Anlise e Dimensionamento de Estruturas Metlicas Treliadas de Transporte de Energia Elctrica de

Acordo com o EC3(EN) e a EN50341-1

Joo Rodrigues Dias

Dissertao para obteno do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Jri Presidente: Professor Pedro Parreira Orientador: Professor Nuno Silvestre Vogal: Professor Lus Calado

Setembro de 2007

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RESUMO Neste trabalho realiza-se um estudo comparativo entre as disposies regulamentares do

Eurocdigo 3 e da norma EN 50341-1 quando aplicadas a uma estrutura metlica treliada de

transporte de energia elctrica. Em primeiro lugar, elabora-se um programa de clculo

utilizando linguagem C# com o objectivo de obter as foras correspondentes aco do vento

nos ns da estrutura treliada. Em seguida, utiliza-se o programa SAP2000 para realizar a

anlise de esforos para uma torre do tipo GSLF de 40m de altura e, posteriormente, efectua-

se a verificao de segurana das barras segundo os dois regulamentos mencionados.

Procede-se ainda realizao de um estudo sobre a influncia dos tipos de modelao de

barras nos resultados produzidos, sendo simulados um modelo de barras com ligaes bi-

encastradas e outro com ligaes entre barras bi-articuladas. Finalmente, efectua-se um

estudo acerca do comportamento de estabilidade (cargas crticas) e de vibrao (frequncias

prprias) deste tipo de estrutura. Dos estudos realizados, conclui-se que as diferenas no

dimensionamento final entre os dois regulamentos so mnimas e que ambos produzem

resultados semelhantes relativamente verificao de segurana das barras. Por outro lado, e

visto que ambos os modelos (de barras bi-encastradas e de barras bi-rotuladas) produzem

resultados semelhantes, aconselha-se a utilizao, sempre que possvel, do modelo de barras

bi-rotuladas face sua simplicidade de anlise e de dimensionamento (i.e., as regras de

verificao de segurana mais simples).

Palavras-Chave: Torre Treliada; Estruturas Metlicas; Cantoneiras; Elementos Finitos;

Comparao de Modelos; Eurocdigo 3

ii

ABSTRACT The objective of this paper is to perform a comparative study between the application of the new

version of Eurocode 3 and the European Standard EN 50341-1 to analyse steel lattice structure

for supporting overhead electrical lines. The structure analysed is a tower of the GSLF type

(iced zone) with 40m of higher. A code in c# language was developed to calculate the action

of the wind on the tower. After the computing the actions (forces) applied to this structure, the

internal forces and moments were calculated by means of code SAP2000. Using these results,

the member safety checking according to both standards was achieved (this part of the work

was completed in an Excel worksheet). This procedure was repeated for two different joint

models: one using fixed connection between bars (rigid nodes) and the other using members

with pinned connections (pinned nodes). From this work, it was possible to conclude that both

standards (EC 3 and EN 50341-1) give similar results, despite being different in nature.

Additionally, it was verified that both models (rigid and pinned) also gave similar results, the

later being more easy to analyse and perform the design and safety checking.

Keywords: Lattice tower; Steel structures; L- cross section; Finite elements; Modelling

comparison; Eurocode 3.

iii

AGRADECIMENTOS Ao longo do perodo que demorou a execuo deste trabalho senti, por vezes, o apoio de

algumas pessoas, e, penso eu, sem esse apoio este trabalho no teria chegado to longe.

Servem ento, as seguintes linhas para expressar de uma forma simples, um agradecimento

que no ser nunca por palavras pago.

Gostaria de agradecer ao Professor Nuno Silvestre por todo o tempo que me ajudou neste

trabalho, pelas horas que perdeu dedicado a esta dissertao que to fruto seu como meu.

No posso, ainda, deixar de agradecer pelos muitos conhecimentos que me transmitiu, que

sero de certo o mais importante deste trabalho para mim. Devo ainda agradecer pela

pacincia que teve para comigo ao longo de quase 10 meses, explicando por vezes,

repetidamente, conceitos que eu tive dificuldade em perceber.

Quero agradecer aos Professores Lus Guerreiro e Lus Castro e ao colega Mrio Rui, pela

ajuda que me deram na parte da modelao da estrutura. Pela colaborao que, seno tivesse

existido, teria impossibilitado a concretizao dos modelos de clculo de elementos finitos.

No podia deixar de referir duas pessoas que foram muito importantes ao longo deste trabalho,

so elas a minha tia Rita Margarida e o meu tio Jos Mendona que durante os longos dias

que passei em Lisboa sempre me trataram como um filho, por isso devo-lhes um

agradecimento especial.

Ao longo deste trabalho senti ainda o apoio dos meus colegas de turma que me acompanham

desde o primeiro ano do tcnico, dos colegas da turma de estruturas que fui conhecendo no

ltimo ano, dos colegas do LTICIVMAT e dos amigos que fiz em Praga que tanto me apoiaram

em terras estranhas.

Gostaria de agradecer aos meus avs, pai, me e irm, pelo apoio que me deram nos dias

mais chatos e claro, pelos subsdios que me deram.

Para terminara quero agradecer aos meus primos e amigos no geral, por colaborarem na

minha boa disposio.

Joo Rodrigues Dias

i

NDICE 1. INTRODUO ......................................................................................................................... 1

1.1. Consideraes Gerais e Reviso bibliogrfica................................................................... 2 1.2. Objectivos ........................................................................................................................... 2 1.3. Domnio de Aplicao ......................................................................................................... 3 1.4. Metodologia e Organizao do Trabalho ........................................................................... 3

1.4.1.Metodologia .................................................................................................................. 3 1.4.2.Organizao do Trabalho ............................................................................................ 3

2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS E TIPOS DE ANLISES ...................................................... 5 2.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................... 5

2.1.1 ANLISE ELSTICA LINEAR (de 1 ordem) ............................................................. 5 2.1.2. EFEITOS NO LINEARES ......................................................................................... 7

2.1.2.1. Efeitos Geometricamente No Lineares .......................................................... 7 2.1.2.2. Efeitos Fisicamente No Lineares ................................................................... 9 2.1.3.2. Tipos de Fenmenos de Instabilidade ............................................................. 10

2.2. TIPOS DE ANLISE ........................................................................................................... 11 2.2.1 ANLISE ELSTICA LINEAR .................................................................................... 11 2.2.2. ANLISES NO LINEARES ....................................................................................... 13

2.2.2.1. Anlise de Estabilidade .................................................................................... 13 2.2.2.1.1. Anlise Linear de Estabilidade ................................................................. 15 2.2.2.1.2. Anlise Elstica de 2a Ordem .................................................................. 16

2.2.3. ANLISE DE VIBRAO ........................................................................................... 19 2.2.3.1. Formulao das equaes de equilbrio dinmico ........................................... 19 2.2.3.2. Clculo das frequncias e modos de vibrao ................................................ 20

3. DISPOSIES DO EC3-EN E DA EN 50341-1 ......................................................................... 21 3.1. EC3: Partes 1.1, 1.5 e 3.1 ................................................................................................... 21

3.1.1 Classificao da estrutura ............................................................................................ 22 3.1.2 Considerao das imperfeies ................................................................................... 28 3.1.3. Escolha do mtodo de anlise e clculo dos esforos de dimensionamento ............ 30 3.1.4. Verificao de segurana ........................................................................................... 32

3.2. EN50341-1 e NNA .............................................................................................................. 42 3.2.1. Aces especficas a considerar ................................................................................ 43 3.2.2. Aco do vento sobre a torre ...................................................................................... 43 3.2.3. Aco das foras nos cabos ....................................................................................... 47 3.2.4. Regras especficas para o dimensionamento e verificao de segurana ................ 50

4. MODELAO, ANLISE E DIMENSIONAMENTO DE TORRES DE DISTRIBUIO DE ENERGIA ........................................................................................................................................ 53

4.1. Geometria, material, seces e ligaes entre barras ....................................................... 53 4.2. Modelao da estrutura ...................................................................................................... 59 4.3. Aces a considerar: peso prprio, vento e foras nos cabos ........................................... 63 4.4. Clculo da aco do vento na estrutura ............................................................................. 64 4.5. Combinaes de aces ..................................................................................................... 68 4.6. Anlise elstica e obteno dos esforos ........................................................................... 71 4.7. Verificaes de segurana .................................................................................................. 71 4.8. Estudo sobre a influncia da modelao dos ns no nvel de segurana .......................... 73 4.9. Influncia da modelao dos ns na estabilidade e vibrao da estrutura ........................ 74

5. ESTUDO COMPARATIVO SOBRE A APLICAO DO EC3-EN vs. NNA RELATIVAMENTE DETERMINAO DAS SECES EFECTIVAS ........................................................................ 77

5.1. Comparao entre as propriedades efectivas das seces obtidas segundo NNA e EC3 .................................................................................................................. 77 5.2. Comparao entre os nveis de segurana obtidos segundo o EC3 e a EN50341-1 ........ 81

5.2.1. Modificaes a introduzir na estrutura para verificao final de segurana ............... 85 5.3. Anlise de Estabilidade da Estrutura .................................................................................. 86 5.4. Anlise de vibrao da Estrutura ........................................................................................ 87

