análise do comportamento sísmico de pilares de pontes em ... · momentos de confraternização e...

Análise do comportamento sísmico de pilares de pontes em flexão composta desviada

Pedro Jerónimo da Silva Benito Garcia

Dissertação para obtenção do grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientadores:

Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso

Professor Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro

Júri Presidente: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientador: Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso

Vogal: Professor Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida

Novembro de 2014

i

Agradecimentos

Quero agradecer, em primeiro lugar, ao Prof. Francisco Virtuoso pela orientação na elaboração

desta dissertação, pelo apoio e ensinamentos prestados e pela disponibilidade que demonstrou

durante o decorrer da mesma, que em muito excedeu as suas obrigações profissionais. O seu

contributo foi fundamental para a concretização deste trabalho.

Ao Prof. Luís Guerreiro deixo também um agradecimento pelos acelerogramas artificiais que me

foram facultados, sem os quais não seria possível realizar as análises dinâmicas, e pela

disponibilidade e ajuda na resolução das questões que se foram colocando ao longo da

realização deste trabalho.

Agradeço ainda a ambos os Professores a forma cuidada como efectuaram a revisão do texto.

Ao Mário Mesquita dirijo um agradecimento especial pela disponibilidade e amizade que sempre

demonstrou e pela preciosa ajuda nas questões relacionadas com a programação em MATLAB.

Aos meus restantes amigos quero agradecer a confiança que sempre depositaram em mim, os

momentos de confraternização e o apoio demonstrado durante a realização da dissertação.

À minha família quero agradecer o apoio e incentivo que sempre me deram, principalmente nos

momentos mais difíceis, e os ensinamentos que me prestaram não só durante o decorrer do

curso, mas em toda a minha vida.

À Vera quero deixar um agradecimento especial pela presença, ajuda e compreensão durante a

realização desta dissertação.

iii

Resumo

Este trabalho insere-se no âmbito da análise sísmica de pontes e tem como principal objectivo

avaliar o comportamento e a resistência de pilares de betão armado quando sujeitos a acções

sísmicas em qualquer direcção horizontal.

É apresentada uma metodologia de análise fisicamente não-linear de secções de betão armado

solicitadas em flexão composta desviada, permitindo a determinação das relações momento-

curvatura e das envolventes de rotura e de cedência da secção transversal.

Apresenta-se também uma metodologia de análise sísmica não-linear de pilares, admitindo que

a acção sísmica pode actuar em qualquer direcção. Para efeitos da quantificação de coeficientes

de comportamento utilizou-se o mesmo modelo para realizar análises sísmicas lineares

equivalentes.

Para que as conclusões a retirar das análises sísmicas não-lineares fossem aplicáveis em

projecto, definiu-se uma relação constitutiva para o betão que permitisse estimar, da melhor

forma possível, simultaneamente a deformabilidade e o valor de cálculo da capacidade resistente

das secções.

Estudou-se a influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no comportamento de pilares de

pontes através da aplicação de acelerogramas segundo várias direcções.

Apresentam-se exemplos para comparar os resultados obtidos considerando o comportamento

em flexão composta desviada dos pilares com os resultados obtidos considerando

separadamente o comportamento em flexão composta recta segundo cada uma das direcções

principais de inércia das secções transversais. Esta comparação é apresentada quer em termos

dos resultados da metodologia de aplicação de sismos segundo várias direcções, quer em

termos de metodologias simplificadas propostas por outros autores, em que se inclui a

metodologia proposta pelo EC8.

Palavras-chave: pontes, pilares, sísmica, flexão composta desviada, análise não-linear, rótula

plástica

iv

Abstract

The present work falls within the field of seismic analysis of bridge structures and its main

purpose is to evaluate the behaviour and the resistance of reinforced concrete piers when

submitted to seismic action in any horizontal direction.

A method of physical non-linear analysis of reinforced concrete cross-sections submitted to

biaxial bending is presented, allowing the evaluation of the bending-curvature relations and the

rupture and yielding interaction surfaces of the cross-section.

A methodology for non-linear seismic analysis of piers is also presented, assuming that the

seismic action can act in any direction. This same model was used to perform equivalent seismic

linear analysis in order to quantify behaviour factors.

To apply the conclusions obtained from seismic non-linear analyses in bridge design, a stress-

strain relation for concrete was defined enabling the simultaneous evaluation, in the best possible

manner, of the deformability and the design value of the ultimate moments of resistance of cross-

sections.

The influence of the bi-directional seismic action in the behaviour of bridge piers was studied

through the application of seismic signals in several directions.

Some examples are presented comparing the results obtained considering the behaviour of piers

in biaxial bending with the results obtained considering separately the behaviour in axial bending

in each of the principal directions of inertia. This comparison is presented in terms of the results

from the application of earthquakes in several directions and also in terms of the simplified

methods proposed by other authors, in which the method proposed by the EC8 is included.

Keywords: bridges, piers, seismic, biaxial bending, non-linear analysis, plastic hinge

v

Índice

Agradecimentos………………………………………………………………………………………… i

Resumo………………………………………………………………………………………………….. iii

Abstract………………………………………………………………………………………………….. iv

Índice…………………………………………………………………………………………………….. v

Lista de figuras………………………………………………………………………………………..... viii

Lista de tabelas………………………………………………………………………………………… xiii

Notação…………………………………………………………………………………………………. xv

1. Introdução……………………………………………………………………………………………. 1

1.1. Enquadramento e objectivos....………………………………..……………………...…….. 1

1.2. Estrutura da dissertação……………………………………………………………………… 3

2. Análise fisicamente não linear de secções de betão armado……………………………......... 5

2.1. Introdução……………………………………………………………………………………… 5

2.2. Discretização da secção……………………………………………………………………… 8

2.2.1. Modelo adoptado………………………………………………………………………... 8

2.2.2. Secções poligonais sem vazamento………………………………………………….. 11

2.2.3. Secções poligonais com vazamento………………………………………………….. 17

2.2.4. Secções circulares sem vazamento………………………………………………...... 18

2.2.5. Secções circulares com vazamento…………………………………………………... 22

2.2.6. Exemplos de aplicação…………………………………………………………………. 25

2.3. Relações constitutivas dos materiais……………………………………………………….. 27

2.3.1. Considerações gerais…………………………………………………………………... 27

2.3.2. Relações constitutivas propostas pela EN1992-1-1………………………………… 27

2.3.3. Relações constitutivas utilizadas…………………………………………………........ 31

2.4. Relações esforços-deformações…………………………………………………………….. 33

vi


2.4.2. Relações momentos-curvaturas para esforço normal e uma das componentes de momento constantes…………………………………………………………..............................

34

2.4.3. Relações momentos-curvaturas para esforço normal e direcção do vector momento constantes…………………………………………………………………………………...

42


2.5. Envolventes de rotura e cedência…………………………………………………………… 46


2.5.2. Determinação de uma envolvente de rotura…………………………………………. 47

2.5.3. Determinação de uma envolvente de cedência……………………………………… 55

2.5.4. Exemplos de aplicação……………………………………………………………........ 57

2.6. Rigidez efectiva de secções de betão armado…………………………………………….. 59

2.6.1. Definição de rigidez efectiva…………………………………………………………… 59

2.6.2. Exemplos de aplicação……………………………………………………………........ 60

3. Análise dinâmica de pilares de pontes……………………………………………………………. 63

3.1. Análise linear vs análise fisicamente não linear…………………………………………… 63

3.2. Análise sísmica de um oscilador ao longo do tempo……………………………………… 65

3.2.1. Equação da dinâmica e métodos de resolução……………………………………… 65

3.2.2. Integração passo-a-passo……………………………………………………………… 66

3.2.3. Massa, rigidez e amortecimento………………………………………………………. 69

3.2.4. Caracterização da acção sísmica……………………………………………………... 71

3.2.5. Incorporação da acção sísmica na equação da dinâmica……………………......... 74

3.3. Aplicação ao caso de um pilar de uma ponte……………………………………………… 76

3.3.1. Modelação do pilar……………………………………………………………………… 76

3.3.2. Análise sísmica não linear do pilar ao longo do tempo……………………………... 81

3.3.3. Análise sísmica linear do pilar ao longo do tempo…………………………………... 90


4. Escolha da relação constitutiva do betão para realização de análises não lineares………… 99

4.1. Concepção da relação constitutiva………………………………………………………….. 99

vii

4.2. Validação da relação constitutiva……………………………………………………………. 101

4.2.1. Validação da estimativa da capacidade resistente………………………………….. 101

4.2.2. Validação da estimativa da deformabilidade……………………………………........ 104

5. Estudo da influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no comportamento de pilares de pontes………………………………………………………………………………………………..

109

5.1. Definição da acção sísmica bi-direccional………………………………………………….. 109

5.2. Exemplos estudados………………………………………………………………………..... 110

5.3. Apresentação e análise de resultados……………………………………………………… 112

5.3.1. Método de aplicação de acelerogramas segundo várias direcções (Método de Referência)………………………………………………………………………………………………

112

5.3.2. Método proposto por Clough & Penzien…………………………………………....... 119

5.3.3. Comparação entre métodos…………………………………………………………… 123

6. Conclusões e desenvolvimentos futuros……………………………………………………........ 129

Bibliografia………………………………………………………………………………………………. 135

Anexos…………………………………………………………………………………………………... I

Anexo 1: Resultados das análises – método de aplicação de acelerogramas segundo várias direcções (Método de Referência)…………………………………………………………….

II

Anexo 2: Resultados das análises – método proposto por Clough & Penzien………………. VII

viii

Lista de figuras

Figura 2.1 – Secção genérica submetida a flexão composta desviada e respectivos estados de tensão e deformação na secção. Variáveis cinemáticas e estáticas………………………….

5

Figura 2.2 – Ilustração do modelo de discretização adoptado no programa da análise da secção……………………………………………………………………………………………………

8

Figura 2.3 – Processo de discretização de uma secção genérica de betão em triângulos……. 9

Figura 2.4 – Ilustração da condição de Delaunay: (a) condição satisfeita; (b) condição não satisfeita………………………………………………………………………………………………….

10

Figura 2.5 – Exemplo de definição do contorno da subsecção a introduzir no programa (secção poligonal sem vazamento)…………………………………………………………………..

11

Figura 2.6 – Processo de divisão de um segmento de recta genérico, para um dado grau de discretização dx…………………………………………………………………………………………

12

Figura 2.7 – Ilustração do processo de discretização de um segmento de contorno (secção poligonal sem vazamento)……………………………………………………………………………..

12

Figura 2.8 – Malha de pontos para servir de base à triangulação: (a) geração de malha ortogonal de pontos com afastamento constante; (b) exclusão dos pontos com distância ao contorno inferior a dx…………………………………………………………………………………...

13

Figura 2.9 – Triangulação com base nos pontos criados (secção poligonal sem vazamento)... 13

Figura 2.10 – Determinação das coordenadas do CG e da área de um triângulo genérico a partir das coordenadas dos seus vértices……………………………………………………………

14

Figura 2.11 – Mudança de coordenadas e rebatimento das fibras de betão (secção poligonal sem vazamento)………………………………………………………………………………………...

14

Figura 2.12 – Definição da camada de armaduras contida na subsecção e ordenação dos dados a introduzir……………………………………………………………………………………….

15

Figura 2.13 – Discretização da camada de armaduras em varões isolados……………………. 15

Figura 2.14 – Eliminação das fibras de aço localizadas sobre os eixos de rebatimento………. 16

Figura 2.15 – Rebatimento dos varões de aço sobre os eixos centrais principais de inércia e acréscimo dos varões localizados sobre os eixos…………………………………………………..

16

Figura 2.16 – Processo de discretização do betão de uma secção poligonal com vazamento.. 17

Figura 2.17 – Processo de discretização do aço de uma secção poligonal com vazamento… 18

Figura 2.18 – Processo de divisão de um segmento circular genérico, para um dado grau de discretização dx…………………………………………………………………………………………

19

Figura 2.19 – Processo de discretização do betão de uma secção circular sem vazamento…. 20

ix

Figura 2.20 – Processo de discretização do aço de uma secção circular sem vazamento…… 22

Figura 2.21 – Processo de discretização do betão de uma secção circular com vazamento…. 23

Figura 2.22 – Processo de discretização do aço de uma secção circular com vazamento…… 24

Figura 2.23 – Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para verificação dos Estados Limites de Utilização……………………………………………………………………………………

28

Figura 2.24 – Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para realização de análises estruturais não lineares………………………………………………………………………………...

29

Figura 2.25 – Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para determinação da capacidade resistente de secções……………………………………………………………………

30

Figura 2.26 – Relação constitutiva do aço proposta pelo EC2……………………………………. 30

Figura 2.27 – Relação constitutiva utilizada para as fibras de aço no programa de análise não linear………………………………………………………………………………………………..........

31

Figura 2.28 – Comportamento histerético considerado nas fibras de aço………………………. 32

Figura 2.29 – Ilustração do processo de Newton-Raphson aplicado à determinação de relação Momentos-Curvaturas para N=cte…………………..……………………………………...

34

Figura 2.30 - Ângulo que define a direcção do vector momento…………………………………. 42

Figura 2.31 – Relações momentos-curvaturas para N=cte e Mz=0, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal………………………………………

43

Figura 2.32 – Relações momentos-curvaturas para N=cte e My=0, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal………………………………………

43

Figura 2.33 – Relações momentos-curvaturas segundo y, para N=cte e α=30º, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal………………………...

44

Figura 2.34 – Relações momentos-curvaturas segundo z, para N=cte e α=30º, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal………………………...

44

Figura 2.35 – Diagrama de interacção de rotura de uma secção de betão armado para o caso de flexão composta desviada…………………………………………………………………...

46

Figura 2.36 – Diagramas de interacção de cedência e rotura para um dado nível de esforço axial (1º quadrante)……………………………………………………………………………………..

47

Figura 2.37 – Ilustração da definição de α e β para uma secção genérica submetida a flexão composta desviada……………………………………………………………………………………..

48

Figura 2.38 – Zonas entre diagramas de extensões de rotura notáveis, para uma dada combinação (My, Mz)……………………………………………………………………………………

48

Figura 2.39 – Mudança de referencial para uma dada inclinação da linha neutra. Diagrama de extensões e tensões na secção…………………………………………………………………...

50

x

Figura 2.40 – Definição dos referenciais com origem no ponto fixo inferior, superior e central, para uma secção genérica…………………………………………………………………………….

51

Figura 2.41 – Ilustração do processo de determinação do diagrama de extensões de rotura correspondente a um Naplicado pertencente à zona 1………………………………………………..

54

Figura 2.42 – Zonas entre diagramas de extensões de cedência notáveis, para uma dada combinação (My, Mz). Esquerda: Aço A400, Direita: Aço A500……………………………………

55

Figura 2.43 – Diagramas de interacção de rotura para N=cte, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal………………………………………

57

Figura 2.44 – Diagramas de interacção de cedência para N=cte, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal………………………………………

57

Figura 2.45 – Diagramas de interacção de rotura e cedência para 푣 = 0 e 푣 = 0,4, para a secção rectangular compacta 5mx1m………………………………………………………………..

58

Figura 2.46 – Rigidez efectiva de uma secção que contém rótula plástica, de acordo com a EN1998-2………………………………………………………………………………………………..

59

Figura 2.47 – Definição de α e β. Decomposição de 푀⃗ segundo a direcção de 휒⃗……………… 60

Figura 2.48 – Variação da relação entre rigidez efectiva e rigidez elástica, ao longo da direcção da secção, para as cinco secções de estudo……………………………….…………….

61

Figura 2.49 – Relação entre α e β, em situação de rotura, para as cinco secções de estudo... 62

Figura 3.1 – Comportamento não linear de um oscilador de um grau de liberdade……………. 63

Figura 3.2 – Relação entre o factor de amortecimento 휉 e a frequência angular do sistema 푝.. 70

Figura 3.3 – Conceito de Espectro de Resposta (adaptado de [10])……………………………... 72

Figura 3.4 – Acelerograma genérico representativo de um sismo………………………………... 73

Figura 3.5 – Decomposição do deslocamento absoluto do oscilador na soma do deslocamento do solo com o deslocamento relativo entre o solo e o grau de liberdade em causa……………………………………………………………………………………………………..

74

Figura 3.6 – Modelo de cálculo adoptado para a análise dinâmica não linear de um pilar de ponte……………………………………………………………………………………………………...

76

Figura 3.7 – Conceito de Rótula Plástica aplicado a um pilar em consola………………………. 77

Figura 3.8 – Deslocamento total no topo do pilar (푑 ), obtido pela soma da parcela elástica devida à flexão da barra (푑 ) e da parcela inelástica devida à rotação da rótula plástica (푑 )…

78

Figura 3.9 – Modelo considerado no EC8-2 para o cálculo do deslocamento no topo do pilar. Ilustração da rotação equivalente de rótula plástica………………………………………………...

79

Figura 3.10 – Ilustração da modelação de um pilar genérico como uma consola equivalente... 80

xi

Figura 3.11 – Determinação da primeira coluna da matriz rigidez global da estrutura…………. 82

Figura 3.12 – Relação entre o factor de amortecimento e a frequência angular para cada direcção…………………………………………………………………………………………………..

85

Figura 3.13 – Acelerograma representativo de uma acção sísmica tipo 1, zona 1.1, terreno tipo A……………………………………………………………………………………………………...

91

Figura 3.14 – Resposta do oscilador em termos de deslocamento relativo……………………... 93

Figura 3.15 – Resposta do oscilador em termos de velocidade relativa…………………………. 93

Figura 3.16 – Resposta do oscilador em termos de aceleração absoluta……………………….. 94

Figura 3.17 – Resposta do oscilador em termos de esforço transverso…………………………. 94

Figura 3.18 – Resposta do oscilador em termos de momento flector……………………………. 95

Figura 3.19 – Resposta do oscilador em termos da relação força-deslocamento……………… 95

Figura 4.1 – Modelo de relação constitutiva adoptado para o betão……………………………... 100

Figura 4.2 – Relação momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para 푣 = 0 e 휌 = 0,5%.........................................................................................................................

104

Figura 4.3 – Relação momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para 푣 = 0 e 휌 = 2,0%........................................................................................................................

104

Figura 4.4 – Relação momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para 푣 = 0,4 e 휌 = 0,5%.......................................................................................................................

105


105


106

Figura 5.1 – Direcção de aplicação dos acelerogramas em cada pilar de estudo (Método de Referência)……………………………………………………………………………………………….

113

Figura 5.2 – Evolução, ao longo da direcção do sismo, do coeficiente de comportamento em momento para cada um dos cinco pilares de estudo, de acordo com o Método de Referência.

118

Figura 5.3 – Evolução, ao longo da direcção do sismo, do coeficiente de comportamento em deslocamento para cada um dos cinco pilares de estudo, de acordo com o Método de Referência..................................................................................................................................

118

Figura 5.4 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Exemplo 1)……………………………………………………………………………...……..

124

xii

Figura 5.5 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Exemplo 2)……………………………………………………………………………..

124

Figura 5.6 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (Exemplo 3)………………………………………………………………………………...…..

125

Figura 5.7 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Exemplo 4)………………………………………………………………………………...……..……..

125

Figura 5.8 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (Exemplo 5)…………………………………………………………………………...…………

126

xiii

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Exemplos de discretização de secções transversais……………………………….. 25

Tabela 2.2 – Descrição das zonas entre diagramas de extensões de rotura notáveis………… 49

Tabela 2.3 – Parâmetros que definem os diagramas de extensões notáveis…………………… 52

Tabela 2.4 – Descrição das zonas entre diagramas de extensões de cedência notáveis……... 56

Tabela 3.1 – Propriedades do pilar de estudo………………………………………………………. 92

Tabela 3.2 – Determinação dos coeficientes de comportamento em deslocamento e momento, para o acelerograma em estudo………………………………………………………….

96

Tabela 3.3 – Esforços máximos obtidos pelo espectro de resposta elástico do EC8………….. 97

Tabela 4.1 – Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção rectangular compacta 5mx1m.……………………

102

Tabela 4.2 – Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção rectangular oca 5mx2mx0,4m….…………………

102

Tabela 4.3 – Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção quadrangular compacta 2mx2m..…………………

103

Tabela 4.4 – Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção circular compacta D=2m...…………………………

103

Tabela 4.5 – Comparação das relações constitutivas nos valores dos coeficientes de comportamento………………………………………………………………………………………….

107

Tabela 5.1 – Características dos pilares estudados na análise da influência da bi-direccionalidade da acção sísmica……………………………………………………………………

111

Tabela 5.2 – Resultados da análise linear por espectro de resposta que serviu de base ao dimensionamento dos pilares em estudo…………………………………………………………….

111

Tabela 5.3 – Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Método de Referência)…………………………………………….

114

Tabela 5.4 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Método de Referência)………………………..

114

Tabela 5.5 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Método de Referência)…………………………………………….

114

xiv

Tabela 5.6 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Método de Referência)………………………..

114

Tabela 5.7 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (Método de Referência)……………………….………………….

115

Tabela 5.8 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção quadrangular compacta 2m2m (Método de Referência)……………………....

115

Tabela 5.9 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Método de Referência)……..…………………………………………….

115

Tabela 5.10 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Método de Referência)……….……………………..

115

Tabela 5.11 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (Método de Referência)……….……………………………………….

116

Tabela 5.12 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (Método de Referência)………………….………..

116

Tabela 5.13 – Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (método proposto por Clough & Penzien)………………………..

120

Tabela 5.14 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (método proposto por Clough & Penzien)……

120

Tabela 5.15 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (método proposto por Clough & Penzien)………………………..

120

Tabela 5.16 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (método proposto por Clough & Penzien)……

120

Tabela 5.17 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (método proposto por Clough & Penzien)….…………………..

121

Tabela 5.18 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção quadrangular compacta 2m2m (método proposto por Clough & Penzien).....

121

Tabela 5.19 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular compacta D=2m (método proposto por Clough & Penzien)………………………………

121

Tabela 5.20 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular compacta D=2m (método proposto por Clough & Penzien)………….

121

Tabela 5.21 - Resultados das análies dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (método proposto por Clough & Penzien)……………………………

122

Tabela 5.22 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (método proposto por Clough & Penzien)……….

122

xv

Notação

Lista de abreviaturas

CEN Comité Européen de Normalization (Comité Europeu de Normalização)

CG Centro de Gravidade

EC2 EN1992-1-1

EC8-1 EN1998-1

EC8-2 EN1998-2

ICIST Instituto de Engenharia de Estruturas, Território e Construção

IST Instituto Superior Técnico

LN Linha Neutra

REPP Relação elástica perfeitamente plástica

RKS Relação 푘 − 휂

RPR Relação parábola-rectângulo

Lista de variáveis

Capítulo 2

Subcapítulo 2.1

퐴 área da secção transversal

퐴 área total de betão

퐴 área total de aço

푑퐴 área de um elemento infinitesimal de betão

푑퐴 área de um elemento infinitesimal de aço

퐸 módulo de elasticidade

퐼 momento de inércia segundo y

퐼 momento de inércia segundo z

xvi

푀 momento flector

푀 componente do momento flector segundo y

푀 componente do momento flector segundo z

푀 , contribuição do betão para o momento flector segundo y

푀 , contribuição do betão para o momento flector segundo z

푀 , contribuição do aço para o momento flector segundo y

푀 , contribuição do aço para o momento flector segundo z

푁 esforço normal

푁 contribuição do betão para o esforço normal

푁 contribuição do aço para o esforço normal

푃 produto de inércia

푆 momento estático segundo y

푆 momento estático segundo z

푦 coordenada segundo a direcção principal de maior inércia

푧 coordenada segundo a direcção principal de menor inércia

extensão axial

g extensão axial ao nível do centro de gravidade

c extensão axial de uma fibra de betão

s extensão axial de uma fibra de aço

tensão normal

c tensão normal de uma fibra de betão

s tensão normal de uma fibra de aço

y componente da curvatura segundo y

z componente da curvatura segundo z

퐾 çã matriz rigidez tangente da secção transversal

Subcapítulo 2.2

푎푓 afastamento dos varões numa secção com uma camada de armaduras

푎푓 afastamento dos varões da primeira camada de armaduras

xvii

푎푓 afastamento dos varões da segunda camada de armaduras

퐴 área da fibra de betão i

퐴 área da fibra de aço i

푑푥 grau de discretização da secção

푑휃 ângulo correspondente a um afastamento igual a 푑푥 no contorno de uma secção circular compacta

퐷 diâmetro da secção circular compacta

퐷 diâmetro exterior da secção circular oca

퐷 diâmetro interior da secção circular oca

푅 raio exterior da secção

푟푒푐 recobrimento

푟푒푐 recobrimento medido em relação ao contorno exterior da secção

푟푒푐 recobrimento medido em relação ao contorno interior da secção

푅 raio interior da secção

푅 raio da camada de armaduras

푅 raio da camada de armaduras exterior

푅 raio da camada de armaduras interior

푆 segmento de recta i

푣 , componente segundo y do vector director do segmento de recta i

푣 , componente segundo z do vector director do segmento de recta i

푦 coordenada y da fibra de betão i

푦 coordenada y da fibra de aço i

푧 coordenada z da fibra de betão i

푧 coordenada z da fibra de aço i

푦’ coordenada segundo a direcção principal de maior inércia no referencial auxiliar

푧’ coordenada segundo a direcção principal de menor inércia no referencial auxiliar

푦 coordenada y’ do centro de gravidade da secção

푧̅ coordenada z’ do centro de gravidade da secção

휙 diâmetro dos varões

휌 percentagem de armadura da secção

xviii

Subcapítulo 2.3

퐸 valor médio do módulo de elasticidade do betão

퐸 módulo de elasticidade tangente da relação constitutiva do betão

퐸 valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço

푓 valor de cálculo da resistência à compressão do betão

푓 valor médio da resistência à compressão do betão

푓 valor médio da resistência à tracção do betão

푓 valor de cálculo da tensão de cedência do aço

푓 valor característico da tensão de cedência do aço

휀 extensão última do betão na relação 푘 − 휂 do EC2

휀 extensão última do betão na relação parábola-rectângulo do EC2

휀 extensão do betão correspondente à tensão máxima na relação 푘 − 휂 do EC2

휀 extensão do betão correspondente à tensão máxima na relação parábola-

rectângulo do EC2

휀 valor de cálculo da extensão última do aço

휀 valor característico da extensão última do aço

휀 valor de cálculo da extensão de cedência do aço

훾 coeficiente parcial de segurança

Subcapítulo 2.4

퐸 módulo de elasticidade tangente da relação constitutiva do aço

푛푐 número total de fibras de betão

푛푠 número total de fibras de aço

푀 ′ momento flector segundo y, aproximado de forma linear, no método de Newton-Raphson

푀 ′ momento flector segundo z, aproximado de forma linear, no método de Newton-Raphson

xix

푁′ esforço normal, aproximado de forma linear, no método de Newton- Raphson

푀 momento flector segundo y aplicado na secção, no método de Newton- Raphson

푀 momento flector segundo z aplicado na secção, no método de Newton- Raphson

푁 esforço normal aplicado na secção, no método de Newton-Raphson

푡푙푟 tolerância de Newton-Raphson

휖 resíduo do momento flector segundo y, no método de Newton-Raphson

휖 resíduo do momento flector segundo z, no método de Newton-Raphson

휖 resíduo do esforço normal, no método de Newton-Raphson

휈 esforço normal reduzido da secção

Subcapítulo 2.5

푑 referencial perpendicular à linha neutra com origem no CG da secção

푑 referencial perpendicular à linha neutra com origem no ponto fixo 푓

푑̅ , coordenada do ponto fixo 푓 no referencial 푑

푀 componente segundo y do momento de rotura da secção

푀 componente segundo z do momento de rotura da secção

푁 esforço normal correspondente à zona limite de rotura i

푁 esforço normal correspondente à transição entre as zonas de rotura j e k

푁 esforço normal correspondente à zona limite de cedência i

푁 esforço normal correspondente à transição entre as zonas de cedência j e k

ℎ distância entre fibras com coordenadas máxima e mínima 푑

푥̅ distância entre o ponto de rotação da zona 5 e a fibra mais comprimida

훼 ângulo que o vector momento faz com o eixo y da secção

훽 ângulo que a linha neutra faz com o eixo y da secção

휀 extensão no ponto fixo 푓

xx

휀 extensão última do betão

휀 extensão última do aço

휀 extensão de cedência do aço

Subcapítulo 2.6

퐸퐼 rigidez efectiva da secção

퐸퐼 rigidez da secção em estado não fendilhado

퐸퐼 rigidez da secção em estado fendilhado

퐼 momento de inércia efectivo da secção

퐼 momento de inércia em estado não fendilhado

퐼 momento de inércia em estado fendilhado

푀 momento flector de cedência

푀 valor de cálculo do momento flector de rotura

푀 , componente segundo y do momento de cedência

푀 , componente segundo z do momento de cedência

푀⃗ vector momento flector

휒 curvatura de cedência

휒 curvatura última

휒 curvatura de cedência, de acordo com a EN1998-2

휒 , componente segundo y da curvatura de cedência

휒 , componente segundo z da curvatura de cedência

휒⃗ vector curvatura

xxi

Capítulo 3

Subcapítulo 3.1

퐹 força aplicada no oscilador

퐹 força máxima no oscilador linear

퐹 força máxima no oscilador não linear

퐹 força de cedência no oscilador não linear

푞 coeficiente de comportamento associado a uma determinada grandeza

훿 deslocamento sofrido pelo oscilador

훿 deslocamento máximo no oscilador linear

훿 deslocamento máximo no oscilador não linear

훿 deslocamento de cedência no oscilador não linear

Subcapítulo 3.2

푎 aceleração do oscilador

푎 aceleração absoluta do oscilador

푎 valor de cálculo da aceleração à superfície para um terreno do tipo A

푎 aceleração relativa entre o solo e o grau de liberdade

푎 aceleração do solo

푐 amortecimento do oscilador

푐 amortecimento crítico

ℎ intervalo de tempo fictício na análise passo-a-passo

푘 rigidez do oscilador

푚 massa do oscilador

푝 frequência angular própria do oscilador

푄 acção exterior aplicada no oscilador

xxii

푆 coeficiente de solo

푆 valor de cálculo da aceleração espectral

푡 instante de tempo

푇 limite inferior do período no patamar de aceleração espectral constante

푇 limite superior do período no patamar de aceleração espectral constante

푇 valor que define no espectro o início do ramo de deslocamento constante

푢 deslocamento do oscilador

푢 deslocamento absoluto do oscilador

푢 deslocamento relativo entre o solo e o grau de liberdade

푢 deslocamento do solo

푣 velocidade do oscilador

푣 velocidade absoluta do oscilador

푣 velocidade relativa entre o solo e o grau de liberdade

푣 velocidade do solo

훾 coeficiente de importância

휉 factor de amortecimento

Δ푡 intervalo de tempo real na análise passo-a-passo

{푎} vector de acelerações de um oscilador de múltiplos graus de liberdade

{푢} vector de deslocamentos de um oscilador de múltiplos graus de liberdade

{푣} vector de velocidades de um oscilador de múltiplos graus de liberdade

[퐶] matriz de amortecimento de um oscilador de múltiplos graus de liberdade

[퐾] matriz de rigidez de um oscilador de múltiplos graus de liberdade

[푀] matriz de massas de um oscilador de múltiplos graus de liberdade

푲 rigidez equivalente na análise passo-a-passo

푸 força equivalente na análise passo-a-passo

xxiii

Subcapítulo 3.3

푐 amortecimento do pilar segundo a direcção j

푑 altura útil da secção

푑 parcela elástica de deslocamento devida à flexão da barra

푑 parcela inelástica de deslocamento devida à rotação da rótula plástica

푑 deslocamento total no topo do pilar

푓 , frequência cíclica própria do oscilador segundo a direcção j

푘휃 rigidez da mola que traduz o comportamento não linear do pilar em torno da

direcção j

퐿 altura do pilar

퐿 comprimento de rótula plástica associado à flexão em torno da direcção j

퐿∗ comprimento de consola equivalente do pilar associado à direcção j

푚 massa oscilante do pilar segundo a direcção j

푀 , valor máximo do momento segundo y ao longo da análise sísmica

푀 , valor de cálculo do momento resistente da secção em torno de y

푀 , valor de cálculo do momento resistente da secção em torno de z

푁 valor de cálculo do esforço normal

푝 frequência angular própria do oscilador segundo a direcção j

푝 , frequência angular própria do oscilador segundo a direcção j numa situação

próxima da rotura

푝 , frequência angular própria do oscilador segundo a direcção j numa fase inicial

elástica

푢 deslocamento do topo do pilar segundo a direcção j

푢 , valor máximo do deslocamento segundo z ao longo da análise sísmica

휒 curvatura da secção onde se forma a rótula plástica

휈 valor de cálculo do esforço normal reduzido

xxiv

휃 ângulo em torno da direcção j que a corda do pilar faz com a vertical num modelo

com rótula na base

휃′ ângulo em torno da direcção j que a corda do pilar faz com a vertical num modelo

com rótula situada a meio do comprimento de rótula plástica

[퐷] matriz dinâmica da estrutura

푲 matriz de rigidez equivalente na análise passo-a-passo

푸 vector de força equivalente na análise passo-a-passo

Capítulo 4

Subcapítulo 4.1

휅 parâmetro que calibra a máxima tensão do betão na relação constitutiva elástica

perfeitamente plástica

Subcapítulo 4.2

푀 momento resultante na secção proveniente da relação constitutiva elástica

perfeitamente plástica

푀 momento resultante na secção proveniente da relação constitutiva parábola-

rectângulo do EC2

푞 coeficiente de comportamento em momento

푞 coeficiente de comportamento em deslocamento

훿 desvio do momento proveniente da relação elástica perfeitamente plástica em

relação ao momento proveniente da relação parábola-rectângulo

훿 média dos desvios 훿 ao longo de um quadrante da secção com incrementos

Δ훽 = 1º

훿 máximo desvio positivo 훿 ao longo de um quadrante da secção com incrementos

Δ훽 = 1º

훿 máximo desvio negativo 훿 ao longo de um quadrante da secção com

incrementos Δ훽 = 1º

xxv

Capítulo 5

Subcapítulo 5.1

퐴 , acção sísmica de cálculo na direcção i

퐸 efeitos da acção sísmica

퐸 efeitos da acção sísmica provenientes de uma análise na direcção i

퐼푛푡 Intensidade não reduzida do acelerograma aplicado segundo a direcção i

Subcapítulo 5.3

푒 desvio entre o valor do momento linear obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta

푒 desvio entre o valor do momento não linear obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta

푒 desvio entre o valor do deslocamento linear obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta

푒 desvio entre o valor do deslocamento não linear obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta

푒 desvio entre o valor do coeficiente de comportamento em momento obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta

푒 desvio entre o valor do coeficiente de comportamento em deslocamento obtido em flexão desviada em relação ao correspondente valor obtido em flexão recta

푀 média dos máximos, para várias análises sísmicas lineares, da projecção do vector momento na direcção perpendicular ao sismo

푀 média dos máximos, para várias análises sísmicas não lineares, da projecção do vector momento na direcção perpendicular ao sismo

푢 média dos máximos, para várias análises sísmicas lineares, da projecção do vector deslocamento na direcção do sismo

푢 média dos máximos, para várias análises sísmicas não lineares, da projecção do vector deslocamento na direcção do sismo

1

1. Introdução 1.1. Enquadramento e objectivos

Em países com sismicidade acentuada, como é o caso de Portugal, o dimensionamento dos

pilares de pontes é frequentemente condicionado pela acção sísmica. Assim, é de elevada

importância prever o seu comportamento sísmico, uma vez que um adequado

dimensionamento poderá salvar vidas e bens materiais, bem como reduzir as exigências

financeiras associadas a eventuais danos.

