anÁlise dinÂmica bidimensional nÃo-linear fÍsica e ... · e os efeitos da não-linearidade ......

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 23, p. 61-93, 2005

ANÁLISE DINÂMICA BIDIMENSIONAL NÃO-LINEAR FÍSICA E GEOMÉTRICA DE TRELIÇAS DE AÇO E

PÓRTICOS DE CONCRETO ARMADO

Rogério de Oliveira Rodrigues1 & Wilson Sergio Venturini2

Resumo

Este trabalho trata da análise dinâmica bidimensional de treliças de aço e pórticos de concreto armado, onde estudam-se os efeitos da não-linearidade física desses materiais e os efeitos da não-linearidade geométrica de tais estruturas. Neste contexto, define-se a equação geral que descreve o comportamento de estruturas discretizadas por elementos finitos, utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais para estruturas em movimento. Para a integração temporal dessa equação, utiliza-se um método implícito de integração numérica, onde adota-se um processo previsor-corretor com auxílio das equações generalizadas de Newmark. Na análise da não-linearidade geométrica, define-se o campo de deformações através de uma função quadrática dos deslocamentos, que ocorrem ao longo de cada elemento finito, sendo que para treliças planas consideram-se todas as parcelas provenientes de tal relação e para pórticos planos desprezam-se os termos que contém produtos de parcelas de ordem superior. Para descrever a posição de equilíbrio do sistema estrutural ao longo do processo de integração numérica, utiliza-se a formulação Lagrangeana atualizada que resulta na dedução das matrizes de rigidez incrementais secante e tangente. Com relação à não-linearidade física do aço, elabora-se uma modelagem numérica através da utilização de um diagrama tensão x deformação bilinear, destacando-se os modelos cinemático, isotrópico e independente. Já para a não-linearidade física do concreto armado, elabora-se uma modelagem numérica através da utilização do modelo proposto pelo CEB, onde corrige-se o valor do momento de inércia em função do grau de fissuração do elemento. Esta modelagem contempla, também, o comportamento para carregamento cíclico e sua inversão. Para finalizar, apresentam-se exemplos numéricos com posterior análises qualitativa e quantitativa dos resultados. Palavras-chave: Dinâmica estrutural; comportamento não-linear.

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Rogério de Oliveira Rodrigues & Wilson Sergio Venturini


62

1 INTRODUÇÃO

A análise realista do comportamento estático e dinâmico de sistemas estruturais é, sem dúvida, um dos principais objetivos almejados pelo Engenheiro de Estruturas nas últimas quatro décadas.

Com a disseminação da informática ocorrida ao final da década de oitenta, e principalmente em função do aumento vertiginoso da capacidade de armazenamento, gerenciamento e processamento de dados aduzido pelos computadores de pequeno porte, o Engenheiro de Estruturas passa a ter acesso a equipamentos e programas computacionais que possibilitam uma análise estrutural baseada em modelos mais refinados, proporcionando um aumento da segurança e diminuição de custos dos projetos e das construções.

Atualmente, em função do avanço científico e tecnológico, a realização de análises dinâmicas não-lineares se torna cada vez mais premente, tendo em vista a necessidade de se simular, da forma mais realista possível, o comportamento estrutural de edificações e equipamentos existentes, tais como fundações aporticadas de máquinas, pontes rodoviárias e ferroviárias sujeitas à grandes deslocamentos, edifícios altos submetidos à ação do vento e estruturas em geral sujeitas à vibrações induzidas por abalos sísmicos.

Neste contexto, o presente trabalho tem por objetivo principal analisar o comportamento dinâmico de treliças planas de aço e pórticos planos de concreto armado, considerando-se as não-linearidades física e geométrica, através da implementação, de forma aprimorada, da formulação Lagrangeana atualizada para descrever a posição de equilíbrio de tais estruturas. Para a consideração da não-linearidade física dos materiais, utiliza-se uma relação tensão x deformação bilinear para elaborar os modelos físicos cinemático, isotrópico e independente para o aço e uma relação momento x curvatura proposta pelo CEB para o concreto armado.

2 EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA UM SISTEMA ESTRUTURAL DISCRETO

A equação do equilíbrio que governa a resposta dinâmica de um sistema estrutural discreto pode ser obtida utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais para estruturas em movimento, HENRYCH(1990), através da aplicação de um deslocamento virtual infinitesimal e cinematicamente compatível com o sistema analisado. Relacionando-se os deslocamentos genéricos dos pontos situados sobre o eixo de cada elemento com os seus respectivos deslocamentos nodais, através de funções de forma apropriadas, associando-se a deformação longitudinal com tais deslocamentos e utilizando-se o processo de expansão e acumulação para todo o sistema estrutural discreto, obtém-se, finalmente, a equação geral do movimento dada pelo sistema de equações fornecido pela equação (1), ARGYRIS et al.(1991).

( )~ ~ ~ ~ ~

M C F D FR E t ~ ~D D•• •+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= (1)

Análise dinâmica bidimensional não-linear física e geométrica de treliças de aço e pórticos...


63

onde “~

EF ” são os esforços externos dependentes apenas do tempo; “~

RF ” são as forças

restauradoras dependentes dos deslocamentos globais “~D ” e da relação tensão x

deformação; enquanto que “~M ” é a matriz de massas consistente e “

~C ” é a matriz de

amortecimento do tipo Rayleigh.

3 INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DO MOVIMENTO

Para a integração temporal da equação (1) pode-se utilizar o método implícito de Newmark, onde a idéia básica do método é dada pela previsão do valor das acelerações ao final do intervalo de tempo que se deseja conhecer. Com isso, aplicando-se as equações generalizadas de Newmark, pode-se prever, também, o valor dos deslocamentos e das acelerações ao final do mesmo intervalo de tempo. Na seqüência, utiliza-se um processo iterativo onde, ao final de cada iteração, faz-se uma correção nos valores dos deslocamentos e suas derivadas temporais, em função da última resposta encontrada. Quando for atingida uma determinada tolerância para o resíduo das forças dinâmicas, assume-se que os últimos valores obtidos estão corretos e inicia-se novamente o processo de integração para o próximo intervalo de tempo. Tal procedimento é ilustrado pela figura 1, onde pode-se visualizar de forma global todos os passos descritos anteriormente.



64

fornecer p / t e ~

0D= ⇒ ⇒•

0 0~

D ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

••−

•

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

0 0 01 0D M F C D F DE R

k n k ; n t= ⇒ = =1 o passos n t; ∆

~ ~

•• ••

= −k nD D 1 ; ( )~ ~ ~ ~

• • •• ••

= + − +− −k n n kD D D Dt t 1 11 γ γ∆ ∆

~ ~ ~ ~ ~k n n n kD D D D Dt t t= + + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +− − −

• •• ••

1 1 112

2 2∆ ∆ ∆β β

( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~R D F M D C D F Dk E k k R kn t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

•• •

∆

( )

~ ~

~

R D

F

k

E n t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⟨∆

ε

~ ~

~ ~

~~ ~ ~

M CF D

D D R Dt t

R k

kk k

1

βγ

β

∂

∂∆ ∆∆2 + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

~ ~ ~k k kD D D= + ∆ ;

~ ~ ~

• •

= +k k kD D Dtγ

β

∆∆ ;

~ ~ ~

•• ••

= +k k kD D Dt

12β

∆

∆

Figura 1 - Diagrama de blocos do método de Newmark.

