anexos - abc

ANEXOS

M: 10730 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123

e-mail: [email protected] - web: http://preprensa.agr.com.ar

NIP: 222503 - Pág.: 161 - MAT

*0000-222503-161-MAT-9*

En este libro se han estudiado

funciones cuadráticas,

caracterizadas por una fórmula

donde los exponentes de la

variable independiente son

naturales y el mayor de ellos

es 2 y además el exponente

de la variable dependiente

es 1. Sin embargo hay otras

relaciones entre variables que

son cuadráticas, debido a que los

exponentes de ambas variables

son números naturales con un

máximo de 2, cuyas gráficas

son curvas y no siempre son

funciones. Aquí se estudiarán

algunas de ellas y se las analizará

desde dos puntos de vista: el

funcional y el geométrico.

p

CONTENIDOS

❚ Circunferencia

❚ Parábola

❚ Elipse

❚ Hipérbola

❚ Secciones cónicas

CÓNICAS

Problema 1Si A es un punto en el plano. Dibujar todos los puntos que se encuentran a 5 cm de

distancia del punto A.

Problema 2En el gráfico siguiente se muestra el punto A y una recta d. Dibujar todos los puntos

que se encuentran a igual distancia del punto A y de la recta d.

Problema 3a. Hallar las coordenadas de tres puntos en el plano que se encuentren a igual distan-

cia del punto F = (0 ; 1__4 ) y de la recta d, de ecuación y = – 1__

4 .

b. ¿Cuáles son todos los puntos que se encuentran a igual distancia del punto F = (0 ; 1__4 )

y de la recta y = – 1__4 ?

A

d

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1

162 Anexo 1. Cónicas.



NIP: 222503 - Pág.: 162 - MAT

*0000-222503-162-MAT-9*

á

Para comenzar a analizar el problema 1 es posible señalar algunos puntos que se

encuentren a 5 cm de A. Por ejemplo

Y se podría continuar completando con puntos, pero ¿cuántos puntos existen que cum-

plan con esta condición?

5 cm

5 cm

A5 cm

Si se continúa buscando puntos

de la manera que se mostró, se

podrán encontrar infinitos.

Para ello, se toma un compás y

se abre a una distancia de 5 cm,

tomando como centro el punto A.

Todos los puntos formados por el

trazo del compás están a una dis-

tancia de 5 cm de A.

5 cm

5 cm

A5 cm

5 cm

A

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

163



NIP: 222503 - Pág.: 163 - MAT

*0000-222503-163-MAT-9*

Circunferencia

En el problema anterior quedó formada una circunferencia. Por lo tanto, el conjunto

de puntos que están a una distancia de 5 cm de A equivale, geométricamente, a la circun-

ferencia con centro en A y radio 5 cm.

Además, todos los puntos que están afuera de la circunferencia están a una distancia

mayor que 5 cm de A y todos los puntos que están dentro de la circunferencia están a

una distancia menor que 5 cm de A. Una circunferencia de radio r divide al plano en tres

zonas: los puntos que están a una distancia r de un punto A, los que están a una distancia

mayor que r y los que están a una distancia menor que r.

Problema 4a. ¿Qué condiciones cumplen, los puntos (x ; y) del plano que se encuentran a una

distancia de 7 cm del origen de coordenadas O = (0 ; 0)?

b. Encontrar, si existe, algún punto que esté a una distancia de 7 cm de O y cuya

primera coordenada sea 2.

Los puntos buscados en a. son los que pertenecen a la circunferencia con centro en O y radio

7. Por ejemplo, los puntos (0 ; 7) ; (0 ; –7) ; (7 ; 0) y (–7 ; 0) forman parte de esa circunferencia.

Pero, ¿cuáles son todos los otros puntos que forman parte de la circunferencia?

Como hay infinitos puntos que la forman, no es posible nombrarlos a todos. Hay que buscar

alguna relación entre las coordenadas de los puntos de la circunferencia.

La igualdad anterior muestra una relación entre las coordenadas de los puntos de la

circunferencia. Es decir, dado un valor de x o de y que se encuentren entre -7 y 7, se puede

obtener el valor de la otra coordenada, de manera que el punto (x ; y) pertenezca a la cir-

cunferencia.

A esta relación se la llama ecuación de la circunferencia de centro (0 ; 0) y radio 7.

Los puntos buscados pueden designarse como

P = (x ; y), por ser puntos del plano. Analizan-

do el diagrama es posible concluir que los valo-

res de x y los de y se encuentran entre –7 y 7.

Entonces –7 ≤ x ≤ 7 ; –7 ≤ y ≤ 7.

Además, los puntos P de la circunferencia cum-

plen que la distancia entre O = (0 ; 0) y P = (x ; y)

es 7, luego:

d (P ; O) = √_______________

(x – 0) 2 + (y – 0) 2 = √______

x 2 + y 2 = 7

de donde resulta

x 2 + y 2 = 7 2 ⇔ x 2 + y 2 = 49

La distancia entre los puntos

A = ( x 1 ; y

1 ) y B = ( x

2 ; y

2 ) se

calcula mediante la fórmula:

d(A ; B) = √_________________

( x 1 – x

2 ) 2 + ( y

1 –

y

2 ) 2

La circunferencia es el

lugar geométrico de todos

los puntos del plano que equidistan

de un punto determinado que se

llama centro de la circunferencia.

El radio es la distancia de un punto

cualquiera de la circunferencia al

centro de ella.

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 164 - MAT

*0000-222503-164-MAT-9*

Problema 5¿Cuáles son todos los puntos del plano que se ubican a 3 cm de distancia del punto

A = (2 ; 1)?

Los puntos del plano buscados pertenecen a la circunferencia de radio 3 con centro en A.

¿Cuál es la relación entre las coordenadas de un punto P cualquiera de la circunferencia?

En principio, y al igual que lo realizado con la circunferencia de centro (0 ; 0), las

posibles abscisas de P estarán entre 2 – 3 y 2 + 3 y las ordenadas de P estarán entre 1 – 3

y 1 + 3.

Entonces -1 ≤ x ≤ 5 y –2 ≤ y ≤ 4.

Además, los puntos P de la circunferencia cumplen que la distancia entre A = (2 ; 1) y

P = (x ; y) es 3, esto es:

d(P ; A) = √________________

(x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 3

de donde resulta:

(x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 3 2

Esta es la ecuación de la circunferencia de centro (2 ; 1) y radio 3.

La ecuación de la

circunferencia con centro

en el origen de coordenadas y

radio r es

x 2 + y 2 = r 2

donde además

–r ≤ x ≤ r ; –r ≤ y ≤ r.

Para hallar algunos puntos de esta

circunferencia es posible correrse 3

unidades a la izquierda o a la dere-

cha del punto A. Se obtienen así los

puntos (–1 ; 1) y (5 ; 1). Lo mismo

sucede si se suben o se bajan 3 uni-

dades desde el punto A. Se obtienen

los puntos (2 ; 4) y (2 ; –2) que tam-

bién pertenecen a la circunferencia.

