análise senoidal e propriedades gerais dos circuitos em ca.pdf

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  • Circuitos Eltricos 1 1

    Circuitos Eltricos 1 - Anlise Senoidal e Propriedades Gerais dos Circuitos em C.A. Impedncia Eltrica Na disciplina de Eletricidade constatou-se que a anlise no tempo de um circuito com condensadores e bobinas exige a obteno e a resoluo de uma equao diferencial. Constatou-se ainda que a dinmica temporal desta classe de circuitos composta por duas parcelas essencialmente distintas: a soluo natural e a soluo forada pelas fontes independentes do circuito. A soluo natural tipicamente constituda por funes exponenciais negativas, portanto funes que tendem para zero com o tempo, ao passo que a soluo forada impe ao circuito uma dinmica cuja forma estabelecida por fontes independentes. Por exemplo, verificou-se que as fontes independentes senoidais conduzem a solues foradas senoidais, cuja amplitude e fase na origem so funo da freqncia angular () e dos parmetros do circuito.

    Uma das caractersticas mais interessantes dos circuitos lineares o fato de as solues foradas senoidais em todos os ns e componentes do circuito apresentarem exatamente a mesma freqncia angular da fonte independente. A principal conseqncia desta propriedade a possibilidade de reduzir a anlise da soluo forada senoidal identificao das amplitudes e das fases na origem dos sinais.

    A anlise da soluo forada senoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor e de impedncia eltrica. O fasor de uma varivel senoidal um nmero complexo com informao relativa amplitude e fase na origem, desprezando assim a informao relativa freqncia que partida se sabe ser igual em todos os ns e componentes do circuito. Por outro lado, a impedncia eltrica de um elemento ou circuito mais no que a relao entre os fasores da tenso e da corrente aos terminais respectivos, sendo, portanto, em geral um nmero complexo dependente da frequncia angular da senide sob anlise.

    O fato de as relaes fasoriais entre tenso e corrente eltrica nos elementos R, C e L serem de tipo linear, apesar de entre nmeros complexos, permite que a soluo forada senoidal de um circuito possa ser estudada recorrendo aos mtodos e teoremas tpicos da anlise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, possvel estender a aplicao dos mtodos das malhas e dos ns anlise da soluo forada senoidal de um circuito, recorrendo ainda aos resultados dos teoremas de Norton, de Thvenin, de Millman, de Miller, da sobreposio das fontes e da mxima transferncia de potncia.

    1.1 Fasor e Impedncia

    1.1.1 Nmeros Complexos e Sinais Senoidais

    Os nmeros complexos podem ser representados em dois formatos bsicos (Figura 1.1): no formato retangular

    P = a + jb (1.1)

    em que a e b definem as coordenadas retangulares do ponto no plano, e no formato polar

    P = P (1.2)

    cuja representao em notao exponencial

    P = Pej (1.3)

    e em que P e definem, respectivamente, o mdulo e o ngulo com a horizontal do segmento que une o ponto com a origem. A converso entre estes dois formatos baseia-se nas regras

    Figura 1.1 Representao de um nmero complexo nos formatos retangular (a) e polar (b)

  • Circuitos Eltricos 1 2

    (1.4)

    E

    (1.5)

    Os sinais senoidais so caracterizados por uma amplitude, uma frequncia angular e uma fase na origem. Por exemplo, o sinal

    v(t) = Vcos(t+) (1.6)

    define uma tenso eltrica senoidal de amplitude mxima V, frequncia angular e fase na origem . Por outro lado, as funes cos(x) e sin(x) podem ser expressas em notao exponencial

    (1.7)

    e

    (1.8)

    respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas

    (1.9)

    e

    (1.10)

    Uma notao alternativa para as funes cos(x) e sin(x) consiste na utilizao dos operadores Real de e Imaginrio de. Neste caso,

    (1.11)

    e

    (1.12)

    Os operadores Real de e Imaginrio de gozam das seguintes propriedades:

    (1.13)

  • Circuitos Eltricos 1 3

    relativamente ao operador derivada, e

    (1.14)

    relativamente ao operador adio.

