analisis estructural - juan tomas celigueta

JUAN TOMS CELIGETA

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Prlogo ndice completo ndice resumido ndice de materias Ejercicios resueltos Enunciados de problemas

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El objetivo de este libro es servir como material de base para un curso de anlisis deestructuras, presentando los fundamentos tericos y la aplicacin prctica de los distintosmtodos de clculo existentes. Est orientado a estudiantes de ingeniera superior quedeseen adquirir unos conocimientos slidos de anlisis estructural, aunque puede emplearsetambin como libro de consulta por los profesionales que desarrollen su actividad en estecampo. El texto se limita al clculo esttico de estructuras reticulares ya que, por laimportancia prctica de stas en ingeniera y construccin, su estudio representa el primerpaso fundamental del anlisis de estructuras.

El texto est organizado en una serie de captulos, cada uno de los cuales presenta deforma rigurosa un tema determinado. Al final de cada captulo se incluyen diversosejercicios resueltos, que permiten comprender mejor la aplicacin de los fundamentostericos. Asimismo se incluyen una serie de enunciados de problemas para su resolucin.

El libro incluye un CD-ROM que contiene una versin informatizada de todo eltexto, lo cual permite consultar la obra desde un computador, manteniendo la mismacalidad que en la versin sobre papel. Esta versin informatizada contiene numerosasreferencias cruzadas entre distintas zonas del texto, a fin de mostrar la relacin entre losdistintos temas abordados, facilitando su estudio. Incluye tambin un sistema de bsquedapor palabras clave, que facilita la consulta de un tema determinado. En el CD-ROM seincluyen asimismo una serie de programas de computador, de uso interactivo muy sencillo,que permiten al estudiante analizar estructuras cuya resolucin no sea abordablemanualmente.

El primer captulo est dedicado a efectuar una introduccin al anlisis estructural,describiendo los tipos bsicos de estructuras y los mtodos de anlisis existentes. Elcaptulo 2 se dedica a la exposicin de los teoremas fundamentales empleados en el clculode estructuras. Se repasan los conceptos bsicos de elasticidad y en base a ellos se formulanlos teoremas fundamentales relativos al equilibrio esttico de slidos.

Los captulos 3 a 6 se dedican al estudio de las tipologas estructurales mshabituales: celosas, vigas, prticos y arcos. Para todas ellas se analizan en primer lugar suscondiciones de estabilidad y determinacin esttica, as como la teora bsica que rige sucomportamiento. A continuacin se presentan los distintos mtodos para su clculo, tanto anivel de esfuerzos en los elementos como de deformaciones, haciendo especial hincapi enel mtodo de anlisis de flexibilidad.

Al mtodo de rigidez se le dedican los captulos 7 y 8. Hoy en da es eluniversalmente empleado en los programas de computador, y sin embargo sus fundamentosy desarrollo prctico suelen ser a veces menos conocidos que otros mtodos, como el deflexibilidad. Por esta razn se ha efectuado una presentacin rigurosa del mtodo,

ii Curso de anlisis estructural

comenzando por sus fundamentos tericos, para a continuacin efectuar un desarrollodetallado de los distintos pasos de su aplicacin prctica. Se incluye la descripcin de laspropiedades de rigidez de los elementos ms importantes, tanto para estructuras planascomo espaciales, incluyendo temas avanzados como son la energa debida al esfuerzocortante, el descentramiento de los nudos, etc. Se describe asimismo el proceso a seguirpara tratar todo tipo de acciones exteriores, como fuerzas sobre las barras, variaciones detemperatura, errores en la geometra de los elementos, fuerzas de pretensin, etc. Lascondiciones de ligadura se tratan tambin en detalle, incluyendo el estudio de movimientosde los apoyos, apoyos inclinados, apoyos elsticos Se incluye asimismo un captulodedicado a temas avanzados relativos al mtodo de rigidez: una descripcin de lacondensacin esttica de grados de libertad y una introduccin terica al anlisis porsubestructuras.

En el captulo 9 se presenta el estudio de estructuras simtricas, y en el captulo 10 elclculo de lneas de influencia, es decir de la variacin que sufren los esfuerzos ydeformaciones cuando las cargas actuantes varan su punto de aplicacin. En el captulo 11se estudian las vigas apoyadas sobre una fundacin elstica. En primer lugar se presenta lateora bsica de su comportamiento, y continuacin una solucin empleando el mtodo derigidez.

Se ha incluido un captulo que describe el mtodo de la distribucin de momentos, ode Cross, que tanto auge tuvo antes de la generalizacin del uso de los ordenadores.Aunque haya cado en desuso hoy en da, resulta de inters conocer los fundamentostericos de este mtodo y su relacin con los otros mtodos de clculo.

El ltimo captulo se dedica a efectuar una introduccin a la estabilidad estructural.En primer lugar se estudia en detalle el colapso de elementos aislados, tanto en rgimenelstico como inelstico. A continuacin se estudia la determinacin de la carga de colapsoglobal de una estructura completa, considerando la influencia de los esfuerzos axiales en lascaractersticas de rigidez de los elementos estructurales.

Para terminar quisiera mostrar mi sincero agradecimiento a todos aquellos que mehan ayudado de una u otra forma. En primer lugar a la Direccin de la Escuela Superior deIngenieros Industriales de San Sebastin y del CEIT, por el apoyo que me han prestado parapoderme dedicar a la preparacin del libro. Gracias a mis ayudantes en la docencia en estosltimos aos, Juan Manuel Pagalday y Joseba Gallastegui, por su ayuda en la preparacinde problemas y ejercicios. Asimismo a Jos Luis Arzalluz, por sus pacientes explicacionessobre el funcionamiento de las libreras MFC.

Finalmente un agradecimiento muy especial a mi mujer y mis hijos por el apoyo y elnimo que siempre he recibido de ellos, sin los cuales esta obra no hubiese sido posible.Estoy en deuda con ellos por las numerosas horas que les he quitado para dedicarlas aescribir este libro. En particular debo expresar un reconocimiento especial a mi hijo JoseMari por su paciente lectura del manuscrito y sus numerosas observaciones y sugerencias, ya mi hijo Iigo por su inestimable ayuda en el desarrollo de los programas de ordenador queacompaan al libro.

Juan Toms CeligetaSan Sebastin, mayo de 1998

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1 Introduccin al anlisis estructural 1

2 Teoremas fundamentales 17

3 Celosas 50

4 Vigas 99

5 Prticos 151

6 Arcos 205

7 Rigidez de los elementos estructurales 241

8 Mtodo de rigidez 308

9 Anlisis de estructuras simtricas 395

10 Lneas de influencia 415

11 Vigas en fundacin elstica 467

12 Condensacin de ecuaciones y anlisis porsubestructuras 499

13 Mtodo de distribucin de momentos 518

14 Introduccin a la estabilidad estructural 546

Anejo A Trminos de carga para la frmula de los tresmomentos 619

Anejo B Integrales de distribuciones de momentos 620Anejo C Esfuerzos de empotramiento perfecto 622Anejo D Programas de computador 625

ndice de materias 627

iii

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Captulo 1 Introduccin al anlisis estructural 11.1 Concepto de estructura en ingeniera mecnica 11.2 Definiciones generales 31.3 Clasificacin de las estructuras 41.4 Clasificacin de los mtodos de anlisis 71.5 Condiciones de sustentacin de las estructuras 81.6 Condiciones de construccin 121.7 Estabilidad y grado de determinacin externo 141.8 Bibliografa 16

Captulo 2 Teoremas fundamentales 172.1 Introduccin 172.2 Trabajo 182.3 Resumen de elasticidad 212.4 Densidad de energa de deformacin 262.5 Energa de deformacin 292.6 Densidad de energa de deformacin complementaria 292.7 Energa de deformacin complementaria 312.8 Principio del trabajo virtual 312.9 Principio de la mnima energa potencial 332.10 Principio del trabajo virtual complementario 342.11 Principio de la mnima energa potencial complementaria 362.12 Primer teorema de Castigliano 372.13 Segundo teorema de Castigliano 382.14 Teorema de Betti-Rayleigh o del trabajo recproco 392.15 Teorema de Maxwell o de las deformaciones recprocas 402.16 Teorema de Crotti Engesser 422.17 Teorema de Engesser 432.18 Teorema de Mnabra 442.19 Estructuras sometidas a cargas trmicas 442.20 Bibliografa 48

iv Curso de anlisis estructural

Captulo 3 Celosas 503.1 Introduccin 503.2 Condiciones de estabilidad 513.3 Clasificacin de las celosas planas 533.4 Clasificacin de las celosas espaciales 553.5 Mtodos de anlisis para celosas isostticas 593.6 Estudio de la barra articulada 693.7 Clculo de celosas hiperestticas por el mtodo de flexibilidad 713.8 Clculo de deformaciones 763.9 Errores en la longitud de las barras 783.10 Interpretacin fsica del mtodo de flexibilidad 803.11 Ejercicios 833.12 Bibliografa 943.13 Problemas 94

Captulo 4 Vigas 994.1 Generalidades 994.2 Condiciones de estabilidad 1004.3 Teora general de la flexin de vigas planas 1024.4 Diagramas de esfuerzos 1084.5 Relacin entre carga, esfuerzo cortante y momento flector 1084.6 Teoremas de Mohr 1114.7 Clculo de esfuerzos en vigas hiperestticas 1124.8 Clculo de deformaciones en vigas 1224.9 Flexin de vigas con energa de esfuerzo cortante 1254.10 Teoremas de Mohr con energa de esfuerzo cortante 1314.11 Mtodo de flexibilidad con energa de cortante 1324.12 Ejercicios resueltos 1334.13 Bibliografa 1494.14 Problemas 149

Captulo 5 Prticos 1515.1 Introduccin 1515.2 Condiciones de estabilidad 1525.3 Estudio de la barra prismtica en el plano 1545.4 Mtodo de flexibilidad en prticos planos 1625.5 Clculo de deformaciones en prticos planos 1665.6 Estudio de la barra prismtica en el espacio 1695.7 Energa de esfuerzo cortante 1755.8 Torsin 1765.9 Mtodo de flexibilidad para prticos espaciales 1765.10 Clculo de deformaciones en prticos espaciales 1775.11 Muelles 1785.12 Interpretacin fsica del mtodo de flexibilidad 182

