6

6.2.5 - Mtodos especficos para matrizes de coeficientes do tipo banda:

Dado o seguinte sistema de equaes:

(3)

Nota-se que a estrutura da matriz de coeficientes do tipo Matriz Banda Tridiagonal, onde existem apenas trs diagonais no totalmente nulas, uma diagonal principal ri e duas diagonais paralelas ti e di, os demais coeficientes so todos nulos.

Este sistema de equaes pode ser resolvido por um mtodo direto, como Gauss por exemplo, o qual promove as devidas eliminaes tornando a matriz de coeficientes uma matriz do tipo triangular superior. Neste procedimento, o mtodo de Gauss opera as devidas eliminaes inclusive nas posies dos elementos nulos, que no necessitam ser manipulados. No caso de matrizes de grande porte teramos um custo excessivo com operaes desnecessrias.

Ento, para sistemas com matrizes de coeficientes do tipo banda possvel adaptar os mtodos diretos tradicionais, de modo que os valores nulos no sejam manipulados desnecessariamente.

Assim, pode-se implementar um mtodo de eliminao envolvendo apenas os elementos no nulos, conforme a sequncia a seguir, baseada no mtodo de Gauss:

onde

e

Generalizando para uma linha i qualquer, tem-se:

(4)

onde

e

Assim, chega-se a um algoritmo simples para efetuar a triangularizao da matriz de coeficientes:

Genericamente, para i = 2,3,...,n tem-se

com

e

.

Como a soluo de (3) a mesma de (4), ento por retrosubstituio sucessiva obtem-se:

Para i = n-1,n-2,...,2,1 tem-se

Assim, a soluo do sistema de equaes obtida com o mnimo de operaes possveis, manipulando apenas os elementos no nulos.

Nestes casos o pivotamento de linhas ou colunas no deve ser aplicado, pois isto alteraria a estrutura em forma de banda da matriz.

Ex. 6: Resolva o seguinte sistema de equaes de forma otimizada:

Soluo:

(i). Triangularizao baseada no piv k = 1:

(ii). Triangularizao baseada no piv k = 2:

(iii). Triangularizao baseada no piv k = 3:

(iv). Triangularizao baseada no piv k = 4:

(v). Retrosubstituio:

Soluo = {5,5,9,6,2}

Consideraes finais:

(i). Em sistemas de equaes lineares que relacionam variveis com grandezas de magnitudes diferentes, como por ex.: metros e milmetros, podem existir coeficientes tambm com magnitudes bastante diferentes. Nestes casos recomenda-se normalizar os coeficientes das equaes do sistema, dividindo cada equao pelo coeficiente de maior mdulo. Este procedimento reduz os erros por perda de significao;

(ii). A avaliao do determinante da matriz de coeficientes uma questo estrategicamente importante para que se possa classificar as possibilidades de solues do sistema de equaes lineares. Se o clculo do determinante for efetuado via a sua definio clssica, dada pela "Soma do termo principal, dada pelo produto da diagonal principal da matriz, com os produtos dos elementos do termo principal permutando-se os seus segundos ndices", tem-se um nmero de operaes aritmticas envolvidas muito elevado.

Por isso, adota-se uma forma de clculo alternativa, baseada nas operaes elementares utilizadas nos mtodos de resoluo do sistema de equaes lineares.

Por exemplo, no mtodo de Gauss aplica-se um conjunto de operaes elementares para triangularizar a matriz expandida, mas nenhuma destas operaes aplicadas altera a magnitude do determinante, podem alterar apenas o sinal do determinante quando acontecem as trocas de linhas ou colunas.

Ento, aps o procedimento de eliminaes sucessivas gera-se a matriz triangularizada, cujo determinante pode ser obtido pelo simples produto dos elementos da diagonal principal.

Uma desvantagem deste clculo do determinante sobre a matriz triangular processada, atravs das operaes elementares, o fato de que esta forma final sofreu o acumulo de erros de arredondamentos sucessivos. Ento, esta forma de clculo do determinante no exata, e pode gerar inconsistncias. Por exemplo, em matrizes singulares possvel avaliar um determinante residual diferente de zero decorrente de erros de arredondamento acumulados, gerando uma soluo inconsistente para o sistema original.

