análise estatistica na germinação

ANÁLISE ESTATÍSTICA NA GERMINAÇÃO1

DENISE GARCIA DE SANTANA2 AND MARLI A. RANAL2

Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia - MG.

RESUMO - Este texto representa um resumo do que foi tratado no mini-curso sobre o tema, ministradono 51° Congresso Nacional de Botânica. O referido curso foi ministrado para atender dois objetivos.Primeiro, para fornecer ao iniciante em pesquisa informações da estatística básica que permitem a escolhade valores representativos das amostras estudadas e de testes estatísticos mais adequados para analisá-los.Por meio de exemplos específicos da área de germinação, foi sugerida uma seqüência para a análiseestatística dos dados obtidos em laboratório ou campo. O segundo objetivo foi discutir o significadoestatístico e fisiológico de algumas medidas como tempo médio e velocidade média de germinação,índice de velocidade de emergência, índice de Timson, coeficiente de uniformidade de germinação eíndice de sincronização, além de suas limitações.

TERMOS ADICIONAIS PARA INDEXAÇÃO: Tempo médio de germinação, velocidade média degerminação, índice de velocidade de emergência, índice de Timson, coeficiente de uniformidade degerminação, índice de sincronização.

STATISTICAL ANALYSIS IN GERMINATION

ABSTRACT - The content of this text was presented and discussed during the 51o Congresso Nacionalde Botânica with two objectives. First, to provide information for new students about basic statistic thatpermit the choice of representative values of the studied samples and suitable statistical tests to analysethem. By means of specific examples about germination, a sequence to analyse statistically the obtaineddata in laboratory or in field conditions was suggested. The second objective was to discuss the statisticaland physiological meaning of some measurements like average germination time, average germinationrate, emergence velocity index, Timson's index, coefficient of the uniformity of germination,synchronization index, and their limitations.

ADDITIONAL INDEX TERMS: Average germination time, average germination rate, emergencevelocity index, Timson's index, coefficient of the uniformity of germination, synchronization index.

1. Mini-curso ministrado durante o 51o Congresso Nacional de Botânica, Brasília - DF, de 24 a 28/07/2000.

2. Universidade Federal de Uberlândia, Caixa Postal 593, 38.400-902, Uberlândia - MG.

206 Santana e Ranal

R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000

Este curso terá por finalidade apresentarmedidas estatísticas conhecidas e amplamenteutilizadas na análise da germinação, com oobjetivo de dar ao estudante subsídios paraescolher melhor os valores que representarão asamostras por ele estudadas e os testes estatísticosmais adequados para analisá-los. Em função dalimitação de tempo, não se pretende ensinar comocalcular os números e como montar os testes, masapenas discutir seu significado e as condições parasua aplicação. Para os iniciantes, é necessário queos exemplos envolvendo testes estatísticossejamsejam acompanhados da leitura de textosespecíficos, encontrados em bons livros deestatística.

Quando se começa a estudar germinação,a grande dificuldade é a interpretação do númeroobtido que, infelizmente acaba sendo dificultadapela diversidade de expressões matemáticas esimbologias que vêm sendo adotadas ao longodesses anos. É muito comum encontrar duasexpressões matemáticas diferentes, com nomesdiferentes, que geram números iguais do ponto devista matemático e fisiológico. Por outro lado,também é muito comum encontrar nomes iguaispara expressões completamente diferentes, quegeram informações diversas.

Antes de falar das medidas e da melhorforma de analisá-las, é interessante apresentaralguns conceitos de termos que, apesar de seremamplamente utilizados, podem gerar confusão. Pordefinição, população é o conjunto de elementosque têm em comum determinada característica(Vieira, 1986), ou seja, é o conjunto de elementosmantido sob as mesmas condições, sejam elasnaturais ou artificiais. Toda porção retiradaaleatoriamente da população é, por definição, umaamostra dessa população. O termo tratamento éutilizado para designar o método, elemento oumaterial, cujo efeito se deseja medir ou comparar(Banzatto & Kronka, 1992). Quando o método éaplicado às porções da população, estas são

denominadas repetições (r) e correspondem aonúmero de vezes que a população é reproduzida. Oconjunto de sementes de uma única árvore pode serconsiderada uma população já que, em termosgenéticos, ela é única e o pesquisador pode terinteresse específico em avaliar determinadasqualidades desse indivíduo, comparando-as comoutros. A população também pode ser o conjuntode sementes que germina numa temperaturaespecífica.

Quando um experimento é instalado emlaboratório, casa de vegetação ou campo,organizado de maneira específica, de acordo comos delineamentos conhecidos, fala-se em númerode tratamentos (t). Quando o pesquisador vai acampo e coleta dados de plantas crescendo sob asmesmas condições, ele retira amostras e, portanto,fala-se em número de amostras (a). Portanto,número de tratamentos e número de amostras,nesse sentido, são equivalentes e representam asdiferentes populações analisadas. O tamanho daamostra (n) ou o número de repetições (r)correspondem ao número de vezes que a populaçãoé reproduzida. Por exemplo, um experimentoinstalado em laboratório com cinco tratamentos esete repetições tem as seguintes características:t=5, r=7, onde cada tratamento representa umaamostra de uma população que está sendoanalisada. Duas populações (sentido biológico) damesma espécie, ocorrentes em mata e em cerrado,podem ser analisadas quanto à produção desementes. Se a espécie for arbórea, o pesquisadorpoderá coletar uma porção de sementes de cadaindivíduo, estabelecendo a posição dos ramos dosquais as sementes serão coletadas. Supondo-se quea população ocorrente na mata tenha 10 indivíduoscrescendo próximos e a de cerrado 15 e opesquisador tenha interesse em avaliar a produçãode sementes nos dois ambientes. Pode-se entãocalcular o número médio de sementes produzidopelos indivíduos da mata e o número médioproduzido no cerrado, para então se efetuar testes

Análise Estatística na Germinação. 207


de comparações entre as médias obtidas. Nestecaso, o pesquisador está trabalhando com duasamostras (a=2) oriundas de duas populações, sendocada população representada por todos osindivíduos daquela espécie, ocorrentes em cadaambiente, e tem n=10 para mata e n=15 paracerrado, números estes que equivalem à quantidadede vezes que cada população está sendoreproduzida. O pesquisador pode ainda manifestarinteresse em avaliar a qualidade de cada indivíduoocorrente em mata, como matriz produtora desementes. Neste caso, deve coletar vários gruposde sementes de cada indivíduo, por exemplo 20,para então calcular o número médio de sementesproduzido por planta e efetuar um teste decomparação entre essas médias. Diz-se então que opesquisador está com a=10 porque são 10indivíduos de mata que estão sendo avaliados ecada um representa uma amostra da população queé constituída por todos os indivíduos da mesmaespécie que ocorrem na mata. O pesquisador temainda n=20 porque estão sendo retiradas 20porções de sementes de cada indivíduo.

Apesar da literatura corrente apresentaruma distinção entre os conceitos de tratamento (t) eamostra (a), número de repetições (r) e tamanho daamostra (n) com o intuito de diferenciarplanejamentos experimentais (inteiramentecasualizado, blocos casualizados e outros) deprocessos de amostragem (estratificação,conglomerado e outros), os diferentes testes paracomparações entre médias e proporções, osintervalos de confiança, os testes paracomparações múltiplas ou mesmo os testes denormalidade e homogeneidade, não sãoespecíficos para cada tipo de pesquisa(experimental ou por amostragem), o quepermite associar t e a, n e r. Diante disso, estecurso objetiva apresentar aos estudiosos da áreade germinação algumas possibilidades deutilização de testes estatísticos, pressupondo-seque os princípios de casualização específicos dos

delineamentos experimentais e dos métodos deamostragem, tenham sido cumpridos.

Após a coleta de dados, a primeiraatitude do pesquisador é calcular uma medida detendência central ou de posição que sejarepresentativa da amostra estudada e que sintetizea informação contida nos dados coletados. Assim,pretende-se substituir um conjunto de observações,por apenas uma que seja indicadora da tendênciacentral dos dados. A média aritmética ( x ) é asoma de todos os valores da amostra, dividida peloseu tamanho. É a medida de posição mais utilizada,em função do cálculo simplificado e dainterpretação facilitada. Contudo, o valor da médiapor si, só será representativo se houver umaconcentração dos dados em torno do seu valor.Assim, quando a amostra tiver dados discrepantes,o valor médio poderá subestimar ou superestimar ovalor do parâmetro medido. Para descrever aamostra, é fundamental então que a média estejaacompanhada de uma medida de dispersão queindicará o grau de variabilidade existente naamostra analisada. Essas duas medidas associadasenriquecem a interpretação da média (aritmética,harmônica e ponderada) que é a única medida deposição influenciada por todos os elementos daamostra, ou seja, por aqueles que giram ao seuredor e por aqueles que estão muito acima oumuito abaixo do seu valor.

A mediana (Md) é uma medida detendência central que deixa 50% dos valoresobservados abaixo dela e 50% acima. Se otamanho da amostra (n) a ser analisada apresentarum número ímpar de dados, o valor da medianaserá o valor central dos dados ordenados (ordemcrescente ou decrescente). Caso n seja par, amediana será a média entre os elementos centraisdos dados ordenados. Esta é uma medidaimportante quando a amostra trabalhada apresentadados discrepantes. Neste caso, a mediana usadaisoladamente é melhor alternativa do que a médiaaritmética que acaba por subestimar ou

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superestimar o valor do parâmetro medido,conforme já mencionado.

A moda (Mo) é definida como o valormais freqüente, sendo pouco empregada, uma vezque o valor mais freqüente pode não representar oconjunto de dados. Basta lembrar que há amostrascom duas modas e amostras sem valor modal. Poroutro lado, se o pesquisador tiver interesse emmostrar o valor mais freqüente, esta é a medida deposição mais adequada para este fim.

Do ponto de vista prático, a escolha deuma medida de dispersão depende da finalidade damedida e, do ponto de vista teórico, do que elarepresenta. Discutir dispersão é discutirvariabilidade específica, ou seja, a variaçãoexistente no conjunto de valores da amostra, quesurge em função das variações não controladaspelo pesquisador, sejam elas em decorrência deflutuações mínimas de temperatura, umidade, oumesmo das características genéticas do material emestudo, dentre outras.