A regulamentação europeia actual, mais especificamente a EN1998-2 (ou EC8-2), define uma

acção sísmica horizontal e outra vertical, sendo que, para efeitos de análise, a primeira é

definida em termos de duas componentes ortogonais. Este regulamento não impõe de forma

explícita a forma como se deve ter em conta a bi-direccionalidade da acção sísmica horizontal,

fornecendo apenas uma metodologia simplificada de análise que consiste na combinação das

duas componentes ortogonais, de modo a se cobrir os problemas de flexão desviada de

pilares. Esta dissertação tem por objectivo principal desenvolver uma metodologia mais

rigorosa para o estudo do comportamento sísmico e avaliação da resistência de pilares de

pontes em flexão composta desviada através de uma análise mais rigorosa dos efeitos da bi-

direccionalidade da acção sísmica horizontal.

O dimensionamento de uma ponte sujeita a acção sísmica deve ser efectuado de modo a que

não dependa da sua orientação espacial, uma vez que a acção sísmica, dada a sua natureza,

não tem direcções preferenciais. Deste modo, a forma mais rigorosa de se verificar a

segurança da estrutura consiste em efectuar a análise para todas as direcções possíveis da

acção no plano horizontal.

Note-se que o EC8-2 não define quais as direcções ortogonais a considerar na definição da

acção sísmica, sendo que na prática comum de projecto se utilizam, em geral, duas direcções

preferenciais da ponte, dependentes da geometria desta. Assim, pretende-se também, com

esta dissertação, avaliar a influência da escolha do referencial a utilizar para definir a acção

sísmica na verificação da segurança da estrutura a essa mesma acção, nomeadamente

averiguar em que situações se pode efectuar a verificação de segurança apenas para duas

direcções ortogonais sem necessidade de verificar situações intermédias ou combinar os

efeitos correspondentes às direcções estudadas.

Uma vez que a metodologia de aplicação de sismos em todas as direcções do plano pode

tornar-se muito morosa, pretende-se também estudar a viabilidade da aplicação de uma

metodologia alternativa mais simplificada proposta por outros autores, comparando os

resultados provenientes desta com os da metodologia de referência anteriormente descrita

(mais rigorosa) e com os da proposta pelo EC8-2, de modo a averiguar se os métodos

simplificados são conservativos e qual a sua aplicabilidade.

2

Para se concretizar o estudo do comportamento sísmico de pilares de betão armado de pontes

e avaliar a sua resistência quando sujeitos a acções sísmicas em qualquer direcção,

desenvolveu-se um modelo analítico para o cálculo fisicamente não linear de secções de betão

armado em flexão composta desviada. Um dos objectivos deste modelo consistiu na

determinação das relações momento-curvatura (associadas a cada uma das direcções

principais de inércia) de uma secção com geometria genérica (bi-simétrica) para uma dada

história de carregamento (ou deformação) pré-definida, com vista à generalização para o caso

da acção sísmica num pilar. Outro dos objectivos deste modelo subsistiu na determinação das

envolventes de rotura e de cedência de secções, assunto de grande importância para a

quantificação da rigidez e da resistência de pilares. Por último, pretendeu-se determinar a

rigidez efectiva de secções (definida no EC8-2) e avaliar a sua variação com a direcção em

causa, com vista à aplicação em análises sísmicas lineares equivalentes.

Utilizando o modelo para o cálculo fisicamente não linear de secções anteriormente referido

para caracterizar o comportamento de rótulas plásticas, desenvolveu-se um modelo de análise

sísmica não linear de pilares, em que a acção sísmica pode actuar em qualquer direcção

horizontal. Para efeitos da quantificação de coeficientes de comportamento considerou-se

também a possibilidade de este modelo realizar análises sísmicas lineares.

É de salientar que o EC2-1 define várias relações constitutivas para o betão, sugerindo a

relação 푘 − 휂 para a realização de análises estruturais não lineares. Esta relação está definida

em valores médios e, das relações propostas pelo EC2, é a que melhor descreve o

comportamento médio do betão em termos da sua deformabilidade. No entanto, de acordo com

a filosofia dos Eurocódigos, as verificações de segurança devem ser efectuadas em valores de

cálculo, e com a relação constitutiva anteriormente mencionada não se consegue estimar o

valor de cálculo da capacidade resistente de secções, uma vez que se refere a valores médios.

Por outro lado, a relação proposta pelo EC2 para a verificação dos Estados Limites Últimos

(parábola-rectângulo), que satisfaz o critério anterior, sobrestima, de um modo geral, a

deformabilidade da secção. Deste modo, para se realizarem análises sísmicas não lineares,

em que os esforços são dependentes das deformações, e para se aplicarem os seus

resultados de acordo com a filosofia dos Eurocódigos, em que não é possível ultrapassar o

valor de cálculo da resistência das secções, foi necessário definir uma relação constitutiva que

tivesse em conta, da melhor forma possível, simultaneamente a deformabilidade real do betão

e o valor de cálculo da capacidade resistente das secções.

3

1.2. Estrutura da dissertação

A presente dissertação está organizada em seis capítulos, incluindo os capítulos de introdução

e conclusão. De seguida descreve-se o conteúdo de cada um deles, com excepção do

primeiro.

No Capítulo 2 descreve-se o modelo desenvolvido para a análise fisicamente não linear de

secções de betão armado submetidas a flexão composta desviada. Em primeiro lugar

descreve-se o método adoptado para a discretização das secções, em que se adoptaram

modelos de fibras para cada um dos materiais, e abordam-se quais as relações constitutivas a

utilizar em cada material para se ter em conta o comportamento fisicamente não linear.

Seguidamente descrevem-se os modelos desenvolvidos para a determinação de relações

momento-curvatura associadas a cada uma das direcções principais de inércia da secção, e

para a determinação das envolventes de rotura e de cedência de secções em flexão composta

desviada. No final do capítulo apresenta-se um método de determinação da rigidez efectiva

definida no EC8-2 para aplicação em análises lineares equivalentes. Cada um dos modelos

desenvolvidos é acompanhado de exemplos de aplicação de modo a ilustrar a sua

aplicabilidade e comprovar a sua validade.

O Capítulo 3 é dedicado à descrição do modelo desenvolvido para realização de análises

lineares e não lineares dinâmicas ao longo do tempo de pilares de pontes sujeitos à acção de

sismos em qualquer direcção. Neste capítulo distinguem-se as diferenças entre a realização de

análises sísmicas lineares e fisicamente não lineares. Para cada um dos casos descreve-se o

tipo de modelo adoptado e descreve-se o método para a realização de análises dinâmicas ao

longo do tempo a partir de acelerogramas gerados artificialmente representativos da acção

sísmica. No final do capítulo apresenta-se um exemplo ilustrativo associado a cada tipo de

análise, linear e não linear, em que se quantificam os coeficientes de comportamento em

momento e em deslocamento.

No Capítulo 4 apresenta-se um estudo efectuado para a escolha da relação constitutiva a

utilizar no betão para efeitos da realização das análises sísmicas não lineares. Apresentam-se,

em primeiro lugar, os critérios utilizados para a definição da relação constitutiva proposta,

seguindo-se um estudo de validação da mesma para uma vasta gama de situações, coerente

com os critérios inicialmente apresentados.

O Capítulo 5 destina-se à apresentação do estudo da influência da bi-direccionalidade da

acção sísmica no comportamento de pilares de pontes. Neste capítulo descreve-se o modo de

considerar a bi-direccionalidade da acção sísmica e apresentam-se os resultados das análises

lineares e não lineares provenientes do método de aplicação de sismos segundo várias

direcções, adoptado como método de referência, donde se inferem conclusões acerca do

comportamento de pilares em flexão composta desviada. Também neste capítulo se apresenta

4

uma comparação entre este método e os métodos simplificados propostos pelo EC8 e por

Clough & Penzien [5], de modo a se averiguar a sua viabilidade na aplicação em projecto.

No Capítulo 6 apresentam-se as principais conclusões a retirar desta dissertação e referem-se

algumas propostas de desenvolvimento de estudos relacionados com este tema.

5

2. Análise fisicamente não linear de secções de betão armado 2.1. Introdução

Este capítulo dedica-se à descrição do modelo desenvolvido para a análise não linear de uma

secção genérica de betão armado submetida a flexão composta desviada.

O objectivo deste modelo é simular o comportamento de uma rótula plástica em flexão

composta (recta ou desviada), servindo, assim, de base ao modelo de análise sísmica não

linear de um pilar de uma ponte sob a acção de um sismo actuando apenas numa ou com

componentes nas duas direcções principais de inércia.

Considere-se a secção genérica representada na figura 2.1, a qual está submetida a flexão

composta desviada. Admita-se como válida a hipótese de Bernoulli (secções planas e

perpendiculares ao eixo da peça mantém-se planas e perpendiculares ao eixo após a

deformação), o que resulta num diagrama de extensões plano para a secção.

Figura 2.1 – Secção genérica submetida a flexão composta desviada e respectivos estados de tensão e deformação na secção. Variáveis cinemáticas e estáticas.

6

Como em qualquer problema de mecânica estrutural, a metodologia de análise de uma secção

provém da reunião das considerações de equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas

dos seus materiais.

Começando pelo equilíbrio, sabe-se que as resultantes da distribuição de tensões normais na

secção são estaticamente equivalentes aos esforços internos N (esforço normal) e M (momento

flector), sendo que este último se pode decompor nas componentes segundo cada um dos

eixos de inércia da secção (My e Mz):

푁 = 휎푑퐴 (2.1)

푀 = 휎. 푧푑퐴 (2.2)

푀 = −휎. 푦푑퐴 (2.3)

푀 = 푀 +푀 (2.4)

Dado que se trata de uma secção heterogénea, estes resultados podem decompor-se nas

parcelas correspondentes à contribuição de cada um dos materiais, em que os índices c e s

correspondem ao betão e aço, respectivamente:

푁 = 푁 +푁 = 휎 푑퐴 + 휎 푑퐴 (2.5)

푀 = 푀 , +푀 , = 휎 . 푧푑퐴 + 휎 . 푧푑퐴 (2.6)

푀 = 푀 , +푀 , = −휎 .푦푑퐴 + −휎 .푦푑퐴 (2.7)

Relativamente à compatibilidade, a hipótese de Bernoulli permite definir a deformação de

qualquer ponto da secção em função de três parâmetros (caso geral), os quais definem um

plano para o diagrama de extensões da secção (ver Figura 2.1). Escolhendo para estes

parâmetros as componentes de curvatura segundo cada um dos eixos de inércia (휒 ,휒 ) e a

extensão na origem (휀 ), pode determinar-se a extensão de qualquer ponto da secção através

da seguinte equação:

휀(푦, 푧) = 휀 + 휒 . 푧 −휒 . 푦 (2.8)

7

As relações constitutivas dos materiais podem ser escritas na forma 휎 = 휎(휀) ou 휀 = 휀(휎).

Nesta dissertação adoptou-se o primeiro dos formatos, ou seja:

휎 = 휎 (휀 ) (2.9)

휎 = 휎 (휀 ) (2.10)

Dada a não linearidade das relações constitutivas, e exceptuando-se casos particulares, a

relação entre os estados de tensão ou deformação da secção e os esforços aplicados não

pode ser escrita de forma explícita.

Através das considerações anteriores verifica-se que existem seis variáveis que definem um

problema de flexão composta desviada numa secção, sendo que três delas estão do lado da

estática (N, My, Mz) e as outras três do lado da cinemática (y, z, g). A reunião das equações

de equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas dos materiais permite escrever uma

relação entre os dois tipos de variáveis, formando uma relação constitutiva para a secção, a

qual pode ser descrita através do seguinte sistema de equações (quando se admite a

linearidade do comportamento dos materiais):

푁푀푀

=퐾 퐾 퐾퐾 퐾 퐾퐾 퐾 퐾

çã

휀휒χ

(2.11)

Verifica-se, assim, que as variáveis estáticas e cinemáticas se relacionam através de uma

matriz rigidez da secção [퐾 çã ], a qual depende do estado de tensão e deformação instalado

na secção.

Quando a relação que define o comportamento dos materiais é do tipo 휎 = 퐸휀, com igual

comportamento à compressão e tracção, a relação anterior toma a seguinte forma:

푁푀푀

=퐸퐴 퐸푆 −퐸푆퐸푆 퐸퐼 −퐸푃−퐸푆 −퐸푃 퐸퐼

휀휒χ

(2.12)

Contudo, sabe-se que as relações constitutivas do betão e do aço não são lineares, ao que

acresce ainda o facto de o betão praticamente não resistir à tracção. Por outro lado, é difícil

efectuar cálculos com a secção definida como um elemento contínuo. Deste modo, interessa

discretizar a secção em elementos base, de forma a se poder estudar o problema com um rigor

controlável através do grau de discretização imposto.

8

2.2. Discretização da secção 2.2.1. Modelo adoptado

O modelo adoptado para a discretização da secção consiste num modelo de discretização em

fibras (Gomes, A.M. [1]), em que se consideram relações constitutivas uniaxiais separadas para

o betão e para o aço das armaduras.

Relativamente ao betão, uma vez que o objectivo passa pela análise do comportamento da

secção em flexão composta desviada, mostra-se útil discretizar o mesmo em elementos de

base (fibras) triangulares. A escolha pelo elemento triangular teve em conta o facto de se

pretender modelar secções de geometria genérica, sendo que o triângulo é a figura geométrica

mais simples e que se adapta a qualquer tipo de geometria, quando combinada com mais

figuras do mesmo tipo. Cada fibra de betão tem, portanto, a área do triângulo que lhe

corresponde, estando esta dependente do grau de discretização a adoptar.

Já no caso das armaduras, considerou-se cada varão isolado como uma fibra de aço, pelo que

a sua área é independente do grau de discretização, dependendo apenas da área do varão

respectivo. Na figura 2.2 ilustra-se a discretização pretendida.

Figura 2.2 – Ilustração do modelo de discretização adoptado no programa da análise da secção

O objectivo do modelo de discretização da secção passa pela determinação das áreas de cada

fibra (aço e betão) e respectivas coordenadas do seu centro de gravidade, medidas no

referencial central principal de inércia da secção.

9

Relativamente ao betão, o processo de discretização em causa consiste na definição de um

contorno (figura geométrica), o qual é dividido em troços de comprimento constante e

dependente do grau de discretização da secção. Posteriormente, no interior desse contorno

gera-se uma grelha ortogonal de pontos com espaçamento constante segundo os dois eixos,

também dependente do grau de discretização em causa, sendo que esse espaçamento

constante dos pontos tem por objectivo regularizar o máximo possível a malha a ser criada.

Finalmente, utiliza-se o conjunto de pontos formado pelos pontos do contorno e pelos pontos

do interior para se efectuar uma triangulação. Na figura 2.3 resume-se o processo de

discretização efectuado para uma secção genérica de betão.

Figura 2.3 – Processo de discretização de uma secção genérica de betão em triângulos

Para o modelo em causa, optou-se por uma Triangulação do tipo Delaunay, pois verifica-se ser

a mais conveniente de todas, como se mostra de seguida.

Em matemática, uma triangulação de Delaunay para um conjunto de pontos 푃 no plano é uma

triangulação 퐷푇(푃) onde nenhum ponto em 푃 está dentro da circunferência formada por

qualquer triângulo pertencente a 퐷푇(푃) (de Berg, M. et al. [4]). Na figura 2.4 ilustra-se este

conceito.

10

Figura 2.4 – Ilustração da condição de Delaunay: (a) condição satisfeita; (b) condição não satisfeita

A opção pela Triangulação de Delaunay tem por base o facto de ser a triangulação que maximiza o menor ângulo de todos os triângulos na triangulação, tendendo a evitar triângulos com ângulos internos muito pequenos. Isto regulariza muito a malha de discretização e evita ao máximo a possibilidade de aparecerem triângulos muito distorcidos na mesma, os quais tenderiam a ter áreas muito pequenas ou nulas, evitando-se, assim, eventuais problemas numéricos no modelo.

No que toca ao aço, cada camada de armaduras é tratada como um contorno, o qual vai ser posteriormente discretizado em pontos com afastamento predefinido.

Para que os resultados das análises possam ser mais precisos, não dependendo tanto do grau de discretização, interessa que o modelo crie uma malha de fibras simétrica em relação ao centro de gravidade da secção. Assim sendo, optou-se por gerar inicialmente a parte da secção contida num dos quadrantes, extrapolando-se, de seguida, os resultados de forma simétrica em relação aos dois eixos de inércia para se reproduzir a restante parte da secção (contida nos outros três quadrantes). Tomou-se esta opção dado que as secções dos pilares das pontes são, em geral, bi-simétricas, tendo-se, por esse motivo, limitado o modelo a discretizar secções desse tipo.

Nesta dissertação, pretende-se estudar o comportamento de secções poligonais e de secções de revolução, ambas com ou sem vazamento, pelo que se descreve de seguida o processo detalhado de discretização adoptado para cada um desses casos. De referir, ainda, que se limitou o número de camadas de armadura a dois para cobrir os casos com vazamento, uma vez que estes, em geral, também contêm uma camada de armaduras junto à face interior da secção. Note-se, por último, que o modelo efectuado permite a utilização de varões de diâmetro diferente na mesma camada de armaduras, no caso de secções poligonais, desde que se mantenha constante em cada segmento. No caso das secções de revolução, cada camada de armaduras só pode ser formada por varões de igual diâmetro. Em qualquer um dos casos, os diâmetros escolhidos para as camadas de armaduras são independentes.

11

2.2.2. Secções poligonais sem vazamento

Apresenta-se, de seguida, o processo sequencial de discretização de uma secção poligonal

genérica de betão armado adoptado no modelo criado para análise da secção.

Discretização do betão:

i) Definição do contorno do polígono correspondente ao quarto de secção localizado

no primeiro quadrante dos eixos centrais principais de inércia da secção em causa

(subsecção):

A definição deste contorno é conseguida introduzindo no programa as coordenadas dos

vértices dessa subsecção medidas num referencial arbitrário (y´,z´). Por uma questão de

simplicidade na introdução de dados, escolheu-se o referencial localizado no vértice do

rectângulo envolvente da secção total. Com este referencial, as coordenadas do CG da secção

correspondem aos máximos das coordenadas y’ e z’ introduzidas. É de referir que as

coordenadas dos vértices a introduzir têm que estar ordenadas de forma a gerar um ciclo, tal

como se ilustra na figura 2.5.

Figura 2.5 – Exemplo de definição do contorno da subsecção a introduzir no programa (secção poligonal sem

vazamento)

ii) Discretização do contorno da subsecção em pontos:

O processo de discretização do contorno da subsecção inicia-se com a identificação do vector

director do segmento de recta 푖, 푣⃗ = (푣 ,푣 ) , em que as suas coordenadas são iguais às

diferenças de coordenadas dos pontos extremos desse contorno (previamente introduzidas).

Através da equação vectorial da recta (푥,푦) = (푥 ,푦 ) + 푘(푣 ,푣 ), para o segmento de recta 푖,

calcula-se, posteriormente, o valor de 푘 correspondente ao grau de discretização (푑푥)

pretendido. Finalmente, usa-se o valor de 푘 determinado para calcular as coordenadas dos

pontos que correspondem à subdivisão deste segmento, através do incremento sucessivo de 푘

na equação vectorial da recta desde o ponto extremo inicial até se chegar ao ponto extremo

final do segmento, tal como se representa na figura 2.6.

12

푦 , 푧 = (푦 , 푧 ) + 푘 푣 , 푣

⇒ 푘 = ∆푦푣=

∆푧푣

푑푥 = ∆푦 + ∆푧

⇒ 푘 = 푑푥 − (푘푣 )

푣=

푑푥 − 푘푣

푣

∴ (풚풍,풛풍) = (풚풊,풛풊) + 풏풌 풗풚,풗풛 ;풏흐ℕ,풌흐ℝ

Figura 2.6 – Processo de divisão de um segmento de recta genérico, para um dado grau de discretização dx

Este processo generaliza-se para todos os segmentos de recta que constituem o contorno a

discretizar, respeitando a ordem de pontos que for dada ao programa. Assim se justifica o facto

de os pontos dos vértices a introduzir terem que formar um ciclo. Na figura 2.7, esquematiza-se

o processo de discretização de um contorno de uma secção poligonal, para um dado grau de

discretização.

(a)

(b)

Figura 2.7 – Ilustração do processo de discretização de um segmento de contorno (secção poligonal sem

vazamento)

iii) Geração de malha de pontos no interior da subsecção:

Nesta fase, cria-se uma malha ortogonal de pontos entre o mínimo e o máximo das

coordenadas dos vértices da subsecção, com espaçamento constante nas duas direcções

ortogonais e igual ao grau de discretização da secção (푑푥). De seguida, excluem-se os pontos

que distem menos do que 푑푥 do contorno, de forma a evitar a existência de triângulos muito

distorcidos na posterior triangulação. Na figura 2.8 ilustra-se este processo. É de referir que se

utilizou o mesmo grau de discretização para o contorno e para o interior, de modo a se obter no

final uma malha o mais regular possível.

13

(a)

(b)

Figura 2.8 – Malha de pontos para servir de base à triangulação: (a) Geração de malha ortogonal de pontos

com afastamento constante; (b) exclusão dos pontos com distância ao contorno inferior a dx

iv) Triangulação de Delaunay:

Com o conjunto de todos os pontos calculados anteriormente, através das suas coordenadas,

efectua-se uma triangulação tipo Delaunay, restringindo-a pelo polígono que constitui o

contorno da subsecção em causa, ou seja, formando uma triangulação apenas no interior do

contorno, tal como pretendido (ver figura 2.9).

Figura 2.9 – Triangulação com base nos pontos criados (secção poligonal sem vazamento)

Conhecendo-se as coordenadas dos vértices de cada triângulo que constitui a subsecção,

está-se em condições de determinar o CG de cada triângulo (através da média das

coordenadas dos três pontos que o formam), e a respectiva área. Este processo é ilustrado na

figura 2.10.

14

푦푐푔 =푦푖 + 푦푗 + 푦푘

3; 푧푐푔 =

푧푖 + 푧푗 + 푧푘3

푑푖푗 = (푧푗 − 푧푖) + (푦푗 − 푦푖)

푑푗푘 = (푧푘 − 푧푗) + (푦푘 − 푦푗)

푑푘푖 = (푧푖 − 푧푘) + (푦푖 − 푦푘)

ℎ푑푘푖

= sin 훼ℎ푑푗푘

= sin 훽

푑푘푖 cos훼 + 푑푗푘 cos훽 = 푑푖푗⎭⎪⎬

⎪⎫

⇒ 훼,훽, ℎ

퐴 =푑푖푗 × ℎ

2

Figura 2.10 – Determinação das coordenadas do CG e da área de um triângulo genérico a partir das coordenadas dos seus vértices

v) Mudança de coordenadas e rebatimento das fibras de betão:

Uma vez que se pretende, de seguida, efectuar o rebatimento dos triângulos anteriormente

determinados, usando como charneiras os eixos centrais principais de inércia da secção em

causa, interessa, nesta fase, efectuar a mudança de coordenadas dos CG’s dos triângulos de

betão do referencial (y´,z´) para o (y,z), tal como se ilustra na figura 2.11.

Figura 2.11 – Mudança de coordenadas e rebatimento das fibras de betão (secção poligonal sem vazamento)

De forma a construir a secção em causa a partir dos triângulos da subsecção formada

anteriormente, rebatem-se as coordenadas dos centros de gravidade dos triângulos

previamente calculadas em relação aos eixos centrais principais de inércia da secção. Este

rebatimento é feito triângulo a triângulo, de modo a se efectuar a devida correspondência de

áreas de um quadrante para os outros.

15

Discretização do aço:

i) Definição da camada de armaduras contida na subsecção:

A definição da camada de armaduras é efectuada introduzindo no programa as coordenadas

dos vértices da linha poligonal que contém a localização dos varões de um quarto da secção

(subsecção). De forma idêntica ao contorno de betão, essas coordenadas são introduzidas em

relação ao referencial auxiliar (y´,z´) anteriormente arbitrado, por uma questão de conveniência.

De referir que, neste caso, também interessa que os vértices sejam dados com ordem, tal

como se representa na figura 2.12. Note-se, ainda, que as áreas de cada varão são calculadas

a partir do seu diâmetro, que surge também como dado de entrada ao programa.

Figura 2.12 – Definição da camada de armaduras contida na subsecção e ordenação dos dados a introduzir

ii) Discretização da camada de armaduras em varões isolados (fibras de aço):

A discretização da camada de armaduras contida na subsecção é efectuada de forma idêntica

à utilizada na discretização do contorno da própria subsecção de betão. O programa utiliza a

ordem com que foram introduzidas as coordenadas dos vértices para, de seguida, segmento a

segmento, os discretizar em pontos através da equação vectorial da recta de cada segmento. A

única diferença em relação à discretização da subsecção de betão reside apenas no grau de

discretização dos segmentos, que neste caso é igual ao afastamento real dos varões (푎푓),

sendo independente do grau de discretização utilizado para o betão (푑푥). A figura 2.13 ilustra o

procedimento descrito.

Figura 2.13 – Discretização da camada de armaduras em varões isolados

16

iii) Mudança de coordenadas e rebatimento das fibras de aço:

De forma a evitar sobreposições de pontos, após o rebatimento, uma vez que existem fibras de

aço sobre os eixos a rebater, eliminam-se, nesta fase, esses pontos (figura 2.14).

Figura 2.14 – Eliminação das fibras de aço localizadas sobre os eixos de rebatimento

Seguidamente efectua-se a mudança de referencial, de forma análoga à que foi efectuada com

as coordenadas dos CG’s dos triângulos de betão, de forma a criar condições de aplicar os

rebatimentos, varão a varão (para não se perder a correspondência das áreas).

Por fim, voltam-se a acrescentar os pontos sobre os eixos que previamente tinham sido

eliminados, ficando, no final, guardadas as coordenadas de todos os varões existentes na

secção e respectivas áreas (figura 2.15).

Figura 2.15 – Rebatimento dos varões de aço sobre os eixos centrais principais de inércia e acréscimo dos

varões localizados sobre os eixos

17

2.2.3. Secções poligonais com vazamento

O processo anteriormente descrito para as secções poligonais sem vazamento também é

aplicável para as secções com vazamento, uma vez que a subsecção de uma secção com

vazamento genérica corresponde sempre a uma secção sem vazamento. Assim sendo, a única

diferença em relação ao caso sem vazamento consiste na geometria da subsecção a dar ao

programa. Nas figuras 2.16 e 2.17, apresenta-se um caso ilustrativo.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8) Figura 2.16 – Processo de discretização do betão de uma secção poligonal com vazamento

18

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6) Figura 2.17 - Processo de discretização do aço de uma secção poligonal com vazamento

2.2.4. Secções circulares sem vazamento

Discretização do betão:

i) Definição do contorno da subsecção:

No caso da secção circular, o contorno da subsecção é definido, não pelas coordenadas dos

vértices de um polígono, mas apenas pela introdução do raio exterior. Neste caso não é

necessário considerar um referencial auxiliar, pois o referencial que mais simplifica a

introdução de dados é o referencial central principal de inércia, que é independente da

orientação, por se tratar de uma secção de revolução.

19

ii) Discretização do contorno da subsecção em pontos:

O contorno da subsecção, neste caso, é formado por dois segmentos rectos e um troço curvo

(circunferencial). Os segmentos rectos serão tratados da mesma forma da que foi descrita nas

secções poligonais, ou seja, através de sucessivos incrementos de 푘 na equação vectorial da

recta entre o ponto inicial e o final de cada segmento, de modo a que os pontos, após

discretização, fiquem afastados de uma distância igual ao grau de discretização pretendido

(푑푥). No entanto, para o troço curvo, tem que se usar a equação da circunferência em

coordenadas polares ao invés da equação da recta. Neste caso, consideram-se incrementos

de ângulo (푑휃) de modo a satisfazer o grau de discretização predefinido (푑푥). Estes

incrementos de ângulo dependem do raio exterior, de modo a que o afastamento entre pontos,

após discretização, seja aproximadamente igual a 푑푥. Neste caso, discretiza-se o contorno com

uma sucessão de pontos até atingir 45º e depois rebatem-se esses pontos em torno do eixo a

45º. Assim se garante que a discretização fica igual na vizinhança dos dois eixos ortogonais de

inércia. Na figura 2.18 ilustra-se o processo de divisão de um segmento circular genérico.

푅푒 × 푑휃 = 푑푥

푦푛 = 푅푒 cos(푛푑휃)

푧푛 = 푅푒 sin(푛푑휃)

푛휖ℕ

Figura 2.18 - Processo de divisão de um segmento circular genérico, para um dado grau de discretização dx

iii) Geração de malha de pontos no interior da subsecção:

No caso da secção circular, o processo de geração de malha de pontos no interior da

subsecção segue os mesmos passos que no caso da secção poligonal. Cria-se, inicialmente,

uma malha ortogonal de pontos com afastamento constante nas duas direcções e igual a 푑푥,

num quadrado de lado igual ao raio exterior do círculo. Optou-se por uma malha ortogonal ao

invés de uma malha radial/circunferencial, uma vez que desta forma se obtêm triângulos com

áreas mais próximas e uma malha mais regular. Seguidamente, excluem-se os pontos que

distam menos do que 푑푥 do contorno, pelas razões já referidas no caso poligonal. Note-se que

também no caso circular se usou o mesmo grau de discretização para o interior e contorno,

pois verifica-se ser um bom compromisso entre a simplicidade de cálculo e uma boa

regularização da malha de triângulos.

iv) Triangulação de Delaunay:

O processo de triangulação é em tudo idêntico ao caso poligonal, uma vez que só depende das

coordenadas dos pontos anteriormente determinados.

20

v) Rebatimento das fibras de betão:

O processo de rebatimento dos triângulos de betão também é semelhante ao caso poligonal.

Na figura 2.19 esquematiza-se o processo de discretização do betão de uma secção circular,

com base nos passos anteriormente descritos.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) Figura 2.19 – Processo de discretização do betão de uma secção circular sem vazamento

21

Discretização do aço:

i) Definição da camada de armaduras contida na subsecção:

A definição da camada de armaduras concretiza-se fixando o recobrimento que se deseja para

a secção em causa, o diâmetro e o afastamento dos varões pretendido para essa camada.

Sabendo o raio exterior da secção, o recobrimento e o diâmetro do varão, facilmente se calcula

o raio da circunferência que passa pela localização dos varões.

ii) Discretização da camada de armaduras em varões isolados (fibras de aço):

Para fins de discretização, cada camada de armaduras é tratada como um troço curvo

circunferencial com raio 푅푠. Sabendo o afastamento que se pretende para os varões, percorre-

se a equação do círculo em coordenadas polares, incrementando sucessivamente ângulos 푑휃푠 (função do afastamento pretendido) entre o ponto localizado no eixo y até ao ponto localizado

no eixo z, cujas coordenadas só dependem de 푅푠. Do mesmo modo que no contorno de betão,

deve garantir-se que a distribuição de varões é simétrica em torno do eixo a 45º, para que a

discretização seja igual na vizinhança dos dois eixos de inércia.

iii) Rebatimento das fibras de aço:

Tal como no caso poligonal, antes de efectuar os rebatimentos sobre os eixos centrais

principais de inércia eliminam-se os pontos da camada de armaduras que se localizem sobre

as charneiras. Seguidamente, efectua-se o rebatimento e volta-se a acrescentar os pontos

anteriormente eliminados, evitando-se, assim, sobreposições.

O processo de discretização do aço numa secção circular sem vazamento encontra-se

esquematizado na figura 2.20.

22

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6) Figura 2.20 - Processo de discretização do aço de uma secção circular sem vazamento

2.2.5. Secções circulares com vazamento

O processo de discretização das secções circulares com vazamento segue o mesmo raciocínio

que o das secções sem vazamento. A diferença reside no facto de o contorno da subsecção no

caso com vazamento ser formado por dois troços rectos e dois curvos, tratando-se cada um

deles da forma já descrita, de modo a formar um ciclo. Nas figuras 2.21 e 2.22, apresenta-se a

esquematização deste caso.

23

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) Figura 2.21 – Processo de discretização do betão de uma secção circular com vazamento

24

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

Figura 2.22 - Processo de discretização do aço de uma secção circular com vazamento

25

2.2.6. Exemplos de aplicação

Apresentam-se na tabela 2.1 cinco exemplos de secções transversais discretizadas de acordo

com os procedimentos mencionados nos pontos anteriores.

Tabela 2.1 – Exemplos de discretização de secções transversais

Exemplo 1 - Secção rectangular compacta

Dimensões: 5mx1m

Discretização do betão: dx = 0,1m

Discretização do aço: ɸ25//10 (ρ = 1,1%)

rec = 4cm

Exemplo 2 - Secção rectangular oca

Dimensões: 5mx2mx0,4m


Discretização do aço: 2xɸ16//10 (ρ = 1,0%)

rec = 4cm

26

Tabela 2.1 (continuação)

Exemplo 3 - Secção quadrangular Dimensões: 2mx2m



rec = 4cm

Exemplo 4 - Secção circular compacta Dimensões: D = 2,0m



rec = 4cm

Exemplo 5 - Secção circular oca

Dimensões: Dext = 3,0m, Dint = 2,0m


Discretização do aço: 2xɸ20//10 (ρ = 1,2%)

rec = 4cm

27

2.3. Relações constitutivas dos materiais

2.3.1. Considerações gerais

Efectuada a discretização geométrica em fibras de betão e de aço, implementou-se, como

referido anteriormente, uma relação constitutiva uniaxial diferente para cada material.

A relação constitutiva de um material é complexa e depende de variados factores,

nomeadamente o tipo de material, a temperatura, as condições de confinamento (no caso do

betão), história de carregamento, entre outros.

Pretende-se, nesta dissertação, avaliar o comportamento fisicamente não linear dos materiais,

o qual se traduz na não linearidade das suas relações constitutivas.

Existem muitos modelos de relações constitutivas, sendo que alguns conseguem reproduzir

com uma elevada fiabilidade o comportamento observado nos ensaios. No entanto, para a sua

definição, é necessário um número elevado de parâmetros, os quais têm que ser aferidos

experimentalmente, podendo requerer níveis de execução e precisão experimental difíceis de

atingir com equipamentos correntes. Tal sofisticação dos modelos, na prática, traduz-se num

elevado tempo de execução, em computador, de programas de análise não linear, quer pelo

elevado número de vezes em que são utilizadas as relações constitutivas, quer pelo facto de,

depois de ocorrerem as deformações plásticas, aquelas passarem a depender da história

tensão-deformação anterior, o que obriga a guardar um elevado número de variáveis

necessárias à definição do caminho percorrido. Assim, na escolha de um modelo de relações

constitutivas, há que garantir um compromisso entre a precisão e o rigor deste, o número de

parâmetros necessários para a sua definição e a sua simplicidade e rapidez de cálculo.

2.3.2. Relações constitutivas propostas pela EN 1992-1-1

Para efeitos de modelação do comportamento do betão, o EC2 propõe as seguintes relações

constitutivas:

a) Relação linear:

Para a verificação da segurança em relação aos Estados Limites de Utilização, o EC2 propõe

um diagrama linear (figura 2.23), limitado em compressão pelo valor de cálculo da tensão

resistente (푓 ) e em tracção pelo valor médio da tensão de rotura (푓 ). Os valores indicados

no EC2 para os módulos de elasticidade dependem da classe do betão, são referidos aos 28

dias de idade e correspondem a valores médios do módulo secante para tensões da ordem de

40% do valor médio da tensão de rotura.

