Analise

Matemática I

Aula 10

Limite de Funções. Exercícios

Ano académico 2017

Tema 1. Cálculo Diferencial

Limites infinitos e limites no infinito.

Indeterminações.

Limite Trigonométrico Fundamental.

Limite Exponencial Fundamental.

Cálculo de limites.

Bibliografia Básica

Autor Título Editorial Data

Stewart, James Cálculo, Volume 1

5ta. Edição,

Pioneira

Thompson

Learning

2006

Zuma Medeiros ,

Valéria

Pré-Cálculo

2ª edição revista actualizada

CENGAGE

Learning 2012

Demana,

Franklin... (et al.) Pré-Cálculo

Pearson

Education do

Brasil

2011

Larson, Ron Cálculo Aplicado

1 Edição,

Pioneira

Thomson

Learning

2011

Limites

• Infinito e Limite (Sutil e profundo)

– O conceito de limite está intimamente conectado ao conceito

de infinito. Trata-se de um dos conceitos mais fecundos da

matemática e o principal para o desenvolvimento do Cálculo

Diferencial e Integral.

– Ele primeiro surgiu sob a forma de processos convergentes

ilimitados.

– O primeiro testemunho literário encontra-se nos paradoxos

de Zenão de Eléa, matemático e discípulo de Parmênides.

Limites

• O Paradoxo da Dicotomia

– O argumento desse paradoxo consiste basicamente na ideia de que aquilo que se move tem que chegar na metade de seu percurso antes de chegar ao fim.

– O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o percurso, o objeto que se move deve percorrer metade do percurso. Antes de percorrer a metade que falta, deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da metade (um quarto do percurso inicial), e assim sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto infinito de intervalos.

M1 M2 M3 2

1

4

1

8

1 ...

Limites O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga

O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo argumento que o paradoxo da dicotomia, porém em vez de um objeto, temos dois objetos em movimento com velocidades diferentes.

Ele é assim enunciado: Numa corrida entre Aquiles e a Tartaruga em que a Tartaruga sai com uma certa vantagem, mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este jamais a alcança; pois aquele que persegue tem primeiro de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento começou, e o mais lento tem necessariamente de já estar a alguma distância à frente.

Limites

...100

1

10

1110100

O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga

Suponha que Aquiles é 10 vezes mais rápido que a Tartaruga e que esta parte com uma vantagem de 1000 m. Quando Aquiles percorre os 1000 m, a Tartaruga já está 100 m a sua frente. Aquiles percorre os 100 m que o separa da Tartaruga, mas, nesse tempo, a Tartaruga já percorreu 10 m, mantendo a vantagem. Aquiles percorre os 10 m, mas, nesse tempo, a Tartaruga está 1 m a sua frente e assim sucessivamente. Isto quer dizer que Aquiles nunca alcança a Tartaruga?

Limites • Infinito e Limite

– Considere que o intervalo AB do primeiro paradoxo é igual a

1. O ponto M1 divide o intervalo ao meio, portanto a primeira

metade equivale a ½. O segundo ponto, M2, divide a metade

restante ao meio, portanto equivale a ¼ do comprimento

original. Logo, o intervalo pode ser expresso como uma soma

de intervalos que cresce ilimitadamente por partes que

sempre são menores que a imediatamente anterior:

– O paradoxo está no fato de a série não crescer até ao infinito,

pois a sua soma sempre permanece menor que 1, por mais

intervalos que por ventura viermos a adicionar.

1...16

1

8

1

4

1

2

1

Limites

• A solução dos paradoxos

– A solução dos paradoxos têm a ver com o conceito de limite e convergência de séries numéricas.

– Para o pensamento ingênuo da Antiguidade, o entendimento puramente quantitativo segundo o qual quando alguma coisa sempre aumenta acabará por ultrapassar todos os limites é que conduz ao erro.

