análise sísmica de estruturas porticadas tridimensionais · numa primeira fase, obteve-se a...

Análise Sísmica de Estruturas Porticadas

Tridimensionais

Determinação da Interacção entre Esforços

André Filipe Valério Belejo

Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Professor Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Orientador: Professor Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida

Orientador: Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Vogal: Professor Doutor João José Rio Tinto de Azevedo

Outubro de 2010

i

Agradecimentos

Tanto a execução desta Dissertação de Mestrado como todo o Curso de Engenharia Civil não

seria possível concluir sem a ajuda de algumas pessoas, as quais tenho que agradecer:

Aos Orientadores Doutor José Paulo Moitinho e Doutor Luís Guerreiro que se mostraram

sempre prontos e disponíveis para ajudar com o que fosse preciso, com muito apreço e

simpatia.

À minha família, principalmente os meus Pais, que sempre me apoiaram, e tudo fizeram

para que a realização do curso fosse possível.

À minha namorada e amigos, tanto aqueles que fiz em Lisboa como os do Entroncamento,

que fizeram com que fosse “fácil” a realização do curso.

iii

Resumo

Na presente dissertação é exposta uma metodologia alternativa à aplicação de espectros de

resposta aos resultados de uma Análise Modal com vista à determinação da combinação de

esforços de dimensionamento relativos à acção sísmica, através de uma análise linear dinâmica

no domínio da frequência. Trata-se de uma generalização da abordagem proposta para uma

estrutura bidimensional por (Ferreira, 2009).

Esta metodologia apresenta como principal contribuição, o desenvolvimento de um processo de

cálculo que contabiliza a interacção entre esforços. A consideração desta interacção é

potencialmente uma vantagem do método desenvolvido, quando comparado com os métodos de

sobreposição modal (Combinação Quadrática Completa, CQC, e Raiz Quadrada da Soma dos

Quadrados, RQSQ), visto que fornece informação sobre a relação entre os sinais dos esforços.

A aplicação deste método, que fora ilustrada através da análise de um pórtico plano, foi agora

efectuada na análise de alguns pórticos tridimensionais.

Numa primeira fase, obteve-se a resposta espectral da estrutura através do Método dos

Elementos Finitos (MEF) para a componente espacial e aplicou -se o processo de combinação de

esforços a uma secção, tendo-se obtido as várias superfícies de interacção entre os três esforços:

esforço normal e momentos flectores segundo as direcções principais de inércia, englobando

várias direcções de actuação da acção sísmica.

Compararam-se posteriormente os resultados obtidos com resultados extraídos da aplicação do

Método de Newmark (MN) na simulação de sismos aleatórios e com o método de sobreposição

modal CQC.

Obtiveram-se resultados algo conservativos, quando comparados com os extraídos dos outros

métodos. No entanto, desenvolvendo estudos mais aprofundados sobre certos aspectos do

método, este poderá no futuro vir a ser um procedimento a considerar no dimensionamento de

estruturas.

Palavras-Chave: Análise Dinâmica; Método dos Elementos Finitos; Resposta Espectral;

Interacção de Esforços; MN; CQC.

v

Abstract

An alternative methodology to Modal Analysis for obtaining the seismic design forces due to the

seismic action is presented in the present work. This methodology is based on a linear dynamic

analysis on the frequency domain, being a generalization of the approach proposal for a two-

dimensional structure.

The main contribution of the present work is the numerical procedure that accounts for the

interaction between internal forces. When compared to the methods of modal combination –

Complete Quadratic Combination (CQC) and Square Root of Sum of Squares (SRSS) – the

consideration of this interaction is potentially advantageous.

This method, which was previously illustrated by the analysis of a plane frame, has now been

applied to the analysis of some three-dimensional frame structures

Initially, we obtained the spectral response of the structure by the finite element method (FEM) for

the space component and applied the process of combining internal forces in one section,

obtaining surfaces of interaction between three internal forces: axial force and bending moments

according to the principal directions of inertia, encompassing various directions for the seismic

action.

After this, we compared the results with results from the application of the Newmark Method (NM)

in the simulation of random earthquakes and the CQC modal superposition method.

Conservative results were obtained when comparing with the results from the methods described,

however, developing more detailed studies on certain aspects of the method, it may become a

method to be considered in the design of structures.

Keywords: Dynamic Analysis; Finite Element Method; Spectral Response; Interaction between

Internal Forces; NM; CQC.

vii

Notação

i. Abreviaturas

CQC Combinação Quadrática Completa

MEF Método dos Elementos Finitos

MN Método de Newmark

Esforço Normal - Momento Flector

Esforço Normal - Momento Flector

Momento Flector - Momento Flector

Esforço Normal - Momento Flector - Momento Flector

RQSQ Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados

R.S.A. Regulamento Segurança e Acções

ii. Simbologia

Parcela real da amplitude do deslocamento do grau de liberdade

Área da secção transversal de um elemento

Área da Secção transversal; Operador diferencial de compatibilidade;

Constante que depende das condições iniciais do problema

Amplitude de uma série harmónica

Parcela Imaginária da amplitude do deslocamento do grau de liberdade j

Produto do Operador diferencial de compatibilidade com a matriz das funções

de aproximação; Constante que depende das condições iniciais do problema


Amortecimento de natureza viscosa do oscilador; Constante que depende das

condições iniciais do problema

[ Matriz de amortecimento da estrutura

Amortecimento Crítico

[ Matriz de amortecimento normalizada

Matriz que define as propriedades mecânicas do Elemento Finito; Constante

que depende das condições iniciais do problema

Deslocamentos nodais do elemento; Parcela Imaginária da amplitude do

deslocamento do grau de liberdade j

Vector dos deslocamentos no referencial local

viii

Vector dos deslocamentos generalizados


Módulo de Elasticidade do oscilador

Módulo de elasticidade de um elemento finito

Valor esperado de

Efeito da acção sísmica a actuar em

Efeito da acção sísmica a actuar em

Forças de massa; Parcela Imaginária da amplitude do deslocamento do grau de

liberdade j

Frequência de excitação da estrutura, expressa em Hz

Frequência própria da estrutura (oscilador), expressa em Hz

Forças Nodais Equivalentes em cada elemento

Força aplicada, variável no tempo

Força aplicada, periódica no tempo

Configuração da acção, harmónica no tempo, aplicada à estrutura

Forças dissipativas de atrito ou amortecimento

Forças exteriores aplicadas

Forças de inércia

Forças de restituição ou ligação

Forças Nodais equivalentes às forças de massa equivalentes

Forças Nodais Equivalentes aplicadas na fronteira

Forças aplicadas directamente nos nós do elemento

Vector das Forças Nodais Equivalentes no Referencial local

Vector das Forças Nodais Equivalentes generalizadas

Vector de Forças Nodais equivalentes num elemento finito

Transformada de Fourier de

Inversa da transformada de Fourier de

Condição de Incidência nodal

Função de receptância

Transposto do conjugado da função de receptância

Matriz função de receptância

Matriz função de receptância normalizada

Vector do momento flector , calculado pelo MEF na secção da estrutura

Vector do momento flector , calculado pelo MEF nas diversas secções da

estrutura

ix

Vector do momento flector , calculado pelo MEF na secção da estrutura

Vector do momento flector , calculado pelo MEF nas diversas secções da

estrutura

Vector do esforço normal calculado pelo MEF na secção da estrutura

Vector do esforço normal calculado pelo MEF nas diversas secções da

estrutura

Inércia do oscilador segundo

Inércia do oscilador segundo

Inércia de Torção do Oscilador

Matriz identidade

Inércia segundo , de um elemento finito

Inércia segundo , de um elemento finito

Parcela imaginária do momento flector da secção decorrente dos

deslocamentos sofridos pela estrutura

Parcela imaginária do momento flector da secção decorrente dos


Parcela imaginária do esforço normal da secção s , decorrente dos


Rigidez do oscilador

Matriz de rigidez da estrutura

Matriz de rigidez de um elemento finito

Matriz de rigidez global da estrutura

Matriz de rigidez normalizada

Matriz de Rigidez do elemento finito no referencial local

Matriz de Rigidez do elemento finito no referencial geral

Comprimento do elemento estrutural

Comprimento do elemento finito

Massa do oscilador

Matriz de massa da estrutura

Matriz de massa normalizada

Momento Flector segundo o eixo principal de Inércia

Amplitude do momento flector

Momento Flector segundo o eixo principal de Inércia

Amplitude do momento flector

Momento flector numa qualquer secção da estrutura, num dado instante de

tempo

x

Momento flector na secção da estrutura, num dado instante de tempo

Momento flector numa qualquer secção da estrutura, num dado instante de

tempo

Momento flector na secção da estrutura, num dado instante de tempo

Valor esperado máximo do momento flector na secção , dada uma

frequência de excitação


frequência de excitação devido a um sismo

Valor esperado do momento flector na secção , dada uma frequência de

excitação

Momento flector , para efeitos de cálculo, na secção , dada uma frequência

de excitação

Contribuição da frequência de excitação, para o momento flector de

dimensionamento na secção , devido à acção sísmica




frequência de excitação devido a um sismo

Valor esperado do momento flector na secção , dada uma frequência de

excitação

Momento flector , para efeitos de cálculo, na secção , dada uma frequência

de excitação

Contribuição da frequência de excitação, para o momento flector de


Matriz de massa consistente de um elemento finito

Esforço normal; Matriz de Equilíbrio na Fronteira

Amplitude do esforço normal

Número de direcções analisadas da elevação no espaço tridimensional

Número de direcções analisadas no plano de interacção no espaço

tridimensional

Valor esperado máximo do esforço normal na secção , dada uma frequência

de excitação

Valor esperado máximo do esforço normal na secção dada uma frequência de

excitação devido a um sismo

Valor esperado do esforço normal na secção , dada uma frequência de

excitação devido a um sismo

Esforço normal de dimensionamento na secção , devido à acção sísmica

Contribuição da frequência de excitação, para o esforço normal de

xi


Vector projecção segundo a direcção dos esforços no plano de interacção

Vector projecção segundo a direcção , dada a combinação de todas as

frequências de excitação

Frequência própria da estrutura (oscilador), expressa em

Frequência amortecida

Factor de participação do modo segundo a direcção

Deslocamento do oscilador

Configuração da resposta da estrutura, harmonicamente variável no tempo

Vector das amplitudes dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade

da estrutura

Amplitude de oscilação da estrutura

Campo de deslocamento do oscilador

Vector dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade da estrutura

Deslocamento inicial do oscilador

Configuração deformada do modo de vibração i

Deslocamentos em coordenadas modais da estrutura do modelo numérico

Vector dos deslocamentos verificados nos graus de liberdade da estrutura,

segundo as suas coordenadas modais

Solução particular da equação que define o movimento da estrutura

Deslocamento relativo, para uma coordenada da estrutura, em função do tempo

Deslocamento no solo em função do tempo

Deslocamento verificado no modo de vibração

Velocidade do oscilador

Vector das velocidades verificadas nos graus de liberdade da estrutura

Velocidade inicial do oscilador

Velocidade relativa, para uma coordenada da estrutura em função do tempo

Velocidade no solo em função do tempo

Velocidade verificada no modo de vibração

Aceleração do oscilador

Vector das acelerações verificados nos graus de liberdade da estrutura

Vector das acelerações iniciais verificados nos graus de liberdade da estrutura

Aceleração verificada no modo de vibração

Aceleração relativa, para uma coordenada da estrutura em função do tempo

Aceleração no solo em função do tempo

Vector de acelerações no solo

xii

Auto matriz função autocorrelação de excitação

Auto matriz função de autocorrelação de excitação dada uma resposta da

estrutura

Auto matriz função autocorrelação de resposta da estrutura

Parcela real do momento flector da secção da estrutura, dada uma


Parcela real do momento flector da secção s da estrutura, dada uma


Parcela real do esforço normal da secção s da estrutura, dada uma frequência

de excitação

Parcela real do momento flector da secção , decorrente dos deslocamentos

sofridos pela estrutura

Parcela real do momento flector da secção , decorrente dos deslocamentos


Parcela real do esforço normal da secção , decorrente dos deslocamentos


Área da Secção do Elemento

Valor do espectro de resposta de acelerações, para a frequência p e

coeficiente de amortecimento

Auto matriz função densidade espectral de potência da excitação

Auto matriz função de densidade espectral de potências da excitação dada uma

resposta da estrutura

Vector função de densidade espectral do momento flector das diversas

secções da estrutura

Vector função da máxima densidade espectral do momento flector na

secção da estrutura

Vector função de densidade espectral do momento flector das diversas

secções da estrutura

Vector função da máxima densidade espectral do momento flector na

secção da estrutura

Vector função de densidade espectral do esforço normal das diversas secções

da estrutura

Vector função da máxima densidade espectral do esforço normal na secção

da estrutura

Auto matriz função de densidade espectral de resposta da estrutura

Duração da acção sísmica

Instante inicial

Forças de Fronteira

xiii

Período de oscilação

Período de oscilação amortecido

Matriz de Transformação

Deslocamento longitudinal de um elemento

Campo de deslocamento longitudinal de um elemento

Campo de deslocamentos longitudinal no espaço e no tempo de um elemento

Configuração deformada da estrutura

Vector do modo de vibração da estrutura

Matriz modal

Posição no instante

Velocidade no instante

Aceleração no instante

Terceira Derivada de no instante

Constante interveniente na definição da matriz de amortecimento segundo

Caugnhey

Aceleração equivalente que surge na base da estrutura, dada uma frequência

de excitação , devido a um sismo, que origina





Constante interveniente na definição da matriz de amortecimento segundo

Caugnhey

Factor de Amplificação Dinâmica

Constante interveniente no Método de Newmark

Quociente entre as frequências e

Constante de Euler

Constante interveniente no Método de Newmark

Intervalo de tempo

Intervalo de direcções analisadas que medem a elevação no espaço

tridimensional

Intervalo de direcções analisadas no plano no espaço tridimensional

Intervalo de frequências

Vector dos deslocamentos de um elemento finito obtido através do MEF

Coeficiente de amortecimento

Coeficiente de amortecimento do modo i

Valor esperado do máximo de uma função de densidades de probabilidades

xiv

Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do momento

flector

Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do momento

flector

Valor esperado do máximo da função de densidade espectral do esforço normal

Coeficiente de correlação entre as frequências próprias e

Densidade de uma barra por unidade de comprimento

Densidade de um elemento finito por unidade de comprimento

Estado de tensão no elemento

Instante de tempo

Direcção que mede a elevação no espaço tridimensional

Vector do modo de vibração normalizado em relação à matriz de massa

Matriz modal normalizada em relação à matriz de massa

Matriz das funções de Aproximação

Função de forma do elemento finito associado ao deslocamento generalizado

Fase de uma série harmónica

Direcção plano no espaço tridimensional

Frequência de passagens ascendentes pelo nível “0”

Frequência de excitação

Frequência máxima de excitação

Frequência discreta

Frequência discreta

Frequência correspondente a cada série harmónica

Vector de valores unitários segundo a direcção e zero nas restantes direcções

Matriz de acelerações unitárias no solo segundo as diferentes direcções

xv

Índice Geral

Resumo ............................................................................................................................................ iii

Abstract ............................................................................................................................................. v

Notação ........................................................................................................................................... vii

Índice Geral ..................................................................................................................................... xv

Índice de Figuras ........................................................................................................................... xix

Índice de Tabelas ........................................................................................................................ xxiii

Capítulo 1 - Introdução ................................................................................................................ 1

1.1 Contextualização ................................................................................................................. 1

1.2 Objectivo .............................................................................................................................. 1

1.3 Organização ......................................................................................................................... 2

Capítulo 2 - Generalidades ......................................................................................................... 3

2.1 Dinâmica de Estruturas ........................................................................................................ 3

2.1.1 Equilíbrio Estático e Equilíbrio Dinâmico ...................................................................... 3

2.1.2 Solicitações em Regime Dinâmico ............................................................................... 4

2.1.3 Osciladores Lineares de Um grau de Liberdade .......................................................... 5

2.1.3.1 Oscilação em Regime Livre .................................................................................. 6

2.1.3.2 Oscilação em Regime Forçado ............................................................................. 8

2.1.3.2.1 Acções Harmónicas ............................................................................................ 9

2.1.3.2.2 Acções Periódicas ............................................................................................. 10

2.1.3.2.3 Excitações Estocásticas .................................................................................... 11

2.1.4 Oscilador Linear de vários graus de Liberdade .......................................................... 13

2.1.4.1 Análise Modal ...................................................................................................... 13

2.1.4.1.1 Frequências Próprias e Modos de Vibração ..................................................... 14

2.1.4.1.2 Condições de Ortogonalidade ........................................................................... 15

2.1.4.1.3 Normalização dos modos de vibração .............................................................. 16

2.1.4.1.4 Definição de Coordenadas Modais ................................................................... 18

2.1.5 Resposta de Osciladores de Vários Graus de Liberdade .......................................... 20

2.1.5.1 Oscilação em Regime Livre ................................................................................ 20

2.1.5.2 Oscilação em Regime Forçado ........................................................................... 21

2.1.5.2.1 Resposta a uma Excitação Harmónica ............................................................. 21

2.1.5.2.2 Resposta a uma Excitação Periódica ............................................................... 22

xvi

2.2 Acção Sísmica ................................................................................................................... 22

2.2.1 Resposta a um conjunto de Acelerações da Base ..................................................... 22

2.2.2 Análise Sísmica por Espectros de Resposta .............................................................. 24

2.2.3 Métodos de Sobreposição Modal ............................................................................... 25

2.3 Combinação de Esforços ................................................................................................... 27

Capítulo 3 - Métodos Numéricos .............................................................................................. 29

3.1 Método dos Elementos Finitos ........................................................................................... 29

3.1.1 Método dos Elementos Finitos aplicado a um pórtico tridimensional......................... 29

3.1.1.1 Definição dos Referenciais .................................................................................. 29

3.1.1.2 Graus de Liberdade ............................................................................................. 30

3.1.1.3 Matriz de Rigidez Elementar ............................................................................... 31

3.1.1.4 Vector de Forças Nodais Equivalentes ............................................................... 34

3.1.1.5 Transformação de Coordenadas ......................................................................... 35

3.1.1.6 Equação Resolvente ........................................................................................... 36

3.1.2 Método dos Elementos Finitos para uma Análise Temporal ...................................... 37

3.2 Método de Newmark .......................................................................................................... 39

3.2.1 Geração do Sismo e a sua aplicação no MN ............................................................. 41

3.2.1.1 Geração do Sismo ............................................................................................... 41

3.2.1.2 Aplicação no MN ................................................................................................. 43

Capítulo 4 - Modelo Numérico – Implementação para o caso tridimensional ..................... 45

4.1 Combinação dos três esforços ....................................................................... 45

4.1.1 Análise da Interacção . ............................................................................. 45

4.1.2 Cálculo das superfícies de Interacção ............................................. 48

4.1.3 Combinação das Curvas de Interacção ........................................... 52

4.2 Definição da Acção Dinâmica ............................................................................................ 52

4.2.1 Resposta da Estrutura ................................................................................................ 52

4.2.2 Calculo dos esforços devido à acção dinâmica .......................................................... 53

Capítulo 5 - Casos de estudo ................................................................................................... 59

5.1 Pórtico Regular .................................................................................................................. 59

5.1.1 Definição de Modelo ................................................................................................... 59

5.1.2 Análise Modal ............................................................................................................. 61

5.1.2.1 Programa em Matlab ........................................................................................... 61

5.1.2.2 Programa em SAP2000 ....................................................................................... 62

5.1.3 Resposta para uma Direcção fixa .............................................................................. 64

5.1.3.1 Interacção de Esforços Resultante da Modelação da Acção

Sísmica a actuar na Estrutura ............................................................................................... 64

xvii

5.1.3.1.1 Caracterização da acção Dinâmica .................................................................. 64

5.1.3.1.2 Relação entre o Valor Máximo Esperado e o Valor Esperado da Resposta da

Estrutura, dado um Sismo ................................................................................................. 64

5.1.3.1.3 Determinação das Curvas de Interacção ................................... 65

5.1.3.1.4 Combinação das Diferentes Curvas de Interacção .................... 66

5.1.3.1.5 Resultados ........................................................................................................ 66

5.1.3.2 Resultados obtidos da Simulação através do MN .............................................. 72

5.1.3.2.1 Estudo Estatístico do Número de Amostras viável ........................................... 72

5.1.3.2.2 Resultados da Simulação ................................................................................. 75

5.1.3.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) ................................................ 76

5.1.4 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida ..................... 77

5.1.5 Adição de um piso ...................................................................................................... 80

5.1.5.1 Resposta para uma Direcção fixa ....................................................................... 81

5.1.5.2 Resultados obtidos da Simulação através do MN .............................................. 88

5.1.5.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) ................................................ 88

5.1.5.4 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida ............. 89

5.2 Pórtico Irregular ................................................................................................................. 91

5.2.1 Resposta para uma Direcção fixa .............................................................................. 93

5.2.1.1 Projecção em e ................................................................................... 93

5.2.1.2 Simulação através do MN ................................................................................. 102

5.2.1.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000) .............................................. 102

5.2.2 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida ................... 103

Capítulo 6 - Síntese e Análise dos Resultados obtidos pelos vários métodos ................ 107

6.1 Superfícies de Interacção dos Esforços .......................................................................... 107

6.2 Comparação entre os vários métodos ............................................................................. 108

Capítulo 7 - Conclusões .......................................................................................................... 113

7.1 Considerações Finais ...................................................................................................... 113

7.2 Considerações sobre o método desenvolvido ................................................................. 113

7.3 Limitações do Método do Numérico ................................................................................ 114

7.4 Desenvolvimentos Futuros .............................................................................................. 115

Referências Bibliográficas .......................................................................................................... 117

Anexos ................................................................................................................................................ i

i. Definição da Estrutura ............................................................................................................... i

ii. Geração da Estrutura ............................................................................................................... vi

xviii

iii. Frequências Próprias, Modos de Vibração e Obtenção dos Esforços pelo MEF ......... vii

iv. Determinação das Superfícies de Interacção .......................................... xvi

v. Simulação através do Método de Newmark ........................................................................ xxi

xix

Índice de Figuras

Figura 2.1 – Modelo Estrutural .......................................................................................................... 3