Contenido v

5.13 Ejercicios resueltos 1835.14 Bibliografa 1995.15 Problemas 200

Captulo 6 Arcos 2056.1 Introduccin 2056.2 Generalidades 2066.3 Arco triarticulado 2086.4 Arco biarticulado 2126.5 Arco biarticulado atirantado 2156.6 Arco biempotrado 2176.7 Arco biempotrado. Centro elstico 2196.8 Analoga de la columna 2226.9 Ejercicios resueltos 2246.10 Bibliografa 2376.11 Problemas 238

Captulo 7 Rigidez de los elementos estructurales 2417.1 Introduccin 2417.2 Concepto de grados de libertad 2427.3 Concepto de rigidez de una estructura 2427.4 Barra articulada plana 2477.5 Barra biarticulada espacial 2527.6 Viga a flexin en el plano 2557.7 Elemento de emparrillado plano 2607.8 Viga espacial 2647.9 Viga plana articulada empotrada 2737.10 Viga plana empotrada articulada 2777.11 Elementos espaciales con articulaciones 2807.12 Muelles de esfuerzo axial 2817.13 Muelles al giro 2837.14 Elementos descentrados 2847.15 Elementos curvos planos 2887.16 Influencia de la energa de esfuerzo cortante 2937.17 Ejercicios resueltos 2987.18 Bibliografa 3067.19 Problemas 306

Captulo 8 Mtodo de rigidez 3088.1 Grados de libertad de la estructura 3088.2 Equilibrio de un elemento estructural 3098.3 Ecuacin de equilibrio de la estructura 3098.4 Propiedades de la matriz de rigidez de la estructura 3148.5 Comparacin con el mtodo de flexibilidad 315

vi Curso de anlisis estructural

8.6 Fuerzas exteriores sobre los nudos 3168.7 Fuerzas exteriores sobre los elementos 3168.8 Esfuerzos en los elementos 3198.9 Cargas trmicas 3208.10 Vigas planas con temperatura 3228.11 Elementos tridimensionales con temperatura 3268.12 Elemento de emparrillado plano con temperatura 3298.13 Errores en la forma de los elementos 3308.14 Pretensin inicial en los elementos 3338.15 Condiciones de ligadura 3368.16 Ligaduras de desplazamiento nulo 3378.17 Ligaduras de desplazamiento conocido 3388.18 Mtodo de la rigidez ficticia para condiciones de ligadura 3398.19 Apoyos elsticos 3408.20 Condiciones de contorno no en los ejes generales 3428.21 Ejercicios resueltos 3468.22 Bibliografa 3918.23 Problemas 392

Captulo 9 Anlisis de estructuras simtricas 3959.1 Introduccin 3959.2 Sistemas simtricos y antisimtricos en el plano 3969.3 Descomposicin del sistema de cargas 3969.4 Estructuras planas con cargas simtricas 3979.5 Estructuras planas con cargas antisimtricas 3999.6 Sistemas simtricos y antisimtricos en el espacio 4029.7 Estructuras espaciales con cargas simtricas 4039.8 Estructuras espaciales con cargas antisimtricas 4059.9 Estructuras espaciales con varios planos de simetra 4089.10 Ejercicios resueltos 4109.11 Problemas 412

Captulo 10 Lneas de influencia 41510.1 Definicin 41510.2 Lneas de influencia en vigas isostticas 41610.3 Lneas de influencia en celosas isostticas 41810.4 Empleo del Principio de los Trabajos Virtuales 42010.5 Otros tipos de cargas mviles 42210.6 Teorema de Mller-Breslau 42410.7 Discusin sobre el Teorema de Mller-Breslau 42810.8 Lneas de influencia de deformaciones 43110.9 Ejercicios resueltos 43210.10 Bibliografa 46210.11 Problemas 462

Contenido vii

Captulo 11 Vigas en fundacin elstica 46711.1 Introduccin 46711.2 Comportamiento del terreno 46811.3 Teora bsica 46911.4 Solucin general de la ecuacin de la elstica 47111.5 Viga infinita 47211.6 Viga semi infinita 48211.7 Viga de longitud finita 48511.8 Propiedades de rigidez de la viga en fundacin elstica 48711.9 Viga libre con carga puntual en el centro 48811.10 Viga empotrada con carga uniforme 49011.11 Ejercicios resueltos 49111.12 Bibliografa 49611.13 Problemas 497

Captulo 12 Condensacin de ecuaciones y anlisis porsubestructuras 499

12.1 Condensacin de grados de libertad 49912.2 Aplicaciones de la condensacin de grados de libertad 50112.3 Anlisis por subestructuras 50412.4 Ventajas e inconvenientes del anlisis mediante subestructuras 51112.5 Ejercicios resueltos 51212.6 Bibliografa 51612.7 Problemas 516

Captulo 13 Mtodo de distribucin de momentos 51813.1 Introduccin 51813.2 Descripcin general del mtodo de Cross 51913.3 Momentos debidos a los giros 52013.4 Momentos debidos a las traslaciones 52413.5 Barras articuladas 52813.6 Ejercicios resueltos 52913.7 Bibliografa 54313.8 Problemas 544

Captulo 14 Introduccin a la estabilidad estructural 54614.1 Introduccin 54614.2 Ecuacin de equilibrio de la viga - columna 54914.3 Columna recta articulada en ambos extremos 55114.4 Columna recta empotrada en ambos extremos 55514.5 Columna empotrada articulada 55814.6 Columna con carga axial excntrica 56014.7 Frmula de la secante 563

viii Curso de anlisis estructural

14.8 Columnas con curvatura inicial 56514.9 Longitud de pandeo 56914.10 Vigas columna 57014.11 Propiedades de rigidez de la viga columna 57714.12 Pandeo inelstico. Teora del mdulo tangente 58114.13 Teora del mdulo reducido 58414.14 Teora de Shanley 58814.15 Frmulas de diseo de columnas 59014.16 Rigidez geomtrica 59314.17 Carga crtica de estabilidad global de una estructura 59714.18 Anlisis no lineal 59914.19 Ejercicios resueltos 60214.20 Bibliografa 61514.21 Problemas 616

Anejo A Trminos de carga para la frmula de los tresmomentos 619

Anejo B Integrales de distribuciones de momentos 620

Anejo C Esfuerzos de empotramiento perfecto 622

Anejo D Programas de computador 625

ndice de materias 627

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1.1 CONCEPTO DE ESTRUCTURA EN INGENIERA MECNICAUna estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo de construccin formada por uno ovarios elementos enlazados entre s que estn destinados a soportar la accin de una serie defuerzas aplicadas sobre ellos.

Esta definicin es quizs excesivamente simplista, ya que al emplear los trminoselementos enlazados entre s, se induce a pensar en estructuras formadas por componentesdiscretos, por lo que slo puede servir como una primera definicin. La realidad es que lasestructuras con componentes discretos son muy frecuentes en la prctica por lo que suestudio resulta del mximo inters. Adems lo habitual es que los elementos sean lineales,del tipo pieza prismtica, conocidos como vigas o barras, y cuyo comportamientoestructural individual es relativamente fcil de estudiar, como se hace en Resistencia deMateriales. Con la definicin anterior seran ejemplos de estructuras una viga, un puentemetlico, una torre de conduccin de energa, la estructura de un edificio, un eje...

La definicin anterior puede generalizarse diciendo que una estructura es cualquierdominio u extensin de un medio material slido, que est destinado a soportar algunaaccin mecnica aplicada sobre l.

Esta definicin ampla el concepto de estructura a sistemas continuos donde no seidentifican elementos estructurales discretos, como por ejemplo: la carrocera de unautomvil, la bancada de una mquina herramienta, un depsito de agua, un ala de avin,una presa de hormign..., que no estaban incluidas en la idea inicial. De esta manera seintroduce en realidad el estudio de problemas de mecnica de slidos en medios continuos,que requieren del empleo de mtodos sofisticados de anlisis. Por esta razn este texto selimita al estudio de estructuras formadas por elementos discretos, de directriz habitualmenterecta y en algunos casos curva.

2 Curso de anlisis estructural

En las definiciones anteriores se dice que actan sobre la estructura unas cargas, quenormalmente son de tipo mecnico, es decir fuerzas o pares. Tambin se considera laposibilidad de otros efectos, como: variaciones en la temperatura del material de laestructura, movimientos conocidos de los apoyos, errores en la longitud y forma de loselementos, esfuerzos de pretensin durante el montaje, etc. Todos estos efectos dan lugar aunas cargas mecnicas equivalentes, por lo que resulta fcil considerarlos.

Respecto a la forma en que la estructura debe soportar las cargas no es fcil poner unlmite claro. Quizs lo ms general sea decir que la estructura debe tener un estado detensiones y deformaciones tal que no se produzca un fracaso estructural que lleve a ladestruccin de la misma, en ninguno de los estados de carga posibles. Por debajo de esteamplio lmite se imponen limitaciones ms estrictas en funcin del tipo de estructura y de suaplicacin concreta. La limitacin que siempre se impone es la del valor mximo de lastensiones que aparecen en el material, en cualquier punto de la estructura, a fin de evitar surotura. Este es el caso de edificios, naves industriales, bastidores de vehculos y maquinaria,tuberas, etc.

Adems de la limitacin en las tensiones, es tambin muy habitual imponer un lmitea las deformaciones de la estructura, bien por motivos funcionales (p.e. bastidores demquinas), estticos, o de resistencia de los elementos que apoyen sobre la estructura(tabiques de edificios de viviendas).

En estructuras sofisticadas las tensiones alcanzadas pueden ser muy grandes,llegando a sobrepasar el lmite elstico, y permitindose incluso la existencia de algunagrieta, cuyo tamao mximo es entonces el lmite para el buen funcionamiento estructural,siempre bajo severas condiciones de control (esto ocurre por ejemplo en tecnologanuclear). En otros casos ms complejos la idoneidad de la estructura viene controlada por laausencia de inestabilidades en la misma (pandeo), o incluso porque su respuesta dinmicasea la adecuada (por ejemplo en brazos de manipuladores, antenas, ).

El problema que trata de resolver el Anlisis Estructural es la determinacin delestado de deformaciones y tensiones que se producen en el interior de la estructura, aconsecuencia de todas las acciones actuantes sobre ella. Como consecuencia tambin sedeterminan las reacciones que aparecen en la sustentacin de la estructura.

Una vez conocidas las tensiones y deformaciones, el decidir si stas son admisibles ysi la estructura est en buen estado de funcionamiento, es objeto de otras materiasespecficas como el diseo de estructuras metlicas o de hormign armado, la construccinde mquinas, etc, y a veces la propia experiencia y sentido comn del analista.