6. CONCLUSES ........................................................................................................................... 93

ii

LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 - Diversos tipos de torres de transporte de energia ....................................................... 1 Figura 2.1 - Diagrama tenso-deformao representativo do comportamento do ao . ................ 6 Figura 2.2 - Modelos do comportamento fsico do ao. .................................................................. 10 Figura 2.3 - Fenmenos de instabilidade ao nvel da estrutura. ..................................................... 11 Figura 2.4 - Relao carga-deslocamento dos diferentes tipos de anlise . .................................. 13 Figura 2.5 - Trajectrias de equilbrio obtidas atravs de anlises elsticas geometricamente no lineares ..................................................................................................................................... 14 Figura 2.6 - Coluna-viga sujeita a momentos de extremidade e a fora axial. ............................... 16 Figura 2.7 - Equilbrio de um troo da coluna-viga ua posio deformada. ................................... 16 Figura 2.8 - Sistema de deslocamentos global e local da coluna-viga. .......................................... 18 Figura 2.9 - Sistema de foras locais e globais da coluna-viga. ..................................................... 18 Figura 3.1 Curvas momento-curvatura para as diversas classes de seco preconizadas pelo EC3 .................................................................................................................................................. 23 Figura 3.2 Valores limite das esbeltezas para a classificao de elementos interiores .............. 25 Figura 3.3 Valores limite das esbeltezas para a classificao de elementos salientes ............... 26 Figura 3.4 Valores limite das esbeltezas para a classificao de elementos de cantoneiras e tubos ................................................................................................................................................ 26 Figura 3.5 Imperfeio global da estrutura e foras laterais equivalentes. ............................... 29 Figura 3.6 Imperfeio local e0 da barra e foras transversais equivalentes. ............................. 30 Figura 3.7 Efeitos de 2 ordem: (a) configurao deformada, (b) efeitos P-, (c) efeitos P- ..... 31 Figura 3.8 Seco efectiva ( compresso) da cantoneira e mudana de posio da eNz de linha neutra ...................................................................................................................................... 34 Figura 3.9 Seces efectivas da cantoneira: (a) NEd, (b) My,Ed, (c) Mz,Ed ...................................... 35 Figura 3.10 Elementos interiores: factor de encurvadura k e localizao das zonas efectivas 36 Figura 3.11 Elementos salientes: factor de encurvadura k e localizao das zonas efectivas . 37 Figura 3.12 Instabilidade de uma seco em cantoneira: (a) posio relativa entre centros de massa e de corte, e instabilidade por (b) flexo (menor inrcia) e (c) flexo-toro ...................... 39 Figura 3.13 Tabela B.1 do EC3 (Parte 1.1) sobre os coeficientes de interaco kij de barras no susceptveis a toro (LT0.2) ...................................................................................................... 41 Figura 3.15 Tabela B.3 do EC3 (Parte 1.1) sobre o factor de momento equivalente Cm ........... 42 Figura 3.16 Evoluo das velocidades no escoamento do ar em funo da altura .................... 44 Figura 3.17 Painis de elementos verticais (corpo) e horizontais (braos). ................................ 45 Figura 3.18 rea total efectiva do painel (direita) e rea efectiva que concorre no n (esquerda) ....................................................................................................................................... 47 Figura 3.19 esquema de uma catenria ...................................................................................... 48 Figura 3.20 Geometria e foras num troo da catenria ............................................................. 49 Figura 3.21 Pontos de ligao entre a estrutura e os cabos ....................................................... 49 Figura 3.22 Comparao entre as curvas (p) do EC3 e NNA da norma EN50341-1 .............. 51 Figura 4.1 Vista superior da torre (dimenses em mm) ................................................................ 54 Figura 4.2 Comprimento e configurao dos braos da torre (dimenso em mm) ..................... 54 Figura 4.3 Diversas perspectivas da torre ................................................................................... 55 Figura 4.4 (a) Travamento com apenas uma diagonal na parte superior da torre e (b) Travamento com duas diagonais e um n central na parte inferior da torre .................................. 56 Figura 4.5 Pormenor das barras de travamento na parte inferior da torre. ................................. 56 Figura 4.6 Configurao e sistema de eixos da cantoneira ......................................................... 56 Figura 4.7 Representao do tipo de perfis na torre ................................................................... 57 Figura 4.8 Tipos de ligaes por barra ........................................................................................ 58 Figura 4.9 Pormenor de vrios tipos de ligao ........................................................................... 59 Figura 4.10 Modelo articulado e modelo encastrado ................................................................... 60

iii

Figura 4.11 Fotografia dos pontos de ligao com os fios .......................................................... 61 Figura 4.12 Modelao adoptada para os pontos de ligao das linhas com a estrutura .......... 61 Figura 4.13 Apoio da torre ............................................................................................................ 63 Figura 4.14 Modelao adoptada para os apoios ........................................................................ 63 Figura 4.15 Esquema de funcionamento do programa para a obteno da fora do vento em cada n da estrutura ....................................................................................................................... 68 Figura 5.1 Conveno de sinais para seces do tipo cantoneira no programa Sap2000 ......... 79 Figura 5.2 Casos de seco efectiva devido simetria das cantoneiras (seco de classe 4) .. 79 Figura 5.3 Modelo da estrutura com representao das barras que no verificam a segurana 84 Figura 5.4 Pormenor das barras introduzidas na estrutura ......................................................... 86 Figura 5.5 Quadro resumo dos seis primeiros modos de vibrao da estrutura para o modelo de barras bi-encastradas ................................................................................................................. 90 Figura 5.6 Quadro resumo dos seis primeiros modos de vibrao da estrutura para o modelo de barras bi-articuladas ................................................................................................................... 91

LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Combinaes de aces a aplicar na estrutura ......................................................... 70 Tabela 4.2 Valores mdios do esforo axial para cada modelo analisado (em valor absoluto) .. 71 Tabela 4.3 Quadro resumo das tabelas retiradas do programa Sap2000 ................................... 72 Tabela 5.1 Propriedades das seces da estrutura para o esforo axial segundo o EC3 .......... 78 Tabela 5.2 Propriedades das seces da estrutura para o esforo axial segundo a norma EN50341-1 ...................................................................................................................................... 78 Tabela 5.3 Propriedades das seces da estrutura para momento flector de acordo com o caso 1, segundo o EC3 ................................................................................................................... 80 Tabela 5.4 Propriedades das seces da estrutura para momento flector de acordo com o caso 1, segundo a norma EN50341-1 ............................................................................................ 80 Tabela 5.5 Propriedades das seces da estrutura para momento flector de acordo com o caso 2, segundo o EC3 ................................................................................................................... 80 Tabela 5.6 Propriedades das seces da estrutura para momento flector de acordo com o caso 2, segundo a norma EN50341-1 ............................................................................................ 81 Tabela 5.7 Valores dos vrios parmetros utilizados para caracterizar o nvel de segurana para os dois modelos em estudo segundo o EC3 e a norma EN50341-1 ...................................... 82 Tabela 5.8 Barras e combinaes que no verificaram a segurana segundo o EC3 ou a norma EN50341-1 ........................................................................................................................... 83 Tabela 5.9 Barras que no verificaram a segurana segundo o EC3 ou a norma EN50341-1 .. 84 Tabela 5.10 Quadro com as alteraes a produzir na estrutura .................................................. 85 Tabela 5.11 Parmetro de carga crtica para as vrias combinaes de aces ....................... 86 Tabela 5.12 Frequncias de vibrao (em Hz) dos 12 primeiros modos, para o modelo de barras bi-encastradas e para o modelo de barras bi-rotuladas. ..................................................... 87

iv

v

LISTA DE SMBOLOS Latinas Minsculas b Largura da parede de uma seco b1 Largura superior do painel b2 Largura inferior do painel beff Largura efectiva e0 Imperfeio local eNi Excentricidade fu Tenso resistente ltima de traco h Valor mximo da flecha k Factor de encurvadura kij Coeficientes de interaco p Frequncia prpria de vibrao qh Presso dinmica do vento t Espessura da parede de uma seco

jiu , Derivada da componente i do campo de deslocamentos Segundo a componente j v Distncia corda y0 Coordenada do centro de massa G em relao ao centro de corte da seco S

Latinas Maisculas Ab rea bruta Aeff rea efectiva Anet rea til da seco, At rea efectiva de cada painel

ijklC Tensor que contm as constantes elsticas do material Cm Factor de momento equivalente Ct Factor de arrastamento do vento EI Esforos de 1 ordem totais ENS Esforos non-sway ES Esforos sway Fcr Conjunto dos valores dos esforos normais FEd Conjunto dos valores de clculo dos esforos normais provocados pelas cargas actuantes G Mdulo de distoro Gq Factor de resposta da estrutura solicitao do vento. Gt Factor de ressonncia estrutural H Reaco horizontal sobre os apoios HEd Foras horizontais dimensionamento Hi Componentes horizontais J Constante de toro L Distncia entre os apoios (vo).

Le,z e Le,y Comprimentos de encurvadura por flexo em torno dos eixos z e y Mcr Valor do momento crtico de bifurcao MRk,lig Momento flector resistente da ligao MRk,pl,barra Momento flector resistente das barras My e Mz Momento flector

EdyM , Momento flector actuante

RdyM , Momento flector resistente N Esforo normal Nb,Rd Valor de clculo do esforo axial da coluna tendo em considerao a resistncia encurvadura por flexo, toro ou flexo-toro

FTcrN , Carga crtica tendo em conta os efeitos de flexo-toro

EdN Esforo axial actuante

RdN Esforo axial resistente Ns Esforo axial de traco no cabo P Valor total da carga vertical. P- Deslocamento relativo entre as extremidades da barra P- Deslocamentos entre a configurao deformada Qwt Fora do vento sobre um painel da torre

EdT Momento torsor actuante

RdT Momento torsor resistente VEd Foras verticais Vh Velocidade das partculas(vento)

EdzV , Esforo transverso actuante

RdzV , Esforo transverso resistente Weff,y,min e Weff,z,min Mdulos de flexo efectivos

Vectores/Matrizes KMN Matriz de rigidez tangente

MNK Matriz de rigidez geomtrica [K] Matriz de rigidez da estrutura [M] Matriz de massa {v} Vector de representao da configurao deformada da estrutura (modo de vibrao)

Gregas cr Parmetro de carga crtica LT Parmetro de imperfeio para a instabilidade lateral

h Factor de reduo que toma em considerao a altura total da estrutura h m Actor de reduo que toma em considerao o nmero de colunas suficientemente carregadas da estrutura

vi

2 Mdia da razo entre o esforo actuante e o esforo resistente

3 Mdia da razo entre o esforo actuante e o esforo resistente em funo do volume da barra

2 Somatrio da razo entre o esforo actuante e o esforo resistente

3 Somatrio da razo entre o esforo actuante e o esforo resistente multiplicada pelo volume da barra Factor de reduo M1 Factor de segurana LT Factor de reduo para a instabilidade lateral LT Esbelteza normalizada da viga Parmetro de cedncia do ao

ij

Tensor das deformaes Imperfeio global

ngulo de incidncia do vento sobre a estrutura Fase (sismo)

3 Mdia da razo entre o esforo actuante e o esforo resistente multiplicada pelo volume da barra

0M e 1M Factores de segurana cr Carga crtica de bifurcao p Esbelteza normalizada

1 Nmero de casos que no verificam a segurana ao regulamento rel Rotao relativa entre barras adjacentes Factor de reduo de uma seco Massa especifica do ar

ij Tensor das Tenses y Tenso de cedncia Parmetro que relaciona as tenses na extremidade da placa

1

CAPTULO 1

1. INTRODUO As estruturas que servem de apoio a linhas de transporte de energia elctrica podem ter variadas

formas e dimenses e ser constitudas por diversos tipos de materiais, como se observa na figura 1.1.