La ecuación de la

circunferencia de radio r

y centro (a ; b) es igual a

(x – a) 2 +(y – b) 2 = r 2

donde además

a – r ≤ x ≤ a + r ; b – r ≤ y ≤ b + r.

Como x = 2 es un valor entre –7 y 7 es posible

hallar el valor correspondiente de y en la cir-

cunferencia. Para ello se puede reemplazar éste

valor en la ecuación:

2 2 + y 2 = 49 ⇔ y 2 = 49 – 4 ⇔ y 2 = 45 ⇔

⎪y⎪= √___

45 ⇔ y = √___

45 o y = – √___

45

Entonces, los puntos (2 ; √___

45 ) y (2 ; – √___

45 ) per-

tenecen a la circunferencia en cuestión.

Como para un mismo valor de x hay dos imáge-

nes, esta relación no es una función.

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

165



NIP: 222503 - Pág.: 165 - MAT

*0000-222503-165-MAT-9*

La distancia entre un punto

y una recta es la menor

distancia de ese punto a cada uno

de los puntos de la recta.

Por ejemplo, la distancia entre la

recta d y el punto P que es exterior

a la recta es igual a la longitud del

segmento perpendicular a la recta

d que pasa por el punto P.

Parábola

El Problema 2 de la presentación de este anexo decía lo siguiente.

En el gráfico siguiente se muestra el punto A y una recta d. Dibujen todos los puntos

que se encuentran a igual distancia del punto A y de la recta d.

¿Cómo se podrá hacer para encontrar otros puntos? Se podría elegir una distancia cualquiera

y buscar puntos que estén a esa distancia de A y de d.

Faltaría encontrar los puntos de esa recta que se encuentren a una distancia igual a __

RS del punto A.

d

d (P ; d)

P

Si se considera la recta perpen-

dicular a d que pasa por el punto

A y se llama M al punto de inter-

sección entre las rectas, el pun-

to medio del segmento AM, P, se

encuentra a igual distancia de A

y de d.

De este modo se ha encontrado un

punto que se encuentra a igual dis-

tancia del punto A y de la recta d.

d

A

M

P

A

d

d

A

S

RM

P

eSi se elige una distancia represen-

tada por el segmento RS, mayor

que ___

AM y se traza la recta e, para-

lela a d que pasa por S; los puntos

que pertenecen a esta recta están

todos a una distancia __

RS de d.

Los puntos de la circunferencia

de radio __

RS y centro en el punto A

están a una distancia __

RS de A.

De este modo, los puntos de inter-

sección entre la circunferencia y la

recta e están a una distancia igual

a __

RS del punto A y de la recta d y por

lo tanto cumplen con la condición

pedida en el problema.

__

RS

d

A

M

P

S

R

e

__

RS

__

RS

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 166 - MAT

*0000-222503-166-MAT-9*

Si se considera ahora otra distancia distinta de __

RS y se realiza el mismo procedimiento es

posible encontrar más puntos que se encuentran a igual distancia del punto A y de la recta d.

Si se retoma el Problema 3 de la página 162:

a. Hallar las coordenadas de tres puntos en el plano que se encuentren a igual distan-

cia del punto F = (0 ; 1 __ 4 ) y de la recta d, de ecuación y = – 1 __ 4 .

b. ¿Cuáles son todos los puntos que se encuentran a igual distancia del punto F = (0 ; 1 __ 4 )

y de la recta y = – 1 __ 4 ?

Para encontrar las coordenadas de tres puntos en el plano que se encuentren a igual

distancia del punto F = (0 ; 1 __ 4 ) y de la recta d de ecuación y = – 1 __ 4 se puede proceder de

manera similar a la realizada en el problema anterior.

En el siguiente gráfico se muestran

distintos puntos P, P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ,

P 5 y P 6 obtenidos a partir de ésta

técnica.

Si se siguen buscando puntos se

obtiene un gráfico que se denomina

parábola y está formado por todos

los puntos que están a igual distan-

cia de una recta y un punto fijos.

En este caso, el punto (0 ; 0) se

encuentra a igual distancia del pun-

to F y de la recta d pues en ambos

casos la distancia es igual a 1 __ 4 .

P 1

__

RS

d

A

S

RM

P

S 1

R 1 R 2

S 2

e

__

RS

P 3 P 5 P 6

P 4 P 2

e 1 e 2

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

167



NIP: 222503 - Pág.: 167 - MAT

*0000-222503-167-MAT-9*

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos P y Q?

La recta e es una recta paralela a d que está a una unidad de distancia de d, por lo

tanto su ecuación es y = 3 __ 4 .

Como P y Q son puntos que pertenecen a esa recta, las ordenadas de P y Q deben ser 3 __ 4 .

Falta hallar, entonces, las abscisas de esos puntos.

P y Q son puntos que pertenecen a la circunferencia con centro en F y radio 1, las

coordenadas de sus puntos deben verificar la ecuación: x 2 + ( y – 1 __ 4 ) 2 = 1, pero en los

puntos buscados y = 3 __ 4 , luego:

x 2 + ( 3 __ 4 – 1 __ 4 ) 2 = 1 ⇔ x 2 +( 1 __ 2 )

2 = 1 ⇔ x 2 = 1 – 1 __ 4 = 3 __ 4 ⇔ ⎮x⎮=

√__

3 __ 4 = √__

3 ___ 2

Por lo tanto P = ( – √__

3 ___ 2 ; 3 __ 4 ) y Q = ( √__

3 ___ 2 ; 3 __ 4 ).

¿Será posible hallar una expresión que relacione las coordenadas de un punto P = (x ; y)

que se encuentra a igual distancia de F y de la recta d?

Si se supone que el punto P de coordenadas (x ; y) verifica la condición pedida, su

distancia a F es igual a su distancia a la recta y = – 1 __ 4 .

Si se dibuja ahora una circunferencia con centro en F = (0 ; 1 __ 4 ) y con radio igual a

y + 1 __ 4 se obtienen puntos que se encuentran a la misma distancia que el punto P de la rec-

ta d. Por lo tanto, los puntos P cumplen con la ecuación de la circunferencia y verifican:

x 2 + (y – 1 __ 4 ) 2 = (y + 1 __ 4 ) 2

Para hallar una expresión equivalente se puede realizar lo siguiente:

y

Para hallar otros puntos es posi-

ble utilizar el procedimiento

anterior, tomando por ejemplo,

un segmento que mida 1.

De este modo la recta e queda a una

distancia igual a 1 de la recta d.

Trazando con centro en F = (0 ; 1 __ 4 )

una circunferencia de radio 1, se

obtienen los puntos P y Q que se

encuentran a 1 unidad del punto

(0 ; 1 __ 4 ) y de la recta d.

