UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E D AS MISSÕES

CAMPUS DE ERECHIM

DEPARTAMENTO DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

CURSO DE MATEMÁTICA

ANDIRLEIA JAQUELINE FAGGION

O ESTUDO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS

COM A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE SCILAB

ERECHIM

2010

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ANDIRLEIA JAQUELINE FAGGION

O ESTUDO DE FUNÇÕES QUADRÁTICAS

COM A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE SCILAB

Monografia apresentada à disciplina de Trabalho de Graduação II, do Curso de Matemática, do Departamento de Ciências Exatas e da Terra, da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – Campus de Erechim, como requisito para Conclusão do Curso e obtenção do Título de Licenciada em Matemática Orientador: Profº. Clémerson Alberi Pedroso

ERECHIM

2010

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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado força, coragem, paciência e

persistência que não me fizeram desistir, mesmo em momentos difíceis.

A minha família que sempre me apoiou, me incentivando e acreditando em mim,

mesmo quando eu não acreditava.

De uma forma especial agradeço também ao meu noivo, Volmir Edson Dias, pela

compreensão e colaboração, pois cheguei até aqui pelo seu incentivo fazendo-me acreditar em

minha capacidade.

Aos professores que me acompanharam durante o curso, em especial ao meu

orientador Profº Clemerson Alberi Pedroso, pelo seu incentivo e compreensão.

Aos colegas da turma, em especial as amigas inseparáveis, que no decorrer desta

caminhada enfrentaram comigo muitas dificuldades e que estarão presentes para sempre em

minha vida.

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“O homem que faz com que as coisas

difíceis pareçam fáceis é um educador”

(Ralph W. Emerson).

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RESUMO

Esta pesquisa realizada tem como objetivo mostrar a importância do uso do software Scilab para o estudo de funções quadráticas. A princípio faz uma reflexão sobre o uso das tecnologias no ensino da matemática nas escolas como uma alternativa na melhora do ensino, aborda o uso do computador como uma dessas alternativas e o conhecimento de softwares matemáticos, em especial o software Scilab, para o estudo de funções quadráticas. Com isso apresenta algumas propostas de atividades sobre funções quadráticas com a utilização do software Scilab.

Palavras-chaves: Educação matemática, recursos, computador, software Scilab, funções quadráticas.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1…………………………………………………………………………………..18

Figura 2…………………………………………………………………………………..19

Figura 3…………………………………………………………………………………..21

Figura 4 ………………………………………………………………………………….21

Figura 5…………………………………………………………………………………..22

Figura 6…………………………………………………………………………………..22

Figura 7…………………………………………………………………………………..23

Figura 8…………………………………………………………………………………..23

Figura 9…………………………………………………………………………………..25

Figura 10………………………………………………………………………………….25

Figura 11………………………………………………………………………………….26

Figura 12………………………………………………………………………………….27

Figura 13………………………………………………………………………………….28

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................8

2 INFORMÁTICA E A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ......................................................9

3 A MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO ........................................................................13

4 A PROPOSTA PRÁTICA.....................................................................................................16

4.1 Funções Quadráticas e suas aplicabilidades..................................................................16

4.2 O Ambiente Gráfico do Scilab.........................................................................................17

4.3 Comandos para gerar gráficos........................................................................................18

5 PROPOSTAS DE ATIVIDADES ......................................................................................20

5.1 Definições da Função Quadrática...................................................................................20

5.2 Zeros ou raízes de uma função quadrática....................................................................25

5.3 Situações problema – Lançamento de projéteis e campeonato de futebol: o que eles tem em comum?......................................................................................................................28 5.3.1 Situação problema I – Lançamento de projéteis........................................................28 5.3.2 Situação problema II – Campeonato de futebol. Como captar o movimento de uma bola chutada pelo goleiro?.....................................................................................................29

5.4 Análise das atividades......................................................................................................30

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................................................31

REFERÊNCIAS .....................................................................................................................32

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1 INTRODUÇÃO

Embora a matemática esteja presente em nosso cotidiano, muitos alunos desenvolvem

uma aversão a essa disciplina em sua fase escolar.

São feitos vários estudos sobre este fato e as razões apontadas são diversas como má

formação dos professores, distanciamento da matemática explicada em sala de aula com a

realidade. Porém, como já sabemos, a matemática esta inserida em nossa cultura, podendo ser

observada em propagandas, jogos, linguagem oral e escrita, enfim, em várias situações de

nosso cotidiano.

Almeja-se assim, um ensino de matemática que possibilite aos estudantes fazerem

análises, discussões, hipóteses, formulação de idéias e que principalmente possam utilizar o

conhecimento adquirido nas situações vivenciadas em seu dia a dia. Não se aprende

matemática apenas pela sua beleza ou porque se necessita dela, mas sim para que a partir de

suas teorias possamos ampliar nosso conhecimento e contribuir para o desenvolvimento da

sociedade.

