análise no domínio dos tempos de sistemas...

MEEC Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

MCSDI Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos

Guião do trabalho laboratorial nº 3

Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados


Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos Vítor Cunha, Tenreiro Machado

1

Análise no domínio dos tempos de sistemas representados

no Espaço dos Estados Sumário: Pretende-se com este trabalho utilizar as potencialidades do software MATLAB (com

a Control System Toolbox) na manipulação e análise de sistemas representados no Espaço dos Estados.

1. Funções básicas de Álgebra Linear em MATLAB

O MATLAB é um software de computação numérica que possui na sua versão base um vasto leque de funções genéricas. Nesta secção pretende-se que o aluno se familiarize apenas com algumas das mais relevantes.

1.1. Vectores Para criar um vector usam-se os caracteres [ e ] que delimitam o conjunto de elementos (separados de um espaço), sendo também necessário atribui-lo a uma variável. >> v=[1 0 -3 5 2] v = 1 0 -3 5 2 A criação de vectores com elementos igualmente espaçados é feita dando o valor inicial, o espaçamento e o valor final. Este método é muito usado na criação de vectores de tempo. Por exemplo, para criar um vector com elementos entre 0 e 8 igualmente espaçados de 2 unidades, deve-se escrever o comando: >> u=0:2:8 u = 0 2 4 6 8 Para somar dois vectores (desde que tenham a mesma dimensão) basta: >> v+u ans = 1 2 1 11 10 Para adicionar um valor a todos os elementos de um vector: >> c=v+2 c = 3 2 -1 7 4 Da mesma forma, para multiplicar um vector por um valor: >> d=v*0.2



2

d = 0.2000 0 -0.6000 1.0000 0.4000

1.2. Matrizes A introdução de matrizes é bastante semelhante à de vectores. São usados os caracteres [ e ] para delimitar a matriz, cada linha é constituída por um conjunto de valores separados por um espaço e terminada com o caracter ; (ou alternativamente fazer Enter). >> A=[1 2;4 5] A = 1 2 4 5 Para determinar a matriz transposta utiliza-se o operador apóstrofo ( ‘ ), no caso da matriz conter elementos complexos deverá ser usado o operador .’ (caso contrário seria retornada a matriz transposta conjugada): >> B=A' B = 1 4 2 5 Para realizar operações entre matrizes é necessário ter em consideração as suas dimensões: >> A*[1 1] ??? Error using ==> mtimes Inner matrix dimensions must agree. >> A*B ans = 5 14 14 41 A multiplicação de matrizes elemento a elemento e não a multiplicação normal de matrizes (linha por coluna), é realizada através do uso do ponto (.) antes do operador de multiplicação: >> A.*B ans = 1 8 8 25 Outro exemplo do efeito da utilização do ponto, nomeadamente no operador potência (^): >> A^2 %o mesmo que fazer A*A ans = 9 12 24 33



3

>> A.^2 ans = 1 4 16 25 Neste caso a operação é feita elemento a elemento, resultando uma matriz onde cada elemento foi elevado ao quadrado. Para encontrar a inversa de uma matriz: >> inv(A) ans = -1.6667 0.6667 1.3333 -0.3333 O cálculo do determinante é feito pelo uso da função det: >> det(A) ans = -3 A função eig permite encontrar os valores próprios da matriz (raízes do polinómio característico) usada como parâmetro: vp=eig(A) vp = -0.4641 6.4641

No caso de serem especificadas duas variáveis de retorno, a função eig devolve uma matriz cujas colunas representam os vectores próprios (vecp) normalizados e uma matriz (forma canónica de A) cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios da matriz (valp). [vecp,valp]=eig(A) vecp = -0.8069 -0.3437 0.5907 -0.9391 valp = -0.4641 0 0 6.4641



4

2. Representação de sistemas no Espaço dos Estados

A representação de um sistema no Espaço dos Estados é uma das formas possíveis de o representar matematicamente. Trata-se de uma representação no domínio dos tempos que contrasta com a representação por Função de Transferência que se baseia no domínio das frequências. Conceitos associados a este método de representação de sistemas dinâmicos:

Estado

Menor conjunto de variáveis que permitem determinar completamente o comportamento de um sistema para qualquer instante t≥t0, desde que sejam conhecidos os valores dessas variáveis em t=t0 e o da entrada para t≥t0.

