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  • Circuitos Eltricos 1 1

    Circuitos Eltricos 1 - Anlise Senoidal e Propriedades Gerais dos Circuitos em C.A. Impedncia Eltrica Na disciplina de Eletricidade constatou-se que a anlise no tempo de um circuito com condensadores e bobinas exige a obteno e a resoluo de uma equao diferencial. Constatou-se ainda que a dinmica temporal desta classe de circuitos composta por duas parcelas essencialmente distintas: a soluo natural e a soluo forada pelas fontes independentes do circuito. A soluo natural tipicamente constituda por funes exponenciais negativas, portanto funes que tendem para zero com o tempo, ao passo que a soluo forada impe ao circuito uma dinmica cuja forma estabelecida por fontes independentes. Por exemplo, verificou-se que as fontes independentes senoidais conduzem a solues foradas senoidais, cuja amplitude e fase na origem so funo da freqncia angular () e dos parmetros do circuito.

    Uma das caractersticas mais interessantes dos circuitos lineares o fato de as solues foradas senoidais em todos os ns e componentes do circuito apresentarem exatamente a mesma freqncia angular da fonte independente. A principal conseqncia desta propriedade a possibilidade de reduzir a anlise da soluo forada senoidal identificao das amplitudes e das fases na origem dos sinais.

    A anlise da soluo forada senoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor e de impedncia eltrica. O fasor de uma varivel senoidal um nmero complexo com informao relativa amplitude e fase na origem, desprezando assim a informao relativa freqncia que partida se sabe ser igual em todos os ns e componentes do circuito. Por outro lado, a impedncia eltrica de um elemento ou circuito mais no que a relao entre os fasores da tenso e da corrente aos terminais respectivos, sendo, portanto, em geral um nmero complexo dependente da frequncia angular da senide sob anlise.

    O fato de as relaes fasoriais entre tenso e corrente eltrica nos elementos R, C e L serem de tipo linear, apesar de entre nmeros complexos, permite que a soluo forada senoidal de um circuito possa ser estudada recorrendo aos mtodos e teoremas tpicos da anlise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, possvel estender a aplicao dos mtodos das malhas e dos ns anlise da soluo forada senoidal de um circuito, recorrendo ainda aos resultados dos teoremas de Norton, de Thvenin, de Millman, de Miller, da sobreposio das fontes e da mxima transferncia de potncia.

    1.1 Fasor e Impedncia

    1.1.1 Nmeros Complexos e Sinais Senoidais

    Os nmeros complexos podem ser representados em dois formatos bsicos (Figura 1.1): no formato retangular

    P = a + jb (1.1)

    em que a e b definem as coordenadas retangulares do ponto no plano, e no formato polar

    P = P (1.2)

    cuja representao em notao exponencial

    P = Pej (1.3)

    e em que P e definem, respectivamente, o mdulo e o ngulo com a horizontal do segmento que une o ponto com a origem. A converso entre estes dois formatos baseia-se nas regras

    Figura 1.1 Representao de um nmero complexo nos formatos retangular (a) e polar (b)

  • Circuitos Eltricos 1 2

    (1.4)

    E

    (1.5)

    Os sinais senoidais so caracterizados por uma amplitude, uma frequncia angular e uma fase na origem. Por exemplo, o sinal

    v(t) = Vcos(t+) (1.6)

    define uma tenso eltrica senoidal de amplitude mxima V, frequncia angular e fase na origem . Por outro lado, as funes cos(x) e sin(x) podem ser expressas em notao exponencial

    (1.7)

    e

    (1.8)

    respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas

    (1.9)

    e

    (1.10)

    Uma notao alternativa para as funes cos(x) e sin(x) consiste na utilizao dos operadores Real de e Imaginrio de. Neste caso,

    (1.11)

    e

    (1.12)

    Os operadores Real de e Imaginrio de gozam das seguintes propriedades:

    (1.13)

  • Circuitos Eltricos 1 3

    relativamente ao operador derivada, e

    (1.14)

    relativamente ao operador adio.

    Admita-se ento que se pretende derivar o resultado da soma de duas funes senoidais, por exemplo

    (1.15)

    Recorrendo notao estabelecida anteriormente, e sabendo que sin(x)=cos(x-pi/2), obtm-se

    (1.16)

    que aps aplicao sucessiva das propriedades enunciadas em (1.13) e (1.14) se simplifica para

    (1.17)

    ou seja,

    (1.18)

  • Circuitos Eltricos 1 4

    (1.21)

    valores que se repetem com uma periodicidade T=2pi/. A periodicidade da funo em (1.20) indica que o segmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a circunferncia de raio A roda com uma velocidade angular de rad/s. No entanto, se considerar um novo referencial que roda no sentido anti-horrio com uma velocidade angular , ento nesse plano obtm-se (Figura 11.2.b)