4 NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA PARA TRELIÇAS PLANAS

Dado um sistema estrutural discreto em equilíbrio estático, formado por um conjunto de elementos contidos no plano (X,Y), as forças restauradoras de tal sistema e suas respectivas derivadas são obtidas, respectivamente, através da primeira e segunda derivações da energia de deformação em relação aos deslocamentos nodais, conforme mostram as equações (2) e (3).

~ ~RF D Dj

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

∂∂

U (2)

∂

∂ ∂ ∂∂~ ~

RF DD D Di i j

U⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

2

(3)

Neste trabalho, optou-se pela escolha da formulação Lagrangeana atualizada para descrever a posição de equilíbrio do sistema estrutural ao longo do processo de resolução numérica. Tal formulação preconiza que ao final de cada incremento de

V

F



65

carregamento deva ser feita uma atualização das coordenadas do sistema, através de uma sucessão de posições de equilíbrio conforme ilustra a figura 2, permitindo-se que o mesmo venha a ter grandes deslocamentos.

Figura 2 - Atualização de coordenadas para um elemento genérico.

Dessa forma, a energia de deformação de cada elemento, considerando-se o problema como sendo incremental, é dada pela equação (4).

( )e eU VE deV x

m= ∫ +12

21ε (4)

onde “m+1εx” é a deformação total do elemento ocorrida até a configuração de equilíbrio “m+1”.

Expressando-se a variação da deformação que ocorre durante o incremento “n”, tem-se que:

∆ x x xn m mε ε ε= −+1 (5)

onde “mεx” é a deformação total do elemento ocorrida até a configuração de equilíbrio “m”.

Substituindo-se a equação (5) na equação (4) e efetuando-se as operações matemáticas, obtém-se:

( )en

xn

xm

xm

x eU VE deV

= + +∫12

22 2∆ ∆ε ε ε ε (6)

Como “mεx” não depende dos deslocamentos ocorridos durante o incremento “n”, qualquer derivação em relação à esses deslocamentos se anula. Para incrementos suficientemente pequenos valem as simplificações impostas pela adoção de pequenas rotações, com isso pode-se reescever a expressão da energia de deformação em função das parcelas que contribuem na rigidez, CORRÊA(1991), como mostra a equação (7):

en

x em

xn

x eU V VE d E de eV V

= +∫ ∫12

2∆ ∆ε ε ε (7)

onde a primeira parcela fornecerá o acréscimo de energia ocorrido durante cada incremento “n” e a segunda parcela fornecerá a energia acumulada até a configuração de equilíbrio “m”, valendo a relação n=m+1.

0L

0y ,0v

0x ,0u 0O

0A 0B

2L=2A2B

1L=1A1B

1y ,1v 1x ,1u 1O

1A1θ0

Conf. equilíbrio 1

Conf. equilíbrio 0

2y ,2v 2x ,2u

2O 2θ0

Conf. equilíbrio 2 Incremento 1

Incremento 2

1B

2A

2B



66

Com o objetivo de ilustrar tal procedimento, apresenta-se a dedução das matrizes de rigidez para um elemento de barra simples, cujo campo de deformações é fornecido pela equação (8).

xu u u u

L Lε =−

+−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 1 2 1

212

(8)

Substituindo-se a equação (8) em (7) e efetuando-se o desenvolvimento matemático da mesma, obtém-se a energia de deformação de cada elemento em função da soma de cinco parcelas. Substituindo-se o resultado na equação (2), derivando-se cada uma das parcelas obtidas em relação aos deslocamentos nodais após a integração das mesmas e organizando-se o resultado na forma matricial, obtém-se a equação de equilíbrio do sistema dada por:

E AL

E AL

E AL

NL

NN

m m m

m

m

m

mm

n

n Euu f

1 11 1

12

3 33 3

13

32

32

32

32

1 11 1

2 2

2 2

1

2

1

−−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

+−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+

−−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎫⎬⎭

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= +

∆ϕ ∆ϕ∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

∆∆

~

(9)

Dessa forma, a matriz de rigidez secante de cada elemento fica definida pela equação (10), sendo que cada parcela corresponde aos termos que aparecem entre as duas primeiras chaves da equação (9).

n n n n nS Gk k k k k

~ ~ ~ ~ ~= + + +0 1 2

12

13

(10)

De forma análoga, a matriz de rigidez tangente é dada pela seguinte equação: n n n n n

T Gk k k k k~ ~ ~ ~ ~= + + +0 1 2 (11)

sendo que “ n k~0 ”, “ n k

~1”, “ n k

~2 ” e “ n

Gk~

” são as mesmas matrizes dadas em (9), ou

seja:

nm m m

m

mTk E AL

E AL

E AL

NL~

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 11 1

3 33 3

32

32

32

32

1 11 1

2 2

2 2∆ϕ ∆ϕ∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

(12) Convém ressaltar que neste procedimento a soma entre as matrizes de rigidez

elástica “ n k~0 ” e geométrica “ n

Gk~

” permanece constante durante todas as iterações

necessárias para a obtenção do equilíbrio, visto que as mesmas só dependem de parâmetros relativos à configuração de equilíbrio anterior. Já as matrizes de rigidez incrementais são atualizadas a cada iteração pelos acréscimos de deslocamentos que ocorrem durante a aplicação do incremento de carregamento, conforme ilustra a figura 3. Cabe ressaltar que este mecanismo também é válido para o cálculo da matriz de rigidez secante.



67

Figura 3 - Atualização da matriz de rigidez tangente para um elemento genérico. Efetuando-se o mesmo procedimento para o elemento de treliça plana, tem-se

que o campo de deformações é dado pela equação (13).

x uv u

ε = + +'' '2 2

2 2 (13), onde

uL

u u'= =−

ϕ 2 1 ; ( )

vL

v v'= =

−0

2 1θ ....(14)

Substituindo-se a equação (13) na equação (7) e promovendo-se o desenvolvimento matemático da mesma, obtém-se a energia de deformação de cada elemento em função da soma de nove parcelas. Derivando-se cada uma das parcelas obtidas em relação aos deslocamentos nodais após a integração das mesmas, substituindo-se o resultado na equação (2) após a igualdade entre as forças restauradoras e as forças externas e organizando-se o resultado na forma matricial, a matriz de rigidez secante de cada elemento fica definida pela equação (15).

n n n n n nS SN Gk k k k k k

~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + +0 1 2

12

13

(15)

onde

0y ,0v 0x ,0u

0A 0B

A’