La distancia entre P y la recta d

es igual a la medida del segmento

perpendicular a la recta d que une

la recta con el punto. Ese segmen-

to mide y + 1 __ 4 .

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 168 - MAT

*0000-222503-168-MAT-9*

En el capítulo de funciones cuadráticas se analizó que el gráfico de una función cua-

drática es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas o el eje y.

La fórmula de la función toma la forma f(x) = a x 2 + b x + c.

En este capítulo se analizarán las curvas que se llaman parábolas. Si bien el gráfico de

una función cuadrática es una parábola, no todas las parábolas resultan ser el gráfico de

una función cuadrática.

En el caso analizado en el problema anterior se obtuvo la fórmula de la función y = x 2 , la recta

y = – 1 __ 4 es la directriz y resulta ser perpendicular al eje de simetría. El foco F = (0 ; 1 __ 4 ) se encuen-

tra sobre el eje de simetría. Además, el vértice de la parábola, que también se encuentra sobre

el eje de simetría, resulta estar a “mitad de camino” entre la recta directriz y el foco F.

Problema 6¿Cuáles son los puntos del plano que se encuentran a igual distancia del punto

F = (0 ; p) y de la recta y = – p con p > 0?

Por lo visto anteriormente, este conjunto de puntos resulta ser una parábola, que en este

caso tiene vértice en el punto (0 ; 0), pues la distancia de (0 ; 0) al (0 ; p) es igual a p, que es

igual a la distancia entre (0 ; 0) y la recta y = – p.

Por otro lado, para cualquier punto P = (x ; y) de la parábola, la distancia entre P y F es

d(F ; P) = √___________

x 2 + (y – p) 2

Además, la distancia entre P y la recta d resulta ser igual al segmento perpendicular a

la recta d que une la recta con el punto. Ese segmento mide y + p.

Los puntos P buscados deben verificar, entonces:

√___________

x 2 + (y – p) 2 = y + p

Una parábola es el

conjunto de los puntos del

plano que se encuentran a igual

distancia de un punto F, llamado

foco y de una recta llamada

directriz.

La distancia entre el foco F y el

vértice se llama parámetro de

la parábola y se escribe p; por lo

tanto, la distancia entre el foco y la

directriz es igual a 2p.

x 2 + y 2 – 1 __ 2 y + 1 ___ 16 = y 2 + 1 __ 2 y + 1 ___ 16 Se desarrollan los cuadrados de los

binomios.

x 2 + y 2 – 1 __ 2 y + 1 ___ 16 = y 2 + 1 __ 2 y + 1 ___ 16

x 2 – 1 __ 2 y = 1 __ 2 y

Se cancela.

x 2 = 1 __ 2 y + 1 __ 2 y ⇔ x 2 = y Se reagrupa y se opera.

A partir de todo lo anterior es posi-

ble definir a la parábola de fórmula

f(x) = x 2 como los puntos del plano

que están a igual distancia del punto

(0 ; 1 __ 4 ) y de la recta y = – 1 __ 4 . Se tie-

ne entonces una interpretación fun-

cional de las parábolas, explicada en

el capítulo 2, y una geométrica.

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

169



NIP: 222503 - Pág.: 169 - MAT

*0000-222503-169-MAT-9*

Para encontrarlos puede realizarse:

Problema 7Encontrar todos los puntos que están a igual distancia del punto F = (p ; 0) y de la recta

x = –p.

Sea P = (x ; y) un punto buscado ⇒ d (F ; P) = √___________

(x – p) 2 + y 2

Entonces, los puntos que satisfacen la condición inicial verifican que:

√___________

(x – p ) 2 + y 2 = x + p

(x – p) 2 + y 2 = (x + p) 2 ⇔ x 2 – 2 p x + p 2 + y 2 = x 2 + 2 p x + p 2 ⇔ y 2 – 2 p x = 2 p x ⇔

y 2 = 2 p x + 2 p x = 4 p x

Se obtiene entonces: y 2 = 4 p x

En este caso, gráficamente se obtie-

ne una parábola pero no resulta ser

una función.Las parábolas que tienen

foco de la forma F = (p ; 0) y

directriz x = – p, no son funciones.

x 2 + (y – p) 2 = (y + p ) 2 Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad.

x 2 + y 2 – 2 p y + p 2 = y 2 + 2 p y + p 2 Se desarrollan los cuadrados de los binomios.

x 2 + y 2 – 2 p y + p 2 = y 2 + 2 p y + p 2 Se simplifica la expresión.

x 2 = 2 p y + 2 p y = 4 p y Se reagrupa y se opera.

y = x 2 ___ 4p Se despeja la variable y se obtiene así una función.

Por otro lado, la distancia entre P

y la recta x = – p resulta ser igual a

la medida del segmento perpendi-

cular a la recta d que la une con el

punto. Este segmento mide x + p.

En la función f (x) = a . x 2

resulta que a = 1 ___ 4p .

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 170 - MAT

*0000-222503-170-MAT-9*

Problema 8 Encontrar los puntos P = (x ; y) que pertenecen a una parábola que tiene vértice en

(k ; h) y foco en F = (k ; h + p), con p > 0.

Como el foco está a p de distancia del vértice, hacia arriba, entonces la directriz debe-

rá estar a una distancia p por debajo del vértice pues el vértice se encuentra a "mitad de

camino" entre el foco y la directriz. Entonces la directriz es la recta y = h – p.

Un punto P = (x ; y) de la parábola tiene que cumplir que d (F ;P) = d (P ; d)

Luego:

√___________________

(x – k) 2 + (y –(h + p )) 2 = y – (h – p)

Si en la igualdad anterior se reemplaza a 1 ___ 4p por a, se obtiene la expresión canónica

para una función cuadrática y = a .(x – k ) 2 + h

Problema 9¿Cuál es la ecuación de la parábola que tiene vértice en (k ; h) y foco en F = (k + p ; h)

con p > 0?

Es posible hallar la directriz corriéndose p hacia la izquierda pues el vértice se encuen-

tra “a mitad de camino” entre el foco y la directriz, luego la ecuación de d es x = k – p.

Si P = (x ; y) es un punto de la parábola, debe verificarse: d (F ; P) = d (P ; d)

Por un lado se tiene

d(F ; P) = √____________________

(x – (k + p )) 2 + (y – h) 2

y también

d(P ; d) = x – (k – p)

Luego:

√____________________

(x – (k + p )) 2 + (y – h) 2 = x – (k – p)

(x – k ) 2 + (y – (h + p)) 2 = (y – (h – p)) 2 Se elevan ambos miembros al cuadrado.

(x – k ) 2 + y 2 – 2( h + p)y + (h + p) 2 = y 2 – 2(h – p)y + (h – p) 2

Se desarrollan los cuadrados que poseen la variable y.

(x – k ) 2 + y 2 – 2hy – 2py + h 2 + 2 ph + p 2 = y 2 – 2hy +2 py + h 2 – 2 ph+ p 2

Se aplica propiedad distributiva.