Variáveis de Estado

São as variáveis que num sistema dinâmico constituem o menor conjunto de variáveis (x1, x2, …, xn) que determinam o estado do sistema.

Vector de Estado

Vector constituído pelas n variáveis de estado necessárias para determinarem completamente o estado de um sistema.

Espaço dos Estados

Espaço n-dimensional cujos eixos coordenados são os eixos referentes a x1, x2, …xn. Qualquer estado do sistema pode ser representado por um ponto neste espaço n-dimensional.

Para obter a representação no Espaço dos Estados considere-se um sistema descrito pela equação diferencial linear de coeficientes constantes:

ubdt

udbdt

udbyadt

ydadt

ydnn

n

n

n

nn

n

n

n

+++=+++−

−

−

−

KK 1

1

101

1

1

Com ℜ∈nn bbaa ,,,,, 01 KK e onde y é a saída e u a entrada. A respectiva Função de Transferência vem:

nnn

nnn

asasbsbsb

sUsY

+++

+++=

−

−

K

K1

1

110

)()(

Considere-se X1 como uma variável interna do sistema: Então

)()(1)()( 111

10 sXbsXsbsXsbsY nnn +++= − K

Fazendo

12 )( sXsX = , 12

3 )( XssX = , …, 11)( XssX n

n−=

nnn asas +++ − K1

1

1 n

nn bsbsb +++ − K110 )(sU )(sY)(1 sX



5

vem:

nnnn

nnnn

nn

xbxbxbxby

uxaxaxaxxx

xxxx

&K

K&

&

M

&

&

01211

1121

1

32

21

++++=

+−−−−==

==

−

−

−

Quando colocadas na forma matricial as equações formam um sistema onde x é o vector de estado, u a entrada, y a saída, A a matriz de estado, B a matriz de entrada, C a matriz de saída e D a matriz de transmissão directa.

⎩⎨⎧

+=+=

DuCxyBuAxx&

Equação 1: Representação genérica no Espaço dos Estados

Na forma de diagrama de blocos:

+

+

++ ∫dt

)(tA

)(tD

)(tB )(tC)(tx)(tx&

)(ty)(tu

Figura 1: Sistema de controlo linear contínuo no tempo representado no Espaço dos Estados



6

3. Análise de sistemas representados no Espaço dos Estados

3.1. Primeiro exemplo

Considere o sistema mecânico linear apresentado na figura 2. A entrada do sistema é a força externa f(t) aplicada à massa e o deslocamento resultante y(t) a saída.

M

B

K f(t)

y(t)

Figura 2: Sistema mecânico composto por massa, mola e amortecedor

Analisando o sistema obtém-se:

)()()()( tftKytyBtyM =++ &&& Equação 2: Equação dinâmica que rege o sistema mecânico

O sistema em estudo é de 2ª ordem (dois integradores), nesta situação devem ser consideradas duas variáveis de estado x1(t) e x2(t):

)()(1 tytx = , posição )()(2 tytx &= , velocidade

Obtendo-se

fM

xMBx

MKx

xx1

212

21

+−−=

=

&

&

Vindo a equação da saída 1xy =

O passo seguinte é a representação das equações na forma matricial:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

2

1

01

1010

xx

y

fMx

x

MB

MK

xx&

&

Equação 3: Representação no Espaço dos Estados do sistema mecânico da figura 2



7

Onde:

[ ] [ ]0;01;10

;10

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−= DCBA

MMB

MK

3.1.1. Introdução do sistema no MATLAB

a) Inicie a aplicação MATLAB. b) Para fins do exemplo, considere os valores dos parâmetros M, K, B do sistema

mecânico mostrados na figura 3.

Figura 3: Introdução dos parâmetros da massa, mola e amortecedor

c) Introduza as matrizes A, B, C e D da representação no Espaço dos Estados do sistema

através da consola do MATLAB. O resultado deverá ser semelhante à figura 4.