1B

B’Conf. intermediária

Incremento 1

Conf. equilíbrio 0

1y ,1v 1x ,1u

1A 1θ0

∆1θ1

∆1θ2

Conf. equilíbrio 1

1 1 1

~ ~

*

~T incrementaisK K K= +

1 10

1 1

~ ~ ~ ~

*T GK K K K= + =

Iteração 1

Iteração 2

∆1u2

∆1u1 ∆1v1 ∆1v2



68

nm

nm

nm

k

k

k

E AL

E AL

E AL

~

~

~

0

1

2

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

3 3

3 3

32

03

20

03

20

32

32

03

0 0

0 0

0 0

0 0

2 2

02

02

2

=

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

− −− −

− −− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

−

−

−

∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆∆ ∆ϕ ∆ ∆ϕ∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆

∆ ∆ϕ ∆ ∆ϕ

∆ϕ ∆ϕ

∆ ∆

∆ϕ ∆ϕ

θ θθ θ

θ θθ θ

θ θ

2

02

02

02

0 02

0

02

02

02

0 02

0

02

02

20

03

20

32

4 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

− −

− −

− −

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥

∆ ∆

∆ ∆ϕ ∆ ∆ ∆ϕ ∆

∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆ϕ ∆ ∆ϕ

∆ ∆ϕ ∆ ∆ ∆ϕ ∆

∆ϕ ∆ ∆ϕ ∆ϕ ∆ ∆ϕ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

nmSNk E A

L~

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

nm

mGk NL~

=

−−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1 0 1 00 1 0 11 0 1 0

0 1 0 1

...(16)

De forma análoga, a matriz de rigidez tangente é dada pela seguinte equação:

n n n n n nT TN Gk k k k k k

~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + +0 1 2 (17)


~1”, “ n k

~2 ” e “ n

Gk~

” são as mesmas matrizes dadas em (16) e a

matriz nTNk~

” é dada por:

nmTNk E A

L~=

− −

− −

− −

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∆∆ϕ ∆

∆∆ϕ ∆

∆ϕ ∆∆ϕ

∆ϕ ∆∆ϕ

∆∆ϕ ∆

∆∆ϕ ∆

∆ϕ ∆∆ϕ

∆ϕ ∆∆ϕ

02

00

2

0

0

2

0

2

02

00

2

0

0

2

0

2

2 2

2 2

2 2

2 2

θ θ θ θ

θ θθ θ θ θ

θ θ

(18)

Analogamente para o elemento de pórtico plano, tem-se que o campo de deformações é dado pela equação (19).



69

xL

uL

vy v

uy uε = + − + −∫'

'' '

'' ' '

12 2

2

0

2

dx v (19), onde

uL

du u' ' ' '= =−

= + + =ϕ 2 1 22 3 2 ; v e x f x ; v e + 6 f x ....(20), sendo

( ) d ; e ; f ; = =

− − +=

+ −=

−1

1 2 0 1 2 02 0

2 12 3 2θ

θ θ θ θ θ θθL L L

v v

....(21) Substituindo-se a equação (19) na equação (7) e promovendo-se o

desenvolvimento matemático da mesma, obtém-se a energia de deformação de cada elemento em função da soma de vinte parcelas. Derivando-se cada uma das parcelas obtidas em relação aos deslocamentos nodais após a integração das mesmas, substituindo-se o resultado na equação (2) após a igualdade entre as forças restauradoras e as forças externas e organizando-se o resultado na forma matricial, a matriz de rigidez secante de cada elemento fica definida pela equação (22).

n n n n n n nS SN SF Gk k k k k k k

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + + +0 1 2

12

13

(22)

onde

n

m m

m m

m

m

k

L L L L

L

L L

EAL

EAL

EI EI EI EI

EIL

EI EIL

EAL

EI EI

simEIL

m m m m

m

m m

~

.

0

0 0 0 0

12 60

12 6

40

6 2

0 0

12 6

4

3 2 3 2

2

3 2

=

−

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

n

m m m m

m m m

m m

m m

m

m

k E A

L L L L

L L LL L

L L

L

simL

E I ~

.

1

3

10 303

10 306

5 10 10

6

5 102

15 30 10 303

10 306

5 102

15

012

1 2 3 1 2 4

1 1 2 1 1

1 3 1 1

1 2 4

1 1

1

=

− − − −

−

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

+

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

113

122

113

132

13

12

113

13

12

1 122

12

1

113

132

13

12

1

60

12 6

12 6 12 12 6

4 6 6 2

012 6

12 6

4

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

m m m m

m m m m m

m m m m

m m

m m

m

L L L L

L L L L L

L L L L

L L

L L

simL

−

− −

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.

(23a)



70

n

m m

m m

m m

m

m

m

k E A

L L

L LL L

L

Lsim L

~

.

2

2 2

2

3

20 0

3

20 0

0

0

3

20 0

1 1

56

57

8 6 9

1

57

10

=

−

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

ϕ ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ ϕ ϕϕ

ϕϕ

ϕ

~

.

nSN E A

mL mL

mL mL mLmL mL

mL

mL

simmL

k =

− − − −

−

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

142

40 13

120 1 142

40 14

120 1

6 120 1

140 1

240 1

6 120 1

140 1

130 1

3120 1

140 1

1120 1

142

40 14

120 1

6 120 1

140 1

130 1

ϕϕ

ϕϕ

ϕ ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

n

m m m m m m

m m m m m

m m m m

m m m

SFk E I

L L L L L L

L L L L L

L L L L

L L L

~=

− −

− −

− −

−2

12 12 6 12 12 6

12 6 12 12 6

4 6 6 2

12 12 6

153

113

122

153

1 113

1 132

1

2

31

2

21 11

31

2

31

2

2

1

2

1 122

1

2

21

2

153

113

1 132

1 1

1

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

12 6

4

1

2

31

2

2

1

2

ϕ ϕ

ϕm m

m

L L

simL

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

.

n m

m m

m m

m m

m

m

m

Gk N

L L

L LL L

L

L

simL

~

.

=

−

−

− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

10 0

10 0

65

110

06

51

10215

01

10 301

0 0

65

110

215

...(23b) sendo



71

( )

1

2 1 2 0

3 1 2 0

4 1 2 0

5 12

22

1 2 1 0 2 0 02

6 12

22

1 2 1 0 2

1 2

4 3

4 3

11 0 0

9 9 2 3 6 3 6 2 1 6

13 0 0

6 2 5 4 6

ϕϕ θ θ θϕ θ θ θϕ θ θ θ

ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

ϕ θ θ θ θ θ θ θ

=

= + −

= − −

= − + −

= + − − − +

= + + − +

∆ ϕ

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆

n n

n n

n n

n n n n n

n n n n n n

n

( )( )( )

0 02

7 12

22

1 2 1 0 2 0 02

8 12

22

1 2 1 0 2 0 02

9 12

22

1 2 1 0

5 4

13 0 0

6 2 6 5 4 5 4

13 0 0

8 3 4 1 2 2 2 7

13 0 0

2 2 6 2 2

θ θ



ϕ θ θ θ θ θ θ

+

= + + + − +

= + − − − +

= − − + − −

∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n( )( )

