anÁlise estatÍstica ii 1 variáveis 1) variáveis discretas – são aquelas que caracterizam...

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

Variáveis

1) Variáveis discretas – São aquelas que caracterizam valores que podem ser contados.

Ex.: Número de pessoas que acessam um caixa eletrônico em uma determinada data e horário.

Exemplos de distribuição de probabilidades discretasBinomialPoissonHipergeométrica

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2) Variáveis contínuas – São aquelas que caracterizam um processo de medição, podendo assumir qualquer valor num intervalo contínuo.

Ex.: Temperatura de uma peça

Exemplos de distribuição de probabilidades contínuasNormalUniformeExponencial

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Também chamada de distribuição de Gauss.

É a distribuição contínua mais utilizada no estudo da estatística. Sua utilização se deve ao fato da maioria das variáveis serem poderem ser caracterizadas por sua distribuição e por poder ser utilizada para fazer aproximações para várias distribuições de probabilidades discretas.

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Propriedades:

1. Simétrica

2. Apresenta um formato de sino

3. Sua amplitude é infinita

4. Suas medidas de tendência central são coincidentes, ou seja, média, mediana e moda

5. É fortemente caracterizada por sua média μ e seu desvio padrão σ

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Variando-se a média e o desvio padrão, obtém-se diferentes distribuições normais.

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A variação da média μ desloca a distribuição para a direita ou para a esquerda.

A variação do desvio padrão σ altera a amplitude da distribuição.

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FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL

Onde X é qualquer valor no intervalo contínuo de a .

2

σ

μ)(X

2

1

e2π

1f(X)

σ

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O cálculo da probabilidade é feito através da área sob a curva da distribuição até o valor de X.

Pela utilização da fórmula, o cálculo é feito através de uma integral definida desde até X

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A probabilidade de qualquer valor individual é zero.

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Etapas para cálculo da probabilidade normal:

1) Transformar a variável aleatória (X) em variável aleatória normal padronizada, ou seja, calcular a diferença (Z) entre o valor de X e a média aritmética μ, expressando o valor em unidades de desvio padrão σ.

Z terá sempre μ = 0 e σ = 1

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DISTRIBUIÇÃO NORMALEx.:Seja X normalmente distribuída, com média igual a 100 e desvio-padrão igual a 50. Calcule o valor de Z para X igual 200.

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DISTRIBUIÇÃO NORMALEx.:Seja X normalmente distribuída, com média igual a 100 e desvio-padrão igual a 50. Calcule o valor de Z para X igual 200.

O resultado significa que X = 200 está 2,0 desvios-padrão (2,0 incrementos de 50 unidades) acima da média 100

2,050

100200σμX

Z

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Função Densidade de Probabilidade Normal Padronizada:

Onde Z é qualquer valor na distribuição normal padronizada (valores acima da média são positivos e valores abaixo da média são negativos

2

Z2

e2π

1f(Z)

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A área total sob a curva é 1, com metade desse valor acima da média e metade abaixo.

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Tabela de distribuição normal padronizada

A tabela irá fornecer a probabilidade de ocorrência do valor de Z, desde até Z, isto é, a área sob a curva desde até Z.

Ex.: Calcular P(Z < 2).

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EXERCÍCIOS:

1) Considere uma distribuição normal padronizada, com média aritmética igual a zero e desvio-padrão igual a um.Qual é a probabilidade de que Z seja menor que 1,59?Qual é a probabilidade de que Z seja maior que 1,68?Qual é a probabilidade de que Z esteja entre 1,59 e 1,68?Qual é a probabilidade de que Z esteja entre -1,59 e 1,68?Entre que dois valores de Z (simetricamente distribuídos

em torno da média aritmética) estarão contidos 68,26% de todos os valores possíveis de Z?

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2) Considere uma distribuição normal padronizada. Qual é o valor de Z para uma probabilidade:menor que 95%?maior que 90%?

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL3) Em um curso de Estatística, um conjunto de notas de provas finais foi considerado como normalmente distribuído, com uma média igual a 6,7 e um desvio-padrão igual a 1,8. Qual é a probabilidade de se obter uma nota maior do que 7,4

nessas provas? Qual é a probabilidade de se obter uma nota igual ou menor

do que 9,0? Que percentagem de alunos tirou entre 5,3 e 8,9? Apenas 5% dos alunos que fizeram essas provas obtiveram

pontuação mais alta de que nota?

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4) Considere uma distribuição normal, com média igual a 85 e desvio-padrão igual a 17. Qual é o valor de X para uma probabilidade:menor que 99%?maior que 80%?

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL5) Os salários dos gerentes de bancos se distribuem normalmente, com média de $ 14.500 e desvio-padrão de $ 2.100. Qual é a percentagem de gerentes que recebem:

menos de $ 12.350? entre $ 13.400 e $ 16.570?

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