(iii). As solues dos sistemas de equaes lineares podem ser classificadas segundo trs casos distintos:

(a). Sistema Determinado: quando o sistema de equaes tem soluo nica, nestes casos a matriz de coeficientes no singular e o determinante no nulo. Ocorrem quando todas as equaes do sistemas so linearmente independentes (LI), nenhuma combinao linear de outras.

(b). Sistema Indeterminado: quando o sistema de equaes tem infinitas solues, neste caso a matriz de coeficientes singular, ou seja, o seu determinante nulo. Ocorrem quando se tem um sistema de equaes lineares, cujos coeficientes possuem alguma relao de dependncia, por exemplo, uma equao gerada a partir da combinao linear de outras. Pode-se concluir que a(s) equao(es) gerada(s) a partir da combinao linear de outras existentes, no acrescenta(m) informaes novas ao conjunto de equaes do sistema. Desta forma, o sistema se comporta como se tivesse menos equaes que incgnitas, deixando alguma(s) incgnita(s) livre(s) de equaes prprias que restrinjam o seu(s) valor(es). No Mtodo de eliminao de Gauss com pivotamento total, pode-se constatar este fato observando que no final do processo de eliminao, uma, ou mais, linhas inteiras da matriz expandida se anulam e seu termo independente tambm se anula.

(b). Sistema Impossvel: quando o sistema de equaes no tem soluo alguma, neste caso a matriz de coeficientes tambm singular, e seu determinante nulo. Ocorrem quando alguma equao do sistema impossvel de ser satisfeita. Por exemplo, se alguma equao do sistema gerada a partir da combinao linear de apenas um dos membros de duas outras equaes, gerando uma equao inconsistente. No Mtodo de Gauss com pivotamento total, pode-se constatar este fato observando que no final do processo de eliminao, uma, ou mais, linhas da matriz de coeficientes se anulam, mas o termo independente no se anula. Na prtica, significa ter uma equao com todos os coeficientes nulos e que deve satisfazer a um termo independente no nulo, o que impossvel de ser satisfeito.

Exerccios:

7). Classifique as possveis solues dos seguintes sistemas de equaes lineares, atravs do mtodo de Gauss com pivotamento total:

a).

b).

c).

6.3 - Soluo de Sistemas Lineares por Mtodos Iterativos

6.3.1- Introduo

Quando o sistema de equaes lineares A x = b possuir algumas caractersticas especiais, tais como:

a). Ordem n elevada (n o nmero de equaes);

b). A matriz dos coeficientes possuir grande quantidade de elementos nulos (matriz esparsa);

c). Os coeficientes puderem ser gerados atravs de alguma lei de formao;

em geral, ser mais eficiente resolv-lo atravs de um mtodo iterativo, desde que a convergncia seja possvel.

Obs.: Note que se um algoritmo de um mtodo direto, como o do Mtodo de Gauss, for aplicado ao um sistema com matriz de coeficientes esparsa, muitas operaes aritmticas desnecessrias sero empregadas, por exemplo na manipulao de zeros com outros zeros.

A soluo iterativa de A x = b consiste em se tomar uma soluo inicial xo para a soluo ( = [(1,(2,...,(n]T procurada e construir uma sequncia

de solues aproximadas tal que

, se esta sequncia for convergente.

A questo fundamental como gerar esta sequncia convergente.

Em A x = b, tomando a matriz A e particionando-a na forma cannica,

A = B + C, com B no singular, resulta que:

(B + C) x = b ( B x = b - C x ( x = B-1 b - B-1 C x

(1)

Ento, aplicando a soluo inicial xo na eq. (1), resulta

x1 = B-1 b - B-1 C xo

reaplicando x1 em (1), obtm-se x2 e assim sucessivamente, resultando numa sequncia

, onde

xk+1 = B-1 b - B-1 C xk

(2)

Se a sequencia (2) for convergente, ento existe

(3)

Aplicando o limite a ambos os termos da eq. (2), tem-se

(4)

Aplicando a eq. (3) na eq. (4), tem-se

(

(5)

Multiplicando a eq. (5) a esquerda pela matriz B, tem-se

(6)

Mas A = B + C, ento

Logo,

O problema agora que para se gerar a sequncia (2) necessita-se da matriz inversa B-1 e portanto esta inversa, por questo de eficincia, tem que ser obtida facilmente. A seguir sero abordadas duas maneiras, no exclusivas, de se particionar a matriz A de modo que a matriz B seja trivialmente invertida.

