anÁlise dinÂmica de estruturas · estruturas existentes que apresentem um risco potencial...

ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS

UTILIZAÇÃO INTEGRADA DE MODELOS DE IDENTIFICAÇÃO MODAL E MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS

Lisboa, 2008

Paulo Mendes

Sérgio Oliveira

i

Análise dinâmica de estruturas. Utilização integrada de modelos de identificação modal e modelos de elementos finitos

Resumo

Neste trabalho aborda-se o tema da análise dinâmica de estruturas de engenharia civil, utilizando, em paralelo, modelos numéricos de elementos finitos e modelos de identificação modal no domínio da frequência, para avaliar as grandezas físicas que caracterizam o seu comportamento dinâmico. Após a introdução dos fundamentos da dinâmica de estruturas, efectua-se a descrição de alguns dos métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, que se têm mostrado adequados para caracterizar o comportamento dinâmico de estruturas, a partir de séries temporais de dados obtidas experimentalmente. Apresenta-se um estudo sobre o comportamento dinâmico de uma parede em consola submetida à acção da água – problema de interacção estrutura-fluido – recorrendo à utilização em paralelo de modelos numéricos de elementos finitos e resultados experimentais obtidos sobre um modelo físico. Com este exemplo pretende-se salientar o interesse da utilização conjunta de resultados experimentais e modelos numéricos na análise dinâmica de estruturas.

Dynamic analysis of structures. Using modal identification models and finite elements models

Abstract

This work is related with the study of the dynamic behaviour of civil engineering structures, using both: numerical models and stochastic modal identification methods on frequency domain, to evaluate the physical parameters which characterize his dynamic behaviour. After the introduction of some structural dynamic principles, some of the most promissory methods of stochastic modal identification on frequency domain are described. A study of the dynamic behaviour of a simple continuous structure is presented, using this structure the structure-fluid interaction problem is also presented, using both: finite element models and experimental results obtained on a physical model. With this example we intend to show, two fundamental issues: the importance of experimental data on the development of numerical models, and; the utility of preliminary numerical models to prepare vibration tests.

iii

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO......................................................................................................................... 1

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS .................................................................................................................................................... 1

CAPÍTULO 2 – COMPORTAMENTO DINÂMICO DE MODELOS ESTRUTURAIS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE.................................................................................................................................................... 5

2.1 INTRODUÇÃO....................................................................................................................................................................... 5 2.2 EXCITAÇÃO DETERMINÍSTICA ............................................................................................................................................ 7 2.2.1 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA ESTRUTURAS DISCRETIZADAS ........................................................................................ 7 2.2.2 FORMULAÇÃO MODAL ....................................................................................................................................................... 9 2.2.2.1 Determinação de frequências e modos de vibração de sistemas sem amortecimento .................................................... 9 2.2.2.2 Determinação de frequências e modos de vibração considerando amortecimento proporcional ................................. 12 2.2.2.3 Funções de resposta em frequência.............................................................................................................................. 13 2.3 EXCITAÇÃO ESTOCÁSTICA................................................................................................................................................ 16 2.3.1 CONCEITOS DE ESTATÍSTICA E DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS.......................................................................................... 17 2.3.2 FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL DA RESPOSTA......................................................................................................... 20 2.4 CONCLUSÕES..................................................................................................................................................................... 23

CAPÍTULO 3 – IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA ............................. 25

3.1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................................... 25 3.2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE A ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA........................................................................... 27 3.3 MATRIZ DAS FUNÇÕES DE DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DA RESPOSTA ............................................................ 34 3.4 MÉTODO BÁSICO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA .............................................................................................................. 43 3.4.1 IDENTIFICAÇÃO DE FREQUÊNCIAS NATURAIS. ESPECTRO NORMALIZADO MÉDIO ............................................................. 44 3.4.2 FUNÇÕES DE COERÊNCIA ................................................................................................................................................. 46 3.4.3 IDENTIFICAÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES MODAIS................................................................................................................ 48 3.4.4 ESTIMATIVAS DOS COEFICIENTES DE AMORTECIMENTOS MODAIS.................................................................................... 51 3.5 MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA........................................................................................... 54 3.5.1 DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES ..................................................................................................................... 55 3.5.2 VERSÃO BASE (FDD)....................................................................................................................................................... 55 3.5.3 VERSÃO MELHORADA (EFDD) ........................................................................................................................................ 58 3.6 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ANTERIORES A RESULTADOS EXPERIMENTAIS .................................................................... 64 3.6.1 DESCRIÇÃO DO MODELO FÍSICO E DO ENSAIO DE VIBRAÇÃO AMBIENTAL......................................................................... 65 3.6.2 EXEMPLO DE APLICAÇÃO EXPERIMENTAL........................................................................................................................ 66 3.7 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A PARTIR DAS FUNÇÕES DE DECREMENTO ALEATÓRIO...... 75 3.7.1 CONCLUSÕES ................................................................................................................................................................... 87

CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS........................ 89

4.1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................................... 89 4.2 SISTEMAS ESTRUTURAIS COM MASSA E RIGIDEZ DISTRIBUÍDAS...................................................................................... 90 4.2.1 SOLUÇÃO PARA SISTEMAS COM MASSA E RIGIDEZ DISTRIBUÍDA ...................................................................................... 90 4.3 MODELOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS .............................................................................. 94 4.3.1 UTILIZAÇÃO DE MODELOS NUMÉRICOS NA ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE BARRAGENS DE BETÃO........... 95 4.3.2 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA ESTRUTURAL................................................................................................. 96 4.3.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .................................................................................................................................. 98 4.4 INTERACÇÃO ESTRUTURA-FLUIDO. PAREDE EM CONSOLA............................................................................................ 101

iv

4.4.1 SOLUÇÃO OBTIDA COM BASE NA FORMULAÇÃO DOS OSCILADORES CONTÍNUOS ............................................................ 102 4.4.2 MODELOS PLANOS DE ELEMENTOS FINITOS.................................................................................................................... 104 4.4.3 IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS ............................... 108 4.4.4 CASO DE ESTUDO ........................................................................................................................................................... 120 4.5 CONCLUSÕES ................................................................................................................................................................... 133

CAPÍTULO 5 ...............................................................................................................................................135

5.1 SÍNTESE DO TRABALHO ................................................................................................................................................... 135

ANEXO A ...................................................................................................................................................139

A.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................................. 139 A.2 SÉRIES TEMPORAIS DE DADOS. AMOSTRAGEM.............................................................................................................. 140 A.3 ANÁLISE ESPECTRAL. FUNDAMENTOS ........................................................................................................................... 141 A.3.1 DA SERIE DE FOURIER A TRANSFORMADA DE FOURIER ................................................................................................. 142 A.3.2 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER A SÉRIES TEMPORAIS ............................................................. 144 A.3.3 ERROS ........................................................................................................................................................................... 145 A.4 FILTRAGEM DE SINAIS .................................................................................................................................................... 151 A.4.1.1 Tipos básicos de filtros.............................................................................................................................................. 152 A.5 DECIMAÇÃO.................................................................................................................................................................... 154 A.6 ZOOM .............................................................................................................................................................................. 155 A.7 CONCLUSÕES .................................................................................................................................................................. 155

ANEXO B....................................................................................................................................................157

B.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................................................................... 157 B.1.1 FUNÇÕES DE DECREMENTO ALEATÓRIO......................................................................................................................... 158 B.1.2 CONDIÇÕES INICIAIS...................................................................................................................................................... 158

CAPÍTULO

1

INTRODUÇÃO

SUMÁRIO: As crescentes preocupações da sociedade com as questões de segurança têm-se reflectido, ao nível da engenharia de estruturas, na revisão da regulamentação de segurança, nomeadamente no que concerne ao comportamento das estruturas sob acções dinâmicas, e em particular, sob acções sísmicas. Os novos avanços ao nível da regulamentação têm sido conseguidos com base num maior conhecimento do comportamento estrutural, resultante dos recentes desenvolvimentos ao nível das tecnologias que permitem a observação do comportamento dinâmico de estruturas reais (e de modelos físicos), ao nível das metodologias de identificação modal e ao nível dos modelos computacionais para simulação e interpretação do comportamento dinâmico. Neste sentido, a observação do comportamento dinâmico de estruturas e o desenvolvimento de modelos numéricos para análise e interpretação do seu comportamento, são objecto de abordagem neste trabalho. Assim, neste capítulo introdutório refere-se a motivação e os principais objectivos do trabalho.

1.1 Considerações gerais

A análise do comportamento dinâmico de estruturas de engenharia civil deve ser efectuada recorrendo a resultados experimentais obtidos em ensaios de vibrações e a modelos numéricos computacionais. Normalmente, a utilização de modelos numéricos está associada à concepção e projecto de novas estruturas ou então a actividades relacionadas com o acompanhamento e/ou a avaliação de segurança de estruturas existentes que apresentem um risco potencial significativo, como é o caso das pontes e das grandes barragens (ver Figura 1.1). O recurso à realização de ensaios de vibrações está usualmente associado aos designados ensaios de recepção, realizados após a construção das estruturas e antes da sua entrada em serviço, para avaliar as condições de segurança iniciais, bem como a ensaios periódicos ao longo da vida útil das estruturas, enquadrados nas actividades de observação do seu comportamento dinâmico. Recentemente, têm-se verificado importantes desenvolvimentos, quer ao nível da modelação numérica, quer ao nível da tecnologia utilizada para a realização de ensaios de vibrações, os quais estão alicerçados nas crescentes capacidades computacionais e nos mais recentes desenvolvimentos tecnológicos verificados ao nível dos equipamentos utilizados para medir a resposta dinâmica das estruturas (sistemas de aquisição de dados, condicionadores de sinal, sensores, etc.).

O recurso a modelos numéricos na concepção, projecto e controlo de segurança de estruturas é essencial, nomeadamente sempre que se recorre à utilização de novos materiais, novas formas estruturais e/ou novas metodologias de observação.

Figura 1.1 Barragem da Aguieira.

Capítulo 1: Introdução 2

Estas evoluções têm impulsionado o desenvolvimento de modelos numéricos (elementos finitos, elementos discretos, etc.), tornando-os cada vez mais adequados para a análise do comportamento dinâmico de estruturas, bem como o desenvolvimento das metodologias de identificação modal, utilizadas para avaliar as características dinâmicas das estruturas a partir de séries temporais de dados obtidas experimentalmente.

Por outro lado, é de salientar que, muitos dos progressos verificados ao nível da modelação do comportamento dinâmico de estruturas se deve à cada vez maior quantidade de informação experimental disponível, a qual tem permitido uma melhor compreensão dos fenómenos físicos envolvidos, tendo como consequência lógica a adopção de hipóteses mais adequadas para simular o comportamento dinâmico das estruturas.

f

Densidade Espectral de Potência Média

Modelo numérico

Resultados experimentais

Figura 1.2 Esquema representativo da utilização integrada de modelos de identificação modal e modelos numéricos de elementos finitos.

Globalmente, a análise do comportamento dinâmico de estruturas deverá ser efectuada, recorrendo à utilização integrada da modelação numérica e da identificação experimental de parâmetros modais (frequências naturais, modos de vibração e amortecimentos modais), tal como se mostra no esquema da Figura 1.2. No presente trabalho apresentam-se os fundamentos da análise dinâmica de estruturas numa perspectiva que potencia a utilização integrada de resultados experimentais da observação do comportamento dinâmico de estruturas e de modelos numéricos de elementos finitos. Assim o presente trabalho tem como principais objectivos:

• Apresentar alguns dos fundamentos da dinâmica de estruturas, necessários para a implementação de métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, nomeadamente relacionados com a formulação modal no domínio da frequência, para osciladores com vários graus de liberdade;

• Descrever os principais métodos de identificação modal no domínio da frequência, salientando algumas das potencialidades da sua aplicação;

• Apresentar os fundamentos das metodologias de processamento e análise de sinais digitais;

1.1 Considerações gerais

3

• Abordar o problema do comportamento dinâmico de estruturas contínuas, utilizando e comparando resultados analíticos, numéricos e experimentais;

• Debater o problema da interacção estrutura-fluido, com base na apresentação de resultados numéricos e experimentais, obtidos para o exemplo de um modelo físico, de uma parede em consola submetida à acção da água.

Este trabalho é igualmente desenvolvido com o objectivo de constituir um elemento introdutório à identificação modal de estruturas, sendo por vezes exaustivo na apresentação de alguns dos conceitos fundamentais. Por outro lado, também tem como objectivo, apresentar alguns exemplos de aplicação nesta área. Finalmente, importa salientar que a introdução do problema da interacção estrutura-fluido, utilizando para o efeito um modelo físico simples, visa abordar de uma forma simplificada, o problema da interacção barragem-albufeira. Neste contexto os resultados analíticos, numéricos e experimentais apresentados, têm por objectivo compilar um conjunto de elementos a partir dos quais poderá ser possível extrapolar algumas conclusões para o caso concreto de barragens de betão.

Capítulo 1: Introdução 4

CAPÍTULO

2

COMPORTAMENTO DINÂMICO DE MODELOS

ESTRUTURAIS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE

SUMÁRIO: O estudo do comportamento dinâmico de modelos estruturais com um ou vários graus de liberdade, é essencial para a introdução de alguns dos fundamentos da dinâmica de estruturas, essenciais para o desenvolvimento de estudos mais avançados. Pelo que, a introdução deste capítulo visa introduzir alguns desses fundamentos, essenciais para os conceitos que são apresentados nos capítulos seguintes, os quais estão associados ao estudo da resposta de modelos estruturais com vários graus de liberdade, no domínio da frequência, a partir de excitações conhecidas, designadas por determinísticas, bem como, a partir de excitações desconhecidas, designadas por estocásticas.

2.1 Introdução

A análise e caracterização do comportamento dinâmico de estruturas baseia-se num conjunto de fundamentos, que usualmente são descritos em aplicações a modelos estruturais com um e/ou vários graus de liberdade [Clough e Penzien, 1993; Chopra, 2000]. Neste capítulo apresentam-se estes fundamentos, realçando em particular, alguns conceitos essenciais para o desenvolvimento de métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência (capítulo 3). Os métodos de identificação modal estocástica têm por objectivo a identificação das principais características dinâmicas das estruturas, a partir de dados sobre a sua resposta (em geral obtidos experimentalmente), sob as acções dinâmicas que normalmente as solicitam, as quais apresentam em geral uma variação temporal de natureza aleatória, podendo ser caracterizadas através de conceitos probabilísticos, como mais à frente se verá. Todavia, em primeiro lugar apresentam-se os conceitos clássicos, associados ao estudo da resposta das estruturas a partir de excitações conhecidas, designadas por determinísticas.

Para além de uma adequada idealização das acções actuantes é igualmente importante a consideração de um modelo matemático capaz de descrever de uma forma suficientemente aproximada o funcionamento estrutural, o qual deverá permitir a obtenção de relações matemáticas entre as características essenciais da excitação e da resposta estrutural resultante. Estes modelos matemáticos, utilizados para caracterizar o comportamento dinâmico das estruturas, podem recorrer a diferentes formulações, nomeadamente, formulações no domínio do tempo e no domínio da frequência, em coordenadas estruturais ou coordenadas modais. Genericamente, e independentemente do tipo de excitação, o processo relativo à caracterização do comportamento dinâmico de estruturas (ver Figura 2.1), baseia-se no estabelecimento de um modelo matemático e de relações excitação-resposta, bem

Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 6

como a adopção de um modelo espacial discreto ou contínuo que represente aproximadamente as propriedades geométricas e físicas das estruturas, usualmente expressas através das matrizes de massa, rigidez e amortecimento, bem como a aplicação das leis da Mecânica, resultando daí um sistema de equações diferenciais caracterizador do movimento estrutural, a partir do qual é possível obter relações excitação-resposta, quer numa óptica determinística, quer numa óptica estocástica.

Propriedades estruturais:massa - mrigidez - kamortecimento - c

t

Acção harmónica(conhecida / desconhecida)

0

p (t)

t0

p (t)

t0

p (t)

t0

p (t)

t0

p (t)p

τ

Acção sísmica(desconhecida)

Acção do tipo ruído ambiente(desconhecida)

Acção do vento(desconhecida)

Acção impulsiva(conhecida / desconhecida)

Resposta estrutural

u (t)

t

Caracteríticas modais:frequências naturais - f iconfigurações modais - φ iamortecimentos modais - ξ i

m.u(t)+c.u(t)+k.u(t)=p(t).. .

p (t) = - m.u (t)..b

u (t) - aceleração da base de fundação..b

Figura 2.1 Esquema representativo da caracterização do comportamento dinâmico de estruturas.

Neste capítulo, o estudo do comportamento dinâmico de estruturas é efectuado, assumindo simplificadamente a hipótese de comportamento elástico linear e que as características estruturais são invariantes no tempo. Nos modelos matemáticos utilizados para estudar o comportamento dinâmico de estruturas com vários graus de liberdade, as propriedades estruturais são usualmente representadas por intermédio de matrizes, que resultam de uma prévia discretização, normalmente efectuada recorrendo a elementos finitos, como se verá no capítulo 4. As propriedades estruturais são relacionadas com as forças externas, através do estabelecimento de equações diferenciais de equilíbrio. Tendo em conta o tipo de excitação, é efectuada a apresentação dos diversos conceitos, recorrendo a um exemplo de aplicação que também será utilizado no capítulo 3, o qual se refere ao modelo plano da estrutura de um modelo físico de um edifício de 3 pisos (ver Figura 2.2).

u (t)1

2

3

u (t)

u (t)

Figura 2.2 Exemplo de um oscilador com 3 graus de liberdade. Modelo plano da estrutura de um modelo físico um edifício de 3 pisos.

2.2 Excitação determinística 7

2.2 Excitação determinística

A caracterização do comportamento dinâmico de estruturas, com base numa excitação do tipo determinística é usualmente designada como o processo clássico da análise dinâmica de estruturas. Na perspectiva da utilização de modelos analíticos, este processo, baseia-se na determinação da resposta dinâmica das estruturas, a partir de excitações conhecidas, adoptando um modelo matemático adequado, que contemple as já mencionadas propriedades físicas e geométricas, bem como a aplicação das leis da Mecânica, utilizando, o já mencionado sistema de equações diferenciais caracterizador do movimento estrutural. Por outro lado, este processo também é utilizado para caracterizar a resposta dinâmica de estruturas a partir de dados experimentais. Neste tipo de caracterização são utilizados modelos experimentais que se baseiam nas relações excitação-resposta, a partir das quais é possível avaliar as características dinâmicas das estruturas. Nesta secção apresentam-se os conceitos utilizadas neste tipo de abordagem, designadamente para o caso da análise no domínio da frequência de estruturas discretizadas em vários graus de liberdade.

No âmbito da dinâmica de estruturas, as acções ou excitações (dinâmicas), são muitas vezes designadas também por vibrações.

2.2.1 Equação do movimento para estruturas discretizadas

O estudo do comportamento dinâmico de estruturas, discretizadas em n graus de liberdade e sujeitas à acção de forças externas p(t), pode ser efectuado através da seguinte equação matricial, que representa um sistema de n equações diferenciais de 2ª ordem:

( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t p t⋅ + ⋅ + ⋅ =

As matrizes m, c e k , representam, respectivamente, a matriz de massas, amortecimento e rigidez, cujos elementos mij, cij e kij representam as forças generalizadas que ocorrem no grau de liberdade i, quando no grau de liberdade j é imposta uma aceleração, uma velocidade ou um deslocamento generalizado unitário, respectivamente. Por sua vez os vectores ( ) ( ) ( )u t , u t e u t , contêm as acelerações, velocidades e deslocamentos generalizados relativos a cada um dos graus de liberdade da estrutura, enquanto o vector ( )p t contém as forças aplicadas em cada um dos graus de liberdade. A resolução deste sistema de equações diferenciais de segunda ordem, pode ser efectuada:

− no domínio do tempo, recorrendo a funções de resposta a impulsos, ou; − no domínio da frequência, pela aplicação da transformada de Fourier a ambos

os membros (para condições iniciais não nulas deverá aplicar-se a transformada de Laplace).

Em geral, quando se aplica a transformada de Fourier, admite-se que as condições iniciais são nulas.

Uma vez que o objectivo deste trabalho é analisar o comportamento dinâmico de estruturas com base na análise de resultados experimentais no domínio da frequência (utilizando para o efeito, a transformada de Fourier), então a análise do anterior sistema de equações diferenciais de segunda ordem, no domínio da frequência, é


evidentemente mais interessante. Aplicando a transformada de Fourier a ambos os membros da anterior equação matricial

( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t p t⎡ ⎤⋅ + ⋅ + ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F

obtém-se uma nova expressão matricial, que relaciona, no domínio da frequência a resposta com a excitação:

( ) ( ) ( ) ( )2m U i c U k U P− ⋅ ω ⋅ ω + ⋅ ω⋅ ⋅ ω + ⋅ ω = ω A solução anterior é uma função complexa, definida no domínio da frequência, que simplificadamente pode ser escrita na forma seguinte:

( ) ( ) ( )U H Pω = ω ⋅ ω em que ( ) ( )U e Pω ω , são vectores que representam as transformadas de Fourier da resposta e da excitação, respectivamente. Já ( )H ω é uma matriz composta por um conjunto de componentes ( )ijH ω , as quais são funções de resposta em frequência (FRF) do sistema, que relacionam a resposta no grau de liberdade i com a força generalizada aplicada no grau de liberdade j. Esta matriz, relaciona-se com as matrizes m, c e k , que caracterizam a estrutura, através da seguinte relação:

( ) 12H m i c k−

⎡ ⎤ω = −ω ⋅ + ⋅ ω⋅ +⎣ ⎦

A determinação da matriz anterior pode ser uma operação computacionalmente dispendiosa, pois obriga ao cálculo da inversa de uma matriz complexa para cada frequência pretendida. Recorrendo à designada formulação modal, é possível obter a matriz ( )H ω , das funções de resposta em frequência de uma forma numericamente mais eficiente.

Transformadas de Fourier dos vectores dos deslocamentos e das forças:

( )[ ] ( )u t U ωF =

( ) ( )p t P ω⎡ ⎤⎣ ⎦F =

Propriedades da transformada de Fourier: Transformada da 1ª derivada do vector dos deslocamentos

( ) ( )i Uu t ⋅ ω ⋅ ω⎡ ⎤⎣ ⎦F = Transformada da 2ª derivada do vector dos deslocamentos

( ) ( )2 Uu t −ω ⋅ ω⎡ ⎤⎣ ⎦F =

Exemplo 2.1 Modelo plano de um modelo físico da estrutura de um edifício de três pisos. Para uma melhor interpretação dos conceitos que vão sendo apresentados ao longo deste trabalho, é utilizado com exemplo, um pequeno modelo físico da estrutura de um edifício, o qual é constituído por três pisos suportados por quatro pilares. Os pisos são materializados por chapas de aço com 1.5 cm de espessura, enquanto que os pilares são lâminas de alumínio, com uma altura entre pisos de 20 cm e uma secção transversal de 3×18 mm, como se mostra na Figura 2.3. Por uma questão de simplificação, apenas se efectua uma análise plana do modelo, considerando-se para o efeito a direcção mais flexível da estrutura do edifício. Atendendo às características mecânicas dos materiais utilizados na construção do modelo, os pisos funcionam como diafragmas rígidos no seu próprio plano. Desta forma pode-se representar simplificadamente o modelo, como se mostra na Figura 2.3 (b). Tendo em conta as simplificações introduzidas, determinaram-se as seguintes matrizes de rigidez e de massa:

[ ]20833.33 20833.33 0

k 20833.33 41666.67 20833.33 N / m

0 20833.33 41666.67

−

= − −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]5 0 0

m 0 5 0 kg

0 0 5

=⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


200

mm

200

mm

200

mm

200 mm 200 m

m

placa ( aço )

placa ( aço )

placa ( aço )

15 m

m

Pilares :(alumínio)3 mm x 18 mm

1x

x2

u (t)1

2

3

u (t)

u (t)

p (t)1

p (t)2

p (t)3

k/2

k/2

k/2

k/2

k/2

k/2

m

m

m

(a) (b)

Figura 2.3 Modelo físico da estrutura do edifício de 3 pisos: (a) perspectiva do modelo; (b) idealização estrutural plana.

2.2.2 Formulação modal

A formulação modal permite transformar o sistema de equações diferenciais anterior, num conjunto de equações diferenciais independentes (ou desacopladas). A operação de desacoplar, consiste em expressar o vector dos deslocamentos numa combinação linear de vectores independentes, designados por modos de vibração, os quais são combinados linearmente através das designadas coordenadas modais.

2.2.2.1 Determinação de frequências e modos de vibração de sistemas sem amortecimento

Os fundamentos da formulação modal desenvolvem-se a partir do caso teórico de estruturas sem amortecimento e sem forças externas aplicadas, com base no qual se determinam os seus valores e vectores próprios, os quais correspondem respectivamente às suas frequências próprias e modos de vibração. Considerando a equação do movimento para a situação de vibração livre sem amortecimento, ou seja

( ) ( )m u t k u t 0⋅ + ⋅ = a equação anterior também pode ser representada na forma seguinte

( ) ( )2m u t k u t 0− ⋅ ω ⋅ + ⋅ = ou ( )2k m u t 0⎡ ⎤− ⋅ ω ⋅ =⎣ ⎦

que corresponde a um sistema algébrico cuja solução é genericamente dada por

( ) 12u t k m 0−

⎡ ⎤= − ⋅ ω ⋅⎣ ⎦

ou, tendo em conta que a inversa de uma matriz é a correspondente matriz adjunta a dividir pelo seu determinante,

( ) ( )2

2

Adj k mu t 0

k m

− ⋅ ω= ⋅

− ⋅ ω

Com este resultado conclui-se que a solução ( )u t será a solução trivial (nula) sempre


que o determinante (em denominador) for não nulo. Assim para obtermos as soluções não nulas que nos interessam o determinante 2k m− ⋅ ω deverá ser nulo. Neste caso, a solução ( )u t será não nula, mas indeterminada. Assim, conclui-se que a equação diferencial apenas poderá ter uma solução não nula se o determinante em denominador for nulo

2k m 0− ⋅ ω =

Desta forma, verifica-se que as soluções da equação anterior são da forma

( ) ( )*u t u t= Φ ⋅ em que Φ corresponde à designada matriz modal, que contém em cada coluna os modos de vibração da estrutura (vectores próprios reais do sistema, correspondentes às soluções não triviais) enquanto que ( )*u t corresponde às denominadas coordenadas modais (que são funções do tempo). Matematicamente os conceitos de massa modal e de rigidez modal surgem quando, na equação diferencial em análise, se introduz a forma

( ) ( )*u t u t= Φ ⋅ ficando

( ) ( )m u t k u t 0⋅Φ ⋅ + ⋅ Φ ⋅ = a qual pode ser facilmente resolvida se multiplicarmos ambos os membros por TΦ já que, em resultado desta multiplicação, obtemos o seguinte sistema de três equações diferenciais desacopladas

( ) ( )T * T *m u t k u t 0Φ ⋅ ⋅ Φ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ Φ ⋅ = pois as matrizes T mΦ ⋅ ⋅ Φ e T kΦ ⋅ ⋅ Φ são matrizes diagonais, usualmente designadas como a matriz das massas modais e a matriz da rigidez modal

* T *im m m

⎡ ⎤⎢ ⎥= Φ ⋅ ⋅ Φ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

* T *ik k k

⎡ ⎤⎢ ⎥= Φ ⋅ ⋅ Φ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i⎡ ⎤Φ = ϕ⎣ ⎦

em que mi e ki são, respectivamente a massa modal e a rigidez modal correspondentes ao modo de vibração i, verificando-se a seguinte relação

ii

i

km

ω =

Assim, a equação diferencial anterior pode escrever-se na forma

( ) ( )* * * *i i i im u t k u t 0⋅ + ⋅ =

Importa referir que os vectores próprios são sempre determinados a menos de um factor de escala, podendo-se, por conveniência para a resolução da equação do movimento, normalizá-los relativamente à matriz de massa, de modo a que se verifiquem as relações:


Tm mm IΦ ⋅ ⋅ Φ = T 2

m mkΦ ⋅ ⋅ Φ = Ω em que mΦ é a matriz que tem como colunas os vectores próprios miϕ normalizados relativamente à matriz de massa, que podem ser determinados através de

imi

im

ϕϕ =

enquanto, I é a matriz identidade e 2Ω é a matriz espectral. Finalmente, refere-se ainda que, a resposta dinâmica de uma estrutura, dada pela expressão ( ) ( )*u t u t= Φ ⋅ também pode ser escrita na forma

( ) ( )N

*i i

i 1u t u t

=

= ϕ ⋅∑

em que N corresponde ao número de graus de liberdade considerado.

Exemplo 2.2 Determinação das frequências próprias e dos modos de vibração do modelo plano do edifício de 3 pisos, desprezando o efeito do amortecimento. Tendo em conta as matrizes de rigidez e de massa anteriormente apresentadas, apresentam-se agora, os valores próprios, frequências próprias, matriz modal e matriz modal normalizada, os quais se obtiveram a partir da utilização de rotinas de cálculo desenvolvidas em MatLab (Math Works, 2000):

Valores próprios[(rad/s)2] Frequências angulares naturais [rad/s] Frequências naturais [Hz]

2i

825

6479

13529

ω =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

28.72 28.72 0 0

80.49 0 80.49 0

116.31 0 0 116.31

ω = Ω =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

i

4.57

f 12.81

18.51

=⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz modal (vectores próprios)

0.3296 0.2643 0.1467

0.2643 0.1467 0.3296

0.1467 0.3296 0.2643

− −

Φ = − −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Na figura seguinte apresentam-se as configurações modais, aplicando um valor de escala, considerado adequado, aos valores obtidos para a matriz modal previamente apresentada.

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º MODO - 4.572Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º MODO - 12.81Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º MODO - 18.51Hz

Figura 2.4 Modelo físico da estrutura de um edifício de 3 pisos: (a) perspectiva do modelo; (b) idealização estrutural plana.


2.2.2.2 Determinação de frequências e modos de vibração considerando amortecimento proporcional

Considere-se agora estruturas com amortecimento, para as quais é necessário assumir a ortogonalidade dos modos de vibração em relação à matriz de amortecimento, nestas circunstâncias considera-se

* T *i i i ic c c 2 m

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Φ ⋅ ⋅ Φ = = ⋅ ξ ⋅ ⋅ ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

nas igualdades anteriores é estabelecida a definição de amortecimento modal *

ic . Um caso especial de amortecimento proporcional é o designado amortecimento de Rayleigh, cuja matriz de amortecimento resulta da combinação linear da matriz de massa e da matriz de rigidez, através da seguinte expressão c m k= α ⋅ + β ⋅ em que α e β são duas constantes. Este modelo de amortecimento admite que a distribuição do amortecimento nas estruturas é proporcional à distribuição de massa e de rigidez. Esta hipótese simplificativa facilita o tratamento matemático do problema, sendo na prática muito utilizada pelo facto de fornecer uma boa aproximação para um grande grupo de estruturas.

Nestas circunstâncias, a solução geral do anterior sistema de equações diferenciais pode ser obtida transformando-se num conjunto de equações diferenciais independentes (ou desacopladas), como se mostra na seguinte expressão

( ) ( ) ( ) ( )* * * * * * *i i i i i i im u t c u t k u t p t⋅ + ⋅ + ⋅ =

onde as componentes modais da excitação ( )*

ip t , resultam do produto da transposição do vector correspondente ao do modo de vibração i pelo vector da excitação ( )p t , isto é

( ) ( )* Ti ip t p t= ϕ ⋅

Salienta-se o facto de os vectores próprios dum sistema com amortecimento proporcional coincidirem com os vectores próprios desse mesmo sistema sem amortecimento, uma vez que a matriz de amortecimento c também é diagonalizada pela matriz modal Φ , como aliás já se verificou. Todavia, para a obtenção de valores próprios é necessário satisfazer a equação característica 2 2

i i i i i2 0λ + ⋅ ξ ⋅ ω ⋅ λ + ω = , cuja solução permite escrever:

2 2i i i i i i i i i ij 1 , j 1⊗λ = −ξ ⋅ ω + ⋅ ω ⋅ − ξ λ = −ξ ⋅ ω − ⋅ω ⋅ − ξ

ii i i

i

, Re⎛ ⎞λ

ω = λ ξ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟λ⎝ ⎠

nas relações anteriores o índice ♦⊗ significa complexo conjugado.

Exemplo 2.3 Edifício de 3 pisos. Determinação da matriz de amortecimento e dos coeficientes de amortecimento, considerando a formulação de amortecimento de Rayleigh (proporcional à massa e à rigidez).


Considerando as matrizes de massa e rigidez anteriormente apresentadas, determinou-se uma matriz de amortecimento viscoso proporcional, obtida com base na aplicação da formulação de amortecimento Rayleigh, dada pela expressão c m k= α ⋅ + β ⋅ , em que se arbitraram as seguintes constantes 0.05α = e 0.0001β = .

[ ] [ ]i

2.3333 2.0833 0 0.23

c 2.0833 4.4167 2.0833 N s m 0.43 %

0 2.0833 4.4167 0.60

−

= − − ⋅ ⇒ =

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ξ

2.2.2.3 Funções de resposta em frequência

A equação do movimento escrita em coordenadas modais (desacoplada), é idêntica à que descreve o movimento do oscilador de 1 grau de liberdade, podendo ser resolvida no domínio do tempo através do integral de Duhamel ou ser transformada para o domínio da frequência (recorrendo à transformada de Fourier), podendo-se escrever na seguinte forma

( ) ( ) ( )i di iU H Pω = ω ⋅ ω Cada uma das funções de resposta em frequência no espaço modal ( )iH ω é definida, em função dos parâmetros modais, pela expressão:

( )di 2 2i i i

1H2 j

ω =ω − ω + ⋅ ⋅ ξ ⋅ ω⋅ ω

A matriz das funções de resposta em frequência completa, no sistema de coordenadas generalizadas iniciais, pode ser obtida através da seguinte expressão

( ) ( )N

T Td di i i

i 1H H H

=

ω = Φ ⋅ ω ⋅ Φ = ⋅ ϕ ⋅ ϕ∑

na qual a matriz ( )dH ω é uma matriz diagonal que contém, na sua diagonal principal, as funções de resposta em frequência no espaço modal, encontrando-se os modos de vibração normalizados em relação à matriz de massa.

Recorde-se a equação do oscilador de 1GL:

( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t p t⋅ + ⋅ + ⋅ =

A partir da segunda igualdade da última expressão, pode-se obter facilmente a equação seguinte a qual permite o cálculo dos vários elementos da matriz das FRFs

( ) ( ) ( ) ( )Nm ni i

m,n 2 2i 1 i i i

H2 j=

ϕ ⋅ ϕω =

ω − ω + ⋅ ⋅ξ ⋅ ω⋅ ω∑

onde ( )m i

ϕ é a componente m do modo de vibração i.

O cálculo da matriz das FRFs através da formulação modal é muito mais eficiente, não só pelo facto das operações matemáticas envolvidas serem mais simples, mas também porque é possível ter em consideração um número de modos de vibração limitado, bastando para tal alterar o limite superior dos somatórios das expressões, para contabilizar apenas a contribuição dos primeiros modos, que se julguem representativos do sistema dinâmico. Finalmente, é possível obter a resposta, no domínio da frequência, considerando a seguinte expressão:


( ) ( ) ( )N

i di ii 1

U H P=

ω = ϕ ⋅ ω ⋅ ω∑

Exemplo 2.4 Edifício de 3 pisos. Matriz das funções de resposta em frequência. Tendo em conta os parâmetros previamente calculados e apresentados, determinaram-se as funções de resposta em frequências (FRF), programando as expressões das FRF (matriz H previamente apresentada) em rotinas de MatLab . Atendendo ao facto de estas funções serem complexas, são necessárias duas funções para as definir completamente, assim, apresenta-se na Figura 2.5, uma matriz que contém as amplitudes daquelas funções, em função da frequência (em Hz), enquanto que na Figura 2.6, se apresenta a matriz das fases. É de salientar que, para calcular as FRF utilizaram-se os coeficientes de amortecimento modais apresentados no exemplo anterior, determinados com base na hipótese de amortecimento proporcional.

Am

plitu

de

[(m

/s2 )/H

z]

Am

plitu

de

[m/k

N]

Am

plitu

de

[m/k

N]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[1,1]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[1,2]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[1,3]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[2,1]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[2,2]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[2,3]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[3,1]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[3,2]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[3,3]

f [Hz] f [Hz] f [Hz]

Figura 2.5 Matriz das amplitudes das FRFs. Analisando a figura anterior, verifica-se claramente que em qualquer um dos espectros de amplitude, surgem 3 picos para as frequências naturais do modelo estrutural. Na Figura 2.6, apresentam-se também sob a forma de matriz, a variação da fase em função da frequência, para os vários elementos das funções de resposta em frequência, tendo em conta os valores de amortecimento no exemplo 2.3.


Fase

[º]

Fase

[º]

Fase

[º]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[1,1]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[1,2]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[1,3]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[2,1]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[2,2]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[2,3]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[3,1]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[3,2]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

H[3,3]


Figura 2.6 Matriz das fases das FRFs. Todavia a informação contida nas duas anteriores figuras, pode ser resumida numa única, tal como se apresenta na Figura 2.7, com a vantagem de permitir uma análise e interpretação física dos resultados obtidos, mais imediata. Analisando a Figura 2.7, verifica-se claramente que sempre que existe um pico ou um vale aguçado (pico invertido), ocorre uma mudança de fase! E que nos vales não aguçados ocorre de - 180 para 180 ou vice-versa.

Capítulo 2: Comportamento dinâmico de modelos estruturais com vários graus de liberdade 16A

mpl

itude

[m

/kN

] Fase [º]

Am

plitu

de

[m/k

N] Fase [º]

Am

plitu

de

[m/k

N]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[1,1]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[1,2]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[1,3]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[2,1]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[2,2]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[2,3]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[3,1]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[3,2]

0 5 10 15 20 2510

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 H[3,3]

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

0 5 10 15 20 25-180

-90

0

90

180

Fase [º]


Figura 2.7 Matriz completa das FRFs.

2.3 Excitação estocástica

A designação de excitação estocástica, encontra-se associada a acções dinâmicas desconhecidas, cuja variação temporal é de natureza aleatória, isto é, quando não é possível prever o seu comportamento futuro. Nestas circunstâncias, a caracterização do comportamento dinâmico de estruturas só pode ser alcançada através da adopção de conceitos probabilísticos, como aliás já foi mencionado anteriormente. Atendendo ao facto de a excitação ser desconhecida, o processo referente à caracterização do comportamento dinâmico, baseia-se na consideração de hipóteses simplificativas sobre as características estatísticas da excitação, procurando-se o estabelecimento da relação destas, com as características estatísticas da resposta (conhecidas) e com as propriedades dinâmicas das estruturas, as quais interessa avaliar. Assim, este tipo de processo baseia-se na análise e interpretação da resposta das estruturas, e está especialmente vocacionado para a vertente experimental. Nesta secção introduzem-se alguns conceitos básicos de estatística e processos estocásticos, os quais visam a introdução e o estudo da representação analítica das funções de

2.3 Excitação estocástica 17

densidade espectral de potência da resposta das estruturas, elemento chave na abordagem deste tipo de processo, no domínio da frequência.

2.3.1 Conceitos de estatística e de processos estocásticos

Considere-se a evolução no tempo de um conjunto de variáveis aleatórias, as quais correspondem a um determinado conjunto de realizações de um processo estocástico. Pode-se definir a evolução de uma variável aleatória ao longo do tempo como xk(t), em que o índice k indica a realização a que se refere (k∈[0,N]) e t indica o instante temporal (t∈[0,T]). Considerando que as realizações então compreendidas num intervalo limitado (t∈[0,T]), no fundo está-se a considerar apenas uma amostra da população total de valores (t∈]-∞,+∞[, para a população total), representativa de cada uma das realizações k. Nestas circunstâncias para cada amostra da evolução de uma variável aleatória dá-se a designação de função aleatória, sendo que nenhuma delas é decomponível em nenhuma função conhecida. Suponha-se que cada variável aleatória xk(t), pode assumir qualquer valor no intervalo de tempo em que está compreendida, e que está relacionada com a descrição da evolução de uma determinada grandeza física (ex. aceleração), para a qual interessa conhecer a sua tendência e dispersão.

Na prática, uma função aleatória resulta da medição ou registo de uma grandeza física, cuja variação é devida a causas não controladas pelo observador. Todavia, o conceito de aleatoridade é reforçado, caso se meçam várias amostras em simultâneo, obtendo-se assim um conjunto de diferentes registos (resultantes de experiências idênticas) aos quais se dá a designação de processo estocástico. Na Figura 2.8, faz-se a representação das n variáveis de um processo estocástico ao longo do tempo.

Figura 2.8 Representação de um processo estocástico escalar (adaptado de [Magalhães, 2004]).

Tendo em conta o processo estocástico xk(t) apresentado na Figura 2.8, definem-se agora, na Tabela 2.1,algumas grandezas estatísticas, para o instante t e para os instantes t e t+τ.


Tabela 2.1 Grandezas estatísticas de variáveis aleatórias Designação Amostra [0, N]

Média ( ) ( )N

t k kk 1

1x E x t x tN =

= = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑

Valor quadrático médio

( ) ( )N

2 22t k k

k 1

1x E x t x tN =

⎡ ⎤= = ⋅⎣ ⎦ ∑

Variância ( ) ( )( )N2 22

t k kk 1

1s E x t x x t xN =

⎡ ⎤= − = ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑

Desvio padrão 2

t ts s=

Auto-correlação ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N

xx k k k kk 1

1R t, t E x t x t x t x tN =

+ = ⋅ + = ⋅ ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑τ τ τ

Auto-covariância ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

xx k t k t

N

k t k tk 1

C t, t E x t x x t x

1 x t x x t xN

+

+=

⎡ ⎤+ = − ⋅ + − =⎣ ⎦

= ⋅ − ⋅ + −∑

τ

τ

τ τ

τ

Para as grandezas estatísticas apresentadas na tabela anterior importa referir que,

2 2t t t tx , x , s e s são considerados como estimadores das grandezas 2 2

t t t t, , eµ µ σ σ , as quais seriam os valores obtidos se fosse possível calcular estes parâmetros para toda a população. Todavia, a caracterização completa de um processo estocástico, envolve um exigente tratamento matemático, pelo que é usual, em diversas aplicações práticas, simplificar esse tratamento matemático, assumindo que os processos estocásticos são estacionários e ergódicos. Um processo diz-se estacionário quando as suas características estatísticas são independentes do instante temporal. Para estas condições apresentam-se as funções a utilizar para determinar a média e a função de auto-correlação:

( ) ( )N

x kN k 1

1t lim x tN→∞

=

= ⋅∑µ

( ) ( ) ( )N

xx k kN k 1

1R t, t lim x t x tN→∞

=

+ = ⋅ ⋅ +∑τ τ

Um processo é dito ergódico quando o valor dos parâmetros estatísticos avaliados tendo em conta as diferentes realizações, para um determinado instante de tempo, é igual ao dos mesmos parâmetros estatísticos avaliados apenas numa realização ao longo do tempo. Para avaliar o conceito de ergocidade apresentam-se também as funções a utilizar para determinar a média e a função de auto-correlação:

( ) ( )T

x k0N

1k lim x t dtT→∞

= ⋅ ∫µ

( ) ( ) ( )T

xx k k0N

1R ,k lim x t x t dtT→∞

= ⋅ ⋅ +∫τ τ

Usualmente, assim como neste trabalho, é também admitido que os processos estocásticos apresentam média nula e natureza Gaussiana (ou normal). Ao se admitir a natureza Gaussiana, no fundo está-se a admitir que a função de auto-correlação caracteriza completamente o processo [Carvalhal, 1989]. É de salientar que, a natureza Gaussiana é comum a muitos fenómenos naturais, segundo o Teorema do Limite Central, a soma de um grande número de variáveis


aleatórias independentes, cada uma com diferentes distribuições individuais, tende para uma distribuição normal. Ao admitir-se que o processo estocástico é estacionário e ergódico, a função de auto-correlação apenas contempla uma única realização k e um desfasamento temporal τ, podendo ser determinada simplesmente através da seguinte expressão:

( ) ( ) ( )T

xx k k0T

1R lim x t x t dtT→∞

τ = ⋅ + τ∫

As funções de auto-correlação associadas a processos estocásticos estacionários de média nula, são funções simétricas com um máximo na origem, cuja ordenada é igual à variância do processo. Aplicando a transformada de Fourier à função de auto-correlação obtém-se uma nova função que se designa por função de densidade espectral de potência ou auto-espectro, definida no domínio da frequência.