Uma das formas para que isso ocorra é fazer uso das tecnologias. Sabemos que há um

crescente avanço nas tecnologias, o uso de computadores como complemento no processo de

ensino-aprendizagem vem crescendo. Com isso cabe ao professor se especializar e repensar a

sua prática pedagógica.

Contudo sabemos que a inserção de computadores não é algo fácil, pois pode sofrer

restrições de alguns profissionais. Neste trabalho, foi abordada a importância do uso das

tecnologias, em especial o computador, para o ensino de funções quadráticas no ensino médio

com o auxilio do software Scilab.

Na primeira seção é feita uma reflexão sobre o uso de tecnologias no ensino de

matemática e evidencia algumas dificuldades que são encontradas por professores e alunos

para a inserção do computador como uma ferramenta eficaz para apoio no ensino. Na segunda

seção mostra-se como deve se proceder ao ensino da matemática segundo os PCN’s, dando

ênfase ao estudo de funções quadráticas com a utilização do software Scilab. Após será feita a

apresentação de algumas atividades que podem ser realizadas utilizando o software.

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2 INFORMÁTICA E A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

As mudanças tecnológicas, principalmente na área da computação, são evidenciadas

diariamente: máquinas cada vez mais rápidas, ampliação da capacidade de armazenamento,

softwares mais dinâmicos, etc. Com estas mudanças tecnológicas, a área da educação também

sofreu transformações, uma delas, não mais importante, foi à inserção de computadores nas

escolas.

Informática e educação têm sido uns dos temas muito debatidos nas últimas décadas

no Brasil. Várias discussões foram realizadas sobre o perigo que traria o uso de computadores

nas aulas, prejudicando o ensino onde o aluno simplesmente se tornaria “escravo” da máquina

obedecendo todos seus comandos e apertando as teclas solicitadas, tornando-os assim meros

repetidores de tarefas.

Segundo Borba e Penteado (2007; p11), ainda hoje há essa preocupação. O argumento

é feito quando tocado no tema educação no geral, mas é mais ainda debatido quando colocada

em evidência a educação matemática, pois a matemática é compreendida como matriz do

pensamento lógico. Nesse sentido, se o exercicio é realizado pelo computador o aluno não

precisará mais “pensar” matematicamente, deixando assim de desenvolver seu raciocínio

lógico matemático.

Por outro lado, tem havido, mais recentemente argumentos que apontam o computador

como solução para os problemas educacionais. Segundo Valente (1999), quando se questiona

professores sobre a utilização de computadores no ensino, ouve-se muito em que o uso é

importante, que motiva o aluno, que é algo novo, moderno, etc. O autor justifica estas

respostas pelo motivo de o computador ser uma ferramenta para facilitar algumas atividades

do dia-a-dia e a busca de informações.

Já não cabe mais somente ao professor proporcionar as informações prontas para os

alunos, mas sim promover meios para que eles procurem as informações desejadas e que

sejam capazes de interpretar e questionar o que lhe é oferecido. Com isso, o computador

aparece como principal ferramenta, pois proporciona aos alunos condições de procurar e

analisar informações, resolver problemas e construir seu próprio conhecimento. Além disso, o

computador oferece vários recursos que podem despertar o interesse dos alunos, como a

visualização do que eles construíram.

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Sendo assim, a implantação de computadores nas escolas seria uma esperança para

minimizar a dificuldades dos alunos e professores encontradas freqüentemente,

principalmente na disciplina de matemática. Como sabemos a implantação de computadores

no ambiente escolar não é tarefa fácil, pois altera diversos aspectos, por menor que seja a sua

utilização. A adaptação do espaço físico, os imprevistos técnicos, a curiosidade dos alunos,

sem falar nos medos e incertezas sentidos pelos professores e também pelos alunos.

No entanto, não basta apenas implantar o computador no ambiente escolar, precisa-se

destacar que, como diz Silva:

[...] a simples introdução de laboratórios equipados com os computadores e outros periféricos não garantirá por si só, a tão propagada inclusão digital, nem tão pouco a melhoria na qualidade de ensino. Pode inclusive, gerar dificuldades, se a atitude de incluir tais ferramentas não estiver responsavelmente vinculada a uma política séria de formação docente, que contemple uma discussão profunda entre os agentes envolvidos neste processo de construção do conhecimento (SILVA, 2008).

Portanto o computador inserido como uma nova ferramenta de ensino, tanto da

matéria de matemática como qualquer outra disciplina, exige um esforço maior do professor,

o principal responsável por esse processo.

E essa tarefa não é fácil, já que se torna necessário que o professor aprimore seus

conhecimentos, deixando de lado preconceitos, medos e incertezas. Segundo Carneiro (2006;

p57), no professor identifica-se o medo de ficar ultrapassado ao perceber que o aluno sabe

causando assim muita insegurança sobre o assunto.