6.3.2. Mtodo iterativo de Jacobi

No sistema A x = b tomando a matriz A e particionando-a na forma

A = D + L + U,

onde

D = Diagonal principal de A;

L = Matriz triangular inferior estrita obtida dos elementos infradiagonais de A;

U = Matriz triangular superior estrita obtida dos elementos supradiagonais de A.

Ento, considerando na forma cannica que B = D ( C = L + U

e aplicando-as na eq. (2) vem:

(7)

onde os elementos de D-1 so trivialmente obtidos tomando-se os recprocos dos elementos diagonais de A. Expressando a eq. (7) na forma desenvolvida resulta

( i = 1,2,...,n

(8)

Logo, para se resolver A x = b por Jacobi, toma-se uma soluo inicial

T, isola-se a i-sima incgnita xi na i-sima equao e aplica-se (2) para se tentar obter a sequncia convergente.

Ex. 7): Resolver o seguinte sistema pelo mtodo de Jacobi.

Montando as equaes evolutivas para as variveis do sistema tem-se:

Valor inicial:

k

0000

10,3331.6671

21,2221,2220,667

31,2960,7041

40,9010,9010,704

50,8681,1321

61,0441.0441,132

Pode-se notar que a sequncia evolutiva obtida para as variveis

est convergindo para a soluo S, que no caso dada por S = {1,1,1}.

Neste ponto necessrio estabelecer um critrio de parada que determine o quo prxima da soluo exata est a sequncia convergente

, dentre os critrios mais comuns esto:

(i).

( i = 1,2,3,...,n

Corresponde mxima diferena absoluta entre valores novos e antigos de todas as variveis.

(ii).

( i = 1,2,3,...,n

Corresponde mxima diferena relativa entre valores novos e antigos de todas as variveis.

(iii).

( i = 1,2,3,...,n

Corresponde ao maior resduo dentre todas as equaes, onde

No caso do exemplo 7 anterior, aplicando-se o critrio (i), tem-se:

k

0000---

10,3331.66710,3331,6671

21,2221,2220,6670,8890,5550,333

31,2960,70410,0740,5180,333

40,9010,9010,7040,3950,1970,296

50,8681,13210,0330,1970,296

61,0441.0441,1320,1760,0880,132

Portanto, neste exemplo, o critrio alcanado

.

Obs.: Note que, neste exemplo, o processo iterativo do tipo oscilatrio, onde as variveis aumentam e diminuem alternativamente. Este efeito prejudica a convergncia, tornando o processo lento.

6.3.3 - Mtodo Iterativo de Gauss Seidel

Em A x = b com a partio de A na forma A = D + L + U como no Jacobi, porm tomando B = D + L para a cannica, tem-se de (2) que:

(9)

Multiplicando a eq. (9) pela matriz (D+L), tem-se

(10)

que expressa na forma desenvolvida, torna-se

( i = 1,2,...,n

(11)

cuja operacionalizao semelhante do mtodo de Jacobi, exceto que em (11) utiliza-se sempre o ltimo valor obtido e em (8) utiliza-se o ltimo vetor obtido.

Ex. 8): Resolver o seguinte sistema pelo mtodo de Gauss-Seidel:

Montando as equaes evolutivas para as variveis do sistema temos:

Note que as equaes evolutivas se utilizam dos valores disponveis mais atualizados.

Valor inicial:

k

0000---

10,3331,5551.6110.3331.5551.611

21.388 0.6660.6381.0550.8880.972

30.7681.1971.2140.6200.5310.575

41.1370.8820.8720.3680.3140.341

50.9181.0691.0750.2180.1860.202

61.0480.9580.9550.129 0.1100.120

Aplicando o critrio (i), tem-se:

.

Obs.: Note que, no mesmo exemplo, o processo iterativo correspondente a aplicao do Mtodo de Gauss-Seidel tambm um processo oscilatrio, porm neste caso tem-se um processo de convergncia um pouco mais rpido, por que no mtodo de Gauss-Seidel so tomados os valores disponveis mais atualizados.