Dentro das estruturas existentes podemos encontrar as torres metlicas treliadas, os postes de

estrutura tubular circular ou poligonal metlica ou simples postes de beto ou madeira.

Os postes que apresentam uma forma circular, podem ser construdos em ao, beto ou madeira.

Sendo que, normalmente, os postes em ao ou mistos ao-beto utilizam-se para altas tenses e os

de madeira para baixas tenses. Esta configurao estrutural tem a vantagem de necessitar de uma

base de apoio de menores dimenses e, por terem um menor impacto visual, constituem uma soluo

bastante adoptada em zonas urbanas. Os postes em madeira tem a vantagem de ser uma soluo

mais barata, mas tm a desvantagem de se deteriorarem mais facilmente ao longo do tempo.

Adicionalmente, existem ainda postes de beto cujas seces tm formas semelhantes a H ou U,

sendo normalmente utilizadas para baixas tenses. Esta soluo muito utilizada em Portugal por ser

econmica e com um periodo de vida til bastante significativo.

Por outro lado, e embora ocupem uma rea de solo maior e tenham grande impacto visual, as torres

com estrutura metlica treliada acabam por ser uma soluo bastante competitiva, e, portanto, uma

soluo muito utilizada no nosso pas. Dentro das configuraes estruturais, as estruturas treliadas

variam consoante o nmero de linhas e a zona de construo. Neste trabalho, estudar-se- o

comportamento de torre metlicas do tipo treliado, cujos perfis metlicos so cantoneiras e se

encontram aparafusados.

Figura 1.1 - Diversos tipos de torres de transporte de energia

2

1.1. Consideraes Gerais e Reviso bibliogrfica A iminente entrada em vigor, com carcter obrigatrio, da nova verso do Eurocdigo 3 (EC31) faz

com que seja indispensvel a familiarizao dos projectistas de estruturas com a filosofia, os

fundamentos e a aplicao das suas disposies [1.1]. Relativamente ao dimensionamento e

verificao de segurana de estruturas de ao, a utilizao do EC3 requer uma abordagem especfica,

a qual envolve (i) o domnio de vrios conceitos e (ii) a execuo sequencial de um conjunto de

procedimentos que necessrio identificar e caracterizar com clareza. Relativamente s estruturas

metlicas treliadas de transporte de energia, pode afirmar-se que se tratam de estruturas bastante

esbeltas, com alturas que podem atingir cerca de 40 metros, e frequentemente constitudas por barras

com seco em L (cantoneiras). A anlise, dimensionamento e verificao da segurana deste tipo de

estruturas baseia-se na nova Norma Europeia EN 50341-1 (Overhead electrical lines exceeding AC 45

kV Part 1: General requirements Common specifications), e em particular de acordo com o Anexo

J (Lattice steel towers) [1.2]. No entanto, nos casos em que este documento for omisso, deve recorrer-

se ao EC3. A EN 50341-1 refere explicitamente que as estruturas treliadas de transporte de energia

devem ser modeladas atravs de barras bi-articuladas, i.e., apenas submetidas a esforo axial

(compresso ou traco). Por outro lado, as cantoneiras quando submetidas a compresso uniforme

podem ser classificadas como sendo seces de Classe 4, facto que indica uma grande

susceptibilidade das mesmas a fenmenos de encurvadura local e a necessidade de considerar uma

reduo na rea bruta (i.e., rea efectiva) para a verificao de segurana. No entanto, a EN 50341-1

e o EC3 (parte 1-5) preconizam diferentes expresses para o clculo da largura efectiva dos

elementos salientes (abas da cantoneira) [1.3]. Para alm de implicaes relativamente ao nvel de

segurana exibido por uma estrutura, este facto pode conduzir a estruturas mais (ou menos) econmicas

(quantidade de ao), dependendo do documento a utilizar no seu dimensionamento.

1.2. Objectivos O objectivo principal desta dissertao consiste em abordar metodologias de anlise e

dimensionamento especficas para estruturas metlicas treliadas de transporte de energia e, em

particular, pretende-se comparar as especificaes estipuladas pelo EC3-EN e pela EN 50341-1 para

este tipo de estrutura. Em particular, existe ainda um conjunto de objectivos secundrios relacionados

com (i) a modelao da estrutura, (ii) o tipo de aces principais, (iii) o tipo de anlise a efectuar e (iv)

as regras de verificao de segurana a adoptar. No que diz respeito modelao da estrutura,

pretende-se adoptar dois modelos distintos para a modelao dos ns da estrutura. Relativamente ao

tipo de aces a incluir, e visto que os regulamentos prevem que o vento deva ser considerado na

anlise, tambm objectivo do trabalho desenvolver um programa de clculo automtico especfico

para simular a aco do vento nas barras e ns da estrutura. No que diz respeito ao tipo de anlise,

efectuar-se-o diversos tipos de anlise (elstica linear, estabilidade, no linear, vibrao) e os

resultados sero comentados. Finalmente, tem-se ainda como objectivo o desenvolvimento de uma

1 O EC3 corresponde norma europeia EN 1993. No entanto, e de aqui em diante, designar-se- este documento simplesmente por EC3.

3

folha de clculo que permita a verificao de segurana segundo as diferentes normas. Claro que este

objectivo se baseia inicialmente num estudo aprofundado sobre as normas regulamentares em vigor.

1.3. Domnio de Aplicao Neste trabalho, pretende-se efectuar um estudo de uma torre de transporte de energia do tipo GSLF,

utilizada em zona de gelo, com cerca de 40m de altura aproximadamente, sendo que as linhas que

esta apoia transportam electricidade a 60 kV. O estudo a efectuar visa a comparao entre as

disposies regulamentares do EC3 e da norma EN 50341-1, no concerne anlise e

dimensionamento deste tipo de estrutura. Embora no se possa afirmar que as concluses a retirar

deste estudo possam ser quantificveis e extrapolveis para outras configuraes de torre, exitiro

por certo algumas concluses qualitativas que devero ser tidas em considerao na anlise e

dimensionamento de torres com estrutura treliada.

1.4. Metodologia e Organizao do Trabalho

1.4.1. Metodologia As tarefas a executadas no mbito desta Dissertao so as seguintes: (i) estudo dos conceitos

fundamentais relativos ao tpico do trabalho, (ii) investigao sobre as disposies regulamentares do

EC3 e da norma EN 50341-1, (iii) familiarizao com a utilizao do programa SAP, (iv)

implementao computacional do programa auxiliar para a introduo de foras devidas ao vento nos

ns da estrutura, (v) planeamento das anlises a efectuar (identificao dos parmetros a considerar

e definio da sequncia de realizao das anlises), (vi) execuo das anlises e tratamento dos

resultados e (vii) apresentao das principais concluses do estudo efectuado.

1.4.2. Organizao do Trabalho

Este trabalho encontra-se organizado em 6 captulos, cujos contedos se indicaro de seguida:

(i) Captulo 1- Introduo. Neste captulo, apresenta-se uma breve introduo ao tema em estudo

e descreve-se o trabalho muito sucintamente.

(ii) Captulo 2- Conceitos Fundamentais e Tipos de anlises. Neste captulo so apresentados os

conceitos tericos mais relevantes para a abordagem aos fenmenos de natureza no linear

mais frequentes nas estruturas metlicas (estabilidade e plasticidade). So ainda descritos os

vrios tipos de anlise que se podem efectuar para estruturas deste tipo.

(iii) Captulo 3- Disposies do EC3-EN e da EN 50341-1. Neste captulo so apresentadas e

descritas todas as regras do EC3 (Partes 1.1 e 1.5) que so necessrias anlise de estruturas

de torres treliadas com seco em cantoneira. So ainda enunciadas as regras da norma EN

50341-1 necessrias anlise da estrutura, bem como as alteraes que esta produz ao

regulamentado pelo EC3.

4

(iv) Captulo 4- Modelao, Anlise e Dimensionamento de Torres de Distribuio de Energia.

Neste captulo explica-se de forma detalhada o processo que conduziu modelao, anlise e

dimensionamento da estrutura, assim como todos clculos necessrios obteno dos

resultados.

(v) Captulo 5- Estudo Comparativo sobre a aplicao do EC3-EN vs EN 50341-1. Neste captulo

efectua-se o estudo entre as duas normas, quer ao nvel dos resultados obtidos no clculo das

propriedades efectivas das seces quer no que se refere aos resultados obtidos na verificao

de segurana nas barras.

(vi) Captulo 6 Concluses. Finalmente, apresentam-se muito sucintamente as principais

concluses do estudo efectuado bem como algumas indicaes a ter em conta futuramente na

anlise e dimensionamento de torres treliadas de distribuio de energia.

5

CAPTULO 2

2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS E TIPOS DE ANLISES

2.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

A avaliao do comportamento de uma estrutura, submetida a um conjunto de aces, efectuada

atravs do estabelecimento de relaes entre as aces e os efeitos por elas provocados (por

exemplo, tenses, deformaes, deslocamentos). A determinao dessas relaes requer a

considerao de quatro tipos de equaes [2.1]:

(i) Equaes de Equilbrio - Estabelecem relaes entre foras aplicadas e tenses

desenvolvidas no elemento.

(ii) Relaes Constitutivas - Relacionam tenses e deformaes.

(iii) Relaes Cinemticas - Estabelecem relaes entre deformaes e deslocamentos.

(iv) Equaes de Compatibilidade2 - Destinadas a garantir que a estrutura respeita as ligaes

dos vrios elementos entre si e dos vrios elementos com o exterior (condies de fronteira do

problema).

O nvel de preciso dos resultados da anlise de uma estrutura depende, em grande parte, do

nmero e tipo de hipteses simplificativas adoptadas na formulao dos tipos de equaes

anteriormente mencionados. Assim, os diferentes tipos de anlise existentes (apresentados na

seco 2.2.) e os correspondentes graus de aproximao em relao soluo "exacta" de um

determinado problema (soluo que descreve o comportamento real da estrutura) dependem das

simplificaes adoptadas.