Como diz Borba e Penteado (2007; p54), alguns professores preferem permanecer

numa zona de conforto, onde tudo é conhecido, previsível e controlável. Mesmo insatisfeitos

com o ensino, eles não se movimentam em direção a um território desconhecido. Muitos

reconhecem que a forma como estão atuando não favorece a aprendizagem dos alunos e

indicam que poderia ser diferente. Esses professores nunca avançam para a zona de risco, na

qual é preciso avaliar constantemente as conseqüências das ações propostas. Além da

possibilidade de problemas técnicos, irão surgir também duvidas dos alunos, poderão fazer

com que o professor faça alterações para determinada aula, pois com o uso do computador o

professor está se arriscando mais podendo assim se deparar com alguma situação matemática

ainda desconhecida para ele.

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Mas isso, não deve fazer com que o professor se sinta constrangido entre os alunos,

pois, acima de tudo, a sua função é proporcionar aos alunos um ambiente de aprendizagem

agradável, que vá de encontro com a realidade em que o aluno está inserido. E se o

computador faz parte desta realidade, cabe ao professor buscar novas metodologias, para que

o uso do computador nas aulas de matemática se torne agradável e que seja a favor da

aprendizagem, e não a mera informatização do ensino tradicional.

Portanto para que isso aconteça, é crucial que a formação de professores seja eficiente,

que ofereça condições para que os professores sejam capazes de incluir essa ferramenta em

seu trabalho, de forma segura e eficaz. Segundo Valente (1999; p4), ”a formação de

professores devem lhes dar condições para que saibam recontextualizar o aprendizado e

experiências obtidas durante essa formação, para a realidade dos alunos e os objetivos

pedagógicos que se dispõe a atingir”.

Com certeza a formação de professores é algo essencial, pois de nada adianta investir

em novas tecnologias e falar sobre elas, sem orientar para uma nova atitude do professor

diante dessa realidade em que estamos inseridos. Particularmente existem ferramentas que são

de mera importância para o ensino e aprendizagem da matemática, que são os softwares

educativos. Hoje há uma grande quantidade de softwares livres na internet, mas cabe ao

professor ter um conhecimento prévio sobre para poder fazer uma melhor análise desses, para

que assim possa ter a garantia de que realmente irão contribuir para o conhecimento cognitivo

do aluno.

O conhecimento e a utilização de softwares educativos pelos professores contribuirão

muito para o ensino da matemática. Existem muitos softwares livres, Geogebra, Winplot,

Logo, Graphequation, Scilab, entre outros. Estas ferramentas têm sido utilizadas diversas

vezes para encontrar resultados de aplicações de exemplos, gerarem gráficos, efetuarem

diversos cálculos e outras várias coisas, “testar hipóteses e explorar caminhos que levem a

efetuar demonstrações formais” (CLAUDIO; MARINS, 1994, p.464).

Os conteúdos tradicionais poderão ser interligados de uma forma mais dinâmica com a

utilização do computador nas aulas, assim estimulando os alunos a participarem das aulas de

matemática, que muitas vezes são rejeitadas pelos mesmos.

Mas o computador não deve ser inserido como uma máquina de ensinar, pelo

contrário, deve ser inserido no meio escolar como um elemento de apoio à aprendizagem,

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sendo assim mais um recurso que propiciará novas experiências e atividades, traduzindo-se

em um ensino mais estimulante e rico.

Como diz Brandão (1995), “o computador é um instrumento e, como tal ajuda encontrar um

modo de ensinar, não o modo de ensinar”. E acima de tudo, a sua utilização no ensino não visa

substituir, nem o professor e nem os outros recursos disponíveis até hoje, mas o acesso a essa

tecnologia surge como um novo recurso com o objetivo de auxiliar o professor, na tentativa de

melhorar seu trabalho e ajudar seus alunos a compreender e gostar mais da matemática.

Levando isso em consideração, neste trabalho faremos uma análise sobre a utilização do

software Scilab no ensino da matemática, mais precisamente no estudo de funções quadráticas.

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3 A MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO

A sociedade está sofrendo grandes modificações quanto ao uso de tecnologias e em

conseqüência disto a Educação também vem sofrendo grandes mudanças. Com isso, é

importante que nos voltemos cada vez mais para o desenvolvimento de capacidade de

interpretação, de comunicação, de tomar decisões, de criar e de trabalhar cooperativamente.