2 0 02

1 0 12

22

1 2 1 0 2 0 02

1 11 2

0

1 21 2

0

1 31 2

0

1 43

14

22

0

3

13 0 0

3 8 4 2 1 2 2 7

2 22

3 3

32

3

1 2 0 1 2 0 4 0

θ θ θ


ϕ θ θ θ

ϕ θ θ θ

ϕ θ θ θ

ϕϕ

θϕ

θϕ

∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆∆

∆ ∆∆

∆ ∆∆

∆ ∆ ∆

−

= + − − − +

= − − +

= − − +

= − − +

= + −

n n n n n n

n n

n n

n n

mn

mn

mL L L θ

ϕϕ

θϕ

θ ϕ θ1 51 2

11 3

2 1 1 02 2= − − +∆ ∆ ∆n n ...(24) De forma análoga, a matriz de rigidez tangente é dada pela seguinte equação:

n n n n n n nT TN TF Gk k k k k k k

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + + +0 1 2 (25)


~1”, “ n k

~2 ” e “ n

Gk~

” são as mesmas matrizes dadas em (23) e as

matrizes “ nTNk~

” e “ nTFk~

” são dadas por:

n E A

L L

L L LL L

L

L

simL

TN

m m

m m mm m

m

mm

k~

.

=

− − − −

−

− −

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

142 210 1

330 1 142 2

10 14

30 1

6 110 1

120 1

210 1

6 110 1

120 1

115 1

330 1

120 1

160 1

142 210 1

430 1

6 110 1

120 1

115 1

ϕϕ

ϕϕ

ϕ ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥



72

n

m m m m m m

m m m m m

m m m m

m m m

TFk E I

L L L L L L

L L L L L

L L L L

L L L

~=

− −

− −

− −

−2

24 48 24 24 48 24

24 12 48 24 12

8 24 12 4

24 48 24

153

113

122

153

1 113

1 132

1

2

31

2

21 11

31

2

31

2

2

1

2

1 122

1

2

21

2

153

113

1 13

1 1

1

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ2

1

2

31

2

2

1

2

24 12

8

ϕ ϕ

ϕm m

m

L L

simL

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

.

...(26)

5 MODELO FÍSICO NÃO-LINEAR PARA O AÇO

Para introduzir a não-linearidade física na análise de estruturas treliçadas de aço sujeitas à ações dinâmicas, faz-se necessário a implementação numérica de modelos com endurecimento linear para carregamentos cíclicos, tais como os modelos cinemático, isotrópico e independente, através do desenvolvimento de equações matemáticas que simulem o comportamento estrutural do aço e da criação de um algoritmo computacional adequado que armazene toda a história anterior da relação tensão x deformação dos elementos estruturais.

Para o desenvolvimento de tais equações admite-se que um elemento seja solicitado por um acréscimo de tensão “∆σr”, de tal forma que haja uma alteração no comportamento estrutural definida pela passagem do regime de trabalho elástico para o regime de trabalho plástico. A figura 4 ilustra tal procedimento através do gráfico tensão x deformação, onde a tensão atuante na iteração “r” ultrapassa a tensão de escoamento “σy

r-1” da iteração anterior “r-1”.

Figura 4 - Variação incremental da tensão e deformação para o caso unidimensional.

Da figura 4 obtém-se diretamente as seguintes relações: ∆ r r r -1ε ε ε= − (27)

∆ ∆r r

E E σ ε= (28) r r -1 r

E Eσ σ σ= + ∆ (29) r r -1 rσ σ σ= + ∆ (30)

σ

σEr

R∆σEr

∆σEr

(1-R)∆σEr

σr ∆σr σy

r-1

εyr-1

σr-1

εr

∆εr

εr-1

ε

A

B C

O

ET

1

E1



73

onde “∆εr” é a variação da deformação ocorrida durante a iteração “r”; “εr” é a deformação final da iteração “r”; “εr-1” é a deformação final da iteração “r-1”; “∆σE

r” é a variação da tensão elástica ocorrida durante a iteração “r”; “σE

r” é a tensão elástica final da iteração “r”; “σr-1” é a tensão final da iteração “r-1”; “σr” é a tensão final da iteração “r”; “∆σr” é a variação da tensão ocorrida durante a iteração “r”.

Calculando-se o valor de “∆σr”, tem-se:

( ) ( )∆ r r r -1 r -1 r -1σ σ σ σ σ= − + −y y (31)

ou, simplesmente,

( ) ( )∆ ∆r r r -1 rσ σ σ σ= − + −y ER1 (32)

Aplicando-se a lei de Hooke na equação (32), obtém-se:

( ) ( )∆ ∆r r r -1 rσ ε ε ε= − + −y TE R E 1 (33)

Por semelhança de triângulos, tem-se:

∆

∆ ∆

r

r

r r-1

rεσ

ε εσE

y

ER =

− (34)

ou, simplesmente, r r -1 rε ε ε− =y R ∆ (35)

Substituindo-se a equação (35) na equação (33), obtém-se: ( )∆ ∆ ∆r r rσ ε ε= + −R R E TE 1 (36)

Portanto, para a obtenção da tensão “σr” substitui-se a equação (36) na equação (30), resultando:

( )r r -1 rσ σ ε= + − +E E R RTE ∆ (37) Calculando-se, agora, a variação da deformação plástica “∆εP

r” ocorrida durante a iteração “r”, tem-se:

r r r∆ ∆ ∆P Eε ε ε= − (38) Aplicando-se a lei de Hooke na equação (38), obtém-se:

r rr

∆ ∆∆

P Eε ε σ= − (39)

Substituindo-se a equação (36) em (39) e rearrumando-se os termos, encontra-se:

r r∆ ∆P RE

ETEε ε=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (40)

Resta, agora, definir o valor do fator de redução “R”, que é dado pela relação entre a reta “A-B” e a reta “B-C” da figura 4, logo:

RABBC

E y

E= =

−r r -1

rσ σ

σ∆ (41)

Na seqüência, destacam-se os dois casos particulares que podem ocorrer em função dos valores da tensão final “σr-1” e do acréscimo de tensão “∆σr”. O primeiro caso particular é mostrado pela figura 5, onde a tensão “σr” não ultrapassou a tensão de escoamento.



74

Figura 5 - Variação incremental da tensão no regime elástico.

Neste caso, a tensão "σr" é dada pela equação (42): r r -1 rσ σ ε= + E ∆ (42)

sendo que a variação da deformação plástica “∆εPr” é nula. Cabe ressaltar que fazendo-

se R=0 e substituindo-se nas equações (37) e (40), encontra-se o mesmo resultado já obtido.

O segundo caso particular é mostrado pela figura 6, onde a tensão “σr-1” já ultrapassou a tensão de escoamento.

Figura 6 - Variação incremental da tensão no regime plástico.

