anÁlise sÍsmica de estruturas planas equipadas … · anÁlise sÍsmica de estruturas planas...

80
ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Prof. Fernando Manuel Fernandes Simões Orientador: Prof. António Manuel Figueiredo Pinto da Costa Orientador: Prof. Luís Manuel Coelho Guerreiro Vogal: Prof. Ricardo José de Figueiredo Mendes Vieira Vogal: Prof. Jorge Miguel Silveira Filipe Mascarenhas Proença Outubro de 2013

Upload: vuque

Post on 20-Oct-2018

221 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURASPLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES

DE ATRITO

António João Saraiva Moreno Mónica

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre emEngenharia Civil

Júri

Presidente: Prof. Fernando Manuel Fernandes SimõesOrientador: Prof. António Manuel Figueiredo Pinto da CostaOrientador: Prof. Luís Manuel Coelho Guerreiro

Vogal: Prof. Ricardo José de Figueiredo Mendes VieiraVogal: Prof. Jorge Miguel Silveira Filipe Mascarenhas Proença

Outubro de 2013

Page 2: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

i

Page 3: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

Resumo

Este trabalho dedica-se à analise de sistemas planos equipados com dissipadores de atrito. Osdissipadores de atrito são sistemas anti-sísmicos passivos que servem o propósito de reduzir aresposta de uma estrutura quando sujeita à acção de um sismo. A redução da resposta daestrutura deve-se à acção de dissipação de energia do atrito existente entre duas superficiescontactantes. Apresentam-se as equações dinâmicas que regem o movimento assim como os al-goritmos adoptados. Inicialmente desenvolveu-se um programa no ambiente MATLAB baseadono algoritmo do método de Iwan para a análise das estruturas na ausência de dissipadores. Oprograma principal construído no âmbito desta dissertação, com o algoritmo do método-θ, per-mite estudar estruturas equipadas com dissipadores. O programa foi inicialmente testado comexemplos retirados de artigos existentes e com exemplos concebidos para testar o comporta-mento destes sistemas. Apresenta-se também o estudo de estruturas equipadas por dissipadoresde atrito com o intuito de obter dados objectivos para se adoptar metodologias gerais.Os ensaios feitos demonstraram precisão do programa e a aptidão dos dissipadores de atritocomo sistemas anti-sísmicos. Concluiu-se que a análise de estruturas equipadas com dissipadoresde atrito necessita ser feita para cada estrutura particular, não havendo regras gerais a adoptar.

Palavras-chave:SismoAtritoSistema de protecção sísmica passivaAnálise numérica

ii

Page 4: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

iii

Page 5: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

Abstract

This paper is dedicated to the analysis of linear systems equipped with friction dampers. Fric-tion dampers are passive anti-seismic devices that reduce the response of a structure whensubjected to an earthquake. The reduction of the response is caused by the dissipation ofenergy due to the friction between two contacting surfaces. In order to analyse structuresequipped with this kind of devices the dynamic equations of motion are presented as well asthe adopted algorithm. The main program built in MATLAB environment was created basedon the θ-method in order to analyse structures equipped with friction dampers. Initially theprogram was tested with examples in scientific articles. New examples developed in this workwere used to test the behavior of structures with friction dampers. The tests have shown theprecision of the program and the capacity of the friction dampers as anti-seismic systems aswell as the necessity of a specific analysis for each structure.

Key-words:EarthquakeFrictionPassive seismic protection deviceNumerical analysis

iv

Page 6: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

v

Page 7: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

Agradecimentos

Aos meus orientadores, Professor António Pinto da Costa e Professor Luís Guerreiro pelasua disponibilidade demonstrada, constante apoio e partilha de conhecimentos.

Ao Professor Francisco Virtuoso pela cedência de dados relativamente ao exemplo do via-duto (Secção 5.6).

À Rita pelo interesse genuíno em dissipadores de atrito e pelo apoio e incentivo incondicional.

Aos meus pais pela preocupação e carinho manifestados e à minha irmã pela ajuda na es-colha acertada do tema e por todas as palavras de apoio.

A todos os que directa ou indirectamente contribuíram para a realização deste trabalho.

vi

Page 8: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

vii

Page 9: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

Conteúdo1 Introdução 1

2 Amortecimento Viscoso e amortecimento de Coulomb 5

3 Modelação de estruturas com dissipadores de atrito 113.1 Equações dinâmicas de um sistema com N graus de liberdade . . . . . . . . . . 113.2 Formação da matriz Wt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Sistema de 1 grau de liberdade amortecido por atrito . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Algoritmos de integração numérica 214.1 Método de Iwan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Método-θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 O modelo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2 Discretização das equações de movimento do método-θ . . . . . . . . . . 274.2.3 Discretização da lei de atrito de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.4 Configuração do sistema no fim do intervalo [tk, tk+1] . . . . . . . . . . . 28

295 Exemplos numéricos 315.1 Sistema de 1 grau de liberdade amortecido por atrito . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1 Força de atrito elevada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.1.2 Deslocamento de retorno ao intervalo de configurações estáticas admissíveis 325.1.3 Oscilação da fundação e força de atrito elevada . . . . . . . . . . . . . . 325.1.4 Oscilação da fundação e força de atrito moderada . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Sistemas de 2 graus de liberdade com dissipadores de atrito . . . . . . . . . . . . 335.2.1 Dois osciladores de 1 grau de liberdade associados em paralelo . . . . . . 345.2.2 Dois osciladores de 1 grau de liberdade associados em série . . . . . . . . 35

5.3 Casos de pórticos de múltiplos graus de liberdade sem excitação no solo . . . . . 365.3.1 Pórtico de três pisos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3.2 Dois pórticos de três pisos associados por dissipadores de atrito . . . . . 38

5.4 Curva de ressonância de um sistema com três graus de liberdade . . . . . . . . . 415.5 Pórtico de três pisos com seis graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.5.1 Comportamento face ao sismo de El Centro . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5.2 Comportamento de um pórtico de três pisos face à acção de sismos . . . 47

5.6 Modelo de um viaduto com um grau de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Conclusão e desenvolvimentos futuros 57

A Anexos 61A.1 Acelerograma do sismo de El Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A.2 Zonamento Sísmico de Portugal Continental segundo o Anexo Nacional do EC8[1] 62

viii

Page 10: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

ix

Page 11: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

Lista de Figuras1 Dissipador de atrito instalado na fábrica da Boeing em Everrett, EUA [3]. . . . . 22 Sistema de um grau de liberdade, desprovido de inércia, composto por uma mola

de rigidez k associada em paralelo a um amortecedor viscoso com coeficiente deamortecimento c e a um dissipador de atrito com força máxima de atrito fs.O sistema é actuado por uma força F (t) por forma a garantir um movimentosinusoidal x(t) = X sin(ωt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Sistema desprovido de inércia composto por uma mola de rigidez k associadaem paralelo a um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento c. Osistema é actuado por uma força F (t) por forma a garantir um movimento sinu-soidal x(t) = X sin(ωt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Ciclo histerético do tipo viscoso. A área delimitada pelo ciclo é igual a πcωX2. . 75 Sistema constituído por um dissipador de atrito com uma força normal aplicada

fn e um coeficiente de atrito de Coulomb µ entre a superfície do dissipador e oexterior. Ao sistema é aplicada uma força exterior F (t) por forma a garantir ummovimento sinusoidal x(t) = X sin(ωt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6 Ciclo histerético do tipo atrito de Coulomb (sistema da Figura 5). . . . . . . . . 87 Ciclo histerético do sistema ilustrado na Figura 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Sistema de 1GDL com massa m, ligado ao exterior por uma mola de rigidez k

associado em paralelo a um amortecedor viscoso de coeficiente de amortecimentoc e a um dissipador de atrito com força máxima de atrito fs. O sistema estásujeito a uma aceleração na base a(t) = 200 sin(10t) ms−2. . . . . . . . . . . . . 9

9 Ciclo histerético do sistema ilustrado na Figura 8 calculado pelo programa de-senvolvido nesta dissertação. F representa a soma das forças elástica, viscosa ede atrito que actuam na massa m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

10 Configuração deformada de um pórtico uniforme de N pisos equipado com dis-sipadores de atrito e amortecedores viscosos, sujeito a uma história d(t) de des-locamentos da fundação na direcção perpendicular à da gravidade. . . . . . . . . 12

11 Representação gráfica da segunda lei de Newton para o i-ésimo piso de um pórticoplano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

12 Sentidos das forças de atrito nas superficies contactantes do α-ésimo dissipadorligando as i-ésima e j-ésima massas quando Xj > Xi. . . . . . . . . . . . . . . . 14

13 Sentidos das forças de atrito nas superfícies contactantes do α-ésimo dissipadorligando a i-ésima massa ao solo quando Xi < d(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

14 Pórtico de três pisos equipado com dissipadores de atrito. Representam-se ossentidos das reacções de atrito tomadas como positivas. . . . . . . . . . . . . . . 15

15 Dois pórticos de três pisos equipados com dissipadores de atrito. Os pórticos es-tão também ligados entre si por dissipadores de atrito. Representa-se os sentidosdas reacções de atrito tomadas como positivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

16 Sistema com 1 GDL constituído por uma massa m ligada ao exterior por umamola de rigidez k e, na direcção da gravidade, por um apoio plano com atrito(força máxima fs). O solo permanece imóvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

x

Page 12: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

17 História de deslocamentos do sistema de 1 GDL da Figura 16 amortecido exclu-sivamente com um dissipador de atrito, para um deslocamento inicial x0 = 3 me velocidade inicial nula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

18 História de impulsos do sistema de 1 GDL da Figura 16 amortecido exclusiva-mente com um dissipador de atrito, para um deslocamento inicial x0 = 3 m evelocidade inicial nula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

19 Curvas de ressonância (deslocamentos máximos em regime permanente) de umamassa com amortecimento viscoso pequeno (ζ=0.01) e com movimento sinusoidalhorizontal prescrito na base d(t) = D sin(ωt) com D = 0.1 e ω ∈ [0, 2.5p]. . . . . 19

20 Sistema com 1 GDL concretizado num pórtico de 1 piso com a massa m concen-trada no piso (suposto rígido), com a rigidez k concentrada nos pilares e dotadode um amortecedor viscoso de coeficiente de amortecimento c. . . . . . . . . . . 21

21 Deformada de um sistema com 1 GDL submetido a um movimento da fundação. 2222 Esquematização de um trecho de acelerograma linear por troços. . . . . . . . . . 2323 Sistemas lineares de vários graus de liberdade com dissipadores de atrito e dissi-

padores viscosos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624 Deslocamento em função do tempo do sistema de 1 GDL da Figura 16 com uma

força máxima de atrito excedendo ligeiramente a força de restituição elásticacorrespondente à configuração de repouso inicial. Não há movimentos no solo ouforças aplicadas à massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

25 Deslocamento em função do tempo do sistema da Figura 16 com uma força má-xima de atrito ligeiramente abaixo da força de restituição elástica correspondenteà configuração de repouso inicial. Não há movimentos no solo ou forças aplicadasna massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

26 Deslocamento relativo ao solo em função do tempo do sistema de 1 GDL daFigura 16 submetido a uma história de deslocamentos do solo sinusoidal e forçade atrito suficientemente elevada. Representação do deslocamento da massarelativamente ao solo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

27 Deslocamento relativo ao solo em função do tempo do sistema de 1 GDL daFigura 16 sujeito a um movimento no solo. A força máxima de atrito no dissipa-dor foi calibrada para um valor ligeiramente inferior à força de inércia máximacorrespondente a um hipotético bloqueamento permanente do dissipador. . . . . 34

28 Sistema constituído por dois osciladores de 1 GDL ligados por um dissipador deatrito (α = 2) com uma força máxima que garante o seu bloqueamento permanente. 35

29 História dos deslocamentos relativos à fundação de um sistema com dois oscila-dores de um grau de liberdade ligados por um dissipador de atrito com força deatrito máxima elevada e comparação com a história de deslocamentos do sistemade um grau de liberdade equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

30 Sistema constituído por um oscilador de dois graus de liberdade. . . . . . . . . . 3631 História de deslocamentos de um pórtico de 2 GDL (Figura 30) em que a massa 1

se desloca solidariamente com o solo por a força máxima de atrito do dissipadorde atrito que o liga ao solo ser muito elevada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

32 Pórtico de três pisos (3 GDL). Solo imóvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

xi

Page 13: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

33 Histórias dos deslocamentos dos três pisos do pórtico da Figura 32 para d(t) = 0e configuração inicial de repouso correspondente a x1

0 = 0.05 m, x20 = 0.10 m e

x30 = 0.15 m, próxima da configuração do primeiro modo de vibração em regime

linear (na ausência dos dissipadores). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3934 Dois pórticos ligados por dissipadores de atrito. Solo imóvel. . . . . . . . . . . . 4035 Histórias de deslocamentos horizontais dos pisos dos dois pórticos ligados por

dissipadores, representados na Figura 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4036 Sistema abstracto com 3 GDL parametrizado pelos deslocamentos absolutos X1

e X2 das massas e pelo deslocamento absoluto X3 da extremidade esquerda damola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

37 Curvas de ressonâncias retirada de [8], correspondentes a diferentes valores daforça máxima de atrito, fs = 5, 10, 25, 50, 100, 250 N. Em ordenadas representa-se a receptância do 1o grau de liberdade, definida como a amplitude do desloca-mento dividida pela amplitude da força de excitação (100 N). . . . . . . . . . . . 42

38 Curvas de ressonância do sistema esquematicamente representado na Figura 36para uma amplitude F = 100 N da força excitadora sinusoidal, para as for-ças máximas de atrito fs = 5, 10, 25, 50, 100, 250 N. Em abcissas representa-sea frequência de excitação f = ω

2πe em ordenadas a receptância da primeira

coordenada generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4339 Pórtico de três pisos sujeito a uma história de deslocamentos horizontais d(t)

prescrita na fundação. Os sistemas de contraventamento a que os dissipadoresestão ligados têm rigidez finita kb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