Dentre as várias medidas de dispersão,encontra-se a amplitude (R), definida como adiferença entre o maior e o menor valor observadona amostra. É uma medida de dispersão muitolimitada, pois leva em consideração apenas osvalores extremos, não sendo afetada pela dispersãodos demais valores da amostra.

Uma outra medida de dispersão, boa paraqualquer amostra de tamanho n, exceto quandon=1 observação, é a variância ( 2s ). Quando háuma única observação, a média pode ser calculada,mas não há como calcular a dispersão. Destaforma, pode-se ter a variância somente quando nexcede 1, onde (n-1) elementos de informações sãoconsiderados para o cálculo da medida. Esses n-1elementos são os chamados graus de liberdade deuma soma, pois se o valor de todas as parcelas éconhecido, exceto o de uma, a parceladesconhecida é determinada automaticamente peladiferença entre o total e a soma das n-1 parcelasfornecidas. Esta é uma medida teoricamente muito

utilizada, uma vez que cálculos algébricos sãofacilitados, mas do ponto de vista prático, é dedifícil interpretação por apresentar como unidade amesma dos dados, elevada ao quadrado. Assim,usa-se o desvio padrão (s), calculado como a raizquadrada da variância, expresso agora na mesmaunidade dos dados. Isso facilita a interpretação dosresultados obtidos, principalmente quando o valornumérico da medida de dispersão é um indicativoprático e indutivo do processo em estudo.

Por fim, tem-se o coeficiente devariação (CV), que tem por vantagem caracterizara dispersão dos dados em termos relativos a seuvalor médio. É uma medida relativa importante,pois ao se comparar a variabilidade de duasamostras usando o desvio padrão ou a variância,pode-se concluir que uma é mais variável que aoutra, quando o resultado diferenciado pode serdevido ao fato das amostras possuírem médias ougrandezas diferentes. Uma amostra pode ter avariância alta em relação a uma outra, pelo fato daprimeira ter média mais alta. Assim, ao comparar avariabilidade de amostras, deve-se observar amédia. Se as médias forem iguais, pode-se utilizarpara comparações de variabilidade o desviopadrão, a variância ou o coeficiente de variação.No entanto, se as médias forem diferentes ou seforem referentes a medidas com unidadesdiferentes, é obrigatório o uso do coeficiente devariação para compará-las. É comum nostrabalhos, principalmente nos que envolvemanálise da variância, utilizar o coeficiente devariação para julgamento da variabilidade doexperimento. Nesse caso, o coeficiente de variaçãoé uma medida comparativa da variabilidadeexistente entre dois experimentos quanto a fatoresnão controlados, mas nunca quanto à qualidade doensaio. Cabe ao pesquisador decidir se essavariabilidade comunicada deve ser diminuída ounão, em experimentos futuros. Se o objetivo dopesquisador é comunicar uma informação quetenha aplicação prática, o aprimoramento das



condições experimentais, o aumento no tamanhoda amostra, ou mesmo o melhoramento genéticodo material biológico em estudo podem diminuiros valores do coeficiente de variação doexperimento. Um experimento realizado comsementes de uma espécie silvestre, com certezaapresentará maior valor de CV do que o realizadocom sementes de uma espécie melhoradageneticamente. No segundo caso, a menorvariabilidade das sementes, expressa por um baixovalor de CV, gera também maior precisão doexperimento no sentido de que as sementes sãohomogêneas quanto ao caráter ou processoestudado. A chance de um pesquisador errar aodizer que o lote de sementes analisado apresenta,por exemplo, germinabilidade de 95%, é menorpara a espécie melhorada do que para a silvestre.

A medidas citadas anteriormente têm afinalidade de quantificar a variabilidade da amostra,seja por valores extremos como a amplitude, seja pelafuga de cada elemento da amostra em relação a umvalor central, representado pela média.

Há ainda uma medida de dispersão quequantifica a fuga da média da amostra em relação àmédia populacional desconhecida, sendo denominadaerro padrão ( xs ) e tem por finalidade medir a

precisão (magnitude da variabilidade) com que amédia foi estimada. Um erro padrão alto significa quea média da amostra estudada está distante da médiapopulacional e vice-versa.

Com o intuito de resgatar a massa deinformações contida nos trabalhos de Labouriau ecolaboradores, associando estatística e germinação,será tomado como exemplo a tabela 5 deLabouriau & Pacheco (1979). Entretanto, serãofeitas algumas adaptações a partir do trabalhooriginal, apenas com a finalidade didática de tentarmostrar os possíveis resultados que podem ocorrernos ensaios (Tabela 1).

O conjunto de dados apresentado natabela 1 possibilita uma discussão importantequanto ao uso da medida de posição maisadequada, quando o objetivo é sintetizar ainformação. Por exemplo, a repetição 3 datemperatura 8,0 ± 0,05 oC acabou por diminuir ovalor médio da germinação naquela temperatura(46%) que ficou subestimado, provando-se assimque a média é influenciada pelos valoresextremos da amostra. Neste caso, a mediana degerminação (52%) é mais representativa daamostra e está mais adequada ao objetivo que ésintetizar a informação.

TABELA 1 - Porcentagem de sementes de Dolichos biflorus L. (Leguminosae, Lotoidae) germinadas emdiferentes temperaturas. Adaptação de parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979). Os dados deporcentagem na temperatura 11,7 ± 0,03oC são fictícios e não correspondem ao trabalho original; nemmesmo representam a característica da espécie quanto à média de germinação e variabilidade.

r

Temp. (oC) 1 2 3 4 5 x dM oM s 2s R CV xs

8,0 ± 0,05 52 58 26 42 52 46,0 52 52 12,57 158,0 32 27,33 5,62

9,0 ± 0,04 58 78 72 76 78 72,4 76 78 8,41 70,8 20 11,62 3,76

10,0 ± 0,05 84 86 76 86 84 83,2 84 84;86 4,15 17,2 10 4,99 1,85

10,8 ± 0,02 100 86 86 94 86 90,4 86 86 6,39 40,8 14 7,07 2,86

11,7 ± 0,03 100 92 100 80 80 90,4 92 80;100 10,04 100,8 20 11,11 4,49

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Na temperatura de 10,0 ± 0,05 oC, aproximidade entre a média, mediana e modaconfirmam que, quando não há dados discrepantes,qualquer uma das três medidas de posição citadas,pode ser usada para representar a amostra. Natemperatura de 11,7 ± 0,03 oC, observa-se adiscrepância dos dois valores modais, 80 e 100%,mostrando que nem sempre o valor mais freqüenteé representativo da amostra.

A importância das medidas devariabilidade é que amostras com mesma médiapodem não ser oriundas da mesma população. Estaobservação pode ser exemplificada quando sãocomparadas as médias de germinação dassementes submetidas às temperaturas de 10,8 ±0,02oC e 11,7 ± 0,03oC.Em ambas as temperaturasa porcentagem média de germinação foi de 90,4%.Entretanto, na temperatura de 11,7 ± 0,03 oCobserva-se maior discrepância das observaçõesquando comparada com a temperatura de 10,8 ±0,02 oC, discrepância essa que pode ser observadapelos maiores valores de desvio padrão, davariância, amplitude e coeficiente de variação paraa temperatura de 11,7 oC. A comparação entre avariabilidade das amostras só foi possível porqueambas as temperaturas possuem a mesma média degerminação.

A idéia do coeficiente de variação équantificar o peso que uma determinadavariabilidade tem em relação à média. Para melhorentendimento, pode-se tomar como exemplo astemperaturas de 8,0 ± 0,05 oC e 11,7 ± 0,03 oC e osrespectivos desvios padrões de 12,57% e 10,04%.Na temperatura de 8,0oC, um desvio de 12,57% emuma germinação média de 46,0% tem um pesomaior que um desvio de 10,04% para uma médiade germinação de 90,4% na temperatura de 11,7oC. Este peso maior da variabilidade pode serquantificado pelo coeficiente de variação, que foide 27,33% para a temperatura de 8,0 ± 0,05 oC e de11,11% para a temperatura de 11,7 ± 0,03 oC.Considere-se agora as temperaturas de 9,0± 0,04 oC

e 11,7 ± 0,03 oC e os respectivos desvios padrõesde 8,41% e 10,04%. A maior diferença entre osdesvios padrões, quando comparados aoscoeficientes de variação de ambas as temperaturas(11,62% e 11,11%), indica que um desvio de8,41% sobre uma média de germinação de 72,4%tem o mesmo peso que um desvio de 10,04% sobreuma média de germinação de 90,4%.

As medidas do desvio padrão e davariância são de grande importância para seconhecer a variabilidade intrínseca do material,sendo o desvio padrão mais utilizado paradiscussões, por apresentar a mesma unidade dosdados. Na temperatura de 10,8 ± 0,02 oC, umamédia de 90,4% e um desvio padrão de 6,39%indicam que, em média, o percentual degerminação varia 6,39% em torno do valor 90,4%.Daí a idéia do pesquisador em expressar os dadosde germinação como sx ± , mostrando assimcomo está a concentração dos dados em torno damédia. Outra possibilidade é expressar os dadoscomo xsx ± , ou seja, média e erro padrão damédia. Quando são comunicadas as duas medidas,a intenção é evidenciar que a média calculada podesofrer uma variação, quantificada por seu erropadrão. Assim, na temperatura de 10,0 ± 0,05 oCque tem média de germinação de 83,2%, um erropadrão de 1,86% indica que a média degerminação na população pode variar de 81,34 até85,06%.

Apesar das medidas de posição edispersão sintetizarem a informação contida naamostra ou amostras, a grande aplicação daestatística na germinação se concentra nacomparação entre amostras ou tratamentos, a partirde suas médias ou proporções, ou mesmo naconstrução de intervalos de confiança. Para essasaplicações, há alguns princípios básicos que devemser obedecidos. O primeiro princípio é que aamostra retirada da população seja aleatória, osegundo é que uma ou mais amostras sejamoriundas de populações com distribuição normal e



o terceiro, que duas ou mais populações tenhamvariâncias homogêneas, isto é, que sejamhomocedásticas. O primeiro princípio é válido paraa estatística como um todo e os dois últimos sãoexigidos para a aplicação de testes estatísticosparamétricos.