Figura 2.2 – Oscilador de um grau de Liberdade .............................................................................. 5

Figura 2.3 – a) Movimento oscilatório de amortecimento sobre-crítico. b) Movimento oscilatório de

amortecimento sub-crítico. c) Movimento oscilatório de amortecimento crítico (Ferreira, 2009)8

Figura 2.4 – Normalização do valor esperado máximo em função do número de valores

ascendentes no nível “0”(Clough & Penzien, 1995) ................................................................. 13

Figura 2.5 – Eixos locais de uma barra ........................................................................................... 27

Figura 2.6 - Esforços actuantes numa barra ................................................................................... 27

Figura 3.1 – Referencial Local e Geral do Elemento de Barra (Azevedo Á. , 2003) ...................... 29

Figura 3.2 – Graus de Liberdade no nó de um Elemento de Barra (Azevedo Á. , 2003) ............... 30

Figura 3.3 – Forças Generalizadas que correspondem aos graus de liberdade (Azevedo Á. , 2003)

.................................................................................................................................................. 31

Figura 3.4 – Graus de Liberdade e Respectivas Forças num elemento de Barra (Azevedo Á. ,

2003) ......................................................................................................................................... 31

Figura 3.5 – Espectro de Potências dada a ocorrência de um sismo do tipo I num solo do tipo II 42

Figura 3.6 – Acelerograma obtido duma acção sísmica do tipo I num solo de fundação do tipo II de

acordo com o R.S.A. ................................................................................................................. 43

Figura 4.1 - Curva representativa, no plano complexo, de , dada uma frequência de excitação

.............................................................................................................................................. 47

Figura 4.2 – Sistema de coordenadas em que mede a orientação no plano “ ” e a

elevação .................................................................................................................................... 49

Figura 4.3 – Definição de um conjunto de esforços numa dada superfície de

interacção ....................................................................................................... 50

Figura 4.4 – Contribuição de uma frequência de excitação , para o Esforço Normal de

dimensionamento de uma secção , na ocorrência de um sismo ............................................ 56

Figura 5.1 – Pórtico Tridimensional de um piso .............................................................................. 60

Figura 5.2 – Eixos Locais de uma Barra ......................................................................................... 61

Figura 5.3 - Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do Programa

em Matlab.................................................................................................................................. 62

Figura 5.4 – Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do SAP2000

.................................................................................................................................................. 63

Figura 5.5 – Direcções de actuação da acção sísmica estudadas ................................................. 64

Figura 5.6 – Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0˚ [Newtons e

Newtons.metro] ......................................................................................................................... 67


Newtons.metro] ......................................................................................................................... 68

xx

Figura 5.8 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 45˚ [Newtons e

Newtons.metro] ......................................................................................................................... 69


Newtons.metro] ......................................................................................................................... 70

Figura 5.10 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar segundo y

[Newtons e Newtons.metro] ...................................................................................................... 71

Figura 5.11 – Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção





[Newtons.metro] ........................................................................................................................ 79

Figura 5.14 - Superfície de interacção de esforços para o sismo a actuar em

qualquer direcção [Newtons e Newtons.metro] ........................................................................ 79

Figura 5.15 – Pórtico Tridimensional Regular com dois pisos ........................................................ 80

Figura 5.16 – Primeiros modos de Vibração do Pórtico de 2 pisos obtidos através do programa em

Matlab ........................................................................................................................................ 81

Figura 5.17 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0˚ no Pórtico

de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]..................................................................................... 83

Figura 5.18 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30˚ no pórtico








Figura 5.22 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção

no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] .................................................................... 89


no pórtico de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro] .................................................................... 90


no pórtico de 2 pisos [Newtons.metro] ...................................................................................... 90

Figura 5.25 - Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico


Figura 5.26 – Pórtico simétrico com os pilares a apresentar diferentes direcções principais de

Inércia e algumas massas concentradas .................................................................................. 92

Figura 5.27 – Frequências próprias e respectivos modos de vibração do pórtico irregular ........... 92


Irregular [Newtons e Newtons.metro] ........................................................................................ 94

xxi


Irregular [Newtons e Newtons.metro] ....................................................................................... 95







Figura 5.33 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 120˚ no

Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] ........................................................................... 99


Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] ......................................................................... 100


Pórtico Irregular [Newtons e Newtons.metro] ......................................................................... 101


no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro] ..................................................................... 104


no pórtico irregular [Newtons e Newtons.metro] ..................................................................... 104


no pórtico irregular [Newtons.metro] ....................................................................................... 105

Figura 5.39 - Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico

irregular [Newtons e Newtons.metro] ...................................................................................... 105

xxiii

Índice de Tabelas

Tabela 5.1 – Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do Programa em Matlab

.................................................................................................................................................. 62

Tabela 5.2 - Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do SAP2000............... 63

Tabela 5.3 – Valores obtidos de , e para as direcções de actuação do sismo em

estudo ........................................................................................................................................ 65

Tabela 5.4 – Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0˚ ....................... 67

Tabela 5.5 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30˚ ...................... 68



Tabela 5.8 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica segundo y .............. 71

Tabela 5.9 – Valores do Esforço Normal obtidos através da Simulação, variando o número de

amostras.................................................................................................................................... 72

Tabela 5.10 - Valores do Momento Flector M1 obtidos através da Simulação, variando o número de

amostras.................................................................................................................................... 73

Tabela 5.11 - Valores do Momento Flector M2 obtidos através da Simulação, variando o número de

amostras.................................................................................................................................... 74

Tabela 5.12 – Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN ..................... 76

Tabela 5.13 – Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000 ........................ 77

Tabela 5.14 - Primeiras Frequências Próprias do Pórtico de 2 Pisos obtidas através do Matlab .. 81

Tabela 5.15 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0˚ no pórtico de 2

pisos .......................................................................................................................................... 83


pisos .......................................................................................................................................... 84


pisos .......................................................................................................................................... 85


pisos .......................................................................................................................................... 86


pisos .......................................................................................................................................... 87

Tabela 5.20 - Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o pórtico

de 2 pisos .................................................................................................................................. 88

Tabela 5.21 - Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000 ......................... 88

Tabela 5.22 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0˚ no Pórtico

Irregular ..................................................................................................................................... 94


Irregular ..................................................................................................................................... 95


Irregular ..................................................................................................................................... 96

xxiv


Irregular ..................................................................................................................................... 97


Irregular ..................................................................................................................................... 98


Irregular ..................................................................................................................................... 99


Irregular ................................................................................................................................... 100


Irregular ................................................................................................................................... 101

Tabela 5.30 - Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o Pórtico

irregular ................................................................................................................................... 102

Tabela 5.31 - Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000 ....................... 103

Tabela 6.1 – Síntese dos Resultados obtidos pelos vários métodos ............................................ 110

Tabela 6.2 – Diferenças medidas em relação à análise direccional de esforços .......................... 111

Tabela 6.3 – Diferença média de cada método em relação à análise direccional de Esforços .... 111

1

Capítulo 1 - Introdução

1.1 Contextualização

A Dinâmica de estruturas é uma das matérias no âmbito da Engenharia Civil, que devido à

implementação de novos métodos de cálculo com recurso à computação, têm tido uma enorme

evolução nos últimos anos.

Em particular, a engenharia sísmica tem sido uma das áreas mais desenvolvidas, sendo corrente

proceder-se a análises dinâmicas para avaliar o desempenho sísmico de estruturas com um nível

de detalhe que não era possível há poucos anos.

Têm sido propostos diferentes métodos numéricos para modelar o comportamento dinâmico das

estruturas, sendo que dependente da formulação, a análise realiza-se tanto no domínio do tempo

como no domínio da frequência.

A dificuldade que se coloca após obter uma solução numérica, é definir a forma como se devem

combinar os diferentes resultados obtidos para determinar os esforços de dimensionamento da

estrutura, tratando-se da principal preocupação de um engenheiro projectista.

Para esse efeito diversas técnicas têm sido propostas, sendo correntemente os métodos de

sobreposição modal com recurso a espectro de resposta, como são os casos da Combinação

Quadrática Completa (CQC) e da Raiz Quadrada da Soma dos Quadrados (RQSQ), a forma mais

utilizada entre os engenheiros para análises sísmicas. Contudo esses métodos não dão

informação sobre a interacção entre esforços actuantes, o que condiciona o dimensionamento

estrutural.

1.2 Objectivo

O objectivo deste estudo consiste em realizar a análise sísmica de uma estrutura porticada

tridimensional, no domínio da frequência, tendo por base o Método dos Elementos Finitos (MEF),

generalizando a abordagem proposta em (Ferreira, 2009) para uma estrutura bidimensional.

Pretende-se definir uma combinação dos resultados obtidos a partir de um espectro de densidade

de potências, que disponibilize a interacção entre o esforço normal e os momentos flectores

segundo as direcções principais de inércia de uma secção e que contabilize as possíveis

2

direcções que possam assumir no espaço de interacção, sendo essa a principal contribuição do

estudo efectuado e uma das limitações dos métodos de sobreposição modal.

1.3 Organização

No sentido de realizar um estudo faseado e bem fundamento na procura dos objectivos propostos,

a exposição do trabalho desenvolvido encontra-se divido em seis Capítulos:

Capítulo 2- Generalidades; definição de acção dinâmica das diferentes solicitações que ocorrem

em estruturas; estudo de solicitações em regime livre e forçado; estudo de osciladores lineares

tanto de um como de vários graus de liberdade; análise modal; simulações sísmicas; combinações

correntes com recurso a espectro de resposta como CQC e RQSQ.

Capítulo 3- Métodos Numéricos; introdução ao MEF, os seus princípios básicos e a metodologia

realizada para a construção das equações que definem o comportamento dinâmico de uma

estrutura; introdução ao MN, os seus princípios básicos e posterior introdução da acção sísmica

no seu conteúdo para obtenção de esforços devido à mesma.

Capítulo 4- Modelo Numérico – Implementação para o Caso Tridimensional; fundamentação

dos princípios básicos inerentes ao processo de cálculo, definição da acção dinâmica, princípios

essenciais à combinação de esforços pretendida; metodologia aplicada ao cálculo da superfície de

interacção .

Capítulo 5- Casos de Estudo; Definição dos vários modelos de estudo e Obtenção de

Resultados inerentes à análise direccional de esforços e determinação das curvas de interacção

e ainda obtenção de resultados pela simulação recorrendo ao MN assim como os

obtidos do método de sobreposição modal CQC recorrendo ao SAP2000.

Capítulo 6- Síntese e Análise dos Resultados obtidos pelos vários métodos; Análise das

várias superfícies de interacção obtidas e comparação dos resultados obtidos através dos

diferentes métodos.

Capítulo 7- Conclusões; conclusões retiradas do estudo; desenvolvimentos futuros que possam

dar contributo ao estudo realizado.

3

Capítulo 2 - Generalidades

2.1 Dinâmica de Estruturas

A análise dinâmica de uma estrutura organiza-se pelas seguintes fases:

Quantificação das solicitações dinâmicas aplicadas na estrutura

Definição do modelo estrutural

Definição de um modelo de cálculo que represente o comportamento da estrutura,

nomeadamente no que se refere à deformabilidade e absorção de energia

Estudo dinâmico do comportamento do modelo de cálculo.

A análise dinâmica trata da determinação de deslocamentos, velocidades e acelerações nos

vários elementos da estrutura, pois tendo definida a deformada dinâmica da estrutura, o cálculo

prossegue recorrendo à teoria de estruturas.

2.1.1 Equilíbrio Estático e Equilíbrio Dinâmico

Através do seguinte exemplo, que concretiza o que foi referido, faz-se evidência às diferenças

entre equilíbrio estático e equilíbrio dinâmico.

Figura 2.1 – Modelo Estrutural

A Figura 2.1 representa o modelo estrutural da estrutura de suporte de uma máquina que lhe

transmite forças horizontais orientadas segundo x em que a massa das vigas e pilares é

desprezável face à massa m, que engloba a massa da máquina em conjunto com a massa da laje.

4

Tendo quantificado a acção dinâmica e definido o modelo estrutural, procede-se à definição do

modelo matemático. Aqui é necessário considerar a condição de equilíbrio de uma estrutura sob a

acção de solicitações em regime estático e dinâmico, que preconiza que a resultante das

solicitações actuantes deve ser nula em cada um dos elementos da estrutura.

No caso de todas as solicitações serem Forças, em cada elemento da estrutura, deverá verificar-

se equilíbrio entre todas as forças actuantes, que de acordo com (Ravara, 1969) poderão ser dos

seguintes tipos:

– Forças de Inércia

- Forças dissipativas de atrito ou amortecimento

- Forças de restituição ou ligação

- Forças exteriores aplicadas

Ou seja, deverá verificar-se, para cada elemento a condição

(2.1)

No entanto em regime estático as solicitações actuam muito lentamente até ao seu valor final de

modo que se despreza a velocidade e a aceleração, reduzindo (2.1) a

(2.2)

que exprime a condição de equilíbrio estático.

No caso em que as solicitações na estrutura variem ao longo do tempo e que os seus elementos

adquirem velocidades e acelerações de valor considerável, o comportamento da estrutura rege-se

por equações do tipo de (2.1) que exprimem as condições de equilíbrio dinâmico.

O principal objectivo da análise dinâmica das estruturas é estabelecer e resolver equações do tipo

de (2.1) que constituem o modelo matemático da estrutura.

2.1.2 Solicitações em Regime Dinâmico

O carácter estático ou dinâmico de uma solicitação é relativo à estrutura sobre a qual esta actua.

Assim uma dada solicitação apresenta carácter dinâmico relativamente a uma estrutura quando as

5

Forças de Inércia que se desenvolvem apresentam valores significativos em relação às restantes

forças que intervêm no equilíbrio da estrutura.

As solicitações dinâmicas são classificadas em determinísticas ou aleatórias, conforme é

conhecido o seu valor num dado instante ou apenas a respectiva distribuição estatística. Por sua

vez as solicitações determinísticas dividem-se em periódicas ou aperiódicas, conforme os seus

valores se repetem ou não ao fim de um intervalo de tempo fixo, , designado por Período. A

condição de periodicidade é expressa por:

para inteiro (2.3)

2.1.3 Osciladores Lineares de Um grau de Liberdade

De acordo com (Azevedo & Proença, 1991) um oscilador com um grau de liberdade é um sistema

que pode ser reduzido a uma massa concentrada num único ponto e essa massa pode apresentar

apenas uma componente do deslocamento.

Considere-se a estrutura representada na Figura 2.2, constituída por uma consola vertical

encastrada na base com uma massa concentrada no topo.

Figura 2.2 – Oscilador de um grau de Liberdade

Admitindo que o amortecimento é proporcional à velocidade, ou seja que se trata de um

amortecimento do tipo viscoso, os termos da equação (2.1) adoptam a forma:

(2.4)

Deduzindo assim a equação diferencial do movimento:

(2.5)

6

Onde representa o coeficiente de proporcionalidade entre a força de amortecimento e a

velocidade, ou seja, a força correspondente à velocidade unitária, designada por Amortecimento, e

a relação entre a força de restituição e o deslocamento, designada por Rigidez.

2.1.3.1 Oscilação em Regime Livre

Ao analisar a resposta dum oscilador de um grau de liberdade, na ausência de solicitação exterior,

tem-se a equação diferencial do movimento definida da seguinte forma:

(2.6)

A qual, dividindo ambos os membros por , apresenta-se:

(2.7)

Em que se trata da frequência própria angular não amortecida. Esta traduz a frequência da

resposta na ausência de amortecimento, definida pela expressão:

(2.8)

E é designado pelo coeficiente de amortecimento. Representa a percentagem de amortecimento

em relação ao amortecimento crítico de tal modo que

(2.9)

A solução da equação (2.7) depende do valor , dependendo, como consequência, de três casos

de análise segundo (Azevedo & Proença, 1991):

Amortecimento sobre-crítico,

Amortecimento sob-crítico,

Amortecimento crítico,

No caso de Amortecimento sobre-crítico ( ), a equação que define a resposta da estrutura é

dada da forma:

(2.10)

7

Em que as variáveis A e B traduzem as condições iniciais do movimento e relaciona-se com a

frequência própria da estrutura, , pela expressão:

(2.11)

Nestas condições a resposta da estrutura é aperiódica e sem movimento vibratório (Figura 2.3a).

Para o caso de Amortecimento sob-crítico ( ) obtém-se a resposta através da expressão:

(2.12)

Ou simplificadamente:

(2.13)

Em que , tratando-se da frequência amortecida, é obtida pela expressão:

(2.14)

As variáveis A e B ou e traduzem as condições iniciais, que no caso mais corrente destas

corresponderem ao deslocamento e à velocidade inicial no instante , verifica-se:

(2.15)

(2.16)

Ou, pela abordagem (2.13):

(2.17)

(2.18)

8

O movimento é definido como uma sinusóide de amplitude decrescente (Figura 2.3b). Embora não

se trate em rigor dum movimento periódico, os máximos/mínimos relativos da resposta verificam-

se em instantes afastados de múltiplos de .

consiste no período amortecido obtido da seguinte forma:

(2.19)

Finalmente para o caso de amortecimento crítico ( ) a resposta da estrutura corresponde à

transição entre as respostas anteriores, sendo definida pela expressão

(2.20)

Em que A e B, tal como para os casos anteriores, definem as condições iniciais do movimento.

Trata-se de um movimento aperiódico com o menor amortecimento possível, ou seja, é aquele em

que a massa regressa à posição de repouso mais rapidamente, não ocorrendo movimento

oscilatório (Figura 2.3c).

Figura 2.3 – a) Movimento oscilatório de amortecimento sobre-crítico. b) Movimento oscilatório de amortecimento sub-crítico. c) Movimento oscilatório de amortecimento crítico (Ferreira, 2009)

2.1.3.2 Oscilação em Regime Forçado

Caracteriza-se neste subcapítulo a resposta da estrutura a excitações determinísticas (acções

harmónicas e acções periódicas) e aleatórias (acções estocásticas).

Tendo em conta apenas as acções deterministicas, note-se agora que equação do movimento

continua a ser a (2.5), contudo o termo independente não nulo representa a excitação

aplicada ao nível do grau de liberdade.

9

2.1.3.2.1 Acções Harmónicas

Considera-se que a estrutura é actuada por uma acção harmónica aplicada da forma

(2.21)

Adoptando a equação do movimento a seguinte forma:

(2.22)

E dividindo a totalidade dos termos por , obtém-se a expressão

(2.23)

A solução desta equação diferencial é composta pela sobreposição da solução geral da equação

homogénea (2.6) e da solução particular da equação não homogénea (2.23) que para o presente

caso, se apresenta

(2.24)

Ou em alternativa

(2.25)

Ao substituir a equação (2.25) na (2.23) e identificando os termos em e , obtém-se

os valores de C e D.

(2.26)

(2.27)

Sendo

(2.28)

10

Considerando a solução particular no formato da (2.25) tem-se

(2.29)

Onde se designa por factor de amplificação dinâmica, dado por

(2.30)

Finalmente o parâmetro representa o desfasamento entre a acção e a resposta, dado por

(2.31)

2.1.3.2.2 Acções Periódicas

Tendo obtida a solução para a resposta a acções harmónicas, pode-se facilmente deduzir a

resposta de um oscilador a acções periódicas.

Qualquer acção periódica com período e com um mínimo de regularidade, pode ser

desenvolvida em Série de Fourier, ou seja, pode ser substituída pela soma de componentes

harmónicas de períodos submúltiplos do período de referência como dita a seguinte expressão:

(2.32)

Onde os termos e são designados por coeficientes de Fourier e se calculam da seguinte

forma:

(com (2.33)

(com (2.34)

Da expressão (2.32) verifica-se que o termo

representa a parcela estática e é responsável pelo

valor médio não nulo da excitação.

11

A resposta do sistema pode ser obtida a partir da sobreposição das respostas a cada uma das

componentes harmónicas de excitação.

Tendo isto, a resposta em regime permanente é dada por

(2.35)

Em que

E e correspondem a e respectivamente para

.

2.1.3.2.3 Excitações Estocásticas

Considere-se a estrutura sujeita a uma excitação aleatória que é caracterizada por um processo

estocástico Gaussiano Ergódico. Neste caso, de acordo com (Azevedo & Proença, 1999) a

excitação pode ser caracterizada pelas seguintes entidades:

- auto matriz função de autocorrelação da excitação

- auto matriz função densidade espectral de potência da excitação

Que se definem e relacionam através das seguintes propriedades

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Verifique-se que para representa o valor quadrático médio da solicitação. Por outro

lado quando assume um valor não nulo, fornece uma medida da ligação entre os valores

da solicitação em instantes múltiplos de .

Por sua vez , trata-se da Transformada de Fourier da função de autocorrelação

,em que os seus valores quantificam a contribuição das componentes elementares de

frequência para o valor quadrático médio da solicitação.

Note-se ainda que define o valor esperado da correlação entre as várias

realizações e do processo estocástico, desfasados de um intervalo .

12

No caso de assumir um valor constante, designa-se esse processo por “ruído branco”. Na

verdade, esse processo é meramente teórico, já que o seu valor quadrático médio é infinito. Assim

sendo, para que tal seja fisicamente possível, é necessário definir um intervalo de frequências.

Na sequência do raciocínio, segundo os mesmos autores, definem-se as matrizes de informação

cruzada (excitação - resposta ou o recíproco)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

Por fim a resposta da estrutura constitui também ela um processo estocástico ergódico

estacionário caracterizado pelas seguintes auto matrizes função de autocorrelação da resposta.

(2.42)

(2.43)

Por último, é ainda possível demonstrar que estas identidades se relacionam reciprocamente

através matriz função de transferência.

(2.44)

(2.45)

(2.46)

Tratando-se o transposto do conjugado da função de transferência.

Note-se que o integral de tais funções de densidade espectral de resposta dada por (2.44) define o

valor quadrático médio da resposta da estrutura.

No entanto numa análise dinâmica é importante conhecerem-se os valores máximos, já que a

maior parte das vezes, são os valores máximos que condicionam a segurança estrutural.