( ) ( ) ixx xxS R e d

+∞ − ⋅ω⋅τ

−∞ω = τ ⋅ τ∫

De notar que também é possível determinar a função de auto-correlação aplicando a inversa da transformada de Fourier à função de densidade espectral de potência:

( ) ( ) ixx xx

1R S e d2

+∞ ⋅ω⋅τ

−∞τ = ω ⋅ ω

π ∫

Os auto-espectros são funções reais que quantificam a distribuição do conteúdo energético de um sinal (série temporal) em frequência. Para sinais de média nula, a área do gráfico que representa o conteúdo energético total do sinal é igual ao valor da sua variância. Nesta fase importa definir o conceito de ruído branco. Trata-se de um tipo de sinal que é caracterizado por ser idealmente aleatório e no limite pode-se afirmar que, contém a contribuição, com conteúdo energético significativo, de todas as frequências. Nestas circunstâncias a área das funções de densidade espectral será infinita, enquanto que a função de auto-correlação apresentará uma ordenada com valor infinito na origem, que deriva do facto da variância ser infinita, apresentando ordenadas nulas em todas as restantes abcissas, pelo facto do sinal ser idealmente aleatório. Em termos práticos, a obtenção de uma variância infinita não é realista, pelo que é usual considerar-se um ruído branco de banda limitada, isto é, um processo estocástico que é caracterizado por um auto-espectro com intensidade constante dentro de um determinado intervalo de frequências, tal como se apresenta na Figura 2.9.

x(t)

t

τ

R(τ)σ

0

ω

S(ω)S 0

ω2

ω1

− ω1

− ω2

0

Figura 2.9 Exemplo de um sinal representativo de um processo de banda larga, com função de auto-correlação e função de densidade espectral de potência.

Para a aplicação de métodos de identificação modal estocástica, é usual assumir que a excitação tem as propriedades de um ruído branco: espectro de potência constante e função de auto-correlação com ordenada na origem igual à variância do processo e valor nulo em todas as restantes abcissas.

Os conceitos referidos anteriormente podem ser generalizados, por exemplo ao considerarem-se dois processos estocásticos (xi(t) e xj(t)), é possível introduzir os conceitos de função de correlação cruzada e função de densidade espectral de potência cruzada (ou espectro cruzado), dadas pelas seguintes expressões:

( ) ( ) ( )T

ij i j0T

1R lim x t x t dtT→∞

τ = ⋅ + τ∫

( ) ( ) iij ijS R e d

∞ − ⋅ω⋅τ

−∞ω = τ ⋅ τ∫

No âmbito da identificação modal estocástica, as funções de densidade espectral de


potência são determinadas a partir de séries temporais, podendo-se nessas circunstâncias aplicar a seguinte expressão:

( )( ) ( )*

NT,r i T,r j

ij T r 1N

x t x t1S limN T→∞

=→∞

⎡ ⎤⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ω = ∑F F

em que ( )T,r ix t⎡ ⎤⎣ ⎦F , representa a transformada de Fourier da realização r, do processo estocástico xi(t), no intervalo [0, T]. Salienta-se o facto de a expressão anterior também ser adequada para determinar auto-espectros, fazendo xi = xj. Analisando a expressão anterior, facilmente se verifica que os auto-espectros são funções reais, enquanto que os espectros cruzados são funções complexas. Refere-se ainda que, é usual agrupar em vectores os processos estocásticos. Nestas circunstâncias é usual definir uma matriz das funções de correlação (ou matriz de correlação), que contém nos elementos da diagonal principal as funções de auto-correlação e fora dessa diagonal as funções de correlação cruzada. De forma idêntica é usual definir uma matriz das funções de densidade espectral (ou matriz espectral) que contém na sua diagonal principal os auto-espectros e os espectros cruzados fora dessa diagonal.

Os auto-espectros são funções reais pois resultam da multiplicação de números complexos pelos seus complexos conjugados.

2.3.2 Funções de densidade espectral da resposta

As funções de densidade espectral da resposta para estruturas com vários graus de liberdade podem-se definir com base na seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*T

u pS H S Hω = ω ⋅ ω ⋅ ω

na expressão anterior H(ω) representa a matriz das funções de resposta em frequência, Su(ω) é a matriz a matriz das funções de densidade espectral da resposta da estrutura, enquanto que Sp(ω) é a matriz a matriz das funções de densidade espectral da excitação. Assumindo que a excitação que actua os diferentes graus de liberdade tem características semelhantes às de um ruído branco, então a matriz dos espectros da excitação é constante e depende da matriz das correlações (Rp), pelo que a matriz dos espectros da resposta passa a depender exclusivamente da matriz de funções de resposta em frequência e de uma matriz constante:

( ) ( ) ( ) ( )*T

u pS H R Hω = ω ⋅ ⋅ ω

Admitindo que a excitação é do tipo ruído branco e assumindo que as excitações que actuam cada um dos graus de liberdade são estatisticamente independentes entre si, então as correlações cruzadas são nulas sendo a matriz Rp uma matriz diagonal. Nestas circunstâncias pode-se obter uma expressão que fornece a contribuição de cada modo genérico, para qualquer elemento da matriz das funções de densidade espectral da resposta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Nm k n ki i i i i

p rry m,n 2 2 2 2k 1 i i i i i i

S R2 j 2 j=

ϕ ⋅ ϕ ϕ ⋅ ϕω = ⋅ ⋅

ω − ω + ⋅ ⋅ ξ ⋅ ω⋅ ω ω − ω + ⋅ ⋅ ξ ⋅ ω⋅ ω∑

A expressão anterior, é muito interessante pois permite obter individualmente a função de densidade espectral de cada modo de vibração, a partir das quais é possível

( ) ( ) ( ) ( )Nm ni i

m,n 2 2i 1 i i i

H2 j=

ϕ ⋅ ϕω =

ω − ω + ⋅ ⋅ ξ ⋅ ω ⋅ ω∑


obter as características modais das estruturas.

Exemplo 2.5 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração para a estrutura do modelo físico do edifício de 3 pisos. Para o exemplo em análise, determinou-se a matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, considerando para matriz das funções de densidade espectral da excitação a matriz identidade. Desta forma, admite-se que as fontes de excitação que ocorrem nos diferentes graus de liberdade são independentes entre si, sendo ruídos brancos. Na Figura 2.10, apresenta-se a matriz das amplitudes das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração. De notar que apenas se apresentam as funções para valores de frequência positivos, pelo que tomam a designação de Gy.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

Fase [º]


Figura 2.10 Matriz completa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Comparando a Figura 2.10, com a Figura 2.7, verificam-se algumas semelhanças, a mais evidente e mais interessante relaciona-se com o facto de se confirmar que os picos que surgem na matriz das FRFs também ocorrerem na matriz dos espectros. Este aspecto é fundamental, pois é com base nele que se utilizam as funções de densidade espectral de potência nos métodos de identificação modal estocástica, no domínio da frequência, para se estimarem as características modais das estruturas. É de salientar o facto de os elementos correspondentes à fase serem nulos na diagonal principal, o que se deve ao relacionamento de um grau de liberdade com ele mesmo. De notar que a arrumação das amplitudes e das fases num mesmo gráfico, facilita a interpretação de resultados. Nomeadamente, permite verificar um aspecto curioso, o qual está relacionada com o facto de se verificar que a mudança de fase está associada a vales com picos invertidos, ao passo que nos vales em que não ocorrem mudanças de fase os vales não afundam na forma de picos invertidos.


Na Figura 2.11, apresenta-se a matriz das amplitudes das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, conjuntamente com a contribuição de cada um dos modos de vibração. Verifica-se que na vizinhança das frequências de ressonância, os espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade correspondentes a cada modo de vibração são suficientes para caracterizar aquela contribuição modal.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,3]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,3]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,3]


Figura 2.11 Matriz das amplitudes das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Total e contribuição isolada das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade de cada modo de vibração.

Na Figura 2.12, apresenta-se a matriz das amplitudes das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração das contribuições modais, isoladas, dos osciladores de 1 grau de liberdade.

2.4 Conclusões 23

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,3]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,3]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,3]


Figura 2.12 Matriz das amplitudes das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Contribuição isolada das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade de cada modo de vibração.

2.4 Conclusões

Neste capítulo apresentaram-se alguns dos fundamentos da análise dinâmica de modelos estruturais com vários graus de liberdade, usualmente utilizados quando se está perante excitações conhecidas (definidas deterministicamente) e perante excitações definidas estocasticamente. Abordou-se a designada formulação modal, a qual assenta na determinação de valores e vectores próprios, para se obter, respectivamente, as frequências naturais e os modos de vibração dos modelos estruturais. Introduziram-se os conceitos relativos à utilização de coordenadas estruturais e coordenadas modais, bem como os conceitos de matriz modal, massa modal, rigidez modal e amortecimento modal. Finalmente introduziu-se igualmente o conceito de amortecimento de Rayleigh, proporcional à massa e à rigidez. Apresentaram-se as funções de resposta em frequência (FRF), as quais são utilizadas para relacionar, no domínio da frequência, a resposta das estruturas com a acção. Estas funções são complexas e contêm toda a informação necessária para caracterizar os parâmetros modais das estruturas, nomeadamente as frequências naturais, os


amortecimentos modais e os modos de vibração. Utilizando as FRF é possível conhecer a resposta dinâmica de uma estrutura num determinado ponto, em função da gama de frequências em análise, para uma acção harmónica aplicada num qualquer ponto da estrutura. Por fim, introduziram-se alguns conceitos de estatística essenciais para definir os designados processos estocásticos. Verificou-se que a definição deste tipo de processos é importante quando se está perante excitações de natureza aleatória. Nestas circunstâncias é possível avaliar a resposta dinâmica das estruturas, em frequência, recorrendo à utilização das designadas funções de densidade espectral de potência da resposta. Atendendo ao facto de estas funções serem complexas e se poder estabelecer uma relação com as FRF, verificou-se que é também possível avaliar os parâmetros modais das estruturas, recorrendo às funções de densidade espectral de potência das resposta.

CAPÍTULO

3

IDENTIFICAÇÃO MODAL ESTOCÁSTICA NO

DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

SUMÁRIO: A identificação modal estocástica é um dos domínios da dinâmica de estruturas que mais se tem desenvolvido nos últimos tempos. Permite a identificação das características dinâmicas das estruturas a partir de dados experimentais, utilizando um conjunto de ferramentas matemáticas suportadas por robustas rotinas computacionais. Neste capítulo descrevem-se os principais aspectos a ter em conta na utilização e implementação de técnicas de identificação modal estocástica no domínio da frequência, para identificar o comportamento dinâmico observado em estruturas de engenharia.

3.1 Introdução

No capítulo anterior abordaram-se alguns dos fundamentos referentes às formulações matemáticas mais utilizadas para descrever o comportamento dinâmico de estruturas de engenharia civil. Neste capítulo são descritos métodos que, baseados nas formulações anteriores, permitem identificar os parâmetros modais das estruturas a partir de dados experimentais obtidos em ensaios de vibrações. A possibilidade de obter experimentalmente informação sobre as características dinâmicas das estruturas de engenharia civil é uma área com interesse evidente, nomeadamente pelo facto de essa informação permitir a validação dos modelos utilizados para avaliar o seu comportamento relativamente às acções que lhe induzem uma resposta dinâmica, tais como os sismos, vento, tráfego rodoviário, ferroviário ou pedonal. O interesse da aplicação destes métodos estende-se também à própria caracterização global do estado das estruturas, uma vez que as propriedades dinâmicas estão directamente relacionadas com a evolução desse estado, pelo que, a observação e monitorização das estruturas para avaliar experimentalmente as suas características dinâmicas é uma ferramenta atractiva para estudar fenómenos de deterioração evolutiva.

Figura 3.1 Modelo físico da estrutura de um edifício de 3 pisos.

A identificação experimental dos parâmetros modais das estruturas pode ser efectuada recorrendo a duas vias distintas:

− relacionando a resposta estrutural medida com a correspondente excitação induzida artificialmente, também medida (Ensaios de Vibração Forçada);

− ou analisando simplesmente a resposta da estrutura, tendo em consideração um conjunto de hipóteses relativas à natureza da excitação ambiental (Ensaios de Vibração Ambiental).

A segunda via apresenta-se como mais interessante, pois permite a utilização deste tipo de ensaios em contínuo ao longo do tempo, sem introduzir restrições ao normal

Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 26

funcionamento das estruturas. Por outro lado, e atendendo ao grande porte das estruturas de engenharia civil, evita o recurso a equipamento de excitação pesado, ao qual estão associados elevados custos. Para o caso de estruturas muito rígidas em que a amplitude da resposta medida é muito baixa poderá ser necessário recorrer ao uso de transdutores de grande sensibilidade, ou mesmo de vibradores para excitar convenientemente as estruturas, sendo neste último caso necessário recorrer à primeira via. Neste capítulo descrevem-se alguns métodos de identificação modal no domínio da frequência que se baseiam somente na análise da resposta medida. Tendo em conta o facto de nos ensaios de vibração ambiental, não existir controlo sobre as forças de excitação, nem existir a possibilidade de as conhecer ou medir, para efeitos de identificação modal, é necessário assumir uma hipótese quanto às suas características:

− as forças de excitação são consideradas como uma realização de um processo estocástico gaussiano de tipo ruído branco com média nula;

É precisamente devido à assunção desta hipótese que surge a designação identificação modal estocástica, que advém do facto de a fonte de excitação, de origem ambiental resultar da contribuição simultânea de várias fontes: vento, tráfego sobre as estruturas (pontes e alguma barragens) ou nas imediações (edifícios), funcionamento de máquinas instaladas na estrutura ou na vizinhança. Todavia, esta é uma simplificação necessária para o desenvolvimento teórico dos métodos, pois na realidade o conteúdo energético da acção distribui-se por uma banda larga de frequências, não sendo no entanto perfeitamente uniforme. Estruturas sujeitas a excitações com frequências predominantes, como acontece por exemplo nas barragens devido ao funcionamento das turbinas, têm de ser analisadas com especial cuidado. Importa referir que a generalidade dos métodos de identificação que se baseiam na análise da resposta da estrutura são adaptações de métodos de identificação tradicionais, isto é, de métodos que realizam a identificação dos parâmetros modais da estrutura através de relações entre a excitação e a resposta. Uma descrição detalhada destes métodos pode ser encontrada em [Maia e Silva, 1997].

Um processo estocástico é denominado Gaussiano, quando a evolução temporal do conjunto das variáreis que o integram, possuem conjuntamente uma função de densidade de probabilidade Gaussiana (também denominada normal).

Os métodos que se descrevem neste capítulo, desenvolvem-se no domínio da frequência, e baseiam-se em estimativas espectrais da resposta da estrutura, medidas em vários pontos, existem no entanto outros métodos que são desenvolvidos no domínio do tempo, utilizando como base as séries temporais da resposta da estrutura ou então as suas correlações, no entanto, neste capítulo serão exclusivamente abordados os do primeiro tipo. Em primeiro lugar apresentam-se alguns conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência, associados ao conceito de série de Fourier, descrevendo-se posteriormente o processo utilizado para obter as funções de densidade espectral de potência da resposta das estruturas. Com base nestas estimativas espectrais descrevem-se os métodos que se têm mostrado como mais promissores; o método básico no domínio da frequência (BFD), também conhecido por método da selecção de picos e o método de decomposição no domínio da frequência (FDD). Descreve-se ainda uma versão melhorada do último método referido (EFDD), bem como a aplicação destes métodos após a aplicação das funções de decremento aleatório (RD-BFD, RD-FDD e RD-EFDD). A descrição destes métodos será acompanhada por aplicações desenvolvidas em MATLAB, nas quais se utilizam como exemplo, respostas simuladas para o edifício de 3 pisos apresentado no capítulo anterior. No final do capítulo é apresentada uma aplicação com dados reais obtidos em modelo físico.

3.2 Conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência 27

3.2 Conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência

A análise no domínio da frequência, de séries temporais de acelerações observadas em ensaios de vibrações, permite o acesso a um conjunto de informação que é muito útil para a caracterização do comportamento dinâmico de estruturas. Aparentemente, a partir das séries temporais das acelerações observadas, não é possível obter muita informação sobre uma dada estrutura: apenas a duração da observação, o intervalo de tempo entre os pontos medidos (frequência de amostragem) e os valores máximos de aceleração. No entanto, a simples decomposição em “ondas” de um registo de acelerações, medido num determinado ponto de uma estrutura, utilizando por exemplo o conceito associado às séries de Fourier, possibilita o acesso imediato aos valores de frequência, para os quais uma dada estrutura mostra preferência em vibrar. Aqueles valores de frequência, correspondem às designadas frequências naturais (ou frequências próprias) da estrutura, desde que as características da excitação sejam do tipo de um ruído branco. Importa todavia salientar que, a identificação das frequências naturais de uma estrutura, com base na análise de um único registo de acelerações, só é suficiente, desde que esse ponto não se encontre na proximidade de um nodo de nenhum dos modos de vibração da estrutura. Caso essa situação se verifique, só é possível identificar a frequência correspondente a essa forma preferencial de vibração da estrutura, analisando outro registo de acelerações num outro ponto da estrutura, que não esteja sobre um nodo, desse modo de vibração.

Como já se mencionou anteriormente, uma excitação do tipo ruído branco, caracteriza-se por ter uma distribuição em frequência constante, garantido que a estrutura é totalmente excitada, para todas as frequências.

Apresentado o interesse prático das séries de Fourier, introduzem-se agora alguns conceitos essenciais para mostrar a sua aplicabilidade à decomposição em “ondas” de registos de acelerações medidos em ensaios de vibrações. Assim, e atendendo ao exposto na secção A.3.1, do anexo A, pode-se adaptar o conceito apresentado (na forma trigonométrica), através da seguinte série, considerando a grandeza aceleração:

( ) ( )( )te teT n n n n

n 1 n 1

u (t) c onda n c a cos t b sen t∞ ∞

= =

= + = + ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅∑ ∑ , n nω = ⋅∆ω

em que Tu (t) , representa a aproximação da função u(t) , num dado intervalo T, de comprimento T. Importa ainda referir que 2 / T∆ω = π . Todavia, a expressão anterior pode ser escrita de uma forma mais perceptível, aliviando um pouco o formalismo matemático, associado ao conceito de série (somatório de infinitas parcelas), isto é:

1 2 3 n

teT

2 3 n

u (t) c onda 1 onda 2 onda 3 ... onda n ...ω =∆ω ω = ∆ω ω = ∆ω ω = ∆ω

= + + + + + +

Nesta expressão cada uma das ondas sinusoidais (“onda n”) pode ser escrita como a combinação linear das duas principais funções trigonométricas (coseno e seno), ou seja

( ) ( )n n n nonda n a cos t b sen t= ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ vindo

Fourier percebeu que podia aproximar “qualquer” função, neste caso u(t) , num intervalo de comprimento finito T através de uma série – série de Fourier – correspondente à soma de uma constante e de um conjunto de infinitas “ondas” sinusoidais com períodos iguais a T e aos seus submúltiplos

t0

t0

t0

T

Período T

Período T/2

T

T

Período T/3

t0

T

Período T/10

Figura 3.2 Exemplos de ondas definidas num intervalo [0,T] com períodos submúltiplos de T.


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

teT

a cos t b sen t a cos t b sen t a cos t b sen t

u (t) c onda 1 onda 2 onda 3 ...ω + ω ω + ω ω + ω

= + + + +

O problema agora é saber como se podem determinar os coeficientes an e bn das várias ondas que permitem aproximar uma dada função u(t) num dado intervalo de comprimento T. Foi exactamente este problema que Fourier resolveu ! Fourier começou por perceber que, em virtude dos períodos da várias ondas serem submúltiplos de T, então o valor médio de cada “onda n” no intervalo T deveria ser sempre nulo. Assim, usando a notação u(t)

T para designar o valor médio de u(t)

no intervalo T, fica

onda n 0=T

n=1,2,3 … Esta constatação permite escrever

teT

0 0 0

u (t) c onda 1 onda 2 onda 3 ...= + + + +T T T TT

donde se conclui que o valor da constante (cte ) deve ser exactamente igual ao valor médio da função u(t) no intervalo T, ou seja

Tte

0

1c u(t) u(t)dtT

= = ∫T

Na tentativa de determinar os coeficientes da “onda 1”, Fourier percebeu que o valor médio em T de cada onda multiplicada por 1cos( t)ω é sempre nulo, excepto no caso da própria “onda 1”.

O valor médio de uma função num intervalo de comprimento T corres-ponde à altura de um rectângulo de base T cuja área seja igual à área sob a função no referido intervalo. Dado que a área A sob a função é dada pelo integral da função definido no intervalo T então fica

T

med0

1v u(t) u(t)dtT

= = ∫T

Figura 3.3 Utilização do conceito de integral para cálculo do valor médio.

De facto pode-se escrever

( ) ( ) ( ) ( ) ( )teT 1 1 1 1 1

0 00

u (t) cos t c cos t onda 1 cos t onda 2 cos t onda 3 cos t ...⋅ ω ⋅ = ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ +T T T TT

ficando simplesmente

( ) ( )1 1u(t) cos t onda1 cos t⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅T T

ou seja

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1u(t) cos t a cos t b sen t cos t⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ ⋅ ω ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦T T

o que permite obter finalmente

( ) ( ) ( ) ( )1

2 11 1 1 1 1 1

0a / 2

au(t) cos t a cos t b sen t cos t2

⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ ⋅ ω ⋅ =T TT

Assim, concluiu Fourier, pode-se calcular o coeficiente a1 como o dobro do valor médio em T da função u(t) multiplicada por 1cos( t)ω ⋅ , ou seja

( )T

1 1 10

2a 2 u(t) cos t u(t) cos( t)dtT

= ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅∫T

Da mesma forma, o valor médio em T de cada onda multiplicada por 1sen( t)ω ⋅


também é sempre nulo, excepto no caso da onda 1, o que permite determinar b1, de forma análoga à utilizada na determinação de a1. Assim conclui-se que deverá ser

( )T

1 1 10

2b 2 u(t) sen t u(t) sen( t)dtT

= ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅∫T

Aplicando este raciocínio às subsequentes ondas conclui-se facilmente que todos os coeficientes an e bn podem ser determinados através de expressões análogas às anteriores. Fourier concluiu assim que a determinação dos coeficientes das várias ondas da “sua série”, se resume sempre a um simples problema de determinação de valores médios!

Em síntese pode-se então concluir que a aproximação em série de Fourier de uma função u(t) , num dado intervalo T, de comprimento T, pode ser representada (na forma trigonométrica) através da seguinte série (somatório de infinitas ondas)

( ) ( )( )te teT n n n n

n 1 n 1u (t) c onda n c a cos t b sen t

∞ ∞

= =

= + = + ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅∑ ∑ , n nω = ⋅ ∆ω

cujos coeficientes são obtidos através das seguintes médias

Tte

0

1c u(t) u(t)dtT

= = ∫T

( )T

n n n0

2a 2 u(t) cos t u(t) cos( t)dtT

= ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅∫T , n 1, 2, 3, ...=

( )T

n n n0

2b 2 u(t) sen t u(t) sen( t)dtT

= ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ω ⋅∫T , n 1, 2, 3, ...=

Figura 3.4 Decomposição em “ondas”. Do domínio do tempo para o domínio da frequência.


A Figura 3.4, constitui uma boa representação esquemática do conceito associado às séries de Fourier, isto é, mostra como uma dada função definida no domínio do tempo, Tu (t) , pode ser definida no domínio da frequência recorrendo (sempre) a duas funções, as quais agrupam os coeficientes n na a( )= ω e n nb b( )= ω das várias ondas, previamente descritos. Todavia, a representação gráfica das funções no domínio da frequência também pode ser efectuada, de forma perfeitamente equivalente à anterior, recorrendo aos conceitos de amplitude 2 2

n n n nA a b A( )= + = ω e de fase n n n narctg(b a ) ( )φ = = φ ω das várias ondas constituintes da função.

É de salientar que, nos gráficos descritos no domínio da frequência, na Figura 3.4, quanto maior for o comprimento T do intervalo em que se pretende aproximar a função Tu (t) , menor será ∆ω, ou seja, menos espaçadas serão as várias ondas no domínio da frequência. A qualquer gráfico representado no domínio da frequência é usual atribuir-lhe a designação de espectro, neste caso o gráfico das amplitudes das várias ondas, é denominado por Espectro de Amplitudes, enquanto que por sua vez o gráfico representativo da fase das várias ondas é designado por Espectro de Fases. Importa salientar que, o desenvolvimento do conceito de série de Fourier deu origem ao conceito de transformada discreta de Fourier (TDF). Tal como a série de Fourier, também TDF utiliza os coeficientes a e b, os quais são agrupados num número complexo, uma vez que esta é uma forma prática de guardar dois valores, num só número (complexo)!

No limite, quando T → ∞ então

0∆ω → o que significa que para se aproximar funções definidas em domínio infinitos tem-se que recorrer a uma “série” de infinitas ondas, de frequências infinitesimalmente próxi-mas, ou seja em vez de uma série de Fourier tem-se que introduzir o conceito de integral de Fourier.

Tal como no capítulo anterior, volta-se agora a introduzir o já referido modelo plano da estrutura de um modelo físico de um edifício de 3 pisos. Nesta fase utilizam-se um conjunto de resultados gerados numericamente, pelo que no Exemplo 3.1 começa-se por indicar as principais hipóteses assumidas no desenvolvimento do modelo numérico, bem como a identificação das frequências naturais a partir de cada um dos registos obtidos, aplicando conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência, com base no conceito de série de Fourier.

Exemplo 3.1 Edifício de 3 pisos. Análise do edifício apresentado na Figura 3.1, segundo a direcção mais flexível.

O edifício é constituído por três pisos suportados por quatro pilares. Os pisos são materializados por chapas de aço, enquanto que os pilares são lâminas de alumínio, como se mostra na Figura 3.5. Nesta fase, apenas se efectua uma análise plana do modelo, considerando-se para o efeito a direcção mais flexível do pórtico, podendo neste caso representar-se, simplificadamente, como se mostra na Figura 3.6 (a). Atendo a estas condições utilizaram-se as seguintes matrizes de massa e rigidez:

[ ]5 0 0

M 0 5 0 kg

0 0 5

=⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]20833.33 20833.33 0

K 20833.33 41666.67 20833.33 N / m

0 20833.33 41666.67

−

= − −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Utilizou-se igualmente uma matriz de amortecimento, obtida através das anteriores com base na formulação de amortecimento Rayleigh, dada pela expressão C M K= α ⋅ + β ⋅ , em que 0.05α = e 0.0001β = .

200

mm

200

mm

200

mm

200 mm 200 m

m

placa ( aço )

placa ( aço )

placa ( aço )

15 m

m


Figura 3.5 Perspectiva do modelo.

Tendo em conta as propriedades anteriores utilizou-se um modelo numérico que permite efectuar cálculos dinâmicos no domínio do tempo, utilizando a fórmula resursiva do método de Iwan [Tedesco et al., 1999], com base no qual se geraram amostras de 1800 segundos (30 minutos), utilizando um intervalo no tempo, entre pontos observados, de 0.02s (frequência de amostragem de 50 Hz). Na Figura 3.6 (b), apresentam-se amostras de 20s dos registos gerados.


u (t)1

2

3

u (t)

u (t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

u 1 (m/s

2 )

t(s)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

u 2 (m/s

2 )

t(s)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

u 3 (m/s

2 )

t(s) (a) (b)

Figura 3.6 (a) Representação plana do modelo; (b) amostras dos registos de aceleração longitudinal recolhidos nos 3 pisos do modelo. A partir dos registos gerados para os 3 pisos do pórtico, e utilizando uma rotina desenvolvida em MatLab, seleccionaram-se amostras com um comprimento de 60s, as quais se decompuseram em ondas, aplicando o conceito associado às séries de Fourier. Tendo em conta que o comprimento das amostras é de T = 60s, então o espaçamento entre “ondas” é ∆ω = (2 × π) / 60 ≈ 0.10472 rad/s. Aplicando o conceito de média avaliaram-se os valores de a e de b para cada frequência n nω = ⋅∆ω utilizando as expressões:

( )n na( 2 u(t) cos t)ω = ⋅ ⋅ ω ⋅T

e ( )n nb( 2 u(t) sen t)ω = ⋅ ⋅ ω ⋅T. Na Figura 3.7, apresentam-se os espectros de amplitudes obtidos após a

análise de cada um dos registos, indicando-se para as “ondas” de maior amplitude, o seu número, a frequência, os valores de a e de b e o valor da sua amplitude.

Am

plitu

de [m

/s2 ]

Am

plitu

de [m

/s2 ]

Am

plitu

de [m

/s2 ]

0 5 10 15 20 250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1A [1]

onda274f=4.57Hza=0.060851b=0.017101A=0.063209ms-2

onda769f=12.82Hza=-0.024201b=0.0090652A=0.025843ms-2

onda1110f=18.5Hza=0.0035959b=0.0027568A=0.0045311ms-2

Piso superior

0 5 10 15 20 250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1A [2]

onda274f=4.57Hza=0.048787b=0.013753A=0.050688ms-2

onda769f=12.82Hza=0.013431b=-0.0051014A=0.014367ms-2

onda1110f=18.5Hza=-0.0080733b=-0.0065943A=0.010424ms-2

Piso intermédio

0 5 10 15 20 250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1A [3]

onda274f=4.57Hza=0.027064b=0.0076339A=0.02812ms-2

onda769f=12.82Hza=0.030465b=-0.011496A=0.032562ms-2 onda1110

f=18.5Hza=0.0066016b=0.0051113A=0.008349ms-2

Piso inferior

f [Hz]

Figura 3.7 Espectros de amplitudes obtidos com o conceito de série de Fourier, para cada um dos registos.


Analisando a Figura 3.7, verifica-se que, para cada um dos registos gerados em cada piso, existem sempre 3 “ondas” relevantes que se destacam relativamente às restantes, as quais indicam que para aqueles valores de frequência a estrutura do edifício de 3 pisos apresenta formas preferenciais de vibração. Com base nesta simples análise no domínio da frequência, pode-se afirmar que aquela estrutura apresenta 3 frequências naturais de vibração, às quais deverão estar associadas as respectivas configurações modais. Todavia, e atendendo só à análise isolada dos espectros de amplitudes não é possível avaliar as configurações dessas formas preferenciais de vibração.

No exemplo anterior descreveu-se um processo simples para identificar as frequências naturais de uma estrutura utilizando os conceitos básicos da análise no domínio da frequência associados às séries de Fourier. No entanto, verificou-se que a análise individual das séries de acelerações não permite a avaliação das configurações modais da estrutura, uma vez que estas apenas contém informação relativamente a um único ponto da estrutura. Para avaliar as configurações modais de uma dada estrutura é necessário utilizar de uma forma integrada um conjunto de séries de acelerações registadas em vários pontos dessa estrutura. No Exemplo 3.2, descreve-se um procedimento possível, baseado na comparação das “ondas” associadas a cada frequência identificada nos vários espectros de amplitudes, obtidos para cada piso.

Exemplo 3.2 Edifício de 3 pisos. Avaliação das configurações modais a partir da amplitudes e da fase das “ondas” identificadas nos espectros de amplitude. Analisando em simultâneo as “ondas” obtidas nos vários pisos à mesma frequência, é possível estabelecer uma relação entre as amplitudes medidas ao nível de cada piso, isto é, se estão em sintonia ou não, ou utilizando o conceito de fase de uma “onda”, se estão em fase ou em oposição de fase.

Am

plitu

de [m

/s2 ]

Am

plitu

de [m

/s2 ]

Am

plitu

de [m

/s2 ]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Ondas de frequência 4.57Hz

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.1

-0.05

0

0.05


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.1

-0.05

0

0.05


Piso superiorPiso intermédioPiso inferior



t [s]

Figura 3.8 Ondas obtidas aplicando o conceito de série de Fourier.


Utilizando o valor da amplitude de cada “onda” e verificando a relação de fase entre as “ondas”, é possível estabelecer a configuração modal que está associada àquela frequência de vibração. Nas matrizes seguinte mostra-se em primeiro lugar a matriz modal obtida utilizando estes pressupostos, apresentando-se depois uma matriz normalizada em relação ao valor máximo absoluto obtido em cada coluna e finalmente apresenta-se uma matriz escalada para valores adequados à sua representação, como se mostra na Figura 3.9. É de referir que, nas matrizes seguintes, a cada coluna corresponde uma configuração modal.

ondas normalizada escalada

0.0632 0.0258 0.0045 1 0.7948 0.4410 0.050 0.0397 0.0220

0.0507 0.0144 0.0104 0.8018 0.4407 1 0.0401 0.0220 0.0500

0.0281 0.0326 0.0083 0.4448 1 0.8108 0.0222 0.0500

− − − − −

Φ = − Φ = Φ =

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ →⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0.0405

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.57Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 12.82Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.5Hz

Figura 3.9 Configurações modais avaliadas com base na relação entre a amplitude e fase das ondas associadas a picos à mesma

frequência, aplicando o conceito de série de Fourier. Através do exemplo 3.2 mostrou-se que, para identificar experimentalmente o comportamento dinâmico de uma estrutura é necessário observar a sua resposta estrutural em vários pontos, uma vez que só através da comparação da informação obtida em vários pontos, é possível avaliar as configurações modais associadas às várias frequências naturais de vibração. O processo utilizado, nesta secção, para identificar as frequências naturais e os modos de vibração, embora baseado em conceitos básicos sobre a análise no domínio da frequência, alicerçados nas séries de Fourier, permite uma compreensão mais intuitiva, do significado da passagem da representação no domínio do tempo para a representação no domínio da frequência, utilizando o conceito das “ondas”. Finalmente importa salientar que, o processo envolvendo a comparação da resposta dinâmica em vários pontos, é usualmente automatizado nos métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, nomeadamente nos que se apresentam neste capítulo, através da utilização da denominada matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta. Esta matriz permite sistematizar a comparação da resposta nos vários pontos observados; a resposta observada em dois pontos i e j é correlacionada através da utilização dos conceitos da transformada discreta de Fourier e o conjugado da transformada discreta de Fourier, como se mostra na secção seguinte.


3.3 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta

Na avaliação experimental do comportamento dinâmico de estruturas, com base na medição da resposta em vários pontos das estruturas, é usual organizar a informação experimental, já convertida para o domínio da frequência, na já mencionada matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta. Esta matriz contém na sua diagonal principal os designados auto-espectros da resposta medida no grau de liberdade i, enquanto que nos elementos fora da diagonal principal, ij, encontram-se os designados espectros cruzados, os quais relacionam a resposta medida no grau de liberdade i com a resposta medida no grau de liberdade j. Quando a medição da resposta, é efectuada em simultâneo em todos os pontos que se pretende instrumentar, a matriz das funções de densidade espectral é quadrada, sendo a sua dimensão igual ao número de pontos instrumentados. Todavia, na maioria das aplicações, é necessário instrumentar um elevado número de graus de liberdade para caracterizar adequadamente o seu comportamento dinâmico, pelo que nesses casos é necessário recorrer à utilização de muitos sensores, o que nem sempre é possível. Nestas circunstâncias é usual realizar o ensaio em várias fases (“setup”), nas quais as medições da resposta da estrutura são efectuadas de uma forma sequencial recorrendo a diferentes disposições de sensores. Utilizando esta técnica de ensaio, é necessário garantir que, as medições, efectuadas nas diferentes fases, sejam relacionáveis, pelo que alguns graus de liberdade têm de ser medidos em todas as fases, os quais se designam por graus de liberdade de referência.

Nas situações em que os ensaios são realizados por fases, não é possível obter a matriz das funções de densidade espectral quadrada, é apenas possível estimar uma matriz rectangular, em que a dimensão de um dos lados da matriz é dada pelo número total de graus de liberdade l, enquanto que a dimensão do outro lado é dada pelo número de graus de liberdade de referência r.

Como já se referiu anteriormente, a medição da resposta estrutural é efectuada em vários pontos, com o objectivo de se estabelecerem comparações entre as séries temporais observadas nesses pontos. Essas comparações são asseguradas de uma forma automática através da matriz das funções de densidade espectral da resposta, uma vez que nesta matriz, se estabelece uma relação baseada no produto do conjugado da transformada de Fourier, de um qualquer ponto observado i, pela transformada de Fourier com esse ponto e outro qualquer ponto j. Todavia importa salientar que o estabelecimento destas relações tem origem na matriz de correlação, de cuja transformada de Fourier se obtém precisamente a matriz das funções de densidade espectral da resposta, como exemplifica na Figura 3.10, para o caso particular da estrutura do modelo físico do edifício de 3 pisos.

Como se verificou no Capítulo 2 a auto-correlação e a correlação cruzada permitem o estabelecimento de medidas de correlação ao longo do tempo entre as séries temporais.

Matriz das funções de correlação

( )11 12 13

T 21 22 23

31 32 33

R R RR R R R

R R R

⎡ ⎤⎢ ⎥τ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Matriz das funções de densidade espectral

( )11 12 13

T n 21 22 23

31 32 33

S S SS S S S

S S S

⎡ ⎤⎢ ⎥ω = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x (t)1

t

x (t)2

t

x (t)3

t

T

T

T

( ) ( )T n TS Rω = τ⎡ ⎤⎣ ⎦F

( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )

*1

* *T n 2 1 2 3

*3

1S ωT

nT

n n n n n n

n

XX X X X X X

X

⎡ ⎤ω⎢ ⎥= ⋅ ω ⋅ ω = ω ⋅ ω ω ω⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ω⎣ ⎦

Figura 3.10 Esquema exemplificativo da relação entre as séries temporais observadas, a matriz das funções de correlação e a matriz das

funções de densidade espectral de potência da resposta.

3.3 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta 35

Introduz-se agora o processo referente à obtenção das funções de densidade espectral de potência da resposta, no qual, é necessário recorrer a algumas noções de processamento digital e análise espectral, as quais são introduzidas sempre que se justifique (todavia os conceitos mais relevantes encontram-se compilados no Anexo A). Neste domínio são unanimemente consideradas como referências de base os trabalhos de [Bendat e Piersol; 1993, 2000], aos quais se podem juntar duas referências escritas em português: [Carvalhal et al., 1989] e [Caetano, 1992]. No capítulo 2 já se introduziram os conceitos associados às funções de densidade espectral de potência, nomeadamente os de auto-espectro e espectro cruzado, retomam-se agora esses conceitos e aplicando-os às séries temporais observadas

( ) ( )i jx t e x t⎡ ⎤⎣ ⎦ , os quais, como já se referiu, são organizados na matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta, podendo-se utilizar a seguinte expressão geral:

( ) ( ) ( )*n n

ij nS , i, j 1,2,...,NPI e n 0,1,2,...,N 1T

ω ⋅ ωω = = = −i jX X

Atendendo ao facto de as séries temporais observadas terem uma duração finita e de apenas se medir o seu valor em instantes temporais afastados de t∆ , pois o sinal adquirido encontra-se discretizado, apenas é possível obter estimativas dos espectros, as quais são obtidas com base no produto do conjugado da transformada discreta de Fourier ( )nω*

jX , no grau de liberdade i, pela transformada discreta de Fourier ( )nωjX , no grau de liberdade j. Ainda relativamente à expressão anterior T N t= ⋅ ∆ ,

em que N é o número total de pontos adquiridos por amostra. Tendo em conta as propriedades de simetria e anti-simetria das funções de densidade espectral e uma vez que é mais cómodo trabalhar apenas com frequências positivas (Caetano, 1992), é usual representar só a parte positiva das estimativas das funções de densidade espectral, à qual está normalmente associada a letra (G), (“one-sided spectral density functions” [Bendat e Piersol, 2000]).

Comparativamente com o exposto no Capítulo 2, a transformada (contínua) de Fourier dá lugar à transformada discreta de Fourier (TDF). Por sua vez a DFT pode ser calculada de uma forma eficiente, através do algoritmo da transformada rápida de Fourier. Resolução em frequência na transformada discreta de Fourier é igual ao inverso da duração total dos sinais:

[ ]2 2rad s

T N tπ π

∆ω =⋅ ∆

=

[ ]1 1f Hz

T N t∆ =

⋅ ∆=

Ao aplicar directamente a expressão anterior, verifica-se que a estimativa espectral resultante tem uma elevada variância, essencialmente pelo facto de o seu cálculo se basear numa só série temporal discretizada com duração finita. No entanto, é possível atenuar essa variância, dividindo a série temporal em segmentos mais curtos e efectuando posteriormente a média das estimativas espectrais simples dos segmentos, obtendo-se assim uma estimativa alisada (“smoothed”) da função de densidade espectral, em que nd, corresponde ao número total de segmentos utilizados:

( ) ( ) ( )dnn n

ij mm 1d d m

1S , i, j 1,2,...,NPI e n 0,1,2,...,N 1n T=

⎡ ⎤ω ⋅ ωω = = = −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑

*i jX X

Na expressão anterior Td, corresponde ao comprimento associado a cada segmento, à imagem do que sucedia no caso anterior, na Figura 3.12, mostra-se uma amostra de comprimento total T, na qual se mostra a selecção de dois segmentos de comprimento Td, com uma sobreposição de 2/3.

x (t)

tT

T

Td

d

Figura 3.11 Representação de uma amostra de comprimento T, com dois segmentos de comprimento Td, sobrepostos a 2/3.

Todavia, a adopção de segmentos tem como consequência um agravamento dos erros por escorregamento (“leakage”), isto é, quanto mais curtos são os segmentos maior é o efeito deste tipo de erros. Uma forma usualmente utilizada para conseguir uma bom número de segmentos com um comprimento razoável, baseia-se na adopção de alguma sobreposição (“overlapping”) entre eles. O erro por escorregamento, devido ao tempo de observação limitado, e também associado à existência de descontinuidades do sinal periodizado, pode ser atenuado


através da aplicação de janelas de dados a cada um dos segmentos. No anexo A refere-se que, para séries temporais provenientes de ensaios de vibração ambiental é usual aplicar janelas de Hanning, pelo que a estimativa espectral pode agora ser escrita na forma

( ) ( ) ( )dnn n

ij n N 12m 1d

d kk 0 m

1S , i, j 1,2,...,NPI e n 0,1,2,...,N 1n T w

−=

=

⎡ ⎤⎢ ⎥ω ⋅ ω⎢ ⎥ω = ⋅ = = −⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

*i jX X

É importante referir que, a utilização de janelas de dados de Hanning associada a uma sobreposição de segmentos de 2/3, é a que optimiza o aproveitamento da informação contida nas séries temporais; no entanto, é também muito comum utilizar-se uma sobreposição de 1/2.

