análise sísmica de edifícios de betão armado segundo o eurocódigo 8

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INSTITUTO SUPERIOR TCNICOUNIVERSIDADE TCNICA DE LISBOA

Anlise Ssmica de Edifcios de Beto Armado segundo o Eurocdigo 8 Anlises Lineares e No LinearesCarlos Augusto Fernandes Bhatt

Dissertao para obteno do Grau de Mestre em Engenharia Civil

Presidente: Professor Doutor Jos Cmara Orientador: Professora Doutora Rita Bento Vogais: Professor Doutor Carlos Sousa Oliveira

Setembro de 2007

AgradecimentosQuero deixar aqui expressos os meus mais respeitosos agradecimentos Senhora Professora Doutora Rita Bento pela sua pacincia e permanente disponibilidade com que me apoiou na elaborao deste trabalho. Agradeo ainda ao Senhor Engenheiro Federico Alba, ao Senhor Engenheiro Dinis Melro e Senhora Engenheira Beatriz Massena pela documentao facultada, importante para a realizao deste trabalho. Agradeo aos meus familiares o apoio que sempre me deram. Aos meus amigos, pelos incentivos.

ResumoAs catstrofes ocorridas em resultado de fortes terramotos em diversas regies do planeta revelaram as deficincias de muitas construes no que diz respeito sua resistncia ssmica. Um dos captulos desta dissertao aborda os problemas de concepo/construo, indicando as melhores solues para reduzir a vulnerabilidade ssmica dos edifcios. A mediatizao e a gravidade do risco ssmico veio obrigar os diversos agentes envolvidos na rea da construo a aperfeioarem as tcnicas de dimensionamento ssmico e a melhorarem as condies/solues construtivas utilizadas. Procura-se deste modo conferir maior resistncia construo e dar maior segurana populao, uma vez que o objectivo principal do dimensionamento ssmico de estruturas precisamente o de salvaguardar a vida Humana. Nos tempos que correm, o dimensionamento ssmico de edifcios em gabinetes de projecto realizada na maior parte das vezes utilizando anlises dinmicas lineares afectando os resultados obtidos por um coeficiente de comportamento. Apesar da celeridade deste processo ir de encontro aos prazos extremamente rgidos que se tm de cumprir nesta rea de negcio, importante desenvolver e aperfeioar mtodos que descrevam melhor o comportamento real das estruturas. A estrutura quando sujeita a uma aco ssmica de intensidade suficiente para causar danos significativos, deixa de funcionar em regime linear. Neste trabalho, para alm das anlises dinmicas lineares, apresentam-se ainda as anlises dinmicas no lineares e as anlises estticas no lineares (Pushover) e a sua aplicao a dois edifcios de beto armado. Estas ltimas permitiram avaliar e descrever de uma forma mais exacta, do que as anlises lineares, o comportamento no linear das estruturas em estudo quando sujeitas a uma aco ssmica. Todas as directivas consideradas neste trabalho foram retiradas do Eurocdigo8, regulamento europeu que em breve entrar em vigor no territrio nacional.

Palavras-chave: Eurocdigo8, concepo/construo ssmica, avaliao ssmica, anlises dinmicas lineares, anlises dinmicas no lineares, anlises estticas no lineares (Pushover).

AbstractThe catastrophes due to strong earthquakes occured all over the world have shown a set of building seismic fragilities concerning the seismic resistance. The current thesis explores the conceptual design issue and presents some solutions to reduce the seismic vulnerability of buildings. The global media coverage of these natural events and the increasing seismic risk awareness led the agents involved in the construction process to improve seismic design methodologies and to develop adequate constructuion solutions. The main aim of these seismic procedures is to ensure that the structure, as a whole, is stable under the seismic design action to guaranty the safety of people. Nowadays, the seismic design performed in the engineering offices is usually based on dynamic linear analyses and the non-linear beahaviour is taken in account in a simplified way, by means of behaviour factors. Despite being a fast process, and conveniently adapted to the extremely rigid time limits used in this area of business, it is crucial to develop and improve methods that better describe the real behaviour of the structures. In fact, a structure does not behave linearly when subjected to a strong ground motion. Herein are discussed and presented the linear dynamic, the nonlinear dynamic and the nonlinear static (Pushover) analyses. Moreover, these methodologies are applied to two reinforced concrete buildings. The non-linear analyses (static and dynamic) allowed the non-linear behaviour of the structures to be better assessed. All the guidelines followed in this work were based on the Eurocode 8 that soon will be the official national regulation.

Keywords: Eurocode 8, seismic conception, seismic assessment, linear dynamic analysis, nonlinear dynamic analysis, nonlinear static analysis (Pushover).

ndice

1. 2.

Introduo ........................................................................................................................... 1 Concepo Ssmica de Estruturas ................................................................................... 3 2.1. 2.2. Introduo................................................................................................................... 3 Comportamento ssmico de estruturas................................................................... 3 Condies externas .......................................................................................... 4 Relao com os edifcios adjacentes..................................................... 4 Topografia Local....................................................................................... 6 Condies internas ......................................................................................... 10 Materiais utilizados ................................................................................ 10 Sistemas estruturais .............................................................................. 10 Ligao entre elementos ....................................................................... 12 Graus de redundncia............................................................................ 13 Uniformidade, Simetria e Rectangularidade em planta ...................... 14 Continuidade e regularidade em altura................................................ 17 Fundaes............................................................................................... 23 Ductilidade .............................................................................................. 23 Detalhes construtivos..................................................................................... 25 2.2.1.1. 2.2.1.2. 2.2.2. 2.2.2.1. 2.2.2.2. 2.2.2.3. 2.2.2.4. 2.2.2.5. 2.2.2.6. 2.2.2.7. 2.2.2.8. 2.2.3. 2.3.

2.2.1.

Erros comuns na concepo e na construo de estruturas em zonas ssmicas ..26 Erros frequentes na concepo ssmica de estruturas .............................. 26 Erros frequentes praticados em obra ........................................................... 28 Princpios bsicos de concepo ................................................................. 29 Critrios de regularidade estrutural .............................................................. 30 Critrios de regularidade em planta ..................................................... 31 Critrios de regularidade em altura ...................................................... 32

2.3.1. 2.3.2. 2.4. 2.4.1. 2.4.2. 2.4.2.1. 2.4.2.2. 3. 3.1. 3.2.

Princpios bsicos de concepo ssmica segundo o Eurocdigo 8 ................ 29

Caso de Estudo................................................................................................................. 35 Introduo................................................................................................................. 35 Soluo Estrutural do Edifcio de Beto Armado em estudo ............................. 35 Generalidades.................................................................................................. 35 Fundaes ....................................................................................................... 36 Superestrutura................................................................................................. 36 Lajes......................................................................................................... 36 Vigas ........................................................................................................ 37

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.3.1. 3.2.3.2.

i

3.2.3.3. 3.2.3.4. 3.2.3.5. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.4. 3.4.1. 3.4.2. 3.5. 3.5.1. 3.5.2. 3.6.

Pilares ...................................................................................................... 37 Ncleos resistentes................................................................................ 38 Escadas ................................................................................................... 38 Beto................................................................................................................. 39 Ao.................................................................................................................... 40 Piso Corrente................................................................................................... 40 Cobertura ......................................................................................................... 41 Critrios de regularidade em planta.............................................................. 41 Critrios de regularidade em altura............................................................... 43

Materiais adoptados ................................................................................................ 39

Aces ...................................................................................................................... 40

Classificao da estrutura ...................................................................................... 41

Modelao da estrutura........................................................................................... 43

Vigas .................................................................................................................................. 44 Pilares ................................................................................................................................ 47 Ncleos .............................................................................................................................. 48 Fundaes......................................................................................................................... 51 3.7. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 5. Caractersticas dinmicas da estrutura................................................................. 52 Introduo................................................................................................................. 55 Definio da aco ssmica .................................................................................... 55 Coeficiente de comportamento .............................................................................. 58 Justificao da estrutura ser do tipo mista.................................................. 59 Combinaes de aces para dimensionamento ................................................ 59 Dimensionamento por Capacidades Resistentes (Capacity Design)................. 60 Deslocamentos interpisos ...................................................................................... 61 Dimensionamento segundo o EC8 - Anlise Dinmica Linear do Edifcio................. 55

4.3.1.

Avaliao do desempenho ssmico do edifcio em estudo - Anlise Esttica no 5.1. 5.2. 5.3. Introduo................................................................................................................. 63 Comentrios gerais sobre Anlises Estticas No Lineares .............................. 64 Passos do mtodo N2 ............................................................................................. 65 Passo 1 Dados.............................................................................................. 65 Passo 2 Espectro de resposta no formato Acelerao-Deslocamento.. 66 Passo 3 Definio da curva de capacidade resistente............................. 66 Passo 4 Sistema de 1 grau de liberdade equivalente............................... 67 Passo 5 Desempenho ssmico do sistema de 1 grau de liberdade Passo 6 desempenho ssmico da estrutura .............................................. 69

Linear (Pushover)...................................................................................................................... 63

5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.3.5. 5.3.6. 5.4. 5.5.

equivalente ........................................................................................................................ 68 Definio das rtulas plsticas .............................................................................. 69 Espectro de resposta no formato Acelerao-Deslocamento ............................ 70

ii

5.6.