– O erro está em supor, intuitivamente, que a soma de infinitos intervalos deve ser necessariamente infinita.

– Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no de Aquiles a soma da série tende a convergir para um valor finito. É nesse ponto que Aquiles encontra a Tartaruga!

Limites

• Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito”

Considere, por exemplo, a função

• Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce

indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se

aproximar cada vez mais de 0.

xxf

1)(

01

lim xx

Limites

• Limite de f(x) quando x tende a “menos infinito”

Considere, por exemplo, a função

• Perceba que, quando x tende a -, isto é, quando x decresce

indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se

aproximar cada vez mais de 0.

xxf

1)(

01

lim xx

Limites

• Os símbolos + e - , não representam números reais, não

podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de

cálculo algébrico.

• Dado b IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas: b + (+ ) = + b + ( - ) = - (+ ) + (+ ) = + (- ) + (- ) = - (+ ) + (- ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo - , é dito um símbolo de indeterminação. (+ ) . (+ ) = + (+ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação. / = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

Limites

• No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a

expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o

valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as

técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:

-

. 0

0

0 0

1

1-

Limites

• Exemplo:

Calcule o limite, se existir, de:

Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, teria

uma indeterminação do tipo

14

13lim

x

x

x

Limites

Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o

denominador por x:

• Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito,

o raciocínio é análogo.

4

3

04

03

1lim4lim

1lim3lim

)1

4(lim

)1

3(lim

14

13

lim14

13lim

x

x

x

x

x

xx

x

xx

xx

x

x

xx

Limites Intuitivos

<

1)(lim)(

0)(lim)(

1)(lim)(

0)(lim)(

0

0

xfd

xfc

xfb

xfa

x

x

x

x

)(b

)(a

)(d

)(c

=

0)(lim)(

0)(lim)(

)(lim)(

)(lim)(

0

0

xfd

xfc

xfb

xfa

x

x

x

x

)(b

)(a

)(d

)(c

>

]1,1[)(lim)(

0)(lim)(

]1,1[)(lim)(

0)(lim)(

0

0

entrexfd

xfc

entrexfb

xfa

x

x

x

x

)(b

)(a )(d

)(c

Limites Intuitivos

)(lim)(

0)(lim)(1

xfb

xfa

x

x

)(b

)(a

Limites Infinitos

2 2x 1 x 1

2x 1

2 2lim e lim

(x 1) (x 1)

2lim

(x 1)

2

2y

(x 1)

Limites Infinitos

xtg

xtgextg

x

xx

2

22

lim

limlim

existenão

y = tg x

Limites no Infinito

x xlim f(x) 1 e lim f(x) 1

Limites Infinitos

Limites nos extremos do domínio da

função exponencial

Limites Infinitos

Limites nos extremos do domínio da

função logarítmica

Limite Trigonométrico Fundamental

x 0

senxlim 1

x

Limites Trigonométricos Notáveis

0x

1cosxlim

x

cosx1lim

1(Kx)

sen(Kx)lim

1x

senxlim

1cosxlim0senxlim

0x0x

0x

0x

0x0x

Cálculo de limites. Exercicios

Avalie os seguintes limites utilizando propriedades e

limites notáveis:

2x

sen3xlimc)

x

π)sen(xlimb)

x

tanxlima)

0x

0x

0x

Cálculo de limites. Exercicios

Avalie os seguintes limites utilizando propriedades e

limites notáveis. Solução linha a:

11

1.1

cosx lim

lim1.1

cosx

1lim.

x

senxlim

cosx.x

senxlim

x

tanxlima)

0x

0x

0x0x0x0x

1x

senxlim 1cosxlim

0x0x

Cálculo de limites. Exercicios

1x

1senx-lim

x

.cosx)01-(senx.lim

-1cosπ e 0π

x

π.cosx)(senx.cosπlim

x

π)sen(xlimb)

0x0x

0x0x

sen

sen

Avalie os seguintes limites utilizando propriedades e

limites notáveis. Solução linha b:

Cálculo de limites. Exercicios

2

3

3x

sen3x2

3

lim

2x2

3

sen3x2

3

lim2x

sen3xlimc)

0x0x0x

Avalie os seguintes limites utilizando propriedades e

limites notáveis. Solução linha c:

1(Kx)

sen(Kx)lim

0x

Limite Exponencial Fundamental

x

x

1lim 1 e

x

Limite Exponencial Fundamental

x

x

1lim 1 e

x

x y

1 2

10 5937,2

100 7048,2

1000 7169,2

10000 7181,2

x 7182818,2e

Limites fundamentais

os três limites são denominados limites fundamentais e podem ser utilizados no cálculo de outros limites, quando necessário.

Cálculo de limites com Indeterminação

Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o

valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na

expressão da função f(x).

No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem

sempre) para funções racionais. Isto acontece

quando se faz a substituição direta de x por seu

valor de tendência e encontra-se indeterminação

(0/0 ou b/0 ou / ou /0). Veja os casos nas

janelas seguintes.

Regras adicionais • 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e

denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de

tendência). Neste caso, tanto o polinómio do numerador quanto

o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta

simplificação, faz-se a substituição de x por a. FACTORIZAR

422)2(lim2

)2)(2(lim

2

4lim

0

0

22

42

2

4lim

22

2

2

22

2

xx

xx

x

x

x

x

xxx

x

Indeterminação

Cálculo de limites

• EXPRESSÕES INDETERMINADAS

Considere o seguinte limite:

Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já

conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:

3

27lim

3

3

x

x

x

0

0

33

273

3

27lim

33

3

x

x

x

Cálculo de limites

• Expressões indeterminadas

Mas vejamos o gráfico desta função:

x f(x)

2,7

2,8

2,9

3,0

3,1

3,2

3,3

24,39

25,24

26,11

27

27,91

28,84

29,79

L

Cálculo de limites

• Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando

nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:

• Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar

a este valor?

273

27lim

3

3

x

x

x

Cálculo de limites

• Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!

• Neste exemplo,

Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:

Basta então calcular:

)93)(3(27 23 xxxx

93)3(

)93)(3()( 2

2

xx

x

xxxxf

27)93(lim 2

3

xx

x

Cálculo de limites

• Produtos Notáveis!!!

• Diferença de quadrados

• Trinômio quadrado perfeito

)).((22 bababa

Cálculo de limites

22222 2)).(()( bababbaababababa

22222 2)).(()( bababbaababababa

Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença

de quadrados a2 - b2.

• Soma e Diferença de Cubos

• Cubo perfeito

)).(( 2233 babababa

)).(( 2233 babababa

32233 33)( babbaaba

32233 33)( babbaaba

Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3;

Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.

Cálculo de limites

Regras adicionais • 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição

direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente

se os limites laterais forem iguais. LIMITES LATERAIS

.2

1lim..........

2

1lim

0

1

22

1

2

1lim

22

2

xe

x

x

xx

x

Logo o limite não existe

Indeterminação

Cálculo de limites

Regras adicionais • 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma

função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.

222

22323

).(5)5(lim)125(lim

).(22lim2

lim2

352lim

xxx

xx

x

x

xxx

xx

xxx

1o exemplo (função racional):

2o exemplo (função polinomial):

Cálculo de limites

REGRA DE LEIBNIZ

No caso em que p < n, podemos dizer que o limite é:

+ ∞ quando an e bn têm o mesmo sinal.

- ∞, quando an e bn têm sinais opostos.

npsemou

npsemb

a

npsem

bxbxb

axaxap

p

p

p

n

n

n

n

x

)(

0

...

...lim

0

1.

1

0

1.

1

Regra de Leibniz. Exemplos

4

3

9) lim

3 5 2x

xa

x x

4

4

9) lim

3 5 2x

xb

x x