O procedimento utilizado para estimar as funções de densidade espectral com base em séries temporais divididas em segmentos, aplicação de uma janela de dados a cada segmento, cálculo da FFT de cada segmento e posterior realização de médias é conhecido como procedimento de [Welch, 1967]. Em [Bendat e Piersol, 1993] e [Bendat e Piersol, 2000] são descritos este e outros métodos utilizados para estimar as funções de densidade espectral. Volta agora a introduzir-se o modelo físico do edifício de 3 pisos, para ilustrar os conceitos que vão sendo descritos.

Exemplo 3.3 Matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do modelo de um edifício de três pisos. Na Figura 3.6 (b), apresentam-se 3 amostras de 20 s de registos de aceleração longitudinal, obtidos ao nível dos pisos, como se mostra na Figura 3.6 (a). Estes registos têm uma comprimento total de 30 minutos (1800 s) e foram gerados com uma frequência de amostragem de 50 Hz, utilizando uma rotina desenvolvida em MatLab, que efectua cálculos dinâmicos no domínio do tempo, no processo de geração foram igualmente geradas 3 acções do tipo aleatório ao nível de cada um dos pisos, com a finalidade de simular acções do tipo ruído branco, por forma a respeitar alguns dos pressupostos apresentados previamente. A partir dos 3 registos de aceleração, procedeu-se à avaliação das funções de densidade espectral, considerando 3 situações distintas, que tendo em conta a já referida frequência de amostragem de 50 Hz e um comprimento total de 30 minutos, respeitaram as seguintes condições:

− Caso 1 – 1 amostra representada por 90000 pontos, a qual corresponde à totalidade dos 30 minutos; − Caso 2 – 261 amostras independentes (nd = 261) de 1024 valores cada, representando 20.48 s, utilizando uma sobreposição de

2/3; − Caso 3 – 261 amostras independentes (nd = 261) de 1024 valores cada, representando 20.48 s, utilizando uma sobreposição de 2/3

e a aplicação de uma janela de Hanning a cada amostra para reduzir os efeitos de escorregamento; Passa-se então à apresentação das funções de densidade espectral obtidas para cada situação, salientando-se os aspectos mais relevantes relacionados com cada opção. É importante salientar desde já que, as funções de densidade espectral são representadas, neste caso, recorrendo a duas funções, a amplitude e a fase. Neste trabalho a sua representação far-se-á através de representações do tipo matricial, isto é, recorrendo às designadas matrizes das funções de densidade espectral.


Caso 1 - consideração de uma amostra única:

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,3]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,3]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,3]


Figura 3.12 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz das amplitudes considerando 1 amostra com 90000 pontos.

Na Figura 3.12 apresentam-se as estimativas da amplitude da matriz de funções de densidade espectral da resposta em aceleração, considerando 1 amostra de 90000 pontos, a qual representa na totalidade o registo de 30 minutos. Tratam-se de estimativas muito rugosas, pois utilizam uma grande resolução em frequência (pois consideram-se janelas com 90000 pontos para representar 50 Hz o que dá um ∆f muito pequeno, isto é ∆f ≈ 0.00055 Hz), que nestas circunstâncias é excessiva, não constituindo portanto uma mais valia na interpretação dos resultados. Se bem que neste caso concreto permite a avaliação correcta dos picos de ressonância em frequência. Na figura seguinte mostram-se duas formas, usualmente utilizadas para representar a diferença de fase entre os vários pontos instrumentados, a primeira entre -180º e 180º e a segunda entre 0º e 180º. Tal como para o caso das amplitudes, qualquer uma delas é apresentada sob a forma de matriz.

Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 38Fa

se [º

] Fa

se [º

] Fa

se [º

]

Fase

[º]

Fase

[º]

Fase

[º]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[1,1]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[1,1]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[1,2]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[1,2]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[1,3]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[1,3]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[2,1]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[2,1]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[2,2]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[2,2]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[2,3]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[2,3]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[3,1]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[3,1]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[3,2]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[3,2]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[3,3]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[3,3]


Figura 3.13 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz das fases considerando 1 amostra com 90000 pontos.

Tal como se verificou para o caso das amplitudes das funções de densidade espectral, também a representação gráfica das diferenças de fase se caracteriza por uma elevada rugosidade, a qual advém, como já foi previamente referido, do grande comprimento da amostra considerada para análise. A presentação dos dois casos seguintes visam essencialmente melhorar a representação gráfica das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, considerando a anterior amostra subdividida num conjunto de amostras independentes com um comprimento menor cada, preservando no entanto a mesma informação de base contida na representação espectral, efectuando para esse efeito a média de todas as contribuições associadas a cada amostra independente. Caso 2 - consideração de 261 amostras independentes (nd = 261) de 1024 valores cada, representando 20.48 s, utilizando uma sobreposição de 2/3: Neste caso, atendendo ao comprimento total da amostra inicial, ao comprimento adoptado para as amostras independentes e à sobreposição utilizada, foi possível considerar um total de 261 amostras independentes, a partir das quais foi possível obter a seguinte matriz das amplitudes das funções de densidade espectral da resposta em aceleração, as quais são o resultado da média das 261 amostras independentes consideradas e se apresentam na Figura 3.14.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[1,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[1,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[1,3]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[2,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[2,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[2,3]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[3,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[3,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100 G[3,3]


Figura 3.14 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz das amplitudes considerando a média de 261 amostras independentes.

Analisando a Figura 3.14 e comparando-a com a Figura 3.12, verifica-se que existe uma clara diminuição da rugosidade dos espectros, bem como uma diminuição da amplitude dos picos de ressonância. A menor rugosidade no espectro permite uma melhor clarificação do andamento do conteúdo espectral, enquanto que a diminuição da amplitude dos picos será atenuada através da aplicação de janelas de Hanninng, como se verá no caso 3. Na Figura 3.15, apresentam-se as duas formas de representar a diferença de fase entre pontos instrumentados, as quais podem ser comparadas com as apresentadas na Figura 3.13, de onde se salienta que, com menor rugosidade existe uma melhoria substancial na representação da diferença de fase, avaliando-se facilmente as gamas de frequência que estão em fase e as que estão em oposição de fase, para os vários pontos instrumentados. Neste caso em particular, e uma vez que se está a utilizar registos de aceleração gerados numericamente, verifica-se que as suas características são muito semelhantes às apresentadas na Figura 2.8 do Capítulo 2, as quais com se viu eram obtidas analiticamente.


Fase

[º]

Fase

[º]

Fase

[º]

Fa

se [º

] Fa

se [º

] Fa

se [º

]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[1,1]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[1,1]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[1,2]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[1,2]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[1,3]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[1,3]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[2,1]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[2,1]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[2,2]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[2,2]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[2,3]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[2,3]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[3,1]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[3,1]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[3,2]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[3,2]

0 5 10 15 20 25-200

0

200Gy[3,3]

0 5 10 15 20 250

100

200Gy[3,3]


Figura 3.15 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz das fases considerando a média de 261 amostras independentes.

Como as funções de densidade espectral são sempre representáveis por duas funções, a amplitude e a fase, é lógico que se compacte essa dupla informação num único gráfico, tal como se mostra na Figura 3.16, por forma a facilitar a tarefa de análise da informação contida nos dois gráficos. É ainda de salientar que utilização de um único gráfico permite visualizar alguns detalhes que antes não eram imediatos. Nomeadamente, como já se referiu no exemplo 2.5 do Capítulo 2, que a mudança de fase está associada a vales com picos invertidos, ao passo que nos vales em que não ocorrem mudanças de fase os vales não afundam na forma de picos invertidos. Na Figura 3.16, apresenta-se a preto a amplitude e a cinza a fase.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

Fase [º]


Figura 3.16 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz completa contendo as amplitudes e as fases, considerando a média de 261 amostras independentes.

Caso 3 - consideração de 261 amostras independentes (nd = 261) de 1024 valores cada, representando 20.48 s, utilizando uma sobreposição de 2/3 e a aplicação de uma janela de Hanning a cada amostra para reduzir os efeitos de escorregamento: Este último caso, difere do anterior, pelo facto de a cada uma das amostras independentes se aplicar uma janela de dados de Hanning. A aplicação deste tipo de janela de dados tem como objectivo reduzir os efeitos de escorregamento (ou leakage), pelo facto de se estar a aplicar o algoritmo da FFT a amostras pequenas, sendo que a sua aplicação permite obter espectros de amplitudes nos quais os picos ficam ligeiramente mais “aguçados” ou salientes e os vales entre picos mais profundos, melhorando desta forma o conteúdo em frequência dos resultados obtidos. Na Figura 3.17, apresenta-se no formato compacto a matriz completa das estimativas das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, a qual será utilizada como elemento de base para aplicação dos vários métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, que se descrevem nas secções seguintes.

Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 42D

ensi

dade

Esp

ectra

l de

Potê

ncia

[(

m/s

2 )2 /Hz]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[1,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[2,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 2510

-10

10-5

100

Gy[3,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

Fase [º]


Figura 3.17 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Matriz completa contendo as amplitudes e as fases, considerando a média de 261 amostras independentes e a aplicação de janelas de Hanning a cada uma

das amostras independentes. Em seguida, mostra-se que quando a fase de um termo cruzado S12(ωn), da matriz das funções de densidade espectral de potência é nula isso significa que, as “ondas” de frequência (ωn) identificadas nos GL 1 e 2 estão em fase. A densidade espectral de potência cruzada entre os pontos 1 e 2, para uma dada frequência ωn, é dada através da seguinte expressão

( ) n,1 n,1 n,2 n,212 n

a i b a i b1S T TT 2 2

⎡ − ⋅ + ⋅ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω = ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

ou seja

( ) ( ) ( )12 n n,1 n,2 n,1 n,2 n,1 n,2 n,2 n,1TS a a b b a b a b i4

⎡ ⎤ω = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅⎣ ⎦

quando a fase deste termo da matriz é nula tem-se

n,1 n,2 n,2 n,112 n,1 n,2 n,2 n,1

n,1 n,2 n,1 n,2

a b a bparte imagináriaarctan 0 0 a b a b 0parte real a a b b

⋅ − ⋅⎛ ⎞= = ⇔ = ⇔ ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟ ⋅ + ⋅⎝ ⎠

φ

ou seja,

No anexo A, é demonstrado que:

( ) ( ) n

Ti t n n

T n T0

a i bF f t e dt T

2− ⋅ω ⋅ − ⋅

ω = ⋅ = ⋅∫em que, n n−∞ < ω = ⋅ ∆ω < +∞ .

3.4 Método básico no domínio da frequência 43

n,1 n,2 n,2 n,1a b a b⋅ = ⋅

Esta relação corresponde à que se obtém quando se comparam duas “ondas” de frequência (ωn) que estão em fase. Sendo 1 2eφ φ , a fase de duas “ondas” 1 e 2

n,1 n,21 2

n,1 n,2

b barctan e arctan

a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

φ φ

então, admitindo que estão em fase, 1 2=φ φ , obtém-se

n,1 n,21 2 n,2 n,1 n,1 n,2

n,1 n,2

b ba b a b

a a= ⇔ = ⇔ ⋅ = ⋅φ φ

o que corresponde exactamente à relação que se obteve quando se admitiu que a fase do termo S12(ωn) era nula. Esta pequena demonstração matemática, ajuda a compreender o conceito físico associado à fase (ou melhor diferença de fase) entre as “ondas” identificadas nos diversos pontos observados num ensaio de vibrações. Resta salientar que, este é um conceito essencial para a obtenção dos modos de vibração das estruturas.

Descritos os conceitos essenciais associados à matriz das funções de densidade espectral, dedica-se nas secções seguintes especial atenção ao desenvolvimento dos métodos de identificação modal estocástica, no domínio da frequência, desenvolvidos com base nos elementos contidos naquela matriz.

3.4 Método básico no domínio da frequência

O método básico no domínio da frequência (BFD – “Basic Frequency Domain”), também conhecido como método da selecção de picos ou “Peak Picking” (PP), é o método de identificação modal estocástica mais conhecido. Para além de ter sido pioneiro nesta área, apresenta-se actualmente, como um método fácil de aplicar e implementar, permitindo a obtenção de bons resultados e uma boa interpretação física, continuando, por estes motivos, a ser muito utilizado em aplicações de engenharia civil. A primeira aplicação associada à utilização deste método remonta a 1964, na qual se apresenta um processo para avaliar os períodos de vibração (frequências naturais) de um edifício de 19 pisos a partir da análise dos auto-espectros de registos de velocidade obtidos em ensaios de vibração ambiental, neste trabalho é também estimada a configuração do primeiro modo de translação numa das direcções [Crawford e Ward, 1964]. A este nível é de referir um trabalho pioneiro desenvolvido no LNEC, em 1969, no qual se avalia o comportamento dinâmico de edifícios a partir de ensaios de vibração ambiental, utilizando este tipo de conceitos [Priestley, M. 1969]. Nas referências [Bendat e Piersol, 1993 e 2000], são apresentados de uma forma aprofundada os fundamentos teóricos deste método. Deve-se no entanto, a Felber (1993) a sistematização dos procedimentos, que culminou com a automatização do método, da qual resultou um programa que para além de efectuar a análise espectral permitia também a visualização gráfica das configurações modais identificadas [EDI, 1995]. Após a realização deste trabalho, o recurso a ensaios de vibração ambiental para caracterizar o comportamento dinâmico de estruturas de engenharia civil, aumentou significativamente, em particular na University of British Columbia (UBC)


e no Swiss Federal Laboratory of Materials Testing and Research (EMPA). Recentemente foram elaborados dois trabalhos em Portugal, em que se descrevem este e outros métodos de identificação modal estocástica [Rodrigues, 2004 e Magalhães, 2004]. Em termos gerais, os fundamentos do BFD assentam na hipótese das acções ambiente serem assumidas como um processo estocástico gaussiano de ruído branco com média nula. Nestas condições as funções de densidade espectral da resposta, apresentam uma concentração energética sob a forma de picos, nas suas frequências naturais de vibração (para ser mais preciso, em valores muito próximos, tendo em conta o amortecimento das estruturas). Para estruturas que apresentem modos de vibração com frequências bem separadas, a sua resposta é essencialmente condicionada pela contribuição dos modos ressonantes. Esta hipótese está na base dos designados métodos de 1 GL, pelo que, assumindo a sua validade, é possível simular o comportamento dinâmico de uma estrutura na vizinhança das suas frequências de ressonância através de osciladores de 1 GL, com base na frequência ωk e no coeficiente de amortecimento modal ξk, do modo ressonante. Atendendo ao parágrafo anterior, as frequência naturais ωk, encontram-se reflectidas nas frequências que estão associadas aos picos nas funções de densidade espectral, enquanto que os coeficientes de amortecimento ξk, se reflectem na largura dos picos de ressonância das mesmas funções de densidade espectral. Já as configurações φk, dependem da relação entre as funções de densidade espectral, tendo por referência um determinado grau de liberdade. De seguida indicam-se e justificam-se os principais procedimentos utilizados pelo BFD na avaliação das características dinâmicas de estruturas. Este processo será acompanhado por aplicações do exemplo do pórtico plano, utilizando rotinas desenvolvidas em MatLab.

3.4.1 Identificação de frequências naturais. Espectro normalizado médio

Conforme já se referiu anteriormente, a caracterização experimental do comportamento dinâmico de uma estrutura, requer a medição da sua resposta, em vários graus de liberdade. A análise isolada de apenas um espectro de potência é insuficiente para identificar todas as frequências de ressonância da estrutura, pois o grau de liberdade a que se refere pode estar situado sobre um nodo de um ou mais modos de vibração e portanto, não possibilita a identificação das frequências associadas a esses modos. Pelo que é essencial efectuar a análise espectral de todos os auto-espectros e espectros cruzados obtidos. Todavia esta é uma operação que se pode tornar extremamente trabalhosa, dependendo, evidentemente, do números de graus de liberdade instrumentados. Uma forma de compactar toda esta informação, é conseguida recorrendo à utilização de espectros normalizados médios – ANPSD [Felber, 1993]. Estes espectros são determinados a partir dos auto-espectros dos registos, através do processo que se descreve em seguida:

i) Normalização dos auto-espectros (NPSD), dividindo as estimativas dos auto-espectros ( )

i ix x nG ω pela soma das suas N ordenadas:

( ) ( )

( )ii n

i n N

ii nn 1

SNPSD

S=

ωω =

ω∑

ii) Cálculo da média dos auto-espectros normalizados (ANPSD),

correspondentes a todos os pontos instrumentados:


( ) ( )GLn

n i ni 1GL

1ANPSD NPSDn =

ω = ⋅ ω∑

Na equação anterior, nGL é o número de graus de liberdade utilizados. A determinação do ANPSD, é uma forma expedita de sintetizar a informação contida nos vários auto-espectros, calculados a partir dos registos obtidos nos diferentes graus de liberdade. Uma vez que resulta da média de todos os auto-espectros, o ANPSD evidencia os picos de ressonância que se verificam em todos os auto-espectros e suaviza os picos que apenas surgem num auto-espectro. Este processo ajuda a simplificar a tarefa de identificação das frequências naturais, bastando apenas analisar os picos contidos no ANPSD, os quais devem corresponder a modos globais de vibração da estrutura. Todavia, é necessário confirmá-lo tendo em conta a informação disponibilizada através do cálculo das funções de coerência entre registos de resposta obtidos nos diferentes pontos instrumentados e as configurações modais correspondentes a essas frequências. Estes aspectos serão abordados nas duas secções seguintes.

Exemplo 3.4 Identificação das frequências naturais a partir do espectro normalizado médio. Retomando o exemplo plano do edifício de 3 pisos, apresentam-se os 3 auto-espectros normalizados (NPSD) na Figura 3.18 e o correspondente espectro de potência normalizado médio (ANPSD) na Figura 3.19, calculados a partir das séries temporais geradas, considerando uma excitação do tipo ruído branco. Tendo em conta que o “ensaio” é único, isto é, realiza-se numa única fase, então nestas circunstâncias não é muito importante efectuar a normalização dos espectros.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Gy[3,3]


Figura 3.18 Auto-espectros normalizados. Na Figura 3.19, indicam-se no ANPSD, os valores das frequências identificadas nos três picos de ressonância esperados. De notar que, os valores identificados dependem da precisão em frequência, que neste caso, uma vez que se utilizou uma frequência de amostragem de 50 Hz (∆t = 0.02s) e amostras com um comprimento de 1024 pontos, então ∆f = 1/(1024×0.02) = 0.0488 Hz.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100 ANPSD

4.5912.79

18.55

f [Hz]

Figura 3.19 Espectro normalizado médio, considerando janelas com 1024 pontos, isto é com 20.48s. Tendo em conta a precisão em frequência, verifica-se que os desvios apresentados em relação aos valores teóricos encontram-se abrangidos pelo valor de ∆f = 0.0488 Hz. Uma forma de obter uma melhor precisão em frequência consiste em aumentar o comprimento das amostras utilizadas. Considerando-se amostras com 2048 pontos obter-se-á uma precisão em frequência de ∆f = 0.0244 Hz, obtendo-se desta forma valores mais próximos dos teóricos, como se pode verificar na Figura 3.20. É de salientar que, ao se aumentar o número de pontos das amostras, a rugosidade do espectro também aumenta.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100 ANPSD

4.5712.82

18.55

f [Hz]

Figura 3.20 Espectro normalizado médio, considerando janelas com 2048 pontos, isto é com 40.96s.

3.4.2 Funções de coerência

Um aspecto de extrema importância, na utilização dos métodos de identificação modal estocástica, refere-se à capacidade em distinguir entre os picos identificados nas funções de densidade espectral, aqueles que correspondem efectivamente a modos de vibração das estruturas. No método BFD, essa distinção pode ser efectuada recorrendo à utilização das designadas funções de coerência, as quais estabelecem uma medida de correlação entre os vários sinais medidos. A correlação entre os sinais da resposta observados, fornece indicações úteis sobre o grau de linearidade entre eles, podendo igualmente ser utilizada para avaliar o nível de ruído das medições efectuadas.


A estimativa da função de coerência entre dois sinais de resposta, medidos nos graus de liberdade i e j, é determinada utilizando a seguinte expressão:

( )( )

( ) ( )

2

ij m2ij m

ij m ij m

S

S S

ωγ ω =

ω ⋅ ω

Estas funções, variam entre 0 e 1, ao longo de todo o domínio da frequência, ou seja, no intervalo [0, fN]. Valores de coerência próximos da unidade mostram que existe uma elevada relação de linearidade entre os dois sinais, por contraposição valores próximos de zero denunciam níveis de ruído elevados.

Exemplo 3.5 Funções de coerência. Tendo em conta as funções de densidade espectral previamente determinadas, para o modelo plano do edifício de 3 pisos, apresentam-se agora as estimativas das funções de coerência entre as séries temporais geradas. Estas estimativas são apresentadas sob a forma de matriz, pelo que as funções de coerência de uma série consigo própria (elementos da diagonal principal) apresentam sempre um valor unitário. Nos elementos fora da diagonal principal, verifica-se que em bandas de frequência próximas das frequências dos modos de vibração identificados no ANPSD, as funções de coerência assumem valores muito próximos da unidade, indicando nessas frequências uma elevada relação de linearidade entre as séries, confirmando a existência de modos de vibração globais da estrutura.

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,3]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,3]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,3]

f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 3.21 Estimativas das funções de coerência do modelo plano do edifício de 3 pisos.

Analisando as funções de coerência, entre os sinais da resposta observados em


diversos pontos, para bandas de frequência próximas dos picos de ressonância, estas devem apresentar valores próximos da unidade. Este tipo de análise é muito importante para confirmar se as frequências dos picos de ressonância identificados no ANPSD correspondem de facto a modos de vibração das estruturas. Surgem no entanto algumas situações, em que só se detectam picos de ressonância em alguns auto-espectros, nestes casos está-se perante modos locais das estruturas ou forças de excitação que não induzem movimentos globais às estruturas, apresentando as funções de coerência entre os sinais da resposta valores baixos [Paultre et al. 1995]. Podem igualmente ocorrer valores baixos nas funções de coerência, para frequências correspondentes a modos de vibração pouco excitados pelas acções de origem ambiental, ou então, em situações em que o sinal analisado advém de um ponto próximo de um nodo dos correspondentes modos de vibração, em análise.

3.4.3 Identificação das configurações modais

O processo referente à identificação de configurações modais a partir de resultados experimentais, tem associado à sua boa aplicação alguns aspectos relevantes que importa referir, nomeadamente é necessário ter em atenção que:

− os modos de vibração, obtidos por esta via, não coincidem exactamente com os modos de vibração teóricos, uma vez que representam a configuração deformada que a estrutura assume quando excitada por um harmónico puro;

− caso existam modos de vibração com frequências naturais próximas, os modos de deformação operacionais, identificados na vizinhança dessas frequências, são uma combinação dos modos de vibração respectivos;

− para sistemas estruturais com frequências bem separadas e com valores de coeficientes de amortecimentos modais pequenos, sujeitos a forças de excitação com características de ruído branco, a resposta na frequência de um dos seus modos de vibração é claramente dominada por esse modo de vibração.

O processo usualmente utilizado para avaliar as configurações modais, baseia-se na consideração de um ponto instrumentado, considerado com referência e no facto de que se pode obter a relação de fase entre todos os pontos, para todas as frequências, dividindo todos os espectros cruzados pelo auto-espectro tomado como referência, utilizando a seguinte expressão:

( )( )

( )( )

jj,ref

ref ,ref ref

SS

φω≈

ω φ

A partir da expressão anterior é possível obter as componentes dos modos de vibração, associados a cada uma das frequências de ressonância, a menos de um factor de escala. Note-se que a escolha da referência, deverá ser efectuada com particular cuidado, evitando pontos sobre os nodos dos modos de vibração. Será importante referir que, uma vez que os espectros cruzados são funções complexas, então do quociente entre um qualquer elemento de uma qualquer coluna e os restantes elementos, resultarão igualmente funções complexas. Para uma dada frequência, a amplitude corresponde à amplitude do modo de vibração, enquanto que a fase ou é 0º ou 180º, caso sejam expectáveis apenas modos reais. A fase indica o sentido a dar às amplitudes na avaliação das configurações modais, isto é quando a fase é 0º significa que a amplitude tem sentido igual ao da referência, por contraposição quando a fase é 180º a amplitude tem sentido oposto ao da referência


(encontra-se fora de fase). Avaliação dos modos de vibração a partir de uma coluna da matriz das densidades espectrais de potência da resposta O quociente entre os elementos de uma coluna das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração e um dado elemento, tomado como referência, generalizado no intervalo [0, fN], tem usualmente a designação de função de transferência, ou FRF de transmissibilidade entre o ponto j e o ponto ref:

( )( )

j,refj,ref

ref ,ref

ST

Sω

=ω

As configurações modais avaliadas, resultam da relação entre as respostas observadas em diferentes graus de liberdade das estruturas, pelo que os modos identificados por esta via devem ser designados por modos de deformação operacionais, pois não resultam do ajuste de um modelo matemático representativo do comportamento dinâmico da estrutura. Os modos de vibração obtidos, não coincidem exactamente com os modos de vibração teóricos, eles representam a configuração que a estrutura assume quando excitada por um harmónico puro. Quando existem modos de vibração com frequências naturais próximas, os modos de deformação operacionais, identificados na vizinhança dessas frequências, são uma combinação dos modos de vibração respectivos.

Exemplo 3.6 Utilização das FRF de transmissibilidade, na avaliação das configurações modais. Neste exemplo, apresenta-se o processo referente à avaliação das configurações modais do edifício de 3 pisos, a partir da aplicação do conceito de FRF de transmissibilidade e tendo por base a matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, apresentada na Figura 3.17. É de salientar que neste caso, os picos de ressonância se encontram bem espaçados em frequência, pelo que a avaliação das configurações modais se resume à análise das FRF de transmissibilidade para os valores de frequência onde ocorrem picos de ressonância, obtendo-se nestas circunstâncias os modos de vibração experimentais. Tendo em atenção, como aliás já se referiu anteriormente, que estes modos representam a configuração deformada quando a estrutura é excitada por um harmónico puro, neste caso originário de um ruído branco, o qual é considerado como um sinal que abrange todas as frequências numa determinada gama de frequências (isto é uma gama de frequências que contém harmónicos puros para todas as suas frequências de interesse). Na Figura 3.22, apresenta-se uma matriz das FRF de transmissibilidade, tomando como referências, nas três colunas, os auto-espectros, pelo que as FRF de transmissibilidade apresentadas resultam do quociente entre cada um dos elementos da coluna e o elemento de referência. Como os espectros cruzados são funções complexas, as funções de transferência são representadas através da sua amplitude e fase (em graus). De notar que, os valores das amplitudes obtidas se referem a valores relativos entre os graus de liberdade instrumentados, pelo que é necessário normalizar estes valores quando se pretende desenhar a configuração modal. Um processo usual de normalização consiste em dividir todos os valores pelo maior obtido, ficando este unitário, aplicando em seguida um factor de escala que seja adequado ao factor de escala da representação da estrutura.

Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 50A

mpl

itude

Fase [º]

Am

plitu

de Fase [º]

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 250

1

2

T[1,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

T[2,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

T[3,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

T[1,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

T[2,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

T[3,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

T[1,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

T[2,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

T[3,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

Fase [º]

f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 3.22 Estimativa das funções de transferência do edifício de 3 pisos.

Nas tabelas seguintes avaliam-se as configurações modais, com base em cada uma das colunas da matriz das funções de transferência do edifício de 3 pisos, apresentada na Figura 3.22.

Tabela 3.1 Avaliação das configurações modais com base na 1ª coluna da matriz das Funções de Transferência da Figura 3.22 1º modo [f = 4.59 Hz] 2º modo [f = 12.79 Hz] 3º modo [f = 18.55 Hz]

| T | φ ( T ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 1 0 1 0.0500 1 0 0.8022 0.0401 1 0 0.4479 0.0224

0.8018 0.0004 0.8018 0.0401 0.5548 179.8437 -0.4481 -0.0224 2.2324 179.8711 -1 -0.0500 0.4450 0.0020 0.4450 0.0223 1.2466 179.9566 -1 -0.0500 1.7783 0.0038 0.7966 0.0398


| T | φ ( T ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 1.2471 0.0004 1 0.0500 1.8000 179.8437 -0.8018 -0.0401 0.4465 179.8711 -0.4465 0.0223

1 0 0.8018 0.0401 1 0 0.4455 0.0223 1 0 1 -0.0500 0.5550 0.0024 0.4450 0.0223 2.2449 0.1140 1 0.0500 0.7971 179.8715 -0.7971 0.0399


| T | φ ( T ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 2.2470 0.0020 1 0.0500 0.8018 179.9566 -0.8018 -0.0401 0.5582 0.0038 0.4462 0.0223 1.8017 0.0024 0.8018 0.0401 0.4451 0.1140 0.4451 0.0223 1.2511 179.8715 -1 -0.0500

1 0 0.4450 0.0223 1 0 1 0.0500 1 0 0.7993 0.0400


Analisando os resultados obtidos nas tabelas anteriores, apresenta-se a matriz modal com base nos resultados obtidos para a 1ª coluna da matriz das funções de transferência

1 0.8022 0.4479

0.8018 0.4481 1

0.4450 1 0.7966

Φ = − −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.59Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 12.79Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.55Hz

Figura 3.23 Configurações modais avaliadas com base na 1ª coluna das Funções de Transferência da Figura 3.22.

3.4.4 Estimativas dos coeficientes de amortecimentos modais

No âmbito do método BFD, podem-se estabelecer procedimentos conducentes à obtenção de estimativas dos coeficientes de amortecimentos modais, a partir dos auto-espectros. Nesta perspectiva, descreve-se, neste trabalho, a técnica do método da meia potência [Clough e Penzien, 1993; Rodrigues, 2004], no entanto alguns autores sugerem a utilização de uma outra técnica, conhecida por, método de ajuste dum espectro analítico correspondente à resposta em aceleração dum sistema de um grau de liberdade [Brownjohn et al., 1989; Littler, 1995; Delaunay et al., 1999; Rodrigues, 2004]. Em primeiro lugar importa referir que, para obter boas estimativas, para os coeficientes de amortecimento modais, é necessário garantir, tal como anteriormente, mas agora de uma forma ainda mais rigorosa que, as forças de excitação tenham densidade espectral aproximadamente constante e que os modos de vibração tenham frequências bem separadas e amortecimentos com valores baixos. Por exemplo na referência [Bendat e Piersol, 1993], são quantificadas algumas destas condições:

i) As forças de excitação devem ter densidade espectral constante ou suficientemente uniforme na vizinhança da frequência de cada modo de vibração do sistema a identificar, Su (ω) ≈ constante, no intervalo [ωi−3Bi ≤ ω ≤ ωi+3Bi], em que Bi é a largura de meia potência do pico de ressonância correspondente ao modo de vibração com frequência ωi;

ii) Os modos de vibração devem ter frequências bem separadas, ωi−ωi-1 > 2(Bi−Bi-1);

iii) Os coeficientes de amortecimento devem ter valores pequenos, ξi < 5%; iv) A resolução em frequência deve ser bastante mais pequena do que a largura

de meia potência dos picos de ressonância das estimativas das funções de densidade espectral, ∆ω < 0.2Bi.


Método da meia potência A aplicação deste método ao ANPSD, baseia-se na selecção de três pontos: o primeiro, correspondente ao pico de ressonância correspondente a cada modo de vibração e dois pontos com ordenada espectral igual a metade do valor máximo identificado na frequência de ressonância ωi,, um à esquerda ω1 e outro à direita ω2. A partir destes valores é possível obter uma estimativa do coeficiente de amortecimento do modo de vibração i, utilizando a seguinte expressão:

2 1 2 1i

2 1 i2ω − ω ω − ω

ξ = =ω + ω ⋅ ω

2 1i

i

f f2 f

−ξ =

⋅

Todavia, é necessário ter em atenção que, a precisão na selecção dos pontos de meia potência (com frequências ω1 e ω2), depende da resolução em frequência, neste caso finita, ∆ω, a qual é inversamente proporcional à duração das amostras utilizadas. Pelo que, para grandes valores de ∆ω (possivelmente a maioria dos casos), é necessário efectuar interpolações para determinar os valores das frequências ω1 e ω2. De uma forma imediata pode-se utilizar interpolação linear, todavia podem-se utilizar técnicas que envolvem o ajuste de funções polinomiais às ordenadas espectrais, para determinar as frequências ω1 e ω2 a partir dessas funções, cujos valores podem ser avaliados com uma resolução em frequência muito fina. Da aplicação deste método resultam geralmente estimativas sobreavaliadas, ou seja, um erro de viés por excesso, o qual advém essencialmente do efeito de escorregamento (“leakage”) associado à resolução finita em frequência dos espectros. Este efeito existe sempre, mesmo utilizando janelas de dados (por exemplo janela de Hanning) que reduzem o seu efeito.

No âmbito deste trabalho aplica-se o método da meia potência ao espectro normalizado médio, no entanto alguns autores propõem a sua aplicação aos auto-espectros que apresentam uma maior componente espectral para o modo causa.

Exemplo 3.7 Avaliação dos coeficientes de amortecimentos modais com base na utilização do método da meia potência. Aplicando o método da meia potência, obtiveram-se estimativas dos coeficientes de amortecimento para os 3 modos de vibração identificados. Na Figura 3.24 ilustra-se a aplicação do método, a troços do ANPSD, na vizinhança dos picos correspondentes às frequências de ressonância da estrutura.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

4.2 4.4 4.6 4.8 5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 4.52 Hz f2 = 4.62 Hz

ξ = 1.1 %

Gy máx

1/2 Gy máx

1º modo 4.59 Hz

12.4 12.6 12.8 13 13.2

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 12.742 Hz f2 = 12.885 Hz

ξ = 0.56 %

Gy máx

1/2 Gy máx

2º modo 12.79 Hz

18.2 18.4 18.6 18.8 19

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 18.383 Hz f2 = 18.646 Hz

ξ = 0.71 %Gy máx

1/2 Gy máx

3º modo 18.55 Hz


Figura 3.24 Coeficientes de amortecimento modais estimados através do método da meia potência, considerando amostras com 20.48s. Na tabela seguinte, apresentam-se os resultados obtidos a partir da aplicação do método da meia potência e a sua comparação com os valores teóricos utilizados para a geração dos registos de aceleração.


Tabela 3.4 Estimativas dos coeficientes de amortecimento, considerando amostras com 20.48s

modo / frequência valores teóricos

ξ(%) método da meia potência

ξ(%) erro (%)

1º modo, f = 4.59 Hz 0.23 1.10 126.44 2º modo, f = 12.79 Hz 0.43 0.56 23.21 3º modo, f = 18.55 Hz 0.60 0.71 15.49

Analisando os resultados obtidos, confirma-se que as estimativas obtidas a partir do método da meia potência são superiores aos valores teóricos, utilizados na geração dos registos de aceleração, que agora se avaliam. Para o caso do 1º modo verifica-se mesmo um erro superior a 100%. Tendo em conta que estas estimativas excessivas dos coeficientes de amortecimento modais, se devem, essencialmente, aos erros por escorregamento (“leakage”), introduzido na estimativa das funções de densidade espectral, resolveu-se obter novas estimativas dos coeficientes de amortecimentos modais, considerando agora amostras com 40.96s, cujos resultados se mostram na figura seguinte.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 4.547 Hz f2 = 4.597 Hz

ξ = 0.55 %

Gy máx

1/2 Gy máx

1º modo 4.57 Hz

12.6 12.7 12.8 12.9 13

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 12.76 Hz f2 = 12.867 Hz

ξ = 0.42 %

Gy máx

1/2 Gy máx

2º modo 12.82 Hz

18.4 18.5 18.6 18.7

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 18.409 Hz f2 = 18.621 Hz

ξ = 0.57 %Gy máx

1/2 Gy máx

3º modo 18.55 Hz


Figura 3.25 Coeficientes de amortecimento modais estimados através do método da meia potência, considerando amostras com 40.96s.


modo / frequência valores teóricos

ξ(%) método da meia potência

ξ(%) erro (%)

1º modo, f = 4.57 Hz 0.23 0.55 58.18 2º modo, f = 12.82 Hz 0.43 0.42 2.33 3º modo, f = 18.55 Hz 0.60 0.57 5.00

A consideração de amostras temporais mais compridas, permitiu a obtenção de resultados mais próximos dos valores teóricos, nomeadamente para o caso dos 2º e 3º modos de vibração, como se pode verificar pela análise dos resultados apresentados na tabela anterior. Todavia, para o caso do valor de amortecimento estimado para o 1º modo, continuou-se a obter uma estimativa sobreavaliada que, essencialmente se deve ao efeito do erro por escorregamento (“leakage”), podendo-se afirmar nestas circunstâncias que a componente devida a esse erro se sobrepõe ao amortecimento real associado a esse modo.

Importa ainda referir que, para além do já salientado, a avaliação dos coeficientes de amortecimento modais, depende ainda dos níveis de vibração, podendo ainda variar em função da temperatura [Ventura e Brincker, 2000]. Pelo que, é necessário alguma precaução na utilização de coeficientes de amortecimento estimados a partir da resposta das estruturas a acções ambientais, para a avaliação da sua resposta a acções com grande intensidade (ex. sismos ou vento), mesmo que se considere dentro do regime de funcionamento linear dos materiais que compõem as estruturas.


3.5 Método de decomposição no domínio da frequência

O método de decomposição no domínio da frequência (FDD – “Frequency Domain Decomposition”), tal como o método BFD, desenvolve-se a partir das estimativas das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração. Este método, tem uma versão base que apenas permite identificar de frequências naturais e avaliar configurações modais, no entanto, a partir desta versão foi desenvolvida uma versão melhorada, com base na qual é também possível obter estimativas dos coeficientes de amortecimento modais. Em termos gerais o método FDD resolve as duas principais limitações do método BFD, isto é: possibilita a identificação de modos com frequências próximas e, utilizando a sua versão melhorada permite a obtenção melhores estimativas dos coeficientes de amortecimento modais. Pelo que, o FDD é considerado como uma extensão do BFD. Alguns dos princípios fundamentais deste método terão sido utilizados pela primeira vez por [Prevosto 1982], já no contexto da identificação modal estocástica. Estes mesmos princípios, foram posteriormente utilizados por [Shih et al. 1988], num contexto de análise modal experimental com controlo e medição das forças de excitação, sob a designação de CMIF – “Complex Mode Identification Function”. Esta designação foi igualmente adoptada por (Peeters, 2000), para descrever o método FDD. Importa referir que em Portugal, no LNEC, [Corrêa e Campos Costa 1992] utilizam também o conceito da decomposição em valores próprios da matriz de funções de densidade espectral da resposta em velocidade, para obter um espectro que designam por espectro principal de velocidade (correspondente, em cada frequência, ao maior valor próprio da matriz), a partir do qual identificam as frequências naturais de vibração, obtendo as componentes modais nos pontos instrumentados a partir do primeiro vector próprio. Todavia, a actual designação do método (“Frequency Domain Decomposition”), surge com o trabalho desenvolvido por [Brincker et al. 2000], no qual o método é apresentado de uma forma mais sistematizada. Em termos gerais, este método apresenta-se como bastante atractivo, pois a compreensão dos seus princípios teóricos é praticamente imediata, uma vez subentendida a fundamentação do método BFD; por outro lado trata-se de um método relativamente fácil de utilizar, com execução rápida. A este facto não é alheia a sua implementação no programa ARTeMIS [SVS, 2002], no qual é possível utilizá-lo de uma forma bastante automática, baseando-se na simples selecção dos picos de ressonância contidos num espectro. Este é aliás um conceito muito familiar dentro da comunidade de utilizadores (em engenharia civil), tornando, por esse motivo, a sua utilização muito atractiva, uma vez que se baseia em conceitos de dinâmica relativamente simples.

O desenvolvimento do método FDD baseia-se numa ferramenta matemática, designada por decomposição em valores singulares. Em termos gerais, o conceito da decomposição em valores singulares, pode ser entendido como uma extensão da decomposição em valores próprios. Neste caso concreto, o algoritmo diagonaliza a matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração, decompondo-a em contribuições modais que, em cada frequência, influenciam significativamente a resposta duma estrutura. Os fundamentos teóricos do algoritmo matemático da decomposição em valores singulares é descrito de uma forma resumida na subsecção seguinte. Contudo a descrição desta ferramenta matemática e algumas das suas aplicações são descritas num anexo do livro [Juang, 1994], podendo-se encontrar uma descrição mais detalhada em [Klema e Laub, 1980].

O algoritmo de decomposição em valores singulares encontra-se disponível em programas como o MatLab e LabView.

3.5 Método de decomposição no domínio da frequência 55

3.5.1 Decomposição em valores singulares

O algoritmo matemático da decomposição em valores singulares (SVD – “Singular Value Decomposition”), decompõe uma matriz A no produto de outras 3:

TA U V= ⋅ Σ ⋅ S 00 0

⎡ ⎤Σ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⇒ TA U S V= ⋅ ⋅

A matriz S é uma matriz quadrada diagonal, que contém os designados por valores singulares de A por ordem decrescente. Enquanto que as matrizes U e V são matrizes unitárias que contêm os vectores singulares à esquerda e à direita respectivamente. Como já foi referido, a SVD pode-se relacionar com a determinação de valores e vectores próprios. Os valores singulares da matriz A correspondem às raízes quadradas dos valores próprios das matrizes AT⋅A e A⋅AT. Enquanto as colunas das matrizes U e V, contêm os vectores próprios de A⋅AT e AT⋅A, respectivamente. No caso de A ser uma matriz complexa, as igualdades anteriores mantêm-se válidas, no entanto, a operação de transposição (♦T) dá lugar à operação transposição seguida de conjugação complexa (♦H), ou seja:

T HA U S V A U S V= ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅ T HA A A A⋅ → ⋅ T HA A A A⋅ → ⋅ Finalmente, quando a matriz A é real e simétrica ou complexa e hermitiana, os valores singulares coincidem com os valores próprios e as matrizes U e V, que passam a ser coincidentes, contêm os vectores próprios. Assim, o problema de determinação de valores e vectores próprios pode ser entendido como um caso particular de aplicação desta técnica mais genérica, que pode ser aplicada a matrizes rectangulares.

Uma matriz unitária ou ortonormal, é uma matriz que satisfaz a seguinte propriedade: A⋅AT = I (matriz identidade) Propriedades de uma Matriz Hermiteana: A = (AT)* = (A*)T

3.5.2 Versão base (FDD)

O método FDD, baseia-se na aplicação da SVD à matriz das funções de densidade espectral, decompondo-a num conjunto de funções de densidade espectral de 1 grau de liberdade, correspondendo cada uma a um sistema de um grau de liberdade, com as mesmas frequências e os mesmos coeficientes de amortecimento dos modos de vibração da estrutura. Contudo a aplicação deste método depende da consideração das seguintes hipóteses de base:

i) a excitação é um ruído branco; ii) o amortecimento da estrutura é baixo; iii) os modos de vibração com frequências próximas são ortogonais.