Figura 4: Introdução das matrizes de estado, entrada, saída e transmissão directa



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d) Verifique as matrizes introduzidas escrevendo o nome da variável onde foi guardada seguida de ENTER.

e) Para definir as matrizes como sendo a representação de um sistema no Espaço dos

Estados é necessário executar a função State-Space (Control System Toolbox) através do comando ss. Esta função numa das suas formas aceita como parâmetros de entrada as quatro matrizes definidas anteriormente. Para obter informação mais detalhada desta função (ou de qualquer outra) escreva na consola a palavra help seguida do nome da função.

f) Execute a função ss (figura 5) com as matrizes A, B, C e D como parâmetros de

entrada. Note o uso da variável exemplo1 onde ficará guardado o sistema na forma de Espaço de Estados.

Figura 5: Sistema definido no Espaço dos Estados em MATLAB

3.1.2. Estabilidade no domínio dos tempos

A estabilidade do sistema (equação 3) pode ser avaliada através da equação característica da matriz A:

0=− AIs A equação característica é um polinómio em s. Se todas as raízes deste polinómio possuírem parte real negativa, então o sistema é estável.



9

Determine a estabilidade do sistema em estudo:

a) Utilize a função poly para obter o polinómio característico da matriz de estado. Em seguida obtenha as suas raízes através da função roots.

Figura 6: Polinómio característico e respectivas raízes

b) O que pode ser concluído relativamente à estabilidade do sistema?

c) Que função do MATLAB abordada anteriormente neste guião permite obter directamente as raízes do polinómio característico de uma matriz?

3.1.3. Resposta temporal do sistema A resposta temporal de um sistema no Espaço dos Estados é dada pela solução do vector:

∫ −+=t

ttt dttueet0

)'( ')'()0()( Bxx AA

Equação 4: Resposta das variáveis de estado no domínio dos tempos

Onde o primeiro membro da soma representa a reposta devido às condições iniciais e o segundo a resposta devido à entrada u(t), não considerando condições iniciais. Alternativamente, no domínio complexo vem:

)()()0()()( 11 sUsssX BAIxAI −− −+−= Obtenha a resposta temporal do sistema para uma entrada do tipo degrau unitário e condições iniciais nulas:

a) A resposta ao degrau de amplitude Amp considerando condições iniciais nulas pode ser obtido directamente usando a função step da seguinte forma:

step(Amp*exemplo1)



10

0 5 10 15 20 250

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 7: Resposta do sistema ao degrau unitário, com condições iniciais nulas

b) Caracterize o tipo de resposta apresentada pelo sistema. Considere condições iniciais x1(0)=x2(0)=1 e entrada do sistema nula (f(t)=0). Para esta situação determine o valor das variáveis de estado para o instante t=5s e a resposta temporal do sistema devido apenas às condições iniciais.

a) Da equação 4 verifica-se que nesta situação (entrada nula) a reposta temporal é obtida por:

)0()( xx Atet =

b) Crie um vector (x0) para as condições iniciais.

c) A matriz exponencial tet AΦ =)( para um dado instante é calculada através da função expm como mostra a figura 8.

d) Obtenha os valores de x1 e x2 para t=5s multiplicando a matriz )(tΦ pelo vector de

condições iniciais x0.

e) Para obter a resposta temporal do sistema apenas devido às condições iniciais use a função initial.

>> initial(exemplo1,x0)



11

Figura 8: Valores das variáveis de estado x1 e x2 para t=5s

f) Explique o valor da resposta temporal do sistema (figura 9) para t=5s. Relembre que a

resposta de y(t), com base na equação 4, é dada por:

)(')'()0()(0

)'( tudttueetyt

ttt DBxC AA +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= ∫ −

Equação 5: Resposta da saída y(t) no domínio dos tempos

Response to Initial Conditions

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25-0.5

0

0.5

1

1.5

2

System: exemplo1Time (sec): 5Amplitude: 0.26

Figura 9: Resposta temporal devido apenas às condições iniciais. Gráfico gerado com a função initial.