A aleatoriedade da amostra, na maioriados casos, é garantida quando a amostra é retiradada população por sorteio, pelo uso de tabelas denúmeros aleatórios ou calculadoras (funçãorandon). O sorteio também deve ser realizado paradistribuir parcelas experimentais em campo oulaboratório, dentro dos planejamentos paradelineamentos inteiramente casualizados, blocoscasualizados, dentre outros. Apesar do sorteio,testes podem ser aplicados para conferir se aamostra retirada da população ou se as parcelas deum experimento estão distribuídas de maneiraaleatória. Dentre esses, encontra-se o teste dealeatoriedade ou teste de iterações. Na seqüência,serão apresentados dois exemplos, sendo que oprimeiro testará se a distribuição das parcelas deum experimento montado em delineamentointeiramente casualizado é aleatória e o segundotestará se a amostra do peso da matéria fresca desementes de Sesbania virgata (Caz.) Pers.foiretirada aleatoriamente de uma população.

1o Exemplo: Experimento composto dedois tratamentos (A e B) e oito repetições,totalizando 16 parcelas distribuídas aleatoriamenteem laboratório ou campo, por sorteio.

(1) A (2) B (3) B (4) B

(5) A (6) B (7) A (8) B

(9) A (10) A (11) A (12) B

(13) B (14) A (15) A (16) B

1o Passo: HipótesesHo: As parcelas experimentais estão distribuídasaleatoriamente.

H1: As parcelas não estão distribuídas aleatoriamente.

2o Passo: Significância estabelecida α = 0,05

3o Passo: Estatística apropriada

A estatística apropriada é função donúmero de iterações (r) onde, segundo Siegel(1975), iteração é definida como uma sucessão desímbolos idênticos (repetição) que aparecemseguidos e precedidos por símbolos diferentes delepróprio. Aplicando a definição para o exemplo eacompanhando a seqüência, da parcela 1 até aparcela 16 em ordem crescente (números entreparênteses), pode-se observar as 10 interações,fazendo-se a leitura do quadro acima em linhas,seguidas no sentido de leitura normal: A, BBB, A,B, A, B, AAA, BB, AA e B. Portanto, o exemplomostra r= 10 iterações.

4o Passo: ConclusãoComo o valor r = 10 está entre os valores

tabelados, 4 < r < 14, para n1 = n2 = 8 (repetiçõesde cada tratamento), aceita-se Ho e conclui-se queas parcelas estão distribuídas aleatoriamente.

2o Exemplo: Para os dados apresentadosna tabela 2, os passos para a realização do testesão:

1o Passo: Hipóteses

H0: Os sinais "+" e "-" ocorrem em ordemaleatória, ou seja, as repetições foram retiradas daamostra aleatoriamente.H1: As repetições não foram retiradas da amostraaleatoriamente.

2o Passo: Significância estabelecida α = 0,05


212 Santana e Ranal


TABELA 2 - Dados da matéria fresca oriundos de uma amostra com 42 repetições de sementes deSesbania virgata (Caz.) Pers. Adaptado de Zayat (1996) que trabalhou com uma amostra de tamanho 30.As características da espécie quanto às medidas de posição e variabilidade não foram alteradas.

Teste de aleatoriedadeRepetições Matéria fresca (mg)

Sinais “runs”

1 748,9 - 1

2 807,8 + 2

... ... ...

40 759,9 - 19

41 776,8 -

42 742,8 -

Mediana 784,2 n1 = n2 =21

Para os ensaios ou amostragens onde osvalores de n1 (número de escores classificados como sinal "-") e n2 (número de escores classificadoscom o sinal "+") são menores que 20, a estatísticaapropriada do teste é o próprio número deiterações, sendo o valor julgado diretamente apartir do valor tabelado. Quando os valores de n1 en2 são maiores que 20, como no exemplo 2, adistribuição do número de iterações (r) seaproxima da distribuição normal e a estatística édada por:

)1nn()nn(

)nnnn2(nn2

1nnnn2

r

212

21

212121

21

21

−++

−−

+

+−

=cz = 9373,0−

4o Passo: ConclusãoComo - 9373,0−=cz > - tz = -1,96

(valores calculado e tabelado da distribuição z)

para α/2=0,025 (teste bilateral) e n1 = n2 =21,aceita-se Ho e conclui-se que a amostra de peso damatéria fresca de Sesbania virgata é aleatória.

O outro princípio para os testesestatísticos como o t de Student, a análise davariância, os testes para comparações entre médiase proporções, é que a amostra ou amostrasoriundas de uma ou mais populações tenhamdistribuição normal. Um dos testes mais utilizadospara verificar a normalidade é o teste deaderência, recomendado apenas quando o tamanhoda amostra (n) ou o número de repetições (r) émaior que 50. Para exemplificar (Tabela 3), serãotomados os dados da matéria fresca (mg) de 500sementes de Vicia graminea Sm.(parte da tabela 1de Labouriau, 1970). Os passos para a realizaçãodo teste são:

1o Passo: HipótesesHo :As freqüências observadas não diferem dasfreqüências esperadas para a distribuição normal,



TABELA 3 - A matéria fresca (mg) de 500 sementes de Vicia graminea Sm. Parte da tabela 1 deLabouriau (1970).

Antes do agrupamento com if̂ < 1 Depois do agrupamento

Peso(mg) iL if zi Prob. rf̂ if̂ ifif̂

i

ii

f

ffˆ

)ˆ( 2−

1,25 � 1,75 1,25 1 -3,78 0,4999 0,0010 0,50

1,75 � 2,25 1,75 3 -3,07 0,4989 0,0080 4,00 4 4,50 0,056

2,25 � 2,75 2,25 14 -2,36 0,4909 0,0414 20,70 14 20,70 2,169

2,75 � 3,25 2,75 74 -1,64 0,4495 0,1257 62,85 74 62,85 1,978

3,25 � 3,75 3,25 119 -0,93 0,3238 0,2406 120,30 119 120,30 0,014

3,75 � 4,25 3,75 155 -0,21 0,0832 0,2748 137,40 155 137,40 2,254

4,25 � 4,75 4,25 91 0,50 0,1915 0,1954 97,70 91 97,70 0,459

4,75 � 5,25 4,75 26 1,21 0,3869 0,0863 43,15 26 43,15 6,816

5,25 � 5,75 5,25 12 1,93 0,4732 0,0227 11,35 12 11,35 0,037

5,75 � 6,25 5,75 4 2,64 0,4959 0,0037 1,85 5 2,05 4,245

6,25 � 6,75 6,25 1 3,36 0,4996 0,0004 0,20

Total 500 1,0000 500 18,028

iL : limite inferior da classe; if : freqüência observada; zi: valores da distribuição de z; rf̂ : freqüênciasrelativas esperadas; if̂ : freqüências esperadas para a distribuição normal.

ou seja, a matéria fresca de sementes de Viciagraminea segue a distribuição normal.H1 : A matéria fresca não segue a distribuiçãonormal.

2o Passo: Significância estabelecida α=0,05


∑−

=χ=

k

i i

iic

f

ff

1

22

ˆ)ˆ( = 028,18

4o Passo: ConclusãoComo 028,182 =χc > 592,122 =χt (valores

calculado e tabelado da distribuição 2χ ) paraα=0,05 e v=6 (graus de liberdade), a hipótese Ho é

rejeitada e conclui-se que a matéria fresca desementes de Vicia graminea não segue adistribuição normal.

Um outro teste de normalidade deaplicação mais ampla, uma vez que não apresentarestrição quanto ao tamanho da amostra, é o teste deKolmogorov-Smirnov. Este é um teste que não exigeo agrupamento dos dados em classes como o teste deaderência, evitando com isso a perda de informações.Na seqüência, serão apresentados dois exemplos daaplicação do teste, o primeiro envolvendo uma únicaamostra e o segundo, várias amostras.

1o Exemplo: Aplicação do teste para

uma amostra (Tabela 4).

214 Santana e Ranal


TABELA 4 - Dados da matéria fresca (ordem crescente), de 1 amostra com 10 repetições (n=r=10) de100 sementes de Dolichos biflorus L. Parte da tabela 1 de Labouriau & Pacheco (1979).

Repetições Peso (g) zi )(ˆ izF 5,0F5,0)(ˆ FzFg i −=

1 2,9909 -1,56 0,0594 0,05 0,0094

2 3,0286 -1,05 0,1469 0,15 0,0031

3 3,0481 -0,78 0,2177 0,25 0,0323

4 3,0570 -0,66 0,2546 0,35 0,0954

5 3,0823 -0,31 0,3783 0,45 0,0717

6 3,1278 0,31 0,6217 0,55 0,0717

7 3,1590 0,74 0,7704 0,65 =máxg 0,1204

8 3,1737 0,94 0,8264 0,75 0,0764

9 3,1898 1,16 0,8770 0,85 0,0270

10 3,1935 1,21 0,8869 0,95 0,0631

zi: valores da distribuição de z; )(ˆ izF : valores da área sob a curva normal padronizada; 5,0F : freqüência relativa

observada acumulada da repetição.

1o Passo: HipótesesHo: A matéria fresca de sementes de Dolichosbiflorus segue a distribuição normal.H1: A matéria fresca não segue a distribuiçãonormal.



1704,0201

1204,021

=+=+=n

gD máxmáx

4o Passo: Conclusão

Como Dmáx = 0,1704 < Dt = 0,21072(valores calculado e tabelado da diferença D)para n=10, 5,0=δ (correção) e α=0,05, ahipótese Ho é aceita e conclui-se que o peso dematéria fresca de Dolichos biflorus segue adistribuição normal.

2o Exemplo: Aplicação do teste paravárias amostras. Nos trabalhos que envolvem duasou mais amostras, o teste de normalidade érealizado sob os erros, que correspondem àdiferença entre a repetição de cada tratamento esua respectiva média. Esses experimentos sãomais comuns quando os dados serão submetidosà análise da variância. Os passos para a execuçãodo teste para o exemplo da Tabela 5 são osseguintes:

1o Passo: HipótesesHo: Os erros da porcentagem de sementesgerminadas de Dolichos biflorus seguem adistribuição normal.H1: Os erros não seguem a distribuição normal.





TABELA 5 - Porcentagem de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas em diferentes temperaturas.Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).

n=rTemperaturas (oC)

1 2 3 4 5

35,0 ± 0,04 96,0 100,0 98,0 100,0 96,0

37,8 ± 0,04 76,0 92,0 88,0 84,0 94,0

38,5 ± 0,03 72,0 94,0 64,0 82,0 32,0

39,2 ± 0,06 38,0 30,0 54,0 40,0 42,0

Na Tabela 6 estão apresentados osvalores dos erros da porcentagem de sementes deDolichos biflorus germinadas que permitemconcluir o teste.