Levando isto em consideração, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, a

organização da disciplina de Matemática no Ensino Médio deve se adequar para o

desenvolvimento e formação de alunos com diferentes motivações, interesses e capacidades,

com isso deve-se criar condições para a inserção dos mesmos em uma sociedade em constante

mudança e contribuir para que haja desenvolvimento de capacidades que serão exigidas em

sua vida social e profissional.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio:

A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas especificas em quase todas as atividades humanas. (PCN’s Ensino Médio – 2002)

Em seu papel formativo, como citado, a Matemática contribui para o desenvolvimento

de processos de pensamentos e a aquisição de atitudes, ou seja, podendo gerar no aluno

hábitos de investigação, proporcionando assim uma maior segurança na analise e solução de

situações novas, fazendo com que o aluno tenha uma visão ampla e cientifica da realidade e

desenvolva a criatividade e o senso critico. Já no que diz respeito a parte instrumental, a

Matemática deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias que possam

ser aplicadas em diferentes áreas do conhecimento e até mesmo em sua vida profissional.

A Matemática no Ensino Médio não deve ser vista somente com caráter formativo ou

instrumental, ela também deve ser vista como uma ciência, com suas características

estruturais específicas.

É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e

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estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. (PCN’s Ensino Médio – 2002)

Contudo, cabe a Matemática do Ensino Médio apresentar ao aluno o conhecimento de

novas informações e instrumentos necessários para que seja possível que ele continue

aprendendo, pois saber a aprender é uma das condições básicas para buscar sempre o

aperfeiçoamento. Com isso cabe aos professores de cada área do conhecimento auxiliar os

alunos a desenvolverem pesquisas para que cada um deles, futuramente, possa confiar mais

em seus conhecimentos.

Outro ponto importante é a relação entre o ensino da Matemática e a tecnologia.

Segundo os PCN’s do Ensino Médio, o impacto da tecnologia na vida de cada indivíduo vai

exigir competências que vão além do simples fato de lidar com computadores ou

calculadoras. Todo esse avanço exigirá que as pessoas, principalmente profissionais da

educação, continuem aprendendo, mas não sozinhos, pois quando um indivíduo se liga a

outras pessoas com outras informações passa existir uma transferência de conhecimentos,

percepções, raciocínios, etc.

Esse impacto da tecnologia, cujo instrumento mais relevante é hoje o computador, exigira do ensino de Matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento. (PCN’s Ensino Médio – 2002)

Para isso, os estudantes deverão saber relacionar e analisar as diversas informações

obtidas, para que a partir disso possam tomar decisões, onde estas exigirão dos estudantes

linguagens, procedimentos e formas de pensar matematicamente que devem ser

desenvolvidos no decorrer do Ensino Médio, bem como também a capacidade de adequação

das tecnologias em diferentes situações.

Sendo assim, as funções da Matemática, já descritas, e sua inserção na tecnologia, nos

faz compreender que aprender Matemática no Ensino Médio, deve ir além do que apenas a

memorização de fórmulas ou resultados, mas sim deve estar vinculada ao domínio de um

saber fazer e pensar matematicamente.

O saber fazer e pensar matematicamente passa por um processo lento e trabalhoso, que

deve se tiver como ponto de partida várias atividades sobre resolução de problemas de

variados tipos, com o objetivo de estimular a capacidade de argumentação, formalizar o

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conhecimento matemático e desenvolver habilidades essenciais à leitura e interpretação da

realidade e de outras áreas do conhecimento.

No que diz respeito a outras áreas do conhecimento, temos que ter em mente que a

Matemática integrada à outras áreas, passa a ter caráter instrumental mais amplo, além de sua

dimensão própria de investigação e invenção.

Para que essa etapa do conhecimento possa permitir o desenvolvimento das

capacidades, já citadas, que fazem parte dos objetivos do ensino de Matemática, é muito

importante que seja revisto alguns dos temas ensinados no Ensino Médio.

Mas de fato não basta apenas rever a forma ou metodologia de ensino, se o

conhecimento matemático ainda ficar restrito às informações, com as definições e exemplos,

assim como a exercitação. Pois se os conceitos forem apresentados de forma quebrada,

mesmo que for aprofundado, não garante que o aluno estabeleça relações entre as idéias

desconectadas umas das outras. As dificuldades escolares na maioria dos alunos em relação à

Matemática da a entender de que eles não sejam capazes de assimilar sozinhos relações entre

os conceitos e o raciocínio matemático envolvido nos diversos conteúdos, ou seja, eles

possuem dificuldades de utilizar o conteúdo aprendido na escola para sua vivencia.

Um exemplo onde isso ocorre freqüentemente é no estudo de funções. Se esse tema

for ensinado isoladamente, não permitirá a exploração do caráter integrador que ele possui.

Além das conexões internas à própria Matemática, como no estudo da trigonometria, das

progressões, dos polinômios e das equações algébricas, o conceito de função desempenha

também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e

construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano quanto de

outras áreas do conhecimento.

Cabe ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problemas que envolvam outras áreas do conhecimento, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática. (PCN’s Ensino Médio – 2002)

Levando isso em consideração, faremos um estudo sobre funções quadráticas e o

traçado do gráfico da mesma.