Para tal, segundo (Azevedo J, 1996) efectua-se uma análise da probabilidade de distribuição de

máximos recorrendo a uma função de densidade espectral de Banda Estreita. Posteriormente

como em qualquer processo é importante determinar com que frequências ocorrem os valores

máximos. Tendo isto e analisando a sequência de passos explanada em (Ferreira, 2009) obtém-se

o valor esperado do máximo que, se pode obter recorrendo à expressão:

13

(2.47)

Em que:

(2.48)

Onde de acordo com (Clough & Penzien, 1995) corresponde, na prática, ao número de valores

ascendentes no nível “0”. O valor de obtém-se assim em função desse número, como se pode

observar na Figura 2.4.

Figura 2.4 – Normalização do valor esperado máximo em função do número de valores ascendentes no nível

“0”(Clough & Penzien, 1995)

2.1.4 Oscilador Linear de vários graus de Liberdade

Em grande parte dos casos, o modelo matemático que melhor se adequa para representar o

comportamento dinâmico de uma estrutura corresponde a um oscilador de vários graus de

liberdade. No caso de edifícios é corrente localizar as massas ao nível dos pisos, no entanto a

localização e quantificação das massas não deixa de ser um problema delicado.

A formulação das equações de equilíbrio conduz a sistemas de equações diferenciais de 2ª

ordem. E a integração desses mesmos sistemas pode-se efectuar decompondo-os em equações

independentes por mudança de coordenadas.

2.1.4.1 Análise Modal

Considerando uma estrutura com N graus de liberdade tem-se o sistema de equações que define

o equilíbrio dinâmico na forma

14

(2.49)

Ou, em linguagem matricial

(2.50)

Em que , e se verificam as matrizes de Massa, Amortecimento e Rigidez da Estrutura

respectivamente de ordem N.

Seguindo (Guerreiro, 1999), procede-se a uma pequena explicação do que trata a análise modal

de uma estrutura.

2.1.4.1.1 Frequências Próprias e Modos de Vibração

A determinação das frequências próprias de um determinado sistema é efectuada com base na

análise do movimento em regime livre e sem amortecimento.

De tal modo observa-se assim a equação de equilíbrio dinâmico mais simplificada

(2.51)

Admitindo um movimento da estrutura do tipo harmónico quando vibra com uma dada frequência

, apresenta-se:

(2.52)

Onde representa a condição deformada da estrutura.

Derivando duas vezes a expressão em ordem ao tempo, obtém-se a expressão das acelerações

ao longo do tempo:

(2.53)

Posteriormente ao substituir as equações (2.52) e (2.53) na equação (2.51) e trabalhando esta

última, obtém-se:

(2.54)

15

Para que o sistema de equações (2.54) tenha uma solução não trivial, é necessário igualar o

determinante da matriz a zero.

Logo a determinação de frequências e modos de vibração resulta num problema de determinação

de valores e vectores próprios, em que os valores próprios representam as frequências e os

vectores próprios os modos de vibração. Assim, a cada frequência corresponde um modo de

vibração .

Recorde-se que a determinação das frequências próprias da estrutura e os seus respectivos

modos de vibração foram calculados considerando Amortecimento nulo, no entanto em todas as

estruturas ocorre amortecimento.

Segundo (Ravara, 1969) Caughey demonstrou que os modos de vibração só subsistem se for

diagonalizada pela mesma transformação que diagonaliza e .

Uma solução possível consiste na aplicação do Amortecimento de Rayleigh que assume que a

matriz de amortecimento se trata de uma combinação linear das matrizes de massa e de rigidez,

em que os parâmetros e se apresentam como constantes.

(2.55)

2.1.4.1.2 Condições de Ortogonalidade

Os vectores que definem os modos de vibração apresentam propriedades que são designadas por

condições de ortogonalidade traduzidas pelas equações:

(2.56)

(2.57)

Que representam a ortogonalidade dos modos de vibração de uma estrutura em relação, à matriz

de massa e de rigidez respectivamente.

Com o intuito de demonstrar a ortogonalidade em relação à matriz de massa considere-se a

equação (2.54) para os modos de vibração e :

(2.58)

(2.59)

Multiplicando a equação (2.58) por obtém-se:

16

(2.60)

Ao transpor a equação (2.59) e tendo em conta que as matrizes e são simétricas, obtém-

se a expressão:

(2.61)

Multiplicando ambas as parcelas por

(2.62)

Ao subtrair (2.62) à (2.60) tem-se:

(2.63)

Perante este resultado, está demonstrado o que se entende por ortogonalidade dos modos de

vibração em relação à matriz de Massa uma vez que e são diferentes. E o mesmo se pode

demonstrar para a matriz de Rigidez.

Tirando então partido das condições de ortogonalidade, podem-se estabelecer as seguintes

relações

(2.64)

(2.65)

Em que é a matriz modal, onde cada coluna representa um modo de vibração e e

são matrizes diagonais, como consequência das condições de ortogonalidade.

Note-se que, se os modos de vibração são ortogonais às matrizes de massa e rigidez, também o

serão em relação a qualquer matriz que resulte da combinação linear das duas como é o caso da

matriz de Amortecimento como se viu atrás, logo também se pode estabelecer a seguinte relação

(2.66)

2.1.4.1.3 Normalização dos modos de vibração

Os modos de vibração como já foi referido anteriormente, representam apenas a configuração da

estrutura, quando esta vibra com determinada frequência. Sendo assim, o valor absoluto das

componentes do vector modo de vibração não apresenta qualquer interesse, e sim a relação entre

17

eles. Deste modo, procede-se à normalização do vector modo de vibração com o intuito de facilitar

a sua interpretação.

A forma de normalização dos modos de vibração mais usada, devido às simplificações na

representação da equação de movimento é a normalização em relação à matriz de massa, que

consiste em considerar os modos de vibração de modo a obter a relação:

(2.67)

E recordando que cada termo da matriz diagonal é obtido através da relação

(2.68)

Conclui-se que para obter a normalização pretendida, basta aplicar a seguinte relação ao vector

de configuração modal.

(2.69)

E de forma consequente verifica-se:

(2.70)

Em que corresponde à matriz modal que contém os modos normalizados, e a matriz

identidade.

Tendo em conta esta normalização, centrando-nos na equação (2.58), multiplicando ambos os

termos pela transposta do modo de vibração na sua forma normalizada, obtém-se a relação:

(2.71)

Considerando a condição apresentada em (2.67), e relembrando a designação indicada na (2.65),

demonstra-se:

(2.72)

Isto denota que cada elemento da matriz diagonal , representa o quadrado da frequência de

vibração do modo de vibração correspondente, desde que os modos estejam normalizados à

matriz de massa.

18

Seguindo o mesmo raciocínio, também se obtém a matriz diagonal de amortecimento normalizada

(2.73)

Em que cada elemento da matriz diagonal representa o amortecimento do correspondente

modo de vibração.

2.1.4.1.4 Definição de Coordenadas Modais

O sistema de equações de equilíbrio dinâmico traduzido pela expressão (2.5) é constituído por

equações diferenciais dependentes entre si uma vez que e não são obrigatoriamente

matrizes diagonais. No entanto, de modo a facilitar a resolução do problema, pretende-se

representar o sistema de equações diferenciais num novo referencial, de forma que estas sejam

independentes entre si, tratando-se do referencial de coordenadas modais.

Multiplicando os termos da equação (2.5) pela transposta da matriz global tem-se

(2.74)

Introduzindo o produto

(2.75)

Sendo , o elemento neutro da multiplicação obtém-se

(2.76)

Optando por normalizar à matriz de massa pois o sistema de equações fica mais simples e é mais

fácil de interpretar o significado físico dos vários elementos envolvidos, ao contabilizar então as

propriedades de ortogonalização dos modos de vibração em relação a , definidas nas

equações (2.70), (2.72) e (2.73), tem-se

(2.77)

Ao interpretar-se o produto da matriz pelo vector como uma transformação de

coordenadas, obtém-se o novo referencial designado por referencial das coordenadas modais ou

generalizadas .

19

O sistema de equações de equilíbrio dinâmico, no referencial apresenta-se através da

expressão seguinte:

(2.78)

Definindo-se as transformações de coordenadas:

(transformação para coordenadas modais)

(2.79)

(transformação para coordenadas da estrutura) (2.80)

Obtém-se assim um sistema de equações diferenciais independentes pois todas as matrizes

presentes são matrizes diagonais, onde cada modo de vibração pode ser representado da

seguinte forma:

para o modo (2.81)

A resolução deste sistema de equações permite obter a solução do problema dinâmico expressa

em termos de coordenadas modais.

Note-se que é clara a semelhança entre as equações (2.81) e a equação de equilíbrio dinâmico de

um sistema de um grau de liberdade e é tirando partido dessa semelhança que se obtém a

solução para um sistema de múltiplos graus de liberdade a partir da solução para sistemas de um

grau de liberdade

Note-se ainda que se for utilizada qualquer outra normalização modal, sem ser a normalização à

matriz de massa, o sistema de equações de equilíbrio dinâmico apresenta-se da seguinte forma:

(2.82)

Em que

(transformação para coordenadas modais)

(2.83)

(transformação para as coordenadas da estrutura) (2.84)

20

2.1.5 Resposta de Osciladores de Vários Graus de Liberdade

2.1.5.1 Oscilação em Regime Livre

O sistema de equações do movimento em regime livre de um sistema com vários graus de

liberdade referida ao sistema de coordenadas globais assume o seguinte aspecto

para o modo (2.85)

Por outro lado, de acordo com (Guerreiro, 1999) a resposta de um sistema de um grau de

liberdade, em regime livre e com amortecimento sub-critico é traduzida por:

(2.86)

Em que e correspondem ao deslocamento inicial e à velocidade inicial respectivamente.

Por analogia, a resposta dum sistema com vários graus de liberdade, para cada uma das

coordenadas modais será a seguinte

(2.87)

É necessário ter em conta que se tem que efectuar a transformação das coordenadas para que se

obtenha as condições iniciais referidas ao sistema de coordenadas modais (2.83), uma vez

conhecidas as condições iniciais do movimento relativamente aos graus de liberdade da estrutura.

(2.88)

Após o cálculo da resposta nas coordenadas modais, efectua-se a transformação de coordenadas

para obter a resposta expressa em coordenadas da estrutura.

21

2.1.5.2 Oscilação em Regime Forçado

2.1.5.2.1 Resposta a uma Excitação Harmónica

Na análise da resposta dinâmica de um oscilador de vários graus de liberdade em regime forçado,

pode-se considerar o sistema de equações (2.81).

Num sistema de graus de liberdade, considerando a hipótese de existirem forças harmónicas

aplicadas em todos os graus de liberdade da estrutura.

Assim, segundo (Guerreiro, 1999), a equação (2.81) pode tomar a seguinte forma

(2.89)

Em que é referente ao modo e ao grau de liberdade.

Tendo isto, a resposta no modo de vibração de um sistema de graus de liberdade é traduzida

pela equação

(2.90)

Em que

(2.91)

(2.92)

(2.93)

Também aqui, após o cálculo da resposta nas coordenadas modais é necessário fazer a

transformação de coordenadas para obter a resposta em coordenadas da estrutura.

22

2.1.5.2.2 Resposta a uma Excitação Periódica

No caso da ocorrência de uma solicitação periódica numa estrutura de vários graus de liberdade, a

sua resposta pode ser obtida por sobreposição modal, em que o raciocínio é em tudo idêntico à

resposta a uma excitação periódica por um sistema de 1 grau de liberdade

(2.94)

É apenas necessária transformação de coordenadas para o sistema de coordenadas da estrutura.

2.2 Acção Sísmica

2.2.1 Resposta a um conjunto de Acelerações da Base

Para uma estrutura solicitada por um conjunto de acelerações na base, como é o caso da acção

sísmica, segundo (Guerreiro, 1999), a formulação da equação de equilíbrio dinâmico de acordo

com é semelhante à utilizada para quando a solicitação é feita por um conjunto de forças de

excitação com a diferença que as equações devem ser escritas em coordenadas relativas , ou

seja, no sistema de coordenadas que permita obter o movimento da estrutura em relação ao

movimento do solo .

(2.95)

Perante isto, como apenas as forças de inércia dependem das coordenadas absolutas, o sistema

de equações de equilíbrio dinâmico assume a seguinte forma, escrito em coordenadas relativas

(2.96)

Pelo facto da probabilidade dos apoios da estrutura terem deslocamentos independentes uns dos

outros ser muito reduzida em estruturas de dimensões correntes, admite-se a hipótese de haver

apenas um deslocamento independente em cada direcção ( , e ).

Estes deslocamentos do solo, para serem introduzidos na equação, devem apenas ser

considerados na posição do vector correspondentes às respectivas direcções. Para tal cria-se um

vector com valor unitário nas posições correspondentes à direcção desejada e zero nas restantes.

23

– Vector com valores unitários nas posições correspondentes à direcção e zero nas

restantes


restantes


restantes

Sendo assim, considerando movimentos no solo em todas as direcções tem-se:

(2.97)

Considerando somente movimentos do solo na direcção e escrevendo a equação nas

coordenadas modais, admitindo uma normalização dos modos de vibração em relação a

verifica-se

(2.98)

Podendo ser representada, para cada modo de vibração, pela seguinte equação

para o modo (2.99)

Nesta expressão, o factor que multiplica a aceleração do solo designa-se do Factor de

Participação Modal segundo , para a direcção em que actua essa aceleração.

(2.100)

Analisando a equação (2.99) verifica-se que a resolução do problema dinâmico de imposição de

acelerações na base pode ser resolvido de forma semelhante ao problema de imposição de forças

dinâmicas nos graus de liberdade da estrutura. É apenas necessário efectuar a seguinte

substituição

(2.101)

Neste caso apenas está a ser contabilizada a aceleração do solo na direcção mas a expressão

anterior é válida para qualquer direcção.

24

2.2.2 Análise Sísmica por Espectros de Resposta

Na maioria dos casos em que se pretende fazer a análise sísmica de estruturas com

comportamento linear, o objectivo deixa de ser conhecer a evolução da resposta ao longo do

tempo, mas apenas calcular os valores extremos desta resposta. Nestes casos é mais prático

recorrer a uma análise sísmica por espectros de resposta.

Espectros de resposta, citando (Guerreiro, 1999) são definidos como uma representação do valor

máximo da resposta (medida em termos de deslocamento, aceleração, esforços, etc.) de um

conjunto de osciladores de um grau de liberdade, quando solicitados por uma determinada acção

sísmica. Estes valores máximos são representados em função da Frequência própria dos

osciladores (ou do seu período) e do valor do coeficiente de Amortecimento considerado.

Recordando que a equação de equilíbrio dinâmico para um oscilador de um grau de liberdade,

quando solicitado por uma aceleração na base, é dada por:

(2.102)

Conhecendo-se o espectro de resposta de acelerações compatível com a serie de acelerações

impostas na base ( ), obtem-se o valor máximo da resposta directamente a partir do espectro,

que será a ordenada do espectro que corresponde à frequência própria do oscilador e ao

amortecimento traduzido por .

(2.103)

Onde traduz o valor do espectro de resposta de acelerações, para a frequência e

coeficiente de amortecimento .

Ao se compararem as equações (2.102) e (2.99) verifica-se que a única diferença corresponde ao

Factor de participação modal que corresponde simplesmente a um factor de escala. Logo:

para o modo (2.104)

Uma vez que se está a trabalhar em regime linear, também a solução será determinada para um

oscilador de um grau de liberdade, afectada do mesmo factor de escala, ou seja:

(2.105)

Aqui corresponde ao valor espectral da aceleração para a direcção e o valor de

corresponde ao valor máximo da aceleração na coordenada generalizada

25

correspondente ao modo de vibração . Verifica-se assim que é possível calcular os valores

máximos da aceleração correspondentes a todos os modos.

O cálculo pode ser igualmente efectuado tanto para deslocamentos como para velocidades, ao ter

acesso aos respectivos espectros de resposta.

(2.106)

(2.107)

Tratando-se do espectro de resposta de velocidades e , o espectro de resposta

de deslocamentos para a direcção , frequência e coeficiente de amortecimento .

Os valores das equações (2.105), (2.106) e (2.107) são obtidos em coordenadas modais o que

implica a necessidade de efectuar a transformação de coordenadas para as coordenadas da

estrutura.

(2.108)

(2.109)

(2.110)

Podendo os valores máximos da resposta da estrutura ser calculados a partir dos vectores de

deslocamento, velocidades ou acelerações obtidos através equações anteriores.

2.2.3 Métodos de Sobreposição Modal

Resta apenas definir como devem ser combinados os resultados obtidos para cada um dos

modos, onde aqui se segue novamente (Guerreiro, 1999).

Uma das regras de combinação modal usada usualmente é a “Raiz Quadrada da Soma dos

Quadrados” (RQSQ), em que como o nome indica, a resposta de uma determinada grandeza pode

ser estimado através da raiz quadrada da soma dos quadrados da resposta dessa grandeza em

cada modo.

(2.111)

26

A regra em causa apresenta resultados satisfatórios desde que as frequências próprias da

estrutura não se encontrem muito próximas entre si. Se tal acontecer, é mais adequado utilizar

outra regra de combinação modal designada por “Combinação Quadrática Completa” (CQC)

traduzida pela expressão:

(2.112)

Em que segundo (Azevedo & Proença, 1991) é dado por uma das expressões:

Para amortecimento modal não constante

(2.113)

Para amortecimento modal constante

(2.114)

Em que

(2.115)

O método CQC garante melhores resultados para modos com frequências próprias próximas

porque considera o efeito da correlação entre as respostas dos vários modos, enquanto o método

RQSQ assume as respostas independentes o que não é verdade para modos com frequências

próprias próximas.

No entanto o facto de o CQC considerar a correlação entre os modos não significa que apresente

valores resultantes da combinação superiores. Tal não acontece, por exemplo, no caso dos

deslocamentos modais dos modos apresentarem sinais contrários, em que torna o coeficiente de

correlação negativo.

No entanto, estes métodos apenas permitem obter a resposta máxima de uma determinada

variável, e em muitas situações, nomeadamente a situação em estudo, o que se pretende é avaliar

a resposta em termos de duas ou mais variáveis simultaneamente.

27

Uma vez tratar-se de obter a resposta mais desfavorável em termos de três variáveis em

simultâneo a componente direccional dos respectivos esforços assume uma

importância primordial, sendo que ambas as combinações citadas, apresentam-se limitadas no

que diz respeito a essa capacidade, e consequentemente as suas mais-valias podem ser postas

em causa.

2.3 Combinação de Esforços

Ao tratar-se de uma estrutura tridimensional, cada secção de uma barra é actuada de esforço

Normal, momentos flectores segundo ( , e segundo ( ), momento torsor e esforços

transversos segundo e segundo , estando os eixos locais apresentados na Figura 2.5.

Figura 2.5 – Eixos locais de uma barra

A Figura 2.6 apresenta todos esses esforços a actuar numa barra com a respectiva nomenclatura

definida para os mesmos.

Figura 2.6 - Esforços actuantes numa barra

28

No entanto no estudo desenvolvido apenas se estuda a interacção entre o esforço normal e

momentos flectores segundo e segundo 2 nas secções extremas da barra, (3,4,5) ou (9,10,11)

uma vez que são normalmente estes três esforços que condicionam o dimensionamento da

estrutura.

Os esforços numa dada secção são calculados com recurso ao MEF Quando a estrutura é

excitada por uma determinada frequência, , como se apresenta no Capítulo 3.

E o estudo da sua interacção é efectuado através duma análise direccional dos esforços, tratando-

se de uma alternativa aos métodos correntemente utilizados.

29

Capítulo 3 - Métodos Numéricos

3.1 Método dos Elementos Finitos

3.1.1 Método dos Elementos Finitos aplicado a um pórtico

tridimensional.

3.1.1.1 Definição dos Referenciais

Para a aplicação do método dos elementos finitos, numa primeira instância são definidos os

referenciais. Pois num elemento de barra de eixo rectilíneo e de secção constante, a formulação

da matriz de rigidez contempla dois referenciais ortonormados: o global e o local

. No referencial geral encontram-se expressas as coordenadas de todos os nós que

serão utilizados para definir a posição das barras e o referencial local é definido pelo eixo do

elemento de barra ( ) e pelos eixos principais de inércia da secção transversal da barra ( ).

Figura 3.1 – Referencial Local e Geral do Elemento de Barra (Azevedo Á. , 2003)

Segundo (Azevedo Á. , 2003), a transformação de coordenadas entre os referenciais global e local

é efectuada através da seguinte expressão:

(3.1)

Em que traduz a matriz de transformação (3.2), as coordenadas de um ponto no referencial

global e as coordenadas do mesmo ponto no referencial local.

30

11 12 13

12 22 23

31 32 33

T T T

T T T T

T T T

(3.2)

3.1.1.2 Graus de Liberdade

Tendo definidos os referenciais, é necessário identificar os graus de liberdade na estrutura. Num

ponto do espaço pertencente a um corpo sujeito a deslocamentos e deformações, podem ser

considerados até seis graus de liberdade correspondendo a três translações e a três rotações.

1 1

2 2

3 3

1 4

2 5

3 6

d d

d d

d dd

d

d

d

(3.3)

Figura 3.2 – Graus de Liberdade no nó de um Elemento de Barra (Azevedo Á. , 2003)

No estudo do pórtico 3D são considerados os seis deslocamentos generalizados em cada ponto

nodal (do elemento ou da estrutura). E são consideradas seis forças generalizadas (3 momentos e

3 forças) de modo a corresponder aos seis deslocamentos.

31

Figura 3.3 – Forças Generalizadas que correspondem aos graus de liberdade (Azevedo Á. , 2003)

Na Figura 3.4 encontra-se representada um elemento de barra definido pelos nós e . Em cada

nó são considerados os seis graus de liberdade que correspondem aos seis deslocamentos

generalizados, obtendo 12 graus de liberdade do elemento.

Figura 3.4 – Graus de Liberdade e Respectivas Forças num elemento de Barra (Azevedo Á. , 2003)

Note-se que aos doze graus de liberdade do elemento, correspondem forças e momentos que

actuam nas extremidades da mesma.

3.1.1.3 Matriz de Rigidez Elementar

Ao cálculo da matriz de rigidez elementar de um pórtico espacial, expressa no referencial local

(Figura 3.1), estão associados algumas teorias que em norma são estudadas individualmente. São

aqui aplicadas a teoria das vigas de Euler-Bernoulli segundo duas direcções, a teoria de barras

treliçadas e ainda teoria de grelhas.

