7464e-004

Na simulação deste controlador utiliza-se as seguintes condições:

Matriz de covariância inicial Vetor de parâmetros inicial

Fator de esquecimento Parâmetro de projeto

M(0) = I4;eT(0) = [3,3141 -3,0655 0,7515 22,9066]

*. = 1;C = 27.

Para efeito de comparação com as outras técnicas, são considerados os resultados para Ç=27, onde a sobre-elevação é zero (veja tabela 5.1).

T r a ç o d e M

1 5 0

100

5 0

0

1 0 0 2 0 0 3 0 0

T i

3 0

— ^ ‘2 0

1 0

00 1 0 0 2 0 0 3 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0

Figura 5.5 - Parâmetros com o Controlador de Clarke/Gawthrop (Ç=27)

57

Na figura 5.5 apresenta-se o traço da matriz de covariância (M) e os parâmetros do controlador, Kp, Ti e Td, quando Ç=27. A resposta do controlador é apresentada na figura 5.6.

2 7

2 6 . 5

2 6

2 5 . 5

2 5

C O N T R O L E

1 i 1 1A 1

/ . i

/ 1 / \ /■ ! \ ! \ / -

* 1 1 1 10 5 0 100 1 5 0 200 2 5 0 3 0 0

Figura 5.6 - Resposta com o Controlador de Clarke/Gawthrop (Ç=27).

Na figura 5.7 mostra-se o efeito da perturbação, inserida no intervalo de 171 a 180 amostras, que provoca um desvio de 29% da referência na saída do processo.

R E F E R E N C I A e S A I D A

Figura 5.7 - Resposta com o controlador de Clarke no intervalo de 150 a 199 amostras.

58

A Figura 5.8 ilustra a resposta no intervalo de 250 a 299 amostras a qual apresenta um tempo de estabilização de 10 minutos.

R E F E R Ê N C I A e S A Í D A

Figura 5.8 - Resposta com o controlador de Clarke/G. no intervalo 250 a 299 (Ç=27).

Resultados: Variância do erro = 0,1241;Variância do controle = 4,7464e-004;Número de Operações = 74247.

5.7 Resultados com o Controlador PID Adaptativo de Cameron

Para o processo estudado, na técnica de Cameron o estimador deve calcular três parâmetros F e quatro parâmetros G, dados pelo vetor

ê T( t - l ) = [f0 f, f2 g0 g, g2 g3]

e, considerando um atraso de transporte k = 2, o vetor de medidas do estimador é dado por

vj/T( t - k ) = [yf( t - 2 ) y f (t — 3) y f (t — 4) u ( t - 2 ) u ( t-3 ) u ( t - 4 ) u(t - 5)]

59

Conforme pode ser observado nas equações (4.61) e (4.63), para o cálculo do sinal de controle apenas os parâmetros do polinómio F são necessários (veja os resultados mostrados na figura 5.11). No entanto, os parâmetros do polinómio G também devem ser calculados para que o estimador possa atualizar o vetor de medidas. A maior quantidade de parâmetros estimados por este método, comparado com as outras técnicas, exige maior esforço computacional.

Na simulação deste controlador utiliza-se as seguintes condições:

M(0) = 10 I7;0T(O)=[ 2,811 -2,307 0,496 0,580 0,949 -0,761 -0,766]; A.= l;v = definido em cada experimentação;Pd = definido em cada experimentação.

Nesta técnica existe um parâmetro v que funciona como um ganho proporcional. O aumento de v produz maior oscilação na saída do processo e aumenta a sobre-elevação, a variância do erro e a variância do controle, conforme pode ser observado na tabela 5.2.

No anexo 3, apresenta-se a listagem do programa para simulação do controlador de Cameron.

Tabela 5.2 - Variância em função de v e do filtro P

V pnl Variância do Erro

Variância do controle

Sobre-elevação

0,05 0,0 0,1525 0,0019 8,5%

0,10 0,0 0,1234 0,0024 30%

0,20 0,0 0,1437 0,0174 54%

0,15 -0,6 0,1434 0,0013 0%

Matriz de covanância inicial Vetor de parâmetros inicial Fator de esquecimento Parâmetro de projeto Filtro

Quando v = 0,05 e pnl = 0, o controlador de Cameron fornece a resposta da figura 5.9.

60

C O N T R O L E

Figura 5.9 - Resposta com o Controlador de Cameron (v = 0,05)

Fazendo v = 0,2 e mantendo pnl = 0, o sistema se toma oscilatório amortecido, confirmando o caráter de ganho do parâmetro v. Veja a figura 5.10.

C O N T R O L E

R E F E R E N C I A e S A I D A

3 0 0

Figura 5.10- Resposta com o Controlador de Cameron (v=0,2)

61

A seguir, são mostrados os resultados de simulação utilizando-se um filtro Pn de primeira ordem, o qual diminui a oscilação com o aumento do coeficiente pni- Neste exemplo utiliza-se os parâmetros de projeto v = 0,15 e pnl = -0,6. Na figura 5.11 são mostrados os parâmetros F do controlador e o fator de esquecimento que é mantido constante.

fí] e s t i m a d o •, f1 e s t i m a d o

0n---------■--------------------

-1

-2

-3 I---------- :------ '------------------■-----------------0 1 0 G 2 0 0 3 0 0

F a t o r d e E s q u e c i m e n t o

2i----------■—------- ----------

1 . 5 •

1

0 . 5 •

0 I---------- ----------- ,----------0 1 0 0 2 0 0 3 0 0

Figura 5.11- Parâmetros estimados e fator de esquecimento

12 e s t i m a d o

T r a ç o d a M a t r i z d e C o v a r i â n c i a

8 0

6 0

4 0

20

00 1 0 0 2 0 0 3 0 0

T i e s t i m a d o

3 0 0

200

100

00 1 0 0 2 0 0 3 0 0

K p e s t i m a d o

T d e s t i m a d o

Figura 5.12 - Parâmetros do controlador de Cameron (v =0,15; pnl = -0,6).

62

Na figura 5.12 apresenta-se a evolução do traço da matriz de covariância juntamente com os parâmetros Kp, Ti e Td do controlador. Observa-se que o traço da matriz de covariância decresce mas se mantém positiva, mantendo o estimador alerta, e os valores de Kp e Ti se mantém positivos enquanto Td se mantém próximo de zero e as vezes se toma negativo.