Definio da curva de capacidade resistente ....................................................... 71 Comparao das curvas de capacidade....................................................... 72 Comparao do parmetro u / 1.................................................................. 74

5.6.1. 5.6.2. 5.7. 5.8. 5.9. 6. 6.1.

Sistema de um grau de liberdade equivalente...................................................... 75 Desempenho ssmico de um sistema de 1GL equivalente.................................. 83 Desempenho ssmico da estrutura ........................................................................ 88 Introduo................................................................................................................. 96 Modelos de elementos estruturais ................................................................ 96 Amortecimento ................................................................................................ 97 Definio do mtodo de integrao numrica ............................................. 98 Apresentao da Estrutura ............................................................................ 99 Modelo analtico da estrutura ...................................................................... 101 Programa de clculo ............................................................................ 101 Modelao dos elementos................................................................... 101 Modelao dos materiais..................................................................... 102 Modelao estrutural ........................................................................... 104 Massas e carregamento....................................................................... 105 Caractersticas dinmicas da estrutura ...................................................... 106 Anlise Esttica No Linear (Pushover) ..................................................... 107 Curvas de Capacidade Resistente...................................................... 108 Deslocamento objectivo ...................................................................... 109 Anlise Dinmica No Linear....................................................................... 114 Acelerogramas...................................................................................... 114 Gosca..................................................................................................... 119 Resposta da estrutura.......................................................................... 129 Comparao dos resultados obtidos com as anlises esttica no linear e Deslocamentos objectivos da estrutura ............................................ 131 Deslocamentos interpisos................................................................... 134 Comentrios adicionais ....................................................................... 137 Comparao dos resultados obtidos com outros programas de

Anlises dinmicas no lineares .................................................................................... 96 6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.2. 6.2.1. 6.2.2. 6.2.2.1. 6.2.2.2. 6.2.2.3. 6.2.2.4. 6.2.2.5. 6.2.3. 6.2.4. 6.2.4.1. 6.2.4.2. 6.2.5. 6.2.5.1. 6.2.5.2. 6.2.5.3. 6.2.6. 6.2.6.1. 6.2.6.2. 6.2.6.3. 6.2.6.4.

Caso de Estudo - Edifcio SPEAR .......................................................................... 99

dinmica no linear ........................................................................................................ 131

clculo........................................................................................................... 140 7. 8. Comentrios finais ......................................................................................................... 144 Referncias ..................................................................................................................... 146

Anexos....149

iii

ndice de FigurasFigura 2.1 Escola primria de San Giuliano, colapso do edifcio. Sismo de Molise (San Giuliano di Puglia, Itlia, 31 de Outubro de 2002). .......................................................... 3 Figura 2.2 Implantao de edifcios em terrenos inclinados............................................... 5 Figura 2.3 Punoamento a meia altura de um pilar devido ao choque do pavimento de um edifcio adjacente. Sismo na Turquia em Agosto de 1999....................................... 5 Figura 2.4 Danos em edifcios adjacentes com alturas diferentes. .................................... 5 Figura 2.5 Danos em edifcios adjacentes [EERI Mxico II, 1987]. ..................................... 6 Figura 2.6 Danos no edifcio central. ..................................................................................... 6 Figura 2.7 a) Deslizamento em La Conchita, Califrnia, 1995 e b) Deslizamento de encostas. ............................................................................................................................. 7 Figura 2.8 Plataforma de aterro e escavao. ....................................................................... 7 Figura 2.9 Soluo possvel para implantao de edifcios em encostas. ........................ 8 Figura 2.10 Implantao em terreno inclinado: a) Fundaes adaptadas cota do terreno e b) Pilares construdos sobre parede de conteno. ...................................... 8 Figura 2.11 Efeito da liquefaco de solos: a) Niigata, 1964 e b) Turquia, 1999. .............. 9 Figura 2.12 Falha do sismo de Izmit, Turquia, 1999. ............................................................ 9 Figura 2.13 Exemplos de plantas de estruturas em prtico (B) e mista (A). ................... 11 Figura 2.14 a) Estrutura tube-in-tube e b) Estrutura triangulada. ..................................... 12 Figura 2.15 a) Importncia da ligao ente paredes ortogonais (as paredes no ligadas rodam facilmente em torno da base) ; b) Ligao pilar/parede de tijolo. ................... 12 Figura 2.16 Exemplo esquemtico de ligao fraca em estrutura pr-fabricada. ........... 13 Figura 2.17 Redundncia de um sistema estrutural........................................................... 14 Figura 2.18 Exemplos de a) boas e b) ms concepes estruturais, associadas a disposies em planta. .................................................................................................... 15 Figura 2.19 a)Exemplo de um edifcio assimtrico ; b)Exemplo do comportamento de um piso alongado. ............................................................................................................ 15 Figura 2.20 Pavimento de vigotas pr-fabricadas. ............................................................. 17 Figura 2.21 Hotel Terminal, Sismo de Guatemala, 1976 [Bertero, 1997]: a) Vista global; b) colapso de um pilar...................................................................................................... 17 Figura 2.22 Desenvolvimento em altura a) boas e b) ms solues. ............................ 18 Figura 2.23 a) Edifcio com pilares cortados no rs-do-cho posteriormente construo original ; b) Exemplo de descontinuidade de pilares no rs-do-cho ; c) Exemplo de pisos vazados.............................................................................................. 19 Figura 2.24 Irregularidades estruturais em altura............................................................... 20

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Figura 2.25 Pilar curto, devido descontinuidade em altura provocada pela parede de alvenaria. ........................................................................................................................... 21 Figura 2.26 Criao involuntria de um piso vazado: A-situao no incio do sismo ; Bsituao aps o colapso das alvenarias do rs-do-cho, se este ocorrer antes de ocorrerem danos nas alvenarias dos pisos superiores. .............................................. 21 Figura 2.27 Escada a descarregar a meio do pilar. ............................................................ 22 Figura 2.28 Colapso de um pilar devido s escadas.......................................................... 22 Figura 2.29 Exemplo de uma casa com um depsito de gua elevado. .......................... 22 Figura 2.30 Tipos de fundaes solues boas e ms [Pilakoutas, 2004]. .................. 23 Figura 2.31 a) Amarrao de um varo de ao no beto (sem gancho) ; b) Amarrao de um varo de ao no beto (com gancho)....................................................................... 24 Figura 2.32 a) Cintas mal amarradas ; b) Abertura da cinta por perda do beto de recobrimento ; c) Correcta amarrao de cintas .......................................................... 24 Figura 2.33 Perda de beto de recobrimento de um pilar.................................................. 25 Figura 2.34 Pilar-fraco viga-forte. ......................................................................................... 27 Figura 2.35 Soft-Storey. ......................................................................................................... 27 Figura 2.36 M pormenorizao das armaduras................................................................. 29 Figura 2.37 Limites do recuo, quando ocorre acima de 0,15 H e se mantm a simetria axial do edifcio................................................................................................................. 33 Figura 2.38 Limites do recuo, quando se mantm a simetria axial do edifcio. .............. 33 Figura 2.39 Limites do recuo, quando ocorre abaixo de 0,15 H........................................ 33 Figura 2.40 Limites do recuo quando este no simtrico............................................... 34 Figura 3.1 Vista 3D da estrutura. ........................................................................................... 43 Figura 3.2 Esforos num elemento de barra 3D.................................................................. 45 Figura 3.3 Caractersticas do material B30-vigasepilares utilizado na modelao das vigas................................................................................................................................... 46 Figura 3.4 Amortecimento do material B30-vigasepilares................................................. 46 Figura 3.5 Largura de influncia utilizada na modelao das vigas [EC8, 2003]. ........... 47 Figura 3.6 Eixos locais do elemento finito de pilar. ........................................................... 48 Figura 3.7 Eixos locais dos elementos PAREDE1 e PAREDE2. ........................................ 49 Figura 3.8 Ligao do ncleo aos elementos adjacentes com vigas rgidas. ................. 49 Figura 3.9 Caractersticas do elemento VIGA RGIDA........................................................ 50 Figura 4.1 Espectro de resposta do sismo tipo 1. ............................................................... 57 Figura 4.2 Espectro de resposta do sismo tipo 2. .............................................................. 57 Figura 4.3 Espectros de dimensionamento do sismo 1 e do sismo 2.............................. 62 Figura 5.1 Exemplo da modelao das rtulas plsticas. ................................................. 66 Figura 5.2 Espectro de resposta elstico de aceleraes (em m.s-2) do sismo 1. .......... 70 Figura 5.3 Espectro de resposta elstico de aceleraes (em m.s-2) do sismo 2. .......... 70 Figura 5.4 Espectro acelerao-deslocamento para o sismo 1 (acelerao em m.s-2 e deslocamento em m). ....................................................................................................... 71