Caso estas hipóteses não sejam satisfeitas, é ainda possível aplicar o método, obtendo-se no entanto resultados aproximados, mas mesmo assim, ainda melhores que os obtidos com o método BFD. No método FDD começa-se por estimar a matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração da estrutura. Esta estimativa, avaliada em qualquer frequência discreta ωi, é então decomposta aplicando SVD à matriz

( ) Hi i iG U S Uω = ⋅ ⋅

Na diagonal da matriz Si encontram-se armazenados, por ordem decrescente, os


valores singulares da matriz das funções de densidade espectral. Pelo que, o primeiro valor singular contém, para cada frequência, a ordenada do auto-espectro do oscilador de 1 grau de liberdade relativo ao modo de vibração dominante na vizinhança do pico. Caso os picos de ressonância identificados estejam suficientemente bem afastados, então o 1º valor singular contém, na vizinhança destes picos, os segmentos mais relevantes dos auto-espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade, importantes para avaliar a resposta da estrutura. Os restantes valores singulares apresentam valores muito baixos, todavia, em sinais com baixo nível de ruído dão uma ideia da continuidade dos osciladores de 1 grau de liberdade definidos no 1º valor singular (resultados próximos dos teóricos), no entanto em sinais com elevado nível de ruído este efeito pode passar despercebido. Se existirem modos de vibração com frequências próximas, então a SVD da matriz das funções de densidade espectral, na vizinhança dessas frequências, apresenta tantos valores singulares como valores significativos (picos), quantos os modos nessa situação, permitindo assim o seu reconhecimento. A identificação das frequências naturais da estrutura, é efectuada com base na avaliação da abcissa correspondente aos máximos dos picos dos valores singulares identificados. A matriz Ui, contém na 1ª coluna para cada valor de frequência a configuração do modo dominante, as configurações dos restantes modos, se forem mutuamente ortogonais e ortogonais em relação ao primeiro, aparecem nas restantes colunas desta matriz. As configurações modais, para modos de vibração com frequências naturais suficientemente afastadas, são avaliadas a partir da 1ª coluna da matriz Ui, para a correspondente frequência de ressonância. Caso existam modos com frequências próximas, então a configuração do modo dominante é avaliada através da 1ª coluna da matriz Ui, em correspondência com as respectiva frequência de ressonância. As outras configurações modais serão avaliadas com base nas colunas (vectores singulares), correspondentes aos valores singulares que apresentem picos, em correspondência com a abcissa em que o valor singular apresenta o seu máximo local. Nas situações em que o ensaio é realizado em várias fases, obtêm-se para cada fase, tantos valores singulares quantos os graus de liberdade instrumentados. Todavia, pode-se resumir a informação num único espectro, normalizando os valores singulares estimados para cada fase de ensaio e determinando posteriormente a média de todos os valores singulares avaliados. Alternativamente, pode-se aplicar a SVD a uma matriz de densidade espectral rectangular, que contenha apenas as colunas relativas aos sensores de referência. Pelo que seguindo esta via, obtém-se um número de valores singulares igual ao número de sensores de referência utilizados, sendo apenas possível identificar tantos modos, com frequências próximas, quantos os sensores de referência adoptados. No exemplo seguinte apresentam-se resultados da aplicação do método FDD, obtidos com base na utilização de uma rotina desenvolvida em MatLab e aplicada ao exemplo tipo do modelo plano do edifício de 3 pisos.

Exemplo 3.8 Espectro da matriz dos valores singulares. A partir das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração apresentadas na Figura 3.17, determinaram-se os


espectros de valores singulares, aplicando o já referido algoritmo matemático da decomposição em valores singulares (SVD) à matriz das funções de densidade espectral em cada frequência. Na Figura 3.26, apresentam-se os 3 espectros de valores singulares obtidos. É de salientar que o espectro correspondente ao 1º valor singular tem um desenvolvimento idêntico ao ANPSD apresentado na Figura 3.19. Indicam-se na Figura 3.26, os valores das frequências correspondentes aos três picos de ressonância identificados no espectro do 1º valor singular. Verifica-se que, neste caso os valores das frequências coincidem com as identificadas no ANPSD apresentado na Figura 3.19. Uma vez que as frequências naturais, se encontram suficientemente bem afastadas, e como estamos perante um exemplo em que as condições são altamente controladas, apenas existem picos no espectro do 1º valor singular.

Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

4.5912.79

18.55

1º valor singular2º valor singular3º valor singular

f [Hz]

Figura 3.26 Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração. Tal como se verificou anteriormente, para o cálculo do ANPSD, os resultados obtidos dependem da resolução em frequência, pelo que, também na aplicação deste método os valores obtidos são condicionados pela resolução em frequência utilizada (∆f = 0.0488 Hz). Aumentando a resolução em frequência (diminuindo o espaçamento entre pontos amostrados, ∆f = 0.0244 Hz), verifica-se exactamente a mesma coerência entre os resultados obtidos na Figura 3.20, para o método ANPSD, e os agora obtidos neste método, apresentados na Figura 3.27. Mais uma vez se constata que existe um aumento na rugosidade dos espectros, a qual se encontra associado ao aumento de tempo das amostras consideradas nesta situação.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

4.5712.82

18.55


f [Hz]

Figura 3.27 Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração.


As configurações modais, foram avaliadas a partir da 1ª coluna da matriz dos vectores singulares, com base nas correspondentes frequências identificadas no espectro do 1º valor singular da matriz das funções de densidade espectral. Atendendo ao facto de os vectores singulares serem complexos, na Tabela 3.6 avaliam-se as configurações modais com base na amplitude relativa entre os vários graus de liberdade, tendo um sido considerado como referência, e os ângulos de fase entre os vários graus de liberdade (considerando-se sinal positivo, para ângulos próximos de 0 e sinal negativo para ângulos próximos de ±180º).

Tabela 3.6 Avaliação das configurações modais com base no FDD utilizando amostras de 20.48s. 1º modo [f = 4.59 Hz] 2º modo [f = 12.79 Hz] 3º modo [f = 18.55 Hz]

| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.7370 180 -1 -0.0500 0.5908 -180 -0.8015 -0.0401 0.3300 -180 -0.4475 -0.0224 0.5909 180 -0.8018 -0.0401 0.3280 0 0.4450 0.0223 0.7376 0 1 0.0500 0.3280 180 -0.4450 -0.0223 0.7371 0 1 0.0500 0.5891 -180 -0.7987 -0.0399

Na Tabela 3.7, avaliam-se as configurações modais, considerando amostras com 40.96s.


| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.7371 180 -1 -0.0500 0.5912 -180 -0.8024 -0.0401 0.3314 -180 -0.4488 -0.0224 0.5909 180 -0.8017 -0.0401 0.3283 0 0.4456 0.0223 0.7384 0 1 0.0500 0.3279 180 -0.4449 -0.0223 0.7367 0 1 0.0500 0.5873 -180 -0.7953 -0.0398

Comparando os resultados das tabelas anteriores, verificam-se pequenas diferenças. Efectuando a comparação entre a Tabela 3.6 e os valores obtidos nas tabelas referentes ao método BFD, verificam-se igualmente pequenas diferenças. Na Figura 3.28, apresentam-se as configurações modais avaliadas, utilizando o método FDD.

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.59Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 12.79Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.55Hz

Figura 3.28 Configurações modais avaliadas com base no FDD.

3.5.3 Versão melhorada (EFDD)

A versão melhorada do método de decomposição no domínio da frequência (EFDD – “enhanced frequency domain decomposition”), é considerada como um aperfeiçoamento do método FDD, que permite estimar os coeficientes de amortecimento modais e identificar com maior rigor as frequências naturais e as configurações modais. Embora os fundamentos teóricos deste método sejam referidos em [Brincker et al, 2000], apenas em [Brincker et al, 2001] o método é apresentado de uma forma mais clara e sistematizada. De seguida descrevem-se os procedimentos que conduziram à sistematização do método, os quais foram utilizados no desenvolvimento de uma rotina em MatLab.


É usual dividir o método EFDD em duas fases distintas [Rodrigues, 2004]; a primeira corresponde ao método FDD, e incorpora:

i) a avaliação das funções de densidade espectral da resposta; ii) SVD da matriz das funções de densidade espectral; iii) análise dos espectros de valores singulares para selecção dos picos de

ressonância correspondentes aos modos de vibração; iv) avaliação das configurações modais segundo os graus de liberdade

observados, através dos vectores singulares. A segunda fase contempla:

i) a introdução de um procedimento (utilizando o coeficiente MAC), que permite estimar as funções de densidade espectral associadas a cada modo de vibração, a partir dos espectros de valores singulares;

ii) o ajuste da configuração modal do oscilador, através de uma média ponderada, que contabiliza o contributo de cada vector singular, afectado do correspondente valor singular;

iii) a transformação para o domínio do tempo, das funções de densidade espectral associadas a cada modo de vibração, aplicando-lhes a inversa da transformada discreta de Fourier, obtendo-se as funções de auto-correlação da resposta dos vários osciladores de 1 grau de liberdade;

iv) a avaliação do coeficiente de amortecimento através do decremento logarítmico das funções de auto-correlação;

v) o ajuste da estimativa da frequência do oscilador através dos instantes de passagem por zero, das funções de auto-correlação;

As funções de auto-correlação da resposta dos vários osciladores de 1 grau de liberdade, são semelhantes à resposta em regime livre dos osciladores, se for assumido que as forças de excitação são idealizáveis por um processo de tipo ruído branco [Clough e Penzien, 1993].

Descrevem-se agora, de uma forma mais detalhada, cada um dos itens referenciados para a segunda fase do método EFDD. Verificou-se no método FDD, que aplicando a SVD à matriz das funções de densidade espectral, se obtém um conjunto de funções de densidade espectral de osciladores de 1 grau de liberdade. Contudo para utilizar o método EFDD é necessário estimar os limites das funções de densidade espectral associadas a cada modo de vibração, a partir dos espectros de valores singulares, na vizinhança dos picos de ressonância. Embora esta identificação se possa efectuar manualmente, com base na experiência e sensibilidade de quem a efectuar, é no entanto preferível utilizar um procedimento mais fundamentado, comparando os vectores singulares das frequências vizinhas, com o vector singular correspondente à frequência de ressonância (configuração do modo de vibração). A comparação entre vectores singulares, é efectuada utilizando o coeficiente MAC (“modal assurance criterion”), o qual mede a correlação entre duas configurações modais analíticas e/ou experimentais [Allemang e Brown 1982], através da seguinte expressão:

( ) ( )

2Ti j

i, j T Ti i j j

MACϕ ⋅ ϕ

=ϕ ⋅ ϕ ⋅ ϕ ⋅ ϕ

em que, ϕi e ϕj, são dois vectores coluna que contêm as configurações modais a comparar.

O coeficiente MAC pode assumir valores que variam entre 0 e 1. Valores unitários indicam que existe uma boa correlação entre os vectores, enquanto que valores próximos de 0 revelam que a correlação é muito baixa. Pelo que, para definir as funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade, é necessário considerar um limite para o coeficiente MAC (por exemplo MAC > 0.9). Uma vez


escolhido aquele limite, os valores singulares associados às frequências na vizinhança da frequência de ressonância, entre os limites estimados à esquerda e à direita, integram as referidas funções de densidade espectral dos osciladores de um grau de liberdade, considerando-se que fora desse intervalo têm um valor de zero. Todavia, a escolha dos limites a considerar para o coeficiente MAC, deve ser analisada caso a caso, por forma a que a função de densidade espectral seja claramente dominada pelo vector modal que caracteriza a frequência de ressonância. A consideração de um valor do coeficiente de MAC baixo, leva a que se incorpore na função de densidade espectral um maior número de valores singulares, no entanto, tem como consequência um maior desvio em relação ao vector singular de referência. Para estruturas com frequências naturais suficientemente bem afastadas, a definição das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade envolverá, em geral, apenas o espectro do 1º valor singular. Nos casos em que existem modos de vibração com frequências próximas, a definição dessas funções envolve a contribuição de diversos espectros de valores singulares. Depois de definidas das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade, é possível efectuar um ajuste na avaliação das configurações modais. Este ajuste é conseguido através da média dos vectores singulares, que se encontram na vizinhança do pico de ressonância e que fazem parte das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade, ponderada pelo valor dos correspondentes valores singulares.

Todavia, o grande contributo do método EFFD assenta na transformação das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade para o domínio do tempo, através da inversa da transformada de Fourier (utilizando o algoritmo da IFFT), obtendo-se assim as correspondentes funções de auto-correlação, com base nas quais é possível obter estimativas dos coeficientes de amortecimento modais e valores ajustados das estimativas das frequências naturais. Para estimar os coeficientes de amortecimento modais, identificam-se em primeiro lugar os máximos positivos e negativos das funções de auto-correlação, a partir dos quais é possível determinar o decremento logarítmico δ, que é dado pela seguinte expressão:

( ) ( )0k 0

k

2 r kln ln r ln rk r 2

⎛ ⎞δ = ⋅ ⇔ = −δ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

em que: r0 é o valor inicial da função de auto-correlação; e rk é o k-ésimo máximo (positivo ou negativo) da função de auto-correlação. O decremento logarítmico δ e o valor inicial da função de auto-correlação r0 podem ser avaliados através da regressão linear em δ⋅k/2 e ln(|rk|). O coeficiente de amortecimento pode ser calculado a partir do decremento logarítmico, utilizando a seguinte expressão:

2 2 2

21 4⋅ π ⋅ ξ δ

δ = ⇔ ξ =− ξ δ + ⋅ π

Igualmente a partir das funções de auto-correlação, é possível obter uma estimativa ajustada das frequências naturais, aplicando o conceito de frequência. Tendo em conta que a frequência é o inverso do tempo necessário para completar um ciclo completo, é possível avaliar este intervalo de tempo a partir de dois cruzamentos consecutivos do eixo do tempo (abcissas), ou então analisando o intervalo de tempo entre a ocorrência de dois valores extremos da função de auto-correlação, separados por um qualquer


número de ciclos. Assim sendo, é possível estimar as frequências naturais efectuando a regressão linear dos instantes de passagem por zero e nos instantes correspondentes aos valores máximos (positivos ou negativos), obtendo-se uma recta cujo declive coincide com a frequência amortecida. A frequência natural é determinada com base na expressão seguinte, utilizando o coeficiente de amortecimento previamente estimado:

aN 2

ff1

=− ξ

Importa referir que, uma vez que as funções de auto-correlação são discretas, para se avaliar de uma forma mais precisa os seus valores máximos (positivos ou negativos), por consequência os correspondentes instantes de ocorrência e os instantes de passagem por zero, é conveniente recorrer à utilização de funções de interpolação entre os valores discretos. Na referência [Brincker et al, 2001] é proposta a utilização de uma interpolação quadrática.

Exemplo 3.9 Estimativa dos coeficientes de amortecimento modais e ajuste das frequências naturais e configurações modais através do método EFDD. A partir dos espectros dos valores singulares, obtidos com o método FDD, apresentados no Exemplo 4.5, estimam-se agora as zonas correspondentes aos osciladores de 1 grau de liberdade, utilizando o coeficiente MAC. Na Figura 3.29 apresentam-se a vermelho as funções de densidade espectral dos três osciladores de 1 grau de liberdade, enquanto que na Figura 3.30 se apresentam os valores do coeficiente MAC para cada oscilador de 1 grau de liberdade. Uma vez que neste caso se utilizaram séries temporais geradas (sem grandes interferências de ruído) , foi possível obter valores de MAC muito elevados, pelo que para a definição de cada uma das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade, foi possível impor uma valor de MAC superior a 0.99.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

f [Hz]

Figura 3.29 Densidades espectrais dos osciladores de 1 grau de liberdade.

MAC


0 5 10 15 20 250.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

MAC 1MAC 2MAC 3

f [Hz]

Figura 3.30 Variação do coeficiente MAC. É de salientar que, quanto mais alisada for a estimativa dos espectros de valores singulares (menor comprimento das amostras, T), menor será a rugosidade dos coeficientes MAC nas zonas de transição entre modos de vibração Cada uma das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade, é definida pelas ordenadas assinaladas na Figura 3.29 a vermelho na vizinhança da sua frequência natural e por ordenadas nulas para todas as restantes frequências entre 0 e 25 Hz. Assim definidas, aquelas funções foram transformadas para o domínio do tempo utilizando o algoritmo da IFFT, obtendo-se as correspondentes funções de auto-correlação, as quais são representadas nas Figura 3.31, Figura 3.32 e Figura 3.33, para cada um dos modos de vibração do modelo plano do edifício de 3 pisos. Os coeficientes de amortecimento e as frequências naturais de cada um dos modos de vibração foram estimados de acordo com os processos atrás descritos.

Í

ndic

e

ln

[máx

.(+ e

-)]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.23 %ξ = 0.23 %ξ = 0.23 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

f = 4.6 Hzf = 4.6 Hz

t (s)

Figura 3.31 Avaliação do coeficiente de amortecimento e da frequência do 1º modo.


Índ

ice

ln[m

áx. (

+ e

-)]

corr

elaç

ão n

orm

aliz

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.25 %ξ = 0.25 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

f = 12.85 Hzf = 12.85 Hz

t (s)


Índ

ice

ln

[máx

. (+

e -)

]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.36 %ξ = 0.36 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

400

f = 18.58 Hzf = 18.58 Hz

t (s)

Figura 3.33 Avaliação do coeficiente de amortecimento e da frequência do 3º modo. Nas figuras anteriores, representam-se a vermelho as rectas ajustadas aos pontos mais representativos das funções de auto-correlação. É a partir do declive dessas rectas ajustadas que se estimaram os coeficientes de amortecimento e os valores ajustados das frequências dos três modos de vibração da estrutura, os quais se resumem no quadro seguinte:

Tabela 3.8 Tabela resumo dos valores obtidos pela aplicação do método EFDD. Frequência [Hz] Coef. Amortecimento [%] Freq. Ajustada [Hz]

1º Modo 4.59 0.23 4.60 2º Modo 12.79 0.25 12.85 3º Modo 18.55 0.36 18.58


É importante salientar que para a determinação do decremento logarítmico, embora em abcissas se represente o tempo em segundos, utiliza-se o número dos máximos, desde 1 até ao número total de máximos (positivos e negativos) obtidos, os quais ocorrem isso sim no instante representado no eixo das abcissas.

Tabela 3.9 Comparação entre os valores teóricos considerados para a geração dos registos de aceleração com os valores obtidos pela aplicação do método EFDD.

Valores de frequência [Hz] Valores de Coef. Amortecimento [%] teórico EFDD Dif. [%] teórico EFDD Dif. [%] 1º Modo 4.57 4.60 0.34 0.23 0.23 0.00 2º Modo 12.81 12.85 0.69 0.43 0.25 42.86 3º Modo 18.51 18.58 0.62 0.60 0.36 41.00

Relativamente aos resultados obtidos e tendo em consideração os valores apresentados na tabela anterior, facilmente se constata que a aplicação deste método permite obter bons resultados ao nível das frequências próprias, já no que diz respeito aos valores obtidos para os coeficientes de amortecimento, mais uma vez se verifica que se obtêm valores com diferenças significativas em relação aos que estiveram na base da geração de resultados. É de salientar que só por mera coincidência o valor do 1º coeficiente de amortecimento acertou, para este caso concreto. Finalmente apresentam-se as configurações modais avaliadas com base na média dos vectores singulares seleccionados na vizinhança do pico de ressonância, como correspondentes a cada modo, ponderadas com os respectivos valores singulares.

Tabela 3.10 Avaliação das configurações modais com base no EFDD utilizando amostras de 20.48s. 1º modo [f = 4.6 Hz] 2º modo [f = 12.85 Hz] 3º modo [f = 18.58 Hz]

| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.6540 -180 -1 -0.0500 0.5628 -180 -0.8019 -0.0401 0.0978 180 -0.4450 -0.0223 0.5244 -180 -0.8018 -0.0401 0.3122 0 0.4448 0.0224 0.2197 0 1 0.0500 0.2910 -180 -0.4450 -0.0223 0.7918 0 1 0.0500 0.1760 180 -0.8008 -0.0400

Na Figura 3.34, apresentam-se as configurações modais avaliadas com base em resultados experimentais, utilizando o método EFDD.

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.6Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 12.85Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.58Hz

Figura 3.34 Configurações modais avaliadas com base no EFDD.

3.6 Aplicação dos métodos anteriores a resultados experimentais

Nas secções anteriores, apresentaram-se os métodos BFD, FDD e EFDD, tendo por base resultados gerados numericamente, para o modelo plano dum edifício de 3 pisos. Nesta secção, aplicam-se os mesmos métodos de identificação modal estocástica, utilizando agora resultados experimentais, obtidos num ensaio de vibração ambiental, em laboratório, para o modelo físico do edifício de 3 pisos que serviu de base ao modelo plano, utilizado nas secções anteriores. Com este exemplo de aplicação, pretende-se discutir as limitações e as

3.6 Aplicação dos métodos anteriores a resultados experimentais 65

potencialidades de cada um do métodos, bem como salientar alguns aspectos de índole prática, relacionados com os parâmetros a identificar.

3.6.1 Descrição do modelo físico e do ensaio de vibração ambiental

O modelo físico é constituído por três pisos suportados por quatro pilares. Os pisos são materializados por chapas de aço, enquanto que os pilares são lâminas de alumínio, como se mostra na Figura 3.35. Na figura seguinte apresenta-se uma fotografia do modelo e um esquema com a sua caracterização geométrica.

20

0 m

m20

0 m

m20

0 m

m200 mm 20

0 mm

placa ( aço )

cantoneira( latão )



placa ( aço )

placa ( aço )

15 m

m


(a) (b)

Figura 3.35 Modelo físico de um edifício de 3 pisos: (a) fotografia; (b) perspectiva 3D.

No ensaio dinâmico, foi medida a resposta da estrutura a uma excitação ambiental, através de 3 acelerómetros piezoeléctricos, colocados ao nível de cada piso, segundo a direcção em que os pilares apresentam menor rigidez. Foram recolhidas séries temporais com 5 minutos (300 segundos) de duração, utilizando uma frequência de amostragem de 50 Hz.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

0

2

x 10-3

u 1 (m/s

2 )

t(s)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

0

2

x 10-3

u 2 (m/s

2 )

t(s)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2

0

2

x 10-3

u 3 (m/s

2 )

t(s) Figura 3.36 Amostras de 20s, das séries temporais recolhidas nos 3 pisos, no ensaio de

vibração ambiental. Às séries temporais recolhidas foi posteriormente aplicado um filtro passa alto (em frequência), com o objectivo de eliminar o conteúdo em frequência abaixo de 0.5 Hz, uma vez que o tipo de acelerómetros utilizado, tem um comportamento deficiente para muito baixas frequências, as quais seriam introduzidas nos vários espectros, não tendo no entanto qualquer significado físico digno de interesse.


3.6.2 Exemplo de aplicação experimental

Apresentam-se agora os resultados obtidos, aplicando os vários métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, aos registos recolhidos no ensaio de vibração ambiental, efectuado em laboratório no modelo físico do edifício de 3 pisos.

Exemplo 3.10 Aplicação dos vários métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência a resultados experimentais, obtidos em laboratório para o modelo físico de um edifício de 3 pisos. A partir dos registos de aceleração medidos no ensaio de vibração ambiental, avaliaram-se as estimativas das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, considerando:

− 41 amostras independentes (nd = 41) de 1024 valores cada, representando um comprimento temporal de 20.48s; − amostras sobrepostas de 2/3, às quais foi aplicada uma janela de Hanning para reduzir os efeitos de escorregamento.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[1,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[1,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[2,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[2,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[3,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[3,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[3,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

Fase [º]


Figura 3.37 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Os espectros obtidos, a partir de resultados experimentais, apresentam picos mais estreitos que os obtidos a partir de registos de aceleração gerados (muito próximos dos valores teóricos), salienta-se também o facto de as funções representativas da variação da diferença de fase ao longo da frequência, também apresentarem muito mais ruído que as obtidas a partir dos registos de aceleração gerados. Todavia é importante referir que, em todos os espectros se identificam claramente três picos de ressonância, os quais indicam a existência de 3 modos de vibração com frequência natural igual ao valor de frequência associado a cada pico.


Aplicação do método básico no domínio da frequência (BFD) A partir das estimativas das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, apresentadas na figura anterior, determinaram-se e apresentam-se os 3 auto-espectros normalizados (NPSD) na Figura 3.38 e o espectro de potência normalizado que resulta da média dos anteriores 3 auto-espectros, o qual se apresenta na Figura 3.39.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 5 10 15 20 25

10-4

10-3

10-2

10-1

100 NPSD[1,1]

0 5 10 15 20 25

10-4

10-3

10-2

10-1

100 NPSD[2,2]

0 5 10 15 20 25

10-4

10-3

10-2

10-1

100 NPSD[3,3]


Figura 3.38 Auto-espectros normalizados.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 5 10 15 20 25

10-4

10-3

10-2

10-1

100 ANPSD

4.413.09 18.7

f [Hz]

Figura 3.39 Espectro normalizado médio, considerando janelas de dados com 1024 pontos. Mais uma vez se relembra que, a precisão dos resultados obtidos, nomeadamente os da figura anterior, depende da resolução em frequência adoptada, que neste caso é ∆f = 0.0488 Hz, tal como para a anterior situação em que se utilizaram resultados gerados numericamente. Tal como anteriormente se verificou, ao se diminuir o intervalo em frequência, isto é, aumentando a resolução em frequência, é possível estimar valores em frequência mais precisos. Na Figura 3.40, apresenta-se novamente o espectro normalizado médio, considerando agora uma resolução em frequência de ∆f = 0.0244 Hz, isto é, amostras com um comprimento temporal de 40.96s (definidas com 2048 pontos). Olhando para os resultados obtidos, verifica-se que ao aumento da resolução está associado um aumento na rugosidade do espectro e que apenas o valor da 3ª frequência natural se alterou.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 25

10-4

10-3

10-2

10-1

100 ANPSD

4.4

13.09 18.73

f [Hz]

Figura 3.40 Espectro normalizado médio, considerando séries temporais com 40.96s. Na Figura 3.41, apresentam-se em formato de matriz, as designadas funções de coerência, com base nas quais é possível validar as três frequências naturais anteriormente identificadas, uma vez que é possível verificar claramente na vizinhança dessas frequências uma boa relação de linearidade entre as estimativas das funções de densidade espectral das séries temporais medidas. Esta afirmação é sustentada pela existência de valores muito próximos da unidade, nas funções de coerência fora da diagonal principal, na vizinhança das referidas frequências naturais identificadas.

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,3]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,3]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,3]


Figura 3.41 Estimativas das funções de coerência obtidas para o modelo físico do edifício de 3 pisos. A avaliação das configurações modais é efectuada com base na análise de uma coluna da matriz de funções de transferência, tomando


como referência o auto-espectro existente nessa coluna. Na Figura 3.42, apresenta-se a matriz de funções de transferência, da qual se seleccionou a primeira coluna para avaliar as configurações modais do modelo físico do edifício de três pisos. A amplitude das configurações modais é avaliada com base nos valores obtidos nas funções de transferência, para as frequências naturais identificadas, enquanto que o sentido da amplitude é avaliado com base na diferença de fase, entre os 3 pontos instrumentados, também apresentada nos mesmos gráficos. Valores de diferença de fase iguais a zero, indicam que o sentido, a dar à amplitude, é igual ao considerado para a referência, enquanto que valores próximos de 180º indicam que essas coordenadas se encontram em oposição de fase, relativamente à referência, logo terão sentido contrário.

Am

plitu

de Fase [º]

Am

plitu

de Fase [º]

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[1,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[2,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[3,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[1,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[2,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[3,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[1,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[2,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[3,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

Fase [º]


Na Tabela 3.11, apresentam-se os valores obtidos para as amplitudes de para a diferença de fase entre as coordenadas instrumentadas, para cada um dos modos de vibração avaliados. Por uma questão de representação, das configurações modais, é necessário encontrar uma escala comum, pelo que é necessário normalizar estes valores. Neste caso o processo de normalização consistiu em dividir todos os valores pelo maior obtido, ficando este unitário, aplicando em seguida um factor de escala que seja adequado ao factor de escala da representação da estrutura.



0.7195 0.6985 0.7194 0.0360 0.8866 179.9403 -0.8502 -0.0425 2.4247 179.8577 -0.7873 -0.0394 0.3601 0.4575 0.3601 0.0180 1.0428 179.4328 -1 -0.0500 3.0798 1.6336 1 0.0500

Com base nos resultados obtidos, apresenta-se de seguida a matriz modal, tendo por base os elementos da 1ª coluna da matriz das funções de transferência


1 0.9589 0.3247

0.7194 0.8502 0.7873

0.3601 1 1

Φ = − −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.4Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 13.09Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.7Hz


Estimaram-se os coeficientes de amortecimento, para os três modos de vibração identificados, aplicando o método da meia potência ao espectro normalizado médio obtido, cujos resultados se apresentam na Figura 3.44.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 4.38 Hz f2 = 4.429 Hz

ξ = 0.56 %

Gy máx

1/2 Gy máx

1º modo 4.4 Hz

12.9 13 13.1 13.2 13.3

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 13.026 Hz f2 = 13.122 Hz

ξ = 0.37 %

Gy máx

1/2 Gy máx

2º modo 13.09 Hz

18.5 18.6 18.7 18.8 18.9

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 18.687 Hz f2 = 18.745 Hz

ξ = 0.16 %

Gy máx

1/2 Gy máx

3º modo 18.73 Hz

f [Hz] [Hz] f [Hz] Figura 3.44 Coeficientes de amortecimento modais estimados através do método da meia potência.

Aplicação do método de decomposição no domínio da frequência (FDD) Na Figura 3.45, apresentam-se os espectros de valores singulares obtidos, através da decomposição em valores singulares da matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, obtidas experimentalmente para o modelo físico do edifício de 3 pisos. Analisando o espectro obtido, é de salientar o facto de apenas o andamento do espectro do 1º valor singular ter significado, uma vez que os andamentos dos outros dois espectros, aparentemente não contribuem para a definição dos osciladores de 1 grau de liberdade, como por exemplo se verificava, nos resultados obtidos a partir de séries temporais de aceleração geradas numericamente, as quais se podem considerar como boas aproximações dos valores teóricos.


Espectro dos valores singulares a matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

4.413.09 18.7


f [Hz]

Figura 3.45 Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração, T = 20.48s. Na Figura 3.46, apresentam-se os espectros de valores singulares, com um aumento de resolução em frequência (∆f = 0.0244 Hz), comparativamente com a dos espectros apresentados na Figura 3.45 (∆f = 0.0488 Hz). Verifica-se que a este aumento de resolução está associado um aumento da rugosidade dos espectros e que, tal como se verificou também pela aplicação do método BFD, apenas o valor da 3ª frequência natural se alterou.

Espectro dos valores singulares a matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

4.413.09 18.73


f [Hz]

Figura 3.46 Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração, T = 40.96s As configurações modais, foram avaliadas a partir da 1ª coluna da matriz dos vectores singulares, para os valores das frequências identificadas no espectro do 1º valor singular da matriz das funções de densidade espectral. Na Tabela 3.12, apresentam-se os valores obtidos para as amplitudes e o valores da diferença de fase entre as coordenadas instrumentadas, avaliados com base no valores complexos do 1º vector singular. Tal como no método ANPSD, também neste método se optou por introduzir um processo de normalização, que consistiu em dividir todos os valores pelo maior obtido, ficando este unitário, aplicando em seguida um factor de escala que se considerou adequado ao factor de escala da representação da estrutura.


| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.7783 -180 -1 -0.0500 0.5895 180 -0.9505 -0.0475 0.2468 180 -0.3231 -0.0162 0.5615 -180 -0.7215 -0.0361 0.5174 0 0.8342 0.0417 0.5962 0 0.7804 0.0390 0.2808 -180 -0.3608 -0.0180 0.6203 0 1 0.0500 0.7640 180 -1 -0.0500


1 0.9505 0.3231

0.7215 0.8342 0.7804

0.3608 1 1

− − −

Φ = −

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Na Figura 3.47, apresentam-se as configurações modais avaliadas com base na aplicação do método FDD.

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.4Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 13.09Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.7Hz


Aplicação da versão melhorada do método de decomposição no domínio da frequência (EFDD) A aplicação do método começou com a selecção dos espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade (utilizando o coeficiente MAC), a partir dos espectros de valores singulares, estimados com o método FDD, como se mostra na Figura 3.48, na qual se apresentam a vermelho, as funções de densidade espectral dos três osciladores de 1 grau de liberdade seleccionadas no espectro do 1º valor singular, enquanto que na Figura 3.49 se apresentam os coeficientes MAC estimados, tomando como referência as configurações modais descritas pelo vectores singulares correspondentes às frequências identificadas para cada modo de vibração.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

f [Hz]

Figura 3.48 Densidades espectrais dos osciladores de 1 grau de liberdade. Analisando a figura anterior, verifica-se que apenas numa restrita fronteira das frequências dos modos de vibração da estrutura, ocorrem valores do coeficiente MAC elevados. Por forma a garantir a obtenção de bons resultados, a selecção dos espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade, baseou-se na consideração de um valor do coeficiente MAC superior a 0.90.


MAC

0 5 10 15 20 250.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

MAC 1MAC 2MAC 3

f [Hz]

Figura 3.49 Variação do coeficiente MAC, para os 3 modos de vibração do modelo físico do edifico de 3 pisos. Nas figuras seguintes apresentam-se as funções de auto-correlação obtidas a partir das funções de densidade espectral de cada um dos osciladores de 1 grau de liberdade definidos previamente. Com base no logaritmo dos máximos locais daquelas funções estimaram-se os valores dos coeficientes de amortecimento, ainda com base naqueles valores e nos instantes de passagem por zero estimaram-se valores ajustados para as frequências naturais.

Í

ndic

e

ln

[máx

.(+ e

-)]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.18 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

f = 4.43 Hz

t (s)



Índ

ice

ln

[máx

. (+

e -)

]

cor

rela

ção

norm

aliz

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.14 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

f = 13.11 Hz

t (s)


Índ

ice

ln

[máx

. (+

e -)

]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.094 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

400

f = 18.75 Hz

t (s)

Figura 3.52 Avaliação do coeficiente de amortecimento e da frequência do 3º modo. Nas figuras anteriores, representam-se a vermelho as rectas ajustadas aos pontos mais representativos das funções de auto-correlação. É a partir do declive dessas rectas ajustadas que se estimaram os coeficientes de amortecimento e os valores ajustados das frequências dos três modos de vibração da estrutura, os quais se resumem na tabela seguinte:

Tabela 3.13 Tabela resumo dos valores obtidos pela aplicação do método EFDD. Frequência [Hz] Coef. Amortecimento [%] Freq. Ajustada [Hz]

1º Modo 4.40 0.18 4.43 2º Modo 13.09 0.14 13.11 3º Modo 18.73 0.09 18.75

3.7 Aplicação dos métodos no domínio da frequência a partir das funções de decremento aleatório 75

Por fim, apresenta-se o processo referente à avaliação das configurações modais, as quais forma avaliadas, com base na média dos vectores singulares seleccionados na vizinhança do pico de ressonância, como correspondentes a cada modo, ponderadas com os respectivos valores singulares.

Tabela 3.14 Avaliação das configurações modais com base no EFDD utilizando amostras de 20.48s. 1º modo [f = 4.43 Hz] 2º modo [f = 13.11 Hz] 3º modo [f = 18.75 Hz]

| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.3905 -180 -1 -0.0500 0.1207 -180 -0.9545 -0.0477 0.0367 -180 -0.3255 -0.0163 0.2818 -180 -0.7216 -0.0361 0.1067 0 0.8436 0.0422 0.0892 0 0.7909 0.0395 0.1401 -180 -0.3588 -0.0179 0.1265 0 1 0.0500 0.1128 -180 -1 -0.0500

Na Figura 3.55, apresentam-se as configurações modais avaliadas com base em resultados experimentais, utilizando o método EFDD, de acordo com os resultados apresentados na tabela anterior.

1 0.9545 0.3255

0.7216 0.8436 0.7909

0.3588 1 1

− − −

Φ = −

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.43Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 13.11Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.75Hz

Figura 3.53 Configurações modais avaliadas com base no EFDD.

3.7 Aplicação dos métodos no domínio da frequência a partir das funções de decremento aleatório

Nesta secção descreve-se um conceito explorado por [Rodrigues, 2004], que se baseia na avaliação das funções de densidade espectral (aplicando o algoritmo da FFT) a partir das funções de decremento aleatório, possibilitando posteriormente a aplicação de qualquer um dos métodos de identificação modal previamente descritos (BFD, FDD ou EFDD). A aplicação desta metodologia, permite a obtenção de estimativas espectrais com menor ruído, uma vez que as funções RD têm características semelhantes à resposta em regime livre. Pelo que a sua aplicação facilita a tarefa da identificação, uma vez que a informação sobre as características dinâmicas das estruturas contida nos auto-espectros e nos espectros cruzados, é mais clara, possibilitando desta forma uma melhor interpretação e avaliação dos resultados experimentais. Esta metodologia é agora aplicada, a todos os métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, descritos nas secções anteriores, utilizando os resultados experimentais obtidos para o modelo físico do edifício de 3 pisos e apresentados na secção anterior. Pelo que, na exposição que se segue, apenas se apresentam os resultados obtidos, relativamente aos quais se efectuam alguns comentários, recorrendo nomeadamente a algumas comparações com os resultados apresentados na secção anterior, para ilustrar as potencialidades da aplicação desta

É usual designar as funções de decre-mento aleatório como funções RD [Asmussen, 1997; Rodrigues, 2004] e representá-las através da letra D. É importante referir que a utilização do método do decremento aleatório tem estado normalmente associada à aplicação de métodos de identificação modal no domínio do tempo, como por exemplo o método de Ibrahim no domínio do tempo [Ibrahim e Mikulcik, 1977].


metodologia.

Exemplo 3.11 Aplicação dos vários métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, a partir das funções de decremento aleatório. A aplicação dos vários métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, foi precedida da avaliação das funções de RD através da aplicação do critério de passagem por um nível apresentado no anexo referente ao método do decremento aleatório. Para a determinação destas funções consideraram-se amostras com uma duração que permite às funções RD decaírem para valores próximos de zero dentro do seu período. Consideraram-se amostras com uma duração de 20.48s (1024 pontos amostrados a 50 Hz). Na figura seguinte apresentam-se as funções RD estimadas.

Am

plitu

de

Am

plitu

de

Am

plitu

de

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[1,1]

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[1,2]

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[1,3]

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[2,1]

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[2,2]

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[2,3]

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[3,1]

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[3,2]

0 5 10 15 20-5

0

5x 10

-3 D[3,3]

t [s] t [s] t [s]

Figura 3.54 Estimativas das funções de decremento aleatório. É de salientar que, uma das principais vantagens da aplicação dos métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência após a determinação das funções de RD, está relacionada com a possibilidade de evitar os efeitos dos erros por escorregamento (“leakage”), considerando para tal amostras com uma duração que permita o decaimento completo das referidas funções RD. A partir das funções RD apresentadas na Figura 3.54, determinaram-se as funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, utilizando o algoritmo da FFT. De salientar que o cálculo das funções de densidade espectral, foi efectuado para cada uma das colunas das funções de densidade espectral efectuando-se no final a média dessas funções, obtendo-se dessa forma os auto-espectros e os espectros cruzados que se apresentam na Figura 3.55. Observando as funções de densidade espectral, estimadas a partir das funções de decremento aleatório, facilmente se constata que estas têm um andamento espectral com evidentes semelhanças em relação às teóricas, apresentando picos mais “aguçados” e vales mais profundos. De igual modo, ao analisar as funções que caracterizam a variação espectral da diferença de fase, verifica-se que estas


apresentam muito menos ruído, igualmente à semelhança do que já se verificou para as teóricas. Tendo em conta as funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, apresentadas na Figura 3.55, aplicaram-se os métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, previamente descritos (FBD, FDD e EFDD), dos quais se passam a apresentar os principais resultados obtidos.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Fase [º]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[1,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[1,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[1,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[2,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[2,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[2,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[3,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[3,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 25

10-10

10-5

Gy[3,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

Fase [º]


Figura 3.55 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos. Aplicação do método básico no domínio da frequência a partir das funções de decremento aleatório (RD-BFD) Uma vez que esta metodologia resulta da aplicação do método BFD às funções RD, doravante passar-se-á a designar como método RD-BFD. Na Figura 3.56, apresentam-se os 3 auto-espectros normalizados (NPSD), a partir dos quais se estima o espectro normalizado médio (ANPSD), apresentado na Figura 3.57, este espectro apresenta características muito próximas de um espectro analítico, quando comparado com o apresentado na Figura 3.39, das quais se destaca o facto de os picos de ressonância serem um pouco mais nítidos (mais aguçados), e sobretudo, o facto de os vales entre picos serem muito mais suavizados. Em termos gerais, há que destacar um efeito de eliminação de ruído, traduzido pelo surgimento estimativas mais alisadas, essencialmente devidas ao cálculo de médias, efectuado no domínio do tempo, para a determinação das funções de decremento aleatório.

Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 78D

ensi

dade

Esp

ectra

l de

Potê

ncia

[(

m/s

2 )/Hz]

0 5 10 15 20 2510

-6

10-4

10-2

100 NPSD[1,1]

0 5 10 15 20 2510

-6

10-4

10-2

100 NPSD[2,2]

0 5 10 15 20 2510

-6

10-4

10-2

100 NPSD[3,3]


Figura 3.56 Auto-espectros normalizados.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 5 10 15 20 2510

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 ANPSD

4.4

13.0918.7

f [Hz]

Figura 3.57 Espectro normalizado médio, considerando janelas de dados com 20.48s.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 ANPSD

4.4

13.09 18.73

f [Hz]

Figura 3.58 Espectro normalizado médio, considerando amostras com 40.96s. Na Figura 3.59, apresentam-se as funções de coerência, estimadas com base nas novas funções de densidade espectral. Como se pode verificar, estas funções apresentam um andamento espectral muito semelhante às apresentadas na Figura 3.21, as quais devidas à sua origem se podem considerar como sendo muito próximas das teóricas. Pelo que, estas funções se podem considerar como mais um indicador que confirma que a aplicação do métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência, às funções de decremento aleatório, facilita a tarefa da identificação, pois o conteúdo espectral que se obtém é evidentemente mais claro.


Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[1,3]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[2,3]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,1]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,2]

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ2[3,3]


Figura 3.59 Estimativas das funções de coerência do modelo plano do edifício de 3 pisos. À semelhança de exemplos anteriores, onde se aplicou o método BFD, também neste caso, a avaliação das configurações modais é efectuada com base na análise de uma coluna da matriz de funções de transferência, tomando como referência o auto-espectro existente nessa coluna. Na Figura 3.60, apresenta-se a matriz de funções de transferência, da qual se seleccionou a primeira coluna para avaliar as configurações modais do modelo físico do edifício de três pisos, pela aplicação do método RD-BFD.