    Admita-se ento que se pretende derivar o resultado da soma de duas funes senoidais, por exemplo

    (1.15)

    Recorrendo notao estabelecida anteriormente, e sabendo que sin(x)=cos(x-pi/2), obtm-se

    (1.16)

    que aps aplicao sucessiva das propriedades enunciadas em (1.13) e (1.14) se simplifica para

    (1.17)

    ou seja,

    (1.18)

  • Circuitos Eltricos 1 4

    (1.21)

    valores que se repetem com uma periodicidade T=2pi/. A periodicidade da funo em (1.20) indica que o segmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a circunferncia de raio A roda com uma velocidade angular de rad/s. No entanto, se considerar um novo referencial que roda no sentido anti-horrio com uma velocidade angular , ento nesse plano obtm-se (Figura 11.2.b)

    (1.22)

    grandeza que complexa, designada por fasor e representada pelas formas

    (1.23)

    ou

    (1.24)

    Figura 1.2 Conceito de fasor

    A importncia da notao fasorial na anlise do regime forado senoidal deve-se ao fato de nos circuitos lineares excitados por fontes senoidais as tenses e as correntes em todos os ns e componentes do circuito serem tambm senoidais e com a mesma frequncia angular. As metodologias de anlise e de representao das grandezas podem, portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informao relativa amplitude e fase na origem, relegando para segundo plano aquela relativa frequncia angular (e ao tempo) que, como se disse, comum a todo o circuito. No entanto, a informao relativa dinmica temporal pode sempre ser recuperada, por exemplo atravs da seqncia de operaes

    (1.25)

    1.1.3 Impedncia Eltrica

    Considere-se a resistncia representada na Figura 1.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm correspondente

    (1.26)

    e admita-se que a corrente senoidal, i(t)=Icos(t+). De acordo com (1.26), a tenso aos terminais da resistncia tambm senoidal

    (1.27)

  • Circuitos Eltricos 1 5

    e apresenta uma fase na origem idntica da corrente. A representao da Lei de Ohm em notao exponencial

    (1.28)

    permite escrever a relao fasorial

    (1.29)

    Figura 1.3 Impedncia eltrica da resistncia

    a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tenso na resistncia se encontram relacionados pelo parmetro resistncia eltrica. Como se indica na Figura 1.3.b, e dada a natureza real do parmetro R, os fasores da tenso e da corrente na resistncia encontram-se em fase. Designa--se por impedncia eltrica da resistncia o cociente entre os fasores da tenso e da corrente (Figura 1.3.c)

    , ohm (1.30)

    Considere-se agora o condensador representado na Figura 1.4, cuja caracterstica tenso-corrente expressa pela derivada

    (1.31)

    e admita-se ainda que a tenso aplicada senoidal, v(t)=Vcos(t+). Neste caso, a representao em notao exponencial

    (1.32)

    permite escrever a relao fasorial entre a tenso e a corrente

    (1.33)

    a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avanado de pi/2 radianos relativamente ao fasor

    da tenso (Figura 1.4.b). A impedncia eltrica do condensador um nmero imaginrio puro (Figura 1.4.b)

    , ohm (1.34)

  • Circuitos Eltricos 1 6

    cujo mdulo inversamente proporcional frequncia angular da senide sob anlise.

    Figura 1.4 Impedncia eltrica do condensador

    Por analogia com os resultados anteriores, verifica-se que a caracterstica tenso-corrente da bobina (Figura 1.5)

    (1.35)

    conduz relao fasorial

    (1.36) de onde se obtm a expresso da impedncia eltrica

    , ohm (1.37)

    A relao (1.37) indica que o fasor da tenso na bobina se encontra avanada de pi/2 radianos relativamente corrente.

    Figura 1.5 Impedncia eltrica da bobina

    Considere-se o circuito RL representado na Figura 1.6.a e admita-se que a tenso aplicada senoidal. Neste caso,

    (1.38)

    isto ,

    (1.39)

  • Circuitos Eltricos 1 7

    (1.39)

    e a impedncia do conjunto

    (1.40)

    A impedncia eltrica de um componente ou de um conjunto de componentes um nmero complexo cuja representao no formato polar

    (Figuras 1.6.b), em que Z e representam o mdulo e a fase, respectivamente, ao passo que no formato retangular

    (Figura 1.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginria (esta ltima vulgarmente designada por reatncia). O inverso da impedncia designa-se por admitncia eltrica, cuja unidade o siemens (S).

    Figura 1.6 Circuito RL (a) e representao em coordenadas retangulares (b) e polares (c) da impedncia eltrica

    Na Tabela 1.1 resumem-se as caractersticas tenso-corrente no domnio do tempo, as relaes fasoriais, as impedncias e as admitncias eltricas dos componentes resistncia, condensador e bobina.