40 Comparação das respostas em deslocamentos relativos ao solo e acelerações ab-solutas ao nível do terceiro piso com e sem dissipadores de atrito (retirado de[9]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

41 Histórias de deslocamentos relativos ao solo dos três pisos do pórtico da Figura39 equipado com dissipadores por atrito, sujeito à acção do sismo de El Centro(retirado de [9]). No topo: 3o piso; no meio: 2o piso; em baixo: 1o piso. . . . . . 45

42 História de deslocamentos relativos ao solo do terceiro piso do pórtico da Figura39 equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro. . . . . 46

43 História de deslocamentos relativos ao solo do segundo piso do pórtico da Figura39 equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro. . . . . 46

44 História de deslocamentos relativos ao solo do primeiro piso do pórtico da Figura39 equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro. . . . . 47

45 Comparação entre as histórias de deslocamentos relativos ao solo do terceiro pisodo pórtico da Figura 39 para os casos com e sem atrito e sujeito ao sismo de ElCentro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

46 Comparação entre as histórias de acelerações absolutas do terceiro piso para oscasos com e sem atrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

xii

Page 14: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

47 Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do primeiro piso relativoao solo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Vá-rias forças máximas e diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 1 doEC8 ao nível do piso 1. Acção: conjunto de 10 sismos do Tipo 1 (EC8) geradosaleatoriamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

48 Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do segundo piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Váriasforças máximas e diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 1 do EC8ao nível do piso 2. Acção: conjunto de 10 sismos do Tipo 1 (EC8) geradosaleatoriamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

49 Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do terceiro piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Váriasforças máximas e diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 1 do EC8ao nível do piso 3. Acção: conjunto de 10 sismos do Tipo 1 (EC8) geradosaleatoriamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

50 Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do primeiro piso relativoao solo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Vá-rias forças máximas e diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 2 doEC8 ao nível do piso 1. Acção: conjunto de 10 sismos do Tipo 2 (EC8) geradosaleatoriamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

51 Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do segundo piso relativoao solo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores.Váriasforças máximas e diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 2 do EC8ao nível do piso 2. Acção: conjunto de 10 sismos do Tipo 2 (EC8) geradosaleatoriamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

52 Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do terceiro piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Váriasforças máximas e diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 2 do EC8ao nível do piso 3. Acção: conjunto de 10 sismos do Tipo 2 (EC8) geradosaleatoriamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

53 Perfil longitudinal de um viaduto modelado como um sistema de 1 grau de li-berdade na direcção longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

54 Oscilador de 1 GDL sujeito a um movimento prescrito à fundação (modelo doviaduto da Figura 53). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

55 Gráfico da força no dissipador versus deslocamento relativo do dissipador deatrito com uma força máxima de atrito fs = 7000 kN. . . . . . . . . . . . . . . . 53

56 Relação entre o deslocamento máximo médio (xmax), a força de atrito máximanormalizada (fs/mg) e a aceleração máxima de referência da acção sísmica nor-malizada (agr/g) para a acção do sismo do Tipo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

57 Relação entre o deslocamento máximo médio (xmax), a força de atrito máximanormalizada (fs/mg) e a aceleração máxima de referência da acção sísmica nor-malizada (agr/g) para a acção do sismo do Tipo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

58 Acelerograma do sismo de El Centro no ano de 1940 retirado de [10]. . . . . . . 61

xiii

Page 15: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

59 Zonamento sísmico de Portugal continental segundo o Anexo Nacional do EC8 [1] 62

xiv

Page 16: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

xv

Page 17: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

Lista de Símbolos

Caracteres Latinos

a(t) Aceleração do soloagr Aceleração máxima de referência de acção sísmica segundo o EC8c Coeficiente de amortecimento viscosoC Matriz de amortecimento viscosod(t) História de deslocamentos horizontais impostos na base de uma estruturaf Frequência natural (Hz)fn Força normal na superfície de contactofs Força máxima de atrito de um dissipador de atritoF (t) Força excitadorag Aceleração da gravidadeh Passo de tempo de integração do método-θit Impulso tangentek Rigidez de uma mola elástica linearkb Rigidez horizontal do sistema de contraventamento entre dois pisos consecutivosK Matriz de rigidezm MassaM Matriz de massanc Número de superfícies de contacto (número de dissipadores)p Frequência angular natural de um oscilador de 1 GDLpt Preditor do impulso tangentert Vector das reacções tangentesr Vector das reacções de atritoxi(t) Deslocamento relativo ao solo do i-ésimo pisoXi(t) Deslocamento absoluto do i-ésimo pisoX Amplitude de deslocamentovt Velocidade relativa tangenteWt Matriz rectangular que transforma as reacções tangentes locais em reacções generalizadas1N Vector coluna com todas as componentes unitárias

Caracteres Gregos

ε Tolerância do erroµ Coeficiente de atrito de Coulombω Frequência angular de excitação% Constante positivaθ Constante de integração do método-θζ Factor de amortecimento viscosoφ Modo de vibração

xvi

Page 18: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

xvii

Page 19: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

1 IntroduçãoDurante a ocorrência de um sismo são libertadas grandes quantidades de energia anterior-

mente armazenada sob a forma de energia potencial elástica na crosta terrestre. Parte dessaenergia é transmitida às construções por meio de deslocamentos prescritos nas suas fundações.O modo como cada estrutura dissipa a energia caracteriza a sua eficiência a suportar a acçãosísmica e o nível de danos causados por um sismo.

Segundo os regulamentos em vigor, nomeadamente o EC8 [1], há que cumprir dois tipos deexigências dependendo da intensidade do sismo: (i) o Estado Limite Último em que estruturanão pode colapsar para a acção de um sismo raro com probabilidade de ocorrência baixa e (ii)o Estado Limite de Serviço em que para um sismo com maior probabilidade de ocorrência osdanos na estrutura devem ser limitados.

Ainda se verifica que na maioria dos projectos de estruturas a capacidade de dissipação deenergia das mesmas, de modo a verificarem os estados limites, está confiada à exploração dacapacidade de deformação plástica dos materiais, ou seja à exploração da ductilidade da estru-tura. Esta metodologia implica um certo grau de dano dos materiais estruturais na ocorrênciade um sismo e consequentemente a sua reparação e/ou substituição após este acontecimento.

Mais recentemente têm sido procuradas novas soluções de protecção sísmica com o objectivode reduzir o dano nas estruturas durante eventos sísmicos. Dentro dos sistemas de protecçãosísmica existem: (i) os sistemas passivos, (ii) os sistemas semi-activos, (iii) os sistemas híbridos,e por fim (iv) os sistemas activos. Os sistemas passivos podem ser divididos em duas subca-tegorias: sistemas de isolamento de base e sistemas de dissipação de energia. Os sistemas dedissipação de energia incluem os amortecedores viscoelásticos, os amortecedores metálicos, osamortecedores sintonizados e por fim os dissipadores de atrito, aos quais esta dissertação sededica.

Os dissipadores de atrito são sistemas passivos de protecção sísmica que têm como funçãotransformar a energia proveniente de um sismo em calor através da resistência do atrito ao des-lizamento entre superficies contactantes. Os dissipadores entram em funcionamento quando aforça aplicada excede a força máxima de atrito entre as superfícies a qual é definida pelo projec-tista. Este facto resulta numa solução feita à medida para cada projecto a qual se traduz nummelhor comportamento da estrutura face à ocorrência do sismo. O objectivo de equipar umaestrutura com sistemas passivos anti-sísmicos é a de se obter uma resposta permanentementeelástica da estrutura. Desta forma previne-se a destruição de materiais durante a ocorrênciade um sismo com a consequente redução de custos de reparação.

Um dissipador de atrito pode ligar edifícios adjacentes ou pisos consecutivos de um edifíciocom o objectivo de reduzir deslocamentos relativos. Devido às suas características estes dissi-padores são compatíveis com estruturas metálicas, estruturas de betão armado e podem aindaser utilizados na reabilitação de estruturas existentes.

Estes sistemas têm a grande vantagem de serem simples de construir e de montar em obrao que se traduz num preço reduzido. Têm uma elevada capacidade de dissipação de energiaresultante de ciclos de histerese rectangulares (como se verá nesta dissertação) e fornecem amor-tecimento e rigidez suplementar à estrutura. Uma vez que os dissipadores não estão activosdurante as condições de serviço não têm problemas de fadiga e mantém as suas características

1

Page 20: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

durante o período de serviço da estrutura que resulta na necessidade de uma baixa manuten-ção.

Actualmente existem estruturas equipadas com dissipadores de atrito, principalmente naAmérica do Norte, Japão e Europa. Duas das principais empresas que comercializam dissipa-dores de atrito são a Pall Dynamics Limited e a Damptech A/S. Como exemplo de aplicaçãopode-se indicar um dos maiores edifícios em volume do mundo, a fábrica de aviões comerciaisda Boeing em Everrett, EUA. Em 1996 fez-se a reabilitação sísmica desta fabrica sendo utili-zados dissipadores de atrito da empresa Pall Dynamics [2] e [3]; a Figura 1 ilustra um dessesdissipadores de atrito. Outro exemplo é o edifício Abenobashi Terminal, o edifício mais alto doJapão, equipado com dissipadores de alta capacidade pela Damptech [4]. É pois evidente queestes dissipadores são aplicáveis e realmente aplicados a estruturas de grandes dimensões e degrande impacto na sociedade.

Figura 1: Dissipador de atrito instalado na fábrica da Boeing em Everrett, EUA [3].

Na regulamentação actual (EC8 [1]) não há orientações quanto à utilização de sistemas deprotecção sísmica passivos, sendo no entanto considerada a sua utilização ficando o dimensio-namento à responsabilidade do engenheiro projectista.

O presente trabalho tem como objectivo o desenvolvimento de uma ferramenta de cálculoautomático para analisar estruturas planas equipadas com dissipadores de atrito sujeitas à ac-ção de um sismo. Pretende-se avaliar a eficiência dos dissipadores de atrito em amortecer asvibrações induzidas por sismos reais em estruturas planas.

O presente capítulo destina-se a apresentar os sistemas de dissipação de atrito e as suascaracterísticas. No capítulo seguinte mostram-se os ciclos de histerese de diversas associaçõesdos seguintes elementos: mola, amortecedor viscoso e dissipador de atrito de Coulomb. No Ca-pítulo 3 demonstrar-se-ão as equações dinâmicas que regem o movimento de estruturas planasequipadas com dissipadores de atrito bem como um exemplo simples de 1 GDL. Posteriormenteapresentar-se-á algoritmos de integração numérica para o caso sem atrito (método de Iwan) epara o caso com atrito (método-θ) que permitiram determinar as histórias do movimento de

2

Page 21: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

vários sistemas mecânicos e de pórticos. O Capítulo 5 é inteiramente dedicado a exemplosnuméricos. No último capítulo faz-se um resumo das conclusões e apontam-se vários rumospossíveis de desenvolvimento do presente trabalho.

3

Page 22: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

4

Page 23: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

2 Amortecimento Viscoso e amortecimento de CoulombPretende-se analisar o comportamento histerético de um sistema de um grau de liberdade

com um deslocamento sinusoidal prescrito. O sistema, representado na Figura 2, é constituídopor uma barra rígida sem massa, onde é aplicada uma força sinusoidal. A barra rígida verticalassocia em paralelo uma mola de rigidez k, um amortecedor viscoso de coeficiente de amor-tecimento c e um dissipador de atrito com uma força máxima de atrito fs = µfn. A energia

k

F(t)

fs

c

x(t)=X sin(ωt)

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 2: Sistema de um grau de liberdade, desprovido de inércia, composto por uma mola derigidez k associada em paralelo a um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento ce a um dissipador de atrito com força máxima de atrito fs. O sistema é actuado por uma forçaF (t) por forma a garantir um movimento sinusoidal x(t) = X sin(ωt).

dissipada por ciclo é igual à area do diagrama (F, x) que é constituído pela combinação dosciclos de histerese resultantes da mola (de área nula), do amortecedor viscoso (uma elipse) edo dissipador de atrito (um rectângulo). O trabalho realizado num ciclo completo não é fun-ção da rigidez da mola k uma vez que a força da mola é conservativa, sendo que o trabalhodesenvolvido pela mola é apenas função da posição inicial e da posição final, que coincidem. Apresença da mola apenas introduz uma distorção do diagrama (F, x) proporcional à rigidez k.

Considere-se agora um sistema constituído por uma mola associada em paralelo com umamortecedor viscoso, ambos ligados ao exterior e a uma placa rígida sem massa, actuada poruma força F (t) = kx(t) + cx(t), como ilustrado na Figura 3 em que k designa a rigidez damola e c o coeficiente de amortecimento viscoso. Assumindo que a placa rígida está animadapor um movimento harmónico simples x(t) = X sin(ωt) (onde X é a amplitude do movi-mento) então a força necessária aplicar à placa para garantir o movimento harmónico prescritoé F (t) = kX sin(ωt) + cXω cos(ωt). O trabalho realizado pela força F (t) num ciclo completo(num período T = 2π

ω) será

WF =

∫ 2πω

0

F (t)x(t)dt =

∫ 2πω

0

[kX sin(ωt) + cXω cos(ωt)]Xω cos(ωt)dt = πcX2ω. (1)

5

Page 24: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

k

c

F(t)

x(t)=X sin(ωt)

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 3: Sistema desprovido de inércia composto por uma mola de rigidez k associada emparalelo a um amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento c. O sistema é actuadopor uma força F (t) por forma a garantir um movimento sinusoidal x(t) = X sin(ωt).

Na Figura 4 representa-se a trajectória do par (F (t), x(t)) para t ∈ [0, 2πω

] que não é mais doque uma elipse distorcida na direcção vertical pela função kx, onde

F (t) = kX sin(ωt) + cXω cos(ωt) = kx(t)± cω√X2 −X2 sin2(ωt) = kx± cω

√X2 − x2.