Quando se utilizar este método para sintonizar um controlador PID convencional e ocorrerem valores negativos para Td então, após desativar o controlador auto-ajustável, pode-se utilizar |Td| ou Td = 0 [CAMERON, 1983],

O comportamento do sinal de controle é mostrado na figura 5.13 onde se observa que o controle se mantém dentro de níveis aceitáveis de variação.

C O N T R O L E

Figura 5.13- Resposta com o Controlador de Cameron para entrada degrau

A perturbação, inserida no intervalo de 171 a 180, produz uma sobre-elevação de 19% (figura 5.14), calculada considerando a amplitude da referência de 1,2 °C como 100%. Esta é a melhor performance, entre os controladores avaliados, perante à perturbação.

63

R E F E R Ê N C I A e S A Í D A

Figura 5.34 - Resposta com o controlador de Cameron no intervalo de 150 a 199 amostras.

As variâncias são calculadas apenas para o intervalo de 250 a 299 amostras, cuja resposta, que é mostrada na figura 5.15, apresenta um tempo de estabilização de 10,5 minutos.

R E F E R Ê N C I A e S A Í D A

Figura 5.15- Resposta com o controlador de Cameron para v = 0,15 e Pn = 1 - 0,6z 1

Resultados: Variância do erro = 0,1434;Variância do controle = 0,0013; Número de Operações = 436051.

64

Para o projeto do controlador de [ZHU-ZHI, 1985] é necessário selecionar uma função de transferência, S/T. Uma função de transferência de primeira ordem permite a escolha da posição de um polo, conforme a resposta em malha aberta de uma entrada degrau mostrada na figura 5.16.

5.8 Resultados com o Controlador PID Adaptativo de Zhu-zhi

p o l o = 0 , 6

0 . 5

2 0 4 0

p o l o = 0 . 8

0 . 5

0

p o l o = 0 . 7

1

1íi

í

10 . 5 .1

1

.0 1

6 0 2 0 4 0 6 0

p o l o = 0 . 9

í

1

//

/1

i

0 . 5/

' / f1!

0 • ■ -

0 2 0 4 0 6 0 0 2 0 4 0 6 0

Figura 5.16 - Respostas em malha aberta de S/T

Para escolha da função de transferência de primeira ordem, realiza-se a simulação com várias localizações para o polo, cujos resultados são apresentados na tabela 5.3.

Tabela 5.3 - Efeito do polo no controlador de Zhu-zhi

polo Variância do Erro

Variância do Controle

Sobre-elevação Tempo de Estabilização

0,6 0,1255 5,771 le-004 3% 100,65 0,1283 5,9645e-004 0% 110,7 0,1320 6,4850e-004 0% 140,8 0,1425 8,4882e-004 0% 26

65

Considerando os resultados da tabela 5.3 e a condição imposta de sobre-elevação nula, utiliza-se as seguintes condições:

Parâmetro de projeto Matriz de covariância inicial Vetor de parâmetros inicial Fator de esquecimento

polo = 0,65;M(0) = I3;0T(O) = [ 7.7352 -6.3548 1.1004];k = í :

A listagem do programa encontra-se no anexo 4 e os parâmetros estimados, dl, d2 e d3, são ilustrados na figura 5.17.

d1

0

- 2

d 2

- 4

- 6

- 8

1 . 5

1

0 . 5

0

G 1 0 0 2 0 0 3 0 0

d 3

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0

F a t o r d e E s q u e c i m e n t o

2 ...... ..........

---------------------------- ^1 . 5

1

0 . 5

00 1 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0

Figura 5.17 - Parâmetros estimados com o controlador de Zhu-zhi (polo = 0,65)

O traço da matriz de covariância e os parâmetros do controlador PID adaptativo são mostrados na figura 5.18. Observa-se que o estimador se mantém alerta e os parâmetros do controlador se mostram coerentes, com a ação derivativa se mantendo positiva.

66

T r a ç o d a M a t r i z d e C o v a r i â n c í a

3K p

2

1

0I

1 5 0

100

5 0

0

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0

T i

..; 1 0 . 0 8

0 . 0 6

0 . 0 4

0 . 0 2

0100 200

T d

3 0 0

--------- , , 2 0 ■■,

1 5 f ----------------- ----------^1--------V ---------------V-?

1 0

5

00 1 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0

Figura 5.18 - Parâmetros do Controlador PID Adaptativo de Zhu-zhi

O controlador proporciona uma resposta adequada com um tempo de estabilização de 11 minutos (figura 5.21). O melhor resultado obtido pode ser observado na figura 5.19.

C O N T R O L E

R E F E R E N C I A e S A I D A

Figura 5.19 - Resposta com o Controlador de Zhu-zhi quando M(0) = I3.

67

A perturbação, inserida no intervalo de 171 a 180, produz uma sobre-elevação de 29% (figura 5.20).

R E F E R Ê N C I A e S A Í D A

Figura 5.20 - Resposta com o controlador de Zhu-zhi no intervalo de 150 a 199 amostras.

R E F E R Ê N C I A e S A Í D A

Figura 5.21 - Resposta com o Controlador de Zhu-zhi no intervalo 250 a 299 amostras.

Resultados: Variância do erro = 0,1283;Variância do controle = 5,9645e-004; Número de Operações = 82837.

5.9 Resnltarlns rnm n rnntrnladnr PTT) ÂHantiifívn rlí» T)t> l^pvu>r

O algoritmo do controlador de [DE KEYSER, 1988] é implementado pelo programa listado no anexo 5, onde se considera o atraso d = 1 e o parâmetro de projeto a = 0,65. Esta técnica fornece convergência adequada para os ganhos do controlador, conforme pode ser observado na figura 5.22.

Na simulação deste controlador utiliza-se as seguintes condições:

Matriz de covariância inicial Vetor de parâmetros inicial Fator de esquecimento Parâmetro de projeto Parâmetro de projeto

M(0)= I3;0T(O) = [0,0578 0,0399 0,0089]; ;

* = i ; d = l ; a = 0,65.