4o Passo: ConclusãoComo Dmáx=0,2168>Dt = 0,1672 para

n=20, 5,0=δ e α=0,05, rejeita-se Ho e conclui-se

que os erros da porcentagem de sementesgerminadas de Dolichos biflorus não seguem adistribuição normal.

Uma outra forma de quantificar o desviode normalidade é o emprego das medidas deassimetria e curtose que, com seus valores dereferência, indicam o quanto a distribuição dosdados se afasta da normalidade. O coeficiente de

TABELA 6 - Valores dos erros da porcentagem (ei) de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas emdiferentes temperaturas, calculados da tabela 5, para obtenção do valor da estatística apropriada.

i ei zi )(ˆ izF 5,0F5,0)(ˆ FzFg i −=

1 -36,8 -2,82 0,0024 0,025 0,0226

2 -10,8 -0,83 0,2033 0,075 0,1283

3 -10,8 -0,83 0,2033 0,125 0,0783

4 -4,8 -0,37 0,3557 0,175 0,1807

5 -2,8 -0,21 0,4168 0,225 =máxg 0,1918

6 -2,8 -0,21 0,4168 0,275 0,1418

... ... ... ... ... ...

19 13,2 1,01 0,8438 0,925 0,0813

20 25,2 1,93 0,9731 0,975 0,0018

2168,04011918,0

21 =+=+=n

gD máxmáx

216 Santana e Ranal


assimetria ( 1g ) indica que para 01 =g adistribuição dos dados é simétrica, havendo umacoincidência entre os valores da média, medianae moda (Mo = Md = x ), 01 >g indica umaassimetria positiva (Mo< Md < x ) e 01 <g umaassimetria negativa (Mo > Md > x ). O coeficientede curtose ( 2g ) ou grau de achatamentoindica que para 32 =g ou 02 =g adistribuição é mesocúrtica; 32 >g ou 02 >g

que a distribuição é leptocúrtica e 32 <g ou02 <g que a distribuição é platicúrtica. Na

tabela 7 encontram-se, além dos dados doexemplo, os valores necessários para calcular asmedidas de desvio da normalidade. Assim, osvalores de assimetria e curtose para o exemplosão:

g186,438.54)392,30()2(500

264.489)392,30)(3(

500368.466.16 2

3 −=+−=m

581,133414,7

186,438.5431 −=

−=g (assimetria negativa)

m3: momento centrado de terceira ordem;

s3: desvio padrão da amostra ao cubo.

g734,370.8)392,30()3(500264.489

)392,30()6(500368.466.16

)392,30()4(500720.206.574 42

4 =−+−=m

79,2414,7

734,370.844

42 ===

s

mg

(platicúrtica)

ou 21,03414,7

734,370.8344

42 −=−=−=

s

mg

(platicúrtica)

m4: momento centrado de quarta ordem;

s4: desvio padrão da amostra à quarta.

Uma última pressuposição para aaplicação dos testes estatísticos que serãodiscutidos neste texto, é a homogeneidade dasvariâncias entre duas ou mais populações. Comoa normalidade também é uma pressuposição paraos testes de homogeneidade, estes só podem serefetuados se os dados tiverem distribuiçãonormal. Quando o teste de homogeneidadeenvolver apenas duas amostras (t=2 ou a=2),aplica-se o teste F de “Snedecor”(1o exemplo).

Quando o teste envolver mais de duas amostras(t >2 ou a >2), pode-se aplicar tanto o teste deBartlett (2o exemplo), quanto o F máximo deHartley, sendo este último de baixa precisão.

1o Exemplo: Teste F de "Snedecor" paraduas amostras (Tabela 8). Os passos para arealização do teste são:

1o Passo: Hipóteses:oH As variâncias da matéria seca de sementes

de Dolichos biflorus após 27 dias de secagem a70oC e após 24 horas de secagem a 105oC sãohomogêneas, ou seja, 2

221 σ=σ .

:1H As variâncias da matéria seca sãoheterogêneas, ou seja, 2

221 σ≠σ .

2o Passo: Escolha da significância α =0,05


4o Passo: ConclusãoComo Ft=0,3144 < 4483,1=cF < Ft=3,18

(valores tabelado e calculado da distribuição F de"Snedecor") para α=0,05 e 921 ==vv (graus deliberdade do numerador e denominador), aceita-seHo e conclui-se que as variâncias da matéria secade Dolichos biflorus após 27 dias de secagem a70oC e após 24 horas de secagem a 105oC sãohomogêneas.

2o Exemplo: Teste de Bartlett para maisde duas amostras (Tabela 9).

1o Passo: Hipóteses

oH : As variâncias da porcentagem de germinaçãoentre as temperaturas são homogêneas, ou seja,

.

1H : As variâncias da porcentagem de germinaçãosão heterogêneas.

22

21

s

sFc = = 4483,1

24

23

22

21 σ=σ=σ=σ



TABELA 7 - Distribuição de freqüência da matéria fresca de 500 sementes de Dolichos biflorus L.Adaptação da figura 1 de Labouriau & Pacheco (1979), uma vez que a figura não fornece os valoresexatos das freqüências observadas.

MatériaFresca

xi if 2ix 3

ix 4ix ii xf 2

ii xf 3ii xf 4

ii xf

6 � 10 8 1 64 512 4.096 8 64 512 4.096

10� 14 12 10 144 1.728 20.736 120 1.440 17.280 207.360

14� 18 16 17 256 4.096 65.536 272 4.352 69.632 1.114.112

18� 22 20 49 400 8.000 160.000 980 19.600 392.000 7.840.000

22� 26 24 50 576 13.824 331.776 1.200 28.800 691.200 16.588.800

26� 30 28 90 784 21.952 614.656 2.520 70.560 1.975.680 55.319.040

30� 34 32 120 1.024 32.768 1.048.576 3.840 122.880 3.932.160 125.829.120

34� 38 36 90 1.296 46.656 1.679.616 3.240 116.640 4.199.040 151.165.440

38� 42 40 51 1.600 64.000 2.560.000 2.040 81.600 3.264.000 130.560.000

42� 46 44 20 1.936 85.184 3.748.096 880 38.720 1.703.680 74.961.920

46� 50 48 2 2.304 110.592 5.308.416 96 4.608 221.184 10.616.832

Total 500 10.384 389.312 15.541.504 15.196 489.264 16.466.368 574.206.720

xi : ponto médio da classe; if : freqüências observadas.

TABELA 8 - Dados da matéria seca de sementes de Dolichos biflorus L. Parte das tabelas 1 e 2 de Labouriau &Pacheco (1979).

Após 27 dias de secagem a 70oC Após 24 horas de secagem a 105oC

Tamanho da amostra 101 =n 102 =n

Média =1x 2,7680g =2x 2,6992g

Desvio Padrão =1s 0,0645g =2s 0,0543g

Variância =21s 0,0042(g)2 =2

2s 0,0029(g)2

218 Santana e Ranal


TABELA 9 - Porcentagem de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas em diferentes temperaturas.Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).

n=r

Temp. (oC) 1 2 3 4 5 1−in 2is 2ln is 2ln)1( ii sn − 2)1( ii sn −

35,0 ± 0,04 96 100 98 100 96 4 4,0 1,3863 5,5452 16,0

37,8 ± 0,04 76 92 88 84 94 4 51,2 3,9357 15,7428 204,8

38,5 ± 0,03 72 94 64 82 32 4 549,2 6,3085 25,2340 2.196,8

39,2 ± 0,06 38 30 54 40 42 4 75,2 4,3202 17,2808 300,8

Total 16 63,8028 2.718,4



4o Passo: ConclusãoComo 3606,182 =χc > 2

tχ = 7,815 (valorescalculado e tabelado da distribuição ÷2) para α=0,05 ev=3, rejeita-se a hipótese Ho e conclui-se que asvariâncias das porcentagens de germinação entre astemperaturas são heterogêneas.

Quando os dados originais nãoatendemàs pressuposições básicas da estatísticaparamétrica, ou seja, quando a população oupopulações estudadas não apresentam distribuiçãonormal e possuem variâncias heterogêneas, há duasdecisões a serem tomadas. O pesquisador podetentar a transformação dos dados para corrigirdesvios de normalidade e heterogeneidade, oupode optar diretamente pela estatística não-paramétrica. Entretanto, a transformação não

garante que as pressuposições sejam atendidas, daía necessidade de se testar novamente anormalidade e a homogeneidade sobre os dadostransformados. É interessante destacar que astransformações reduzem a escala dos valores eportanto são mais apropriadas quando o problemaé heterogeneidade e não normalidade, uma vez queesta última reflete o comportamento da espécie.Dentre as transformações recomendadas, emfunção da natureza da variável, encontra-se atransformação raiz quadrada kx + , usadaquando os dados são oriundos de contagens,principalmente quando não se sabe previamente otamanho da amostra; a transformaçãologarítmica, )(log kx + ou )(ln kx + , tambémutilizada para contagens, especialmente quando aamplitude das observações é muito grande e atransformação arco seno ou transformaçãoangular, 100/seno Arco x , utilizadaprincipalmente para dados de contagem queseguem a distribuição binomial e são expressos emporcentagens ou proporções. As transformaçõescitadas têm como objetivo quebrar a dependênciaentre a média e a variância, característica dosdados de contagem e porcentagens. Para apresentarum exemplo com a aplicação da transformação,serão utilizados dados de porcentagem degerminação, onde se concentra o maior interessedesse curso (Tabela 10).