A trajectória elíptica indicada é descrita no sentido horário.A energia dissipada num ciclo completo é Wdiss = −

∫ 2πω

0F (t)x(t)dt = −WF = −πcωX2

que depende linearmente do coeficiente de amortecimento e quadraticamente da amplitude dodeslocamento. Note-se que a área πcωX2 delimitada pela trajectória é igual à energia dissipadapelo amortecedor viscoso. Para o caso particular em que a rigidez da mola é nula (k = 0) atrajectória descrita pelo par (F (t), x(t)) é uma elipse de semi-eixos orientados segundo os eixoscoordenados x e F .

Considere-se agora um modelo constituído por um dissipador de atrito tal como apresen-tado na Figura 5. A reacção tangente toma os seguintes valores, dependendo da velocidade dedeslizamento x,

rt(t)

= −µfn, se x > 0,

∈ [−µfn, µfn], se x = 0,= µfn, se x < 0,

(2)

Submetendo o dissipador a um movimento sinusoidal x(t) = X sin(ωt), a energia dissipada pela

6

Page 25: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

x

F

X˗X

kx

x

cω X ˗ x2 2

cωX

cω X ˗ x2 2

˗cωX

1k

1k

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 4: Ciclo histerético do tipo viscoso. A área delimitada pelo ciclo é igual a πcωX2.

F(t)

fn

rt

μ

x(t)=X sin(ωt)

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 5: Sistema constituído por um dissipador de atrito com uma força normal aplicadafn e um coeficiente de atrito de Coulomb µ entre a superfície do dissipador e o exterior. Aosistema é aplicada uma força exterior F (t) por forma a garantir um movimento sinusoidalx(t) = X sin(ωt).

reacção tangente durante um ciclo é

Wdiss =

∫ 2πω

0

r(t)x(t)dt =

∫ 2π4ω

0

[−µfnXω cos(ωt)]dt+

∫ 6π4ω

2π4ω

[µfnXω cos(ωt)]dt

+

∫ 2πω

6π4ω

[−µfnXω cos(ωt)]dt = −µfnX − 2µfnX − µfnX

= −4µfnX = −4fsX. (3)

7

Page 26: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

A trajectória do par (F (t), x(t)) toma a forma de uma linha quebrada em forma de rectângulo,como ilustrado na Figura 6. Note-se que agora a quantidade de energia dissipada por atrito éproporcional a X (e não a X2 como no amortecimento viscoso).

x

F

X˗X

nμf

n˗μf

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 6: Ciclo histerético do tipo atrito de Coulomb (sistema da Figura 5).

Pode-se então representar o ciclo histerético do sistema apresentado na Figura 2 através dacombinação dos diagramas apresentados nas Figuras 4 e 6. A energia total dissipada por cicloé Wdiss = −πcωX2 − 4µfnX e o ciclo de histerese para um deslocamento sinusoidal prescritoestá representado esquematicamente na Figura 7. A Figura 9 ilustra o ciclo histerético obtidocom o programa desenvolvido para o sistema de 1 GDL representado na Figura 8. O sistematem uma frequência natural p = 7.071 rad/s, massa m = 2 kg, factor de amortecimento viscosoζ = 0.01, uma força máxima de atrito fs = 1.962 N e está sujeito a uma aceleração na basea(t) = 200 sin(10t) ms−2. No ciclo da Figura 9 nota-se, tal como na Figura 7, uma parte centraltrapezoidal complementada por duas meias elipses (distorcidas). Conclui-se portanto que ambasas parcelas da energia dissipada (devido ao amortecimento viscoso e por atrito) dependemdo deslocamento relativo máximo sofrido pelas extremidades dos dissipadores instalados; aeficiência dos dissipadores ao dissiparem a energia transmitida à estrutura será optimizada seas extremidades dos dissipadores estiverem ligadas a partes da estrutura cuja amplitude dedeslocamento relativo, antes da instalação dos dissipadores, seja máxima.

8

Page 27: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

x

F

X

˗X

kX

cωX+μfn

μfnμfn

˗cωX ˗μfn

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 7: Ciclo histerético do sistema ilustrado na Figura 2.

X = x1

mk

c

fs

a(t)

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 8: Sistema de 1GDL com massa m, ligado ao exterior por uma mola de rigidez kassociado em paralelo a um amortecedor viscoso de coeficiente de amortecimento c e a umdissipador de atrito com força máxima de atrito fs. O sistema está sujeito a uma aceleraçãona base a(t) = 200 sin(10t) ms−2.

9

Page 28: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−500

0

500

x (m)

F(N

)

Figura 9: Ciclo histerético do sistema ilustrado na Figura 8 calculado pelo programa desenvol-vido nesta dissertação. F representa a soma das forças elástica, viscosa e de atrito que actuamna massa m.

10

Page 29: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

3 Modelação de estruturas com dissipadores de atritoO comportamento dinâmico de estruturas equipadas com dissipadores de atrito é fortemente

não linear devido aos pontos angulosos do gráfico da lei de Coulomb e da inclinação infinitadesse mesmo gráfico para uma velocidade relativa de deslizamento nula, o que torna a suamodelação numérica mais complexa. As estruturas consideradas nesta dissertação têm a massaconcentrada ao nível dos pisos (que se supõem rígidos) e toda a flexibilidade horizontal estáconcentrada apenas nos pilares ou nos sistemas de contraventamento que por vezes ligam osdissipadores de energia à estrutura.

Na análise de estruturas equipadas com dissipadores de atrito admite-se que os elementos es-truturais permanecem em regime elástico linear, não sendo necessário explorar a ductilidade daestrutura pois considera-se que o sistema anti-sísmico de amortecimento é suficientemente efici-ente para manter todas as secções transversais da estrutura com os esforços actuantes dentro daenvolvente dos esforços de cedência. Uma análise mais sofisticada, que no entanto não se insereno âmbito desta dissertação, envolveria também uma análise fisicamente (e geometricamente)não linear dos pilares.

3.1 Equações dinâmicas de um sistema com N graus de liberdade

Considere-se um sistema com N graus de liberdade do tipo pórtico como representado naFigura 10. O deslocamento absoluto de um piso genérico é Xi(t), o deslocamento da basedesigna-se por d(t), pelo que o deslocamento do i-ésimo piso relativamente à base é dado porxi(t) = Xi(t)− d(t). A massa de cada piso exprime-se por mi, o coeficiente de amortecimentoviscoso por ci, a rigidez designa-se por ki e as reacções tangentes dos dissipadores de atritoabaixo e acima do i-ésimo piso são designadas respectivamente por ri e ri+1. Aplicando asegunda lei de Newton ao i-ésimo piso (

∑FX = miXi) obtém-se para os pisos intermédios

ri+1 − ri + ki+1(Xi+1 −Xi)− ki(Xi −Xi−1) + ci+1(Xi+1 − Xi)− ci(Xi − Xi−1) = miXi, (4)

cujo significado geométrico está representado na Figura 11. Usando a definição de deslocamentorelativo à base, a equação (4) pode ser reescrita da forma

mixi− cixi−1 +(ci+ ci+1)xi− ci+1xi+1−kixi−1 +(ki+ki+1)xi−ki+1xi+1 = −mid− ri+ ri+1.(5)

O sistema de N equações do movimento do pórtico pode então ser escrito na forma vectorialem termos das matrizes de massa M, de amortecimento C e de rigidez K,

Mx(t) + Cx(t) + Kx(t) = −M1Na(t) + Wtr(t). (6)

O operador 1N é um vector coluna com todas as componentes unitárias (1N = {1 1 ... 1}T ,com N componentes). A quantidade a(t) = d(t) representa a aceleração do solo, r designao vector das reacções de atrito e Wt é uma matriz rectangular que transforma as reacçõestangentes (locais) em reacções generalizadas associadas às N coordenadas generalizadas. A

11

Page 30: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

XO

Y

x(t)

X (t)

d(t)

k2

k2

fsc

k2

k2

fsc

m

k2

k2

fsc

11

22

11

22

NNN

N

1

X (t)2

X (t)N

m

m

2

1

N

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 10: Configuração deformada de um pórtico uniforme de N pisos equipado com dissi-padores de atrito e amortecedores viscosos, sujeito a uma história d(t) de deslocamentos dafundação na direcção perpendicular à da gravidade.

=

m Xi ik (X X )i+1 ii+1 c (X X )i+1 ii+1ri+1

c (X X )i i i 1k (X X )i i i 1ri

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 11: Representação gráfica da segunda lei de Newton para o i-ésimo piso de um pórticoplano.

função da matriz Wt é pois a de recolher as contribuições das reacções tangentes instantâneasem cada dissipador (com o sinal apropriado) para formar o correspondente vector de reacçõesgeneralizadas, Wtr(t).

12

Page 31: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

3.2 Formação da matriz Wt

O raciocínio para a construção da matriz Wt pode basear-se na equação do movimento (6),válida para os troços da evolução dinâmica em que as componentes xi(t) do vector deslocamentosão funções do tempo duplamente diferenciáveis.

Para todas as nc superficies de contacto aplica-se a lei de atrito de Coulomb. Na superfíciegenérica α

rαt (t) ∈ −fαs Sign(vαt ), (7)

em que fαs exprime a força máxima tangente na superfície, para a qual pode ocorrer o desliza-mento. A reacção tangente aplicada pela massa j na massa i ou pelo solo na massa i (admitindoj > i), é representada por rαt , em que α designa o índice identificador do dissipador. A quanti-dade vαt designa a velocidade tangente relativa entre a massa i e o solo ou entre a massa i e amassa j, isto é

vαt =

{Xi − d(t) = xi, massa i ↔ soloXi − Xj = xi − xj, massa i ↔ massa j

. (8)

O operador Sign tem a seguinte definição

Sign(v) =

+1, se v > 0,

[−1,+1], se v = 0,−1, se v < 0.

(9)

Uma forma menos compacta (mas porventura mais perceptível para o leitor) de escrever a leide atrito de Coulomb é

rαt (t)

= −fαs , se vαt > 0,

∈ [−fαs , fαs ], se vαt = 0,= fαs , se vαt < 0,

(10)

onde são perceptivas as principais características da lei de Coulomb: (i) quando a velocidade dedeslizamento é não nula a força de atrito é constante e opõe-se ao movimento; (ii) quando nãohá deslizamento a força de atrito pode variar apenas no conjunto definido pelo intervalo limi-tado pelas forças de deslizamento. Recorde-se que fαs = µαfαn em que µα designa o coeficientede atrito entre as superfícies contactantes e fαn designa a força prescrita na direcção normal àssuperfícies do dissipador.

Em qualquer pórtico existem duas situações possíveis para cada dissipador:

• O dissipador liga a massa i à massa j. Quando Xi < Xj a velocidade relativa vαt = Xi−Xj

< 0 pelo que rαt = −fαs (−1) = fαs > 0, isto é, a reacção tangente aplicada pela massaj sobre a massa i aponta no sentido positivo do eixo X (situação ilustrada na Figura12). Isto significa que o dissipador α contribui com +rαt para a i-ésima componente do2o membro da equação do movimento e contribui com −rαt para a j-ésima componentedesse mesmo 2o membro. Note-se que se escolhe o caso Xi < Xj para que rαt seja positiva,obtendo-se assim as contribuições para o vector das forças generalizadas do 2o membrocom os sinais algébricos correctos.

13

Page 32: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

r >0tα

massa i massa j

XXi j

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 12: Sentidos das forças de atrito nas superficies contactantes do α-ésimo dissipadorligando as i-ésima e j-ésima massas quando Xj > Xi.

• O dissipador liga a massa i ao solo. Quando Xi < d(t) a velocidade relativa vαt = Xi−d < 0pelo que rαt = −fαs (−1) = fαs > 0, isto é, a reacção tangente aplicada pelo solo sobre amassa i aponta no sentido positivo do eixo X(situação apresentada na Figura 13). Deste

O

=1

d(t)X

Y X1

r >0tα

massa i

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 13: Sentidos das forças de atrito nas superfícies contactantes do α-ésimo dissipadorligando a i-ésima massa ao solo quando Xi < d(t).

modo o dissipador α contribui com +rαt para a i-ésima componente do 2o membro daequação do movimento. Escolhe-se o caso Xi < d(t) para que rαt seja positiva, obtendo-seassim a contribuição para o vector das forças generalizadas com o sinal correcto.

Os elementos da matriz Wt podem tomar três valores diferentes: (Wt)iα = 0 se a massa associ-ada à coordenada generalizada i não estiver ligada ao dissipador α; (Wt)iα = +1 se o dissipadorα ligar a massa i a uma massa j em que i < j ou se o dissipador α ligar a massa i ao solo;(Wt)iα = −1 se o dissipador α ligar a massa i a uma massa k em que k < i. A matriz Wt seráem geral rectangular, tendo sempre um número de colunas igual ao numero de dissipadores

14

Page 33: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

(nc) e um número de linhas igual ao número de graus de liberdade (N). Só será quadradano caso muito particular em que o número de dissipadores igualar o número de coordenadasgeneralizadas.

Apresentam-se de seguida dois pórticos com o intuito de ilustrar a formação da matriz Wt.Para o primeiro pórtico, apresentado na Figura 14, tem-se

R1

R2

R3

=

r1t + r2

t

−r2t + r3

t

−r3t

=

1 1 00 −1 10 0 −1

r1t

r2tr3t

= Wtrt

O

=1

d(t)X

Y

X1

X2

X3

r >0t1

=2

=3

r >0t2

r >0t3

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 14: Pórtico de três pisos equipado com dissipadores de atrito. Representam-se os sentidosdas reacções de atrito tomadas como positivas.