No entanto a matriz de rigidez elementar é obtida sempre da mesma forma (3.4) em que as

alterações correspondem a parâmetros que constituem as matrizes presentes no cálculo.

32

(3.4)

Em que de acordo com (Castro, 2009) a matriz , de uma forma mais geral, pode dizer-se que

contém as propriedades mecânicas do elemento finito que permitem caracterizar o comportamento

elástico linear do material estrutural e relacionar os campos de esforços com os campos de

deformações.

Que para o caso tridimensional assume a seguinte forma

1

2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 t

EI

EAD

EI

GI

(3.5)

Em que as variáveis aqui em questão são:

– Módulo de Young, constante em todos os pontos do elemento

– Área da secção transversal do elemento de barra, considerada constante

– Módulo de Distorção, também ele constante em todos os pontos

– Momento de Inércia da secção transversal do elemento de barra em relação ao eixo

– Momento de Inércia da secção transversal do elemento de barra em relação ao eixo

– Momento de Inércia de torção da secção transversal do elemento de barra

E é calculado através do produto do operador diferencial de compatibilidade , com a matriz das

funções de aproximação uma vez que

(3.6)

e

(3.7)

E sabendo que

(3.8)

Tem-se finalmente

33

(3.9)

Em que e para o pórtico 3D se encontram definidos respectivamente pelas seguintes

matrizes:

2

2

2

2

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

d

dx

d

dxA

d

dx

d

dx

(3.10)

2 4 8 10

3 9

1 5 7 11

6 12

0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0

0 0 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0

( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0

0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 ( )

x x x x

x x

x x x x

x x

(3.11)

Em que, segundo (Castro, 2009)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

Tendo tudo isto obtém-se por integração na barra, a matriz de rigidez elementar

34

2 2 2 2

3 2 3 2

1 1 1 2

3 2 3 2

1 1 1

2

2 2 2

2

( )

2 2

3 2

1 1

3 2

1

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

4 6 20 0 0 0 0 0

4 6 20 0 0 0 0

0 0 0 0 0

12 60 0 0 0

12 60 0 0

0 0 0

4. 0 0

t t

e

EI EI EI EI

L L L L

EI EI EI EI

L L L L

EA EA

L L

EI EI EI

L L L

EI EI EI

L L L

GI GI

L LK

EI EI

L L

EI EI

L L

EA

L

EIsim

L

240

t

EI

L

GI

L

(3.18)

3.1.1.4 Vector de Forças Nodais Equivalentes

O vector das forças nodais equivalentes, de acordo com (Freitas, 2009) é obtido da expressão

(3.19)

Em que corresponde às forças nodais equivalentes às forças de massa

(3.20)

Onde representa as forças de massa

representa as forças nodais equivalentes aplicadas na fronteira.

(3.21)

Onde corresponde às forças de fronteira

E trata-se das forças aplicadas directamente nos nós do elemento.

35

3.1.1.5 Transformação de Coordenadas

A transformação dos doze deslocamentos generalizados representados na Figura 3.4 é efectuada

através da relação (3.22) em que a matriz de transformação 3x3 (3.2) passa a ser uma matriz

12x12 como se verifica em (3.23).

(12 12)(12 1) (12 1)

gldd T

(3.22)

11 12 131

21 22 232

31 32 333

11 12 134

21 22 235

31 32 336

11 12 17

8

9

10

11

12

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

T T Ta

T T Ta

T T Ta

T T Ta

T T Ta

T T Ta

T T Ta

a

a

a

a

a

1

2

3

4

5

6

3 7

21 22 23 8

31 32 33 9

11 12 13 10

21 22 23 11

31 32 33 12

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

a

a

a

a

a

a

a

T T T a

T T T a

T T T a

T T T a

T T T a

(3.23)

Dispondo assim das matrizes de Rigidez no referencial local e das Forças Nodais

Equivalentes , estas relacionam-se através da equação:

(3.24)

Sendo o vector dos deslocamentos generalizados num elemento no referencial local.

As equações (3.22) e (3.23) também são válidas para o caso de forças generalizadas, tendo-se

também

(3.25)

Visto que a matriz de transformação é ortogonal, ou seja

36

(3.26)

Ao multiplicar ambos os termos da equação (3.25) por obtém-se:

(3.27)

Logo, ao substituir em (3.27) a equação (3.24), resulta:

(3.28)

E finalmente, substituindo a (3.22) nesta, chega-se a:

(3.29)

Sabendo que a relação de rigidez do elemento no referencial geral é

(3.30)

Verifica-se da sua comparação com (3.30) que a matriz de rigidez elementar de pórtico 3D no

referencial geral é dada por

(3.31)

3.1.1.6 Equação Resolvente

Segundo (Freitas, 2009), a solução aproximada em cada elemento está sujeita à condição de ser

cinematicamente admissível, sendo construída de maneira a satisfazer localmente a condição de

fronteira cinemática (3.32) da estrutura.

em (3.32)

E ainda, a condição equivalente entre elementos;

em (3.33)

Em que os índices e identificam dois elementos que partilham a fronteira interior .

37

Essa condição é imposta relacionando os deslocamentos nodais dos elementos, , com os

deslocamentos nodais da estrutura, , através de uma condição de incidência nodal:

(3.34)

As forças nodais equivalentes na estrutura definem as resultantes das contribuições das forças

nodais equivalentes geradas em cada elemento:

(3.35)

E são utilizadas para estabelecer a equação resolvente do problema:

(3.36)

Este sistema de equações define as condições de equilíbrio das forças nodais equivalentes,

impondo aproximadamente as condições de equilíbrio no domínio:

em (3.37)

e na fronteira estática

em (3.38)

ou as equações equivalentes (3.39) e (3.40)

em (3.39)

em (3.40)

estendidas de modo a incluírem as condições de equilíbrio (3.41) nas fronteiras entre elementos.

em (3.41)

3.1.2 Método dos Elementos Finitos para uma Análise Temporal

Numa análise dinâmica de estruturas, como se trata o caso em estudo, a formulação das

equações que regem os elementos finitos sofre alterações.

38

Comparativamente com uma análise estática, de acordo com (Ferreira, 2009) numa análise

dinâmica é necessário entrar em linha de conta com a influência da massa da barra e a acção

aplicada passa a ser dependente não só da coordenada longitudinal da barra como também do

tempo. Ou seja na equação (3.39) passa a ser contemplada a influência da massa da barra.

(3.42)

Em que

é a aceleração da barra que se apresenta multiplicada pela sua massa definida pelo

parâmetro , o produto da densidade da barra pela área da secção transversal, originando uma

força de inércia.

Falta apenas definir o campo de deslocamentos que permite resolver a equação diferencial

(3.42).

Para a determinação de valores próprios e vectores próprios, tratando-se das frequências próprias

e modos de vibração, o problema pode ser directamente resolvido a partir da equação (3.42),

considerando que a variável tempo do campo de deslocamentos é periódico e independente da

variável espacial , verificando-se que a solução assume a forma

(3.43)

Onde corresponde à frequência de excitação da barra, e representa a configuração

deformada da estrutura para um determinado valor de .

Substituindo (3.43) na solução homogénea representada por (3.42) obtém-se

(3.44)

Chega-se portanto à seguinte equação para um elemento finito.

(3.45)

A matriz de Rigidez elementar não sofre qualquer alteração comparada com a definida em

(3.18). Por sua vez para constantes ao longo do domínio do elemento finito deparamo-nos

com a seguinte matriz de massa consistente

39

2 2

2

2

2

156 0 0 0 22 0 54 0 0 0 13 0

156 0 22 0 0 0 54 0 13 0 0

140 0 0 0 0 0 70 0 0 0

4 0 0 0 13 0 3 0 0

4 0 13 0 0 0 22 0

0 0 0 0 0 0 0

156 0 0 0 22 0420

156 0 22 0 0

140 0 0 0

4 0 0

4 0

0

e e

e e

e e e

e e e

e e e e

e

e

e

e

L L

L L

L L L

L L L

S LM

L

L

sim L

L

(3.46)

Tendo isto é então necessário acoplar as equações de todos os elementos finitos, como descrito

anteriormente, para determinar a solução global do problema de modo a obter as frequências

próprias da estrutura e respectivos modos de vibração.

3.2 Método de Newmark

O método de Newmark (MN) assume uma forma de integração implícita que procura satisfazer a

equação diferencial no instante utilizando a solução do instante . Em cada instante a

integração é feita através de um conjunto de equações lineares. Recorreu-se a este método tal

como desenvolvido em (Santos, 2008), como ferramenta para validação não só pela facilidade de

processamento numérico, como também pela possibilidade de utilização de uma maior gama de

passos de integração .

Para uma variável , geralmente a série de Taylor permite obter as seguintes equações:

(3.47)

(3.48)

No entanto Newmark apenas considerou as três primeiras derivadas, tendo obtido:

(3.49)

(3.50)

40

Admitindo que a aceleração é linear no passo de integração:

(3.51)

Obtém-se

(3.52)

(3.53)

Tendo isto, para obter as expressões a utilizar no processamento numérico, basta reescrever a

equação fundamental da dinâmica.

(3.54)

Substituindo no conjunto de equações (3.52) e (3.53), a variável a integrar no tempo, verifica-se:

(3.55)

(3.56)

Substituindo as equações (3.55) e (3.56) na equação (3.54) obtém-se a o valor de aceleração no

instante , uma vez conhecidos os valores de deslocamento, velocidade e aceleração no

instante e ainda (conhecida a sua variação).

Obtido , recorre-se novamente às equações (3.55) e (3.56) para obter os valores da

velocidade e deslocamento , tendo assim os valores necessários a utilizar na próxima

iteração.

Na atribuição dos valores dos parâmetros e , tal como em (Santos, 2008) procurou-se utilizar

uma combinação estável, aplicando a regra dos trapézios. Recorreu-se a uma comparação entre

as equações (3.55) e (3.56) com as expressões obtidas da simplificação de Taylor tendo em conta

a aceleração média entre instantes:

(3.57)

(3.58)

Obtendo valores de e .

41

No entanto há várias combinações possíveis para estes parâmetros:

Método da Diferença Central, com e

Método da aceleração linear, com e

No entanto estes dois métodos apresentam-se condicionalmente estáveis, o que torna indesejável

a sua utilização.

De acordo com (Clough & Penzien, 1995) haveria ainda a hipótese de alterar o parâmetro mas

isso implicaria alterar o amortecimento relacionado com o algoritmo o que também não é

desejável.

No entanto, com valores de e , está-se perante um algoritmo estável para

qualquer passo de integração e não introduz amortecimento, ou seja, trata-se de um algoritmo

energeticamente conservativo para o caso de vibração em regime livre.

3.2.1 Geração do Sismo e a sua aplicação no MN

3.2.1.1 Geração do Sismo

Como já foi referido anteriormente, admite-se que as vibrações sísmicas podem ser representadas

por um processo estocástico, estacionário e gaussiano, com densidade espectral de potência

dada pela função .

De tal modo que, segundo (Guerreiro, 1997) para gerar um sismo é então possível gerar

acelerogramas através da sobreposição de séries harmónicas, recorrendo à seguinte expressão:

(3.59)

As amplitudes são definidas para que as acelerações representem o espectro de potências

pretendido. Para isso é necessário que:

(3.60)

Note-se que representa as frequências correspondentes a cada série harmónica considerada,

tendo definido um intervalo . Já corresponde à fase de cada série harmónica e que, com o

objectivo de originar imprevisibilidade à acção sísmica, é definida como uma variável aleatória

uniformemente distribuída no intervalo .

42

Recorre-se directamente à função de densidade espectral da acção sísmica considerada e

definindo um , são geradas séries de aceleração para a acção sísmica considerada com a

duração de 10 segundos.

A Acção Sísmica considerada neste caso é a acção sísmica do tipo I a actuar num solo de

fundação do tipo II, de acordo com o R.S.A,. cuja função de densidade de espectral se representa

na Figura 3.5.

Figura 3.5 – Espectro de Potências dada a ocorrência de um sismo do tipo I num solo do tipo II

Não se teve em conta com a evolução das amplitudes do acelerograma ao longo do tempo, uma

vez não se ter considerando uma envolvente do tipo beta nas séries geradas. Obtiveram-se assim

acelerogramas semelhantes ao da Figura 3.6.

43

Figura 3.6 – Acelerograma obtido duma acção sísmica do tipo I num solo de fundação do tipo II de acordo

com o R.S.A.

3.2.1.2 Aplicação no MN

Relembrando a equação (3.54), a introdução da acção sísmica no método numérico desenvolvido

é efectuada com a simples substituição da parcela pela força produzida pelo efeito do

produto da Massa da estrutura pela aceleração retirado do acelerograma obtido que define a

acção sísmica para o espectro de potências pretendido para cada , juntamente com a

introdução das equações (3.55) e (3.56) na mesma equação como já foi visto na descrição do

Método.

45

Capítulo 4 - Modelo Numérico – Implementação

para o caso tridimensional

Neste capítulo propõe-se uma generalização da técnica proposta por (Ferreira, 2009) utilizada

para o caso bidimensional na qual os esforços são obtidos através de uma análise direccional.

4.1 Combinação dos três esforços

Numa primeira etapa, pegando nos esforços obtidos do MEF, separando em parcela real e parcela

imaginária, obtém-se a sua norma. De seguida analisam-se os conjuntos de esforços no espaço

tridimensional, verificando a ocorrência de desfasamento nos vários pontos do espaço, traduzindo

a interacção. Obtém-se o conjunto de esforços para cada frequência definido por um vector que

traduz a soma direccional dos vectores de cada esforço, calculando posteriormente o conjunto de

esforços máximo somando os vectores associados a cada frequência.

4.1.1 Análise da Interacção .

Como já foi referido anteriormente, o estudo desenvolvido propõe uma análise direccional dos

esforços. Recorrendo ao MEF, quando a estrutura é excitada por uma dada frequência , para a

resposta em regime estacionário, os esforços obtidos numa dada secção s são:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Onde representa a parcela real, e a parcela imaginária dos respectivos esforços no domínio

dos números complexos para uma frequência de excitação .

Os valores obtidos dos esforços são variáveis ao longo do tempo como se pode verificar nas

equações (4.1), (4.2) e (4.3).

46

Uma vez que a fase de cada esforço é dada por:

(4.4)

E que a norma dos mesmos é definida pelas expressões:

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Podem-se redigir os esforços podem pelas expressões:

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Como tal, tratando-se de número complexos, , e são representados por

uma circunferência de raio , e .

47

A Figura 4.1 representa , no plano complexo dada uma frequência de excitação .

Figura 4.11 - Curva representativa, no plano complexo, de , dada uma frequência de excitação

Consequentemente, ao estudar a interacção entre os três esforços para uma frequência genérica

, torna-se possível determinar os valores dos esforços em causa para uma dada direcção no

espaço de interacção definido pelos ângulos e , conforme se explica à frente.

Pode-se portanto, para uma dada frequência de excitação, obter a envolvente de todos os

conjuntos de esforços numa secção ao longo do tempo em que decorre a acção.

Ao analisar a interacção entre os três esforços em função dos ângulos e , é de esperar que

seja definido uma superfície de interacção volumosa devido à existência de desfasamento entre as

respostas da estrutura expressas nos três esforços, numa dada secção . Se apenas se verificar

desfasamento nas respostas expressas em dois dos três esforços, a superfície de interacção

passa a tender para uma elipse, tratando-se do resultado que se verificou para o caso

bidimensional. E ainda na ausência de qualquer desfasamento, a resposta situa-se numa recta.

1 A Figura 4.1 representa , no plano complexo dada uma frequência de excitação , podendo

representar analogamente e cujos raios seriam e respectivamente.

48

4.1.2 Cálculo das superfícies de Interacção

Trabalhando as expressões dos esforços obtidos pelo MEF para uma dada secção s , ocorrendo

uma frequência genérica de excitação do pórtico , tem-se:

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Em que ao observar as equações

(4.11),

(4.12) e (4.13) verifica-se que os esforços podem ser obtidos tanto pela componente real como

pela componente imaginária das amplitudes dos esforços dadas por , e .

De tal modo, quando se estuda a interacção , o que se torna relevante é a análise

de parcelas iguais nos diversos esforços ou seja, somente a parte real ou somente a parte

imaginária.

Sendo assim definiu-se que a interacção dos vários esforços é dada pela parcela real do mesmos.

(4.14)

(4.15)

(4.16)

49

Pelo facto dos valores obtidos dos esforços se verificarem em função do tempo, os máximos dos

esforços podem não ocorrer em simultâneo, existindo a necessidade de definir estes valores para

as diversas direcções no espaço, as quais são definidas num sistema de coordenadas em

que mede a orientação no plano “ ” e a elevação, conforme representada na Figura

4.2.

Figura 4.2 – Sistema de coordenadas em que mede a orientação no plano “ ” e a elevação

A partir de tais direcções, obtêm-se os vários conjuntos de esforços .

São assim definidos e com o intuito de definir as várias direcções no espaço:

(4.17)

(4.18)

Sendo definidas da seguinte forma:

(4.19)

(4.20)

50

Ficam assim abrangidas todas as direcções para valores nos quatro octantes superiores do

espaço dos esforços.

Aplicando simples regras de simetria, obtêm-se os esforços máximos em todas as direcções nos

restantes octantes.

E reúnem-se assim as condições para calcular o conjunto de esforços na superfície de interacção

duma secção quando a estrutura é excitada por uma frequência genérica, segundo as

direcções e , recorrendo a um vector .

Onde:

(4.21)

Que definido pelas parcelas reais dos esforços fica:

(4.22)

Figura 4.3 – Definição de um conjunto de esforços numa dada superfície de interacção

Tal como reflecte a equação (4.22), o vector estabelece a projecção da soma dos vectores

dos esforços ,

e , sobre a recta definida pelos ângulos e , que passa na

origem do sistema de eixos que caracteriza o espaço de interacção .

51

Logo, para definir um conjunto de esforços, é necessário obter os vectores dos esforços que

produzem o maior vector projecção , para uma frequência de excitação . Para tal é

necessário determinar a partir do ângulo o instante em que o vector de projecção é

máximo, introduzindo-o posteriormente nas equações (4.14), (4.15) e (4.16).

A expressão matemática que traduz esse raciocínio é dada por:

(4.23)

ou seja,

(4.24)

Como a parte real e imaginária desta expressão têm de se anular, esta define um sistema de duas

equações, que são resolvidas em função de e , as componentes do versor

correspondente ao instante .

Conhecido o valor do ângulo e substituindo-o nas equações (4.14), (4.15) e (4.16) define-se

o conjunto de esforços correspondente, para a frequência de excitação

considerada.

Repetindo o processo para as diversas direcções definidas por e obtém-se a interacção

para a frequência em causa, que resulta numa superfície de interacção com algum

volume.

Por último, refazendo todo este processo para todas as frequências de excitação definidas

anteriormente, obtêm-se todas as curvas de interacção para o espectro de

frequências escolhido.

Há ainda que ter em linha de conta que todo este processo é desenvolvido, com a acção sísmica a

actuar apenas numa direcção. Ao repetir o processo para uma gama de direcções, visto ser

desconhecida a direcção de actuação da acção sísmica, a superfície de interacção ganha volume,

pois haverá direcções de actuação da acção sísmica em que existe mais desfasamento entre as

três respostas que outras.

52

4.1.3 Combinação das Curvas de Interacção

Obtidas as superfícies de interacção em todo o espectro de frequências, a questão

que se coloca é como combiná-las de modo a obter os conjuntos de esforços de

dimensionamento de uma secção .

Visto não existir qualquer relação de dependência entre as frequências analisadas, o vector

projecção que origina a máxima combinação possível de todas as frequências analisadas,

é dada pelo somatório dos vectores projecção de cada frequência analisada.

Assim sendo, calculados o máximo dos vectores para cada frequência discreta ,

determinam-se posteriormente os respectivos conjuntos de esforços , de tal modo que a

soma dos vários conjuntos origina o conjunto de esforços de combinação que

define o vector .

Repetindo o procedimento para todas as direcções definidas por e obtém-se por fim a

superfície de interacção de dimensionamento.

A definição da acção para cada frequência é feita a partir do espectro de potência de aceleração

do sismo, como se apresenta no próximo subcapítulo.

4.2 Definição da Acção Dinâmica

Para se processar o estudo dinâmico do pórtico é ainda necessário definir a acção.

Também aqui as técnicas utilizadas são as mesmas que as implementadas para o caso

bidimensional em (Ferreira, 2009). O objectivo é obter os valores esperados do máximo de cada

esforço partindo de uma função de densidade espectral de potência de aceleração definida para

uma acção sísmica.

4.2.1 Resposta da Estrutura

A resposta da estrutura é dada por um processo estocástico Gaussiano ergódico estacionário, de

modo que as funções densidade espectral dos conjuntos de esforços verificados nas secções da

estrutura são dadas por:

(4.25)

53

(4.26)

(4.27)

Em que os vectores , e

correspondem respectivamente aos vectores de ,

de e de que solicitam as secções da estrutura em função da frequência de excitação, que

foram calculados pelo MEF.

Note-se que tais vectores estão intimamente relacionados com as funções de receptância de cada

grau de liberdade da estrutura, uma vez que são calculados para uma aceleração unitária.

Assim sendo, na definição dos esforços que solicitam a estrutura devido a uma acção dinâmica,

deve-se multiplicar os esforços obtidos para uma aceleração unitária pela aceleração associada à

frequência de excitação da acção. Ora, sendo a acção dinâmica definida por uma função de

densidade espectral de potência de aceleração, , é possível determinar uma função de

densidade de esforços originados pela resposta da estrutura, tal como demonstrado nas equações

(4.25), (4.26) e (4.27).

Note que é uma função que define o quadrado do valor da aceleração por unidade de

frequência, logo ao se estabelecer uma função de densidades espectral de esforços, para as

diferentes secções da estrutura, os seus resultados para uma aceleração unitária também

apresentarão o seu valor quadrático, justificando-se assim a multiplicação pelos respectivos

conjugados nas respectivas equações (4.25), (4.26) e (4.27).

4.2.2 Calculo dos esforços devido à acção dinâmica

Ao restringir o cálculo da resposta para uma determinada secção , tem-se as seguintes funções

de densidade espectral:

(4.28)

(4.29)

(4.30)

54

Os resultados obtidos destas equações, para uma aceleração unitária apresentam o seu valor

quadrático. Por conseguinte a função de densidade espectral de resposta da estrutura define o

quadrado do valor da resposta por unidade de frequência da excitação, ou seja as equações

(4.28), (4.29) e (4.30) definem o quadrado do valor do esforço normal, o quadrado do momento

flector e o quadrado do momento flector numa determinada secção .