2.1.1 ANLISE ELSTICA LINEAR (de 1 ordem)

Uma anlise elstica linear (de 1 ordem) resulta da adopo de hipteses simplificativas na

descrio do comportamento geomtrico da estrutura e do comportamento fsico do material, as quais

se designam por hipteses de [2.2]:

(i) Linearidade Fsica - Adopo de uma relao constitutiva elstica linear no comportamento do

material, a que corresponde uma relao biunvoca (de proporcionalidade) entre os tensores

2 Equaes de compatibilidade so, normalmente, includas nas relaes cinemticas.

6

das tenses e das deformaes.

(ii) Linearidade Geomtrica - Adopo da hiptese dos pequenos deslocamentos, na qual as

equaes de equilbrio so estabelecidas na configurao indeformada da estrutura e as

relaes cinemticas so formuladas com termos lineares.

Entre os mais variados materiais que apresentam um comportamento elstico linear na fase inicial de

carregamento encontra-se o ao, o qual se mantm em regime elstico at atingir a tenso de

cedncia (ver Figura 2.1) e posteriormente se caracteriza por deformao em regime plstico. A

relao constitutiva considerada na hiptese de linearidade fsica assume a forma

klijklij C = (2.1)

onde (i) ij e ij so, respectivamente, o tensor das tenses e das deformaes e (ii) Cijkl um tensor de quarta ordem que contm as constantes elsticas que caracterizam o comportamento do material

(os ndices k e l so ndices que respeitam a conveno da soma). A expresso (2.1) designada por

Lei de Hooke Generalizada [2.3].

Figura 2.1 - Diagrama tenso-deformao representativo do comportamento do ao [2.4].

Por outro lado, a hiptese da linearidade geomtrica considera que as relaes cinemticas (relaes

entre deformaes e deslocamentos) contm apenas termos lineares3 (de 1 grau) e apresentam a

seguinte forma em coordenadas cartesianas,

( )i,jj,iij uu21 += (2.2) onde (i) ij o tensor das deformaes e (ii) ui,j a derivada da componente i do campo de deslocamento em ordem coordenada j.

3 As componentes de deformao so combinaes lineares de derivadas das componente de deslocamento.

7

Ao adoptar as hipteses da linearidade fsica e geomtrica, possvel aplicar o Princpio da

Sobreposio de Efeitos s anlises elsticas lineares. Segundo este Princpio, uma combinao

linear das solues das anlises efectuadas tendo por base um sistema de cargas elementar igual

soluo de uma nica anlise resultante da combinao linear dos vrios sistemas de cargas

elementares [2.2].

2.1.2. EFEITOS NO LINEARES

A realizao de uma anlise elstica linear (de 1 ordem) de uma estrutura para avaliar o seu

comportamento muito limitativa, em virtude de no tomar em considerao uma srie de factores de

natureza geomtrica e fsica, que quase sempre ganham relevncia medida que o nvel de

carregamento e de deformao aumenta. Para alm de no permitir revelar a degradao de

resistncia de uma estrutura devido ao regime plstico do material constitutivo, a execuo de uma

anlise elstica linear (de 1 ordem) tambm no permite evidenciar outros fenmenos de

caractersticas intrinsecamente no lineares, tais como os fenmenos de instabilidade (como so

fenmenos de natureza geometricamente no linear, necessrio estabelecer o equilbrio na posio

deformada da estrutura). Assim, os efeitos no lineares esto intimamente ligados s duas hipteses

referidas anteriormente e podem ser classificados em:

(i) Efeitos Geometricamente No Lineares - Dizem respeito ao estabelecimento das equaes de

equilbrio na configurao deformada da estrutura e esto associados as relaes cinemticas

(deformaes-deslocamentos) com termos no lineares.

(ii) Efeitos Fisicamente No Lineares - Dizem respeito existncia de uma relao constitutiva no linear (ou, no mnimo, linear por troos) e esto associados degradao de rigidez

(cedncia e plastificao) do material sob aumento da deformao.

Nos pontos seguintes apresenta-se uma caracterizao mais detalhada dos efeitos geomtrica e

fisicamente no lineares.

2.1.2.1. Efeitos Geometricamente No Lineares

Os efeitos geometricamente no lineares so considerados na anlise de estruturas atravs (i) da

implementao de relaes cinemticas com termos no lineares e/ou (ii) da determinao das

equaes de equilbrio na sua configurao deformada. Neste caso, as relaes cinemticas contm

termos no lineares, o que se deve ao facto de no se adoptar a hiptese dos pequenos

deslocamentos (e consequentemente, a hiptese das pequenas deformaes). Neste caso, as

componentes de ndices iguais do tensor das deformaes num ponto deixam de corresponder a

extenses lineares segundo as trs direces do referencial (cartesiano) no mesmo ponto. Tal implica

que deixa de ser vlida a seguinte relao [2.2]

( ) kk2kkkk 11112e =++= (2.3)

8

visto que para valores muito pequenos de kk se tem

( )2kkkk2kkkk 11212 +=+++ (2.4) Em virtude da no adopo da hiptese dos pequenos deslocamentos, o termo quadrtico uk,iuk,j deve

ser tido em considerao na definio do tensor das deformaes de Green para o sistema de

coordenadas cartesiano [2.3].

( )j,ki,ki,jj,iij uuuu21 ++= (2.5) A segunda forma de considerar os efeitos geometricamente no lineares na anlise de estruturas est

relacionada com os aspectos geomtricos a ter em conta na determinao das equaes de equilbrio

com base na configurao deformada da estrutura. Alguns dos aspectos geomtricos normalmente

considerados so os seguintes:

(i) A considerao do deslocamento de uma extremidade da barra em relao outra. Este efeito est associado rotao da corda4 da barra.

(ii) A considerao do deslocamento da configurao deformada da barra em relao sua corda. Este efeito pressupe sempre a determinao prvia do deslocamento .

(iii) A deformao axial devido s tenses axiais e/ou encurvadura da barra.

(iv) A deformao por corte da barra, a qual pode ser relevante se a barra for curta.

(v) Instabilidades locais das seces, locais das barras e globais do prtico.

A parcela de deformao de uma barra por esforo transverso , na maioria dos casos, muito inferior

parcela de deformao por flexo. A influncia da deformao por esforo transverso deixa de ser

desprezvel no caso de barras "curtas" (caso em que o comprimento da barra no exceda 3 vezes a

maior dimenso da seco) [2.6]. Este efeito no tido em conta neste trabalho, uma vez que todas

as barras inseridas nas trelias apresentadas podem ser classificadas como "longas" (esbeltas).

A ocorrncia de fenmenos de instabilidade local das paredes da seco de uma barra (p.e.,

instabilidade local de placa) pode condicionar a capacidade resistente da mesma. A utilizao 'de'

perfis com paredes finas, i.e., de espessuras reduzidas (p.e., perfis de ao enformados a frio), pode

aumentar a importncia deste fenmeno. Este fenmeno normalmente tido em considerao nos

regulamentos (nomeadamente, no EC3) atravs da reduo da rea efectiva das seces[2.7].

A considerao dos fenmenos de instabilidade ter muita importncia neste trabalho uma vez que

4 Designa-se por corda o segmento recto que liga as duas extremidades de uma barra.

9

parte dos perfis utilizados (alguns tipos de cantoneiras) so bastante susceptveis a estes fenmenos

por apresentarem elevada esbelteza nas placas que os constituem. Alm destes, sero ainda tidos

em considerao os fenmenos de instabilidade global, nomeadamente os modos de instabilidade

por flexo e/ou flexo-toro.

Outro aspecto normalmente relevante diz respeito considerao de ligaes semi-rgidas entre

elementos da estrutura e/ou entre a estrutura e a fundao. A considerao de ligaes semi-rgidas,

em substituio das ligaes rgidas, torna a estrutura mais flexvel e pode aumentar a

susceptibilidade da mesma aos efeitos de 2a ordem (P-delta). Como tal ser efectuado um estudo

admitindo as ligaes rgidas e outro admitindo as ligaes rotuladas. No entanto, e visto que o

estudo de ligaes no constitui um dos objectivos do presente trabalho, admite-se que as ligaes

so sempre rgidas entre elementos e rgidas ou rotuladas entre a estrutura e a fundao.

2.1.2.2. Efeitos Fisicamente No Lineares

Os efeitos fsicos esto obviamente relacionados com as propriedades fsicas dos materiais. A

hiptese da linearidade fsica admite que a relao constitutiva do material linear (material elstico

linear). Como se pode observar na Figura 2.1, esta hiptese permanece vlida sempre que o nvel de

tenso seja inferior tenso de cedncia do material (e.g., o ao), o que sucede para carregamentos

de valor baixo a moderado. Ao atingir a tenso de cedncia, o ao perde capacidade resistente para

incrementos de carga e tambm a capacidade de recuperao da forma inicial. A descarga tem lugar

numa trajectria de equilbrio paralela fase elstica, aps a qual o ao exibe uma deformao

permanente (ou deformao residual). Aps o patamar de cedncia, a curva tenso-deformao do

ao exibe um ligeiro endurecimento, o qual no normalmente tido em considerao nas anlises

elasto-plsticas.

Desta forma, o comportamento fisicamente no linear do ao pode ser aproximado atravs de vrios

modelos, com diferentes nveis de aproximao do comportamento real, tais como (ver Figura 2.2):

(i) Rgido-Plstico - Este modelo no considera a ocorrncia de deformao do material at se

atingir a sua tenso de cedncia (y). A partir do momento em que se atinge a tenso de cedncia, o material apresenta deformaes ilimitadas sob tenso constante.

(ii) Elasto-Plstico - Neste modelo, o material possui um comportamento elstico linear at se

atingir a tenso de cedncia (y), apresentando de seguida deformaes ilimitadas a tenso constante.

(iii) Elasto-Plstico com Endurecimento - Este modelo tem um comportamento igual ao apresentado

pelo modelo elasto-plstico, mas com um limite mximo do patamar de cedncia, aps o qual

exibe um ligeiro acrscimo de resistncia que pretende modelar o endurecimento (ver Figura

2.1).

10

Figura 2.2 - Modelos do comportamento fsico do ao.

A implementao da hiptese de no linearidade fsica numa anlise requer igualmente a

considerao de modelos que insiram, de forma mais ou menos aproximada, o modo como a

plastificao se propaga nos elementos. Pode afirmar-se que, fundamentalmente, existem dois

modelos utilizados para este fim:

(i) Rtula Plstica - Este modelo concentra toda a plasticidade na seco.