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Figura 5.5 Espectro acelerao-deslocamento para o sismo 2 (acelerao em m.s-2 e deslocamento em m). ....................................................................................................... 71 Figura 5.6 Curvas de capacidade para a distribuio modal e para a distribuio uniforme, quando as foras so aplicadas segundo y com uma excentricidade e1 73 Figura 5.7 Curvas de capacidade para a distribuio modal e para a distribuio uniforme, quando as foras so aplicadas segundo x com uma excentricidade e1 73 Figura 5.8 Curvas de capacidade para a distribuio modal e para a distribuio uniforme, quando as foras so aplicadas segundo y com uma excentricidade e2 73 Figura 5.9 Curvas de capacidade para a distribuio modal e para a distribuio uniforme, quando as foras so aplicadas segundo x com uma excentricidade e2 73 Figura 5.10 Aproximao bilinear com rigidez ps-cedncia e aproximao bilinear sem rigidez ps-cedncia. ....................................................................................................... 76 Figura 5.11 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear com rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 76 Figura 5.12 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear sem rigidez ps-cedncia (vermelho). ........................................................................... 77 Figura 5.13 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear com rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 77 Figura 5.14 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear sem rigidez ps-cedncia (vermelho). ........................................................................... 77 Figura 5.15 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear com rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 78 Figura 5.16 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear sem rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 78 Figura 5.17 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear com rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 78 Figura 5.18 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear sem rigidez ps-cedncia (vermelho). ........................................................................... 79 Figura 5.19 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear com rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 79 Figura 5.20 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear sem rigidez ps-cedncia (vermelho). ........................................................................... 79 Figura 5.21 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear com rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 80 Figura 5.22 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear sem rigidez ps-cedncia (vermelho). ........................................................................... 80 Figura 5.23 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear com rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 80 Figura 5.24 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear sem rigidez ps-cedncia (vermelho). ........................................................................... 80

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Figura 5.25 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear com rigidez ps-cedncia (rosa)..................................................................................... 81 Figura 5.26 Curva de capacidade do sistema de 1gl: analtica (azul); idealizao bilinear sem rigidez ps-cedncia (vermelho). ........................................................................... 81 Figura 5.27 Deslocamentos interpisos segundo X para o target displacement x 150%. 92 Figura 5.28 Deslocamentos interpisos segundo Y para o target displacement x 150%. 92 Figura 5.29 Deslocamentos interpisos segundo X para o target displacement.............. 92 Figura 5.30 Deslocamentos interpisos segundo Y para o target displacement.............. 92 Figura 5.31 Distribuio modal com excentricidade e1 e idealizao bilinear com rigidez ps cedncia, y = 0,102m, Vy = 2591,807kN................................................................ 93 Figura 5.32 Distribuio uniforme com excentricidade e1 e idealizao bilinear com rigidez ps cedncia, y = 0,086m, Vy = 2972,98kN. .................................................... 94 Figura 5.33 Distribuio modal com excentricidade e1 e idealizao bilinear com rigidez ps cedncia, x = 0,061m, Vx = 5214,1504kN.............................................................. 94 Figura 5.34 Distribuio uniforme com excentricidade e1 e idealizao bilinear com rigidez ps cedncia, x = 0,053m, Vx = 5367,3403kN. ................................................ 95 Figura 6.1 Modelo de plasticidade concentrada com componentes em srie. ............... 97 Figura 6.2 Relao entre as constantes e e o factor de amortecimento . ................ 98 Figura 6.4 Planta da estrutura [m] e localizao do n n242........................................... 100 Figura 6.5 Alado da estrutura [m] [Massena, 2004]. ....................................................... 100 Figura 6.6 Seco e pormenorizao dos pilares [mm] [Massena, 2004]. ..................... 100 Figura 6.7 Seco e pormenorizao de uma viga tipo [mm] [Massena, 2004]............. 101 Figura 6.8 Alado da viga B8 [mm] [Massena, 2004]........................................................ 101 Figura 6.9 Discretizao de uma seco de beto armado modelo de fibras [Antoniou, Pinho, 2003]..................................................................................................................... 102 Figura 6.10 Localizao dos pontos de Gauss num elemento [Antoniou, Pinho, 2003]. .......................................................................................................................................... 102 Figura 6.11 Modelo de comportamento no linear do beto com confinamento [SeonhHon, Elnashai, 2002]....................................................................................................... 103 Figura 6.12 Comportamento histertico do beto (modelo no linear com confinamento constante) [Antoniou, Pinho, 2003]. ............................................................................. 103 Figura 6.13 Modelo elastoplstico bilinear com endurecimento cinemtico [SeongHoon, Elnashai, 2002]..................................................................................................... 104 Figura 6.14 Comportamento histertico do ao (modelo elastoplstico bilinear com endurecimento cinemtico) [Antoniou, Pinho, 2003]. ................................................ 104 Figura 6.15 Modelao da descontinuidade do pilar C6 [Massena, 2004]. .................... 105 Figura 6.16 Representao em planta do centro de massa e do centro de rigidez da estrutura [m] [Massena, 2004]....................................................................................... 106 Figura 6.17 Modos de vibrao........................................................................................... 107 Figura 6.18 Padres de fora utilizados. ........................................................................... 108

vii

Figura 6.19 Distribuio de foras nos prticos da estrutura......................................... 108 Figura 6.20 Curvas de capacidade da estrutura: a) Distribuio modal de foras ; b) Distribuio uniforme de foras. .................................................................................. 109 Figura 6.21 Espectro de resposta elstico. ....................................................................... 110 Figura 6.22 Espectro de resposta elstico no formato acelerao-deslocamento. ...... 110 Figura 6.23 Curva de capacidade do sistema de 1 gl equivalente para a distribuio modal segundo X............................................................................................................ 111 Figura 6.24 Curva de capacidade do sistema de 1 gl equivalente para a distribuio modal segundo Y............................................................................................................ 111 Figura 6.25 Curva de capacidade do sistema de 1 gl equivalente para a distribuio uniforme segundo X. ...................................................................................................... 111 Figura 6.26 Curva de capacidade do sistema de 1 gl equivalente para a distribuio uniforme segundo Y. ...................................................................................................... 111 Figura 6.27 Determinao do deslocamento objectivo do sistema de 1 GL equivalente para: a) Perodos baixos; b) Perodos mdios ou longos.......................................... 113 Figura 6.28 Aplicao de acelerogramas estrutura....................................................... 115 Figura 6.29 Primeiro par de acelerogramas artificiais: acelerograma 1 aplicado segundo a direco X e acelerograma 2 aplicado segundo a direco Y................................ 115 Figura 6.30 Espectro de referncia vs. Espectros compatveis com os acelerogramas 1 e 2. .................................................................................................................................... 115 Figura 6.31 Segundo par de acelerogramas artificiais: acelerograma 3 aplicado segundo a direco X e acelerograma 4 aplicado segundo a direco Y................ 116 Figura 6.32 Espectro de referncia vs. Espectros compatveis com os acelerogramas 3 e 4. .................................................................................................................................... 116 Figura 6.33 Terceiro par de acelerogramas artificiais: acelerograma 5 aplicado segundo a direco X e acelerograma 6 aplicado segundo a direco Y................................ 116 Figura 6.34 Espectro de referncia vs. Espectros compatveis com os acelerogramas 5 e 6. .................................................................................................................................... 117 Figura 6.35 Primeiro par de acelerogramas semi-artificiais: a) Loma Prieta 1989 Capitola000 aplicado segundo a direco X ; b) Loma Prieta 1989 Capitola090 aplicado segundo a direco Y..................................................................................... 117 Figura 6.36 Espectro de referncia vs. Espectros compatveis do................................. 118 Figura 6.37 Segundo par de acelerogramas semi-artificiais: a) Imperial Valley 1979 Bonds Corner 140 aplicado segundo a direco X ; b) Imperial Valley 1979 Bonds Corner 230 aplicado segundo a direco Y................................................................. 118 Figura 6.38 Espectro de referncia vs. Espectros compatveis do segundo par de acelerogramas semi-artificiais. ..................................................................................... 118 Figura 6.39 Terceiro par de acelerogramas semi-artificiais: a) Imperial Valley 1940 El Centro Array #9 180 aplicado segundo a direco X ; b) Imperial Valley 1940 El Centro Array #9 270 aplicado segundo a direco Y.................................................. 119

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Figura 6.40 Espectro de referncia vs. Espectros compatveis do terceiro par de acelerogramas semi-artificiais. ..................................................................................... 119 Figura 6.41 Exemplo: n = 2000 ; t = 0,01 s [Denol, 2001]. ............................................ 120 Figura 6.42 Funo f(t) no-estacionria utilizada [Denol, 2001]. ................................. 121 Figura 6.43 Funo utilizada para acelerogramas de curta durao [Denol, 2001]. ... 122 Figura 6.44 Acelerograma aps modificao temporal [Denol, 2001].......................... 122 Figura 6.45 a) Acelerograma a(t) antes da filtragem ; b) Acelerograma a(t) depois da filtragem [Denol, 2001]. ................................................................................................ 123 Figura 6.46 Espectro do acelerograma gerado vs. Espectro do EC8 [Denol, 2001]. .. 124 Figura 6.47 Correco frequencial a aplicar Transformada de Fourier do primeiro acelerograma [Denol, 2001]......................................................................................... 125 Figura 6.48 Espectro de resposta do acelerograma c(t) em comparao com o anterior e com o espectro do EC8 [Denol, 2001]. .................................................................... 125 Figura 6.50 Gerao dos acelerogramas artificiais utilizando o programa Gosca. ...... 128 Figura 6.53 Deslocamento de topo segundo X e segundo Y ao longo do tempo para os diferentes pares de acelerogramas utilizados. ........................................................... 129 Figura 6.54 Deslocamentos interpisos segundo as direces X e Y para os diferentes pares de acelerogramas utilizados............................................................................... 130 Figura 6.55 Deslocamentos objectivos da estrutura segundo X para as diferentes anlises efectuadas........................................................................................................ 132 Figura 6.56 Deslocamentos objectivos da estrutura segundo Y para as diferentes anlises efectuadas........................................................................................................ 132 Figura 6.57 Espectros compatveis mdios vs. Espectro de referncia segundo as direces X e Y. .............................................................................................................. 133 Figura 6.58 Deslocamentos interpisos segundo X. .......................................................... 135 Figura 6.59 Deslocamentos interpisos segundo Y. .......................................................... 135 Figura 6.60 Erro das anlises Pushover em relao s anlises dinmicas no lineares. ........................................................................................................................... 137 Figura 6.61 Deslocamentos interpisos (cm) utilizando o SeismoStruct. ....................... 140 Figura 6.62 Deslocamentos interpisos (cm) obtidos a partir do OpenSeeS (Analysis) e de ensaios experimentais (Experiment) [Fajfar et al., 2005]. ................................. 140 Figura 6.63 Curvas de capacidade da estrutura utilizando o SeismoStruct: a) Distribuio modal de foras ; b) Distribuio uniforme de foras. ......................... 142 Figura 6.64 Curvas de capacidade da estrutura utilizando o ZeusNL [Jeong e Elnashai, 2005]................................................................................................................................. 142