De tal modo, os valores esperados dos esforços , e numa determinada secção , são

obtidos através das respectivas expressões:

(4.31)

(4.32)

(4.33)

Querendo obter o valor máximo de cada esforço numa dada secção , procede-se à multiplicação

dos valores esperados dos esforços definidos anteriormente, por um valor constante definido

para cada esforço.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Tal constante tem em conta o número de passagens ascendentes ( ) pelo nível 0,

dependendo estas da frequência de excitação que solicita cada esforço, sendo obtido aplicando a

expressão:

(4.37)

Onde, de acordo com (Clough & Penzien, 1995) corresponde à constante de Euler apresentando

um valor igual a 0,5772, enquanto a parcela corresponde na prática ao número de passagens

pelo nível 0 como já foi referido.

55

De modo a obter o valor mais aproximado possível para cada esforço actuante devido à acção

sísmica, efectuou-se o cálculo analítico do parâmetro , que é posteriormente multiplicado pelo

tempo de duração da acção sísmica ( ).

(4.38)

De acordo com os mesmos autores, para obter e para cada esforço actuante, recorre-se à

expressão:

(4.39)

Ou seja:

(4.40)

(4.41)

(4.42)

e

(4.43)

(4.44)

(4.45)

Calculados todos estes parâmetros, facilmente são obtidos os valores de , e

.

No entanto para se obter a combinação de todas as interacções possíveis entre os esforços

calculados, efectua-se a integração das derivadas dos respectivos valores esperados dos

máximos de cada esforço em todo o espectro de frequências definido, obtendo-se a sua taxa de

crescimento em função da frequência de excitação .

A contribuição de cada frequência para a definição dos esforços de dimensionamento apresenta-

se na Figura 4.4, e expressa-se nos esforços da seguinte forma:

56

(4.46)

(4.47)

(4.48)

Figura 4.42 – Contribuição de uma frequência de excitação , para o Esforço Normal de dimensionamento

de uma secção , na ocorrência de um sismo

Ao somar a contribuição de cada frequência obtém-se o conjunto de esforços de

dimensionamento devido à acção sísmica.

(4.49)

(4.50)

(4.51)

2 A Figura 4.4 retrata a contribuição de uma frequência de excitação para o Esforço Normal de

dimensionamento de uma secção , no entanto poderia retratar uma frequência de excitação tanto para

como para de dimensionamento de uma secção

57

Para uma resposta harmónica, com uma frequência de excitação , numa determinada secção s,

os esforços, comparados com os esforços devido a uma aceleração unitária, apenas variam na

sua fase de modo que para cada frequência de excitação estabelecem-se as seguintes relações:

(4.52)

(4.53)

(4.54)

Os parâmetros ,

e correspondem às acelerações equivalentes que surgem na

base da estrutura quando esta é excitada por uma frequência , devido à acção sísmica, e que

provocam numa determinada secção s ,

e respectivamente,

definindo assim os esforços que caracterizam as superfícies de interacção.

(4.55)

(4.56)

(4.57)

59

Capítulo 5 - Casos de estudo

Neste capítulo estudaram-se dois exemplos concretos:

Uma estrutura porticada regular bissimétrica com um piso, e posteriormente com dois

pisos.

Uma estrutura irregular de um piso, com duas massas concentradas excentricas.

Obtiveram-se as superfícies de interacção de esforços e os valores máximos dos Esforços obtidos

da análise direccional de esforços, do MN e do método de sobreposição modal CQC.

5.1 Pórtico Regular

5.1.1 Definição de Modelo

Num primeiro Exemplo considerou-se um pórtico regular simétrico de Betão Armado com pilares

de 3,5 metros de altura e vigas com vão de 6 m. Tanto as vigas como os pilares apresentam uma

secção de 60x30 cm2. Os pilares apresentam-se orientados com a sua maior direcção segundo y

e as vigas segundo z..

O pórtico é assim definido em 8 “macro-nós”, que correspondem aos nós de ligação entre as

barras, e consequentemente por 8 “macro-barras”, tratando-se estas das vigas e pilares, como se

verifica na Figura 5.1.

60

Figura 5.1 – Pórtico Tridimensional de um piso

De modo a obter uma descritização razoável da estrutura optou-se por dividir cada “macro-barra”

em 10 barras (10 elementos finitos).

Cada “macro-nó” foi definido pelas suas coordenadas, pelas restrições aos deslocamentos que lhe

estão associados e pela sua massa. Considerou-se que os pilares se encontram encastrados ao

terreno, ou seja os “macro-nós” 1,2,3 e 4 apresentam todos os movimentos restringidos. Os

restantes “macro-nós” não apresentam qualquer restrição a nenhum dos 6 deslocamentos,

apresentando portanto os 6 graus de liberdade. Relativamente à massa, nenhum “macro-nó”

apresenta massa associada pelo facto desta estar distribuída pelas barras como se viu atrás (na

definição da matriz de massa).

As “macro-barras” foram definidas pela sua secção pelos “macro-nós” que as definem e ainda por

um vector auxiliar.

Cada secção foi definida pelas rigidezes de flexão nas duas direcções, rigidez axial, rigidez de

torção e pela sua massa. A única diferença na definição das secções das vigas, em relação aos

pilares, foi o facto de se ter acrescentado uma sobrecarga de 40 kN/m à sua massa.

O vector auxiliar permite definir a orientação da secção uma vez que este é definido de modo a

fazer a mudança de coordenadas do eixo global para o eixo local.

61

Definição dos eixos de uma barra

O eixo corresponde ao eixo da barra.

O eixo é definido pelo produto externo entre o vector auxiliar da barra com o eixo da barra (eixo

).

E finalmente o eixo é definido pelo produto externo do eixo com o eixo , definindo assim os

eixos locais de cada barra.

Figura 5.2 – Eixos Locais de uma Barra

5.1.2 Análise Modal

A realização da análise modal no âmbito deste trabalho tem o objectivo de transmitir uma noção

do comportamento da estrutura face à acção sísmica através da observação dos modos de

vibração da estrutura. A sua análise pode servir de apoio à interpretação dos esforços obtidos

posteriormente e consequentemente a interacção entre eles.

5.1.2.1 Programa em Matlab

Tendo definido o modelo, inclusive as matrizes de rigidez e massa da estrutura, são determinadas

todas as frequências próprias da estrutura das quais apenas se deu importância às primeiras 12

(Tabela 5.1), tendo obtido ainda os respectivos modos de vibração da estrutura (Figura 5.3).

62

Tabela 5.1 – Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do Programa em Matlab

Modo Período (s) Frequência (Hz)

1 0,348 2,877

2 0,251 3,989

3 0,221 4,516

4 0,195 5,131

5 0,159 6,308

6 0,109 9,135

7 0,106 9,410

8 0,102 9,844

9 0,096 10,383

10 0,090 11,109

11 0,075 13,333

12 0,074 13,585

Figura 5.3 - Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do Programa em Matlab

5.1.2.2 Programa em SAP2000

A análise modal recorrendo ao SAP2000 foi efectuada com o intuito de validação do modelo já

definido anteriormente. Na Tabela 5.2 pode-se observar os valores das primeiras 12 frequências

da estrutura obtidas pelo SAP2000 e a Figura 5.4 os respectivos modos de vibração.

63

Tabela 5.2 - Primeiras Frequências Próprias da Estrutura obtidas através do SAP2000

Modo Período (s) Frequência

(Hz)

1 0,348 2,871

2 0,253 3,957

3 0,223 4,485

4 0,205 4,878

5 0,160 6,251

6 0,112 8,935

7 0,106 9,399

8 0,104 9,656

9 0,096 10,367

10 0,092 10,882

11 0,075 13,284

12 0,074 13,452

Figura 5.4 – Frequências Próprias e respectivos modos de Vibração obtidos através do SAP2000

Verifica-se que os valores das primeiras 12 frequências da estrutura, obtidos pelo SAP2000, são

semelhantes aos valores obtidos correndo o programa executado no Matlab. Também os modos

de vibração são na sua quase totalidade idênticos, sendo desprezáveis as diferenças verificadas.

Admitindo que a comparação com o SAP2000 é suficiente, conclui-se que o modelo de partida

para uma posterior análise de esforços e sua interacção é válido.

64

5.1.3 Resposta para uma Direcção fixa

5.1.3.1 Interacção de Esforços Resultante da Modelação da Acção

Sísmica a actuar na Estrutura

Tendo o método numérico definido, procedeu-se à sua aplicação a alguns casos práticos,

nomeadamente a uma estrutura porticada simples bissimétrica (Figura 5.1).

Estudou-se o efeito na estrutura devido à ocorrência de uma acção sísmica do tipo I, considerando

um solo de fundação da estrutura tipo II, segundo o R.S.A.

Numa primeira etapa estudou-se os efeitos da acção numa única direcção, tendo sido estudado as

várias direcções apresentadas na Figura 5.5.

Figura 5.5 – Direcções de actuação da acção sísmica estudadas

Posteriormente estudou-se o efeito na estrutura devido à ocorrência da mesma acção a actuar em

qualquer direcção.

A análise do efeito da acção sísmica na estrutura recaiu nos esforços actuantes na base do pilar

da estrutura porticada em causa.

5.1.3.1.1 Caracterização da acção Dinâmica

A acção sísmica definida no método numérico é caracterizada por uma função de densidade

espectral de potência do sismo já referido, disponível no R.S.A como se encontra representada na

Figura 3.5.

.

5.1.3.1.2 Relação entre o Valor Máximo Esperado e o Valor Esperado da Resposta da

Estrutura, dado um Sismo

Como se pode verificar em 4.1 e 4.2 os cálculos são efectuados considerando os valores máximos

esperados, podendo ser calculado a partir do seu valor esperado como demonstra a equação

65

(2.47). Esse valor pode ser obtido através do gráfico representado na Figura 2.4 que traduz a

expressão (2.48) em que o parâmetro é obtido através das expressões descritas em 4.2.2.

Uma vez conhecida a resposta da estrutura ao longo do tempo, torna-se possível determinar quais

os valores de , e

que são considerados na determinação do valor esperado dos

esforços na base do pilar em estudo, dada a resposta da estrutura.

Note-se que o parâmetro , como já referido, representa o número de valores ascendentes do

nível “0” o que implica que, sabendo o andamento dos esforços em função do tempo, é possível

determinar directamente o seu valor.

Após a obtenção de tanto por uma análise recorrendo à metodologia apresentada em 4.2.2 ou

pela observação do andamento dos esforços, através do gráfico regido pela expressão (2.48)

obtém-se os seguintes valores de .

Tabela 5.3 – Valores obtidos de , e

para as direcções de actuação do sismo em estudo

Direcção de actuação do sismo

0° 2,814 2,838 2,814

30° 2,854 2,965 2,814

45° 2,893 2,965 2,814

60° 2,929 2,965 2,814

90° 2,964 2,965 3,084

Posteriormente, determina-se o valor máximo esperado das funções de densidade espectral dos

três esforços em questão, como se viu nas expressões (4.34), (4.35) e (4.36). Sendo assim é

possível prosseguir com os cálculos e determinar as superfícies de interacção , para

cada frequência de excitação e por conseguinte, a superfície de interacção de

dimensionamento para a secção de estudo, tendo em consideração a possibilidade de actuação

da acção sísmica em qualquer direcção.

5.1.3.1.3 Determinação das Curvas de Interacção

Tendo em conta o método descrito no ponto 4.1 e as especificidades definidas em 4.2,

determinam-se as superfícies de interacção para as frequências de excitação ,

analisadas.

Sabendo que a superfície de interacção é tanto mais precisa quanto maior for o número de

direcções no espaço definidas no processo de cálculo, considerou-se como razoável

o seguinte conjunto de direcções nos dois planos:

66

Sendo que as direcções e são dadas pelas equações (4.19) e (4.20).

Todo o processo de cálculo da superfície de interacção decorre tal como definido em

4.1.3.

5.1.3.1.4 Combinação das Diferentes Curvas de Interacção

Finalmente estabelece-se a combinação das diferentes superfícies de interacção para a

frequência , a fim de determinar a superfície final para efeitos de dimensionamento. O processo

numérico está descrito em 4.1.3.

Na definição da superfície final de dimensionamento, é mais uma vez necessário ter em conta a

possibilidade de actuação da acção sísmica na estrutura em qualquer direcção.

5.1.3.1.5 Resultados

Tendo o modelo numérico implementado que descreve a análise direccional de esforços definido,

executou-se o mesmo para a acção sísmica a actuar na estrutura somente numa direcção com o

intuito de analisar os esforços actuantes e a sua interacção no pilar do pórtico. Foi-se alterando a

direcção de actuação da acção sísmica, analisando novamente os resultados.

As direcções de actuação da acção sísmica para a análise foram 0˚, 30˚, 45˚, 60˚ e 90˚.

Verifica-se suficiente analisar os esforços para direcções entre os 0˚ e 90˚ pois qualquer direcção

da acção sísmica entre e 90˚ e 360˚, solicita o mesmo pilar de forma semelhante. E as direcções

descritas acima também são suficientes para análise da evolução dos esforços com a alteração da

direcção de actuação da acção sísmica.

67

Acção sísmica a actuar a 0˚

Para a acção sísmica a actuar a 0˚ da direcção x, obtém-se a seguinte superfície de interacção de

esforços.


Newtons.metro]

Apresentando-se de seguida os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo:

Tabela 5.4 – Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0˚

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm] [kNm]

-67,51 0,40 -236,67 67,51 -0,40 236,67

67,51 -0,40 236,67 -67,51 0,40 -236,67

Verifica-se apenas que o esforço Normal e Momento flector apresentam valores significativos,

de modo que apenas entre estes dois esforços poderia haver interacção, no entanto analisando a

Figura 5.6 não se verifica qualquer desfasamento no espaço de soluções , uma vez que

a superfície de interacção se aproxima a uma recta.

68


A Figura 5.7 apresenta a superfície de interacção de esforços para a acção sísmica a actuar a 30˚

da direcção x.


Newtons.metro]

A Tabela 5.5 apresenta os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo:

Tabela 5.5 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 30˚

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN] [kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm] [kNm]

-66,76 132,96 -202,84 -40,94 155,24 -93,84 61,49 10,81 204,96

66,77 -128,44 203,25 40,94 -155,24 93,84 -61,49 -10,81 -204,96

Neste caso já se verifica solicitação do pilar pelos três esforços de forma considerável. Ao analisar

a Figura 5.7 verifica-se grande interacção e e alguma interacção .

69


A interacção de esforços para a acção sísmica a actuar a 45˚ da direcção x pode ser observada na

Figura 5.8.


Newtons.metro]

Apresentam-se na Tabela 5.6 os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo:


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN] [kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm] [kNm]

-65,77 195,55 -164,74 -46,99 219,55 -75,99 52,18 14,91 167,35

65,79 -195,46 164,52 46,99 -219,55 75,99 -52,18 -14,91 -167,35

Continua-se a verificar uma grande interacção entre os pares de esforços , e um

aumento visível da interacção comparando com a acção sísmica a actuar segundo 30°.

70


A Figura 5.9 apresenta a superfície de interacção para a acção sísmica a actuar a 60˚ da direcção

x.


Newtons.metro]

Os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo apresentam-se na Tabela 5.7.


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN] [kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm] [kNm]

-64,55 252,89 -114,23 -53,70 268,89 -53,49 37,83 17,19 118,33

64,58 -251,15 114,32 53,70 -268,89 53,49 -37,83 -17,19 -118,33

Com a acção sísmica a actuar a 60° da direcção x, em que o momento assume valores muito

superiores ao momento , verifica-se uma grande interacção entre os três pares de esforços

, e .

Note-se que a situação mais gravosa com a acção sísmica a actuar a 30˚, 45˚ e 60˚ da direcção x

se verifica quando o Esforço Normal é máximo.

71


A Figura 5.10 apresenta a superfície de interacção para a acção sísmica a actuar segundo y.

Figura 5.10 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar segundo y [Newtons e

Newtons.metro]

A Tabela 5.8 apresenta os valores dos conjuntos de esforços em que cada esforço é máximo.

Tabela 5.8 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica segundo y

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN] [kNm]

[kNm]

63,07 -310,49 0,24 -63,07 310,49 -0,24

-63,07 310,49 -0,24 63,07 -310,49 0,24

De forma semelhante à acção sísmica a ocorrer na direcção segundo x (0°), a acção, perante a

acção sísmica segundo a direcção y verifica-se apenas dois esforços: Esforço Normal e Momento

flector . E também aqui não se verifica qualquer interacção entre os dois esforços uma vez que

a superfície de interacção se aproxima a uma recta como se pode observar na Figura 5.10.

72

5.1.3.2 Resultados obtidos da Simulação através do MN

5.1.3.2.1 Estudo Estatístico do Número de Amostras viável

Para fins de comparação dos resultados obtidos da análise direccional de esforços, recorreu-se ao

MN gerando sismos aleatórios e avaliando os seus resultados.

Para isso foi necessário fazer um estudo estatístico dos resultados obtidos pelo MN com

diferentes dimensões de amostragem.

Executou-se o programa de simulação para um sismo a actuar numa direcção escolhida ao acaso,

tendo sido de 45°. Foram feitos testes para amostras3 com 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000

e 2000 sismos.

Como o que se pretende é estimar a média do máximo, as tabelas pretendem demonstrar o

número de amostras que é necessário para obter com elevada probabilidade, uma boa estimativa

dessa média.

As tabelas e gráficos seguintes demonstram assim a variação de resultados com o aumento do

tamanho da amostra.

Esforço Normal

Tabela 5.9 – Valores do Esforço Normal obtidos através da Simulação, variando o número de amostras

Número de Amostras Valor Mínimo [kN] Valor Máximo [kN] Valor Médio [kN] Desvio Padrão

200 Amostras com 1 sismo 38,16 96,78 64,44 11,63

200 Amostras com 2 sismos 46,46 96,59 63,86 7,26










3 Uma amostra com n sismos corresponde a efectuar uma média dos valores obtidos dos n sismos. Ou seja

quando nas tabelas aparece “200 amostras com 100 sismos” significa que os resultados dessa linha provêm das 200 médias dos máximos dos valores obtidos em 100 sismos

73

Gráfico 5.1 – Variação dos Valores de Esforço Normal com o aumento do número de amostras

Momento Flector

Tabela 5.10 - Valores do Momento Flector M1 obtidos através da Simulação, variando o número de amostras

Número de Amostras Valor Mínimo

[kNm] Valor Máximo

[kNm] Valor Médio

[kNm] Desvio Padrão












0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

1 10 100 1000

Valores Mínimos de N [kN]

Valores Máximos de N [kN]

Valores Médios de N [kN]

74

Gráfico 5.2 - Variação dos Valores de Momento Flector com o aumento do número de amostras

Momento Flector

Tabela 5.11 - Valores do Momento Flector M2 obtidos através da Simulação, variando o número de amostras

Número de Amostras Valor Mínimo

[kNm] Valor Máximo

[kNm] Valor Médio

[kNm] Desvio Padrão












0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

1 10 100 1000

Valores Mínimos de M1 [kNm]

Valores Máximos de M1 [kNm]

Valores Médios de M1 [kNm]

75

Gráfico 5.3 - Variação dos Valores de Momento Flector com o aumento do número de amostras

Da análise das tabelas e dos gráficos verifica-se que uma amostra com 500 sismos apresenta

valores com elevado grau de confiança. Logo os resultados da Simulação pelo MN serão obtidos

calculando a média dos resultados da simulação com 500 sismos.

5.1.3.2.2 Resultados da Simulação

Recorreu-se ao MN com o objectivo de obter os esforços através da simulação de uma acção

sísmica “real” tendo em conta o seu espectro de potências de aceleração.

Os esforços que se obtêm da aplicação do método são os valores máximos devido a cada

amostra. O estudo estatístico efectuado anteriormente apurou que a simulação com 500 sismos

traria valores confiáveis. Sendo assim os esforços obtidos por este método serão então a média

dos máximos dos 500 sismos que servirão de comparação com os valores máximos dos esforços

obtidos através da análise direccional de esforços.

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

1 10 100 1000

Valores Mínimos de M2 [kNm]

Valores Máximos de M2 [kNm]

Valores Médios de M2 [kNm]

76

A Tabela 5.12 apresenta o conjunto de esforços máximos devido à acção sísmica a actuar em

cada umas das direcções estudas.

Tabela 5.12 – Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN


0˚ 59,59 - 208,92

30˚ 64,40 141,99 185,04

45˚ 63,81 201,64 147,88

60˚ 62,42 246,52 102,23

90˚ 57,83 284,62 -

5.1.3.3 Resultados obtidos do método CQC (SAP2000)

Tal como serviu de validação do modelo, também aqui se aplicou o SAP2000 para obtenção dos

esforços, de modo a ter mais um elemento de comparação.

Para tal recorreu-se directamente ao espectro de resposta definido no R.S.A que defina a acção o

mais aproximadamente possível da acção definida nos métodos anteriores.

O método de sobreposição modal que induzido no programa foi o CQC, sendo este o que melhor

traduz a influencia da correlação entre frequências próprias de excitação no processo de cálculo.

Na análise dos esforços para uma direcção fixa teve-se o cuidado de seguir a sugestão da

Eurocódigo 8, Parte 1.1 que preconiza que a resposta em termos de esforços deve-se à

combinação das duas componentes horizontais da acção sísmica, o que não se verifica nos outros

métodos, e poderão ser calculados utilizando a combinação (5.1) no SAP2000 na definição da

acção sísmica.

(5.1)

Em que aqui representa o efeito da acção sísmica na sua direcção de actuação e o

efeito da acção na sua direcção ortogonal.

77

A Tabela 5.13 apresenta assim os esforços obtidos devido à acção sísmica a actuar nas direcções

estudadas.

