Análise Matemática I

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<p>Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 1 de 34 Introduo a Anlise Matemtica Denise CandalParte 1 Nmeros Reais e Topologia da Reta 2009 1- INTRODUO........................................................................................................................... 3 1.1. George Cantor...................................................................................................................... 3 1.2. Os Axiomas de Peano.......................................................................................................... 4 1.3. Dedekind.............................................................................................................................. 5 1.4. Os Nmeros Naturais........................................................................................................... 6 1.5. Boa Ordenao e Induo Finita.......................................................................................... 7 1.6. Conjuntos Finitos e Infinitos................................................................................................ 8 1.7. Conjuntos enumerveis e no-enumerveis......................................................................... 9 1.8. Exerccios........................................................................................................................... 10 2- OS NMEROS REAIS.............................................................................................................. 11 2.1. Propriedades Algbricas .................................................................................................... 11 2.2. Alguns Teoremas envolvendo as Propriedades Algebricas ............................................... 11 2.3. Nmeros racionais ............................................................................................................. 12 2.4. Exerccios........................................................................................................................... 13 2.5. Propriedades de Ordem...................................................................................................... 14 2.5.1. Algumas Definies.................................................................................................... 14 2.5.2. As Propriedades de Ordem......................................................................................... 15 2.6. Valor Absoluto................................................................................................................... 15 2.7. Exerccios........................................................................................................................... 16 2.8. Supremos e nfimos ........................................................................................................... 16 2.9. Propriedade Arquimediana ................................................................................................ 18 2.10. Exerccios......................................................................................................................... 19 2.11. Cortes ............................................................................................................................... 20 2.12. Celas e Intervalos............................................................................................................. 21 2.13. Conjunto de Cantor .......................................................................................................... 22 2.13. Exerccios......................................................................................................................... 23 3.A TOPOLOGIA DOS ESPAOS CARTESIANOS................................................................... 24 3.1. Espaos Vetoriais e Cartesianos ........................................................................................ 24 3.1.1. Espaos Vetoriais........................................................................................................ 24 Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 2 de 34 3.1.2. Podutos Internos e Normas ......................................................................................... 27 3.1.3. O Espao Cartesiano................................................................................................... 28 3.2. Conjuntos abertos e fechados............................................................................................. 29 3.3. Celas encaixantes e o Teorema de Bolzano-Weierstrass................................................... 31 3.4. Teorema de Heine-Borel.................................................................................................... 32 3.5. Conjuntos conexos............................................................................................................. 