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4 A PROPOSTA PRÁTICA

Quando trabalhamos funções quadráticas com a utilização do software Scilab,

percebemos o quão simples fica o entendimento da mesma em relação ao traçado dos

gráficos, o entendimento dos zeros da função a partir do estudo do discriminante.

Levando isto em consideração, faremos uma reflexão sobre algumas aplicabilidades da

função quadrática com o uso do software Scilab.

4.1 Funções Quadráticas e suas aplicabilidades

As idéias sobre funções percorrem o conhecimento escolar desde as primeiras noções

de proporcionalidade nas séries iniciais até o ensino de Cálculo no ensino superior. Para

alguns autores as funções estão entre as mais poderosas e úteis noções em toda a Matemática

e inclusive em várias outras ciências. O impacto da tecnologia esta fazendo com que

educadores matemáticos repensem a maneira que as funções podem ser ensinadas.

Segundo os PCN’s, o conceito de funções apresenta praticamente a mesma

importância que os demais conceitos presentes na Matemática, sendo que os mesmos

propiciam aos alunos o desenvolvimento de pensamentos que lhes permitem compreender,

descrever e representar o mundo em que vivem. Porém, quando se observa a metodologia

utilizada para o ensino de funções, verifica-se que apresenta características do ensino

tradicional, sendo este um dos principais fatores que ocasionam dificuldades no ensino de

funções.

Trabalhar funções de uma maneira onde os alunos não construam o conhecimento a

partir de situações-problema visualize adequadamente as diferentes situações gráficas ou

manipulem diferentes objetos de aprendizagem não propicia aos mesmos uma aprendizagem

significativa. Nas salas de aulas os alunos sentem dificuldades quando são propostas

atividades a fim de verificar seus conhecimentos, em especial referente ao conceito de

funções quadráticas, interpretação gráfica, questões-problemas dentre outros.

Os alunos devem relacionar os conceitos escolares adquiridos com seu dia-a-dia.

Devem perceber que as funções estão presentes em diversas áreas do conhecimento e

modelam matematicamente situações que nos auxiliam em nossas atividades. No entanto, a

função quadrática não deve ser apenas colocada em seu modo conceitual, mas sim

apresentando a sua história e suas aplicabilidades em diferentes áreas do conhecimento,

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levando o estudante a perceber que a matemática, principalmente o estudo de funções

quadráticas, esta inserida em seu cotidiano.

4.2 O Ambiente Gráfico do Scilab

O Scilab foi criado em 1990 e é um pacote de aplicativos científicos para computações

numéricas que oferece o uso de várias ferramentas para a área de engenharia e científicos.

O software é distribuído gratuitamente desde 1994, quando passou a ser disponível

pela internet. Atualmente ele é utilizado para fins educacionais e industriais no mundo inteiro.

Ele inclui diversas funções matemáticas com a possibilidade de adicionar, interativamente

programas de variadas linguagens (C, C++, Fortran, etc.). Conta ainda com diversas

ferramentas que possibilitam a execução de gráficos, animações, álgebra linear, matrizes,

interpolação, aproximação, simulação, etc.

No Scilab, podemos trabalhar com vários tipos de dados. As constantes, reais ou

complexas, as variáveis booleanas, os polinômios, as strings e as frações envolvendo

polinômios são considerados dados escalares. Com estes objetos podemos definir vetores e

matrizes. Os outros tipos de dados reconhecidos pelo Scilab são as listas, e as listas com

definição de tipo. Deve ser enfatizado, entretanto, que a vantagem na utilização do Scilab

advém da facilidade de prototipação de programas e da disponibilidade de uma poderosa

biblioteca de funções gráficas. A principal interface do Scilab com seus utilizadores são as

janelas, como nos mostra a figura 1.

Figura 1: Janela inicial do Scilab Fonte: Scilab

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A facilidade de entendimento do software, no que diz respeito à resolução de

problemas e suas representações gráficas, fazem com que os alunos tenham um melhor

entendimento em diferentes casos referentes a funções quadráticas.

Dentro destes propósitos, será feito um estudo para contribuir com o ensino de funções

quadráticas, através de uma análise de propostas de atividades com o auxilio do software

Scilab.

4.3 Comandos para gerar gráficos

No software Scilab é possível criar gráficos em diferentes dimensões. Neste capítulo

apresentaremos alguns comandos que são utilizados para criar gráficos em 2d.

Gerando esse script, conseguimos gerar os gráficos apresentados no capítulo seguinte.

A forma geral para a função plot2d() inclui um terceiro argumento, <opt_args>, que é uma

sequência de opções que determinam as características dos gráficos. De forma geral, para

gerar gráficos se utiliza o seguinte script plot2d([x],y,<opt_args>).

As opções podem ser:

- style: esta opção é utilizada para especificar o padrão para a curva que está sendo traçada. O

valor associado a essa opção deve ser um vetor com valores inteiros positivos ou negativos.

