Análise Senoidal e Propriedades Gerais dos Circuitos em CA.pdf

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<ul><li><p>Circuitos Eltricos 1 1 </p><p>Circuitos Eltricos 1 - Anlise Senoidal e Propriedades Gerais dos Circuitos em C.A. Impedncia Eltrica Na disciplina de Eletricidade constatou-se que a anlise no tempo de um circuito com condensadores e bobinas exige a obteno e a resoluo de uma equao diferencial. Constatou-se ainda que a dinmica temporal desta classe de circuitos composta por duas parcelas essencialmente distintas: a soluo natural e a soluo forada pelas fontes independentes do circuito. A soluo natural tipicamente constituda por funes exponenciais negativas, portanto funes que tendem para zero com o tempo, ao passo que a soluo forada impe ao circuito uma dinmica cuja forma estabelecida por fontes independentes. Por exemplo, verificou-se que as fontes independentes senoidais conduzem a solues foradas senoidais, cuja amplitude e fase na origem so funo da freqncia angular () e dos parmetros do circuito. </p><p>Uma das caractersticas mais interessantes dos circuitos lineares o fato de as solues foradas senoidais em todos os ns e componentes do circuito apresentarem exatamente a mesma freqncia angular da fonte independente. A principal conseqncia desta propriedade a possibilidade de reduzir a anlise da soluo forada senoidal identificao das amplitudes e das fases na origem dos sinais. </p><p>A anlise da soluo forada senoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor e de impedncia eltrica. O fasor de uma varivel senoidal um nmero complexo com informao relativa amplitude e fase na origem, desprezando assim a informao relativa freqncia que partida se sabe ser igual em todos os ns e componentes do circuito. Por outro lado, a impedncia eltrica de um elemento ou circuito mais no que a relao entre os fasores da tenso e da corrente aos terminais respectivos, sendo, portanto, em geral um nmero complexo dependente da frequncia angular da senide sob anlise. </p><p>O fato de as relaes fasoriais entre tenso e corrente eltrica nos elementos R, C e L serem de tipo linear, apesar de entre nmeros complexos, permite que a soluo forada senoidal de um circuito possa ser estudada recorrendo aos mtodos e teoremas tpicos da anlise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, possvel estender a aplicao dos mtodos das malhas e dos ns anlise da soluo forada senoidal de um circuito, recorrendo ainda aos resultados dos teoremas de Norton, de Thvenin, de Millman, de Miller, da sobreposio das fontes e da mxima transferncia de potncia. </p><p>1.1 Fasor e Impedncia </p><p>1.1.1 Nmeros Complexos e Sinais Senoidais </p><p>Os nmeros complexos podem ser representados em dois formatos bsicos (Figura 1.1): no formato retangular </p><p>P = a + jb (1.1) </p><p>em que a e b definem as coordenadas retangulares do ponto no plano, e no formato polar </p><p>P = P (1.2) </p><p>cuja representao em notao exponencial </p><p>P = Pej (1.3) </p><p>e em que P e definem, respectivamente, o mdulo e o ngulo com a horizontal do segmento que une o ponto com a origem. A converso entre estes dois formatos baseia-se nas regras </p><p>Figura 1.1 Representao de um nmero complexo nos formatos retangular (a) e polar (b) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 2 </p><p>(1.4) </p><p>E </p><p>(1.5) </p><p>Os sinais senoidais so caracterizados por uma amplitude, uma frequncia angular e uma fase na origem. Por exemplo, o sinal </p><p>v(t) = Vcos(t+) (1.6) </p><p>define uma tenso eltrica senoidal de amplitude mxima V, frequncia angular e fase na origem . Por outro lado, as funes cos(x) e sin(x) podem ser expressas em notao exponencial </p><p>(1.7) </p><p>e </p><p>(1.8) </p><p>respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas </p><p>(1.9) </p><p>e </p><p>(1.10) </p><p>Uma notao alternativa para as funes cos(x) e sin(x) consiste na utilizao dos operadores Real de e Imaginrio de. Neste caso, </p><p>(1.11) </p><p>e </p><p>(1.12) </p><p>Os operadores Real de e Imaginrio de gozam das seguintes propriedades: </p><p>(1.13) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 3 </p><p>relativamente ao operador derivada, e </p><p>(1.14) </p><p>relativamente ao operador adio. </p><p>Admita-se ento que se pretende derivar o resultado da soma de duas funes senoidais, por exemplo </p><p>(1.15) </p><p>Recorrendo notao estabelecida anteriormente, e sabendo que sin(x)=cos(x-pi/2), obtm-se </p><p>(1.16) </p><p>que aps aplicao sucessiva das propriedades enunciadas em (1.13) e (1.14) se simplifica para </p><p>(1.17) </p><p>ou seja, </p><p>(1.18) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 4 </p><p>(1.21) </p><p>valores que se repetem com uma periodicidade T=2pi/. A periodicidade da funo em (1.20) indica que o segmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a circunferncia de raio A roda com uma velocidade angular de rad/s. No entanto, se considerar um novo referencial que roda no sentido anti-horrio com uma velocidade angular , ento nesse plano obtm-se (Figura 11.2.b) </p><p>(1.22) </p><p>grandeza que complexa, designada por fasor e representada pelas formas </p><p>(1.23) </p><p>ou </p><p>(1.24) </p><p>Figura 1.2 Conceito de fasor </p><p>A importncia da notao fasorial na anlise do regime forado senoidal deve-se ao fato de nos circuitos lineares excitados por fontes senoidais as tenses e as correntes em todos os ns e componentes do circuito serem tambm senoidais e com a mesma frequncia angular. As metodologias de anlise e de representao das grandezas podem, portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informao relativa amplitude e fase na origem, relegando para segundo plano aquela relativa frequncia angular (e ao tempo) que, como se disse, comum a todo o circuito. No entanto, a informao relativa dinmica temporal pode sempre ser recuperada, por exemplo atravs da seqncia de operaes </p><p>(1.25) </p><p>1.1.3 Impedncia Eltrica </p><p>Considere-se a resistncia representada na Figura 1.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm correspondente </p><p>(1.26) </p><p>e admita-se que a corrente senoidal, i(t)=Icos(t+). De acordo com (1.26), a tenso aos terminais da resistncia tambm senoidal </p><p>(1.27) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 5 </p><p>e apresenta uma fase na origem idntica da corrente. A representao da Lei de Ohm em notao exponencial </p><p>(1.28) </p><p>permite escrever a relao fasorial </p><p>(1.29) </p><p>Figura 1.3 Impedncia eltrica da resistncia </p><p>a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tenso na resistncia se encontram relacionados pelo parmetro resistncia eltrica. Como se indica na Figura 1.3.b, e dada a natureza real do parmetro R, os fasores da tenso e da corrente na resistncia encontram-se em fase. Designa--se por impedncia eltrica da resistncia o cociente entre os fasores da tenso e da corrente (Figura 1.3.c) </p><p>, ohm (1.30) </p><p>Considere-se agora o condensador representado na Figura 1.4, cuja caracterstica tenso-corrente expressa pela derivada </p><p>(1.31) </p><p>e admita-se ainda que a tenso aplicada senoidal, v(t)=Vcos(t+). Neste caso, a representao em notao exponencial </p><p>(1.32) </p><p>permite escrever a relao fasorial entre a tenso e a corrente </p><p>(1.33) </p><p>a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avanado de pi/2 radianos relativamente ao fasor </p><p>da tenso (Figura 1.4.b). A impedncia eltrica do condensador um nmero imaginrio puro (Figura 1.4.b) </p><p>, ohm (1.34) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 6 </p><p>cujo mdulo inversamente proporcional frequncia angular da senide sob anlise. </p><p>Figura 1.4 Impedncia eltrica do condensador </p><p>Por analogia com os resultados anteriores, verifica-se que a caracterstica tenso-corrente da bobina (Figura 1.5) </p><p>(1.35) </p><p>conduz relao fasorial </p><p>(1.36) de onde se obtm a expresso da impedncia eltrica </p><p>, ohm (1.37) </p><p>A relao (1.37) indica que o fasor da tenso na bobina se encontra avanada de pi/2 radianos relativamente corrente. </p><p>Figura 1.5 Impedncia eltrica da bobina </p><p>Considere-se o circuito RL representado na Figura 1.6.a e admita-se que a tenso aplicada senoidal. Neste caso, </p><p>(1.38) </p><p>isto , </p><p>(1.39) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 7 </p><p>(1.39) </p><p>e a impedncia do conjunto </p><p>(1.40) </p><p>A impedncia eltrica de um componente ou de um conjunto de componentes um nmero complexo cuja representao no formato polar </p><p>(Figuras 1.6.b), em que Z e representam o mdulo e a fase, respectivamente, ao passo que no formato retangular </p><p>(Figura 1.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginria (esta ltima vulgarmente designada por reatncia). O inverso da impedncia designa-se por admitncia eltrica, cuja unidade o siemens (S). </p><p>Figura 1.6 Circuito RL (a) e representao em coordenadas retangulares (b) e polares (c) da impedncia eltrica </p><p>Na Tabela 1.1 resumem-se as caractersticas tenso-corrente no domnio do tempo, as relaes fasoriais, as impedncias e as admitncias eltricas dos componentes resistncia, condensador e bobina. </p><p>COMPONENTE DOMNIO TEMPO NOTAO FASORIAL </p><p>IMPEDNCIA () </p><p>ADMITNCIA (S) </p><p>resistncia v(t)=Ri(t) V=RI R G </p><p>condensador </p><p>I=jCV </p><p>jC </p><p>bobina </p><p>V=jLI jL </p><p>Tabela 1.1 Resistncia, condensador e bobina </p><p>1.2 Leis de Kirchhoff em Notao Fasorial </p><p>A validade das Leis de Kirchhoff estende-se anlise em notao fasorial do regime forado senoidal. Por exemplo, o somatrio dos fasores de tenso ao longo de um caminho fechado satisfaz a igualdade (Figura 1.7.a) </p><p>(1.41) </p><p>o mesmo se verificando com o somatrio dos fasores das correntes incidentes num qualquer n de um circuito (Figura 1.7.b) </p><p>(1.42) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 8 </p><p>(1.42) </p><p>A aplicao conjunta das Leis de Kirchhoff e das relaes fasoriais da resistncia, do condensador e da bobina, permitem obter para as impedncias exatamente as mesmas regras de associao em srie e em paralelo estabelecidas anteriormente, no mbito dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, no circuito da Figura 1.7.a verifica-se que </p><p>Figura 1.7 Leis de Kirchhoff em notao fasorial </p><p>(1.43) </p><p>ou seja, </p><p>(1.44) </p><p>igualdade na qual se inscreve a expresso da associao em srie de impedncias </p><p>(1.45) </p><p>Por outro lado, a aplicao da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito da Figura 1.7.b permite obter sucessivamente </p><p>(1.46) </p><p>e </p><p>(1.47) </p><p>igualdades nas quais se inscreve a expresso da associao em paralelo de admitncias </p><p>(1.48) </p><p>ou seja, </p><p>(1.49) </p><p>Pode ainda demonstrar-se que as regras dos divisores de tenso e de corrente, estudados anteriormente, so transponveis para a anlise fasorial do regime forado senoidal. Por exemplo, e referindo aos dois circuitos representados em 1.8, verifica-se que </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 9 </p><p>representados em 1.8, verifica-se que </p><p>(1.50) </p><p>no caso do divisor de tenso em (a), e </p><p>(1.51) </p><p>no caso do divisor de corrente em (b). </p><p>Figura 1.8 Divisores de tenso (a) e de corrente (b) em notao fasorial </p><p>1.3 Mtodos de Anlise em Notao Fasorial Os mtodos de anlise de circuitos so generalizveis anlise fasorial do regime forado senoidal. Os procedimentos de aplicao dos mtodos dos ns e das malhas coincidem na forma com aqueles estabelecidos anteriormente. So vlidas todas as consideraes relativas construo da matriz do circuito e dos vetores coluna das variveis e das fontes independentes, para alm, naturalmente, dos diversos casos particulares que permitem identificar a priori o nmero de equaes linearmente independentes e a dimenso da relao matricial a resolver. Em vez de repetir os