∑ −

∑ −=

=

=a

ii

a

iii

n

sns

1

1

2

2

)1(

)1( = 9,169

164,718.2

=

∑ −−

∑ −=χ

==

a

iii

a

iic snsn

1

22

1

2 ln)1(ln)1( = 3606,18



Inicialmente aplicou-se o teste deKolmogorov-Smirnov aos dados originais,obtendo-se um valor máxD = 19907,0 > tD = 14082,0

para n=30, 5,0=δ e α=0,05 e, portanto, rejeitou-sea hipótese Ho , concluindo-se que os erros daporcentagem de sementes de Dolichos biflorus quegerminam não seguem a distribuição normal. Dadaa não normalidade, transformou-se os dadossegundo Arco seno m/100porcentage , aplicando-se novamente o teste de Kolmogorov-Smirnovsobre os dados transformados. Como

máxD = 13715,0 < tD = 14082,0 para n=30, 5,0=δ eα=0,05, concluiu-se que os erros da porcentagemde sementes de Dolichos biflorus que germinam,na escala transformada, seguem a distribuiçãonormal. Dada a normalidade, aplicou-se o teste deBartlett para os dados transformados queapresentou 2

.ajχ = 146,9 < 2tχ = 070,11 para α=0,05

e v=5, concluindo-se que as variâncias das

porcentagens de germinação entre as temperaturas,na escala transformada, são homogêneas. Como aspressuposições foram atendidas, testes como aanálise da variância, teste t, comparaçõesmúltiplas, dentre outros, podem ser aplicados aosdados transformados.

Nos testes de comparações, sejam elesde duas ou mais populações, a escolha do testedependerá principalmente do planejamento doexperimento ou ensaio. Nos experimentosplanejados para a comparação entre médias ouproporções de duas populações, as opções são oteste t de "Student" e o teste z, sendo a escolhaentre os dois dependente, dentre outrascaracterísticas, do tamanho das amostras. NaTabela 11 estão apresentadas as condições para aescolha da estatística apropriada dos testes t e z,para os casos possíveis de comparações entremédias ou proporções de duas populações.

TABELA 10 - Porcentagem de germinação de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas emdiferentes temperaturas. Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).

Porcentagem Arco seno m/100porcentage

n=r n=rTemp. (oC)

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

35,0 ± 0,04 96,0 100,0 98,0 100,0 96,0 78,46 90,00 81,87 90,00 78,46

36,3 ± 0,02 98,0 100,0 96,0 98,0 100,0 81,87 90,00 78,46 81,87 90,00

37,2 ± 0,02 92,0 84,0 80,0 94,0 92,0 73,57 66,42 63,44 75,82 73,57

37,8 ± 0,04 76,0 92,0 88,0 84,0 94,0 60,67 73,57 69,73 66,42 75,82

38,5 ± 0,03 72,0 94,0 64,0 82,0 32,0 58,05 75,82 53,13 64,90 34,45

39,2 ± 0,06 38,0 30,0 54,0 40,0 42,0 38,06 33,21 47,29 39,23 40,40

220 Santana e Ranal


TABELA 11 - Condições de escolha para os testes de comparações entre médias e proporções de duaspopulações.

Ho Condição Estatística apropriada HipóteseAlternativa

Rejeita-se Ho quando

021 =µ−µ

1. Independente dotamanho dasamostras; 2

221 e σσ

conh.2

22

1

21

21

nn

xxzc

σ+

σ

−= 021 ≠µ−µ ⇒

021 >µ−µ ⇒

021 <µ−µ ⇒

tctc zzzz −<−> ou

tc zz >

tc zz −<−

021 =µ−µ

2. 30,30 21 ≥≥ nn ;22

21 e σσ desconh.,

homogêneas ouheterogêneas

2

22

1

21

21

ns

ns

xxtz cc

+

−=≈

221 −+= nnv

021 ≠µ−µ ⇒

021 >µ−µ ⇒

021 <µ−µ ⇒

tctc tttt −<−> ou

tc tt >

tc tt −<−

021 =µ−µ

3. 30,30 21 << nn ;22

21 e σσ desconh.

e homogêneas

21

21

11nn

s

xxt

p

c

+

−= 221 −+= nnv

2)1()1(

21

222

211

−+−+−

=nn

snsnsp

021 ≠µ−µ ⇒

021 >µ−µ ⇒

021 <µ−µ ⇒


tc tt >

tc tt −<−

021 =µ−µ

4. 30,30 21 << nn ;

22

21 e σσ desconh.

e heterogênas

2

22

1

21

21

n

s

n

s

xxtc

+

−=

1)/(

1)/(

)//(

2

22

22

1

21

21

22

221

21

−+

−

+=

n

ns

n

ns

nsnsv

021 ≠µ−µ ⇒

021 >µ−µ ⇒

021 <µ−µ ⇒


tc tt >

tc tt −<−

021 =− pp

5. 301 ≥n , 302 ≥n ;5ˆ11 >pn , 5ˆ22 >pn ;5ˆ11 >qn , 5ˆ22 >qn 2

22

1

11

21

ˆˆˆˆ

ˆˆ

nqp

nqp

pptz cc

+

−=≈

11 ˆ1ˆ pq −= e 22 ˆ1ˆ pq −=

021 ≠− pp ⇒

021 >− pp ⇒

021 <− pp ⇒


tc tt >

tc tt −<−



Tomando-se como exemplo os dadosapresentados na tabela 8, tem-se:

1o Passo: HipótesesH0 : A matéria seca de sementes de

Dolichos biflorus após 27 dias de secagem àtemperatura de 70oC, sob pressão reduzida, e após24 horas de secagem a 105oC são estatisticamenteiguais, ou seja, 021 =µ−µ (médias populacionaisiguais).

:1H 021 ≠µ−µ (bilateral).

2o Passo: Significância estabelecida 05,0=α

3o Passo: Estatística apropriadaComo as variâncias populacionais

22

21 e σσ são desconhecidas, aplica-se o teste F de

"Snedecor" ( 4483,1=cF entre 2481,0=tF e03,4=tF para 025,02/ =α e 921 ==vv ). Assim,

aceita-se a hipótese oH e conclui-se que asvariâncias dos pesos médios das duas populaçõessão homogêneas.

Como as variâncias, apesar dedesconhecidas, são homogêneas e 1021 == nn

(condição 3, Tabela 11), a estatística apropriada édada por:

210100029,0)110(0042,0)110(

−+−+−

=ps = 0596,0

4o Passo: ConclusãoComo 58,2=ct > 101,2=tt (valores

calculado e tabelado da distribuição t) para=α 2/ 0,025 (bilateral) e v=18, a hipótese oH é

rejeitada e conclui-se que a média da matéria secade sementes de Dolichos biflorus após 27 dias desecagem à temperatura de 70oC, sob pressão

reduzida, e após 24 horas de secagem a 105oC sãodiferentes.

A aplicação de testes de comparaçõesenvolvendo mais de duas médias requer uma

análise prévia dos dados, conhecida como análiseda variância, que tem as mesmas pressuposiçõesdos testes para comparação de duas médias.

Desde que as pressuposições daestatística paramétrica sejam atendidas, ou seja,desde que as amostras tenham sido distribuídasaleatoriamente em campo ou laboratório, que aspopulações de onde provêm tenham distribuiçãonormal e que as variâncias entre elas sejamhomogêneas, a análise da variância pode serrealizada.

Entretanto, variações da análise davariância podem ocorrer um função de algumasrestrições como o controle local em um ou doissentidos. Em função disso, nomes específicos sãodados a essas diferentes variações, comodelineamento inteiramente casualizado, blocoscasualizados, quadrado latino, dentre outros. Noentanto, a utilização da análise da variância sódepende que as pressuposições mencionadas sejamatendidas. Para mostrar um exemplo e discutir ospassos para a realização dessa análise até os testespara comparações das médias ou proporções(Tabelas 12 e 13), serão tomados os dados databela 10, utilizando-se os valores transformadossegundo Arco seno m/100porcentage , pois osdados originais apresentaram problemas quanto ànormalidade.

1o Passo: Hipóteses:oH As porcentagens médias de sementes de

Dolichos biflorus germinadas nas seistemperaturas são estatisticamente iguais,

654321 ˆˆˆˆˆˆ pppppp ===== .

:1H Pelo menos uma combinação de médias édiferente.

101

101

00596,0

6992,27680,2

+

−=ct = 58,2

222 Santana e Ranal


TABELA 12 - Análise da variância dos valores angulares dos dados apresentados na tabela 10.

Causas da variação gl Soma de Quadrados Quadrado Médio FC

Temperaturas 5 7223,5611 1444,7122 22,37

Resíduo 24 1549,7489 64,5729

Total 29

gl: graus de liberdade

TABELA 13 - Testes de Tukey e Duncan para comparação das temperaturas do exemplo da tabela 10.

Temp. (oC) Médias originais Tukey Duncan

35,0 ± 0,04 98,0 83,76 a 83,76 a

36,3 ± 0,02 98,4 84,44 a 84,44 a

37,2 ± 0,02 88,4 70,56 a b 70,56 b

37,8 ± 0,04 86,8 69,24 a b 69,24 b

38,5 ± 0,03 68,8 57,27 b 57,27 c

39,2 ± 0,06 40,8 39,64 c 39,64 d

2o Passo: Escolha da significância α =0,05

3o Passo: Estatística apropriada (Tabela 12).

4o Passo: Conclusão

Como Fc=22,37 > Ft= 2,62 para α=0,05e v1=5 (graus de liberdade do numerador) e v2=24(graus de liberdade do denominador), rejeita-se Ho

e conclui-se que pelo menos uma combinação demédias difere entre si (Tabela 12). Entretanto, oteste F não indica qual combinação detemperaturas é diferente. Assim, logo após arejeição de Ho, são aplicados os testes paracomparações múltiplas.

5o Passo: Testes para comparações múltiplas(testes de Tukey e Duncan).

Dentre os testes mais utilizados paracomparações de médias, tem-se o teste de Tukey eo teste de Duncan, sendo o primeiro mais rigorosoem relação ao segundo. Na tabela 13 estãoapresentados os resultados dos dois testes aplicadosaos dados transformados da tabela 10, além da colunacom os dados originais, coluna esta indispensávelpara discussão e visualização dos resultados.

A diferença quanto ao rigor dos doistestes apresentados na tabela 13 pode sercomprovada quando se compara os resultados dastemperaturas 37,2 ± 0,02 oC e 37,8 ± 0,04oC. Nosdois testes, as duas médias não diferiram



significativamente entre si, mas no teste de Tukeyas duas médias também não diferiramsignificativamente das médias registradas nastemperaturas de 35,0 ± 0,04oC e 36,3 ± 0,02oC.Portanto, conclui-se que o teste de Tukey é maisresistente ao determinar que duas médias sãoestatisticamente diferentes, isto é, ele é maisresistente em rejeitar Ho , mostrando assim o seurigor.