    COMPONENTE DOMNIO TEMPO NOTAO FASORIAL

    IMPEDNCIA ()

    ADMITNCIA (S)

    resistncia v(t)=Ri(t) V=RI R G

    condensador

    I=jCV

    jC

    bobina

    V=jLI jL

    Tabela 1.1 Resistncia, condensador e bobina

    1.2 Leis de Kirchhoff em Notao Fasorial

    A validade das Leis de Kirchhoff estende-se anlise em notao fasorial do regime forado senoidal. Por exemplo, o somatrio dos fasores de tenso ao longo de um caminho fechado satisfaz a igualdade (Figura 1.7.a)

    (1.41)

    o mesmo se verificando com o somatrio dos fasores das correntes incidentes num qualquer n de um circuito (Figura 1.7.b)

    (1.42)

  • Circuitos Eltricos 1 8

    (1.42)

    A aplicao conjunta das Leis de Kirchhoff e das relaes fasoriais da resistncia, do condensador e da bobina, permitem obter para as impedncias exatamente as mesmas regras de associao em srie e em paralelo estabelecidas anteriormente, no mbito dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, no circuito da Figura 1.7.a verifica-se que

    Figura 1.7 Leis de Kirchhoff em notao fasorial

    (1.43)

    ou seja,

    (1.44)

    igualdade na qual se inscreve a expresso da associao em srie de impedncias

    (1.45)

    Por outro lado, a aplicao da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito da Figura 1.7.b permite obter sucessivamente

    (1.46)

    e

    (1.47)

    igualdades nas quais se inscreve a expresso da associao em paralelo de admitncias

    (1.48)

    ou seja,

    (1.49)

    Pode ainda demonstrar-se que as regras dos divisores de tenso e de corrente, estudados anteriormente, so transponveis para a anlise fasorial do regime forado senoidal. Por exemplo, e referindo aos dois circuitos representados em 1.8, verifica-se que

  • Circuitos Eltricos 1 9

    representados em 1.8, verifica-se que

    (1.50)

    no caso do divisor de tenso em (a), e

    (1.51)

    no caso do divisor de corrente em (b).

    Figura 1.8 Divisores de tenso (a) e de corrente (b) em notao fasorial

    1.3 Mtodos de Anlise em Notao Fasorial Os mtodos de anlise de circuitos so generalizveis anlise fasorial do regime forado senoidal. Os procedimentos de aplicao dos mtodos dos ns e das malhas coincidem na forma com aqueles estabelecidos anteriormente. So vlidas todas as consideraes relativas construo da matriz do circuito e dos vetores coluna das variveis e das fontes independentes, para alm, naturalmente, dos diversos casos particulares que permitem identificar a priori o nmero de equaes linearmente independentes e a dimenso da relao matricial a resolver. Em vez de repetir os dois mtodos alternativos, e naturalmente todos os seus casos particulares, optou-se por desenvolver dois exemplos de aplicao cuja resoluo ilustra as diferenas existentes na parte numrica da obteno dos resultados.

    Considere-se ento o circuito representado na Figura 1.9, com duas fontes de tenso senoidais de igual frequncia angular, Vs1 e Vs2, e trs impedncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato polar. Pretende-se determinar o fasor da corrente na impedncia Z1, no sentido indicado na figura.

    Figura 1.9 Mtodo das malhas em notao fasorial (as fases esto especificadas em grau)

    De acordo com o procedimento estabelecido, a aplicao da Lei de Kirchhoff das tenses s malhas-1 e -2 permite escrever a relao matricial

    (1.52)

    cujas variveis so os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicao da regra de Cramer permite obter a expresso do fasor da corrente I1

    (1.53)

  • Circuitos Eltricos 1 10

    (1.53)

    a qual, por substituio dos valores indicados na Figura 1.9, conduz ao valor (a fase especificada em radianos)

    I1 = 49.2 0.098 mA (1.54)

    ou seja

    i1(t) = 49.2 cos(t+0.098) mA (1.55)

    Considere-se agora o circuito representado na Figura 1.10, no qual se indicam os valores da capacidade, da indutncia, das resistncias e da frequncia angular da senide imposta pela fonte de corrente. Pretende-se determinar o fasor da tenso VC1 aos terminais do condensador.