Como primeras reseas histricas sobre Anlisis Estructural se debe citar a Leonardoda Vinci y a Galileo1, que fue el primero en estudiar el fallo de una viga en voladizo.Posteriormente han sido muy numerosos los autores que han colaborado al desarrollo delestudio de las estructuras. Una excelente revisin de la contribucin de todos ellos ha sidopublicada por Timoshenko en 1953. Asimismo una revisin bibliogrfica muy detallada

1 Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno due nuove science, 1638.

Traduccin al ingls: The Macmillan Company, New York, 1933.

Introduccin al anlisis estructural 3

sobre los fundamentos tericos del Anlisis Estructural ha sido publicada por Oravas yMcLean, en 1966.

La concepcin de una estructura, por parte del ingeniero, se desglosa en tres fases:fase de planteamiento, fase de diseo y fase de construccin. En la fase de diseo, que es laque interesa para el anlisis estructural, se pueden distinguir a su vez las siguientes etapas:

Determinacin de la forma y dimensiones generales: se eligen el tipo de estructura y lageometra de la misma, de acuerdo con su funcionalidad y la normativa aplicable. Sedeterminan asimismo los materiales principales a utilizar.

Determinacin de las cargas: se determinan las fuerzas exteriores que actan sobre laestructura, as como todos aquellos efectos que puedan afectar a su comportamiento (erroresde forma, movimientos de los apoyos, ).Anlisis. Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originanen la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el anlisis de unaestructura es necesario proceder primero a su idealizacin, es decir a asimilarla a un modelocuyo clculo sea posible efectuar. Esta idealizacin se hace bsicamente introduciendoalgunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura,sobre la forma en que stos estn unidos entre s, y sobre la forma en que se sustenta. Unavez idealizada la estructura se procede a su anlisis, calculando las deformaciones yesfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las tcnicas propias del AnlisisEstructural. Para este anlisis siempre se dispone, como datos de partida, de los valores delas acciones exteriores y las dimensiones de la estructura, determinadas en las fasesanteriores.

Salvo en casos muy simples, para el anlisis de la estructura es necesario conocer lasdimensiones transversales de los elementos que la componen, pero ocurre que estasdimensiones estn bsicamente determinadas por los esfuerzos internos que aparecen sobreellos, y que en principio son desconocidos. Por esta razn el anlisis de una estructurasuele ser en general iterativo, hasta lograr unos esfuerzos internos y unas deformaciones quesean adecuados a las dimensiones transversales de los elementos.

Para comenzar este proceso iterativo de anlisis se deben imponer unos valores paralas dimensiones transversales de los elementos, basndose en la experiencia, o en unpredimensionamiento, que normalmente se basa en hiptesis simplificativas.

Diseo de detalles. Son propios de la tecnologa usada en la construccin de la estructura:nudos de unin, aparatos de apoyo, armaduras de hormign, etc. El anlisis de estructurasno interviene en esta fase.

1.2 DEFINICIONES GENERALESPara que el anlisis de una estructura sea correcto es necesario que la idealizacin que deella se haga se acerque lo ms posible a su comportamiento real. Para efectuar estaidealizacin existen diversos aspectos a tener en cuenta, como son:

Disposicin espacial de la estructura: puede ser en una, dos o tres dimensiones.


Tipo de cargas actuantes: estticas o dinmicas, segn que sean constantes en eltiempo o variables con l.

Tipo de elementos que forman la estructura: elementos discretos (piezasprismticas), elementos continuos, o incluso estructuras mixtas.

Tipo de uniones estructurales entre los elementos: articuladas, rgidas (habitualmentellamadas empotradas), o flexibles.

Comportamiento del material: puede ser elstico, cuando al desaparecer las cargas elmaterial vuelve a su estado inicial o no (por ejemplo si hay plasticidad). Dentro delos materiales elsticos el caso ms habitual es el lineal, cuando la tensin y ladeformacin unitaria son proporcionales.

Pequeas deformaciones: cuando la posicin deformada de la estructura coincidesensiblemente con su posicin sin deformar. Esto simplifica la relacin entre lasdeformaciones unitarias y los desplazamientos de un punto, que es lineal. En casocontrario se trata de un problema de grandes deformaciones, y la relacin entredeformaciones unitarias y desplazamiento no es lineal.

De entre todos estos aspectos, en este texto se estudian estructuras de las siguientescaractersticas:

- estructuras formadas por elementos discretos,

- sometidas a cargas no variables con el tiempo, es decir en rgimen esttico,

- con uniones entre los elementos rgidas, articuladas o flexibles,

- extendidas en una, dos o tres dimensiones,

- formadas por un material con comportamiento elstico lineal, y

- con pequeas deformaciones.

1.3 CLASIFICACIN DE LAS ESTRUCTURASEfectuar una clasificacin detallada de las estructuras no es tarea fcil, pues depende de latecnologa y materiales usados para su construccin y del uso que se da a la estructura. Poresta razn slo se incluyen aqu los tipos ms usuales de estructuras, atendiendo a susdiferencias desde el punto de vista de su anlisis, pero no desde el punto de vista de sufuncionalidad.

Ya las primeras definiciones del concepto de estructura orientan a considerar dosgrandes tipos de ellas: con elementos discretos o con elementos continuos. Ambos tipos sedetallan a continuacin.

1.3.1 Estructuras con elementos discretosEn estas estructuras se identifican claramente los elementos que la forman. Estos elementosse caracterizan por tener:

una dimensin longitudinal mucho mayor que las otras dos,


el material agrupado alrededor de la lnea directriz del elemento, quenormalmente es recta.

Estos elementos son por lo tanto piezas prismticas y se denominan habitualmente vigas obarras. Los puntos de unin de unos elementos con otros se llaman nudos y cada elementosiempre tiene dos nudos extremos. Con esto la estructura se asemeja a una retcula formadapor los distintos elementos unidos en los nudos. De hecho a estas estructuras se lesdenomina habitualmente reticulares.

La unin de unos elementos con otros en los nudos puede hacerse de distintasformas, siendo las ms importantes:

unin rgida o empotramiento, que impone desplazamientos y giros comunes alelemento y al nudo, de tal manera que entre ellos se transmiten fuerzas ymomentos,

articulacin, que permite giros distintos del elemento y del nudo, y en la que nose transmite momento en la direccin de la articulacin,

unin flexible, en la que los giros del elemento y el nudo son diferentes, pero setransmite un momento entre ambos elementos.

Los tipos ms importantes de estructuras reticulares son:

Cerchas o celosas. Estn formadas por elementos articulados entre s, y con cargasactuantes nicamente en los nudos. Los elementos trabajan a esfuerzo axial, y no hayflexin ni cortadura. Por su disposicin espacial pueden ser planas o tridimensionales.

Vigas. Estn formadas por elementos lineales unidos rgidamente entre s, y que puedenabsorber esfuerzos de flexin y cortadura, sin torsin. Tambin pueden absorberesfuerzo axial, pero ste est desacoplado de los esfuerzos de flexin y cortadura, en lahiptesis de pequeas deformaciones.

Prticos planos. Son estructuras compuestas por elementos prismticos, unidosrgidamente entre s, y dispuestos formando una retcula plana, con las fuerzas actuantessituadas en su plano. Estas estructuras se deforman dentro de su plano y sus elementostrabajan a flexin, cortadura y esfuerzo axial.

Prticos espaciales. Son similares a los anteriores, pero situados formando una retculaespacial. Sus elementos pueden trabajar a esfuerzo axial, torsin y flexin en dos planos.

Arcos. Son estructuras compuestas por una nica pieza, cuya directriz es habitualmenteuna curva plana. Absorben esfuerzos axiales, de flexin y de cortadura. Como casogeneral existen tambin los arcos espaciales, cuya directriz es una curva no plana. Enmuchas ocasiones los arcos se encuentran integrados en otras estructuras ms complejas,del tipo prtico plano o espacial.

Emparrillados planos. Son estructuras formadas por elementos viga dispuestosformando una retcula plana, pero con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Sedeforman perpendicularmente a su plano, y sus elementos trabajan a torsin y flexin.

La figura 1.1 muestra algunos ejemplos de los tipos anteriores.


Viga Celosa plana

Celosa espacial Prtico plano

Prtico espacial Emparrillado

Arco

Figura 1.1

1.3.2 Estructuras con elementos continuosEn esta estructuras no se identifica a priori ninguna direccin preponderante y el materialest distribuido de manera continua en toda la estructura. El concepto de nudo estructuraltampoco puede introducirse de forma intuitiva y simple. Su anlisis es ms complejo quepara las estructuras reticulares y no se aborda en este texto. Sin embargo, a continuacin seresumen los casos ms habituales de estructuras continuas.

Membranas planas. Consisten en un material continuo, de espesor pequeo frente a susdimensiones transversales, situado en un plano y con cargas contenidas en l.Corresponde al problema de elasticidad bidimensional, y son el equivalente continuo deun prtico.


Placas. Consisten en un medio continuo plano, de espesor pequeo frente a susdimensiones transversales, con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Son elequivalente continuo de un emparrillado plano.

Slidos. Son medios continuos tridimensionales sometidos a un estado general detensiones y deformaciones.

Cscaras. Son medios continuos curvos, con pequeo espesor. Son el equivalente a lasuma de una membrana y una placa, pero cuya superficie directriz es curva.

1.4 CLASIFICACIN DE LOS MTODOS DE ANLISISA continuacin se resumen los principales mtodos de anlisis estructural para estructurasdiscretas, no pretendindose hacer una clasificacin exhaustiva, sino slo indicar los msimportantes. Se presentan englobados en cuatro grandes bloques, en base a su naturaleza.

Soluciones analticas. Consisten en resolver directamente las ecuaciones que controlanel problema, por lo que normalmente slo se pueden aplicar a casos sencillos.

Integracin de la ecuacin de la elstica en vigas. Teoremas de Mohr para vigas. Mtodo de la viga conjugada para vigas.

Empleo de las ecuaciones de la esttica: slo se pueden aplicar a estructuras isostticas.

Mtodo del equilibrio de los nudos para celosas. Mtodo de las secciones para celosas. Mtodo de la barra sustituida para celosas.

Mtodos basados en la flexibilidad.

Principio del Trabajo Virtual Complementario y principio del potencialcomplementario estacionario.

Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. Mtodo general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser. Mtodo de la compatibilidad de deformaciones en vigas. Frmula de los tres momentos para vigas. Principio de Mller-Breslau para cargas mviles.

Mtodos basados en la rigidez.

Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. Primer teorema de Castigliano. Mtodo de rigidez en formulacin matricial, para estructuras de cualquier tipo. Mtodo de la distribucin de momentos, o de Cross, para prticos planos.