Quando a população ou populaçõesnão seguem a distribuição normal ouapresentam variâncias heterogêneas, mesmoapós a transformação dos dados, deve-seentão utilizar os testes estatísticos não-paramétricos. Na seqüência, serão discutidosdois testes, o de Kruskal-Wallis que é umaalternativa não paramétrica à análise davariância e o de Mann-Whitney que é umaalternativa ao teste t.

O teste de Kruskal-Wallis é aplicado paracomparar médias oriundas de mais de duaspopulações. Variações na aplicação do testeocorrem, principalmente em função do tamanho daamostra ou número de tratamentos. Neste cursoserá discutido apenas um dos casos que estáapresentado na tabela 14.

1o Passo: HipótesesHo: As velocidades médias de germinação desementes de Dolichos biflorus são iguais paratodas as temperaturas, ou seja, 1321 ... vvv === .H1: Pelo menos uma combinação de velocidadesmédias é diferente.



sendo: N= tr= (13) (5)= 65Como houve empates nos postos, é

necessário corrigir o valor da estatística Hcalculada (Tabela 15).

4o Passo: ConclusãoComo H*=62,20 > 2χ =21,03 para

α=0,05 e v=12 (Tabela 15), a hipótese Ho érejeitada e conclui-se que pelo menos um par develocidades médias difere entre si.

Apesar do teste de Kruskal-Wallis indicarque há uma combinação entre médias diferente, elenão indica qual a combinação que gerou adiferença.

Portanto, o outro passo é testar asmédias, duas a duas, para indicar qual par diferesignificativamente entre si. O teste não-paramétrico que compara amostras, duas a duas, éo de Mann-Whitney. Para exemplificar a aplicaçãodo teste, serão comparadas apenas as velocidadesnas temperaturas de 20,1oC e 26,1oC. Os passospara a execução do teste encontram-se a seguir(Tabela 16).

1o Passo: HipótesesHo: As velocidades médias de germinação desementes de Dolichos biflorus são iguais para astemperaturas de 20,1oC e 26,1oC, ou seja, 21 vv = .H1: As velocidades médias de germinação sãodiferentes.

2o Passo: Estatística apropriada (Tabela 16).

3o Passo: ConclusãoComo Uc=19 < Ut=21 (valores calculado e

tabelado da estatística U) para α/2=0,025 e521 == nn , aceita-se Ho e conclui-se que as

velocidades médias de germinação de Dolichosbiflorus são iguais para as temperaturas de 20,1oCe 26,1oC (Tabela 16).

Tudo o que foi apresentado e discutido atéo momento pode ser aplicado para qualquer

=+−∑+=

=)1(3

)1(12

1

2N

nR

NNH

k

i i

i

20,62)165(35

312...

540

515

)165()65(12 222

=+−

+++

+

224 Santana e Ranal


TABELA 14 - Velocidade média de germinação ( v ) de sementes de Dolichos biflorus L. mantidas sobdiferentes temperaturas. Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).

r postos Soma dosTemp(oC)

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Postos ( iR )

12,8 12,8 14,0 13,1 11,0 13,6 2 5 3 1 4 15,0

13,7 16,0 16,9 16,6 15,2 15,8 8 10 9 6 7 40,0

14,7 21,1 19,1 20,0 20,6 21,0 15 11 12 13 14 65,0

16,4 28,1 26,4 27,1 28,0 27,8 20 16 17 19 18 90,0

17,4 31,0 32,6 30,2 31,0 29,8 23,5 25 22 23,5 21 115,0

19,3 41,0 40,0 39,6 39,9 38,2 32 31 28 30 27 148,0

20,1 35,1 39,7 43,8 43,5 43,7 26 29 39 36 37,5 167,5

21,1 41,9 47,0 44,8 43,2 48,2 33 46 41 34 48 202,0

21,9 44,9 45,5 43,7 44,7 45,9 42 44 37,5 40 45 208,5

22,8 47,3 50,2 49,1 45,3 43,3 47 50 49 43 35 224,0

23,5 55,2 54,8 52,4 52,9 51,5 56 55 52 53 51 267,0

24,8 60,4 60,8 53,4 55,4 56,1 60 62 54 57 58 291,0

26,1 59,5 66,4 60,6 63,6 62,2 59 65 61 64 63 312,0

TABELA 15 - Valores de velocidade média de germinação ( v ) com o respectivo número de observaçõesempatadas, a serem utilizados para o cálculo da correção de H.

Velocidade média de germinação (v ) Observações empatadas ( t ′ ) )1()1( +−= tttT

31,0 2 6

43,7 2 6

)1()1(1

+−∑−=

NNNT

C = 00,1)66()65()64(

121 =−

CH

H =* = 20,6200,120,62

=



TABELA 16 - Velocidade média de germinação ( v ) de sementes de Dolichos biflorus L., mantidas sobduas diferentes temperaturas e postos atribuídos. Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).

Temperatura 20,1oC Temperatura 21,1 oCRepetições

v Posto v Posto

1 35,1 1 41,9 3

2 39,7 2 47,0 9

3 43,8 7 44,8 8

4 43,5 5 43,2 4

5 43,7 6 48,2 10

=1R 21 =2R 34

19212

)15(5)5()5(

2)1(

111

21 =−+

+=−+

+= Rnn

nnU 6342

)15(5)5()5(

2)1(

222

21 =−+

+=−+

+= Rnn

nnU

conjunto de dados, sejam eles relativos àgerminação ou não. Como o enfoque do curso égerminação de sementes, a seguir serãoapresentadas algumas das medidas exploradaspelos pesquisadores da área para entender oprocesso de germinação.

Dentre essas medidas, podem serdestacadas a germinabilidade, em geral expressaem porcentagem, para informar a quantidade desementes que germina nas condições do ensaio.Apesar de ser um termo pouco conhecido emalgumas áreas do conhecimento que trabalhamcom germinação como as ciências agrárias, éamplamente utilizado na fisiologia da germinação,como pode ser verificado na literatura específica(Labouriau, 1983a; Bewley & Black, 1994).Grande número de trabalhos expressa os resultadospor meio de curvas de germinação (Nichols &Heydecker, 1968; Goodchild & Walker, 1971;Janssen, 1973; Nobs & Hagar, 1974; Labouriau &Pacheco, 1978; Labouriau & Pacheco, 1979;Richter & Switzer, 1982; Duran & Tortosa, 1985;Labouriau & Agudo, 1987a; Hilhorst & Karssen,1988), com ou sem ajustes por meio de regressõesvariadas. Há vários modelos matemáticos descritosna literatura que podem ser utilizados para esses

ajustes, dentre eles, os modelos sigmoidais que,por serem bons para um grande número deespécies, possibilitam a utilização das curvas paraprevisões. A qualidade do ajuste pode serempiricamente avaliada, verificando-se se omodelo ajustado é compatível com o processobiológico em estudo. Esta qualidade pode ainda serprecisamente avaliada após o estudo de algumasmedidas associadas ao modelo, como a análise davariância, o erro padrão, o intervalo de confiançadas estimativas (intercepto, inclinação, dentreoutros) e o coeficiente de determinação que,conjuntamente, indicam se o modelo está ou nãobem ajustado. Assim como nos testes paramétricos,os modelos para o ajuste de curvas exigem quedeterminadas pressuposições sejam atendidas, porexemplo, os modelos polinomiais exigem que oserros tenham distribuição normal.

Além da quantidade de sementes quegermina ao longo do tempo, há uma preocupaçãoantiga em expressar quando a germinação começa,quando termina, quanto tempo isso dura e quandoalcança seu máximo valor ou seu valor médio.Parte dessa história pode ser resgatada,examinando-se os trabalhos de Edwards (1932) ede Labouriau (1983a). Sabendo-se que a

226 Santana e Ranal


germinação é o resultado de um complexo trabalhometabólico, mediado por uma série de enzimas,houve a preocupação em medir a velocidade desseprocesso. A maneira pela qual a idéia dequantificar a velocidade do processo germinativocresceu ao longo dos anos também pode serrecuperada analisando-se os trabalhos de Edwards(1932) e Labouriau (1983a). Índices variadostambém vêm sendo utilizados como o índice develocidade de germinação (Maguire, 1962),amplamente conhecido na área agronômica, ocoeficiente de uniformidade da germinação citadopor Nichols & Heydecker (1968), Heydecker (1973),Bewley & Black (1994), dentre outros, e o índice desincronização, bastante explorado nos trabalhos deLabouriau e colaboradores (Labouriau & Valadares,1976; Labouriau & Pacheco, 1978; Labouriau &Osborn, 1984; Labouriau & Agudo, 1987b).

O tempo para a primeira e a últimagerminação, o intervalo de tempo em que istoocorre, quando ocorre o máximo e a variação doprocesso ao longo do tempo podem ser inferidosobservando-se as curvas de germinação. Noentanto, o tempo para a primeira e a últimagerminação representam medidas extremas quelevam em consideração apenas as sementes degerminação mais rápida e as de germinação maislenta, respectivamente. Em função disso,recomenda-se obter medidas de tendência centralque sejam mais representativas da amostra emestudo. Em seus trabalhos, Labouriau ecolaboradores deram grande importância aotempo médio de germinação, usado diretamenteou para o cálculo da velocidade média degerminação.

O tempo médio de germinação utilizadopor Labouriau (1983a) é uma média ponderada,onde o número de sementes germinadas é o pesode ponderação do tempo. Observando-se aexpressão abaixo, pode-se verificar que se trata deuma média calculada para distribuições de

freqüência, onde o número de sementesgerminadas representa a freqüência de germinação.

∑

∑=

=

=k

ii

k

iii

n

tnt

1

1 (1)

onde:

ti: tempo entre o início do experimento e a i-ésimaobservação (dia ou hora);

ni: número de sementes que germinam no tempo ti

( não o número acumulado, mas o númeroreferido para a i-ésima observação);

k: último dia da observação.

Como já foi mencionado no início, éimportante o cálculo de medidas de dispersão parase ter idéia da variabilidade da medida na amostraem estudo. Desta forma, deve-se calcular avariância do tempo médio de germinação (2), deonde poderão sair o desvio padrão, o erro padrão eo coeficiente de variação.