ix

ndice de TabelasTabela 2.1 Consequncias gerais da regularidade estrutural na anlise e

dimensionamento ssmico. ............................................................................................. 31 Tabela 3.1 Dimenses das sapatas. ..................................................................................... 36 Tabela 3.2 Caractersticas geomtricas adoptadas para as vigas.................................... 37 Tabela 3.3 Caractersticas geomtricas adoptadas para os pilares. ................................ 38 Tabela 3.4 Excentricidade estrutural e raio de toro em cada piso da estrutura.......... 42 Tabela 3.5 Condies a serem respeitadas relativamente excentricidade estrutural e raio de toro, em ambas as direces, X e Y. ............................................................. 42 Tabela 3.6 Rigidezes e posio dos centros de rigidez e de massa de cada piso.......... 42 Tabela 3.7 Coeficientes das molas utilizadas na modelao das fundaes.................. 51 Tabela 3.8 Massas e momentos polares de inrcia dos pisos. ......................................... 53 Tabela 3.9 Momento polar de inrcia de cada piso. ........................................................... 53 Tabela 3.10 Localizao dos Masterjoints........................................................................... 53 Tabela 3.11 Perodos, Frequncias e Participao Modal das Massas em cada modo. 54 Tabela 4.1 Valores considerados para a definio do espectro de dimensionamento. . 56 Tabela 4.2 Frequncias dos primeiros seis modos de vibrao da estrutura................. 57 Tabela 4.3 Relao entre frequncias. ................................................................................. 58 Tabela 4.4 Deslocamentos interpisos para o sismo 2........................................................ 62 Tabela 5.1 Desempenho ssmico de um sistema de 1 grau de liberdade. ....................... 68 Tabela 5.2 Ponto de aplicao das foras ao nvel de cada piso...................................... 72 Tabela 5.3 Direco dos modos de vibrao. ..................................................................... 72 Tabela 5.4 Massa e deslocamentos modais de cada piso. ................................................ 72 Tabela 5.5 Valores da relao u / 1 para os diferentes casos de anlise. ................... 74 Tabela 5.6 Valores da relao u / 1 adoptados. .............................................................. 74 Tabela 5.7 Valores de F*y, d*y, F*u, d*u, T*y e T*x para os diferentes casos de anlise. ............................................................................................................................................ 82 Tabela 5.8 Comportamento da estrutura para os diferentes casos de anlise. .............. 85 Tabela 5.9 Deslocamentos objectivos do sistema de 1gl equivalente para os diversos casos de anlise. .............................................................................................................. 86 Tabela 5.10 Ductilidade disponvel e ductilidade exigida para os diversos casos de anlise................................................................................................................................ 88 Tabela 5.11 Deslocamentos do topo da estrutura para o sismo1..................................... 88 Tabela 5.12 Deslocamentos do topo da estrutura para o sismo2..................................... 89 Tabela 5.13 Deslocamentos interpisos para a anlise modal para o sismo 2. ................ 90

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Tabela 5.14 Deslocamentos interpisos para a anlise pushover para os target displacements calculados para o sismo 2..................................................................... 91 Tabela 5.15 Deslocamentos interpisos para a anlise pushover para os target displacements x 1,5 calculados para o sismo 2............................................................ 91 Tabela 6.1 Resultados experimentais de Ispra, Itlia [Seong-Hoon, Elnashai, 2002]. .. 104 Tabela 6.2 Centros de massa e massa de cada piso........................................................ 105 Tabela 6.3 Perodos, Frequncias e Factores de participao modal. ........................... 106 Tabela 6.4 Caractersticas do espectro do EC8 utilizado. ............................................... 110 Tabela 6.5 Factores de transformao ............................................................................ 110 Tabela 6.6 Valores das idealizaes das curvas de capacidade do sistema de 1gl equivalente e respectivos perodos.............................................................................. 112 Tabela 6.7 Desempenho ssmico do sistema de 1gl equivalente e da estrutura (parte1). .......................................................................................................................................... 113 Tabela 6.8 Desempenho ssmico do sistema de 1gl equivalente e da estrutura (parte2). .......................................................................................................................................... 114 Tabela 6.9 Deslocamentos objectivos da estrutura para as diferentes anlises. ......... 131 Tabela 6.10 Deslocamentos interpisos para as anlises efectuadas segundo as duas direces. ........................................................................................................................ 135 Tabela 6.11 Caractersticas dos modelos usados no programa ZeusNL....................... 142

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ndice de EquaesEquao 3.1................................................................................................................................ 51 Equao 3.2................................................................................................................................ 51 Equao 3.3................................................................................................................................ 52 Equao 3.4................................................................................................................................ 52 Equao 3.5................................................................................................................................ 52 Equao 4.1................................................................................................................................ 55 Equao 4.2................................................................................................................................ 55 Equao 4.3................................................................................................................................ 55 Equao 4.4................................................................................................................................ 56 Equao 4.5................................................................................................................................ 58 Equao 4.6................................................................................................................................ 59 Equao 4.7................................................................................................................................ 59 Equao 4.8................................................................................................................................ 60 Equao 4.9................................................................................................................................ 61 Equao 4.10.............................................................................................................................. 62 Equao 5.1................................................................................................................................ 65 Equao 5.2................................................................................................................................ 66 Equao 5.3................................................................................................................................ 67 Equao 5.4................................................................................................................................ 67 Equao 5.5................................................................................................................................ 67 Equao 5.6................................................................................................................................ 67 Equao 5.7................................................................................................................................ 67 Equao 5.8................................................................................................................................ 68 Equao 5.9................................................................................................................................ 68 Equao 5.10.............................................................................................................................. 68 Equao 5.11.............................................................................................................................. 68 Equao 5.12.............................................................................................................................. 68 Equao 5.13.............................................................................................................................. 68 Equao 5.14.............................................................................................................................. 69 Equao 5.15.............................................................................................................................. 71 Equao 5.16.............................................................................................................................. 86 Equao 5.17.............................................................................................................................. 86 Equao 6.1................................................................................................................................ 97 Equao 6.2................................................................................................................................ 98

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Equao 6.3................................................................................................................................ 98 Equao 6.4.............................................................................................................................. 123 Equao 6.5.............................................................................................................................. 123

xiii

1. IntroduoA presente dissertao destina-se obteno do grau de Mestre em Engenharia Civil do Instituto Superior Tcnico. A realizao deste trabalho permitiu ao autor desenvolver o seu conhecimento do Eurocdigo 8, o que se considera ter sido muito importante uma vez que estar para breve a substituio dos regulamentos nacionais pelas normas europeias. Permitiu igualmente aprofundar o estudo das anlises estticas e dinmicas no lineares, matrias que se encontram ausentes do curriculum da licenciatura. O objectivo deste trabalho a explorao e utilizao do Eurocdigo 8 para o dimensionamento e avaliao ssmica de edifcios. Neste contexto, procedeu-se apresentao das diferentes metodologias de anlise ssmica presentes neste regulamento, nomeadamente a anlise dinmica linear, anlise esttica no linear (Pushover) e anlise dinmica no linear. As duas primeiras anlises referidas foram aplicadas a um edifcio de beto armado que foi pr-dimensionado, modelado e dimensionado nas cadeiras de Estruturas de Edifcios e Modelao e Anlise Estrutural durante a Licenciatura em Engenharia Civil do Instituto Superior Tcnico pelo autor desta dissertao. Para este efeito utilizou-se o software de clculo automtico SAP2000. A realizao de anlises dinmicas no lineares com o Sap2000 em edifcios 3D no muito fivel, uma vez que os erros numricos durante as anlises so frequentes e pouco esclarecimento existe sobre a matria no manual disponvel para os utilizadores. Neste sentido optou-se por estudar um edifcio mais simples, o edifcio SPEAR, no qual se efectuaram anlises estticas no lineares e anlises dinmicas no lineares utilizando o software Seismostruct. Este programa est mais vocacionado para anlises dinmicas no lineares do que o Sap2000, apresentando uma biblioteca de elementos finitos para a modelao dos elementos estruturais muito maior, levando portanto obteno de resultados mais coerentes. O edifcio SPEAR j foi alvo de vrios estudos tericos e experimentais abrangidos no programa europeu SPEAR, constituindo-se deste modo como um excelente exemplo para a aplicao deste tipo de anlises. No captulo 2 da dissertao apresentam-se os princpios de concepo ssmica de estruturas. Numa primeira fase referem-se os princpios indicados por diversos autores, e numa segunda fase referem-se os princpios propostos pelo Eurocdigo 8. Apresentam-se igualmente neste captulo os critrios de classificao de estruturas no que respeita sua regularidade, presentes no Eurocdigo 8 e determinantes para a escolha do mtodo a adoptar para o dimensionamento ssmico das estruturas.