15

Page 34: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

O segundo pórtico está apresentado na Figura 15, para o qual se obtém

R1

R2

R3

R4

R5

R6

=

r1t + r2

t + r7t

−r2t + r3

t + r8t

−r3t + r9

t

r4t + r5

t − r7t

−r5t + r6

t − r8t

−r6t − r9

t

=

1 1 0 0 0 0 1 0 00 −1 1 0 0 0 0 1 00 0 −1 0 0 0 0 0 10 0 0 1 1 0 −1 0 00 0 0 0 −1 1 0 −1 00 0 0 0 0 −1 0 0 −1

r1t

r2tr3t

r4t

r5t

r6t

r7t

r8t

r9t

= Wtrt.

Na implementação computacional nunca se deve formar a matriz Wt de forma explicita,

O

d(t)X

Y

X4

X5

X6

X1

X2

X3

=1

r >0t1

=4

r >0t4

=5

r >0t5

=2

r >0t2

=3

r >0t3

=6

r >0t6

=8

r >0t8

=9

r >0t9

=7

r >0t7

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 15: Dois pórticos de três pisos equipados com dissipadores de atrito. Os pórticos estãotambém ligados entre si por dissipadores de atrito. Representa-se os sentidos das reacções deatrito tomadas como positivas.

evitando-se assim a manipulação de zeros e as consequentes perdas de precisão e custos com-putacionais.

3.3 Sistema de 1 grau de liberdade amortecido por atrito

O exemplo tratado seguidamente é um exemplo clássico que aparece em vários livros devibrações mecânicas. Trata de uma massa ligada a uma mola elástica linear (Figura 16). A

16

Page 35: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

massa tem o seu movimento horizontal restringido por uma força de atrito função da suavelocidade em relação ao solo. As condições iniciais são um deslocamento inicial em relaçãoà posição indeformada da mola e uma velocidade inicial nula. Este sistema de um grau deliberdade evolui em regime livre. Se o deslocamento inicial for suficientemente elevado, pode-se concluir analiticamente que os máximos da história de deslocamentos têm uma envolventelinear decrescente de declive

2fsp

πk(11)

em que p =√

kmé a frequência natural do sistema massa-mola (ver a Secção 2.7 de [7]); recordar

que num sistema apenas com amortecimento viscoso a envolvente é uma exponencial decrescentedependente do factor de amortecimento. O sistema de um grau de liberdade em questão éconcretizado numa massa m = 2 kg ligada ao exterior através de uma mola de rigidez k = 100N/m e uma força máxima na superfície de contacto com o solo de fs = 0.1×2×9.81 = 1.962 N.As condições iniciais são o deslocamento inicial da massa em relação ao comprimento naturalda mola x0 = 3 m; não existem forças exteriores aplicadas ao sistema nem movimentos no solo.

A partir do instante inicial t0, e uma vez que a força de restituição elástica kx0 = 300 N

X = x1

mk fs

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 16: Sistema com 1 GDL constituído por uma massa m ligada ao exterior por uma molade rigidez k e, na direcção da gravidade, por um apoio plano com atrito (força máxima fs). Osolo permanece imóvel.

excede a força máxima de atrito fs = 1.962 N, a massa começa a oscilar com decaimento dodeslocamento máximo por ciclo, acabando o sistema por atingir o repouso num tempo finito,com um deslocamento final da massa em relação ao solo não necessariamente nulo (Figura 17).O tempo total de simulação é de 40 segundos com um passo de tempo h de 0.001 segundos.Note-se que o valor numérico do declive das rectas que unem os picos de deslocamento quese observa no gráfico é o previsto pela fórmula (11): 0.088321. Na Figura 18 apresenta-se ahistória dos impulsos da reacção tangente versus o tempo e como se pode observar o valor doimpulso varia instantaneamente entre −0.001962 e 0.001962 em intervalos de tempo constantesaté o sistema entrar em equilíbrio estático. Estes valores confirmam-se analiticamente, uma vezque µ m g h = 0.001962 em que h = 0.001 segundos é o passo de tempo usado.

17

Page 36: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0 5 10 15 20 25 30 35 40−3

−2

−1

0

1

2

3

t (s)

x(t)(m

)

Figura 17: História de deslocamentos do sistema de 1 GDL da Figura 16 amortecido exclusiva-mente com um dissipador de atrito, para um deslocamento inicial x0 = 3 m e velocidade inicialnula.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10−3

t (s)

it(t)(N

s)

Figura 18: História de impulsos do sistema de 1 GDL da Figura 16 amortecido exclusivamentecom um dissipador de atrito, para um deslocamento inicial x0 = 3 m e velocidade inicial nula.

Com o objectivo de verificar o programa desenvolvido sob a acção de movimentos prescri-tos do solo, calcularam-se as curvas de ressonância apresentadas na Figura 19. Obtiveram-seas curvas de ressonância para diferentes coeficientes de atrito, µ = 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5,e considerou-se um pequeno factor de amortecimento viscoso ζ = 0.01 de modo a que paraµ = 0 não se obtivesse amplitude infinita na situação de ressonância. O movimento da base éd(t) = 0.1 sin(ωt) e cada ponto das curvas da Figura 19 corresponde à amplitude em regime

18

Page 37: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

permanente obtida por simulações numéricas suficientemente longas. Note-se que a curva deµ = 0 coincide com a curva β3(ω

p, ζ) que representa o deslocamento máximo de um oscilador

de um grau de liberdade em regime permanente sujeito a um movimento sinusoidal prescrito àfundação.

Chama-se a atenção para uma característica das curvas de ressonância de sistemas amorte-cidos por atrito que as distingue das curvas de ressonância de sistemas amortecidos exclusiva-mente por amortecedores viscosos. Em sistemas com atrito há troços das curvas de ressonânciaque são nulos (quando a acção externa não é suficiente para mobilizar uma reacção tangentena fronteira do intervalo [−fs, fs]) enquanto que em sistemas viscosos as curvas de ressonân-cia nunca têm um valor nulo. O fenómeno relatado é particularmente evidente nas curvas deressonância correspondentes a coeficientes de atrito mais elevados (por exemplo, observe-se ascurvas da Figura 19 correspondentes a µ ≥ 0.2).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

10

20

30

40

50

ω/p

xmax/D

µ=0.6

µ=0.5

µ=0.4µ=0.3

µ=0.2

µ=0.1

µ=0.0

Figura 19: Curvas de ressonância (deslocamentos máximos em regime permanente) de umamassa com amortecimento viscoso pequeno (ζ=0.01) e com movimento sinusoidal horizontalprescrito na base d(t) = D sin(ωt) com D = 0.1 e ω ∈ [0, 2.5p].

19

Page 38: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

20

Page 39: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

4 Algoritmos de integração numérica

4.1 Método de Iwan

Nesta dissertação usou-se o método de Iwan clássico essencialmente para verificação dosresultados fornecidos pelo método-θ (implementado para integrar sistemas com atrito) apenasquando as forças de atrito nos dissipadores são nulas; por isso é-lhe dedicada uma atençãorelativamente modesta.

O método de Iwan é um método numérico simples para calcular a resposta de um sistemalinear de um grau de liberdade para acções (forças aplicadas ou movimento prescrito à funda-ção) definidas linearmente por troços no domínio do tempo [5].

No caso de a solicitação ser um sismo quantificado por um acelerograma (consistindo numconjunto de acelerações registadas em instantes separados por intervalos de tempo muito cur-tos), a hipótese de a aceleração do solo variar linearmente entre dois registos consecutivosrevela-se perfeitamente aceitável, o que permite adoptar o método de Iwan como método deintegração numérica.

Uma vez que a resposta de um sistema linear com múltiplos graus de liberdade pode serexpressa como a combinação linear de sistemas de um grau de liberdade, a programação efi-ciente do método de Iwan revela-se muito útil também para a simulação de sistemas linearescom mais de um grau de liberdade.

Considere-se um oscilador de um grau de liberdade com uma aceleração a(t) prescrita nabase tal como ilustrado na Figura 20. O oscilador é caracterizado por uma massa m um co-eficiente de amortecimento viscoso c e uma rigidez elástica linear k. No caso da Figura 20 ooscilador é representado por um pórtico de um piso submetido a uma história de aceleraçõesimpostas à fundação na direcção ortogonal à da aceleração da gravidade.

Figura 20: Sistema com 1 GDL concretizado num pórtico de 1 piso com a massa m concentradano piso (suposto rígido), com a rigidez k concentrada nos pilares e dotado de um amortecedorviscoso de coeficiente de amortecimento c.

21

Page 40: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

A Figura 21 ilustra a configuração deformada do sistema num instante genérico em que d(t)designa o deslocamento absoluto da fundação (d(t) = a(t)) e X(t) representa o deslocamentoabsoluto da massa. O deslocamento da massa relativamente à base, relevante para a avaliaçãodos esforços nos pilares, é x(t) = X(t)− d(t).

Figura 21: Deformada de um sistema com 1 GDL submetido a um movimento da fundação.

A aplicação da segunda lei de Newton ao sistema conduz a

mx+ cx+ kx = −ma(t). (12)

A divisão de ambos os membros por m e a definição da frequência circular natural deamortecimento por p =

√k/m e do factor de amortecimento por ζ = c

2mωpermite reescrever a

equação do movimento na forma

x+ 2ζpx+ p2x = −a(t). (13)

Assumimos que a história de acelerações se pode aproximar bem por uma função linear por

22

Page 41: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

troços, como ilustrado na Figura 22.

Figura 22: Esquematização de um trecho de acelerograma linear por troços.

Para t ∈ [ti, ti+1] a aceleração da fundação exprime-se por a(t) = ai + ∆ai∆ti

(t − ti), em que∆ai = ai+1− ai e ∆ti = ti+1− ti. Então, a equação diferencial que rege o movimento da massam no intervalo de tempo t ∈ [ti, ti+1] é

x+ 2ζpx+ p2x = −ai −∆ai∆ti

(t− ti) (14)

cuja solução exacta é composta pela solução geral da equação homogénea mais a solução par-ticular: x(t) = xh(t) + xp(t). A parcela

xh(t) = e−ζp(t−ti)[C1 sin(√

1− ζ2p(t− ti)) + C2 cos(√

1− ζ2p(t− ti))] (15)

é a solução geral de xh(t) + 2ζpxh(t) + p2xh(t) = 0, em que C1 e C2 são duas constantes reaisa ajustar de acordo com as condições iniciais. Por sua vez

xp(t) = −aip2

+2ζ

p3

∆ai∆ti− 1

p2

∆ai∆ti

(t− ti) (16)

é a solução particular da equação original (não homogénea). A solução completa, ainda emtermos das constantes C1 e C2, é

x(t) = e−ζp(t−ti)[C1 sin(√

1− ζ2p(t−ti))+C2 cos(√

1− ζ2p(t−ti))]−aip2

+2ζ

p3

∆ai∆ti− 1

p2

∆ai∆ti

(t−ti),

(17)

23

Page 42: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

em que√

1− ζ2p representa a frequência circular natural amortecida. Sendo uma das condiçõesiniciais a velocidade inicial, é necessário obter a expressão das velocidades por derivação de (17)em ordem ao tempo:

x(t) = pe−ζp(t−ti){−ζ[C1 sin(√

1− ζ2p(t− ti)) + C2 cos(√

1− ζ2p(t− ti))]

+√

1− ζ2[C1 cos(√

1− ζ2p(t− ti))− C2 sin(√

1− ζ2p(t− ti))]} −1

p2

∆ai∆ti

(18)

A imposição das condições iniciais x(ti) = xi e x(ti) = xi permite determinar as constantes

C1 =1√

1− ζ2[ζxi +

xip

+ ζaip2

+1− 2ζ2

p3

∆ai∆ti

] (19)

eC2 = xi +

aip2− 2ζ

p3

∆ai∆ti

. (20)

O objectivo do método é a avaliação do deslocamento e da velocidade no instante t = ti+1, umavez conhecidas essas quantidades no instante ti. Para isso efectuam-se os cálculos x(ti+1) =x(ti + ∆ti) e x(ti+1) = x(ti + ∆ti) que podem ser escritos na seguinte forma matricial{

xi+1

xi+1

}=

[A11 A12

A21 A22

]{xixi

}+

[B11 B12

B21 B22

]{aiai+1

}. (21)

Os elementos das matrizes A(ζ, ω,∆ti) e B(ζ, ω,∆ti) presentes em (21) são dados explicita-mente por

A11 = e−ζp∆ti [ζ√

1− ζ2sin(√

1− ζ2p∆ti) + cos(√

1− ζ2p∆ti)], (22)

A12 = e−ζp∆ti [1√

1− ζ2psin(√

1− ζ2p∆ti)], (23)

A21 = − p√1− ζ2

e−ζp∆ti sin(√

1− ζ2p∆ti), (24)

A22 = e−ζp∆ti [cos(√

1− ζ2p∆ti)−ζ√

1− ζ2sin(√

1− ζ2p∆ti)], (25)

24

Page 43: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

e por

B11 = e−ζp∆ti [1√

1− ζ2(ζ

p2− 1− 2ζ2

p3∆ti) sin(

√1− ζ2p∆ti) + (

1

p2+

p3∆ti) cos(

√1− ζ2p∆ti)]−

p3∆ti,

(26)

B12 = e−ζp∆ti [1√

1− ζ2

1− 2ζ2

p3∆tisin(√

1− ζ2p∆ti)−2ζ

p3∆ticos(

√1− ζ2p∆ti)] +

p3∆ti− 1

p2,

(27)

B21 = e−ζp∆ti [− 1√1− ζ2p

(1 +ζ

p∆ti) sin(

√1− ζ2p∆ti)−

1

p2∆ticos(

√1− ζ2p∆ti)] +

1

p2∆ti,

(28)

B22 = e−ζp∆ti [ζ√

1− ζ2p2∆tisin(√

1− ζ2p∆ti) +1

p2∆ticos(

√1− ζ2p∆ti)]−

1

p2∆ti. (29)

A aceleração absoluta da massa do sistema num instante genérico ti pode ser calculada por

Xi = xi + ai = −2ζpxi − p2xi. (30)

Conclui-se portanto que, uma vez conhecido o estado (deslocamento e velocidade) do sistemanum instante inicial t0, pode-se determinar o estado e a aceleração do sistema em qualquer umdos instantes ti subsequentes por aplicação recursiva de (21) e de (30). A vantagem computa-cional deste método baseia-se no facto de as matrizes A e B serem determinadas apenas umavez no início, dado que A e B dependem apenas de ζ , p e ∆ti, sendo que ζ e p são constantesdo sistema e ∆ti é também frequentemente uma constante durante todo o processo de cálculo.Um bom documento sobre o método de Iwan é [5], no qual se baseia esta secção.