    A aplicao da Lei de Kirchhoff das correntes aos ns-1 e -2 do circuito permite escrever a relao matricial

    (1.56)

    cujas variveis so os fasores das tenses nos ns-1 e -2. A aplicao da regra de Cramer permite obter a expresso do fasor da tenso V1

    (1.57)

    cuja soluo numrica

    V1=1 -0.927 (1.58)

    No domnio do tempo, a tenso aos terminais do condensador toma ento a forma

    v1(t)= cos(10000t-0.927) (1.59)

  • Circuitos Eltricos 1 11

    Figura 1.10 Mtodo dos ns em notao fasorial

    1.3 Mtodos de Anlise em Notao Fasorial

    Os mtodos de anlise de circuitos so generalizveis anlise fasorial do regime forado senoidal. Os procedimentos de aplicao dos mtodos dos ns e das malhas coincidem na forma com aqueles estabelecidos no anterior. So vlidas todas as consideraes relativas construo da matriz do circuito e dos vetores coluna das variveis e das fontes independentes, para alm, naturalmente, dos diversos casos particulares que permitem identificar a priori o nmero de equaes linearmente independentes e a dimenso da relao matricial a resolver. Em vez de repetir os dois mtodos alternativos, e naturalmente todos os seus casos particulares, optou-se por desenvolver dois exemplos de aplicao cuja resoluo ilustra as diferenas existentes na parte numrica da obteno dos resultados.

    Considere-se ento o circuito representado na Figura 1.9, com duas fontes de tenso senoidais de igual frequncia angular, Vs1 e Vs2, e trs impedncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato polar. Pretende-se determinar o fasor da corrente na impedncia Z1, no sentido indicado na figura.

    Figura 1.9 Mtodo das malhas em notao fasorial (as fases esto especificadas em grau)

    De acordo com o procedimento estabelecido anteriormente, a aplicao da Lei de Kirchhoff das tenses s malhas-1 e -2 permite escrever a relao matricial

    (1.52)

    cujas variveis so os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicao da regra de Cramer permite obter a expresso do fasor da corrente I1

    (1.53)

  • Circuitos Eltricos 1 12

    (1.53)

    a qual, por substituio dos valores indicados na Figura 1.9, conduz ao valor (a fase especificada em radianos)

    I1 = 49.2 0.098 mA (1.54)

    ou seja

    i1(t) = 49.2 cos(t+0.098) mA (1.55)

    Considere-se agora o circuito representado na Figura 1.10, no qual se indicam os valores da capacidade, da indutncia, das resistncias e da frequncia angular da senide imposta pela fonte de corrente. Pretende-se determinar o fasor da tenso VC1 aos terminais do condensador.

    A aplicao da Lei de Kirchhoff das correntes aos ns-1 e -2 do circuito permite escrever a relao matricial

    (1.56)

    cujas variveis so os fasores das tenses nos ns-1 e -2. A aplicao da regra de Cramer permite obter a expresso do fasor da tenso V1

    (1.57)

    cuja soluo numrica

    V1=1 -0.927 (1.58)

    No domnio do tempo, a tenso aos terminais do condensador toma ento a forma

    v1(t)= cos(10000t-0.927) (1.59)

  • Circuitos Eltricos 1 13

    Figura 1.10 Mtodo dos ns em notao fasorial

    1.4 Teoremas Bsicos em Notao Fasorial

    1.4.1 Transformao de Fonte

    Uma fonte de tenso senoidal no ideal, expressa por um fasor de tenso (Vs) e por uma impedncia (Zs), pode ser transformada numa fonte de corrente senoidal por aplicao da transformao

    (1.60)

    e

    (1.61)

    Figura 1.11 Transformao de fonte em notao fasorial

    Na Figura 1.12 representam-se alguns exemplos de fontes s quais se aplicou o teorema da transformao de fonte.

  • Circuitos Eltricos 1 14

    Figura 1.12 Transformao de fonte em notao fasorial

    Por exemplo, no caso (b) verifica-se que

    (1.62)

    e que

    (1.63)

    em que s representa a fase na origem da fonte de tenso e s o ngulo do nmero complexo representativo da impedncia da fonte.

    1.4.2 Teorema de Thvenin e Equivalente de Norton

    A metodologia de clculo dos equivalentes de Thvenin e de Norton fasoriais baseia-se num conjunto de procedimentos em tudo semelhantes aos estabelecidos anteriormente, para os circuitos resistivos puros. Na Figura 1.13 apresentam-se diversos circuitos que exemplificam a metodologia de clculo dos equivalentes de Thvenin e de Norton em notao fasorial.