1.5 CONDICIONES DE SUSTENTACIN DE LAS ESTRUCTURASPara que una estructura pueda considerarse como tal, debe estar en equilibrio bajo la accinde todas las fuerzas que actan sobre ella, entre las que se incluyen tanto las accionesexteriores conocidas, como las reacciones desconocidas en los puntos de sustentacin.

En el equilibrio de la estructura juega un papel fundamental la forma en que laestructura se halla unida a su sustentacin, que se efecta habitualmente a travs de uno ovarios puntos de apoyo, cada uno de los cuales introduce una o varias restricciones almovimiento de la estructura. Se denomina condicin de ligadura (o simplemente ligadura, otambin condicin de apoyo) a una condicin que define la deformacin en un punto y unadireccin dados de la estructura.

Como cada ligadura define la forma en que la estructura puede deformarse en elpunto y la direccin donde est aplicada, aparece una fuerza o momento desconocido en ladireccin de la ligadura, denominada fuerza o momento de reaccin. Esta fuerza dereaccin es la fuerza que la sustentacin debe hacer para que se satisfaga la condicin deligadura.

Las ligaduras son direccionales, es decir que cada una de ellas acta en una soladireccin del espacio. Sin embargo las condiciones de apoyo habituales de las estructurashacen que varias ligaduras aparezcan agrupadas, introduciendo simultneamente variascondiciones de deformacin.

Siempre se cumple que en la direccin donde hay una ligadura aplicada se conoce elvalor de la deformacin (normalmente dicho valor es cero), y se desconoce el valor de lareaccin que aparece. En el caso de desconocerse el valor de la deformacin se dice que nohay ninguna ligadura aplicada, y en ese caso se conocer el valor de la fuerza exterioraplicada en esa direccin, estando la deformacin controlada por el comportamiento de laestructura.

A continuacin se describen los tipos de apoyos ms habituales que puedenencontrarse en las estructuras, indicando las condiciones de ligadura que introducen.

1.5.1 Estructuras planas

Apoyo deslizante o de rodillos

Impide el desplazamiento perpendicular a la lnea de apoyo, y su reaccin es una fuerzaperpendicular a dicha lnea. Se supone sin rozamiento y bidireccional, es decir que es capazde ejercer reaccin en los dos sentidos (a pesar de la forma sencilla que se emplea para surepresentacin).

Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros,en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo, como semuestra en la figura 1.2.


VVV

1 2

Figura 1.2

Apoyo articulado

No permite ningn tipo de desplazamiento, y su reaccin es una fuerza de direccinarbitraria, que equivale a dos fuerzas segn dos ejes ortogonales.

Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros,en funcin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unen al nudo (figura1.3).

VVV

1 2

H H H

Figura 1.3

Empotramiento

No permite ningn desplazamiento ni el giro. Su reaccin son dos fuerzas (H y V)contenidas en el plano de la estructura, y un momento M perpendicular a l (figura 1.4).

VH

M

Figura 1.4

Empotramiento deslizante

Permite nicamente el desplazamiento en una direccin, pero impide el desplazamiento enla direccin perpendicular y tambin el giro. Se trata por lo tanto de un caso particular delempotramiento, pero que permite el deslizamiento en una direccin determinada. Su


reaccin es una fuerza perpendicular al eje de deslizamiento H, y un momento Mperpendicular al plano de la estructura (figura 1.5). Este tipo de apoyo no suele encontrarsehabitualmente en la realidad, pero aparece cuando se emplean simplificaciones paraconsiderar la simetra de una estructura.

HM

Figura 1.5

Apoyo flexibleEl apoyo flexible est constituido por un punto de la estructura que est unido a lasustentacin mediante uno o varios muelles, como se muestra en la figura 1.6. En generalpuede haber constantes de rigidez distintas en cada direccin, pudiendo ser cero en algunade ellas (direccin libre). Asimismo el apoyo elstico puede coexistir con otras condicionesde ligadura.

X X

Y

KYKX KX K

Figura 1.6

Es habitual incluir el apoyo flexible en la descripcin de los tipos de apoyos, pero ensentido estricto este apoyo no es una condicin de ligadura para la estructura, pues no es unpunto en el que se conoce el valor de la deformacin. En efecto, no se conocen ni eldesplazamiento del nudo ni la fuerza en el muelle, sino nicamente la relacin entre ellos,que es la constante de rigidez del muelle: la fuerza en el muelle es proporcional a ladeformacin del apoyo y la reaccin de la sustentacin es igual a la fuerza en el muelle.Esta igualdad entre la fuerza en el muelle y la reaccin de la sustentacin es la que hace queeste nudo se considere a veces como un apoyo, aunque como se ha dicho no lo es. Se tratapor lo tanto de un nudo de la estructura como cualquier otro, al que llegan una serie deelementos estructurales y adems el muelle, que debe considerarse como uno ms. En estesentido, siempre se considerarn aqu los muelles como elementos estructurales, y se lesdar el mismo tratamiento que a los dems.

1.5.2 Estructuras tridimensionales

Rtula esfricaEs el equivalente tridimensional de la articulacin plana. No permite ningndesplazamiento, y s permite los tres giros. Su reaccin son tres fuerzas ortogonales (o unvector fuerza de direccin arbitraria), como se indica en la figura 1.7.


X Y

Z

RX RY

RZ

Figura 1.7

Apoyo deslizante sobre un plano

Se trata de un punto que puede moverse apoyado sobre todo un plano, el cual puede ser unode los planos coordenados, u otro cualquiera. Su reaccin es una fuerza normal al plano dedeslizamiento (figura 1.8).

No influye en los giros que pueda tener la estructura, que podrn ser uno o varios, enfuncin de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo.

X

Y

Z

RZ

Figura 1.8

Apoyo deslizante sobre una recta.

En este caso el punto de apoyo est obligado a moverse sobre una recta conocida, por loque el nico desplazamiento posible es en la direccin de dicha recta (figura 1.9). Lareaccin son dos fuerzas perpendiculares a la recta (H, V). Al igual que en caso anterior,esta condicin de ligadura no influye sobre los giros.

X

Y

Z

V

H

Figura 1.9


Empotramiento deslizante prismtico

En este caso el punto de apoyo se mueve sobre una recta, pero no tiene ninguna posibilidadde giro, como se muestra en la figura 1.10. Existe por lo tanto un slo grado de libertad, quees el desplazamiento en la direccin de la recta. La reaccin tiene cinco componentes: dosfuerzas perpendiculares a la recta (V y T) y tres momentos ( ML, MV y MT).

V

TML

MVMT

Figura 1.10

Empotramiento deslizante cilndrico

En este caso el punto puede deslizar sobre una recta y adems puede girar respecto a ella.Existen por lo tanto dos grados de libertad: el desplazamiento en la direccin de la recta y larotacin alrededor de ella (figura 1.11). La reaccin tiene cuatro componentes: dos fuerzasperpendiculares a la recta (V y T), y dos momentos tambin perpendiculares a ella (MV yMT).

X

Y

Z

V

T

MVMT

Figura 1.11

1.6 CONDICIONES DE CONSTRUCCINLos distintos elementos que componen una estructura reticular se pueden unir bsicamentede dos formas:

De forma totalmente rgida, transmitindose entre los elementos unidos todas las fuerzasy momentos posibles: tres fuerzas y tres momentos en el caso espacial, y dos fuerzas yun momento en el caso plano. En este caso todas las deformaciones de los elementosunidos son iguales.

Mediante uniones imperfectas, que permiten un cierto movimiento relativo entre loselementos unidos. Estas uniones imperfectas se obtienen a base de anular la capacidadde transmisin de alguno de los esfuerzos transmitidos entre los elementos. Al


eliminarse esta capacidad de transmitir algn esfuerzo, aparece un movimiento relativoentre los elementos, en la direccin del esfuerzo anulado.

Se denominan condiciones de construccin a estas condiciones de esfuerzo nulo impuestas alas uniones entre los elementos de la estructura. Su presencia juega un papel importante enla estabilidad de la estructura, o en su naturaleza isosttica o hiperesttica.

Los tipos ms importantes de condiciones de construccin se indican en la tabla 1.1.

Tipo Esfuerzo anulado Representacin

Articulacin (o rtula) Momento flector

Deslizadera Esfuerzo cortante

Deslizadera axial Esfuerzo axial

Articulacin a torsin Momento torsor

Rtula esfrica Dos momentos flectores,y un momento torsor

Tabla 1.1

Puede ocurrir que en un mismo punto existan varias condiciones de construccin, que sedeben ir identificando de manera independiente, y cuyos efectos se suman. As por ejemplo,la rtula esfrica est compuesta por dos articulaciones segn dos ejes perpendiculares alelemento y una articulacin a la torsin.

EjemploEn un nudo totalmente articulado de una estructura plana, al que llegan n barras, elnmero de condiciones de construccin es n-1. La ecuacin n-sima es la ecuacinesttica de suma de momentos nulos en el nudo.

M1=0 M2=0

M3=-M1-M2=0


1.7 ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIN EXTERNOPara analizar una estructura se debe establecer en primer lugar el diagrama de slido librede toda ella. En este diagrama se considera a toda la estructura como un slido rgido, y sesustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se obtienen tantasincgnitas como reacciones haya, en nmero r. A este conjunto se le aplica un estudio deestabilidad.

La esttica facilita q=3 ecuaciones de equilibrio en el caso plano, y q=6 ecuacionesen el espacial. En funcin de como sea el nmero de reacciones incgnita, en relacin coneste nmero de ecuaciones de equilibrio se presentan tres casos diferentes. Suponiendo queno hay condiciones de construccin en la estructura, es decir que las uniones en todos losnudos son rgidas, dichos casos son:

A. El nmero de reacciones es menor que el de ecuaciones de equilibrio rq. La estructuraest estticamente indeterminada en principio, y se dice que es externamentehiperesttica: es necesario introducir nuevas condiciones, adems de las de la esttica,para calcular las reacciones exteriores. Al igual que en el caso anterior esta condicin esnecesaria pero no suficiente: puede ocurrir que aunque haya reacciones en exceso, stastengan una disposicin espacial tal que no impidan la existencia de algn tipo deinestabilidad en alguna otra direccin.

Normalmente los casos de inestabilidad externa suelen ir acompaados de algn tipo dehiperestaticidad externa en alguna otra direccin, de tal manera que el cmputo global deincgnitas y ecuaciones no da una respuesta correcta.