(ii) Espalhamento Plstico - Este modelo permite aproximar o espalhamento plstico

simultaneamente na seco e ao longo do comprimento da barra.

2.1.3.2. Tipos de Fenmenos de Instabilidade

Em barras com seco de parede fina, os fenmenos de instabilidade podem classificar-se nos

seguintes trs tipos:

(i) Fenmenos de Instabilidade Local - Caracterizam-se pela deformao das seces transversais

no seu plano, permanecendo o eixo da barra indeformado.

(ii) Fenmenos de Instabilidade Global - Caracterizam-se pela deformao do eixo da barra,

ocorrendo apenas deslocamentos de corpo rgido das seces transversais (seco

indeformvel no seu plano).

(iii) Fenmenos de Instabilidade Mistos - Caracterizam-se pela ocorrncia simultnea de

deformao das seces transversais e do eixo da barra.

A ocorrncia de instabilidade ao nvel da estrutura (vista como um conjunto de barras) pode ser

classificada nos seguintes tipos (ver Figura 2.3):

(i) Fenmenos de Instabilidade Local - Caracterizam-se pela deformao de uma parte da

estrutura (normalmente, uma barra), permanecendo a restante estrutura na configurao inicial

(indeformada). Trata-se de um tipo de instabilidade cuja ocorrncia menos frequente em

virtude das ligaes entre barras exibirem quase sempre uma rigidez mnima, facto que

associado compatibilidade a respeitar nos ns de ligao, induz deformao nas barras

11

adjacentes barra instabilizada, impedindo muitas vezes a instabilidade local do prtico.

(ii) Fenmenos de Instabilidade Global - Caracterizam-se pela deformao de todas as barras da

estrutura. Frequentemente, os ns de ligao entre barras apresentam deslocamentos

horizontais e o prtico deforma-se lateralmente (modo de instabilidade com deslocamentos

laterais5) Em algumas situaes (p.e., estrutura contraventada lateralmente), o modo de

instabilidade global do prtico pode envolver apenas rotaes dos seus ns, designando-se o

mesmo por modo de instabilidade sem deslocamentos laterais6.

Figura 2.3 - Fenmenos de instabilidade ao nvel da estrutura.

2.2. TIPOS DE ANLISE

No dimensionamento e verificao de segurana de uma estrutura, a obteno de um conjunto de

resultados (esforos e deslocamentos) indispensveis ao seu dimensionamento, s possvel

atravs da realizao de uma anlise. Toma-se ento necessrio ter uma noo completa do

conjunto de anlises disponveis e conhecer, de uma forma rigorosa, os conceitos subjacentes a cada

tipo de anlise e o grau de aproximao dos resultados obtidos face aos resultados "exactos".

2.2.1 ANLISE ELSTICA LINEAR

A anlise elstica linear (1 ordem) constitui o tipo de anlise mais simples visto que adopta as

hipteses da (i) linearidade fsica e (ii) linearidade geomtrica (referidas no ponto 2.1.). A relao

entre carga e deslocamento sempre linear, como se pode observar na Figura 2.4.

Este tipo de anlise permite obter uma estimativa simples dos esforos resultantes da aplicao das

foras em cada barra da estrutura, uma vez que no permite incorporar os restantes factores

existentes no comportamento estrutural e material, designados por efeitos no lineares, os quais

influenciam sempre a resposta da estrutura, principalmente nos estados limites ltimos (filosofia

adoptada neste trabalho).

A preciso dos resultados obtidos atravs da anlise elstica de 1 ordem diminui com o aumento de

carga (aumentam os efeitos no lineares) e torna-se mais penalizador em estruturas com pouca

5 "Sway buckling mode", na designao anglo-saxnica. 6 "Non-sway buckling mode", na designao anglo-saxnica.

12

restrio a deslocamentos laterais (locais ou globais). Significa que este tipo de anlise no deve ser

utilizado isoladamente, no dimensionamento de estruturas aos estados limites ltimos, caracterizados

por esforos elevados e elevadas deformaes, nos quais os efeitos no lineares adquirem

importncia extrema. Para esses nveis de esforo, no aceitvel desprezar a cedncia do material

nem os deslocamentos sofridos pelos prticos. No entanto, para certas verificaes aos estados

limites de servio (carregamentos tpicos de baixo valor) os resultados obtidos por este tipo de anlise

so bastante aceitveis. Neste trabalho ser efectuado um estudo comparativo para a estrutura entre

uma anlise de 1 ordem e uma anlise de 2 ordem.

Embora os resultados obtidos, no que concerne aos estados limites ltimos sejam por vezes algo

penalizadores, a utilizao da anlise elstica de 1 ordem muitssimo frequente devido (i)

facilidade de implementao (pouco "pesada" computacionalmente) e (ii) possibilidade de utilizao

do Princpio de Sobreposio de Efeitos. Assim, a anlise de prticos com carregamentos complexos

equivalente a uma combinao de anlises com carregamentos mais simples. A utilizao do

Princpio de Sobreposio de Efeitos permite ainda que seja indiferente a ordem pela qual as cargas

so aplicadas na estrutura. De forma a aproveitar estas propriedades e aumentar a preciso dos

resultados, frequente aliar os resultados de uma anlise elstica de 1 ordem com metodologias

aproximadas que, de alguma forma, tenham em conta os efeitos no lineares. Este procedimento

permitido por diversos regulamentos de estruturas de ao actualmente em vigor.

Figura 2.4 - Relao carga-deslocamento dos diferentes tipos de anlise [2.5].

2.2.2. ANLISES NO LINEARES

As anlises de carcter no linear podem incorporar os efeitos no lineares de forma total ou parcial.

Nos subpontos seguintes caracterizam-se alguns tipos de anlise existentes. A realizao de anlises

no lineares requer frequentemente a (i) resoluo de problemas de valores e vectores prprios e/ou

(ii) utilizao de procedimentos incrementais-iterativos, visto que as condies de formulao das

13

relaes constitutivas e de equilbrio esto em constante alterao.

2.2.2.1. Anlise de Estabilidade

A anlise de estabilidade elstica de um sistema estrutural caracteriza-se pelo (i) estabelecimento das

equaes de equilbrio na configurao deformada e pela (ii) considerao das relaes cinemticas

no lineares.

Apenas em problemas muito simples possvel determinar solues analticas exactas para as

trajectrias de equilbrio. Em geral, atravs da utilizao de simplificaes nas equaes dos

deslocamentos adicionais relativos trajectria fundamental na descrio do comportamento

geometricamente no linear das estruturas, s se consegue determinar trajectrias de equilbrio de

forma aproximada. As anlises de estabilidade que conduzem a trajectrias de equilbrio aproximadas

designam-se por Anlises de Estabilidade Aproximadas, as quais diferem entre si pelo nvel de

aproximao na descrio do comportamento geometricamente no linear.

Relativamente ao nvel de aproximao nas relaes cinemticas e ao tipo de estrutura considerada,

"ideal" (sem imperfeies geomtricas) ou "real" (com imperfeies geomtricas), existem trs tipos

de anlise de estabilidade elstica (ver Figura 2.5) [2.1]:

(i) Anlise Linear de Estabilidade - Permitem obter as cargas de bifurcao e os correspondentes

modos de instabilidade de estruturas "ideais", nomeadamente a carga crtica (1 carga de

bifurcao) e o modo crtico de instabilidade.

(ii) Anlise No Linear "Exacta" - Aplica-se a estruturas "reais" e permite a determinao de

trajectrias de equilbrio no lineares "exactas". Este tipo de anlise inclui todo o tipo de efeitos

geometricamente no lineares (efeitos P-Delta), requer a utilizao de tcnicas incrementais-

iterativas e, por isso, pode tornar-se bastante dispendiosa do ponto de vista computacional.

(iii) Anlise No Linear "Aproximada" - Aplica-se igualmente a estruturas "reais" e permite a

determinao de trajectrias de equilbrio no lineares "aproximadas". Estas trajectrias de

equilbrio (iii1) aproximam razoavelmente as trajectrias de pr-encurvadura "exactas" para um

baixo nvel de carga e (iii2) tendem assimptoticamente para a carga de bifurcao obtida atravs

da anlise linear de estabilidade. Este tipo de anlise baseia-se na identificao de duas

parcelas de esforos e/ou deslocamentos (sway e non sway7) e determinao da carga

crtica de bifurcao atravs de uma anlise linear de estabilidade preliminar. A carga crtica

serve para calcular o factor de amplificao dos esforos e/ou deslocamentos da parcela sway.

Os esforos e/ou deslocamentos de 2 ordem (no lineares) aproximados correspondem soma

da parcela non-sway com a parcela sway amplificada.

7 Sway e Non-Sway designam respectivamente as parcelas de esforos com e sem deslocamentos laterais.

14

Figura 2.5 - Trajectrias de equilbrio obtidas atravs de anlises elsticas geometricamente no lineares

Neste trabalho so utilizadas a anlise elstica linear (anlise de 1 ordem), a anlise linear de

estabilidade e a anlise no linear "exacta", sendo estas anlises mais desenvolvidas na sua

explicao.

2.2.2.1.1. Anlise Linear de Estabilidade

A anlise linear de estabilidade aplica-se a problemas que apresentem instabilidade bifurcacional, em

que a trajectria fundamental linear e se pretende determinar unicamente cargas de bifurcao e

respectivos modos de instabilidade. Na grande maioria dos casos, apenas interessa determinar a

menor das cargas de bifurcao (carga crtica de bifurcao - cr ) e o correspondente modo de instabilidade (modo crtico de instabilidade). Por outro lado, e para que no haja fenmenos de

interaco entre modos de instabilidade no domnio da ps-encurvadura, bastante de estrutura para

estrutura e, em particular, de modo para modo de instabilidade.

Numa anlise linear de estabilidade, as equaes de equilbrio so estabelecidas na configurao

deformada da estrutura, "linearizando-se" (retendo somente os termos lineares do desenvolvimento

de Taylor) os deslocamentos adicionais relativamente trajectria fundamental. A consequncia

desta "linearizao" a total perda de informao sobre o comportamento de ps-encurvadura da

estrutura, sendo o comportamento de ps-encurvadura substitudo por um patamar horizontal de valor

cr (ver Figura 2.5).