0.08

0.06

0.04

0.02

0

K p e s t i m a d o T i e s t i m a d o

--------150

r

100

50

00 100 200 300

T d e s t i m a d o

0 100 200 300T r a ç o d a M a t r i z d e C o v a r i â n c i a

0 100 200 300

Figura 5.22 - Parâmetros estimados pelo controlador de De Keyser

Após obter valores iniciais satisfatórios para o vetor de parâmetros do estimador, a resposta à entrada degrau até 300 amostras é obtida e está ilustrada na figura 5.23.

69

C O N T R O L E

Figura 5.23 - Resposta com o controlador de De Keyser

A perturbação, inserida no intervalo de 171 a 180, produz uma sobre-elevação de 29% (figura 5.24), calculada considerando a amplitude da referência de 1,2 °C como 100%.

R E F E R Ê N C I A e S A Í D A

Figura 5.24 - Resposta com o controlador de De Keyser no intervalo de 150 a 199.

70

Através da resposta no intervalo de 250 a 300 amostras (figura 5.25), obtém-se um tempo de estabilização de 11 minutos.

R E F E R E N C I A e S A I D A

Figura 5.25 - Resposta com o Controlador de De Keyser no intervalo 250 a 300 amostras

Resultados: Variância do erro = 0,1264;Variância do controle = 5,4429e-004; Número de Operações = 53406.

5.10 Resultados com o Controlador PI Adaptativo de Camacho

O programa implementado esta listado no anexo 6, e os parâmetros estimados são mostrados na figura 5.26. O comportamento do processo é mostrado na figura 5.27.

Na simulação deste controlador utiliza-se as seguintes condições:

Matriz de covariância inicial Vetor de parâmetros inicial Fator de esquecimento Parâmetro de projeto

M (P )= I3;0T(O) = [0,988 0,46 0,0];A= l ;A = 0,65 (fornece o melhor resultado);

a1 estimado bO estimado

1

0.5

0

1.5

0 100 200

b 1 e s t i m a d o

0.6/--------- -

— *■ 0.4

0.2

0300 0 100 200 300

T r a ç o d a M a t r i z d e C o v a r i â n c i a

Figura 5.26 - Parâmetros do controlador de Camacho

C O N T R O L E

Figura 5.27 - Resposta com o Controlador de Camacho quando A = 0,65.

72

R E F E R Ê N C I A e S A I D A

27

26.8

26.6

26.4

26.2

26

25.8

25.6

25.4

25.2250 260 270 280 290 300

Figura 5.28 - Resposta com o Controlador de Camacho no intervalo 250 a 300 amostras

Resultados: Variância do erro = 0,1124;Variância do controle = 7,2752e-004;Número de Operações = 73391.

Apesar dos baixos valores obtidos para as variâncias, os gráficos revelam que o controlador de Camacho não fomece resultados aceitáveis com um tempo de estabilização de 32 minutos.

73

Através da tabela 5.4 é possível realizar uma comparação das características e do desempenho dos cinco controladores PID adaptativos quando aplicados a um processo de temperatura.

5.11 Comparações das Técnicas de Controle

Tabela 5.4 - Comparação entre os Controladores PID Adaptativos.

Estratégia Apresentada por

Clarke(Roffel)

Cameron Zhu-zhi De Keyser Camacho

Técnica de Projeto

VariânciaMínima

VariânciaMínima

Alocação de Pólos

Modelo de Referência

Alocação de Pólos

ParâmetrosEstimados 4 7 3 3 3Estimação Direta Direta Direta Direta Indireta

ModeloMatemático ARIMAX ARMAX FIR ARX

Complexidade de Projeto alta alta baixa média baixa

Parâmetro de Sintonia

k=2Ç=27

k=2; v=0,15 Pn= 1 - 0,6z_1

S=0,35 T= 1-0,65z'

d=loc=0,65 A= 0,65

Complexidade de Sintonia baixa alta baixa baixa baixaTempo

Estabilização 10 10,5 11 11 32Variância do Erro 0,1241 0,1434 0,1283 0,1264 0,1124

Variância do Controle 0,000475 0,0013 0,000596 0,000544 0,000728Efeito da

Perturbação 29% 19% 29% 29%Esforço

Computacional 74247 436051 82837 53406 73391

5.12 Conclusão

Neste capítulo avaliou-se o desempenho de cinco algoritmos de controle PID adaptativos quandoaplicados a um processo de temperatura.

A partir dos resultados observou-se que:

1) dentre as técnicas de controle avaliadas, a técnica de Clarke/Gawthrop apresentou o melhor desempenho quanto ao tempo de estabilização (10 minutos), a variância do erro e a variância do controle, mas possui alta complexidade de projeto. A sintonia é fácil de ser realizada pois requer o ajuste de um único parâmetro de projeto, já que o atraso é conhecido;

74

2) a técnica de controle de [CAMERON, 1983] destaca-se pela maior robustez perante perturbação e proporcionou resultados aceitáveis com um bom tempo de estabilização (10,5 minutos), mas foi a técnica que exigiu maior esforço computacional, devido ao grande número de parâmetros do estimador, e apresentou a maior variância do controle e tem alta complexidade de projeto e de sintonia;

3) a técnica de controle de [ZHU-ZHI, 1985] destaca-se pela baixa complexidade de projeto e de sintonia;

4) a técnica de [DE KEYSER, 1988] exigiu o menor esforço computacional com resultados melhores se comparado com o controlador de Zhu-zhi;

5) a técnica de [CAMACHO, 1992] utiliza uma estrutura PI e proporciona um comportamento inadequado à malha de controle, com um tempo de estabilização de 32 minutos, sendo inviável para o caso estudado.

Para as especificações de desempenho especificadas, os estudos de simulação em computador revelaram que, com exceção do controlador PI adaptativo de Camacho, os controladores PID adaptativos estudados podem ser empregados no controle de um processo de temperatura de segunda ordem com atraso de transporte, sendo que a técnica de controle de Clarke/Gawthrop, apresentado em [ROFFEL, 1989], forneceu o melhor desempenho dentre as técnicas avaliadas, seguida pela técnica de [DE KEYSER, 1988] a qual apresenta baixa complexidade de projeto.

