analogia da viga conjugada

APNDICE B ANALOGIA DA VIGA CONJUGADAEste apndice apresenta a Analogia da Viga Conjugada como forma alternativa para deduzir solues fundamentais de vigas. Essa metodologia para anlise de vigas est baseada em uma comparao entre as equaes diferenciais de equilbrio e de compatibilidade que regem o comportamento de barras flexo. Essas equaes foram deduzidas no captulo 3 e esto mostradas na tabela B.1 de forma comparativa. A analogia entre as equaes diferenciais foi observada inicialmente por Mohr (1835-1918), e por isso esse mtodo conhecido como Processo de Mohr (Sssekind 1977-2). Tabela B.1 Comparao entre equaes diferenciais de equilbrio e compatibilidade para flexo de vigas (vide captulo 3). Equaes de Equilbrio dM = Q(x ) dx Equaes de Compatibilidade dv = (x ) dx

Eq. (3.9)

Eq. (3.1)

d2M = q( x ) dx 2

Eq. (3.10)

d 2 v M( x ) = EI dx 2

Eq. (3.20)

Nota-se na tabela B.1 que o papel que M(x) faz nas equaes de equilbrio o mesmo que o papel que v(x) exerce nas equaes de compatibilidade, isto , M(x) anlogo a v(x). Observa-se tambm que Q(x) anlogo a (x) e q(x) a M(x)/EI. A idia original de Mohr em explorar essa analogia est em utilizar as equaes de compatibilidade da viga real como se fossem equaes de equilbrio de uma viga fictcia, chamada de viga conjugada, com carregamento qC(x) = M(x)/EI, esforo cortante QC(x) = (x) e momento fletor MC(x) = v(x), tal como indica a tabela B.2. Com base nessa analogia, a resoluo do problema do equilbrio da viga conjugada equivalente resoluo do problema da compatibilidade da viga real. Como a imposio de condies de equilbrio , em geral, mais simples e intuitiva do que a imposio de condies de compatibilidade, a analogia da viga conjugada se apresenta como uma alternativa para a imposio de condies de compatibilidade em vigas.

314 Mtodos Bsicos da Anlise de Estruturas Luiz Fernando Martha

Tabela B.2 Analogia da viga conjugada. VIGA REAL Carregamento Esforo cortante Momento fletor Rotao Deslocamento transversal q(x) Q(x) M(x) VIGA CONJUGADA qC(x) = M(x)/EI QC(x) = (x) MC(x) = v(x)

(x)v(x)

A analogia da viga conjugada tem diversas aplicaes na anlise de vigas. As principais so:

Clculo de deslocamentos em vigas. Anlise de vigas hiperestticas. Determinao de reaes de engastamento de vigas para carregamentos arbitrrios. Deduo de coeficientes de rigidez de barras isoladas.

Todas essas aplicaes podem ser analisadas utilizando o Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV), tal como foi mostrado no captulo 4. Entretanto, a analogia da viga conjugada uma alternativa mais simples de ser utilizada em muitos casos, e tambm muito til quando a viga tem uma rigidez flexo varivel, isto , quando EI no constante. Nota-se que em todos os exemplos tratados no corpo deste livro s so consideradas barras prismticas, isto , barras com seo transversal que no variam ao longo do seu comprimento. Este apndice fornece uma metodologia para deduo de solues fundamentais de barras com inrcia varivel. Como visto nos captulos 6, 7 e 9, o Mtodo dos Deslocamentos se baseia em solues fundamentais de barras isoladas (reaes de engastamento de barras e coeficientes de rigidez de barras). Portanto, este apndice estende a aplicao do Mtodo dos Deslocamentos e do Mtodo da Rigidez Direta para barras com inrcia varivel.

B.1. Converso de condies de apoioA aplicao da analogia da viga conjugada requer a converso das restries de apoio da viga real para a viga conjugada. As restries de apoio, que so condies de compatibilidade da viga real, so expressas em termos de deslocamentos transversais v e de rotaes . Na viga conjugada, as restries relativas a deslocamentos transversais devem ser convertidas para restries com respeito a mo-

Luiz Fernando Martha Analogia da Viga Conjugada 315

mentos fletores MC, assim como as restries que se referem a rotaes so traduzidas para restries impostas a esforos cortantes QC. A tabela B.3 mostra a converso das possveis restries de apoio em vigas (reais) para as correspondentes restries de apoio na viga conjugada em termos de momentos fletores e esforos cortantes. Tabela B.3 Converso de restries da apoio para a viga conjugada.VIGA REALapoio simples