Se o valor associado for positivo, a curva é contínua. Se o valor associado à opção for

negativo ou zero, a curva será desenhada usando marcadores;

- logflag: define a escala, logarítmica ou linear, a ser utilizada nos eixos x e y do gráfico. Os

valores associados à essa opção são strings, “nn”, “nl”, “ln” e “ll”, onde l indica a escala

logarítmica, n indica escala normal e a segunda letra indica o tipo de graduação dos eixos;

- rect: esta opção é utilizada para estabelecer os limites do gráfico, o valor máximo de x e y e

o valor mínimo de x e y. O valor associado à essa opção é um vetor real com quatro entradas,

[xmin, ymin, xmax, ymax];

- frameflag: é utilizada para controlar a escala dos eixos coordenados. O valor associado à

essa opção é um número inteiro no intervalo 0 e 8, inclusive;

- axesflag: especifica como os eixos serão traçados. O valor associados a essa opção é um

número inteiro variando entre 0 e 5, inclusive;

- nax: permite definir os nomes e as marcas nos eixos x e y. O valor associado a essa opção,

válido apenas quando a opção axesflag=1, é um vetor com quatro entradas inteiras, [nx, Nx,

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ny, Ny]. O parâmetro Nx é o número de marcações principais utilizadas no eixo x; nx é o

número de divisões entre as marcações principais do eixo x; Ny e ny tem significados

semelhantes, tratando-se do eixo y;

- leg: permite definir as legendas das curvas. O valor associado a esse parâmetro é uma string

de caracteres para cada gráfico traçado;

- xgrid: coloca uma grade em um gráfico bi-dimensional;

- xtitle: coloca títulos em gráficos 2-D ou 3-D;

- titlepage: coloca um título no meio de uma janela gráfica;

- linspace: cria um vetor de valores igualmente espaçados.

Na figura a seguir, podemos vizualisar o exemplo de alguns comandos que serão

utilizados para gerar os gráficos do próximo capítulo.

Figura2: Comandos utilizados para gerar gráfico Fonte: Scilab

20

5 PROPOSTAS DE ATIVIDADES

Neste capítulo faremos a análise de propostas de atividades sobre o estudo de funções

quadráticas com o auxilio do software Scilab.

Como primeira proposta, mostraremos a fácil visualização do estudante quanto aos

gráficos, podendo assim fazer uma análise mais objetiva quanto aos seus diferentes traçados.

Após faremos o estudo do discriminante da função e o que ocorre no traçado do gráfico em

suas diferentes condições. Por último analisaremos duas situações problema distintas.

5.1 Definições da Função Quadrática

Em geral a função quadrática é representada da seguinte forma ,

onde . Observamos que aparece um termo de segundo grau, . É essencial que

exista um termo de segundo grau na função para que ela seja uma função quadrática, caso

contrário não a seria.

A função quadrática pode ser escrita de forma completa, ou

, e incompleta. Pode acontecer de o termo de segundo grau aparecer

isoladamente, como na expressão geral ; acompanhado por um termo de primeiro

grau, como no caso geral ; ou também unido a um termo independente ou a

um valor constante, como em . Isso acontece porque o termo de primeiro grau

e o termo independente pode assumir qualquer valor real.

Como exemplo, podemos analisar nas seguintes situações, conforme os gráficos a

seguir:

- Gráfico da função

21

Figura 3: Parábola: x² + 2x + 5

Fonte: Scilab

- Gráfico da função

22

Figura 4- Parábola: Fonte: Scilab - Gráfico da função

Figura 5- Parábola: Fonte: Scilab - Gráfico da função

23

Figura 6- Parábola:

Fonte: Scilab - Gráfico da função

Figura 7- Parábola:

Fonte: Scilab

-Gráfico da função

24

Figura 8- Parábola:

Fonte: Scilab

Podemos fazer as seguintes questões para que o aluno possa tomar as conclusões:

- Comparando o gráfico 1 e 2 o que podemos perceber?

- Em relação ao gráfico 6, o que podemos perceber quando aumentado o valor do coeficiente

a?

- Que relação podemos perceber quanto ao vértice das parábolas?

- O que percebemos em relação ao vértice das parábolas nos gráficos 3, 4 e 5?

Respondendo as questões e fazendo a comparação do gráfico 1 (figura 3) com o

gráfico 2 (figura 4), os alunos podem perceber que mudando o sinal do termo a parábola

se inverte em relação ao eixo , ou seja, quando o termo for positivo a parábola terá

concavidade voltada para cima e se for negativo a parábola terá concavidade voltada para

baixo. Pode-se também aumentar o valor de , gráfico 6 (figura 8), com isso percebe-se que a

medida que se aumenta os valores absolutos de , a parábola é mais fechada, ou seja, fica

mais próxima ao eixo .

