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Anlise Matemtica C

Diego Marcon

28 de Junho de 2018

Os conceitos de funo escalar e de campo vetorial so dos mais fundamentais de matem-tica. Esto presentes nas formulaes de leis da fsica, aplicaes engenharia e aparecem emqualquer campo da matemtica.

O objetivo destas notas de aula da disciplina de Anlise Matemtica C da UFRGS estudarpropriedades de diferenciao e integrao de funes de uma ou mais variveis e com valoresem espaos que tambm podem ter uma componente ou mais. As principais referncias so[3, 11, 14, 15].

1 Derivada primeiraVamos considerar os espaos vetoriais Rn e Rm. Naturalmente, m,n {1, 2, 3, . . . , }. Seja U Rnum conjunto aberto. Dada uma aplicao f : U Rn Rm, dizemos que f diferencivel em x0 Rn quando existe uma transformao linear1 que aproxima f perto de x0. Mais precisamente, f diferencivel em x0 Rn quando existe uma transformao linear T : Rn Rm tal que

f(x) = f(x0) + T (x x0) + r(x x0), onde limxx0

r(x x0)|x x0|

= 0.

Nesse caso, denotamos T = f (x0) ou T = Df(x0) e dizemos que T a derivada de f em x02.Ns tambm dizemos que f diferencivel no conjunto aberto U , ou simplesmente diferen-

civel em U , quando diferencivel em todos os pontos de U .Podemos reescrever a definio acima de vrias maneiras equivalentes:

(i) f diferencivel em x0 Rn.

(ii) existe uma transformao linear f (x0) : Rn Rm que satisfaz

f(x) = f(x0) + f(x0) (x x0) + r(x x0), onde lim

xx0

r(x x0)|x x0|

= 0.

(iii) existe uma transformao linear f (x0) : Rn Rm que satisfaz

f(x0 + h) = f(x0) + f(x0) h+ r(h), onde lim

h0

r(h)|h|

= 0.

(iv) existe uma transformao linear f (x0) : Rn Rm tal que

limh0

f(x0 + h) f(x0) + f (x0) h|h|

= 0.

1Na verdade, o que aproxima f(x) a transformao afim f(x0) + T (x x0). No entanto, a derivada de f definidacomo a transformao linear T .

2Rigorosamente, deveramos mostrar que, no caso de f ser diferencivel, a transformao T que, pela definio, existe,deve ser necessariamente nica.

1

Podemos tambm definir a derivada direcional de f : U Rn Rm, na direo de um vetorv Rn como

f

v(x) := lim

t0

f(x+ tv) f(x)t

Rm,

quando tal limite existe. um exerccio verificar que, pela definio de f (x), tem-se

f

v(x) = f (x) v.

No caso dos vetores v = ej da base cannica de Rn, so bastante comum as notaes

f

xj(x) =

f

ej(x) = jf(x).

Tambm no difcil verificar que, em componentes,

f

xj(x) =

f1xj

(x)

f2xj

(x)

...

fmxj

(x)

Rm.

Lembra de lgebra Linear que a matriz cannica de uma transformao linear quela asso-ciada com as bases cannicas de Rn e Rm. Em outras palavras, a matriz de ordem m n cujascolunas so os vetores f (x) ei Rm:

[f (x)

]=

| | || | |

f (x) e1 f (x) e2 f (x) en| | || | |

=

f1x1

(x)f1x2

(x) f1xn

(x)

f2x1

(x)f2x2

(x) f2xn

(x)

......

. . ....

fmx1

(x)fmx2

(x) fmxn

(x)

=

[fixj

(x)

].

Esta matriz , em alguns livros, conhecida como o Jacobiano de f em x e denotada por Jf(x).Alguns autores reservam o nome Jacobiano no para a matriz, mas para o determinante da matrizacima: Jf(x) = det

[f (x)

].

Se f diferencivel em U , est bem definida a aplicao

f : U L(Rn,Rm)x 7 f (x)

onde L(Rn,Rm) o espao vetorial das transformaes lineares de Rn em Rm. Utilizando as ma-trizes cannicas associadas s transformaes lineares, obtemos um isomorfismo (no cannico)L(Rn,Rm) ' Rmn e podemos falar em continuidade e diferenciabilidade de f da mesma formaque vnhamos fazendo.

Quando f diferencivel em U e f contnua, dizemos que f continuamente diferencivelem U ou que f de classe C1 em U . Escrevemos tambm f C1(U,Rm) ou, quando no houverconfuso sobre o domnio ou contra-domnio, apenas f C1.

2

Teorema 1. So equivalentes:(i) f C1(U,Rm);

(ii) as funes coordenadas fi : U R possuem todas as derivadas parciaisfixj

contnuas;

(iii) para todo x U e todo v Rn, as derivadas direcionais fv

: U Rm existem e so contnuas.

Exerccio 1. Provar o Teorema 1. De qualquer maneira, a demonstrao pode ser encontrada emvrias referncias, como por exemplo, [10, 11, 14, 15].

1.1 Funes reais de uma varivel realEste o caso mais conhecido n = m = 1, da anlise na reta, em que estudamos uma funo dotipo f : R R. Quando f diferencivel em a, nossa definio diz que existe a transformaolinear f (a) : R R, satisfazendo

f(a+ h) = f(a) + f (a) h+ r(h), onde limh0

r(h)|h|

= 0.