Tabela 5.13 – Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000


0˚ 62,75 67,75 171,88

30˚ 62,82 171,83 174,58

45˚ 62,36 206,67 157,95

60˚ 61,69 228,42 130,56

90˚ 60,39 224,91 51,76

5.1.4 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção

desconhecida

Tendo feito uma análise da interacção dos esforços actuantes na base de um pilar da estrutura,

para a acção sísmica a actuar numa direcção específica, procede-se agora à análise da interacção

dos esforços actuantes perante a acção sísmica a actuar sobre qualquer direcção, de modo a

obter assim a superfície de interacção de dimensionamento uma vez que, na

ocorrência do sismo, a sua direcção de actuação é desconhecida.

Correu-se o programa com um intervalo de direcções definido de 0° a 90° da direcção x, variando

a direcção com intervalos de 10° e efectuou-se a sobreposição das projecções para as várias

direcções.

Como já foi explicado anteriormente não tem qualquer incremento de informação actuar o sismo

numa direcção fora do intervalo referido.

Nesta análise a obtenção de valores máximos de esforços não tem qualquer tipo de interesse,

pois esses são obtidos quando o sismo actua com direcção coincidente às direcções principais de

inércia da secção do pilar. O objectivo desta análise é a obtenção da superfície de interacção dos

esforços global para a acção sísmica a actuar em qualquer direcção.

78

As Figuras 5.11, 5.12 e 5.13 apresentam as superfícies de interacção dos pares de esforços

, e respectivamente e a Figura 5.14 a superfície de interacção

, para a acção sísmica actuar em qualquer direcção.

Figura 5.11 – Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e

Newtons.metro]

Figura 5.12 – Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção [Newtons e

Newtons.metro]

79


[Newtons.metro]

Figura 5.14 - Superfície de interacção de esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção

[Newtons e Newtons.metro]

Efectuando a simulação através do MN ou os métodos de sobreposição modal aplicados através

do SAP2000, os resultados que valem a pena considerar são apenas os máximos, o que daria

80

origem a superfícies de interacção superfícies paralelepipédicas, perdendo-se a informação

pretendida nesta análise.

5.1.5 Adição de um piso

Num segundo exemplo foi acrescentando um piso ao exemplo anterior mantendo todas definições

do exemplo anterior. Foram acrescentadas 4 macro-nós e 8 macro-barras (4 vigas e 4 pilares)

com a mesma descretização adoptada para o exemplo anterior.

Figura 5.15 – Pórtico Tridimensional Regular com dois pisos

Tal como para o primeiro exemplo, também aqui se achou relevante efectuar uma análise modal

de modo a servir de apoio à interpretação dos resultados obtidos posteriormente e

consequentemente a interacção entre eles.

Tendo definido o modelo, são determinadas as frequências da estrutura das quais, também aqui,

apenas se deu importância às primeiras 12 (Tabela 5.14), tendo obtido ainda os respectivos

modos de vibração da estrutura (Figura 5.16).

81

Tabela 5.14 - Primeiras Frequências Próprias do Pórtico de 2 Pisos obtidas através do Matlab

Modo Frequência [Hz] Período [s]

1 1,649 0,606

2 2,457 0,407

3 2,475 0,404

4 3,613 0,277

5 4,463 0,224

6 4,475 0,223

7 5,653 0,177

8 6,048 0,165

9 6,296 0,159

10 8,411 0,119

11 8,555 0,117

12 9,399 0,106

Figura 5.16 – Primeiros modos de Vibração do Pórtico de 2 pisos obtidos através do programa em Matlab

5.1.5.1 Resposta para uma Direcção fixa

Para este caso, todo o método numérico é semelhante.

A acção sísmica é mesma e caracterizada exactamente da mesma forma.

O estudo foi feito para as mesmas direcções que o primeiro exemplo, tendo sido estudada

também a acção para uma direcção aleatória.

82

A secção da qual são obtidos os esforços também se mantém.

A determinação do valor esperado dos esforços da secção em causa, foi efectuada exactamente

da mesma forma.

Posteriormente a isto, determina-se o valor máximo esperado das funções de densidade espectral

dos três esforços em questão, reunindo as condições para obter as superfícies de interacção

.

Também a sua determinação é feita de forma análoga ao que foi feito para o primeiro exemplo,

mantendo as mesmas direcções no espaço assim como a combinação das várias

superfícies de modo a obter a superfície de interacção de dimensionamento.

Tendo agora definido desta feita um pórtico de dois pisos com características semelhantes ao

caso anterior, efectuou-se o estudo dos esforços para as direcções de actuação da acção sísmica

estudadas para o primeiro exemplo 0˚, 30˚, 45˚, 60˚ e 90˚.

83


A Figura 5.17 apresenta a superfície de interacção de esforços para a acção sísmica a actuar

segundo a direcção x.

Figura 5.17 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0˚ no Pórtico de 2 pisos



Tabela 5.15 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0˚ no pórtico de 2 pisos

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm] [kNm]

204,97 -0,20 312,06 203,76 -0,24 315,16

-204,97 0,20 -312,19 -203,76 0,24 -315,16

Tal como se verificou no primeiro exemplo, no pórtico com apenas um piso, também aqui se

verifica muito pouca interacção entre o par de esforços .

84


Observa-se na Figura 5.18 a superfície de interacção de esforços para a acção sísmica a actuar

30˚ da direcção x.

Figura 5.18 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 30˚ no pórtico de 2 pisos


As tabelas que se seguem apresentam os valores dos esforços em que cada um dos esforços é

máximo:


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN] [kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm] [kNm]

215,22 -197,88 268,38 -133,06 242,84 -122,34 190,46 17,41 272,93

-215,02 205,87 -268,92 133,06 -242,84 122,34 -190,46 -17,41 -272,93

Ao analisar a Figura 5.18 verifica-se de forma análoga ao exemplo do pórtico com apenas um

piso, grande interacção e e uma interacção inferior.

85


A Figura 5.19 apresenta a interacção de esforços para a acção sísmica a actuar a 45˚ da direcção

x.



As tabelas que se seguem indicam os valores dos esforços em que cada um dos esforços é

máximo:


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN] [kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm] [kNm]

223,81 -303,04 217,21 -164,67 343,44 -99,60 163,34 24,39 222,85

-223,66 304,82 -218,08 164,67 -343,44 99,60 -163,34 -24,39 -222,85

Tendo a acção sísmica a actuar a 45° da direcção segundo x, continua-se a verificar uma grande

interacção entre os pares de esforços , e um aumento visível da interacção

de forma semelhante ao exemplo do pórtico com um piso.

86


A Figura 5.20 apresenta a superfície de interacção de esforços para a acção a actuar a 60˚ da

direcção x.



De seguida apresenta-se a tabela com os valores dos esforços em que cada um dos esforços é

máximo:


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN] [kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm] [kNm]

231,36 -390,70 150,65 -197,45 420,63 -70,31 117,70 29,22 157,58

-231,22 386,70 -152,43 197,45 -420,63 70,31 -117,70 -29,22 -157,58

Com a acção sísmica a actuar a 60° da direcção segundo x, verifica-se uma grande interacção

entre os três pares de esforços , e .

Note-se que, analogamente ao que se verificou para o exemplo do pórtico de um piso, a situação

mais gravosa com a acção sísmica a actuar segundo 30°, 45° e 60° da direcção x se verifica

quando o Esforço Normal é máximo.

87


Finalmente apresenta-se na Figura 5.21 a superfície de interacção para a acção sísmica a actuar

segundo y.



E na tabela seguinte estão indicados os valores dos esforços em que cada um dos esforços é

máximo:


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN] [kNm]

[kNm]

237,65 -484,10 0,13 237,63 485,70 0,12

-237,52 485,69 -0,12 -237,56 -485,70 -0,12

Perante a acção sísmica segundo a direcção y, a interacção entre os dois esforços existentes

é muito reduzida uma vez que a superfície de interacção se aproxima a uma recta como se

pode observar na Figura 5.21.

88

5.1.5.2 Resultados obtidos da Simulação através do MN

Também para este exemplo se recorreu ao MN como ferramenta de comparação dos resultados

obtidos pela análise direccional de esforços.

A acção sísmica foi simulada da mesma forma que foi feita a simulação para o primeiro exemplo.

Tendo em conta o estudo estatístico realizado para o primeiro exemplo, a simulação foi feita

novamente para as 500 amostras.

A Tabela 5.20 apresenta o conjunto de esforços máximos devido à acção sísmica a actuar em

cada umas das direcções estudas agora num pórtico de dois pisos.

Tabela 5.20 - Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o pórtico de 2 pisos


0˚ 173,56 - 265,85

30˚ 202,10 211,40 231,66

45˚ 208,76 297,37 187,04

60˚ 215,81 367,32 134,92

90˚ 206,70 421,70 -


Recorrendo ao SAP2000 aplicando a combinação modal CQC, também se determinaram os

esforços na base do pilar para o pórtico como dois pisos.

Os resultados obtidos apresentam-se na Tabela 5.21

Tabela 5.21 - Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000


0˚ 203,04 105,66 234,05

30˚ 209,59 267,12 237,78

45˚ 213,40 323,16 215,13

60˚ 216,26 357,19 177,82

90˚ 216,95 351,61 70,30

89

5.1.5.4 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção desconhecida

Tal como para o exemplo do pórtico com apenas um piso, também neste exemplo se determinou a

superfície de interacção dos três esforços na base do pilar para qualquer direcção de actuação da

acção sísmica, ou seja a superfície de interacção de dimensionamento.

Correu-se o programa com as indicações já referidas no primeiro exemplo.

As Figuras 5.22, 5.23 e 5.24 apresentam as superfícies de interacção dos pares de esforços

, e respectivamente e a Figura 5.25 a superfície de interacção

, para a acção sísmica actuar em qualquer direcção.

Figura 5.22 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico de

2 pisos [Newtons e Newtons.metro]

90

Figura 5.23 - Interacção do par de Esforços para o sismo a actuar em qualquer direcção no pórtico

de 2 pisos [Newtons e Newtons.metro]


de 2 pisos [Newtons.metro]

91

Figura 5.25 - Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico de 2 pisos


5.2 Pórtico Irregular

Num terceiro exemplo, o objectivo foi fugir à regularidade que os exemplos anteriores

apresentavam e estudar os esforços actuantes na mesma secção e a sua interacção assim como

se viu para exemplos anteriores.

Para tal concebeu-se uma estrutura a partir do primeiro exemplo, mas que apresentasse as

primeiras frequências próprias bastante próximas.

A estrutura resultante consiste então dum pórtico de um piso com dois dos pilares, que se

encontram contidos no eixo y, com as direcções principais de inércia trocadas em relação ao

primeiro exemplo e ainda com massas concentradas de 25 kN nos outros dois pilares ao nível do

primeiro piso, tal como apresenta a Figura 5.26.

92

Figura 5.26 – Pórtico simétrico com os pilares a apresentar diferentes direcções principais de Inércia e

algumas massas concentradas

Como referido, esta estrutura apresenta as primeiras frequências próprias bastante próximas

como se pode concluir a partir da Figura 5.27.

Figura 5.27 – Frequências próprias e respectivos modos de vibração do pórtico irregular

93

5.2.1 Resposta para uma Direcção fixa

5.2.1.1 Projecção em e

O estudo dos esforços e sua interacção nesta estrutura, através de uma análise direccional, para

uma direcção fixa, é feito de forma análoga ao que foi feito para os outros exemplos, ou seja,

manteve-se a acção e repetiu-se todo o processo de cálculo da determinação das superfícies de

interacção e sua combinação.

Na análise de resultados, apenas houve alterações nas direcções de actuação do sismo que se

verificou necessário considerar. Nesta estrutura, pelo facto de não apresentar bissimetria, não é

suficiente uma análise com a acção sísmica a actuar apenas de 0° a 90° como se verificou nos

exemplos anteriores. Achou-se então necessário acrescentar direcções de actuação do sismo

contidas entre os 90° e os 180° sendo esta última segundo x tal como 0°.

94

Acção Sísmica a 0°

A Figura 5.28 apresenta a interacção de esforços com a acção sísmica a actuar a 0°.

Figura 5.28 - Superfície de Interacção para a acção sísmica a actuar a 0˚ no Pórtico Irregular


Na Tabela 5.22 apresentam-se os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo.

Note-se que foi desprezado, pois este é aproximadamente nulo.

Tabela 5.22 - Valores limites dos Esforços para a actuação da acção sísmica a 0˚ no Pórtico Irregular

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

81,16 -610,66 - -81,08 610,84 -

-81,16 610,81 - 81,08 -610,84 -

Note-se que neste exemplo, com a acção sísmica a actuar a 0°, é agora o momento flector que

se aproxima a 0, uma vez que foram trocadas as direcções principais de inércia do pilar no qual

estão a ser avaliados os esforços.

Observando os dois esforços presentes na secção do pilar, verifica-se muito pouca interacção

entre o par de esforços como se pode analisar na Figura 5.28.

95


A Figura 5.29 apresenta a interacção de esforços para um sismo a actuar segundo 30° da

direcção x.





[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

102,50 -500,54 -140,41 -99,95 514,43 125,27 -95,63 416,17 149,55

-102,46 498,73 141,38 99,95 -514,43 -125,27 95,63 -416,17 -149,55

Da análise da Figura 5.30 verifica-se que, com o sismo a actuar a 30°, verifica-se alguma

interacção de esforços entre os três pares de esforços , e .

96


Apresenta-se na Figura 5.30 a interacção entre os vários esforços para um sismo a actuar a 45°

da direcção x.



Os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo apresentam-se na Tabela 5.24.


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

104,93 -391,88 -203,04 -99,55 415,81 173,35 -100,47 326,25 211,43

-104,90 390,38 203,93 99,55 -415,81 -173,35 100,47 -326,25 -211,43

Da observação da Figura 5.30 verifica-se alguma interacção entre os três pares de esforços,

semelhante ao que se verificou para o sismo a actuar a 30°.

97


A Figura 5.31 apresenta a interacção de esforços com a acção sísmica a actuar a 60°.



Na Tabela 5.25 estão descritos os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo:


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

101,33 -262,27 -252,85 -91,51 295,43 203,36 -98,82 215,51 258,91

-101,30 262,34 253,20 91,51 -295,43 -203,36 98,82 -215,51 -258,91

Da análise na Figura 5.31 verifica-se interacção dos três pares de esforços, com maior realce para

o aumento de interacção em relação às direcções de actuação do sismo analisadas

anteriormente, que se justifica pelo aumento de em detrimento de .

98


A Figura 5.32 expõe a interacção de esforços para a acção sísmica a actuar segundo y.



A Tabela 5.26 expõe os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo:


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

78,22 22,83 -297,47 73,05 134,78 -291,83 -77,73 -63,95 298,89

-78,16 -9,60 296,25 -73,05 -134,78 291,83 77,73 63,95 -298,89

Aqui, ao contrário dos exemplos anteriores verifica-se interacção entre os três pares de esforços

para acção sísmica a actuar a 90˚, dando destaque aos que envolvem , que apesar da acção

sísmica actuar sobre a direcção principal de inércia do pilar, verificam-se esforços consideráveis

de , fazendo com que haja interacção com os outros esforços.

99


A Figura 5.33 apresenta a interacção de esforços para uma acção sísmica actuante a 120°.



Na Tabela 5.27 estão expostos os valores dos esforços em que cada um dos esforços é máximo:


[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

46,90 169,30 -231,89 25,53 356,31 -229,94 -42,28 -306,03 258,78

-46,78 -156,98 229,22 -25,53 -356,31 229,94 42,28 306,03 -258,78

Para o sismo a actuar a 120° nota-se uma redução dos valores de , no entanto verifica-se

interacção dos três pares de esforços.

100


Na Figura 5.34 está apresentada a interacção de esforços para uma acção sísmica para o sismo a

135°.





[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

40,68 -164,41 -50,62 -5,50 467,65 -184,84 -17,74 -401,53 211,25

-40,37 174,07 49,42 5,50 -467,65 184,84 17,74 401,53 -211,25

Em relação ao sismo a actuar a 120°, nota-se aqui menos interacção e mais interacção

. Verifica-se ainda uma curva de interacção quase horizontal, transmitindo a

informação que para os maiores valores de , os valores de apresentam uma grande variação.

101


A Figura 5.35 apresenta a interacção de esforço para a acção sísmica a actuar a 150°.





[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

[kN]

[kNm]

[kNm]

49,07 -475,38 69,99 -5,50 551,62 -129,64 -48,21 -469,54 149,33

-48,88 -30,55 96,73 38,80 -551,62 129,64 48,21 469,54 -149,33

Da análise da interacção de esforços para o sismo a actuar a 150° verifica-se interacção entre os

três pares de esforços, verificando-se uma maior interacção no par de esforços de forma

considerável.

102

5.2.1.2 Simulação através do MN

Tal como foi feito para os exemplos anteriores, recorreu-se ao MN a fim de avaliar a credibilidade

dos resultados obtidos através da análise direccional de esforços.

A secção de actuação dos esforços manteve-se assim como o número de amostras utilizadas na

simulação com que se correu o método.

Os resultados máximos obtidos para fins de análise apresentam-se descritos na Tabela 5.30.

Tabela 5.30 - Valores máximos dos esforços obtidos da Simulação através do MN para o Pórtico irregular


0˚ 72,82 546,07 -

30˚ 93,67 460,60 131,97

45˚ 98,30 381,97 192,87

60˚ 93,21 272,40 230,42

90˚ 70,04 117,85 264,58

120˚ 39,03 330,02 233,99

135˚ 32,34 421,92 189,10

150˚ 40,53 494,49 133,77


Para além da simulação pelo MN, utilizou-se ainda a ferramenta SAP2000 com a combinação

modal CQC, sendo um dos métodos mais usados recorrentemente.

Note-se que neste exemplo, das combinações modais mais usuais, a CQC é a que apresenta

melhores resultados visto a proximidade das frequências próprias nesta estrutura.

Aplicou-se então o espectro de resposta correspondente à função de densidade espectral de

potência aplicada nos outros métodos, tal como foi efectuado para os outros exemplos. Obtendo-

se assim os resultados descritos na Tabela 5.31.

103

Tabela 5.31 - Valores obtidos da combinação modal CQC aplicada no SAP2000


0˚ 74,78 465,66 64,07

30˚ 83,48 442,70 161,58

45˚ 83,44 394,55 195,34

60˚ 83,23 324,94 215,86

90˚ 72,23 226,27 212,55

120˚ 48,31 367,95 215,80

135˚ 42,75 425,84 195,20

150˚ 51,66 458,95 161,30

5.2.2 Curvas de Dimensionamento para sismo com direcção

desconhecida

Como foi efectuado para os exemplos anteriores, também neste exemplo se achou relevante

determinar a superfície de interacção de dimensionamento da secção do pilar em estudo.

Como já foi referido, neste exemplo, estudar a acção sísmica a actuar entre 0˚ e 90˚ não é

suficiente devido à irregularidade imposta nesta estrutura. Foi portanto necessário aplicar a acção

sísmica sobre um intervalo de direcções entre 0˚ e 180˚, obtendo assim as superfícies de

interacção entre os três pares de esforços, como se pode analisar nas Figuras 5.36, 5.37 e 5.38 e

ainda a interacção entre os três esforços que se apresenta na Figura 5.39.

104


irregular [Newtons e Newtons.metro]


irregular [Newtons e Newtons.metro]

105


irregular [Newtons.metro]

Figura 5.39 - Superfície de interacção de esforços em qualquer direcção no pórtico irregular


107

Capítulo 6 - Síntese e Análise dos Resultados

obtidos pelos vários métodos

6.1 Superfícies de Interacção dos Esforços

Em qualquer dos exemplos para uma acção sísmica a actuar segundo a direcção x, verifica-se

apenas dois esforços actuantes, esforço normal e um dos momentos flectores dependendo das

direcções principais de inércia da secção do pilar. E em todo o caso verifica-se a ausência de

desfasamento entre as respostas da estrutura nos dois esforços de modo que a superfície de

interacção em qualquer dos casos se aproxima duma recta.

Para a acção sísmica a actuar segundo a direcção y, verificou-se a mesma resposta da estrutura

em termos de interacção de esforços somente nos exemplos de estruturas regulares

(bissimétricas).

No caso do exemplo do pórtico irregular verificou-se actuação dos três esforços e interacção

entre os mesmos, mesmo tendo a acção sísmica a actuar segundo uma das direcções principais

de inércia do pilar. Tal facto deve-se à influência das massas concentradas nos nós “6” e “8”, que

faz com que os dois primeiros modos de translação ocorram segundo a mesma direcção, ao

contrário do que normalmente acontece, com o segundo modo de vibração de translação da

estrutura segundo a direcção perpendicular ao primeiro.

Nos dois exemplos de estruturas regulares, as superfícies de interacção apresentam-se

semelhantes. Para uma direcção fixa verifica-se um estreitamento da curva de interacção

e e uma dilatação da curva com a evolução da variação da direcção de actuação

do sismo dos 0° para os 90°, devido fundamentalmente ao aumento de e à diminuição de .

Nas direcções da acção sísmica a actuar a 45° e 60° nas estruturas regulares, verifica-se o

maior desfasamento entre respostas da estrutura nos três esforços, tratando-se do caso em que

se verifica uma superfície de interacção com mais volume, pois os três pares de esforços

apresentam interacção entre eles de forma considerativa. No caso de estruturas irregulares, tal

aspecto é notório para essas mesmas direcções, 135° e 150°.

Nas estruturas regulares, fixando o valor máximo de um dos esforços verifica-se variação nos

outros dois esforços, que nas curvas de interacção dos pares de esforços se traduzem em rectas.

Tal facto é mais notado fixando verificando-se grande variação de e alguma variação de .

No pórtico irregular tal não se verifica pois as três curvas de interacção entre pares de esforços

apresentam uma forma elíptica excepto com a acção sísmica a actuar segundo y. Apenas nesse

caso é possível fixar o valor máximo de e fazer variar .

108

No exemplo do pórtico irregular, quando um dos momentos é máximo, verifica-se o valor do

outro momento muito próximo do valor máximo. Tal facto deve-se à proximidade dos primeiros

modos de vibração da estrutura o que faculta grande interacção entre eles.

Na mesma linha de raciocínio também se observa que nos exemplos das estruturas regulares

para valores máximos, apresentam-se valores de momentos com sinais contrários e o valor de

esforço normal apresenta o mesmo sinal que . No exemplo do pórtico irregular também em

termos de máximos, os valores de momentos apresentam o mesmo sinal e contrário ao do esforço

normal com a acção sísmica a actuar de 0 a 90°. De 90 a 180° já se verificam sinais contrários nos

valores dos momentos. Tal facto deve-se à diferença na orientação da secção entre os exemplos.