VIGA CONJUGADAapoio simples

v=0 v=0

0 =0 0

MC = 0 MC = 0

QC 0 QC = 0

engaste

extremidade livre

extremidade livre

v0

MC 0 MC 0 MC = v= MC = v= QC =

engaste

QC 0

engaste deslizante

engaste deslizante

v0

=0 v=

QC = 0

apoio simples com recalque vertical

MC =

apoio simples com momento aplicado

v=engaste com recalque vertical

MC =

extremidade livre com momento aplicado

=engaste com recalque rotao

extremidade livre com fora aplicada

=apoio simples interno

esq = dirv=0 esq dir v0

QCesq MC

=

QCdir

QC = rtula interna

=0

rtula interna

QCesq QCdir apoio simples interno MC 0 QCesq = QCdir MC = MC = rtula interna com momento aplicado

esq = dirapoio simples interno com recalque vertical

v=


Na tabela B.3, os recalques de apoio impostos na viga real tm o sentido positivo, de acordo com a conveno de sinais adotada: deslocamento transversal v positivo de baixo para cima e rotao positiva no sentido anti-horrio. Os correspondentes momentos fletores MC e esforos cortantes QC tambm so positivos na viga conjugada. Dessa forma, quando um recalque vertical positivo imposto na viga real, o momento que aplicado na viga conjugada faz com que as fibras inferiores fiquem tracionadas na seo de aplicao (isso corresponde a um momento fletor positivo). Analogamente, quando uma rotao positiva imposta como recalque de apoio na viga real, a fora aplicada na viga conjugada provoca um esforo cortante positivo na seo de aplicao.

B.2. Roteiro do processo de MohrPara se analisar uma viga pelo processo de Mohr, deve-se adotar a seguinte seqncia de procedimentos: 1 Converso de restries de apoio da viga real para a viga conjugada conforme indicado na tabela B.3. 2 Determinao do aspecto do diagrama de momentos fletores da viga real. No caso de vigas isostticas, o diagrama determinado utilizando apenas condies de equilbrio. Para vigas hiperestticas, o traado do aspecto correto do diagrama de momentos fletores muito importante. Para tanto, deve-se identificar que fibras so tracionadas pelos momentos fletores nas extremidades de todas as barras. O traado da elstica (configurao deformada) pode auxiliar nessa identificao. Dessa forma, o diagrama dos momentos fletores fica parametrizado pelos valores dos momentos fletores nas extremidades das barras. 3 Determinao do carregamento na viga conjugada, qC = M/EI. A considerao de barras com rigidez flexo EI varivel (inrcia varivel) ao longo do comprimento da viga considerada no carregamento da viga conjugada. 4 Imposio de condies de equilbrio da viga conjugada. Isso equivale a impor condies de compatibilidade da viga real.

B.3. Clculo de deslocamentos em vigas isostticasO tipo de aplicao mais simples da analogia da viga conjugada a determinao de deslocamentos (ou rotaes) em vigas. Isso pode ser aplicado a qualquer tipo de viga, isosttica ou hiperesttica. Entretanto, a definio do carregamento na viga conjugada depende do conhecimento do diagrama de momentos fletores da viga real. No caso de uma viga isosttica, esse diagrama determinado diretamente. Para uma viga hiperesttica, a determinao do diagrama de momentos fletores


requer uma anlise anterior. Essa anlise pode ser feita por qualquer mtodo, inclusive pela analogia da viga conjugada, conforme mostrado na prxima seo. Nesta seo dois exemplos isostticos so analisados. O primeiro exemplo, mostrado na figura B.1, o de uma viga engastada e em balano com uma fora vertical aplicada na extremidade livre. O objetivo desse exemplo calcular o deslocamento transversal vB e a rotao B da seo na extremidade livre.VIGA REAL PA B

VIGA CONJUGADA Pl/EI Pl2/2EIA B

l vA = 0 A = 0 vB 0 B 0

B

vB

l MA = 0 C QA = 0 Pl/2EIC

Pl3/3EIC

MB 0 C QB 0 VBC

Diagrama de momentos fletores: MA = Pl x M(x)C

2l/3

MB

C

MB = (Pl2/2EI)(2l/3) = Pl3/3EIC

QB =

Pl2/2EI

vB = Pl3/3EI

B = Pl2/2EI

Figura B.1 Clculo de deslocamento e rotao em extremidade livre de balano.