6.3.4 - Convergncia dos Mtodos Iterativos

Nos tpicos anteriores foram desenvolvidas duas formas (expresses (8) e (11)) de se construir uma seqncia S =

de possveis aproximaes para a soluo de Ax = b. Aqui, ser abordada a questo de quando esta seqncia ser convergente. Para tanto, necessita-se de mais dois conceitos.

Definio 1: No sistema Ax = b, sejam

. Da, diz-se que ele diagonal dominante se ocorrer:

1o )

e

2o )

, para pelo menos uma linha i de A.

Definio 2: No sistema Ax = b se ocorrer

diz-se que o mesmo diagonal estritamente dominante.

Definio 3: Um sistema Ax=b irredutvel se for impossvel obter algum(ns) valor(es) isolado(s) de sua soluo sem resolver o sistema todo.

Por exemplo:

O sistema

redutvel, uma vez que pode-se obter os valores de x1 e x3 resolvendo-se um sistema de ordem n = 2 correspondente as duas ltimas linhas.

Teorema (Convergncia):

Se o sistema A x = b for irredutvel e diagonal dominante, ou diagonal estritamente dominante, ento tanto a seqncia construda pelo mtodo de Jacobi, quanto a de Gauss-Seidel convergem para a soluo.

Vide exemplos 7 e 8.

Com relao convergncia dos mtodos iterativos, algumas caractersticas importantes devem ser salientadas, dentre as quais destacam-se:

1o) A convergncia de S =

no depende do valor inicial x0. Portanto, a escolha do x0 adequado afeta apenas na quantidade de iteraes a serem efetuadas. Verificar isto, a ttulo de exemplo, em

com vrios x0 diferentes;

2o) O teorema da convergncia contm uma condio suficiente, porm no necessria. Portanto, se for verdadeiro, a seqncia S convergir e se no for verdadeiro nada pode-se afirmar. Verificar que em

Gauss-Seidel fornece a seqncia convergente, mesmo no satisfazendo o teorema;

3o) Um sistema que no seja diagonal dominante, ou diagonal estritamente dominante, pode em alguns casos ser transformado, atravs de troca de linhas e/ou colunas (pivotamento parcial e total), para satisfazer esta condio;

4o) Existem sistemas, muitos at triviais, que no so solveis por estes mtodos iterativos, a menos que x0 = (. Testar isto em

;

5o) A validade da condio suficiente de convergncia do teorema citado estende-se tambm aos sistemas lineares que so diagonal estritamente dominante sobre as colunas da matriz de coeficientes.

Verificar que

diagonal estritamente dominante sobre as colunas e portanto tem convergncia assegurada.

6o) O teorema da convergncia enunciado anteriormente no o nico e nem o mais abrangente. Verificar na literatura outros critrios de convergncia.

6.3.5 - Aplicao de coeficientes de Relaxao

Caso o sistema de equaes lineares no satisfaa os critrios de convergncia o processo iterativo poder oscilar ou at mesmo divergir. Nestes casos pode-se tentar desacelerar o processo de atualizao iterativa usando fatores de sub-relaxao em cada equao.

Por exemplo, para obter o valor mais atualizado de uma varivel

qualquer, tem-se

onde

o valor antigo,

o valor da atualizao imposta ao valor antigo

para atingir o valor novo

.

Caso se queira aplicar um fator de desacelerao, ou amortecimento na atualizao do valor novo, impe-se um fator de subrelaxao

, com

, da seguinte forma,

Alternativamente, pode-se substituir o valor da atualizao total

na equao anterior, o que gera a seguinte forma,

Por exemplo, a aplicao de subrelaxao para o mtodo de Gauss-Seidel gera a seguinte equao geral,

( i = 1,2,...,n

(11)

Ex. 9): Resolver o seguinte sistema pelo mtodo de Gauss-Seidel adotando uma subrelaxao ( = 0.5 (lembrando que no exemplo 8 este mesmo sistema foi resolvido e sofreu oscilaes).

Montando as equaes evolutivas para as variveis do sistema temos:

Note que as equaes evolutivas se utilizam dos valores disponveis mais atualizados.