Capítulo 3: Identificação modal estocástica no domínio da frequência 80A

mpl

itude

Fase [º]

Am

plitu

de Fase [º]

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[1,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[2,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[3,1]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[1,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[2,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[3,2]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[1,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[2,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

0 5 10 15 20 250

1

2

3

T[3,3]

0 5 10 15 20 250

90

180

Fase [º]


Na Tabela 3.15, apresentam-se os valores obtidos para as amplitudes de para a diferença de fase entre as coordenadas instrumentadas, para cada um dos modos de vibração avaliados. Com base nos resultados obtidos, apresenta-se de seguida a matriz modal, tendo por base os elementos da 1ª coluna da matriz das funções de transferência



0.7170 0.7160 0.7169 0.0358 0.8855 179.9602 -0.8526 -0.0426 2.4306 179.5908 -0.7886 -0.0394 0.3620 1.1641 0.3620 0.0181 1.0387 179.8231 -1 -0.0500 3.0820 1.8696 1 0.0500

1 0.9628 0.3245

0.7169 0.8526 0.7886

0.3620 1 1

Φ = − −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.4Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 13.09Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.7Hz


Estimaram-se os coeficientes de amortecimento modais, aplicando do método da meia potência a troços do ANPSD na vizinhança das frequências correspondentes aos modos de vibração identificados. Na Figura 3.62, ilustra-se a aplicação do método e apresentam-se os resultados obtidos.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 4.381 Hz f2 = 4.412 Hz

ξ = 0.34 %

Gy máx

1/2 Gy máx

1º modo 4.4 Hz

12.9 13 13.1 13.2 13.3

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 13.022 Hz f2 = 13.102 Hz

ξ = 0.31 %

Gy máx

1/2 Gy máx

2º modo 13.09 Hz

18.5 18.6 18.7 18.8 18.9

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 18.712 Hz f2 = 18.741 Hz

ξ = 0.076 %

Gy máx

1/2 Gy máx

3º modo 18.73 Hz


Figura 3.62 Coeficientes de amortecimento modais estimados através do método da meia potência. Aplicação do método de decomposição no domínio da frequência a partir das funções de decremento aleatório (RD-FDD) Na Figura 3.45, apresentam-se os espectros de valores singulares obtidos, através da decomposição em valores singulares da matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, do modelo físico do edifício de 3 pisos, a partir das funções de decremento aleatório, passando-se a designar este método como RD-FDD. Comparando o espectro de valores singulares obtido pela aplicação do método RD-FDD e comparando-o com o obtido na Figura 3.26, obtido pela aplicação do método FDD, facilmente se constata que, para além do espectro do 1º valor singular apresentar uma melhor definição dos picos e dos vales, correspondentes aos modos de vibração, também os espectros dos 2º e 3º valores singulares apresentam melhorias evidentes, associando troços que possibilitam a visualização do andamento dos 3 osciladores de 1 grau de liberdade, que se podem definir. Este é aliás um dos aspectos específicos da metodologias de decomposição em valores singulares, que pela aplicação directa do método FDD não era clara e que na Figura 3.63, que resulta da aplicação do método RD-FDD é de fácil visualização.



Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

4.4

13.0918.7


f [Hz]

Figura 3.63 Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração. Ainda relativamente ao espectro de valores singulares, é possível obter espectros com um menor nível de ruído, desde que se efectue um ensaio com maior duração temporal, que permita a consideração de um maior número de amostras, consequentemente um maior número de médias, possibilitando assim uma melhor definição dos espectros dos 2º e 3º valores singulares, onde o efeito desse ruído é mais evidente.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

4.4

13.09 18.73


f [Hz]

Figura 3.64 Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração. Tal como exemplos anteriores, caso se pretenda um aumento na precisão dos resultados é necessário uma maior resolução em frequência, com as vantagens e desvantagens inerentes, ou seja, a melhoria na precisão dos resultados é contrabalançada por um aumento de ruído no andamento dos espectros de valores singulares. Na Figura 3.63, considerou-se uma resolução em frequência de ∆f = 0.0488 Hz, enquanto que na Figura 3.64, se aumentou a resolução em frequência passando-se a um valor de ∆f = 0.0244 Hz, tal como nos exemplos anteriores apenas o valor da frequência natural do 3º modo de vibração sofreu alteração. As configurações modais, foram avaliadas a partir da 1ª coluna da matriz dos vectores singulares, para os valores das frequências identificadas no espectro do 1º valor singular da matriz das funções de densidade espectral. Na Tabela 3.16, apresentam-se os valores obtidos para as amplitudes e o valores da diferença de fase entre as coordenadas instrumentadas, avaliados com base no valores complexos do 1º vector singular. Tal como no método ANPSD, também neste método se optou por introduzir um processo de


normalização, que consistiu em dividir todos os valores pelo maior obtido, ficando este unitário, aplicando em seguida um factor de escala que se considerou adequado ao factor de escala da representação da estrutura.



1 0.9664 0.3240

0.7179 0.8334 0.7822

0.3501 1 1

− − −

Φ = −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Na Figura 3.65, apresentam-se as configurações modais avaliadas com base em resultados experimentais, utilizando o método FDD.

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.4Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 13.09Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.7Hz


Aplicação da versão melhorada do método de decomposição no domínio da frequência a partir das funções de decremento aleatório (RD-EFDD) A partir dos espectros resultantes da decomposição em valores singulares, obtidos pela aplicação do método anterior, seleccionaram-se os espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade (utilizando o coeficiente MAC), tal como se indica na Figura 3.66, em que se representa a vermelho, as funções de densidade espectral dos três osciladores de 1 grau de liberdade seleccionadas. Na Figura 3.67 apresentam-se os coeficientes MAC estimados com base no vector singular correspondente a cada uma das frequências naturais (amortecidas) identificadas nos picos de ressonância. Facilmente se constata pela distribuição espectral dos coeficientes MAC que, a aplicação prévia do método RD, melhorou as potencialidades da aplicação deste método, nomeadamente, alargando a gama de frequências na fronteira dos picos de ressonância que contribuem para a selecção das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade, permitindo desta forma, a obtenção de espectros com maior semelhança com os teóricos, como já se verificou pela aplicação deste método a resultados gerados numericamente. Esta circunstância permitiu a selecção dos espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade, tendo em conta um elevado valor do coeficiente MAC, superior a 0.95.



Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 5 10 15 20 2510

-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

f [Hz]


MAC

0 5 10 15 20 250.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

MAC 1MAC 2MAC 3

f [Hz]

Figura 3.67 Variação do coeficiente MAC, para os 3 modos de vibração do modelo físico do edifico de 3 pisos. Nas figuras seguintes apresentam-se as funções de auto-correlação obtidas a partir das funções de densidade espectral de cada um dos osciladores de 1 grau de liberdade definidos previamente. Com base nas quais se estimaram os coeficientes de amortecimento modais e uma valor ajustado para as frequências naturais.


Í

ndic

e

ln

[máx

.(+ e

-)]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.11 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

f = 4.42 Hz

t (s)


Índ

ice

ln

[máx

. (+

e -)

]

cor

rela

ção

norm

aliz

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.11 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

f = 13.11 Hz

t (s)



Índ

ice

ln

[máx

. (+

e -)

]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.072 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

400

f = 18.74 Hz

t (s)

Figura 3.70 Avaliação do coeficiente de amortecimento e da frequência do 3º modo. Nas figuras anteriores, representam-se a vermelho as rectas ajustadas aos pontos mais representativos das funções de auto-correlação. É a partir do declive dessas rectas ajustadas que se estimaram os coeficientes de amortecimento e os valores ajustados das frequências dos três modos de vibração da estrutura, os quais se resumem no quadro seguinte:

Tabela 3.17 Avaliação das configurações modais com base no RD-EFDD utilizando amostras de 20.48s. 1º modo [f = 4.42 Hz] 2º modo [f = 13.11 Hz] 3º modo [f = 18.74 Hz]


1 0.9616 0.3231

0.7176 0.8491 0.7873

0.3610 1 1

− − −

Φ = −

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Na Figura 3.71, apresentam-se as configurações modais avaliadas com base em resultados experimentais, utilizando o método RD-EFDD.

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1º modo - 4.42Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2º modo - 13.11Hz

-0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

3º modo - 18.74Hz

Figura 3.71 Configurações modais avaliadas com base no RD-EFDD.


3.7.1 Conclusões

Neste capítulo, apresentaram-se alguns conceitos básicos que permitem efectuar a avaliação experimental do comportamento dinâmico de estruturas de engenharia civil, no domínio da frequência, recorrendo ao conceito de série de Fourier, bem como, os fundamentos de dois métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência: o método básico no domínio da frequência (BFD) e o método de decomposição no domínio da frequência (FDD). Contudo, apresentaram-se ainda alguns melhoramentos e variantes relativos à aplicação dos referidos métodos, isto é, a versão melhorada do método de decomposição no domínio da frequência (EFDD) e a aplicação destes métodos após a obtenção das funções de decremento aleatório (RD-BFD, RD-FDD e RD-EFDD). A aplicação de qualquer um destes métodos assenta na utilização das estimativas das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, obtidas com base na aplicação do algoritmo da FFT. Enquanto que no método BFD se utiliza directamente estas funções, avaliando-se a relação entre os sinais da resposta no domínio da frequência, no método FDD introduz-se o algoritmo da decomposição em valores singulares (SVD) da matriz destas funções, após o que se passa a trabalhar com uma matriz diagonal de valores singulares e uma matriz de vectores singulares, nas quais se encontram realçadas as contribuições modais mais importantes em cada frequência, da resposta. É importante salientar que ao nível das configurações modais, enquanto que no método FDD se identificam modos de vibração, no método BFD identificam-se modos operacionais de deformação. É precisamente por esta razão que a identificação das características de modos de vibração com frequências próximas é melhor utilizando o método FDD que utilizando o método BFD, podendo neste último caso ser difícil encontrar bons resultados, para essas situações. Na versão melhorada do método de decomposição no domínio da frequência (EFDD), é introduzido um aperfeiçoamento, que permite a definição de funções de densidade espectral, características de osciladores de 1 grau de liberdade, na vizinhança dos picos de ressonância, com base em critérios de correlação entre os vectores singulares dos picos ressonantes e os da sua vizinhança. Aplicando o algoritmo da IFFT a essas funções de densidade espectral, extraídas dos espectros de valores singulares, obtêm-se as funções de auto-correlação a partir das quais é possível estimar os coeficientes de amortecimento modais e valores ajustados para as frequências. Também é possível obter configurações modais ajustadas, efectuando uma média ponderada dos vectores singulares, correspondentes aos valores singulares seleccionados nas funções de densidade espectral. A utilização prévia do método do decremento aleatório (RD), antes de se estimarem as funções de densidade espectral da resposta em aceleração, e posterior aplicação dos métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência (RD-BFD, RD-FDD e RD-EFDD), pode ser bastante vantajoso, uma vez que o processo de cálculo de médias utilizado pelo método RD, tem o efeito de anular o ruído existente nas amostras, possibilitando desta forma a obtenção de funções de densidade espectral que evidenciam melhor as características dinâmicas das estruturas, permitindo assim uma melhor e mais fácil identificação.

CAPÍTULO

4

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO

DINÂMICO DE ESTRUTURAS CONTÍNUAS

SUMÁRIO: Neste capítulo aborda-se o tema da análise e caracterização do comportamento dinâmico de estruturas contínuas, considerando três vias: a primeira refere-se à designada teoria dos osciladores lineares contínuos, baseada na utilização de soluções analíticas, as quais apenas se adequam para modelos estruturais simples; na segunda via, introduz-se o método dos elementos finitos, com o qual se analisa o comportamento dinâmico de estruturas contínuas, discretizando-as em elementos finitos; enquanto que na terceira via se apresenta a caracterização experimental do comportamento dinâmico de estruturas contínuas a partir de registos obtidos em ensaios de vibrações. A apresentação destes conceitos é efectuada, recorrendo ao modelo físico de uma parede em consola, o qual é também utilizado para introduzir o problema da interacção estrutura-fluido, com o objectivo de obter informação preliminar, para o problema real barragem-albufeira.

4.1 Introdução

A análise do comportamento dinâmico de estruturas contínuas é normalmente realizada com base em modelos discretos (Figura 4.1). No entanto, para o caso de modelos estruturais simples, também é possível efectuar este tipo de análise recorrendo a modelos com infinitos graus de liberdade, ou seja, através de modelos contínuos. Nestas circunstâncias é necessário recorrer a formulações baseadas no estabelecimento de equações de equilíbrio duma porção infinitesimal do oscilador, obtendo-se desta forma as equações diferenciais de equilíbrio, através das quais se podem determinar os parâmetros modais dos osciladores (frequências e configurações modais dos infinitos modos de vibração). As duas abordagens referidas no parágrafo anterior, são apresentadas neste capítulo, bem como a caracterização do comportamento dinâmico de estruturas contínuas, recorrendo à aplicação das técnicas de identificação modal estocástica, no domínio da frequência (descritas no capítulo anterior), a registos provenientes da realização de ensaios de vibrações.

Figura 4.1 Barragem da Aguieira. Discretização 3D da barragem e da fundação: modelo discreto com 4000 GL.

Para ilustrar os conceitos que vão sendo descritos ao longo deste capítulo, utiliza-se como exemplo o modelo físico de uma parede em consola. Assim, com base no modelo estrutural deste exemplo, são introduzidos os conceitos referentes à teoria dos osciladores contínuos, para a qual se analisa essencialmente o problema da vibração transversal (e resumidamente o problema da vibração longitudinal). Posteriormente introduz-se o método dos elementos finitos, com base no qual se analisam alguns modelos discretos, referentes ao exemplo em análise, utilizando elementos finitos isoparamétricos do 2º grau, com 4 nós por elementos e 8 nós por elemento.

Capítulo 4: Análise do comportamento dinâmico de estruturas contínuas 90

Os modelos de elementos finitos que se apresentam neste trabalho, são desenvolvidos, com base, em rotinas de cálculo desenvolvidas em MatLab. Estas rotinas, permitem a determinação de frequências próprias e modos de vibração, bem com a realização de cálculos dinâmicos no domínio do tempo. Utilizando esta última potencialidade, geraram-se um conjunto de histórias de aceleração (em alguns graus de liberdade dos modelos), as quais são utilizadas para ilustrar o processo relativo à avaliação experimental de parâmetros modais, para este tipo de estruturas, recorrendo à aplicação dos métodos de identificação modal estocástica, no domínio da frequência, descritos no capítulo anterior. Finalmente, utilizando o modelo físico da parede em consola e um reservatório contíguo, introduz-se (de uma forma simples) o problema da interacção estrutura-fluido. Este problema é apresentado e discutido com base na comparação entre alguns resultados numéricos de elementos finitos e resultados experimentais, obtidos a partir de ensaios de vibrações efectuados sobre o modelo físico em laboratório. Importa salientar que, nos modelos de elementos finitos, o efeito hidrodinâmico da água é simulado através de duas formulações: i) massas de água associas e; ii) elementos finitos de água. Resta salientar que, a abordagem do problema da interacção estrutura-fluido, visa abordar de uma forma preliminar o problema prático relativo ao fenómeno da interacção barragem-albufeira, importante para a análise do comportamento dinâmico de barragens de betão.

4.2 Sistemas estruturais com massa e rigidez distribuídas

Nesta secção apresenta-se a formulação necessária para analisar o comportamento dinâmico de estruturas contínuas, idealizadas com base em sistemas estruturais representados por modelos com infinitos graus de liberdade, isto é, através de modelos contínuos com massa e rigidez distribuídas, usualmente designados por osciladores contínuos. A formulação que é introduzida, baseia-se no estabelecimento das equações de equilíbrio, a partir duma porção infinitesimal de um oscilador contínuo. Posteriormente são estabelecidas as equações diferencias de equilíbrio, através das quais se podem obter as frequências e as configurações modais dos infinitos modos de vibração do oscilador [Chopra, 2001]. As soluções que se apresentam, referem-se a modelos estruturais muito simples, baseados na consideração de uma barra contínua, que pode assumir diferentes condições de fronteira nas suas extremidades.

4.2.1 Solução para sistemas com massa e rigidez distribuída

Nesta subsecção apresenta-se em primeiro lugar as equações que descrevem a vibração transversal de uma viga simplesmente apoiada sem amortecimento, submetida à acção de uma força externa. Na Figura 4.2, mostra-se a viga de comprimento L com rigidez de flexão EI(x) e massa m(x) por unidade de comprimento, as quais podem variar com a posição x. As forças externas p(x,t), podem variar com a posição e com o instante de tempo, enquanto que o movimento é descrito pelo deslocamento transversal u(x,t). De seguida passa-se ao processo de obtenção da equação do movimento que será válida também para outras condições de apoio (condições de fronteira).

4.2 Sistemas estruturais com massa e rigidez distribuídas 91

L

p(x,t)

m(x), EI(x)

x

dx

p dx

f = m dxI²ut²

M + dxMx

V + dxVx

M V

x

uu(x,t)

Figura 4.2 Esquema de um sistema com massa e rigidez distribuída.

Teoricamente, considera-se que o modelo estrutural apresentado na Figura 4.2, tem um número infinito de graus de liberdade, essencialmente devido ao facto de se considerar que tem a massa distribuída. Para obter a equação do movimento, considera-se um elemento infinitesimal da viga. Na Figura 4.2, apresenta-se o equilíbrio de forças para o elemento infinitesimal considerado, no qual as forças de inércia são introduzidas de acordo com o princípio D’Alembert; V(x,t) representa o esforço transverso enquanto que M(x,t) é o momento de flexão. As expressões seguintes representam o equilíbrio de forças na direcção vertical e o equilíbrio de momentos:

2

2 0∂ ∂+ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

∂ ∂u VV p dx m dx -V - dx

t x

2

2 0⎛ ⎞∂ ∂

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

u dx MM +V dx m dx - M - dxt 2 x

Tendo em conta que na última expressão se pode desprezar o termo que envolve a força de inércia, pois multiplica pelo quadrado do comprimento infinitesimal dx, e efectuando algumas simplificações as expressões anteriores podem ser escritas na forma seguinte:

2

2

∂ ∂= −

∂ ∂V up mx t

∂

=∂MVx

Substituindo na primeira expressão V, pelo obtido na segunda expressão obtém-se

2 2

2

∂ ∂= −

∂ ∂2

M up mx t

desprezando a deformação por esforço transverso, então M será dado pela seguinte expressão:

2

2

∂=

∂uM EI

x

substituindo M na outra expressão obtida previamente, obtém-se a seguinte expressão final:


( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 ,⎡ ⎤∂ ∂ ∂

+ =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

u um x EI x p x tt x x

Assumindo-se que a viga representada na Figura 4.2, tem um andamento uniforme, isto é, as suas características mecânicas e a sua massa não variam ao longo do seu comprimento (EI = constante e m = constante), então a equação anterior pode ser escrita de uma forma simplificada, na seguinte forma:

( ) ( ) ( )2 4

2 4 ,∂ ∂⋅ + ⋅ =

∂ ∂u um x EI x p x t

t x

Para determinar as frequências próprias e os modos de vibração é necessário considerar a equação anterior na forma da vibração livre:

( ) ( )2 4

2 4 0∂ ∂⋅ + ⋅ =

∂ ∂u um x EI x

t x

Considere-se agora a separação da variável u(x,t) em duas parcelas, representando uma delas a configuração deformada e a outra a variação no tempo:

( ) ( ) ( )⋅φu x,t = x q t pode-se então obter as seguintes equações

( ) ( ) ( ) ( )∂ ∂⋅ ⋅

∂ ∂φ φ

2

2

u u= x q t = x q tt t

substituindo as anteriores igualdades na equação diferencial do movimento em vibração livre, pode-se escrever aquela equação na seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '''' 0⎡ ⎤⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎣ ⎦φ φm x x q t q t EI x x

dividindo os termos da equação anterior por ( ) ( )⋅ ⋅φm x q t , obtém-se a seguinte expressão

( )( )

( ) ( )( ) ( )

''''⎡ ⎤⋅− ⎣ ⎦⋅

φ

φ

EI x xq t=

q t m x x

na qual, o lado esquerdo é uma função de t, enquanto que o lado direito é uma função de x. Para que aquela equação seja válida para todos os valores de x e de t é necessário que aquelas duas funções sejam consequentemente constantes, em função ω2. Pelo que a equação diferencial (parcial – em derivadas parciais) do movimento em vibração livre, dá origem a duas equações diferenciais ordinárias, uma é descrita em função do tempo q(t), enquanto que a outra é descrita no espaço φ(x):

( ) ( )⋅ω 2q t + q t = 0

( ) ( ) ( ) ( )'''' 2 0⎡ ⎤⋅ − ⋅ ⋅ =⎣ ⎦φ ω φEI x x m x x

A primeira equação diferencial obtida, é semelhante à que descreve o movimento de um oscilador de 1 grau de liberdade, com frequência natural ω. Para quaisquer valores de rigidez EI(x) e massa m(x), existe uma infinidade de frequências ω e modos de vibração associados φ(x), que satisfazem o problema de valores próprios definido na

4.2 Sistemas estruturais com massa e rigidez distribuídas 93

última equação diferencial, bem como para outras condições de apoio (condições de fronteira) da viga. Considerando então EI(x) = EI e m(x) = m, a última equação diferencial apresentada passa a ter a seguinte solução:

( ) ( ) ( ) ( )IV 2 IV 40 ou 0⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ =φ ω φ φ β φEI x m x x x em que

24 ⋅ωβ m=

EI

sendo β o parâmetro correspondente aos valores próprios. Aquela equação diferencial, traduz um problema de valores e vectores próprios, cuja solução pela seguinte expressão geral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen cos senh cosh⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅φ β β β β1 2 3 4x = C x +C x C x C x As quatro constantes desconhecidas, C1, C2, C3 e C4, dependem das condições de fronteira. A determinação dos modos de vibração e das respectivas frequências próprias resume-se à determinação das referidas constantes para cada tipo de condições de fronteira. De seguida apresenta-se a resolução do problema para uma consola, cujas condições de fronteira são encastrada numa extremidade e livre na outra.

Exemplo 4.1 Determinação de frequências naturais e modos de vibração para uma consola, com distribuição de massa e rigidez contínuas. Nesta fase, apenas se apresenta o processo analítico, descrito nesta subsecção, relativo à determinação de frequências naturais e modos de vibração, para uma consola, considerando-se que na extremidade encastrada o deslocamento é zero assim como a rotação. Nestas condições consideraram-se as seguintes condições de fronteira:

( )( )( ) ( )

( ) ( )

0 0 extremidade encastrada

0 0

0 0extremidade livre

0 0

⇒

⇒

⎫⎪⎬⎪⎭

⎫⎪⎬⎪⎭

u ,t =

u' ,t =

M L,t = u'' L,t =

V L,t = u''' L,t =

Solução geral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen cos senh cosh⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅φ β β β β1 2 3 4x = C x + C x C x C x

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

2 4 4 2

1 3 3 1

1 2

1 2

0 0 0 0 0

0 0 ' 0 0 0

0 0

sen L senh L cos L cos h L 0

0 0

cos L cos h L sen L senh L 0

⇒ = ⇒ + = ⇒ = −

⇒ = ⇒ ⋅ + = ⇒ = −

⇒ ⋅

⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⇒ ⋅

⇒ ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ =

φ

φ β

φ

β β β β

φ

β β β β

u ,t = C C C C

u' ,t = C C C C

M L,t = EI '' L =

C C

V L,t = EI ''' L =

C C

As duas últimas equações podem ser escritas na forma de uma matriz, para uma mais fácil determinação de C1 e C2:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

2

sen L senh L cos L cos h L 0

cos L cos h L sen L senh L 0

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⋅ =

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

β β β β

β β β β

C

C


Para se obter uma solução não trivial é necessário que o determinante da matriz seja igual a zero, nessas circunstâncias obtém-se a seguinte equação:

( ) ( )1 cos cosh 0+ ⋅ ⋅ ⋅ =β βL L para a qual não existe uma solução imediata para β⋅L, pelo que a equação anterior tem de ser resolvida numericamente, obtendo-se então as seguintes soluções:

1 2 3 41.8751; 4.6941; .8548; 10.996;⋅ ⋅ ⋅ ⋅β β β βL = L = L = 7 L = para as quais o determinante é nulo. Utilizando agora a expressão

24 ⋅ω

βm

=EI

obtêm-se as seguintes frequências naturais

1 2 3 42 2 2 2

3.516 22.03 61.70 120.9; ; ; ;= = = =ω ω ω ω

EI EI EI EIL m L m L m L m

Para cada βn⋅L, corresponde um modo de vibração natural, cuja configuração é definida pela seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )cosh coscosh cos sen h sen

sen h sen⋅⎡ ⎤⋅ − ⋅

⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥⋅ − ⋅⎣ ⎦

β βφ β β β β

β β1n n

n n n n nn n

L Lx = C x x x x

L L

x

φ

L m, EIφ (x)

1

φ (x)2

φ (x)3

φ (x)4

1 2

3.516=ω

EI

L m

2 2

22.03=ω

EI

L m

3 2

61.70=ω

EI

L m

4 2

120.9=ω

EI

L m

Figura 4.3 Frequências naturais e modos de vibração para a consola. É importante referir que os resultados apresentados na Figura 4.3, serão mais à frente utilizados na análise de um caso concreto.

4.3 Modelos numéricos para análise de estruturas contínuas

A análise clássica do comportamento dinâmico de sistemas estruturais, baseada em modelos contínuos com massa e rigidez distribuídas, contempla um infinito número de graus de liberdade, todavia, não é uma opção suficientemente prática, para utilizar na análise de estruturas correntes, uma vez que os modelos analíticos apenas permitem a resolução de problemas elementares. Com o objectivo de proporcionar a análise estrutural de problemas mais complexos, desenvolveram-se vários métodos numéricos, nomeadamente: i) o Método dos Elementos Finitos (M.E.F.); ii) o Método das Diferenças Finitas; iii) o Método dos Elementos de Fronteira e; iv) o Método dos Elementos Discretos.

4.3 Modelos numéricos para análise de estruturas contínuas 95

De entre os vários métodos numéricos referidos, apresenta-se nesta secção, o método dos elementos finitos, o qual para além de ter revolucionado a análise estrutural é também o método mais utilizado. Este método baseia-se no pressuposto de que a continuidade estrutural de um infinito número de graus de liberdade, poder ser idealizada, através da assemblagem de elementos finitos com um número finito de graus de liberdade. Antes de se apresentar os fundamentos do método dos elementos finitos, introduzem-se algumas considerações sobre a análise do comportamento dinâmico de barragens de betão com base em modelos numéricos e as equações fundamentais da mecânica estrutural.

4.3.1 Utilização de modelos numéricos na análise do comportamento dinâmico de barragens de betão

Quando foram construídas as primeiras grandes barragens as verificações de segurança na fase de projecto eram efectuadas com base em modelos numéricos nos quais se adoptavam fortes hipóteses simplificativas [Serafim,L. 1958], como era o caso das adoptadas no método dos arcos independentes ou no método dos arcos e das consolas ou com base em modelos físicos, os quais inicialmente eram muito mais versáteis e menos dispendiosos que os modelos numéricos. Na sequência de trabalhos pioneiros da década de 50, inseridos no âmbito do programa de desenvolvimento da indústria aeroespacial americana, assiste-se na década de 60 a um extraordinário desenvolvimento dos métodos numéricos para análise estrutural em simultâneo com o aparecimento dos primeiros computadores. De entre os maiores desenvolvimentos destacou-se o aparecimento do Método dos Elementos Finitos (M.E.F.) [Zienkiewicz,O. 1967; Pedro,J. 1977] que, com o incremento dos meios computacionais, viria a revolucionar os métodos de cálculo e controlo da segurança de barragens. Desta forma, como já foi referido, os estudos de verificação da segurança na fase de projecto passaram a ser efectuados com base em modelos numéricos e com base em ensaios de modelos físicos quer para cenários correntes quer para cenários de rotura. Gradualmente os modelos numéricos foram-se tornando menos dispendiosos e mais versáteis apresentando actualmente uma grande fiabilidade no estudo de cenários correntes e mesmo no estudo de cenários de rotura. Os actuais modelos numéricos são já considerados uma ferramenta indispensável que, após validação e calibração com base em resultados de ensaios de materiais e/ou de modelos físicos, permite estudar diversas situações e efectuar extrapolações para o protótipo com custos adicionais mínimos, o que não é viável com os modelos físicos (inclusivamente os modelos numéricos facilitam a interpretação e contribuem para a validação dos próprios ensaios à rotura de modelos físicos).

Em 1961 Zienkiewicz apresentou uma conferência na qualidade de prof. da Northwestern University sobre a utilização do método das diferenças finitas no cálculo de barragens; em 1964 Wilkins, num trabalho notável apresenta uma nova formulação de diferenças finitas que permite resolver o problema da discretização das fronteiras e utiliza um método de relaxação dinâmica para solução das equações de equilíbrio; em 1967 é publicado um dos primeiros trabalhos de divulgação sobre o M.E.F [Zienkiewicz,O. 1967] sendo nesse mesmo ano publicada no LNEC a tese do Eng. Oliveira Pedro sobre a aplicação do M.E.F. à análise do comportamento de barragens [Pedro,J. 1967]. Em Setembro de 1971 o LNEC organiza um encontro patrocinado pelo NATO Advanced Study Institute sob o tema “Finite Element Methods in Continuum Mechanics” donde resultaram uma série de cadernos sobre o tema, da responsabilidade, de R.W.Clough, O.C.Zienkiewicz , J.T.Oden, E.R.A. e Oliveira, K.S.Pister, B.F. de Veubeke e P.V.Marçal.

A utilização de modelos numéricos para a análise do comportamento dinâmico de barragens de betão, é essencial quando se pretende avaliar o seu comportamento sísmico. É importante salientar que, a avaliação do comportamento e da segurança de destas obras, sob a acção de sismos, tem preocupado desde sempre a comunidade da engenharia de barragens, devido ao seu elevado risco potencial, e a comprová-lo está a sua inclusão em regulamentos e normas dos países que apresentam elevado risco sísmico. Todavia, o estudo do comportamento dinâmico destas estruturas resulta do complexo problema da interacção barragem-fundação-albufeira, pelo que actualmente uma das principais preocupações centra-se precisamente na avaliação da fiabilidade dos modelos numéricos utilizados para avaliar o seu comportamento dinâmico. Nesse sentido, tem-se recorrido à realização de alguns ensaios de vibrações com o objectivo de obter informação experimental para caracterizar as frequências naturais, os modos de vibração e os amortecimentos modais.


Resta salientar que no âmbito deste trabalho se irá introduzir, mais à frente, o problema da interacção estrutura-fluido, com o objectivo de abordar de uma forma preliminar este tema, utilizando para o efeito o modelo físico de uma parede em consola e um reservatório adjacente.

4.3.2 Equações fundamentais da mecânica estrutural

A determinação do campo de deslocamentos e da distribuição das extensões e das tensões que se desenvolvem nas estruturas sob a acção das diversas solicitações é um dos problemas mais comuns em Engenharia Estrutural. A Mecânica Estrutural estabelece as equações diferenciais a que devem satisfazer os campos de deslocamentos, extensões e tensões que se instalam numa estrutura qualquer quando submetida a solicitações exteriores. Na abordagem da Mecânica, as diversas variáveis envolvidas na análise de uma estrutura, nomeadamente, forças, tensões, deformações e deslocamentos, são correlacionadas em cada ponto e em cada instante, por equações de equilíbrio entre forças e tensões, equações de compatibilidade entre deformações e deslocamentos e por equações constitutivas que correlacionam tensões e deformações, como se esquematiza na Figura 4.4. De salientar que neste trabalho apenas se irá efectuar análises planas, pelo que todas as formulações apresentadas no desenrolar deste trabalho são adaptadas para análises planas. Na modelação do comportamento de uma estrutura, com base na abordagem proposta pela Mecânica Estrutural, utilizam-se actualmente sofisticados métodos numéricos para resolver as equações fundamentais e adoptam-se, na prática, diversos tipos de hipóteses simplificativas, nomeadamente:

i) ao nível das equações de equilíbrio (considerando, conforme a geometria das peças, equilíbrios de peça linear, de placa, de laje, de casca, tridimensional, etc.; considerando, conforme existam, ou não, forças de inércia e amortecimento, equilíbrios dinâmicos ou estáticos); no caso geral tridimensional estas equações assumem a forma

TL X 0σ + = em que σ é o tensor das tensões organizado em vector [ ]T

11 22 12σ = σ σ σ , X é o vector das forças mássicas e L é o usual operador diferencial

1

2

2 1

0x

L 0x

x x

⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂

= ⎢ ⎥∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

ii) ao nível das equações de compatibilidade (considerando a hipótese de

linearidade geométrica ou a hipótese de comportamento geometricamente não-linear, conforme existam, ou não, grandes deslocamentos); no caso geral tridimensional e na hipótese dos pequenos deslocamentos estas equações assumem a forma

L uε = em que u representa o vector com as componentes de deslocamento,

[ ]T1 2u u u= ;


iii) ao nível das equações constitutivas (considerando a hipótese de isotropia, ortotropia ou anisotropia; considerando materiais de comportamento linear ou não linear; considerando a hipótese de rotura com patamar de cedência ou considerando enfraquecimento; considerando viscoelasticidade sem maturação ou com maturação; considerando ou não a existência de dano; considerando as hipóteses da fractura elástica linear ou não linear, etc.) no caso geral tridimensional, na hipótese de comportamento elástico linear, estas equações podem assumir a forma,

Dσ = ε em que D representa a usual matriz de elasticidade.

No caso de estado plano de deformação, as equações da Mecânica Estrutural, constituem um sistema de 15 equações diferenciais a 15 incógnitas que podem ser expressas apenas em termos de deslocamentos, reduzindo-se assim o problema a um sistema de 3 equações a 3 incógnitas (equações de Navier) [Oliveira, A. 1975]. A obtenção de soluções analíticas destas equações diferenciais, respeitando as condições de fronteira, só é possível para problemas elementares; tal facto levou ao desenvolvimento de vários métodos numéricos [Oliveira, A ; Pedro, J. 1986] para a sua solução, nomeadamente, os já referidos: i) Método dos Elementos Finitos (M.E.F.); ii) Método das Diferenças Finitas; iii) Método dos Elementos de Fronteira; ou iv) Método dos Elementos Discretos.

Forçasmássicas Deslocamentos

Tensões Extensões

X

L + X = 0σT

σ ε

u

σ = D ε

ε = L u

Figura 4.4 Variáveis e equações fundamentais da Mecânica Estrutural (equações a verificar em

cada ponto de uma estrutura, e em cada instante).

A opção por um determinado método de análise deve ser efectuada tendo em conta o tipo de modelo que se pretende utilizar, ou seja, tendo em conta as várias hipóteses simplificativas que forem adoptadas (a definição destas hipóteses do modelo depende das particularidades da estrutura em análise, dos objectivos da análise e de eventuais condicionamentos, relativos, por exemplo, à capacidade computacional disponível). Por exemplo, em problemas relativos à estabilidade de taludes rochosos muito diaclasados, em que sejam previsíveis consideráveis deslocamentos dos vários blocos, o método dos elementos discretos será normalmente mais eficiente do que o Método dos Elementos Finitos (com elementos de junta e grandes deformações). Para efectuar este tipo de opções relativas ao método de análise mais adequado para um dado modelo é conveniente ter uma ideia das potencialidades e das limitações dos vários métodos de análise actualmente disponíveis. Atendendo a que o Método dos Elementos Finitos é o mais utilizado na análise do comportamento de barragens referem-se sumariamente as principais aproximações introduzidas e alguns dos aspectos principais da sua formulação.


4.3.3 Método dos elementos finitos

O Método dos Elementos Finitos é, actualmente, o mais divulgado dos métodos utilizados na resolução de problemas de Mecânica Estrutural. Permite analisar praticamente qualquer tipo de problema estrutural, proporcionando o enquadramento numérico para a simulação de uma grande multiplicidade de regimes de comportamento. Trata-se de um método em que a estrutura a analisar é dividida por linhas ou superfícies imaginárias, num número discreto de elementos, denominados elementos finitos; admite-se que estes elementos se encontram ligados num número discreto de pontos nodais, situados nas respectivas fronteiras (Figura 4.6).

As formulações clássicas do Método dos Elementos Finitos podem ser de três tipos: formulações em deslocamentos (elementos de compatibilidade - equações de Navier), em tensões (elementos de equilíbrio - equações de Beltrami-Michell) ou mistas (elementos híbridos/mistos). Adopta-se uma formulação clássica em deslocamentos, dada a sua robustez e eficiência computacional nas aplicações a grandes estruturas como é o caso das barragens de betão [Pedro, J. 1977; Pina,C.1988; Oliveira, S. 1991]. Nestas formulações em deslocamentos as principais incógnitas a determinar são os deslocamentos nos pontos nodais. Para o estado plano de deformação, que se apresenta nesta secção, a cada ponto correspondem dois graus de liberdade, coincidentes com as duas componentes de deslocamento no plano.

A aproximação fundamental do M.E.F. consiste em admitir que o vector de deslocamentos um (m=1,2) num ponto qualquer xm (m=1,2) de um elemento finito, pode ser obtido a partir dos deslocamentos dos pontos nodais ie

mu , através da seguinte equação que traduz um somatório em i (convenção da soma)

iem i mu N u= ⋅

sendo Ni funções previamente definidas da posição do ponto no elemento e ie

mu , o vector dos deslocamentos dos pontos nodais. As funções Ni (i=1 a 8, no caso do elemento de 8 pontos nodais) são funções das coordenadas dos pontos, em geral coordenadas locais yn que variam entre -1 e 1. Tais funções ( )i i nN N y= , designadas por funções de forma ou funções de interpolação, são geralmente polinómios escolhidos de maneira a que seja possível obter aproximadamente, através da equação anterior, os deslocamentos em cada ponto do elemento a partir do valor das coordenadas locais yn do ponto. A função de interpolação associada ao nó i assume valor unitário nesse nó i e valor nulo nos restantes pontos nodais. Para o caso do elemento tipo cubo de 8 pontos nodais, que se adopta neste trabalho (Figura 4.5 e Figura 4.6) utilizam-se as usuais funções de interpolação polinomiais [Zienkiewicz, O. 1977; Hughes, T. 1987].

Neste trabalho utilizaram-se elemen-tos isoparamétricos do 1º grau com 4 nós por elemento e elementos isoparamétricos do 2º grau com 8 nós por elemento. No entanto, toda a formulação apresentada refere-se ao 2º tipo de elementos.

Admitindo que a geometria dos elementos pode ser definida, em função das coordenadas dos pontos nodais, através das mesmas funções de interpolação usadas para os deslocamentos (elementos isoparamétricos) obtém-se a seguinte relação entre as coordenadas gerais e locais

ieim m n mn n

n

Ndx x dy J dyy

⎛ ⎞∂= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(m,n=1,2) ; (i=1,2,...,8) em que Jmn é denominada matriz Jacobiana (as coordenadas locais são referidas, no caso geral de elementos distorcidos, a um sistema de eixos local não ortonormado).


x2

x1

y2

y1

Figura 4.5 Elemento finito bidimensional, com 8 pontos nodais. Eixos gerais e locais.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

31 32 33 34 35

36 37 38 39 40

41 42 43 44 45

46 47 48 49 50

51 52 53 54 55

56 57 58 59 60

61 62 63 64 65

66 67 68 69 70

71 72 73 74 75

76 77 78 79 80

81 82 83 84 85

86 87 88 89 90

91 92 93 94 95

96 97 98 99 100

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

29 30 31 32

33 34 35 36

37 38 39 40

41 42 43 44

45 46 47 48

49 50 51 52

53 54 55 56

57 58 59 60

61 62 63 64

65 66 67 68

69 70 71 72

73 74 75 76

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

151617181920212223

24 25 26 27 28

29303132333435363738 39 40 41 4243444546474849505152 53 54 55 5657585960616263646566 67 68 69 7071727374757677787980 81 82 83 8485868788899091929394 95 96 97 9899100101102103104105106107108 109 110 111 112113114115116117118119120121122 123 124 125 126127128129130131132133134135136 137 138 139 140141 142 143 144 145 146 147 148 149

150 151 152 153 154

155 156 157 158 159 160 161 162 163

164 165 166 167 168

169 170 171 172 173 174 175 176 177

178 179 180 181 182

183 184 185 186 187 188 189 190 191

192 193 194 195 196

197 198 199 200 201 202 203 204 205

206 207 208 209 210

211 212 213 214 215 216 217 218 219

220 221 222 223 224

225 226 227 228 229 230 231 232 233

234 235 236 237 238

239 240 241 242 243 244 245 246 247

248 249 250 251 252

253 254 255 256 257 258 259 260 261

262 263 264 265 266

267 268 269 270 271 272 273 274 275

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

29 30 31 32

33 34 35 36

37 38 39 40

41 42 43 44

45 46 47 48

49 50 51 52

53 54 55 56

57 58 59 60

61 62 63 64

65 66 67 68

69 70 71 72

73 74 75 76

(a) (b)

Figura 4.6 Exemplo de discretizações em elementos finitos da secção transversal de uma barragem de gravidade, com elementos isoparamétricos: (a) do 1º grau com 4 nós e; (b) do 2ª grau com 8 nós.

Introduzindo a aproximação fundamental do M.E.F., traduzida por (14), nas relações deformação-deslocamento, dadas matricialmente, na hipótese dos pequenos deslocamentos, por

111

122

2212

2 1

0x

u0 L u

ux

x x

⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎢ ⎥ε⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤∂⎢ ⎥ε = ε = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥γ⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

obtém-se


e eL N u B uε = =

em que B é uma matriz cujos termos correspondem às derivadas das funções de interpolação Ni em ordem às coordenadas gerais xm; esta equação mostra que as deformações em qualquer ponto dum elemento finito podem ser obtidas a partir dos deslocamentos nodais ue e das derivadas das funções de interpolação em ordem às coordenadas gerais B . Na hipótese de comportamento elástico linear, a introdução da aproximação do M.E.F. na relação constitutiva permite escrever

e 0 0D B u Dσ = − ε + σ

em que D representa a matriz de elasticidade, 0ε as deformações impostas (variações de temperatura, por exemplo) e 0σ as tensões iniciais.

O equilíbrio global dum elemento finito pode ser expresso pelo princípio dos trabalhos virtuais (P.T.V.), segundo o qual, é condição necessária e suficiente para que um dado corpo (ou porção dum dado corpo) esteja em equilíbrio, que a soma dos trabalhos virtuais de todas as forças actuantes sobre o corpo (ou sobre uma dada porção do corpo) seja nula, para quaisquer deslocamentos virtuais, ou seja “o trabalho das forças interiores deve ser igual ao trabalho das forças exteriores” (Wint = Wext). Representando por X as forças mássicas e por S as forças de superfície num elemento finito de área A delimitado por um conjunto de lados de comprimento total L, sujeito a um campo de deformações δε (compatível com o campo de deslocamentos virtuais uδ ) e a um campo de tensões σ (campos definidos em todos os pontos do interior e da fronteira do elemento finito) a expressão do P.T.V. pode ser escrita na seguinte forma

int ex t

A A L

W W

dA u X dA u S dLδ ε σ = δ + δ∫ ∫ ∫

É de referir que esta equação do P.T.V. pode ser obtida transformando a equação diferencial de equilíbrio (equilíbrio entre forças mássicas e tensões, a verificar em todos os pontos do interior duma estrutura) com base numa técnica de resíduos pesados, e integrando por partes com recurso ao Teorema da Divergência. Introduzindo na anterior equação a aproximação fundamental do M.E.F. (14) e os resultados traduzidos pelas equações (17) e (18), obtém-se

e e e e

A A L

B u D B u dA N u X dA N u S dLδ = δ + δ∫ ∫ ∫

o que é equivalente a

e e eK u F= em que eu corresponde aos deslocamentos nodais do elemento, sendo a matriz de rigidez elementar eK dada por

e T

A

K B D B dA= ∫

e as forças nodais equivalentes eF dadas por

No caso de equilíbrios dinâmicos há que considerar forças de inércia e de amortecimento viscoso, definidas por −ρu e −ηu (sendo ρ e η a massa e o amortecimento específicos), obtendo-se as matrizes de massa e de amortecimento elementares,

e T

V

M N N dV= ρ∫ e e T

V

C N N dV= η∫

4.4 Interacção estrutura-fluido. Parede em consola 101

e T T T 0 T 0

A L L L

Forças nodais Forças nodais Forças nodais Forçaequivalentes a equivalentes a equivalentes aforças mássicas forças de superfície deformações impostas

F N X dA N S dL B D dL B dL= + + ε − σ∫ ∫ ∫ ∫s nodais

equivalentes atensões iniciais

(sendo e e e e ee eM u C u K u F+ + = ).