1

No captulo 3 apresenta-se a primeira estrutura a analisar. Descrevem-se as suas caractersticas geomtricas e estruturais bem como as opes de dimensionamento tomadas. Classifica-se a estrutura segundo os critrios presentes no Eurocdigo 8 e apresentados no captulo 2. Neste captulo so ainda apresentadas as opes de modelao tomadas. No captulo 4 efectua-se a anlise dinmica linear do edifcio em estudo seguindo as directrizes presentes no EC8 e apresentadas neste captulo. Dimensionam-se os elementos estruturais, definindo-se as armaduras a utilizar que vo servir de base s anlises no lineares a realizar no captulo seguinte. No captulo 5 avalia-se o dimensionamento realizado no captulo anterior, recorrendo-se a anlises estticas no lineares (Pushover) do edifcio apresentado no captulo 3, nas duas direces, segundo o procedimento proposto no Eurocdigo 8 e descrito neste captulo. No captulo 6 apresentam-se anlises dinmicas no lineares, utilizando-se como caso de estudo o edifcio SPEAR. Realizam-se anlises estticas e dinmicas no lineares deste edifcio com o programa Seismostruct, comparando os resultados obtidos para cada tipo de anlise. No captulo 7 apresentam-se os comentrios e algumas consideraes finais decorrentes da realizao deste trabalho. No trabalho desenvolvido apresentam-se 5 anexos, com destaque para o anexo B onde se apresenta a metodologia utilizada na anlise esttica no linear de estruturas de beto armado. Neste anexo descreve-se o procedimento utilizado para obter as relaes M-1/R das seces de pilares, vigas e paredes, utilizadas na anlise esttica no linear realizadas com o SAP2000.

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2. Concepo Ssmica de Estruturas2.1. Introduo

Actualmente o beto armado corresponde ao material mais utilizado na construo, sobretudo nos pases mais desenvolvidos. Em regies ssmicas, o projecto deste tipo de estruturas deve atender a determinados cuidados que podem condicionar o seu comportamento perante a aco ssmica. Erros frequentes, tais como m concepo, ms prticas de construo e ms pormenorizaes, podem originar graves problemas nas estruturas durante a actuao de um sismo (Figura 2.1). De facto, e como D. J. Dowrick afirmou em 1977: um sismo procurar implacavelmente toda a irregularidade e fraqueza estrutural, quer ela tenha sido ou no previamente conhecida.

Figura 2.1 Escola primria de San Giuliano, colapso do edifcio. Sismo de Molise (San Giuliano di Puglia, Itlia, 31 de Outubro de 2002).

2.2.

Comportamento ssmico de estruturas

A resposta ssmica de uma dada estrutura em geral, e do edifcio em particular, depende de condies externas e de condies internas do edifcio [Oliveira, 1989]. Como condies externas possvel mencionar a relao do edifcio com outros adjacentes e a topografia local, e como condies internas as que se relacionam com o edifcio, como a ligao entre elementos, graus de redundncia, uniformidade em planta com seces convexas, simetria e rectangularidade, continuidade e regularidade em altura.

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2.2.1.

Condies externas

2.2.1.1. Relao com os edifcios adjacentes

Atravs da anlise de muitos relatos dos danos observados em edifcios devidos a sismos ocorridos no passado foi possvel compreender que a aco ssmica causa danos mais gravosos nos edifcios desacompanhados, nos de topo das bandas, nos de gaveto de quarteires e nos edifcios em contacto com outros de diferentes dimenses. Um dos maiores problemas na relao entre edifcios so as juntas existentes entre eles. Estas juntas permitem, se dimensionados adequadamente, que cada um dos edifcios oscile isoladamente. Nas construes mais antigas, as juntas eram muitas vezes inexistentes pois edifcios adjacentes partilhavam frequentemente a mesma parede de empena. Hoje em dia so deixadas juntas de 1 a 2 cm, sendo o espaamento entre edifcios independente da sua altura. Apesar destas juntas serem constitudas por esferovite, a sua deficiente construo, nomeadamente com a presena de resduos resultantes de uma descuidada construo das paredes, criam continuidade entre os edifcios, pelo menos para oscilaes de pequena amplitude. De facto, para vibraes de pequena amplitude, os deslocamentos dos edifcios podem ser uniformizados devido s foras na superfcie de contacto entre empenas, no havendo descontinuidades e choques. Para movimentos com maiores amplitudes, e devido s diferenas estruturais e variabilidade espacial da aco ssmica, os edifcios podem oscilar em oposio de fase, podendo estas amplitudes superarem o espaamento criado pelas juntas. Este facto origina o choque entre edifcios (pounding), dificultando a anlise ssmica das estruturas devido difcil quantificao da energia transmitida durante o choque. Devido a este fenmeno vo-se concentrar os maiores esforos nas zonas de descontinuidade lateral como sejam os edifcios de topo nas bandas ou os de canto nos quarteires. Este efeito pode ser explicado pela transmisso contnua e pelo efeito de choque. De facto, num edifcio de extremidade o esforo no encontra continuidade provocando piores condies de resposta. O efeito de choque faz com que, se o edifcio de uma extremidade chocar com todos os outros, o da outra extremidade ir sofrer um desprendimento com a mesma quantidade de movimento. Nos edifcios de canto de quarteires podem ser observados estes dois fenmenos, contudo agravados pelo facto de a carga provir de duas direces. Devido proximidade entre edifcios e devido ao comportamento elstico do solo, possvel observar a imposio de vibrao aos edifcios adjacentes por parte daquele que a recebe. O impacto entre edifcios provoca efeitos de maior gravidade do ponto de vista estrutural quando os pavimentos no se encontram ao mesmo nvel. Esta situao surge, por exemplo, quando a implantao dos edifcios feita em terrenos inclinados, como se pode observar na Figura 2.2, ou quando se tem edifcios antigos (p-direito grande) junto a edifcios recentes.

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Figura 2.2 Implantao de edifcios em terrenos inclinados. O pavimento do edifcio adjacente provoca punoamento a meia altura do pilar do outro edifcio, originando momentos elevados numa zona onde normalmente no se desenvolvem grandes esforos. A Figura 2.3, mostra um exemplo de um pilar danificado durante um sismo na Turquia em Agosto de 1999.

Figura 2.3 Punoamento a meia altura de um pilar devido ao choque do pavimento de um edifcio adjacente. Sismo na Turquia em Agosto de 1999. Em edifcios adjacentes de diferente porte, vai haver concentrao de esforos na zona de descontinuidade em altura. Os efeitos so mais gravosos para o edifcio que apresentar maior flexibilidade na zona de descontinuidade (Figura 2.4). Na Figura 2.5 est ilustrado o colapso de um edifcio devido ao colapso de edifcios adjacentes durante o sismo do Mxico de 1985.

Figura 2.4 Danos em edifcios adjacentes com alturas diferentes.

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Figura 2.5 Danos em edifcios adjacentes [EERI Mxico II, 1987].

No caso particular de um edifcio mais baixo, localizado entre dois de altura mais elevada (menos rgido), conseguem-se observar os danos na parte superior deste devido aos esforos axiais elevados nos seus elementos horizontais (Figura 2.6).

Figura 2.6 Danos no edifcio central.

2.2.1.2. Topografia Local A implantao de edifcios deve ser feita em terrenos planos e afastados de grandes declives. De facto, os edifcios construdos nas encostas ou perto delas ficam sujeitos ao risco de escorregamento global da encosta que se poder traduzir no seu arrastamento ou soterramento (Figura 2.7 a) e b)). As encostas com declives muito acentuados, podem sofrer escorregamento muitas horas aps o sismo ou mesmo sem a aco deste. A ocorrncia de sismos provoca aceleraes na massa de solo da encosta, gerando foras de inrcia que aumentam a tendncia desta para deslizar. Este fenmeno est ilustrado na Figura 2.7 b).

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b)

a) Figura 2.7 a) Deslizamento em La Conchita, Califrnia, 1995 e b) Deslizamento de encostas. Quando os edifcios esto implantados em encostas difcil obter uma soluo estrutural que minore os problemas apresentados. Deve-se portanto evitar a construo nestes locais, ou ento estabilizar a encosta de forma a impedir o seu deslizamento, se for tcnica e economicamente vivel. O aterro no uma boa soluo pelo facto de serem zonas muito sensveis aos sismos. A vibrao do solo do aterro pode originar a sua compactao, produzindo assentamentos diferenciais ou deslizamentos. A experincia dos sismos do passado mostra que as estruturas localizadas em zonas de aterro sofrem mais danos do que aquelas que esto implantadas em zonas de escavao (ver Figura 2.8). A melhor soluo passa ento pela escavao, mas importante ter em conta os efeitos desta no terreno adjacente ao edifcio, principalmente no que respeita ao seu comportamento e ao dos muros, paredes de fundao ou ancoragens de amarrao.