12

3.1.4. Relação entre modelos O MATLAB disponibiliza funções que permitem obter uma representação equivalente no Espaço dos Estados de um sistema a partir da sua função de transferência, e vice-versa. A Função de Transferência do sistema considerado neste exemplo obtida da equação 2 é:

MKs

MBs

MsFsX

++=

2

1

)()(

Substituindo M, B e K pelos valores numéricos usados no ponto 3.1.1. b) vem:

3.05.01.0

)()(

2 ++=

sssFsX

Obtenha a representação no Espaço dos Estados a partir da função de transferência anterior:

a) Na consola do MATLAB introduza dois vectores, um referente ao numerador e outro ao denominador da Função de Transferência.

b) Visualize a Função de Transferência através do uso da função Transfer Function (tf),

como mostrado na figura 10.

Figura 10: Introdução da Função de Transferência do sistema no MATLAB

c) Use a função tf2ss como demonstrado na figura 11. As letras A, B, C e D

correspondem às variáveis onde serão guardadas as matrizes de estado, entrada, saída e transmissão directa.



13

Figura 11: Reapresentação no Espaço dos Estados com base na Função de Transferência

d) Obtenha os valores próprios da matriz de estado (A) e compare-os com a resposta do

ponto 3.1.2. a).

e) Transforme o sistema novamente para Função de Transferência através da função ss2tf:

>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

A Função de Transferência também pode ser obtida directamente da representação em Espaço de Estados através da função tf:

>> tf(exemplo1)



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3.2. Segundo exemplo Considere o sistema eléctrico apresentado na figura 12 com entrada u(t) e duas saídas (y1(t) e y2(t)).

u(t)

RR R

L1 L2

y1(t)

y2(t)iL1(t)

iL2(t)

Figura 12: Sistema eléctrico com dois elementos armazenadores de energia

a) Encontre uma representação do sistema no Espaço dos Estados. Considere as

variáveis com sentido físico 11 Lix = e 22 Lix = .

b) Introduza a representação encontrada no MATLAB utilizando as matrizes A, B, C e D. Considere R=10, L1=1 e L2=2.

c) Obtenha as Funções de Transferência )()(1

sUsY e

)()(2

sUsY da representação no Espaço dos

Estados.

d) Calcule os valores próprios e vectores próprios da matriz de estado. O que conclui sobre a estabilidade do sistema?

e) Considere o sistema para u(t)=0. Analise o comportamento do sistema no Plano dos

Estados (x1, x2) para várias condições iniciais:

• Para fazer a simulação do sistema use a função lsim. Inicialmente terá que definir um vector de tempo, um vector com o sinal de entrada e por fim o vector com as condições iniciais das variáveis de estado. A função retorna 3 matrizes com os valores das saídas (y, nº de colunas = nº de saídas), do tempo (t) e das variáveis de estado (x, nº de colunas = nº de variáveis de estado). Para a primeira simulação use como condição inicial x(0)=[2 2]T.

>> t=0:0.01:1; >> u=0*t; >> x0=[2;2]; >> [y,t,x]=lsim(exemplo2,u,t,x0);

• O traçado no Plano dos Estados é obtido considerando as duas colunas da matriz

de saída x:

>> plot(x(:,1),x(:,2)); >> xlabel('x1');ylabel('x2');

• Altere os eixos do gráfico de forma a visualizar todos os quadrantes:

>> axis([-5 5 -5 5]);



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• Para que seja possível adicionar novos traçados à mesma figura sem que o MATLAB altere a escala dos eixos, deverá executar o comando:

>> hold on

• Utilize a função line para adicionar linhas como eixos (figura 13):

>> line([-5,5],[0,0]); >> line([0,0],[-5,5]);

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

Figura 13: Trajectória no plano de Estados para x1(0)=x2(0)=2

• Obtenha mais traçados no Espaço dos Estados para várias condições iniciais

que considere significativas de forma a entender o comportamento do sistema. Para cada simulação deverá:

i. Actualizar o vector x0; ii. Executar: [y,t,x]=lsim(exemplo2,u,t,x0); iii. Executar: plot(x(:,1),x(:,2));

ATENÇÃO: Entre simulações não feche a janela, senão perderá todos os dados.