Com os mesmos gráficos podemos fazer uma análise do vértice das parábolas. Com

isso os alunos juntamente com o professor chegam à conclusão que para se encontrar o vértice

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das parábolas basta assumirem , ou seja, ou podemos utilizar a

seguinte fórmula ( , ).

Fazendo a análise dos demais gráficos percebemos que a curva que se forma com o

gráfico 3 (figura 5), é simétrica em relação ao eixo com isso concluímos que seu vértice é a

coordenada (0,0). Já no gráfico 4 (figura 6), vemos que a parábola sofre uma translação, com

isso o vértice não se encontra mais no ponto (0,0), mais sim no ponto (-1,-1). Com essa

relação podemos concluir que ao se resolver a função, temos como resposta e ,

a abscissa do vértice será o ponto médio entre os dois valores de . Observando o gráfico 5

(figura 6), notamos que a parábola que se formou em relação ao gráfico 3 (figura 4) se desloca

5 unidades para cima no eixo , ou seja o vértice dela será (0,5).

Com essas relações podemos fazer algumas anotações gerais:

- O traçado de todas as parábolas derivam do traçado da parábola do gráfico 3;

- Quando temos uma função do tipo , a parábola sofre um deslocamento na

horizontal, sendo que seu vértice assumirá os valores ( , );

- Quando temos uma função do tipo , a parábola sofre um deslocamento na

vertical, sendo que seu vértice assumirá os valores (0,c);

5.2 Zeros ou raízes de uma função quadrática

Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de que anulam a

função, ou seja, que tornem .

Para determinarmos os zeros da função quadrática devemos resolver a equação de 2º

grau . Sendo assim, podemos fazer algumas relações com seu discriminante.

- Se ∆ > 0 → a função tem dois zeros reais desiguais.

Gráfico da função

26

Figura 9- Parábola: Fonte: Scilab - Se ∆ = 0 → a função tem zero real duplo.

Gráfico da função

Figura 10- Parábola:

Fonte: Scilab - Se ∆ < 0 → a função não possui zero real.

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Gráfico da função

Figura 11- Parábola: Fonte: Scilab Dessa forma podemos perceber que o traçado do gráfico altera conforme os valores do

discriminante. Calculando o discriminante, onde a fórmula é ∆ = os alunos

podem perceber a importância de se fazer o estudo da mesma. A fórmula do discriminante faz

parte da fórmula de Bháskara, onde após calcular o valor da mesma deve-se extrair a raiz, aí o

porquê de se ter ou não zeros da função, se o número for positivo existe raiz quadrada se for

negativo não existe raiz quadrada.

Observando os gráficos e se calculando o discriminante os alunos podem perceber

que:

- Se a função apresenta ∆ > 0,ou seja, raízes positivas, então possui dois zeros reais diferentes

sendo eles as abscissas onde o gráfico intercepta o eixo ;

- Se a função apresenta ∆ = 0,ou seja, raízes positivas iguais possui então um zero

real duplo, ou seja, sendo ele a abscissa do ponto que a parábola tangencia o eixo ; - Se a função apresenta ∆ < 0,ou seja, raízes negativas, ela não possui zeros reais, portanto

não intercepta o eixo .

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5.3 Situações problema – Lançamento de projéteis e campeonato de futebol: o que eles

tem em comum?

Quando trabalhamos com o software Scilab, levamos em consideração a sua

praticidade e o real aprendizado do aluno. Com isso, achamos necessário demonstrar algumas

situações problemas envolvendo o lançamento de projéteis e o campeonato de futebol.

A abordagem presente na situação I nos proporciona a integração de pesquisas com

problemas matemáticos, relacionando-o diretamente com a Física levando em consideração a

trajetória que o projétil faz quando lançado, trabalhando assim de forma interdisciplinar.

Com a situação II, podemos relacionar a história do futebol no Brasil, as suas

adaptações sofridas até se tornar a modalidade de esporte mais praticada no país, como são

feitas a contagem dos pontos nos campeonatos, as rivalidades entre torcidas, o alto salário dos

jogadores, etc. Proporcionando assim o trabalhado interdisciplinar na sala de aula.

5.3.1 Situação problema I – Lançamento de projéteis

Atualmente pesquisas espaciais de alta tecnologia vêm sendo feitas, principalmente as

que envolvem projéteis. Os projéteis se movem segundo trajetórias que correspondem a

parábolas.

A trajetória de um determinado projétil é descrita pela seguinte função,

, onde é a distancia horizontal do projétil à origem e sua altura em metros. A quantos metros da origem o projétil cai ao solo e qual a altura máxima por ele atingida. Representação gráfica:

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Figura 12- Parábola: Fonte: Scilab 5.3.2 Situação problema II – Campeonato de futebol. Como captar o movimento de uma

bola chutada pelo goleiro?

O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto

máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola.

A reposição da bola em jogo por um goleiro é descrita pela seguinte função

,onde é a distância horizontal da bola ao goleiro e sua altura em metros.

