Favor citar a fonte Dvidas e esclarecimentos sobre o trabalho: danilofisico@yahoo.com.br Questions and clarifications about the work:danilofisico@yahoo.com.br Dados para referncia bibliogrfica: Barbosa, Danilo de Almeida.Anlise de movimentos peridicos em sistemas com vibro-impacto harmonicamente. 2009. Dissertao Programa de Ps-graduao em Engenharia Mecnica. Universidade Federal do Esprito Santo. Aps fazer a citao, por favor, entre em contato, com os dados do material citado, incluindo titulo e autor. REPRODUO AUTORIZADA PELO AUTOR. Apenas peo-lhe que no se esquea de citar a fonte. Outubro de 2009 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO CENTRO TECNOLGICO PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA DANILO DE ALMEIDA BARBOSA ANLISE DE MOVIMENTOS PERIDICOS EM SISTEMAS COM VIBRO-IMPACTO HARMONICAMENTE EXCITADOS VITRIA ES 2009 DANILO DE ALMEIDA BARBOSA ANLISE DE MOVIMENTOS PERIDICOS EM SISTEMAS COM VIBRO-IMPACTO HARMONICAMENTE EXCITADOS DissertaoapresentadaaoProgramadePs-GraduaoemEngenhariaMecnicada UniversidadeFederaldoEspritoSantocomo requisitoparcialparaaobtenodoTtulode Mestre em Engenharia Mecnica. rea de Concentrao: Sistemas Mecnicos VITRIA ES 2009 Professor Orientador:Dr. Mrcio Coelho de Mattos Professor Co-Orientador:Dr. Vladimir Ivanovitch Dynnikov DANILO DE ALMEIDA BARBOSA ANLISE DE MOVIMENTOS PERIDICOS EM SISTEMAS COM VIBRO-IMPACTO HARMONICAMENTE EXCITADOS DissertaoapresentadaaoProgramadePs-GraduaoemEngenhariaMecnicada UniversidadeFederaldoEspritoSantocomo requisitoparcialparaaobtenodoTtulode Mestre em Engenharia Mecnica. Aprovada em 16 de Outubro de 2009. COMISSO EXAMINADORA _________________________________________ Prof Dr. Mrcio Coelho de Mattos Orientador Universidade Federal do Esprito Santo _________________________________________ Prof Dr. Vladimir Ivanovitch Dinnykov Examinador Interno Universidade Federal do Esprito Santo _________________________________________ Prof Dr. Fransergio Leite da Cunha Examinador Externo Faculdade do Centro Leste - UCL Dados Internacionais de Catalogao-na-publicao (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Esprito Santo, ES, Brasil) Barbosa, Danilo de Almeida, 1979- B238aAnlise de movimentos peridicos em sistemas com vibro-impacto harmonicamente excitados / Danilo de Almeida Barbosa. 2009. 93 f. : il. Orientador: Mrcio Coelho de Mattos. Co-Orientador: Vladimir Ivanovitch Dynnikov. Dissertao (mestrado) Universidade Federal do Esprito Santo, Centro Tecnolgico. 1. Oscilaes. 2. Vibrao. 3. Impacto. 4. Choque (Mecnica). 5. Colises (Fsica). 6. Vibro-impacto. I. Mattos, Mrcio Coelho de. II. Dynnikov, Vladimir Ivanovitch. III. Universidade Federal do Esprito Santo. Centro Tecnolgico. IV. Ttulo. CDU: 621 DEDICATRIA Dedicoestetrabalhoatodosquelesqueacordamcedo,preparamarefeiodo meio-diaparalevaraotrabalho,equenofogemalabutaeacreditamnaforada educao para o crescimento profissional e humano.Consagroestaliteraturaaestessereshumanosqueseespremememcondues lotadas e sem conforto, muitas vezes antes mesmo do amanhecer e aos ex-colegas de lavoura que ao final do expediente ainda encontram foras para encarar mais trs ou quatro horas de estudos,poisacreditamqueaquelacondiosub-humanaaquallhefoiimposta,sob herana, s ir se alterar quando conseguirem extinguirem a ignorncia do peito. Damesmaformaelevoestadedicatriaaosex-colegascamels,quesoalvosdo preconceitodifundidoatravsdapropagandadeeliminaodestaclassedasociedadepela burguesiaquefazusodamdia,injetandohipocrisiasnaquelescujaverdadeirainformao est ausente. Eamaisimportantedasdedicatriasatodosestesmesmostrabalhadoresque sofremeabdicamdafelicidadeemprdafelicidadedeseusfilhos,oseducandoecomo sonho de que suas crias no passem pelas humilhaes os quais foram obrigados. Espero que o resultadodeste consiga injetar rendimentos a Repblica Federativa do Brasil,equeamesmatenhaemseusGovernosseresHUMAOScompetentesecom habilidade suficiente para distribuir as receitas, de forma justa, com todos aqueles que ainda no tiveram a mesma sorte que eu. A todos nordestinos e Ao Dr. Vladmimir, como todos queles que esto frente de seu tempo. O ato de sonhar d direito ao Homem de poder progredir. Danilo de Almeida Barbosa AGRADECIMENTOS engraado que em algumas notas de agradecimento colocam-se os nomes dos homenageados por ordem de importncia. Mas imaginemos o seguinte: vamos construircincocasasemregimedemutiro.Temoscincotrabalhadores:um engenheiro,umaarquiteta,umpintor,umpedreiroeumajudante,poisopedreiro no tem condio de carregar muito peso. O engenheiro e a arquiteta e o pintor no sabem bater massa preparar o cimento. fcil imaginar que o pedreiro e nem o ajudante possuem a mesma percia adequada que o engenheiro e a arquiteta. E dos cinco h apenas uma pessoa com habilidades em tintas. Umapessoacommuitoexcrementocerebrallogoacreditaqueos