    (1.22)

    grandeza que complexa, designada por fasor e representada pelas formas

    (1.23)

    ou

    (1.24)

    Figura 1.2 Conceito de fasor

    A importncia da notao fasorial na anlise do regime forado senoidal deve-se ao fato de nos circuitos lineares excitados por fontes senoidais as tenses e as correntes em todos os ns e componentes do circuito serem tambm senoidais e com a mesma frequncia angular. As metodologias de anlise e de representao das grandezas podem, portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informao relativa amplitude e fase na origem, relegando para segundo plano aquela relativa frequncia angular (e ao tempo) que, como se disse, comum a todo o circuito. No entanto, a informao relativa dinmica temporal pode sempre ser recuperada, por exemplo atravs da seqncia de operaes

    (1.25)

    1.1.3 Impedncia Eltrica

    Considere-se a resistncia representada na Figura 1.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm correspondente

    (1.26)

    e admita-se que a corrente senoidal, i(t)=Icos(t+). De acordo com (1.26), a tenso aos terminais da resistncia tambm senoidal

    (1.27)

  • Circuitos Eltricos 1 5

    e apresenta uma fase na origem idntica da corrente. A representao da Lei de Ohm em notao exponencial

    (1.28)

    permite escrever a relao fasorial

    (1.29)

    Figura 1.3 Impedncia eltrica da resistncia

    a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tenso na resistncia se encontram relacionados pelo parmetro resistncia eltrica. Como se indica na Figura 1.3.b, e dada a natureza real do parmetro R, os fasores da tenso e da corrente na resistncia encontram-se em fase. Designa--se por impedncia eltrica da resistncia o cociente entre os fasores da tenso e da corrente (Figura 1.3.c)

    , ohm (1.30)

    Considere-se agora o condensador representado na Figura 1.4, cuja caracterstica tenso-corrente expressa pela derivada

    (1.31)

    e admita-se ainda que a tenso aplicada senoidal, v(t)=Vcos(t+). Neste caso, a representao em notao exponencial

    (1.32)

    permite escrever a relao fasorial entre a tenso e a corrente

    (1.33)

    a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avanado de pi/2 radianos relativamente ao fasor

    da tenso (Figura 1.4.b). A impedncia eltrica do condensador um nmero imaginrio puro (Figura 1.4.b)

    , ohm (1.34)

  • Circuitos Eltricos 1 6

    cujo mdulo inversamente proporcional frequncia angular da senide sob anlise.

    Figura 1.4 Impedncia eltrica do condensador

    Por analogia com os resultados anteriores, verifica-se que a caracterstica tenso-corrente da bobina (Figura 1.5)

    (1.35)

    conduz relao fasorial

    (1.36) de onde se obtm a expresso da impedncia eltrica

    , ohm (1.37)

    A relao (1.37) indica que o fasor da tenso na bobina se encontra avanada de pi/2 radianos relativamente corrente.

    Figura 1.5 Impedncia eltrica da bobina

    Considere-se o circuito RL representado na Figura 1.6.a e admita-se que a tenso aplicada senoidal. Neste caso,

    (1.38)

    isto ,

    (1.39)

  • Circuitos Eltricos 1 7

    (1.39)

    e a impedncia do conjunto

    (1.40)

    A impedncia eltrica de um componente ou de um conjunto de componentes um nmero complexo cuja representao no formato polar

    (Figuras 1.6.b), em que Z e representam o mdulo e a fase, respectivamente, ao passo que no formato retangular

    (Figura 1.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginria (esta ltima vulgarmente designada por reatncia). O inverso da impedncia designa-se por admitncia eltrica, cuja unidade o siemens (S).

    Figura 1.6 Circuito RL (a) e representao em coordenadas retangulares (b) e polares (c) da impedncia eltrica

    Na Tabela 1.1 resumem-se as caractersticas tenso-corrente no domnio do tempo, as relaes fasoriais, as impedncias e as admitncias eltricas dos componentes resistncia, condensador e bobina.

    COMPONENTE DOMNIO TEMPO NOTAO FASORIAL

    IMPEDNCIA ()

    ADMITNCIA (S)

    resistncia v(t)=Ri(t) V=RI R G

    condensador

    I=jCV

    jC

    bobina

    V=jLI jL

    Tabela 1.1 Resistncia, condensador e bobina

    1.2 Leis de Kirchhoff em Notao Fasorial

    A validade das Leis de Kirchhoff estende-se anlise em notao fasorial do regime forado senoidal. Por exemplo, o somatrio dos fasores de tenso ao longo de um caminho fechado satisfaz a igualdade (Figura 1.7.a)

    (1.41)

    o mesmo se verificando com o somatrio dos fasores das correntes incidentes num qualquer n de um circuito (F