33 3.6. Exerccios........................................................................................................................... 34 Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 3 de 34 1- INTRODUO 1.1. George Cantor Revista Galileu janeiro de 2007 - Alm do infinito A batalha filsofica de Georg Cantor para ampliar a fronteira da matemtica Carmen Kawano Intuitivamentepodemosdizerqueinfinitoalgoquenotemfimoualgo que nunca ser atingido. O homem sempre buscou o entendimento sobre essa questo de alguma maneira. Os pensadores da Antiguidade anteriores a Pitgoras (sculo 5 a.C.) j eram atormentadosporessetema.Masfoisnofinaldosculo19,naAlemanha,comGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) que a idia de infinito foi realmente consolidada namatemtica.Suateoriaerarevolucionriae,porissomesmo,acabougerandoembatese animosidades entre os matemticos da poca. Filho de imigrantes dinamarqueses nascido na Rssia, Cantor se mudou para a Alemanha com a famlia ainda menino. L ele estudou teoria dos nmeros para depois se lanar aos estudos dosconjuntos(inclusivedosnmeros).Seuconhecimentoopermitiumergulharnaidiade infinitodeformaquepudesseserusadanamatemtica.NapocadeCantor,osmatemticos conservadores desprezavam os estudos sobre os nmeros irracionais -aqueles com infinitas casas decimaisquenoserepetem-,oconceitodeinfinitoetudooqueserelacionavaaeles.Em particular,LeopoldKronecker(1823-1891),quetinhasidoprofessordeCantor,lideravauma campanha contra esses estudos e contra seu prprio ex-aluno. O conflito acadmico tambm chegou esfera pessoal, e a entrada de Cantor em crculos demaisaltosnveisdamatemticafoibarrada.Elechegouataenfrentardificuldadespara publicar seus trabalhos em revistas conceituadas. Pessoalmente, Cantor acreditava que existiam vrios nveis de infinito. O mais alto deles, o Absoluto e inatingvel, era o prprio Deus. Seu carter mstico e sua mente conturbada devem t-lo levado a se debruar sobre tal tema to profundo, revolucionrio e ousado na matemtica. KroneckeraproveitavaoladoesotricodeCantorparaacusarsuasteoriasmatemticasde misticismo ficcional. Segundo o ex-mestre, cientistas no deveriam dar crdito ao seu ex-aluno, e seus trabalhos 'subversivos' deveriam ser rejeitados pelas revistas cientficas renomadas. Comoresultado,Cantorsempretrabalhousozinhoeforadocentrodacomunidade matemtica.Suasfrustraes e as perseguies, somadas ao trabalhoestafante e solitrio-eao carterexplosivoeirritadiodomatemtico-,acabaramporminarsuasademental.Elefoi internado vrias vezes para se recuperar das depresses, mas, entre uma crise e outra, prosseguia no trabalho. Osmatemticosjsabiamdocarterinfinitodealgunsconjuntos,comoodosnmeros inteiros,dosracionais(osquepodemserescritoscomofraodedoisnmerosinteiros),dos irracionaisedosreais(queenglobamosinteiros,osracionaiseosirracionais).Masningum aindatinhaparadoparapensarquealgunsconjuntospodemsermaisinfinitosqueosoutros. Estranho?Cantordemonstrouque,emborainfinitos,osnmerosracionaispodemser Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 4 de 34 enumerados - ou contados - , assim como os inteiros. Mas os irracionais so 'mais infinitos' que os racionais e no podem ser contados. Ento, a quantidade de infinitos racionais, valor chamado de 'alef zero', menor que a quantidade de infinitos irracionais, chamada de 'alef 1'. Em outras palavras, Cantornos disse que os nmeros racionais,assimcomo os inteiros, so,defato,infinitos,massocontveis.Josirracionaisseriaminfinitoseincontveis.Eo infinito dos nmeros racionais menor do que o infinito dos nmeros irracionais. Cantor conseguiu quantificar e dar uma hierarquia aos nveis de infinito. Por incrvel que parea, apesardeaidiasertotalmentecontranossaintuio,seutrabalhocolocouembasesslidasa anlisedeconjuntos,funeseoutroselementosquetmcartercontnuonamatemtica.A mesmasolidezfoidadascincias,quenosobrevivemhojesemosclculosusandonmeros reais. Squetudoissocustouaomatemticoperseguiesesuasademental.Elemorreude ataquecardaco,abatido,doentees,oquenofoimuitodiferentedosacontecimentosna GrciaAntiga.Aidiadeinfinitudeeadescobertadosnmerosirracionaisjtinhamcausado muitotumultoentreospitagricosqueveneravamosnmerosinteiros.Masissosat descobrirem os nmeros irracionais Deformasucintaeparanossospropsitos,distinguimos,nessetrabalho,trstiposde conjuntos quanto ao nmero de elementos.