A matriz de rigidez de cada elemento eK é uma matriz quadrada, simétrica e com um número de linhas e colunas igual ao número total de graus de liberdade (GL) do elemento (16 GL, no caso do elemento plano de 8 pontos nodais considerado). A determinação dos integrais envolvidos na equação (21) que traduz o equilíbrio de um elemento finito para forças e deslocamentos nodais, é, em geral, efectuada numericamente em coordenadas locais, usando o método de Gauss. Este método permite calcular o valor do integral tomando valores do integrando em apenas alguns pontos do domínio, denominados pontos de Gauss, aos quais se associam os pesos de Gauss; o método de Gauss permite, portanto, transformar uma expressão integral numa expressão discreta correspondente a um somatório estendido a um reduzido número de pontos do domínio. Por exemplo, a matriz de rigidez elementar é dada, em coordenadas locais, pela seguinte expressão integral

1 1e T

1 21 1

K B D B J dy dy− −

= ∫ ∫

em que J é o determinante da matriz Jacobiana definida em (15). A expressão anterior pode ser calculada numericamente pelo método de Gauss através do seguinte somatório triplo, onde Hi representa o peso de Gauss associado às coordenadas (dos pontos de Gauss) medidas no eixo local i,

NPG NPGe T

i ji 1 j 1

K H H B D B J= =

= ∑ ∑

Para o caso tridimensional do elemento isoparamétrico do 2ºgrau, adoptado no módulo computacional que se propõe neste trabalho, devem utilizar-se 3 pontos de Gauss por direcção (NPG = 3), o que corresponde à utilização de 9 pontos de Gauss para a integração numérica da matriz de rigidez elementar.

Utilizando os resultados anteriores, estabelecidos para cada um dos elementos em que se supôs a estrutura dividida, podem formar-se as equações de equilíbrio de toda a estrutura, para forças e deslocamentos nos pontos nodais, obtendo-se assim uma matriz de rigidez global K e um vector de forças F para toda a estrutura. Para tal, basta que se imponham as condições de compatibilidade e de equilíbrio nos pontos nodais, ou seja, que se admita a identidade entre as componentes dos deslocamentos nos pontos nodais comuns aos diversos elementos, somando aí as correspondentes componentes das matrizes de rigidez elementares e as correspondentes componentes dos vectores de forças nodais equivalentes de cada elemento. No caso de problemas em que se adopte a hipótese de materiais com comportamento não linear, as equações da análise estrutural passam a constituir um sistema de equações algébricas não lineares em que a matriz de rigidez global da estrutura depende dos deslocamentos u (incógnitas), ( )K K u= . Existem várias técnicas de resolução deste tipo de sistemas de equações, sendo a conhecida técnica das tensões iniciais (“stress-transfer”) uma das mais utilizadas no LNEC.

4.4 Interacção estrutura-fluido. Parede em consola

A análise do comportamento dinâmico de barragens de betão depende da quantidade de água armazenada na albufeira. A influência recíproca entre a água contida no reservatório e o paramento de montante da barragem é um assunto complexo que tem


merecido a atenção de diversos autores [Delgado, R. 1984]. Nesta fase, o estudo dinâmico do sistema barragem-albufeira, será abordado, de uma forma simples, recorrendo ao problema da interacção dinâmica estrutura-fluido. Para este efeito procedeu-se à análise e interpretação de resultados analíticos, numéricos e experimentais obtidos com base num modelo físico de betão de uma parede vertical de secção constante, em consola, submetida à acção da água contida num reservatório adjacente. Inicialmente procede-se à análise individualizada do comportamento dinâmico da consola (frequências próprias e modos de vibração), apresentando e comparando entre si um conjunto de resultados obtidos a partir da aplicação da formulação dos osciladores contínuos e de rotinas desenvolvidas em MatLab baseadas no método dos elementos finitos. Posteriormente, são utilizadas as rotinas desenvolvidas em MatLab, para efectuar cálculos dinâmicos no domínio do tempo, aplicando a fórmula recursiva do integral de Duhamel. A partir destes cálculos geram-se um conjunto séries temporais de aceleração, às quais se aplicam os métodos de identificação modal previamente apresentados no capítulo 3, com o objectivo de explicar alguns detalhes associados ao problema da observação do comportamento dinâmico de estruturas contínuas. Finalmente, tendo por base o modelo físico da parede de betão em consola e da estrutura do reservatório (que no seu conjunto têm o formato de um tanque), apresentam-se um conjunto de resultados numéricos obtidos com as rotinas desenvolvidas em MatLab e um conjunto de resultados experimentais provenientes de ensaios de vibrações, obtidos em laboratório, para várias cotas de água. De referir que, os resultados numéricos que se apresentam contabilizam o efeito hidrodinâmico da água de duas formas distintas, a referir: i) massas de água associadas e; ii) elementos finitos com propriedades de fluido.

4.4.1 Solução obtida com base na formulação dos osciladores contínuos

Tendo em consideração a formulação apresentada na secção 4.2, para osciladores contínuos, apresenta-se agora o processo relativo à determinação dos valores das frequências próprias e das configurações modais para o caso concreto do exemplo de uma parede de betão em consola. Para além de resultados da teoria da vibração transversal aplicada a osciladores contínuos, apresentada secção 4.2, apresenta-se também resultados da teoria da vibração longitudinal aplicada a osciladores contínuos, uma vez que na gama de frequências analisadas surge um modo de vibração longitudinal, pelo que no exemplo seguinte se introduz abreviadamente a formulação necessária para obter esse modo, com base em [Guerreiro, 1999]. A introdução desta formulação será importante, como se verá adiante, no processo de comparação entre os resultados apresentados nesta subsecção e os resultados obtidos através do método dos elementos finitos.

Exemplo 4.2 Análise da parede em consola, com distribuição de rigidez e massa contínuas. Introduz-se nesta fase o modelo físico do tanque, construído em betão armado, do qual importa caracterizar a parede em consola, ver Figura 4.7. A referida parede em consola tem uma espessura de 8.5cm, uma largura de 50cm e um desenvolvimento de 100cm (1m). As outras dimensões estão igualmente caracterizadas na Figura 4.7.


0.20 1.20

0.90

0.50

0.085

1.00

0.25

(a) (b) (c) Figura 4.7 Modelo físico do tanque de betão armado: (a) perspectiva tridimensional do modelo; (b) vista de topo; (c) alçado lateral.

Nesta fase apenas se analisa o comportamento dinâmico, da consola de betão, como um oscilador contínuo (com distribuição de massa e rigidez contínuas). Admite-se que a consola se encontra perfeitamente encastrada na base, pelo que para determinar as frequências naturais e os modos de vibração utilizam-se as expressões apresentadas no exemplo 4.1, as quais se recordam:

1 2 3 42 2 2 2

3.516 22.03 61.70 120.9; ; ; ;= = = =ω ω ω ω

EI EI EI EIL m L m L m L m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )cosh coscosh cos sen h sen

sen h sen⋅⎡ ⎤⋅ − ⋅

⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥⋅ − ⋅⎣ ⎦

β βφ β β β β

β β1n n

n n n n nn n

L Lx = C x x x x

L L

Relativamente ao 4º modo de vibração, trata-se de um modo de vibração, é obtido através da teoria da vibração axial (longitudinal) para osciladores contínuos, considera-se como condições de fronteira ( ) ( )u 0 0; N 0 0= = e determina-se a frequência própria e a configuração modal com base nas seguintes expressões:

n

nn 1,2,3,...

⋅ ⋅= =

⋅

πω

EAm

2 L

( ) ( )sen n 1,2,3,...

⋅ ⋅⋅ ⋅ =⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

πφn

2 n - 1x = A x

2L

De salientar que nas expressões anteriores se considera n = 1, uma vez que o 4º modo global é o 1º modo de vibração longitudinal. O valor referente à massa da consola, foi determinado, considerando a massa específico do betão armado, 32.55 ton / m=ρ . Enquanto que o valor do módulo de elasticidade considerado, E = 32.5 GPa, foi obtido através da realização de ensaios de ultrasons a provetes de betão, retirados durante a betonagem do modelo, a partir destes ensaios obtiveram-se valores de velocidade das ondas de pressão no betão de v ≈ 3800m/s. Aplicando a seguinte expressão da elastodinâmica

( )( )( )

2 1 1 2E v

1

+ −=

−

ν νρ

ν

na qual se considerou 32.45 ton / m=ρ (massa específica só do betão) e um coeficiente de Poisson, 0.2=ν .


x

φ

L m, EIφ (x)

1

φ (x)2

φ (x)3

φ (x)4

φ (x)5

m, EA

m = 108 kg/m; E = 32.5 GPa;

I = 2.559×10-5 m4; A = 0.0425 m2.

L = 1m. 1f 49.03 Hz= 2f 307.23 Hz= 3f 860.48 Hz= 4f 894.06 Hz= 5f 1686.09 Hz=

Figura 4.8 Frequências naturais e modos de vibração para a parede de betão em consola. Os valores apresentados na Figura 4.8, serão posteriormente utilizados para comparar com resultados de modelos de elementos finitos.

4.4.2 Modelos planos de elementos finitos

Utilizando a formulação de elementos finitos, apresentada na subsecção 4.3.3, desenvolveram-se duas rotinas em MatLab, que permitem efectuar cálculos numéricos para avaliar o comportamento estático e dinâmico de modelos estruturais planos, admitindo a hipótese de estado plano de deformação. A primeira rotina, utiliza modelos estruturais com malhas de elementos finitos isoparamétricos do 1º grau com 4 nós, enquanto que a segunda utiliza malhas de elementos finitos isoparamétricos do 2º grau com 8 nós. Em termos gerais as referidas rotinas de cálculo podem-se subdividir em duas partes. A primeira possibilita a simulação do comportamento estático, dos modelos estruturais, tendo em conta o peso próprio e/ou cargas aplicadas nos nós dos elementos. Enquanto que a segunda, está relacionada com a simulação do comportamento dinâmico, que, para além de permitir a determinação de frequências próprias e modos de vibração, permite ainda a possibilidade de efectuar cálculos dinâmicos no domínio do tempo. Esta potencialidade assenta na utilização de uma formulação modal no domínio do tempo, que se baseia numa técnica de integração analítica a qual é exacta para histórias de cargas definidas por troços lineares. A utilização desta ferramenta de cálculo proporciona ainda a possibilidade de escolher alguns graus de liberdade aos quais é possível aplicar histórias de carregamentos (ex. ruído ambiente ou cargas impulsivas), permitindo finalmente a obtenção de histórias de deslocamentos para todos os graus de liberdade dos modelos. Tendo em conta que, a partir das histórias de deslocamentos é possível obter outras grandezas cinemáticas, como sejam o caso de histórias de velocidades e de acelerações. Neste trabalho as histórias de acelerações são utilizadas para introduzir e debater a aplicação das técnicas de identificação modal, descritas no capítulo 3, ao caso específico de estruturas contínuas. Este tipo de ferramenta faculta a possibilidade de se poder efectuar comparações entre resultados numéricos e experimentais de uma forma mais abrangente, como se verá mais adiante.

As malhas de elementos finitos isoparamétricos do 1º grau com elementos de 4 nós foram geradas utilizando o Excel, enquanto que as malhas de elementos finitos isoparamétricos do 2º grau foram geradas utilizando uma rotina em MatLab que converte malhas de elementos de 4 nós em malhas de elementos de 8 nós. A técnica de integração analítica mencionada, refere-se à implemen-tação da fórmula recursiva do integral de Duhamel (método de Iwan), a qual é fundamental para se obter um aceitável desempenho computacional.

Ainda relativamente aos cálculos dinâmicos, estas rotinas permitem a consideração dos efeitos hidrodinâmicos, permitindo a sua simulação mediante a utilização de dois tipos de formulações: i) massas de água associadas, segundo a teoria de Westerggard


e; ii) uma formulação baseada em elementos finitos com propriedades de fluido. Qualquer uma destas formulações consiste na introdução de um acréscimo de massa nos pontos nodais em contacto com a água. Para já, apresenta-se no exemplo 4.3, o processo referente à determinação das frequências naturais e correspondentes configurações modais dos primeiros 5 modos de vibração, para a parede em consola, obtidos com base na utilização das duas rotinas de cálculo previamente referidas. Estes resultados são comparados com os obtidos pela aplicação da formulação dos osciladores contínuos, previamente apresentados.

As propriedades de fluido são introduzidas com base numa formulação que se baseia no módulo de compressibilidade e módulo de distorção. Estas duas formulações serão oportunamente apresentadas.

Exemplo 4.3 Determinação de frequências próprias e modos de vibração, utilizando dois modelos planos de elementos finitos. Neste exemplo apresentam-se resultados obtidos para a parede em consola, objecto de estudo nesta secção, resultantes da utilização de dois modelos planos de elementos finitos: 1º modelo: elementos finitos isoparamétricos do 1º grau com 4 nós Neste modelo foi necessário considerar um total de 120 elementos, resultantes de 3 camadas de elementos em espessura, até obter a convergência da solução. É de referir que a consideração deste número de elementos se deve ao facto de este tipo de elementos apresentar um bom comportamento a esforços axiais e um deficiente comportamento a esforços de flexão, só obviado pela consideração de uma malha com muitos elementos.

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f1 = 50.8745 Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f2 = 309.7078 Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f3 = 831.6742 Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f4 = 912.1048 Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f5 = 1544.8921 Hz

Figura 4.9 Frequências naturais e modos de vibração para a parede de betão em consola, utilizando uma malha de elementos finitos

isoparamétricos do 2º grau com 4 nós por elemento. 2º modelo: elementos finitos isoparamétricos do 2º grau com 8 nós Para este 2º modelo apenas foi necessário considerar 10 elementos, apenas 1 em espessura, uma vez que este tipo de elementos é mais apropriado para cálculos que envolvem esforços de flexão, como é o caso de praticamente todos os modos de vibração determinados, com excepção do 4º modo que apresenta características relacionadas com esforços axiais.


-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f1 = 49.996 Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f2 = 304.9335 Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f3 = 820.7728 Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f4 = 912.2302 Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f5 = 1529.4394 Hz

Figura 4.10 Frequências naturais e modos de vibração para a parede de betão em consola, utilizando uma malha de elementos finitos

isoparamétricos do 2º grau com 8 nós por elemento. Na Tabela 4.1, comparam-se os resultados apresentados no exemplo 4.2, obtidos a partir da teoria dos osciladores contínuos, com os apresentados neste exemplo, obtidos a partir dos dois modelos planos de elementos finitos.

Tabela 4.1 Comparação de resultados

Modo Teoria dos

osciladores contínuos f [Hz]

Elementos finitos isoparamétricos de 4 nós

f [Hz]

Variação %

Elementos finitos isoparamétricos de 8 nós

f [Hz]

Variação %

1 49.03 50.87 + 3.62 50.00 + 1.94 2 307.23 309.71 + 0.80 304.93 - 0.75 3 860.48 831.67 - 3.35 820.77 - 4.61 4 894.06 912.10 + 1.98 912.23 + 1.99 5 1686.09 1544.89 - 8.37 1529.44 - 9.29

Analisando os resultados da tabela anterior, verifica-se que utilizando elementos finitos isoparamétricos do 2º grau, com 4 nós por elemento, é necessário recorrer um grande número de elementos finitos, para se obterem resultados da ordem de grandeza dos obtidos com a teoria dos osciladores contínuos, enquanto que quando se utiliza finitos isoparamétricos do 2º grau, com 8 nós por elemento, são necessários relativamente poucos elementos para se obterem resultados próximos dos obtidos com a formulação dos osciladores contínuos. Tendo em atenção que apenas o modo 4 é um modo de deformação axial (ou longitudinal), verifica-se que ambos os modelos de elementos finitos apresentam um comportamento idêntico, quando avaliam esse modo, enquanto que quando se analisam os modos de flexão (1, 2, 3 e 5), verificam-se variações diferentes.

Tendo em conta os resultados apresentados no exemplo anterior, facilmente se contacta que o modelo de elementos finitos isoparamétricos do 2º grau com 8 nós, é mais promissor, uma vez que permite a obtenção de bons resultados sem recorrer a um grande número de elementos finitos. Pelo que, daqui em diante passa-se somente a utilizar este modelo de elementos finitos. Como já anteriormente foi referido, para além da determinação de frequências naturais e modos de vibração, as rotinas desenvolvidas em MatLab, permitem a possibilidade de efectuar cálculos estáticos e cálculos dinâmicos no domínio do


tempo. Relativamente à ferramenta relacionada com os cálculos estáticos, foi desenvolvida com o objectivo de possibilitar mais uma forma de verificar rapidamente a fiabilidade dos modelos, nomeadamente permitindo a determinação de campos de deslocamentos (deformadas), aplicando a formulação de estado plano de deformação. No que diz respeito à ferramenta que permite efectuar cálculos dinâmicos no domínio do tempo, foi desenvolvida com o objectivo de obter histórias de acelerações, nos vários graus de liberdade dos modelos estruturais, com o objectivo de demonstrar a aplicabilidade das técnicas de identificação modal estocásticas a estruturas contínuas. Esta possibilidade permite avaliar as vantagens e os cuidados a ter neste tipo de estruturas, que aliás constituem a generalidade das estruturas existentes. No capítulo 3 verificou-se que a escolha dos pontos a instrumentar era praticamente imediata, uma vez que para a análise plana do edifício de três pisos segundo a direcção mais flexível, as opções recaíram sobre os locais onde praticamente estava concentrada toda a massa da estrutura (ao nível dos pisos), designando-se aqueles locais como os graus de liberdade do modelo estrutural idealizado. Todavia aquele era um modelo de natureza discreta e agora, no caso da parede em consola, está-se perante um modelo contínuo que idealmente tem infinitos graus de liberdade. No entanto, já se verificou através do exemplo 4.3 que é possível avaliar as frequências naturais e os modos de vibração, discretizando o modelo estrutural em elementos finitos com um conjunto mais restrito de graus de liberdade (10 elementos com um total de 100 graus de liberdade). Todavia a consideração de muitos graus de liberdade, para caracterizar experimentalmente o comportamento dinâmico de uma estrutura, é por vezes excessiva, podendo-se em certas circunstâncias medir a resposta da estrutura num conjunto restrito de pontos, que se considere adequado para caracterizar a forma dos modos de vibração que se pretendam identificar experimentalmente. A selecção de um conjunto restrito de graus de liberdade, requer uma pragmática análise das configurações modais, de modo a que a escolha privilegie os graus de liberdade essenciais para definir, essencialmente, a forma dos primeiros modos de vibração. Na figura seguinte apresenta-se a opção que foi considerada para demonstrar a aplicabilidade das técnicas de identificação modal estocástica no domínio da frequência, para o caso da parede em consola.

1.00

u (t)1

u (t)2

u (t)3

u (t)4

u (t)5

Figura 4.11 Esquema representativo dos graus de liberdade de interesse para a caracterização

experimental da parede em consola.

A consideração de muitos graus de liberdade implica um grande esforço computacional.

Registe-se o facto, de neste caso ser possível caracterizar adequadamente o comportamento dinâmico da consola recorrendo “só” a 5 registos de acelerações medidos em outros tantos pontos do modelo estrutural. No exemplo 4.4 descreve-se o processo utilizado para gerar os registos de acelerações, mediante a utilização dos modelos planos de elementos finitos isoparamétricos do 2º grau com 8 nós, para o caso em análise da parede de betão em


consola.

Exemplo 4.4 Utilização de modelos de elementos finitos para efectuar cálculos dinâmicos no domínio tempo, para gerar registos de acelerações. Utilizando o modelo plano de elementos finitos isoparamétricos do 2º grau com 8 nós, da parede em consola (apresentado no exemplo 4.3), efectuaram-se cálculos dinâmicos no domínio do tempo, recorrendo a uma formulação modal no domínio do tempo, que se baseia numa técnica de integração analítica a qual é exacta para histórias de cargas definidas por troços lineares. Ao modelo, aplicou-se uma acção do tipo ruído branco em todos os graus de liberdade e obtiveram-se histórias de deslocamentos, também, para todos os graus de liberdade. No entanto, apenas se guardaram 5 histórias de deslocamentos com 300 s cada, utilizando uma frequência de amostragem de 2000 Hz (∆t = 0.0005 s), para os locais referenciados na Figura 4.11, das quais se apresentam amostras de 1s na figura seguinte. De notar que o efeito do amortecimento foi simulado utilizando amortecimento de Rayleigh

C M K= α ⋅ + β ⋅

em que a matriz C é proporcional às matrizes de massa e de rigidez (M e K). α = 1 β = 0.00001 Os registos de aceleração foram obtidos derivando duas vezes os registos de deslocamentos obtidos, em ordem ao tempo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-2

0

2

x 10-4

u 1 (m/s

2 )

t(s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-2

0

2

x 10-4

u 2 (m/s

2 )

t(s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-2

0

2

x 10-4

u 3 (m/s

2 )

t(s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-2

0

2

x 10-4

u 4 (m/s

2 )

t(s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-2

0

2

x 10-4

u 5 (m/s

2 )

t(s) Figura 4.12 Amostras dos registos de aceleração gerados numericamente, para a parede em consola.

4.4.3 Identificação modal estocástica no domínio da frequência de estruturas contínuas

Nesta subsecção aplicam-se os métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência (descritos no capítulo 3), aos registos de aceleração gerados


com a rotina de elementos finitos isoparamétricos do 2º grau com 8 nós, apresentados no exemplo 4.4. Pretende-se com esta aplicação realçar algumas particularidades da utilização daqueles métodos a resultados experimentais obtidos em estruturas contínuas, como é o caso da parede em consola, que será objecto de estudo. No exemplo 4.5 apresenta-se a avaliação das funções de densidade espectral de potência (DEP), enquanto que nos exemplos 4.6, 4.7 e 4.8, se apresentam respectivamente a aplicação dos métodos BFD, FDD e EFDD, utilizando as rotinas desenvolvidas em MatLab e apresentadas no capítulo anterior. Nesta aplicação não se apresentam resultados obtidos pela aplicação prévia das funções de decremento aleatório (designadamente RD-BFD, RD-FDD e RD-EFDD), uma vez que se está a utilizar resultados gerados numericamente, sendo que nestas circunstâncias não se justifica a aplicação daquelas metodologias.

Exemplo 4.5 Avaliação das funções de densidade espectral de potência (DEP). A partir dos registos de aceleração gerados, avaliaram-se as estimativas das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração. Sabendo que foram obtidas histórias de aceleração com uma frequência de amostragem de 2000 Hz e que estas têm comprimento total de 300 segundos (5 minutos). Para a avaliação das funções de densidade espectral de potência em aceleração, optou-se por considerar amostras com 2000 pontos, isto é com um comprimento temporal de 1 segundo, o que confere um resolução em frequência de 1 Hz. Utilizou-se as amostras sobrepostas a 2/3, o que levou a considerar um total de 897 amostras independentes. Nas Figura 4.13 e Figura 4.14, apresenta-se respectivamente a matriz das amplitudes e das fases das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 500 1000

10-10

Gy[1,1]

0 500 1000

10-10

Gy[1,2]

0 500 1000

10-10

Gy[1,3]

0 500 1000

10-10

Gy[1,4]

0 500 1000

10-10

Gy[1,5]

0 500 1000

10-10

Gy[2,1]

0 500 1000

10-10

Gy[2,2]

0 500 1000

10-10

Gy[2,3]

0 500 1000

10-10

Gy[2,4]

0 500 1000

10-10

Gy[2,5]

0 500 1000

10-10

Gy[3,1]

0 500 1000

10-10

Gy[3,2]

0 500 1000

10-10

Gy[3,3]

0 500 1000

10-10

Gy[3,4]

0 500 1000

10-10

Gy[3,5]

0 500 1000

10-10

Gy[4,1]

0 500 1000

10-10

Gy[4,2]

0 500 1000

10-10

Gy[4,3]

0 500 1000

10-10

Gy[4,4]

0 500 1000

10-10

Gy[4,5]

0 500 1000

10-10

Gy[5,1]

0 500 1000

10-10

Gy[5,2]

0 500 1000

10-10

Gy[5,3]

0 500 1000

10-10

Gy[5,4]

0 500 1000

10-10

Gy[5,5]

f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz]

Figura 4.13 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos.


Fase

[º]

Fase

[º]

Fase

[º]

Fase

[º]

Fase

[º]

0 500 10000

100

200Gy[1,1]

0 500 10000

100

200Gy[1,2]

0 500 10000

100

200Gy[1,3]

0 500 10000

100

200Gy[1,4]

0 500 10000

100

200Gy[1,5]

0 500 10000

100

200Gy[2,1]

0 500 10000

100

200Gy[2,2]

0 500 10000

100

200Gy[2,3]

0 500 10000

100

200Gy[2,4]

0 500 10000

100

200Gy[2,5]

0 500 10000

100

200Gy[3,1]

0 500 10000

100

200Gy[3,2]

0 500 10000

100

200Gy[3,3]

0 500 10000

100

200Gy[3,4]

0 500 10000

100

200Gy[3,5]

0 500 10000

100

200Gy[4,1]

0 500 10000

100

200Gy[4,2]

0 500 10000

100

200Gy[4,3]

0 500 10000

100

200Gy[4,4]

0 500 10000

100

200Gy[4,5]

0 500 10000

100

200Gy[5,1]

0 500 10000

100

200Gy[5,2]

0 500 10000

100

200Gy[5,3]

0 500 10000

100

200Gy[5,4]

0 500 10000

100

200Gy[5,5]

f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz]

Figura 4.14 Estimativa das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração do edifício de 3 pisos.

Exemplo 4.6 Aplicação do método básico no domínio da frequência (BFD). A aplicação deste método baseia-se na determinação de um espectro normalizado médio (ver Figura 4.16), que se obtém a partir dos auto-espectros normalizados, os quais de apresentam na Figura 4.15 e resultam da normalização dos elementos da diagonal principal da Figura 4.13. Porém, como as histórias de aceleração são gerados em simultâneo (ou caso os registos de um ensaio sejam obtidos numa única fase de ensaio), pode-se utilizar simplesmente o espectro médio (ver Figura 4.17), que resulta da média dos elementos da diagonal principal da Figura 4.13, sem efectuar qualquer normalização.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 500 1000

10-5

100 NPSD[1,1]

0 500 1000

10-5

100 NPSD[2,2]

0 500 1000

10-5

100 NPSD[3,3]

0 500 1000

10-5

100 NPSD[4,4]

0 500 1000

10-5

100 NPSD[5,5]

f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 4.15 Auto-espectros normalizados.

Na Figura 4.16, indicam-se no ANPSD, os valores das frequências identificadas nos três picos de ressonância esperados. De notar que, os valores identificados dependem da precisão em frequência, que neste caso, uma vez que se utilizou uma frequência de amostragem de 2000 Hz (∆t = 0.0005s) e amostras com um comprimento de 2000 pontos, então ∆f = 1/(2000×0.0005) = 1 Hz.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 200 400 600 800 100010

-8

10-6

10-4

10-2

100 APSD

50305

816

f [Hz]

Figura 4.16 Espectro normalizado médio.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 200 400 600 800 1000

10-18

10-16

10-14

10-12

10-10

APSD

50305

816

f [Hz]

Figura 4.17 Espectro médio. Analisando os resultados apresentados nas figuras anteriores, é de salientar alguns aspectos. Nomeadamente, no NPSD[2,2] constata-se que o pico identificado a 305 Hz apresenta um pequena amplitude, comparando com a sua importância nos outros espectros, a sua pequena amplitude deve-se ao facto de o registo u2(t) ser obtido numa zona próxima de um nodo para o segundo modo de vibração como se pode facilmente verificar através da Figura 4.10. Por outro lado verifica-se que o pico identificado a 50 Hz começa a perder amplitude no NPSD[4,4] e NPSD[5,5], uma vez que os registos u4(t) e u5(t) são obtidos já muito próximo da zona do encastramento, e olhando novamente para a Figura 4.10, facilmente se verifica que para o primeiro modo as amplitudes modais naqueles pontos são muito pequenas. Na Figura 4.18, apresentam-se no formato de uma matriz as estimativas das funções de coerências entre as séries temporais. Os elementos da diagonal principal apresentam um valor unitário, pois representam a função de coerência de uma série consigo própria. Nos elementos fora da diagonal principal, apenas em bandas de frequências próximas das frequências dos modos de vibração identificados no ANPSD, as funções de coerências assumem valores próximos da unidade, denotando nessas circunstâncias uma elevada relação de linearidade entre as séries, e claro confirmando a existência de modos de vibração da estrutura. No entanto é de salientar que para os elementos da segunda coluna e da segunda linha, se verifica que nas bandas de frequência próximas da frequência onde se identifica o segundo modo de vibração, à frequência de 305 Hz, existe apenas uma elevada relação de linearidade, numa banda muito restrita, junto àquela frequência, devido ao facto já mencionado de o registo u2(t) ter sido obtido numa zona próxima de um nodo para o segundo modo de vibração.

Capítulo 4: Análise do comportamento dinâmico de estruturas contínuas 112C

oerê

ncia

C

oerê

ncia

C

oerê

ncia

C

oerê

ncia

C

oerê

ncia

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,5]

f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 4.18 Estimativas das funções de coerência do modelo plano da parede em consola.

A avaliação das configurações modais é efectuada recorrendo à designada matriz das funções de transferência, que se obtém dividindo todos os elementos de uma coluna da matriz das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração por um elemento dessa coluna, tomado como referência. Neste caso, os elementos das várias colunas foram divididos pelos auto-espectros funcionando esses elementos com referências na determinação das diversas funções de transferência. Na Figura 4.19, apresenta-se a matriz das funções de transferência obtida. Apenas se relembra que as funções fora da diagonal principal são complexas, sendo por esse motivo representadas por duas funções (amplitude e fase), com base nas quais, para as frequências identificadas no ANPSD, se avaliam as coordenadas modais para cada grau de liberdade em que se obtiveram os registos.


Am

plitu

de Fase [º]

Am

plitu

de Fase [º]

Am

plitu

de Fase [º]

Am

plitu

de Fase [º]

Am

plitu

de

0 500 10000

1

2

3

T[1,1]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[2,1]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[3,1]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[4,1]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[5,1]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[1,2]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[2,2]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[3,2]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[4,2]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[5,2]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[1,3]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[2,3]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

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0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

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0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[5,3]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[1,4]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[2,4]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[3,4]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[4,4]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[5,4]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[1,5]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[2,5]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[3,5]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[4,5]

0 500 10000

90

180

0 500 10000

1

2

3

T[5,5]

0 500 10000

90

180

Fase [º]

f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 4.19 Estimativa das funções de transferência do edifício de 3 pisos.

Na Tabela 4.2, apresenta-se resumidamente, o processo referente à avaliação dos três modos de vibração identificados, tendo em conta a primeira coluna da matriz das funções de transferência.

Tabela 4.2 Avaliação das configurações modais com base na 1ª coluna da matriz das Funções de Transferência da Figura 4.19 1º modo [f = 50 Hz] 2º modo [f = 305 Hz] 3º modo [f = 816 Hz]

| T | φ ( T ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 1 0 1 0.0500 1 0 1 0.0500 1 0 1 0.0500

0.7260 0.0009 0.7260 0.0363 0.0718 2.1864 0.0718 0.0036 0.3908 178.1788 -0.3907 -0.0195 0.4618 0.0022 0.4618 0.0231 0.5928 179.6367 -0.5928 -0.0296 0.4805 179.8500 -0.4805 -0.0240 0.2305 0.0039 0.2305 0.0115 0.6928 179.7694 -0.6928 -0.0346 0.5271 1.4193 0.5269 0.0263 0.0644 0.0057 0.0644 0.0032 0.3127 179.8200 -0.3127 -0.0156 0.6345 0.6848 0.6345 0.0317

Na Figura 4.20, apresentam-se a matriz modal (escalada para uma representação em relação às coordenas reais) e as respectivas configurações modais obtidas com base naquela matriz.


0.0500 0.0500 0.0500

0.0363 0.0036 0.0195

0.0231 0.0296 0.0240

0.0115 0.0346 0.0263

0.0032 0.0156 0.0317

−

Φ = − −

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

11º modo - 50Hz

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

12º modo - 305Hz

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

13º modo - 816Hz

(a) (b)

Figura 4.20 (a) Matriz modal escalada; (b) Configurações modais avaliadas com base na 1ª coluna das Funções de Transferência. Analisando a figura anterior, verifica-se que as configurações modais são suficientemente bem definidas com base nas 5 histórias de acelerações consideradas. No entanto, considerando 10 histórias de acelerações (igualmente geradas com a rotina em MatLab) as configurações modais ficariam um pouco mais bem definidas, como se mostra na Figura 4.21. Todavia, esta opção implica um maior esforço computacional, ao nível do processamento, uma vez que o novo ficheiro de dados tem o dobro do tamanho do anterior.

1.00

u (t)1

u (t)2

u (t)3

u (t)4

u (t)5

u (t)6

u (t)7

u (t)8

u (t)9

u (t)10

0.0500 0.0500 0.0500

0.0431 0.0263 0.0119

0.0363 0.0036 0.0195

0.0296 0.0159 0.0330

0.231 0.0296 0.0240

0.0170 0.0360 0.0007

0.0115 0.0346 0.0263

0.0069 0.0269 0.0386

0.0032 0.0156 0.0317

0.0009 0.0052 0.0132

−

− −

− −Φ =

−

−

−

−

−

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

11º modo - 50Hz

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

12º modo - 305Hz

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

13º modo - 816Hz

(a) (b) (c)

Figura 4.21 (a) Esquema da localização dos 10 graus de liberdade onde se obtiveram as histórias de acelerações; (b) Matriz modal escalada; (c) Configurações modais avaliadas.

É importante salientar, que a necessidade de considerar de muitos pontos de medida é fundamental para identificar alguns modos de vibração associados a frequências altas, ou então, em análises que se baseiem no estudo das configurações modais, nomeadamente, em estudos que envolvam a verificação de alterações nas configurações modais, por vezes associadas a processos de deterioração. No entanto, para análises menos exigentes a esse nível, é apenas necessário escolher um conjunto de pontos necessário para definir satisfatoriamente a forma das configurações modais em estudo. Finalmente apresenta-se o processo relativo à avaliação dos coeficientes de amortecimentos modais, para os três modos de vibração identificados. Na Figura 4.22, ilustra-se a aplicação do método, o qual se baseia na escolha de troços do ANPSD, na vizinhança dos picos correspondentes às frequências de ressonância da estrutura.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

20 40 60 80

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 49.23 Hz f2 = 50.749 Hz

ξ = 1.5 %

Gy máx

1/2 Gy máx

1º modo 50 Hz

280 290 300 310 320 330

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 301.83 Hz f2 = 307.99 Hz

ξ = 1 %

Gy máx

1/2 Gy máx

2º modo 305 Hz

790 800 810 820 830 840

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 800.13 Hz f2 = 841 Hz

ξ = 2.5 %

Gy máx

1/2 Gy máx

3º modo 816 Hz


Figura 4.22 Coeficientes de amortecimento modais estimados através do método da meia potência, considerando amostras com 20.48s. É de referir que, a consideração de um grande conjunto de pontos na vizinhança das frequências de ressonância se deveu ao facto de os valores de meia potência associados ao 3º modo de vibração se encontrarem um pouco afastados em relação ao valor da frequência de ressonância associada àquele modo.


modo / frequência método da meia potência

ξ(%) 1º modo, f = 50 Hz 1.50 2º modo, f = 305 Hz 1.00 3º modo, f = 816 Hz 2.50

Na tabela anterior, apresentam-se as estimativas obtidas para o coeficiente de amortecimento modal utilizando o método da meia potência.

Exemplo 4.7 Aplicação do método de decomposição no domínio da frequência (FDD). Como já se referiu anteriormente, este método desenvolve-se a partir das funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração, as quais foram introduzidas no exemplo 4.5. Para a matriz daquelas funções, determinaram-se os espectros de valores singulares, aplicando o algoritmo da decomposição em valores singulares (SVD). Na Figura 4.23, apresentam-se os espectros de valores singulares obtidos. No entanto, salienta-se o facto, de apenas os 3 primeiros valores singulares contribuírem para a definição dos três osciladores de 1 grau de liberdade, uma vez que na banda de frequências em análise apenas surgem 3 modos de vibração.



Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 200 400 600 800 1000

10-18

10-16

10-14

10-12

10-10

50305

816


f [Hz]

Figura 4.23 Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração. Analisando os resultados obtidos, importa referir que, os valores identificados nos três picos de ressonância do 1º valor singular coincidem os previamente identificados nos ANPSD apresentados na Figura 4.23 e na Figura 4.17.

Tabela 4.4 Avaliação das configurações modais com base no método FDD utilizando amostras de 1s. 1º modo [f = 50 Hz] 2º modo [f = 305 Hz] 3º modo [f = 816 Hz]

| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.7459 - 180 - 1 - 0.0500 0.7183 - 180 - 1 0.0500 0.6930 180 - 1 - 0.0500 0.5415 - 180 - 0.7260 - 0.0363 0.0507 - 180 - 0.0706 0.0035 0.2757 0 0.3979 0.0199 0.3444 - 180 - 0.4618 - 0.0231 0.4270 0 0.5944 -0.0297 0.3359 0 0.4847 0.0242 0.1719 - 180 - 0.2305 - 0.0115 0.4985 0 0.6940 -0.0347 0.3679 180 - 0.5309 - 0.0265 0.0480 - 180 - 0.0644 - 0.0032 0.2250 0 0.3132 -0.0157 0.4423 180 - 0.6383 - 0.0319

Comparando os resultados obtidos na Tabela 4.4, como os obtidos na Tabela 4.2, verifica-se que são semelhantes. Na Figura 3.28, apresentam-se as configurações modais avaliadas, utilizando o método FDD.

0.0500 0.0500 0.0500

0.0363 0.0035 0.0199

0.0231 0.0297 0.0242

0.0115 0.0347 0.0265

0.0032 0.0157 0.0319

− −

−

Φ = − −

− − −

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

11º modo - 50Hz

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

12º modo - 305Hz

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

13º modo - 816Hz

(a) (b)

Figura 4.24 (a) Matriz modal escalada; (b) Configurações modais obtidas a partir dos vectores singulares, utilizando o método FDD.

Exemplo 4.8 Aplicação da versão melhorada do método de decomposição no domínio da frequência (EFDD). Como já se verificou anteriormente, a aplicação deste método tem como ponto de partida, a definição dos espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade a partir dos espectros de valores singulares, obtidos com o método FDD, apresentados no exemplo anterior, utilizando o coeficiente MAC. Na Figura 4.25, apresentam-se a vermelho as funções de densidade espectral dos três osciladores de 1 grau de liberdade, que é possível definir na banda de frequências em análise.



Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 200 400 600 800 1000

10-18

10-16

10-14

10-12

10-10

f [Hz]

Figura 4.25 Densidades espectrais dos osciladores de 1 grau de liberdade. Na Figura 4.26, apresenta-se a variação dos valores dos coeficientes MAC, na banda de frequências em análise, os quais foram utilizados para a definição das funções de densidade espectral, apresentadas na figura anterior.

MAC

0 200 400 600 800 10000.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

MAC 1MAC 2MAC 3

f [Hz]

Figura 4.26 Variação do coeficiente MAC. Como se está a trabalhar com resultados gerados, foi possível obter valores de MAC muito elevados, pelo que para a definição de cada uma das funções de densidade espectral dos osciladores de 1 grau de liberdade, foi possível impor uma valor de MAC superior a 0.98. Nas figuras seguintes apresentam-se as funções de auto-correlação obtidas a partir das funções de densidade espectral de cada um dos osciladores de 1 grau de liberdade definidos previamente. Com base no logaritmo dos máximos locais daquelas funções estimaram-se os valores dos coeficientes de amortecimento, ainda com base naqueles valores e nos instantes de passagem por zero estimaram-se valores ajustados para as frequências naturais.


Í

ndic

e

ln

[máx

.(+ e

-)]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.39 %

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

10

20

30

40

50

f = 50.6 Hz

t (s)


Índ

ice

ln[m

áx. (

+ e

-)]

corr

elaç

ão n

orm

aliz

.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.52 %

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

100

200

300

f = 306.1 Hz

t (s)



Índ

ice

ln

[máx

. (+

e -)

]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 1.3 %

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

200

400

600

800

f = 821.8 Hz

t (s)


Tabela 4.5 Avaliação dos valores de amortecimento modal e valor ajustado da frequência com base no método EFDD. Modo Frequência [Hz] Amortecimento [%] Valor ajustado da frequência [Hz]

1º 50 0.39 50.6 2º 305 0.52 306.1 3º 816 1.30 821.8

É agora oportuno, analisar e comparar os valores de amortecimento modal obtidos pela aplicação dos método BFD e EFDD, cuja comparação se apresenta na tabela seguinte:

Tabela 4.6 Comparação dos valores de amortecimento modal obtidos pela aplicação dos métodos BFD e EFDD. Coeficientes de amortecimento modais [%]

Modo BFD EFDD 1º 1.50 0.39 2º 1.00 0.52 3º 2.50 1.30

Analisando os resultados apresentados na tabela anterior, verifica-se que existe pouca coerência entre os valores obtidos, verifica-se claramente que os valores obtidos para o método BFD são bastante superiores aos obtidos pelo método EFDD. Seguidamente efectua-se a avaliação das configurações modais, tendo em conta a contribuição de todos os vectores singulares associados aos espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade, identificados na Figura 4.25. Na Tabela 4.7, apresenta-se um resumo, referente à média dos valores obtidos.

Tabela 4.7 Avaliação das configurações modais com base no método EFDD. 1º modo [f = 50 Hz] 2º modo [f = 305 Hz] 3º modo [f = 816 Hz]

| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.1853 - 180 - 1 - 0.0500 0.2947 - 180 - 1 - 0.0500 0.0230 - 180 - 1 - 0.0500 0.1345 - 180 - 0.7261 - 0.0363 0.0216 - 180 - 0.0734 - 0.0037 0.0088 0 0.3850 0.0193 0.0856 - 180 - 0.4619 - 0.0231 0.1740 0 0.5904 0.0295 0.0110 0 0.4790 0.0240 0.0427 - 180 - 0.2305 - 0.0115 0.2036 0 0.6908 0.0345 0.0120 - 180 - 0.5207 - 0.0260 0.0119 - 180 - 0.0644 - 0.0032 0.0919 0 0.3120 0.0156 0.0144 - 180 - 0.6288 - 0.0314


Tendo em conta a tabela anterior, na Figura 4.30, apresentam-se as configurações modais avaliadas, utilizando o método EFDD, verificando-se que são muito semelhantes às obtidas simplesmente com o método FDD.

0.0500 0.0500 0.0500

0.0363 0.0037 0.0193

0.0231 0.0295 0.0240

0.0115 0.0345 0.0260

0.0032 0.0156 0.0314

− −

−

Φ = − −

− − −

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

11º modo - 50.6Hz

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

12º modo - 306.1Hz

-0.1 0 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

13º modo - 821.8Hz

(a) (b)

Figura 4.30 (a) Matriz modal escalada; (b) Configurações modais obtidas a partir da aplicação do método EFDD.