La tabla 1.2 resume las posibles situaciones.

r < q Inestable externamenteIsosttica externamente r = qHiperesttica externamente r > q

Tabla 1.2

Puede concluirse que la comparacin del nmero de reacciones r con el nmero deecuaciones de la esttica q, brinda nada ms que un balance global del estado de la


estructura, pero no permite determinar con precisin su situacin. Esto requiere en generaluna inspeccin de la misma y un anlisis de si existen posibles situaciones de inestabilidad.

EjemplosLas estructuras de la figura siguiente tienen ambas r=q=3. Sin embargo la de la izquierdaes estable e isosttica, ya que las tres reacciones son independientes, mientras que la de laderecha es inestable, pues las tres reacciones se cortan en el apoyo de la izquierda.

Estable, isottica

Inestable

La estructura de la figura siguiente tiene r=4, y es externamente hiperesttica.

Hiperesttica

Las estructuras siguientes tienen ambas r=q=3, pero su situacin es muy diferente, pues ladisposicin de las reacciones produce inestabilidad de distinto tipo. Esta inestabilidad estunida a una hiperestaticidad en otra direccin, de tal manera que el cmputo total dereacciones hace parecer que la estructura es isosttica.

Inestable al giroHiperesttica s/X

Inestable s/XHiperesttica s/Y


1.8 BIBLIOGRAFA1. Argelles Alvarez, R., y Argelles Bustillo, R., Anlisis de Estructuras: Teora,

Problemas y Programas, Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Montes, Madrid,1996.

2. Hibbeler, R. C., Structural Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1996.

3. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles inElastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte I, Vol. 19, N 8, pp. 647-658,Agosto 1966.

4. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles inElastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte II, Vol. 19, N 11, pp. 919-933,Noviembre 1966.

5. Timoshenko, S. P., History of Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1953.6. Timoshenko, S. P., y Young, D. H., Teora de las Estructuras, Ed. Urmo, Bilbao,

1974.

7. Tuma, J. J., Anlisis Estructural, Serie Schaum, McGraw-Hill, New York, 1970.

8. Wang, C. K., Intermediate Structural Analysis, McGraw-Hill, New York, 1983.

17

&DSWXOR

7HRUHPDVIXQGDPHQWDOHV

2.1 INTRODUCCINEn este captulo se presentan los teoremas fundamentales en que se basa el anlisisestructural. Su estudio se hace desde la ptica de la mecnica de slidos, considerando unmedio continuo, con lo que se obtienen expresiones muy generales, aptas para serempleadas tanto en el anlisis de estructuras discretas como continuas.

Se considera aplicable la hiptesis de pequeas deformaciones: la posicindeformada del slido coincide con la posicin sin deformar, con lo que las ecuaciones deequilibrio esttico se pueden plantear en la configuracin inicial del slido, que es conocida.

Se supone en principio un comportamiento elstico del material, pero siempre que esposible los desarrollos se hacen con la mayor generalidad, obtenindose en ocasionesexpresiones vlidas para casos elsticos lineales o no lineales

2.1.1 Fuerzas exterioresSobre el slido pueden actuar las siguientes fuerzas (figura 2.1): Fuerzas distribuidas sobre el volumen del slido qv. Tienen tres componentes y cada una

de ellas es una funcin del punto sobre el que actan. Estn definidas en principio sobretodo el volumen del slido.

Fuerzas distribuidas sobre la superficie exterior del slido qs. Tienen tres componentes,cada una de las cuales es una funcin del punto sobre el que actan, aunque slo estndefinidas en puntos situados sobre la superficie exterior del slido.

Fuerzas y momentos puntuales, aplicadas directamente en determinados puntos delslido. No son consistentes con la mecnica de los medios continuos, pero seintroducen, cuando es posible, por su gran inters prctico. Habitualmente se manejandescompuestas en todas sus componentes escalares, y agrupadas en un nico vector P


que contiene todas las componentes escalares de todas las fuerzas y momentos, ennmero N.

qvvx

vy

vz

qqq

=

%&K

K

()K

*Kqs

sx

sy

sz

qqq

=

%&K

K

()K

*KP =

%

&KK

KK

(

)KK

*KK

PP

PN

1

2

...

(2.1)

qvyqvz

qvx

qsxqsy

qszP1

P2

uy

uz

ux

1

2

Figura 2.1

2.1.2 Campo de deformacionesEn cada punto del slido existe una deformacin (figura 2.1) que se denomina

u =

%&K

K

()K

*K

u

u

u

x

y

z

(2.2)

y cuyas tres componentes son funcin de las coordenadas del punto (x,y,z).Se define asimismo un vector , que contiene

los valores que adopta el campo de deformaciones enlos puntos de aplicacin y en la direccin de lasfuerzas puntuales aplicadas. Es decir que contienelas deformaciones del slido medidas en la direccinde las fuerzas aplicadas, consideradas como escalares.

=

%

&KK

KK

(

)KK

*KK

1

2

...

N

(2.3)

2.2 TRABAJOEl trabajo efectuado por las fuerzas puntuales P, cuando su punto de aplicacin se deformauna cantidad , tiene la expresin:

W dPT

= I P 0

(2.4)

Si el slido es elstico lineal, existe una proporcionalidad entre deformaciones y fuerzas atravs de una matriz k que mide la rigidez del slido:

P k= (2.5)

Teoremas fundamentales 19

con lo que el valor del trabajo es

W dPT T T

= = =I 0

k k P12

12

(2.6)

Para las fuerzas distribuidas de volumen y superficie se define el trabajo unitario, o trabajoefectuado por unidad de volumen o de superficie, segn corresponda por el tipo de fuerza,como (figura 2.2):

W d dvT

sT

00 0

= +I Iq u q uu u

(2.7)

W0

qv

uFigura 2.2

En rgimen lineal las fuerzas y las deformaciones son proporcionales a travs de unasmatrices simtricas kv y ks, con lo que el trabajo unitario queda:

W d dT vT

sT

vT

s vT

sT

00 0

12

12

12

12

= + = + = +I Iu k u u k u u k u u k u q u q uu u

(2.8)

El trabajo producido por las fuerzas de volumen y superficie Wd sobre todo el slido es laintegral al volumen o a la superficie correspondientes, del trabajo unitario. En rgimenlineal, su expresin es:

W dv dsd vT

v

sT

s

= +I I1212

q u q u (2.9)

2.2.1 Trabajo complementarioEl trabajo complementario efectuado por una fuerza &F , cuando su punto de aplicacin semueve una magnitud &u es:

W u dFFF

*= I &

&

&

0

(2.10)

El trabajo complementario efectuado por las fuerzas puntuales tiene la expresin:

W dPT*

= I 0

PP

(2.11)

En el caso lineal existe proporcionalidad entre deformaciones y fuerzas, por lo que su valores :


WPT*

=12

P (2.12)

que como puede comprobarse es igual al trabajo de las fuerzas WP dado por (2.6).Para las fuerzas de volumen y distribuidas se define el trabajo complementario

unitario, o trabajo complementario efectuado sobre la unidad de volumen o de superficie,segn el tipo de fuerza (figura 2.3):

W d dT vT

s

v s

00 0

*= +I Iu q u q

q q

(2.13)

W0v

qv

u

*

Figura 2.3

En rgimen lineal las fuerzas y las deformaciones son proporcionales, con lo que el trabajocomplementario unitario es:

W T vT

s012

12

*= +u q u q (2.14)

El trabajo complementario producido por las fuerzas de volumen y superficie en todo elslido es la integral, a su volumen o superficie, del trabajo unitario correspondiente. Suexpresin en rgimen lineal es:

W dv dsdT

v

v

Ts

s

*= +I I12

12

u q u q (2.15)

que como puede comprobarse es igual al trabajo de las fuerzas Wd dado por (2.9).

2.2.2 Trabajo virtualEl trabajo virtual se define como el trabajo que efectan las fuerzas aplicadas sobre laestructura cuando sta se somete a un pequeo desplazamiento hipottico, llamadodesplazamiento virtual, compatible con las condiciones de sustentacin de la misma.

Para aplicar este concepto a un slido deformable se vara el campo dedesplazamientos u en una magnitud u que es el desplazamiento virtual. Este es un campode desplazamientos continuo que cumple con la condicin de pequeas deformaciones y escompatible con todas las condiciones de sustentacin existentes en el slido. Esto quieredecir que en aquellas zonas del slido donde existen desplazamientos impuestos de valorconocido, el desplazamiento virtual es nulo. Durante esta variacin del campo dedesplazamientos todas las fuerzas aplicadas sobre el slido se mantienen constantes.

Al aplicarse la variacin u , tambin se produce una variacin en el vector dedeformaciones en la direccin de las fuerzas puntuales. El trabajo virtual que se produce es:


W dv dsvTv

sT

s

T= + +I Iq u q u P (2.16)

Esta expresin es vlida tanto en rgimen lineal como en no lineal (figura 2.4).

W

GW

P

G Figura 2.4

2.2.3 Trabajo complementario virtualPor analoga con el trabajo virtual, se define el trabajo complementario virtual como eltrabajo producido por las fuerzas aplicadas sobre el slido, cuando se aplica una variacinhipottica a dichas fuerzas llamada variacin virtual, manteniendo fijos losdesplazamientos. La variacin virtual de las fuerzas debe cumplir con el equilibrio defuerzas, por lo que es necesario en general variar tanto las fuerzas exteriores como lasreacciones en los puntos de apoyo.

Si la variacin de las fuerzas es q q Pv s, , , el trabajo complementario virtual quese produce es:

W dv dsT vv

Ts

s

T*= + +I Iu q u q P (2.17)

Esta expresin es vlida tanto en rgimen lineal como en no lineal (figura 2.5).P

GW *W *

GP

Figura 2.5

2.3 RESUMEN DE ELASTICIDAD

2.3.1 Campo de tensionesPara introducir el concepto de tensin, se efecta un corte arbitrario al slido en equilibrio yen dicho corte se considera un elemento infinitesimal de superficie s, siendo &n el vectorunitario normal a l. La resultante de las acciones que el resto del slido efecta sobre elelemento de superficie est compuesta por una fuerza

&

f y un momento &m (figura 2.6).


m

fn

s

Figura 2.6

Se define el vector tensin como:

&

&

t Lim fs

n

s=

0(2.18)

El vector tensin depende de la orientacin &n del elemento de superficie, por lo que seaade el superndice n para indicarlo.

Con objeto de hallar una expresin ms detallada del vector tensin se considera untetraedro elemental (figura 2.7) y se estudia su equilibrio de fuerzas. Este equilibrio seexpresa en forma vectorial1 como:

A t A t A t A tn n& & & &

=11

22

33 0 (2.19)

siendo:

An el rea de la base del tetraedro,&

n es el vector unitario normal a la base del tetraedro,

Ai es el rea de la cara i del tetraedro,&

t n es el vector tensin sobre la base del tetraedro,&

t i es el vector tensin en la cara i del tetraedro.