Os resultados de simulação revelaram também que a estrutura PID de ganhos fixos é robusta suficiente para absorver uma perturbação equivalente à 50% da referência por um período de tempo de 600 minutos, mas depende da sintonia utilizada. Os controladores PID adaptativos mantém a resposta à perturbação em níyeis inferiores a 30% do valor da referência, sendo que a técnica de Cameron se destaca reduzindo este efeito para 19%, enquanto que o controlador PID de ganhos fixos reduz este efeito para 32%.

75

CAPITULO 6

Conclusões Gerais

^Apesar dos controladores PID de ganhos fixos ainda serem os mais conhecidos e implementados { no meio industrial, o interesse por controladores adaptativos está crescendo devido a sua

importância prática. O controlador PID adaptativo une a popularidade do PID convencional,i com a eficiência do controle adaptativo. Além disso, os controladores adaptativos apresentam uma estrutura alternativa no controle de processos complexos, quando controladores de ganhos fixos são ineficazes e comprometem as respostas transitórias requeridas dos processos controlados. A estrutura de controle PID adaptativo é interessante em ambientes industriais pela

familiarização e facilidade de entendimento por parte dos operadores de processos.

f As técnicas de projeto de controladores PID adaptativos avaliadas enquadram-se na primeira geração de controladores adaptativos por não possuírem módulo de supervisão, entre outras características (veja seção 3.4.1), mas apresenta robustez suficiente para controlar

^satisfatoriamente o processo térmico avaliado.

Dentre os controladores avaliados, o controlador de Clarke e Gawthrop, apresentado em [ROFFEL, 1989], apresentou o melhor desempenho com a menor variância do erro, menor variância do controle, menor tempo de estabilização e boa robustez diante de perturbação, além de uma baixa complexidade de sintonia.

Os resultados de simulação apresentados baseiam-se em um ambiente de simulação de um sistema térmico validado e de significado prático e confirmam a viabilidade de substituição dos controladores de ganhos fixos por adaptativos em processos de segunda ordem com atraso de transporte.^o entanto, em sistemas comerciais, para aplicação direta em processos industriais, ' nem sempre o processo a ser controlado apresenta as características inerentes de um processo térmico, como o que foi apresentado neste trabalho, devendo as técnicas avaliadas serem simuladas para outros processos com diferentes dinâmicas.

Para uma avaliação mais consistente dos controladores deve-se realizar a simulação para outros processos, procurando observar o comportamento do sistema diante de mudanças no ganho do processo, variação no atraso de transporte, processos de ordem superior, bem como avaliar os controladores para sistemas oscilatórios e de fase não-mínima.

A maioria das técnicas de projeto de controladores PID adaptativos disponíveis baseiam-se na ? estrutura convencional do controlador PID, onde as ações de controle são funções da mudança ^ da referência e da saída do processo. Sugere-se alterar, no projeto, a entrada do controlador em 'j alguma das técnicas de controle implementadas para avaliar o desempenho com diferentes J

Xestruturasjconforme descrito na seção 3.2.

!Algumas técnicas de projeto de controladores PID adaptativos consideram que o processo possa ser representado por um modelo de segunda ordem cujos parâmetros podem ser estimados utilizando o método dos mínimos quadrados recursivo. No entanto, o processo a ser controlado^ pode não ser de segunda ordemj Conforme [WITTENMARK, 1979], se o processo não é complexo o modelo de segunda ordem enquadra-se ao processo, mas pode haver problemas se o processo possui atraso de transporte. Entretanto, os resultados obtidos sobre o processo térmico com 53 seg. de atraso não apresentaram problemas, conforme pode ser observado pela tabela final de comparação (tabela 5.3) entre os controladores.

76

Sugere-se a implementação dos controladores PID adaptativos avaliados a processos em escala de laboratório, para uma avaliação prática e a implementação no controle de processos reais, fazendo escolha das técnicas apropriadas baseando-se nos estudos de simulação realizados.

Para otimização do estimador de parâmetros, pode-se utilizar técnicas de fatorização (por exemplo, UD) e excitação externa. Em muitas aplicações industriais, quando não existe excitação no processo ou ela é pequena, pode-se também utilizar uma zona morta (o estimador é interrompido) em vez de se utilizar excitação externa [NAJIM, 1991],

Sugere-se, também, a pesquisa de outras técnicas de projeto disponíveis na literatura e o aprimoramento das técnicas apresentadas. Uma alternativa de técnica mais recente, do que as técnicas de variância mínima, alocação de pólos e modelo de referência, é a técnica de controle preditivo de horizonte estendido, GPC (Generalized Predictive Control) [COELHO, 1994b],

Controladores preditivos usam um modelo para o sistema. No entanto, quando o modelo é uma tarefa complexa de obtenção, pode-se utilizar métodos baseados em Redes Neurais ou Lógica Fuzzy para uma identificação aproximada da estrutura do modelo do sistema [SCHMIDT, 1995], Existe ainda pesquisa a ser realizada sobre controladores PID adaptativos utilizando Redes Neurais.

Outra importante questão, conforme [LANDAU, 1993], é o desenvolvimento de procedimentos para sintonização inicial de controladores adaptativos (incluindo PID). Esta área está recebendo crescente atenção tanto nos centros de pesquisas como na indústria. Muitas destas técnicas, usadas para calibração automática de controladores PED convencionais, podem ser interpretadas como refinamentos do bem conhecido método de Ziegler Nichols [HANG, 1991b].

v

77

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81

ANEXOS

ANEXO 1

CONTROLADOR PID DE GANHOS FIXOS

clear; clgnit=300; %NÚMERO DE ITERAÇÕES

%...CONDIÇÕES INICIAIST2=[25.2 25.2 25.2]; T2r=T2; degrau=-1.2;u=[0.502 0.502 0.502]; e=[0 0 0]; du=e; dT2=e;Ts=60;flops(0); perturbacao=0.06; %...(5% do degrau)

Kp = 0.06; Ti = 100; Td=15; %Tentativa e erro

%...ruido(t)=ruido branco c/ media zero e variância 0.01. ruido=0.001 *randn(nit, 1);