Valor inicial:

e ( = 0.5

k

0000---

10.1660.8050.6590.1660.8050.659

20.4941.0430.9670.3270.2380.307

30.7481.0691.0630.2540.0250.096

40.8961.0411.0670.1470.0270.004

50.9661.0141.0460.0690.0260.021

60.9931.0001.0240.0260.0140.021

Aplicando o critrio (i), tem-se:

.

Obs.: Note que o processo iterativo com o fator de subrelaxao mais estvel, gerando um processo de convergncia monotnico (com erro sempre decrescente), e consequentemente tem-se um processo iterativo mais rpido. Note que com as mesmas 6 iteraes do mtodo de Gauss-Seidel atinge-se um erro mximo de 0,026 com sub-relaxao contra um erro de 0,129 sem sub-relaxao.

Consideraes:

(i). A utilizao de fatores de sub-relaxao no garante a convergncia do processo, mas pode agilizar esta convergncia (vide exemplo 9).

(ii). Se o sistema satisfizer os critrios de convergncia, provavelmente no haver necessidade de aplicao de fatores de sub-relaxao, pois nestes casos o processo iterativo normalmente j monotnico. Em algumas destas situaes prticas possvel acelerar o processo iterativo com o uso de fatores de sobre-relaxao, com

. Este mtodo de Gauss-Seidel modificado conhecido na literatura pertinente como SOR ("Sucessive Over Relaxation").

(iii). A escolha adequada do fator

(

) pode conduzir o processo iterativo a uma performance tima, com o menor nmero possvel de iteraes. Acima deste fator timo o processo iterativo comea a oscilar, tornando a convergncia dificil.

5.4 - Sistemas Lineares Mal Condicionados:

Considere o seguinte sistema linear:

a).

cuja soluo exata S = {1,1}

Toma-se agora um sistema de equaes derivado do sistema (a), e que sofreu uma pequena perturbao em dois de seus coeficiente, impondo-se uma variao ao coeficiente a22, de 3.00001 para 2.99999 e em b2, de 4.00001 para 4.00002, conforme segue:

b).

cuja soluo exata S = {10,-2}

Note que uma pequena variao em dois coeficientes, da ordem de 0.025% acarreta uma variao enorme de 900% na soluo do sistema. Classificam-se estes sistemas altamente sensveis a variaes nos seus coeficientes como sistemas mal condicionados.

Imagine agora que esta pequena variao devida a uma perturbao decorrente de erros de arredondamento, que esto presentes em todo mtodo direto, na manipulao dos coeficientes das equaes. Ento, nestes casos pode-se obter solues irreais, decorrentes de pequenas alteraes nos coeficientes.

Por isso, necessrio tomar cuidados especiais na resoluo destes sistemas mal condicionados, devido a grande sensibilidade da soluo em relao aos seus coeficientes, deve-se ento conhecer uma maneira de identificar o sistema de equaes mal condicionado, de preferncia antes de resolver o sistema. Para isto pode-se recorrer a alguns critrios:

a). Se o determinante da matriz A for considerado relativamente pequeno, ou melhor, se o determinante normalizado de A ( ||det(A)|| ) for muito pequeno:

1

Ento, se Cond (A) >> 1 o sistema considerado mal condicionado.

Tambm para efeitos prticos, pode-se estabelecer que se Cond(A) > 10, ento, o sistema A x = b mal condicionado.

A norma de A (||A||() estabelecida definida da seguinte forma:

que corresponde a maior soma dos mdulos dos elementos de uma linha da matriz A.

Ex. 10: Avaliar o condicionamento do sistema

a). Verificar se ||det(A)|| 1

onde

Cond (A) = 4.00001 . 600001 ( 2,4 . 1011

Cond (A) ( 2,4 . 1011 >> 10

Exerccios:

8). Avalie o condicionamento do sistema abaixo pelos dois critrios estabelecidos:

Consideraes:

(i). Neste caso interessante usar um mtodo de soluo que no altere a forma original das equaes, como o caso dos mtodos iterativos (vide captulo ). Porm, os mtodos iterativos nem sempre convergem, como visto;

(ii). No caso da necessidade de aplicao de mtodos diretos, deveramos adotar procedimentos com menor nmero de operaes aritmticas possvel, e consequentemente arredondamentos menores. Neste caso sugere-se a aplicao de mtodos diretos de decomposio LU, que apesar de terem um nmero total de operaes da mesma ordem que o mtodo de Gauss (O(n3/3) - para o mtodo de Crout), mas acumulam menos erros de arredondamento, devido a menor influncia das operaes de diviso.