12

3

n

tn

-t1

-t2

-t3 Figura 2.7

Pero se cumple que:

A A n ii n i= = 1 3, (2.20)

1 En los desarrollos siguientes se emplean indistintamente las denominaciones X,Y,Z o 1,2,3 para los

ejes coordenados.


luego el equilibrio queda:& & & &

t n t n t n tn = + +11

22

33 (2.21)

Pero a su vez cada vector tensin se puede expresar2 en funcin de los tres vectores de labase &ui en la forma:

&&

t u i ji ij j= = , ,1 3 (2.22)siendo ij las componentes del vector tensin en la cara i segn los tres ejes. Sustituyendoen la ecuacin de equilibrio se obtiene:

&& & &

t u n u n u nn j j j j j j= + + 1 1 2 2 3 3 (2.23)&

&

t n un ij i j= (2.24)Esta es la denominada frmula de Cauchy, que proporciona el valor del vector tensin enuna direccin cualquiera dada por el vector ni . Esta frmula introduce el tensor detensiones ij e indica que multiplicando este tensor por el vector unitario de una direccin&

n se obtiene el vector de tensiones en dicha direccin. As pues el tensor de tensionescaracteriza la totalidad del estado de tensiones del material en el punto considerado y esindependiente de la direccin en que se mida.

La representacin de la frmula de Cauchy en notacin de subndices y matricial es:

t njn

ij i= t nn T

= (2.25)donde es la matriz que representa al tensor ij .

El vector tensin se equilibra en el interior del slido con el vector tensin en la caraopuesta de la seccin de corte, que es igual y de sentido contrario.

En la superficie exterior del slido (figura 2.8) el vector tensin se equilibra con lasfuerzas exteriores aplicadas sobre ella:

&&

q tsn

= (2.26)Por lo tanto se cumple que:

& &

q n us ij i j= q nsT

= (2.27)que es la expresin de la ecuacin de equilibrio en la superficie.

nqstn

Figura 2.8

2 Con notacin de subndices, se emplea el criterio de la suma en los ndices mudos.


2.3.2 Deformaciones unitariasAl aceptarse la hiptesis de pequeas deformaciones, las deformaciones unitarias serepresentan mediante el tensor infinitesimal de deformaciones unitarias, cuya definicin, enfuncin de las deformaciones, es:

ij

i

j

j

i

u

x

u

x= +

12

(2.28)

Se observa que es un tensor simtrico, por lo que slo seis de sus componentes sondistintas.

Este tensor se emplea bien como tensor, tal y como se ha definido, o bien como unvector , que agrupa slo las seis componentes distintas. Cuando se usa como vector, paralas tres componentes de cortadura (aquellas en que ij) se emplean las deformacionesingenieriles , que son el doble de las exactas.

ii

i

i

u

xi j= =

ij

i

j

j

iij

u

x

u

xi j= + = 2 (2.29)

=

%

&

KKK

KKK

(

)

KKK

*

KKK

11

22

33

12

23

31

(2.30)

El empleo de esta representacin simplifica algunos desarrollos posteriores, permitiendopasar con sencillez de la notacin tensorial a la vectorial.

2.3.3 Ecuaciones de equilibrioPara obtener las ecuaciones de equilibrio del slido se asla un subdominio arbitrario delmismo, de volumen V y superficie S y se le aplican las ecuaciones de equilibrio de fuerzas yde momentos.

Equilibrio de fuerzasLas tres ecuaciones de equilibrio del dominio se pueden expresar como

q dv t ds iviV

in

SI I+ = =0 1 3, (2.31)

Las fuerzas en la superficie de dominio se pueden sustituir por su valor en funcin deltensor de tensiones mediante la frmula de Cauchy, quedando:

q dv n ds iviV

ji jS

I I+ = = 0 1 3, (2.32)


Aplicando el teorema de la divergencia, la segunda integral se puede transformar en unaintegral de volumen:

q dvx

dv iviV

ji

jVI I+ = = 0 1 3, (2.33)

qx

dv iviji

jV+

= =I 0 1 3, (2.34)

pero como el dominio V es arbitrario el integrando debe ser nulo, con lo que se obtiene:

ji

jvi

xq i+ = =0 1 3, (2.35)

que son las ecuaciones de equilibrio del slido, expresadas usando el tensor de tensionescomo incgnita.

Equilibrio de momentos

Aplicando el equilibrio de momentos al dominio arbitrario, y tras un desarrollo que seomite, se obtiene:

ij jiT

= = (2.36)Es decir que el tensor de tensiones es simtrico.

2.3.4 Ecuacin constitutivaLa ecuacin constitutiva del material representa su comportamiento mecnico y estableceuna relacin entre los tensores de tensiones y de deformaciones unitarias:

ij ijkl klD= (2.37)donde Dijkl es un tensor que define las propiedades del material. Es de orden 4 y por lotanto requiere 81 coeficientes para su definicin; pero al ser los tensores y simtricos, elD tambin lo es, por lo que slo requiere 36 trminos distintos. Por consideracionestermodinmicas relativas a la naturaleza reversible del proceso de carga y descarga delmaterial se puede reducir el nmero de parmetros requeridos hasta 21. Finalmente paramateriales orttropos (materiales con dos direcciones preponderantes) el nmero deparmetros es de slo 9; y si el material es istropo (materiales con propiedades iguales entodas las direcciones) se demuestra que slo son necesarios dos parmetros diferentes paradefinir el tensor D. Estos parmetros son habitualmente el mdulo de elasticidad E y elmdulo de Poisson .

En particular se consideran aqu los materiales elsticos, en los cuales se cumple queel proceso de carga y descarga del material se lleva a cabo siempre por la misma curva; ysea cual sea la historia de cargas, el material siempre se encuentra en un punto de dichacurva caracterstica (figura 2.9).


V

HFigura 2.9

La expresin de la ecuacin constitutiva para un material istropo elstico, puesta ennotacin matricial es:

= D (2.38)

xx

yy

zz

xy

yz

zx

xx

yy

zz

xy

yz

zx

E

%

&

KKK

KKK

(

)

KKK

*

KKK

=

!

"

$

#############

%

&

KKK

KKK

(

+

( )( )( )

( )

( )

( )

1

1 1 2

11 1

0 0 0

11

10 0 0

1 11 0 0 0

0 0 01 2

2 10 0

0 0 0 01 2

2 10

0 0 0 0 01 2

2 1

)

KKK

*

KKK

(2.39)

La matriz simtrica D se denomina matriz elstica. Si el material es lineal, los coeficientesde D son constantes, y en caso contrario pueden ser funcin de la propias deformacin otensin en el material.

2.4 DENSIDAD DE ENERGA DE DEFORMACINSe define la densidad de energa de deformacin, o energa de deformacin unitaria, comola integral:

U dij ij ijij

00

( )

= I (2.40)con la condicin de que sea slo funcin del estado final de deformacin unitaria, es decirque la integral sea independiente del camino (figura 2.10).

V

HU0

Figura 2.10

Para ello debe cumplirse que el integrando sea una diferencial perfecta, es decir que existauna magnitud U0 tal que se cumpla:


dU dij ij0 = (2.41)Esto implica que las tensiones deben poderse obtener como

ij ijU

=0 (2.42)

El anlisis riguroso de la existencia de la densidad de energa requiere complejosrazonamientos termodinmicos, y de ellos se deduce que la funcin U0 definida antes existesi el proceso de carga y descarga es reversible. Esta condicin se cumple siempre si elmaterial tiene un comportamiento elstico, lineal o no, por lo que para todos los materialeselsticos puede considerarse la existencia de la U0.

El significado fsico de la densidad de energa puede obtenerse efectuando eldesarrollo que se indica a continuacin, que no se incluye aqu en detalle, y puedeconsultarse en Shames y Dym (1985). Se considera un elemento diferencial de volumen y seaplican sobre sus caras las fuerzas originadas por las tensiones, a continuacin se calcula eltrabajo efectuado por dichas fuerzas al producirse las deformaciones en las caras delelemento. El valor del trabajo que se obtiene, dividido por el volumen el elemento, resultaser igual al valor de la U0 en ese punto.

Por lo tanto puede decirse que la densidad de energa U0 representa el trabajoefectuado en una unidad de volumen por las tensiones, al producirse la deformacin elsticadel slido. De hecho tambin se suele denominar a la densidad de energa como trabajointerno unitario.

Dado que el trabajo producido por las tensiones es igual a la energa que se acumulaen el slido, ocurre que la densidad de energa U0 es la energa elstica acumulada en elslido por unidad de volumen.

La densidad de energa puede expresarse en notacin de vectores como:

U dT0 = I 0

(2.43)

en este caso las tres componentes de cortadura del vector son las distorsiones ingenieriles, que son el doble de las reales. De esta forma la expresin de U0 es la misma si se calculaa partir de la frmula en notacin de tensores (2.40) o de vectores (2.43). Este es uno de losaspectos que justifican el empleo de la distorsiones de cortadura ingenieriles.Comprobacin: Si la energa se calcula empleando el tensor ij , su valor es:

U d d d d dij

0 11 11 22 22 33 33 12 12 21 210

= + + + + +I

...1 6

Si se emplea el vector se obtiene:

U d d d dij

0 11 11 22 22 33 33 12 120

= + + + +I

...1 6


Los tres trminos debidos a la tensin axial (i=j) son iguales en ambos casos. Para cadatensin cortante hay dos sumandos en el primer caso y slo uno en el segundo caso, pero secomprueba fcilmente que ambos son iguales, precisamente por ser la ij=2ij.

ij ij ji ji ij ij ji ij ijd d d d d i jij ij ij

+ = + = I I I3 8 3 80 0 0

Caso de material lineal

Si el material es elstico lineal (figura 2.11), la relacin entre tensin y deformacin es unamatriz D constante y la integral que define la densidad de energa puede efectuarse consencillez:

U d dT T T T T T012

12

= = = =I I 0

0

D D (2.44)

V

H

U0 Figura 2.11

Variacin de la densidad de energa

Resulta de inters determinar la variacin que sufre la densidad de energa cuando se aplicauna variacin virtual a los desplazamientos u , manteniendo constante el valor de lastensiones, es decir en condiciones similares a las aplicadas para calcular el trabajo virtual.

