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ANÁLISE MATEMÁTICA I(com Laboratórios)

Curso: EB

Lógica - Resumo

Ana Matos

DMAT

Noções básicas de Lógica

Consideremos uma linguagem, com certos símbolos.

Chamamos expressão a qualquer sequência de símbolos.

Uma expressão pode ser

uma expressão com significado

↗

↘

expressão sem significado

designar um objecto

Uma expressão com significado pode ↗

↘

traduzir uma afirmação

Termo ou designação é uma expressão com significado quedesigna um objecto.

Exemplo:

1. Em português, “Ana” e “gato” são termos ou designações;“Setúbal é uma cidade” é uma afirmação.

2. Na linguagem dos reais, “0” e “3 × 2 − 5” são termos oudesignações; “3 ≥ 5 + 2” é uma afirmação.

Nota: As aspas permitem distinguir a designação do ente

designado; quando não há risco de confusão, dispensamos o seu

Ana Isabel Matos - AMI (versão de 6 de Outubro 2010) Resumo de Lógica - 2

uso.

Na Lógica consideramos apenas afirmações sobre as quais sepossa decidir se são verdadeiras ou falsas - a que chamamosproposições.

O valor lógico de uma proposição é

↙↘

verdade falso

se a proposição for verdadeira se a proposição for falsa

↓ ↓

denota-se por V ou 1 denota-se por F ou 0

Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V ou F.

Duas proposições dizem-se equivalentes quando têm o mesmovalor lógico.


Cálculo Proposicional

Muitas afirmações que fazemos são obtidas a partir de outrasafirmações por meio de certas operações, como é o caso de:

1. 3 não é um número par;

2. 10 é múltiplo de 3 e π é um número irracional;

3. lne = 1 ou 2! = 2;

4. se eu sou um ser humano, então sou mortal;

5. vou à praia se e só se estiver bom tempo.

De igual modo, as operações lógicas permitem obter novasproposições a partir de outras, de modo que, se soubermos o

valor lógico das proposições de que foi obtida, sabemos o valor

lógico da nova proposição (independentemente do seu

significado).

Estas operações lógicas são:

negação, conjunção, disjunção, implicação e equivalência,

associadas aos símbolos ∼, ∧, ∨, ⇒, ⇔

chamados conectivos lógicos.

No Cálculo Proposicional faz-se o estudo destas operações erespectivas propriedades.

A tabela de verdade de uma operação lógica (ou de umaproposição) dá-nos o valor de verdade da nova proposição emfunção do valor de verdade das proposições de que foi obtida.


Sejam p e q proposições:

• a negação de p representa-se por ∼ p e lê-se “não p”.

∼ p é verdadeira se e só se p é falsa

A sua tabela de verdade é p ∼ p

V F

F V

• a conjunção de p e q representa-se por p ∧ q e lê-se “p e q”.

p ∧ q é verdadeira caso p e q sejam ambas verdadeiras

e é falsa se pelo menos uma delas for falsa.

A sua tabela de verdade é p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F


• a disjunção de p e q representa-se por p ∨ q e lê-se “p ou q”.

p ∨ q é verdadeira se pelo menos uma das proposições

iniciais for verdadeira e é falsa se ambas forem falsas.

A sua tabela de verdade é p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

• a implicação de p por q representa-se por p ⇒ q e lê-se

“p implica q” ou “se p então q”.

- p é o antecedente e q é o consequente

- p é uma condição suficiente para q

- q é uma condição necessária para p.

O único caso em que a implicação é falsa é quando

o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.

A sua tabela de verdade é p q p ⇒ q

V V V

V F F

F V V

F F V


Nota: O sentido aqui dado ao termo “implicação” não traduznecessariamente uma relação de causa-efeito entre as afirmações.Estabelece apenas uma relação entre os valores lógicos das duasproposições originais e o valor lógico da nova proposição.

Por exemplo, a proposição “2 é par”⇒“a Terra é um planeta” éuma proposição verdadeira, visto que ambas as afirmações sãoverdadeiras. No entanto, não há qualquer relação de causa-efeitoentre as duas afirmações.

Saliente-se ainda que, se o antecedente da implicação for falso,

a implicação é verdadeira, qualquer que seja o consequente.