personagensmaisimportantesnestahistriasooengenheiroeaarquiteta. Contudo, v-se racionalmente que no h casa sem pedreiro. Da mesma forma no h decorao se no houver pintor e o pedreiro no trabalharia sem seu ajudante. Oquequerodizercomestahistriaquecrieiqueseporalgummotivo algum ficar de fora do grupo, todos ficaro sem CASA. Assimomeutrabalho,todossoextremamenteimportantesenamesma ordemdegrandeza,digamos10999999.Nohaveriatrabalhosenohouvessea colaborao dos meus homenageados. minhamaiorpatrocinadora,aCientistaSocialeDoutoraemFraternidade comnfaseemSolidariedadeCrnica,MariaAparecidadeAlmeida-quese apresenta em minha vida como principal orientadora - a qual comumente eu minhas irms chamamos de ME, que abdicou de seus sonhos em pr dos meus. AgradeoaRitaCoutoDominguesquemesmomeconhecendotopouco demonstrou acreditar em minha prosperidadeE mais ainda agradeo queles que no acreditaram - que por diversas vezes mecolocaramnaposiodeumsonhadorquenotmospsnocho-jque inconscientementeacabarammemotivandoaindamais,poiscomissotomeia descrena como um desafio. Aindanestecontextodeclarominhagratidoaduaspessoasque empregaramtotalconfiananestapesquisa:oSr.EvandroValienseAraujoea CientistaSocialSra.VniaFernandesDalBemquetambmforampatrocinadores ao emprestarem um bem valioso: o prprio nome. OBRIGADO PELA CONFIANA NO DESPERDIADA! sabido que antes de alcanar este andar, precisei galgar degraus. Durante esteprocessoobtiveajudadoDoutoremHumanitarismocomnfaseem Humildade,cujottulooconcedopelaexperinciadevida,queatendepelonome de Genival Rodrigues Barbosa ou simplesmente de PAI.AindanoperodoemqueseguiuminhagraduaoemBachareladoem Fsica, pela Universidade Estadual de Santa Cruz, tive a sorte de conhecer pessoas comoThiagoNascimentoBarbosaesuafamliaTiaZza,TiaJeane,queme deramatenoedistriburamamorcomoseseufilhofosse.AoSr.Adrianoque desta mesma famlia tornou-se amigo. No poderia deixar de agradecer a Tia Marlene que por muitas vezes cuidou deminhasenfermidadesemostrou-seumaamigadecoraoimenso(comouma me estende a mo ao seu filho). AoDr. AlejandroDimarcoe aoDr.AndrRibeiroporcontriburemem minha formao acadmica e por me recomendarem a este programa. Um eterno agradecimento ao Professor Dr. Vladimir, pessoa que abriu a porta deste mestrado e me deu uma oportunidade (no desperdiada). AoProf.MrcioCoelhodeMattosquedispspartedeseutempocom dedicao na orientao e reviso deste trabalho. Muito obrigado Professor. Nopoderiaesquecerasduaspessoasquecertamentesoasquemais aparecem em notas de agradecimento - e vale lembrar que muito merecidamente - que so Celina e a Maria Jos ( Zez). Obrigado pela prestabilidade e solidariedade. EtambmaosprofessoresDr.JuanRomero,Dr.CarlosLoefflerpelas consultorias. AIuryeElisa,queporvezesmeauxiliarameforampacientesaoouviremmeus lamentos. AgradeoaoauxliodoscolegasdemestradoJooPaulo,EduardoMagno, DiegoCalvin,BrenoDornelas,RafaelLopes,Zerbine,Alchaar,AlexSantana, LeonardoCaputo,FlvioCostalonga,JonasCarvalhoeaocompanheiroCharleso qual mantenho uma alta estima. Ainda tomo gratido agncia de Fomento FAPES/FUNCITEC que foi agente pagador das minhas despesas relacionadas pesquisa. AminhaDiva,CarolineCoutoDomingues,quedemonstroutodacrenaem minha vitria e que tenho certeza que sempre estar ao meu lado tanto nas derrotas como agora em mais este TRIUNFO. Esta mesma pessoa me ensinou que O AMOR nunca falha. E agradeo a DEUS por me conceder o direito de poder agradecer. SeDeusOexisteevocacreditanEle voc no perder ADA por acreditar. Mas se DEUSexisteevocOacreditanElevoc perder TUDO por no acreditar. Blaise Pascal RESUMO medidaqueossistemasmecnicostornam-semais flexveisnovosfenmenosdadinmicadesistemas,antes menosimportantesporcausadabaixaprobabilidadedesua ocorrncia, ganham relevncia. Entre estes esto os sistemas comvibro-impactos.queossistemasmaisflexveis terminamporamplificarosfenmenosqueocorremnos impactosehparticipaodestesfenmenosnadinmica global dos sistema.Otrabalhoapresentaumestudosobresistemascomvibro-impacto,tomandocomoobjetodeestudoparticularum sistemamassa-mola-amortecedorcomexcitaopelabase cujo movimento limitado lateralmente por obstculos contra osquaisamassaemmovimentocolide.Osistema analisado na sua forma adimensional onde nossa pesquisa se concentra na busca de condies de existncia e estabilidade decertostiposdemovimento.Abuscaexaustivada existnciaeestabilidadedemuitospadresdemovimento nooobjetivodotrabalho.Pororaestamosbuscando apenas descrio detalhada da tcnica e estruturao de ferramentascomputacionaisquefacilitemestetrabalho. Vencida esta etapa, apresentam-se algumas anlises para os padresdemovimentomaiscomunscomresultados satisfatriosquepodemnostrazerinteressantes questionamentosparaexpansodeste,oquenaverdade aparece como sugesto para trabalhos futuros. Palavras-Chave:Oscilaes, vibraes, vibro-Impacto, balano harmnico ABSTRACT Asmechanicalsystemsbecomemoreflexiblenew