25

Page 44: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

4.2 Método-θ

4.2.1 O modelo físico

Na análise de sistemas lineares de vários graus de liberdade sujeitos a forças aplicadas nasmassas ou deslocamentos impostos no solo, com dissipadores de atrito, utilizou-se o método-θ [6], descrito neste capítulo. Este método é especialmente bem adaptado à integração dasequações (não regulares) do movimento quando há dissipadores de atrito ligados a diferentespisos dentro de um pórtico ou entre pórticos.

Considere-se um sistema com um número finito de graus de liberdade consistindo numsistema ou conjunto de sistemas com a massa concentrada ao nível de cada piso. As grandezascinemáticas relevantes são os deslocamentos absolutos Xi(t) das massas, o deslocamento do solod(t) e o deslocamento de cada grau de liberdade relativamente ao solo xi(t) = Xi(t)− d(t). AFigura 23 ilustra o caso geral em que o amortecimento viscoso pode coexistir com o atrito deCoulomb.

Figura 23: Sistemas lineares de vários graus de liberdade com dissipadores de atrito e dissipa-dores viscosos.

Os dissipadores de atrito ou os amortecedores viscosos podem ligar dois pisos diferentes

26

Page 45: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

ou um piso ao solo. O movimento absoluto (horizontal) do solo é definido pela função d(t),linear dentro de cada intervalo de tempo. Como já foi referido, assume-se nesta dissertaçãoque os membros elásticos (pilares) dos pórticos estão sujeitos apenas a pequenas deformações.Modelos mais sofisticados considerando o comportamento geometrica e fisicamente não lineardos diversos elementos estruturais não são abordados nesta dissertação.

4.2.2 Discretização das equações de movimento do método-θ

O método de integração no tempo de sistemas não regulares (como é o caso de sistemascom atrito) designado por método-θ foi inventado por Jean Jacques Moreau e Michel Jean eencontra-se justificado em [6].

Ao integrar-se a equação de movimento (6) num intervalo de tempo igual ao passo de tempoh = tk+1 − tk obtém-se∫ tk+1

tkMxdt =

∫ tk+1

tk[−M1N d(t)−Kx−Cx]dt+

∫ tk+1

tkWr(t)dt. (31)

Para o membro da esquerda ∫ tk+1

tkMxdt ≈M(xk+1 − xk).

As parcelas do membro da direita são∫ tk+1

tk[−M1N d(t)−Kx−Cx]dt ≈ hθ[−M1N d(tk+1)−Kxk+1 −Cxk+1]+

h(1− θ)[−M1N d(tk)−Kxk −Cxk]

onde θ ∈ [0, 1]. No presente trabalho utiliza-se θ = 0.5, o que corresponde à regra de integraçãodos trapézios e

xk+1 = xk + hθxk+1 + h(1− θ)xk (32)

e ∫ tk+1

tkWrdt =

∑α∈PC

Wαt iα,k+1t ,

em que iα,k+1t =

∫ tk+1

tkrαt dt representa o impulso da reacção tangente no intervalo [tk, tk+1]. A

inserção das igualdades anteriores em (31), fazendo d(t) = a(t) permite obter

Mxk+1 −Mxk = hθ[−M1Nak+1 −Kxk+1 −Cxk+1]+

h(1− θ)[−M1Nak −Kxk −Cxk] +

∑α∈PC

(Wαt iα,k+1t ) (33)

27

Page 46: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

que após reagrupamento de termos conduz a

[M + hθC + h2θ2K]xk+1 = [M− h(1− θ)C− h2θ(1− θ)K]xk − hKxk−

hM1N [θak+1 + (1− θ)ak] +∑α∈PC

(Wαt iα,k+1t ). (34)

DefinindoM = M + hθC + h2θ2K (35)

eF = [M− h(1− θ)C− h2θ(1− θ)K]xk − hKxk − hM1N [θak+1 + (1− θ)ak] (36)

obtém-se a seguinte forma compacta da versão impulsional das equações do movimento simpli-ficada

Mxk+1 = F +∑α∈PC

Wαt iα,k+1t . (37)

4.2.3 Discretização da lei de atrito de Coulomb

Nos sistemas considerados na presente dissertação o contacto em cada superfície de atrito épermanente. Numa superfície de contacto genérica α, a versão impulsional da lei de Coulombé

iα,k+1t ∈ −fαs hSign(vα,k+1

t ), (38)

que é equivalente aiα,k+1t = proj[−fsh,+fsh](i

α,k+1t − %vα,k+1

t ). (39)

em que projD(z) designa a projecção ortogonal de z sobre o conjunto D, % > 0, e vα,k+1t designa

a velocidade tangente da massa i em relação à massa j ou da massa i relativamente ao solo,avaliada no fim de cada intervalo de tempo [tk, tk+1]:

vα,k+1t =

{xk+1i , massa i ↔ soloxk+1i − xk+1

j , massa i ↔ massa j=

{Xk+1i − d(t), massa i ↔ solo

Xk+1i − Xk+1

j , massa i ↔ massa j(40)

4.2.4 Configuração do sistema no fim do intervalo [tk, tk+1]

O problema que se deseja resolver é, dados (xk, xk, ikt ), obter-se (xk+1, xk+1, ik+1t ) através

de (37) e de (39) para k = 0, 1, ..., n, onde n = Them que T é o tempo total de simulação. O

algoritmo adoptado [6] é

1) Se k = 0, então tk = 0, xk = x0, xk = x0 são as condições iniciais do sistema. Parak ≥ 1, então tk = kh.

28

Page 47: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

2) Calcula-se a matriz M e o vector F definidos respectivamente em (35) e (36)

3) Processo iterativo para o intervalo de tempo [tk, tk+1].

3.1) No início de cada processo iterativo (i = 1) calcular xk+1,1 = M−1F.

3.2) Para cada iteração i > 1 e para todas as superfícies de contacto α ∈ PCcalcular iα,k+1,i+1

t pelo algoritmo local seguinte:

3.2.1) Calcular (Preditor) pα,k+1,i+1t = iα,k+1,i

t − %vα,it

3.2.2) Calcular (Corrector) iα,k+1,i+1t = proj[−fsh,+fsh](p

α,k+1,i+1t )

3.3) Actualiza-se o vector das coordenadas generalizadas, isto é, calcula-se

xk+1,i+1 = M−1F + M−1∑

α∈PC Wαt iα,k+1t

3.4)Verificar se o seguinte critério de convergência:

‖ xk+1,i+1 − xk+1,i ‖< ε,‖ iα,k+1,i+1

t − iα,k+1,it ‖< ε, ∀α ∈ PC ,

é satisfeito com um ε suficientemente pequeno. Se todos os critérios forem verifi-cados então

xk+1 ← xk+1,i+1

iα,k+1t ← iα,k+1,i+1

t

e procede-se para o passo 4). Caso contrário, se pelo menos um dos critérios nãofor verificado então i← i+ 1 e retorna-se ao passo 3.2).

4) Se tk+1 + h < T então a simulação continua para o próximo passo, k ← k + 1 eretorna-se ao passo 1). Se tk+1 + h ≥ T a simulação acaba.

29

Page 48: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

30

Page 49: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

5 Exemplos numéricosNo presente capítulo são apresentados os casos de estudo que serviram como testes de

verificação do programa desenvolvido bem como as análises ao desempenho dos dissipadoresde atrito. Os testes permitiram confirmar que o programa estava correcto e assim foi possíveltratar casos ainda não estudados e analisar estruturas planas equipadas com dissipadores deatrito.

5.1 Sistema de 1 grau de liberdade amortecido por atrito

Nesta secção retoma-se o exemplo de um grau de liberdade da Secção 3.3 (Figura 16) comalgumas variantes.

5.1.1 Força de atrito elevada

No presente ensaio numérico usa-se uma força máxima de atrito suficientemente elevada porforma a que a massa não se mova para uma condição inicial de repouso correspondente a umalongamento da mola de 3 m. Deste modo utilizou-se fs = 304.11 N que é superior à força derestituição elástica kx0 = 100 × 3 = 300 N. O resultado, de acordo com o esperado, foi que amassa não se moveu como demonstra a história de deslocamentos da Figura 24.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t (s)

x(t)(m

)

Figura 24: Deslocamento em função do tempo do sistema de 1 GDL da Figura 16 com umaforça máxima de atrito excedendo ligeiramente a força de restituição elástica correspondente àconfiguração de repouso inicial. Não há movimentos no solo ou forças aplicadas à massa.

31

Page 50: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

5.1.2 Deslocamento de retorno ao intervalo de configurações estáticas admissíveis

Analisa-se agora uma variante do ensaio numérico anterior na medida em que se reduziuligeiramente a força máxima de atrito para fs = 294.3 N (um pouco menor que a força derestituição elástica correspondente ao deslocamento inicial). Prevê-se obter uma história dedeslocamentos da massa sem que esta oscile devido à proximidade entre a força máxima deatrito e a força de restituição elástica inicial da mola (300 N). O resultado obtido está ilustradona Figura 25. A massa move-se (sem desenvolver forças de inércia apreciáveis) para umaconfiguração correspondente a uma força de restituição elástica de 288.6 N, um pouco abaixomas próxima da força máxima de atrito.

0 5 10 15 20 25 30 35 402.88

2.9

2.92

2.94

2.96

2.98

3

3.02

t (s)

x(t)(m

)

Figura 25: Deslocamento em função do tempo do sistema da Figura 16 com uma força máximade atrito ligeiramente abaixo da força de restituição elástica correspondente à configuração derepouso inicial. Não há movimentos no solo ou forças aplicadas na massa.

5.1.3 Oscilação da fundação e força de atrito elevada

Um outro teste realizado corresponde a um deslocamento inicial nulo mas com uma históriade deslocamentos do solo dada por d(t) = D sin(ωt) = 0.1 sin(10t). Definiu-se a força máximade atrito de modo a que o dissipador de atrito não entrasse em funcionamento: fs = 20.2 N queé superior à força máxima de inércia mamax = 2×0.1×102 = 20 N (recordar que enquanto nãohouver deslizamento no dissipador a aceleração máxima da massa é dada por amax = Dω2). Ahistória de deslocamentos do oscilador é apresentada na Figura 26; como se pode observar odeslocamento da massa relativamente ao solo (x(t)) é nulo ao longo do tempo.

32

Page 51: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0 5 10 15 20 25 30 35 40−1

−0.5

0

0.5

1

t (s)

x(t)(m

)

Figura 26: Deslocamento relativo ao solo em função do tempo do sistema de 1 GDL da Figura 16submetido a uma história de deslocamentos do solo sinusoidal e força de atrito suficientementeelevada. Representação do deslocamento da massa relativamente ao solo.

5.1.4 Oscilação da fundação e força de atrito moderada

Um último teste com o sistema da Figura 16 consistiu em reduzir o valor da força máxima deatrito no dissipador de modo a que a força máxima de inércia correspondente a um movimentosolidário entre a massa e a fundação excedesse a força máxima de atrito fs = 19.62 N. Ahistória de deslocamentos da fundação é d(t) = 0.1 sin(10t). A história de deslocamentos damassa relativamente à fundação já não é nula, estando ilustrada na Figura 27. O tempo totalde simulação é de 40 segundos com um passo de tempo h de 0.001 segundos. O parâmetro %toma o valor unitário e o parâmetro θ é 0.5. Observa-se que o regime permanente é alcançadoao fim de aproximadamente 20 segundos e é caracterizado por (i) uma muito baixa amplitudede oscilação devido à pequena diferença entre a força máxima de atrito (19.62 N) e a forçade inércia correspondente ao bloqueamento do dissipador (20 N) e (ii) um valor médio dodeslocamento nulo, portanto correspondente a uma força de restituição elástica nula. Notarque a escala das ordenadas da Figura 27 é 10−4.

5.2 Sistemas de 2 graus de liberdade com dissipadores de atrito

Com o objectivo de se verificar o programa para osciladores de vários graus de liberdadeconceberam-se dois ensaios numéricos cujos resultados terão que ser iguais aos obtidos para osistema de um grau de liberdade analisado na Secção 3.3.

33

Page 52: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0 5 10 15 20 25 30 35 40−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10−4

t (s)

x(t)(m

)

Figura 27: Deslocamento relativo ao solo em função do tempo do sistema de 1 GDL da Figura16 sujeito a um movimento no solo. A força máxima de atrito no dissipador foi calibradapara um valor ligeiramente inferior à força de inércia máxima correspondente a um hipotéticobloqueamento permanente do dissipador.

5.2.1 Dois osciladores de 1 grau de liberdade associados em paralelo

O primeiro teste consiste em dois osciladores de um grau de liberdade colocados lado alado (em paralelo) tal como indicado na Figura 28. Tem-se como objectivo que ambas asmassas oscilem solidariamente com uma história de deslocamentos igual, ou seja, que não hajadeslocamento relativo entre ambas e que essa história de deslocamentos seja igual à do osciladorda Secção 3.3 (Figura 16). Para isso optou-se por uma força de atrito máxima muito elevada nodissipador 2, f 2

s = 1962 N, e adoptou-se f 1s = 1.962 N no dissipador 1, a mesma força adoptada

no dissipador do exemplo da Secção 3.3. A soma das rigidezes das duas molas é igual ao valorda rigidez da mola do exemplo da Secção 3.3 (ktot = 100 N/m) e a soma das massas é igual aovalor da massa em 3.3 (m = 2 kg). As condições iniciais são as massas terem um deslocamentoinicial x1

0 = x20 = 3 m. Não há deslocamentos no solo ou forças exteriores aplicadas às massas.