O diagrama de momentos fletores da viga real da figura B.1 triangular, tracionando as fibras superiores (negativo pela conveno adotada). Isso acarreta em um carregamento negativo (de cima para baixo) que varia linearmente na viga conjugada. As converses das condies de apoio tambm esto indicadas na figura B.1. V-se que a viga conjugada tambm isosttica. Isso vai sempre acontecer: uma viga real isosttica acarreta em uma viga conjugada isosttica. Como a viga conjugada estaticamente determinada e, portanto, tem somente uma soluo para as equaes de equilbrio, pode-se concluir que a viga real isosttica tem uma nica soluo que satisfaz as condies de compatibilidade (assim como tem uma nica soluo que satisfaz as condies de equilbrio). O deslocamento transversal e a rotao da seo na extremidade livre do balano so calculados determinando-se, por equilbrio, o momento fletor e o esforo cortante na seo correspondente da viga conjugada. O momento fletor negativo pois traciona as fibras superiores nessa seo. Portanto, vB negativo, isto , de cima para baixo (o que era de se esperar). O esforo cortante nessa seo tambm negativo, acarretando um uma rotao B no sentido horrio.


O segundo exemplo isosttico a viga biapoiada mostrada na figura B.2. O objetivo calcular o deslocamento transversal vB no centro da viga e a rotao C na extremidade direita. Nesse exemplo, os momentos fletores na viga real tracionam as fibras inferiores da viga, resultando em um carregamento positivo (de baixo para cima) na viga conjugada. O deslocamento vB determinado pelo clculo do momento fletor no ponto B da viga conjugada, e a rotao C determinada pelo clculo do esforo cortante em C.VIGA REAL PA B C

VIGA CONJUGADA

C

vB l/2

A

B

C

l/2 vA = 0 A 0

vC = 0 C 0

Pl2/16EI l/2 MA = 0 C QA 0xC

Pl/4EI

Pl2/16EI l/2 C MC = 0 QC 0C

Diagrama de momentos fletores: + MB = +Pl/4 l/2 l/2

l/2 Pl2/16EI l/3C C

l/2 l/6 l/6 l/3 Pl2/16EI l/3

M(x)

MB = (Pl2/16EI)(l/2) + (Pl2/16EI)(l/6) MB = Pl3/48EI QC = +Pl2/16EIC

vB = Pl3/48EI

C = +Pl2/16EI

Figura B.2 Clculo de deslocamento no centro de viga biapoiada e de rotao na extremidade.

B.4. Anlise de vigas hiperestticasDuas vigas hiperestticas so analisadas nesta seo. A primeira uma viga com dois vos mostrada na figura B.3, submetida a uma carga uniformemente distribuda. O objetivo determinar o diagrama de momentos fletores. Conforme comentado na seo B.2, a soluo de uma viga hiperesttica pela analogia da viga conjugada fica facilitada se o aspecto do diagrama de momentos fletores da viga real for determinado a priori. No caso da viga da figura B.3, os momentos fletores nas extremidades so nulos, e o momento fletor MB na seo do apoio central imaginado tracionando as fibras superiores. Isto , feita uma suposio que o momento em B negativo. Se a anlise resultar em um valor para MB negativo, isso significa que o momento fletor em B traciona as fibras inferiores. No exemplo isso no ocorre, confirmando que em B as fibras superiores esto tracionadas. O restante do diagrama de momentos fletores da viga da figura B.3 fica determinado em funo do momento fletor MB. Nos dois vos as parbolas do segundo


grau, correspondentes carga uniformemente distribuda, so penduradas a partir das linhas retas que unem os valores nulos em A e C com o valor negativo em B. Dessa forma, o diagrama de momentos fletores fica parametrizado por MB.VIGA REAL 8 kN/mA 3m B 6m C

VIGA CONJUGADA MB/EI

vA = 0 A 0

vB = 0 B esq B dir =

vC = 0 C 0

MA = 0 C QA 0

C

MB = 0 C QB esq QBdir = C MB/EI

C

C MC = 0 C QC 0

Diagrama de momentos fletores: MBA 9 B

A

B

C

+

36

C 2

9/EI 36/EI1 2

(MB/EI)(3/2)A B

(MB/EI)(6/2)C

(9/EI)3(2/3)1,5C

(36/EI)6(2/3) C VC3 3C

1,5

MB = 0 (MB/EI)(6/2)2 + (36/EI)6(2/3)3 + VC6 = 0 MA = 0 (MB/EI)(3/2)2 (MB/EI)(6/2)5 + (9/EI)3(2/3)1.5 + (36/EI)6(2/3)6 + VC9 = 0C C

MB = 27 kNm

Figura B.3 Soluo de viga countnua de dois vos com carregamento uniformemente distribudo.