phenomenaofdynamicsystems,beforelessimportant becauseofthelowprobabilityofitsoccurrence,gain importance. Among these are systems with vibro-impacts. IsthattheSystemsmoreflexibleendupamplifyingthe phenomenathatoccurduringtheimpactsandthereis contributionthesephenomenainthedynamicsoftheglobal system.Thispaperpresentsastudyonsystemswithvibro-impact, takingasanobjectofparticularstudyamass-spring-damper excitedbythebase,whosemovementislaterallylimitedby obstacles against which the moving mass collides. Thesystemisanalyzedinitsdimensionlessformwhereour research focuses onstudyingtheconditions ofexistence and stability of certain types of movement.Theexhaustivesearchoftheexistenceandofthestabilityof manystandardofmovementisnottheobjectivethisyour work.Wewillonlydescribeindetailthetechnicaland computationaltoolsthatcanfacilitateworklikeis.Afterthis step,wepresentsomeanalysistothemovementpatterns most common, with interesting conclusions. Keyworks:Oscillations,vibration,vibro-Impact,harmonic balance Lista de Figuras 1INTRODUO 1.1: Sistema cujos movimentos so objeto de estudo - consiste de uma base oscilantenaqualsemovimentaumbloco,esteconectadobaseporum suporte visco-elstico. 15 2MODELAGEM DO SISTEMA 2.1:Movimentode' S emrelaoS comvelocidaderelativa ) ( '0pt pSen s v = ,onde 0' s amplitudedomovimentodopontoep a excitao devido a uma fora perturbadora F. 22 2.2:Sistemacujosmovimentossoobjetodeestudogeraatravsde algebrismo,elaborandodiagramadocorpolivreaovisualizarafigura,o resultado do equilbrio dinmico das foras atuante sobre o corpo rgido de massa m quando este se desloca entre os dois batentes 24 2.3:Fluxogramadoalgoritmodasoluotemporaldaequaode movimentoAlgoritmoquerepresentaarespostatemporalobtidaapartir dassoluesdasrespostasemcadalapsotemporalderespostalinear relacionada com a com o diagrama da figura 2.1. 30 2.4:Movimentocomperododeordem1e3impactosporperodo- Resposta para5 . 0 = ,1 . 0 = e05 . 0 = .33 2.5:Respostapara5 . 0 = ,2 . 0 = e05 . 0 = .Respostamuitobem comportada,apresentandoperododeprimeiraordem,isto,igualaoda excitao, com trs impactos por perodo. 33 2.6:Mudanasnoparmetrorelativofolgapodemlevararespostasde topologia diferenciada. 34 2.7:Repara-seque,em313 . 0 ,omovimento,emborapermaneacom perodo de ordem 1, passa a apresentar apenas 2 impactos por perodo. 34 2.8:movimentocomperododeordem1edoisimpactosperodo,que ocorrequandoafolgaestmuitoprximaamplitudedooscilador harmnico forado que caracteriza o sistema quando no h colises, 35 2.9: Resposta para5 . 0 = ,09 . 0 = e05 . 0 = . Aparente movimento quase-peridico que no se confirma ao longo do tempo. 35 2.10: Movimento no peridico. Notam-se20 impactos por lapso de T 3 . 36 2.11:Respostapara5 . 0 = ,091391 . 0 = e05 . 0 = .05 . 0 = .Movimento noperidiconatransioataomovimentoperidicocomperodode ordem 1, apresentado na figura. 36 2.12: Resposta para5 . 0 = ,21601 . 0 = 36 2.13:Condensaoqueocorrepara21604 . 0 = .Nafigurapodemser identificados trs lapsos temporais distintos. 37 2.14: Parte da resposta temporal ampliada 37 2.15: Aparente movimento com amplitudes moduladas que no se confirma no futuro. 38 2.16: Movimento no peridico, conforme mostrado na figura 2.11.38 2.17:Iniciodamigraodeperododeordem2paraperododeordem1 quando2305 . 0 . 39 2.18: Movimento com perodo de ordem 2 e 10 impactos por perodo.39 2.19: Movimento com perodo de ordem 1 e 5 impactos por perodo 39 2.20: Passa por uma janela de movimento no peridico. 40 2.21: Trmino como movimento peridico com dois impactos por perodo40 2.22: Padres de movimento diversos para variaes da folga quando1 = e05 . 0 = . 41 2.23: Movimento com perodo de ordem 1 e 2 impactos por perodo 41 2.24: Movimento com perodo de ordem 3 e 4 impactos por perodo41 2.25: Resposta 0 0 05 . 0 0 . 2 0 . 10 0= = = = = v x 42 2.26: Resposta 0 0 05 . 0 5 . 2 0 . 10 0= = = = = v x 42 2.27: Movimento com perodo de ordem 2 e 2 impactos por perodo 42 2.28: Movimento com perodo de ordem 1 e 2 impactos por perodo43 2.29:Possibilidadedemovimentosperidicosdefreqnciafundamental muito mais baixa que a da excitao. 43 2.30: Movimento com perodo de ordem 2 e 2 impactos por perodo. 43 2.31:apresentamaisumcasomovimentoperidicodeperododeordem seis,resultandoum movimento de freqncia fundamental bem maisbaixa que a excitao 44 3EXISTNCIA E ESTABILIDADE DE PADRES DE MOVIMENTO 3.2:Representaoesquemticademovimentoscomdoisimpactospor perodo igualmente espaados no tempo. 53 3.3: Movimento no peridico 55 3.4: Movimento quase peridico 55 3.5:Movimentoperidicocomperododeprimeiraordeme2impactos por perodo. 55 3.6:Movimentoperidicoaps3700colises:1ordeme2impactospor perodo. 58 3.7: Amplitude do sistema linear e indicao da regio de impactos. 61 3.8: Valor crtico de em funo de . 63 3.9: Identificao das freqncias em que 1cr 63 3.10: Movimento com perodo de ordem 1 e 2 impactos por perodo. 7771 . 