(1) finitos (2) enumerveis (3) no-enumerveis 1.2. Os Axiomas de Peano Axioma Origem: Wikipdia, a enciclopdia livre. O termo axioma originrio da palavra grega (axioma), que significa algo que considerado ajustadoouadequado, ou que tem um significado evidente.A palavra axioma vem de(axioein),quesignificaconsiderardigno.Esta,porsuavez,vemde(axios), significandodigno.Entreosfilsofosgregosantigos,umaxiomaeraumareivindicaoque poderia ser vista como verdadeira sem nenhuma necessidade de prova. Naepistemologia,umaxiomaumaverdadeauto-evidente,naqualoutrosconhecimentosse devemapoiareapartirdaqualoutroconhecimentoconstrudo.Contudo,nemtodosos epistemologistas concordam que os axiomas, entendidos neste sentido, existam. ApalavraaxiomacomousadanaMatemticamoderna,noumaproposioauto-evidente. Mais do que isso, simplesmente significa um ponto de partida num sistema lgico. Por exemplo, emalgunsanis,aoperaodemultiplicaocomutativa,eemalgunsno;taisanisnos quaisso ditos por satisfazeremo "axiomada comutatividade da multiplicao." Outro termo paraaxiomapostulado.Umaxiomaumabaseelementarnumsistemaformaldelgicaque, juntamente com as regras de inferncia, definem a lgica. Peano, em seu livro "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita" de 1889 estabelece noveaxiomasparaaaritmtica.Quatrodestessoverdadesacercadaigualdade,masosoutros cinco so os postulados especiais seguintes: Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 5 de 34 1. Existe um nmero natural 0;2. Todo nmero n tem um sucessor n' no conjunto dos nmeros naturais ( )3. No existe nenhum nmero natural que tenha como sucessor o nmero 0;4. Se nm ento n'm' ;5.Se0temumapropriedadeeestapropriedadetambmpossuidapelosucessordetodosos nmerosnaturaisqueapossuem,entoelapossudaportodososnmerosnaturais(Este axioma permite a tcnica de demonstrao conhecida com induo matemtica).Note que o que foi chamado de "0" por Peano no necessariamente o que normalmente consideramos o nmero zero. De fato, um modelo para os axiomas de Peano o que conhecemos por conjunto dos nmeros naturais ( {0,1,2,3,4,5,...} ) com a operao de sucesso definida como n' = n + 1, mas a definio acima genrica e pode ser aplicada a outros conjuntos (por exemplo, o conjunto das potncias de 10 {1, 10, 100, ...} com "0" = 1 e o sucessor n' = 10 n) 1.3. Dedekind Em1872,omatemticoalemoRichardDedekindpublicouumaobraintitulada Continuidade e Nmeros Irracionais, dedicado ao estudo do problema: Todo o ponto da recta produz nela um corte. E sempre que se considere um corte na recta repartio em duas classes (A) e (B) que satisfaam as condies: 1 - nenhum ponto escapa repartio 2-todoopontodaclasse(A)estesquerdadetodoopontodaclasse(B)-haver sempre um ponto P que produza o corte, isto que separe as duas classes? Nessa obra, o conceito de continuidade tratado, pela primeira vez, de forma rigorosa"... ns atribumos rectaa qualidade deser completa, sem lacunas, ou seja, contnua. Masestacontinuidade,emqueconsiste?Arespostaaestaperguntadevecompreenderemsi tudo,esomenteelapermitirdesenvolverembasescientficasoestudodetodososcampos contnuos.Naturalmente,noseconseguenadaquando,paraexplicaracontinuidade,sefala, dum modo vago, de uma conexo ininterrupta nas suas partes mais pequenas; o que se procura formular uma propriedade caracterstica e precisa de continuidade que possa servir de base a dedues verdadeiras e prprias. Penseinissosemresultadopormuitotempomas,finalmenteacheioqueprocurava.Omeu resultadosertalvezjulgado,porvriaspessoas,devriosmodosmasamaiorparte,creio, ser concorde em consider-la bastante banal. Consiste ele na considerao seguinte: Verificou-se que todo o ponto da recta determina uma decomposio da mesma em duas partes, de tal natureza que todo o ponto de uma delas est esquerda de todo o ponto da outra. Ora, eu vejoaessnciadacontinuidadenainversodestapropriedadee,portanto,noprincpio seguinte: se uma repartio de todos os pontos da recta em duas classes de tal natureza que todo o ponto de uma das classes est esquerda de todo o ponto da outra, ento existe um e um spontopeloqualproduzidaestarepartiodetodosospontosemduasclasses,ouesta decomposio da recta em duas partes.Universidade Estcio de S Curso de Matemtica Introduo a Anlise MatemticaProf. Denise Candal Parte 1 Numeros Reais e Topologia da reta Pgina 6 de 34 Comojdisse,creionoerraradmitindoquetodaagentereconhecerimediatamentea exactido do princpio enunciado. A maior parte dos meus leitores ter uma grande desiluso ao aprenderqueestabanalidadequedeverevelaromistriodacontinuidade.Aestepropsito observooquesegue.Quecadaumacheoprincpioenunciadotoevidenteetoconcordante com a sua prpria representao da recta, isso satisfaz-me ao mximo grau, porque nem a mim nemaningumpossveldardesteprincpioumademonstraoqualquer.Apropriedadeda recta expressa por este princpio no mais que um axioma, e sob a forma deste axioma que ns pensamos a continuidade da recta, que reconhecemos recta a sua continuidade Assim,Dedekindcaracterizaacontinuidadedaretaporestaafirmaoquedesignada por axioma ou postulado da continuidade de Dedekind todo o corte da reta produzido por um eumspontodela,istoqualquerquesejaocorte(A,B)existesempreumpontodaretaque separa as duas classes (A) e (B). QuasenamesmaalturaomatemticoalemoG.Cantorformulouacaracterizaoda continuidadedeumamaneirasemelhante,porissoaesteenunciadosechama,commaior propriedade, axioma da continuidade Dedekind-Cantor. 1.4. Os Nmeros Naturais Considere o conjunto dos nmeros natu...</p>