• a equivalência entre p e q representa-se por p ⇔ q e lê-se“p equivale a q” ou “p se e só se q”.

p ⇔ q é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor lógico

e é falsa caso contrário.

A sua tabela de verdade é p q p ⇔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Nota: Tal como no caso da implicação, a equivalência entre duasproposições não traduz necessariamente uma relação entre oconteúdo dessas proposições, mas apenas uma relação entre osseus valores lógicos.

Usam-se parêntesis para indicar a ordem pela qual se realizam as


operações lógicas, sobrepondo-se à seguinte convenção deprioridade das operações:

• primeiro a negação;

• depois a conjunção e disjunção;

• por último a implicação e a equivalência.

Por exemplo, a proposição ∼ p ∧ q ⇔ ∼ p ∨ ∼ q podeescrever-se simplesmente ∼ p ∧ q ⇔∼ p ∨∼ q.

No entanto, certos parêntesis, embora dispensáveis, devem sermantidos pois tornam a leitura mais clara.

Nota: Podem ser definidas outras operações lógicas.

Por exemplo, a disjunção exclusiva, cuja tabela de verdade é

p q p ∨̇ q

V V F

V F V

F V V

F F F

O símbolo ∨̇ lê-se “ou exclusivo”


Algumas propriedades das operações lógicas

Certas proposições, pelo modo como foram obtidas a partir deoutras proposições por meio das operações lógicas, são

verdadeiras, qualquer que seja o valor lógico das proposições

que a originam.

Uma proposição nestas condições diz-se uma tautologia.

As propriedades das operações lógicas podem ser expressas pormeio de tautologias.

Por exemplo, pode-se provar que

∼ ∼ p é equivalente a p

verificando que as proposições p e ∼ ∼ p têm sempre o mesmovalor de verdade, o que é o mesmo que verificar que

∼ ∼ p ⇔ p

é uma tautologia (ou seja, que o seu valor lógico é sempre V).

Vejamos a tabela de verdade:

p ∼ p ∼ ∼ p ∼ ∼ p ⇔ p

V F V V

F V F V

Propriedades da conjunção e da disjunção

A conjunção e a disjunção

• são comutativas;

• são associativas;

• têm elemento neutro;

• têm elemento absorvente.


⋆ A conjunção é distributiva relativamente à disjunção, isto é

p ∧ q ∨ r é equivalente a p ∧ q ∨ p ∧ r.

⋆ A disjunção é distributiva relativamente à conjunção, isto é

p ∨ q ∧ r é equivalente a p ∨ q ∧ p ∨ r.

Tal como no caso anterior, a demonstração destas propriedades éfeita recorrendo às tabelas de verdade.

Por exemplo,

p ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ r

exprime a propriedade associativa da conjunção.

Vejamos que é verdadeira.

Na tabela de verdade

p q r p ∧ q p ∧ q ∧ r q ∧ r p ∧ q ∧ r

V V V V V V V

V V F V F F F

V F V F F F F

V F F F F F F

F V V F F V F

F V F F F F F

F F V F F F F

F F F F F F F

as colunas correspondentes a p ∧ q ∧ r e a p ∧ q ∧ r sãoiguais, o que garante que a proposição p ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ ré sempre verdadeira (ou seja, é uma tautologia).


Em vez desta justificação final, podemos simplesmenteacrescentar à tabela anterior a coluna correspondente ap ∧ q ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ r e comprovar que o seu valor lógico ésempre V.

Primeiras Leis de De Morgan

São tautologias:

• ∼ p ∧ q ⇔ ∼ p ∨∼ q;

• ∼ p ∨ q ⇔ ∼ p ∧∼ q.

Propriedades da implicação

São tautologias:

• p ⇒ q ⇔∼ p ∨ q;

• ∼ p ⇒ q ⇔ p ∧∼ q;

• p ⇒ q ⇔ ∼ q ⇒∼ p

(uma implicação e sua contra-recíproca são equivalentes).

Todas estas propriedades podem ser demonstradas por meio detabelas de verdade.