28

휎 = 퐸 .휀 (2.13)

퐸 1 = 퐸 (2.14)

Figura 2.23 – Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para verificação dos Estados Limites de

Utilização

b) Relação 푘 − 휂:

Para efeitos de análise estrutural não linear, o EC2 propõe a relação quadrática indicada na

figura 2.24, caracterizada pelo valor médio do módulo de elasticidade (퐸 ), pela resistência

média à compressão (푓 ), pela extensão associada à máxima tensão (휀 ) e pela extensão

máxima (휀 ). As expressões que a definem são as seguintes:

휎 =

⎩⎨

⎧푓푘휂 − 휂

1 + (푘 − 2)휂

0

푠푒– 휀 ≤ 휀 ≤ 0

푠푒휀 > 0

(2.15)

퐸 =

⎩⎨

⎧푓휀

푘 − 2휂 − (푘 − 2)휂[1 + (푘 − 2)휂]

0

푠푒– 휀 ≤ 휀 ≤ 0

푠푒휀 > 0

(2.16)

휂 =휀휀 (2.17)

푘 = 1,05퐸 ×|휀 |푓 (2.18)

1 퐸 define o módulo de elasticidade tangente da relação constitutiva do betão, correspondendo, matematicamente, à

sua derivada (퐸 = ).

29

Figura 2.24 – Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para realização de análises estruturais não lineares

c) Relação parábola-rectângulo:

Para a determinação da capacidade resistente das secções, o EC2 propõe uma relação

parabólica até uma determinada extensão (휀 ), seguida de um troço recto até se atingir a

extensão última (휀 ) (figura 2.25). Esta relação é limitada ao valor de cálculo da resistência do

betão (푓 ).

휎 =

⎩⎪⎨

⎪⎧푓 1 − 1−

휀휀

푓

푠푒– 휀 ≤ 휀 ≤ 0

푠푒– 휀 ≤ 휀 ≤ −휀

(2.19)

퐸 =푓 .

2휀 1−

휀휀

0

푠푒– 휀 ≤ 휀 ≤ 0

푠푒– 휀 ≤ 휀 ≤ −휀

(2.20)

30

Figura 2.25 – Relação constitutiva do betão proposta pelo EC2 para determinação da capacidade resistente de secções

O EC2 considera, ainda, outras relações constitutivas simplificadas para o betão, as quais não foram mencionadas, uma vez que modelam com menos rigor o seu comportamento.

Para efeitos do comportamento do aço, o EC2 propõe uma relação constitutiva bilinear (figura 2.26), em que o primeiro troço segue uma inclinação igual ao valor de cálculo do módulo de elasticidade (퐸 ) até se atingir o valor de cálculo da tensão de cedência do aço (푓 ), podendo

admitir-se uma das seguintes opções para o segundo troço:

a) Inclinado com uma extensão limite 휀 = 0.9휀 e uma tensão máxima de para 휀

(푘 é um parâmetro que define o endurecimento e cujo valor é indicado no Anexo C do EC2);

b) Horizontal sem necessidade de verificação do limite de extensão.

Figura 2.26 – Relação constitutiva do aço proposta pelo EC2

31

2.3.3. Relações constitutivas utilizadas

Devido ao tipo de solicitação do pilar (acção sísmica), e no sentido de simplificar a relação

constitutiva, não se considerou a resistência à tracção do betão. O efeito desta resistência faz-

se sentir sobretudo no comportamento da secção até à fendilhação, que, para este tipo de

acção, se verifica logo na parte inicial do primeiro ciclo de carga, sendo portanto o seu efeito

muito reduzido.

Como se pôde verificar no ponto anterior, a relação constitutiva a considerar para o betão, de

acordo com o EC2, depende do tipo de análise a realizar. A não uniformidade do tipo de

relações constitutivas propostas pelo EC2 pode originar alguns inconvenientes, em particular

nas situações em que seja necessário ter simultaneamente em consideração a deformabilidade

e a resistência dos elementos estruturais. Esta situação é relevante nos casos em que a

distribuição de esforços é significativamente dependente da deformação da estrutura, como

acontece na análise de pilares sujeitos à acção dos sismos. Dada a importância deste assunto

para as análises não lineares a efectuar nesta dissertação, apresenta-se, no Capítulo 4, um

estudo da escolha de uma relação constitutiva a utilizar para o betão, diferente das propostas

pelo EC2, de modo a simular com o mesmo rigor, simultaneamente a deformação e a

capacidade resistente do elemento estrutural.

Relativamente ao aço, considerou-se, na presente dissertação, uma relação bilinear

semelhante à proposta no EC2 (figura 2.27), sendo o primeiro troço definido por uma tangente

igual ao valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço (퐸 ), e o segundo troço horizontal,

com extensão limitada a um valor de cálculo 휀 = 10/1000.

휎 = 퐸 × 휀

푓

푠푒|휀 | ≤ 휀

푠푒휀 < |휀 | < 휀

(2.21)

Figura 2.27 – Relação constitutiva utilizada para as fibras de aço no programa de análise não linear

32

É de referir que, quando uma estrutura real é submetida à acção de um sismo, os seus

elementos ficam sujeitos a ciclos histeréticos de tensão-deformação, entendendo-se por ciclos

histeréticos as histórias de carga e descarga, cíclicas, associadas a deformações inelásticas. A

modelação do comportamento histerético dos materiais, através das suas relações

constitutivas, é fundamental para traduzir o comportamento de pilares sujeitos à acção dos

sismos. Assim sendo, considerou-se, no caso das fibras de aço, que as descargas e recargas

seguem por segmentos paralelos ao troço elástico da relação constitutiva, tal como se ilustra

na figura 2.28. Por outro lado, não se considerou o comportamento histerético do betão na

presente dissertação, dado que as relações constitutivas do betão têm, relativamente às das

armaduras, uma influência muito menor na resposta cíclica de uma secção de betão armado.

Embora a envolvente monotónica do betão condicione de algum modo o comportamento da

secção, modificações nos caminhos de carga e descarga traduzem-se em muito ligeiras

alterações na resposta da secção (Gomes, A.M. [1]).

Figura 2.28 – Comportamento histerético considerado nas fibras de aço

Outro aspecto de grande importância numa estrutura sob acção sísmica, nomeadamente em

pilares de betão armado, reside no efeito de confinamento do betão, o que pode ser conferido

por uma eficiente cintagem e pelos varões longitudinais. Este efeito permite uma melhoria na

resistência e, principalmente, na ductilidade do betão localizado no núcleo da secção, e tem

como consequência a melhoria do comportamento global do pilar sob a acção dos sismos. No

entanto, por uma questão de simplicidade do modelo e de forma conservativa, considerou-se

para todas as fibras de betão um comportamento não confinado.

33

2.4. Relações Esforços-Deformações 2.4.1. Considerações gerais

O conhecimento das relações esforços-deformações de secções é fundamental para a

realização de análises não lineares de estruturas de betão armado, nomeadamente a análise

dos efeitos da acção dos sismos em pilares de pontes.

Essas relações podem ser determinadas por duas vias distintas (Virtuoso, F. et al. [8]):

Método 1 – impondo incrementos das deformações;

Método 2 – impondo incrementos dos esforços.

Quando se adopta o formato 휎 = 휎(휀) para descrever as relações constitutivas dos materiais, o

cálculo dos esforços associados a um incremento de deformações (método 1) é directo (ao

contrário do método 2), pelo que se adoptou o método 1 para a determinação das relações

esforços-deformações.

Na presente dissertação, interessa que o modelo desenvolvido determine as relações

momentos-curvaturas de uma determinada secção, para uma dada história de carregamento

ou deformação.

Num pilar real, a história de carregamento/deslocamentos depende da acção, o que, no caso

de acção sísmica, consiste na imposição de acelerações de base, que a simulam. Note-se que

um pilar de uma ponte, durante a actuação de um sismo, está submetido a deslocamentos na

base (provenientes das acelerações impostas), sendo que a parcela horizontal (a qual pode ter

componentes sobre cada um dos eixos de inércia da secção) é predominante face à

componente vertical. Dado que a rigidez axial do pilar é muito superior à de flexão, o mesmo

fica sujeito, durante o sismo, a uma história de deslocamentos (praticamente) horizontais no

topo, provenientes da sua flexão bidimensional, sendo o seu comportamento axial praticamente

invariável. Tendo isto em conta, e exceptuando os casos de pilares em pórtico, é plausível

assumir que o esforço normal não varia durante o processo, uma vez que a sua variação é

muito pequena quando comparada com a dos momentos flectores.

Nos pontos seguintes descreve-se a metodologia adoptada para a determinação das relações

momentos-curvaturas (푀 −휒 e 푀 −휒 ), para dois tipos de histórias de carregamento:

Esforço normal e uma das componentes de momento constantes;

Esforço normal e direcção do vector momento constantes.

Compreendida a metodologia da análise de secção para estes exemplos, está-se em

condições de generalizar o processo para o caso de uma história de deformações na secção,

proveniente de uma história de deslocamentos na base do pilar, procedimento que será

desenvolvido no Capítulo 3 da presente dissertação.

34

2.4.2. Relações momentos-curvaturas para esforço normal e uma das componentes de momento constantes

Tendo em conta que se adoptaram relações constitutivas não lineares para as fibras de cada

um dos materiais que compõem a secção, prevê-se que as relações esforços-deformações

também o sejam, uma vez que advém da generalização do comportamento de todas as fibras

que constituem a secção, quando esta está submetida a um determinado conjunto de esforços.

Tratando-se de um problema não linear, o cálculo da variação dos esforços associada a um

incremento de deformações pode ser efectuado através do método de Newton-Raphson.

Este método consiste em incrementar sucessivamente um valor pré-definido de curvatura,

sendo que em cada incremento se efectua um processo iterativo para o cálculo do momento

correspondente (figura 2.29). Em cada iteração, assume-se que a relação entre a tensão e

deformação de cada fibra é linear e igual à derivada no ponto correspondente ao estado de

tensão anterior, linearizando assim a curva 푀 −휒 ao longo do incremento, devendo em

seguida corrigir-se o valor obtido para o momento, até que este seja igual ao valor que satisfaz

o equilíbrio, a menos de uma tolerância pré-definida.

Figura 2.29 – Ilustração do processo de Newton-Raphson aplicado à determinação de relação Momentos-Curvaturas para N=cte

35

Tratando-se de um método incremental, interessa escrever as equações de equilíbrio,

compatibilidade e relações constitutivas também de forma incremental. Para uma variável

genérica X, o valor correspondente ao incremento m é dado por:

푋 = Δ푋 (2.22)

Tendo em conta o modelo de discretização em fibras adoptado (descrito no subcapítulo 2.2),

podem reescrever-se as equações de equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas do

seguinte modo, para a iteração k:

푬풒풖풊풍í풃풓풊풐

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧ Δ푁 = ΔN + ΔN = A .Δσ , + A .Δσ ,

ΔM = ΔM , + ΔM , = A . z .Δσ , + A . z .Δσ ,

ΔM = ΔM , + ΔM , = −A . y .Δσ , + −A . y .Δσ ,

(2.23)

(2.24)

(2.25)

푪풐풎풑풂풕풊풃풊풍풊풅풂풅풆

Δ휀 (푦 ,푧 ) = Δ휀 + Δ휒 . 푧 − Δ휒 . y

Δ휀 (푦 , 푧 ) = Δ휀 + Δ휒 . 푧 − Δ휒 . y

(2.26)

(2.27)

푹풆풍풂çõ풆풔풄풐풏풔풕풊풕풖풕풊풗풂풔

⎩⎨

⎧Δ휎 (푦 , 푧 ) = 푓 Δ휀 (푦 ,푧 )

Δ휎 (푦 , 푧 ) = 푓 Δ휀 (푦 ,푧 )

(2.28)

(2.29)

em que c corresponde ao betão e s ao aço, nc e ns correspondem ao número total de fibras de

betão e aço, respectivamente, e i corresponde à fibra.

A consideração conjunta das equações de equilíbrio, compatibilidade e relações constitutivas

conduz à seguinte equação matricial em formato incremental, para uma dada iteração:

Δ푁ΔMΔ푀

=퐾 퐾 퐾퐾 퐾 퐾퐾 퐾 퐾

çã,

Δ휀Δ휒Δ휒

(2.30)

36

Os termos da matriz rigidez da secção, tendo em conta o modelo de discretização em fibras

adoptado, podem ser determinados do seguinte modo:

퐾 = 퐸 , 퐴 + 퐸 , 퐴 (2.31)

퐾 = 퐸 , 퐴 (푧 ) + 퐸 , 퐴 (푧 ) (2.32)

퐾 = 퐸 , 퐴 (푦 ) + 퐸 , 퐴 (푦 ) (2.33)

퐾 = 퐾 = 퐸 , 퐴 푧 + 퐸 , 퐴 푧 (2.34)

퐾 = 퐾 = −퐸 , 퐴 푦 + −퐸 , 퐴 푦 (2.35)

퐾 = 퐾 = −퐸 , 퐴 푧 푦 + −퐸 , 퐴 푧 푦 (2.36)

em que Ect e Est representam, respectivamente, os módulos de elasticidade tangente do betão

e das armaduras ordinárias, podendo os seus valores ser obtidos a partir das derivadas das

relações constitutivas de cada um dos materiais:

푩풆풕ã풐퐸 =푑휎푑휀 (2.37)

푨ç풐퐸 =푑휎푑휀 (2.38)

Note-se que estes módulos de elasticidade são dependentes da extensão da fibra, a qual, por

sua vez, é função das suas coordenadas y e z, conhecidas após o processo de discretização

da secção.

Tal como já foi referido anteriormente, num problema de flexão composta desviada existem três

variáveis que definem o estado de deformação (휀 ,휒 ,휒 ) e outras três que definem o estado

de tensão da secção (푁,푀 ,푀 ). Conhecendo três das seis variáveis básicas da secção,

consegue-se estimar as restantes através da equação (2.30), desde que a matriz rigidez

tangente da secção também seja conhecida.

Apresenta-se, de seguida, o processo sequencial de determinação da relação momentos-

curvaturas (Xy, My) de uma secção genérica de betão armado, através de incrementos de

curvaturas, e mantendo constantes o esforço normal (N) e a componente segundo z do

momento flector (Mz).

37

Fase 1 - Determinação do 1º ponto do diagrama:

Nesta fase pretende determinar-se o estado de deformação, nomeadamente as componentes

de curvatura 휒 e 휒 , a que corresponde um estado de tensão que equilibra o esforço normal e

o momento segundo z aplicados na secção.

i) Determinação da matriz rigidez da secção tangente ao estado de deformação

inicial e dos esforços que equilibram o estado de tensão que lhe corresponde:

De forma a se poder iniciar o método de Newton-Raphson anteriormente descrito é necessário

conhecer a matriz rigidez da secção tangente ao estado de deformação inicial. Começando

com um estado de deformação inicial nulo (휀 = 휒 = 휒 = 0), em que todas as fibras têm uma

extensão nula, consegue-se, através das relações constitutivas, determinar o módulo de

elasticidade tangente correspondente. Para tal, aplicam-se as equações (2.37) e (2.38),

correspondentes às derivadas das relações constitutivas, para 휀 = 0. Através das expressões

(2.31) a (2.36) e, uma vez que se conhecem as áreas e coordenadas das fibras que constituem

a secção, pode determinar-se a matriz rigidez tangente correspondente ao estado inicial de

deformação 퐾 çã, ( ) .

Conhecendo as deformações em todas as fibras no estado inicial, podem obter-se as

respectivas tensões directamente através das relações constitutivas dos materiais. Os esforços

que equilibram essas tensões podem ser obtidos por integração na secção, através das

expressões (2.23), (2.24) e (2.25), por se tratar de um modelo discreto em fibras, em que as

suas áreas e coordenadas são conhecidas. Uma vez que se trata de um estado de deformação

nulo, os esforços obtidos serão também nulos (푁 = 푀 = 푀 = 0).

ii) Aplicação da relação constitutiva linearizada da secção, de forma a obter uma

primeira aproximação dos esforços, e cálculo do resíduo correspondente (1ª

iteração):

Através da relação constitutiva da secção (2.30), deduzida com base em relações constitutivas

lineares para as fibras constituintes, e uma vez que já se conhece a matriz rigidez tangente ao

estado inicial, pode obter-se uma estimativa do incremento das variáveis cinemáticas, impondo

os seguintes incrementos para as variáveis estáticas:

횫퐍ퟎ(ퟏ) = 퐍퐚퐩퐥퐢퐜퐚퐝퐨

횫퐌퐲ퟎ(ퟏ) = ퟎ

횫퐌퐳ퟎ(ퟏ) = 퐌퐳

퐚퐩퐥퐢퐜퐚퐝퐨= 퐾 çã

, ( )

⎣⎢⎢⎡Δε

( )

Δχ ( )

Δχ ( )⎦⎥⎥⎤⇒

⎣⎢⎢⎡Δε

( )

Δχ ( )

Δχ ( )⎦⎥⎥⎤

= ⋯

O novo estado de tensão/deformação pode ser calculado através da actualização das variáveis

básicas da secção:

38

푁 ( ) = 푁 + Δ푁 ( ) (2.39)

푀 ( ) = 푀 + Δ푀 ( ) (2.40)

푀 ( ) = 푀 + Δ푀 ( ) (2.41)

휀 ( ) = 휀 + Δε ( ) (2.42)

휒 ( ) = 휒 + Δχ ( ) (2.43)

휒 ( ) = 휒 + Δχ ( ) (2.44)

Conhecendo o novo estado de deformação da secção (휀( ),휒( ),휒( )), recorrem-se às relações

constitutivas das fibras para determinar o respectivo estado de tensão, obtendo-se, de seguida,

por integração, os esforços aproximados (푁 ( ),푀 ( ),푀 ( )).

O resíduo (휖) obtido em cada iteração é dado pela diferença entre os esforços reais e os

aproximados pela relação constitutiva linear da secção:

휖 = N −푁 ( ) (2.45)

휖 = 0−푀 ( ) (2.46)

휖 = M −푀 ( ) (2.47)

iii) Se resíduo for maior que uma tolerância pré-definida, iterar sucessivamente até

obter convergência do resultado (restantes iterações):

Embora se possam definir independentemente os critérios de convergência para o esforço axial

e para o momento flector, é conveniente definir a tolerância para aqueles dois esforços em

função de variáveis com a mesma ordem de grandeza (Virtuoso, F. et al. [8]), tendo-se utilizado

o seguinte critério, em que 푡푙푟 representa o valor da tolerância e 퐴 a área da secção:

휖 .√퐴 < 푡푙푟 (2.48)

휖 < 푡푙푟 (2.49)

|휖 | < 푡푙푟 (2.50)

Se o critério de tolerância não for respeitado, deve seguir-se para a iteração seguinte, a qual se

traduz na implementação dos resíduos dos esforços na relação constitutiva da secção,

calculando-se, assim, o novo estado de deformação. Com esse estado, determinam-se, por

integração, os novos esforços aproximados, devendo repetir-se este processo até que a

diferença entre os esforços aplicados na secção e os aproximados seja menor que a tolerância

pré-definida.

39

Considere-se o procedimento para uma iteração 푘 ≥ 2:

⎣⎢⎢⎡횫퐍

ퟎ(퐤) = 훜퐍(퐤 ퟏ)

횫퐌퐲ퟎ(퐤) = 훜퐌퐲

(퐤 ퟏ)

횫퐌퐳ퟎ(퐤) = 훜퐌퐳

(퐤 ퟏ)⎦⎥⎥⎤

= 퐾 çã, ( )

Δε ( )

Δχ ( )

Δχ ( )

⇒Δε ( )

Δχ ( )

Δχ ( ).

ε ( )

χ ( )

χ ( ). .

.

N ( )

M ( )

M ( )

N0

M−

N ( )

M ( )

M ( )=

⎣⎢⎢⎡ϵ

( )

ϵ( )

ϵ( )⎦⎥⎥⎤

<푡푙푟/√A푡푙푟푡푙푟

Quando atingida a tolerância, deve armazenar-se as seis variáveis base actualizadas e a

matriz rigidez tangente correspondente, de modo a serem utilizadas na primeira iteração da

determinação do ponto seguinte.

No caso de secções simétricas e com os materiais a resistir de igual forma à tracção e

compressão, pode saltar-se esta fase de procedimento, uma vez que o par (푀 ,휒 ) vai ser

nulo. No entanto, em secções não simétricas ou com diferentes comportamentos dos materiais

à tracção e à compressão, a relação momentos-curvaturas não se inicia, em geral, na origem,

devendo usar-se este procedimento para a determinação do ponto inicial da curva.

Fase 2 - Determinação dos restantes pontos do diagrama:

Nesta fase pretende obter-se os restantes pares (푀 ,휒 ), aplicando sucessivos incrementos

constantes de curvatura segundo y ao estado de deformação/tensão obtido no cálculo do

primeiro ponto do diagrama.

i) Aplicação da relação constitutiva da secção linearizada impondo incremento de

curvatura com valor pré-definido e mantendo o valor dos esforços aplicados na

secção (1ª iteração):

Conhecida a matriz rigidez tangente e as grandezas estáticas e cinemáticas correspondentes à

aplicação dos esforços permanentes (푁푒푀 ) está-se em condições de aplicar a relação

constitutiva linear da secção, impondo-se, agora, um incremento de curvatura de valor pré-

definido (Δ휒 ), devendo garantir-se que os esforços aplicados inicialmente na secção se

mantêm constantes:

횫퐍ퟏ(ퟏ) = ퟎΔM ( )

횫퐌퐳ퟏ(ퟏ) = ퟎ

= 퐾 çã, ( )

çã, ( )

⎣⎢⎢⎡ Δε ( )

횫훘퐲ퟏ(ퟏ) = 횫흌풚Δχ ( ) ⎦

⎥⎥⎤⇒

⎣⎢⎢⎡ Δε

( )

ΔM ( )

Δχ ( ) ⎦⎥⎥⎤

= ⋯

De seguida, procede-se à actualização das variáveis da secção:

40

푁 ( ) = 푁 ( ) + Δ푁 ( ) (2.51)

푀 ( ) = 푀 ( ) + Δ푀 ( ) (2.52)

푀 ( ) = 푀 ( ) + Δ푀 ( ) (2.53)

휀 ( ) = 휀 ( ) + Δε ( ) (2.54)

휒 ( ) = 휒 ( ) + Δχ ( ) (2.55)

휒 ( ) = 휒 ( ) + Δχ ( ) (2.56)

ii) Cálculo dos esforços que equilibram o estado de deformação determinado após o

incremento de curvatura e cálculo do resíduo correspondente:

Calculado o novo estado de deformação da secção, pode determinar-se a nova matriz rigidez

(a ser usada na próxima iteração) e o estado de tensão correspondente, utilizando-se, para

isso, as relações constitutivas dos materiais. Os correspondentes esforços aproximados da

secção determinam-se por integração das tensões, sendo que o resíduo obtido é dado pela

diferença entre os esforços reais e os aproximados pela relação constitutiva linear da secção:

ε ( )

χ ( )

χ ( ). .

.

N ( )

M ( )

M ( )↔

N−

M⇒

ϵ( ) = N − N ( )

ϵ( ) = M − M ( ) < 푡푙푟/√퐴푡푙푟

iii) Refinamento da solução até os valores dos esforços reais e os obtidos pela relação

linear da secção serem suficientemente próximos (restantes iterações):

Caso o critério de tolerância não seja respeitado deve seguir-se com o seguinte processo

iterativo até que a diferença entre os esforços aplicados na secção e os aproximados seja

menor que a tolerância pré-definida:

⎣⎢⎢⎡횫퐍

ퟏ(퐤) = 훜퐍(퐤 ퟏ)

ΔM ( )

횫퐌퐳ퟏ(퐤) = 훜퐌퐳

(퐤 ퟏ)⎦⎥⎥⎤

= 퐾 çã, ( )

⎣⎢⎢⎡ Δε ( )

횫훘퐲ퟏ(퐤) = ퟎ

Δχ ( ) ⎦⎥⎥⎤⇒

⎣⎢⎢⎡ Δε

( )

ΔM ( )

Δχ ( ) ⎦⎥⎥⎤

= ⋯

41

ε ( )

χ ( )

χ ( ). .

.

N ( )

M ( )

M ( )↔

N−

푀⇒

ϵ( )

ϵ( ) < 푡푙푟/√A푡푙푟

Quando atingida a tolerância, armazenam-se as seis variáveis base actualizadas e a matriz

rigidez tangente correspondente, de modo a serem utilizadas na primeira iteração da

determinação do ponto seguinte.

iv) Incremento sucessivo de curvaturas segundo y e repetição do processo de cálculo

em cada ponto até se verificar a condição de paragem (rotura da secção):

Após a determinação do ponto correspondente ao primeiro incremento de curvatura segundo y

utiliza-se o seu procedimento para calcular os restantes pontos do diagrama pretendido. Para

esse efeito, aplicam-se sucessivos incrementos constantes de curvatura segundo y, nos quais

se efectua um processo iterativo idêntico ao que se demonstrou anteriormente para o cálculo

do esforço correspondente. No entanto, este processo não é infinito, devendo implementar-se a

condição de rotura da secção como condição de paragem do programa.

Nesta dissertação considerou-se como condição de rotura a primeira vez que se atinge a

extensão de rotura em qualquer fibra constituinte da secção (podendo ser de aço ou de betão).

Na representação da relação momentos-curvaturas é conveniente identificar os pontos

notáveis, que neste caso são apenas a cedência e rotura da secção. Para identificação da

cedência é necessário que uma fibra de aço atinja o valor da extensão de cedência, uma vez

que para o betão não se aplica essa definição.

No caso de se pretender determinar a relação (푀 ,휒 ) para 푁 e 푀 fixos, o procedimento é

análogo, sublinhando-se as seguintes diferenças:

Na fase 1, na primeira iteração, implementam-se os valores de 푁 e 푀 aplicados na

secção, sendo que 푀 = 0;

Na fase 2, os incrementos de curvatura a implementar aplicam-se, neste caso, à

componente segundo z da curvatura, garantindo-se, desta vez, que não existe variação

de 푁 e 푀 . Deste modo, os resíduos a verificar são, neste caso, os devidos ao

desequilíbrio destes últimos dois esforços. É de referir, ainda, que se deve garantir a

não variação de 휒 no refinamento da solução.

42

2.4.3. Relações momentos-curvaturas para esforço normal e direcção do vector momento constantes

A direcção do vector momento pode ser definida através do ângulo (훼) que o mesmo faz com o

eixo y da secção, tal como se ilustra na figura 2.30.

Figura 2.30 – Ângulo que define a direcção do vector momento

Para um dado valor de 훼, pode definir-se a seguinte relação de proporcionalidade entre as

componentes de momento:

푀 = 푀 × 푡푔(훼) (2.57)

O procedimento de determinação das relações (푀 ,휒 ) e (푀 ,휒 ) para esforço normal e

direcção do vector momento constantes é, em muito, análogo ao descrito para o caso de

esforço normal e uma das componentes de momento constantes. As suas diferenças

resumem-se no seguinte:

Na fase 1, na primeira iteração, implementa-se o valor de 푁 aplicado na secção, sendo

que 푀 = 푀 = 0;

Na fase 2, os incrementos de curvatura a implementar podem aplicar-se tanto à

componente segundo y como à componente segundo z da curvatura (apenas uma

delas), devendo sempre garantir-se a proporcionalidade entre as componentes de

momento e a não alteração do valor do esforço normal. Caso se opte por aplicar os

incrementos de curvatura à componente segundo y, na primeira iteração de cada

incremento, deve impor-se, para o ângulo 훼 em causa, a relação de proporcionalidade

(2.57). Neste caso, o único resíduo a verificar é o associado ao esforço normal,

devendo, nas restantes iterações desta fase, implementar-se o resíduo associado ao

esforço normal, e garantir-se que não há variação de 휒 e que os momentos se

mantém com a mesma relação de proporcionalidade.

43


Apresentam-se, de seguida, exemplos de relações momentos-curvaturas para níveis de

esforço normal reduzido 휈 entre 0 e 0,6 (compressão), correspondentes à secção transversal

considerada no Exemplo 1 de 2.2.6 (secção rectangular compacta 5mx1m). Considerou-se,

para todos os exemplos, aço A500 e betão C30/37. A relação constitutiva utilizada para o betão

foi a parábola-rectângulo proposta no EC2 (expressão (2.19)). Consideraram-se incrementos

de curvatura ∆휒 = 0,0001m-1 e tolerâncias 푡푙푟 = 1kNm. As figuras 2.31 e 2.32 correspondem,

respectivamente, aos casos de 푁 = 푐푡푒 e 푀 = 0 (훼 = 0º), e 푁 = 푐푡푒 e 푀 = 0 (훼 = 90º), sendo

que as figuras 2.33 e 2.34 correspondem ao caso de 푁 = 푐푡푒 e 훼 = 30º.

Figura 2.31 – Relações momentos-curvaturas para N=cte e Mz=0, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal.

Figura 2.32 – Relações momentos-curvaturas para N=cte e My=0, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal.

0100002000030000400005000060000700008000090000

100000

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003

My

(kN

m)

cy (m-1)

v=0

v=0,1

v=0,2

v=0,3

v=0,4

v=0,5

v=0,6

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

Mz

(kN

m)

cz (m-1)

v=0

v=0,1

v=0,2

v=0,3

v=0,4

v=0,5

v=0,6

44

Figura 2.33 – Relações momentos-curvaturas segundo y, para N=cte e α=30º, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal.

Figura 2.34 – Relações momentos-curvaturas segundo z, para N=cte e α=30º, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008

My

(kN

m)

cy (m-1)

v=0

v=0,1

v=0,2

v=0,3

v=0,4

v=0,5

v=0,6

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014

Mz

(kN

m)

cz (m-1)

v=0

v=0,1

v=0,2

v=0,3

v=0,4

v=0,5

v=0,6

45

Observando as figuras 2.31 e 2.32 verifica-se que, como era expectável, o momento último da

secção segundo y (maior inércia principal) é superior ao momento último segundo z (menor

inércia principal), sendo cerca de 4 a 5 vezes superior, variando ligeiramente esta relação com

o nível de esforço normal aplicado na secção.

Verifica-se que em todos os exemplos apresentados o momento de rotura aumenta com o nível

de esforço normal reduzido até valores da ordem de 푣 = 0,5, voltando a diminuir para valores

superiores desse parâmetro. Este efeito favorável de um esforço normal moderado de

compressão na resistência à flexão de uma secção é típico de secções de betão armado e

justifica-se pelo facto de a existência desse esforço normal aumentar a força resultante de

compressão na secção, que, apesar da diminuição de braço em relação à força de tracção,

permite um aumento do momento flector. Relativamente ao momento de cedência, este efeito

também acontece, no entanto, os valores de 푣 para os quais se dá a inversão da tendência

são, em geral, inferiores aos correspondentes ao momento de rotura.

Nos casos de flexão recta verifica-se que existe um aumento de ductilidade (quantificado pelo

comprimento do patamar de cedência) para níveis baixos a moderados de esforço normal

(푣 = 0,1 e 0,2, respectivamente, para flexão segundo y e segundo z), diminuindo-se, de

seguida, este parâmetro com o aumento do nível de esforço normal. Esta situação acontece

uma vez que em ambos os casos o esforço normal aplicado é equilibrado por um diagrama de

deformações com curvatura superior ao caso de 푣 = 0. Na situação de flexão desviada a

ductilidade da secção diminui sempre com o aumento de esforço normal.

Verifica-se ainda que existe, para todos os casos, um aumento de rigidez da secção à medida

que se aumenta o nível de esforço normal aplicado na mesma. Este efeito também era de

esperar, na medida em que a presença de esforço normal de compressão na secção permite

que um maior número de fibras de betão estejam a resistir e, portanto, a contribuir para a

rigidez da secção.

Comparando as curvas provenientes da situação de flexão desviada com as correspondentes

às situações de flexão recta, verifica-se que os momentos resistentes e as rigidezes obtidas

são inferiores no primeiro caso. Conclui-se, assim, que a presença de esforços (ou

deformações) numa direcção origina uma redução da rigidez e da resistência na direcção

perpendicular, ou de uma forma mais geral, que a flexão desviada tem um efeito desfavorável

no comportamento da secção.

É de salientar, por último, que, como era expectável, no caso de flexão desviada os momentos

segundo z e segundo y são proporcionais em qualquer instante, sendo a constante de

proporcionalidade = tan(30º) = 0,5774. Esta relação pode ser mais facilmente visualizada

nos instantes de cedência e de rotura da secção das figuras 2.33 e 2.34.

46

2.5. Envolventes de rotura e cedência 2.5.1. Considerações gerais

A determinação das envolventes de rotura e cedência de uma secção é um assunto

fundamental para efeitos de apoio à análise não linear de um pilar, descrita no Capítulo 3 da

presente dissertação.

Considere-se a figura 2.35, na qual se representa esquematicamente o diagrama de interação

de uma secção de betão armado submetida a flexão composta desviada. Uma forma simples

de definir este diagrama passa por conhecer, para cada nível de esforço axial (푁), a

correspondente curva de interação (푀 ,푀 ), tal como ilustrado na figura 2.36. De referir que foi

este o procedimento utilizado nesta dissertação para a determinação de envolventes de rotura

e cedência.

Figura 2.35 – Diagrama de interacção de rotura de uma secção de betão armado para o caso de flexão composta desviada

47

Figura 2.36 – Diagramas de interacção de cedência e rotura para um dado nível de esforço axial (1º quadrante)

As situações de cedência e rotura distinguem-se pelo nível de extensões e tensões existente

nas fibras da secção. No caso de uma secção de betão armado a cedência corresponde à

situação em que a primeira fibra de aço da secção atinge a tensão de cedência, para um dado

conjunto de esforços, uma vez que, para o betão, não se define um patamar de cedência. Por

outro lado, a rotura da secção define-se como sendo a situação em que a primeira fibra (de aço

ou betão) atinge a extensão de rotura.

A forma das curvas depende da geometria da secção e do tipo de materiais que a constituem,

sendo que, no caso de secções bi-simétricas, os diagramas de interacção (푀 ,푀 ) são

necessariamente simétricos em relação aos dois eixos, podendo definir-se apenas um

quadrante desse diagrama.

2.5.2. Determinação de uma envolvente de rotura

Como já foi referido anteriormente, para se determinar a envolvente de rotura de uma secção,

podem determinar-se as suas intersecções com planos horizontais, em que cada um destes

corresponde a um dado nível de esforço axial.

Para cada plano horizontal pode, assim, definir-se uma curva de interacção, definida por um

conjunto de pontos (푀 ,푀 ). Definindo-se 훼 como sendo o ângulo que o vector momento faz

com o eixo y da secção, conclui-se que a cada ponto do diagrama de interacção corresponde

um ângulo 훼. A cada inclinação do vector momento (훼) corresponde, ainda, um ângulo (훽) que

a linha neutra da secção faz com o eixo y (figura 2.37), o qual não coincide, de uma forma

geral, com o ângulo 훼, para situações de flexão desviada. Nos casos de flexão recta os dois

ângulos coincidem.