(x – k ) 2 = 4py – 4ph Se cancela y se agrupa.

(x – k ) 2 = 4p(y – h) Se saca factor común 4p.

(x – k )2 _______ 4p + h = y Se despeja y.

La ecuación de una parábola

con eje de simetría paralelo

al eje y, vértice (k ; h) y distancia del

foco al vértice p es:

(x – k ) 2 = 4 . p . (y – h)

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

171



NIP: 222503 - Pág.: 171 - MAT

*0000-222503-171-MAT-9*

Para hallar una expresión equivalente puede realizarse lo siguiente

Se obtiene la ecuación:

(y – h) 2 = 4p (x – k)

1. Encuentren las ecuaciones de las siguientes circunferencias:

a. Centro (–6 ; 8) y radio 3.

b. Centro (1 ; –1) y radio 5.

c. Centro (0 ; 0) y que pasa por el punto (–2 ; 4).

2. a. Encuentren la ecuación de la circunferencia con centro en el origen

de coordenadas y radio igual a 6.

b. Encuentren un punto de la circunferencia que se encuentre en el

primer cuadrante y otro que se encuentre en el cuarto cuadrante.

3. Escriban la ecuación de las parábolas que tienen vértice en el origen

de coordenadas, eje de simetría en el eje y, y cuyo parámetro es:

a. p = 4 b. p = 1 __ 6 c. p = 2 __ 3 d. p = 5

4. Encuentren la ecuación de la parábola de foco (0 ; –5) y directriz y = 2 __ 3 ,

¿es una función? Expliquen cómo se dieron cuenta.

5. Encuentren la ecuación de la parábola de foco (3 ; 0) y directriz x = 1,

¿es una función? Expliquen cómo se dieron cuenta.

6. a. Encuentren los puntos donde la parábola (y – 1) 2 = 6 . (x + 2)

interseca al eje x y al eje y.

b. Realicen un gráfico aproximado de la parábola.

c. ¿Es una función? Expliquen cómo se dieron cuenta.

La ecuación de una

parábola con eje de

simetría paralelo al eje x y vértice

(k ; h) es:

(y – h) 2 = 4p (x – k)

donde p es la distancia del foco al

vértice.

La parábola que se obtiene no

corresponde al gráfico de ninguna

función pues para algunos valores

de la variable x se obtienen dos

valores de la variable y. Esta ecuación no resulta ser una

función pero es la ecuación de una

parábola.

(x – (k + p)) 2 + (y – h) 2 = (x – (k – p)) 2 Se eleva ambos miembros al cuadrado.

x 2 – 2x(k + p) + (k + p)² + (y – h)² = x² – 2x(k – p) + (k – p)²

Se desarrollan los cuadrados (x – (k + p)) 2 y

(x – (k – p)) 2 .

x 2 – 2xk – 2xp + k 2 + 2kp + p 2 + (y – h) 2 = x 2 – 2xk + 2xp + k 2 – 2kp + p 2

Se desarrollan los cuadrados (k + p)² y (k – p)² y se distribuye.

–2 x p + 2 k p + (y – h) 2 = 2xp – 2kp (y – h) 2 = 4p x – 4pk

Se cancela y se reagrupa.

(y – h) 2 = 4p(x – k) Se saca factor común.

A

C

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 172 - MAT

*0000-222503-172-MAT-9*

Elipse

Problema 10¿Cuáles son todos los triángulos que tienen perímetro igual a 16 cm y cuya base es un

segmento AB que mide 6 cm?

Si se considera el segmento AB de 6 cm, para que el perímetro del triángulo sea igual

a 16 cm será necesario que la suma de los otros dos lados sea igual a 10 cm.

Se pueden dibujar también triángulos donde los lados AC y BC miden 3 cm y 7 cm.

Pero estos triángulos que se han dibujado no son los únicos con perímetro igual a 16 cm. Es

posible dibujar más triángulos siempre y cuando la suma de los lados AC y BC sea igual a 10 cm.

Problema 11¿Cuáles son todos los puntos del plano que forman con los puntos A = (–3 ; 0) y B = (3 ; 0)

triángulos cuyo perímetro es igual a 16 cm?

Al igual que en el problema anterior, como los puntos A y B se encuentran a una dis-

tancia de 6 cm es necesario que la suma de los otros lados sea igual a 10 cm para que el

perímetro del triángulo sea igual a 16 cm.

Por ejemplo, si cada lado mide

5 cm se tiene el siguiente triángu-

lo que resulta ser isósceles:

Pero también se tiene el siguiente

triángulo:

y = 2 __ 3 ,

= 1,

6 cm

5 cm5 cm

C

BA

A

C

6 cm B

A

C

A B A B

C

A B

C

C

B

5 cm 5 cm

5 cm 5 cm

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

173



NIP: 222503 - Pág.: 173 - MAT

*0000-222503-173-MAT-9*

d1 2 = (x + 3) 2 + y 2 d2

2 = (x – 3) 2 + y 2 Se elevan al cuadrado ambos miembros de las igualdades.

d1 2 – d2

2 = (x + 3) 2 + y 2 – [(x – 3) 2 + y 2] Se realiza la resta entre d1 2 y d2

2 .

d1 2 – d2

2 = (x + 3) 2 – (x – 3) 2 Se cancela.

d1 2 – d2

2 = x 2 + 2 . 3x + 9 – ( x 2 – 2 . 3x + 9) = 12x Se desarrollan los cuadrados y se simplifica.

Si se considera que el punto C tiene coordenadas (0 ; b), con b > 0, quedan determinados

los triángulos rectángulos ACO y BCO que resultan ser iguales porque en un triángulo isósceles

la altura correspondiente al lado diferente, si lo hay, divide al triángulo en dos congruentes.

Por lo tanto, utilizando el teorema de Pitágoras:

5 2 = b 2 + 3 2

de donde 25 – 9 = b 2, es decir, b 2 = 16 y como b > 0, entonces b = 4.

Si se realiza lo mismo hacia abajo (con b < 0) se obtiene b = – 4.

Por lo tanto, en el eje vertical se obtienen dos puntos (0 ; 4) y (0 ; – 4) que junto con los

puntos A y B forman triángulos de perímetro igual a 16 cm.

¿Cómo se ubicarán, en un par de ejes coordenados, todos los puntos que determinan el vértice

C, tal que AΔ BC es un triángulo de perímetro 16 cm? ¿Cómo encontrar cualquier otro punto?

En principio un punto C cualquiera deberá cumplir con la siguiente característica: la

distancia de C a A, que se llamará d1 más la distancia de C a B, que se llamará d2 resulta

ser constante e igual a 10. Entonces se tiene d 1 + d 2 = 10.