Al variar los desplazamientos se origina una variacin virtual de las deformacionesunitarias ij , y ello da lugar a una variacin de la densidad de energa (figura 2.12) cuyovalor es:

U d dij ij ij ij ij ijij

ij ij

ij

ij ij

0 = = =

+ +

I I (2.45)

V

H

U0

GU0

Figura 2.12


2.5 ENERGA DE DEFORMACINLa energa de deformacin es la energa elstica total que se acumula en el slido. Seobtiene por integracin de la densidad de energa a todo el volumen:

U U dvv

= I 0 U d dvij ijv

ij

=

II

0

(2.46)


Para un material lineal la densidad de energa tiene una expresin sencilla, por lo que laenerga total acumulada es:

U dv dvT

v

T

v

= =I I1212

D (2.47)

Ejemplo. Energa acumulada en una pieza sometida a una distribucin uniforme detensiones provocada por una fuerza axial N, sobre un rea A.

=NA

= =

EN

EA

U dv NEA

NA

Adx NEA

dxT= = =I I I1212

12

2

Frmula de Clapeyron

En el caso de un slido elstico lineal, la energa elstica acumulada U es igual al trabajoefectuado por las fuerzas exteriores aplicadas, de acuerdo con la frmula deducida porClapeyron en 1833. Para el caso de fuerzas puntuales dicha frmula se puede poner como:

U W PP i iT

= = =

2

12

P (2.48)

Variacin de la energa de deformacinSi la densidad de energa U0 sufre una variacin, la energa total acumulada U sufre tambinuna variacin, cuyo valor es:

U U dv dvv

ij ijv

= =I I0 (2.49)

2.6 DENSIDAD DE ENERGA DE DEFORMACIN COMPLEMENTARIADe manera anloga a la densidad de energa de deformacin se define la densidad deenerga de deformacin complementaria o energa de deformacin unitaria complementariacomo la integral:


U dij ij ijij

00

*( )

= I (2.50)con la condicin de que sea slo funcin del estado final de tensin, es decir que la integralsea independiente del camino (figura 2.13).

Para ello debe cumplirse que elintegrando sea una diferencial perfecta, esdecir que exista una magnitud U0

* tal que se

cumpla

dU dij ij0*

= (2.51)

V

H

U0*

Figura 2.13

Esto implica que las deformaciones unitarias deben poderse obtener como

ij ij

U=

0*

(2.52)

El anlisis de la existencia de la densidad de energa complementaria es similar al de ladensidad de energa, y al igual que para sta se demuestra que la densidad de energacomplementaria existe si el material tiene un comportamiento elstico. En realidad ladensidad de energa complementaria representa el trabajo complementario efectuado por lastensiones al producirse la deformacin elstica, en una unidad de volumen.

La densidad de energa complementaria puede expresarse tambin en notacin devectores como:

U dT0*

= I 0

(2.53)

En este caso las tres componentes de cortadura del vector son las distorsiones ingenieriles, con el fin de que la expresin (2.53) d el mismo valor que la (2.50).Caso de material lineal

Si el material es elstico lineal (figura 2.14), la relacin entre tensin y deformacin es unamatriz D constante, y la integral que define la densidad de energa complementaria puedeefectuarse con sencillez, obtenindose:

U d dT T T T T012

*= = =I I

0

0

D D = = =12

12

10

T T UD (2.54)

Es decir que la densidad de energa en un material lineal tiene el mismo valor que ladensidad de energa complementaria.


V

H

U0

U0

*

Figura 2.14

Variacin de la densidad de energa complementaria

Para los desarrollos posteriores, resulta de inters determinar la variacin que sufre ladensidad de energa complementaria cuando se aplica una variacin virtual a las fuerzasexteriores, manteniendo constante el valor de las deformaciones, es decir en condicionessimilares a las aplicadas para calcular el trabajo virtual complementario.

La variacin de las fuerzas produce una variacinvirtual de las tensiones , y ello da lugar a una variacinde la densidad de energa complementaria (figura 2.15)cuyo valor es:

U d dij ij ij ij ij ijij ij

00 0

*= = =I I (2.55)

V

H

U0 GU0 GV

Figura 2.15

2.7 ENERGA DE DEFORMACIN COMPLEMENTARIALa energa de deformacin complementaria es la integral de la densidad de energacomplementaria a todo el volumen del slido:

U U dvv

* *= I 0 U d dvij ij

v

ij*

=

II

0

(2.56)


Para un material lineal la densidad de energa complementaria tiene una expresin sencilla,por lo que la energa complementaria total acumulada es:

U dv dv UT

v

T

v

*= = =

I I1212

1 D (2.57)

y tiene el mismo valor que la energa elstica.

2.8 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALSe considera un slido en equilibrio y se estudia la expresin del trabajo virtual producidoen l al aplicar una variacin virtual a las deformaciones u . En notacin de subndices estetrabajo virtual es:


W q u dv q u dsvi iv

si is

= +I I (2.58)En esta expresin no se ha introducido el trmino correspondiente a las fuerzas puntuales.Las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno del slido se pueden poner en funcin deltensor de tensiones en dicho contorno mediante la frmula de Cauchy.

W q u dv n u dsvi iv

ij j is

= +I I (2.59)La integral de superficie puede transformarse en una integral de volumen aplicando elteorema de la divergencia:

W q u dvu

xdvvi i

v

ij i

jv

= +I I 3 8 (2.60)

W q x u dv

u

xdvvi

ij

ji

v

iji

jv

= +

+I I (2.61)

Como el slido est en equilibrio, la primera integral es nula pues su integrando son lasecuaciones de equilibrio del slido.

Para desarrollar la segunda integral, se considera la descomposicin del tensorgradiente de la deformacin en sus componentes simtrica y antimtrica:

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

i

ji

j

j

i

i

j

j

iij ij= +

+

= +

12

12

(2.62)

Donde se han identificado el tensor de deformaciones unitarias infinitesimales ij y eltensor de rotacin (antisimtrico) ij . Esta misma relacin es aplicable a la variacin de ui ,dado que los operadores variacin y derivada son intercambiables.

u

x

i

jij ij= + (2.63)

Sustituyendo en la expresin del trabajo virtual se obtiene. W dv dvij ij ij

v

ij ij ij ijv

= + = +I I3 8 3 8 (2.64)Pero el segundo trmino es nulo pues representa el producto interno de un tensor simtrico ij por uno antisimtrico ij , con lo que se obtiene:

W dvij ijv

= I (2.65)Sustituyendo el trabajo virtual por su valor se obtiene:

q u dv q u ds dvvi iv

si is

ij ijv

I I I+ = (2.66)


que es la expresin del principio de los trabajos virtuales aplicado a un slido elstico. Eltrmino de la izquierda es el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, mientras que el de laderecha representa el trabajo virtual interno, esto es, el trabajo virtual que hacen las fuerzasoriginadas por las tensiones cuando el campo de deformaciones unitarias sufre unavariacin virtual, a tensin constante.

La deduccin anterior ha permitido hallar una condicin necesaria para el equilibrio,y mediante un desarrollo similar puede demostrarse que dicha condicin es tambinsuficiente (ver Shames y Dym, 1985).

Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que unslido deformable est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de lasdeformaciones (compatibles con los enlaces) el trabajo virtual de las fuerzas exteriores seaigual al trabajo virtual interno de las tensiones.

Tal y como se ha obtenido, este principio es vlido para cualquier tipo de material,elstico o no, pues no se ha incluido en l la ecuacin constitutiva. Est limitado a pequeasdeformaciones pues la condicin de equilibrio se ha aplicado en el estado sin deformar.Tambin es aplicable a problemas con grandes deformaciones si el dominio donde se aplicael equilibrio es la situacin deformada.

Caso de material elstico

Si el material es elstico, existe la energa de deformacin U, y puede comprobarse que eltrmino de la derecha del Principio del Trabajo Virtual, coincide con la variacin de dichaenerga (ecuacin (2.45)). Por lo tanto se puede poner:

W U dv Uv

= =I 0 (2.67)Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que hayaequilibrio, en una estructura elstica, es que para cualquier desplazamiento virtual(compatible con los enlaces) el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sea igual a lavariacin de la energa elstica (figura 2.16).

q

uW

GW

V

HU0

VGH GU0

Gu GH

Figura 2.16

2.9 PRINCIPIO DE LA MNIMA ENERGA POTENCIALSe considera un slido elstico, para el que por lo tanto existe la energa elstica. Se defineel potencial de las fuerzas exteriores V como una funcin del campo de deformaciones y delas cargas:


V q u dv q u dsvi iv

si is

I I (2.68)Si se aplica una variacin virtual a las deformaciones, el potencial de la fuerzas sufre unavariacin de valor:

V q u dv q u ds Wvi iv

si is

= = I I (2.69)que coincide con el valor del trabajo virtual cambiado de signo. Aplicando el principio delos trabajos virtuales se puede poner que, para cualquier desplazamiento virtual:

V W U= = (2.70) ( )U V+ = 0 (2.71)

La cantidad pi=U+V, es la energa potencial total del slido:

pi = + = I IU V U q u dv q u dsvi iv

si is

(2.72)

La ecuacin (2.71) indica que el potencial total pi es estacionario para cualquierdesplazamiento virtual. Queda as demostrado que la condicin necesaria para que laestructura est en equilibrio es que el potencial total sea estacionario. Por un proceso similarpuede demostrarse que la condicin de potencial estacionario es una condicin suficientepara el equilibrio.

Se puede por lo tanto enunciar el principio de la mnima energa potencial como: lacondicin necesaria y suficiente para que un slido est en equilibrio es que el potencialtotal pi sea estacionario para cualquier variacin virtual de las deformaciones. Es decir que,en el equilibrio, los campos de deformaciones y tensiones y las fuerzas exteriores definen unvalor extremo del potencial total.

Se puede demostrar tambin que el potencial total pi tiene un valor mnimo en laposicin de equilibrio del slido, comparado con el valor en cualquier posicin vecinaadmisible (ver Oden, 1980). Por lo tanto dicha posicin es de equilibrio estable.

2.10 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL COMPLEMENTARIOSe considera un slido en equilibrio y se estudia la expresin del trabajo virtualcomplementario producido al aplicar una variacin virtual a las fuerzas exteriores. Ennotacin de subndices el trabajo virtual se expresa como:

W u q dv u q dsi viv

i sis

*= +I I (2.73)

La variacin de las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno del slido se puede poneren funcin del tensor de tensiones en dicho contorno mediante la frmula de Cauchy.