Figura 2.8 Plataforma de aterro e escavao. Do ponto de vista ssmico, a melhor soluo passa por construir as fundaes do edifcio na zona escavada. De facto, o procedimento mais correcto seria escavar toda a rea de implantao e criar uma plataforma horizontal sobre a qual se construiria o edifcio. Dever-se-ia deixar um espao entre a parede do edifcio e a parede de conteno do terreno. Este modelo est ilustrado na Figura 2.9. Esta concepo traz dois problemas principais: 1) reduo da rea

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de implantao; 2) se o espao entre a parede do edifcio e a parede de conteno for minimizado o acesso para manuteno ficar impossibilitado.

Figura 2.9 Soluo possvel para implantao de edifcios em encostas. corrente adaptar as cotas de fundao topografia (ver Figura 2.10 a)), ou construir os pilares sobre a parede de conteno (ver Figura 2.10 b)). Estas solues trazem problemas de assimetria ao edifcio, causando problemas do ponto de vista ssmico. A utilizao de pilares de altura diferente traz problemas de toro ao edifcio devido diferena de rigidez dos pilares (os pilares mais curtos tm maior rigidez) e devido aos pilares mais curtos ficarem sujeitos a maiores esforos de corte.

a) b) Figura 2.10 Implantao em terreno inclinado: a) Fundaes adaptadas cota do terreno e b) Pilares construdos sobre parede de conteno. A construo de edifcios em vales deve igualmente ser cuidadosamente analisada. Isto porque, em determinados vales, a aco ssmica pode ser amplificada e a capacidade resistente das fundaes pode diminuir. No primeiro caso, as camadas aluvionares amplificam as ondas ssmicas entre a camada firme e a superfcie. Como esta amplificao selectiva em termos de frequncias, podem ocorrer fenmenos no lineares no solo. O segundo caso ocorre quando o solo sofre liquefaco, ou seja, a rigidez do solo para esforos cortantes praticamente nula. A liquefaco um fenmeno no qual a resistncia e rigidez do solo so reduzidas devido vibrao do solo com um sismo. A liquefaco ocorre em solos saturados, isto , em solos

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onde o espao entre partculas est completamente preenchido com gua. Antes do sismo a presso na gua relativamente baixa. No entanto, quando o sismo ocorre, a presso na gua aumenta at um nvel onde as partculas do solo se movimentam livremente. Os sismos ocorridos no passado tm mostrado que a liquefaco tem sido responsvel por danos muito severos nas construes. Na realidade, como com a liquefaco a resistncia do solo diminui, a sua capacidade para suportar edifcios e pontes reduzida. Este facto est ilustrado nas fotos seguintes, Figura 2.11, onde se observa o colapso de edifcios durante o sismo de Niigata, em 1964, e o colapso de dois edifcios na Turquia, em 1999.

a) b) Figura 2.11 Efeito da liquefaco de solos: a) Niigata, 1964 e b) Turquia, 1999. Deve ser evitada a implantao de edifcios em zonas de falhas activas ou zonas com constituio geolgica diferente. Estes dois aspectos so da mxima relevncia pois: 1. A intensidade das vibraes mais elevada junto da origem; 2. O deslocamento diferencial da falha no passvel de ser suportado pelas fundaes. O desnvel na vertical, entre os dois lados, pode atingir um valor mximo de aproximadamente 3 m e a largura da zona onde ocorreu a fendilhao do solo pode chegar aos 50 m. A Figura 2.12 apresenta duas fotos da falha do sismo da Turquia, 1999.

Figura 2.12 Falha do sismo de Izmit, Turquia, 1999.

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A fundao sobre estratos muito diferentes pode trazer problemas uma vez que existe o perigo de deslizamento ao longo da superfcie de separao. Os assentamentos diferenciais podem ocorrer mesmo sem sismo. Deve igualmente ser evitada a implantao de construes em zonas que apresentem elevado nvel fretico e alteraes subsuperficiais, pois podem apresentar problemas de fundaes ou de transmisso de esforos ao terreno, e na orla costeira onde real o risco de inundaes ou de tsunamis.

2.2.2.

Condies internas

Estas condies dizem respeito estrutura resistente do edifcio. O projecto de uma estrutura dever, para alm de permitir uma boa distribuio de esforos, cumprir as exigncias de resistncia, ductilidade e deformabilidade. Para tal, a estrutura deve ter capacidade de dissipao de energia histertica sem perda exagerada de resistncia, sendo por isso de evitar concentraes de esforos em zonas singulares que no estejam preparadas para resistir a cargas elevadas. Para se obter um bom comportamento estrutural necessrio ter em ateno os materiais utilizados, o sistema estrutural adoptado e os critrios de concepo anti-ssmica de estruturas. Neste ltimo ponto so de salientar os seguintes aspectos: ligao entre elementos, graus de redundncia, uniformidade em planta com seces convexas, simetria e rectangularidade, continuidade, regularidade em altura e ductilidade.

2.2.2.1. Materiais utilizados Os materiais mais utilizados na construo so o beto e o ao. As estruturas metlicas devido ao seu peso baixo, apresentam uma massa pequena. Assim sendo, o sismo no a aco condicionante neste tipo de estruturas, sendo o vento muitas vezes a aco mais desfavorvel. O beto armado apresenta um peso mais elevado, o que faz com que as massas em jogo sejam consideravelmente maiores. Este facto leva a que a aco ssmica seja importante nestas estruturas. Em Portugal e para os edifcios, o beto armado continua a constituir-se como o material de construo economicamente mais vivel e portanto o mais utilizado.

2.2.2.2. Sistemas estruturais Os sistemas estruturais utilizados so a estrutura em prtico, a estrutura mista e a estrutura

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parede. No incio, quando os edifcios construdos eram baixos (menos de dez pisos) as estruturas em prtico eram as mais utilizadas. Este sistema estrutural tambm apresentava uma boa resistncia ao sismo. A partir da dcada de oitenta, os edifcios passaram a crescer em altura. Em 1983 entra em vigor o RSA que regulamentava foras ssmicas maiores do que as consideradas anteriormente. Estes dois factos levam a que as estruturas em prtico passassem a ser incapazes de resistir por si s aco ssmica. Aparecem ento as estruturas mistas. Estes sistemas so estruturas em prtico reforadas com paredes ou ncleos de beto armado. Estes ncleos localizam-se usualmente nas caixas de escadas ou nas caixas de elevadores. Na Figura 2.13, esto representadas plantas de uma estrutura em prtico e de uma estrutura mista.

Figura 2.13 Exemplos de plantas de estruturas em prtico (B) e mista (A). A introduo de paredes e caixas de escadas nas estruturas permitem aumentar a resistncia destas s aces horizontais. Permitem igualmente controlar os deslocamentos horizontais da estrutura bem como a sua distribuio ao longo da altura. Grandes deslocamentos horizontais provocam importantes efeitos de segunda ordem nos pilares que podem levar ao colapso da estrutura. pois fundamental control-los. A utilizao de paredes traz ainda mais uma vantagem: as paredes tendem a uniformizar os deslocamentos horizontais entre pisos. Outro sistema estrutural utilizado a estrutura parede. Neste tipo de estruturas, os elementos resistentes verticais so paredes de beto armado. Este tipo de soluo no muito utilizado uma vez que de difcil compatibilizao com as solues arquitectnicas apresentadas. Contudo, pode ser uma boa opo para edifcios altos de forma a conferir-lhes maior resistncia s aces horizontais. Existe um sistema utilizado para construir edifcios altos denominado tube-in-tube, ver Figura 2.14 a).

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a) b) Figura 2.14 a) Estrutura tube-in-tube e b) Estrutura triangulada. O sistema tubo consiste em usar toda a periferia do edifcio para formar uma estrutura tridimensional em tubo, ligando as paredes nos cantos e deixando nas fachadas os espaos necessrios para as aberturas previstas. Deste modo, os pilares e as vigas so curtas e de grande rigidez. Estes sistemas podem ser complementados por um ncleo formado por paredes ortogonais na zona da caixa de escadas e de elevadores. Estas estruturas apresentam grande rigidez e resistncia s aces horizontais. Tambm se podem utilizar estruturas metlicas em edifcios sob a forma de sistemas porticados. Para aumentar a rigidez e resistncia s aces horizontais dos prticos, habitual construir diagonais como ilustrado na Figura 2.14 b), dando origem a estruturas trianguladas.