A matrizWt =

[1 10 −1

].

As histórias de deslocamentos estão representadas na Figura 29; como se pode observar, osresultados do sistema de 1 GDL obtidos no exemplo da Secção 3.3 coincidem com os do sistemade 2 GDL desta secção. O tempo total de simulação é de 40 segundos com um passo de tempoh de 0.001 segundos. O parâmetro % toma o valor unitário e o parâmetro θ é 0.5.

34

Page 53: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

O

=2

=1

X2

d(t)

X1

X

Y

fsfs

k2m

2m2

k2

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 28: Sistema constituído por dois osciladores de 1 GDL ligados por um dissipador deatrito (α = 2) com uma força máxima que garante o seu bloqueamento permanente.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−3

−2

−1

0

1

2

3

t (s)

x(t),x1(t),x2(t)(m

)

Histórias de deslocamentos das duas massas sobrepostas à historia de deslocamentos do

oscilador de um grau de liberdade

Figura 29: História dos deslocamentos relativos à fundação de um sistema com dois osciladoresde um grau de liberdade ligados por um dissipador de atrito com força de atrito máxima elevadae comparação com a história de deslocamentos do sistema de um grau de liberdade equivalente.

5.2.2 Dois osciladores de 1 grau de liberdade associados em série

Outro teste realizado foi a análise de um sistema de dois graus de liberdade (Figura 30).O objectivo deste teste é criar um falso sistema de um grau de liberdade pela consideração deuma força máxima de atrito no dissipador 1 muito elevada: f 1

s = 1962 N, fazendo com que amassa m1 não tenha deslocamentos relativamente ao solo e a massa m2 tenha uma história dedeslocamentos igual à do sistema de um grau de liberdade analisado na Secção 3.3. As massas

35

Page 54: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

O

=1

X2

d(t)

X1

X

Y

fs

mk

=2

fs

k

m

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 30: Sistema constituído por um oscilador de dois graus de liberdade.

têm o mesmo valor m1 = m2 = 2 kg e a rigidez k = 100 N/m. A força de atrito máxima nodissipador 2 toma o valor f 2

s = 1.962 N e a matriz

Wt =

[1 10 −1

].

As condições iniciais são: o deslocamento inicial da massa m1 é nulo e o deslocamento inicialda massa m2 é 3 m; o sistema parte do repouso. Não existem deslocamentos do solo nem forçasexteriores aplicadas ao sistema.

A Figura 31 mostra a história de deslocamentos do sistema da Figura 30 sobreposta à dooscilador de um grau de liberdade analisado na Secção 3.3. Como esperado a massa m1 = mteve deslocamentos relativos ao solo nulos e a massam2 = m teve uma história de deslocamentosigual à do oscilador de um grau de liberdade. O valor suficientemente elevado da força máximade atrito no dissipador α = 1 mantém-no bloqueado fazendo com que o mesmo não participena dissipação de energia potencial elástica correspondente à configuração deformada inicial.

5.3 Casos de pórticos de múltiplos graus de liberdade sem excitaçãono solo

5.3.1 Pórtico de três pisos

O primeiro exemplo está ilustrado na Figura 32. A massa do primeiro piso é m1 = 50 t, amassa do segundo piso m2 = 35 t e a do terceiro m3 = 15 t. A rigidez ao nível do primeiropiso toma o valor de k1 = 20000 kN/m, no segundo piso tem-se k2 = 11000 kN/m e no terceirok3 = 4000 kN/m. Deste modo obtém-se uma matriz de massa

M =

50 0 00 35 00 0 15

(t),

36

Page 55: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0 5 10 15 20 25 30 35 40−3

−2

−1

0

1

2

3

t (s)

x(t),x1(t),x2(t)(m

)

História de deslocamentos do primeiro grau de liberdade

História de deslocamentos do segundo grau de liberdade sobreposta à história de deslocamentos

do oscilador de um grau de liberdade

Figura 31: História de deslocamentos de um pórtico de 2 GDL (Figura 30) em que a massa 1se desloca solidariamente com o solo por a força máxima de atrito do dissipador de atrito queo liga ao solo ser muito elevada.

a matriz de rigidez toma a forma

K =

31 −11 0−11 15 −4

0 −4 4

× 103(kN/m)

e a matriz

Wt =

1 1 00 −1 10 0 −1

.Entre cada dois pisos consecutivos e entre o primeiro piso e o solo há um dissipador de atritocom uma força de atrito máxima de fs = 22.5 kN.

Como condições iniciais impuseram-se deslocamentos iniciais ao nível de cada piso comuma distribuição crescente linear da base para o topo x0 = {0.05 0.10 0.15}T m próximado 1o modo de vibração. As frequências próprias dos três modos de vibração são f1 = 1.6334Hz, f2 = 3.1292 Hz e f3 = 4.5668 Hz e os modos de vibração na ausência de dissipadores sãoφ1 = {1 2.341 3.870}T, φ2 = {1 1.062 − 2.362}T e φ3 = {1 − 0.924 0.442}T. Prevê-se que,mesmo na presença da acção dissipadora do atrito, os três pisos oscilem sincronizadamente umavez que o solo está imóvel, tendo o mesmo período de oscilação até atingirem o repouso. Na Fi-gura 33 pode-se observar a história de deslocamentos e verifica-se que de facto os deslocamentosdos pisos estão em fase.

37

Page 56: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

O

=1

=2

=3

X

Y

X1

X2

X3

fs

fs

fs

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 32: Pórtico de três pisos (3 GDL). Solo imóvel.

5.3.2 Dois pórticos de três pisos associados por dissipadores de atrito

O sistema apresentado na Figura 34 consiste em dois pórticos de três pisos ligados entresi por dissipadores por atrito; os pisos homólogos de ambos os pórticos estão ligados por dis-sipadores, existindo no total nove dissipadores. A massa de cada piso é m = 50 t, a rigidezk = 50000 kN/m e a força máxima de atrito em cada dissipador fs = 50 kN. A matriz

Wt =

1 1 0 0 0 0 1 0 00 −1 1 0 0 0 0 1 00 0 −1 0 0 0 0 0 10 0 0 1 1 0 −1 0 00 0 0 0 −1 1 0 −1 00 0 0 0 0 −1 0 0 −1

,

38

Page 57: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

t (s)

x1(t),x2(t),x3(t)(m

)

História de deslocamentos do terceiro grau de liberdade

História de deslocamentos do primeiro grau de liberdade

História de deslocamentos do segundo grau de liberdade

Figura 33: Histórias dos deslocamentos dos três pisos do pórtico da Figura 32 para d(t) = 0e configuração inicial de repouso correspondente a x1

0 = 0.05 m, x20 = 0.10 m e x3

0 = 0.15m, próxima da configuração do primeiro modo de vibração em regime linear (na ausência dosdissipadores).

a matriz de massa é dada por

M =

50 0 0 0 0 00 50 0 0 0 00 0 50 0 0 00 0 0 50 0 00 0 0 0 50 00 0 0 0 0 50

(t)

e a matriz de rigidez

K =

40 −20 0 0 0 0−20 40 −20 0 0 0

0 −20 20 0 0 00 0 0 40 −20 00 0 0 −20 40 −200 0 0 0 −20 20

× 103(kN/m).

Como condições iniciais impôs-se uma distribuição linear crescente de deslocamentos dosolo para o topo, igual para cada pórtico x0 = {0.05 0.10 0.15 0.05 0.10 0.15}T m. Tratando-se de pórticos iguais submetidos às mesmas condições iniciais, ambos os pórticos vão oscilar emconjunto, com a particularidade de (i) não haver transmissão de forças nos dissipadores 7, 8 e9 e (ii) as histórias de deslocamentos de pisos homólogos serem iguais para os dois pórticos, talcomo se pode observar na Figura 35. Deste modo os dissipadores entre pórticos não chegam adissipar energia, uma vez que não há deslizamento entre as superfícies de contacto destes.

39

Page 58: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

O

=1

=2

=4

=5

=3 =6

=7

=8

=9

X

Y

X4

X5

X6

X1

X2

X3

fs

fs

fs

fs

fs

fs

fs fs

fs

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 34: Dois pórticos ligados por dissipadores de atrito. Solo imóvel.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

t (s)

xi(t)(i

=1,2,3,4,5,6)

Histórias de deslocamentos do primeiro e quarto graus de liberdade

Histórias de deslocamentos do terceiro e sexto graus de liberdade

Histórias de deslocamentos do segundo e quinto graus de liberdade

Figura 35: Histórias de deslocamentos horizontais dos pisos dos dois pórticos ligados por dissi-padores, representados na Figura 34.

40

Page 59: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

5.4 Curva de ressonância de um sistema com três graus de liberdade

A Figura 36 ilustra um exemplo apresentado em [8]. O sistema consiste de duas massasm1 = m2 = 1 Kg ligadas ao exterior por molas (k1 = 40 kN/m e k2 = 30 kN/m) e amorte-cedores viscosos (c1 = c2 = 1 Ns/m). A ligar as massas está um elemento constituído pelaassociação em série de um dissipador de atrito e de uma mola de rigidez kt = 1 kN/m. A massam1 está sujeita à acção de uma força sinusoidal aplicada de valor Fext = 100 sin(ωt). A matrizde massa

M =

1 0 00 1 00 0 0

(Kg),

a matriz de amortecimento

C =

1 0 00 1 00 0 0

(Ns/m)

e a matriz de rigidez

K =

40 0 00 30 00 −1 1

(kN/m).

A matriz

Wt =

1−1−1

.

X1

X3

X2

k 2

m2

m1

k tk1

c

c

fs

Fsin(ωt)

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 36: Sistema abstracto com 3 GDL parametrizado pelos deslocamentos absolutos X1 eX2 das massas e pelo deslocamento absoluto X3 da extremidade esquerda da mola.

41

Page 60: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

forces. For the contact law, a nonlinear pressure–gap relationship models separation (no tension) and an increase instiffness for increased penetration, see Fig. 9.

For a more detailed model description see [71], where a full nonlinear analysis in time domain and model reductiontechniques as well as active control of the normal force with piezostack actuators are considered.

Table 1Parameters of 2-DOF oscillator.

Parameter m1 m2 k1 k2 d1 d2 kT m Fexc

Value 1 1 4e4 3e4 1 1 1e3 1 100

Unit kg kg N/m N/m Ns/m Ns/m N/m – N

Table 2Equivalent stiffness and damping of the Jenkins friction model for sticking and stick-slip.

Sticking ðx�Z1Þ Stick-Slip ðx�o1Þ

kHBM kT kT

p arccos 1�2

x�

� ��

2

x�1�

2

x�

� � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix��1p

� �dHBM 0 4kT

pox�1�

1

x�

� �

26 28 30 32 34 36

10−2

10−3

10−4

10−5

Frequency [Hz]

Rec

epta

nce

[m/N

]

26 28 30 32 34 36

5 10

10−3

10−4

10−5

10−6

25

50

100

250

Frequency [Hz]

Rec

epta

nce[

m/N

]

Fig. 7. Receptance for different normal forces FN ¼ 5,10,25,50,100,250 N. Left: receptance x1=Fexc; right: receptance x2=Fexc.

FN,1

FN,2

Fext

u

x

xd

Fig. 8. FE model of the benchmark structure with friction damper (attached at xd=0.545 m) shown deformed in the 4th beam-like bending mode.

The test setup is excited by force Fexc(t) and an out-of-plane displacement is evaluated. Additionally, the discretization of the contact interface is shown.

S. Bograd et al. / Mechanical Systems and Signal Processing 25 (2011) 2801–2826 2809

Figura 37: Curvas de ressonâncias retirada de [8], correspondentes a diferentes valores da forçamáxima de atrito, fs = 5, 10, 25, 50, 100, 250 N. Em ordenadas representa-se a receptância do1o grau de liberdade, definida como a amplitude do deslocamento dividida pela amplitude daforça de excitação (100 N).

Pretende-se reproduzir as curvas de ilustradas na Figura 37. Trata-se de seis curvas de resso-nância correspondentes a diferentes valores da força máxima de atrito, fs = 5, 10, 25, 50, 100, 250N. As abcissas são o valor da frequência de excitação e nas ordenadas está representado o des-locamento máximo dividido pela força máxima de excitação em (m/N). Na Figura 38 estãorepresentadas as curvas de ressonância geradas pelo programa construído no âmbito da pre-sente dissertação; a sua comparação com as curvas da Figura 37 permite concluir que sãoiguais.

5.5 Pórtico de três pisos com seis graus de liberdade

5.5.1 Comportamento face ao sismo de El Centro

Na presente secção reproduz-se um exemplo apresentado em [9] que consiste num pórticode três pisos (Figura 39). Os autores utilizaram um algoritmo de integração numérica diferentedo método-θ. O algoritmo usado em [9] considera uma rigidez horizontal finita kb do sistema decontraventamento onde se insere o dissipador por atrito que se liga à laje do piso superior, peloque é necessário adicionar um grau de liberdade no método-θ por cada contraventamento porforma a contabilizar correctamente a velocidade relativa entre as duas superfícies contactantesde cada dissipador.

A rigidez horizontal do sistema de contraventamento de cada piso é kb = 3k1 = 11203.047kN/m e a força máxima de atrito em cada dissipador é igual a 10% do peso total da estruturaou seja fs = 32.707 kN. Note-se que a matriz de rigidez, devido ao sistema de contraventamentohorizontal, é não simétrica. A matriz de massa

42

Page 61: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3610

−5

10−4

10−3

10−2

f (Hz)

X1/F

(m/N)

fs = 250 N

fs = 100 N

fs = 50 N

fs = 5 N

fs = 10 N

fs = 25 N

Figura 38: Curvas de ressonância do sistema esquematicamente representado na Figura 36 parauma amplitude F = 100 N da força excitadora sinusoidal, para as forças máximas de atritofs = 5, 10, 25, 50, 100, 250 N. Em abcissas representa-se a frequência de excitação f = ω

2πe em

ordenadas a receptância da primeira coordenada generalizada.