48

Figura 2.37 – Ilustração da definição de α e β para uma secção genérica submetida a flexão composta desviada

Numa secção de betão armado submetida a flexão composta desviada, e com base nas

extensões máximas para o betão (휀 ) e armaduras (휀 ), podem ser definidas cinco zonas com

diagramas associados à rotura (figura 2.38 e tabela 2.2):

Figura 2.38 – Zonas entre diagramas de extensões de rotura notáveis, para uma dada combinação (My,Mz)

49

Tabela 2.2 – Descrição das zonas entre diagrama de extensões de rotura notáveis

Zona 1 (Tracção com pequena

excentricidade)

O estado limite é caracterizado pela extensão

máxima na armadura (휀 = 휀 ), e por a secção estar

totalmente tracionada. A rotura dá-se pela armadura.

Zona 2 (Tracção e compressão com grande

ou média excentricidade)

O estado limite é definido pela extensão máxima na

armadura (휀 = 휀 ), e por extensões de

encurtamento no betão (휀 ≤ 휀 ). A linha neutra está

entre a fibra mais comprimida da secção e a fibra à

profundidade ×( )

. A rotura dá-se pela armadura.

Zona 3 (Tracção e compressão com

grande ou média excentricidade)

O estado limite é definido pela extensão máxima no

betão (휀 = 휀 ), e por extensões na armadura entre

a extensão de cedência e a extensão máxima

휀 ≤ 휀 ≤ 휀 . A linha neutra está entre as fibras às

profundidades ×( )

e ×( )

. A rotura dá-se pelo

betão.

Zona 4 (Compressão com média ou

pequena excentricidade)


betão (휀 = 휀 ), e por extensões na armadura entre

zero e a extensão de cedência 0 ≤ 휀 ≤ 휀 . A linha

neutra está entre a fibra mais tracionada e a fibra à

profundidade ×( )

. A rotura dá-se pelo betão.

Zona 5 (Compressão com pequena

excentricidade)


betão 휀 ≤ 휀 ≤ e por 휀 = na fibra à

profundidade ( / ) . A rotura dá-se pelo betão.

Às zonas 1, 2 e 3 corresponde uma rotura do tipo dúctil, uma vez que a extensão na armadura

é sempre superior à sua extensão de cedência. Por outro lado, às zonas 4 e 5 corresponde

uma rotura do tipo frágil, dado que o comportamento é dominado pelo betão, sem que as

armaduras atinjam a extensão de cedência.

50

Apresenta-se, de seguida, o processo sequencial de determinação de uma envolvente de

rotura para uma secção genérica de betão armado.

i) Mudança de coordenadas, para uma dada inclinação da linha neutra (훽):

Na determinação dos diagramas de interacção é conveniente, por uma questão de simplicidade

de cálculo, alterar o referencial em que estão definidas as fibras, para um outro perpendicular à

linha neutra. Deste modo, para cada inclinação da linha neutra (ou, equivalentemente, para

cada inclinação do vector momento), obtém-se um novo referencial para definir as fibras

(função de 훽), transformando-se, assim, um problema de flexão desviada num problema de

flexão recta com a actuação do momento resultante 푀 = 푀 + 푀 , e em que se tem apenas

uma curvatura 휒, não sendo necessário decompô-la nas suas componentes segundo 푦 e 푧

(figura 2.39). Assim sendo, as equações de equilíbrio e compatibilidade reescrevem-se do

seguinte modo:

푬풒풖풊풍í풃풓풊풐

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푁 = 휎푑퐴

푀 = 휎.푑푑퐴

(2.59)

(2.60)

푪풐풎풑풂풕풊풃풊풍풊풅풂풅풆휀 = 휀 + 휒. 푑 (2.61)

Figura 2.39 – Mudança de referencial para uma dada inclinação da linha neutra. Diagrama de extensões e tensões na secção.

51

Como se verifica na figura 2.38, qualquer diagrama de extensões contido em cada uma das

cinco zonas provém da rotação de um diagrama notável em relação a um ponto fixo.

Considere-se como ponto inferior (superior) o ponto de máxima (mínima) coordenada 푑. No

caso das zonas 1 e 2, qualquer diagrama de extensão tem como ponto comum (fixo) o ponto

inferior (휀 = 휀 ). No caso das zonas 3 e 4, qualquer diagrama de extensão tem como ponto

fixo o ponto superior (휀 = 휀 ). Na zona 5, o ponto fixo é um ponto central, localizado a

푥̅ = ( / ) em relação ao ponto superior. Deste modo, é conveniente armazenar as

coordenadas das fibras em referenciais perpendiculares à linha neutra, com origem em cada

um desses pontos notáveis (figura 2.40).

Figura 2.40 – Definição dos referenciais com origem no ponto fixo inferior, superior e central, para uma secção

genérica

52

Assim, pode definir-se a seguinte expressão para transformar as coordenadas de cada uma

das fibras do referencial central de inércia para um referencial perpendicular à linha neutra e

com origem num ponto fixo genérico 푓:

푑 , = 푑 − 푑̅ , = 푦 − 푦 푠푒푛훽 + 푧 − 푧 푐표푠훽 (2.62)

Em que:

푑 , - Coordenada da fibra 푖 no referencial perpendicular à linha neutra e com origem no ponto fixo 푓;

푑 - Coordenada da fibra 푖 no referencial perpendicular à linha neutra e com origem no centro de gravidade;

푑̅ , - Coordenada do ponto fixo 푓 no referencial perpendicular à linha neutra e com origem no centro de gravidade.

ii) Cálculo dos valores notáveis do esforço normal (푁 ,푁 ,푁 ,푁 ,푁 ,푁 ):

Tendo em conta a figura 2.38, para um determinado ângulo 훽, podem definir-se seis valores

notáveis para o esforço normal (푁 ,푁 ,푁 ,푁 ,푁 ,푁 ), correspondentes às situações

limites de uma dada zona do diagrama de extensões (casos de 푁 e푁 ) e a situações de

transição entre zonas (casos de 푁 ,푁 ,푁 ,푁 ).

É de referir que os valores de 푁 e푁 não dependem da inclinação da linha neutra

(contrariamente aos restantes valores notáveis de esforço normal), uma vez que correspondem

a casos de tracção e compressão pura, respectivamente.

O cálculo de cada um destes valores passa por se impor o diagrama de extensões que lhe está

associado, o que pode ser efectuado através da equação seguinte, usando como referencial,

por exemplo, o que tem origem no ponto fixo inferior:

휀 = 휀 + 휒. 푑 , (2.63)

휀 - Extensão na fibra i;

휀 - Extensão no ponto fixo inferior;

푑 , – Coordenada da fibra i num referencial perpendicular à linha neutra e com origem no ponto fixo inferior.

Cada um dos diagramas de extensões é definido por uma combinação de curvatura e extensão

num ponto, tal como se indica na tabela 2.3:

Tabela 2.3 – Parâmetros que definem os diagramas de extensões notáveis

푵ퟏ 푵ퟏퟐ 푵ퟐퟑ 푵ퟑퟒ 푵ퟒퟓ 푵ퟓ

휺풊풏풇 휀 휀 휀 휀 0 −2/1000

흌 0 휀ℎ

휀 − 휀

ℎ

휀 − 휀 ℎ

−휀 ℎ

0

53

De seguida, utilizando as relações constitutivas para cada um dos materiais, obtêm-se os

diagramas de tensões correspondentes. Finalmente, através da equação de equilíbrio axial

(2.59), integram-se as tensões na secção para se obter o esforço normal em causa.

iii) Para um dado esforço normal aplicado na secção (푁 ), procurar qual o

diagrama de extensões de rotura que lhe corresponde e determinar os momentos

flectores que o equilibram na rotura (푀 ,푀 ):

Uma vez que se calcularam os valores de esforço normal correspondentes aos estados que

delimitam cada uma das zonas de diagrama de extensões, pode, nesta fase, identificar-se qual

a zona em que se insere o esforço normal aplicado. Tal como referido anteriormente, cada

zona inclui diagramas de extensões de rotura com um ponto comum (ponto fixo). Deste modo,

para se obter o diagrama de rotura correspondente ao esforço normal aplicado, pode usar-se,

por exemplo, o seguinte processo iterativo (figura 2.41):

Definição dos limites em que pode estar contido o diagrama de extensões

correspondente ao esforço normal aplicado. Numa primeira fase, estes limites

correspondem aos diagramas de rotura notáveis que definem a zona em questão;

Determinação do diagrama de extensões de rotura que se localiza a meio dos limites

definidos no ponto anterior e cálculo do esforço normal que o equilibra (푁′);

Se 푁′ < 푁 , o diagrama de extensões limite correspondente a um esforço normal

superior a 푁′ mantém-se como limite superior, sendo que o diagrama calculado no

ponto anterior fica como novo limite inferior, definindo-se, assim, uma nova zona (mais

restrita) em que pode estar contido o diagrama de extensões correspondente ao

esforço normal aplicado. Se 푁′ > 푁 , o diagrama correspondente a 푁′ passa a

ser o novo limite superior, sendo que o diagrama inferior se mantém o anterior.

Definida a nova zona de diagramas de rotura em que pode estar contido o esforço

normal aplicado, divide-se a mesma a meio, de forma a determinar um novo 푁′;

Este processo iterativo repete-se enquanto a diferença entre 푁 e 푁′ for maior

que um valor pré-definido de tolerância, de modo a se formar uma zona

suficientemente restrita e obter o diagrama de extensões de rotura correspondente ao

esforço normal aplicado.

Tendo-se determinado o diagrama de extensões de rotura correspondente ao esforço normal

aplicado, e uma vez que já se obteve o diagrama de tensões correspondente, utilizam-se as

equações de equilíbrio (2.2) e (2.3), para se obterem os momentos, segundo y e z,

correspondentes à rotura para o esforço normal em causa (푀 ,푀 ).

54

Figura 2.41 – Ilustração do processo de determinação do diagrama de extensões de rotura correspondente a um Naplicado pertencente à zona 1

iv) Repetir passos i) a iii) para todas as inclinações de linha neutra e esforços normais

aplicados possíveis:

No caso de se querer a curva de interacção (푀 ,푀 ) para um dado esforço normal,

repetem-se os passos anteriores, fazendo-se variar a inclinação da linha neutra entre 0º e 360º.

Uma vez que, na presente dissertação, apenas se estudam secções bi-simétricas, é suficiente

determinar um quadrante do diagrama (훽 entre 0º e 90º, por exemplo).

Caso se pretenda obter a envolvente de rotura de forma completa, devem repetir-se os passos

anteriores para vários níveis de esforço normal, sendo que os seus valores têm que estar

contidos entre 푁 e푁 . Qualquer valor de esforço normal fora desse intervalo não pode ser

resistido pela secção.

55

2.5.3. Determinação de uma envolvente de cedência

A determinação de uma envolvente de cedência é, em muito, semelhante à determinação de

uma envolvente de rotura (os passos i) a iv) são os mesmos). As diferenças residem, apenas,

no zonamento entre diagramas de extensões de cedência notáveis. No caso da determinação

de uma envolvente de cedência, definem-se quatro zonas (em vez de cinco), as quais se

ilustram na figura 2.42 e se descrevem na tabela 2.4. Deste modo, definem-se cinco valores

notáveis para o esforço normal (푁 ,푁 ,푁 ,푁 ,푁 ), sendo que, para a secção estar em

cedência, a mesma tem que estar submetida a um esforço normal compreendido entre 푁 e푁 .

Chama-se a atenção para o facto de, no caso de aço A500, os limites da zona 4 diferirem, uma

vez que, para compressões mais elevadas, a secção rompe prematuramente pelo betão, não

permitindo a armadura atingir a cedência por compressão.

Figura 2.42 – Zonas entre diagramas de extensões de cedência notáveis, para uma dada combinação (My, Mz).

Esquerda: Aço A400, Direita: Aço A500.

56

Tabela 2.4 - Descrição das zonas entre diagramas de extensões de cedência notáveis

Zona 1 (Tracção com pequena

excentricidade)

O estado limite é caracterizado pela extensão de

cedência na armadura (휀 = 휀 ), e por a secção

estar totalmente tracionada.

Zona 2 (Tracção e compressão com grande

ou média excentricidade)

O estado limite é definido pela extensão de cedência

na armadura (휀 = 휀 ), e por extensões de

encurtamento no betão (휀 ≤ −휀 ). A linha neutra

está entre a fibra mais comprimida da secção e a

fibra à profundidade 0,5ℎ.

Zona 3 (Tracção e compressão com

grande ou média excentricidade)

O estado limite é definido pela extensão no betão

igual à extensão de cedência da armadura (휀 =

−휀 ), e por extensões na armadura entre zero e a

extensão de cedência de tracção 0 ≤ 휀 ≤ 휀 . A

linha neutra está entre a fibra à profundidades 0,5ℎ e

a fibra mais tracionada.

Zona 4 (Compressão com média ou

pequena excentricidade)

O estado limite é definido pela extensão no betão

igual à extensão de cedência da armadura (휀 =

−휀 ), e por extensões na armadura entre a extensão

de cedência de compressão e zero −휀 ≤ 휀 ≤ 0 .

No caso de as armaduras serem em aço A500, o

limite desta zona dá-se quando se atingir 휀 = na

fibra à profundidade ( / ) , o que corresponde

a uma rotura pelo betão.

57


Apresentam-se, de seguida, exemplos de diagramas de interacção de cedência e de rotura da

secção transversal considerada no Exemplo 1 de 2.2.6 (secção rectangular compacta 5mx1m).

Tal como no subcapítulo das relações esforços-deformações, também aqui se considerou aço

A500, betão C30/37 e a relação constitutiva parábola rectângulo proposta no EC2 para o betão.

Nas figuras 2.43 e 2.44 apresentam-se, respectivamente, os diagramas de interacção de rotura

e cedência para níveis de esforço normal reduzido entre 0 e 0,6 (compressão). A figura 2.45

representa simultaneamente as curvas de rotura e cedência para os casos de 푣 = 0 e 푣 = 0,4.

Figura 2.43 – Diagramas de interacção de rotura para N=cte, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal.

Figura 2.44 – Diagramas de interacção de cedência para N=cte, para a secção rectangular compacta 5mx1m. Variação com o nível de esforço normal.

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 20000 40000 60000 80000 100000

Mz,

rd(k

Nm

)

My,rd (kNm)

v=0

v=0,1

v=0,2

v=0,3

v=0,4

v=0,5

v=0,6

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 20000 40000 60000 80000 100000

Mz,

c(k

Nm

)

My,c (kNm)

v=0

v=0,1

v=0,2

v=0,3

v=0,4

v=0,5

v=0,6

58

Figura 2.45 – Diagramas de interacção de rotura e cedência para 풗 = ퟎ e 풗 = ퟎ,ퟒ, para a secção rectangular compacta 5mx1m

Observando-se as figuras 2.43 a 2.45, verifica-se que, como seria expectável, tanto os diagramas de rotura como os de cedência são convexos (para qualquer nível de esforço

normal). Este facto justifica-se pela forma das relações constitutivas utilizadas para os materiais, que são sempre crescentes até se atingir um patamar horizontal. Se, por exemplo,

se utilizasse a relação 푘 − 휂 para o betão (que inclui um troço final descendente), seriam de

esperar (na rotura) reentrâncias na vizinhança dos eixos y e z. Estas reentrâncias resultariam do facto de numa situação de flexão recta existirem várias fibras de betão com a extensão máxima (tendo por isso uma tensão mais baixa que a tensão máxima resistente), enquanto que

numa situação de flexão desviada só existe uma fibra de betão com extensão máxima, conseguindo-se, por isso, equilibrar um momento resultante superior nesta última situação.

Verifica-se em todas as figuras que as envolventes de cedência têm um andamento mais linear do que as correspondentes envolventes de rotura, devendo-se este facto aos diagramas de tensões existentes na secção em cada uma das situações. Na situação de cedência o

diagrama correspondente ao betão apresenta um andamento próximo do linear, sendo que na situação de rotura a não linearidade deste diagrama é mais acentuada.

Tal como nos exemplos apresentados em 2.4.4, verifica-se que os momentos de rotura e de cedência aumentam com o incremento de esforço normal de compressão aplicado, invertendo-

se esta tendência para valores de 푣 entre 0,4 e 0,5. É de salientar que os valores obtidos para os momentos de cedência e de rotura através do cálculo das curvas de interacção são

coerentes com os valores obtidos através da determinação das relações momentos-curvaturas. No entanto, existem algumas diferenças nos valores obtidos por cada um dos métodos, sendo

que o método de determinação das curvas de interacção é o mais rigoroso para este efeito. Para que os valores obtidos pela determinação das relações momentos-curvaturas fossem

mais rigorosos seria necessário considerar um incremento Δ휒 menor do que o considerado em

2.4.4.

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 20000 40000 60000 80000 100000

Mz

(kN

m)

My (kNm)

Rot (v=0)

Ced (v=0)

Rot (v=0,4)

Ced (v=0,4)

59

2.6. Rigidez efectiva de secções de betão armado

2.6.1. Definição de rigidez efectiva

De acordo com a EN1998-2, para se efectuar o cálculo de estruturas submetidas à acção

sísmica através de uma análise linear equivalente, é necessário considerar, para cada um dos

seus elementos, uma rigidez que estime de forma adequada a deformação para os esforços

máximos induzidos pela acção sísmica (denominada rigidez efectiva). Para membros que

contenham rótulas plásticas, isto corresponde à rigidez secante no ponto de cedência teórico

da relação momentos-curvaturas (figura 2.46) [14].

Figura 2.46 – Rigidez efectiva de uma secção que contém rótula plástica, de acordo com a EN1998-2

Em alternativa à determinação do ponto de cedência teórico na relação momentos-curvaturas,

o EC8-2 propõe, no Anexo C, o cálculo do momento de Inércia efectivo (퐼 ) através do

conhecimento dos momentos de inércia dos Estados I (퐼 ) e II (퐼 ):

퐼 = 0,08퐼 + 퐼 (2.64)

Na presente dissertação optou-se por esta via e desprezou-se, de forma conservativa, o efeito

do Estado I no cálculo da rigidez efectiva. A rigidez do Estado II (퐸퐼 ) pode determinar-se

através do quociente entre o momento e a curvatura de cedência, utilizando uma relação

constitutiva linear para o betão, em estado fendilhado (o procedimento de cálculo desses dois

parâmetros encontra-se descrito no subcapítulo anterior, em que se explica a determinação de

envolventes de rotura e cedência). Assim, a expressão que permite determinar a rigidez

efectiva segundo uma direcção genérica 훽 de uma secção é a seguinte:

60

퐸퐼 =푀휒 =

푀 . cos(훽 − 훼)휒 =

푀 , +푀 , . cos(훽 − 훼)

휒 , + 휒 , (2.65)

em que 훽 e 훼 são, respectivamente, os ângulos que 휒⃗ e 푀⃗ fazem com o eixo 푦 da secção

(figura 2.47).

Note-se que, em problemas de flexão recta, os ângulos 훽 e 훼 coincidem. No entanto, em

problemas de flexão desviada, estes ângulos diferem entre si e a sua relação depende das

características geométricas da secção transversal e, no caso não linear, também do nível de

esforços da secção. Para efeitos do cálculo da rigidez efectiva, deve considerar-se o quociente

entre o momento e curvatura segundo a direcção da curvatura, decompondo-se, para o efeito,

o vector momento segundo essa direcção. Isto deve-se ao facto de a rigidez ser medida na

direcção da componente cinemática, e não da componente estática.

Figura 2.47 – Definição de 휶 e 휷. Decomposição de 푴⃗ segundo a direcção de 흌⃗.


Como exemplos de aplicação, apresenta-se, de seguida, a relação entre a rigidez efectiva e a

rigidez elástica (Estado I) das secções estudadas na secção 2.2.6, adoptando a discretização

aí apresentada. Considerou-se para cada um dos casos que o betão tem classe C30/37 e o

aço A500. Para esforço normal reduzido adoptou-se o valor de 푣 = 0,2.

A rigidez elástica da secção foi determinada através da multiplicação da inércia pelo valor do

módulo de elasticidade do betão (퐸 = 33퐺푃푎). O valor da inércia segundo uma direcção

genérica (훽) foi obtido a partir do conhecimento da área das fibras (푑퐴) e da sua coordenada

no referencial perpendicular à linha neutra (푑), através da seguinte expressão:

61

퐼 = 푑 . 푑퐴 (2.66)

Os valores da rigidez efectiva para uma dada direcção foram determinados através da

expressão (2.65), sendo que os momentos e curvaturas de cedência foram obtidos utilizando

uma relação constitutiva linear para o betão em estado fendilhado, conforme anteriormente

referido.

Na figura 2.48 apresenta-se, para as cinco secções de estudo, a variação da relação entre a

rigidez efectiva (퐸퐼 ) e a rigidez elástica (퐸퐼 ) ao longo da direcção da secção.

Figura 2.48 – Variação da relação entre rigidez efectiva e rigidez elástica, ao longo da direcção da secção, para as cinco secções de estudo

Verifica-se que para todas as secções os valores da rigidez efectiva são da ordem de 30% dos

valores da rigidez elástica, valor usual e normalmente utilizado em projecto de pilares de

pontes para níveis de esforço normal correntes (푣 ≈ 0,2).

Observa-se que, como seria de esperar, a relação entre a rigidez efectiva e a rigidez elástica é

constante para as duas secções de revolução, uma vez que as suas propriedades não mudam

consoante a direcção em causa. Por outro lado, as secções poligonais apresentam variação

desse valor ao longo da direcção, nomeadamente um aumento em torno de determinado

ângulo, que se verifica coincidir com a vizinhança da direcção do vértice da secção em causa

(aproximadamente 80º, 65º e 45º, respectivamente, para as secções rectangular compacta,

rectangular oca e quadrangular), e que resulta do facto de na proximidade dessa direcção

existir um aumento de rigidez no Estado II devido ao aumento do braço entre as forças de

compressão e tracção.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

EIef

f/EI

I

b (º)

Rectangular compacta 5mx1m

Rectangular oca 5mx2mx0,4m

Quadrangular compacta 2mx2m

Circular compacta D=2m

Circular oca De=3m, Di=2m

62

Verifica-se também que as secções ocas, quando comparadas com as secções compactas,

apresentam valores inferiores da relação entre a rigidez efectiva e a rigidez elástica.

Observa-se, por último, que os valores obtidos para a relação entre rigidezes entre as direcções y e z diferem entre si nas secções rectangulares, verificando-se um aumento da

direcção y para a direcção z no caso da secção compacta e uma diminuição no caso da secção oca. Note-se que a diferença de inércias entre a direcção y e z é, para ambos os casos, mais

elevada do que a diferença entre os momentos que se consegue obter para equilibrar uma dada curvatura em cada direcção. No entanto, este efeito é muito mais acentuado no caso da

secção compacta, o que justifica os resultados obtidos.

De modo a se ilustrar a diferença entre os ângulos 훽 e 훼 em problemas não lineares de flexão

composta desviada, apresenta-se na figura 2.49 a relação entre os dois ângulos mencionados numa situação de rotura, para cada uma das cinco secções de exemplo.

Figura 2.49 – Relação entre 휷 e 휶, em situação de rotura, para as cinco secções de estudo

Verifica-se que, como seria de esperar, os valores de 훽 e 훼 são sempre coincidentes nos casos

de secções de revolução, uma vez que neste tipo de secções as propriedades não se alteram com a mudança de direcção. Observa-se também que os dois ângulos coincidem sempre que

a solicitação ocorra segundo eixos de simetria, o que reforça a consideração anterior.

Observa-se, por último, que uma maior discrepância nas dimensões/propriedades entre os dois

eixos de inércia da secção origina uma maior divergência entre os valores de 훽 e 훼, sendo que,

em certos casos, o ângulo 훽 − 훼 atinge valores que não são desprezáveis, reforçando-se a

importância da sua consideração na expressão (2.65), aquando do cálculo da rigidez efectiva

da secção numa direcção genérica.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

α(º)

β (º)

Rectangular compacta 5mx1m

Rectangular oca 5mx2mx0,4m

Quadrangular compacta 2mx2m

Circular compacta D=2m

Circular oca De=3m, Di=2m

63

3. Análise dinâmica de pilares de pontes 3.1. Análise linear vs análise fisicamente não linear

A possibilidade de tirar partido do comportamento não linear dos materiais e,

consequentemente, do sistema estrutural, provém do facto de a acção sísmica corresponder a

deslocamentos impostos às estruturas e não a forças aplicadas.

Analise-se a relação força-deslocamento de um oscilador de um grau de liberdade, tal como

ilustrado na figura 3.1. Se o oscilador admitir comportamento não linear, o facto de o

deslocamento imposto 훿 ser superior ao deslocamento de cedência 훿 não significa que se

atinja necessariamente o colapso. O oscilador entra em regime não linear e, para o mesmo

deslocamento imposto, as forças que se desenvolvem são inferiores às que se desenvolveriam

em regime linear. Pelo contrário, se em vez de um deslocamento se aplicasse uma força a

estrutura colapsaria para cargas superiores a 퐹 .

퐹 ,훿 - Força máxima e deslocamento máximo no oscilador linear

퐹 , 훿 – Força e deslocamento de cedência no oscilador não linear

퐹 ,훿 – Força máxima e deslocamento máximo no oscilador não linear Figura 3.1 – Comportamento não linear de um oscilador de um grau de liberdade

Note-se, no entanto, que para tirar partido do comportamento não linear é necessário que o

oscilador possua uma significativa capacidade de deformação pós-cedência, sem perda

significativa de capacidade resistente. Em estruturas de betão armado isso implica,

normalmente, que as armaduras plastifiquem, sendo, por isso, submetidas a elevadas

extensões (superiores às de cedência). Como consequência, verifica-se uma maior abertura de

fendas no betão (comparando com o caso de as armaduras permanecerem em regime linear),

64

pelo que a estrutura se irá degradar e sofrerá um nível de danos que não atingiria se não

fossem ultrapassados os limites elásticos das propriedades dos materiais.

Na prática normal de projecto, para a maioria das estruturas, não é possível ou prático efectuar

análises dinâmicas admitindo comportamento não linear. Assim, tornou-se necessário

encontrar formas simplificadas de estimar os esforços que se desenvolvem em regime não

linear devido à acção dos sismos. Neste sentido, e no que respeita à não linearidade física, os

regulamentos permitem que se façam análises elásticas das estruturas, “corrigindo”

posteriormente os resultados de forma a ter em conta o comportamento não linear (Bento, R. &

Lopes, M. [11]). No caso do EC8, essa correcção é efectuada dividindo o valor de cada

grandeza que se obtém da análise elástica das estruturas pelo respectivo coeficiente de

comportamento. Este coeficiente (푞 ), associado a uma determinada grandeza (푋 -

deslocamento, tensão, esforço, etc.), é assim o factor de proporcionalidade entre o valor que

essa grandeza assume se a estrutura responder ao sismo em regime linear (푋 ) e o valor

da mesma grandeza se a resposta da estrutura se der em regime não linear (푋 ):

푞 =푋푋 (3.1)

O valor do coeficiente de comportamento pode ser caracterizado por inúmeros parâmetros,

entre os quais a ductilidade e a capacidade de dissipação de energia. Por ductilidade entende-

se a capacidade da estrutura (secção) se continuar a deformar depois de atingida a força

(esforço) máxima sem que esse facto provoque a rotura. A capacidade de dissipação de

energia está dependente da área contida nos ciclos histeréticos, sendo função não só da

ductilidade disponível, mas também da forma dos ciclos.

A exploração da ductilidade de uma estrutura, e a sua consequente degradação e acumulação

de danos, podem ter de ser limitadas por razões ligadas ao tipo de uso a que a estrutura se

destina. Assim, o coeficiente de comportamento também depende do grau de admissibilidade

de exploração da ductilidade, mais especificamente, dos custos de reparação e eventual

impossibilidade temporária de utilização após a ocorrência de um sismo.

65

3.2. Análise sísmica de um oscilador ao longo do tempo 3.2.1. Equação da dinâmica e métodos de resolução

A equação básica da dinâmica de estruturas em regime forçado, num sistema de um grau de

liberdade, exprime o equilíbrio entre as forças exteriores aplicadas (푄) e as forças internas de

inércia (퐹 = 푚푎), de amortecimento (퐹 = 푐푣) e de restituição elástica (퐹 = 푘푢) e escreve-se

do seguinte modo, para um dado instante 푡:

푚(푡)푎(푡) + 푐(푡)푣(푡) + 푘(푡)푢(푡) = 푄(푡) (3.2)

em que:

푚(푡) - Massa do oscilador;

푐(푡) - Amortecimento do oscilador;

푘(푡) – Rigidez do oscilador;

푎(푡) - Aceleração do oscilador, dado pela segunda derivada do deslocamento em ordem ao tempo;

푣(푡) – Velocidade do oscilador, dado pela primeira derivada do deslocamento em ordem ao tempo;

푢(푡) – Deslocamento do oscilador;

푄(푡) - Acção exterior aplicada;

Existem vários tipos de métodos para a resolução da equação da dinâmica, no entanto, no

caso de estruturas com comportamento não linear é necessário recorrer a métodos de

integração numérica. Estes métodos consistem na integração directa da equação (3.2), para se

obter a história da resposta do oscilador ao longo do tempo (em termos de deslocamentos,

velocidades ou acelerações), através da utilização de procedimentos incrementais (Integração

passo-a-passo). Estes métodos são os únicos que permitem ter em conta a possibilidade de

variação da rigidez, amortecimento ou massa ao longo do tempo, pelo que são os mais

adequados a análises fisicamente não lineares. Pelos motivos referidos, utilizou-se na presente

dissertação o procedimento de integração passo-a-passo para resolver a equação da dinâmica

no programa de análise não linear de pilares de pontes.

De seguida, descreve-se com maior detalhe o procedimento de integração passo-a-passo

utilizado para a resolução da equação da dinâmica em regime forçado.

66

3.2.2. Integração passo-a-passo

A integração passo-a-passo envolve a subdivisão do tempo total em intervalos ∆푡, nos quais é

calculada a variação da resposta do oscilador (∆푢, ∆푣 e ∆푎). A variação da resposta em cada

intervalo de tempo é calculada a partir das condições do movimento no início do intervalo e da

história de carga ao longo do intervalo. Assim, a equação de equilíbrio dinâmico rescreve-se do

seguinte modo, para um dado intervalo Δ푡:

푚(푡)Δ푎(푡) + 푐(푡)Δ푣(푡) + 푘(푡)Δ푢(푡) = Δ푄(푡) (3.3)

Em que os diversos incrementos (Δ) correspondem à diferença entre os valores da variável em

causa no instante final do passo de integração (푡 + Δ푡) e no instante inicial (푡).

Note-se que as características elásticas e de amortecimento da estrutura são definidas por

meio de valores iniciais tangentes e não através de valores secantes, de modo a evitar

processos iterativos em cada passo.

Os métodos de integração passo-a-passo classificam-se em duas categorias, correspondendo

a estratégias diferentes (Bento, R. & Lopes, M. [11]):

Métodos explícitos;

Métodos implícitos;

Nos métodos explícitos a resposta 푢 ∆ num instante genérico (푡 + ∆푡) pode ser obtida a partir

do estabelecimento de equações no instante 푡 (não sendo necessário a resolução do sistema

para o instante 푡 + ∆푡). Para determinar a solução pretendida no instante 푡 + ∆푡, é necessário

conhecer os valores da resposta nos dois incrementos anteriores (푡 e 푡 − ∆푡), o que geralmente

obriga a procedimentos específicos no início do cálculo. Nestes métodos, a estabilidade da

solução depende do valor considerado para o incremento ∆푡. São, por isso, considerados

métodos condicionalmente estáveis.

Nos métodos implícitos o esquema de integração é baseado na consideração de determinadas

hipóteses para a variação de deslocamentos, velocidades ou acelerações entre os instantes 푡 e

푡 + ∆푡. A resposta no instante 푡 + ∆푡 depende da resolução das equações de equilíbrio

estabelecidas nesse instante. Assim, a solução obtida depende não só da solução dos valores

dos deslocamentos, velocidades e acelerações correspondentes ao instante 푡 (푢(푡), 푣(푡)푒푎(푡))

como ainda de 푢 ∆ . Nestes métodos, a escolha do valor de ∆푡 depende apenas da precisão

do resultado, sendo independente dos problemas de estabilidade numérica. São, por isso,

métodos incondicionalmente estáveis.

Na presente dissertação e, pelas razões apresentadas, optou-se por utilizar um método do tipo

implícito, com aplicação generalizada, que se descreve de seguida.

67

De modo a simplificar a notação, omita-se o tempo (푡) como argumento na equação (3.3) e

indiquem-se as propriedades iniciais tangentes pela colocação do sub-índice (0), isto é:

푚 Δ푎 + 푐 Δ푣 + 푘 Δ푢 = Δ푄 (3.4)

Considerem-se agora as seguintes relações cinemáticas, provenientes de hipóteses para a

variação da aceleração entre os instantes 푡 e 푡 + ∆푡, ondeℎ é um intervalo de tempo e 훽 e 훾

são coeficientes inerentes ao método:

Δ푢 = ℎ푣 +12ℎ 푎 + 훽ℎ Δ푎

Δ푣 = ℎ푎 + 훾ℎΔ푎⇒

⎩⎨

⎧ Δ푎 =Δ푢훽ℎ −

푣훽ℎ −

12훽 푎

Δ푣 = ℎ푎 1−훾

2훽 +훾훽ℎ Δ푢 −

훾훽 푣

(3.5)

(3.6)

A introdução destas expressões na equação (3.4) conduz ao seguinte sistema de equações:

푲Δ푢 = 푸 (3.7)

em que:

푲 = 푘 + 푐훾훽ℎ + 푚

1훽ℎ (3.8)

푸 =ℎΔ푡 Δ푄 + 푚

1훽ℎ 푣 +

12훽 푎 + 푐

훾훽 푣 − ℎ푎 1−

훾2훽 (3.9)

Após a obtenção dos incrementos (Δ푢), através da equação (3.7), é possível calcular (Δ푣) e

(Δ푎) através das expressões (3.5) e (3.6), obtendo-se o estado cinemático do oscilador no

instante (푡 + Δ푡) por meio de:

푢(푡 + Δ푡) = 푢 + Δ푢 (3.10)

푣(푡 + Δ푡) = 푣 + Δ푣 (3.11)

푎(푡 + Δ푡) = 푎 + Δ푎 (3.12)

No entanto, e de modo a evitar a acumulação de erros numéricos, é preferível actualizar a

aceleração por imposição da condição de equilíbrio dinâmico no instante (푡 + Δ푡), ou seja:

푎(푡 + Δ푡) = 푚 [푄(푡 + Δ푡) − 푘(푡 + Δ푡)푢(푡 + Δt)− 푐(푡 + Δ푡)푣(푡 + Δ푡)] (3.13)

No estabelecimento desta última expressão pressupôs-se que a massa se mantém constante

ao longo do tempo (condição usualmente satisfeita).

Para que o algoritmo seja incondicionalmente estável, é necessário verificar-se as seguintes

condições (Virtuoso, F. & Mendes, P. [9]):

68

훾 ≥ 0,5 (3.14)

훽 ≥ 0,25(훾 + 0,5) (3.15)

Este algoritmo, dado o seu carácter generalista, degenera em métodos conhecidos (do tipo

implícito), quando se adoptam valores específicos para os coeficientes envolvidos (훽 e 훾).