%...SAÍDA DO PROCESSO E CONTROLE for k=4:nit

%Gerando o Setpoint:if rem(k,50)>0, T2r(k)=T2r(k-l);

else degrau = (-l)*degrau;T2r(k)=T2r(k-1 )+degrau; %T2r=REFERÊNCIA

end;if k>299, T2r(k)=T2r(k-l); end;

%Aquisição de dados do Processo (simulado):dT2(k)=1.034*dT2(k-l)-0.259*dT2(k-2)+0.5725*du(k-2)+0.365*du(k-3)+ruido(k);T2(k) = T2(k-1) + dT2(k);if k>170 & k<181, T2(k)=T2(k)+perturbacao; end;e(k) = T2r(k) - T2(k);

%Calcular lei de controle:du(k)=Kp* [e(k)-e(k-1) + Ts*e(k)/Ti + Td* [e(k)-2 *e(k-1 )+e(k-2)]/Ts]; u(k) = u(k-1) + du(k);

end;

%...RESULTADOS DE SIMULAÇÃO k=l:nit;subplot(211), plot(k,u(k)), title('CONTROLE');subplot(212), plot(k,T2r(k),'.',k,T2(k),'-'), title('REFERÊNCIA e SAÍDA'); pause

subplot( 111), plot( 150,25,'.', 150,27,'.', 150:199,T2r( 150:199),'.', 150:199,T2(150:199),'-'),titleCREFERÊNCIA e SAÍDA');pausesubplot(l 11), plot(250,27,7,250:299,T2r(250:299),M,250:299,T2(250:299),'-'), title(’REFERÊNCIA e SAÍDA);

%...Cálculo da Variância da Saída Ep=e(250:299);Varianciadoerro = sum(Ep.A2)/50

%. . .Cálculo da Variância do Controle up=u(250:299); media_u=mean(up); e r rou = up-media_u;Variancia do controle = sum(erro_u.A2)/50

%...Contar número de operações N_operacoes = flops

ANEXO 2

clear; clgnit=300; %NÚMERO DE ITERAÇÕES Minic=l; %MATRIZ DE CO VARIÂNCIA IMCIAL tetac=[3.3141 -3.0655 0.7515 22.9066];

%...CONDIÇÕES INICIAIST2=[25.2 25.2 25.2 25.2]; T2r=T2; dT2=[0 0 0 0];degrau—1.2;u=[0.502 0.502 0.502 0.502]; du=[0 0 0 0]; e=du;Ts=60; zeta=27; %zeta=27 foi a melhor sintonia flops(O); perturbacao=0.06; %...(5% do degrau)

%INICIALIZAÇÃO DA MATRIZ M DE COVARIÂNCIA fori=l:4

forj=l:4, M(ij)=0.0;end;M(i,i)=Minic;

end;

%..,ruido(t)=ruido branco c/ media zero e variância 0.01. ruido=0.001 *randn(nit, 1);

%...SAÍDA DO PROCESSO E CONTROLE fork=5:nit

%Gerando o Setpoint:if rem(k,50)>0, T2r(k)=T2r(k-l);

else degrau = (-l)*degrau;T2r(k)=T2r(k-1 )+degrau; %T2r=REFERÊNCIA

end;if k>299, T2r(k)=T2r(k-l); end;

%Aquisição de dados do Processo (simulado):dT2(k)=1.034*dT2(k-l)-0.259*dT2(k-2)+0.5725*du(k-2)+0.365*du(k-3)+ruido(k);

T2(k) = T2(k-1) + dT2(k); ifk>170&k<181, T2(k)=T2(k)+perturbacao; end; e(k) = T2r(k) - T2(k);

%Estimar os parâmetros do processo (utilizado o método dos MQR): psi=[T2(k-2) T2(k-3) T2(k-4) du(k-2)]; fie = psi*tetac'; fí = T2(k) + zeta*du(k-2); erro - f i - f i c ; %Erro de modelo ganho = M*psi'/(l+psi*M*psi'); tetac = tetac + ganho'*erro;M = M - ganho*(l+psi*M*psi')*ganho'; tM(k)=trace(M);a0(k)=tetac(l,l); al(k)=tetac(l,2);

CONTROLADOR PID ADAPTATIVO DE CLARKE E GAWTHROP

a2(k)=tetac(l,3); bO(k)=tetac(l,4);

84

%Calcular os parâmetros do controlador PID:Kp(k) = -[a 1 (k)+2 *a2(k)]/b0(k);Ti(k) = -[a 1 (k)+2*a2(k)] *T s/[aO(k)+al (k)+a2(k)];Td(k) = -a2(k)*T s/[a 1 (k)+2 *a2(k)];

%Calcular lei de controle:du(k)=Kp(k)* [e(k)-e(k-1 )+Ts*e(k)/T i(k)+Td(k)*[e(k)-2 *e(k-1 )+e(k-2)]/T s]; u(k) = u(k-l )+du(k);

end;

%...RESULTADOS DE SIMULAÇÃO k=l:nit; ini=l;subplot(221), plot(ini:nit,tM(ini:nit)), title('Traço de M'); subplot(222), plot(ini:nit,Kp(ini:nit)), title('Kp'); subplot(223), plot(ini:mt,Ti(ini:nit)), title('Ti'); subplot(224), plot(ini:nit,Td(ini:nit)), title('Td'); pausesubplot(211), plot(ini:nit,u(ini:nit)), title('CONTROLE');subplot(212), plot(ini:nit,T2r(ini:nit),'.',ini:nit,T2(ini:nit),'-'), title('REFERÊNCIA e SAÍDA'); pausesubplot( 111), plot( 150,25,’.', 150,27,'.', 150:199,T2r( 150:199),'.',150:199,T2( 150:199),'-'),titleCREFERÊNCIA e SAÍDA’);pausesubplot(lll), plot(250,27,’.’,250:299,T2r(250:299),’.’,250:299,T2(250:299),’-'), titleCREFERÊNCIA e SAÍDA');

%...Cálculo da Variância da saída Ep=e(250:299);Variancia_do_erro = sum(Ep.A2)/50

%..,Cálculo da Variância do controle up=u(250:299); media_u=mean(up); e r rou = up - media_u;Varianciadocontrole = sum(erro_u.A2)/50