Neste trabalho, a anlise linear de estabilidade realizada atravs do programa comercial SAP2000,

o qual utiliza o mtodo dos elementos finitos para o clculo numrico de estruturas. Como habitual,

a obteno da soluo duma anlise linear de estabilidade implica a resoluo de um problema de

valores (cargas de bifurcao) e vectores prprios (modos de instabilidade),

0vK MMN = (2.6)

15

onde (i) KMN a matriz de rigidez tangente associada a um dado carregamento (perfil de esforos

axiais a que as barras esto submetidas por aco de todas as foras aplicadas) e (ii) vM o vector

dos deslocamentos generalizados (vector prprio) associado ao valor prprio da matriz. A matriz KMN

composta pela soma de duas parcelas, tal que

MNiMN0

MN KKK += (2.7)

onde, (i) MN0K a matriz de rigidez linear, a qual pode incluir os efeitos dos esforos axiais iniciais PM

(independente do parmetro de carga ), (ii) MNK a matriz de rigidez geomtrica associada degradao de rigidez devida a um perfil de esforos de compresso QM e (iii) i o valor prprio i (factor pelo qual a carga multiplicada para se obter a carga de bifurcao i) correspondente ao

modo de instabilidade i. A carga de bifurcao i dada por

M

iM QP + (2.8)

correspondendo a carga crtica de bifurcao ao valor mais baixo de i. Os modos de instabilidade vM so vectores definidos a menos de um factor multiplicativo.

No presente trabalho, o conhecimento da carga crtica e do modo de instabilidade crtico suficiente.

O modo crtico serve para definir o sentido das imperfeies geomtricas equivalentes, tal como

prev o EC3. Por outro lado, a carga crtica pode servir para obter um diagrama de esforos

aproximado, utilizando para tal o mtodo de amplificao de efeitos sway proposto pelo EC3.

2.2.2.1.2. Anlise Elstica de 2a Ordem

Para a realizao deste tipo de anlises, utiliza-se o programa SAP2000 . Este programa utiliza o

modelo de uma coluna-viga, em equilbrio na posio deformada e submetida a cargas nodais nas

suas extremidades (ver Figura 2.6). Em seguida, e de forma muito resumida, apresenta-se a

formulao de base deste modelo.

Figura 2.6 - Coluna-viga sujeita a momentos de extremidade e a fora axial.

IO estabelecimento do equilbrio de um troo (de comprimento x) da coluna-viga na sua posio

deformada (observar Figura 2.7) permite obter a equao de equilbrio

16

EIMx

LEIMMy

dxyd ABA +=+ 22

2

(2.9)

onde EIP /=

Figura 2.7 - Equilbrio de um troo da coluna-viga ua posio deformada.

A imposio das condies de fronteira y(0)=0 e y(L)=0 permite conduzir seguinte soluo geral da

equao diferencial (2.9)

2A

2BA

EIMx

LEIMM)xcos( B)x(sen Ay

+++=

(2.10)

cujas constantes A e B so fornecidas por

[ ]BA2 M)Lcos(M)L(senEI

1A += (2.11)

2A

EIMB = (2.12)

A derivao da expresso (2.10) em ordem a x permite obter a rotao nas extremidades da coluna-

viga (A e B) e a resoluo do sistema de duas equaes resultantes (uma em cada extremidade) em ordem ao momento flector aplicado (MA e MB), permite obter a seguinte equao matricial

=

eI/A000SS0SS

LEI

PMM

B

A

12

21

B

A

(2.13)

onde a fora axial P apenas funo do encurtamento e . Note-se ainda que SI e S2 se designam por

funes de estabilidade e so expressas atravs de

>

17

>

18

Figura 2.9 - Sistema de foras locais e globais da coluna-viga.

Aps algum trabalho de carcter analtico, pode obter-se a relao incremental entre foras e

deslocamentos generalizados,

(2.17)

a qual pode ser fornecida na forma mais compacta,

(2.18)

sendo T uma matriz de transformao de referencial, Fg o vector de foras incremental de

componentes fg1,... fg6, K a matriz de rigidez tangente da coluna-viga e Dg o vector de

deslocamentos incremental de componentes dg1,..dg6. Note-se ainda que, na obteno desta relao,

as ligaes se assumiram como rgidas. Por ltimo, refere-se que a matriz de rigidez tangente

necessita de ser alterada medida que se vo formando as diversas rtulas plsticas na estrutura,

contudo esta matria est fora do mbito deste trabalho.

2.2.3. ANLISE DE VIBRAO Uma anlise de vibrao tem por objectivo a identificao das caractersticas de vibrao da

estrutura. Uma das vertentes principais desta anlise a anlise modal pois atravs da sua

realizao que se obtm os modos de vibrao da estrutura e as correspondentes frequncias de

vibrao, os quais constituem parmetros essenciais para a caracterizao dinmica de uma

estrutura.

2.2.3.1. Formulao das equaes de equilbrio dinmico As equaes de movimento de um sistema de mltiplos graus de liberdade podem ser estabelecidas

a partir do equilbrio das foras associadas a cada grau de liberdade. Duma forma geral podem-se

considerar aplicadas no grau de liberdade genrico i, dois tipos de foras: (i) as foras aplicadas

19

exteriormente p(t) e (ii) as foras resultantes do movimento, as quais podem ser (ii1) foras de inrcia

fI, (ii2) foras devidas ao amortecimento fA e (ii3) foras de deformao elstica fE. Assim, o sistema de

equaes de equilbrio dinmico pode ser escrito na seguinte forma [2.8]:

{ } { } { } { })t(pfff EAI =++

(2.19) Cada um destes vectores de foras resultantes do movimento depende das variveis que descrevem

o movimento e que so o deslocamento, a velocidade e acelerao em cada grau de liberdade. Estas

relaes podem ser descritas a partir das seguintes expresses

{ } [ ]{ })t(qKfE = (2.20) { } [ ]{ })t(qCfA &= (2.21) { } [ ]{ })t(qMfI &&= (2.22) em que (i) [K] a matriz de rigidez da estrutura relativa aos grau de liberdade considerados, (ii) [C]

a matriz de amortecimento estrutural e (iii) [M] a matriz de massa.

Introduzindo estas relaes na equao (2.19) o sistema de equaes de equilbrio dinmico pode

ser escrito na forma que se apresenta:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })t(p)t(qK)t(qC)t(qM =++ &&& (2.23)

2.2.3.2. Clculo das frequncias e modos de vibrao O problema da identificao das frequncias de vibrao de um determinado sistema resolvido com

base na anlise do movimento em regime livre e sem amortecimento. Nestas condies as equaes

de equilbrio dinmico tomam uma forma mais simplificada [2.8]:

[ ]{ } [ ]{ } { }0)t(qK)t(qM =+&& (2.24)

Admita-se que o movimento da estrutura quando vibra com uma dada frequncia p do tipo

harmnico traduzido por uma equao do tipo,

{ } { } )ptcos(v)t(q = (2.25)

onde (i) {v} o vector que representa a configurao deformada da estrutura (modo de vibrao), (ii)

p a frequncia prpria de vibrao e (iii) a fase. Derivando duas vezes a equao (2.25) em ordem ao tempo, obtm-se a expresso da acelerao

20

{ } { } )ptcos(vp)t(q 2 =&& (2.26)

Substituindo as equaes (2.25) e (2.26) na equao do movimento (2.24) obtm-se:

[ ] [ ]{ } { }0vKpM 2 = (2.27)

Para que o sistema de equaes (2.29) tenha uma soluo no trivial (esta seria {v} = 0}),

necessrio que o determinante da matriz [K - p2M] se anule. Assim, a determinao de frequncias e

modos de vibrao resulta num problema tradicional de determinao de valores e vectores prprios,

em que os valores prprios representam as frequncias e os vectores prprios os modos de vibrao.

Desta forma, a cada frequncia pn corresponde um modo de vibrao {vn}.

21

CAPTULO 3

3. DISPOSIES DO EC3-EN E DA EN 50341-1 Relativamente s estruturas metlicas para a distribuio de energia elctrica, existem diversos

documentos de apoio concepo anlise e dimensionamento deste tipo de estruturas. Embora o

documento mais relevante seja obviamente o Eurocdigo 3, existem outros elementos bibliogrficos

com um carcter mais especfico, nomeadamente a Norma Europeia 50341-1 e a correspondente

Norma Nacional de Aplicao (NNA) ( [3.1] e [3.2] ) . Assim, e tendo em vista a sua utilizao nos

restantes Captulos, pretende-se apresentar neste captulo as principais disposies regulamentares

e clusulas presentes no(a):

(i) Eurocdigo 3, nomeadamente nas Partes 1.1 (Regras gerais e regras especficas para

estruturas de edifcios), 1.5 (Elementos Laminares Placas) e 3.1 (Torres, Mastros e

Chamins), ( [3.3], [3.4] e [3.5] ).

(ii) Norma Europeia 50341-1 (Parte1: Regras e especificaes gerais para linhas elctricas

superiores excedendo 45kV AC) e a Norma Nacional de Aplicao para Portugal (NNA).

3.1. EC3: Partes 1.1, 1.5 e 3.1

O Eurocdigo 3 trata das disposies construtivas e das normas para a construo de estruturas

metlicas. Aps um perodo experimental, que se estender at cerca de 2010-2011, a utilizao do

EC3 com Norma Europeia (EN) ser obrigatria em todos os pases da Unio Europeia. No que diz

respeito s estruturas de transporte de energia, apresentam-se aqui as disposies das Partes 1.1,

1.5 e 3.1 de uma forma mais detalhada. Em particular, abordam-se aspectos relacionados com:

(i) Classificao da estrutura, mtodos de anlise, incorporao de imperfeies

(ii) Verificaes de segurana da estrutura (seces e barras)

(iii) Alteraes s regras estipuladas nas Partes 1.1 e 1.5 especficas para torres, que constam

na Parte 3.1.