  • Circuitos Eltricos 1 15

    Figura 1.13 Equivalentes de Thvenin e de Norton em notao fasorial

    No circuito da Figura 1.13.a, o fasor da tenso de Thvenin coincide com a tenso em aberto medida entre os terminais a-b,

    (1.64)

    ao passo que a impedncia de Thvenin expressa por

    (1.65)

  • Circuitos Eltricos 1 16

    No caso de 1.13.b, a fonte de corrente de Norton

    (1.66)

    e a impedncia

    (1.67)

    Finalmente, nos circuitos de 1.13.c e 1.13.d obtm-se, respectivamente, os equivalentes de Thvenin

    (1.68)

    (1.69)

    e

    (1.70)

    1.4.3 Teorema da Sobreposio das Fontes

    A generalizao do teorema da sobreposio das fontes anlise fasorial do regime forado senoidal - ou seja, a adio dos fasores associados a fontes senoidais distintas - s pode efetuar-se nos casos em que se verifique uma mesma frequncia angular. Na Figura 1.14 visualiza-se a causa desta limitao da aplicao do teorema da sobreposio das fontes: os fasores associados a frequncias angulares distintas reportam-se a planos complexos distintos, em particular devido diferente velocidade angular com que cada plano suposto girar. Por outro lado, frequncias angulares distintas conduzem a valores tambm distintos para as impedncias dos elementos condensadores e bobina, devendo as contribuies de cada uma das fontes reportar-se aos seus parmetros prprios.

    Figura 1.14 Fasores de sinais senoidais com frequncias angulares distintas

    Considere-se ento o circuito representado na Figura 1.15.a e admita-se que as duas fontes independentes senoidais se caracterizam pela mesma frequncia angular.

  • Circuitos Eltricos 1 17

    Figura 1.15 Teorema da sobreposio das fontes (fontes senoidais com idntica frequncia angular)

    De acordo com o teorema da sobreposio das fontes (em notao fasorial), o fasor da tenso V2 expresso pelo somatrio

    (1.71)

    em que (Figura 1.15.b)

    (1.72)

    e (Figura 1.15.c)

    (1.73)

    ou seja,

    (1.74)

    O fasor em (1.74) corresponde expresso no domnio do tempo

    (1.75)

    Considere-se agora o circuito da Figura 1.16.a e admita-se que as duas fontes de sinal so senoidais, mas apresentam frequncias angulares distintas, 1 2.

  • Circuitos Eltricos 1 18

    apresentam frequncias angulares distintas, 1 2.

    Figura 1.16 Teorema da sobreposio das fontes (fontes senoidais com frequncias angulares distintas)

    As conseqncias desta diferena so basicamente duas:

    (i) as impedncias dos componentes do circuito diferem consoante a fonte considerada;

    (ii) os fasores relativos a cada uma das fontes no podem ser adicionados entre si, sendo necessrio convert-los primeiramente para o domnio do tempo.

    Assim, no caso da fonte Vs (Figura 1.16.b) o fasor da tenso V2

    (1.76)

    subjacente ao qual se encontra a frequncia 1=1000 rad/s, ao passo que no caso da fonte Is (Figura 1.16.c) o fasor

    (1.77)

    em que 2=10000 rad/s. No domnio do tempo a tenso v2(t) expressa por

    (1.78)

    um resultado distinto daquele obtido em (1.75).

    1.4.4 Teorema de Millman

    A generalizao do teorema de Millman conseqncia da validade da transformao de fonte no regime forado senoidal. Como a Figura 1.17 indica visualmente, a aplicao sucessiva da transformao de fonte permite associar e simplificar tanto a associao em paralelo de fontes de tenso no ideais, como a associao em srie de fontes de corrente. A informao contida nas figuras suficiente para constatar a igualdade na forma entre o teorema de Millman em notao fasorial e no domnio do tempo.

  • Circuitos Eltricos 1 19

    e simplificar tanto a associao em paralelo de fontes de tenso no ideais, como a associao em srie de fontes de corrente. A informao contida nas figuras suficiente para constatar a igualdade na forma entre o teorema de Millman em notao fasorial e no domnio do tempo.

    Figura 1.17 Teorema de Millman

    1.4.5 Teorema de Miller

    Considere-se o circuito da Figura 1.18, relativamente ao qual se pretende determinar a impedncia equivalente direita dos terminais a-b.

  • Circuitos Eltricos 1 20

    direita dos terminais a-b.

    Figura 1.18 Teorema de Miller

    A particularidade deste circuito consiste no fato de a impedncia Z se encontrar ligada a dois terminais entre os quais existe uma relao de ganho, conseguido pela fonte dependente -aVx. A aplicao da Lei de Kirchhoff das tenses nica malha do circuito permite escrever a igualdade

    (1.79)

    na qual se inscreve a impedncia direita dos terminais a-b

    (1.80)

    A relao (1.80) indica que a impedncia Z dividida pelo fator (1+a), indicativo da tenso que na realidade se encontra aplicada aos terminais.