1

)(

1

1

2

2

−∑

∑ −=

=

=k

ii

k

iii

t

n

ttns (2)

onde:

t : tempo médio de germinação;

ti: tempo entre o início do experimento e a i-ésima(dia ou hora) observação;

ni: número de sementes que germinam no tempo ti

( não o número acumulado, mas o númeroreferido para a i-ésima observação);


Para ilustrar o cálculo dessas medidas, serátomado o exemplo apresentado na tabela 17, cujotempo médio é:

04,2218444

1

1 ==∑

∑=

=

=k

ii

k

iii

n

tnt dias



A variância e o desvio padrão do tempomédio são:

dias3874,1então 2 == tt ss

Edmond & Drapala (1958) propuseram ocálculo da velocidade de germinação segundo aexpressão (3).

n

nn

GGG

GNGNGNVG

++++++

=......

21

2211 (3)

onde:

:,...,, 21 nGGG número de plântulas normaisemergidas ou sementes germinadas no dia daobservação;

:,...,, 21 nNNN número de dias contados dasemeadura ao dia da observação.

Se a expressão acima for escrita utilizandouma notação de somatório, será dada por:

∑

∑=

=

=k

ii

k

iii

G

GN

VG

1

1 (4)

que é o próprio tempo médio de germinação, dadopela expressão (1).

Este exemplo ilustra a diversificação deexpressões encontrada na literatura que acaba pordificultar o trabalho, especialmente dos estudantes

que estão iniciando seus estudos na área degerminação.

A primeira idéia de velocidade degerminação foi apresentada por Kotowski (1926)e expressa como:

coeficiente de velocidade =

xx

x

TATATAAAA

++++++

......

1002211

21 (5)

onde:

xAAA ,...,, 21 : número de plântulas colhidas noprimeiro dia, segundo dia, terceiro dia e assimsucessivamente até o último (x) dia ;

T1, T2 ,...,Tx: número de dias entre a semeadura ea primeira coleta; entre a semeadura e a segundacoleta e assim sucessivamente até a última (x)coleta.

Posteriormente, Nichols & Heydecker(1968) apresentaram o coeficiente de velocidade degerminação de Kotowski (1926) como:

100...

1

1

∑

∑=

=

=k

iii

k

ii

xf

fGVC (6)

onde:

fi: número de sementes germinadas no i-ésimo dia;

xi: número de dias contados da semeadura até o dia

da leitura (i);


Analisando-se a expressão (6), pode-severificar que ela é o recíproco do tempo médio degerminação, multiplicado por 100. Isto significaque os valores de C.V.G. variam de 0 (zero) a 100,sendo o valor máximo alcançado quando todas assementes germinarem no primeiro tempo.

2

1

1

2

2 (dias)9250,1217

7162,417

1

)(==

−∑

∑ −=

=

=k

ii

k

iii

t

n

ttns

228 Santana e Ranal


Labouriau (1970) demonstrou que ocoeficiente de velocidade de germinação deKotowski (1926) pode ser usado para gerar avelocidade média de germinação. Assim:

t

VCv

1100

..== (7)

onde:

:t tempo médio de germinação;

C.V.: coeficiente de velocidade de germinação deKotowski (1926), denominado como C.V.G. porNichols & Heydecker (1968).

Da mesma forma, esta medida detendência central precisa vir acompanhada de umamedida de dispersão. Pode-se calcular então avariância da velocidade média de germinação,dada por:

242tv svs = (8)

onde:

:2ts variância do tempo médio de germinação;

4v : velocidade média elevada à quarta potência.

Como não se conhece a distribuição det1 , a variância da velocidade média de

germinação é uma medida aproximada, calculadapelo desenvolvimento em série de Taylor (parainformações mais detalhadas sobre essedesenvolvimento, consultar Labouriau, 1983b).

Para ilustrar a obtenção dessas medidas,será tomado o exemplo apresentado na tabela 18.Os dados apresentados mostram que quanto menorfor o tempo médio, maior será a velocidade degerminação das sementes e que, de fato, tempomédio e velocidade média são duas grandezasinversamente proporcionais.

A velocidade de germinação (calculadapara trabalhos de laboratório) ou de emergência(calculada para trabalhos de campo) apresentada

por Maguire (1962) é uma das medidas maisamplamente utilizadas por pesquisadores da áreade ciências agrárias. Em geral, os pesquisadores aexpressam como um índice (IVE= índice develocidade de emergência) e a utilizam como umamedida adimensional (sem unidade), para predizero vigor relativo de amostras de sementes. Apesarde não assumirem uma unidade para o númeroobtido, a expressão (9) comunica o número deplântulas emergidas em campo ou germinadas emlaboratório, por dia.

final contagem a até diasnormais plântulas de no.

...contagem primeira a até diasnormais plântulas de no.

++=VE (9)

O valor obtido com esta expressão éinfluenciado pelo tempo médio de germinação econseqüentemente pela velocidade de germinaçãodas sementes, ou seja, se a germinação ocorrerlogo no início da semeadura, o valor do índice serámaior do que se isto ocorrer mais tardiamente(Tabela 19). Esta é a grande vantagem do índiceque, de fato, mede velocidade de germinação.

O valor de VE também é influenciadopelo número total de sementes que germinam nascondições do ensaio (germinabilidade) e portanto,é adequado para comparações, somente quando asamostras ou tratamentos apresentarem o mesmonúmero de sementes germinadas. Na tabela 19, asduas amostras apresentaram 20 plântulas emergidasao final do experimento. Neste caso, como naamostra A as plântulas começaram a emergir noterceiro dia após a semeadura, o vigor do lote émaior do que o da amostra B, cujas plântulascomeçaram a emergir somente no 15° dia.

O valor de VE é influenciado ainda pelauniformidade da germinação, calculada pelocoeficiente de uniformidade de germinação queserá discutido mais adiante. Se a germinaçãoestiver mais espalhada no tempo, seu valoraumenta, o que não é desejável para um índice quecomunica vigor de lote (quanto maior o valor deCUG, mais concentrada no tempo está agerminação das sementes).



TABELA 17 - Cálculo do tempo médio de germinação e medidas de dispersão de sementes de Brassicachinensis var. parachinensis mantidas em solução de hipoclorito de sódio, sob luz contínua (Ferreira &Ranal, 1999).

it in ii tn )( tti − 2)( tti − 2)( ttn ii −

1 82 82 -1,03 1,0609 86,9938

2 108 216 -0,03 0,0009 0,0972

3 4 12 0,97 0,9409 3,7636

4 3 12 1,97 3,8809 11,6427

5 10 50 2,97 8,8209 88,2090

6 5 30 3,97 15,7609 78,8045

7 6 42 4,97 24,7009 148,2054

Soma 218 444 417,7162

TABELA 18 - Tempo médio e velocidade média de germinação, com suas respectivas variâncias, parasementes de Lycopersicum esculentum mantidas em diferentes temperaturas. Parte da tabela 3 deLabouriau & Osborn (1984).

Tempo médio de germinação Velocidade de Germinação

Temp (oC) )(ht )( 22 hst )10.( 41 −−hv )10( 722 −−hsv

8,7 ± 0,02 998,6 43.300,0 10 0,4

11,6 ± 0,02 421,6 78.803,0 24 2,5

13,9 ± 0,02 216,5 27.414,0 46 12,5

15,8 ± 0,02 139,9 8.893,0 72 23,2

17,9 ± 0,03 101,5 6.971,0 98 65,7

20,4 ± 0,10 78,2 4.435,0 128 118,0

23,3 ± 0,05 56,8 3.662,0 176 352,0

29,5 ± 0,10 51,8 4.094,0 193 570,0

34,0 ± 0,10 82,1 10.121,0 122 222,0

35,8 ± 0,10 116,7 16.819,0 86 90,6

230 Santana e Ranal


TABELA 19 - Germinação de duas amostras de sementes de uma determinada espécie e suas respectivasvelocidades de germinação ou emergência.

Amostra A Amostra B

di ni ni / di di ni ni / di

3 2 0,6667 15 2 0,1333

4 0 0,0000 16 0 0,0000

5 3 0,6000 17 3 0,1765

6 0 0,0000 18 0 0,0000

7 2 0,2857 19 2 0,1053

8 0 0,0000 20 0 0,0000

9 0 0,0000 21 0 0,0000

10 6 0,6000 22 6 0,2727

11 4 0,3636 23 4 0,1739

12 1 0,0833 24 1 0,0417

13 1 0,0769 25 1 0,0400

14 1 0,0714 26 1 0,0385

Soma 20 2,7476 Soma 20 0,9819VEA = 0,6667 + 0,6000 +...+ 0,0714 = 2,7476 VEB = 0,9819 plântulas/diaCUGA= 0,1001 dias-2 CUGB = 0,1001 dias-2

t = 8,9 dias t = 20,9 dias

Resumindo:VE é alto quando:• a amostra tem alta germinabilidade e alta

velocidade média de germinação (cerrado 1,Tabela 20)

• a amostra tem baixa germinabilidade e altavelocidade (cerrado 2, Tabela 20).

VE é baixo quando:• a amostra tem baixa germinabilidade e baixa

velocidade (cerrado 3, Tabela 20)• a amostra tem alta germinabilidade e baixa

velocidade (mata 3, Tabela 20)

Porém, quando as germinabilidadesforem iguais e as velocidades médias degerminação similares, o valor de CUG definirá se ovalor de VE será alto ou baixo. Com valor de CUGbaixo (germinabilidade espalhada no tempo) VE éalto (cerrado 3, Tabela 20) e vice-versa (cerrado 4,Tabela 20).

Timson (1965) modificou o índice deGeorge (1961), substituindo números parciais desementes germinadas por porcentagensparciais de germinação. Este é conhecido comoíndice de Timson ou somatório de 10 e éexpresso por:



1:sendo)(1

−=∑ −==

ijjtgTt

ii (10)

onde:

gi: porcentagem de germinação acumulada nointervalo de tempo i;

t: número total de intervalos de tempo doexperimento;

i: intervalo de tempo entre as observações.

Timson (1965) sugeriu fixar o intervalode tempo dos experimentos em 10 dias deobservações (t=10), uma vez que a maioria dassementes de espécies cultivadas termina degerminar nesse intervalo. No entanto, nadaimpede que se calcule Σ5 ou Σ20, utilizando-se aexpressão (10). Este índice dá uma idéia davelocidade de germinação das sementes,podendo ser usado para comparações, somentese as amostras ou tratamentos tiverem a mesmaporcentagem final de germinação. Uma tentativapara minimizar o efeito da porcentagem final degerminação foi sugerida por Labouriau(comunicação pessoal), ponderando-se o próprioíndice por esta porcentagem. Assim:

1:sendo)(

1

1

1

−=∑

∑ −=

∑=

=

=

ij

g

jtg

g

Tt

ii

t

ii

t

ii

(11)

Uma outra característica desse índice é queele combina valores de germinabilidade e develocidade na mesma expressão, valores estes quepodem se contrabalançar, gerando uma medidaambígua. Isto significa que o valor de T pode seralto se a germinabilidade for alta e a velocidade degerminação baixa ou vice-versa.