Uma observao importante que a viga conjugada hiposttica. sempre assim: uma viga real hiperesttica acarreta em uma viga conjugada hiposttica. Isso indica que a viga real hiperesttica tem infinitas solues que satisfazem as condies de compatibilidade isoladamente, assim como tem infinitas solues que satisfazem as condies de equilbrio isoladamente (existem infinitos possveis valores de MB que satisfazem as equaes de equilbrio da viga real). A soluo correta aquela que satisfaz simultaneamente as condies de equilbrio e de compatibilidade. Com base na analogia da viga conjugada, a soluo correta aquela que satisfaz as condies de equilbrio na viga conjugada pois estas substituem as condies de compatibilidade na viga real. Como a viga conjugada hiposttica, o carregamento da viga conjugada tem que ser auto-equilibrado pois no existem vnculos externos suficientes para garantir o equilbrio em uma estrutura hiposttica. Dessa forma, a determinao do valor do momento fletor MB feita por equilbrio na viga conjugada, tal como indica a figura B.3. Para tanto, um macete adotado consiste em decompor o carregamento da viga conjugada em parcelas triangulares


e parablicas. Isso facilita muito os clculos, evitando que se determine o ponto no vo onde o carregamento muda de sentido. As resultantes das parcelas triangulares e parablicas do carregamento esto indicadas na figura, assim como suas posies. Observa-se que a rea de uma parbola simtrica (como as da figura B.3) igual a 2/3 do produto de sua base pela sua altura. Duas equaes de equilbrio na viga conjugada so consideradas para o clculo de MB. Essas equaes impem momento fletor nulo nos pontos B e A. As duas incgnitas so MB e a reao do apoio da direita (cujo valor final no est indicado). O segundo exemplo de anlise de uma viga hiperesttica pelo processo de Mohr a viga com dois vos mostrada na figura B.4, que sofre um recalque para baixo no apoio da esquerda.VIGA REALA

VIGA CONJUGADAC

EI = 3,6x104 kNm2

B

MC VC

MB/EI

= 0,04 ma=6m

MC/EI MA =- C QA 0C C

VB b=4m vB = 0 B esq B dir =

VA vA = A 0

MB = 0 C QB esq QC dir = B 2a/3 MBa/2EI b/3 MB/EIB

C

MC = 0 C QC = 0 MBb/2EIC

vC = 0

C = 0 A

Diagrama de momentos fletores: MB + M(x) +MC xC

MC/EI

a MB = 0 MC = MB / 2

2b/3

MCb/2EI

MA = 0 M a 2a M b b M b 2b B B a + + C a + = 0 2 EI 3 2 EI 3 2 EI 3 = 0,04 m a = 6 m b = 4 mEI = 3,6x104 kNm2

C

MB = 80 kNm MC = 40 kNm

Figura B.4 Soluo de viga contnua de dois vos com recalque de apoio.

O traado do aspecto do diagrama de momentos fletores da viga real da figura B.4 feito com base na elstica (configurao deformada) da viga. V-se na figura que a elstica tem um valor negativo em A (que corresponde ao recalque de apoio imposto), passa por zero em B e chega em zero em C com uma tangente horizontal (engaste). A forma mais natural da viga se deformar a mostrada na figura, com uma concavidade voltada para baixo no primeiro trecho e uma concavidade voltada para cima no trecho final prximo ao engaste. No ponto onde h a mudana de concavidade o momento fletor nulo (d2v/dx2 = M/EI). O momento fletor no primeiro trecho traciona as fibras superiores e no trecho final traciona as fibras inferiores. Portanto, conclui-se que o momento fletor em A nulo, em B negativo, e


em C positivo, resultando no aspecto do diagrama de momentos fletores mostrado na figura B.4. O diagrama formado por trechos retos pois no existem cargas distribudas (d2M/dx2 = q = 0). Assim, o diagrama fica parametrizado pelos valores de MB e MC. A determinao desses valores feita com base nas equaes de equilbrio mostradas na figura B.4.