    Um resultado de particular interesse inscrito na relao (1.80) o designado efeito de Miller sobre a capacidade dos condensadores. Como se indica na Figura 1.19, nos casos em que a impedncia Z definida por um condensador, Z=(jC)-1, o valor aparente da capacidade amplificado de um fator (1+a)

    (1.81)

    O efeito de Miller amplamente utilizado na compensao da resposta em frequncia de amplificadores operacionais e na reduo do efeito de injeo do sinal de relgio em circuitos amostradores-retentores de sinal.

    Figura 1.19 Efeito de Miller sobre a capacidade de um condensador

    1.5 Potncia

    1.5.1 Potncia nos Elementos R, C e L

    Considere-se o circuito representado na Figura 1.20 e admita-se que o fasor da fonte de tenso Vs=V 0.

  • Circuitos Eltricos 1 21

    Figura 1.20 Potncia dissipada numa resistncia no regime forado sinusoidal

    Dada a natureza real da resistncia, o fasor da corrente no circuito encontra-se em fase com o da tenso

    (1.82)

    Em valores instantneos,

    (1.83) e

    (1.84)

    que em conjunto conduzem expresso da potncia instantnea

    (1.85)

    Uma vez que a potncia instantnea peridica no tempo, e em particular com perodo duplo daqueles caractersticos da corrente e da tenso (Figura 1.21.b), o valor mdio respectivo dado pelo integral

    (1.86)

    ou seja,

    (1.87)

    ou ainda

    (1.88)

  • Circuitos Eltricos 1 22

    (1.89)

    valor que no caso dos sinais senoidais dado por

    (1.90)

    Considere-se agora o circuito da Figura 1.21, cujos fasores da tenso e da corrente se encontram desfasados de pi/2 radianos,

    (1.91)

    ou seja,

    (1.92)

    e

    (1.93)

    respectivamente. A potncia instantnea fornecida ao condensador (Figura 1.21.b) expressa pelo produto

    (1.94)

    cujo valor mdio no tempo nulo,

    (1.95)

    O resultado em (1.105) indica que o condensador no dissipa energia eltrica, pelo contrrio um elemento capaz de armazenar e restituir energia fonte de alimentao. facilmente demonstrvel que a potncia mdia dissipada numa bobina identicamente nula.

    Figura 1.21 Potncia acumulada num condensador no regime forado senoidal

    1.5.2 Potncia nos Circuitos RC e RL

  • Circuitos Eltricos 1 23

    Considere-se o circuito RC da Figura 1.22, relativamente ao qual se pretende determinar as potncias instantnea e mdia fornecida pela fonte.

    Figura 1.22 Potncia dissipada num circuito RC

    De acordo com a metodologia estabelecida anteriormente, o fasor da corrente no circuito expresso pelo cociente

    (1.96)

    em que =artg(-1/RC). As expresses da tenso e da corrente no domnio do tempo so, respectivamente,

    (1.97)

    e

    (1.98)

    A potncia instantnea fornecida ao circuito pela fonte expressa pelo produto

    (1.99)

    ou ainda

    (1.100)

    cujo valor mdio no tempo

    (1.101)

  • Circuitos Eltricos 1 24

    ou

    (1.102)

    ou ainda

    (1.103)

    em que Z define o mdulo da impedncia do conjunto RC. Observando o tringulo das impedncias da Figura 1.22.b verifica-se que

    (1.104)

    isto , que a potncia fornecida pela fonte ao circuito coincide na ntegra com aquela dissipada na resistncia

    (1.105)

    O resultado expresso por (1.105) concorda com a concluso obtida anteriormente para as potncias mdias dissipadas pelos elementos resistncia e condensador. A potncia fornecida pela fonte , assim, composta por duas parcelas:

    (i) uma parcela relativa energia dissipada por efeito de Joule na resistncia, que constitui um processo irreversvel;

    (ii) e outra parcela, alternadamente acumulada e restituda pelo condensador fonte. Estas trocas de energia contribuem apenas para aumentar a amplitude mxima da corrente no circuito.

    Pode facilmente demonstrar-se que a potncia fornecida por uma fonte a um circuito RL coincide com aquela estabelecida em (1.105).

    1.5.3 Potncias Ativa, Reativa e Aparente

    Considere-se o circuito representado em 1.23.a, constitudo por uma fonte de tenso senoidal e uma impedncia Z=R+jX (Figuras 11.23 a e b).