0 05 . 0 5 . 1 0 . 10 0 = = = = = v x 64 3.11: Movimento com perodo de ordem 1 e 2 impactos por perodo.64 7711 . 0 05 . 0 0 . 2 0 . 10 0 = = = = = v x . 3.12: Movimento com perodo de ordem 1 e 2 impactos por perodo. 7529 . 0 05 . 0 0 . 3 0 . 10 0 = = = = = v x . 65 3.13: Movimento com perodo de ordem 1 e 2 impactos por perodo. 7255 . 0 05 . 0 0 . 4 0 . 10 0 = = = = = v x . 66 Figura 3.14: Movimento com perodo de ordem 1 e 2 impactos por perodo. 7081 . 0 05 . 0 5 . 4 0 . 10 0 = = = = = v x . 66 3.15:Perodode ordem2e2impactosporperodo(respostaaps30.000 colises)0 0 05 . 0 5 . 4 0 . 10 0= = = = = v x 67 3.10: Estado do sistema aps colises (computo aps 30.000 colises)67 4.1: Comparao entre balano harmnico e simulao direta 783299 . 0 05 . 0 24 . 0 0 . 10 0 = = = = = v v x 80 Lista de SmbolosCapitulo 1 = Folga dada em unidade de comprimento, distncia entre o bloco e o batente = Representa a folga adimensional, relao 0y = mMassa do corpo= k Constante elstica ou rigidez da mola = c Constante viscosa que em algumas bibliografias aparece como b. z = z(t), que uma funo temporal que governa o movimento da massa em relao a base que se movimenta com uma funo horria cossenoidal pt y y cos0=. = p Freqncia perturbadora ou excitatria 0y = Amplitude mxima = tTempo em segundos Capitulo 2 s v & == velocidade de deslocamento da base em relao a um referencial fixo Fatrito =Fora de atrito P= Posio do corpo num instante t qualquers xb= ' = Deslocamento da base em relao a um referencial fixo. o o os s x = = ' ' = Amplitude referente ao deslocamento cossenoidal da base o = Freqncia fundamental = Fator de amortecimento = Tempo adimensional = x Deslocamento adimensionalizado = Razo entre as freqncias) ( f f == uma funo genrica Capitulo 3 cos A Ac = sen A As = A= coeficiente a determinar = Instante final da coliso =iInstante em que o estado do sistema conhecido, ondei o numero de colises = JMatriz que rege a transferncia de momento linear entre os estados anterior e posterior coliso +e indicam os instantes infinitesimalmente antes e aps o instante da coliso. Sumrio 1INTRODUO 1.1Descrio do Problema e Objetivos15 1.2Reviso Bibliogrfica18 1.3Organizao da Dissertao21 2MODELAGEM DO SISTEMA SELECIONADO PARA ESTUDO 2.1Modelo Fsico e Modelo Matemtico Equao do Movimento22 2.2Algoritmo de Soluo da Resposta Temporal29 2.3Resultados da Simulao: Alguns Padres Resposta de Movimento32 3 EXISTNCIA E ESTABILIDADE DE PADRES DE MOVIMENTO 3.1Anlise da Equao de Movimento47 3.2 Condies para Movimento Peridico com dois Impactos por Perodoe Igualmente Distribudos no Perodo. 51 3.3 Dependncia da Resposta Permanente s Condies Iniciaisdo Movimento 55 3.4 Regio de Existncia do Movimento com Perodo de Ordem 1 e Dois Impactos por Perodo, Uniformemente Distribudos 60 4 APLICAO DO MTODO DO BALANO HARMNICO 4.1Descrio de Mtodo69 4.2Clculo dos Coeficientes72 4.3 Algoritmo para a Implementao da Soluo por Balano Harmnico 81 5ANLISE E CONCLUSES 5.1Concluso e Trabalhos Futuros83 Referncias85 Anexo I88 15 15 1INTRODUO 1.1DESCRIO DO PROBLEMA Uma importante parte dos sistemas dinmicos representada por aqueles sistemas cujomovimentosedduranteinteraesimpactantesentremassasdomesmo sistema,ouseja, nointervalonfimoduraodoimpacto-instante.Estessistemas soconhecidoscomovibro-impactanteseamaioriasoconsideradoscomo sistemas no-lineares. (RAGULSKIENE,1974 p. 320). Muitosdestessoregidosporequaesprpriasdemovimentosperidicoseque podemgerarumafuncionalquealgunsafirmamserumafunodentrodeoutra funo mantendo uma periodicidade que pode vir a ser manipulada.Ocitadoacimapodeservistoemvriascorrentesdeestudosqueenvolvem vibraes.Nonossocasoestaremosanalisando umcorpo movimentando-sesobre uma base mvel.Emborahajamuitasaplicaesimportantesdevibraeslivres,aclassemais importantedeproblemasdevibraoaquelanaqualomovimento continuamenteexcitadoporumaforadeperturbao(MERIAM1999),oque sugeririaautilizaodomtododaperturbaopararesoluodeproblemasque envolvem estes sistemas. Contundo os mtodos numricos de aproximao como o BalanoHarmnico(ouequilbrioharmnico)sosimplesesistemticos,oque viabilizaasuaimplementaoe melhora o desempenhocomputacionalemrelao aos mtodos analticos como o mtodo da perturbao (LEWANDOWSKI,1992). Em relao ao nosso problema, consideremos o sistema apresentado na figura 1.1, que consiste de uma base oscilante na qual se movimenta um bloco, este conectado base por um suporte visco-elstico. O movimento corpo limitado pelos batentes dabaseoscilante,contraosquaisosistemamassa-mola-amortecedorimpacta repetidamente. 