Neste caso, a tensão “σr” é dada por: r r -1 rσ σ ε= + TE ∆ (43)

Já a variação da deformação plástica “∆εPr” é dada pela equação(39), logo,

calculando-se o valor de “∆σr”, tem-se: ∆ ∆r rσ ε= TE (44)

Substituindo-se a equação (44) em (39) e rearrumando-se os termos, obtém-se: r r∆ ∆P

EE

TEε ε=−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ (45)

Analogamente ao primeiro caso, fazendo-se R=1 e substituindo-se nas equações (37) e (40), encontram-se as equações (43) e (45), respectivamente.

1

σ

σr

σ

∆σr

σr

σyr-1

∆σr

εyr-1

σyr-1

σr-1

εyr-1

εr

σr-1

∆εr

εr

εr-1

∆εr

ε

εr-1

ε

O

O

ET

1

ET

E

1

E1



75

Uma vez equacionado todo o problema e admitindo-se que sejam conhecidos o valor da tensão e o valor da deformação ao final da iteração “r-1”, pretende-se calcular o valor da tensão ao final da iteração “r” e, se houver, a respectiva variação da deformação plástica.

Calculando-se inicialmente o valor da deformação ao final da iteração “r”, obtém-se a variação da deformação ocorrida durante a iteração “r” e o valor dos demais parâmetros através das equações já descritas anteriormente.

Assim, com o valor de “∆εr”, pode-se obter o valor de “σr” e com isso calcular a força normal atuante no elemento em função da sua deformação.

A determinação da variação da deformação plástica é necessária para que se possa corrigir o valor do módulo de deformação longitudinal no transcorrer do processo incremental, uma vez que para variação não nula utiliza-se o módulo tangente.

Neste contexto, desenvolveu-se uma rotina de cálculo que é apresentada na figura 7 de maneira esquemática, onde é mostrada a seqüência de cálculos a serem executados para a obtenção dos parâmetros já mencionados.

Para a utilização da rotina de cálculo contida na figura 7 deve-se, na inicialização do processo de cálculo, zerar o valor de “εr-1” e de “σr-1” e, na seqüência, atribuir à tensão de escoamento máxima “σS

r-1” o valor de “σy0” e à tensão de escoamento mínima “σI

r-1” o valor de “σy0” com sinal negativo. A partir deste ponto, através da introdução do valor atualizado da deformação, calcula-se o valor de “σr” e de “∆εP

r” para o elemento em questão e, para finalizar, promove-se a atualização da deformação. Deve-se lembrar que todos os valores já mencionados são específicos para cada um dos elementos pertencentes ao sistema estrutural.



76

∆ r r r-1ε ε ε= −

∆ ∆r r

E E σ ε= r r-1 r

E Eσ σ σ= + ∆

alongamento V F en⇐ ⟩ ⇒∆ r curtamentoε 0

F V F V

R F V F V R

R = 0 R = R = 0 R =

r-1 r-1 r-1 r-1

r r-1 r r-1

r r-1

r

r r-1

r

⇐ ⟨ ⇒ ⇐ ≤ ⇒

= ⇐ ⟩ ⇒ ⇐ ⟨ ⇒ =

− −

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σσ

σ σσ

S I

E S E I

E S

E

E I

E

1 1

∆ ∆

( )r r-1 rσ σ ε= + − +E ER RTE ∆

para alongamento com R 0: para encurtamento com R 0:

p / end. cin. p / end. cin.

p / end. ind. p / end. ind.

p / end. isot. p / end. isot.

r r r r

r r r r

r r

r r r r

⟩ ⟩

= =

= − = +

= =

= − = −

S I

I S S I

I S

I S S I

y y

max I max S

σ σ σ σσ σ σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ

2 20 0

, ,

∆ ∆r r

PE

ERTEε ε=

−

r-1 rε ε= Figura 7 - Rotina de cálculo para não-linearidade física do aço.

Cabe ressaltar que nesta rotina é feita a separação do cálculo para os casos de

alongamento e encurtamento, tendo em vista a atualização das tensões de escoamento correspondentes à cada modelo de endurecimento e à utilização correta da equação que calcula o valor do fator de redução “R”.

6 MODELO FÍSICO NÃO-LINEAR PARA O CONCRETO ARMADO

O modelo proposto pelo CEB(1985) consiste no cálculo de uma curvatura média dada pela seguinte equação:

( )11

1 1 10

10

2 2m Nr r r r= − + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ξ ξ (46)

onde “1/rm” é a curvatura média para flexão combinada com força axial; “1/r1” é a curvatura total no Estádio Ia para flexão simples; “1/r2” é a curvatura total no Estádio II



77

para flexão simples; “1/r2N” é a curvatura devida ao efeito do momento fletor causado pela força normal atuando no centro geométrico da seção total no Estádio Ia e “ξ0” é o coeficiente de distribuição.

Dessa forma, uma vez calculada a curvatura média, pode-se calcular o momento de inércia médio “IM” através da seguinte equação:

M

m

CMI

rEM

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

(47)

Admitindo-se que sejam conhecidos o valor da força normal e o valor do momento fletor que atuam em um elemento finito qualquer, bem como as suas características geométricas, calcula-se o novo valor do momento de inércia que será utilizado no cálculo das forças restauradoras, em função da fissuração do concreto que ocorre no mesmo, através do algoritmo mostrado pela figura 8, sendo que tal algoritmo contempla o processo de carregamento e de descarregamento.

CALCULAR x1, x2, I1, I2, A1

CALCULAR Mr, M0, ξ0

ξ0=0 Mmáx=0 M>Mmáx I=I1 Descarregamento Descarregamento CALCULAR 1/r1, 1/r2, 1/r2N, 1/rm CALCULAR IM I= IM

Figura 8 - Diagrama de blocos para o modelo físico do CEB.

7 ANÁLISE NUMÉRICA

7.1 Exemplo T1

A estrutura treliçada deste exemplo é composta por apenas um elemento biapoiado, solicitada por uma força constante “F” com o tempo, conforme ilustra a figura 9.

F

V VF F

V



78

Figura 9 - Treliça constituída por apenas um elemento finito.

Efetuando-se uma análise dinâmica através da consideração da não-linearidade

física do material, o comportamento estrutural é ilustrado pelas figuras 10 e 11.

Figura 10 - Gráfico tempo x força do elemento “1” com ∆ t =0,5.10-4s.

Figura 11 - Gráfico tempo x deslocamento do nó “2” com ∆ t =0,5.10-4s.

A figura 10 mostra que o elemento “1” começa a trabalhar no regime elástico até atingir a tensão de escoamento. Neste instante, tal elemento passa a trabalhar no regime

2 F

Y

X

1

1

200,0 cm

D (cm)

0 80 n

0

Dmax=0,2138

80

t= n . 0,5.10-4 s

n

Fmax=15,0000

D=0,1189

t= n . 0,5.10-4 s

F=10,0 kN ω1=4478,4793 rad/s

A=1,0 cm2

E=21000,0 kN/cm2

ET=0,0 kN/cm2 γ=7,70.10-5 kN/cm3

σESC=15,0 kN/cm2

F (kN)

F=5,0325



79

plástico perfeito, pois ET=0,0 kN/cm2, até o início do processo de descarregamento. A partir deste ponto, o elemento “1” volta a trabalhar no regime elástico de forma permanente.