Como exemplos, tomem-se os seguintes:

훾 = 0,5, 훽 = 1/4 - Método de Newmark (aceleração constante em cada intervalo);

훾 = 0,5, 훽 = 1/6 - Método da Aceleração Linear;

Uma variante incondicionalmente estável do Método da Aceleração Linear consiste em

considerar um intervalo de tempo expandido (ℎ = 휃Δ푡, com 휃 ≥ 1,37) e calcular um incremento

auxiliar (∆푢) por meio da equação (3.7), a partir do qual se calcula o incremento

correspondente (∆푎) por meio de (3.5). A variação de aceleração no intervalo “real” (∆푡) é então

calculada da seguinte forma:

Δ푎 =1휃 Δa (3.16)

As variações “reais” de deslocamento e de velocidade são obtidas por recurso a (3.5) e (3.6),

podendo finalmente as acelerações ser actualizadas por meio da imposição do equilíbrio

dinâmico, como anteriormente referido. Este procedimento é usualmente designado por

Método Wilson-휃 (Virtuoso, F. & Mendes, P. [9]).

De modo a simplificar a implementação computacional deste algoritmo, considerem-se os

seguintes coeficientes auxiliares:

퐶 =1훽 (3.17)

퐶 =1

2훽 =퐶2 (3.18)

퐶 =1훽ℎ =

퐶ℎ (3.19)

퐶 =훾훽ℎ = 훾퐶 (3.20)

퐶 =1훽ℎ =

퐶ℎ (3.21)

퐶 =훾훽 = 훾퐶 (3.22)

퐶 = ℎ 1−훾

2훽 = ℎ(1− 훾퐶 ) (3.23)

69

As expressões resolventes do processo de integração tomam, assim, o formato que se segue:

푲 = [푘 + (퐶 )푐 + (퐶 )푚 ] (3.24)

푸 =ℎΔ푡 Δ푄 + 푚 [(퐶 )푣 + (퐶 )푎 ] + 푐 [(퐶 )푣 − (퐶 )푎 ] (3.25)

Δ푎 = (퐶 )Δ푢 − (퐶 )푣 − (퐶 )푎 (3.26)

Δ푣 = (퐶 )푎 + (퐶 )Δ푢 − (퐶 )푣 (3.27)

Por último, refira-se que é necessário definir condições iniciais para o arranque do processo de

integração. Estas condições consistem geralmente na definição de 푢(푡 = 0) e de 푣(푡 = 0),

sendo então a aceleração inicial calculada de modo a impor o equilíbrio dinâmico neste

instante.

3.2.3. Massa, rigidez e amortecimento

Massa:

Para a representação das características de inércia de uma estrutura utiliza-se, em geral, uma

matriz de massa [푀] associada aos graus de liberdade considerados na discretização da

estrutura em estudo. A matriz de massa permite definir as forças nodais, correspondentes às

forças de inércia, que se desenvolvem nos elementos estruturais quando a estrutura está

sujeita a um campo de acelerações (definido por um vector de acelerações nodais {푎}).

Rigidez:

A matriz rigidez da estrutura [퐾] provém do facto de se assumir que a estrutura em causa

tende a restituir a sua configuração inicial, quando submetida a uma acção dinâmica,

traduzindo-se em forças ao nível dos graus de liberdade considerados, dependentes dos

deslocamentos {푢} que lhes estão associados.

A sua determinação está dependente das relações constitutivas dos materiais, da geometria

das secções transversais, da configuração da estrutura e condições de apoio, e da história de

carregamento. Como está em causa uma análise fisicamente não linear, as fibras da estrutura

têm relações constitutivas não lineares, pelo que a sua rigidez depende do estado de

tensão/deformação instalado nas secções.

O cálculo de cada um dos termos que compõe a matriz rigidez é efectuado determinando as

forças nodais que se teriam de aplicar em cada um dos graus de liberdade para se obter

deslocamentos unitários em cada um deles.

70

Amortecimento:

A idealização das características de amortecimento numa estrutura sujeita a uma acção

dinâmica baseia-se na consideração da existência de forças de amortecimento em todos os

graus de liberdade da estrutura, dependentes das velocidades associadas a esses graus de

liberdade. A matriz de amortecimento [퐶] da estrutura relaciona as forças de amortecimento

com o vector das velocidades nodais correspondentes {푣}.

Geralmente considera-se que a matriz de amortecimento [퐶] se obtém através de uma

combinação linear das matrizes de massa [푀] e de rigidez [퐾] da estrutura – Amortecimento

de Rayleigh (Clough, R.W. & Penzien, J. [5]):

[퐶] = 훼[푀] + 훽[퐾] (3.28)

Para um sistema de um grau de liberdade tem-se 푐 = 훼푚 + 훽푘.

O factor de amortecimento 휉 é definido de acordo com a seguinte equação:

휉 =푐푐 =

푐2푚푝 (3.29)

Onde 푐 e 푐 representam, respectivamente, o amortecimento do sistema e o amortecimento

crítico, e 푝 representa a frequência angular do sistema.

Substituindo a equação (3.29) na (3.28), para um sistema de um grau de liberdade, e sabendo

que 푝 = obtém-se a seguinte expressão para o factor de amortecimento, em função da

frequência angular do sistema:

휉 =12훼푝 + 훽푝 (3.30)

A relação dada por (3.30), entre as constantes 훼, 훽 e o factor de amortecimento 휉, está

ilustrada na figura 3.2.

Figura 3.2 – Relação entre o factor de amortecimento 흃 e a frequência angular do sistema 풑

12훼푝

+ 훽푝

12훽푝

12훼푝

71

3.2.4. Caracterização da acção sísmica

A caracterização da acção sísmica através de parâmetros como a sua intensidade ou

magnitude é importante para a quantificação do fenómeno sísmico, no entanto, não é suficiente

para a análise da resposta de estruturas quando sujeitas a este tipo de solicitação. A presente

dissertação tem por objectivo o estudo da resposta sísmica de estruturas. Como tal, esta acção

deverá ser caracterizada de forma a poder ser integrada nas metodologias de análise estrutural

existentes. Existem três formas possíveis de caracterização da acção sísmica que cumprem o

requisito anteriormente referido (Guerreiro, L. [10]):

Representação por Espectro de Resposta;

Representação por Séries de Acelerações (registo real ou gerado artificialmente);

Representação através da Função de Densidade Espectral de Potência.

A representação através de Espectro de Resposta constitui o exemplo mais divulgado de

representação da acção sísmica, sendo utilizado na quase totalidade de programas de cálculo

automático que permitam realizar análises dinâmicas de estruturas em regime linear. A

caracterização da acção sísmica através de Espectro de Resposta não é uma representação

directa da acção, através de grandezas medidas directamente ou através dos seus registos,

mas sim uma representação dos seus efeitos sobre um conjunto de osciladores lineares de um

grau de liberdade (Guerreiro, L. [10]).

Considere-se um conjunto de osciladores lineares de um grau de liberdade, caracterizados por

diferentes valores de frequência própria (ou período próprio), e todos com o mesmo valor de

coeficiente de amortecimento, sujeito a uma determinada acção sísmica. Supondo que estes

osciladores estão munidos de equipamento capaz de medir a evolução ao longo do tempo de

determinada grandeza representativa da sua resposta (aceleração absoluta da massa do

oscilador, por exemplo), é possível determinar, para cada oscilador, o valor máximo da referida

grandeza para a acção sísmica em causa. A representação gráfica do valor máximo da

resposta de cada um destes osciladores em função da sua frequência própria (ou do seu

período próprio) e do valor do coeficiente de amortecimento constitui o Espectro de Resposta

Linear daquela acção sísmica para a grandeza em análise (figura 3.3).

72

Figura 3.3 – Conceito de Espectro de Resposta (adaptado de [10])

A regulamentação Europeia actual (EN1998-1), para efeitos de dimensionamento e verificação

de segurança de estruturas, utiliza o conceito de Espectro de Resposta para definir a acção

sísmica. O objectivo dos espectros regulamentares de dimensionamento é estabelecer os

valores mínimos de resistência que as estruturas de uma dada região devem apresentar de

acordo com a sismicidade desse local. Assim, a ordenada do espectro de resposta de

dimensionamento indica, em função do período próprio do oscilador, o valor de determinada

grandeza (aceleração, deslocamento, etc) que o oscilador deverá ter capacidade de suportar. A

definição dos espectros de resposta de dimensionamento é obtida a partir de um espectro de

resposta elástico afectado do valor do coeficiente de comportamento da estrutura [13].

Segundo o Anexo Nacional da NP EN1998-1, a magnitude do sismo é tida em conta através da

definição de dois tipos de acção sísmica de dimensionamento: Sismo tipo 1 e Sismo tipo 2. O

primeiro é representativo de um sismo de grande magnitude com epicentro na região Atlântica

(cenário sísmico designado por “afastado”), e o segundo representativo de uma acção com

características de um sismo de magnitude moderada com epicentro no território Continental (ou

no Arquipélago dos Açores) (cenário “próximo”) [13].

A sismicidade do local é considerada através de um zonamento sísmico, distinto para cada um

dos tipos de sismo, e que tem em conta a distância do local ao epicentro do sismo. O território

é dividido em seis zonas (1.1 a 1.6) para o sismo tipo 1 e em cinco zonas (2.1 a 2.5) para o

sismo tipo 2.

73

A influência das condições locais do terreno na acção sísmica é tida em conta através da

categorização do terreno em cinco tipos (A a E), diferenciados pelas suas propriedades

mecânicas, nomeadamente a rigidez e coesão.

As estruturas são, ainda, distinguidas em classes de importância, função das consequências

de colapso em termos de vidas humanas, da sua importância para a segurança pública e para

a protecção civil imediatamente após o sismo e das consequências sociais e económicas do

colapso. As classes de importância são caracterizadas através de coeficientes de importância

훾 .

A utilização de espectros de resposta tem grande aplicação prática no dimensionamento e

verificação de segurança de estruturas, no entanto, apresenta algumas limitações, uma vez

que permite apenas conhecer o valor máximo da resposta da estrutura a um determinado

sismo, não sendo possível retirar qualquer informação sobre a duração da resposta, o número

de ciclos ou o instante em que ocorre o máximo da resposta. Para se retirar informação mais

detalhada sobre a resposta da estrutura, é necessário caracterizar a acção sísmica através de

séries de acelerações (figura 3.4).

Figura 3.4 – Acelerograma genérico representativo de um sismo

A representação através de uma série de acelerações é a forma mais directa de analisar o

comportamento de uma estrutura quando sujeita a acção de um determinado sismo.

Infelizmente, a verificação de segurança de uma estrutura não se pode fazer através da análise

da resposta para um único sismo, o que torna este processo relativamente moroso. No entanto,

se a estrutura a analisar tiver comportamento não linear, a utilização de séries de acelerações

torna-se praticamente inevitável. Pelos motivos indicados, na presente dissertação optou-se

por esta forma de representação da acção sísmica nas análises não lineares efectuadas.

Deve ter-se em conta que o registo real de um determinado sismo depende da distância do

acelerómetro ao epicentro do sismo e também do tipo de terreno onde o acelerograma foi

registado. Em virtude do número de factores que influenciam o registo sísmico num

determinado local é fácil de perceber a dificuldade em conseguir arranjar um número

significativo de registos sísmicos reais para simulação local da acção sísmica. Para contornar

74

este problema é habitual o recurso a séries de acelerações artificiais, geradas de acordo com

as características esperadas para a acção sísmica num determinado local. A partir do espectro

de potência é possível gerar séries de acelerações artificiais, através da sobreposição de

séries harmónicas (Guerreiro, L. [10]). As séries de acelerações utilizadas na presente

dissertação foram geradas dessa forma e foram fornecidas pelo Prof. Luís Guerreiro.

A Função de Densidade Espectral de Potência (vulgarmente designada por Espectro de

Potência) recorre a processos estocásticos para construir modelos representativos da acção

sísmica. É, por isso, uma forma muito rica de representação da acção sísmica, no entanto, não

é facilmente integrável na metodologia de análise existente, estando a sua utilização restringida

a modelos com um pequeno número de graus de liberdade. Na presente dissertação não se

utilizou esta forma de representação da acção sísmica.

3.2.5. Incorporação da acção sísmica na equação da dinâmica

A acção sísmica, da forma como é caracterizada, traduz-se em acelerações ao nível da

fundação da estrutura, que variam ao longo do tempo de actuação do sismo. Esta solicitação

pode ser considerada desde que se façam as devidas alterações na equação da dinâmica

(3.2). Para isso, interessa distinguir o deslocamento, velocidade e aceleração absolutos

(푢 ,푣 ,푎 ) das respectivas parcelas ao nível do solo (푢 ,푣 ,푎 ) e relativas entre a base e o grau

de liberdade em causa (푢 , 푣 ,푎 ) (figura 3.5):

푢 = 푢 + 푢 (3.31)

푣 = 푣 + 푣 (3.32)

푎 = 푎 + 푎 (3.33)

Figura 3.5 – Decomposição do deslocamento absoluto do oscilador na soma do deslocamento do solo com o deslocamento relativo entre o solo e o grau de liberdade em causa

75

As forças internas de restituição elástica ao nível dos graus de liberdade só são geradas no

caso de haver deformação da estrutura, pelo que apenas dependem dos valores relativos dos

deslocamentos (푢 ). Do mesmo modo, as forças de amortecimento só dependem dos valores

da velocidade relativa (푣 ). Já as forças de inércia, por outro lado, dada a sua definição,

dependem da aceleração absoluta do oscilador. Consequentemente, quando a estrutura é

actuada por acelerações ao nível da base ao invés de forças ao nível de cada grau de

liberdade, o equilíbrio dinâmico pode ser reescrito da seguinte forma:

푚(푡) 푎 (푡) + 푎 (푡) + 푐(푡)푣 (푡) + 푘(푡)푢 (푡) = 0 (3.34)

⇒푚(푡)푎 (푡) + 푐(푡)푣 (푡) + 푘(푡)푢 (푡) = −푚(푡)푎 (푡)( )

(3.35)

76

3.3. Aplicação ao caso de um pilar de uma ponte

3.3.1. Modelação do pilar

Para efeitos do estudo a desenvolver na presente dissertação, adoptou-se como modelo de

cálculo um pilar isolado em consola, mais especificamente, uma barra rígida ligada à base

através de uma mola de rotação bidimensional com comportamento não linear (figura 3.6).

Optou-se por concentrar na base todas as deformações do pilar (tanto elásticas como

inelásticas), uma vez que é esta a metodologia adoptada no EC8-2.

Figura 3.6 – Modelo de cálculo adoptado para a análise dinâmica não linear de um pilar de ponte

O pilar encontra-se submetido a um esforço normal de compressão (proveniente da reacção do

tabuleiro e do seu peso próprio), que se admite invariável ao longo do tempo.

Relativamente à mola de rotação, pretende-se, com a mesma, traduzir o conceito de rótula

plástica, o qual foi admitido no presente modelo, e que consiste na concentração do

comportamento não linear da estrutura em secções específicas (rótulas plásticas), em geral

localizadas nas secções de momento flector máximo. Na figura 3.7 ilustra-se este conceito para

o caso de um pilar em consola.

77

Figura 3.7 – Conceito de Rótula Plástica aplicado a um pilar em consola

Sabe-se, da compatibilidade, que a variação de rotação entre duas secções de um elemento se

relaciona com a curvatura através da seguinte expressão:

휃 − 휃 = Δ휃 = 휒 푑푥 (3.36)

Uma vez que a rotação provém do integral das curvaturas ao longo de uma distância, ao

considerar-se a curvatura constante ao longo de um determinado comprimento, obtém-se a

respectiva variação de rotação através do produto da curvatura pelo comprimento em causa.

No caso de uma rótula plástica, conhecendo-se a relação constitutiva da secção (푀 −휒), pode

obter-se a relação constitutiva da mola (푀 − 휃), através da multiplicação das curvaturas por um

comprimento de rótula plástica 퐿푝, onde se admite que a curvatura é constante. Esta dimensão

corresponde a uma fracção da altura do pilar, e varia consoante o nível de tensões instalado.

Por questões numéricas de cálculo, admite-se, no presente modelo, que a rótula plástica tem

uma dimensão constante ao longo da análise e igual à dimensão na situação de rotura.

De acordo com o EC8-2, o comprimento de rótula plástica na rotura é aproximadamente igual a

퐿/10, sendo ligeiramente maior devido ao efeito strain penetration (Frére, B.C. [2]). A

deformação plástica das armaduras penetra parcialmente na fundação, aumentando assim o

comprimento de rótula plástica. O efeito strain penetration é tanto maior quanto maior for a

tensão de cedência característica do aço, 푓 , e o diâmetro dos varões longitudinais, 휙 . O

Eurocódigo indica a seguinte expressão para o comprimento de rótula plástica:

퐿푝 = 0,10퐿 + 0,015푓 휙 (3.37)

78

É de realçar que esta fórmula só é válida para ≥ 3, em que 퐿 é o comprimento da barra e 푑 a

altura útil da secção. Esta condição serve para garantir que não ocorre uma rotura frágil por

esforço transverso, o que impediria a formação de rótula plástica.

Uma vez que o comprimento de rótula plástica depende da armadura longitudinal, define-se, no

caso de secções diferentemente armadas em cada uma das direcções principais da secção,

um comprimento de rótula plástica diferente para cada uma delas (퐿 e 퐿 ), sendo que 퐿

corresponde ao comprimento de rótula plástica associado à flexão em torno da direcção 푗.

Note-se que o conceito de rótula plástica concentra toda a deformação inelástica na rótula

plástica, mantendo-se o restante elemento estrutural em regime elástico. Assim, consegue-se

separar as deformações elásticas (flexão elástica da barra) das inelásticas (rotação da rótula

plástica), tal como se ilustra na figura 3.8.

Figura 3.8 – Deslocamento total no topo do pilar (풅풕풐풕풂풍), obtido pela soma da parcela elástica devida à flexão da barra (풅풇) e da parcela inelástica devida à rotação da rótula plástica (풅풓)

No entanto, o EC8-2 sugere, por uma questão de simplicidade de cálculo, que se considere

todas as deformações do elemento incluídas na rótula plástica, de modo a que o deslocamento

transversal no topo do pilar seja o mesmo. Assim, conforme se ilustra na figura 3.9, o cálculo

do deslocamento no topo do pilar baseia-se no conhecimento de uma rotação equivalente de

rótula plástica, 휃′, que corresponde à rotação da corda do elemento, devendo ter-se em conta

que, segundo o EC8-2, a rótula se situa a meia altura do comprimento de rótula plástica.

79

Figura 3.9 – Modelo considerado no EC8-2 para o cálculo do deslocamento no topo do pilar. Ilustração da

rotação equivalente de rótula plástica.

Na presente dissertação as rotações da rótula plástica são calculadas de acordo com o EC8-2,

pelo que já são corrigidas para incluírem os efeitos da deformação elástica e inelástica da

estrutura. Assim, os deslocamentos no topo do pilar são iguais aos que se obteriam se as

deformações elásticas proviessem da barra e as inelásticas da rótula plástica num modelo de

associação em série destes dois subelementos. É esta a justificação para a hipótese de se

admitir a barra como rígida no modelo adoptado nesta dissertação.

Tendo em conta o que foi dito anteriormente, pode, simplificadamente, relacionar-se a

curvatura da secção onde se forma a rótula plástica e a respectiva rotação (definida de acordo

com o EC8-2) da seguinte forma:

휃 = 휒 × 퐿푝 (3.38)

Uma vez que se pretendem efectuar análises não lineares para a acção de um sismo bi-

direccional, o pilar tem que ser modelado como um oscilador de dois graus de liberdade

independentes (não colineares). Assim sendo, a este oscilador não está associada uma massa,

amortecimento ou rigidez, mas sim matrizes de massa, amortecimento e rigidez com dimensão

igual ao número de graus de liberdade (2x2). Deste modo, a equação da dinâmica passa a ser

um sistema de duas equações:

[푀(푡)]{푎(푡)} + [퐶(푡)]{푣(푡)} + [퐾(푡)]{푢(푡)} = {푄(푡)} (3.39)

sendo que, no caso da acção sísmica e escolhendo para sistema de eixos os correspondentes

às direcções principais de inércia:

[푀(푡)] =푚 푚푚 푚 (3.40)

[퐶(푡)] =푐 푐푐 푐 (3.41)

휃 =푑퐿

휃′ =푑

퐿 − 퐿푝2

⇔

80

[퐾(푡)] =푘 푘푘 푘 (3.42)

{푎(푡)} =푎푎 (3.43)

{푣(푡)} =푣푣 (3.44)

{푢(푡)} =푢푢 (3.45)

{푄(푡)} =−푚 .푎−푚 .푎 (3.46)

Admite-se, de forma conservativa, que a massa a atribuir ao pilar está concentrada no topo e

que o valor correspondente a cada direcção é independente entre si.

Note-se que o modelo de consola anteriormente admitido para o pilar é válido

independentemente da condição de apoio no nó superior do mesmo. Na prática, e conforme se

ilustra na figura 3.10, qualquer pilar de ponte pode ser modelado com uma consola equivalente

desde que o comprimento dessa consola esteja calibrado para ter em conta a real condição de

apoio.

Figura 3.10 – Ilustração da modelação de um pilar genérico como uma consola equivalente

Se a condição de apoio for diferente nas duas direcções principais de inércia do pilar devem

considerar-se comprimentos de consola equivalentes diferentes para cada direcção (퐿∗ ≠ 퐿∗ ).

Note-se que esta é uma situação que se verifica em pontes reais com ligações monolíticas

entre o tabuleiro e o pilar, dado que, em geral, a restrição à rotação do nó superior em torno da

direcção da ponte (proveniente da rigidez de torção do tabuleiro) é inferior à restrição na

direcção perpendicular (proveniente da rigidez de flexão do tabuleiro).

푀 = 퐹. 퐿∗

퐾 = 3퐸퐼퐿∗

81

3.3.2. Análise sísmica não linear do pilar ao longo do tempo

Tendo em conta o modelo de cálculo anteriormente descrito, os conceitos relativos à análise

sísmica apresentados no Subcapítulo 3.2 e os modelos desenvolvidos para a análise de

secções de betão armado descritos no Capítulo 2, apresenta-se de seguida o processo

sequencial implementado no programa desenvolvido nesta dissertação para a análise não

linear de um pilar submetido à acção sísmica uni ou bi-direccional.

i) Determinação do estado de tensão e deformação na rótula plástica no instante

푡 = 0 para o esforço normal aplicado:

O primeiro passo da análise ao longo do tempo do pilar consiste na determinação do seu

estado de tensão e deformação no instante 푡 = 0, após imposição do esforço normal (que se

admite constante ao longo do tempo), de modo a se poder inferir as suas características

dinâmicas nesse mesmo instante.

De modo semelhante ao apresentado na determinação do primeiro ponto de uma relação

momento curvaturas descrito na secção 2.4.2, deve começar-se com um estado de

deformação inicial nulo (휀 = 휒 = 휒 = 0), determinando-se o módulo de elasticidade tangente

existente em cada fibra, através das equações (2.37) e (2.38). De seguida, através das

equações (2.31) a (2.36) determina-se a matriz rigidez tangente da secção correspondente ao

estado inicial de deformação 퐾 çã, ( ) .

Através do método de Newton-Raphson, apresentado em 2.4.2, e conhecendo a matriz rigidez

tangente da secção no estado inicial, estima-se o incremento das variáveis cinemáticas através

da relação constitutiva da secção (2.30), impondo o esforço normal aplicado na secção:

횫퐍ퟎ(ퟏ) = 퐍퐚퐩퐥퐢퐜퐚퐝퐨

횫퐌퐲ퟎ(ퟏ) = ퟎ

횫퐌퐳ퟎ(ퟏ) = ퟎ

= 퐾 çã, ( )

⎣⎢⎢⎡Δε

( )

Δχ ( )

Δχ ( )⎦⎥⎥⎤⇒

⎣⎢⎢⎡Δε

( )

Δχ ( )

Δχ ( )⎦⎥⎥⎤

= ⋯

Actualizando as variáveis cinemáticas e estáticas da secção, através das relações (2.39) a

(2.44) e conhecendo o novo estado de deformação da secção (휀( ), 휒( ),휒( )), recorre-se às

relações constitutivas das fibras para determinar o respectivo estado de tensão, obtendo-se,

por integração, os esforços aproximados (푁 ( ),푀 ( ),푀 ( )). O resíduo obtido em cada iteração

é dado pela diferença entre os esforços reais e os aproximados pela relação constitutiva linear

da secção, através das relações (2.45) a (2.47), em que neste caso 푀 = 0.

Utilizando o mesmo critério de tolerância que o descrito em 2.4.2, deve verificar-se a sua

satisfação. Se as expressões (2.48) a (2.50) não forem respeitadas, deve seguir-se para a

iteração seguinte, implementando os resíduos dos esforços na relação constitutiva da secção,

82

calculando-se, assim, o novo estado de deformação e, de seguida, os esforços que o

equilibram (esforços aproximados). Este processo deve repetir-se até que a diferença entre os

esforços aplicados na secção e os aproximados seja menor que a tolerância pré-definida. O

procedimento para uma iteração 푘 ≥ 2 resume-se no seguinte:

⎣⎢⎢⎡횫퐍

ퟎ(퐤) = 훜퐍(퐤 ퟏ)

횫퐌퐲ퟎ(퐤) = 훜퐌퐲

(퐤 ퟏ)

횫퐌퐳ퟎ(퐤) = 훜퐌퐳

(퐤 ퟏ)⎦⎥⎥⎤

= 퐾 çã, ( )

Δε ( )

Δχ ( )

Δχ ( )

⇒Δε ( )

Δχ ( )

Δχ ( ).

ε ( )

χ ( )

χ ( ). .

.

N ( )

M ( )

M ( )

N00

−N ( )

M ( )

M ( )=

⎣⎢⎢⎡ϵ

( )

ϵ( )

ϵ( )⎦⎥⎥⎤

<푡푙푟/√A푡푙푟푡푙푟

Quando atingida a tolerância, devem armazenar-se as seis variáveis base actualizadas

(휀 ,휒 ,휒 e 푁 ,푀 ,푀 ), que traduzem o estado de tensão e deformação da secção

após implementação do esforço normal, e também a matriz rigidez tangente da secção

correspondente, pois vão servir de base para a determinação das características dinâmicas da

estrutura no instante 푡 = 0.

ii) Cálculo da matriz de rigidez global da estrutura para o estado de tensão e

deformação anteriormente determinado (instante 푡 = 0):

Recorrendo à definição de matriz de rigidez, cada termo constituinte 푘 corresponde à força

que é necessário aplicar no grau de liberdade 푖 para se obter um deslocamento unitário no grau

de liberdade 푗 e nulo nos restantes. Deste modo, pode determinar-se a primeira coluna da

matriz de rigidez impondo-se no topo do pilar um deslocamento unitário segundo a direcção y e

averiguando-se quais as forças (segundo y e z) que lhe correspondem (figura 3.11). As forças

segundo y e z corresponderão, respectivamente, a 푘 e 푘 .

Figura 3.11 – Determinação da primeira coluna da matriz rigidez global da estrutura

83

Imponha-se a seguinte condição para o vector de deslocamentos:

푢푢 = 1

0 (3.47)

De seguida, determine-se o vector de rotações equivalentes na rótula plástica:

휃′휃′

=푢 퐿∗ −

퐿푝2 = 0

푢 (퐿∗ −퐿푝

2 ) (3.48)

Note-se que está em causa a rotação em torno de 푧, pelo que o comprimento de rótula plástica

a considerar é 퐿푝 , calculado através da expressão (3.37), em que 휙 é o diâmetro dos varões

longitudinais que contribuem para a resistência segundo essa direcção, ou seja, com braço

segundo 푦.

Através da relação (3.38), determinem-se as curvaturas correspondentes na secção da rótula

plástica:

휒휒 =

휃′ 퐿푝 = 0⁄휃′ 퐿푝⁄ (3.49)

Tendo em conta a matriz de rigidez tangente da secção determinada anteriormente, recorre-se

à relação constitutiva da secção (2.30) para determinar os momentos flectores na secção da

rótula plástica:

퐍 = ퟎMM

= 퐾 çã, ( )

⎣⎢⎢⎢⎡

ε훘퐲 = ퟎ

훘퐳 = 휽′풛푳풑풛

⎦⎥⎥⎥⎤

⇒ε퐌퐲퐌퐳

= ⋯

Uma vez determinados os momentos flectores na secção da rótula plástica, podem determinar-

se as forças ao nível do grau de liberdade através da estática:

퐹퐹 =

푀 (퐿∗ −퐿푝

2 )

푀 (퐿∗ −퐿푝

2 )=

푘푘 (3.50)

A segunda coluna da matriz de rigidez é determinada de modo análogo, sendo que, desta vez,

se impõe deslocamento unitário segundo a direcção z e deslocamento nulo segundo y.

Note-se que, através deste procedimento, se está a determinar a rigidez global tangente da

estrutura, pois tem como base a rigidez tangente das suas fibras constituintes.

84

iii) Cálculo da matriz de massa no instante t=0:

Analogamente ao efectuado na matriz de rigidez, cada termo da matriz de massa, 푚 , pode

ser visto como a força, aplicada ao nível do grau de liberdade 푖 da estrutura, quando se

considera uma aceleração unitária aplicada segundo o grau de liberdade 푗 e nula nos restantes.

Note-se que se concentrou a massa oscilante no topo do pilar (ao nível dos graus de liberdade

da estrutura). Assim sendo, as massas e respectivas acelerações do oscilador estão

localizadas no mesmo ponto, pelo que os termos cruzados da matriz de massa, segundo este

modelo, são nulos. Por outro lado, a massa que oscila segundo cada uma das direcções

principais de inércia do pilar depende dos materiais e da configuração da ponte em causa,

correspondendo à parcela de massa do tabuleiro (que provém do volume de influência do pilar

em causa) somada à parcela oscilante de massa do próprio pilar. Saliente-se que os valores da

massa associada a cada direcção são, em geral, diferentes entre si, dado que dependem do

sistema estrutural da ponte, que é diferente para cada direcção principal de inércia do pilar.

Assim, a matriz de massa toma a seguinte forma:

[푀] =푚 00 푚 (3.51)

É de referir que se admite não haver variações de massa ao longo das análises a efectuar.

iv) Cálculo da matriz de amortecimento no instante t=0:

De modo análogo às matrizes de rigidez e de massa, cada termo da matriz de amortecimento,

푐 , consiste na força aplicada ao nível do grau de liberdade 푖 correspondente a uma velocidade

unitária no grau de liberdade 푗 e nula nos restantes graus de liberdade.

A quantificação das propriedades de amortecimento de um material é, em geral, uma tarefa

impraticável. Por esta razão, o amortecimento é, normalmente, expresso em termos de factores

de amortecimento estabelecidos através de ensaios experimentais. No entanto, para efeitos de

uma análise fisicamente não linear, é necessária a determinação dos coeficientes que

constituem a matriz de amortecimento, para que se possa resolver a equação da dinâmica

passo-a-passo. Assim, para efeitos da determinação da matriz de amortecimento, considerou-

se um amortecimento de Rayleigh para cada direcção, tendo-se assumido, simplificadamente,

que o amortecimento em cada direcção é independente, o que se traduz nas equações

seguintes:

[퐶] =푐 00 푐 (3.52)

푐 = 훼 푚 + 훽 푘 , (3.53)

푐 = 훼 푚 + 훽 푘 , (3.54)

85

Neste trabalho considerou-se, simplificadamente, que o amortecimento é constante ao longo

da análise e é dado por uma combinação linear da massa e da rigidez inicial da estrutura

(antes da ocorrência de deformações não lineares). Deste modo, e analogamente ao efectuado

em 3.2.3, pode traçar-se, para cada direcção, uma relação entre os factores de amortecimento

e as frequências próprias angulares da estrutura (figura 3.12).

Figura 3.12 – Relação entre o factor de amortecimento e a frequência angular para cada direcção

Dado que a rigidez (em cada direcção) diminui à medida que os esforços aumentam, o mesmo

acontece à correspondente frequência própria, uma vez que são proporcionais. Assim, sabe-se

que ao longo de uma análise não linear, a frequência própria da estrutura para cada direcção

vai ter, necessariamente, valores compreendidos entre o correspondente à rigidez última (valor

mínimo de frequência própria) e o correspondente à rigidez inicial (valor máximo da frequência

própria). Deste modo, e dado o andamento das curvas representadas na figura 3.12, uma

forma de obter um amortecimento controlado ao longo da análise é através da calibração dos

parâmetros 훼 e 훽 para cada direcção, de modo a não se exceder determinado factor de

amortecimento 휉.

Assim, calibraram-se os parâmetros 훼 e 훽 de cada curva (correspondente a cada direcção) de

modo a não se exceder um factor de amortecimento 휉 = 5% (valor geralmente adoptado em

estruturas de betão armado). Isto traduz-se nos seguintes sistemas de equações:

풅풊풓풆풄çã풐풚

⎩⎪⎨

⎪⎧휉 =

푐2푚 푝 ,

=훼 푚 + 훽 푘 ,

2푚 푝 ,= 0,05

휉 =푐

2푚 푝 ,=훼 푚 + 훽 푘 ,

2푚 푝 ,= 0,05

⇒훼훽 (3.55)

풅풊풓풆풄çã풐풛

⎩⎪⎨

⎪⎧휉 =

푐2푚 푝 ,

=훼 푚 + 훽 푘 ,

2푚 푝 ,= 0,05

휉 =푐

2푚 푝 ,=훼 푚 + 훽 푘 ,

2푚 푝 ,= 0,05

⇒훼훽 (3.56)

86

Resolvendo a equação da dinâmica de um sistema com vários graus de liberdade não

amortecido, verifica-se que os inversos dos quadrados das frequências próprias associadas a

cada um dos vários graus de liberdade correspondem aos valores próprios da matriz dinâmica

[퐷] (2x2), definida da seguinte forma:

[퐷] = [퐾] [푀] (3.57)

Assim, com base nas matrizes rigidez inicial e final, obtém-se a respectiva matriz dinâmica,

sendo que das matrizes dinâmicas inicial e final se obtêm, respectivamente, as frequências

próprias angulares inicias (푝 , e 푝 , ) e finais (푝 , e 푝 , ).

Note-se que este procedimento exige conhecer, antecipadamente, a matriz rigidez final para se

resolver a equação da dinâmica no primeiro passo de integração. Para solucionar esta situação

admitiu-se, aproximadamente, que a matriz rigidez numa situação próxima da rotura

corresponde a 5% da matriz rigidez na situação inicial (elástica).

É de referir que os valores do amortecimento não influenciam tanto a resposta de uma

estrutura como a massa ou a rigidez, pelo que se considera que as hipóteses/aproximações

admitidas na determinação da matriz de amortecimento são adequadas ao tipo de análise.

v) Determinação da variação de deslocamento, velocidade e aceleração relativas no

topo do pilar, através de uma análise dinâmica, no primeiro passo de integração:

Utilizando o método implícito de análise passo-a-passo descrito em 3.2.2 e extrapolando-o para

o caso de dois graus de liberdade, pode determinar-se a variação de deslocamento, velocidade

e aceleração no topo do pilar, em cada direcção, no primeiro intervalo de tempo (∆푡), através

das seguintes expressões:

{∆푢 } = 푲 푸ퟎ (3.58)

{Δ푣 } = 퐶 {푎 } + 퐶 {Δ푢 }− 퐶 {푣 } (3.59)

{Δ푎 } = 퐶 {Δ푢 }− 퐶 {푣 }− 퐶 {푎 } (3.60)

em que:

푲ퟎ = [퐾 ] + 퐶 [퐶 ] + 퐶 [푀 ] (3.61)

푸ퟎ =ℎΔ푡

{Δ푄 } + [푀 ](퐶 {푣 } + 퐶 {푎 }) + [퐶 ](퐶 {푣 }− 퐶 {푎 }) (3.62)

{∆푄 } =−푚 . (푎 , − 푎 , )−푚 . (푎 , − 푎 , ) (3.63)

87

As constantes 퐶 a 퐶 estão definidas nas expressões (3.17) a (3.23).