%...Contar número de operações flops

85

clear; clgnit=300; %NÚMERO DE ITERAÇÕESMinic =10; %MATRIZ DE COVARIANCIA INICIALtetac=[ 2.8113 -2.3072 0.4958 0.5799 0.9491 -0.7615 -0.7659];

%...CONDIÇÕES INICIAIST2=[25.2 25.2 25.2 25.2 25.2]; Yf=T2; dT2=[0 0 0 0 0];T2r=T2; e=[0 0 0 0 0]; degrau=-1.2;u=[0.502 0.502 0.502 0.502 0.502]; du=[0 0 0 0 0]; fíy=[0 0 0 0 0]; erro=[0 0 0 0 0];flops(O); Ts=60;L0=1; lambda=[L0 L0 L0 L0 L0]; lambdaf= 1;v=0.15; perturbacao=0.06; %...(5% do degrau)pdl=-0.; pnl=-0.6; alpha=T+pdl;

%...ruido(t)=ruido branco c/ media zero e variância 0.01. ruido=0.001 *randn(nit, 1);

%INICIALIZAÇÃO DA MATRIZ DE CO VARIÂNCIA fori=l:7

for j= 1:7, M(ij)=0.0;end;M(i,i) = Minic;

end;

%...SAÍDA DO PROCESSO E CONTROLE for k=6:nit %Gerando o Setpoint:

if rem(k,50)>0, T2r(k)=T2r(k-l); else degrau = (-l)*degrau;

T2r(k)=T2r(k-1 )+degrau; %T2r=REFERÊNCIAend;if k>299, T2r(k)=T2r(k-1); end;

%Aquisição de dados do Processo (simulado):dT2(k)=1.034*dT2(k-l)-0.259*dT2(k-2)+0.5725*du(k-2)+0.365*du(k-3)+ruido(k);T2(k) = T2(k-1) + dT2(k);if k>170 & k< 181, T2(k)=T2(k)+perturbacao; end;Yf(k)=T2(k)-pd 1 *Yf(k-1); e(k) = T2r(k) - Yf(k);

%Estimar os parâmetros do processo (utilizado o método dos MQR): psi=[Yf(k-2) Yf(k-3) Yf(k-4) u(k-2) u(k-3) u(k-4) u(k-5)]; fiy(k) = T2(k) + pn 1 *T2(k-1) - pd 1 *fiy(k-1); fíyc = psi*tetac';erro(k) = fiy(k) - fíyc; %Erro de modelo

ANEXO 3

CONTROLADOR PID ADAPTATIVO DE CAMEROM

%Detectar mudança paramétricaif ((erro(k)>0.05) | (erro(k)<-0.05)), lambda(k)=LO; else lambda(k)=LO*lambda(k-1 )+lambdaf*( 1 -LO);%LAMBDA exponencial

end;ganho = M*psi'/(lambda(k)+psi*M*psi,); tetac = tetac + ganho'*erro(k);M = (M - M*psi'*psi*M/(lambda(k)+psi*M*psil))/lambda(k);TM(k)=trace(M);fO(k)=tetac(l,l); fl(k)=tetac(l,2); f2(k)=tetac(l,3);

%Calcular os parâmetros do controlador PED adaptativoKp(k)=v*[fl(k) + 2*fü(k) - 2*(f0(k)+fl (k)+f2(k))/alpha];Td(k)=v*f2(k)*Ts/Kp(k);T i(k)=Ts *Kp(k)/[v*fO(k)-Kp(k)-Kp(k)*T d(k)/Ts];

%Calcular a lei de controle:du(k)=Kp(k)* [-Y f(k)+Yf(k-1 )+T s*e(k)/Ti(k)+Td(k)*[-Yf(k)+2 * Y f(k-1 )-Yf(k-2)]/Ts]; u(k) = u(k-1) + du(k);

end;

%...RESULTADOS DE SIMULACAO k=l:nit; ini=l;subplot(221), plot(ini:nit,fO(ini:nit)), title(’fO estimado'); subplot(222), plot(ini:nit,fl(ini:nit)), title('fl estimado'); subplot(223), plot(ini:nit,f2(ini:nit)), title('f2 estimado'); subplot(224), plot(k,lambda(k)), titleCFator de Esquecimento1); pausesubplot(221), plot(ini:nit,TM(ini:nit)), title('Traço da Matriz de Covariância’);subplot(222), plot(ini:nit,Kp(ini:nit)), title('Kp estimado');subplot(223), plot(ini:nit,Ti(ini:nit)), title('Ti estimado');subplot(224), plot(ini:nit,Td(ini:nit)), title('Td estimado');pausesubplot(211), plot(k,u(k))9 title('CONTROLE');subplot(212), plot(ksT2r(k);.’,k,T2(k);-'), title('REFERÊNCIA e SAÍDA'); pausesubplot(lll), plot(150,25,'.’,150,27,'.’,150:199,T2r(150:199),'.',150:199,T2(150:199),'-'),title('REFERÊNCIA e SAÍDA');pausesubplot(l 11), plot(250,27,'.',250:299,T2r(250:299),'.',250:299,T2(250:299),'-'), titleCREFERÊNCIA e SAÍDA');

%...Cálculo da Variância da Saída Ep=e(250:299);Varianciadoerro = sum(Ep.A2)/50

%...Cálculo da Variância do Controle up=u(250:299); media_u=mean(up); erro_u = up-media_u;Varianciadocontrole = sum(erro_u.A2)/50 %...Contar número de operações N_operacoes = flops

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clear; clgnit=300; %NÚMERO DE ITERAÇÕESMinic= 1; %MATRIZ DE COVARIANCIA INICIALtetac=[7.7352 -6.3548 1.1004];

%...CONDIÇÕES INICIAIST2=[25.2 25.2 25.2 25.2]; T2r=T2; degrau—1.2;e=[0 0 0]; erro=e; dT2=e;u=[0.502 0.502 0.502]; du=e;L0=1; lambda=[L0 L0 L0 L0 L0]; lambdafM;Ts=60; perturbacao=0.06; %...(5% do degrau)ub=e; yb=ub; flops(O);polo=0.65;