A figura 11 mostra uma alteração do comportamento da estrutura após a plastificação, pois a mesma não consegue retornar à sua posição de equilíbrio inicial, uma vez que a deformação plástica acumulada durante o processo de plastificação do elemento “1” é irreversível.

Cabe ressaltar que este resultado coincide com a resposta analítica obtida por CASTIGLIONI(1978), mostrando a eficácia do modelo não-linear físico elaborado.

7.2 Exemplo T2

A estrutura treliçada deste exemplo é composta por dois elementos, solicitada por uma força constante “F” com o tempo, aplicada no nó de união entre os elementos, conforme ilustra a figura 12.

Figura 12 - Treliça constituída por dois elementos finitos.

Efetuando-se uma análise dinâmica através da consideração das não-linearidade

física e geométrica, o comportamento estrutural é ilustrado pelas figuras 13 e 14.

Figura 13 - Gráfico tempo x força do elemento “1”.

3

Y

X

2 1

1

2

219,9704526 cm

F (kN)

127,0 cm

219,9704526 cm

0 7

46

F=431,7540 F=484,7539

F=174,4908 F=159,4031

D=5,2342 D=5,6904

F F=300,0 kN

ω1=1750,2745 rad/s A=6,4516 cm2

E=20684,271 kN/cm2

ET=5000,0 kN/cm2 γ=7,70.10-5 kN/cm3

σESC=24,0 kN/cm2

t= n . 1,0.10-4 s

80

F=152,5697

160

n



80

Figura 14 - Gráfico tempo x deslocamento do nó “1”.

Analisando-se o gráfico tempo x força da figura 13, percebe-se que ocorreu a plastificação do material nos intervalos de tempo n=7 e n=46, uma vez que houve uma alteração da curva durante o carregamento e o descarregamento inicial. Na fase de carregamento o material plastificou com uma variação de tensão igual ao valor da tensão de escoamento, sendo que na fase de descarregamento o material plastificou com uma variação de tensão igual ao dobro do valor da mesma tensão. Isto ocorreu em virtude da utilização do modelo físico cinemático, ilustrando o efeito Bauschinger de tal modelo na análise estrutural dinâmica. O gráfico tempo x deslocamento da figura 14 também mostra tal efeito, uma vez que a estrutura não consegue retornar à sua posição inicial e, da mesma forma, não consegue atingir o deslocamento máximo que ocorreu no intervalo de tempo n=34. Uma vez cessada as perdas por plastificação, o material volta a trabalhar no regime elástico de forma permanente.

7.3 Exemplo T3

Este exemplo é composto por uma treliça de banzos paralelos que reproduz a estrutura da viga principal de uma ponte metálica, cujos apoios estão situados nas extremidades do banzo inferior, conforme ilustra a figura 15, sendo as características físicas e geométricas de todos os elementos dadas por: A=1,0 cm2 ; E=21000,0 kN/cm2 ; ET=5000,0 kN/cm2 ; γ=7,70.10-5 kN/cm3 ; σESC=24,0 kN/cm2.

D (cm)

0

34 80

D=4,1999

160

n t= n . 1,0.10-4 s



81

Figura 15 - Viga principal de uma ponte metálica treliçada.

O carregamento desta estrutura é composto por uma força “F” com valor igual a

120,0 kN, produzida por um aparelho hipotético que se movimenta ao longo do tabuleiro que está situado no nível do banzo inferior da ponte. Como o tabuleiro é composto por vigas simples que se apoiam em transversinas situadas nos nós “1”, “2”, “3”, “4” e “5”, as forças aplicadas em cada um desses nós são dadas pelas respectivas reações de apoio de cada transversina, cujos valores serão alterados a cada incremento de tempo “ ∆ t ”, conforme trem-tipo mostrado na figura 16.

Figura 16 - Carregamento da viga principal da ponte treliçada.

Para a realização de uma análise dinâmica com amortecimento, deve-se, inicialmente, obter as freqüências naturais e os modos de vibração de tal estrutura, sendo que a figura 17 apresenta os dois primeiros modos de vibração com os respectivos valores das freqüências naturais.

2

Y

X

200,0 cm

1

4x200,0=800,0 cm

51

32 4 4 3

200,0 cm200,0 cm

60,0 kN

40,0 kN

20,0 kN 40,0 kN

20,0 kN

Movimento realizado a cada incremento de tempo

6 7

5

8

6

7 8 13 1211 10 9



82

Figura 17 - Primeiro e segundo modo de vibração da estrutura.

Com o valor calculado das duas primeiras freqüências naturais do sistema estrutural, pode-se obter as constantes de amortecimento do tipo Rayleigh para duas diferentes frações do amortecimento crítico, dadas pelas relações (48).

p

p

k

m

k

m

/, .

,

/, .

,

s

s

s

s

1 2

5

1

1 2

4

1

11 39 10

6 408

101 39 10

64 08

ξ ξ λλ

ξ ξ λλ

= = ⇒=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

= = ⇒=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

−

−

−

−

oo

oo

(48)

Estes valores permitem a realização de uma análise completa do comportamento estrutural da ponte, conforme resultados apresentados na tabela 1.

ω2=960,3259 rad/s ω1=480,8398 rad/s



83

Tabela 1 - Deslocamentos máximos obtidos no nó “3”, na direção global “Y”, em “cm”. DESLOC.: NÓ 3 ξi DIREÇÃO: Y GLOBAL ξ1=ξ2=0% ξ1=ξ2=1% ξ1=ξ2=10%

L -2,9019] - - ANÁLISE NLG -2,9222 - -

ESTÁTICA NLF -6,6110 - - DNL -6,7299 - - L +3,6857 +2,9420 +1,7249 -3,6104 -2,9763 -2,2122 NLG +3,6774 +2,9377 +1,7240

ANÁLISE -3,6179 -2,9943 -2,2315 DINÂMICA NLF +0,0527 +0,0503 +0,0333

-4,9039 -4,7529 -3,4703 DNL +0,0528 +0,0503 +0,0333 -4,9354 -4,7809 -3,4862

Obs: L - comportamento linear; NLG - comportamento não-linear geométrico; NLF - comportamento não-linear físico; DNL - comportamento duplamente não-linear;

Comparando-se os resultados obtidos via comportamento linear e não-linear geométrico, percebe-se que os deslocamentos máximos da análise dinâmica são superiores aos deslocamentos máximos da análise estática. Já quando se introduz o comportamento não-linear físico ocorre fenômeno oposto ao mencionado anteriormente. Embora não se tenha um padrão definido, deve-se ressaltar que na análise dinâmica tem-se inversão de deslocamentos, com conseqüente inversão de esforços nos elementos estruturais, logo, é indispensável este tipo de análise em problemas que tenham o carregamento variando com o tempo. Passando-se, agora, para a análise dos resultados como um todo, percebe-se que o efeito na não-linearidade geométrica é desprezível e que o efeito da não-linearidade física é significativo, para o problema em questão. Como não se pode prever quando tais efeitos sejam relevantes, é necessário que se processe todas as alternativas de análise, para que se possa avaliar o comportamento da estrutura de forma correta.