Os valores de 푎 , e 푎 , retiram-se directamente das séries de acelerações representativas dos

sismos actuantes (acelerogramas), ou calculam-se por interpolação linear nas mesmas.

Para que seja possível a inicialização do processo de integração, podem definir-se as

seguintes condições iniciais:

{푢 } = 00 (3.64)

{푣 } = 00 (3.65)

{푎 } = [푀] ({푄 }− [퐾 ]{푢 }− [퐶 ]{푣 }) (3.66)

Note-se que a parcela da resposta devida às condições iniciais é pequena quando comparada

com a parcela devida às forças aplicadas (sismos, no presente caso), acrescendo-se, ainda, o

facto de a primeira se atenuar por completo nos instantes iniciais. Assim, conclui-se que as

condições iniciais a dar ao programa são pouco relevantes para a resposta da estrutura,

devendo, apenas, ter-se o cuidado de se garantir o equilíbrio dinâmico no instante inicial (por

exemplo, na determinação da aceleração inicial (expressão (3.66))), de modo a evitar a

acumulação de erros numéricos.

De seguida, actualizam-se os valores dos deslocamentos, velocidades e acelerações para o

instante 푡 = 푡 :

{푢 } = {푢 } + {Δ푢 } (3.67)

{푣 } = {푣 } + {Δ푣 } (3.68)

{푎 } = [푀] ({푄 }− [퐾 ]{푢 }− [퐶 ]{푣 }) (3.69)

Recorde-se que a aceleração em cada instante deve ser actualizada por imposição da

condição de equilíbrio dinâmico, pelas razões anteriormente expostas.

vi) Cálculo do estado de tensão e deformação no instante seguinte da análise passo-

a-passo, e correspondentes características dinâmicas da estrutura:

Calculadas as variações de deslocamentos no topo do pilar, está-se em condições de

determinar as correspondentes variações de esforços na secção de rótula plástica e actualizar

o seu estado de tensão e deformação.

Para tal, determine-se, em primeiro lugar, as variações de rotações equivalentes na rótula

plástica:

88

∆휃′∆휃′

=∆푢 , 퐿∗ −

퐿푝2

∆푢 , (퐿∗ −퐿푝

2 ) (3.70)

De seguida, determinem-se as correspondentes variações de curvatura:

∆휒∆휒 =

∆휃′ , 퐿푝⁄∆휃′ , 퐿푝⁄ (3.71)

Tendo em conta a matriz rigidez tangente da secção no instante 푡 = 0, recorre-se ao método

de Newton-Raphson para determinar a variação de momentos flectores na secção da rótula

plástica correspondente à anterior variação de curvaturas, o que se resume nos seguintes

passos:

Imposição da relação constitutiva linear da secção:

횫퐍(ퟏ) = ퟎΔM ( )

ΔM ( )= 퐾 çã

( )

çã

Δε ( )

횫훘퐲(ퟏ)

횫훘퐳(ퟏ)

⇒Δε ( )

ΔM ( )

ΔM ( )

= ⋯

Actualização das variáveis estáticas e cinemáticas:

푁( ) = 푁 + ∆푁( ) (3.72)

푀 ,( ) = 푀 , + Δ푀 ,

( ) (3.73)

푀 ,( ) = 푀 , + Δ푀 ,

( ) (3.74)

휀 ,( ) = 휀 , + Δε ,

( ) (3.75)

휒 ,( ) = 휒 , + Δχ ,

( ) (3.76)

휒 ,( ) = 휒 , + Δχ ,

( ) (3.77)

Comparação entre os esforços aproximados pela relação linear e os efectivamente

aplicados na secção. Cálculo do resíduo correspondente:

ε( )

χ( )

χ( ). .

.

N ( )

M ( )

M ( )↔

N−−

⇒ϵ( ) = N − N ( ) < 푡푙푟/√퐴

89

Refinamento da solução até os valores dos esforços obtidos pela relação linear e os

efectivamente aplicados serem suficientemente próximos (푘 ≥ 2):

횫퐍(퐤) = 훜퐍(퐤 ퟏ)

ΔM( )

ΔM( )

= 퐾 çã( )

⎣⎢⎢⎡ Δε( )

횫훘퐲(퐤) = ퟎ

횫훘퐳(퐤) = ퟎ⎦

⎥⎥⎤

⇒

⎣⎢⎢⎡ Δε

( )

ΔM( )

ΔM( )⎦⎥⎥⎤

= ⋯

ε( )

χ( )

χ( ). .

.

N ( )

M ( )

M ( )↔

N−−

⇒ϵ( ) < 푡푙푟/√A

Quando é atingida a tolerância armazenam-se as seis variáveis base actualizadas e a matriz

rigidez tangente correspondente, de modo a serem utilizadas no passo seguinte de integração.

Com base na matriz rigidez tangente da secção actualizada para o instante 푡 = 푡 pode

determinar-se a matriz rigidez global da estrutura para o mesmo instante, de acordo com o

processo descrito no passo ii) do presente algoritmo de análise sísmica de um pilar.

Como já foi referido, as matrizes de massa e amortecimento do oscilador não são actualizadas

ao longo da análise passo-a-passo, permanecendo iguais às determinadas para o instante

푡 = 0.

vii) Repetir o processo de cálculo para os restantes passos de integração:

Com base nas matrizes de rigidez, amortecimento e massa, e os vectores de deslocamentos,

velocidades e acelerações relativas entre o oscilador e o solo, actualizadas para o instante

푡 = 푡 , está-se em condições de realizar uma nova análise dinâmica para o passo seguinte,

repetindo-se este processo até se atingir o instante final de integração (pré-definido).

Em cada instante de integração devem armazenar-se as seis variáveis da secção na rótula

plástica, de modo a se inferir o respectivo estado de deformação e tensão, e os vectores de

deslocamento relativo, velocidade relativa e aceleração absoluta do oscilador (este último dado

através da soma do vector de aceleração relativa com o vector de aceleração de solo).

Como explicado no capítulo referente à análise de secções, deve ter-se em conta, neste

algoritmo de análise não linear, a possibilidade de cedência do aço ou de rotura de um dos

materiais da secção.

90

3.3.3. Análise sísmica linear do pilar ao longo do tempo

A análise sísmica linear do pilar ao longo do tempo é importante para efeitos de avaliação dos

coeficientes de comportamento associados a um dado acelerograma, bastando, para tal,

efectuar a relação entre o máximo da grandeza em causa obtido pela análise linear e o mesmo

máximo obtido pela análise não linear.

O método adoptado para a análise dinâmica linear ao longo do tempo é o mesmo que foi

considerado para a análise não linear, sendo que, neste caso, não há necessidade de

actualização da matriz rigidez em cada passo de integração. No caso linear, as matrizes de

massa, rigidez e amortecimento são diagonais, uma vez que não se considera a influência da

bi-direccionalidade.

Os termos da matriz rigidez determinam-se através das seguintes expressões:

푘 =3퐸퐼 ,

퐿∗ (3.78)

푘 =3퐸퐼 ,

퐿∗ (3.79)

em que 퐸퐼 , é a rigidez efectiva da secção na direcção principal de inércia 푖, de acordo com a

definição já apresentada em 2.6.1.

Os termos da matriz de massa obtêm-se da mesma forma que para a análise não linear.

Relativamente ao amortecimento, os termos da matriz correspondente determinam-se através

das expressões que se seguem:

푐 = 휉 × 2푚 푝 = 휉 × 2푚푘푚 (3.80)

푐 = 휉 × 2푚 푝 = 휉 × 2푚푘푚 (3.81)

Conhecidas as massas, rigidezes e amortecimentos associados a cada direcção principal de

inércia do pilar, que neste caso, se mantêm constantes ao longo da análise, segue-se com a

integração passo-a-passo da equação da dinâmica utilizando, por exemplo, o método descrito

em 3.2.2, de modo a se obterem os deslocamentos, velocidades e acelerações relativas no

novo instante.

Uma vez que se conhecem as acelerações da base em cada instante (acelerograma), podem

determinar-se as acelerações absolutas no topo do pilar através da relação (3.33).

Os esforços do pilar obtêm-se através das seguintes expressões:

91

푉 = 푘 . 푢 (3.82)

푉 = 푘 .푢 (3.83)

푀 = 푉 .퐿∗ (3.84)

푀 = 푉 . 퐿∗ (3.85)


Apresenta-se, de seguida, um exemplo de aplicação de uma análise sísmica não linear ao

longo do tempo e comparação com a respectiva análise linear, para a acção de um dado

acelerograma, a fim de se quantificar o coeficiente de comportamento associado.

Considere-se que o pilar em questão possui secção rectangular compacta (5mx1m, 휌 = 1%)

discretizada de acordo com o Exemplo 1 da secção 2.2.6, com betão da classe C30/37 e aço

A500. Admite-se que as características de rigidez e de massa da ponte dão origem a valores

de 퐿∗ = 16푚, 퐿∗ = 6푚, 푚 = 1430푡표푛 e 푚 = 3320푡표푛. Admita-se, ainda, que se obtém um

valor de 푣 = 0,2 para a combinação sísmica, o que neste caso corresponde a 푁 =

−20000푘푁.

Assume-se que o pilar está submetido a acção sísmica segundo a direcção z, e que a mesma

é representada pelo acelerograma da figura 3.132, que representa um sismo do tipo 1, numa

zona 1.1, em terreno tipo A. Considerou-se que a estrutura tem uma importância moderada, o

que se traduz num factor de importância unitário.

Figura 3.13 – Acelerograma representativo de uma acção sísmica tipo 1, zona 1.1, terreno tipo A

2 Todos os acelerogramas utilizados na presente dissertação foram fornecidos pelo Prof. Luís Guerreiro e estão coerentes com o espectro de resposta elástico proposto pelo EC8

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 10 20 30 40 50a sz

(m/s

2 )

t (s)

92

É de salientar que a duração total do sismo artificial é de aproximadamente 40s, em que os

primeiros 5s correspondem a uma zona de transição crescente em que o sinal é afectado de

uma função para evitar a entrada brusca das acelerações, seguindo-se uma zona estacionária

com aproximadamente 30s, e terminando-se com uma zona de transição decrescente com 5s

até o sinal se anular.

Para efeitos da análise passo-a-passo adoptou-se o método da aceleração linear descrito em

3.2.2. e considerou-se para cada passo o intervalo de tempo Δ푡 = 0,01푠, pois admite-se ser

adequado para o problema em causa, como se pode verificar nos resultados obtidos.

A relação constitutiva utilizada para a análise não linear foi a parábola-rectângulo proposta pelo

EC2, de modo a garantir uma boa estimativa dos esforços de cálculo perto da rotura.

Na tabela 3.1 apresentam-se todas as propriedades relevantes do pilar de estudo. As

frequências próprias do oscilador na direcção j foram estimadas a partir da respectiva massa e

rigidez através da seguinte expressão, proveniente do regime livre sem amortecimento:

푓 , =1

2휋푘푚 (3.86)

Tabela 3.1 – Propriedades do pilar de estudo

My,rd (kNm) 78145 Mz,rd (kNm) 18168

EI,eff,y (kNm2) 110,05x106 EI,eff,z (kNm2) 5,17x106

Ly* (m) 16 Lz* (m) 6

ky (kN/m) 71824 kz (kN/m) 80604 my (ton) 1430 mz (ton) 3320 f0,y (Hz) 1,128 f0,z (Hz) 0,784

Nas figuras 3.14 a 3.19 apresentam-se os resultados da análise dinâmica ao longo do tempo,

comparando-se, em cada figura, os resultados provenientes da análise não linear e da

respectiva análise linear.

93

Figura 3.14 – Resposta do oscilador em termos de deslocamento relativo

Figura 3.15 – Resposta do oscilador em termos de velocidade relativa

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 10 20 30 40 50

u z(m

)

t (s)

Linear

Não linear

-0,9

-0,7

-0,5

-0,3

-0,1

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

0 10 20 30 40 50v z(m

/s)

t (s)

Linear

Não linear

94

Figura 3.16 – Resposta do oscilador em termos de aceleração absoluta

Figura 3.17 – Resposta do oscilador em termos de esforço transverso

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50a az

(m/s

2 )

t (s)

Linear

Não linear

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 10 20 30 40 50V z(k

N)

t (s)

Linear

Não linear

95

Figura 3.18 – Resposta do oscilador em termos de momento flector

Figura 3.19 – Resposta do oscilador em termos da relação força-deslocamento

-200000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

0 10 20 30 40 50My

(kN

m)

t (s)

Linear

Não linear

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2F z(k

N)

uz (m)

Linear

Não linear

96

Através da observação das respostas ao longo do tempo, verifica-se que estas são

constituídas por três fases distintas: (i) fase inicial de adaptação ao regime forçado, em que o

efeito das condições iniciais é atenuado; (ii) fase de regime forçado; (iii) fase de regime livre,

em que o oscilador já não está submetido ao sismo, verificando-se uma redução gradual da

resposta, devido à actuação do amortecimento da estrutura.

Através da interpretação dos gráficos das respostas ao longo do tempo, mais especificamente

no troço de amplitude descendente (correspondente a regime livre), contabilizam-se 10

máximos locais da resposta entre os instantes 40s e 50s. Com isto se conclui que a frequência

própria do oscilador é de aproximadamente 1Hz, valor próximo do estimado directamente

através da massa e rigidez. Verifica-se que no restante tempo a frequência é semelhante,

confirmando-se que uma estrutura sujeita à acção sísmica responde predominantemente com

uma frequência semelhante à frequência própria.

Da análise das figuras 3.17 e 3.18 verifica-se que, num instante próximo dos 5s, o oscilador

não linear entra em cedência, sendo que, a partir daí, os picos de resposta mantêm-se

praticamente constantes até ao final da actuação do sismo. Na figura 3.19 é visível o

comportamento histerético do oscilador não linear e a linearidade da resposta do oscilador

linear, a qual depende apenas da sua rigidez efectiva.

Como seria de esperar, os valores máximos da resposta em esforços são superiores no caso

linear em relação ao caso não linear. Já os valores de deslocamentos são mais próximos,

sendo superiores no caso não linear. A quantificação dos coeficientes de comportamento para

cada uma dessas grandezas é apresentada na tabela 3.2 e baseia-se na expressão (3.1). Na

tabela 3.3, apresenta-se, ainda, a determinação dos esforços máximos utilizando a análise

linear por espectro de resposta (elástico) do EC8.

Tabela 3.2 – Determinação dos coeficientes de comportamento em deslocamento e momento, para o acelerograma em estudo

uz,max (m) My,max (kNm) Linear 0,1170 151785

Não linear 0,1568 79329 q 0,75 1,91

97

Tabela 3.3 – Esforços máximos obtidos pelo espectro de resposta elástico do EC8

agr (m/s2) 2,5 S 1,0

TB (s) 0,1 TC (s) 0,6 TD (s) 2,0

Se (m/s2) 2,941 Vz,L (kN) 9763

My,L (kNm) 156214 My,L/My,rd 2,00

Em primeira análise, verifica-se que o coeficiente de comportamento em momento obtido pela

realização de análises ao longo do tempo é coerente com o valor adoptado no

dimensionamento através de uma análise linear por espectro de resposta. No entanto, para se

tirar alguma conclusão acerca do comportamento da estrutura, devem efectuar-se análises

para um conjunto de acelerogramas distintos (mínimo três, segundo o EC8). Saliente-se que a

diferença entre os valores do coeficiente de comportamento em momento obtidos para cada

um dos métodos (análises ao longo do tempo e espectro de resposta elástico do EC8) seria,

provavelmente, atenuada se fosse efectuada a média dos resultados para vários

acelerogramas.

Relativamente ao valor do coeficiente de comportamento em deslocamento, seria de esperar

um valor mais próximo da unidade. No entanto, deve ter-se em conta que a relação parábola-

rectângulo proposta pelo EC2 para o betão não traduz de forma adequada a rigidez da secção,

subestimando-a (este facto será abordado com maior detalhe no Capítulo 4). Assim se justifica

o facto de o deslocamento não linear ser tão superior ao linear, tendo-se, por consequência,

um coeficiente de comportamento em deslocamento inferior à unidade.

É de referir ainda que, durante a análise não linear, as condições de rotura dos materiais são

ligeiramente ultrapassadas, o que, do ponto de vista da quantificação do máximo momento não

linear é perfeitamente desprezável, podendo este acontecimento ter maior relevância na

determinação de deslocamentos não lineares.

99

4. Escolha da relação constitutiva do betão para realização de análises não lineares

4.1. Concepção da relação constitutiva

Como já foi referido anteriormente, um dos objectivos das análises não lineares a efectuar na

presente dissertação é o estudo da influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no

comportamento de pilares de pontes, nomeadamente na avaliação dos valores dos coeficientes

de comportamento. Para se quantificar coeficientes de comportamento é necessário comparar

os valores máximos dos esforços (ou deslocamentos) provenientes de uma análise linear com

os valores máximos dessas mesmas grandezas resultantes de uma análise não linear, para um

dado pilar e um dado conjunto de acelerogramas representativos da acção sísmica. Deste

modo, é necessário que as relações constitutivas utilizadas para modelar o comportamento dos

materiais sejam adequadas para esse efeito, devendo simular com algum rigor a deformação

do elemento estrutural e simultaneamente a capacidade resistente das secções.

No Capítulo 2 apresentaram-se as relações constitutivas do betão propostas pelo EC2 para

diferentes situações de projecto, nomeadamente a relação linear para verificação de Estados

Limites de Utilização, a relação parábola-rectângulo para verificação de Estados Limites

Últimos de secções transversais e a relação 푘 − 휂 para realização de análises estruturais não

lineares.

À primeira vista, a relação 푘 − 휂 aparenta ser a mais adequada para a realização das análises

não lineares. No entanto, só o é caso se queira estudar o comportamento médio dos pilares,

através do comportamento médio de cada um dos seus materiais. Note-se que esta relação é

descrita em termos de valores médios, e, de facto, por comparação com ensaios

experimentais, das relações propostas pelo EC2, é a que melhor descreve o comportamento

médio do betão em termos da sua deformabilidade. No entanto, tendo em conta a filosofia dos

Eurocódigos, em que as verificações de segurança são baseadas no método dos coeficientes

parciais de segurança, não é possível, através desta relação constitutiva, estimar o valor de

cálculo da capacidade resistente de secções, sendo apenas possível estimar o valor médio

dessa capacidade resistente, valor necessariamente superior. Por outro lado, com a relação

parábola-rectângulo consegue obter-se uma boa estimativa do valor de cálculo da capacidade

resistente das secções, mas, em contrapartida, a deformabilidade que se obtém por esta

relação constitutiva é sempre sobrestimada.

Para realizar análises sísmicas não lineares e aplicar os seus resultados de acordo com a

filosofia do Eurocódigo é necessário ter em consideração simultaneamente a deformabilidade

real do betão (para haver uma estimativa real dos deslocamentos ao longo do tempo que, por

sua vez, têm grande influência no valor dos esforços) e o valor de cálculo da capacidade

resistente das secções (para garantir que ao longo das análises sísmicas esses valores não

são ultrapassados). Deste modo, conclui-se que nem a relação 푘 − 휂 nem a parábola-

rectângulo são adequadas para esse efeito.

100

De forma a contornar estas restrições, pretende-se definir uma relação constitutiva para o

betão que estime, de forma tão rigorosa quanto possível, o valor de cálculo da capacidade

resistente das secções e que, simultaneamente, simule bem a deformabilidade real do betão.

Para isso, optou-se por uma relação do tipo bilinear (elástica perfeitamente plástica), em que o

primeiro troço é linear com uma tangente igual ao valor médio do módulo de elasticidade do

betão aos 28 dias de idade (퐸 ) e o segundo troço é horizontal (com valor 휅. 푓 , em que 휅 é

um parâmetro que calibra a máxima tensão) até se atingir o valor da extensão última do betão

(figura 4.1). Este modelo de relação constitutiva apresenta as seguintes vantagens:

O facto de o primeiro troço ser linear e com o declive mencionado implica que a rigidez

estimada para a secção é muito próxima da real, pelo menos para valores de esforços

inferiores aos de cedência, dado que, nesses casos, se verifica que a distribuição de

tensões é praticamente linear;

O valor da tensão para o qual o betão deixa de ter um comportamento linear pode ser

calibrado através de um parâmetro 휅 ≤ 1, de forma a que os valores de cálculo da

capacidade resistente das secções sejam idênticos ou, pelo menos, conservativos em

relação aos valores obtidos pela relação parábola-rectângulo do EC2;

Simplicidade da relação, apresentando vantagens a nível computacional.

Figura 4.1 – Modelo de relação constitutiva adoptado para o betão

Note-se que o EC2 também propõe uma relação simplificada bilinear para efeitos de estimativa

do valor de cálculo da capacidade resistente de secções, a qual, no entanto, e tal como a

relação parábola-rectângulo, sobrestima a deformabilidade da secção.

Tendo em consideração os critérios apresentados para a escolha da relação constitutiva do

betão, apresentam-se de seguida alguns estudos efectuados para validação deste modelo.

101

4.2. Validação da relação constitutiva 4.2.1. Validação da estimativa da capacidade resistente

Para efeitos de validação do modelo anteriormente descrito para a relação constitutiva do

betão, começou-se por calibrar o parâmetro 휅 de modo a se conseguir uma boa estimativa do

valor de cálculo da capacidade resistente de secções para situações correntes de pilares de

pontes. A validação referida foi efectuada determinando-se as curvas de interacção de rotura

de vários tipos de secções, utilizando-se a relação parábola-rectângulo do EC2 e a relação

elástica perfeitamente plástica proposta anteriormente, e comparando-se os dois resultados.

Estudaram-se quatro tipos de secções (Exemplos 1 a 4 dos estudados no Capítulo 2), dentro

das quais se abrangeram valores de percentagem de armadura entre 0,5% e 2,0% e valores do

esforço normal reduzido entre 0 e 0,4. Considerou-se que esta gama de amostras abrange

uma grande parte dos problemas reais em projecto de estruturas de pontes.

Para cada um dos casos acima mencionados determinou-se a curva de interacção de rotura

associada a cada uma das relações constitutivas utilizando incrementos Δ훽 = 1 (noventa e um

pontos no total). Seguidamente, para cada valor de 훽 (ou par 푀 ,푀 ), calculou-se o desvio

entre o momento resultante na secção (푀 = 푀 +푀 ) proveniente da relação elástica

perfeitamente plástica (푀 ) e o momento resultante proveniente da relação parábola-

rectângulo (푀 ), através da seguinte expressão:

훿 = 100 ×푀 −푀

푀 (4.1)

Por último, e para cada caso, determinaram-se as médias dos desvios ao longo dos 90º (훿 )

e identificaram-se os desvios máximos positivo (훿 ) e negativo (훿 ).

Nas tabelas 4.1 a 4.4 resumem-se os resultados obtidos para cada tipo de secção transversal.

É de referir que se começou por admitir a hipótese 휅 = 1. Obtidos os resultados para a secção

rectangular compacta (tabela 4.1), verificou-se que as estimativas da capacidade resistente da

secção (para cada um dos casos de armadura e esforço normal) não são conservativas, uma

vez que os desvios médios chegam a atingir valores na ordem dos +3% e os desvios máximos

positivos valores superiores a +5%. Por esse motivo, optou-se por avaliar também as hipóteses

휅 = 0,95,휅 = 0,90푒휅 = 0,85. Analisando os valores apresentados na mesma tabela, verifica-se

que a hipótese 휅 = 0,85 é excessivamente conservativa, uma vez que os desvios médios

atingem valores na ordem de -7% e os desvios máximos negativos valores na ordem de -10%.

Assim, estudaram-se apenas as hipóteses 휅 = 0,95푒휅 = 0,90 para as restantes secções.

Analisando os resultados para esses dois valores de 휅 em qualquer uma das tabelas, conclui-

se que a solução óptima está dentro do intervalo 0,90 ≤ 휅 ≤ 0,95. Mais ainda, verifica-se que

para 휅 = 0,95 os resultados são muito satisfatórios, dado que os desvios médios são muito

próximos de zero e os desvios máximos são mais equilibrados do que para 휅 = 0,90.

102

Tabela 4.1 – Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção rectangular compacta 5mx1m

Secção rectangular compacta 5mx1m

휿 흊 흆 = ퟎ,ퟓ% 흆 = ퟏ,ퟎ% 흆 = ퟏ,ퟓ% 흆 = ퟐ,ퟎ%

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

1,00

0 1,9 8,8 - 1,3 4,2 -2,1 1,4 5,1 -2,1 1,6 4,7 -0,3

0,1 1,4 4,5 - 1,8 4,7 -0,3 1,9 4,7 -0,5 2,0 5,7 -0,6

0,2 1,9 4,7 -1,2 2,2 4,3 -0,1 2,2 4,2 - 2,3 4,3 -

0,3 2,4 4,3 -0,4 2,6 4,8 - 2,6 4,9 - 2,6 4,8 -

0,4 3,1 5,7 - 3,3 5,8 - 3,2 5,7 -0,1 3,1 5,5 -0,1

0,95

0 1,5 4,6 - 0,7 2,7 -3,1 0,7 3,3 -2,2 0,7 3,0 -1,1

0,1 0,5 2,5 -2,2 0,7 2,5 -1,1 0,8 2,5 -0,7 0,8 2,4 -0,7

0,2 0,3 1,7 -1,6 0,6 2,5 -0,8 0,7 2,6 -0,7 0,7 2,7 -0,5

0,3 0,1 2,2 -2,1 0,5 2,7 -2,1 0,6 2,8 -2,0 0,7 2,8 -1,8

0,4 -0,1 2,6 -3,2 0,4 2,9 -2,7 0,5 3,0 -2,5 0,6 3,0 -2,1

0,90

0 1,0 3,9 - 0,0 1,0 -3,8 -0,1 1,5 -2,2 -0,1 1,2 -2,1

0,1 -0,5 0,7 -4,7 -0,5 0,7 -2,4 -0,5 0,7 -2,1 -0,4 0,9 -1,8

0,2 -1,4 0,1 -4,7 -1,1 0,8 -3,3 -1,0 1,0 -2,7 -0,9 1,0 -2,4

0,3 -2,4 - -5,9 -1,8 0,4 -5,0 -1,6 0,6 -4,5 -1,4 0,7 -4,0

0,4 -3,7 - -6,8 -2,8 - -5,5 -2,4 0,1 -4,9 -1,9 0,3 -4,2

0,85

0 0,5 2,9 -0,4 -0,7 0,1 -4,2 -0,9 - -3,1 -1,1 - -3,1

0,1 -1,6 0,0 -6,8 -1,8 - -4,9 -1,8 - -4,3 -1,8 - -3,7

0,2 -3,2 - -8,1 -2,9 - -6,3 -2,7 - -5,5 -2,6 - -4,9

0,3 -5,1 - -9,6 -4,4 - -7,9 -3,9 - -7,0 -3,5 - -6,2

0,4 -7,6 - -10,7 -6,2 - -5,5 -5,4 - -7,6 -4,7 - -6,5

Tabela 4.2 - Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção rectangular oca 5mx2mx0,4m

Secção rectangular oca 5mx2mx0,4m

휿 흊 흆 = ퟎ,ퟓ% 흆 = ퟏ,ퟎ% 흆 = ퟏ,ퟓ% 흆 = ퟐ,ퟎ%

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

0,95

0 2,0 3,9 - 1,1 4,1 - 0,5 2,1 - 0,3 1,3 -0,2

0,1 0,6 3,0 - 0,3 1,9 -0,2 0,2 0,6 -0,6 0,1 0,7 -0,6

0,2 -0,1 0,5 -0,8 -0,1 0,6 -0,8 -0,1 0,8 -1,0 -0,1 1,0 -1,3

0,3 -0,6 0,5 -1,7 -0,5 0,9 -2,0 -0,3 1,1 -2,1 -0,3 1,2 -2,1

0,4 -1,2 0,6 -3,3 -0,8 1,0 -3,0 -0,5 1,3 -2,7 -0,4 1,4 -2,5

0,90

0 1,5 2,6 - 0,5 2,7 -0,3 -0,3 0,7 -0,9 -0,6 0,1 -1,2

0,1 -0,3 1,1 -1,2 -0,9 0,3 -1,6 -1,1 - -2,1 -1,2 - -2,3

0,2 -1,8 - -2,9 -1,9 - -3,3 -1,9 - -3,6 -1,8 - -3,6

0,3 -3,3 - -5,6 -3,0 - -5,4 -2,7 - -5,0 -2,4 - -4,7

0,4 -4,8 - -7,9 -4,1 - -6,9 -3,5 - -6,1 -3,1 - -5,5

103

Tabela 4.3 - Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção quadrangular compacta 2mx2m

Secção quadrangular compacta 2mx2m

휿 흊 흆 = ퟎ,ퟓ% 흆 = ퟏ,ퟎ% 흆 = ퟏ,ퟓ% 흆 = ퟐ,ퟎ%

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

0,95

0 0,8 1,2 - 0,2 0,4 - 0,3 0,7 -0,3 0,3 0,8 -0,3

0,1 0,3 0,6 -0,2 0,4 0,9 -0,2 0,5 1,0 -0,2 0,5 1,1 -0,3

0,2 0,4 0,9 -0,6 0,5 1,2 -0,4 0,6 1,3 -0,4 0,7 1,4 -0,3

0,3 0,5 1,3 -0,9 0,7 1,6 -0,6 0,8 1,7 -0,5 0,9 1,7 -0,4

0,4 0,6 1,7 -1,3 0,9 2,0 -0,9 1,1 2,2 -0,7 1,2 2,2 -0,5

0,90

0 0,4 0,9 - -0,3 - -0,4 -0,3 - -0,5 -0,3 - -0,5

0,1 -0,7 - -0,9 -0,5 - -0,8 -0,4 - -0,8 -0,4 - -0,9

0,2 -1,2 - -1,8 -0,9 - -1,6 -0,7 - -1,4 -0,5 - -1,3

0,3 -1,9 - -3,0 -1,3 - -2,5 -1,0 - -2,2 -0,8 - -1,9

0,4 -2,8 - -4,5 -2,0 - -3,6 -1,5 - -3,0 -1,1 - -2,6

Tabela 4.4 - Desvios dos momentos resistentes entre a relação constitutiva proposta e a parábola-rectângulo do EC2, para a secção circular compacta D=2m

Secção circular compacta D=2m

휿 흊 흆 = ퟎ,ퟓ% 흆 = ퟏ,ퟎ% 흆 = ퟏ,ퟓ% 흆 = ퟐ,ퟎ%

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풆풅 (%)

휹풎풂풙 (%)

휹풎풂풙 (%)

0,95

0 0,8 0,9 - 0,0 0,1 - 0,0 0,0 - -0,1 - -0,1

0,1 -0,1 0,0 -0,1 0,0 0,1 - 0,1 0,2 - 0,2 0,2 -

0,2 -0,1 - -0,2 0,0 0,1 - 0,1 0,2 - 0,2 0,3 -

0,3 -0,2 - -0,3 0,0 0,1 - 0,2 0,3 - 0,3 0,3 -

0,4 -0,3 - -0,4 0,1 0,1 - 0,3 0,3 - 0,4 0,5 -

0,90

0 0,5 0,5 - -0,3 - -0,3 -0,4 - -0,5 -0,5 - -0,6

0,1 -0,9 - -0,9 -0,8 - -0,9 -0,8 - -0,8 -0,7 - -0,7

0,2 -1,6 - -1,7 -1,3 - -1,4 -1,1 - -1,2 -1,0 - -1,0

0,3 -2,5 - -2,6 -2,0 - -2,0 -1,6 - -1,6 -1,4 - -1,4

0,4 -3,7 - -3,8 -2,8 - -2,8 -2,2 - -2,3 -1,8 - -1,9

Tendo em conta as considerações anteriores, optou-se por utilizar 휅 = 0,95 no modelo de

relação constitutiva do betão, dado que, com esse modelo, se atingem valores muito próximos

(da estimativa da capacidade resistente) dos obtidos pela relação parábola-rectângulo numa

vasta amostra de situações.

104

4.2.2. Validação da estimativa da deformabilidade

A fim de validar o modelo de relação constitutiva proposto em termos da deformabilidade,

efectuou-se, em primeiro lugar, um estudo comparativo das relações momentos-curvaturas que

se obtêm a partir da relação parábola-rectângulo, relação 푘 − 휂 com valores médios e a relação

elástica perfeitamente plástica com 푘 = 0,95. Este estudo foi efectuado apenas para a secção

rectangular compacta 5mx1m (Exemplo 1 do Capítulo 2), para níveis de esforço normal entre 0

e 0,4 e percentagens de armadura entre 0,5% e 2,0%. O objectivo deste estudo passa pela

visualização gráfica das rigidezes de flexão (EI) associadas a cada curva, a sua comparação

com as rigidezes do estado I (não fendilhado) e II (fendilhado), e a visualização da capacidade

resistente associada a cada relação constitutiva. Nas figuras 4.2 a 4.5 apresentam-se os

resultados das relações momentos-curvaturas para os casos extremos de 휐 e 휌, sendo que a

figura 4.6 corresponde a um caso intermédio desses dois parâmetros.

Figura 4.2 - Relações momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para 흊 = ퟎ e 흆 = ퟎ,ퟓ%

Figura 4.3 - Relações momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para 흊 = ퟎ e 흆 = ퟐ,ퟎ%

05000

10000150002000025000300003500040000

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

My

(kN

m)

cy (m-1)

n=0, ρ=0,5%

RPR

RKS,vm

REPP,0.95fcd

Rotura

EI,I

EI,II

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

My

(kN

m)

cy (m-1)

n=0, ρ=2,0%

RPR

RKS,vm

REPP,0.95fcd

Rotura

EI,I

EI,II

105

Figura 4.4 - Relações momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para 흊 = ퟎ, ퟒ e 흆 = ퟎ,ퟓ%

Figura 4.5 - Relações momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para 흊 = ퟎ, ퟒ e 흆 = ퟐ,ퟎ%

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

My

(kN

m)

cy (m-1)

n=0,4, ρ=0,5%

RPR

RKS,vm

REPP,0.95fcd

Rotura

EI,I

EI,II

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

My

(kN

m)

cy (m-1)

n=0,4, ρ=2,0%

RPR

RKS,vm

REPP,0.95fcd

Rotura

EI,I

EI,II

106

Figura 4.6 – Relações momentos-curvaturas para as diferentes relações constitutivas, para 흊 = ퟎ,ퟐ e 흆 = ퟏ, ퟎ%

Verifica-se para todos os casos que a curva correspondente à relação constitutiva proposta

apresenta uma rigidez inicial praticamente igual à da relação 휅 − 휂, e a sua rotura coincide

praticamente com a da relação parábola-rectângulo. De notar que este era o objectivo proposto

para a escolha desta relação constitutiva. Confirma-se, em qualquer um dos casos, que o uso

da relação parábola-rectângulo para o betão sobrestima a deformabilidade da secção, não

sendo esta relação adequada para a realização de análises não lineares.