Assim, ns podemos confundir a transformao linear f (a) com o nmero associado peloexerccio abaixo, ou (o que a mesma coisa) com a matriz cannica de ordem 1 1 cujo nicoelemento a derivada parcial: [

f (a)]

=

[df

dx(a)

].

Exerccio 2. Mostre que se T L(R;R), ento existe A R tal que T (x) = Ax. Isto , as transfor-maes lineares em R coincidem com as funes lineares usuais.

Sendo R um corpo, possvel dividir por elements de R, isto , dado h R, existe o inversomultiplicativo h1 R. Neste caso, podemos escrever, como de costume,

f (a) = limh0

(f(a+ h) f(a)

h r(h)

h

)= limh0

f(a+ h) f(a)h

.

Em Clculo I, se estuda a derivada o coeficiente da reta tangente ao grfico da funo. justa-mente isto que nossa definio, com as devidas identificaes, diz quando se escreve

f(x) ' f(a) + f (a)(x a) quando x ' a.

1.2 Funes vetoriais de uma varivel real curvas em Rm

Quando n = 1 e e.g. U = [0, 1] o grfico da funo : [0, 1] Rm representa uma curva em Rm.

3

comum dizer que C = ([0, 1]

) a curva que uma parametrizao da curva C. Ou ainda

que uma curva parametrizada. Isto porque , conforme t cresce de 0 para 1, percorre acurva C em um sentido (ou orientao) fixado(a) e com certa velocidade, possuindo portanto maisinformaes. Para os nossos propsitos, vamos frequentemente confundir a terminologia e, porum abuso de linguagem, chamar de curva.

Em coordenadas (geralmente, na base cannica de Rm), podemos escrever

(t) =

1(t)2(t)

...m(t)

.No caso de ser diferencivel, segundo a nossa definio, a derivada de em um ponto t atransformao linear (t) : R Rm, cuja matriz cannica associada de ordem m 1:

[(t)

]=

1(t)2(t)

...m(t)

. (1)Acima escrevemos, naturalmente, as derivadas parciais como

i(t) :=didt

(t).

Sendo h um nmero real (e no um vetor), possvel reescrever (1) como[(t)

]= limh0

(t+ h) (t)h

.

Identificando a transformao linear (t) com a sua matriz cannica associada, podemos escre-ver, como de costume,

(t) = limh0

(t+ h) (t)h

Rm. (2)

Geometricamente, (t) o vetor tangente a curva no ponto (t). Faa um desenho dos quoci-entes em (2) para visualizar esta afirmao. Observe que, assim como no caso de uma funo deuma varivel com valores reais, a derivada de uma curva parametrizada pode ser vista como umobjeto do mesmo tipo. A identificao que comentamos acima pode ser usada para considerar

: [0, 1] L([0, 1],Rm) ! : [0, 1] Rm

como equivalentes.

Exerccio 3. Observe que existe uma identificao L(R,Rm) ' Rm que um isomorfismo cannico,isto , que independe de escolha de bases para os espaos envolvidos: mostre que

: Rm L(R,Rm)x 7 (x)(t) := tx

um isomorfismo de espaos vetoriais.

Exerccio 4. Para : R Rm e : R Rm curvas diferenciveis, mostre que

d

dt

(t), (t)

=(t), (t)

+(t), (t)

t R.

Em particular, prove que se tem velocidade constante, isto , |(t)| C para todo t, ento

(t) (t) t R.

4

1.3 Funes escalares de vrias variveisEste o caso m = 1, de modo que nossos objetos de estudo so as funes da forma f : Rn R.Supondo f diferencivel, a derivada de f em a Rn a transformao linear f (a) : Rn R.Observe que, neste caso particular, a derivada f (a) um funcional linear, ou seja, um elementodo espao dual (Rn).

Em coordenadas cannicas, a matriz associada com f (a) de ordem 1 n e dada por

[f (a)

]=

[f

x1

f

x2 f

xn

].

Desta forma, as derivadas direcionais so dadas pela frmula

f

v(a) = f (a) v =

[f (a)

] [v]

=

[f

x1(a)

f

x2(a) f

xn(a)

]v1v2...vn

=ni=1

f

xi(a) vi. (3)

Observao 2 (Relao com o vetor gradiente). Lembramos que, pelo Teorema da Represen-tao de Riesz (ver, por exemplo, [2, Seo 8.5]), ao equiparmos Rn com um produto interno (, ),existe um nico vetor (que denotamos por) f(a) Rn tal que

f (a) v =(v,f(a)

) v Rn.

A observao fundamental que o vetor f(a) depende do produto interno escolhido. Ns cha-mamos este vetor obtido pelo Teorema da Representao de Riesz de o vetor gradiente de f ema. No entanto, nas nossas notas, quando nos referirmos ao vetor gradiente, vamos implicitamenteassumir que equipamos Rn com o produto escalar usual:

x, y =ni=1

xiyi,

onde xi e yi so, respectivamente, as coordenadas de x e y na base cannica de Rn. Como podeser visto por (3), o vetor f(a) em coordenadas cannicas dado por

f(a) =

f

x1(a)

f

x2(a)

...

f

xn(a).

e podemos reescrever (3) como

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