16 16 Figura1.1:Sistemacujosmovimentossoobjetodeestudo,emque z=z(t) que uma funo temporal que governa o movimento da massa emrelaobasequesemovimentacomumafunohorria cossenoidalt y y cos0= . Osistemaapresentadopodeseranalisadosobdiferentesprismascomo,por exemplo: a) Respostadinmicaglobaldosistemamassa-mola-amortecedoresuas particularidadescomodependnciadoconjuntodeparmetrosqueo caracterizam,isto,comodependnciadafrequncianaturaldosistemalinear associado,doamortecimento,dafolgaedesuaassimetria,daexcitaoedas condies iniciais do movimento; b) Dinmicaglobaldosistemamassa-mola-amortecedor+baseoscilanteesuas particularidadescomodependncia doconjuntodeparmetrosquecaracterizam o sistema; c) Efeitosdedesgastedosimpactosesuadependnciacomosparmetrosque caracterizam o sistema; d) Caractersticasdasondassonorasgeradaspelosimpactosesuadependncia com os padres de movimento do sistema; e) Distribuioespectraldeenergiacomodependnciadospadresdemovimento do sistema; Cadaitemanteriorpodeserainda,desdobrado,emdiversossubitens.Nocasoda resposta dinmica global (item a), pode-se destacar, por exemplo: a.1)Condiesderessonncianolinear,isto,deenergiamximanaresposta com energia mnima na excitao; a.2)Anlise de movimento para diversos modelos de contato na regio de impacto; a.3)Condies de existncia e estabilidade de movimentos peridicos; a.4)Condies para ocorrncia de caos; ckz0cos s s t =m17 17 a.5)Relaoentreadissipaodeenergianomovimentomacro,viscosa,ea dissipao de energia no impacto; O presente trabalho est focado no estudo de condies de existncia e estabilidade demovimentosperidicos,fixando-se,obviamente,algumascaractersticasdo sistema, a saber: a)Oelementoqueconectaamassabaseoscilantevisco-elsticoeresponde linearmente, isto , a mola e o amortecedor viscoso so lineares; b)Oimpactoentreamassaobatenteserconsideradofrontal,deformaqueo movimento oscilatrio da massa ser sempre unidirecional; c)Omovimento) (t y dabaseoscilanteprescritoenosofreperturbaodo movimento da massam, nem mesmo das colises. Pode-sequestionarasuposiodequeomovimentodabaseoscilantenosofre interferncia do movimento do corpo a ela conectado, nem mesmo nos instantes do impacto.Nodeveserenxergadanenhumaestranhezanestahiptese,sobretudo paraquemconsiderarazovelaaplicaodeumaforaharmnicadeamplitude preestabelecida,porexemplo,emsistemas,linearesouno,amplamente exploradosnaliteratura,Hartog(1985),Nayfeh(1973),Mook(1976),Strogatz (2000). Na verdade, a hiptese implica apenas em uma fonte de energia mecnica o bastante robusta para, compensando todas as perturbaes externas a ela, inclusive asdomovimentodocorpodemassamesuascolisescontraabaseoscilante, manter sob controle o movimento prescrito. oproblema,jabordadoporMook(1976),dossistemasditosideais,em contraposioaossistemasreaisnoideais.Adinmicadafontedeenergia, quandonogarantidaseucomportamentoidealdeveserlevadoemcontano equacionamentodoproblema.Neste,estaremosconsiderandoafontedeenergia quegaranteomovimentodabaseoscilantecomoideal,ougaranteaenergia necessria para a garantia do movimento descrito. Esta exatamente a mesma suposio que fica por traz do modelo de uma fora de amplitude preestabelecida: A fonte que produz esta fora suficientemente robusta 18 18 paramant-la.Utilizam-semuitasvezes,alis,sistemasretroalimentadosparaa garantia de que a fora excitadora obedea s caractersticas desejadas. Oobjetivogeralamodelagemeanlisedospossveismovimentosdosistema constantedafigura1.1,oqualdependedasmuitaspossveiscombinaesde parmetros.Sabe-se,todavia,que,naprticaarespostaemfrequnciaassume importnciafundamentalporquesemostraimportantetantocomoparmetrode projeto quanto como estratgia de controle. Como objetivos especficos, tm-se: a)Anlise da existncia de determinados padres de movimento; b)Anlise da estabilidade destes padres de movimento; 1.2REVISO BIBLIOGRFICA Estudossobresistemascomvibro-impactoganharammuitaimportncianaltima dcada, e comporta hoje vrias linhas internas de pesquisa, entre as quais: - Projeto e otimizao de amortecedores de vibrao por impacto - Prteses de joelhos humanas - Comportamento de fluidos betuminosos - Anlise de padres de movimentos e estudo de sua estabilidade; Luoetal.(2008)estudaramaressonncia1:4numsistemadedoisgrausde liberdadecomvibro-impacto,analisandobifurcaesemtornodestaressonncia atravsdemapasdePoincarederivaonosistemalineariazado.Umaresso-nncia 1:4 uma ressonncia que ocorre em um quarto da frequncia de excitao. TIPLER (1999 p.226) afirma que em uma coliso, dois objetos interagem fortemente em tempo muito curto. Neste instante as foras externas so muito menores que as foras de interao entre os corpos. Antesedepoisdacolisoainteraoentreosdoisobjetospequenacomparada comainteraoduranteacoliso.Paraosmenosatentosvamoslembrarque quandoaenergiacinticacalculadaapsacolisoigualaoquehavia 19 19 anteriormentetudoissoemmdulo(valornumrico)dizemosqueacoliso perfeitamente elstica (TIPLER 1999 p. 231).Este processo de coliso acaba por promover uma rea de interesse voltada para o comportamento do corpo durante sucessivas colises e em que ponto e/ou instante todo um sistema, que est sob a ao de uma fora excitatria e externa, alcanar a estabilidade. BRNDEU (2000 p. 2494) alega que