Pero: d 1 = d (C ; A) = √__________________

(x – (–3 )) 2 + (y – 0) 2 = √___________

(x + 3) 2 + y 2

d 2 = d (C , B) = √_______________

(x –3 ) 2 + (y – 0) 2 = √__________

(x – 3) 2 + y 2

Por lo tanto d 1 = √__________

(x + 3) 2 + y 2 y d2 = √__________

(x – 3) 2 + y 2

3 0 A

C

5 b

Un posible triángulo que puede

quedar formado es un triángulo

isósceles de 5 cm de lado.

La altura correspondiente al lado ___

AB de este triángulo es perpen-

dicular a ___

AB y pasa por su punto

medio que es (0 ; 0).

Quedan determinados de esta

manera dos triángulos.

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 174 - MAT

*0000-222503-174-MAT-9*

Además por diferencias de cuadrados resulta:

d1 2 – d2

2 = ( d 1 + d 2 ) ( d 1 – d 2 )

Se tiene entonces que:

d1 2 – d2

2 = ( d 1 + d 2 ) ( d 1 – d 2 )

⇒ ( d 1 + d 2 ) ( d 1 – d 2 ) = 12x

d1 2 – d2

2 = 12x

Pero d 1 + d 2 = 10, luego:

( d 1 + d 2 ) ( d 1 – d 2 ) = 12x ⇔ 10( d 1 – d 2 ) = 12x ⇔ d 1 – d 2 = 12 ___ 10 x = 6 __ 5 x

Queda planteado así, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

d 1 + d 2 = 10

d 1 – d 2 = 6 __ 5 x

Para resolverlo:

Por lo analizado hasta aquí: d1 2 = (x + 3) 2 + y 2 y d1

2 = (5 + 3 __ 5 x ) 2

Luego: (5 + 3 __ 5 x ) 2 = (x + 3) 2 + y 2

Todos los puntos que forman los posibles vértices C de los triángulos describen en el pla-

no un conjunto de puntos que cumplen con una condición: la suma de la distancia del punto

C al punto A y la distancia del punto C al punto B es constante y en este caso igual a 10.

Los puntos del plano que cumplen esta condición forman una figura que se llama elipse.

Es decir, todos los puntos del plano (x ; y) que cumplen: 1 = x 2 __

5 2 +

y 2 ___

4 2 forman parte de la

elipse.

25 + 2 . 5 . 3 __ 5 x + 9 ___ 25 x 2 = x 2 + 2 . 3x + 9 + y 2 Se desarrollan los cuadrados.

25 + 6 x + 9 ___ 25 x 2 = x 2 + 6 x + 9 + y 2 Se opera.

25 – 9 = x 2 – 9 ___ 25 x 2 + y 2 Se cancela y se agrupan las variables x e y .

16 = 16 ___ 25 x 2 + y 2 Se opera.

1 = x 2 ___ 25 + y 2

___ 16 Se dividen ambos miembros de la igualdad por 16.

1 = x 2 __ 5 2

+ y 2

__ 4 2

Se reemplaza 25 por 5 2 y 16 por 4 2 .

La elipse es el lugar

geométrico de los puntos

donde la suma de las distancias a

dos puntos fijos es constante.

Se suman ambas igualdades. 2 d 1 = 10 + 6 __ 5 x

Se despeja d 1 . d 1 = 10 + 6 __ 5 x

_______ 2

Se simplifica. d 1 = 5 + 3 __ 5 x

Se elevan al cuadrado ambos miembros

de la igualdad.d1

2 = (5 + 3 __ 5 x ) 2

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

175



NIP: 222503 - Pág.: 175 - MAT

*0000-222503-175-MAT-9*

Si se considera la definición de elipse señalada anteriormente, falta encontrar los

puntos que están sobre el eje horizontal y verifican que la distancia al punto A más la

distancia al punto B es igual a 10.

Para calcular las coordenadas de C y C’ se reemplazan x por a e y por 0 en la fórmula

obtenida anteriormente y resulta:

x 2 __

5 2 +

y 2 __

4 2 = 1 ⇒ a 2 __

5 2 + 0 2 __

4 2 = 1 ⇒ a 2 __

5 2 = 1 ⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5 o a = –5.

Por lo tanto C = (5 ; 0) y C ‘ = (–5 ; 0).

Es posible observar además que C y C’ son las intersecciones de la elipse con el eje x.

Entonces d 1 es igual al valor de a más 3 y d 2 es igual a a menos 3, por lo tanto

d 1 + d 2 = (a + 3) +(a – 3) = 2a

Estos puntos, si bien son parte de la elipse, no son parte de la solución del problema

pues se formarían triángulos “aplastados”.

La figura determinada por la solución del problema y teniendo en cuenta a los puntos en el

eje horizontal es una elipse. Los puntos A y B que son puntos fijos se llaman focos de la elipse.

En este caso, gráficamente se obtie-

ne una elipse y no resulta ser una

función.

La elipse corta al eje x en dos pun-

tos C y C' de la forma (a ; 0).

Si se llama F 1 al foco 1 y F 2

al foco 2 que son los puntos

fijos, un punto P de la elipse

cumple que la distancia de P a F 1

que es d 1 más la distancia de P a

F 2 que es d 2 , es constante.

d 1 + d 2 = constante

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 176 - MAT

*0000-222503-176-MAT-9*

La distancia focal es la

distancia entre los focos, es

decir, es d ( F 1 ; F 2 ).

El punto O que es el punto medio

entre los focos es el centro de la

elipse.

El segmento que va desde – a hasta

a se llama diámetro mayor de la

elipse.

La suma constante de las distancias

de un punto de la elipse a cada uno

de los focos es igual al diámetro

mayor, esto es 2a. Por lo tanto

d 1 + d 2 = 2 a.

Los diámetros son perpendiculares.

7. a. Encuentren la ecuación de una elipse con focos en (– 1 __ 2 ; 0) y ( 1 __ 2 ; 0).

b. Indiquen dos puntos de esta elipse que se encuentren en el tercer

cuadrante.

c. ¿Cuántas elipses cumplen esa condición? ¿Por qué?

8. Encuentren la ecuación de la elipse que tiene centro en el origen de

coordenadas, su semidiámetro en el eje x es igual a 4 y su semidiámetro

en el eje y es igual a 2.

9. Encuentren los focos de la elipse de ecuación x 2 ___ 24 + y 2

___ 15 = 1.

10. ¿Cuál es el punto de abscisa 7 1 __ 2 de la elipse de ecuación

x 2 ____ 169 + y 2

____ 144 = 1?

Esta relación, ¿resulta ser una función? Expliquen cómo se dieron cuenta.

ACTIVIDADES

En el problema anterior se tiene entonces

y los puntos (x ; y) que son parte de la elipse cumplen la ecuación

1 = x 2 ___

5 2 +

y 2 ___

4 2

donde los denominadores representan el cuadrado de las distancias del centro a los

puntos donde la elipse corta a los ejes.

En general la elipse con focos F 1 = (–c ; 0) y F 2 = (c ; 0) verifica:

El centro de la elipse es el punto (0 ; 0), centro de coordenadas.