Em geral, a anlise, o dimensionamento e a verificao de segurana de uma estrutura envolve um

certo nmero de etapas, as quais se identificam e descrevem sucintamente [3.6]:

(I) Classificao da estrutura

(I.1) Contabilizao dos efeitos de 2 ordem

(I.1.1) Susceptvel aos efeitos de 2 ordem

(I.1.2) No susceptvel aos efeitos de 2 ordem

(I.2) Classificao das seces das barras

(I.2.1) Classe 1

(I.2.2) Classe 2

(I.2.3) Classe 3

(I.2.4) Classe 4

22

(I.3) Classificao das ligaes

(I.3.1) Rigidez

(I.3.2) Resistncia

(II) Considerao das imperfeies geomtricas

(II.1) Globais (do Prtico)

(II.2) Locais (das barras)

(II.3) Foras equivalentes s imperfeies

(III) Escolha do mtodo de anlise

(III.1) Anlise elstica

(III.2) Anlise plstica

(III.2.1) Rgido-Plstica

(III.2.2) Elstica-Perfeitamente Plstica

(III.2.3) Elasto-Plstica

(IV) Clculo de esforos de dimensionamento

(IV.1) Anlise de 1 ordem (geometricamente linear)

(IV.2) Anlise de 2 ordem

(V) Verificao da estabilidade do prtico (determinao dos comprimentos de encurvadura dos

elementos comprimidos)

(VI) Verificao de segurana das barras

(VI.1) Seces (tenses directas)

(VI.2) Barras (fenmenos de instabilidade)

(VII) Verificao de segurana das ligaes

(VII.1) Ligaes aparafusadas

(VII.2) Ligaes soldadas

(VIII) Verificao da deformabilidade da estrutura (estados limites de utilizao, nomeadamente, no

que diz respeito a deslocamentos e vibraes)

3.1.1 Classificao da estrutura Em geral, um conjunto prtico+carregamento pode classificar-se quanto:

(i) relevncia dos efeitos de 2 ordem globais da estrutura (associados a modos com

deslocamentos laterais.

(ii) s caractersticas geomtricas e materiais das seces das barras que a constituem

(iii) Ao tipo de ligaes adoptadas.

Em primeiro lugar, e no que diz respeito classificao da estrutura relativamente necessidade de

considerar os efeitos de 2 ordem, isto , de estabelecer o equilbrio da estrutura na sua configurao

deformada (no linearidade geomtrica), o EC3 (Parte 1.1) preconiza que estes podem ser

desprezados, numa anlise elstica, se

10FF

ED

crcr = (3.1)

23

onde (i) FEd o conjunto dos valores de clculo dos esforos normais provocados pelas cargas

actuantes (perfil de esforos normais) e (ii) Fcr o conjunto dos valores dos esforos normais (com o

mesmo perfil de FEd) que provoca a instabilidade elstica da estrutura num modo global com

deslocamentos laterais. No entanto, a Parte 3.1 do EC3 estabelece, na clusula 5.1(5), que as torres

com estrutura treliadas8 podem ser analisadas adoptando a geometria inicial, i.e., desprezando os

efeitos de 2 ordem. Desta forma, assume-se que a condio (3.1) se aplica sempre a este tipo de

estruturas. Contrariamente, a mesma clusula 5.1(5) estabelece que os efeitos de 2 ordem em

mastros e chamins devem ser sempre considerados.

Deve referir-se que a classificao das seces destina-se a permitir avaliar a resistncia ltima e a

capacidade de rotao da seco quando submetida a tenses normais, entrando em considerao

com possveis fenmenos de encurvadura local. O EC3 (Parte 1.1) considera quatro classes de

seco (ver figura 3.1):

(i) Classe 1: Seces onde se pode atingir a resistncia plstica e existe capacidade de rotao

suficiente para que se forme uma rtula plstica.

(ii) Classe 2: Seces onde se pode atingir a resistncia plstica mas no se pode garantir

capacidade de rotao suficiente para se formar uma rtula plstica.

(iii) Classe 3: Seces onde se pode atingir a resistncia elstica (tenso de cedncia na fibra mais

solicitada), mas no se consegue atingir a resistncia plstica devido possvel ocorrncia de

fenmenos de instabilidade local.

(iv) Classe 4: Seces onde a ocorrncia de fenmenos de instabilidade local impede que a tenso

de cedncia seja atingida na fibra mais solicitada. Neste caso, necessrio substituir a seco

(de classe 4) por uma seco efectiva (reduzida), a qual tratada como de classe 3.

Mom

ento

/ M

omen

to P

lst

ico

(M/M

p)

1.0

Curvatura / Curvatura Plstica (k/kp)

0

0 10

M/My

4 6 8

0.5 Classe 4 (Mmax

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Essa classificao depende das dimenses da seco e da tenso de cedncia dos seus elementos

(paredes) comprimidos, os quais podem ser interiores (as duas extremidades da parede esto

apoiadas nos seus bordos longitudinais) ou salientes (uma extremidade da parede est apoiada num

bordo longitudinal e a outra est livre). Por exemplo, uma seco em I tem um elemento interior

(alma) e quatro elementos salientes (metade de cada banzo). A classificao de uma seco efectua-

se classificando os seus elementos (paredes) comprimidos atravs das Tabelas 5.2 do EC3 (Parte

1.1) e a partir dos diagramas de tenses actuantes. Com base (i) nas condies de apoio do

elemento (interior ou saliente), (ii) na natureza das tenses normais actuantes (associadas a N, M ou

N+M), (iii) na esbelteza dos elementos b/t (b e t so a largura e espessura da parede,

respectivamente) e (iv) na tenso de cedncia do ao fy (atravs do parmetro =(235/fy)0.5), procede-se classificao de acordo com as Tabelas 5.2 (ver figuras 3.2, 3.3 e 3.4)9. A classe de uma seco

ser sempre a maior das classes dos seus elementos comprimidos. Por outro lado, a classe de uma

barra, ser sempre a maior das classes das suas seces (note-se que a combinao de esforos

pode variar ao longo do comprimento da mesma). As figuras 3.2 (elementos interiores), 3.3

(elementos salientes) e 3.4 (Cantoneiras e tubos) mostram os valores limite das esbeltezas para as

classes 1, 2 e 3, os quais foram fixados com base em ensaios experimentais e/ou numricos,

contabilizando os efeitos de eventuais imperfeies geomtricas e tenses residuais. Obviamente,

sempre que o elemento no respeite o limite para a Classe 3, este ser de Classe 4.

9 No caso de elementos salientes submetidos a flexo composta (Figura 3.3), a classificao pode ainda depender do coeficiente de encurvadura k.

25

Figura 3.2 Valores limite das esbeltezas para a classificao de elementos interiores

26

Figura 3.3 Valores limite das esbeltezas para a classificao de elementos salientes

Figura 3.4 Valores limite das esbeltezas para a classificao de elementos de cantoneiras e tubos

No que diz respeito s torres de transporte e distribuio de energia elctrica com estrutura treliada,

muito comum (mais de 95% dos casos) a utilizao de barras com seco em cantoneira (ou

seco em L). O facto deste tipo de estruturas possuir um elevadssimo nmero de barras implica que

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a sua coneco deva ser de simples execuo e montagem, caracterstica que s conseguida se a

geometria da seco transversal das barras for simples. Este facto est na origem da frequente e

vasta utilizao de seces em cantoneira em torres de distribuio de energia. De acordo com a sua

geometria, a seco em cantoneira constituda apenas por dois elementos (abas) salientes, as

quais podem ter comprimento igual (na grande maioria dos casos e tambm no caso presente) ou

diferente. No caso mais comum (barras bi-articuladas), as barras esto submetidas apenas a esforo

axial e, por isso, a tabela 5.2 relativa a elementos salientes (Figura 3.3) permite concluir que a seco

em cantoneira ser de classe 3 se

14t

rtbtc = (3.3)

onde c a largura livre da aba (r a largura do canto arredondado e t a espessura da aba).

Normalmente, o raio do canto interno r nos perfis LNP , normalmente (i.e., sem grande margem de

erro), da mesma ordem de grandeza da espessura t. Assim, a condio (3.3) corresponde a

14t

t2b (3.4)

No entanto, a tabela 5.2 relativa a cantoneiras submetidas a compresso uniforme (Figura 3.4)

permite referir que esta sero de classe 3 se

15th 5.11

t2hb + (3.5)

onde h e b so as mximas dimenses das duas abas da cantoneira. No caso de uma cantoneira de

abas iguais (h=b), as condies (3.5) conduzem a

15tb 5.11

tb (3.6)

onde se verifica que a segunda condio prevalece sobre a primeira. Por outro lado, o EC3 (Parte

3.1) estabelece, na clusula 6.2.1(1), que o valor mximo da relao b/t deve ser substitudo por (b-

2t)/t. Assim, a segunda condio (3.6) toma a forma

5.11t

t2b (3.7)

Comparando as condies (3.3) e (3.7), verifica-se que a condio (3.7) que resulta da clusula

6.2.1(1) do EC3 (Parte 3.1) bastante mais conservativa (cerca de 22%!) que a condio (3.3)

associada s regras gerais do EC3 (Parte 1.1). Por exemplo, uma seco com (b-2t)/t=12.5 seria de

classe 3 segundo o EC3 (Parte 1.1) mas passaria a ser de classe 4 segundo EC3 (Parte 3.1). Neste

aspecto, existe alguma inconsistncia nas regras do EC3, a qual convir ser esclarecida.

Em terceiro lugar, as ligaes numa estrutura podem classificar-se quanto sua (i) rigidez e (ii)

resistncia. Enquanto a classificao relativa rigidez relevante nas anlises elsticas e elasto-

28

plsticas, a classificao relativa resistncia torna-se importante em anlises rigido-plsticas e

elasto-plsticas. No que diz respeito rigidez, uma ligao pode classificar-se como:

(i) Articulada: Neste caso, existe rotao relativa livre entre barras adjacentes num n e, por isso,

no existe transmisso de momentos flectores (M=0).

(ii) Rgida: Neste caso, a rotao relativa entre barras adjacentes num n est totalmente impedida

e, por isso, existe transmisso total de momentos flectores (rel=0). (iii) Semi-rgida: Neste caso, a rotao relativa entre barras adjacentes num n est parcialmente

impedida e, por isso, existe uma transmisso parcial de momentos flectores (M=krel). Quanto resistncia, uma ligao pode classificar-se como:

(i) Articulada: O momento flector resistente da ligao nulo e, por isso, sempre inferior ao

momento flector resistente das barras a ligar (MRk,lig=0).