Na estrutura irregular verifica-se uma expansão de todas as curvas que representam a

interacção entre os 3 pares de esforços variando a direcção do sismo de 0° a 90°. Variando depois

até aos 180° verifica-se um estreitamento das curvas de interacção dos pares de esforços

e e um alargamento da curva de interacção . Resultados esses que resultam da

diminuição significativa de a partir dos 90°.

.

6.2 Comparação entre os vários métodos

Para além da análise direccional de esforços, a qual foi objecto de estudo neste trabalho,

obtiveram-se resultados efectuando uma simulação através do MN, e ainda resultados recorrendo

ao método de sobreposição modal CQC, através do programa SAP2000. A análise comparativa

entre os vários métodos tem uma função apenas de validação do método que foi aplicado. Pois as

superfícies de interacção apenas são obtidas pela análise direccional de esforços, enquanto os

outros métodos apenas fornecem valores de esforços máximos, o que resultaria em superfícies de

interacção paralelepipédicas.

A extracção de resultados através da combinação modal CQC, recorrendo ao SAP2000 foi

efectuada pelo facto de correntemente os métodos de sobreposição modal serem os mais usuais.

E como se pode verificar da análise da Tabela 6.1, verifica-se alguma discrepância de valores

máximos dos esforços comparando os valores obtidos do CQC com os obtidos da análise

direccional apresentando-se estes últimos superiores, com uma diferença média de 14%,

considerando todos os valores de esforços obtidos para os três casos estudados como

demonstrado nas Tabelas 6.2 e 6.3.

A aplicação do MN também serviu de comparação aos resultados obtidos da análise direccional

de esforços. Este método tem a vantagem de aqui ser aplicado o sismo através da função de

densidade espectral de potência de aceleração tal como é feito na análise direccional de esforços.

A partir daí, cada sismo é aleatório podendo apresentar valores mais ou menos favoráveis.

Através do estudo estatístico efectuado, determinou-se um número de amostras razoável com o

109

intuito deste método poder servir de referência. Ao analisar novamente a Tabela 6.1 também aqui

se verificou alguma diferença sendo maiores os esforços resultantes da análise direccional de

esforços, no entanto menos notória, uma diferença média de 12,1%, considerando igualmente

todos os valores de esforços obtidos para os três casos estudados expostos nas Tabelas 6.2 e

6.3.

Na comparação dos valores máximos obtidos dos Momentos e através da análise

direccional de esforços com o método de Sobreposição modal CQC nos três exemplos, verifica-se

uma evolução constante da diferença entre valores à medida que se vai variando a direcção. Para

o sismo a actuar a 30º, o momento obtido através do CQC, verifica-se maior que o obtido da

análise direccional de esforços. A 45º já se verifica um valor maior de da análise direccional em

relação ao CQC, aumentando a diferença à medida que a direcção de actuação do sismo também

vai variando até aos 90º. Em relação ao momento verifica-se o contrário, com a acção sísmica

a actuar a 60º verifica-se superior quando estudado pelo CQC.

Isto deve-se fundamentalmente ao facto no CQC, numa direcção específica de actuação do sismo,

considerar a acção também a actuar na direcção ortogonal em simultâneo. Tal não se verifica nem

na análise direccional dos esforços nem no MN. Também devido a este facto se desprezou a

comparação de valores para uma direcção fixa coincidente com eixos principais de inércia do pilar.

Outro aspecto que pode ter condicionado os resultados, é o facto de não se ter considerado uma

envolvente do tipo beta na acção sísmica, que faria com que o tempo da acção sísmica na sua

máxima potencia reduzisse, tendo influência no valor do parâmetro que traduz a “passagem” do

valor médio esperado de cada esforço para o valor máximo, , no que diz respeito à análise

direccional de esforços e à redução do tempo no sismo gerado para obtenção de esforços pelo

MN.

Também a obtenção dos valores esperados dos máximos dos esforços, em que se parte de uma

análise estatística que envolve a obtenção do parâmetro pode não ter sido efectuada da forma

mais precisa, porque as variações de cada esforços não são independentes. Ter este facto em

consideração implica que a teoria usada para a obtenção dos valores esperados do máximo de

cada esforço seja objecto de um estudo mais detalhado, o qual ultrapassa o âmbito deste trabalho.

110

Pó

rtico

Irregular

Pó

rtico

Regu

lar 2

piso

s

Pó

rtico

Regu

lar 1

piso

s

Exemp

lo

Dir. A

leatória

15

0°

13

5°

12

0°

90

°

60

°

45

°

30

°

0°

Dir. A

leatória

90

°

60

°

45

°

30

°

0°

Dir. A

leatória

90

°

60

°

45

°

30

°

0°

Dir. d

e actuação

do

Sismo

10

4,7

9

49

,07

40

,68

46

,90

78

,21

10

1,3

3

10

4,9

3

10

2,5

0

81

,16

23

7,5

2

23

7,5

2

23

1,2

2

22

3,8

1

21

5,0

2

20

4,9

7

67

,51

63

,07

64

,58

65

,79

66

,77

67

,51

An

al. Direccio

nal

[kN

]

98

,30

40

,53

32

,34

39

,03

70

,04

93

,21

98

,30

93

,67

72

,82

21

5,2

20

6,7

21

5,8

20

8,8

20

2,1

17

3,5

6

64

,40

57

,83

62

,42

63

,81

64

,40

59

,59

MN

83

,48

51

,66

42

,75

48

,31

72

,23

83

,23

83

,44

83

,48

74

,78

21

6,9

5

21

6,9

5

21

6,2

6

21

3,4

0

20

9,5

9

20

3,0

4

62

,82

60

,39

61

,69

62

,36

62

,82

62

,75

CQ

C

61

0,8

4

55

1,6

2

46

7,6

5

35

6,3

1

13

4,7

8

29

5,4

3

41

5,8

1

51

4,4

3

61

0,8

4

48

5,7

0

48

5,7

0

42

0,6

3

34

3,4

4

24

2,8

4

-

31

0,4

9

31

0,4

9

26

8,8

9

21

9,5

5

15

5,2

4

-

An

al. Direccio

nal

[kN

m]

54

6,0

7

49

4,4

9

42

1,9

2

33

0,0

2

11

7,8

5

27

2,4

0

38

1,9

7

46

0,6

0

54

6,0

7

42

1,7

42

1,7

36

7,3

29

7,4

21

1,4

-

28

4,6

2

28

4,6

2

24

6,5

2

20

1,6

4

14

1,9

9

-

MN

46

5,6

6

45

8,9

5

42

5,8

4

36

7,9

5

22

6,2

7

32

4,9

4

39

4,5

5

44

2,7

0

46

5,6

6

35

7,1

9

35

1,6

1

35

7,1

9

32

3,1

6

26

7,1

2

10

5,6

6

22

8, 4

2

22

4,9

1

22

8,4

2

20

6,6

7

17

1,8

3

67

,75

CQ

C

29

8,8

9

14

9,3

3

21

1,2

5

25

8,7

8

29

8,8

9

25

8,9

1

21

1,4

3

14

6,5

5

-

31

5,1

6

-

15

7,5

8

22

2,8

5

27

2,9

3

31

5,1

6

23

6,6

7

-

11

8,3

3

16

7,3

5

20

4,9

6

23

6,6

7

An

al. Direccio

nal

[kN

m]

26

4,5

8

13

3,7

7

18

9,1

0

23

3,9

9

26

4,5

8

23

0,4

2

19

2,8

7

13

1,9

7

-

26

5,8

5

-

13

4,9

18

7

23

1,6

6

26

5,8

5

20

8,9

2

-

10

2,2

3

14

7,8

8

18

5,0

4

20

8,9

2

MN

21

5,8

6

16

1,3

0

19

5,2

0

21

5,8

0

21

2,5

5

21

5,8

6

19

5,3

4

16

1,5

8

64

,07

23

7,7

8

70

,30

17

7,8

2

21

5,1

3

23

7,7

8

23

4,0

5

17

4.5

8

51

,76

13

0,5

6

15

7,9

5

17

4,5

8

17

1,8

8

CQ

C

Ta

be

la 6

.1 –

Sín

tese

dos R

esu

ltado

s o

btid

os p

elo

s v

ário

s m

éto

dos

111

Tabela 6.2 – Diferenças medidas em relação à análise direccional de esforços

Exemplo Dir. de actuação

do Sismo

Diferença MN

Diferença CQC

Diferença MN

Diferença CQC

Diferença MN

Diferença CQC

Pórtico 1 piso

0° 13,3% 7,6% - - 13,3% 37,7%

30° 3,7% 6,3% 9,3% -9,7% 10,8% 17,4%

45° 3,1% 5,5% 8,9% 6,2% 13,2% 6,0%

60° 3,5% 4,7% 9,1% 17,7% 15,7% -9,4%

90° 9,1% 4,4% 9,1% 38,1% - -

Diferença média 6,5% 5,7% 9,1% 17,9% 13,2% 17,6%

Pórtico 2 pisos

0° 18,1% 1,0% - - 18,5% 34,7%

30° 6,4% 2,6% 14,9% -9,1% 17,8% 14,8%

45° 7,2% 4,9% 15,5% 6,3% 19,1% 3,6%

60° 7,1% 6,9% 14,5% 17,8% 16,8% -11,4%

90° 14,9% 9,5% 15,2% 38,1% 0,0% 0,0%

Diferença média 10,8% 5,0% 15,0% 17,8% 18,1% 16,1%

Pórtico Irregular

0° 11,5% 8,5% 11,9% 31,2% - -

30° 9,4% 22,8% 11,7% 16,2% 11,0% -9,3%

45° 6,7% 25,8% 8,9% 5,4% 9,6% 8,2%

60° 8,7% 21,7% 8,5% -9,1% 12,4% 19,9%

90° 11,7% 8,3% 14,4% 40,4% 13,0% 40,6%

120° 20,2% -2,9% 8,0% -3,2% 10,6% 19,9%

135° 25,8% -4,8% 10,8% 9,8% 11,7% 8,2%

150° 21,1% -5,0% 11,6% 20,2% 11,6% -7,4%

Diferença média 14,4% 12,5% 10,7% 16,9% 11,4% 16,2%

Tabela 6.3 – Diferença média de cada método em relação à análise direccional de Esforços

Diferença média CQC 14%

Diferença média MN 12,1%

113

Capítulo 7 - Conclusões

7.1 Considerações Finais

O estudo realizado teve como objectivo definir um método para determinar uma combinação de

esforços decorrentes de uma acção sísmica em estruturas tridimensionais, no domínio da

frequência, através de uma análise linear que tenha em consideração a interacção entre esforço

normal, momento flector e momento flector . A aplicação do método desenvolvido foi

ilustrada através da sua aplicação em algumas estruturas porticadas.

Para tal, numa fase inicial foram determinados os esforços numa secção da base do pórtico

recorrendo ao MEF, e posteriormente procedeu-se ao cálculo das superfícies de Interacção

e à sua combinação para a acção sísmica definida a partir do espectro de densidade

espectral de potência de acelerações.

7.2 Considerações sobre o método desenvolvido

Para a obtenção da superfície de interacção de dimensionamento para a secção

estudada devido a actuação de um sismo de tipo I actuante num solo de tipo II, tal como definido

no R.S.A., numa primeira instancia foi necessário recorrer a uma manipulação da função de

densidade espectral de potência de acelerações do sismo, uma vez que esta apenas permite o

cálculo do valor esperado quadrático dos esforços, ou seja, apenas é possível determinar-se os

correspondentes módulos dos seus valores médios, impossibilitando deste modo, uma análise

direccional do esforço normal, momento flector e momento flector no seu plano de

interacção.

Primeiramente tratando-se da análise do comportamento dinâmico de uma estrutura é importante

conhecer-se os valores máximos dos esforços, uma vez que são estes que condicionam a

segurança da estrutura. Sendo a função de densidade espectral de potência de aceleração um

processo estocástico Gaussiano ergódico e admitindo a sua estacionaridade, estudos

desenvolvido por Davenport de acordo com (Clough & Penzien, 1995) possibilitam definir o valor

esperado máximo das funções de densidades espectral do esforço normal e do momentos

flectores na secção de estudo, originadas a partir da resposta da estrutura.

Posteriormente definidos os valores esperados dos máximos de tais esforços, a técnica usada

permite a reposição do valor dos esforços na sua forma complexa, sendo garantido que os

respectivos módulos não sofrem alteração, possibilitando-se assim a definição das superfícies de

114

interacção para cada frequência e o consequente estudo direccional dos seus

respectivos valores no espaço da interacção. Esse facto é determinante para conhecer os valores

máximos dos esforços.

A forma das superfícies de interacção, determinadas para cada frequência de excitação, é

condicionada pelo desfasamento existente entre os esforços. Caso apenas ocorra desfasamento

entre dois dos esforços a superfície reduz-se a uma elipse e na ausência de desfasamento entre

esforços a superfície reduz-se a uma recta. Por sua vez ocorrendo desfasamento entre os três

esforços a superfície apresenta uma forma volumosa.

Por sua vez, a combinação de todas as curvas de interacção calculadas resulta na superfície de

interacção . Fazendo o estudo para todas as possíveis direcções que podem alterar a

resposta da estrutura e sobrepondo-as, obtêm-se a superfície de dimensionamento.

Para tal, para cada direcção de actuação do sismo, calculou-se a “taxa de crescimento” dos

esforços de modo a possibilitar a realização integração dos esforços no espectro de frequências

que define o sismo. Esse facto, permite ter em consideração a evolução dos esforços ao longo das

frequências de excitação da estrutura, sendo que através da manipulação atrás referida, os

valores assumem a forma complexa, originando o resultado final, uma superfície que traduz o

valor esperado da interacção máxima entre os esforços, combinadas todas as frequências de

excitação.

7.3 Limitações do Método do Numérico

O método apresenta no entanto algumas limitações. A matriz de amortecimento definida não

considera constante o coeficiente de amortecimento da estrutura, fazendo-o depender da

frequência de excitação.

A opção que recaiu, na manipulação da matriz de amortecimento, de modo a definir-se

concretamente o coeficiente de amortecimento associado ao primeiro e segundo modo de

vibração, o que origina uma perda de importância da grande maioria das restantes frequências de

excitação.

Poder-se-ia realizar um estudo dos modos condicionantes do comportamento dinâmico de cada

estrutura e posteriormente manipular-se do mesmo modo a matriz de amortecimento. Não

deixando, no entanto de ser questionável tal manipulação, sendo necessários mais estudos que a

fundamentem, que no entanto não foram realizados.

No que diz respeito à determinação da superfície de interacção de dimensionamento,

uma das hipóteses simplificativas do método numérico, recai na independência entre frequências

de excitação da estrutura para efeitos de cálculo. Tal consideração é conservativa, uma vez que é

115

pouco provável a ocorrência simultânea do máximo da interacção em todas as frequências de

excitação.

Verificou-se através das formas das superfícies de interacção obtidas para uma

direcção específica a influência que a interacção entre modos de vibração da estrutura apresenta

O método apenas considera, para cada sismo, a acção a actuar numa uma direcção exacta, não

contabilizando a variação das componentes horizontais dessa acção

Por último, estabelecendo a comparação dos valores obtidos da análise sísmica para a secção da

base do pilar nos três exemplos, entre o método desenvolvido, o método de sobreposição modal

CQC e o MN aplicado a sismos aleatórios, verificou-se que os resultados obtidos do método

desenvolvido revelaram-se algo conservativos em termos de valores máximos comparando com

estes dois métodos.

7.4 Desenvolvimentos Futuros

Um estudo importante recai sobre a definição da matriz de amortecimento. Certamente têm sido

desenvolvidos estudos sobre tal, sendo no entanto importante sustentar certas opções realizadas

no método proposto.

Seria importante de futuro estudar com mais profundidade, a relação entre o valor esperado

máximo de um processo e o seu valor esperado médio, factor determinante na definição da

resposta máxima de uma estrutura dada uma acção estocástica.

Tendo sido feito estudo para estruturas porticadas, seria interessante aplicar o método a outro tipo

de estruturas: estruturas mistas pórtico-parede, estruturas parede, estruturas com diferente

composição…

Algo que poderia ser interessante, seria estudar a importância da aplicação do método em que a

acção não parta do repouso, comparando os resultados com os aqui obtidos.

A título de curiosidade, teria algum interesse aplicar este método aos sismos definidos no

Eurocódigo 8, no entanto seria necessário obter as funções de densidade espectral de potência de

aceleração a partir dos espectros de resposta tal como descrito em (Guerreiro, 1997).

117

Referências Bibliográficas

Azevedo, Á. (2003). Método dos Elementos Finitos 1ª edição. Porto: FEUP.

Azevedo, J. (1996). Vibrações Aleatórias, Dinâmica Estocástica. Lisboa: IST.

Azevedo, J., & Proença, J. (1991). Dinâmica de Estruturas. Lisboa: IST.

Azevedo, J., & Proença, J. (1999). Identificação Dinâmica de Sistemas Estruturais. Lisboa.

Castro, L. (2009). Método dos Elementos Finitos: Análise de Pórticos Planos. Lisboa: IST.

Clough, R., & Penzien, J. (1995). Dynamics of Structures 3rd Edition. USA: Computers &

Structures.

Eurocódigo 8: Projecto de estruturas para resistência aos sismos. (2009).

Ferreira, E. (2009). Dissertação para Obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil "Análise

Sísmica de Estruturas Porticadas: Determinação da Interacção de Esforços". Lisboa: IST.

Freitas, J. (2009). Introdução ao Método dos Elementos Finitos: Estruturas Articuladas. Lisboa:

IST.

Guerreiro, L. (1997). Dissertação de Doutouramento "Isolamento Sísmico de Edifícios". Lisboa:

DECivil IST.

Guerreiro, L. (1999). Revisão de Análise Modal de Análise Sísmica por Espectro de Resposta.

Lisboa: IST.

Ravara, A. (1969). Dinâmica de Estruturas. Lisboa: LNEC.

Regulamento de Segurança e Acções, Decreto de Lei nº 235/83. (1983). Porto Editora.

Santos, P. (2008). Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil "Soluções

Compatíveis e Soluções Equilibradas em Análise Dinâmica: Aplicação no Domínio do tempo a

Estruturas Porticadas". Lisboa: IST.

i

Anexos

i. Definição da Estrutura

a) Pórtico Regular de 1 piso

global Seccao

If (~Definida)

MacroNos(1) = struct('coords', [ 0.; 0.; 0.], 'incid', [ -1, -1, -1, -1, -1, -1], 'M',

[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);

MacroNos(5) = struct('coords', [ 0.; 0.; 3.5], 'incid', [ 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'M', [ 0,

0, 0, 0, 0, 0]);

MacroNos(6) = struct('coords', [ 6.; 0.; 3.5], 'incid', [ 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'M', [0,

0, 0, 0, 0, 0]);


0, 0, 0, 0, 0]);

MacroNos(8) = struct('coords', [ 6.; 6.; 3.5], 'incid', [ 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'M', [0,

0, 0, 0, 0, 0]);

napoios=4;

n=10;

MacroBarras(1)=struct('L',0,'Sec',1, 'ni', 1, 'nf', 5, 'aux', [0, 1, 0]);

MacroBarras(2)=struct('L',0,'Sec',1, 'ni', 2, 'nf', 6 , 'aux', [0, 1, 0]);







ii

%betão C25/30

b=0.3; h=0.6;

E=31e9;

rho=25e3/9.8; %

G=E/2.4; % 200e9 30e3

sobrecarga = 40e3/9.8;

Seccao(1) = struct('EI1', E*b*h^3/12, 'EI2', E*h*b^3/12, 'EA', E*b*h, 'GJ', G*h*b^3/3,

'rhoA', rho*b*h);

Seccao(2) = struct('EI1', E*b*h^3/12, 'EI2', E*b^3*h/12, 'EA', E*b*h, 'GJ', G*h*b^3/3,

'rhoA', rho*b*h + sobrecarga);

Seccao(3) = struct('EI1', E*h^3*h/12, 'EI2', E*h^3*h/12, 'EA', E*h*h, 'GJ', G*h*h^3/3,

'rhoA', rho*h*h);

GerarEstrutura(MacroNos, MacroBarras, n);

maxf = 20;

nsteps = 2^11;

deltaf = maxf/nsteps;

% medir_x = [1;1]; % Base do pilar

else

f0 = zeros(desl,1);

medir = Nos(5).incid(1); % Desl seg x no topo do pilar da esquerda

escala=1;

end

b) Pórtico Regular de 1 piso

global Seccao

if (~Definida)


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


0, 0, 0, 0, 0]);

iii


0, 0, 0, 0, 0]);


0, 0, 0, 0, 0]);


0, 0, 0, 0, 0]);

MacroNos(9) = struct('coords', [ 0.; 0.; 7], 'incid', [ 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'M', [ 1, 1,

1, 0, 0, 0]*0);

MacroNos(10) = struct('coords', [ 6.; 0.; 7], 'incid', [ 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'M', [ 0,

0, 0, 0, 0, 0]);


0, 0, 0, 0, 0]);


0, 0, 0, 0, 0]);

napoios=4;

n=10;










MacroBarras(10)=struct('L',0,'Sec',1, 'ni',6, 'nf', 10 , 'aux', [0, 1, 0]);







%betão C25/30

b=0.3; h=0.6;

E=31e9;

rho=25e3/9.8; %

iv

G=E/2.4; % 200e9



'rhoA', rho*b*h);




'rhoA', rho*h*h);


maxf = 20;

nsteps = 2^11;


medir_x = [1;1]; % Base do pilar

else

f0 = zeros(desl,1);


escala=1;

end

c) Pórtico Irregular

global Seccao

if (~Definida)


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


[ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);


0, 0, 0, 0, 0]);

v

MacroNos(6) = struct('coords', [ 6.; 0.; 3.5], 'incid', [ 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'M', [

25000, 25000, 25000, 0, 0, 0]);


0, 0, 0, 0, 0]);

MacroNos(8) = struct('coords', [ 6.; 6.; 3.5], 'incid', [ 0, 0, 0, 0, 0, 0], 'M', [

25000, 25000, 25000, 0, 0, 0]);

napoios=4;

n=10;









%betão C25/30

b=0.3; h=0.6;

E=31e9;

rho=25e3/9.8; %

G=E/2.4; % 200e9 30e3



'rhoA', rho*b*h);




'rhoA', rho*h*h);


maxf = 20;

nsteps = 2^11;


vi

medir_x = [1;1]; % Base do pilar

else

f0 = zeros(desl,1);


escala=1;

end

ii. Geração da Estrutura

function [] = GerarEstrutura(MacroNos, MacroBarras, ndiv)

global Nos Barras

global nnos nbarras

mnos = size(MacroNos,2);

mbarras = size(MacroBarras,2);

for n = 1:mnos

Nos(n) = MacroNos(n);

end

nnos = mnos + mbarras*(ndiv-1);

nbarras = mbarras*ndiv;

% Vamos criar: Nos -> mbarras*(ndiv-1) novos

% Barras -> mbarras*ndiv no total

Nos(mnos+mbarras*(ndiv-1)).coords = Nos(mnos).coords;

Barras(mbarras*ndiv) = struct('L',0,'Sec',0, 'ni', 0, 'nf', 0, 'aux', [0, 0, 0]);

newn = 0;

newb = 0;

startnode = mnos;

vii

for b = 1:mbarras

dx = (MacroNos(MacroBarras(b).nf).coords - MacroNos(MacroBarras(b).ni).coords)/ndiv;

for n = 2:ndiv

coord = MacroNos(MacroBarras(b).ni).coords + dx*(n-1);

newn = newn + 1;

Nos(mnos+newn) = struct('coords', coord, 'incid', [ 0 0 0 0 0 0], ...