Observa-se que para valores de 휐 = 0 as rigidezes das curvas correspondentes á relação

proposta e a 휅 − 휂 coincidem com a rigidez do estado fendilhado (퐸퐼 ) até se atingir a

cedência, o que pode ser explicado, uma vez que para os casos de flexão simples (sem

compressão), o betão encontra-se em estado fendilhado desde o início e apresenta uma

distribuição praticamente linear até se atingir a cedência. Para os casos de 휐 = 0,4 verifica-se

que o declive inicial dessas curvas coincide praticamente com a rigidez em estado não

fendilhado (퐸퐼 ), como seria expectável, uma vez que nesses casos o betão está todo

comprimido numa fase inicial, sendo a rigidez da secção praticamente igual à do betão. Para

valores intermédios de 휐 e 휌, verifica-se, como também seria de esperar, um comportamento

da secção intermédio em relação ao dos valores extremos.

Assim, é possível concluir que a relação constitutiva proposta apresenta uma boa estimativa da

deformação, sendo praticamente igual à da relação 푘 − 휂 para níveis de esforços baixos a

intermédios (na maioria dos casos até valores da ordem de 75% do momento de rotura). Para

níveis elevados de esforços (entre a cedência e a rotura) não é possível, através da relação

proposta, obter valores adequados da deformação. Por esse motivo, efectuou-se também um

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003

My

(kN

m)

cy (m-1)

n=0,2, ρ=1,0%

RPR

RKS,vm

REPP,0.95fcd

Rotura

EI,I

EI,II

107

estudo comparativo das relações constitutivas através da realização de análises não lineares e

quantificação dos respectivos coeficientes de comportamento, que se apresenta de seguida.

Considere-se o pilar do exemplo apresentado em 3.3.4, incluindo a secção transversal, a

discretização, os materiais, o esforço normal aplicado, as propriedades dinâmicas, o passo

utilizado e o método de resolução da equação da dinâmica. Com base nesse pilar efectuaram-

se análises não lineares ao longo do tempo e respectivas análises lineares para dez

acelerogramas segundo a direcção z, representativos de sismos tipo 1, zona 1.1, terreno tipo

A, estrutura de importância moderada. Para cada caso utilizou-se cada uma das seguintes

relações constitutivas para o betão: (i) relação elástica perfeitamente plástica com 휅 = 0,95; (ii)

relação parábola-rectângulo e (iii) relação 푘 − 휂 com valores médios. Para cada análise (linear

e não linear) associada a cada acelerograma, retiraram-se os valores máximos do

deslocamento (푢 , ) e do momento flector (푀 , ), e calcularam-se os respectivos

coeficientes de comportamento (푞 e 푞 ). Os resultados apresentam-se na tabela 4.5.

Tabela 4.5 – Comparação das relações constitutivas nos valores dos coeficientes de comportamento

Linear REPP,0.95fcd RPR RKS,vm

Sinal uz,max My,max uz,max My,max qM qu uz,max My,max qM qu uz,max My,max qM qu

1 0,1121 145458 0,1586 78492 1,85 0,71 0,1641 79400 1,83 0,68 0,1169 94944 1,53 0,96

2 0,1450 187752 0,1151 78417 2,39 1,26 0,1101 78781 2,38 1,32 0,1037 94058 2,00 1,40

3 0,0794 102894 0,0775 77977 1,32 1,02 0,0965 78399 1,31 0,82 0,1283 95575 1,08 0,62

4 0,1419 184144 0,0958 78113 2,36 1,48 0,1073 78852 2,34 1,32 0,1049 94078 1,96 1,35

5 0,1308 169495 0,0971 78586 2,16 1,35 0,1224 79231 2,14 1,07 0,1517 96350 1,76 0,86

6 0,1426 185281 0,1189 78289 2,37 1,20 0,1116 78694 2,35 1,28 0,101 94478 1,96 1,41

7 0,1309 169706 0,0928 77785 2,18 1,41 0,1171 78565 2,16 1,12 0,088 93872 1,81 1,49

8 0,1293 167861 0,1094 78186 2,15 1,18 0,1233 78711 2,13 1,05 0,1033 93777 1,79 1,25

9 0,118 152837 0,1245 78273 1,95 0,95 0,1473 79191 1,93 0,80 0,0912 95050 1,61 1,29

10 0,1658 214902 0,1594 78648 2,73 1,04 0,1739 79496 2,70 0,95 0,1024 93719 2,29 1,62

Média 0,1296 168033 0,1149 78277 2,15 1,16 0,1274 78932 2,13 1,04 0,1091 94590 1,78 1,23

Da análise da tabela anterior verifica-se que os valores dos coeficientes de comportamento em

momento são idênticos para as relações elasto-plástica e parábola-rectângulo, como era

desejável e expectável, dado o cuidado que houve para as duas relações apresentarem

estimativas de capacidade resistente semelhantes. Relativamente à relação 푘 − 휂, verifica-se

um valor díspar desse coeficiente de comportamento, uma vez que se trata de uma relação em

valores médios, sobrestimando a capacidade resistente. Do ponto de vista dos coeficientes de

comportamento em deslocamento, observa-se que a relação elasto-plástica (em relação à

parábola-rectângulo) fornece valores mais próximos dos obtidos pela relação 푘 − 휂, que se

considera ser a que estima melhor os deslocamentos.

Pelas razões apresentadas conclui-se ser adequado considerar a relação elasto-plástica com

휅 = 0,95 na realização de análises sísmicas não lineares de pilares de pontes.

109

5. Estudo da Influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no comportamento de pilares de pontes

5.1. Definição da acção sísmica bi-direccional

A forma mais correcta de se ter em conta a bi-direccionalidade da acção sísmica na verificação

de segurança de estruturas consiste em aplicar os sismos em todas as direcções do plano

horizontal e garantir que a estrutura verifica a segurança em todas essas situações

(desprezam-se, nesta dissertação, os efeitos da acção sísmica vertical). No entanto, este

processo torna-se bastante moroso, principalmente quando se utilizam análises não lineares ao

longo do tempo, pelo que interessa ter expressões mais simples, e conservativas, que

contornem este problema.

De acordo com a EN1998-2, a análise sísmica de pilares de pontes, seguindo uma análise

linear por espectro de resposta, deve ser efectuada combinando os efeitos correspondentes às

análises isoladas em cada uma das direcções ortogonais (퐸 ), através da seguinte expressão:

퐸 = 퐸 + 퐸 (5.1)

Alternativamente, pode ter-se em conta a bi-direccionalidade do problema utilizando a mais

desfavorável das seguintes combinações das acções segundo cada direcção ortogonal (퐴 , ):

퐴 , "+"0,30퐴 , (5.2)

0,30퐴 , "+"퐴 , (5.3)

No caso de se querer utilizar uma análise dinâmica não linear ao longo do tempo, o Eurocódigo

não propõe qualquer expressão. No entanto, Clough & Penzien [5] sugere que, no caso de se

querer dimensionar uma estrutura utilizando acelerogramas em duas direcções ortogonais, a

intensidade de um deles deverá ser reduzida de 15%. Assim sendo, deve considerar-se a mais

desfavorável das seguintes combinações de intensidades dos acelerogramas segundo cada

uma das direcções ortogonais consideradas (퐼푛푡 ):

퐼푛푡 " + "0,85퐼푛푡 (5.4)

0,85퐼푛푡 " + "퐼푛푡 (5.5)

As combinações apresentadas pelo EC8 pretendem garantir que os elementos estruturais

verificam a segurança independentemente da direcção da actuação dos sismos, sendo, à

partida, mais conservativas que a envolvente que se obteria através da aplicação de sismos

em todas as direcções do plano horizontal. Por outro lado, Clough & Penzien pretende apenas

dar a informação de qual o nível da acção na direcção perpendicular quando ocorre um pico de

acção na direcção predominante.

110

5.2. Exemplos estudados

Nas secções seguintes apresenta-se o estudo da influência da bi-direccionalidade da acção

sísmica aplicado a vários exemplos de pilares e tendo em conta os métodos mencionados no

subcapítulo 5.1. Esse estudo consiste na comparação entre o comportamento dos pilares

quando submetidos à acção sísmica bi-direccional e quando submetidos a acções sísmicas

uni-direccionais segundo os eixos principais de inércia das secções transversais. Essa

comparação é efectuada em termos dos seguintes quatro parâmetros: (i) Momento flector na

base, (ii) deslocamento no topo, (iii) coeficiente de comportamento em momento e (iv)

coeficiente de comportamento em deslocamento.

Para efeitos do estudo pretendido, avaliou-se o comportamento de cinco pilares distintos, com

as secções transversais dos exemplos apresentados em 2.2.6 (e com as discretizações lá

mencionadas para o betão):

Exemplo 1: Secção rectangular compacta 5mx1m;

Exemplo 2: Secção rectangular oca 5mx2mx0,4m;

Exemplo 3: Secção quadrangular compacta 2mx2m;

Exemplo 4: Secção circular compacta D=2m;

Exemplo 5: Secção circular oca De=3m, Di=2m;

Para cada um dos exemplos consideraram-se armaduras e esforços normais de modo a que as

secções apresentem 휌 = 1,0% e 휐 = 0,2. O betão considerado foi C30/37 e o aço A500, tal

como nos exemplos apresentados em capítulos anteriores.

Cada um dos pilares analisados nos exemplos foi dimensionado para resistir a sismos isolados

em cada uma das direcções principais de inércia, segundo uma análise linear por espectro de

resposta, com coeficientes de comportamento em momento 푞 = 2,00 em cada direcção

principal. O dimensionamento foi efectuado de modo a que os pilares apresentem frequências

próprias próximas de 1,0Hz na direcção y (direcção de maior inércia) e de 0,7Hz na direcção z

(direcção de menor inércia). O sismo tido em consideração nestes exemplos foi do tipo 1, zona

1.1, terreno tipo A, estrutura de importância moderada.

Para a análise passo-a-passo adoptou-se, tal como em exemplos anteriores, o método da

aceleração linear descrito em 3.2.2. e considerou-se para cada passo o intervalo de tempo

Δ푡 = 0,01푠.

A relação constitutiva utilizada para o betão em todas as análises não lineares efectuadas

neste capítulo foi a elástica perfeitamente plástica com 푘 = 0,95 proposta no Capítulo 4.

Na tabela 5.1 apresenta-se um resumo das características de cada um dos pilares estudados

neste capítulo. Na tabela 5.2 resumem-se os resultados da análise linear por espectro de

resposta que serviu de base ao dimensionamento dos pilares em estudo.

111

Tabela 5.1 – Características dos pilares estudados na análise da inflência da bi-direccionalidade da acção sísmica

Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 Exemplo 5 Secção 5mx1m 5mx2mx0,4m 2mx2m D=2m De=3m, Di=2m

My,rd (kNm) 78145 81949 25934 17400 34980 Mz,rd (kNm) 18168 34526 25934 17400 34980

EI,eff,y (kNm2) 110,05x106 120,42x106 14,88x106 9,44x106 29,04x106 EI,eff,z (kNm2) 5,17x106 21,12x106 14,88x106 9,44x106 29,04x106

Ly* (m) 16 18 10 11 14 Lz* (m) 6 9 9 9 11

ky (kN/m) 71824 86925 61239 38836 65458 kz (kN/m) 80604 61944 44643 21271 31751 my (ton) 1430 1901 1522 1080 1734 mz (ton) 3320 3757 1691 1320 2207 f0,y (Hz) 1,128 1,076 1,010 0,954 0,978 f0,z (Hz) 0,784 0,646 0,818 0,639 0,604

Tabela 5.2 – Resultados da análise linear por espectro de resposta que serviu de base ao dimensionamento dos pilares em estudo

Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 Exemplo 5 Secção 5mx1m 5mx2mx0,4m 2mx2m D=2m De=3m, Di=2m

Se,y (m/s2) 4,23 4,04 3,79 3,58 3,67 Se,z (m/s2) 2,94 2,42 3,07 2,40 2,26 Vy,L (kN) 6049 7672 5762 3865 6359 Vz,L (kN) 9763 9105 5186 3162 4996

My,L (kNm) 156214 163886 51856 34787 69945 Mz,L (kNm) 36292 69049 51858 34787 69944 Vy,NL (kN) 3024 3836 2881 1933 3179 Vz,NL (kN) 4882 4552 2593 1581 2498

My,NL (kNm) 78107 81943 25928 17394 34973 Mz,NL (kNm) 18146 34525 25929 17394 34972

qM 2,00 2,00 2,00 2,00 2,00

112

5.3. Apresentação e análise de resultados 5.3.1. Método de aplicação de acelerogramas segundo várias direcções (Método de

Referência)

Como referido anteriormente, o método que estima com maior rigor o efeito da bi-direccionalidade da acção sísmica consiste na aplicação de acelerogramas em todas as direcções do plano da secção transversal do pilar. Dado tratar-se de um processo muito moroso, considerou-se, para efeitos do presente estudo, a aplicação dos acelerogramas apenas segundo cinco direcções distintas (duas correspondentes às direcções principais de inércia e três correspondentes a direcções intermédias), efectuando-se, para cada caso, duas análises dinâmicas ao longo do tempo (uma linear e outra não linear) e recolhendo-se os respectivos máximos das grandezas momento e deslocamento. Uma vez que cada pilar de exemplo tem uma secção transversal com uma geometria particular, interessa escolher os ângulos intermédios de forma a ter em conta as direcções notáveis da mesma. Com base nestas considerações e no número de direcções de estudo, optou-se por aplicar os acelerogramas em cada tipo de secção de acordo com o apresentado na figura 5.1.

É de referir que nas situações em que o acelerograma é aplicado segundo uma direcção principal de inércia, o pilar comporta-se em flexão recta, tendo como consequência a existência de deslocamentos apenas na direcção de actuação do sismo e momentos flectores na direcção perpendicular, permanecendo constantes ao longo do tempo as direcções dos respectivos vectores. Isto aplica-se tanto no caso de análise linear como não linear, pelo que a avaliação do coeficiente de comportamento é trivial nestes casos, uma vez que relaciona grandezas na mesma direcção. No entanto, estas considerações não são válidas quando se aplica o acelerograma segundo uma direcção não coincidente com as direcções principais de inércia da secção transversal. Neste caso o pilar responde em flexão desviada e, independentemente do tipo de análise (linear ou não linear), as direcções dos vectores momento e deslocamento estão permanentemente a variar ao longo do tempo, pelo que só por coincidência os respectivos máximos linear e não linear (de cada grandeza) corresponderão à mesma direcção de vector. De modo a contornar este problema considerou-se, para efeitos de avaliação dos coeficientes de comportamento, os máximos das projecções do vector deslocamento na direcção do sismo, e do vector momento na direcção perpendicular ao sismo.

De modo a se conseguir alguma representatividade nos resultados, efectuou-se este estudo para cinco acelerogramas distintos (cada um deles percorrendo as cinco direcções anteriormente previstas para cada tipo de secção transversal).

Nas tabelas 5.3 a 5.12 apresentam-se os resultados das análises lineares e não lineares, mais especificamente as médias dos máximos das projecções do deslocamento (na direcção do sismo) e do momento flector (na direcção perpendicular ao sismo) e os respectivos coeficientes de comportamento, para cada tipo de pilar e para cada direcção de actuação de sismo. Apresentam-se também, nessas tabelas, os desvios dos resultados dessas grandezas provenientes do comportamento em flexão desviada em relação ao comportamento em flexão recta (assumindo-se que o erro associado a uma direcção intermédia é medido em relação à direcção principal de inércia mais próxima, e avaliando-se a situação mais desfavorável, das duas possíveis, nos casos de acelerogramas aplicados a 45º). No Anexo 1 encontram-se os resultados discriminados para cada acelerograma e as médias dos valores máximos.

113

Figura 5.1 – Direcções de aplicação dos acelerogramas em cada pilar de estudo (Método de Referência)

114

Tabela 5.3 – Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Método de Referência)

Exemplo 1 5mx1m 0º 30º 60º 79º 90º

ML (kNm) 34153 45444 115441 147899 153547 MNL (kNm) 18027 39463 67499 76664 78242

uL (m) 0,0793 0,0635 0,0915 0,1147 0,1191 uNL (m) 0,0699 0,0548 0,0889 0,1096 0,1160

qM 1,89 1,15 1,71 1,93 1,96 qu 1,13 1,16 1,03 1,05 1,03

Tabela 5.4 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Método de Referência)

Exemplo 1 5mx1m 30º 60º 79º

eML (%) 33,06 -24,82 -3,68 eMNL (%) 118,91 -13,73 -2,02 euL (%) -19,88 -23,16 -3,66 euNL (%) -21,65 -23,34 -5,57 eqM (%) -39,22 -12,85 -1,70 equ (%) 2,26 0,23 2,02

Tabela 5.5 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Método de Referência)

Exemplo 2 5mx2mx0,4m 0º 45º 68º 79º 90º

ML (kNm) 74678 88695 133607 148046 153670 MNL (kNm) 34290 60762 75756 79634 81120

uL (m) 0,0955 0,0857 0,1211 0,1329 0,1378 uNL (m) 0,0691 0,0791 0,1198 0,1377 0,1487

qM 2,18 1,46 1,76 1,86 1,89 qu 1,38 1,08 1,01 0,97 0,93

Tabela 5.6 - Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Método de Referência)

Exemplo 2 5mx2mx0,4m 45º 68º 79º

eML (%) 18,77 -13,06 -3,66 eMNL (%) 77,20 -6,61 -1,83 euL (%) -10,20 -12,16 -3,56 euNL (%) 14,50 -19,42 -7,40 eqM (%) -32,97 -6,90 -1,86 equ (%) -21,58 9,01 4,15

115

Tabela 5.7 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (Método de Referência)

Exemplo 3 2mx2m 0º 22,5º 45º 67,5º 90º

ML (kNm) 50041 45674 40455 44657 50388 MNL (kNm) 25769 25136 24900 25320 25756

uL (m) 0,0908 0,0845 0,0811 0,0990 0,1129 uNL (m) 0,0803 0,0698 0,0659 0,0900 0,1008

qM 1,94 1,82 1,62 1,76 1,96 qu 1,13 1,21 1,23 1,10 1,12

Tabela 5.8 – Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (Método de Referência)

Exemplo 3 2mx2m 22,5º 45º 67,5º

eML (%) -8,73 -19,71 -11,37 eMNL (%) -2,46 -3,33 -1,70 euL (%) -6,98 -28,12 -12,26 euNL (%) -13,09 -34,65 -10,68 eqM (%) -6,43 -16,95 -9,85 equ (%) 7,03 9,99 -1,78

Tabela 5.9 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Método de Referência)

Exemplo 4 D=2m 0º 22,5º 45º 67,5º 90º

ML (kNm) 32398 29259 25600 29711 34296 MNL (kNm) 17561 17226 17193 17237 17548

uL (m) 0,0927 0,0873 0,0926 0,1253 0,1466 uNL (m) 0,0897 0,0801 0,0850 0,1096 0,1310

qM 1,84 1,70 1,49 1,72 1,95 qu 1,03 1,09 1,09 1,14 1,12

Tabela 5.10 - Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Método de Referência)

Exemplo 4 D=2m 22,5º 45º 67,5º

eML (%) -9,69 -25,36 -13,37 eMNL (%) -1,91 -2,02 -1,77 euL (%) -5,87 -36,84 -14,52 euNL (%) -10,68 -35,08 -16,37 eqM (%) -7,93 -23,81 -11,80 equ (%) 5,39 -2,71 2,21

116

Tabela 5.11 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (Método de Referência)

Exemplo 5 De=3m, Di=2m 0º 22,5º 45º 67,5º 90º

ML (kNm) 66187 56709 49179 53023 61682 MNL (kNm) 34845 34160 33622 34213 34934

uL (m) 0,0919 0,0812 0,0894 0,1180 0,1388 uNL (m) 0,0872 0,0786 0,0909 0,1408 0,1624

qM 1,90 1,66 1,46 1,55 1,77 qu 1,05 1,03 0,98 0,84 0,85

Tabela 5.12 - Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (Método de Referência)

Exemplo 5 De=3m, Di=2m 22,5º 45º 67,5º

eML (%) -14,32 -20,27 -14,04 eMNL (%) -1,97 -3,76 -2,07 euL (%) -11,71 -35,61 -14,94 euNL (%) -9,86 -44,02 -13,32 eqM (%) -12,60 -17,16 -12,23 equ (%) -2,05 15,01 -1,87

Observando as tabelas 5.3 a 5.12 verifica-se que, de um modo geral, os coeficientes de comportamento em momento baixam quando o pilar está submetido a flexão composta desviada, ou equivalentemente, quando o sismo tem componente nas duas direcções principais de inércia do pilar. Este comportamento aplica-se a todos os tipos de secção transversal estudados e verifica-se ser tanto mais acentuado quanto maior for a diferença entre os valores das inércias principais da secção. Note-se que o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m, cuja diferença de inércias principais da secção é a maior entre os pilares de estudo, apresenta o máximo desvio do coeficiente de comportamento em momento em flexão desviada relativo a flexão recta (quase 40%), sendo que o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m, cuja diferença de inércias é a segunda maior, apresenta o segundo maior valor (33%), e os restantes pilares, em que todas as direcções são direcções principais de inércia, apresentam os valores mais baixos (inferiores a 25%). Mais concretamente pode dizer-se que, no caso de se pretender obter um coeficiente de comportamento em momento mínimo de 2,00 em todas as direcções, seria necessário dimensionar cada um dos pilares para os seguintes coeficientes de comportamento em momento nas direcções principais de inércia: 3,29 (5mx1m), 2,99 (5mx2mx0,4m), 2,42 (2mx2m), 2,62 (D=2m) ou 2,60 (De=3m,Di=2m).

É de salientar que nas secções quadrangular e circulares, em que todas as direcções são direcções principais de inércia, a direcção crítica em termos de coeficientes de comportamento em momento, ou seja, onde o seu valor é menor, apresenta-se a 45º das direcções y e z. Já no caso das secções rectangulares, a direcção crítica está mais próxima do eixo y, verificando-se com o presente estudo, que nas secções 5mx1m e 5mx2mx0,4m se apresenta, respectivamente, a 30º e 45º do mesmo eixo. Deve ter-se em conta que, nestes dois últimos

117

casos, a direcção pode diferir um pouco da apresentada, e que no caso de se querer identificá-la com mais precisão, é necessário efectuar este estudo para mais orientações de acelerogramas, nomeadamente entre 0 e 60º no pilar 5mx1m, e entre 0 e 68º no pilar 5mx2mx0,4m. Relembre-se que no presente estudo foram consideradas apenas três direcções intermédias de acelerogramas.

Observa-se também que, nas direcções principais de inércia, os coeficientes de comportamento em momento diferem do valor para o qual foram dimensionados os pilares (푞 = 푞 = 2,00). Esta situação explica-se pelo facto de o dimensionamento dos pilares ter

sido baseado no espectro de resposta do EC8 seguindo uma análise linear, e neste estudo, cada coeficiente de comportamento ter sido definido para uma amostra de apenas cinco acelerogramas gerados artificialmente. Apesar de os acelerogramas utilizados serem consistentes com o espectro de resposta definido no EC8, existem sempre ligeiras variações entre os resultados obtidos pelos dois métodos, derivados do limitado número de acelerogramas utilizados e também do facto de, no dimensionamento dos pilares, se ter utilizado uma rigidez efectiva estimada com algumas simplificações, a qual influenciou as acelerações espectrais obtidas.

Relativamente aos coeficientes de comportamento em deslocamento, o seu valor é, de uma forma geral, próximo da unidade, sendo, na maioria dos casos, ligeiramente superior. O desvio máximo em relação à unidade é de 38% e verifica-se na secção rectangular oca 5mx2mx0,4m. A variação dos coeficientes de comportamento em deslocamento com a direcção do sismo não é tão acentuada como os coeficientes de comportamento em momento, apresentando, de uma forma geral, desvios de flexão desviada em relação a flexão recta inferiores a 10%, com excepção das secções rectangular oca e circular oca, em que esse valor atinge 22% e 15%, respectivamente.

Nas figuras 5.2 e 5.3 ilustra-se a evolução dos coeficientes de comportamento (em momento e em deslocamento, respectivamente) ao longo da direcção de actuação do sismo, com base nos resultados obtidos aplicando acelerogramas em cinco direcções distintas (duas segundo as direcções principais de inércia e três direcções intermédias). A análise dessas figuras reforça algumas das conclusões mencionadas anteriormente, nomeadamente: (i) a redução do valor do coeficiente de comportamento em momento para direcções de actuação do sismo não coincidentes com as direcções principais de inércia da secção transversal, (ii) o agravamento dessa redução para pilares com maior diferença de inércias principais, (iii) a proximidade dos coeficientes de comportamento em deslocamento com a unidade, sendo na maioria dos casos, ligeiramente superiores, e (iv) a não influência da bi-direccionalidade do sismo no valor dos coeficientes de comportamento em deslocamento.

Deve ter-se em conta que o estudo efectuado considerou, para cada caso, apenas três pontos não coincidentes com as direcções principais de inércia das secções podendo, no caso das secções rectangulares, em que o efeito da flexão desviada é mais acentuado, estarem a efectuar-se interpolações significativas, nomeadamente, entre 0º e 60º no caso da secção 5mx1m, e entre 0º e 68º no caso da secção 5mx2mx0,4m. Nesses casos, o efeito da bi-direccionalidade dos sismos pode ser ainda mais acentuado do que o verificado neste estudo.

118

Figura 5.2 – Evolução, ao longo da direcção do sismo, do coeficiente de comportamento em momento para cada um dos cinco pilares de estudo, de acordo com o Método de Referência

Figura 5.3 – Evolução, ao longo da direcção do sismo, do coeficiente de comportamento em deslocamento para cada um dos cinco pilares de estudo, de acordo com o Método de Referência

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

qMy

qMz

5mx1m

5mx2mx0,4m

2mx2m

D=2m

De=3m,Di=2m

qM=2,00

0º

90º

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50

quz

quy

5mx1m

5mx2mx0,4m

2mx2m

D=2m

De=3m,Di=2m

qu=1,00

90º

0º

119

5.3.2. Método proposto por Clough & Penzien

Como alternativa à metodologia de aplicação de acelerogramas segundo várias direcções do

plano horizontal, utilizou-se também o método proposto por Clough & Penzien para o estudo da

influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no comportamento de pilares de pontes.

Este método propõe ter em consideração o efeito bi-direccional da acção sísmica através da

realização de duas análises com dois acelerogramas ortogonais distintos, sendo um deles

reduzido em 15%. Para o presente estudo optou-se por aplicar os acelerogramas segundo as

direcções principais de inércia dos pilares. Através desta metodologia obtêm-se dois pares de

valores para os momentos/deslocamentos, de forma a traduzir o comportamento em flexão

desviada devido ao efeito bi-direccional do sismo. Note-se que a aplicação do sismo sem

qualquer redução, por exemplo, na direcção y, acompanhado de sismo reduzido na direcção z,

permite a obtenção do deslocamento máximo segundo a direcção y (e respectivo

deslocamento acompanhante na direcção z) e o momento máximo segundo z (e respectivo

momento acompanhante segundo y). Aplicando a combinação sísmica de forma inversa em

termos das direcções obtém-se outro par de valores para os momentos e para os

deslocamentos.

Para cada um dos pilares de exemplo anteriormente descritos efectuaram-se as respectivas

análises lineares e não lineares, retirando-se os valores máximos dos deslocamentos segundo

a direcção predominante do sismo (e respectivo deslocamento acompanhante na direcção

perpendicular) e os valores máximos dos momentos na perpendicular à direcção predominante

do sismo (e respectivo momento acompanhante). De forma análoga à utilizada na metodologia

anterior, consideraram-se resultados provenientes de cinco combinações de acelerogramas

para se ter uma representatividade da resposta. Note-se que este método exige que os sinais

sísmicos a combinar sejam distintos entre si.

Nas tabelas 5.13 a 5.22 apresentam-se os resultados das análises lineares e não lineares,

mais especificamente as médias dos máximos momentos e deslocamentos e os respectivos

coeficientes de comportamento, para cada tipo de pilar e para cada tipo de combinação de

acelerogramas. Apresentam-se também os desvios dos resultados dessas grandezas

provenientes do comportamento em flexão desviada em relação a flexão recta, de forma a

permitir a sua comparação. Note-se que a combinação do tipo “y + 0z” traduz uma análise

unidirecional segundo y, pelo que o deslocamento tem a direcção de y e o momento tem a

direcção de z. Já no caso das combinações tipo “y + 0,85z” e “0,85y + z”, as grandezas obtidas

provêm da composição vectorial das componentes em y e z.

No Anexo 2 apresentam-se os resultados discriminados para cada combinação de

acelerogramas, a composição vectorial nos casos bi-direccionais e as médias dos valores

máximos.

120

Tabela 5.13 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 1 5mx1m y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z

ML (kNm) 37837 55406 147567 147323 MNL (kNm) 18033 18191 77437 78223

uL (m) 0,0878 0,0933 0,1159 0,1142 uNL (m) 0,0705 0,0791 0,1132 0,1101

qM 2,10 3,05 1,91 1,88 qu 1,24 1,18 1,02 1,04

Tabela 5.14 - Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 1 5mx1m y + 0,85z 0,85y + z

eML (%) 46,43 0,17 eMNL (%) 0,88 -1,00 euL (%) 6,18 1,47 euNL (%) 12,19 2,82 eqM (%) 45,16 1,18 equ (%) -5,36 -1,31

Tabela 5.15 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 2 5mx2mx0,4m y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z

ML (kNm) 76861 80125 158761 158241 MNL (kNm) 34252 34611 80317 81170

uL (m) 0,0983 0,1003 0,1429 0,1419 uNL (m) 0,0689 0,0882 0,1646 0,1540

qM 2,24 2,32 1,98 1,95 qu 1,43 1,14 0,87 0,92

Tabela 5.16 - Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 2 5mx2mx0,4m y + 0,85z 0,85y + z

eML (%) 4,25 0,33 eMNL (%) 1,05 -1,05 euL (%) 2,11 0,67 euNL (%) 27,98 6,90 eqM (%) 3,16 1,39 equ (%) -20,21 -5,83

121

Tabela 5.17 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 3 2mx2m y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z

ML (kNm) 49716 50324 52691 51616 MNL (kNm) 25769 25589 25480 25790

uL (m) 0,0902 0,0919 0,1172 0,1156 uNL (m) 0,0861 0,1010 0,1073 0,1070

qM 1,93 1,97 2,07 2,00 qu 1,05 0,91 1,09 1,08

Tabela 5.18 - Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 3 2mx2m y + 0,85z 0,85y + z

eML (%) 1,22 2,08 eMNL (%) -0,70 -1,21 euL (%) 1,86 1,37 euNL (%) 17,31 0,28 eqM (%) 1,93 3,33 equ (%) -13,17 1,09

Tabela 5.19 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular compacta D=2m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 4 D=2m y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z

ML (kNm) 31411 34545 34887 34336 MNL (kNm) 17565 17265 17406 17554

uL (m) 0,0899 0,1089 0,1478 0,1467 uNL (m) 0,0936 0,1052 0,1485 0,1379

qM 1,79 2,00 2,00 1,96 qu 0,96 1,04 1,00 1,06

Tabela 5.20 - Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular compacta D=2m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 4 D=2m y + 0,85z 0,85y + z

eML (%) 9,98 1,61 eMNL (%) -1,71 -0,85 euL (%) 21,14 0,72 euNL (%) 12,36 7,63 eqM (%) 11,89 2,47 equ (%) 7,81 -6,41

122

Tabela 5.21 - Resultados das análises dinâmicas ao longo do tempo, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 5 De=3m, Di=2m y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z

ML (kNm) 63311 72684 73785 69964 MNL (kNm) 34844 34356 34294 34933

uL (m) 0,0879 0,1191 0,1607 0,1574 uNL (m) 0,0913 0,1151 0,1742 0,1706

qM 1,82 2,12 2,15 2,00 qu 0,96 1,03 0,92 0,92

Tabela 5.22 - Desvios entre as grandezas obtidas em flexão desviada e flexão recta, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (método proposto por Clough & Penzien)

Exemplo 5 De=3m, Di=2m y + 0,85z 0,85y + z

eML (%) 14,80 5,46 eMNL (%) -1,40 -1,83 euL (%) 35,43 2,11 euNL (%) 26,06 2,08 eqM (%) 16,43 7,42 equ (%) 7,43 0,03

Da análise dos valores apresentados nas tabelas 5.13 a 5.22 verifica-se que, de um modo

geral, segundo este método, os coeficientes de comportamento em momento aumentam

quando o pilar está submetido a flexão composta desviada. É de salientar que esta conclusão é

contrária à que se obtém pelo Método de Referência e pode ser explicada pelo facto de o

método proposto por Clough & Penzien sobrestimar os momentos lineares no caso bi-

direccional. Já os coeficientes de comportamento em deslocamento, tal como no Método de

Referência, apresentam-se próximos da unidade e não apresentam grandes desvios entre o

comportamento bi-direccional e o uni-direccional.

Note-se que, no caso linear, os momentos segundo z (e/ou deslocamentos segundo y) são

iguais para as combinações do tipo “y + 0z” e “y + 0,85z”, uma vez que, neste caso, o

comportamento em y só depende do sismo segundo y e o comportamento em z só depende do

sismo segundo z. Situação análoga acontece para as combinações do tipo “0,85y + z” e “0y +

z”. Desta forma, ao efectuar a composição vectorial nos casos de flexão desviada obtém-se

necessariamente um vector superior ao do correspondente caso de flexão recta. No caso não

linear aquela situação já não acontece dado que existe comportamento conjunto nas duas

direcções. Neste caso, a presença de sismo acompanhante na direcção perpendicular origina

uma ligeira diminuição dos esforços na direcção predominante do sismo. Já os deslocamentos

sofrem, de uma forma geral, um ligeiro aumento, como se pode verificar no Anexo 2. Desta

forma justifica-se o aumento dos coeficientes de comportamento em momento e o não

aumento dos coeficientes de comportamento em deslocamento no caso bi-direccional.

123

5.3.3. Comparação entre métodos

Nesta secção pretende apresentar-se uma comparação entre o método de aplicação de

acelerogramas segundo várias direcções (Método de Referência), o método proposto por Clough & Penzien e o método proposto pelo EC8, do ponto de vista da análise da influência da

bi-direccionalidade da acção sísmica no comportamento de pilares de pontes. Essa

comparação será efectuada através da representação num gráfico (para cada pilar de

exemplo) das envolventes de momentos provenientes de análises lineares e não lineares, tendo por objectivo averiguar se os métodos simplificados (Clough & Penzien e EC8) são

conservativos em relação ao Método de Referência do ponto de vista do dimensionamento de

pilares de pontes.

Nas figuras 5.4 a 5.8 apresentam-se as envolventes de momentos provenientes de análises

lineares e não lineares para cada um dos três métodos referidos e para cada um dos pilares de

estudo. Por uma questão de uniformização dos resultados, optou-se por normalizar cada um

dos gráficos através do momento resistente da respectiva secção transversal em cada um dos

eixos principais de inércia.

Cada ponto da envolvente de momentos correspondente ao Método de Referência consiste na

média (para os cinco acelerogramas aplicados numa dada direcção) do par (My, Mz) existente

no pilar no instante em que a projecção do vector momento na direcção perpendicular ao sismo

é máxima. Optou-se por representar os pares de momentos no instante de projecção máxima

sobre a direcção perpendicular ao sismo e não os correspondentes valores no instante de

máximo momento resultante, mantendo-se assim a coerência com os resultados apresentados

em 5.3.1., em que o cálculo dos coeficientes de comportamento foi realizado para a primeira situação.

Tanto o método de Clough & Penzien como o EC8 pressupõem a determinação de dois pontos

correspondentes a flexão desviada, um deles com momento máximo em torno de y (e

respectivo momento acompanhante em torno de z) e o outro com momento máximo em torno

de z (e respectivo momento acompanhante em torno de y). Dada a natureza destes métodos, admitiu-se uma variação linear entre os dois casos de flexão desviada e entre estes e os

correspondentes casos de flexão recta, permitindo assim definir as envolventes de momentos

pretendidas.