Analisando os resultados obtidos a partir do exemplo anterior, verifica-se claramente, que existe uma boa coerência ao nível das frequências naturais e configurações modais. Já relativamente aos valores estimados para os coeficientes de amortecimento modais, verifica-se que existe um grande discrepância entre os valores obtidos utilizando os métodos BFD e EFDD.

4.4.4 Caso de estudo

Nesta secção apresenta-se um estudo, referente ao modelo físico introduzido no exemplo 4.2, o qual consiste numa parede vertical de secção constante, em consola, submetida à acção da água contida num reservatório adjacente. A introdução deste exemplo, tem como principal objectivo abordar o problema da interacção dinâmica estrutura-fluido, na perspectiva de obter resultados que possam ser extrapolados para o estudo de sistemas barragem-albufeira. É de salientar que, actualmente, quando se estuda o comportamento dinâmico de barragens de betão, subsistem algumas dúvidas, nomeadamente quando se comparam resultados numéricos (baseados nas usuais hipóteses estruturais) com resultados experimentais (obtidos a partir de técnicas de identificação modal). Estas dúvidas estão usualmente relacionadas com os valores do módulo de elasticidade a considerar nos modelos numéricos e a validade das formulações de massas de água associadas (de acordo com a fórmula de Westergaard) para simular o efeito hidrodinâmico da água. Por estas razões, pretende-se com a realização deste estudo confirmar a adequabilidade do uso do módulo de elasticidade obtido a partir dos ensaios de ultra-sons e verificar a validade da utilização de massas de água associadas ou de elementos finitos de água.

Neste sentido foi efectuado, sobre o modelo físico, um conjunto de ensaios de vibrações com o objectivo de identificar a variação dos principais parâmetros dinâmicos (frequências naturais, configurações modais e amortecimentos modais), em função da cota de água no reservatório. Os resultados experimentais são comparados com resultados numéricos de um modelo de elementos finitos planos no qual se utilizam massas de água associadas ou elementos finitos de água para simular o efeito hidrodinâmico. No exemplo seguinte voltam-se a introduzir as principais características referentes ao modelo, referindo-se agora algumas particularidades referentes ao processo


construtivo.

Exemplo 4.9 Modelo físico da parede de betão em consola. Neste exemplo voltam-se a introduzir as principais características do modelo físico, da parede em consola. Trata-se de uma parede em consola com uma espessura de 8.5cm, uma largura de 50cm e um desenvolvimento de 100cm (1m). O reservatório é confinado por esta parede e por outras 3, que no seu todo conferem ao modelo físico o aspecto de um tanque, como se mostra na Figura 4.31, do qual se realça também a base com cerca de 25 cm de espessura.

0.20 1.20

0.90

0.50

0.085

1.00

0.25

(a) (b) (c) Figura 4.31 Modelo físico do tanque de betão armado: (a) perspectiva tridimensional do modelo; (b) vista de topo; (c) alçado lateral.

Nesta fase importa referir que este modelo laboratorial, de betão, foi construído sobre uma tela plástica para evitar a sua ligação ao pavimento. Verificou-se então que a deformabilidade da junta formada entre o pavimento e o modelo influenciava o comportamento dinâmico da parede em consola (devido a indesejáveis movimentos da base). Para minimizar a influência destes movimentos o modelo foi ligado a uma parede de reacção, como se mostra na Figura 4.32.

(a) (b) (c)

Figura 4.32 Modelo físico: (a) em construção; (b) após a construção; (c) amarrado à parede de reacção. Resta salientar que, devido ao facto de o modelo físico ser ensaiado num ambiente de laboratório no qual existe um baixo nível de excitação, por um lado, e uma vez que a estrutura do modelo é bastante rígida, foi necessário recorrer à utilização de um martelo de impacto para ajudar a excitar o modelo, o qual se mostra na Figura 4.32 (c).

Utilizando as rotinas de elementos finitos desenvolvidas em MatLab, apresentadas na secção 4.4.2, implementou-se um modelo plano de elementos finitos que possibilita a simulação do efeito hidrodinâmico utilizando massas de água associadas ou elementos finitos de água. As principais particularidades destas formulações são agora descritas no exemplo 4.10.

Exemplo 4.10 Modelo de elementos finitos do modelo físico. Utilizando a rotina desenvolvida em MatLab, que se baseia na utilização de elementos finitos isoparamétricos do 2º grau com 8 nós, foi desenvolvida a malha plana de elementos finitos que se apresenta na Figura 4.33. É de salientar que para os elementos da parede em consola se utilizou um módulo de elasticidade de E = 32.5 GPa; este valor foi obtido experimentalmente a partir de ensaios de ultra sons (ver Figura 4). Enquanto que, para a base do modelo foi utilizado um valor de módulo de elasticidade equivalente, Eeq = 70.0 GPa, para


ter em consideração a rigidez induzida pelas paredes laterais do reservatório, as quais não é possível representar num modelo plano.

Figura 4.33 Malha plana de elementos finitos, utilizando 8 nós por elemento.

Como já se referiu o módulo de elasticidade da parede em consola foi estimado, com base num ensaio de ultra-sons sobre um provete cilíndrico de betão (ver Figura 4.34), obtido aquando da betonagem do modelo físico.

Figura 4.34 Ensaio de ultra-sons efectuado num provete cilíndrico para estimar o valor do módulo de elasticidade.

Aplicando a seguinte expressão da elastodinâmica

( )( )( )

2 1 1 2E v

1

+ −=

−

ν νρ

ν

em que v representa a velocidade medida das ondas de pressão no betão ( v 3800 m / s ), 32.45 ton / m=ρ é a massa específica do betão e 0.2=ν é o coeficiente de Poisson, foi estimado o referido valor médio de E 32.5 GPa . Os resultados que se apresentam de seguida mostram que os valores do módulo de elasticidade obtidos a partir dos ensaios de ultra-sons são uma boa estimativa para utilizar nas análises estruturais dinâmicas. Normalmente, os valores obtidos a partir dos ensaios estáticos são mais baixos não se podendo considerar como uma boa estimativa para este tipo de análises.

Como já foi referido anteriormente utilizaram-se dois modelos para simular o efeito hidrodinâmico. Pelo que se descrevem agora, de uma forma resumida, os principais aspectos teóricos, referentes a cada uma destas formulações, as quais foram implementadas no modelo de elementos finitos desenvolvido em MatLab. Massas de água associadas Utilizando o conceito de massas de água associadas, a pressão hidrodinâmica é considerada nos nós de fronteira em contacto com a água, e é dada por:

Ni i ip u= α

em que pi e N

iu são a pressão hidrodinâmica e a aceleração normal no nó i respectivamente, iα é um coeficiente de pressão calculado de acordo com o proposto

Eeq=70GPa

E=32.5 GPa


por Westergaard (Westergaard, 1933). No entanto, nos modelos de elementos finitos é construída uma matriz, que é adicionada à matriz de massas elementares, que se obtém a partir da seguinte expressão

inm i i n mM L= α λ λ em que Li é um comprimento de influência associado ao nó i, e finalmente nλ e mλ representam os co-senos directores da normal à face em contacto com a água. Elementos finitos de água A pressão hidrodinâmica foi também simulada utilizando elementos finitos de água, considerando neste caso uma formulação baseada na relação constitutiva para materiais isotrópicos expressa em função do módulo de compressibilidade volumétrica Kv, e do módulo de distorção G (Zienkiewicz, 1967):

( )vEK

3 1 2=

− ν ( )EG

2 1=

+ν em que E representa o módulo de elasticidade e ν o coeficiente de Poisson. Neste caso, a equação constitutiva na hipótese de estado plano de deformação pode ser escrita da seguinte forma:

4 211 v v 113 3

2 422 v v 223 3

12 12

K G K G 0K G K G 0

0 0 G

σ + − ε⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ = − + ε⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Para os elementos finitos de água assumiu-se que G 0 e vK 2 GPa (de acordo com a velocidade de propagação das ondas de pressão na água de v = 1440 m/s). Já para o caso do betão foram determinados os seguintes valores: G = 13.54 GPa e Kv = 18.06 GPa, estimados tendo em conta que E = 32.5 GPa e ν = 0.2.

Tendo em conta as formulações apresentadas anteriormente, apresentam-se de seguida um conjunto de resultados numéricos obtidos com base na rotina final desenvolvida em MatLab.

Exemplo 4.11 Resultados numéricos obtidos com o modelo plano de elementos finitos. Utilizando as formulações de elementos finitos previamente apresentadas e tendo em conta a malha de elementos finitos apresentada no exemplo anterior, apresentam-se as primeiras 4 configurações modais obtidas numericamente, para a situação sem água.

F1 = 48.81 Hz F2 = 292.69 Hz F3 = 453.82 Hz F4 = 736.95 Hz

Figura 4.35 Primeiros modos de vibração obtidos numericamente. De notar que o 3º modo apresentado na figura anterior, deve-se à flexão da base do modelo, pois o modelo só se encontra apoiado nas extremidades, como se mostra nas Figura 4.33 e Figura 4.36.


Utilizando o modelo de elementos finitos que se apresentou anteriormente, geraram-se um conjunto de registos de aceleração, com o objectivo de lhes aplicar as técnicas de identificação modal estocásticas no domínio da frequência e de comparar directamente, os resultados assim obtidos, com resultados obtidos experimentalmente, na Figura 4.36 apresenta-se um esquema representativo do processo experimental.

u (t)1

u (t)2

u (t)3

u (t)4

u (t)5

u (t)6

Figura 4.36 Esquema representativo dos graus de liberdade de interesse para a caracterização experimental do modelo físico.

De salientar que a consideração do 6º ponto de medida se ficou a dever à necessidade de avaliar a importância de movimentos de base do modelo, os quais se verificaram experimentalmente, como mais à frente se verá.

Tendo em consideração os resultados obtidos numericamente, definiu-se a gama de frequências a analisar a partir de resultados experimentais, nomeadamente na definição da frequência de amostragem a considerar para a realização dos mesmos, sendo que para a definição dos primeiros modos de vibração é necessário considerar uma frequência de amostragem da ordem de 2000 Hz para se caracterizar convenientemente a gama de frequências de 0 a cerca de 1000 Hz em que a frequência de Nyquist é de cerca 1000 Hz. Apresentam-se agora um conjunto resultados experimentais, apresentados de uma forma detalhada, que resultam da aplicação das técnicas de identificação modal estocástica a registos de aceleração obtidos para o modelo físico da parede em consola. Neste caso mais detalhado considerou-se a penas o modelo físico, ainda sem considerar o efeito da água. De notar que se realizaram vários ensaios, para várias cotas de água, no final apresentar-se-á um gráfico resumo que engloba a contribuição de todos esses ensaios, o qual representa a variação da frequência própria associada ao 1º modo de vibração em função da cota da água considerada em cada ensaio.

Exemplo 4.12 Aplicação do método de identificação modal estocástico BFD a registos de aceleração obtidos experimentalmente, sobre o modelo físico da parede em consola, ainda sem entrar em consideração com o efeito da água. Para a obtenção dos registos experimentais utilizou-se uma frequência de amostragem de 2048 Hz. Aplicando a transformada de Fourier, àqueles registos, obtiveram-se as funções de densidade espectral de potência da resposta em aceleração. A partir dos auto-espectros determinou-se o espectro médio (ver Figura 4.37), com base no qual é possível identificar as frequências naturais contidas na gama de frequências analisadas, isto é entre 0 e 1024 Hz. De notar que, os valores identificados dependem da precisão em frequência, que neste caso, uma vez que se utilizou uma frequência de amostragem de 2048 Hz (∆t = 0.00048828125s) e amostras com um comprimento de 2048 pontos, então ∆f = 1/(2048×0.00048828125) = 1 Hz.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

0 200 400 600 800 100010

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100 APSD

49 281

751

f [Hz]

Figura 4.37 Espectro médio. Analisando a figura anterior, facilmente se identificam três picos, correspondentes aos três primeiros modos de vibração de flexão da parede em consola. Na Figura 4.38, apresentam-se no formato de uma matriz as estimativas das funções de coerências entre as séries temporais.

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

Coe

rênc

ia

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[1,6]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[2,6]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[3,6]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[4,6]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[5,6]

0 500 10000

0.5

1

γ2[6,1]

0 500 10000

0.5

1

γ2[6,2]

0 500 10000

0.5

1

γ2[6,3]

0 500 10000

0.5

1

γ2[6,4]

0 500 10000

0.5

1

γ2[6,5]

0 500 10000

0.5

1

γ2[6,6]

f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] f [Hz] Figura 4.38 Estimativas das funções de coerência do modelo físico da parede em consola.

Como já se verificou anteriormente os elementos da diagonal principal apresentam um valor unitário, pois representam a função de coerência de uma série consigo própria. Nos elementos fora da diagonal principal, verifica-se que apenas em bandas de frequências


próximas das frequências dos modos de vibração identificados no APSD, as funções de coerências assumem valores próximos da unidade, denotando nessas circunstâncias uma elevada relação de linearidade entre as séries, e claro confirmando a existência de modos de vibração da estrutura, para as frequências identificadas. Analisando as várias linhas e colunas que compõem a figura anterior, importa referir que, a última linha e a última coluna, referem-se a um ponto de medida colocado na base do modelo, o qual apresenta níveis de vibração muito baixos, pelo que é possível denotar algumas diferenças, evidentes, relativamente aos outros elementos da matriz. Todavia, recorrendo àqueles elementos, é também possível confirmar a existência de modos globais da estrutura, para as frequências identificadas no APSD. A avaliação das configurações modais é efectuada recorrendo a uma coluna da já referida matriz das funções de transferência. Na Tabela 4.8, apresenta-se resumidamente, o processo referente à avaliação dos três modos de vibração identificados, tendo em conta a primeira coluna da matriz das funções de transferência.

Tabela 4.8 Avaliação das configurações modais com base na 1ª coluna da matriz das Funções de Transferência 1º modo [f = 49 Hz] 2º modo [f = 281 Hz] 3º modo [f = 751 Hz]

| T | φ ( T ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | T | φ ( T ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 1 0 1 0.0500 1 0 1 0.0500 1 0 1 0.0500

0.7818 0.0158 0.7818 0.0391 0.1941 0.2528 0.1941 0.0097 0.2381 177.9369 -0.2380 -0.0119 0.5279 0.1083 0.5279 0.0264 0.4443 179.0864 -0.4443 -0.0222 0.5390 178.3084 -0.5390 -0.0270 0.3298 0.0127 0.3298 0.0165 0.6804 179.4819 -0.6804 -0.0340 0.1293 4.8720 0.1293 0.0065 0.1605 0.0226 0.1605 0.0080 0.5289 179.7976 -0.5289 -0.0264 0.6935 1.9659 0.6935 0.0347 0.0021 0.6453 0.0021 0.0001 0.0278 5.0276 0.0277 0.0014 0.0218 2.1302 0.0217 0.0011

Na Figura 4.39, apresentam-se a matriz modal (escalada para uma representação em relação às coordenas reais) e as respectivas configurações modais obtidas com base naquela matriz.

0.0500 0.0500 0.0500

0.0391 0.0097 0.0119

0.0264 0.0222 0.0270

0.0165 0.0340 0.0065

0.0080 0.0264 0.0347

0.0001 0.0014 0.0011

−

− −Φ =

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11º modo - 49Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

12º modo - 281Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

13º modo - 751Hz

(a) (b)

Figura 4.39 (a) Matriz modal escalada; (b) Configurações modais avaliadas com base na 1ª coluna das Funções de Transferência. Salienta-se o facto de a última linha da matriz modal corresponder ao ponto associado à base do modelo, pelo que os valores para aí obtidos são muito baixos, e em rigor deveriam ser nulos, só o não são devido a problemas de movimentos da base de fundação do modelo, que se devem ao processo construtivo utilizado na construção do modelo. Finalmente apresenta-se o processo relativo à avaliação dos coeficientes de amortecimentos modais, para os três modos de vibração identificados. Na Figura 4.40, ilustra-se a aplicação do método, o qual se baseia na escolha de troços do ANPSD, na vizinhança dos picos correspondentes às frequências de ressonância da estrutura.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )/H

z]

20 30 40 50 60 70

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 47.98 Hz f2 = 49.977 Hz

ξ = 2 %

Gy máx

1/2 Gy máx

1º modo 49 Hz

260 270 280 290 300 310

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 278.17 Hz f2 = 283.53 Hz

ξ = 0.95 %

Gy máx

1/2 Gy máx

2º modo 281 Hz

730 740 750 760 770 780

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f1 = 745.1 Hz f2 = 756.4 Hz

ξ = 0.75 %

Gy máx

1/2 Gy máx

3º modo 751 Hz


Figura 4.40 Coeficientes de amortecimento modais estimados através do método da meia potência, considerando amostras com 20.48s. É de referir que, a consideração de um grande conjunto de pontos na vizinhança das frequências de ressonância se deveu ao facto de os valores de meia potência associados ao 3º modo de vibração se encontrarem um pouco afastados em relação ao valor da frequência de ressonância associada àquele modo.


modo / frequência método da meia potência

ξ(%) 1º modo, f = 49 Hz 2.00 2º modo, f = 281 Hz 0.95 3º modo, f = 715 Hz 0.75

Na Tabela 4.9 apresentam-se os coeficientes de amortecimento modal obtidos neste caso experimental. Nesta fase é importante salientar que, comparando-os com os da Tabela 4.3, se verifica claramente que para o 1º e 2º modo existe uma certa coerência, já para o caso do 3º modo de vibração verifica-se uma diferença acentuada.

No exemplo anterior apresentaram-se os resultados obtidos pela aplicação do método BFD aos resultados experimentais obtidos para o modelo físico da parede em consola, considerando a situação em que o reservatório adjacente se encontra vazio. Da análise de resultados obtidos, identificam-se claramente 3 modos de vibração, verifica-se que a instrumentação da base do modelo permitiu confirmar a existência de alguns movimentos, indesejáveis, da base, o que é evidente ao analisar-se a matriz modal. Relativamente aos amortecimentos modais obtidos, destaca-se que o amortecimentos referente ao 1º modo de vibração é claramente exagerado, o que vem confirmar as tendências já referidas no capítulo 3, e que tem a ver com o carácter finito das séries temporais.

De seguida, apresentam-se no Exemplo 4.13 os resultados obtidos a partir da aplicação do método de identificação modal estocástica, FDD aos registos de aceleração obtidos experimentalmente, para o modelo físico da parede em consola, tendo em conta só a estrutura de betão do modelo, não entrando em consideração com o efeito da água.

Exemplo 4.13 Aplicação do método de identificação modal estocástico FDD a registos de aceleração obtidos experimentalmente, sobre o modelo físico da parede em consola, ainda sem entrar em consideração com o efeito da água.


A partir da matriz das funções de densidade espectral da resposta em aceleração, estimaram-se os espectros de valores singulares, aplicando o algoritmo da decomposição em valores singulares (SVD). Na Figura 4.41, apresentam-se os espectros de valores singulares obtidos. De notar que apenas os 3 primeiros valores singulares contribuem para a definição dos três osciladores de 1 grau de liberdade, uma vez que na banda de frequências em análise apenas surgem 3 modos de vibração.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 200 400 600 800 100010

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

49 281

751


f [Hz]

Figura 4.41 Espectro dos valores singulares da matriz das densidades espectrais de potência da resposta em aceleração. Analisando os resultados obtidos, importa referir que, os valores identificados nos três picos de ressonância do 1º valor singular coincidem os previamente identificados nos ANPSD apresentados na Figura 4.37. Salienta-se ainda o facto de estes resultados obtidos experimentalmente apresentarem outro tipo de informação contida no modelo físico, nomeadamente imediatamente antes do 2º pico identificado com a frequência 281 Hz, surge um outro pico (muito mais pequeno) associado aos já referidos movimentos da base do modelo.

Tabela 4.10 Avaliação das configurações modais com base no método FDD utilizando amostras de 1s. 1º modo [f = 49 Hz] 2º modo [f = 281 Hz] 3º modo [f = 751 Hz]

| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.7036 180 - 1 - 0.0500 0.7110 - 180 - 1 - 0.0500 0.7292 180 - 1 - 0.0500 0.5488 180 - 0.7801 - 0.0390 0.1362 - 180 - 0.1916 - 0.0096 0.1768 0 0.2425 0.0121 0.3706 180 - 0.5268 - 0.0263 0.3180 0 0.4472 0.0224 0.3989 0 0.5470 0.0274 0.2316 180 - 0.3292 - 0.0165 0.4844 0 0.6813 0.0341 0.1043 180 - 0.1430 - 0.0072 0.1129 180 - 0.1605 - 0.0080 0.3735 0 0.5253 0.0263 0.5167 180 - 0.7086 - 0.0354 0.0015 180 - 0.0021 - 0.0001 0.0259 - 180 -0.0352 - 0.0018 0.0091 180 - 0.0125 -0.0006

Comparando os resultados obtidos na Tabela 4.10, como os obtidos na Tabela 4.8, verifica-se que são semelhantes. Na Figura 4.42, apresentam-se as configurações modais avaliadas, utilizando o método FDD.


0.0500 0.0500 0.0500

0.0390 0.0096 0.0121

0.0263 0.0224 0.0274

0.0165 0.0341 0.0072

0.0080 0.0263 0.0354

0.0001 0.0018 0.0006

− − −

− −

−Φ =

− −

− −

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11º modo - 49Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

12º modo - 281Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

13º modo - 751Hz

(a) (b)

Figura 4.42 (a) Matriz modal escalada; (b) Configurações modais obtidas a partir dos vectores singulares, utilizando o método FDD. Tal como se verificou anteriormente, os valores obtidos para a última linha da matriz modal são muito pequenos, deveriam no entanto ser nulos, uma vez que se referem à base de fundação do modelo.

Aplicando o método FDD, obtêm-se claramente os mesmos modos de vibração com as mesmas frequências naturais obtidos com o método BFD e continua a confirmar-se a existência de movimentos indesejáveis na base do modelo físico. Relativamente aos coeficientes de amortecimentos modais, este método não permite a sua avaliação, pelo que é necessário recorrer à aplicação da sua versão melhorada (EFDD), a qual irá permitir a possibilidade de os estimar e assim é possível comparar com os obtidos anteriormente. Desta forma, no exemplo seguinte apresenta-se a aplicação do método EFDD.

Exemplo 4.14 Aplicação da versão melhorada do método de decomposição no domínio da frequência (EFDD). Como já se verificou anteriormente, a aplicação deste método tem como ponto de partida, a definição dos espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade a partir dos espectros de valores singulares, obtidos com o método FDD, apresentados no exemplo anterior, utilizando o coeficiente MAC. Na Figura 4.43, apresentam-se a vermelho as funções de densidade espectral dos três osciladores de 1 grau de liberdade, que é possível definir na banda de frequências em análise.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 200 400 600 800 100010

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

f [Hz]



Na Figura 4.44, apresenta-se a variação dos valores dos coeficientes MAC, na banda de frequências em análise, os quais foram utilizados para a definição das funções de densidade espectral, apresentadas na figura anterior.

MAC

0 200 400 600 800 10000.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

MAC 1MAC 2MAC 3

f [Hz]

Figura 4.44 Variação do coeficiente MAC. De notar que os valores de MAC obtidos apresentam valores razoavelmente elevados, uma vez que se utilizou um martelo de impacto para ajudar a excitar o modelo físico, pelo que foi possível impor uma valor de MAC superior a 0.98. Nas figuras seguintes apresentam-se as funções de auto-correlação obtidas a partir das funções de densidade espectral de cada um dos osciladores de 1 grau de liberdade definidos previamente.

Í

ndic

e

ln

[máx

.(+ e

-)]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.72 %

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

10

20

30

40

50

f = 49.6 Hz

t (s)



Índ

ice

ln[m

áx. (

+ e

-)]

corr

elaç

ão n

orm

aliz

.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.46 %

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

50

100

150

200

250

f = 282.2 Hz

t (s)


Índ

ice

ln

[máx

. (+

e -)

]

c

orre

laçã

o no

rmal

iz.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

-8

-6

-4

-2

0

ξ = 0.84 %

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

200

400

600

f = 746.4 Hz

t (s)



Tabela 4.11 Avaliação dos valores de amortecimento modal e valor ajustado da frequência com base no método EFDD. Modo Frequência [Hz] Amortecimento [%] Valor ajustado da frequência [Hz]

1º 49 0.72 49.6 2º 291 0.46 282.1 3º 751 0.84 746.4

É agora oportuno, analisar e comparar os valores de amortecimento modal obtidos pela aplicação dos método BFD e EFDD, cuja comparação se apresenta na tabela seguinte:

Tabela 4.12 Comparação dos valores de amortecimento modal obtidos pela aplicação dos métodos BFD e EFDD. Coeficientes de amortecimento modais [%]

Modo BFD EFDD 1º 2.00 0.72 2º 0.95 0.46 3º 0.75 0.84

Analisando os resultados apresentados na tabela anterior, verifica-se que existe pouca coerência entre os valores obtidos, verifica-se claramente que os valores obtidos para o 1º e 2º modo utilizando o método BFD são mais do dobro dos obtidos pelo método EFDD enquanto que os obtidos para o 3º modo já se situam numa ordem de grandeza equivalente. Seguidamente efectua-se a avaliação das configurações modais, tendo em conta a contribuição de todos os vectores singulares associados aos espectros dos osciladores de 1 grau de liberdade, identificados na Figura 4.43. Na Tabela 4.13, apresenta-se um resumo, referente à média dos valores obtidos.

Tabela 4.13 Avaliação das configurações modais com base no método EFDD. 1º modo [f = 49.6 Hz] 2º modo [f = 282.1 Hz] 3º modo [f = 746.4 Hz]

| U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,1 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,2 Φ (esc.) | U1 | φ ( U1 ) [º] Φi,3 Φ (esc.) 0.1955 - 180 - 1 - 0.0500 0.4414 - 180 - 1 - 0.0500 0.0872 180 - 1 - 0.0500 0.1529 - 180 - 0.7819 - 0.0390 0.0849 - 180 - 0.1923 - 0.0096 0.0210 0 0.2414 0.0121 0.1032 - 180 - 0.5278 - 0.0264 0.1972 0 0.4467 0.0223 0.0478 0 0.5486 0.0274 0.0645 - 180 - 0.3297 - 0.0165 0.3005 0 0.6808 0.0340 0.0121 180 - 0.1385 - 0.0069 0.0314 - 180 - 0.1605 - 0.0080 0.2320 0 0.5255 0.0263 0.0617 180 - 0.7083 - 0.0354 0.0004 - 180 - 0.0021 - 0.0001 0.0151 - 180 - 0.0343 - 0.0017 0.0028 180 - 0.0317 - 0.0016

Tendo em conta a tabela anterior, na Figura 4.48, apresentam-se as configurações modais avaliadas, utilizando o método EFDD.

0.0500 0.0500 0.0500

0.0390 0.0096 0.0121

0.0264 0.0223 0.0274

0.0165 0.0340 0.0069

0.0080 0.0263 0.0354

0.0001 0.0017 0.0016

− − −

− −

−Φ =

− −

− −

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11º modo - 49.6Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

12º modo - 282.1Hz

-0.1 0 0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

13º modo - 746.4Hz

(a) (b)

Figura 4.48 (a) Matriz modal escalada; (b) Configurações modais obtidas a partir da aplicação do método EFDD. Mais uma vez se realça o facto de os valores da última linha serem influenciados por movimentos da base de fundação do modelo, sendo muito pouco importantes para o caso do 1º modo, mas já com alguma relevância para o 2º e 3º modos.

Os resultados apresentados até aqui referem-se à situação sem água, no entanto o grande objectivo da realização deste trabalho, refere-se ao estudo do comportamento dinâmico da estrutura da parede em consola, tendo em conta a contribuição da água,

4.5 Conclusões 133

nomeadamente analisando várias cotas de água. Pelo que se apresenta no exemplo seguinte, a variação do valor da frequência natural associada ao 1º modo de vibração em função da cota da água, tendo em conta nove diferentes cotas de água, a partir de reservatório vazio até cheio. No exemplo seguinte os resultados experimentais são comparados com resultados numéricos de elementos finitos, considerando as duas metodologias propostas para a simulação do efeito da água: formulação de Westergaard (esquema de massas de água associadas) e elementos finitos de água com módulo de distorção nulo.

Exemplo 4.15 Variação do valor da 1ª frequência natural em função da cota da água, comparação entre resultados numéricos e experimentais. Neste exemplo, compilam-se e comparam-se os resultados numéricos e experimentais obtidos para o modelo físico da parede em consola, sob a forma de uma linha de influência, representativa da variação da 1ª frequência natural em função da cota da água, considerada no reservatório, como se mostra na Figura 4.49, na qual se mostram os resultados referentes a 10 ensaios de vibrações, para reservatório vazio e acima de 0.20 m de água de 0.10 m em 0.10 m.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.030

35

40

45

50

Freq

uênc

ia (H

z)

Cota da água (m)

E. F. de água

Resultados experimentais

Massas de água associadasResultados numéricos

Figura 4.49 Variação do valor da 1ª frequência natural em função da cota da água, comparação entre resultados numéricos e

experimentais. Analisando a figura anterior, verifica-se imediatamente que o efeito da água se traduz por uma significativa redução dos valores da 1ª frequência própria, para níveis de água superiores a 0.5 m (meio reservatório). Verifica-se igualmente que, os resultados experimentais obtidos para nove diferentes cotas de água, a partir de reservatório vazio até cheio, mostram uma boa concordância com os resultados numéricos, obtidos considerando as duas metodologias propostas para a simulação do efeito da água: formulação de Westergaard (esquema de massas de água associadas) e elementos finitos de água com módulo de distorção nulo. É apenas de notar uma ligeira discrepância para valores da cota de água altos: os valores numéricos são ligeiramente inferiores aos experimentais, o que indicia que nas formulações adoptadas o efeito da massa de água é sobreavaliado. É importante salientar, como aliás já se referiu previamente, que a calibração dos modelos numéricos foi efectuada para a situação de reservatório vazio, em que apenas são tidas em consideração as propriedades mecânicas do betão armado, utilizadas na construção do modelo físico. Neste processo realça-se o facto de o valor considerado, como adequado, para o módulo de elasticidade, ser o obtido a partir da realização de ensaios de ultra-sons.

4.5 Conclusões

Neste capítulo apresentaram-se algumas das formulações utilizadas na análise do comportamento dinâmico de osciladores contínuos, nomeadamente, para estudar os problemas da vibração transversal e longitudinal. Apresentaram-se igualmente as formulações associadas ao método dos elementos finitos, para a análise dinâmica de estruturas (de acordo com a teoria de estado plano de deformação), utilizando


elementos finitos isoparamétricos do 2º grau, com 4 e 8 nós por elemento. Tendo em conta as formulações de elementos finitos apresentadas, desenvolveram-se rotinas de cálculo em MatLab, que permitem a determinação de frequências naturais e modos de vibração. Utilizando estas rotinas determinaram-se as frequências naturais e os modos de vibração, para o modelo estrutural de uma consola, os quais foram comparados com resultados obtidos a partir da utilização das formulações analíticas, apresentadas para os osciladores contínuos. As rotinas de cálculo desenvolvidas em MatLab possibilitam também, a realização de cálculos dinâmicos no domínio do tempo, baseadas na utilização do integral de Duhamel na sua forma recursiva (método de Iwan). Utilizando estas rotinas, geraram-se registos de aceleração (para alguns graus de liberdade do modelo estrutural da consola), com base nos quais se ilustrou o processo relativo à avaliação experimental dos parâmetros modais de estruturas contínuas, aplicando os métodos de identificação modal estocástica, no domínio da frequência, descritos no capítulo 3.

Utilizando o modelo físico de uma parede de betão em consola e um reservatório adjacente, introduziu-se de uma forma simples e preliminar o problema da interacção dinâmica estrutura-fluido. Este problema foi apresentado e discutido, utilizando as rotinas de elementos finitos desenvolvidas em MatLab e um conjunto de resultados experimentais obtidos a partir da realização de ensaios de vibrações, efectuados sobre o modelo físico em laboratório, para várias cotas de água do reservatório. Resta acrescentar que as rotinas de elementos finitos possibilitam a consideração do efeito hidrodinâmico, através da utilização de duas formulações: i) massas de água associas e; ii) elementos finitos de água. A partir dos resultados numéricos e experimentais obtidos para o modelo físico da parede em consola, foi possível concluir que:

− O valor do módulo de elasticidade que se obtém a partir de ensaios de ultra-sons é o mais adequado para considerar no desenvolvimento de modelos numéricos para a análise dinâmica de estruturas;

− A utilização das formulações utilizadas para simular o efeito da água sob excitação dinâmica (massas de água associas e elementos finitos de água), permitem obter resultados similares em termos de frequências próprias: ambas permitem obter uma boa concordância com os resultados experimentais relativos à variação da 1ª frequência natural com o nível da água;

Todavia constata-se que poderá ser útil proceder a alguns melhoramentos quer nos modelos numéricos quer no modelo físico. Nomeadamente, a formulação de amortecimento de Rayleigh poderá ser melhorada tendo em conta separadamente a contribuição do amortecimento associado à estrutura de betão e associado à água. O modelo físico poderá ser igualmente melhorado por forma a garantir uma ligação rígida entre a base do modelo, o pavimento e a parede de reacção. Poderá ser interessante utilizar um novo modelo físico com uma parede em consola com menor espessura para obter frequências mais baixas para os primeiros modos de vibração.

CAPÍTULO

5

CONCLUSÕES

SUMÁRIO: Neste capítulo apresentam-se as principais conclusões obtidas a partir da realização deste trabalho.

5.1 Síntese do trabalho

Com o presente trabalho, pretendeu-se salientar a importância dos fundamentos da dinâmica de estruturas no desenvolvimento de metodologias de identificação modal estocástica, no domínio da frequência. Neste sentido, apresentaram-se alguns conceitos teóricos, relacionados com a formulação modal no domínio da frequência, que se julgam fundamentais para a implementação das metodologias de identificação modal estocástica no domínio da frequência.

Descreveram-se, algumas das mais utilizadas, metodologias de identificação modal estocástica no domínio da frequência. A descrição daquelas metodologias foi efectuada, aplicando-as a um conjunto de séries temporais geradas numericamente para o modelo da estrutura de um edifício de 3 pisos e para um conjunto de séries temporais obtidas a partir de ensaios experimentais efectuados sobre a estrutura do modelo físico do já referido edifício de 3 pisos. Dos resultados obtidos, verificou-se que a aplicação dos métodos BFD e FDD conduzem à obtenção de resultados praticamente iguais ao nível das frequências naturais e dos modos de vibração, relativamente à avaliação dos coeficientes de amortecimentos modais verificou-se que o método BFD apresenta erros significativos para o caso do 1º modo de vibração, os quais se encontram essencialmente associados à fraca discretização em frequência e a erros de escorregamento ou “leakage”. Por seu lado, verificou-se que, a aplicação do método EFDD permite a obtenção de estimativas para os coeficientes de amortecimentos modais e, segundo alguns autores a obtenção de estimativas ajustadas para os valores das frequências naturais e para as configurações modais. No entanto, é importante referir que, ao aplicar-se a transformada de Fourier para estimar as funções de densidade espectral, se cometem alguns erros os quais se devem, essencialmente, ao carácter finito das séries temporais de dados que se analisam, pelo que quando se procede à obtenção das funções de auto-correlação a partir das funções de densidade espectral, está-se a utilizar informação que tem alguns erros associados e como se está a trabalhar com séries de dados muito pequenas ao efectuar a inversa de Fourier, volta-se a introduzir novamente erros, pelo que os valores finais que se obtêm podem ser estimativas ajustadas de dados, para os quais se podem estar a acumular erros sucessivamente.

Capítulo 5: Conclusões 136

Um outro aspecto a salientar, refere-se à aplicação das metodologias de decremento aleatório (RD) aos resultados experimentais, que para este caso permitiu a obtenção de espectros com melhorias significativas, muito próximas das obtidas com as séries temporais geradas numericamente, sendo essas quase teóricas, uma vez que advém de dados gerados numericamente. A aplicação prévia das metodologias de decremento aleatório proporcionam às séries temporais, uma espécie de pré-processamento, obtendo-se segmentos temporais com semelhanças evidentes com a resposta em vibração livre. Da combinação entre as metodologias de decremento aleatório e as metodologias de identificação modal estocástica no domínio da frequência, resultaram os métodos RD-BFD, RD-FDD e RD-EFDD. Neste trabalho apresentam-se dois anexos em relação ao capítulo 3, no primeiro apresentam-se de uma forma sistematizada alguns conceitos de base sobre o processamento e a análise de séries temporais de dados (sinais digitalizados), enquanto que no segundo se apresentam os fundamentos do método do decremento aleatório, os quais são fundamentais para obter as estimativas das funções de RD utilizadas nos métodos RD-BFD, RD-FDD e RD-EFDD.

No capítulo 4 apresentam-se as formulações referentes à análise do comportamento dinâmico de osciladores contínuos (para problemas de vibração longitudinal e transversal), bem como as formulações de base para efectuar análises dinâmicas através do método dos elementos finitos (utilizando modelos estruturais planos, de acordo com o estado plano de deformação). Utilizando o modelo estrutural de uma consola, apresentou-se o processo referente à identificação modal de estruturas contínuas, com base em registos de aceleração gerados numericamente. Finalmente, apresentaram-se um conjunto de resultados numéricos e experimentais sobre o comportamento dinâmico do modelo físico de uma parede de betão em consola e um reservatório adjacente, com base nos quais se analisou e discutiu o problema da interacção dinâmica estrutura-fluido. O estudo deste caso preliminar permitiu obter algumas conclusões, que eventualmente poderão ser extrapoladas para o caso real da interacção barragem-albufeira, nomeadamente que:

− O valor do módulo de elasticidade que se obtém a partir de ensaios de ultra-sons é o mais adequado para considerar no desenvolvimento de modelos numéricos para a análise dinâmica de estruturas;

− As formulações utilizadas para simular o efeito hidrodinâmico da água (massas de água associas e elementos finitos de água), permitem obter resultados similares em termos de frequências próprias;

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Eng.º Romano Câmara e ao Eng.º José Vieira de Lemos, do Núcleo de Modelação Matemática e Física do Departamento de Barragens de Betão do Laboratório Nacional de Engenharia Civil, as frutuosas trocas de ideias promovidas durante a realização deste trabalho. Agradecem igualmente ao Eng.º João Costa, ao Eng.º Pedro Silva e ao técnico António Fernandes, do Laboratório de Materiais de Construção do Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa, todo o apoio concedido para a realização do modelo físico de betão para estudo do comportamento dinâmico de uma parede em consola submetida a pressões hidrodinâmicas, apresentado no Capítulo 4.

ANEXO

A

ANÁLISE E PROCESSAMENTO DE SINAL

SUMÁRIO: Com a introdução deste anexo pretende-se apresentar alguns conceitos sobre a análise e processamento de sinais digitais, nomeadamente sobre os fundamentos da análise espectral, bem como alguns dos possíveis erros que lhe estão associados e que têm origem nas opções tomadas, sobre o processamento, que usualmente se efectua.

A.1 Introdução

A análise e processamento de sinais, são dois conceitos que se encontram intimamente ligados. Em termos gerais, pode-se afirmar que, o processamento tem como principal função remover as componentes espúrias dos dados (sinais) medidos experimentalmente, enquanto que a análise tem por objectivo apresentar os dados experimentais numa forma mais fácil de interpretar, fazendo ressaltar aspectos importantes que neles se encontram camuflados. Em termos práticos, na óptica da observação experimental, o processamento efectua a ponte entre a aquisição de sinais e parte inicial da sua análise. Atendendo ao facto de a teoria da análise e processamento de sinal ser uma ferramenta fundamental para as várias técnicas experimentais de análise de vibrações e identificação de parâmetros dinâmicos em estruturas, nesta anexo apresenta-se de uma forma sistemática algumas das questões mais relevantes para a análise e processamento de sinais, com vista à sua compreensão para o desenvolvimento e implementação de rotinas que permitam a identificação dos parâmetros dinâmicos das estruturas de uma forma sistemática e fidedigna. Tendo em conta os objectivos apresentados, neste anexo descrevem-se:

− o processo usualmente utilizado para a digitalização de sinais, explorando os conceitos associados à operação de amostragem e às séries de dados temporais;

− os fundamentos relativos à análise espectral de sinais, os erros que lhe estão associados e as técnicas mais utilizadas para reduzir os seus efeitos;

− o funcionamento de filtros, no domínio do tempo e da frequência; − as operações de decimação e “zoom”.

Anexo A: Análise e processamento de sinal 140

A.2 Séries temporais de dados. Amostragem

A observação da evolução das diversas grandezas físicas envolvidas nos problemas de engenharia de estruturas é normalmente efectuada recorrendo à utilização de transdutores. Estes equipamentos, que permitem a conversão de grandezas mecânicas, noutro tipo de grandezas de mais fácil medição e tratamento, fornecem usualmente como imagem da grandeza observada uma tensão eléctrica proporcional ao parâmetro físico que se pretende observar e que se apresenta como um registo contínuo no tempo. No entanto, um registo contínuo pode ser representado por uma sucessão de valores numéricos, geralmente equidistantes, o qual se designa por registo discreto e cujos respectivos valores numéricos são genericamente designados por dados. A este conjunto ordenado de dados finito dá-se a designação de série temporal, ou amostra, com duração T. À operação de passagem de um registo contínuo (sinal analógico) para um registo discreto (sinal digital), dá-se o nome de amostragem. A qual se baseia na obtenção de uma “amostra”, a qual se pretende que seja representativa do sinal contínuo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-1

-0.5

0

0.5

1

u(t)

t Figura A.1 Amostragem de um sinal contínuo u(t).

Na prática, a transformação de um sinal analógico num sinal digital é assegurada pela acção dos designados conversores analógico/digital (A/D). A amostragem de um sinal u(t), consiste na obtenção de uma série de N valores espaçados no tempo de um intervalo ∆t, tais que:

( )k ku u t= e T N t= ⋅ ∆ Tendo em conta a regularidade temporal do processo de amostragem descrito, admite-se que as séries temporais que se apresentam resultam de uma amostragem periódica, sendo portanto constituídas por valores equidistantes no tempo. A este espaçamento temporal ∆t, dá-se a designação de intervalo de amostragem ou período de amostragem. A partir deste conceito, surge naturalmente a noção de frequência de amostragem, dada pela expressão:

a1ft

=∆

a qual traduz, o número de amostras efectuadas por unidade de tempo.

Nesta fase, e reflectindo sobre a operação de amostragem, é pertinente a seguinte questão: “Qual o critério a utilizar na escolha do intervalo de amostragem (∆t)?”.

A.3 Análise espectral. Fundamentos 141

Tendo em consideração, que se pretende que a “amostra” seja representativa do sinal amostrado, então deveria ser possível, a partir do conhecimento de ∆t e dos valores da série, reconstruir ou reconstituir, de modo unívoco, o sinal contínuo que lhe deu origem. Intuitivamente pode-se afirmar que a desejada reconstrução (unívoca) do sinal, a partir da série, é tanto melhor quanto menor for o valor de ∆t. No entanto, esta condição por si só é insuficiente, uma vez que do ponto de vista prático poderá não ser a mais ajustada, pois caso o valor de ∆t seja excessivamente pequeno obter-se-á informação redundante (série com demasiados pontos), tendo como consequência, uma desnecessária sobrecarga do esforço computacional. Nos trabalhos de Shannon (1949), apresenta-se um critério designado por Teorema da Amostragem, que estabelece os pressupostos a seguir no estabelecimento de uma adequada gama de valores para a escolha do intervalo de amostragem ∆t.