La distancia entre los focos es igual a 2c y la semidistancia focal es igual a c.

La medida del diámetro sobre el eje x, es igual a 2a, y la distancia que va desde el

centro (0 ; 0) hasta (a ; 0) es igual a a.

La medida del diámetro sobre el eje y es igual a 2b y la distancia que va desde el cen-

tro (0 ; 0) hasta (0 ; b) es igual a b.

La ecuación de esta elipse es x 2 ___

a 2 +

y 2 __

b 2 = 1

La ecuación de la elipse con

focos A = (c ; 0) y B = (–c ; 0) es:

x 2 __ a 2

+ y 2

__ b 2

= 1

donde b 2 = a 2 – c 2

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

177



NIP: 222503 - Pág.: 177 - MAT

*0000-222503-177-MAT-9*

Hipérbola

Problema 12a. Determinar los puntos del eje x y del eje y cuya diferencia entre las distancias a los

puntos F 1 = (5 ; 0) y F 2 = (–5 ; 0) resulta ser siempre igual a 6.

b. Encontrar todos los puntos del plano cuya diferencia entre las distancias a los

puntos F 1 = (5 ; 0) y F 2 = (–5 ; 0) resulta ser siempre igual a 6.

c. Encontrar un punto que verifique lo pedido en b. cuya abscisa sea x = 4.

Si se comienza analizando cuáles son los puntos del eje x que verifican la condición

pedida y se llama A a uno de esos puntos entonces A = (a ; 0).

Restando ambas igualdades se obtiene

d 2 – d 1 = 5 + a – ( 5 – a ) = 5 + a – 5 + a = 2 a

Pero como d 2 – d 1 = 6 ⇒ 2 a = 6 ⇒ a = 3.

Luego d 1 = 2 ; d 2 = 8 y el punto A = (3 ; 0) verifica lo pedido.

Si se ubica A en el semieje negativo se puede determinar que el punto (–3 ; 0) también

cumple con la condición pedida.

¿Y cuáles son los puntos sobre el eje y?

d 1 = d( F 1 ; B) = √______

5 2 + b 2 d 2 = d( F 2 ; B) = √______

5 2 + b 2

de donde se deduce que d 1 – d 2 resulta ser siempre igual a 0 para cualquier punto en el eje y, por lo tanto no existe un punto en el eje vertical que cumpla que la diferencia entre

las distancias a los puntos F 1 y F 2 es igual a 6.

Si se llama d 1 a la distancia entre

A y F 1 y d 2 a la distancia entre A y

F 2 resulta que:

d 2 – d 1 = 6

Además:

d 1 = 5 – a y d 2 = 5 + a

Si se llama B al punto sobre el eje y

que se quiere encontrar, sus coorde-

nadas serán de la forma (0 ; b)

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 178 - MAT

*0000-222503-178-MAT-9*

Sea P = (x ; y) un punto cualquiera del plano que verifica que la diferencia entre la

distancia de P a F 1 y la distancia de P a F 2 es 6.

Por la definición de distancia se obtiene que

d 1 = d(P ; F 1 ) = √_______________

(x – 5) 2 + (y – 0) 2 = √___________

(x – 5) 2 + y 2

del mismo modo se obtiene

d 2 = d(P , F 2 ) = √__________________

(x –(– 5)) 2 + (y – 0) 2 = √___________

(x + 5) 2 + y 2

por lo tanto

d 1 = √___________

(x – 5) 2 + y 2 y d 2 = √___________

(x + 5) 2 + y 2

Además, por diferencias de cuadrados resulta que:

d 2 2

– d 1 2

= ( d 2 – d 1 ).( d 2 + d 1 ) ⇔ d 2 2

– d 1 2

= ( d 2 – d 1 ).( d 2 + d 1 )= 20x

y reemplazando d 2 – d 1 por 6 se obtiene 6 ( d 2 + d 1 ) = 20 x ⇔ d 2 + d 1 = 20 ___ 6 x = 10 ___ 3 x

Queda planteado un sistema de ecuaciones lineales:

d 2 – d 1 = 6

d 2 + d 1 = 10 ___ 3 x

Si se suman las igualdades, se obtiene:

2 d 2 = 10 ___ 3 x + 6 ⇔ d 2 = 10 ___ 6 x + 3 = 5 __ 3 x + 3

Por lo tanto: d 2 2

= (x + 5) 2 + y 2 y d 2 2

= ( 5 __ 3 x + 3) 2

Luego: ( 5 __ 3 x + 3) 2 = (x + 5) 2 + y 2

d 1 2

= (x – 5) 2 + y 2 d 2 2

= (x + 5) 2 + y 2 Se elevan al cuadrado ambos miembros de las igualdades.

d 2 2

– d 1 2

= (x + 5) 2 + y 2 – [(x – 5) 2 + y 2] Se realiza la resta entre d 2 2

y d 1 2

.

d 2 2

– d 1 2

= (x + 5) 2 – (x – 5) 2 Se cancela.

d 2 2

– d 1 2

= x 2 + 2 . 5x + 25 – ( x 2 – 2 . 5x + 25) = 2 . 10x = 20xSe desarrollan los cuadrados y se simplifica.

25 ___ 9 x² + 2 . 5 __ 3 x . 3 + 9 = x² + 2 . 5x + 25 + y² Se desarrollan los cuadrados.

25 ___ 9 x² + 10 x + 9 = x² + 10 x + 25 + y² Se opera.

25 ___ 9 x² – x² – y² = 25 – 9 Se cancela y se agrupan las variables x e y.

16 ___ 9 x 2 – y 2 = 16 Se opera.

x² __ 9 – y 2

___ 16 = 1Se dividen ambos miembros de la igualdad por 16.

⎧⎪⎨⎪⎩

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

179



NIP: 222503 - Pág.: 179 - MAT

*0000-222503-179-MAT-9*

La hipérbola es el lugar

geométrico de los puntos

del plano donde la diferencia de

las distancias entre un punto y dos

puntos fijos es constante.

Estos dos puntos fijos se llaman

focos de la hipérbola.

La recta que une los dos focos se

llama eje mayor de la hipérbola y la

recta perpendicular que pasa por el

punto medio de los focos se llama

eje menor de la hipérbola. Es decir,

los dos ejes se cortan en el punto

medio de los focos y ese punto se

llama centro de la hipérbola.

Entonces cualquier punto P cuyas coordenadas (x ; y) cumplan con la ecuación ante-

rior verifica que la diferencia entre las distancias a los puntos F 1 = (5 ; 0) y F 2 = (–5 ; 0)

resulta ser siempre igual a 6.