No método de Clough & Penzien, como referido em 5.3.2., os pontos obtidos correspondem a

médias para cinco pares de acelerogramas, cada par correspondendo a acelerogramas distintos. Relativamente ao método do EC8, deve ter-se em conta que o dimensionamento dos

pilares foi realizado para que os mesmos resistissem em flexão recta em cada uma das

direcções principais de inércia com um coeficiente de comportamento em momento igual a

2,00. Assim sendo, e uma vez que este método pressupõe a realização de uma análise linear

por espectro de resposta, os efeitos são proporcionais às acções, pelo que os momentos não

lineares têm que corresponder aos pontos (My,rd, 0), (My,rd, 0,3Mz,rd), (0,3My,rd, Mz,rd) e (0, Mz,rd),

e os lineares têm que corresponder ao dobro destes últimos.

124

Figura 5.4 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção rectangular compacta 5mx1m (Exemplo 1)

Figura 5.5 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção rectangular oca 5mx2mx0,4m (Exemplo 2)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Mz/

Mzr

d

My/Myrd

Mét. Referência - Linear

Mét. Referência - Não Linear

Mét. Referência - Pontos obtidosClough & Penzien - Linear

Clough & Penzien - Não Linear

Clough & Penzien - Linear/2,0

EC8 - Linear

EC8 - Não Linear

Env. Rotura

Aprox. Linear

M/Mrd = 2,0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Mz/

Mzr

d

My/Myrd






EC8 - Linear

EC8 - Não Linear

Env. Rotura

Aprox. Linear

M/Mrd = 2,0

125

Figura 5.6 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção quadrangular compacta 2mx2m (Exemplo 3)

Figura 5.7 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção circular compacta D=2m (Exemplo 4)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Mz/

Mzr

d

My/Myrd






EC8 - Linear

EC8 - Não Linear

Env. Rotura

Aprox. Linear

M/Mrd = 2,0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Mz/

Mzr

d

My/Myrd






EC8 - Linear

EC8 - Não Linear

Env. Rotura

Aprox. Linear

M/Mrd = 2,0

126

Figura 5.8 – Envolventes de momentos lineares e não lineares em flexão composta desviada correspondentes a cada um dos métodos, para o pilar com secção circular oca De=3m, Di=2m (Exemplo 5)

Observando as figuras 5.4 a 5.8 verifica-se, principalmente no caso linear, que nas situações de flexão recta as curvas correspondentes ao Método de Referência e ao Método de Clough &

Penzien não coincidem com os pontos obtidos pelo método do EC8. Esta situação deve-se ao

facto de os dois primeiros terem como base a aplicação de acelerogramas e o método proposto

pelo EC8 se basear num espectro de resposta (assunto já discutido em 5.3.1.). Por outro lado,

a amostragem de acelerogramas utilizada nos Métodos de Referência e de Clough & Penzien é

necessariamente diferente entre si, pelo que também se justifica a diferença dos seus

resultados nas situações de flexão recta.

Analisando em primeiro lugar o Método de Referência individualmente, reforçam-se algumas

das conclusões já retiradas em 5.3.1, nomeadamente: (i) a redução do valor do coeficiente de

comportamento em momento para direcções de actuação do sismo não coincidentes com as

direcções principais de inércia da secção transversal, e (ii) o agravamento dessa redução para

pilares com maior diferença de inércias principais. Nas figuras 5.4 a 5.8, os coeficientes de

comportamento em momento para uma dada direcção podem ser visualizados através da

distância entre as envolventes linear e não linear. No entanto, deve ter-se em conta que a

envolvente não linear obtida por este método coincide, em teoria, com a envolvente de rotura

da secção transversal, pelo que seria mais correcto avaliar nas figuras os coeficientes de

comportamento a partir destas curvas. Nos exemplos correspondentes às secções

quadrangular e circulares, em que todas as direcções são direcções principais de inércia, a

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Mz/

Mzr

d

My/Myrd






EC8 - Linear

EC8 - Não Linear

Env. Rotura

Aprox. Linear

M/Mrd = 2,0

127

envolvente não linear apresenta-se bastante próxima da correspondente envolvente de rotura,

e os pontos obtidos correspondentes a flexão desviada (tanto linear como não linear)

apresentam-se bem distribuídos nos gráficos, concluindo-se que através das três direcções

intermédias escolhidas para os acelerogramas se conseguiu obter uma boa estimativa das

envolventes de momentos. Já no caso dos pilares com secção rectangular, em que o efeito da

flexão desviada é mais acentuado, considera-se que os pontos obtidos são insuficientes para

traçar correctamente a curva não linear, apesar de serem suficientes para definir a envolvente

linear. De forma a garantir a representatividade das curvas para estes dois exemplos seria

necessário considerar análises para mais direcções de actuação de sismo, nomeadamente

entre 0 e 30º na secção 5mx1m e entre 0º e 45º na secção 5mx2mx0,4m, de modo a se

obterem mais pontos das curvas e melhor distribuídos. Analisando ainda as curvas obtidas

para o Método de Referência, verifica-se existir alguma correlação das envolventes

provenientes de análises lineares com uma recta, o que pode ser interessante do ponto de

vista da aplicação em projecto, uma vez que para estudar este problema bastaria determinar a

envolvente de rotura da secção transversal para representar a envolvente não linear e escolher

uma recta adequada para representar a envolvente linear. De qualquer forma, parece evidente,

por comparação das envolventes lineares com a curva circular de raio igual a 2,0, que os

coeficientes de comportamento em situações de flexão desviada baixam de valor devido a uma

diminuição dos momentos provenientes de análises lineares nessas situações.

Note-se que, do ponto de vista da verificação de segurança, e tendo em conta o andamento

obtido para as envolventes lineares de cada um dos exemplos estudados, dividindo as mesmas

pelo coeficiente de comportamento pré-definido (neste caso igual a 2,0), obter-se-ia uma curva

correspondente a momentos actuantes interior à envolvente de rotura, pelo que a secção

verificaria a segurança para qualquer direcção do plano. Deve ter-se em conta que esta

afirmação só é válida para situações em que a orientação dos pilares é tal que as suas

direcções principais de inércia coincidem com as direcções principais de frequência da ponte,

condição que foi imposta em todos os exemplos estudados. Assim sendo, pode concluir-se

que, numa situação em que os pilares estão orientados com as suas direcções principais de

inércia coincidentes com as direcções dos principais modos de vibração da ponte, como no

caso de pontes rectas, é conservativo dimensionar o pilar para resistir a sismos isolados

segundo as suas direcções principais de inércia para um dado coeficiente de comportamento.

No entanto, uma conclusão contrária é aplicável em situações em que as direcções dos

principais modos de vibração da ponte não coincidem com as direcções principais de inércia

dos pilares, como por exemplo no caso de pontes curvas. Neste último caso, o

dimensionamento das secções para resistir a sismos segundo os eixos principais de inércia

com um dado coeficiente de comportamento não permite verificar a segurança em direcções

não coincidentes com as direcções principais de inércia.

Através da análise dos resultados obtidos para os dois métodos simplificados, e tendo como

referência os resultados do método de aplicação de sismos segundo várias direcções, verifica-

se que os dois primeiros métodos são significativamente conservativos do ponto de vista da

128

estimativa dos momentos lineares e, por consequência, dos deslocamentos lineares, uma vez

que estes são proporcionais.

Relativamente ao método de Clough & Penzien, verifica-se que os dois pontos

correspondentes a flexão desviada não linear coincidem praticamente com a envolvente de

rotura da secção. No entanto, o efeito de flexão desviada conseguido é muito pequeno em

todos os casos, estando os pontos correspondentes à flexão desviada sempre muito próximos

dos correspondentes a flexão recta. Deste modo, conclui-se que este método não é adequado

para obter a envolvente não linear dos momentos. Tendo em consideração os valores dos

coeficientes de comportamento obtidos em 5.3.2., juntamente com a visualização das figuras

apresentadas anteriormente nesta secção, pode concluir-se que este método também não é

adequado para quantificar os coeficientes de comportamento de estruturas em flexão desviada.

Uma possível aplicação deste método seria o dimensionamento de estruturas a partir da

envolvente linear reduzida do coeficiente de comportamento. Através da visualização das

figuras 5.4 a 5.8, verifica-se que essa metodologia seria conservativa, uma vez que a curva

actuante reduzida, obtida dividindo a envolvente linear pelo coeficiente de comportamento,

contém pontos fora da envolvente de rotura da secção transversal, dimensionada para o

Método de Referência, o que significa que, se optasse por dimensionar a estrutura dessa

forma, o nível de esforços resistentes exigido seria superior. No entanto, para se utilizar esta

metodologia, é mais simples e prático utilizar o método proposto pelo EC8.

O método proposto pelo EC8 tem como pressuposto a existência de um coeficiente de

comportamento pré-definido que se pretende aplicar na redução dos momentos obtidos por

uma análise linear, para efeitos do dimensionamento de estruturas sujeitas a sismos. Este

método, como não implica a realização de análises dinâmicas ao longo do tempo, não permite

quantificar coeficientes de comportamento de estruturas. No entanto, e como se pode verificar

nas figuras 5.4 a 5.8, a sua aplicação é válida e conservativa no dimensionamento de

estruturas respondendo em flexão composta desviada. Este método é, até, em certos casos,

um pouco mais conservativo que o método proposto por Clough & Penzien, tendo como

vantagens ser mais simples de aplicar, uma vez que o volume de cálculos é muito menor, e

não depender da amostragem de acelerogramas utilizada.

Assim sendo, conclui-se que, para efeitos de dimensionamento de estruturas sujeitas a sismos,

os dois métodos simplificados são conservativos na perspectiva da determinação de momentos

actuantes não lineares a partir da redução dos lineares através de um coeficiente de

comportamento pré-definido. No entanto, é preferível utilizar o método do EC8, uma vez que é

de mais fácil aplicação. Para efeitos da estimativa dos deslocamentos também se verifica ser

conservativo utilizar qualquer um dos métodos simplificados, reforçando-se a boa aplicabilidade

do método do EC8. No caso de se pretender quantificar o coeficiente de comportamento de

uma estrutura associado a uma determinada direcção de actuação de sismo, é necessário

utilizar o Método de Referência, pois é o único que traduz correctamente o comportamento

linear e não linear de uma estrutura em flexão composta desviada.

129

6. Conclusões e desenvolvimentos futuros

Apresentam-se neste capítulo as principais conclusões desta dissertação, assim como

propostas de eventuais desenvolvimentos futuros que poderão ser realizados no seguimento

deste trabalho.

O dimensionamento de uma ponte sujeita à acção sísmica deve ser efectuado de modo a que

não dependa da sua orientação espacial, uma vez que a acção sísmica, dada a sua natureza,

não tem direcções preferenciais. Deste modo, a forma mais rigorosa de se verificar a

segurança de pilares de pontes consiste em efectuar a análise para todas as direcções

possíveis da acção no plano horizontal.

Tendo como objectivo a realização do estudo do comportamento sísmico de pilares de betão

armado de pontes em flexão composta desviada e avaliar a sua resistência quando sujeitos a

acções sísmicas em qualquer direcção, desenvolveu-se um modelo analítico para o cálculo

fisicamente não linear de secções de betão armado em flexão composta desviada.

O modelo anteriormente referido permitiu a determinação das relações esforço-deformação de

uma secção genérica bi-simétrica para uma dada história de carregamento (ou deformação)

pré-definida, tendo como objectivo a sua aplicação ao caso da acção sísmica num pilar.

Estudaram-se, mais especificamente, as metodologias inerentes à determinação das relações

momento-curvatura para os casos de (i) esforço normal e uma das componentes de momento

constantes e (ii) esforço normal e direcção do vector momento constantes. Aplicando essas

metodologias a casos de secções reais de pilares de pontes, com níveis de esforço normal e

percentagens de armaduras correntes, verificou-se que, de uma forma geral, o nível de esforço

normal influencia significativamente o comportamento de secções de betão armado. A

existência de um valor moderado deste esforço em compressão afecta de forma positiva o

comportamento da secção, uma vez que permite um aumento da sua ductilidade e da sua

resistência. A sua presença permite ainda um aumento da rigidez da secção, tanto maior

quanto maior for o esforço axial aplicado. Verificou-se, também através deste modelo, que o

comportamento de uma secção numa direcção é significativamente influenciado pela presença

de esforços (ou deformações) na direcção perpendicular. A existência destes esforços na

direcção perpendicular provoca simultaneamente uma redução da rigidez e da resistência da

secção na direcção estudada, concluindo-se que a flexão desviada tem um efeito desfavorável

no comportamento da secção.

O conhecimento das envolventes de rotura e de cedência de secções é, tal como o

conhecimento das relações esforço-deformação, de grande importância para a quantificação

da rigidez e da resistência de pilares. A partir do conhecimento destas superfícies é possível

aferir os esforços resistentes e de cedência de secções sem haver a necessidade de conhecer

a história de carregamento ou deformação, como acontece no caso das relações momento-

curvatura. Por esse motivo, também se desenvolveu na presente dissertação uma metodologia

130

para a determinação dos diagramas de interacção de rotura e de cedência em situações de

flexão composta desviada. Aplicando essas metodologias a casos de secções reais de pilares

de pontes, com níveis de esforço normal e percentagens de armaduras correntes, reforçaram-

se algumas das conclusões retiradas previamente através do estudo das relações momento-

curvatura, nomeadamente (i) o efeito favorável de um esforço normal de compressão

moderado no valor dos esforços resistentes e de cedência da secção e (ii) o efeito desfavorável

da flexão desviada no comportamento da secção, quando comparado com o comportamento

que se obtém numa situação de flexão recta.

Com base nas metodologias desenvolvidas para a análise de secções, determinou-se a rigidez

efectiva, definida de acordo com o EC8-2 e associada a uma direcção qualquer, para efeitos de

uma posterior aplicação em análises sísmicas lineares equivalentes. Nessa fase efectuou-se

um estudo da influência da direcção considerada no valor da relação entre a rigidez efectiva e

a rigidez elástica de vários tipos de secções, tendo-se verificado que, no caso de secções

poligonais, essa relação sofre um ligeiro aumento em direcções próximas da vizinhança dos

vértices. Por outro lado, no caso de secções de revolução verificou-se que essa relação não é

influenciada pela direcção, uma vez que as propriedades da secção não dependem da

direcção. Em todos os casos verificou-se que os valores da rigidez efectiva são da ordem de

30% dos valores da rigidez elástica, valor que pode ser utilizado em projecto de pilares de

pontes para níveis de esforço normal correntes (푣 ≈ 0,2).

Outro aspecto que merece referência relativamente à análise de secções de betão armado

consiste na diferença verificada entre as inclinações do vector momento (훼) e da linha neutra

(훽) em problemas não lineares de flexão composta desviada. Após avaliação das situações de

rotura em todas as direcções para vários tipos de secções, concluiu-se que uma maior

diferença nas propriedades da secção em cada direcção principal de inércia origina uma maior

divergência entre os ângulos 훼 e 훽, verificando-se que em certos casos o ângulo 훽 − 훼 pode

tomar valores não desprezáveis. Por outro lado, verificou-se que estes dois ângulos

permanecem iguais sempre que a solicitação ocorra segundo um eixo de simetria da secção, o

que se justifica pelo facto de se tratar de situações de flexão recta.

Utilizando as metodologias desenvolvidas para a análise fisicamente não linear de secções de

betão armado para caracterizar o comportamento de rótulas plásticas, desenvolveu-se um

modelo de análise sísmica não linear de pilares que considera a possibilidade da acção

sísmica actuar em qualquer direcção horizontal. Com base neste modelo foi possível analisar o

comportamento de pilares funcionando em flexão composta desviada. Para efeitos da

quantificação de coeficientes de comportamento considerou-se também a possibilidade de

utilizar o mesmo modelo para realizar análises sísmicas lineares, de acordo com a metodologia

proposta no EC8-2.

Relativamente ao modelo de análise dinâmica não linear, e para se ter em consideração a

possibilidade de actuação de sismos em qualquer direcção, o pilar foi modelado como um

131

oscilador de dois graus de liberdade, mais especificamente uma barra rígida ligada à base

através de uma mola bi-dimensional com comportamento não linear. As condições de apoio do

pilar foram tidas em consideração no comprimento de pilar a atribuir para cada direcção.

Para que as conclusões a retirar das análises sísmicas não lineares sejam aplicáveis às

situações de projecto respeitando as disposições regulamentares, nomeadamente os

eurocódigos, considerou-se uma relação constitutiva para o betão que permita estimar, da

melhor forma possível, simultaneamente a deformabilidade real e o valor de cálculo da

capacidade resistente das secções. Propôs-se, para esse efeito, uma relação do tipo bi-linear

(elástica perfeitamente plástica), em que o primeiro troço é linear com uma tangente igual ao

valor médio do módulo de elasticidade do betão aos 28 dias de idade (퐸 ) e o segundo troço é

horizontal com um valor igual a 95% da resistência à compressão do betão até se atingir o

valor da extensão última do betão. Verificou-se que essa relação constitutiva é adequada para

estimar a capacidade resistente de secções, uma vez que os valores obtidos com essa relação

constitutiva são muito próximos dos valores obtidos pela relação parábola-rectângulo do EC2

(proposta pelo regulamento para as verificações dos Estados Limites Últimos de resitência).

Verificou-se também que a relação constitutiva proposta é suficientemente adequada para

estimar a deformabilidade real de secções, uma vez que as relações momento-curvatura que

se obtêm com esta relação constitutiva são praticamente coincidentes com as relações

momento-curvatura considerando a relação푘 − 휂 definida por valores médios.

Definidos os modelos de análise sísmica linear e não linear de pilares para qualquer direcção

do plano horizontal, efectuou-se o estudo da influência da bi-direccionalidade da acção sísmica

adoptando-se como metodologia de análise a aplicação de acelerogramas segundo várias

direcções (adoptado como método de referência). Este procedimento foi aplicado em cinco

exemplos de pilares de pontes distintos pelo tipo de secção transversal (rectangular compacta

5mx1m, rectangular oca 5mx2mx0,4m, quadrangular compacta 2mx2m, circular compacta

D=2m e circular oca De=3m, Di=2m). Cada um destes pilares foi dimensionado para apresentar

uma frequência própria de vibração próxima de 1,0Hz na direcção y (direcção de maior inércia)

e de 0,7Hz na direcção z (direcção de menor inércia) e para resistir a sismos isolados em cada

uma das direcções principais de inércia, segundo uma análise linear por espectro de resposta,

com coeficientes de comportamento 푞 = 2,0 em cada direcção principal. Através da análise

dos resultados obtidos por este método, verificou-se, de um modo geral, uma redução do valor

do coeficiente de comportamento em momento quando a direcção de actuação do sismo não

coincide com as direcções principais de inércia da secção transversal do pilar. Verificou-se

ainda que essa redução é tanto maior quanto maior for a diferença entre os valores das

inércias principais da secção. Relativamente aos coeficientes de comportamento em

deslocamento, verificou-se que o seu valor é, de uma forma geral, próximo da unidade, sendo,

na maioria dos casos, ligeiramente superior. Verificou-se ainda que esse valor praticamente

não é influenciado pelo efeito bi-direccional do sismo.

132

Do ponto de vista da verificação da segurança, concluiu-se, também através dos resultados

obtidos pelo Método de Referência, que nas situações em que os pilares estão orientados com

as suas direcções principais de inércia coincidentes com as direcções dos principais modos de

vibração da ponte, como acontece no caso de pontes rectas, é conservativo dimensionar o pilar

para resistir a sismos isolados apenas segundo as suas direcções principais de inércia para um

dado coeficiente de comportamento. Por outro lado, quando as direcções dos principais modos

de vibração da ponte não coincidem com as direcções principais de inércia dos pilares, como

acontece por exemplo no caso de pontes curvas ou enviesadas, o dimensionamento dos

pilares para resistir a sismos apenas segundo os eixos principais de inércia com um dado

coeficiente de comportamento não permite verificar a segurança em direcções não

coincidentes com as direcções principais de inércia, sendo necessário efectuar análises em

flexão composta desviada.

Através da comparação dos resultados obtidos por métodos simplificados (EC8 e Clough &

Penzien) com os resultados obtidos pelo método de aplicação de sismos segundo várias

direcções (Método de Referência), verificou-se que os dois primeiros conduzem a valores

conservativos quando utilizados para a determinação de momentos actuantes a partir da

redução dos momentos lineares através de um coeficiente de comportamento pré-definido,

sendo também conservativos na estimativa dos deslocamentos. No entanto, é preferível utilizar

o método proposto no EC8, uma vez que envolve um menor volume de cálculos e é de mais

fácil aplicação. No caso de se pretender quantificar o coeficiente de comportamento de uma

estrutura associado a uma determinada direcção de acutação de sismo, verificou-se ser

necessário utilizar o Método de Referência, pois é o único que traduz correctamente o

comportamento linear e não linear de uma estrutura em flexão composta desviada.

Como desenvolvimento futuro sugere-se, em primeiro lugar, um refinamento do modelo para a

realização de análises não lineares. O modelo desenvolvido e apresentado nesta dissertação

baseia-se em algumas hipóteses simplificativas que podem ser corrigidas em estudos futuros.

Como exemplo dessas hipóteses salienta-se a não consideração do confinamento do betão,

que, como se sabe, tem uma influência significativa no comportamento da secção,

nomeadamente ao nível da resistência e principalmente da ductilidade. Outro aspecto que

poderia reforçar a qualidade do modelo consiste numa melhor definição da relação constitutiva

do aço, por exemplo através da consideração (i) do endurecimento na primeira excursão, (ii) do

efeito de Baushinger e redução do módulo de elasticidade na zona não elástica e (iii) do

endurecimento cíclico isotrópico. Por excursão entende-se um troço do diagrama 휎 − 휀 entre

pontos de inversão do sentido da deformação. O efeito de Baushinger consiste no facto de se

verificar que um elemento de aço, previamente tracionado até atingir a fase de endurecimento,

quando é posteriormente comprimido, o troço não elástico é atingido para uma tensão inferior à

de cedência. O endurecimento cíclico isotrópico consiste no aumento do valor da tensão em

ciclos posteriores a excursões em que tenham ocorrido deformações plásticas (Gomes, A. [1]).

Sugere-se por último a consideração dos efeitos geometricamente não lineares nas análises

133

sísmicas. Todas estas considerações traduzir-se-iam num comportamento mais real dos

modelos.

De forma a se poderem generalizar as conclusões apresentadas nesta dissertação, seria

interessante efectuar-se o estudo da influência da bi-direccionalidade da acção sísmica no

comportamento de pilares de pontes aplicado a outros exemplos, nomeadamente a pilares com

outras combinações de frequências próprias em y e z, dimensionados para outros coeficientes

de comportamento pré-definidos, outros níveis de esforço normal, e outras distribuições de

armaduras na secção (por exemplo diferentes armaduras em cada direcção principal). Sugere-

se ainda a aplicação de sismos do tipo 2 ao efectuar este estudo, para efeitos de comparação

com os resultados obtidos com sismos do tipo 1.

135

Bibliografia

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[9] – Virtuoso, F. & Mendes, P. (1994): “ Análise Linear ou Não Linear de estruturas de pontes sujeitas a Acções Estáticas e Dinâmicas”. Relatório Secção de Estruturas e Construção, Departamento de Engenharia Civil, Instituto Superior Técnico.

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[13] – EN1998-1 (2004). Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance – Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings. CEN.

[14] – EN1998-2 (2004). Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance – Part 2: Bridges. CEN.

[15] – fib Special Activity Group 5 (2011): “Model Code 2010”.

I

Anexos

II

Anexo 1 Resultados das análises – método de aplicação de acelerogramas segundo várias

direcções (Método de Referência)

Exemplo 1 - Secção rectangular compacta 5mx1m αsismo = 0º

sinal ML MNL uL uNL 1 31806 18018 0,0738 0,0801 2 27778 18016 0,0645 0,0678 3 40277 18057 0,0935 0,0659 4 32271 18017 0,0749 0,0592 5 38635 18027 0,0897 0,0767

média 34153 18027 0,0793 0,0699 αsismo = 30º


média 45444 39463 0,0635 0,0548 αsismo = 60º


média 115441 67499 0,0915 0,0889 αsismo = 79º


média 147899 76664 0,1147 0,1096 αsismo = 90º


média 153547 78242 0,1191 0,1160

III

Exemplo 2 - Secção rectangular oca 5mx2mx0,4m αsismo = 0º


média 74678 34290 0,0955 0,0691 αsismo = 45º


média 88695 60762 0,0857 0,0791 αsismo = 68º


média 133607 75756 0,1211 0,1198 αsismo = 79º


média 148046 79634 0,1329 0,1377 αsismo = 90º


média 153670 81120 0,1378 0,1487

IV

Exemplo 3 - Secção quadrangular compacta 2mx2m αsismo = 0º


média 50041 25769 0,0908 0,0803 αsismo = 22,5º


média 45674 25136 0,0845 0,0698 αsismo = 45º


média 40455 24900 0,0811 0,0659 αsismo = 67,5º


média 44657 25320 0,0990 0,0900 αsismo = 90º


média 50388 25756 0,1129 0,1008

V

Exemplo 4 - Secção circular compacta D=2m αsismo = 0º


média 32398 17561 0,0927 0,0897 αsismo = 22,5º


média 29259 17226 0,0873 0,0801 αsismo = 45º


média 25600 17193 0,0926 0,0850 αsismo = 67,5º


média 29711 17237 0,1253 0,1096 αsismo = 90º


média 34296 17548 0,1466 0,1310

VI

Exemplo 5 - Secção circular oca De=3m,Di=2m αsismo = 0º


média 66187 34845 0,0919 0,0872 αsismo = 22,5º


média 56709 34160 0,0812 0,0786 αsismo = 45º


média 49179 33622 0,0894 0,0909 αsismo = 67,5º


média 53023 34213 0,1180 0,1408 αsismo = 90º


média 61682 34934 0,1388 0,1624

VII

Anexo 2 Resultados das análises – método proposto por Clough & Penzien

Exemplo 1 - Secção rectangular compacta 5mx1m:

Linear y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z Mz,max My (Mz,max) Mz,max My,max Mz (My,max) My,max

1+2 31806 45190 31806 144523 9485 144523 3+4 40277 24187 40277 102361 1380 102361 5+6 38635 12444 38635 168713 8626 168713 7+8 39543 115337 39543 168817 20144 168817

9+10 38922 5215 38922 152200 2792 152200 média 37837 40475 37837 147323 8485 147323

55406 147567

Não Linear

y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z Mz,max My (Mz,max) Mz,max My,max Mz (My,max) My,max

1+2 18018 4293 17875 77817 878 78492 3+4 18057 967 17975 76206 116 77977 5+6 18027 5079 17981 77892 561 78586 7+8 18031 3952 17898 77733 90 77785

9+10 18032 1005 17930 77530 544 78273 média 18033 3059 17932 77436 438 78223

18191 77437

Linear y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z uy,max uy,max uz (uy,max) uy (uz,max) uz,max uz,max

1+2 0,0738 0,0738 0,0350 0,0220 0,1121 0,1121 3+4 0,0935 0,0935 0,0188 0,0032 0,0794 0,0794 5+6 0,0897 0,0897 0,0096 0,0200 0,1308 0,1308 7+8 0,0918 0,0918 0,0894 0,0467 0,1309 0,1309

9+10 0,0903 0,0903 0,0040 0,0065 0,1180 0,1180 média 0,0878 0,0878 0,0314 0,0197 0,1142 0,1142

0,0933 0,1159

Não Linear

y + 0z y + 0,85z 0,85y + z 0y + z uy,max uy,max uz (uy,max) uy (uz,max) uz,max uz,max

1+2 0,0801 0,0661 0,0418 0,0028 0,1302 0,1586 3+4 0,0659 0,0677 0,0027 0,0289 0,0771 0,0775 5+6 0,0767 0,0793 0,0105 0,0010 0,1200 0,0971 7+8 0,0625 0,0745 0,0191 0,0014 0,1082 0,0928

9+10 0,0675 0,0633 0,1088 0,0173 0,1282 0,1245 média 0,0705 0,0702 0,0366 0,0103 0,1127 0,1101

0,0791 0,1132

VIII

Exemplo 2 - Secção rectangular oca 5mx2mx0,4m:


1+2 72329 16487 72329 196929 14749 196929 3+4 78259 4031 78259 144468 11192 144468 5+6 72585 14504 72585 145182 16240 145182 7+8 72913 10388 72913 182642 18837 182642

9+10 88220 67760 88220 121983 3174 121983 média 76861 22634 76861 158241 12838 158241

80125 158761

Não Linear


1+2 34431 2698 34293 80405 1959 81181 3+4 34261 7505 33799 79939 719 80725 5+6 34180 6292 34101 80425 945 81296 7+8 34182 11272 33751 80802 2225 81466

9+10 34204 6644 33655 79927 2592 81184 média 34252 6882 33920 80300 1688 81170

34611 80317


1+2 0,0925 0,0925 0,0148 0,0189 0,1766 0,1766 3+4 0,1000 0,1000 0,0036 0,0143 0,1296 0,1296 5+6 0,0928 0,0928 0,0130 0,0208 0,1302 0,1302 7+8 0,0932 0,0932 0,0093 0,0241 0,1638 0,1638

9+10 0,1128 0,1128 0,0608 0,0041 0,1094 0,1094 média 0,0983 0,0983 0,0203 0,0164 0,1419 0,1419

0,1003 0,1429

Não Linear


1+2 0,0920 0,0907 0,0488 0,0220 0,2068 0,1547 3+4 0,0639 0,0666 0,0216 0,0041 0,1401 0,1048 5+6 0,0630 0,0769 0,0099 0,0108 0,1531 0,1677 7+8 0,0593 0,0755 0,0312 0,0006 0,1783 0,1863

9+10 0,0665 0,0870 0,0815 0,0282 0,1423 0,1566 média 0,0689 0,0793 0,0386 0,0131 0,1641 0,1540

0,0882 0,1646

IX

Exemplo 3 - Secção quadrangular compacta 2mx2m:


1+2 50936 901 50936 57110 14499 57110 3+4 55335 7344 55335 33222 2741 33222 5+6 40815 12712 40815 57192 21764 57192 7+8 50184 2172 50184 56554 4261 56554

9+10 51310 15852 51310 54003 9685 54003 média 49716 7796 49716 51616 10590 51616

50324 52691

Não Linear


1+2 25754 3277 25373 25644 349 25770 3+4 25843 498 25568 25370 1043 25722 5+6 25772 2496 25333 25174 138 25866 7+8 25742 1741 25677 25563 7 25779

9+10 25735 980 25679 25632 398 25815 média 25769 1798 25526 25477 387 25790

25589 25480


1+2 0,0924 0,0924 0,0020 0,0263 0,1279 0,1279 3+4 0,1004 0,1004 0,0164 0,0050 0,0744 0,0744 5+6 0,0741 0,0741 0,0285 0,0395 0,1281 0,1281 7+8 0,0911 0,0911 0,0049 0,0077 0,1267 0,1267

9+10 0,0931 0,0931 0,0355 0,0176 0,1210 0,1210 média 0,0902 0,0902 0,0175 0,0192 0,1156 0,1156

0,0919 0,1172

Não Linear


1+2 0,0749 0,0827 0,0735 0,0250 0,1253 0,1162 3+4 0,0960 0,0951 0,0152 0,0098 0,0813 0,0967 5+6 0,0931 0,0952 0,0347 0,0107 0,1074 0,1096 7+8 0,0907 0,0948 0,0437 0,0342 0,1085 0,0851

9+10 0,0757 0,1052 0,0095 0,0041 0,1076 0,1276 média 0,0861 0,0946 0,0353 0,0168 0,1060 0,1070

0,1010 0,1073

X

Exemplo 4 - Secção circular compacta D=2m:


1+2 32105 22911 32105 41467 7798 41467 3+4 34341 14482 34341 31684 2244 31684 5+6 25951 1543 25951 32342 3308 32342 7+8 30247 16890 30247 38733 8144 38733

9+10 34411 16063 34411 27454 9393 27454 média 31411 14378 31411 34336 6177 34336

34545 34887

Não Linear


1+2 17598 2231 17243 17457 720 17543 3+4 17580 2108 17196 17230 1774 17549 5+6 17538 1485 16945 17473 24 17549 7+8 17540 1020 17290 17406 1727 17561

9+10 17568 1942 17204 17323 676 17569 média 17565 1757 17176 17378 984 17554

17265 17406


1+2 0,0919 0,0919 0,0979 0,0223 0,1772 0,1772 3+4 0,0983 0,0983 0,0619 0,0064 0,1354 0,1354 5+6 0,0742 0,0742 0,0066 0,0095 0,1382 0,1382 7+8 0,0865 0,0865 0,0722 0,0233 0,1655 0,1655

9+10 0,0985 0,0985 0,0687 0,0269 0,1173 0,1173 média 0,0899 0,0899 0,0615 0,0177 0,1467 0,1467

0,1089 0,1478

Não Linear


1+2 0,0728 0,0879 0,0485 0,0276 0,1900 0,1672 3+4 0,1118 0,1101 0,0063 0,0129 0,0916 0,0973 5+6 0,0811 0,0811 0,0617 0,0191 0,1569 0,1373 7+8 0,0963 0,1015 0,0001 0,0293 0,1500 0,1397

9+10 0,1060 0,1034 0,0890 0,0429 0,1420 0,1482 média 0,0936 0,0968 0,0411 0,0264 0,1461 0,1379

0,1052 0,1485

XI

Exemplo 5 - Secção circular oca De=3m,Di=2m:


1+2 71486 39353 71486 74619 25929 74619 3+4 67251 38971 67251 66702 2407 66702 5+6 50201 38075 50201 74269 19453 74269 7+8 62629 38956 62629 74853 24799 74853

9+10 64990 23154 64990 59379 44591 59379 média 63311 35702 63311 69964 23436 69964

72684 73785

Não Linear


1+2 34752 2010 34445 34335 4922 35108 3+4 34884 2880 34014 34474 2863 34807 5+6 34757 4834 34085 34244 469 34909 7+8 34859 1853 34654 34743 2018 35063

9+10 34968 1163 34109 33338 456 34776 média 34844 2548 34261 34227 2146 34933

34356 34294


1+2 0,0993 0,0993 0,0885 0,0360 0,1679 0,1679 3+4 0,0934 0,0934 0,0877 0,0033 0,1501 0,1501 5+6 0,0697 0,0697 0,0857 0,0270 0,1671 0,1671 7+8 0,0870 0,0870 0,0876 0,0344 0,1684 0,1684

9+10 0,0903 0,0903 0,0521 0,0619 0,1336 0,1336 média 0,0879 0,0879 0,0803 0,0325 0,1574 0,1574

0,1191 0,1607

Não Linear


1+2 0,0709 0,0885 0,0944 0,0280 0,2031 0,2127 3+4 0,1005 0,1074 0,0479 0,0181 0,1458 0,1439 5+6 0,0782 0,0862 0,0672 0,0126 0,1563 0,1577 7+8 0,0991 0,1019 0,0136 0,0111 0,2110 0,1967

9+10 0,1080 0,1058 0,0795 0,0161 0,1505 0,1422 média 0,0913 0,0980 0,0605 0,0172 0,1733 0,1706

0,1151 0,1742

análise do comportamento sísmico de pilares de pontes em ... · momentos de confraternização e...

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