%...ruido(k)=ruido branco c/ media zero e variância 0.01. ruido=0.001 *randn(nit, 1);

%INICIALIZAÇÃO DA MATRIZ DE CO VARIÂNCIA fori=l:3

forj=l:3, M(ij)=0.0;end;M(i,i) = Minic;

end;

%...SAÍDA DO PROCESSO E CONTROLE for k=4:nit%Gerando o Setpoint:

if rem(k,50)>0, T2r(k)=T2r(k-1); else degrau = (-l)*degrau;

T2r(k)=T2r(k-l)+degrau; %T2r=REFERÊNCIAend;if k>299, T2r(k)=T2r(k-l); end;

%Aquisição de dados do Processo (simulado):dT2(k)=1.034*dT2(k-l)-0.259*dT2(k-2)+0.5725:,:du(k-2)+0.365*du(k-3)+ruido(k);T2(k) = T2(k-1) + dT2(k);if k>170 & k<181, T2(k)=T2(k)+perturbacao; end;yb(k) = polo*[T2(k) - T2(k-1)];ub(k-l) = (l-polo)*Ts*[u(k-l)-u(k-2)];

%Estimar os parâmetros dl, d2, d3 (utilizado o método dos MQR): psi=[yb(k-l) yb(k-2) yb(k-3)]; erro(k) = ub(k-l) - psi*tetac'; %Erro de modelo

%Detectar mudança paramétricaif ((erro(k)>0.2) | (erro(k)<-0.2)), lambda(k)=L0;

else lambda(k)=:L0*lambda(k-1 )+lambdaP( 1-L0);

ANEXO 4

CONTROLADOR PID ADAPTATIVO DE ZHU-ZHI

%LAMBDA exponencial end;ganho = M*psi'/(lambda(k)+psi*M*psi'); tetac = tetac + ganho'*erro(k);M = (M - M*psi'*psi*M/(lambda(k)+psi*M*psi'))/lambda(k);TM(k)=trace(M);dl(k)=tetac(l,l); d2(k)=tetac(l,2); d3(k)=tetac(l,3);

%Calcular os parâmetros do controlador PID:Kp(k) = -[d2(k)+2*d3(k)]/Ts;Ti(k) = -Ts*[d2(k)+2*d3(k)]/[dl(k)+d2(k)+d3(k)];Td(k) = -Ts*d3(k)/[d2(k)+2*d3(k)];

%Calcular lei de controle: e(k) = T2r(k) - T2(k);%du(k)=[dl (k)*e(k)+d2(k)*e(k-1 )+d3(k)*e(k-2)]/Ts;du(k)=Kp(k)* [e(k)-e(k-1 )+Ts*e(k)/Ti(k)+Td(k)* [e(k)-2*e(k-1 )+e(k-2)]/Ts];u(k) = u(k-l) + du(k);

end;

%...RESULTADOS DE SIMULACAO k=l:nit;subplot(221), plot(k,dl(k)), title(’d l’);subplot(222), plot(k,d2(k)), title(’d2’);subplot(223), píot(k,d3(k)), title('d3');subplot(224), plot(k,lambda(k)), title(’Fator de Esquecimento’);pausesubplot(221), plot(k,TM(k)), title('Traço da Matriz de Covariância');subplot(222), plot(k,Kp(k)), title('Kp');subplot(223), plot(k,Ti(k)), title('Ti');subplot(224), plot(k,Td(k)), title('Td');pausesubplot(211), plot(k,u(k)), title('CONTROLE');subplot(212), plot(l,27,'.',2,24,'.',k,T2r(k),'.',k,T2(k),'-'), title(’REFERÊNCIA e SAÍDA');%pause pausesubplot(lll),plot(150,25,'.',150,27,'.',150:199,T2r(150:199),'.',150:199,T2(150:199),'-'),titleCREFERÊNCIA e SAÍDA');pausesubplot(l 11), plot(250,27,'.',250:299,T2r(250:299),'.',250:299,T2(250:299),'-'), title(’REFERÊNCIA e SAÍDA');

%...Cálculo da Variância da saída Ep=e(250:299);Variancia_do_erro = sum(Ep.A2)/50 %...Cálculo da Variância do controle up=u(250:299); media_u=mean(up); e r rou = up - mediau;Variancia_do_controle = sum(erro_u.A2)/50 %...Contar número de operações Noperacoes = flops

88

89

clear; clgnit=300; %NUMERO DE INTERAÇÕES

%...se os parâmetros são desconhecidos, iniciar com p=1000.Minic=l; %MATRIZ DE COVARIANCLA INICIAL tetac=[0.0578 0.0399 0.0089];

%... CONDICOES INICIAIST2=[25.2 25.2 25.2]; T2r=T2; dT2=[0 0 0 0 0];u=[0.502 0.502 0.502]; du=[0 0 0];degrau=-1.2; Ts=60; e=[0 0 0];x=[0 0 0]; flops(O); perturbacao = 0.06; alpha=0.65; d=l; %d é o atraso de transporte

%...ruido branco d media zero e variância 0.01. ruido=0.001 *randn(nit, 1);

%INICIALIZACAO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIA for i= 1:3

for j= 1:3M(ij)=0.0;

end;M(i,i) = Minic;

end;

%...SAÍDA DO PROCESSO E CONTROLE fork=4:nit%Gerando o Setpoint:

if rem(k,50)>0, T2r(k)=T2r(k-l); else degrau = (-l)*degrau;

T2r(k)=T2r(k-1 )+degrau; %T2r=REFERÊNCIAend;if k>299, T2r(k)=T2r(k-l); end;

%Aquisição de dados do Processo (simulado):dT2(k)=1.034*dT2(k-l)-0.259*dT2(k-2)+0.5725*du(k-2)+0.365*du(k-3)+ruido(k);T2(k) = T2(k-1) + dT2(k);if k> 170 & k< 181, T2(k)=T2(k)+perturbacao; end;x(k) = [T2(k) - alpha*T2(k-l) - (l-alpha)*T2(k-d)]/(l-alpha);

%Estimar os parâmetros (utilizado MQR):fí = [x(k)-x(k-l) x(k) x(k)-2 *x(k-1 )+x(k-2)]; erro = du(k-d) - fi*tetacf; ganho = M*fi'/( 1 +fi*M*fí'); tetac = tetac + ganho'*erro;M = M - ganho*(l+fi*M*fi')*ganho';