2.2.2.3. Ligao entre elementos Numa estrutura deve haver uma boa ligao entre os seus elementos resistentes, permitindo deste modo uma melhor distribuio de esforos, para alm de conferir maior ductilidade estrutura. Por exemplo, uma boa ligao entre paredes ortogonais d origem a uma estrutura tridimensional com maior rigidez e resistncia do que a soma das rigidezes e resistncias das paredes. Este facto est ilustrado na Figura 2.15 a).

a) b) Figura 2.15 a) Importncia da ligao ente paredes ortogonais (as paredes no ligadas rodam facilmente em torno da base) ; b) Ligao pilar/parede de tijolo. Na Figura 2.15 b), est representada a melhor maneira de construir os pilares: primeiro fazem-

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se as paredes de alvenaria deixando o espao necessrio para depois se betonar o pilar. Deste modo o beto preenche parcialmente os furos dos tijolos criando uma melhor ligao pilar/parede. As estruturas pr-fabricadas apresentam um fraco comportamento ssmico muito por culpa das deficientes ligaes entre os elementos usualmente feitas em obra. Na Figura 2.16 mostra-se um exemplo. Neste caso, as vigas pr-fabricadas ao apoiarem nos pilares atravs de cachorros podem causar danos na ligao. Outra consequncia possvel a queda das vigas se o deslocamento relativo viga-pilar for superior dimenso horizontal do cachorro. Contudo, o comportamento ssmico deste tipo de estruturas pode ser to bom quanto as betonadas in situ desde que se adoptem as disposies necessrias para evitar ligaes fracas entre os elementos pr-fabricados.

Figura 2.16 Exemplo esquemtico de ligao fraca em estrutura pr-fabricada.

2.2.2.4. Graus de redundncia A redundncia est relacionada com o nmero de ligaes que a estrutura tem a mais do que as necessrias para equilibrar as cargas aplicadas. Quanto maior o grau de redundncia estrutural maior ser o potencial de redistribuio de esforos numa estrutura e a capacidade de propagao de dissipao de energia ao longo da estrutura. Num edifcio, quantos mais prticos existirem numa direco, menor ser o efeito da toro. De facto, quando um prtico entra em regime no linear, os esforos so facilmente redistribudos pelos outros prticos, minorando os mecanismos de toro. Como regra bsica dever-se-o considerar no mnimo quatro prticos em cada direco horizontal [Oliveira, 1989], como est ilustrado na Figura 2.17.

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Figura 2.17 Redundncia de um sistema estrutural. Em estruturas pouco redundantes, necessrio controlar o comportamento no-linear em algumas zonas, nomeadamente na base das estruturas. Em estruturas de pisos rgidos suportados por pilares, devem ser considerados ncleos e paredes resistentes para uma melhor redistribuio de esforos em altura, um melhor controlo de deslocamentos globais da estrutura e deslocamentos entre pisos. De facto e como referido a parede permite uniformizar os deslocamentos relativos, conduzindo a uma distribuio regular das exigncias de ductilidade dos prticos [Bento, Lopes, 1999]. 2.2.2.5. Uniformidade, Simetria e Rectangularidade em planta A uniformidade em planta conseguida a partir da organizao dos elementos resistentes, i.e. atravs de uma distribuio regular dos elementos estruturais. Em zonas como as linhas de prticos ou como as linhas de paredes resistentes, possvel observar acentuada concentrao de esforos. Nestas situaes necessria a colocao de vigas e lajes para haver uma melhor redistribuio nestes elementos. Quando no se procede deste modo, o edifcio tende a funcionar como se ficasse dividido em vrios corpos rgidos, podendo haver um agravamento de esforos em estruturas com plantas em L, T e U (Figura 2.18 b). Plantas com o tipo de geometria representadas no grupo da m concepo da Figura 2.18 b) no conseguem garantir um comportamento de diafragma rgido no plano horizontal. A soluo a adoptar nestes casos dividi-las em formas compactas e convexas para as quais seja de esperar um comportamento de diafragma rgido, i.e. em plantas com reentrncias pode-se optar pelo fecho circular, introduzindo elementos resistentes de forma a transformar plantas em L, T, ou U em plantas convexas.

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Figura 2.18 Exemplos de a) boas e b) ms concepes estruturais, associadas a disposies em planta. Nos edifcios com disposies em planta assimtricas, do qual a Figura 2.19 a) um exemplo, mais difcil calcular a distribuio dos esforos nos diferentes elementos estruturais, sendo as exigncias de ductilidade consideravelmente maiores nos elementos mais afastados do centro de rigidez, devido aos efeitos de toro. Deste modo, deve ser evitada uma distribuio assimtrica da rigidez ou da massa em planta.

a) b) Figura 2.19 a)Exemplo de um edifcio assimtrico ; b)Exemplo do comportamento de um piso alongado. Se se quiserem minimizar os efeitos de rotao dos edifcios durante um sismo importante que a fora de inrcia F esteja alinhada com a resultante das foras de restituio elstica, o que acontece sempre em estruturas simtricas. Mesmo que a estrutura esteja projectada para ser simtrica, existem factores acidentais que podem induzir toro no edifcio: componente de toro do prprio movimento do solo, os elementos estruturais de ambos os lados do eixo de simetria no plastificarem ao mesmo

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tempo originando diferenas de rigidez temporrias, a utilizao do edifcio pode criar assimetrias de massa. Uma maneira eficaz de reduzir os efeitos de toro, provocados por excentricidades de rigidez em planta, consiste na colocao, de forma simtrica, de elementos resistentes (nomeadamente paredes estruturais resistentes) na periferia. Deste modo, possvel aumentar a uniformidade em planta da rigidez, aumentando a rigidez do edifcio, em particular a rigidez de toro, e simultaneamente diminuindo os efeitos de toro e aumentar simultaneamente a rigidez da estrutura. Uma estrutura com forma rectangular em planta e com dimenses semelhantes em ambas as direces apresenta um bom comportamento ssmico. As estruturas que apresentam em planta uma forma alongada (uma dimenso consideravelmente maior do que a outra) apresentam problemas de flexo, que podero induzir efeitos de toro no comportamento do edifcio, ver Figura 2.19 b). Nestas situaes, a melhor soluo passa pela construo de juntas com as dimenses e o afastamento necessrios, para que o edifcio possa funcionar como vrios corpos rgidos de rectangularidade mais marcada. Por outro lado, as estruturas com vos longos sofrem excitaes assncronas originando movimentos diferenciais laterais e verticais bem como podem estar sujeitas a variaes nas condies do solo. Criando juntas ssmicas possvel ultrapassar estas situaes. De acordo com o apresentado pode-se assim concluir que as melhores formas para os edifcios so as formas convexas e compactas em planta. As lajes de beto armado com formas por exemplo rectangulares ou circulares, no apresentam quase nenhuma deformabilidade no plano horizontal, funcionando os pavimentos como corpos rgidos para quaisquer movimentos no plano horizontal. Deste modo, os deslocamentos horizontais dos elementos estruturais verticais so compatibilizados, o que leva a que os elementos de maior rigidez absorvam maiores esforos. Este facto traz a vantagem de as foras de inrcia geradas durante o sismo serem absorvidas e resistidas pelos elementos de maior rigidez. Outra vantagem do comportamento de corpo rgido dos pavimentos as massas de cada piso vibrarem todas em conjunto, permitindo tipificar um pouco mais o comportamento dinmico da estrutura durante o sismo. Isto conduz a modelos de anlise mais fiveis e a estruturas de maior confiana. Os pavimentos de vigotas pr-esforadas e abobadilha cermica so usados por serem mais baratos que as lajes betonadas in situ. Contudo, no tm comportamento de diafragma rgido no plano horizontal porque, normalmente a lmina de beto apresenta uma espessura de 3 a 5 cm, insuficiente para garantir esta caracterstica. Na Figura 2.20 est representado um

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pavimento de vigotas pr-fabricadas. O uso destes pavimentos em zonas ssmicas desaconselhado, sendo apenas aceitvel em construes de pequeno porte como sejam 3 pavimentos sobrepostos ou menos.

Figura 2.20 Pavimento de vigotas pr-fabricadas. A Figura 2.21 apresenta os danos verificados no Hotel Terminal, estrutura assimtrica em planta, durante o sismo de Guatemala, em 1976. O edifcio tinha uma planta rectangular mas um ncleo muito rgido, localizado anti-simetricamente, junto a uma das extremidades [Figura 2.21 a)]. A excentricidade, provocada principalmente pela localizao do ncleo resistente, originou esforos elevados (resultantes da toro do edifcio) que conduziram ao colapso por esforo transverso de pilares, como est ilustrado na Figura 2.21 b). Este exemplo revelador da importncia de, por um lado, evitar os esforos resultantes da toro do edifcio, e de definir adequadamente a quantidade de armadura transversal.

a) b) Figura 2.21 Hotel Terminal, Sismo de Guatemala, 1976 [Bertero, 1997]: a) Vista global; b) colapso de um pilar. 2.2.2.6. Continuidade e regularidade em altura A rigidez da estrutura deve ser uniforme e contnua em altura. De facto, as descontinuidades provocam tenses ou foras concentradas, aumentam a exigncia de ductilidade nessas zonas, induzem efeitos devidos toro e alteram as caractersticas dinmicas das estruturas. Edifcios muito esbeltos sofrem elevados movimentos no topo, elevados momentos de derrubamento e elevadas foras se a massa no estiver uniformemente distribuda. A Figura

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2.22 apresenta solues boas e ms relacionadas com o desenvolvimento em altura dos edifcios.

Figura 2.22 Desenvolvimento em altura a) boas e b) ms solues. Para que haja uniformidade em altura necessrio que se verifique um desenvolvimento contnuo em altura da massa e da rigidez. Para tal devero ser evitadas as seguintes situaes: 1. Irregularidade da planta em altura acontece quando as dimenses em planta so alteradas em altura. Um caso corrente representativo desta situao so os edifcios que apresentam recuos (setback). Se for uma parede resistente a ser interrompida, os andares da zona superior vo sofrer um grande acrscimo de esforo imediatamente acima da interrupo. Na Figura 2.22 b) esto representados exemplos de descontinuidades da planta em altura. Os casos (J) e (K) so os mais gravosos. A diminuio da rea em planta dos pisos em altura deve ser gradual, como acontece nos casos (C) e (E) ao contrrio do que acontece no caso (F). A situao mais correcta a representada na figura (D) em que

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h regularidade da planta em altura.