Qual a altura máxima atingida pela bola e a quantos metros ela cai ao chão?

Representação gráfica:

30

Figura 13- Parábola:

Fonte: Scilab

5.4 Análise das atividades

A partir desses exemplos podemos perceber relações como:

- Quando a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo;

- Relações com o vértice;

- Variação dos coeficientes a, b e c e o comportamento do gráfico;

- Zeros da função (raízes);

- Valores de máximo e de mínimo;

- Ponto de intersecção com y e com x;

- Comportamento dos sinais da função.

Com exemplos como esses o aluno percebe com maior facilidade as mudanças

ocorridas em relação ao traçado dos gráficos. E com o auxilio do software Scilab se torna

mais simples e rápida esta compreensão, pois muitas vezes o aluno acaba sendo desmotivado

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por ter que construir os gráficos que muitas vezes são demorados e complicados, mostrando

assim a importância do uso das tecnologias nas aulas.

Existe ainda a relação interdisciplinar entre a Matemática e outras ciências, como

exemplo a Física. Situações problema como essas nos possibilitam construir modelos

matemáticos a partir do contexto do aluno, para que o mesmo possa se sentir mais motivado a

aprender Matemática.

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

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As evoluções tecnológicas que afetam o mundo não poderiam deixar de causar

impacto na educação. A inserção de computadores nas salas de aula é um assunto a ser

debatido por inúmeros entendedores do assunto.

Diante a esta discussão, surgem aliados as idéias do uso da tecnologia em sala de aula,

neste caso, o computador. Este, que é um dos mais avançados aparelhos de comunicação, do

final do século XX até os dias de hoje.

Dentre as diversas hipóteses da defesa do uso tecnológico, destacam-se os que

afirmam que, através do uso dessa ferramenta, o aluno poderá expandir conhecimentos, ou

seja, alcançar conclusões e desenvolver idéias que nunca alcançara. Já os que protestam o fato

do uso dessa tecnologia, afirmam que o aluno se tornará “escravo” da máquina, e que não terá

mudanças evolutivas lógicas, já que, segundo eles, apenas farão o que a tecnologia mandar.

Para que isto não ocorra, é preciso que o professor esteja preparado, sentindo-se

seguro para poder partir de uma zona de conforto, onde tudo é previsível, controlável, para

uma zona de risco, onde é necessário fazer avaliações, mudanças, para que assim poça fazer

uso do computador em suas aulas. É de suma importância que ele procure sempre se atualizar

para não se sentir inferior, caso pense que seu aluno saiba mais sobre o uso do computador.

Com este trabalho podemos perceber que a tecnologia, sendo usada adequadamente, é

uma grande aliada para o ensino de Matemática nas escolas. O uso de softwares educativos,

neste caso o Scilab, é de suma importância para o real entendimento dos alunos em certos

conceitos matemáticos.

O uso do software Scilab para a construção de gráficos de funções quadráticas nos faz

perceber o quão simples se torna esse conteúdo e como o software pode nos auxiliar nessa

construção e interpretação gráfica.

Espera-se que esta pesquisa desperte em quem a ela tiver acesso, alunos da graduação,

professores, um maior interesse em buscar novos conhecimentos sobre softwares matemáticos

e suas aplicabilidades, para poder desfrutar das potencialidades que o computador oferece

particularmente para o ensino de matemática, assim oferecendo aos alunos um ambiente de

aprendizagem que os preparem para a vida, sendo que a matemática pode deixar de ser tão

temida se for ensinada de maneira agradável e inovadora.

REFERÊNCIAS

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BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. BONOTTO, D. L.; SOARES, M. S.; MARTINS, M. C. M. A análise da ferramenta-objeto no objeto de aprendizagem “Potencializando o seu conhecimento”. Artigo. Departamento de Ciências Exatas e da Terra. URI – Campus de Santiago. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Brasília: MEC; SEMTEC, 2002. BARRETO, L. S. Iniciação ao Scilab. Disponível em: http://www.decom.ufop.br/bob/com400/livros/livroSci-LSB.pdf Portugal. 2008. CARNEIRO, R. G. Informática na educação: representações sociais do cotidiano. 3ed. São Paulo, Cortez, 2006. MAIA, D. Função Quadrática: um estudo didático de uma abordagem computacional. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC – SP, 2007. PIRES, P. S. da M. Introdução ao Scilab – Versão 3.0. Disponível em: http://www.dca.ufrm.br/~pmotta/sciport-3.0.pdf Natal. 2004. VALENTE, J. A. Informática na educação no Brasil: análise e contextualização histórica. In: Valente, J. A. (org). O computador na sociedade do conhecimento. Campinas, SP: UNICAMP/NIED, 1999. VALENTE, J. A. Formação de profissionais na área de informática em educação. Computadores e conhecimento: repensando a educação. São Paulo: Gráfica Central da Unicamp, 1993.