M =

11.213 0 0 0 0 0

0 11.213 0 0 0 00 0 10.914 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

(t)

tem três elementos nulos na diagonal principal devido às coordenadas generalizadas X4, X5 eX6 cuja massa é nula. A matriz de rigidez, cujo primeiro bloco principal 3× 3 é não simétricopor ter sido obtido experimentalmente [9], é

K =

9186.159 −5452.178 1172.190 0 0 0−5451.810 8753.602 −4556.112 0 0 0

1172.96 −4555.417 3673.845 0 0 00 0 0 11203.047 0 0

−11203.047 0 0 0 11203.047 00 −11203.047 0 0 0 11203.047

(kN/m),

43

Page 62: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

O

k2

k2

c

X1

X2

X3

d(t)X

Y

k2

k2

c

k2

k2

c

fsk b

fsk b

fsk b

X6

X5

X4

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 39: Pórtico de três pisos sujeito a uma história de deslocamentos horizontais d(t) pres-crita na fundação. Os sistemas de contraventamento a que os dissipadores estão ligados têmrigidez finita kb.

a matriz de amortecimento viscoso

C =

2.325 −0.209 0.093 0 0 0−0.209 2.364 −1.131 0 0 00.093 −1.131 2.124 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

(Ns/m)

e a matriz

Wt =

−1 1 00 −1 10 0 −11 0 00 1 00 0 1

.

Pretende-se reproduzir os gráficos ilustrados nas Figuras 13 e 14 da referência [9] para osismo de El Centro (1940) que tem um pico de aceleração do solo de 0.348g, em que g designa

44

Page 63: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

5.2. Numerical results

First of all, let us demonstrate the effectiveness of usingfriction dampers in a seismic structure. Fig. 13 comparesthe simulated top-floor displacement and acceleration(Dt = 0.01 s) of the structure before and after the frictiondampers were installed. The figure clearly illustrates thatthe friction dampers effectively and simultaneously sup-pressed the displacement and acceleration responses ofthe structure. To investigate how the numerical solutionobtained in Fig. 13 deviates from the precise one, Fig. 14compares, respectively, the floor displacements of the first20 s of the friction-damped structure with Dt = 0.01 s andDt = 0.0001 s (precise). The figure shows that the time his-tories of all floor displacements for Dt = 0.01 s closely fol-low the precise solutions. Furthermore, Fig. 15 comparesthe hysteresis loops for all dampers and demonstrates thatwith Dt = 0.01 s the proposed numerical method accuratelycaptured the transition behavior between the stick and slipstates of the dampers. Note that a horizontal line segment

in Fig. 15 represents a slip state of the damper, while aninclined segment denotes a stick state.

In order to investigate how numerical accuracy is influ-enced by the size of the time step, Fig. 16 shows the errorpercentages of the maximum displacements of each flooras a function of Dt. From the diagram it can be observedthat the accuracy of the peak displacements of all floorsis consistently improved when the time interval of analysisis reduced. When a Dt of less than 0.01 s was adopted, the

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

Dis

p. (

m)

3F Displacement

0 5 10 15 20-20

0

20

Acc

. (m

/s2 )

Time (s)

3F Acceleration

FrictionNo Friction

FrictionNo Friction

Fig. 13. Comparison of top-floor responses of the structure with andwithout friction dampers.

0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

3F

(m

)

Displacement

0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

2F

(m

)

0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

1F

(m

)

Time (s)

t=0.0001st=0.01s

Fig. 14. Comparison of displacements of all floors.

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03-4

-2

0

2

4

x 104 3F damper

Total elongation (m)

Fric

tion

forc

e (N

)

Δt=0.01sΔt=0.0001s

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03-4

-2

0

2

4

x 104

2F damper

Total elongation (m)

Fric

tion

forc

e (N

)

Δt=0.01sΔt=0.0001s

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03-4

-2

0

2

4

x 104 1F damper

Total elongation (m)

Fric

tion

forc

e (N

)

Δt=0.01sΔt=0.0001s

Fig. 15. Comparison of hysteresis loops of all dampers.

L.-Y. Lu et al. / Computers and Structures 84 (2006) 1049–1071 1061

Figura 40: Comparação das respostas em deslocamentos relativos ao solo e acelerações absolutasao nível do terceiro piso com e sem dissipadores de atrito (retirado de [9]).

5.2. Numerical results

First of all, let us demonstrate the effectiveness of usingfriction dampers in a seismic structure. Fig. 13 comparesthe simulated top-floor displacement and acceleration(Dt = 0.01 s) of the structure before and after the frictiondampers were installed. The figure clearly illustrates thatthe friction dampers effectively and simultaneously sup-pressed the displacement and acceleration responses ofthe structure. To investigate how the numerical solutionobtained in Fig. 13 deviates from the precise one, Fig. 14compares, respectively, the floor displacements of the first20 s of the friction-damped structure with Dt = 0.01 s andDt = 0.0001 s (precise). The figure shows that the time his-tories of all floor displacements for Dt = 0.01 s closely fol-low the precise solutions. Furthermore, Fig. 15 comparesthe hysteresis loops for all dampers and demonstrates thatwith Dt = 0.01 s the proposed numerical method accuratelycaptured the transition behavior between the stick and slipstates of the dampers. Note that a horizontal line segment

in Fig. 15 represents a slip state of the damper, while aninclined segment denotes a stick state.

In order to investigate how numerical accuracy is influ-enced by the size of the time step, Fig. 16 shows the errorpercentages of the maximum displacements of each flooras a function of Dt. From the diagram it can be observedthat the accuracy of the peak displacements of all floorsis consistently improved when the time interval of analysisis reduced. When a Dt of less than 0.01 s was adopted, the

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

Dis

p. (

m)

3F Displacement

0 5 10 15 20-20

0

20A

cc. (

m/s

2 )

Time (s)

3F Acceleration

FrictionNo Friction

FrictionNo Friction

Fig. 13. Comparison of top-floor responses of the structure with andwithout friction dampers.

0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

3F

(m

)

Displacement

0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

2F

(m

)

0 5 10 15 20-0.05

0

0.05

1F

(m

)

Time (s)

t=0.0001st=0.01s

Fig. 14. Comparison of displacements of all floors.

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03-4

-2

0

2

4

x 104 3F damper

Total elongation (m)

Fric

tion

forc

e (N

)

Δt=0.01sΔt=0.0001s

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03-4

-2

0

2

4

x 104

2F damper

Total elongation (m)

Fric

tion

forc

e (N

)

Δt=0.01sΔt=0.0001s

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03-4

-2

0

2

4

x 104 1F damper

Total elongation (m)

Fric

tion

forc

e (N

)

Δt=0.01sΔt=0.0001s

Fig. 15. Comparison of hysteresis loops of all dampers.

L.-Y. Lu et al. / Computers and Structures 84 (2006) 1049–1071 1061

Figura 41: Histórias de deslocamentos relativos ao solo dos três pisos do pórtico da Figura 39equipado com dissipadores por atrito, sujeito à acção do sismo de El Centro (retirado de [9]).No topo: 3o piso; no meio: 2o piso; em baixo: 1o piso.

a aceleração da gravidade (ver o Anexo 59). A Figura 40 ilustra bem a vantagem da aplicaçãode dissipadores por atrito uma vez que o deslocamento relativo ao solo e a aceleração absolutaao nível do terceiro piso são notoriamente atenuados pela acção dissipadora de energia dosdissipadores por atrito. As Figuras 42, 43 e 44 registam as histórias de deslocamentos relativosao solo respectivamente do 3o, 2o e 1o pisos, obtidos numericamente com o algoritmo descrito

45

Page 64: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

na Secção 4.2; estes resultados numéricos estão em boa concordância com os obtidos em [9] (verFigura 41). Nas integrações numéricas que permitiram construir os gráficos das Figuras 42 a44 usou-se um passo de tempo h = 0.02 segundos e um parâmetro % = 0.1. Observa-se que emtodos os pisos o instante mais gravoso, em termos de esforços, ocorre muito perto do início dosismo, a cerca de dois segundos do início.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

t (s)

x(t)(m

)

Figura 42: História de deslocamentos relativos ao solo do terceiro piso do pórtico da Figura 39equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

−0.05

0

0.05

t (s)

x(t)(m

)

Figura 43: História de deslocamentos relativos ao solo do segundo piso do pórtico da Figura 39equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro.

Nas Figuras 45 e 46 faz-se a comparação, respectivamente em termos de deslocamentosrelativos ao solo e de acelerações absolutas do 3o piso, entre os casos com e sem dissipadores.Estes gráficos obtiveram-se para os parâmetros h = 0.02 segundos e % = 0.1 do método-θ.

46

Page 65: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

t (s)

x(t)(m

)

Figura 44: História de deslocamentos relativos ao solo do primeiro piso do pórtico da Figura39 equipado com dissipadores por atrito e sujeito ao sismo de El Centro.

É evidente o efeito benéfico da existência dos dissipadores. Registe-se também a muito boaconcordância entre as Figuras 45 e 46 e os gráficos respectivamente do topo e de baixo da Figura40.

2 4 6 8 10 12 14 16 18

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

t (s)

x(t)(m

)

Sem atrito

Com atrito

Figura 45: Comparação entre as histórias de deslocamentos relativos ao solo do terceiro pisodo pórtico da Figura 39 para os casos com e sem atrito e sujeito ao sismo de El Centro.

5.5.2 Comportamento de um pórtico de três pisos face à acção de sismos

Nesta secção analisa-se o comportamento do pórtico de três pisos estudado na secção an-terior (Figura 39) para diferentes distribuições das forças máximas de atrito nos dissipadores.Pretende-se estudar o valor da força de atrito máxima e o tipo de distribuição desta força pelos

47

Page 66: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−15

−10

−5

0

5

10

15

t (s)

x(m

/s2)

Sem atrito

Com atrito

Figura 46: Comparação entre as histórias de acelerações absolutas do terceiro piso para oscasos com e sem atrito.

vários dissipadores que em média minora a resposta do pórtico. Com esse intuito submeteu-sea estrutura a vinte sismos gerados aleatoriamente (dez sismos do Tipo 1 da Zona 1.3 com Solotipo B e dez sismos do Tipo 2 da Zona 2.3 com Solo tipo B, segundo o EC8 [1], ver AnexoA.2) e calculou-se a média dos máximos das respostas do pórtico. Definiram-se três tipos dedistribuição da força máxima de atrito:

Distribuição uniformeTodos os dissipadores têm a mesma força máxima.

Distribuição crescenteOs valores da força máxima de atrito de cada dissipador são proporcionais aos desloca-mentos absolutos de cada piso do primeiro modo de vibração na ausência de dissipadores(φ1 = {1 2.193 2.776}) normalizados em relação ao valor do deslocamento do primeiropiso relativamente ao solo.

Distribuição relativaA força máxima de atrito é proporcional à diferença entre o valor do deslocamento doprimeiro modo do piso e do valor do deslocamento do primeiro modo do piso anterior.

Em cada uma das distribuições o valor da força máxima de atrito no dissipador que liga o solo ao1o piso variou entre 5% e 30% do peso total da estrutura. Para a distribuição uniforme os outrosdois dissipadores têm uma força máxima igual à do dissipador que liga o solo ao piso 1. Para adistribuição crescente os 2o e 3o dissipadores têm forças máximas respectivamente iguais a 2.193e 2.776 vezes a força máxima do dissipador inferior. Na distribuição relativa os 2o e 3o dissipa-dores têm forças máximas respectivamente iguais a 2.193− 1 = 1.193 e a 2.776− 2.193 = 0.583vezes a força máxima do dissipador inferior. Nas Figuras 47 a 52 apresentam-se os gráficoscomparativos das distribuições e forças máximas referidas anteriormente.

48

Page 67: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x1

max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

<x2max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

0

0.005

0.01

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

Distribuição Relativa

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x3max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

Figura 47: Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do primeiro piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Várias forças máximase diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 1 do EC8 ao nível do piso 1. Acção:conjunto de 10 sismos do Tipo 1 (EC8) gerados aleatoriamente.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x1

max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

<x2max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

0

0.005

0.01

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

Distribuição Relativa

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x3max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

Figura 48: Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do segundo piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Várias forças máximase diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 1 do EC8 ao nível do piso 2. Acção:conjunto de 10 sismos do Tipo 1 (EC8) gerados aleatoriamente.

As Figuras 47 a 52 pretendem ilustrar, para o pórtico de três pisos da Figura 39, como éque as forças máximas nos dissipadores, a distribuição dessas forças máximas em altura e o tipode sismo afectam os deslocamentos máximos entre pisos. Deste modo cada figura regista asmédias dos deslocamentos máximos de dez sismos gerados aleatoriamente. O primeiro conjuntode Figuras (47, 48 e 49) diz respeito aos sismos do Tipo 1 e o segundo conjunto de Figuras(50, 51 e 52) diz respeito a sismos do Tipo 2. Em cada conjunto apresentam-se as médias dos

49

Page 68: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x1

max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

<x2max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

0

0.005

0.01

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

Distribuição Relativa

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x3

max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

Figura 49: Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do terceiro piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Várias forças máximase diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 1 do EC8 ao nível do piso 3. Acção:conjunto de 10 sismos do Tipo 1 (EC8) gerados aleatoriamente.

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

<x2max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x1

max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x3max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

Figura 50: Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do primeiro piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Várias forças máximase diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 2 do EC8 ao nível do piso 1. Acção:conjunto de 10 sismos do Tipo 2 (EC8) gerados aleatoriamente.

deslocamentos máximos de cada um dos três pisos.Da observação das Figuras 47 a 52 conclui-se que a resposta do sistema é minorada quando

a força de atrito máxima é 10% do peso total da estrutura para os sismos do Tipo 2 (segundoo EC8) enquanto que para os sismos do Tipo 1 (segundo o EC8 [1]) a resposta é minoradaquando a força de atrito máxima é 15% do peso estrutural. Este resultado deve-se ao factode os sismos do Tipo 1 serem caracterizados por frequências mais reduzidas o que resulta

50

Page 69: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

<x2

max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x1

max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x3max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

Figura 51: Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do segundo piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores.Várias forças máximase diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 2 do EC8 ao nível do piso 2. Acção:conjunto de 10 sismos do Tipo 2 (EC8) gerados aleatoriamente.