2. Aparecimento de descontinuidades nas estruturas resistentes quando se passa de umandar para outro abaixo os principais elementos resistentes (como sejam paredes resistentes, linhas de prticos, etc.) devero ter continuidade desde o topo at s fundaes do edifcio. Os pisos vazados (soft-storeys) podem apresentar descontinuidade destes elementos, assumindo-se deste modo como sendo os pisos mais vulnerveis do edifcio. Neste tipo de estrutura a deformao devida a cargas horizontais tende a concentrar-se no andar inferior, originando deslocamentos relativos muito grandes entre as extremidades dos pilares. Os efeitos de segunda ordem assim provocados podem levar rotura dos pilares e ao colapso global do edifcio. Caso as paredes sejam bastante esbeltas (altura grande em relao largura), o efeito de rotao da parede torna-se preponderante levando ao colapso dos pilares por compresso e ao colapso global da estrutura. Usualmente os pisos vazados aparecem no piso trreo por razes de natureza arquitectnica, e podem corresponder s seguintes situaes: a parede estrutural apresenta descontinuidade sendo os esforos descarregados sobre os restantes pilares; quando se suprime um pilar (por exemplo ao nvel do R/C), os esforos so redistribudos pelos restantes pilares atravs das vigas, podendo provocar acentuados efeitos de flexo, corte e toro (a supresso de pilares ocorre por motivos ligados arquitectura original dos edifcios ou devido a alteraes posteriores construo original para criar espaos amplos ao nvel do rs-do-cho para montras ou acesso a estabelecimentos comerciais; esta uma situao frequente em edifcios antigos), ver Figura 2.23 a); transies suaves atravs de elementos diagonais tambm podem trazer problemas, pois podem induzir esforos adicionais difceis de absorver, ver Figura 2.23 b); ausncia de paredes de enchimento, ver Figura 2.23 c); p-direito mais elevado.

a) b) c) Figura 2.23 a) Edifcio com pilares cortados no rs-do-cho posteriormente construo original ; b) Exemplo de descontinuidade de pilares no rs-do-cho ; c) Exemplo de pisos vazados. Na Figura 2.24 apresentam-se exemplos de estruturas descontnuas em altura. De

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facto os casos mais gravosos so aqueles em que existem redues significativas de resistncia e rigidez de cima para baixo.

Figura 2.24 Irregularidades estruturais em altura. 3. Alterao significativa das seces dos elementos resistentes de andar para andar as descontinuidades das seces de elementos estruturais como paredes resistentes e pilares, introduzem descontinuidades na resposta e agravam os esforos nas zonas de transio. A transio deve ser suave, sendo uma regra bsica a alterao da seco (geometria e/ou armadura) em cada dois ou trs pisos, dependendo da altura do edifcio. 4. Alteraes importantes da altura ou p direito dos andares introduzem descontinuidades na rigidez da estrutura em altura. A diminuio do p direito em determinados andares provoca nestes um acrscimo do esforo transverso. Como exemplo refere-se os andares de arejamento junto das fundaes. Por outro lado o aumento do p-direito (como referido no ponto 2) origina um piso vazado, mais flexvel. 5. Aparecimento e/ou desaparecimento sbito de elementos considerados no resistentes (paredes de alvenaria) ou de elementos resistentes no considerados directamente no estudo do comportamento mesmo quando os andares apresentem o mesmo p direito, a existncia de paredes de alvenaria que no preenchem a totalidade da altura do pilar, origina normalmente a situao de pilar curto. Esta situao est ilustrada na Figura 2.25. A parede de alvenaria restringe a deformao lateral da parte inferior dos pilares o que faz diminuir a altura til disponvel para estes absorverem a diferena de deslocamento horizontal entre pisos e leva a uma grande concentrao de esforos de corte nestas zonas. Este efeito tanto pior quanto mais fraca for a ligao pilar/alvenaria ou se a alvenaria se danificar.

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Figura 2.25 Pilar curto, devido descontinuidade em altura provocada pela parede de alvenaria. Mesmo em estruturas regulares, se por exemplo as alvenarias do rs-do-cho colapsarem antes das dos pisos superiores se comearem a danificar, pode-se criar um piso vazado com as consequncias gravosas que j se descreveram anteriormente. Este processo ilustrado na Figura 2.26.

Figura 2.26 Criao involuntria de um piso vazado: A-situao no incio do sismo ; Bsituao aps o colapso das alvenarias do rs-do-cho, se este ocorrer antes de ocorrerem danos nas alvenarias dos pisos superiores. Uma das maneiras de prevenir estas situaes a construo de estruturas mistas. Isto porque, como foi referido, as paredes restringem os deslocamentos entre pisos, impedindo as graves consequncias da formao dos pisos vazados. Outra situao de alterao do funcionamento estrutural dos pilares, a existncia de escada a descarregar a meia altura do pilar como est ilustrado na Figura 2.27. A restrio do movimento nesta seco do pilar vai originar o aparecimento de maiores momentos flectores e esforos transversos. Em casos extremos, esta situao pode levar ao colapso do pilar e da estrutura global como possvel observar na Figura 2.28. Assim recomendvel considerar as escadas nos modelos de anlise das estruturas de edifcios para as aces ssmicas.

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Figura 2.27 Escada a descarregar a meio do pilar.

Figura 2.28 Colapso de um pilar devido s escadas. 6. Introduo sbita de massas adicionais em dado andar se houver uma introduo de massas adicionais numa dada zona da estrutura poder-se- originar a uma concentrao de esforos. Este efeito ser mais gravoso se as massas forem excntricas. Um exemplo desta situao a introduo de reservatrios de gua no topo de edifcios, ver Figura 2.29. As massas elevadas colocadas em zonas altas de edifcios, como so os casos de coberturas pesadas ou salincias, esto sujeitas a foras de inrcia mais elevadas. Nestes casos, deve haver o cuidado adicional no dimensionamento relativamente s ligaes destas massas ao edifcio.

Figura 2.29 Exemplo de uma casa com um depsito de gua elevado.

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2.2.2.7. Fundaes Para um melhor comportamento da super estrutura durante um sismo, o projecto e construo das fundaes, e das ligaes super estrutura, devem garantir que a estrutura esteja sujeita a uma excitao uniforme devido ao sismo e evitar assentamentos diferenciais. Sugere-se (como proposto em alguns regulamentos ssmicos, Eurocdigo 8 [CEN, 2003] por exemplo) a utilizao de uma laje de fundao para edifcios com paredes estruturais com diferentes rigidezes e espessuras. Para edifcios com elementos de fundao individuais, devem ser utilizadas lajes de fundao ou vigas de fundao entre estes dois elementos nas duas direces. A utilizao de vigas de fundao permite um melhor funcionamento das fundaes sob a aco de foras horizontais pois possibilita redistribuir os esforos entre os diversos elementos. Permitem igualmente limitar os assentamentos relativos entre fundaes. Fundaes irregulares originam foras devido toro e distribuies irregulares de aceleraes em altura. Relativamente aos solos de fundao necessria especial ateno queles que apresentam nvel fretico elevado e aos solos susceptveis de liquefazer. A Figura 2.30 apresenta solues boas e ms relacionadas com a fundao da estrutura.

Figura 2.30 Tipos de fundaes solues boas e ms [Pilakoutas, 2004]. 2.2.2.8. Ductilidade A ductilidade dos elementos de beto armado diminui medida que a fora de compresso que neles actua aumenta. Por este motivo deve-se limitar o esforo normal reduzido nos pilares. Em estruturas de edifcios de beto armado seria conveniente que a fora de compresso em cada pilar fosse inferior a 40% da sua capacidade resistente compresso. Uma das maneiras de diminuir o esforo normal reduzido dos pilares aumentar a sua rea. Em elementos de beto armado sujeitos apenas a flexo sem foras de compresso, existe sempre uma rea da seco que se encontra comprimida. Como a extenso ltima do beto

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muito inferior do ao, a ductilidade do elemento condicionada pelo beto. Para aumentar a ductilidade do beto torna-se necessrio aumentar a sua extenso ltima sendo que, para tal, se deve confinar o beto. A forma de fazer isto consiste na colocao nas zonas mais comprimidas ou em todas as seces do elemento de armaduras paralelas ao eixo longitudinal e colocadas junto periferia da seco e envolvendo a quase totalidade da seco do elemento. A tenso na extremidade de um varo nula, por isso ele s comea a funcionar em pleno a partir de uma certa distncia da sua extremidade, ver Figura 2.31 a). Por este motivo, fundamental prever o devido comprimento de amarrao do varo aquando da sua pormenorizao. Este comprimento pode ser diminudo se o varo tiver um gancho prximo da extremidade, ver Figura 2.31 b).

a) b) Figura 2.31 a) Amarrao de um varo de ao no beto (sem gancho) ; b) Amarrao de um varo de ao no beto (com gancho). Os vares das cintas tambm devem ser amarrados.