para o estudo da estabilidade, [...] devemos considerar tambm o movimento perturbado do sistema, o que odiferedeummovimentopuramenteperidicoparaumcertonmerode colises,osparmetrosdemovimentotmoutrosvaloresalmdos perodos no movimento. Devidoa estas perturbaes, tambm no intervalo detempoentreasduassucessivascolises,asleisdomovimentoso perturbadas ou sofrem variaes. E muito feliz ao postular que [...]aocorrnciademovimentosperturbadosquediferemdemovimentos peridicosresultadodepequenasperturbaesiniciaisnosparmetros dosmovimentosperidicos.Suponhamosqueasperturbaesso pequenasedecrescentesemdeterminadomomentoondeneste intervaloelastendamassintoticamenteazero.Nestecasoomovimento peridico considerado assintoticamente estvel (BRNDEU 2000 p. 2494). comumaoestudarestetipodefenmenoverificarqueasferramentas matemticas mais eficientes para anlise de resultados de sistemas complexos que envolvemumasriederepetiessejamasSriesdeTayloreSriesdeFourier. Estasegundapossuiumaparticularidadequeparaonossoestudootornamais agradveldopontodevistaeconmico,porquenosreduzotempocomputacional aofazermosanlisedefreqnciaaopassoqueacabaremosutilizandotambma transformada de Fourier. Namesmalinha,Pinto(2006)afirmaqueoobjetivodaanlisedeFourier conseguir representar uma funo na varivel tempo usando outra base que no os eixos cartesianos. A nova base constituda por funes seno e cosseno. O Manual de Simulao de Circuitos via Projeto Avanado de Sistemas1 apresenta 1 Agilent ADS Circuit Simulation Manual, Chap. 7, Harmonic Balance. 20 20 uma boa definio para o citado:[...]Equilbrioharmnicoumatcnicadeanlisedefreqncia-domnio parasimulaesdesistemaslineareseno-lineares.Baseia-sena suposioqueparaumadadaexcitaosinusoidal ( ) ( . ) (1 0 + = = t Cos k A t S eq.genrica)existeumasoluoparao estado-permanente(steady-state)comumaaproximaobastante satisfatria por meio de sries finitas de Fourier. No mesmo contexto encontramos no trabalho de MACDONALD (1993 p. 6368) uma afirmativaemquearotinaparaaplicaodoMtododeBalanoHarmnicopara aproximaodesoluesperidicacomequaesdiferenciaisordinriasno lineares, segue os seguintes passos: 1 -Selecionar uma parte da soluo que est em uma srie de Fourier truncada, ou condicionandoapenastermos) cos( t n an ,tendonatN,oucomambosos termossenoecosseno,conformeocaso.Inserirestasoluodaequao,e ignorarquaisquerharmnicossuperiores(termoscomn>N)geradospelas condies no-lineares. 2 -Reduzir a zero os coeficientes do harmnico retido, obtendo assim um conjunto deequaesnolinearesacopladasparaafreqncia easamplitudesda parte da soluo escolhida e em seguida, resolve-las. WOO et al. (2005) nos trs uma informao preciosa quando afiana que, quando o mtododeequilbrioharmnicoaplicadoaumsistemano-linear,normalmente, apenas certo nmero de condies harmnicas retido, conseqentemente a srie de Fourier truncada determina o erro. Isto vem do fato de que a soluo exata de um sistema no-linear arbitrrio existe na forma de uma srie de Fourier infinita.SMITH(2008)durantesuasAnlisesdeMovimentosPeridicosfazusodeste mtododescritivodeumafuno(tambmchamadodemtododobalano harmnico),jqueomesmoutilizatcnicasdedomniodafreqncia(sriesde Fourier)parainvestigarocomportamentocclicoemsistemasnolineares,dado que mtodo envolve uma aproximao, porm, toda via, freqentemente toma uma predio (do que pode ocorrer) segura a respeito do limite do comportamento cclico. 21 21 OManualdeSimulaodeCircuitosviaProjetoAvanadodeSistemas,j referenciadonapginaanterior,informaqueomtododeequilbrioharmnico interativo. Est baseado na suposio que para uma determinada excitao senoidal existeumasoluodeestadopermanentequepodeseraproximadaapreciso satisfatria por meio de umas sries de Fourier finitas. Da,podemoscitarOGATA(2003p401),quedizqueotermorespostaem freqncia significa a resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal,oqueestabelecequeseaentradax(t)forumsinalsenoidalasadaem regimepermanentetambmserumsinalsenoidalcoma mesmafreqncia,mas possivelmente o mdulo e o ngulo de fase sero diferentes.Nestetrabalhoanalisam-secondiesdeexistnciaeestabilidadedemovimentos regulares em sistemas com vibro-impacto e harmonicamente excitados.1.3ORGANIZAO DA DISSERTAO A dissertao est assim organizada: -Este primeiro captulo situa e contextualiza o problema estudado; -Ocaptulo2apresentamodelagemdosistemaestudadoeosresultadosde algumas simulaes; -Ocaptulo3apresentaaanlisedeexistnciaeestabilidadedomovimentocom perodo de ordem 1 e dois impactos por perodo, uniformemente distribudos; -O captulo 4 apresenta a anlise do movimento com perodo de ordem 1 atravs do mtodo do balano harmnico; -O captulo 5 apresenta a anlise do trabalho e as concluses; 22 2MODELAGEM DO SISTEMA 2.1 MOVIMENTO RELATIVO Inicialmentetemosdoisreferenciaisinerciais: S ' -quepodeserrepresentadopor (O',x',y',z',t') - inerente ao movimento do objeto localizado no ponto P e um segundo