A tabela 1 apresenta, também, os valores dos deslocamentos máximos do nó “3” quando se consideram as duas frações de amortecimento já descritas anteriormente, com isso percebe-se que quanto maior forem os valores das frações do amortecimento crítico, menor serão os deslocamentos obtidos.

Para visualizar tal efeito, a figura 18 ilustra o comportamento da estrutura considerando-se dupla não-linearidade e taxa de amortecimento igual a ξ1=ξ2=10%. Analisando-se tal gráfico, percebe-se que a taxa de amortecimento é bem elevada, pois a estrutura praticamente para de se movimentar em um período muito curto de tempo. Finalizando-se, deve-se ressaltar que o ponto de estabilização da estrutura se altera com o valor da taxa de amortecimento utilizada, pois com ξ1=ξ2=1% obtém-se dESTÁVEL=-1,47 cm e com ξ1=ξ2=10% obtém-se dESTÁVEL= -1,37 cm, encontrados via análise dinâmica com comportamento não-linear.



84


7.4 Exemplo P1

Este exemplo é composto por uma viga em balanço discretizada por dez elementos solicitada por uma força “F” aplicada na extremidade livre, conforme ilustra a figura 19.

As características físicas e geométricas de todos os elementos são dadas por: b=733,2348419 cm ; h=0,8798818102 cm ; EC=0,6894757 kN/cm2

Efetuando-se uma análise estática de tal forma que a força seja aplicada

incrementalmente em 80 passos iguais, obtém-se a resposta da estrutura conforme ilustra a figura 20. O gráfico contido em tal figura mostra a influência da não-linearidade geométrica no comportamento da estrutura, uma vez que o deslocamento máximo obtido no nó “11” é da mesma ordem de grandeza que o seu comprimento.

160 n 0 80

t= n . 2,0.10-4 s

D (cm)

D=3,4862

DESTÁVEL=1,37



85

Figura 19 - Viga em balanço constituída por dez elementos.

Figura 20 - Gráfico força x deslocamento do nó “11”.

Tal resposta coincide com os resultados obtidos por ORAN et al.(1976) via formulação incremental Euleriana, comprovando a eficácia do procedimento incremental adotado para o elemento de pórtico plano.

Um fato importante deve ser ressaltado quando se compara estes resultados com os obtidos via comportamento linear, pois quando se realiza este tipo de análise

1,3344 0,88960,4448

11

FY

X 101

1

10x25,4=254,0 cm

1,77920

D (cm)

F (kN).10-3

F=1,7792888.10-3 kN

D=78,4174

D=131,2104

D=161,2025

D=178,4425



86

encontra-se um valor de deslocamento máximo (dL=338,6667 cm) muito maior que o valor encontrado (dNLG=178,4425 cm).

7.5 Exemplo P2

A estrutura aporticada deste exemplo é composta por uma viga biengastada discretizada por seis elementos finitos, solicitada por uma força constante “F” com o tempo, aplicada no nó central, sendo que neste mesmo ponto tem-se um peso “P” fixo, conforme ilustra a figura 21.

As características físicas e geométricas de todos os elementos são dadas por: b=2,54 cm ; h=0,508 cm ; γ=1.10-15 kN/cm3 ; ES=0,0 kN/cm2 ; EC=6894,757

kN/cm2

Figura 21 - Viga biengastada discretizada por elementos finitos.

Efetuando-se uma análise dinâmica com não-linearidade geométrica, obtém-se a resposta da estrutura conforme ilustra a figura 22.

4 7 P

FY

X 6 1

1

6x8,4667=50,80 cm

n t= n . 0,5.10-4 s

F=2,846862 kN P=7,4102.10-4 kN ω1=609,0516 rad/s



87


O gráfico tempo x deslocamento contido na figura 22 mostra o comportamento de uma viga biengastada que possui um peso fixado no meio do vão, sendo que tal resultado é praticamente exato e pode ser comprovado através da confrontação com os resultados obtidos por ORAN et al.(1976). Efetuando-se o mesmo tipo de comparação feita ao final do exemplo 7.4, tem-se que o deslocamento obtido utilizando-se comportamento linear (dL=20,3183 cm) é bem maior que o valor obtido na análise que foi realizada (dNL=2,5381 cm), comprovando, mais uma vez, a necessidade de se efetuar uma análise mais realista.

7.6 Exemplo P3

Este exemplo é composto por um pórtico biengastado de concreto armado, discretizado por doze elementos finitos, conforme ilustra a figura 23, onde as características físicas de todos os elementos são dadas por: fCK=2,6 kN/cm2 ; fCTK=0,268 kN/cm2 ; ES=21000,0 kN/cm2 ; EC=3050,0 kN/cm2 ; γ=2,5.10-5 kN/cm3.

Figura 23 - Pórtico simples biengastado discretizado por elementos finitos.

13

F

Y

X

121 1

30,0 cm

2,5 cm

4x50,0=200,0 cm

4x50,0=200,0 cm

15,0 cm

0 80

2φ16,0 mm

2φ16,0 mm

D (cm)

D=2,5381

D=-0,0347

2,5 cm

9 5 6 5 9

8 Seção transversal dos elementos



88

O carregamento da estrutura é composto por uma única força concentrada “F”, ver figura 23, cujo módulo cresce linearmente até t=0,016s, diminui linearmente até t=0,032s e permanece igual a zero para t>0,032s.

Efetuando-se uma análise estática e dinâmica considerando-se valores distintos para a força aplicada, obtém-se os resultados apresentados nas tabelas 2, 3 e 4, ilustrados pelas figuras 24 e 25. Tabela 2 - Deslocamentos máximos obtidos no nó “5”, na direção global “X”, em “cm” ”, para t≥0,0 s.

DESLOC.: NÓ 5 p (kN) DIREÇÃO: X

GLOBAL p=8,0 p=16,0 p=24,0

ANÁLISE L +0,0377 +0,0754 +0,1131 ESTÁTICA DNL +0,0310 +0,0656 +0,1229

L +0,0539 +0,1078 +0,1617 ANÁLISE -0,0347 -0,0694 -0,1041

DINÂMICA DNL +0,0425 +0,0904 +0,1580 -0,0216 -0,0339 -0,0369

ANÁLISE L +0,0397 +0,0794 +0,1191 DINÂMICA -0,0081 -0,0162 -0,0243

COM DNL +0,0330 +0,0671 +0,1079 AMORTEC. -0,0060 -0,0089 -0,0033

Obs: L - comportamento linear; DNL - comportamento duplamente não-linear. Tabela 3 - Deslocamentos máximos obtidos no nó “5”, na direção global “X”, em “cm”, para t≥0,032 s.