Expressões com variáveis

Para estudar uma certa teoria:

• definimos uma linguagem adequada (que inclua, porexemplo, símbolos para as operações fundamentais);

• num certo conjunto - a que chamamos Universo -interpretamos devidamente os símbolos da linguagem.

Consideramos ainda variáveis, que são símbolos (ou grupos desímbolos) que podem ser substituídos por elementos do universo.

Por exemplo, no universo dos reais, temos a expressão x , emque x varia num certo subconjunto de ℝ (neste caso os reais nãonegativos).

Da substituição de x por qualquer real não negativo, resulta umadesignação (substituindo x por 2, obtemos 2 .

Considerando a expressão x ≥ 4 e substituíndo x por um valordo domínio de x obtemos uma proposição.

(Por exemplo, para o valor 5 obtemos 5 ≥ 4, que é umaproposição falsa; para o valor 16 obtemos 16 ≥ 4, que é umaproposição verdadeira.)

O domínio de uma expressão é constituído pelos valores, douniverso, pelos quais faz sentido substituir as suas variáveis.

Chama-se expressão proposicional, condição ou propriedadea qualquer expressão com variáveis que se transforma emproposição (verdadeira ou falsa) sempre que se atribuem valores(dos respectivos domínios) às variáveis que nela ocorrem.

O conjunto solução de uma condição é constituído pelosvalores que a transformam numa proposição verdadeira.


Exemplo:

No Universo dos reais, consideremos a condição

1x2−1

= 4.

O seu domínio é x ∈ ℝ : x2 − 1 ≠ 0 = ℝ\−1,1;

o seu conjunto solução é −52

, 52

.

Cálculo com quantificadores

As operações lógicas associadas a ∼, ∧, ∨, ⇒ e ⇔ permitemobter novas condições a partir de condições mais simples.

Trabalhando agora com variáveis, podemos definir

três novas operações

quantificação universal

↗

→ quantificação existencial

↘

quantificação de existência

e unicidade

por meio das quais obtemos, a partir de uma condição, novascondições:

• a quantificação universal tem o significado de “para todo”ou “qualquer que seja”;

• a quantificação existencial tem o significado de “existe”;

• a quantificação de existência e unicidade tem o significadode “existe um e um só”.


Num certo Universo, uma expressão proposicional diz-se:

• universal, se ao substituirmos as suas variáveis porquaisquer valores dos respectivos domínios obtemos sempreproposições verdadeiras;

• impossível, se obtemos sempre proposições falsas.

Seja px uma condição na variável x.

Quantificador universal → ∀

• ∀x, px é uma proposição, que se lê “qualquer que seja x,px”.

Num certo universo,

∀x,px é verdadeira sse a condição px é universal.

Quantificador existencial → ∃

• ∃x, px é uma proposição, que se lê “existe pelo menos um x

tal que px”.

Num certo universo,

∃x,px é verdadeira sse a condição px tem alguma solução.

Quantificador de existência e unicidade → ∃1

• ∃1x, px é uma proposição, que se lê “existe um e um só x

tal que px”.

Num certo universo,

∃1x,px é verdadeira sse

a condição px tem uma única solução.


Notação: ∀x ∈ D, px, ∃x ∈ D, px e ∃1x ∈ D, pxindicam que a variável x varia em D (subconjunto do universo).

Convenção: O quantificador abrange a mais pequena expressãoproposicional que o segue.

Quantificação múltipla

• A troca de ordem de dois quantificadores consecutivosdo mesmo tipo origina uma condição (ou proposição)

equivalente.

• Pelo contrário, a troca de ordem de quantificadoresque não são do mesmo tipo, origina condições (ou

proposições) que, em geral, não são equivalentes às iniciais.

Exemplo: Em ℤ, universo dos inteiros, a proposição

∀b∃a , a + b = 0

é verdadeira (traduz a propriedade de qualquer inteiro tersimétrico em ℤ).

A proposição

∃a∀b , a + b = 0

é falsa (corresponde a afirmar que existe um inteiro que ésimétrico de todos os inteiros, o que não é verdade).

Segundas leis de De Morgan

Sendo p uma condição tem-se:

• ∼ ∀x,p ⇔ ∃x,∼ p;

• ∼ ∃x,p ⇔ ∀x,∼ p.


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