'M', [ 0, 0, 0, 0, 0, 0]);

end

if (ndiv == 1)

newb = newb + 1;

Barras(newb) = MacroBarras(b);

else

newb = newb + 1;

startnode = startnode + 1;


Barras(newb).nf = startnode;

for n = 1:ndiv-2

newb = newb + 1;

startnode = startnode + 1;


Barras(newb).ni = startnode-1;

Barras(newb).nf = startnode;

end

newb = newb + 1;


Barras(newb).ni = startnode;

end

end

iii. Frequências Próprias, Modos de Vibração e Obtenção dos Esforços

pelo MEF

FNull = inline('[ 0; 0; 0]','t');

viii

global nnos nbarras

% Declarar barras

global Barras

Barras = struct('L', 0, 'Sec', 0, 'ni', 0, 'nf', 0, 'aux', []);

% Declarar seccoes

global Seccao

Seccao = struct('EI1', 0, 'EI2', 0, 'EA', 0, 'GJ', 0, 'rhoA', 0);

% Declarar nos

global Nos

Nos = struct('coords', [], 'incid', [], 'M', []);

Definida = false;

% Definir a estrutura

EstName = 'Portico3d'

% EstName = 'Portico_2pisos';

%EstName = 'consola';

% Fim das definicoes

eval(EstName);

Definida = true;

% --------------------------------------------------------------

% Atribuir deslocamentos aos nos

desl = 0;

for n = 1:length(Nos) % Todos os nos

for m = 1:6 % Todas as direccoes do no

if (Nos(n).incid(m) < 0)

Nos(n).incid(m) = 0;

ix

else

desl = desl + 1;

Nos(n).incid(m) = desl;

end

end

end

% --------------------------------------------------------------

% Calcular matriz das massas nodais

Mg = zeros(desl);

for n = 1:length(Nos)

for m = 1:6

i = Nos(n).incid(m);

if (i > 0)

Mg(i,i) = Nos(n).M(m);

end

end

end

% --------------------------------------------------------------

% Inicializar a matriz de rigidez global a zero

Kg = zeros(desl);

% --------------------------------------------------------------

% Calcular as matrizes globais barra a barra

for b=1:length(Barras)

e3 = Nos(Barras(b).nf).coords - Nos(Barras(b).ni).coords;

L = sqrt(sum(e3.^2));

e3 = e3'/L;

e1 = cross(Barras(b).aux,e3);

n1 = sqrt(sum(e1.^2));

e1 = e1/n1;

e2 = cross(e3,e1);

x

EAL = Seccao(Barras(b).Sec).EA/L;

EI1L = Seccao(Barras(b).Sec).EI1/L;

EI1L2 = EI1L/L;

EI1L3 = EI1L2/L;

EI2L = Seccao(Barras(b).Sec).EI2/L;

EI2L2 = EI2L/L;

EI2L3 = EI2L2/L;

GJL = Seccao(Barras(b).Sec).GJ/L;

kb = zeros(12,12);

kb([3,9],[3,9]) = EAL* [ 1, -1; -1, 1];

kb([6,12],[6,12]) = GJL* [ 1, -1; -1, 1];

kb([1,5,7,11],[1,5,7,11]) = ...

[12*EI2L3, 6*EI2L2, -12*EI2L3, 6*EI2L2;...

6*EI2L2, 4*EI2L, -6*EI2L2, 2*EI2L;...

-12*EI2L3, -6*EI2L2, 12*EI2L3, -6*EI2L2;...

6*EI2L2, 2*EI2L, -6*EI2L2, 4*EI2L];

kb([2,4,8,10],[2,4,8,10]) = ...

[ 12*EI1L3, -6*EI1L2, -12*EI1L3, -6*EI1L2;...

-6*EI1L2, 4*EI1L, 6*EI1L2, 2*EI1L;...

-12*EI1L3, 6*EI1L2, 12*EI1L3, 6*EI1L2;...

-6*EI1L2, 2*EI1L, 6*EI1L2, 4*EI1L];

rL = Seccao(Barras(b).Sec).rhoA*L/420;

rL2 = rL*L;

rL3 = rL2*L;

mb = zeros(12,12);

mb([3,9],[3,9]) = rL*[140, 70; 70, 140];

% mb([6,12],[6,12]) = ;

mb([1,5,7,11],[1,5,7,11]) = ...

[ 156*rL, 22*rL2, 54*rL, -13*rL2;

22*rL2, 4*rL3, 13*rL2, -3*rL3; ...

54*rL, 13*rL2, 156*rL, -22*rL2; ...

-13*rL2, -3*rL3, -22*rL2, 4*rL3];

xi

mb([2,4,8,10],[2,4,8,10]) = ...

[ 156*rL, -22*rL2, 54*rL, 13*rL2;

-22*rL2, 4*rL3, -13*rL2, -3*rL3; ...

54*rL, -13*rL2, 156*rL, 22*rL2; ...

13*rL2, -3*rL3, 22*rL2, 4*rL3];

% Rodar kb

Tn=[e1 ; e2 ; e3];

T=[Tn, zeros(3,9); ...

zeros(3,3), Tn, zeros(3,6); ...

zeros(3,6), Tn, zeros(3,3); ...

zeros(3,9), Tn ];

tkt=T'*kb*T;

tmt=T'*mb*T;

% Espalhar

inc = [Nos(Barras(b).ni).incid,Nos(Barras(b).nf).incid];

incl = (inc>0);

incr = inc(incl);

Kg(incr,incr) = Kg(incr,incr) + tkt(incl,incl);

Mg(incr,incr) = Mg(incr,incr) + tmt(incl,incl);

if (b==medir_x(1))

incl_x = incl;

incr_x = incr;

k_x = kb*T;

end

end

% Kg\[0,0,0,1000,-1000,0,zeros(1,15)]'

% pause

[vects, vals] = eig(Kg, Mg);

[vals, ord] = sort(diag(vals));

xii

vects=vects(:,ord);

f = sqrt(vals);

f(:)

f1= f(1);

f2= f(2);

% x= [1/f1,f1;1/f2,f2]\[0.01; 0.01];

x= [1/f1,f1;1/f2,f2]\[0.1; 0.1];

x= [1/f1,f1;1/f2,f2]\[0.02; 0.02];

x= [1/f1,f1;1/f2,f2]\[0.05; 0.05];

% ou seja alfa = x(1); beta = x(2)

x(1)

x(2)

Cg = x(1)*Mg + x(2)*Kg;

% Definir forcas, intervalo, etc

% Chama-se de novo a funcao EstName

eval(EstName);

DrawModes();

% Soluï¿½ï¿½o "analitica"

mindir=0;

maxdir=pi;

deltadir = pi/18;

% ndirs=(maxdir-mindir)/deltadir;

fs = 0:deltaf:(maxf-deltaf);

nfs = size(fs,2);

dirs = mindir:deltadir:maxdir;

ndirs = size(dirs,2);

xiii

ds = zeros(nfs,ndirs);

xs = zeros(12, nfs, ndirs);

DM = diag(vects'*Mg*vects);

DC = diag(vects'*Cg*vects);

DK = diag(vects'*Kg*vects);

for idir = 1:ndirs;

dir = dirs(idir);

f0(1:6:desl,1) = cos(dir)*ones((nnos-napoios),1);

f0(2:6:desl,1) = sin(dir)*ones((nnos-napoios),1);

F0 = Mg*f0;

for i=1:nfs

w = 2*pi*fs(i);

VF = vects'*F0;

u02 = vects*(VF./(-w^2*DM + 1i*w*DC + DK));

ds(i, idir) = u02(medir);

xs(:,i, idir) = k_x(:,incl_x)*u02(incr_x);

end

end

Desenho dos Modos de Vibração

function [ xx ] = Deformada(modo, escala)

% --------------------------------------------------------------

global Barras

global Nos

nsteps = 10;

xx = zeros(3, length(Barras)*(nsteps+2));

for b = 1:length(Barras)

% Matriz de rotacao

xiv

e3 = Nos(Barras(b).nf).coords - Nos(Barras(b).ni).coords;

L = sqrt(sum(e3.^2));

e3 = e3'/L;

e1 = cross(Barras(b).aux,e3);

n1 = sqrt(sum(e1.^2));

e1 = e1/n1;

e2 = cross(e3,e1);

Tn=[e1 ; e2 ; e3];

T=[Tn, zeros(3,9); ...

zeros(3,3), Tn, zeros(3,6); ...

zeros(3,6), Tn, zeros(3,3); ...

zeros(3,9), Tn ];

% Deslocamentos dos nos da barra

incn = [ Nos(Barras(b).ni).incid, Nos(Barras(b).nf).incid];

incl = incn > 0;

incr = incn(incl);

db = zeros(12,1);

db(incl) = modo(incr);

% Rodados para o referencial da barra

db = T*db;

% Coordenadas dos pontos onde se faz o desenho

x=(0:1/nsteps:1)*L;

% Funcoes de forma

f3 = 1-(3.*x.^2)/L^2+(2.*x.^3)/L^3;

f1 = -x+(2.*x.^2)/L-x.^3/L^2;

f4 = +(3.*x.^2)/L^2-(2.*x.^3)/L^3;

f2 = +(x.^2/L)-x.^3/L^2;

% Deslocamentos nos pontos de desenho

dx = [ ...

-f1*db(5)-f2*db(11)+f3*db(1)+f4*db(7); ...

xv

f1*db(4)+f2*db(10)+f3*db(2)+f4*db(8);...

(1-x/L)*db(3)+x/L*db(9)];

% No referencial global

dx = Tn'*dx;

xi = Nos(Barras(b).ni).coords';

xf = Nos(Barras(b).nf).coords';

xfxi = (xf-xi)/L;

pos = (b-1)*(nsteps+2)+1;

xx(:, pos+(0:nsteps)) = (xi'*ones(1,nsteps+1) + xfxi'*x) + dx*escala;

xx(:, pos+nsteps+1) = [NaN; NaN; NaN];

end

maxxyz = -[1 1 1]*1e8;

minxyz = -maxxyz;

for mode=1:min(desl,12)

h(mode) = subplot(3,4,mode);

xx = Deformada(vects(:,mode), escala);

plot3(xx(1,:), xx(2,:), xx(3,:));

title(['f=' num2str(f(mode)/(2*pi)) 'Hz']);

maxxyz = max(maxxyz, max(xx,[],2)');

minxyz = min(minxyz, min(xx,[],2)');

axis equal;

axis vis3d;

end

% para desenhar

hlink = linkprop(h,{'CameraPosition','CameraUpVector',...

'CameraTarget','CameraViewAngle', ...

'XLim','YLim','ZLim','DataAspectRatio','visible'});

key = 'graphics_linkprop';

setappdata(h(1),key,hlink);

set(h(1),'DataAspectRatio',[1 1 1], ...

xvi

'XLim',[minxyz(1) maxxyz(1)], 'YLim',[minxyz(2) maxxyz(2)], ...

'ZLim',[minxyz(3) maxxyz(3)], 'visible','on');

drawnow;

iv. Determinação das Superfícies de Interacção

acels_rsa = [ 0 0 220 300 300 130 40 16 ]*10^-4;

%acels_rsa = [ 1 1 1 1 1 1 1 ];

freqs_rsa = [ 0 0.030 0.900 1.800 3.600 7.200 14.400 20.000 ];

% ndirsphi=20;

% ndirsteta=20*4;

minphi=0;

maxphi=pi/2;

deltaphi = (pi/100);

ndirsphi=round((maxphi-minphi)/deltaphi);

phis = minphi:deltaphi:maxphi;

minteta = 0;

maxteta = 2*pi;

deltateta = (pi/200);

ndirsteta=round((maxteta-minteta)/deltateta);

tetas = minteta:deltateta:maxteta;

max_espectro = 20; % Por causa do rsa

nfreqs = fix(max_espectro/deltaf);

% primeiro indice - phi ; segundo indice - teta

XM1 = zeros(2*ndirsphi+1,ndirsteta, ndirs);

xvii

XM2 = zeros(2*ndirsphi+1,ndirsteta, ndirs);

XN = zeros(2*ndirsphi+1,ndirsteta, ndirs);

start = 1;

last = nfreqs;

%pedir = 4.2;

%start = fix(pedir/deltaf) + 1;

%last = start;

freqs = ((start:last)-0.5)*deltaf;

sa2 = interp1(freqs_rsa, acels_rsa, freqs);

factmaxN=zeros(1,ndirs);

factmaxM1=zeros(1,ndirs);

factmaxM2=zeros(1,ndirs);

%considerar a direcï¿½ï¿½o 1

EI1 = Seccao(Barras(medir_x(1)).Sec).EI1;

EI2 = Seccao(Barras(medir_x(1)).Sec).EI2;

EA = Seccao(Barras(medir_x(1)).Sec).EA;

for idir = 1:1:ndirs;

dirsismo = idir;

sa2HM12 =

sa2.*(conj(xs(4+offset_x,start:last,dirsismo)).*xs(4+offset_x,start:last,dirsismo));

sa2HM22 =


sa2HN2 =


m0N = 0;

m0M1 = 0;

m0M2 = 0;

xviii

m2N = 0;

m2M1 = 0;

m2M2 = 0;

integralM1= 0;

integralM2= 0;

integralN = 0;

sumAbsM = 0;

for i = start:last

dm0N = abs(sa2HN2(i));

dm0M1 = abs(sa2HM12(i));

dm0M2 = abs(sa2HM22(i));

m0N=m0N+dm0N*deltaf;

m0M1=m0M1+dm0M1*deltaf;

m0M2=m0M2+dm0M2*deltaf;

m2N=m2N+dm0N*deltaf*(freqs(i))^2;

m2M1=m2M1+dm0M1*deltaf*(freqs(i))^2;

m2M2=m2M2+dm0M2*deltaf*(freqs(i))^2;

integralM1 = integralM1 + sa2HM12(i)*deltaf;

integralM2 = integralM2 + sa2HM22(i)*deltaf;

integralN = integralN + sa2HN2(i)*deltaf;

if (integralM1 > 0 && integralM2 > 0 && integralN > 0)

saHM1 = sa2HM12(i)/(2*sqrt(integralM1));

xix

saHM2 = sa2HM22(i)/(2*sqrt(integralM2));

saHN = sa2HN2(i)/(2*sqrt(integralN));

alfaM1 = saHM1/abs(xs(4+offset_x,i,dirsismo));

alfaM2 = saHM2/abs(xs(5+offset_x,i,dirsismo));

alfaN = saHN/abs(xs(3+offset_x,i,dirsismo));

alfa = max([ alfaM1, alfaM2, alfaN]);

am1(i) = alfaM1;

am2(i) = alfaM2;

an(i) = alfaN;

Ni = xs(3+offset_x,i,dirsismo)*alfaN*deltaf;

M1i = xs(4+offset_x,i,dirsismo)*alfaM1*deltaf;

M2i = xs(5+offset_x,i,dirsismo)*alfaM2*deltaf;

for iphi=1:1:(ndirsphi+1);

phi= phis(iphi);

cN = sin(phi);

for iteta=1:1:ndirsteta;

teta = tetas(iteta);

cM2 = cos(phi)*sin(teta);

cM1 = cos(phi)*cos(teta);

X = M1i*cM1 + M2i*cM2 + Ni*cN;

if (abs(X) > 1e-2)

s = -imag(X)/abs(X);

c = real(X)/abs(X);

XM1(iphi,iteta,dirsismo) = XM1(iphi,iteta,dirsismo) + real(M1i)*c -

imag(M1i)*s;

XM2(iphi,iteta,dirsismo) = XM2(iphi,iteta,dirsismo) + real(M2i)*c -

imag(M2i)*s;

XN(iphi,iteta,dirsismo) = XN(iphi,iteta,dirsismo) + real(Ni)*c -

imag(Ni)*s;

xx

end

end

end

end

end

t=10;

npassagensN=sqrt(m2N/m0N)*t;

npassagensM1=sqrt(m2M1/m0M1)*t;

npassagensM2=sqrt(m2M2/m0M2)*t;

factmaxN(dirsismo)=sqrt((2*log(npassagensN)))+0.5772/(sqrt((2*log(npassagensN))));

factmaxM1(dirsismo)=sqrt((2*log(npassagensM1)))+0.5772/(sqrt((2*log(npassagensM1))));

factmaxM2(dirsismo)=sqrt((2*log(npassagensM2)))+0.5772/(sqrt((2*log(npassagensM2))));

XM1(:,:,dirsismo) = factmaxM1(dirsismo)*XM1(:,:,dirsismo);

XM2(:,:,dirsismo) = factmaxM2(dirsismo)*XM2(:,:,dirsismo);

XN(:,:,dirsismo) = factmaxN(dirsismo)*XN(:,:,dirsismo);

end

% % primeiro e segundo quadrantes

%

iphi=1:ndirsphi;

iteta=1:(ndirsteta/2);

XM1(2*ndirsphi+2-iphi,iteta+2*ndirsteta/4,1:ndirs) = -XM1(iphi,iteta,1:ndirs);

XM2(2*ndirsphi+2-iphi,iteta+2*ndirsteta/4,1:ndirs) = -XM2(iphi,iteta,1:ndirs);

XN(2*ndirsphi+2-iphi,iteta+2*ndirsteta/4,1:ndirs) = -XN(iphi,iteta,1:ndirs);

%

% %terceiro e quarto quadrantes

%

XM1(2*ndirsphi+2-iphi,iteta,1:ndirs) = -XM1(iphi,iteta+2*ndirsteta/4,1:ndirs);

XM2(2*ndirsphi+2-iphi,iteta,1:ndirs) = -XM2(iphi,iteta+2*ndirsteta/4,1:ndirs);

XN(2*ndirsphi+2-iphi,iteta,1:ndirs) = -XN(iphi,iteta+2*ndirsteta/4,1:ndirs);

xxi

x=reshape(XM1, prod(size(XM1)), 1);

y=reshape(XM2, prod(size(XM2)), 1);

z=reshape(XN, prod(size(XN)), 1);

scatter3(x,y,z)

% k=convhulln([x y z]);

% trisurf(k,x,y,z)

xlabel('M1')

ylabel('M2')

zlabel('N')

v. Simulação através do Método de Newmark

% % definir beta e gamma e passo de integracao

beta = 1/4;

gamma = 1/2;

%

% % definir Newmark

Nmk = Mg + gamma*dt*Cg + beta*dt*dt*Kg;

iNmk = inv(Nmk);

%

k1 = (1-gamma)*dt;

k2 = (0.5-beta)*dt*dt;

k3 = gamma*dt;

k4 = beta*dt*dt;

M0 = sparse(-Kg);

M1 = sparse(-Kg*dt - Cg);

M2 = sparse(-Kg*k2 - Cg*k1);

eval(EstName);

maxN = zeros(ndirs,1);

maxM1 = maxN;

maxM2 = maxN;

xxii

for idir = 1:ndirs;

dir = dirs(idir);

f0(1:6:desl,1) = cos(dir)*ones((nnos-napoios),1);

f0(2:6:desl,1) = sin(dir)*ones((nnos-napoios),1);

nsismos=1;

sismos=1:nsismos;

Nmax = zeros(nsismos,1);

M1max = Nmax;

M2max = Nmax;

for isismo = 1:nsismos;

sismo = sismos(isismo);

u = zeros(desl,1);

du=u;

ddu=u;

gerar_sismo();

% Soluï¿½ao com Newmark+fft

i = 1;

dt1 = 0;

d = zeros(desl, nsteps);

x = zeros(12, nsteps);

while (i < nsteps)

dt1 = dt1 + dt;

i = i+1;

f = Mg*f0*fe(i)+ M0*u + M1*du + M2*ddu;

ddu1 = iNmk*f;

du1 = du + k1*ddu + k3*ddu1;

u1 = u + du*dt + k2*ddu + k4*ddu1;

xxiii

d(:,i) = u1;

x(:,i) = k_x(:,incl_x)*u1(incr_x);

u = u1;

du = du1;

ddu = ddu1;

end

Nmax(isismo) = max(abs(x(3+offset_x,:)));

M1max(isismo) = max(abs(x(4+offset_x,:)));

M2max(isismo) = max(abs(x(5+offset_x,:)));

end

maxN(idir) = mean(Nmax);

maxM1(idir) = mean(M1max);

maxM2(idir) = mean(M2max);

end

Geração do Sismo

dt=t/nsteps;

dti=0:dt:(t-dt);

A = sqrt(2*sa2*deltaf);

%sismo 1

fe=0;

fi=2*pi*rand(nfreqs,1);

for i=start:last;

fx=A(i)*sin((2*pi*freqs(i).*dti+fi(i)));

fe=fe+fx;

end

figure(1);

plot(dti,fe);

análise sísmica de estruturas porticadas tridimensionais · numa primeira fase, obteve-se a...

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