ANEXO 5

CONTROLADOR PID ADAPTATIVO DE DE KEYSER

TM(k) = trace(M);

90

%Calcular os ganhos do controladorKp(k)=tetac(l,l); Ti(k)=Kp(k)*Ts/tetac(l,2);Td(k)=Ts*tetac( 1,3 )/Kp(k);

%Calcular lei de controle: e(k) = T2r(k) - T2(k);du(k)=Kp(k)*([ 1+T s/T i(k)+T d(k)/T s] *e(k)-[ 1 +2*Td(k)/T s] *e(k-1 )+T d(k)/T s*e(k-2)); u(k) = u(k-1) + du(k);

end;

%...RESULTADOS DE SIMULACAO k=l:nit;subplot(221), plot( 1 :nit,Kp( 1 :nit)), title('Kp estimado'); subplot(222), plot( 1 :nit,T i( 1 :nit)), title('T i estimado'); subplot(223), plot(l:nit,Td(l:nit)J, title('Td estimado'); subplot(224), plot(k,TM(k)), title('Traço da Matriz de Covariância'); pausesubplot(211), plot(k,u(k)), title('CONTROLE');subplot(212), plot(k,T2r(k),'.',k,T2(k),'-'), titleCREFERÊNCIA e SAIDA');pausesubplot(l 11), plot( 150,25,'.', 150,27,’.', 150:199,T2r( 150:199),'.', 150:199,T2( 150:199),'-'),titleCREFERÊNCIA e SAÍDA');pausesubplot(l 1 plot(250,27,'.',250:299,T2r(250:299),'.',250:299,T2(250:299),'-'),titleCREFERÊNCIA e SAIDA');

%...Cálculo da Variância da saída Ep=e(250:299);Varianciadoerro = sum(Ep.A2)/50

%...Cálculo da Variância do controle up=u(250:299); media_u=mean(up); erro_u = up- media_u;Variancia_do_coritrole = sum(erro_u.A2)/50

%...Contar número de operaçõesNoperacoes = flops

ANEXO 6

clear; clgnit=300; %NÚMERO DE ITERAÇÕES

%...se os parâmetros são desconhecidos, iniciar com p=1000.Minic=l; %MATRIZ DE COVARIANCIA INICIAL tetac=[0.988 0.46 0.0];

%... CONDIÇÕES INICIAIST2=[25.2 25.2 25.2]; T2r=T2; dT2=[0 0 0];u=[0.502 0.502 0.502 ]; du=[0 0 0]; degrau=-1.2;L0=1; lambda=[L0 L0 L0 L0 L0]; lambdaf=l;Ts=60; e=[0 0 0]; erro=e;flops(O); perturbacao=0.06; %...(5% do degrau)A=0.65;

%.. ruido branco c/ media zero e variância 0.01. rui do=0.00 l*randn(nit, 1);

%INlCIALIZAÇÃO DA MATRIZ DE COVARIANCIA for i=l:3

forj=l:3, M(ij)=0.0;end;M(i,i)=Minic;

end;

%...SAÍDA DO PROCESSO E CONTROLE for k=4:nit%Gerando o Setpoint:

if rem(k,50)>0, T2r(k)=T2r(k-l); else degrau = (-l)*degrau;

T2r(k)=T2r(k-l)+degrau; %T2r=REFERÊNCIAend;if k>299, T2r(k)=T2r(k-l); end;

%Aquisição de dados do Processo (simulado):dT2(k>=1.034*dT2(k-l)-0.259*dT2(k-2)+0.5725*du(k-2)+0.365*du(k-3)+ruido(k);

T2(k) = T2(k-1) + dT2(k); if k>170 & k< 181, T2(k)=T2(k)+perturbacao; end;

%Estimar os parâmetros do processo: psi = [dT2(k-l) du(k-2) du(k-3)]; erro(k) = dT2(k) - psi*tetac'; %Erro de modelo

%Detectar mudança paramétricaif ((erro(k)>0.01) | (erro(k)<-0.01)),' lambda(k)=L0; else lambda(k)=L0*lambda(k-1 )+lambdaP( 1-L0);%LAMBDA exponencial

CONTROLADOR PI ADAPTATIVO DE CAMACHO

end;ganho = M*psi'/(lambda(k)+psi*M*psi'); tetac = tetac + ganho'*erro(k);M = (M - M*psi'*psi*M/(lambda(k)+psi*M*psi'))/lambda(k);TM(k)=trace(M);al(k)=tetac(l,l); b0(k)=tetac(l,2); bl(k)=tetac(l,3);

%Calcular lei de controle:: e(k) = T2r(k) - T2(k);

gO(k) = A* A*( 1 - A)/[A*bO(k)+b 1 (k)]; du(k) = gO(k)*[e(k) - al(k)*e(k-l)]; u(k) = u(k-1) + du(k);

end;

%.. .RESULTADOS DE SIMULACAO k=l:nit;subplot(221), plot(k,al(k)), title('al estimado1);subplot(222), plot(k,bO(k)), titleCbO estimado');subplot(223), plot(k,bl(k)), titleCbl estimado');subplot(224), plot(k,TM(k)), title('Traço da Matriz de Covariância');pausesubplot(211), plot(k,u(k)), title('CONTROLE');subplot(212), plot(k,T2r(k),'.',k,T2(k),’-'), title('REFERÊNCIA e SAIDA'); pausesubplot(lll), plot(150,25,'.',150,27,150:199,T2r(150:199),’.*,150:199^2(150:199),'-’),titleCREFERÊNCIA e SAÍDA');pausesubplot(l 11), plot(250,27,'.',250:299,T2r(250:299),'.',250:299,T2(250:299),'-’), titleCREFERÊNCIA e SAIDA');

%...Cálculo da Variância da saída Ep=e(250:299);V arianciadoerro = sum(Ep.A2)/50

%...Cálculo da Variância do controleup=u(250:299);media_u=mean(up);erro u = up - media_u;varianciadocontrole = sum(erro_u.A2)/50

%...Contar número de operações Noperacoes = flops