Nas Tabelas 21 e 22 estão apresentadosalguns dados que permitem ilustrar asinformações apresentadas para este índice. Paraos dados da tabela 21, T ou Σ10 é dado pelosomatório das multiplicações dos números daúltima coluna.

Para as sementes de Matayba guianensismantidas em solo oriundo da mata, as maioresvelocidades médias foram registradas para asrepetições 1 e 4 (Tabela 22). Resultado similar éobservado quando se analisa os valores do índicede Timson modificados por Labouriau, quecancelam o efeito da porcentagem final degerminação. Isto confirma que este índice repassauma idéia de velocidade.

O coeficiente de uniformidade dagerminação - CUG (Heydecker, 1973) mede avariabilidade da germinação de cada semente emtorno do seu tempo médio, uma vez que ele éexpresso como o inverso da variância dos temposmédios de germinação.

onde:

ni: número de sementes germinadas no i-ésimodia;

Di: número de dias contados da instalação doexperimento até o dia da leitura (i);


Do ponto de vista prático, quanto maior ovalor de CUG, mais concentrada no tempo será agerminação (Tabelas 19, 20, 22). Porém, estecoeficiente só pode ser usado para comparações,quando os tempos médios de germinação foremiguais. Como este índice é uma medida devariabilidade, ele tem as mesmas limitações que avariância, ou seja, as variâncias só podem ser usadaspara fins comparativos quando as médias foremiguais. Desta forma, parece mais apropriadodenominá-lo coeficiente de variabilidade dagerminação.

(12)

∑ −

∑=

=

=k

iii

k

ii

nDD

nCUG

1

2

1

)(

1926)(Kotowski,100;100

:sendo

1

1

∑

∑===

=

=k

iii

k

ii

nD

nCRGt

CRGD

232 Santana e Ranal


TABELA 20 - Germinação de sementes de Matayba guianensis Aubl. em solo de mata e de cerrado, sobluz contínua (Santos & Ranal, dados não publicados).

Tratamento/repetição ni v VE CUG t

mata/1 13 0,2826 3,9167 1,7979 3,5385

mata/2 19 0,2088 4,6246 0,2597 4,7895

mata/3 18 0,1935 3,9841 0,2628 5,1667

mata/4 17 0,2698 5,3190 0,4530 3,7059

Média 16,75 0,2387 4,4611 0,6934 4,3002

cerrado/1 20 0,3077 6,7262 0,8421 3,2500

cerrado/2 16 0,2807 4,6500 2,0157 3,5625

cerrado/3 15 0,2459 4,3333 0,4294 4,0667

cerrado/4 15 0,2632 4,0667 2,3438 3,8000

Média 16,5 0,2744 4,9440 1,4078 3,6698

v : velocidade média de germinação calculada com base na expressão (7);VE: velocidade de germinação calculada com base na expressão (9);t : tempo médio de germinação calculado com base na expressão (1).

TABELA 21 - Dados de germinação de sementes de uma determinada espécie ao longo de 10 dias, para ocálculo do índice de Timson.

Dia da observação (i) j = i - 1 (t - j) gi (t – j)

1 0 10 (15) (10)

2 1 9 (18) (9)

3 2 8 (21) (8)

4 3 7 (25) (7)

5 4 6 (38) (6)

6 5 5 (40) (5)

7 6 4 (68) (4)

8 7 3 (75) (3)

9 8 2 (85) (2)

10 9 1 (88) (1)

Soma 1838



TABELA 22 - Germinação de sementes de Matayba guianensis Aubl. em solo de mata e de cerrado, sob luzcontínua (Santos & Ranal, dados não publicados).

Trat/repetição ni G(%) t v VE CUG T(Timson) T(Labouriau)

mata/1 13 52 3,5385 0,2826 3,9167 1,7979 1664 4,2886

mata/2 19 76 4,7895 0,2088 4,6246 0,2597 1848 3,9152

mata/3 18 72 5,1667 0,1935 3,9841 0,2628 1572 3,7428

mata/4 17 68 3,7059 0,2698 5,3190 0,4530 2132 4,2984

Média 16,75 67 4,3002 0,2387 4,4611 0,6934 1804 4,0612

cerrado/1 20 80 3,2500 0,3077 6,7262 0,8421 2760 4,4516

cerrado/2 16 64 3,5625 0,2807 4,6500 2,0157 2024 4,2521

cerrado/3 15 60 4,0667 0,2459 4,3333 0,4294 1720 4,1346

cerrado/4 15 60 3,8000 0,2632 4,0667 2,3438 1784 4,1296

Média 16,5 66 3,6698 0,2744 4,9440 1,4078 2072 4,2420

v : velocidade média de germinação calculada com base na expressão (7);VE: velocidade de germinação calculada com base na expressão (9);

t : tempo médio de germinação calculado com base na expressão (1).

Como a germinação das sementes, emgeral, não é perfeitamente sincronizada, é possívelquantificar essa variação da germinação ao longodo tempo por meio de uma medida denominadaíndice de sincronização ou incerteza ( E , U, H ouI). Para isso, utiliza-se a seguinte expressão(Labouriau, 1983a):

∑−==

k

iii ffE

12log. sendo:

∑=

=

k

ii

ii

n

nf

1

(13)

onde:

:if freqüência relativa de germinação;

:in número de sementes germinadas no dia i;


Do ponto de vista prático, quantomenor for o valor de E , mais sincronizada será agerminação das sementes. A vantagem desseíndice é que seu valor não é influenciado pelonúmero total de sementes germinadas, nem pelotempo médio ou velocidade média degerminação.

O índice é expresso em bits, sendo bituma medida binária que conta, por exemplo,germina/não germina, ligado/desligado. Atransformação das freqüências de germinação (fi)

234 Santana e Ranal


em logaritmo da freqüência na base 2, converteesta medida binária em um peso de ponderação.Desta forma, if2log é o peso de ponderação decada freqüência registrada, cujo resultado é

expresso em ii ff 2log . Observando-se a quartacoluna da Tabela 23, pode-se verificar que 40sementes germinadas no sétimo dia têm massa

TABELA 23 - Número de sementes germinadas (ni) a cada dia (ti), para sementes de Ficus enormis(Mart. ex Miq.) Miq. que passaram pelo trato digestivo de morcegos e foram colocadas para germinar naluz (DL) e sementes submetidas à escarificação química (EQ), também mantidas para germinar na luz(Bobrowiec & Ranal, 2000).

DL EQ

it in if if2log ii ff 2log in if if2log ii ff 2log

6 20 0,1587 -2,6554 -0,4215 0 0,0000

7 40 0,3175 -1,6554 -0,5255 1 0,0100 -6,6439 -0,0664

8 24 0,1905 -2,3923 -0,4557 4 0,0400 -4,6439 -0,1858

9 18 0,1429 -2,8074 -0,4010 11 0,1100 -3,1844 -0,3503

10 10 0,0794 -3,6554 -0,2901 15 0,1500 -2,7370 -0,4105

11 6 0,0476 -4,3923 -0,2092 13 0,1300 -2,9434 -0,3826

12 2 0,0159 -5,9773 -0,0949 6 0,0600 -4,0589 -0,2435

13 0 0,0000 12 0,1200 -3,0589 -0,3671

14 3 0,0238 -5,3923 -0,1284 9 0,0900 -3,4739 -0,3126

15 0 0,0000 14 0,1400 -2,8365 -0,3971

16 1 0,0079 -6,9773 -0,0554 2 0,0200 -5,6439 -0,1129

17 1 0,0079 -6,9773 -0,0554 5 0,0500 -4,3219 -0,2161

18 0 0,0000 2 0,0200 -5,6439 -0,1129

19 1 0,0794 -6,9773 -0,0554 3 0,0300 -5,0589 -0,1518

20 0 0,0000 1 0,0100 -6,6439 -0,0664

21 0 0,0000 2 0,0200 -5,6439 -0,1129

∑ 126 1,0000 -2,6924 100 1,0000 -3,4890

6924,2=DLE bits 4890,3=EQE bits



muito menor (1,66) do que uma única sementegerminada no 19o dia (6,98). Isto significa que umaúnica semente germinando em um dia, é capaz deassincronizar o processo de germinação daamostra como um todo. Se for contado o númerode vezes que a amostra de sementes foi"acionada" para germinar, tem-se 11 vezes paraas sementes que passaram pelo trato digestivo demorcegos (DL) e 15 vezes para as que foramsubmetidas à escarificação química (EQ). Istosignifica que a primeira amostra foi maissincronizada que a segunda, sendo seu índice desincronização de menor valor em relação àprimeira.

Para facilitar, na tabela 24 estáapresentado um resumo das principaiscaracterísticas das medidas de germinaçãoapresentadas e discutidas nesse curso.

AGRADECIMENTOS

As autoras agradecem ao Núcleo deEspecialistas em Germinação - NEG que, em 1995,as estimulou a começar esse estudo; à ComissãoOrganizadora do 51o Congresso Nacional deBotânica e aos Congressistas que participaram domini-curso, pelo apoio e oportunidade para discutiro assunto; à Dra. Linda Caldas e Mirian Eira pelogentil e estimulante oferecimento do espaço daRBFV para a inclusão deste texto.

TABELA 24 - Resumo das principais medidas de germinação apresentadas.

Medida Unidade O que mede Adequado quando

Tempo médio ( t ) h ou d tempo qualquer situação

Velocidade média (v ) h-1 ou d-1 velocidade qualquer situação

Coeficiente de velocidade de

germinação (C.V.G.)

% velocidade qualquer situação

Velocidade de emergência (VE) Plânt./dia velocidadegerminabilidades forem iguais

germinação concentrada no

tempo (CUG alto)

Somatório de 10 (T) %.dia velocidade germinabilidades forem iguais

Coeficiente de uniformidade de

germinação (CUG)

h-2 ou dia-2 variabilidade

em torno do

tempo

tempos médios forem iguais

Índice de sincronização ( E ) bits sincronia qualquer situação

236 Santana e Ranal


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