W u q dv u n dsi viv

i ij js

*= +I I (2.74)


Aplicando el teorema de la divergencia la integral de superficie puede transformarse en unaintegral de volumen:

W u q dvu

xdvi vi

v

i ij

jv

*= +I I 3 8 (2.75)

W u q x dv

u

xdvi vi

ij

jv

i

jij

v

*= +

+I I (2.76)

Como el slido est en equilibrio, la primera integral es nula, pues su integrando es lavariacin de las ecuaciones de equilibrio.

Para desarrollar la segunda integral se considera la descomposicin del tensorgradiente de la deformacin en sus componentes simtrica y antimtrica, dada por (2.62).Sustituyendo en la expresin del trabajo virtual se obtiene:

W dv dvij ij ijv

ij ij ij ijv

*= + = +I I3 8 3 8 (2.77)

Pero el segundo trmino es nulo pues representa el producto interno de un tensor simtrico ij por uno antisimtrico ij , con lo que se obtiene:

W dvij ijv

*= I (2.78)

u q dv u q ds dvi viv

i sis

ij ijv

I I I+ = (2.79)que es la expresin del principio del trabajo virtual complementario. El trmino de laizquierda es el trabajo virtual complementario de las fuerzas exteriores, mientras que el dela derecha representa el trabajo virtual complementario interno, esto es, el trabajo virtualcomplementario que hacen las deformaciones unitarias, cuando el campo de tensionesoriginadas por las fuerzas exteriores sufre una variacin virtual, a deformacin constante.

La deduccin anterior ha permitido hallar una condicin necesaria para el equilibrio,pero mediante un desarrollo similar puede demostrarse que dicha condicin es tambinsuficiente.

Se puede por lo tanto enunciar que la condicin necesaria y suficiente para que unslido deformable est en equilibrio es que para cualquier variacin virtual de las fuerzasexteriores (que satisfaga el equilibrio) el trabajo virtual de complementario producido porlas deformaciones sea igual al trabajo virtual complementario interno de las tensiones.

Tal y como se ha obtenido este principio es vlido para cualquier tipo de material,elstico o no, pues no se ha incluido en l la ecuacin constitutiva. Est limitado a laspequeas deformaciones pues la condicin de equilibrio se ha aplicado en el estado sindeformar.


Caso de material elstico

Si el material es elstico, existe la energa de deformacin complementaria U*, y puedecomprobarse que el trmino de la derecha del Principio del Trabajo VirtualComplementario (2.79) coincide con la variacin de dicha energa (ecuacin (2.55)). Por lotanto se puede escribir:

W U dv Uv

* * *= =I 0 (2.80)

y puede enunciarse como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est enequilibrio es que para cualquier variacin virtual de las fuerzas (que cumpla el equilibrio)el trabajo virtual complementario producido sea igual a la variacin de la energacomplementaria elstica. La figura 2.17 muestra las distintas magnitudes involucradas.

q

u

W

GW V

H

U0HGV GU0

Gq GV

*

*

*

*

Figura 2.17

2.11 PRINCIPIO DE LA MNIMA ENERGA POTENCIAL COMPLEMENTARIASe considera un slido elstico, para el que por lo tanto existe la energa elsticacomplementaria. Se define el potencial complementario de las fuerzas exteriores V* comouna funcin del campo de deformaciones y de las cargas:

V q u dv q u dsvi iv

si is

* I I (2.81)

Si se aplica una variacin virtual a las fuerzas exteriores, el potencial complementario de lasfuerzas sufre una variacin de valor:

V q u dv q u ds Wvi iv

si is

* *= = I I (2.82)

que coincide con el valor del trabajo virtual complementario cambiado de signo. Aplicandoel principio del trabajo virtual complementario se puede poner que, para cualquier variacinvirtual de las fuerzas:

V W U* * *= = ( )* *U V+ = 0 (2.83)

La cantidad pi*=U*+V* se llama energa potencial complementaria total del cuerpo:


pi * * * *= + = I IU V U q u dv q u dsvi iv

si is

(2.84)

La ecuacin (2.83) indica que pi* es estacionario, para cualquier variacin virtual de lasfuerzas. Queda as demostrado que el potencial total complementario es estacionario si laestructura est en equilibrio, es decir que se trata de una condicin necesaria. Por unproceso similar puede demostrarse que la condicin de potencial complementarioestacionario es una condicin suficiente para el equilibrio.

Se puede por lo tanto enunciar el principio de la mnima energa potencialcomplementaria como: la condicin necesaria y suficiente para que un slido est enequilibrio es que el potencial total complementario

pi*

sea estacionario, es decir que loscampos de deformaciones y tensiones y las fuerzas exteriores definan un valor del potencialtotal complementario que adopte un valor extremo.

Se puede demostrar tambin que el potencial complementario total pi* tiene un valormnimo en la posicin de equilibrio del slido, comparado con el valor en cualquierposicin vecina admisible. Por lo tanto dicha posicin es de equilibrio estable.

2.12 PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANOSe considera un slido elstico en equilibrio, sometido a un sistema de N cargas puntualesexteriores Pi , que pueden ser indistintamente fuerzas o momentos. En cada punto deaplicacin de una carga se identifica la deformacin i en la direccin de la carga, que esun desplazamiento si se trata de una fuerza o un giro si se trata de un momento (figura2.18).

P1 P2

P3

P4

1

2

3

4

Figura 2.18

Supongamos que es posible expresar la energa elstica almacenada en el slido en funcinde las deformaciones U i( ) . El potencial total puede entonces ponerse como:

pi = + = =

U V U Pi i i ii N

( ) ( ),

1

(2.85)

Al estar el slido en equilibrio, este potencial es estacionario, con lo que:

pi pi = ==

0 01

ii

ii N,

(2.86)


U Pi

i i ii N

=

=

1

0,

(2.87)

U Pi

i ii N

=

=

1

0,

(2.88)

Pero al ser la variacin de los desplazamientos arbitraria, debe ser cero cada uno de lostrminos del sumatorio, es decir:

P U i Nii

= =

1, (2.89)

Esta es la expresin del conocido primer teorema de Castigliano (1879), que es de granutilidad para el anlisis de estructuras, y que de hecho es la base del denominado mtodo derigidez. Es aplicable a sistemas elsticos, con la condicin de que pueda expresarse laenerga elstica en funcin de las deformaciones. En estructuras reticulares formadas porvigas, con las suposiciones habituales para su anlisis, siempre es posible expresar dichaenerga en funcin de una serie de parmetros de deformacin (desplazamientos y giros delos extremos de las vigas), por lo que este teorema es de gran inters.

2.13 SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANOSe considera nuevamente un slido elstico en equilibrio (figura 2.18), sometido a unsistema de cargas puntuales exteriores Pi , y sean i las deformaciones en la direccin delas cargas.

Se supone ahora que es posible expresar la energa elstica complementariaalmacenada en el slido en funcin de las fuerzas U Pi

*( ). El potencial complementario totalpuede entonces ponerse como:

pi * * * *

,

( ) ( )= + = =

U P V U P Pi i i ii N

1

(2.90)

Al estar el cuerpo en equilibrio, este potencial complementario es estacionario, con lo que:

pi pi *

*

,

= ==

0 01

PP

Pii

ii N

(2.91)

UP

P Pi

i i ii N

*

,

=

=

1

0 (2.92)

UP

Pi

i ii N

*

,

=

=

1

0 (2.93)

Pero al ser la variacin de las fuerzas arbitraria, debe ser cero cada uno de los trminos delsumatorio, es decir:


ii

UP

i N= =*

,1 (2.94)

Si el slido es lineal la energa y la energa complementaria coinciden, con lo que queda:

ii

UP

i N= = 1, (2.95)

Esta es la expresin del conocido segundo teorema de Castigliano (1879), de enormeutilidad para el anlisis de estructuras y en particular para el clculo de deformaciones. Dehecho este teorema es la base del denominado mtodo de flexibilidad para anlisisestructural. Es aplicable a sistema elsticos, con la condicin de que pueda expresarse laenerga elstica complementaria en funcin de las fuerzas generalizadas, lo cual es siempreposible en estructuras reticulares con las suposiciones que habitualmente se hacen para suestudio.

2.14 TEOREMA DE BETTI-RAYLEIGH O DEL TRABAJO RECPROCOSea un sistema elstico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos:

Sistema A, compuesto por una sola fuerza PA , que produce una deformacin AA

en su punto de aplicacin A y BA

en otro punto B (figura 2.19). Sistema B, compuesto por una sola fuerza PB , que produce una deformacin BB

en su punto de aplicacin B y AB

en el otro punto A (figura 2.19).PA

A BA

B

A A

Sistema A

PBA B

A

B

B B

Sistema BFigura 2.19

Si se aplican ambos sistemas sobre el slido, en primer lugar el sistema A y a continuacinel B, el trabajo que producen es:

W P P PA B A AA

B BB

A AB,

= + +12

12

(2.96)

El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PA durante su aplicacin,el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PB durante su aplicacin y elltimo corresponde al trabajo efectuado por PA durante la aplicacin de PB .

Se considera ahora la situacin inversa: se aplica en primer lugar el sistema B y acontinuacin el A. El trabajo que se produce es:


W P P PB A B BB

A AA

B BA,

= + +12

12

(2.97)

El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PB durante su aplicacin,el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PA durante su aplicacin y elltimo corresponde al trabajo efectuado por PB durante la aplicacin de PA .

Como el trabajo total es el mismo en ambos casos, igualndolos se obtiene:P PA A

BB B

A = (2.98)Esta es la expresin del teorema del trabajo recproco, enunciado por E. Betti (1872) y LordRayleigh (1874). Se puede enunciar como: el trabajo producido por un sistema de fuerzasA actuando sobre las deformaciones producidas por otro sistema B es igual al trabajoproducido por el sistema de fuerzas B actuando sobre las deformaciones producidas por elsistema A.

Este teorema es aplicable a slidos elsticos y lineales, donde es aplicable elprincipo de superposicin. Es vlido para cualquier tipo de fuerza o momento, considerandoen cada caso la deformacin correspondiente en la direccin de la fuerza o momento. En elcaso general, si actan fuerzas de volumen y de superficie, la expresin del teorema de lostrabajos recprocos es:

q u q u q u q uvA B

v

sA B

s

vB A

v

sB A

s

T T T Tdv ds dv dsI I I I+ = + (2.99)

2.15 TEOREMA DE MAXWELL O DE LAS DEFORMACIONES RECPROCASSea un sistema elstico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos (figura 2.20):

Sistema A, compuesto por una sola fuerza unitaria PA = 1, que produce unadeformacin A

A en su punto de aplicacin A y B

A en otro

analisis estructural - juan tomas celigueta

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