Si se quieren obtener puntos P cuya abscisa sea x = 4, entonces:

4 2 __ 9 – y 2 ___ 16 = 1 ⇔

y 2 ___ 16 = 16 ___ 9 – 1 = 16 – 9 ______ 9 = 7 __ 9 ⇔ y 2 = 7 __ 9 . 16 ⇒ ⎪y⎪=

√_______

7 . 16 _____ 9 = 4 __ 3 √__

7

De este modo los puntos (4 ; 4 __ 3 √__

7 ) y (4 ; – 4 __ 3 √__

7 ) forman parte de este conjunto de puntos.

La recta que une los dos focos, en este caso el eje x, se llama eje mayor de la hipér-

bola y la recta perpendicular que pasa por el punto medio de los focos se llama eje menor

de la hipérbola. En este caso el eje menor es el eje y. Es decir, los dos ejes se cortan en el

punto medio de los focos y ese punto se llama centro de la hipérbola.

La ecuación de esta hipérbola no corresponde a una función pues como se analizó ante-

riormente, por ejemplo, para el valor de x = 4 se obtienen dos valores de la variable y.

Como 3 2 = 9 y 4 2 =16 la ecuación de la hipérbola puede escribirse:

El 3 que aparece es la distancia desde el centro hasta una de las intersecciones de la

hipérbola con el eje mayor.

Pero, ¿de dónde sale 4 2 ?

Como 5 2 = 4 2 + 3 2 , 4 2 = 5 2 – 3 2 , donde 5 es la distancia del centro a cada uno de los focos.

Los puntos (–4 ; 4 __ 3 √__

7 ) y

(–4 ; – 4 __ 3 √__

7 ) también verifican las

condiciones pedidas.

Los puntos del plano que cumplen

esta condición forman una curva

que recibe el nombre de hipérbola.

En general, si se tienen focos en

F 1 = (c ; 0) y F 2 = (–c ; 0) y la dife-

rencia de las distancias a los focos

es igual a 2a, entonces los puntos

(x ; y) de la hipérbola cumplen la

ecuación:

x 2 ___

a 2 –

y 2 _______

c 2 – a 2 = 1 ⇒ x

2 ___ a 2

– y 2 ___

b 2 = 1

donde b = √_______

c 2 – a 2

x 2 __

3 2 –

y 2 __

4 2 = 1

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 180 - MAT

*0000-222503-180-MAT-9*

Si se despeja y en la ecuación de la hipérbola se obtiene

x 2 __ 9 –

y 2 ___ 16 = 1 ⇒ x

2 ___ 9 – 1 = y 2 ___ 16 ⇒

y 2 ___ 16 = x

2 – 9 ______ 9

de donde resulta

y 2 = ( x 2 – 9 ______ 9 ) . 16 = 16 ___ 9 ( x 2 – 9) ⇒ ⎮y⎮ = √__________

16 ___ 9 ( x 2 – 9) = 4 __ 3 √______

x 2 – 9

Es decir, dado un valor de x resultan dos valores de y que cumplen con esta igualdad,

un valor positivo y otro valor negativo.

Problema 13¿Es cierto que la distancia entre un punto de la función y = 4 __ 3

√_____

x 2 – 9 y la recta y = 4 __ 3 x

tiende a 0 cuando x tiende a infinito?

Para un valor de x se obtiene, en la recta, el punto (x ; 4 __ 3 x ), y en la rama de la hipér-

bola, el punto (x ; 4 __ 3 √_____

x 2 – 9 ).

La distancia entre esos dos puntos es igual a:

√___________________________

(x – x) 2 + ( 4 __ 3 x – 4 __ 3 √_______

( x 2 – 9) ) 2 = √__________________

[ 4 __ 3 ( x – √_______

( x 2 – 9) ) ] 2 = 4 __ 3 ( x –

√_______

( x 2 – 9) )

Entonces si x → +∞ se tiene que x 2 – 9 → x 2 , por lo tanto si x → +∞

√_______

( x 2 – 9 ) → √__

x 2 = x

De este modo si x → +∞ resulta que ( x – √_______

( x 2 – 9) ) tiende a 0, por lo tanto la distancia

entre el punto en la hipérbola y el punto en la recta y = 4 __ 3 x tiende a 0 cuando x tiende a +∞.

La recta y = 4 __ 3 x resulta ser una asíntota de la hipérbola.

Se llama distancia focal de

la hipérbola a la distancia

entre los dos focos.

Los puntos donde la hipérbola cor-

ta a los ejes se llaman vértices de la

hipérbola.

Las asíntotas de una

hipérbola son rectas tales

que cada rama de la hipérbola se

acerca a cada una de ellas tanto

como se quiera cuando x tiende a

infinito.

Las asíntotas de una hipérbola con

centro en el origen de coordenadas

tienen ecuación:

y = b __ a x e y = – b __ a x

Si se consideran solo valores posi-

tivos para y la ecuación que queda:

y = 4 __ 3 √______

x 2 – 9

Esta fórmula es una función con

dominio:

Dom (y) = (–∞ ; –3] U [3 ; +∞)

cuyo gráfico serán las ramas de la

hipérbola que se encuentran sobre

el eje de las abscisas.

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

181



NIP: 222503 - Pág.: 181 - MAT

*0000-222503-181-MAT-9*

Secciones cónicas

En este anexo se estudiaron una clase de curvas llamadas cónicas. Las circunferencias,

elipses, parábolas e hipérbolas son cónicas.

Las cónicas se pueden considerar como aquellas figuras que se obtienen al cortar un

cono con diversos planos.

Por tal motivo se dice que una cónica puede ser considerada como la figura que resulta

de cortar una superficie cónica por un plano, pero ¿a qué se llama superficie cónica?

Una superficie cónica es una superficie generada por una recta que gira alrededor de

un eje manteniendo un punto fijo. Un cono es una superficie cónica.

Problema 14En el comedor de una casa hay una lámpara de pie que tiene una pantalla cilíndrica

ubicada al lado de una pared.

a. Si la lámpara se enciende, ¿qué forma dibuja la luz en la pared?

b. Si se inclina la lámpara, ¿qué formas dibujará?

Si la lámpara se enciende, irradia una luz en forma de cono hacia arriba y hacia abajo,

como muestra la figura.

Puede observarse que al “cortarse” con la pared lo que queda determinado en ella

resulta ser una hipérbola.

Si se inclina el pie de la lámpara, ¿qué figura queda determinada?

Al inclinar la lámpara, la figura resultante dependerá de cuánto se la incline.

Si se inclina solo un poco la lámpara pero de manera que el plano de la pared se encuentre

paralelo a la recta que genera al cono de luz, solo una parte de la lámpara iluminará la pared

y lo que queda determinado es una parábola.

Las cónicas se pueden

considerar como aquellas

figuras que se obtienen al cortar un

cono con diversos planos.

Una superficie cónica es una

superficie generada por una

recta que gira alrededor de un eje

manteniendo un punto fijo. Un cono

es una superficie cónica.

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 182 - MAT

*0000-222503-182-MAT-9*

Si ahora se inclina mucho mas la lámpara de modo que la pared “corte” totalmente el

cono que forma el haz de luz,

queda determinada una elipse.