referencial S ,dadoporumobservadorexternocentradoemO,oqualns representaremos por (O,x,y,z,t). S y y v SP xp vt x xx Figura 2.1. Movimento de S em relao S com velocidade relativa v = s'0 pSen(pt), onde s'0 amplitude do movimento do ponto e p a excitao devido a uma fora perturbadora F Suponhamos que o movimento de P (observar que este P refere-se localizao de um corponoespaonuminstantet eestenadatema vercomoscilao perturbadorap)ocorradevidoaomovimentodeS'equeosistemasejainerciale sem atrito esttico e sem atrito dinmico em relao base (na horizontal, Fatrito= 0). Fazemos ento: x'p= deslocamento de O em relao a ponto P e x'b=deslocamentodabaseemrelaoaO.Ondeabase corresponde ao sistema S. Faamososeguinteexperimentomental:Moveremosabaseparatrs.Comono h atrito, qualquer corpo situado em P continuar parado. Para que o movimento de P estejavinculadoaomovimentodabasecolocaremosumahasteligandoa extremidade emOatocorpo localizado emP.Desta forma setrazermos abase 22 23 23 para esquerda iremos por meio de trao mover o corpo tambm para esquerda. Vamosagoratrocarahasteporumacordaoucordo.Trazendoabasepara esquerda e cessando o movimento da base teremos uma coliso entre o corpo e a paredeesquerdadabase,poisdeacordocomaprimeiralei,todocorpotendea manterseumovimentoinicial(retilneoeuniformeouemrepouso)desdequeno haja foras externas agindo sobre o mesmo. Lembrando que no estamos admitindo a fora de atrito. Faremosagoraumanovaalteraonanossabancadadeexperimentomental. Trocaremos o cordo por uma mola ideal. Como se trata de uma mola ideal, devemos lembrar queks kx F = = uma fora restauradora.Bom,paranoficarmosenjoados,vamospuxarabaseparadireita, teremosnoprimeiroinstantequeomovimentodocorpolinkadoobedecerao movimentodabase.Nomomentoquecessamosomovimentodabase,ocorpo tende a manter seu movimento inicial. Porm neste momento surge um intruso que temopropsitodealteraroestadoinicialdocorpo.Apareceaforarestaurada intrnsecadamola,quetendeafazercomqueocorpoligadoamolaretornea posio de onde comeou o movimento.Contudosebaseretomaromovimentoparatrs(esquerda)instantaneamente teremos um deslocamento relativo de P em relao a O da seguinte maneira: p bx x x ' ' =(1.1) deslocamentodocorpoamarradoamola(px' )+deslocamentodabase(bx' )= distancia entre O e P (ponto onde est situado o corpo no instante t) = x Mas qual o deslocamento de S em relao S?Fazendo uma relao entre as coordenadas e tomando v como velocidade da base relativa S, temos: 24 x'p = x vtoux = x'p + vt(2.2a e 2.2b) cujo movimento da base em nosso caso (particularidade do problema) governado por : x'b = x'0 Cos( pt) (2.3) Porm a partir de agora chamaremosx'b = se x'0 = s'0 = s0 Essa exposio associada ao estudo do diagrama do corpo livre justifica a equao 2.4 que vem a seguir. 2.2EQUAES DO MOVIMENTO Osistemaasermodeladoodescritonaseo1.1,repetidonafigura2.1,com apenas alterao na varivel Y que passaremos usar S. O equilbrio dinmico das forasatuantesobreocorporgidodemassamquandoestesedeslocaentreos dois batentes, resulta na seguinte equao diferencial: m k (a) c s=s0cospt v v m kc s = s0cospt (b) m s = s0 cospt Figura2.2:Sistemacujosmovimentossoobjetodeestudo,ondevavelocidadedabase. Em(a)representaodafolgacomoelementofixocomvalorconstantedeterminado arbitrariamente. Em (b) coliso do bloco com anteparo devido ao movimento da base durante um determinado perodo. 24 25 25 ( ) ( ) 0 = + + s z k s z c z m & & & & (2.4) Ondec a constante viscosa ek a constante da mola em a massa do bloco. Definindos z y = , compt s s cos0=e lembrando que p a excitao devido a uma fora perturbadora F, podemos escrever s m ky y c y m & & & & & = + + (2.5) demodoque,levandoemconsideraoafunotemporalpreestabelecidaparaa coordenadas , tem-se: pt s mp ky y c y m cos02= + + & & & (2.6) A equao 2.6 vale apenas enquanto o movimento ocorre no intervalo entre os dois batentes. Quando o corpo atinge um dos batentes, inicia-se um processo de coliso que deve ser adequadamente modelado. Neste trabalho vamos aplicar o modelo de coliso convencional (BRACH 1991, p.6) no qual: a) Olapso temporaldacolisoserconsideradonulo,que naverdadetornanosso sistemaideal,jquehaverconversodeenergia(entrecinticaepotencial), bem como dissipao, num intervalo de tempo zero. b) Como consequncia da suposio anterior, a perda de energia durante a coliso serrepresentadaporumcoeficientedereconstituio,quefunodas energias cinticas no final e no incio do processo de coliso. c) Oimpulsoproduzidopelaforadecolisomuitomaiorqueosimpulsosdas demais foras durante a coliso. Noobstanteashiptesesacimapareceremmuitorestritivasemrelaoaos sistemasreais,elastmsidoaplicadaspordiversosautoresnamodelagemde sistema com impactos (BRACH 1991 p.48). Para expressar a dinmica do sistema numa forma adimensional definimos: 26 26 00 0'2ok c df y pt f xm d y km = = = = = = , onde) ( f f =(2.7) Fazendo ) () ( ) ('0t dy