(iii). O processo de pivotamento indispensvel sempre que surgem zeros nas posies dos pivs durante a aplicao das operaes elementares, no caso de matrizes de coeficientes no singulares (det(A) ( 0). No entanto, nos casos especficos de sistemas mal condicionados, o processo de pivotao considerado imprescndivel e a pivotao normalmente insuficiente para estabilizar os efeitos dos arredondamentos, nestas situaes recomenda-se o uso da pivotao total, ou completa, que torna a soluo do sistema menos sensvel aos efeitos dos erros de arredondamento.

(iv). Uma forma de minimizar os erros de arredondamento, principalmente em sistemas mal condicionados, utilizar a preciso dupla na implementao dos clculos envolvidos na resoluo do sistema. interessante resolver o sistema de equaes usando preciso simples e preciso dupla, para depois fazer uma comparao e verificar se os erros decorrentes de arredondamentos sucessivos significativo ou no, dependendo da tolerncia requerida.

(v). Em sistemas de equaes mal condicionados tem-se uma caracterstica peculiar na avaliao dos resduos das equaes, onde se pode notar que nem sempre a soluo mais exata gera os menores resduos.

Vamos analisar a seguinte situao prtica:

Suponha que temos duas solues aproximadas S1 e S2 para o sistema apresentado anteriormente,

onde S1 = {4,0} e S2 = {1.5,1}.

Calculando os resduos das equaes do sistema para cada soluo proposta tem-se:

R = {r1,r2} (

Para S1 ( R1 = {0,0.00001} e

para S2 ( R2 = {0.5,0.5}

Aparentemente, pela avaliao dos resduos das equaes, a soluo mais exata S1, pois gera menores resduos, porm, sabendo que a soluo exata S = {1,1}, conclui-se que a soluo S2 est mais prxima da soluo exata do que S1.

Ento, conclui-se que a avaliao dos resduos das equaes de um sistema no pode ser usada como critrio para anlise da proximidade de uma soluo em relao ao seu valor exato (no pode ser usado como critrio de convergncia).

(vii). Sabe-se que todos os mtodos diretos, de eliminao e de decomposio, geram solues com erros de arredondamento, ento, quando so avaliados os resduos das equaes a partir das solues obtidas, geram-se valores no nulos decorrentes do acmulo de arredondamentos ao longo das operaes.

Uma forma alternativa para minimizao dos efeitos dos arredondamentos sucessivos, o chamado processo de refinamentos sucessivos, em que cada soluo obtida sofre uma correo E na direo da soluo exata.

Suponhamos que se queira refinar a soluo s1 obtida para o sistema Ax = b. Ento, vamos impor uma correo E sobre s1, e supor que esta correo seja suficiente para conduzir a soluo exata s:

s = s1 + E ( E = s - s1

Multiplicando a matriz A na equao acima temos,

A E = A (s - s1)

A E = A s - A s1

Como s a soluo exata do sistema A x = b, ento A s = b e logo,

A E = b - A s1

Sabe-se que b - A s1 corresponde ao resduo das equaes do sistema em relao a soluo proposta s1, tem-se que

r = b - A s1

A E = r

Ento, resolvendo o sistema A E = r , obtm-se o valor da correo E, que s no a correo exata para a soluo, porque os erros de arredondamento ainda esto presentes. Ento, na verdade, se obtm uma soluo nova (s2) para A x = b, que deve ser mais exata que s1, conforme segue:

s2 = s1 + E

Caso a soluo s2 ainda esta esteja significativamente afetada por erros de arredondamento, pode-se aplicar novamente o mesmo procedimento de correo, at que a soluo obtida se torne suficientemente prxima da soluo exata, para ser adotada como soluo do sistema.

(viii). Uma limitao deste processo de refinamentos sucessivos, alm do alto custo, o fato dele se utilizar do mesmo procedimento de resoluo que gerou os arredondamentos iniciais, ento, estes arredondamentos vo continuar tambm presentes ao longo do processo de refinamento.

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