En este caso, será necesario que el plano de la pared “atraviese” totalmente el cono.

Si se pone de manera perpendicular la lámpara hacia la pared, se obtiene una circun-ferencia.

Las posiciones en que un cono corta el plano determinan las distintas secciones cóni-

cas. Por ejemplo, si el plano por el que se corta la superficie cónica es paralelo a la recta

que genera la superficie cónica, se obtiene una parábola.

De este modo, si se cambia el ángulo de inclinación del plano y el lugar de la intersec-

ción, se pueden obtener una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. En

el caso especial que el plano corte por el vértice se obtiene un punto, una línea o 2 líneas

intersecadas.

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN11. ¿Cuántas circunferencias pasan por los puntos (–1 ; 0) y (0 ; 2)?

¿Cuántas circunferencias de radio √___

73 ____ 2 pasan por los puntos anteriores?

¿Cuál es el centro de cada circunferencia?

12. Encuentren todos los valores de a para los cuáles la distancia entre

los puntos A = (–2 ; 2) y B = (a ; –1) es igual a √

___ 10 .

13. Encuentren el valor de a para que la distancia entre los puntos

A = (–1 ; a) y B = ( 2 ; –1) sea igual a 4.

14. Encuentren las ecuaciones de las siguientes circunferencias:

a. Centro (2 ; 5) y radio 4.

b. Centro (– 1 __ 2 ; 3) y radio 3 __ 2 .

c. Centro (1 ; 1) y que pasa por el (5 ; 5).

15. Escriban la ecuación de las parábolas que tienen vértice en el

origen de coordenadas, eje en el eje y y cuyo parámetro, p, es:

a. 1 __ 3 b. 3 c. 15 d. 1 __ 5

16. Encuentren las ecuaciones de las siguientes hipérbolas, las

coordenadas de los vértices y las ecuaciones de las asíntotas:

a. Focos (– 1 __ 3 ; 0) y ( 1 __ 3 ; 0) y constante 5.

b. Focos (– 5 __ 3 ; 0) y ( 5 __ 3 ; 0) y uno de los vértices en ( 1 __ 2 ; 0)

17. Encuentren la ecuación de la parábola de foco (–3 ; –1) y

directriz x =1. ¿Cuál es su eje de simetría? ¿Y cuál es su vértice?

18. Encuentren la ecuación de la circunferencia de centro (2 ; –1) y

radio 3. ¿En qué puntos la circunferencia cruza con el eje horizontal y

con el eje vertical?

19. ¿Cuáles son los puntos donde la elipse que tiene focos en (5 ; 0) y

(–5 ; 0) y constante 15 cruza con los ejes coordenados?

20. Encuentren los focos de la hipérbola de ecuación x 2 ___ 30 – y 2

__ 6 = 1.

21. Encuentren los focos de la elipse de ecuación x 2 ___ 34 + y 2

__ 6 = 1.

22. Encuentren la ecuación de la parábola que tiene foco (–1 ; 0) y

directriz y = 4. ¿Cuál es su vértice?

23. Encuentren la ecuación de la elipse de focos (4 ; 0) y (–4 ; 0) tal

que la suma de las distancias sea 14. ¿Cuáles son las coordenadas de

los vértices de la elipse?

24. ¿Cuál es la ecuación de la elipse centrada en el origen, si un foco

está en (–2 ; 0) y tiene un vértice en (6 ; 0)?

25. Encuentren un punto de la elipse con vértice en (3 ; 0) y que pasa

por el punto (2 ; 1 __ 6 √

__ 5 ) que se encuentra en el tercer cuadrante.

26. ¿Cuáles son las asíntotas de la hipérbola de foco (–5 ; 0) y que pasa

por el punto (2 √

__ 5 ; 3)?

27. ¿Cómo queda determinada la elipse donde los dos focos se

superponen?

28. Método de construcción de una elipse:

“Para construir una elipse primero se determina el diámetro mayor

A 1 A 2 , el centro O y los focos F 1 y F 2 . Se toma un punto cualquiera

del segmento F 1 F 2 que une los focos, por ejemplo Q. Se trazan

circunferencias con centro en cada uno de los focos y de radios A 1 Q. Y

nuevamente se trazan circunferencias con centro en cada uno de los

focos pero ahora con radio A 2 Q. Donde se cortan esas circunferencias

queda determinados puntos de la elipse. Si se varía la posición del

punto Q se obtienen más puntos de la elipse.”

Expliquen por qué este procedimiento funciona para construir puntos

de una elipse.

29. Encuentren la ecuación de la parábola de foco (1 ; –2) y directriz y = 3.

30. Grafiquen la elipse de ecuación x 2 __ 9 + y 2

___ 25 = 1, ¿cómo queda

determinado su gráfico?

31. Encuentren 5 puntos que pertenezcan a:

a. la circunferencia de ecuación x 2 + (y – 1) 2 = 1;

b. la elipse de ecuación x 2 + y 2

__ 4 = 1;

c. la hipérbola de ecuación x 2 – y 2

__ 4 = 1.

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 23293 C1




NIP: 222503 - Pág.: 184 - MAT

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Marquen la o las opciones correctas.

1. La distancia entre A = (–1 ; 3) y B = (a ; 9) es igual a 10 si:

a = 7

a = 9

a = 7 o a = –9

a = –7 o a = 9

2. En la ecuación (y – 3) 2 + x 2 = 81,

representa una circunferencia de centro (3 ; 0) y radio 9.

el punto (8 ; 3 – √___

17 ) pertenece a la gráfica de la relación.

para cada valor de x hay dos puntos que verifican la relación.

la gráfica no corta al eje de las x.

3. Dada la elipse de focos ( 1 __ 3 ; 0) y (– 1 __ 3 ; 0) y con vértice en (3 ; 0),

¿cuáles de estos puntos pertenecen a la elipse?

(1 ; 5) (–1 ; √

__ 8 )

(2 ; 2) (0 ; – 4 __ 3 √__

5 )

4. ¿Cuál de estas opciones puede ser la ecuación de la hipérbola?

x 2 ___ 1 __ 4

+ y 2

___ 9 = 1

4 x 2 – y 2

__ 9 = 1

x 2 ___ 37 ___ 4

– y 2

__ 9 = 1

x 2 ___ 1 __ 4

– y 2

___ 37 ___ 4

= 1

5. ¿Cuál es el gráfico de la parábola de ecuación (x +1) 2 = 3 . (y-3)?

6. La parábola cuya directriz es x = – 4 y su foco es (4 ; 0)

es una función.

tiene ecuación 16x = y 2 .

tiene ecuación y = 1 ___ 16 x.

pasa por el punto (1 ; 4).

a

d

b

c

a

d

b

c

a

d

b

c

AUTOEVALUACIÓNa

d

b

c

a b

dc

a

d

b

c

M: 23293 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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anexos - abc

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