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

<x2max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x1

max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

0

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

fs=5% fs=10% fs=15% fs=20% fs=25% fs=30%

<x3max> Distribuição Uniforme

Distribuição Crescente

Distribuição Relativa

Figura 52: Em ordenadas: médias dos máximos do deslocamento do terceiro piso relativo aosolo para três tipos de distribuição das forças máximas nos dissipadores. Várias forças máximase diferentes distribuições em altura para o Sismo Tipo 2 do EC8 ao nível do piso 3. Acção:conjunto de 10 sismos do Tipo 2 (EC8) gerados aleatoriamente.

numa resposta óptima da estrutura com frequências mais elevadas enquanto que os sismos doTipo 2 são caracterizados por uma gama de frequências mais elevadas e consequentemente aresposta óptima da estrutura dá-se para frequências próprias mais reduzidas. Quanto ao tipode distribuições da força máxima aplicada em cada dissipador, observa-se que a distribuiçãocrescente tem o pior desempenho, enquanto que as distribuições uniforme e relativa obtiveramas respostas minímas consoante o piso em questão e o tipo de sismo analisado.

51

Page 70: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

5.6 Modelo de um viaduto com um grau de liberdade

Nesta secção analisou-se o comportamento dinâmico de um viaduto na direcção longitudi-nal. Adoptou-se um modelo simplificado de um grau de liberdade uma vez que se considera

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 53: Perfil longitudinal de um viaduto modelado como um sistema de 1 grau de liberdadena direcção longitudinal.

o tabuleiro axialmente indeformável atendendo ao pequeno comprimento deste. Admitem-seapoios móveis sem atrito sobre os pilares (Figura 53). Considerou-se ainda que um dos encon-tros tem um aparelho de apoio móvel e o outro tem um aparelho de apoio móvel com dissipadorde atrito de força máxima fs. Com o objectivo de estudar a força máxima de atrito ideal e ocomportamento histerético do sistema submeteu-se o sistema à acção da família de vinte sismosgerados aleatoriamente referidos na Secção 5.5.2. A massa do tabuleiro é 8000 t. O modelo me-cânico da dinâmica do tabuleiro na direcção longitudinal está representado esquematicamentena Figura 54; trata-se de uma massa que, na direcção horizontal, apenas está ligada ao exteriorpor um dissipador de atrito. Sendo X(t) o deslocamento absoluto da massa, d(t) o desloca-

X(t)

mfs

d(t)

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

Figura 54: Oscilador de 1 GDL sujeito a um movimento prescrito à fundação (modelo doviaduto da Figura 53).

mento do solo e x(t) = X(t)− d(t) o deslocamento da massa relativamente ao solo, a segundalei de Newton permite-nos escrever mx = −md(t) + r(t) em que r(t) ∈ −fsSign(x) representa

52

Page 71: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

a reacção do dissipador sobre a massa. A conjugação da equação diferencial de segunda ordeme da inclusão anterior conduz à inclusão diferencial

x(t) ∈ −d(t)− g(fsmg

)Sign(x(t))

onde se colocou em evidência o parâmetro adimensional fsmg

que quantifica a importância daforça máxima de atrito em relação ao peso da massa móvel (peso total do tabuleiro). Na Fi-gura 55 apresenta-se a história da força no dissipador versus deslocamento com uma força deatrito máxima fs = 7000 kN, obtido com o método-θ com h = 0.01, % = 1000, ε = 10−10 eθ = 0.5. Como se pode observar, o ciclo de histerese apresenta o traçado de uma linha que-

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015−8000

−6000

−4000

−2000

0

2000

4000

6000

8000

x (m)

F(K

N)

Figura 55: Gráfico da força no dissipador versus deslocamento relativo do dissipador de atritocom uma força máxima de atrito fs = 7000 kN.

brada composta por segmentos horizontais (correspondentes a deslizamento no dissipador) epor segmentos verticais (correspondentes ao bloqueamento do dissipador e à eventual inversãodo sentido de deslizamento relativo das superfícies contactantes). Recorde-se que o ciclo de his-terese de um dissipador por atrito sujeito a um movimento sinusoidal prescrito é um rectânguloperfeito: esta geometria do ciclo de histerese é a que maximiza a dissipação de energia por ciclopara amplitude de deslocamento e força de atrito dadas (recordar o Capítulo 2).

Pretende-se também analisar a força máxima de atrito ideal que corresponda a uma maioratenuação da amplitude de deslocamento. Com esse objectivo construíram-se os gráficos apre-sentados nas Figuras 56 e 57. Nos gráficos indicados apresentam-se três quantidades onde xmaxdefine a média do deslocamento máximo do sistema para todos os sismos aleatórios do mesmotipo, fs/mg é um parâmetro adimensional que relaciona a força máxima de atrito com o pesodo tabuleiro e agr/g é também um parâmetro adimensional que define a aceleração máxima dereferência da acção sísmica segundo o EC8 [1] relativamente à aceleração da gravidade.

53

Page 72: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

0 06

0.08

0.1

0.12

xmax

agr/g=1.0/g

agr/g=1.3/g

agr/g=1.6/g

agr/g=1.9/g

agr/g=2.2/g

agr/g=2.5/g

0

0.02

0.04

0.06

fs/m

g=0.05

fs/m

g=0.06

fs/m

g=0.07

fs/m

g=0.08

fs/m

g=0.09

fs/m

g=0.10

fs/m

g=0.11

fs/m

g=0.12

fs/m

g=0.13

fs/m

g=0.14

fs/m

g=0.15

fs/m

g=0.16

fs/m

g=0.17

fs/m

g=0.18

fs/m

g=0.19

fs/m

g=0.20

Figura 56: Relação entre o deslocamento máximo médio (xmax), a força de atrito máximanormalizada (fs/mg) e a aceleração máxima de referência da acção sísmica normalizada (agr/g)para a acção do sismo do Tipo 1.

0.02

0.025

0.03

0.035

xmax

agr/g=1.0/g

agr/g=1.3/g

agr/g=1.6/g

agr/g=1.9/g

agr/g=2.2/g

agr/g=2.5/g

0

0.005

0.01

0.015

fs/m

g=0.05

fs/m

g=0.06

fs/m

g=0.07

fs/m

g=0.08

fs/m

g=0.09

fs/m

g=0.10

fs/m

g=0.11

fs/m

g=0.12

fs/m

g=0.13

fs/m

g=0.14

fs/m

g=0.15

fs/m

g=0.16

fs/m

g=0.17

fs/m

g=0.18

fs/m

g=0.19

fs/m

g=0.20

Figura 57: Relação entre o deslocamento máximo médio (xmax), a força de atrito máximanormalizada (fs/mg) e a aceleração máxima de referência da acção sísmica normalizada (agr/g)para a acção do sismo do Tipo 2.

54

Page 73: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

Os gráficos apresentam um andamento expectável caracterizado por (i) a resposta do sis-tema diminuir com o aumento da força máxima de atrito para uma aceleração máxima dereferência constante (ii) a resposta do sistema aumentar com o aumento da aceleração máximade referência, para uma força máxima de atrito do dissipador constante.

55

Page 74: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

56

Page 75: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

6 Conclusão e desenvolvimentos futurosEsta dissertação relata os resultados de um conjunto de ensaios numéricos realizados para

sistemas mecânicos planos e pórticos, confirmando a aptidão do atrito para desempenhar asfunções de dissipação da energia transmitida a estruturas por meio de movimentos da fundação.

A aplicação computacional do método-θ para o atrito verificou-se precisa através de váriostestes, demonstrando-se a exactidão dos resultados gerados pelo programa quando compara-dos com casos de estudo desenvolvidos em artigos científicos. Como esperado a presença dedissipadores de atrito diminuiu substancialmente a resposta das estruturas quando sujeitas àacção de sismos o que demonstra a vantagem da adopção destes sistemas logo desde a fasede projecto. Os ciclos de histerese obtidos são rectangulares como esperado o que indica umagrande capacidade de dissipação destes sistemas.

A análise da força máxima de atrito óptima em cada dissipador demonstrou a necessidadede definir este factor para cada estrutura em particular, uma vez que não se detectaram medi-das gerais a adoptar. O estudo das forças máximas em cada dissipador para o pórtico de trêspisos da secção anterior apresentou um conjunto evidente de forças óptimas enquanto que aanálise do viaduto da secção anterior apresentou um andamento de resposta que é melhoradacom o aumento da força máxima de atrito no dissipador e com a diminuição da aceleração dosolo. A resposta do viaduto (entendida como deslocamento relativo ao solo) é melhorada como aumento da força máxima de atrito pois a rigidez da ligação solo-dissipador é infinita. Noestudo do pórtico de três pisos isso não se verifica pois considera-se a rigidez dos elementosde ligação ao solo (pilares e sistema de contraventamento), o que permite obter uma respostaóptima que não é necessariamente melhorada com o aumento da força máxima de atrito.

Os casos analisados nesta dissertação demonstraram a eficácia dos sistemas de dissipaçãopor atrito sendo apropriado desenvolver os seguintes aspectos no futuro.

• Incluir o comportamento física e geometricamente não linear dos pilares da estrutura demodo a obter um comportamento mais real.

• Desenvolver um algoritmo que permita optimizar a localização dos dissipadores e a forçamáxima de atrito mediante o conhecimento das características da estrutura e de umconjunto de acelerogramas para os quais se pretenda fazer a optimização.

• Criar um programa que faça a análise de sistemas e pórticos tridimensionais equipadoscom dissipadores de atrito em mais que uma direcção.

• Produzir uma ferramenta de análise de estruturas equipadas com dissipadores de atritopara programas comerciais com o objectivo de disponibilizar a análise destes sistemaspara qualquer projectista e assim tornar mais atractiva a sua utilização.

57

Page 76: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

Referências[1] EN1998-1:2004, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. -Part 1: Ge-

neral rules, seismic actions and rules for buildings, CEN, Bruxelles, Belgium, November2004.

[2] A. Pall, R. T. Pall (2004) Performance-based design PALL friction dampers - An eco-nomical design solution. 13th World Conference on Earthquake Engineering. Vancouver,Canada, August 1-6,2004.

[3] URL da Pall Dynamics: palldynamics.com/ (visitado em Outubro de 2013)

[4] URL da Damptech A/S: http://www.damptech.com/ (visitado em Outubro de 2013)

[5] N.C. Nigam, P.C. Jennings (1968) Digital calculation of response spectra from strong-motion earthquake records. California Institute of Technology. Report. Earthquake Engi-neering Research Laboratory, Passadena, California.

[6] M. Jean (1999) The non-smooth contact dynamics method. Computer Methods in AppliedMechanics and Engineering, 177, 235-257.

[7] S.S. Rao (2004) Mechanical Vibrations. Pearson, Prentice Hall.

[8] S. Bograd, P. Reuss, A. Schmidt, L. Gaul, M. Mayer (2011) Modeling the dynamics ofmechanical joints. Mechanical Systems and Signal Processing, 25, 2801-2826.

[9] L.Y. Lu, L.L. Chung, L.Y. Wu, G.L. Lin (2006) Dynamic analysis of structures withfriction devices using discrete-time state-space formulation. Computers and Structures,84, 1049-1071.

[10] URL do Pacific Earthquake Engineering Research Center: http://peer.berkeley.edu/(visitado em Outubro de 2013)

58

Page 77: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

59

Page 78: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

60

Page 79: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

A Anexos

A.1 Acelerograma do sismo de El Centro

0.2

0.3

0.4

Aceleração/g

‐0.3

‐0.2

‐0.10

0.1

010

20

30

40

50

60

Tempo  (s)

Figura 58: Acelerograma do sismo de El Centro no ano de 1940 retirado de [10].

61

Page 80: ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS … · ANÁLISE SÍSMICA DE ESTRUTURAS PLANAS EQUIPADAS COM DISSIPADORES DE ATRITO António João Saraiva Moreno Mónica Dissertação

A.2 Zonamento Sísmico de Portugal Continental segundo o AnexoNacional do EC8[1]

Zonamento Sísmico de Portugal Continental

Aceleração máxima de referência agR (m/s2)

Acção sísmica Tipo 1 Acção sísmica Tipo 2

Zona Sísmica agR (m/s2) Zona Sísmica agR (m/s2)

1.1 2,5 2.1 2,5

1.2 2,0 2.2 2,0

1.3 1,5 2.3 1,7

1.4 1,0 2.4 1,1

1.5 0,6 2.5 0,8

1.6 0,35 - -

ag ≤ 1 m/s2 S = Smax

1 m/s2 < ag < 4 m/s2 S = Smax – Smax - 1

3 ( ag – 1)

ag ≥4 m/s2 S = 1,0

Valores dos parâmetros definidoras do espectro de resposta elástico

Acção Tipo 1

Tipo de Terreno Smax TB (s) TC (s) TD (s)

A 1,0 0,1 0,6 2,0

B 1,35 0,1 0,6 2,0

C 1,6 0,1 0,6 2,0

D 2,0 0,1 0,8 2,0

E 1,8 0,1 0,6 2,0

Acção Tipo 2

Tipo de Terreno Smax TB (s) TC (s) TD (s)

A 1,0 0,1 0,25 2,0

B 1,35 0,1 0,25 2,0

C 1,6 0,1 0,25 2,0

D 2,0 0,1 0,3 2,0

E 1,8 0,1 0,25 2,0

Figura 59: Zonamento sísmico de Portugal continental segundo o Anexo Nacional do EC8 [1]

62