(ii) De resistncia total: Neste caso, o momento flector resistente da ligao nunca inferior ao

momento flector resistente das barras a ligar (MRk,ligMRk,pl,barra). (iii) De resistncia parcial: Neste caso, o momento flector resistente da ligao sempre inferior ao

momento flector resistente das barras a ligar (MRk,lig

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desfavorvel, isto , no sentido dos deslocamentos horizontais provocados pelas foras horizontais

(figura 3.5). O valor desta inclinao inicial dado por

mh2001 = (3.8)

onde (i) h=2/h0.5 um factor de reduo que toma em considerao a altura total da estrutura h e deve estar compreendido no intervalo 2/3h1, e (ii) m=(0.5+0.5/m)0.5 um factor de reduo que toma em considerao o nmero de colunas suficientemente carregadas da estrutura. Em virtude

das torres de distribuio de energia serem estruturas treliadas bastante altas (h>>9m), o parmetro

h assume o valor mnimo 2/3. Por outro lado, e assumindo que as quatro colunas principais10 que constituem a estrutura treliada absorvem grande parte do esforo axial, pode tomar-se

aproximadamente m=4 e, desta forma, m=0.8. Assim, uma estimativa aproximada do valor da inclinao inicial da estrutura associada a uma imperfeio global =1/375.

Figura 3.5 Imperfeio global da estrutura e foras laterais equivalentes.

Para evitar a necessidade de analisar uma estrutura imperfeita (desviada em relao geometria

perfeita), o EC3 permite que se substitua a inclinao inicial por um sistema de foras horizontais

equivalentes (auto-equilibrado). Assim, pode-se substituir a inclinao inicial da estrutura por um

binrio de foras laterais (horizontais) equivalentes de valor Fi=Ni ao nvel de cada um dos dois ns de uma barra i, em que Ni o valor do esforo axial nessa barra da estrutura perfeita (figura 3.5).

Claro est que este procedimento se torna impraticvel quando uma estrutura tem um nmero de

barras elevadssimo. No entanto, e de forma aproximada (desprezando o efeito do peso prprio da

estrutura), poderiam adicionar-se foras horizontais Fi=Vi s componentes horizontais Hi das foras devidas aco dos cabos, actuantes nas extremidades dos braos da estrutura (Vi so as

componentes verticais das mesmas foras devidas aco dos cabos).

Claro que, ao tomar este valor para toda a estrutura, est-se a tomar uma imperfeio mdia. No

entanto, no caso de estruturas em que se verifique a condio

EdEd V15.0H (3.8)

10 Leg members, na designao anglo-saxonica.

30

o EC3 (Parte 1.1) permite que no se considerem as imperfeies globais da estrutura. De facto,

neste caso as foras horizontais HEd so bastante elevadas (superiores a 15% das foras verticais

VEd) e, por isso, as foras horizontais equivalentes s imperfeies globais tornam-se desprezveis

face a HEd e podem no ser consideradas (embora existam, o seu valor relativo diminuto).

O EC3 (Parte 1) preconiza a considerao de imperfeies locais das barras de forma sinusoidal com

amplitude e0, cujo valor retirado da Tabela 5.1 do EC3 e varia com a curva de dimensionamento e

com o tipo de anlise (elstica ou plstica). Tambm neste caso, as imperfeies das barras podem

ser substitudas por um sistema de foras transversais equivalentes (carga uniformemente

distribuda), as quais introduzem na barra os efeitos de 2 ordem associados instabilidade por

flexo. No entanto, as imperfeies locais s tm de ser consideradas na anlise global da estrutura

se for efectuada uma anlise de 2 ordem que dispense a verificao de segurana das barras aos

fenmenos de instabilidade. De facto, as expresses de verificao de segurana de barras foram

calibradas com base em resultados experimentais e/ou numricos onde as imperfeies locais foram

consideradas.

Figura 3.6 Imperfeio local e0 da barra e foras transversais equivalentes.

3.1.3. Escolha do mtodo de anlise e clculo dos esforos de dimensionamento Em primeiro lugar, convm discernir que a escolha do mtodo de anlise diz respeito a duas

vertentes do comportamento estrutural: fsica e geomtrica. No que vertente fsica diz respeito, o

EC3 prev os seguintes a realizao de anlises globais (i) elstica e (ii) plsticas. No caso da anlise

plstica, pode diferenciar-se trs tipos de anlises: (i) rgido-plstica (anlise limite), (ii) elstica-

perfeitamente plstica (rtula plstica) e (iii) elasto-plstica (espalhamento de plasticidade e/ou zona

plstica). Obviamente, a anlise elasto-plstica com espalhamento de plasticidade a mais correcta

pois aquela que reflecte mais fielmente o verdadeiro comportamento do prtico. No entanto,

tambm o tipo de anlise mais complexa do ponto de vista computacional.

No que diz respeito vertente geomtrica das anlises, pode afirmar-se que estas podem ou no

incluir os efeitos geometricamente no lineares (efeitos de 2 ordem). Os efeitos de 2 ordem (ou

31

efeito P-delta) dizem respeito tanto a deslocamentos como tambm a reaces e esforos internos da

estrutura. Estes podem ser de dois tipos:

(i) Efeitos P- Tm a ver com o deslocamento relativo entre as extremidades da barra, a qual se admite coincidente com a respectiva corda (configurao rectilnea, apesar de deformada ver

figura 3.7(b))

(ii) Efeitos P- Tm a ver com os deslocamentos entre a configurao deformada da barra e a posio da respectiva corda (figura 3.7(c)).

(a)

P P

A

B B' C C'

D

H

(b)

P P

A

B' C'

D

NAB

NCD

NBC NBC

(c)

Figura 3.7 Efeitos de 2 ordem: (a) configurao deformada, (b) efeitos P-, (c) efeitos P- Os efeitos P-delta referidos no EC3 (Parte 1) so sempre efeitos de 2 ordem globais do tipo P-. Os efeitos P- so contabilizados indirectamente na verificao de segurana das barras. Relativamente aos efeitos P-, estes s tm de ser incorporados nos valores de clculo dos esforos de dimensionamento se a condio (3.1) no for satisfeita, no caso de anlises elsticas. Os efeitos

P- podem ser contabilizados: (i) Directamente, atravs da realizao de anlises geometricamente no lineares ou de 2 ordem

(estabelecimento do equilbrio na configurao deformada), facto que sempre possvel, no

existindo limites para a sua execuo. No entanto, se o parmetro de carga crtica (expresso

(3.1)) assumir um valor muito baixo, isto , se

3cr

32

onde EI so os esforos de 1 ordem totais e ENS so os esforos non-sway, os quais so

obtidos com estrutura lateralmente contraventada (com deslocamentos laterais impedidos).

Assim, o mtodo de amplificao dos efeitos sway (MAES) preconiza que os esforos de 2

ordem so obtidos atravs de

cr

SNSII 11

1EEE

+= (3.12)

onde se observa que a parcela dos esforos sway ES amplificada com base no valor do

parmetro de carga crtica cr.

No que diz respeito classificao da estrutura e incorporao dos efeitos de 2 ordem nos valores

dos esforos, torna-se imprescindvel obter o valor do parmetro de carga crtica cr. A sua determinao pode ser efectuada exactamente, recorrendo realizao de anlises lineares de

estabilidade (ou bifurcao), as quais tambm esto disponveis na grande maioria dos programas de

clculo automtico de estruturas. No entanto, e para estruturas regulares e ortogonais (i.e., vigas

ortogonais s colunas), o EC3 (Parte 1) permite obter aproximadamente o valor do parmetro de

carga crtica cr atravs da expresso,

i pisoEd,HEd

Edcr

hVHmin

= (3.13)

a qual (i) se baseia no Mtodo de Horne e (ii) requere a execuo de uma anlise linear (de 1 ordem)

da estrutura submetida a foras horizontais (neste caso, as configuraes deformadas da estrutura de

1 ordem e do modo de instabilidade so muito semelhantes, facto que motivou Horne a desenvolver

este mtodo).

No caso das estruturas treliadas de torres de distribuio de energia elctrica, a clusula 5.1(5) do

EC3 (Parte 3.1) estipula que no necessrio incorporar os efeitos de 2 ordem e que bastar

realizar anlises lineares da estrutura (anlise de 1 ordem). No entanto, e com o objectivo de avaliar

se a adopo da hiptese de desprezar os efeitos de 2 ordem razovel, efectuam-se no presente

trabalho (i) anlises de 1 ordem, (ii) anlises de 2 ordem exactas (incluso directa dos efeitos de 2

ordem) e (iii) anlises de 2 ordem aproximadas (incluso indirecta dos efeitos de 2 ordem,

nomeadamente atravs da amplificao de esforos).

3.1.4. Verificao de segurana Aps a escolha do mtodo de anlise da estrutura e a determinao dos valores de clculo dos

esforos de dimensionamento, procede-se verificao de segurana da estrutura. De acordo com o

EC3, a verificao de segurana de uma estrutura contabiliza dois aspectos fundamentais, os quais

esto relacionados com (i) a verificao de segurana das seces (a tenses directas) e (ii) a

verificao de segurana das barras (incorporando a influncia da estabilidade das barras).

33

3.1.4.1 Verificao de segurana das seces A verificao de segurana de uma seco tem como objectivo limitar a tenso mxima numa seco

tenso de cedncia do material (ao). Como numa seco actuam simultaneamente diferentes tipos

de esforos, a verificao ter de ter em considerao o efeito da interaco entre esforos. O EC3

(Parte 1) considera quatro tipos de verificao de segurana de uma seco, consoante o esforo a

que est submetida: (i) esforo normal, (ii) momento flector, (iii) esforo transverso e (iv) momento

torsor. necessrio efectuar as verificaes de segurana para esforos isolados associados a

tenses normais, de acordo com (y e z so os eixos principais centrais da seco)

1NN

Rd

Ed 1MM

Rd,y

Ed,y 1MM

Rd,z

Ed,z (3.14)

e tambm a tenses tangenciais, tal que

1TT

Rd

Ed 1VV

Rd,z

Ed,z 1VV

Rd,y

Ed,y (3.15)

onde as grandezas (-)Ed e (-)Rd esto associadas aos valores de clculo do esforo (-) actuante (para

uma dada combinao de aces) e resistente, respectivamente. Claro que o clculo dos esforos

resistentes associados a tenses normais (NRd, My,Rd, Mz,Rd) vai depender sobretudo da classe da

seco. Para seces de classe 1 e 2, a resistncia totalmente plstica e os valores de clculo dos

esforos resistentes so dados por

0M

yRd

AfN = 0M

ypl,yRd,y

fWM = 0M

ypl,zRd,z

fWM = (3.16)

onde (i) fy a tenso de cedncia do material, (ii) A e Wpl so a rea