B.5. Determinao de reaes de engastamento de vigasUma aplicao importante da analogia da viga conjugada a determinao de reaes de engastamento perfeito de barras submetidas a cargas arbitrrias. Para exemplificar isso, considere a viga da figura B.5 que engastada na esquerda e articulada na direita. Esta viga tem soluo determinada no captulo 4 (vide figura 4.41), sendo que a articulao aqui est sendo considerada como um apoio do segundo gnero, mas que equivalente a ter o n engastado e a barra com rtula na direita.VIGA REAL MAA

VIGA CONJUGADA MA/EIB

q

VA vA = 0 A = 0 l

VB vB = 0 B 0

MA = 0 C QA 0 MA/EI

C

C MB = 0 QC 0 B

Diagrama de momentos fletores: MA ql2/8 + ql2/8EI 2l/3 MAl/2EIA B

l/2C

(ql2/8EI)(2l/3) l/2

MB = 0 VA = (MA/l) + (ql2/2)

MB = 0 + (MAl/2EI)(2l/3) (ql2/8EI)(2l/3)(l/2) = 0

Fy = 0 VB = ql VA

MA = ql2/8

VA = 5ql/8

VB = 3ql/8

Figura B.5 Clculo de reaes de apoio de viga engastada e simplesmente apoiada.

A soluo da viga da figura B.5 semelhante soluo da viga da figura B.3. O momento fletor em A considerado tracionando as fibras superiores. O equilbrio


da viga conjugada mostra que isso tem que ser assim mesmo pois o carregamento na viga conjugada tem que ser auto-equilibrado. O segundo exemplo de determinao de reaes de engastamento de barra considera o caso de rigidez flexo (inrcia) varivel, tal como mostrado na figura B.6. A viga real dessa figura engastada na esquerda, articulada na direita e est submetida a uma fora concentrada no meio do vo. Alm disso, a seo transversal da metade esquerda da viga tem momento de inrcia igual a 2I, e a seo transversal da outra metade tem momento de inrcia igual a I.VIGA REAL MAA

P 2IB

VIGA CONJUGADA MA/2EI I VBC A B C

VA l/2 vA = 0 A = 0 l/2

MB/2EI MB/EI l/2 l/2 MC = 0 QC 0C C

vC = 0 C 0

MA = 0 C QA = 0 MA/2EIB A

C

Diagrama de momentos fletores: MA

C

MB/2EI Pl/4 +x

MB/EI l/2

M(x)

MB l/2 l/2 MB = Pl/4 MA/2

l/2 l/3 MAl/8EI MBl/8EI l/3 MC = 0 C

l/6 l/6 l/3

MBl/4EI l/3

M A l l l M Bl l l M Bl l + + + =0 8EI 2 3 8EI 2 6 4EI 3

MA = 2Pl/9

MB = 5Pl/36

Figura B.6 Clculo de reaes de apoio de viga engastada e simplesmente apoiada com inrcia varivel.

A soluo da viga da figura B.6 semelhante soluo da viga anterior. A principal diferena que o carregamento na primeira metade da viga conjugada igual ao diagrama de momentos fletores da viga real dividido por 2EI. Isso provoca uma descontinuidade na taxa de carregamento distribudo no ponto B. A figura B.6 tambm mostra a decomposio do carregamento na viga conjugada e a soluo por equilbrio nessa viga.


B.6. Deduo de coeficientes de rigidez de barrasFinalmente, esta seo exemplifica a utilidade da analogia da viga conjugada para determinao de coeficientes de rigidez de barra. A figura B.7 ilustra a determinao de coeficientes de rigidez rotao de uma barra sem articulao. Essa soluo foi obtida pelo Princpio dos Deslocamentos Virtuais no captulo 4 (vide figura 4.30).VIGA REAL VA MA vA = 0 A = 0 MBA B

VIGA CONJUGADA VB MA/EI

MB/EI

l

B = vB = 0 B = + MA = 0 C QA = 0C C

C MB = 0

QB = + MAl/2EI

Diagrama de momentos fletores: MA + x M(x) +MB

MA/EI l/3 2l/3 l MB = 0 MA = MB/2C

MB/EI

MBl/2EI

F y = 0 C

F y = 0 VB = VA M = 0 VA = VB = (MA+MB)/l

MB = (4EI/l) MA = (2EI/l)

VA = VB = (6EI/l2)

Figura B.7 Clculo de coeficientes de rigidez rotao de viga biengastada.

analogia da viga conjugada

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