  • Circuitos Eltricos 1 25

    Figura 1.23 Potncias aparente, ativa e reativa

    Admita-se ainda que a parte imaginria da impedncia positiva (hiptese que equivale a considerar a carga como um circuito RL), que o fasor da tenso aplicada

    (1.106)

    e que, portanto, o fasor da corrente no circuito (Figura 1.23.c)

    (1.107) O produto

    VA, volt-ampere (1.108)

    define a potncia aparentemente fornecida ao circuito pela fonte, potncia que inclui seja a fraco dissipada na parte resistiva da impedncia, seja a parte trocada com a parte imaginria. Por outro lado, designa-se por potncia reativa o produto

    VAr, volt-ampere reativo (1.109)

    que representa a potncia alternadamente trocada entre a fonte de tenso e o elemento acumulador de energia. As potncias aparentes, reativas e ativas (ativa no sentido de potncia dissipada por efeito de Joule sobre as resistncias) definem o tringulo das potncias representado na Figura 1.23.d. As potncias ativa e reativa definem os catetos do tringulo, em direes perpendiculares entre si, ao passo que a hipotenusa do mesmo define a potncia aparente. O cociente entre a potncia dissipada por efeito de Joule e a potncia aparente

    (1.110)

  • Circuitos Eltricos 1 26

    (1.110)

    designado por fator de potncia da carga e constitui uma medida da eficcia com que a potncia transferida da fonte para a carga. Quando o fator de potncia inferior unidade, a corrente no circuito encontra-se acima do valor estritamente necessrio para transferir a potncia que na realidade se transfere, ocorrendo perdas de energia desnecessrias por efeito de Joule sobre as linhas de distribuio.

    A correo do fator de potncia uma das tarefas que mais preocupa as companhias distribuidoras de energia eltrica. Com efeito, os consumidores de energia eltrica, sejam eles os motores das fbricas, os eletrodomsticos nas casas etc., conduzem em geral a impedncias com carter indutivo, isto , a cargas cuja parte imaginria positiva. Nestes casos, o fator de potncia pode ser aumentado introduzindo, em paralelo com a carga, um condensador de compensao, conduzindo assim reduo da parte reativa da potncia.

    1.5.4 Teorema da Mxima Transferncia de Potncia

    No mbito dos circuitos resistivos puros, constatou-se que a mxima transferncia de potncia entre uma fonte e uma carga ocorre quando estas se encontram adaptadas, isto , quando a carga e a resistncia de sada da fonte apresentam valores idnticos. Este teorema pode ser generalizado ao mbito da anlise fasorial do regime forado senoidal, concluindo-se neste caso que a mxima transferncia de potncia ocorre quando as impedncias da fonte e da carga so complexas conjugadas.

    Considere-se ento o circuito representado na Figura 1.24, constitudo por uma fonte de tenso senoidal com impedncia de sada Zs=Rs+jXs, e por uma carga complexa, Z=R+jX.

    Figura 1.24 Teorema da mxima transferncia de potncia

    O fasor da corrente no circuito dado pelo cociente

    (1.111)

    cujo mdulo

    (1.112)

    De acordo com os resultados obtidos na seco anterior, o valor mdio da potncia ativa (de Joule) efetivamente dissipada pela carga

    (1.113)

    Independentemente das partes resistivas da impedncia de sada da fonte e da carga, Rs e R respectivamente, ambas positivas, o mximo da transferncia de potncia ocorre certamente quando

  • Circuitos Eltricos 1 27

    (1.114)

    dado que estas podem ser positivas (as bobinas) ou negativas (os condensadores). Neste caso, a expresso da potncia mdia em (1.113) simplifica-se para

    (1.115)

    expresso que coincide na forma com aquela obtida anteriormente no mbito da anlise dos circuitos resistivos puros. A determinao do mximo de (1.115) conduz ento ao resultado

    (1.116)

    o qual, em conjunto com (11.114), permite escrever a condio de mxima transferncia de potncia

    (1.117)

    Na Figura 1.25 ilustra-se o significado prtico da adaptao de impedncias entre fonte e carga: a igualdade X=-Xs equivale a cancelar a parte reativa do conjunto de impedncias formado pela fonte e pela carga, ou seja, a reconduzir o circuito forma encontrada na anlise das redes resistivas puras (Figura 1.25.b). Convm, no entanto, salientar o fato de a adaptao de impedncias se verificar apenas para uma frequncia angular bem definida. Significa isto que a escolha da impedncia de carga deve ser feita em funo da frequncia para a qual se pretende maximizar a transferncia de potncia.

    Figura 1.25 Adaptao de impedncias

    Sumrio

    O regime forado senoidal estuda as relaes existentes entre as amplitudes e as fases das variveis tenses e corrente eltrica nos circuitos excitados exclusivamente por fontes senoidais.