Genericamente, vejamos o que estabelece o Teorema da Amostragem. Considere-se um sinal contínuo u(t) e a correspondente série temporal uk, dele obtida por amostragem periódica de intervalo ∆t; admita-se que aquele sinal tem transformada de Fourier e, que esta é identicamente nula fora de um intervalo de frequência [-F, F], em que F representa uma frequência finita qualquer; esta consideração implica que fora daquela gama de frequências o sinal não possui conteúdo energético, designando-se devido a este motivo por sinal de banda limitada. O Teorema da Amostragem mostra que, se a série uk é obtida com uma frequência de amostragem superior a 2F, ou seja:

a1f 2Ft

= >∆

então é possível reconstruir, univocamente, o sinal u(t) utilizando para o efeito adequadas fórmulas de interpolação [Carvalhal et al., 1989]. Assim sendo, uma série temporal obtida de um sinal u(t), utilizando uma frequência de amostragem fa nunca poderá fornecer informação sobre o conteúdo energético desse mesmo sinal acima de:

aN

ff2

=

em que fN é usualmente designada por frequência de Nyquist.

A.3 Análise espectral. Fundamentos

A análise espectral, representa a possibilidade de representar no domínio da frequência uma função definida no domínio do tempo, mediante a sua decomposição em ondas sinusoidais de amplitude e frequências variáveis. Os fundamentos da análise espectral (análise no domínio da frequência), baseiam-se na abordagem de conceitos como as Séries de Fourier e as transformadas de Fourier e de Laplace. Nesta secção dedica-se especial atenção à transformada discreta de Fourier e ao mais divulgado algoritmo computacional que a tornou popular, a transformada rápida de Fourier, conhecida pela sigla FFT (“Fast Fourier Transform”). Antes de abordar os conceitos relacionados com a transformada de Fourier é fundamental introduzir alguns aspectos relativos às séries de Fourier, as quais estão na génese da transformada de Fourier, pelo que em primeiro lugar se apresenta o caminho que vai desde a ideia que está na base das séries de Fourier até ao formato final da transformada discreta de Fourier e transformada contínua de Fourier. Apresenta-se igualmente o conceito de transformada inversa de Fourier.


Posteriormente apresentam-se algumas questões relacionadas com a aplicação prática da transformada discreta de Fourier (a qual foi generalizada a partir da utilização do algoritmo da FFT). Finalmente apresentam-se alguns dos erros que estão associados ao processamento de sinal e que se reflectem na análise espectral.

A.3.1 Da série de Fourier à transformada de Fourier

Para se compreender completamente o conceito de transformada de Fourier, é necessário recuar à ideia que deu origem à série de Fourier e percorrer o caminho até se obter a transformada de Fourier. Pelo que, nesta subsecção se apresenta este caminho de uma forma resumida, mas que no essencial é importante para a abordagem que posteriormente se utiliza em relação ao conceito de transformada de Fourier . A ideia fundamental que está na base da descoberta de Fourier, assenta no pressuposto de que é possível representar uma função definida no domínio do tempo, com um determinado comprimento T, através da soma de um número infinito de funções sinusoidais (ou ondas), com o mesmo comprimento da função. Esta ideia pode ser visualizada através do esquema apresentado na figura seguinte, onde se mostram, em perspectiva, várias das infinitas ondas cuja soma permite reconstituir uma dada função f(t), definida num intervalo de comprimento T.

Valor médio de f(t) no intervalo TOnda 0

0f(t)

T tf (t) = + + + + + ...

te

T

= c

Onda 3Onda 2

Onda 1

Onda 5Onda 4

Onda 7Onda 6

Onda 8

Onda 9

Onda 10

Onda 11

Onda 1 Onda 2 Onda 3 Onda 4c te

Figura A.2 Conceito de decomposição de uma função em ondas sinusoidais.

Em termos gerais a aproximação em série de Fourier de uma dada função f(t), num dado intervalo T, de comprimento T, pode ser representada (na forma trigonométrica) através da seguinte série (somatório de infinitas ondas)

( ) ( )( )te teT n n n n

n 1 n 1f (t) c onda n c a cos t b sen t

∞ ∞

= =

= + = + ω + ω∑ ∑ , n nω = ∆ω

cujos coeficientes são obtidos através das seguintes médias

Tte

0

1c f (t) f (t)dtT

= = ∫T

O valor médio de uma função num intervalo de comprimento T corres-ponde à altura de um rectângulo de base T cuja área seja igual à área sob a função no referido intervalo. Dado que a área A sob a função é dada pelo integral da função definido no intervalo T então fica

T

med0

1v f (t) f (t)dt

T= = ∫T


( )T

n n n0

2a 2. f (t).cos .t f (t) cos( t)dtT

= ω = ω∫T , n 1, 2, 3, ...=

( )T

n n n0

2b 2. f (t).sen .t f (t) sen( t)dtT

= ω = ω∫T , n 1, 2, 3, ...=

Esta descoberta de Fourier, acerca da decomposição de funções em ondas, em conjunto com a fórmula de Euler dos números complexos, foram posteriormente desenvolvidas por Laplace e deram origem a poderosas ferramentas matemáticas de grande interesse: as célebres transformadas de Fourier e de Laplace (generalização das transformadas de Fourier).

Figura A.3 Utilização do conceito de integral para cálculo do valor médio de uma função num intervalo [0,T].

A série de Fourier, previamente apresentada na forma trigonométrica, pode ser escrita de forma mais compacta, e matematicamente mais vantajosa, recorrendo à representação complexa das funções coseno e seno, obtendo-se assim a denominada representação da série de Fourier na forma complexa. De facto, utilizando a famosa fórmula de Euler dos complexos ixe cos x isenx= + pode-se escrever

n ni t i t

ne ecos( t)

2

ω − ω+ω = e

n ni t i t

nie iesen( t)

2

ω − ω− +ω =

e portanto, com base nestas expressões, pode-se obter a pretendida expressão correspondente à forma complexa da série de Fourier. De facto

n n n ni t i t i t i t

T med n nn 1

e e ie ief (t) v a b2 2

ω − ω ω − ω∞

=

⎛ ⎞+ − += + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

n ni t i tn n n n

T medn 1

a i b a i bf (t) v e e2 2

∞ω − ω

=

− +⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

0 n k

1i t i t i t0 0 n n k k

Tn 1 k

a i b a i b a i bf (t) e e e2 2 2

∞ −ω ω ω

= =−∞

− − −= + +∑ ∑

o que, admitindo agora n = … ,-3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, … , pode ser simplificado para a seguinte forma

ni tn nT

n

a i bf (t) e2

∞ω

=−∞

−= ∑ , n n.−∞ < ω = ∆ω < +∞

Pela anterior definição de an e bn pode-se concluir facilmente que

n n n na a e b b− −= = − , n ∈

n na a( )= ω Atendendo à definição de an e bn

T Tn n

n n0 0

a i b 1 1f (t).cos( t)dt i f (t).sen( t)dt2 T T

−= ω − ω∫ ∫

( )i tn

Tn n

n n0

e

a i b 1 f (t). cos( t) i.sen( t) dt2 T

− ω

−= ω − ω∫

ou seja

n

Ti tn n

0

a i b 1 f (t) e dt2 T

− ω−= ∫

Note-se que para n = 0 ( 0 0ω = ) fica

0

T Ti t0 0

med0 0

a i b 1 1f (t) e dt f (t) dt v2 T T

− ω−= = =∫ ∫

Tendo em conta as anteriores expressões para an e bn verifica-se facilmente que

n

Ti tn n

T0

a i b 1 f (t) e dt2 T

− ω−= ∫

Convenciona-se então, designar por Transformada Discreta de Fourier da função f(t), no intervalo finito de comprimento T, a função complexa F(ωn) (função de variável real discreta, ωn) dada por

( ) ( ) n

Ti t n n

T n T0

a i bF f t e dt T2

− ⋅ω ⋅ − ⋅ω = ⋅ = ⋅∫ , n n−∞ < ω = ⋅ ∆ω < +∞

Com a anterior definição, a aproximação de uma função fT(t) em série de Fourier, num intervalo de comprimento T (intervalo [0,T] ou [-T/2,T/2]), pode ser escrita na


seguinte forma

( ) ( ) ni tT T n n

n

1 2f t F e , n ,T T

∞⋅ω ⋅

=−∞

π= ⋅ ω ⋅ ω = ⋅ ∆ω ∆ω =∑

Quando T tende para ∞ (T→∞), então ∆ω=2π/T tenderá para dω (∆ω→dω), a variável discreta ωn tenderá para uma variável contínua ω (ωn →ω), e o sinal de somatório deverá assim ser substituído pelo sinal de integral ( →∑ ∫ ): “soma de infinitas parcelas infinitesimais”, e, no limite, fica

( ) ( ) i t1f t F e d2

∞⋅ω⋅

−∞

= ⋅ ω ⋅ ωπ ∫ ( ) ( ) i tF f t e dt

∞− ⋅ω⋅

−∞

ω = ⋅∫

O anterior par de funções, F(ω) e f(t), escrito na forma

( ) i tf (t) F( ) f (t)e dt+∞

− ω

−∞

= ω = ∫F Transformada de Fourier

( ) i t-1 1F( ) f (t) F( ).e d

2

+∞ω

−∞

ω = = ω ωπ ∫F Transformada Inversa de Fourier

é usualmente designado como um par Transformada de Fourier (da função f(t)) e correspondente Transformada Inversa de Fourier. A transformada de Fourier F(ω) é uma função complexa de variável real contínua ω (no domínio da frequência) e a correspondente transformada inversa f(t) coincide com a função original f(t), que é uma função real de variável real t (no domínio do tempo).

A.3.2 Aplicação da transformada discreta de Fourier a séries temporais

A aplicação da transformada discreta de Fourier (TDF), generalizou-se após o surgimento do algoritmo da FFT, pelo que se apresentam agora alguns aspectos que se consideram relevantes para a sua aplicação prática, nomeadamente aquando da sua aplicação a sereis temporais de dados provenientes da realização de ensaios experimentais.

As séries temporais provenientes dos ensaios de vibração ambiental, são consideradas como funções aleatórias estacionárias. Caso estas funções estejam definidas num domínio com limites de integração infinitos, então não possuem transformada de Fourier. Esta dificuldade é ultrapassada, considerando apenas um intervalo de comprimento finito T, no entanto, em termos práticos é sempre esta a situação que se nos depara, uma vez que experimentalmente recolhemos “amostras” finitas, para as quais já existe transformada de Fourier. A transformada obtida nestes casos, designa-se por transformada discreta de Fourier (TDF), que no domínio da frequência se encontra limitada a um conjunto finito de frequências discretas, afastadas entre si de

1 1fT N t

∆ = =⋅ ∆

em que N é número de amostras e ∆t o espaçamento entre amostras no domínio do tempo. Enquanto que a banda de frequências discretas estará contida dentro do intervalo [-fN,fN], em que fN, representa a já referida frequência de Nyquist e pode ser determinada pela seguinte expressão


N1f

2 t=

⋅ ∆

Atendendo ao carácter discreto das séries temporais, e o facto de estas serem representativas de um determinado sinal contínuo x(t), substituído por uma sequência de valores xn=x(n⋅∆t), em que n = 1, 2, 3, ..., N e que a transformada contínua de Fourier X(ω) é substituída pela TDF, representada pela sequência Xk=X(k⋅∆f), em que k = 1, 2, 3, ..., N, em que os valores de k superiores a N/2 podem ser calculados com base nos anteriores, desde que fN = (N/2)⋅∆f. Desta forma, o par apropriado de transformadas de Fourier será então descrito através das seguintes expressões:

( ) n

Ni t

k nn 1

X X k f t x e− ⋅ω ⋅

=

= ⋅ ∆ = ∆ ⋅ ⋅∑

( ) n

Ni t

n kk 1

x x n t f X e ⋅ω ⋅

=

= ⋅ ∆ = ∆ ⋅ ⋅∑

Como já foi referido, o advento da generalização da aplicação da TDF surgiu com a transformada rápida de Fourier (FFT), a qual não é mais do que um algoritmo desenvolvido sob a forma de uma “ferramenta computacional”, que permite calcular a TDF de uma forma rápida e eficiente, este algoritmo é uma consequência dos trabalhos de Cooley e Tuckey (1965). É no entanto de referir, que a FFT possui a limitação, ou inconveniente, de apenas apresentar a sua forma mais eficiente no caso em que a série a que se aplica ter um número N de pontos igual a uma potência inteira de 2, isto é, tal que N=2n. Existem, no entanto, algumas formas de ultrapassar este tipo de limitação, embora em alguns casos, com uma relativa perda de eficiência. Todavia, caso se pretenda aplicar directamente o algoritmo original, mais eficiente, é possível truncar a série ou, proceder ao acrescentamento de zeros, o que é ainda melhor. Para concluir, sublinha-se que a utilização da FFT, reduz o número de operações envolvidas. Daqui resulta uma maior precisão numérica, pela existência de menos erros de arredondamento ou de truncatura, usualmente designados por ruído aritmético.

A.3.3 Erros

Ao longo de todo o processo referente à caracterização do conteúdo espectral associado a uma determinada grandeza física através da aquisição e análise de um determinado sinal que se supõe representativo da sua evolução temporal, são cometidos alguns erros, provenientes quer do processo de medição, quer da aplicação das técnicas de processamento de sinal. Estes erros têm, em geral, origens ou causas distintas e podem ser agrupados nos três seguintes grupos:

− Erros por sobreposição ou dobragem (“aliasing errors”), que surgem devido ao facto de os sinais se encontrarem discretizados e manifestam-se pelo aparecimento de energia associada a frequências superiores à frequência de Nyquist;

− Erros por escorregamento ou efeito de fuga (“leakage effect”), os quais estão associados ao carácter finito das séries temporais e tem como consequência a distribuição da energia associada a uma determinada frequência por uma banda de frequências em torno desta;

− Erros de carácter estatístico, os quais se podem subdividir em erros de viés (“bias errors”) e erros de variância (“random errors”). Os erros de viés caracterizam-se por desvios sistemáticos das quantidades estimadas em relação


às quantidades reais. Enquanto que os erros de variância (aleatórios) se traduzem por desvios aleatórios relativamente à média estimada dessas quantidades.

Os erros por sobreposição e escorregamento, estão associados ao carácter finito da análise espectral, usualmente efectuada, e são considerados como os mais importantes erros na análise de sinais, pelo que seguidamente se refere um conjunto de técnicas correntemente utilizadas para minimizar ou mesmo eliminar o seu efeito. Relativamente aos erros por sobreposição, a única maneira de efectivamente se conseguir eliminar, consiste na colocação de um filtro analógico, designado por filtro “anti-aliasing”, entre a saída dos transdutores e a entrada do sistema de conversão analógico-digital, que elimine o contributo de todas as frequências acima da frequência de Nyquist. Por vezes, tenta-se eliminar este efeito à custa de um aumento da frequência de amostragem, no entanto, esta é uma técnica sem garantia absoluta de sucesso, dado que o verdadeiro conteúdo espectral do sinal é desconhecido à partida. No que diz respeito aos erros por escorregamento, o seu efeito é normalmente atenuado recorrendo à aplicação de “janelas de dados”. De entre os vários tipos janelas de dados existentes: rectangular, exponencial, “cosine-taper”, “Hanning”, “Welch”, triangular (“Parzen”); entre outras, é aconselhável o uso de uma janela com uma forma distinta da rectangular. O objectivo da aplicação de uma janela de dados não rectangular é o de reduzir as descontinuidades do sinal periodizado nas fronteiras do período de amostragem, T. No caso de sinais de tipo aleatório (que é o caso dos sinais de resposta registados em ensaios de vibração ambiental) é generalizada a utilização de uma janela de Hanning. No exemplo seguinte aborda-se o problema dos erros por sobreposição (“aliasing errors”), utilizando para o efeito um sinal que resulta da soma de três ondas.

Exemplo A.1 Análise de um sinal constituído pela soma de três ondas. Efeito de “Aliasing”. Considere-se um sinal constituído pela soma de três ondas com as seguintes frequências: 5 Hz, 10 Hz e 15 Hz, como se mostra na Figura A.4. A cinza está representado o sinal contínuo, enquanto que os pontos a preto correspondem à representação das ondas e do sinal, considerando uma frequência de amostragem de 40 Hz.

u 1(t)

u 2

(t)

u 3(t)

u(

t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5

0

5

t (s)

Figura A.4 Soma de três ondas, representadas por sinais contínuos (linha a azul) e discretos (pontos a vermelho). Na Figura A.5, faz-se a representação do sinal resultante da soma das três ondas, sob a forma de um espectro de potência, onde


claramente ressaltam três picos, precisamente para as frequências das três ondas que compõem o sinal.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-35

10-30

10-25

10-20

10-15

10-10

10-5

100

105

f (Hz)

Figura A.5 Espectro do sinal discreto obtido a partir da soma das ondas de 5, 10 e 15 Hz. Utiliza-se agora o mesmo processo para mostrar o efeito de aliasing. Assim considera-se agora um sinal composto pela soma, também de três ondas, com 5 Hz, 10 Hz e 25 Hz, como se mostra na Figura A.6, as quais são novamente representadas a azul por sinais contínuos e por pontos a vermelho, resultantes de uma amostragem a 40 Hz.

u 1(t)

u 2

(t)

u 3(t)

u(

t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5

0

5

t (s)

Figura A.6 Soma de três ondas, representadas por sinais contínuos (linha a azul) e discretos (pontos a vermelho). Na Figura A.7, apresenta-se o espectro de potência do sinal discreto resultante da soma das ondas com 5, 10 e 25 Hz de frequência, de notar que agora surge também um pico para a frequência de 15 Hz, que não é mais que o reflexo da frequência da onda de 25 Hz em torno da frequência de Nyquist (20 Hz). Este é uma forma clara de mostrar o efeito de aliasing.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-35

10-30

10-25

10-20

10-15

10-10

10-5

100

105

f (Hz)

Figura A.7 Espectro do sinal discreto obtido a partir da soma das ondas de 5, 10 e 25 Hz. Mostra-se finalmente um terceiro caso, em que este efeito é logo detectado no domínio do tempo. Considera-se então, novamente um sinal composto pela soma de três ondas, agora com 5, 10 e 38 Hz, mostrando-se igualmente a sua representação em contínuo e a sua amostragem utilizando a frequência de amostragem de 40 Hz , como se mostra na Figura A.8

u 1(t)

u 2

(t)

u 3(t)

u(

t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

0

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5

0

5

t (s)

Figura A.8 Soma de três ondas, representadas por sinais contínuos (linha a azul) e discretos (pontos a vermelho). Analisando a figura anterior verifica-se claramente que no domínio do tempo se está a representar, para a terceira onda, uma forma discreta que nada tem a ver com as suas características, representadas para o caso de um sinal contínuo, mas sim com as características de uma onda com uma frequência mais baixa. Na Figura A.9, apresenta-se o espectro de potência do sinal discreto resultante da soma das ondas com 5, 10 e 38 Hz de frequência, no qual se verifica que surge agora um pico para a frequência de 2 Hz, o qual corresponde ao efeito de aliasing para a onda de 38 Hz, isto é, a sua dobragem em torno da frequência de Nyquist (20 Hz) dá precisamente 2 Hz.


Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

f (Hz)

Figura A.9 Espectro do sinal discreto obtido a partir da soma das ondas de 5, 10 e 38 Hz. Resta salientar que, o pico que surge na frequência de 2 Hz, para além de corresponder a um efeito de aliasing, está também afectado pelo efeito de leakage ou escorregamento, o qual se descreve no exemplo A.2.

Como já se referiu anteriormente, para além do efeito de escorregamento (ou “aliasing”), é também importantíssimo abordar o fenómeno de escorregamento (ou “leakage”), o qual se aborda nos exemplos seguintes.

Exemplo A.2 Análise de dois sinais constituídos pela soma de três ondas. Ilustração do efeito de escorregamento (“Leakage”). Para discutir o efeito de escorregamento ou “leakage”, considere-se novamente um sinal constituído pela soma de três ondas com as seguintes frequências: 5, 10 e 15 Hz e um outro sinal constituído pela soma de três ondas com as seguintes frequências: 4, 9 e 14 Hz. Considere-se que ambos os sinais são amostrados com uma frequência de amostragem de 40 Hz e que têm um comprimento total de 25.60 segundos (amostras com 1024 pontos). Na Figura A.10 apresentam-se os espectros referentes a cada uma das opções consideradas.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-35

10-30

10-25

10-20

10-15

10-10

10-5

100

105

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

f (Hz) f (Hz) (a) (b)

Figura A.10 Espectro do sinal discreto obtido a partir da soma das ondas de: (a) 5, 10 e 15 Hz; (b) 4, 9 e 14 Hz..

Anexo A: Análise e processamento de sinal 150u 1

(t)

u 2(t)

u 3

(t)

u 1(t)

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6-1

0

1

t (s) t (s) (a) (b)

Figura A.11 Final dos registos das ondas: (a) com frequências 5, 10 e 15 Hz; (b) com frequências 4, 9 e 14 Hz. Analisando as figuras anteriores, verifica-se claramente o efeito de “leakage”, o qual se traduz por uma ligeira diminuição da amplitude dos picos, para a Figura A.10 (b), em oposição ao que acontece na Figura A.10 (a), sendo que esse abaixamento reflecte-se num aumento da base dos picos, o qual é um reflexo do designado efeito de escorregamento do conteúdo energético do pico ressonante para as frequências da vizinhança. Pode-se então colocar a seguinte questão: porque é que num caso acontece e no outro não? A razão é simples e tem a ver com o comprimento das amostras e com o período associado à frequência das ondas. Com esse objectivo procede-se à analise do final dos registos, como se mostra na Figura A.11. Verifica-se que para as ondas às frequências 5, 10 e 15 Hz os registos terminam com o final dos períodos das ondas enquanto que para as frequências 4, 9 e 14, os registos terminam, sem que esse “terminus” coincida com o “terminus” do período das ondas.

Exemplo A.3 Análise de um sinais constituído pela soma de três ondas. Ilustração do efeito de escorregamento (“Leakage”). Analise-se novamente o sinal constituído pela soma das três ondas com as frequências 5, 10 e 15 Hz, considere-se agora duas situações distintas: um registo com 25.60 segundos e um outro registo com 25.75 segundos, dos quais se mostra o seu “terminus” na Figura A.14, enquanto que na Figura A.15, se mostra os respectivos espectros do sinal discreto que resulta das somas.

u 1(t)

u 2

(t)

u 3(t)

u 1

(t)

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7-1

0

1

25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 25.7-1

0

1

t (s) t (s) (a) (b)

Figura A.12 Final dos registos das ondas com frequências 5, 10 e 15 Hz: (a) registo com 25.60 s; (b) registo com 25.75 s.

A.4 Filtragem de sinais 151

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

/s2 )2 /H

z]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-35

10-30

10-25

10-20

10-15

10-10

10-5

100

105

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

f (Hz) f (Hz) (a) (b) Figura A.13 Espectro do sinal discreto obtido a partir da soma das ondas de 5, 10 e 15 Hz: : (a) registo com 25.60 s; (b) registo com

25.75 s.

Analisando as figuras anteriores, verifica-se claramente que pelo facto de as ondas que constituem o sinal com 25.75, não terminarem com o fim de um período, leva a que ocorra o efeito de escorregamento ou “leakage”. É de salientar que neste caso os sinais são praticamente iguais, apenas não tem o mesmo comprimento, o que é a grande problema relacionado com a ocorrência deste efeito, isto é, com o comprimento das amostras que se consideram para analisar um determinado sinal.

Atendendo ao que foi expresso nos exemplos anteriores, é importante salientar que, o efeito de escorregamento ou “leakage” também contribuí para a existência de erros na avaliação dos coeficientes de amortecimentos modais, utilizando para o efeito o método da meia potência, por exemplo. Tendo em conta que a avaliação dos coeficientes de amortecimentos modais dependem da largura dos picos de ressonância, então é fácil perceber que a existência do efeito de escorregamento, faz com que as frequências de meia potência se afastem do valor da frequência correspondente ao pico ressonante, devido ao aumento da largura dos picos, contribuído desta forma também para os erros existentes na avaliação dos coeficientes de amortecimentos modais, a partir de resultados com duração finita em que se aplicam técnicas de processamento de sinal. Nestas circunstâncias, quanto mais curtas forem as amostras utilizadas maiores serão os erros associados ao efeito de escorregamento ou “leakage”.

A.4 Filtragem de sinais

Verificou-se até aqui que, a observação experimental de uma determinada grandeza física, pode ser desvirtuada pela ocorrência de erros na fase de aquisição e processamento do sinal, ou então, por perturbações oriundas de fontes exteriores ao sistema estrutural analisado. Atendendo a este facto, é fundamental prevenir o aparecimento, antes da amostragem, e proceder à eliminação ou atenuação, após a amostragem, das componentes do sinal que não sejam intrínsecas da grandeza física observada ou que se revelem inúteis ou prejudiciais para a análise a desenvolver, pelo que, usualmente, se recorre à utilização de filtros. No âmbito da análise espectral de sinais, pode-se, de uma forma simplista, definir um filtro como um elemento condicionador de sinal, selectivo em frequência, que, consoante as suas características, deixa passar (transmite) ou atenua (filtra) uma frequência particular ou uma banda de frequências [Carvalhal et al. 1989]. A operação de filtragem pode ser efectuada, quer por via analógica quer por via digital, a primeira requer uma implementação física, baseada num conjunto de


circuitos electrónicos, enquanto que a segunda se baseia no desenvolvimento de implementações numéricas. O recurso à utilização de filtros digitais, reveste-se de particular interesse, em especial devido ao cada vez maior número de ferramentas digitais disponíveis e ao baixo custo que lhes está associado. No entanto é importante salientar que, a utilização de filtros digitais não dispensa a utilização de filtros analógicos, nomeadamente nas situações em que se pretende eliminar ou atenuar o efeito dos erros por sobreposição (“aliasing”). Neste tipo de casos, é fundamental eliminar as componentes de frequência superiores à frequência de Nyquist antes da aquisição do sinal, pois de outra forma a série poderá vir contaminada pelos erros de sobreposição, impossíveis de eliminar em fase posterior à custa de qualquer tipo de filtragem digital, correndo-se o risco de interpretar erradamente certas componentes em frequência como componentes do sistema analisado. Um outro aspecto importante da aplicação de filtros, é a remoção de tendências existentes nos sinais. Após a amostragem, verifica-se por vezes a existência de um desvio relativamente ao zero das amplitudes (“off-set”), o qual se deve à não estabilização completa do sensor durante o intervalo de observação. É conveniente eliminar este tipo de tendência, pois a sua existência poderá introduzir algumas perturbações durante a fase de processamento. Usualmente, a remoção deste tipo de tendências é efectuada através a um ajuste por mínimos quadrados de uma função polinomial. No entanto, em muitos dos casos correntes verifica-se que esta tendência é aproximadamente constante, pelo que o polinómio a ajustar é de grau zero, em que a constante que minimiza o quadrado da diferença entre o sinal e o polinómio é, afinal, a média do sinal. Nestas condições, se considerarmos a série inicial amostrada como xn, a remoção deste de uma tendência constante dará origem a uma nova série yn, dada por

N 1

n n kk 0

1y x xN

−

=

= − ⋅∑

A.4.1.1 Tipos básicos de filtros

Tendo em conta a linguagem técnica que lhes está associada, definem-se os seguintes tipos de filtros ideais:

− passa-baixo, que em termos ideais é um filtro que elimina toda a banda de frequências acima de uma determinada frequência de corte, deixando passar todas as frequências abaixo da frequência de corte;

− passa-alto, surge como um filtro que tem uma função inversa, em relação ao anterior, ou seja, elimina toda a gama de frequências abaixo da frequência de corte, deixando passar todas as frequências acima da frequência de corte;

− passa-banda, resulta da associação em série dos outros dois tipos, pelo que a sua utilização tem como objectivo eliminar a banda de frequências fora de um dado intervalo [ω1 ,ω2], deixando passar todas as frequências contidas dentro do intervalo;

− elimina-banda, advém da associação em paralelo de um filtro ideal passa-baixo e de um filtro ideal passa-alto, em contraposição com o anterior elimina a banda de frequências dentro de um dado intervalo [ω1 ,ω2];

Importa referir que, os filtro ideais que se acabaram de definir não existem, quanto muito, é possível desenvolver filtros reais que, nas condições específicas em que vão ser utilizados, constituem aproximações satisfatórias dos filtros com características ideais.

A.4 Filtragem de sinais 153

Definem-se agora alguns termos utilizados na teoria dos filtros, essenciais para a sua compreensão. Considere-se então, um filtro como um sistema linear e invariante no tempo, cuja função de transferência é dada por

( ) ( ) ( )iH H e φ ωω = ω ⋅ o termo ( )H ω , designa-se usualmente por ganho do filtro, exprime-se em dB na forma

( ) ( )G 20 log H dBω = ⋅ ω o valor inverso do ganho ( )1 H ω , designa-se por atenuação, que também se exprime em dB na forma

( ) ( )A 20 log H dBω = − ⋅ ω finalmente, denomina-se por atraso, o simétrico da derivada da fase, em ordem a ω o qual se representa na forma

( ) ( )ddφ ω

τ ω = −ω

Exemplo A.4 Eliminação de baixas frequências, aplicação de um filtro passa-alto digital. Neste exemplo apresenta-se um registo de aceleração que é afectado por dois fenómenos que usualmente ocorrem nos ensaios de vibrações. O primeiro, é usualmente conhecido como efeito de DC (a sigla DC é uma abreviatura de “direct current” – corrente contínua – frequência zero), e é caracterizado, no domínio do tempo, por um desvio constante das medições em relação ao “zero” (como se pode verificar na Figura A.14). No domínio da frequência, caracteriza-se por um valor não nulo para a frequência zero. O segundo fenómeno, está relacionado com a falta de estabilização dos transdutores, caracterizando-se no domínio do tempo por “oscilações” na medição da grandeza física (ver Figura A.14). No domínio da frequência, este efeito traduz-se numa concentração “anormal” de conteúdo energético numa banda de frequências próximas de zero, como se mostra na Figura A.16 (a). Na Figura A.15, apresenta-se o mesmo registo, depois de lhe aplicar um filtro passa-alto digital, no qual foram eliminadas as frequências numa banda inferior a 0.5 Hz.

Ace

lera

ção

[mm

/s2 ]

0 50 100 150 200 250 300-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (s)

Figura A.14 Registo de aceleração com DC e mau comportamento a baixas frequências.

Anexo A: Análise e processamento de sinal 154A

cele

raçã

o [m

m/s

2 ]

0 50 100 150 200 250 300-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (s)

Figura A.15 Registo de aceleração sem DC, depois da aplicação de um filtro passa-alto digital. Mais uma vez se salienta o facto de que só se deve eliminar bandas de frequências que não sejam relevantes para a análise a efectuar. Neste caso concreto, do registo que se apresenta, eliminaram-se frequências abaixo de 1 Hz, quando as frequências de interesse da estrutura se situavam acima do 4 Hz, pelo que o conteúdo em frequência que se eliminou em nada afecta o conteúdo de interesse para uma análise correcta do comportamento dinâmico da estrutura. Na figura seguinte apresentam-se como exemplo do efeito no domínio da frequência da aplicação do filtro passa-alto aos registos obtidos experimentalmente, para o exemplo da estrutura do edifício de 3 pisos, utilizado no 3º capítulo.

Den

sida

de E

spec

tral d

e Po

tênc

ia

[(m

m/s

2 )2 /Hz]

0 5 10 15 20 25

10-4

10-3

10-2

10-1

100 ANPSD

4.413.09

18.7

0 5 10 15 20 25

10-4

10-3

10-2

10-1

100 ANPSD

4.413.09 18.7

f [Hz] f [Hz] (a) (b) Figura A.16 Espectros normalizados médios: (a) antes da aplicação do filtro passa-alto; (b) depois da aplicação do filtro passa-alto.

Analisando a figura anterior, facilmente se verifica que a aplicação do filtro passa-alto permitiu a eliminação de da banda de frequências abaixo de 1 Hz existente na Figura A.16 (a), que na Figura A.16, já não aparece. É de notar que a eliminação daquela banda de frequências, teve como consequência a subida dos valores das amplitudes para as restantes frequências ao longo do espectro.

A.5 Decimação

A decimação é uma operação interessante, especialmente, nos casos em que se pretende reduzir os tamanho das séries temporais para análises posteriores. Por definição a decimação, consiste em escolher um conjunto de dados, considerando uma frequência de amostragem inferior, e eliminar os restantes. Pelo que as séries de dados iniciais, com intervalo de amostragem ∆t, dão lugar a séries com menor número de pontos, com um novo intervalo de amostragem d∆t, dando origem a uma nova frequência de Nyquist f’N = 1/(2 d∆t). Todavia, é necessário ter em conta que todo o conteúdo em frequência acima do valor da nova frequência de Nyquist será dobrado (“folded” or “aliased”) para o novo intervalo [0 f’N]. Para evitar o efeito de “aliasing”, a série temporal inicial deverá ser filtrada antes de se efectuar a operação de

A.7 Conclusões 155

decimação, eliminando o conteúdo em frequência acima de 1/(2 d∆t) utilizando um filtro digital passa-baixo.

A.6 Zoom

Como se viu na subsecção anterior, a operação de decimação, é uma técnica de processamento que permite melhorar a resolução em frequência, sem com isso aumentar o espaço de armazenamento do sinal observado. No entanto, dada a forma como é realizada, a sua aplicação apenas permite melhorar substancialmente a resolução para as baixas frequências. Pelo que, quando se pretende aumentar muito a resolução do espectro numa banda estreita, na vizinhança de uma dada frequência qualquer, é normalmente utilizada a técnica de “zoom”. Esta técnica pode ser implementada de duas formas: uma baseada em técnicas destrutivas e a outra em técnicas não destrutivas. Genericamente, é importante salientar o facto de as técnicas destrutivas, se basearem em métodos através dos quais são introduzidas modificações ao sinal observado. Como se tratam de técnicas destrutivas, é necessário armazenar o sinal e iniciar o processo sempre se pretenda analisar uma nova banda de frequências de interesse. Apresentam como vantagem, o facto de não ser necessário aumentar o tamanho da série. Por seu lado a implementação da técnica de “zoom” recorrendo a técnicas não destrutivas, baseia-se no aumento do tamanho da amostra, quer por aumento do tempo de observação da série, quer por adição de zeros.

A.7 Conclusões

Neste anexo, expuseram-se alguns conceitos e noções (de base mas essenciais), relativos à análise e processamento de séries temporais de dados (sinais digitais). Uma vez que o grande objectivo deste trabalho se centra em aplicações a engenharia civil, foi dada maior ênfase a sistemas físicos, cuja variável dependente, ou de referência, é o tempo, que aliás é a situação mais frequente, na resolução deste tipo de problemas de engenharia com recurso à teoria dos sistemas.

ANEXO

B

MÉTODO DO DECREMENTO ALEATÓRIO

SUMÁRIO: Neste anexo introduz-se os fundamentos do método do decremento aleatório, essenciais para a abordagem que se efectua no capítulo 3 sobre a aplicação dos métodos de identificação modal estocástica no domínio da frequência após a determinação das funções de decremento aleatório. Pelo que neste anexo, se abordam precisamente a forma como se podem obter aquelas funções, ou melhor a matriz daquelas funções.

B.1 Introdução

O método do decremento aleatório, é conhecido na literatura inglesa por “random decrement” – abreviado pela sigla RD, trata-se de uma técnica que, foi utilizada pela primeira vez por [Cole 1968], no âmbito da caracterização dinâmica e detecção de danos em estruturas aeroespaciais sujeitas às condições normais de operação. Posteriormente, a aplicação desta técnica foi abordada por outros autores, dos quais de destacam os trabalhos desenvolvidos por [Ibrahim 1977, 1979, 2001], [Vandiver et al. 1982], [Brincker et al. 1991, 1992] e [Asmussen 1997], sendo que este último explora e aplica este interessante método na identificação modal de estruturas de engenharia civil. Os trabalhos de [Cole, 1968], desenvolvidos na NASA, cingiam-se à análise individualizada das séries temporais da resposta, com vista à obtenção de frequências naturais de vibração e coeficientes de amortecimento. Com os trabalhos de [Ibrahim 1977], foram introduzidos os conceitos de auto funções de decremento aleatório e funções cruzadas de decremento aleatório, com base nas quais é possível obter, também, as configurações modais das estruturas. Posteriormente [Vandiver et al. 1982], estabeleceu a relação entre as funções de RD e as funções de correlação, sustentada no facto de as auto funções RD serem proporcionais às funções de auto-correlação, para processos estocásticos estacionários gaussianos de média nula, no caso de se utilizar uma condição de passagem por um nível, para obtenção das funções de RD. Em [Brincker et al. 1992] é introduzida a definição duma condição inicial generalizada, verifica-se igualmente a relação das funções de RD com as funções de correlação e com as suas primeiras derivadas em ordem ao tempo.

É também usual designar as funções de decremento aleatório como funções RD [Asmussen 1997; Rodrigues 2004] e representá-las através da letra D.

Actualmente esta técnica é utilizada para estimar, de uma forma rápida e simples, as funções de correlação, com base na média de um conjunto de amostras seleccionadas a partir de séries temporais da resposta a acções ambientais, sendo que a selecção das amostras obtidas respeita a verificação da ocorrência de uma determinada condição

É importante salientar que as funções de correlação são usualmente utilizadas nos métodos de identificação modal estocática no domínio do tempo (os quais não são

Anexo B: Método do decremento aleatório 158

inicial. No âmbito dos trabalhos de [Cole 1968], as funções RD foram inicialmente interpretadas como a resposta das estruturas em regime livre, segundo ele a resposta de uma estrutura a uma excitação aleatória para o instante de tempo genérico t, é composta por três componentes:

i) a resposta devida aos deslocamentos iniciais (para o instante t0); ii) a resposta devida às velocidades iniciais (para o instante t0); iii) a resposta às acções aleatórias, desde o instante t0 até ao instante t = t0+∆t.

Considere-se uma série temporal da resposta, se dessa série forem retiradas amostras, sempre com o mesmo deslocamento inicial, efectuando a média dessas amostras, verifica-se que, à medida que se consideram mais amostras, a componente da resposta aleatória tende a anular-se e a desaparecer, o mesmo acontece com a componente da resposta devida à velocidade inicial, uma vez que as componentes de velocidade positivas (corte em subida) são anuladas pelas componentes de velocidades negativas (corte em descida), restando somente a componente da resposta em regime livre devida aos deslocamentos iniciais.

abordados no âmbito deste trabalho). Enquadram-se nos designados métodos de duas fases, os quais avaliam em primeiro lugar as funções de correlação e só depois é que estas são analisadas recorrendo ao ajuste de modelos paramétricos com vista à identificação das características dinâmicas dos sistemas estruturais. O método do decremento aleatório é precisamente uma das possíveis vias para avaliar as funções correlação.

B.1.1 Funções de decremento aleatório

Para o estabelecimento das funções de RD, considerem-se dois processos estocásticos estacionários x(t) e y(t), cujas respectivas auto funções RD são definidas com base no valor espectável sob a condição T, de acordo com as seguintes expressões:

( ) ( ) ( )xx x tD E x t | T⎡ ⎤= +⎣ ⎦τ τ ( ) ( ) ( )yy y tD E y t | T⎡ ⎤= +⎣ ⎦τ τ

Por sua vez as funções cruzadas RD, podem-se definir na forma seguinte:

( ) ( ) ( )xy y tD E x t | T⎡ ⎤= +⎣ ⎦τ τ ( ) ( ) ( )yx x tD E y t | T⎡ ⎤= +⎣ ⎦τ τ

Do ponto de vista prático, assume-se que os processos estocásticos x(t) e y(t), também são ergódicos, neste caso, desde que se consiga extrair, das séries temporais, um número de amostras N suficientemente grande, as funções RD anteriores, podem-se avaliar com base nas seguintes expressões:

( ) ( ) ( )i

N

xx i x ti 1

1D x t | TN =

= ⋅ +∑τ τ ( ) ( ) ( )i

N

yy i y ti 1

1D y t | TN =

= ⋅ +∑τ τ

( ) ( ) ( )i

N

xy i y ti 1

1D x t | TN =

= ⋅ +∑τ τ ( ) ( ) ( )i

N

yx i x ti 1

1D y t | TN =

= ⋅ +∑τ τ

As estimativas das funções RD, avaliadas com base nas expressões anteriores, são estimativas não enviesadas [Brincker et al. 1992; Asmussen 1997], sendo essa uma das vantagens do método do decremento aleatório.

B.1.2 Condições iniciais

A aplicação do método do decremento aleatório assenta no critério de selecção das

B.1 Introdução 159

condições iniciais, para a extracção de amostras a partir das série temporais da resposta. Segundo [Asmussen 1997], as condições iniciais usualmente utilizadas como critério de selecção, no método do decremento aleatório, são as seguintes:

i) condição inicial de passagem por um nível; ii) condição inicial de máximos locais; iii) condição inicial de pontos positivos; iv) condição inicial de passagem por zero com inclinação positiva.

Importa referir que, embora a fundamentação do método RD se baseie em termos da resposta em deslocamentos, é equivalente aplicar o processo de avaliação das funções de RD à resposta em aceleração, que, é a grandeza física usualmente medida em ensaios de vibração ambiental. Nessas circunstâncias, as condições iniciais para extracção das amostras são definidas em função da aceleração e/ou da sua derivada em ordem ao tempo. No primeiro critério são seleccionadas amostras que têm o seu início quando a série temporal passa um determinado valor definido da aceleração – Tx(t) =x(t) = a, em subida ou em descida. No segundo critério seleccionam-se amostras que tenham como ponto inicial os máximos locais da série temporal, isto é pontos cujas primeiras derivadas são nulas. Enquanto no terceiro critério são seleccionadas amostras cujos pontos iniciais estejam compreendidos entre dois limites a e b, que deverão ter o mesmo sinal. Por fim, no quarto critério seleccionam-se amostras que tenham como ponto inicial a ordenada nula e declive positivo, isto é primeira derivada positiva. Utilizando cada um dos critérios anteriores, obtêm-se funções RD com diferentes valores iniciais. Por exemplo, utilizando o primeiro critério, obtêm-se funções RD que no instante inicial apresentam um valor de aceleração igual a a e primeira derivada nula. Por outro lado, a escolha do nível a é fundamental, pois condiciona a qualidade dos resultados. Um nível a baixo permite a selecção de mais amostras, contudo, os erros associados ao processo de medição têm maior relevância. Em [Asmussen 1997], é demonstrado que para a aplicação do primeiro critério existe um nível a óptimo, o qual é um múltiplo do desvio padrão (σx) da série temporal em análise:

x2= ⋅σa

As funções RD estimadas com base nos primeiros três critérios de selecção são proporcionais às funções de correlação, enquanto que, as funções RD estimadas através do quarto critério de selecção são proporcionais à primeira derivadas das funções de correlação. As funções de correlação estimadas através das funções RD, podem ser utilizadas na segunda fase dos métodos de duas fases no domínio do tempo, ou podem ser utilizadas para determinar as funções de densidade espectral de potência nos métodos no domínio da frequência. Esta última possibilidade é apresentada pela primeira vez em [Rodrigues 2004].

Anexo B: Método do decremento aleatório 160

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anÁlise dinÂmica de estruturas · estruturas existentes que apresentem um risco potencial...

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