DESLOC.: NÓ 5 p (kN) DIREÇÃO: X GLOBAL p=8,0 p=16,0 p=24,0

+0,0346] +0,0693 +0,1040 L (+0,0000) (+0,0000) (+0,0000)

ANÁLISE -0,0347 -0,0694 -0,1041 DINÂMICA +0,0216] +0,0550 +0,1043

DNL (+0,0000) (+0,0105) (+0,0337) -0,0216 -0,0339 -0,0369

Obs: L - comportamento linear; DNL - comportamento duplamente não-linear; (no) - valor médio do deslocamento; Tabela 4 - Deslocamentos finais obtidos no nó “5”, na direção global “X”, em “cm”, para t=∞ s.

DESLOC.: NÓ 5 p (kN) DIREÇÃO: X GLOBAL p=8,0 p=16,0 p=24,0

ANÁLISE L +0,0000 +0,0000 +0,0000

DINÂMICA COM

AMORTEC. DNL +0,0000 +0,0031 +0,0155

Obs: L - comportamento linear; DNL - comportamento duplamente não-linear.



89

Analisando-se os resultados obtidos pelos três tipos de análise, conforme mostra a tabela 2, percebe-se um aumento no valor dos deslocamentos quando se realiza a análise dinâmica sem amortecimento e uma diminuição de tal valor quando se realiza a mesma análise com amortecimento, caracterizando o efeito do amortecimento do tipo Rayleigh utilizado neste trabalho. Já a comparação entre os resultados obtidos pelos dois tipos de comportamento fica um pouco sem efeito em função de se ter empregado valores diferentes para o momento de inércia, pois para comportamento linear utiliza-se o momento de inércia da seção bruta e para comportamento não-linear físico utiliza-se o momento de inércia da seção homogeneizada.

Na continuidade da apresentação dos resultados, a tabela 3 mostra os deslocamentos máximos do nó “5” obtidos após a retirada total do carregamento externo. Analisando-se os dados contidos em tal tabela, percebe-se que os valores médios encontrados via comportamento linear são iguais a zero, indicando que a estrutura fica oscilando em torno da sua posição de equilíbrio inicial. Quando se considera dupla não-linearidade, percebe-se que tal fato também ocorre para p=8,0 kN, pois neste caso nenhum elemento fissurou. Já o mesmo não acontece para p=16,0 kN e p=24,0 kN, pois devido à fissuração de alguns elementos de discretização a estrutura fica oscilando em torno de uma posição de equilíbrio deslocada, conforme ilustra a figura 24.

O fato descrito anteriormente também pode ser constatado quando se introduz o amortecimento na resolução da estrutura, conforme resultados contidos na tabela 4, pois neste caso a estrutura apresenta um deslocamento final diferente de zero somente nos casos em que ocorre a fissuração de alguns desses elementos. A figura 25 ilustra o comportamento da estrutura quando se efetua este tipo de análise.



90

Figura 24 - Gráfico tempo x deslocamento do nó “5”, sem amortecimento, para p=24,0 kN.

D (cm)

16080

DMÉDIO=0,0337

0

n

t= n . 0,4.10-3 s

D=0,1043

D=-0,0369

D=0,1580



91

Figura 25 - Gráfico tempo x deslocamento do nó “5”, com amortecimento, para p=24,0 kN.

8 CONCLUSÕES

No presente trabalho, procurou-se implementar as não-linearidades física e geométrica na análise dinâmica de estruturas reticuladas planas através da utilização de um procedimento incremental / iterativo. Uma vez estabelecida toda a teoria referente ao assunto em questão, desenvolvem-se programas computacionais que permitem a realização de vários tipos de análise numérica, possibilitando a visualização do comportamento estrutural de tais sistemas de uma forma mais realista.

Neste contexto, os problemas que foram resolvidos no item 7 mostraram, por exemplo, que os deslocamentos obtidos via comportamento linear nem sempre são menores que os deslocamentos obtidos via comportamento não-linear e que as forças atuantes nos elementos estruturais podem mudar de sentido quando se realiza uma análise dinâmica. Dessa forma, se a análise estrutural for feita de forma inadvertida, os resultados obtidos podem conduzir o calculista de estruturas ao erro, pois o mesmo estará projetando outro tipo de estrutura e não aquela idealizada inicialmente.

Uma vez que for feita a opção por uma análise mais refinada, o calculista de estruturas deve estar habilitado a fornecer os dados da estrutura de forma coerente e deve saber interpretar os resultados obtidos de acordo com a teoria utilizada na análise escolhida.

16080t= n . 0,4.10-3 s

D (cm)

0 n

D=0,1079

D=-0,0033

D=0,0155



92

A primeira dificuldade encontrada no fornecimento de dados para a realização de uma análise dinâmica não-linear é dada pela escolha conveniente do valor do intervalo de tempo “ ∆ t ”, pois a seleção inadequada de tal valor poderá ocasionar problemas de instabilidade numérica. Neste sentido, o autor deste trabalho recomenda que uma primeira avaliação seja feita tomando-se um valor para “ ∆ t ” contido no seguinte intervalo T/120 ≤ ∆ t ≤ T/30.

A segunda dificuldade encontrada está relacionada com o valor do incremento de carregamento que deve ser aplicado no sistema estrutural, pois a escolha de um valor muito grande poderá provocar a violação de algumas premissas envolvidas na elaboração da teoria, podendo-se citar, como exemplo, as simplificações decorrentes da admissão de pequenas rotações para o elemento finito. Para isso, recomenda-se a utilização de pequenos incrementos de carregamento, que podem ser obtidos através de sucessivas tentativas.

Outro fator importante está relacionado com o valor escolhido para a tolerância do erro de cálculo “ε”, que é o fator responsável pela verificação do equilíbrio do sistema, pois um valor muito elevado provoca imprecisão na resposta e um valor muito pequeno não produz o equilíbrio almejado. Neste trabalho, o autor utilizou um valor para tal tolerância contido no seguinte intervalo 2.10-6 ≤ ε ≤ 2.10-3, sem prejuízo na obtenção dos resultados encontrados, ressaltando-se que tais valores são maiores que a precisão numérica das variáveis empregadas nos programas elaborados.

Uma vez sanada algumas dúvidas quanto ao fornecimento de dados da estrutura, é fundamental que o calculista se inteire da teoria envolvida na elaboração de programas computacionais usuais, para que o mesmo possa analisar de forma correta os resultados fornecidos por tais programas. Neste sentido, os exemplos contidos no item 7 procuraram, na medida do possível, relacionar as respostas obtidas para alguns tipos de estruturas com os modelos físicos apresentados nos itens anteriores. Convém salientar, que tais exemplos serviram, também, para validar tais modelos e o procedimento numérico que foi adotado neste trabalho.

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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93

ORAN, C.; KASSIMALI, A. (1976). Large deformations of framed structures under static and dynamic loads. Computers & structures, v.6, p.539-547. RODRIGUES. R. O. (1992). Automatização do projeto estrutural de pilares de concreto armado. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. RODRIGUES. R. O. (1997). Analise dinâmica bidimensional não-linear física e geométrica de treliças de aço e pórticos de concreto armado. São Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo.

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