ddy dy = = , podemos ento dizer que dtdyyo1' = , conseqentemente 2221"dty dyo= ,destaformaydtdyyo& = = ' eydty dy o& & = =222" entos m ky y c y m & & & & & = + +fica:" ' "2ms ky y c y mo o = + + e fazendo uso das equaes 2.7, com dtdxx = ' e 22"dtx dx= temos : " '2"22s mykxxykxymoo o oo = + +=>" ' 2 " s y x x k xo = + + , pois""yyxo=Recordando que cos cos0 0s pt s s = =tem-se( ) cos02s s = & & , de forma que cos 20 02s y x x x = + + & & & (2.8) Adotando 001sy == termo de adimensionalizao da equao 2.8(2.9) tem-se a equao na forma adimensional: cos 22= + + x x x & & & (2.10) A equao 2.10 a forma adimensional da equao 2.6.Sabendoqueodeslocamento y ,naequao2.6,equivalefolga,podemos definir a folga adimensional conforme a relaooy= 27 27 Deformaqueaequao2.10vlidapara + < < x ,devendo-seproceder atualizaodoestadonosinstantesdeimpacto,isto,quando = x ,onde nossa forma adimensional da folga. Com a hiptese de lapso temporal na coliso, a soluo da equao (2.10) pode ser expressa,nointervalodevalidade,emfunodoestadodosistemaaofimda coliso, isto , em funo da posio e da velocidade ao fim do processo de coliso. Obviamenteque,considerando-seestascondiescomoacondiesdeinciodo movimento, o tempo ser tambm contado a partir do instante final da coliso. Denominando-seesteinstantepor ,arespectivavelocidadeporv ,arespectiva posio porxe supondo que o sistema no criticamente amortecido( ) 1 tem-se ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) sen sen cos coscos sen sen cossen sen cos cos2 2 22 2 21 12 21 1212 12 12 1A A e a e a xA A e a e a xA A e a e a x + =+ + =+ + + = & && (2.11) onde ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2121 22122222222 22 1 cos sen sen cos sen sen cos cos cos sen sen cos sen sen cos cos 2 12sen2 11cos1 1 + + = + =+ =+ = + = =A A v A A xaA A v A A xaA Aj j(2.12) Assim, conclui-se que: 28 28 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )222222222222 12sen2 11cos2 1 + =+ =+ = A(2.13) e ( )( ) v A A a a xx A A a a x cos sen sen cos ' sen sen cos cos 2 2 1 12 1= + + == + + + = de modo que a resposta satisfaz as condies iniciais do problema. Por fim tem-se ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ][ ] [ ] cos 2 sen ) 1 ( sen sen 2 cos ) 1 ( cos exp 1 2 exp 1 2 ' 2 "2 22 222 2 1 121 1 + + + + + + + + = + +A Aa a x x x Das equaes (2.12) vem 0 cos 2 sen ) 1 (sen 2 cos ) 1 (0 1 2 1 2222222 121= = + = + + = + + A

Logo se tem cos ' 2 "2= + + x x x , como explicitadona equao do movimento. 29 29 2.2ALGORITMO DE SOLUO DA RESPOSTA TEMPORAL O sistema representado na figura 2.1 dito linear por intervalos, mas sua dinmica globalnolinear.Arespostatemporalpodeserobtidaapartirdassoluesdas respostas em cada lapso temporal de resposta linear, desde que o estado no incio dointervalosejaconhecido.Afigura2.3apresentaofluxogramadoalgoritmode soluo. O fluxograma apresenta trs blocos principais de comandos, a saber: - O bloco 1 estabelece as condies iniciais do movimento antes da primeira coliso e controla as condies de finalizao da simulao; - O bloco 2 procura um intervalo temporal no qual se possa grantir a ocorrncia de uma coliso. No se determina precisamente neste bloco o instante da coliso, mas apenas os limites dentro dos quais se garanta a ocorrncia dela; -Obloco3utilizaascondieslimitesdasadadobloco2e,porumprocessode biseco, determina, com a melhor exatido que o processador do computador e o sistema operacional permitirem, o instante da coliso. Umavezdeterminadooinstantedacoliso,ascondiesparaomovimentoat proxima coliso so detrminados, retornando ao bloco 1 pera verificao de trmino. No satisfeita a condio de trmino, vai-se ao bloco 2 para procura de nova coliso, repetindo-se as rotinas. Prefere-se aplicar a resposta exata em cada intervalo aplicao de uma integrao numrica,comoRunge-Kutta(ENCICLOPDIALIVRE,2009),porexemplo,porque a aproximao da soluo ocorrer apenas no instante da coliso, razo pela qual a respostasermenosperturbada.Istoparticularmenteimportantequandose desejaanalisarfenmenoscomobifurcaesetransioparaocaos(Ibrahim-2009). Comotodoomovimentoentredoisimpactosregidoporumaequaolinear, possvelaplicarferramentasdeanliseconsiderandoapenasosinstantesde impactosparaadescrio,qualitativaequantitativa,dosfenmenosnolineares. Assim, a exatido para a determinao de tais instantes de impacto , se a anlise for numrica, crucial. 30 30 Noalgoritmoaplicadonestetrabalho,aexatidoutilizadanadeterminaodo instantedoimpactoamelhorpossveldeterminadapelaprecisodamquina utilizada. Assim, se as condies de software e hardware permitirem uma mantissa commaiornmerodecasasdecimais,automaticamenteoalgoritmodeterminaro instante com a exatido correspondente. Oprogramacomputacionalquerepresenta oalgoritmoda figura2.1 apresentado no Anexo I. 31 31 iiivvxxi====0IniciaisCondies(),,,iiivxXx=+=()()()()=+== == =,,,2,,,,,,iimmbamiibbbbiiaamavxXfvxXfvxXf