dois mtodos alternativos, e naturalmente todos os seus casos particulares, optou-se por desenvolver dois exemplos de aplicao cuja resoluo ilustra as diferenas existentes na parte numrica da obteno dos resultados. </p><p>Considere-se ento o circuito representado na Figura 1.9, com duas fontes de tenso senoidais de igual frequncia angular, Vs1 e Vs2, e trs impedncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato polar. Pretende-se determinar o fasor da corrente na impedncia Z1, no sentido indicado na figura. </p><p>Figura 1.9 Mtodo das malhas em notao fasorial (as fases esto especificadas em grau) </p><p>De acordo com o procedimento estabelecido, a aplicao da Lei de Kirchhoff das tenses s malhas-1 e -2 permite escrever a relao matricial </p><p>(1.52) </p><p>cujas variveis so os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicao da regra de Cramer permite obter a expresso do fasor da corrente I1 </p><p>(1.53) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 10 </p><p>(1.53) </p><p>a qual, por substituio dos valores indicados na Figura 1.9, conduz ao valor (a fase especificada em radianos) </p><p>I1 = 49.2 0.098 mA (1.54) </p><p>ou seja </p><p>i1(t) = 49.2 cos(t+0.098) mA (1.55) </p><p>Considere-se agora o circuito representado na Figura 1.10, no qual se indicam os valores da capacidade, da indutncia, das resistncias e da frequncia angular da senide imposta pela fonte de corrente. Pretende-se determinar o fasor da tenso VC1 aos terminais do condensador. </p><p>A aplicao da Lei de Kirchhoff das correntes aos ns-1 e -2 do circuito permite escrever a relao matricial </p><p>(1.56) </p><p>cujas variveis so os fasores das tenses nos ns-1 e -2. A aplicao da regra de Cramer permite obter a expresso do fasor da tenso V1 </p><p>(1.57) </p><p>cuja soluo numrica </p><p>V1=1 -0.927 (1.58) </p><p>No domnio do tempo, a tenso aos terminais do condensador toma ento a forma </p><p>v1(t)= cos(10000t-0.927) (1.59) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 11 </p><p>Figura 1.10 Mtodo dos ns em notao fasorial </p><p>1.3 Mtodos de Anlise em Notao Fasorial </p><p>Os mtodos de anlise de circuitos so generalizveis anlise fasorial do regime forado senoidal. Os procedimentos de aplicao dos mtodos dos ns e das malhas coincidem na forma com aqueles estabelecidos no anterior. So vlidas todas as consideraes relativas construo da matriz do circuito e dos vetores coluna das variveis e das fontes independentes, para alm, naturalmente, dos diversos casos particulares que permitem identificar a priori o nmero de equaes linearmente independentes e a dimenso da relao matricial a resolver. Em vez de repetir os dois mtodos alternativos, e naturalmente todos os seus casos particulares, optou-se por desenvolver dois exemplos de aplicao cuja resoluo ilustra as diferenas existentes na parte numrica da obteno dos resultados. </p><p>Considere-se ento o circuito representado na Figura 1.9, com duas fontes de tenso senoidais de igual frequncia angular, Vs1 e Vs2, e trs impedncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato polar. Pretende-se determinar o fasor da corrente na impedncia Z1, no sentido indicado na figura. </p><p>Figura 1.9 Mtodo das malhas em notao fasorial (as fases esto especificadas em grau) </p><p>De acordo com o procedimento estabelecido anteriormente, a aplicao da Lei de Kirchhoff das tenses s malhas-1 e -2 permite escrever a relao matricial </p><p>(1.52) </p><p>cujas variveis so os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicao da regra de Cramer permite obter a expresso do fasor da corrente I1 </p><p>(1.53) </p></li><li><p>Circuitos Eltricos 1 12 </p><p>(1.53) </p><p>a qual, por substituio dos valores indicados na Figura 1.9, conduz ao valor (a fase especificada em radianos) </p><p>I1 = 49.2 0.098 mA (1.54) </p><p>ou seja </p><p>i1(t) = 49.2 cos(t+0.098) mA (1.55) </p><p>Considere-se agora o circuito representado na Figura 1.10, no qual se indicam os val...</p></li></ul>