• Que conclusões retira dos traçados que obteve?

f) Utilizando a função lsim obtenha a reposta temporal do sistema (y1(t) e y2(t)) para uma

tensão de entrada em degrau com amplitude igual a 100v e condições iniciais nulas. (Nota: use as funções ones e size para criar o vector de entrada).



16

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

To:

Out

(1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 130

40

50

60

70

80

90

100

To:

Out

(2)

Linear Simulation Results

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 14: Resposta do sistema às condições definidas na alínea f)

g) Obtenha a representação diagonal do sistema:

⎩⎨⎧

+=+=

uu

DCWdyBWAWdWd -1-1&

Crie uma nova variável (W) para a matriz de mudança de base e utilize-a na função ss2ss:

>> exemplo2d=ss2ss(exemplo2,inv(W))

h) Recorrendo ao SIMULINK obtenha um modelo da representação do sistema obtido na alínea anterior. Deverá apenas utilizar blocos elementares (integradores, ganhos, funções definidas pelo utilizador, somadores,…).

• Execute o comando simulink para lançar o Simulink Library Browser.

• Crie um novo modelo (File→New→Model). Deverá ter nesta fase as janelas

representadas na figura 15.



17

Figura 15: Janela do MATLAB e janelas principais do SIMULINK

• Para criar o modelo do sistema deverá localizar os diversos elementos na Simulink Library Browser e arrasta-los para a janela do novo modelo.

• O sinal de entrada a usar será um degrau (mesmas condições da alínea f)), para

o obter use o bloco Step (biblioteca Simulink→Sources).

• Defina o degrau de entrada para o instante t=0s e amplitude igual a 100 .

Figura 16: Janela das propriedades do elemento Step

• A visualização da resposta das saídas deverá ser feita através de dois blocos

Scope (biblioteca Simulink→Sinks).



18

Figura 17: Elementos necessários para gerar o sinal de entrada e visualizar as saídas

• Para criar o restante modelo use os blocos integrador, ganho e soma de acordo com

a representação diagonal do sistema que obteve anteriormente.

• O bloco Integrator encontra-se na biblioteca Simulink→Continuous. • Os blocos Gain e Sum encontram-se na biblioteca Simulink→Math Operations.

• Depois de colocar todos os elementos necessários (figura 18) estabeleça as

ligações entre os elementos.

Figura 18: Representação parcial do sistema recorrendo apenas a blocos elementares



19

• Preencha os blocos Gain (figura 19) com os valores obtidos da representação diagonal do sistema. Para aceder à janela de propriedades faça duplo clique sobre o bloco.

Figura 19: Janela das propriedades do elemento Gain

• Através do menu Simulation→Configuration Parameters da janela do modelo,

coloque o parâmetro Stop time igual a 1 (figura 20).

Figura 20: Janela de configuração de parâmetros da simulação

• Faça a simulação e abra os blocos Scope para visualizar as respostas. Caso

seja necessário use a função Autoscale que redimensiona automaticamente os eixos de forma a visualizar todo o sinal.



20

Figura 21: Resposta temporal da saída y1

Figura 22: Resposta temporal da saída y2

• Compare as respostas com as obtidas na alínea f).

i) Analise a controlabilidade e observabilidade através das funções ctrb e obsv que aceitam como entrada o sistema em Espaço de Estados e retornam as matrizes de controlabilidade (Q) e observabilidade (R), respectivamente. O número de estados não controláveis/observáveis pode ser obtido da forma:

length(A)-rank(Q ou R)



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4. Conclusões

Acabamos de ver como é possível recorrendo a funcionalidades do MATLAB e da Control System Toolbox efectuar o estudo da resposta temporal de um sistema representado no Espaço de Estados.

As noções aqui introduzidas, de uma forma necessariamente resumida, podem ser desenvolvidas recorrendo à bibliografia que se apresenta de seguida.

5. Bibliografia

[1] – J. L. Martins de Carvalho; Dynamical Systems and Automatic Control; Prentice-Hall; 1993.

[2] – Katsuhiko Ogata; Engenharia de Controle Moderno; Prentice-Hall do Brasil; 1982.

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