    O fasor uma entidade complexa que compila a informao relativa amplitude e fase na origem de uma senide de tenso ou corrente, ao passo que a impedncia eltrica o nmero complexo resultante do cociente entre os fasores de tenso e corrente num componente. Os elementos resistncia, condensador e bobina apresentam impedncias dadas por R, jL e 1/jC, respectivamente, sendo nos dois ltimos casos uma funo da frequncia angular sob anlise.

    As Leis de Kirchhoff das tenses e das correntes, as regras de associao srie e paralelo de impedncias e as regras dos divisores de tenso e de corrente so generalizveis anlise fasorial do regime forado senoidal. O mesmo sucede com os mtodos das malhas e dos ns, e os teoremas da transformao de fonte, de Thvenin, de Norton, da sobreposio das fontes, de Millman e de Miller.

    Apenas a resistncia responsvel pela dissipao de energia (o efeito de Joule). Os elementos condensadores e bobina acumulam e restituem energia s fontes.

  • Circuitos Eltricos 1 28

    bobina acumulam e restituem energia s fontes.

    A mxima transferncia de potncia entre uma fonte e uma carga complexa ocorre quando a carga e a impedncia de sada da fonte so complexas conjugadas. Esta situao designada por adaptao de impedncias.

    Exerccios de Aplicao

    *1.1 Admitindo que a relao entre a corrente e a tenso num componente dada por:

    (a) v(t)= 10 cos(10000t) e i(t)= 0.01 cos(10000t);

    (b) v(t)= 10 cos(10000t+pi/2) e i(t)= 0.01 cos(10000t);

    (c) v(t)= 10 cos(10000t+pi/2) e i(t)= 0.01 cos(10000t+pi).

    Indique qual o tipo de elemento em questo.

    *1.2 Considere as seguintes expresses das tenses eltricas v1(t) e v2(t) aos terminais de dois elementos de um circuito:

    (a) v1(t)=10cos(10000t) e v2(t)=10cos(10000t+pi/2);

    (b) v1(t)=10cos(t+pi/3) e v2(t)=10cos(t+pi/2).

    Em cada um dos casos determine a expresso da tenso v(t)=v1(t)+v2(t), recorrendo notao fasorial.

    *1.3 Efetue os seguintes clculos:

    (a)

    (b)

    *1.4 Determine o valor do mdulo, da fase, da parte real e da parte imaginria das impedncias e admitncias

    representadas na Figura E1.4. Em qualquer dos casos, considere uma frequncia f=1000 Hz.

    Figura E1.4

    1.5 Considere o circuito representado na Figura E1.5. Determine os valores numricos dos seguintes fasores e

    impedncias:

    (a) a impedncia vista direita dos terminais da fonte;

    (b) o fasor da corrente fornecida pela fonte de tenso.

  • Circuitos Eltricos 1 29

    Figura E1.5

    *1.6 Considere o circuito representado na Figura E1.6. Por aplicao do mtodo dos ns, determine o fasor da

    tenso aos terminais do condensador. Estabelea tambm a expresso da tenso no domnio do tempo.

    Figura E1.6

    *1.7 Considere o circuito representado na Figura E1.7. Determine a expresso da corrente i(t) na resistncia R.

    Figura E1.7

    1.8 Considere os circuitos representados na Figura 1.8. Por aplicao do mtodo dos ns ou das malhas, obtenha a

    relao matricial relativa s tenses e s correntes nos diversos ns e elementos do circuito.

  • Circuitos Eltricos 1 30

    Figura E1.8

    *1.9 Determine os equivalentes de Thvenin e Norton dos circuitos representados na Figura E1.9.

    Figura E1.9

    *1.10 Por aplicao do teorema da sobreposio das fontes, determine a expresso da tenso vo(t) indicada no

    circuito representado na Figura E1.10. Admita que:

    (a) 1=2=1000 rad/s;

    (b) 1=1000 rad/s e 2=500 rad/s.

  • Circuitos Eltricos 1 31

    Figura E1.10

    1.11 Considere os circuitos representados na Fig.E.1.11. Determine o valor da indutncia (L) e da resistncia (R)

    para as quais se verifica a mxima transferncia de potncia entre a fonte e a carga RL.

    Figura E1.11

    11.12 Considere o circuito representado na Figura E1.12. Determine:

    (a) a potncia instantnea transferida para cada elemento;

    (b) a potncia mdia dissipada por cada elemento;

    (c) a potncia ativa, aparente e reativa fornecida pela fonte.

    Figura E1.12

    Desenhe o respectivo tringulo das potncias.