analise dimensional

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  • 1. Anlise Dimensional Semelhana Anlise Dimensional e Semelhana 1
  • 2. Anlise Dimensional Anlise dimensional um meio para simplificao de um problema fsico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o nmero das variveis de anlise. A anlise dimensional particularmente til para: - Apresentar e interpretar dados experimentais; - Resolver problemas difceis de atacar com soluo analtica; - Estabelecer a importncia relativa de um determinado fenmeno; - Modelagem fsica. Anlise Dimensional e Semelhana 2
  • 3. Dimenses primrias massa comprimento tempo temperatura M L T [kg] [m] [s] [K] Dimenses de grandezas derivadas Geometria Cinemtica Dinmica Propriedades dos Fluidos Grandeza rea Volume Velocidade Velocidade Angular Vazo Fluxo de massa Fora Torque Energia Potncia Presso Densidade Viscosidade Viscosidade Cinemtica Tenso superficial Condutividade Trmica Calor Especfico Smbolo Dimenso A L2 V L3 U LT-1 T-1 Q L3T-1 & MT-1 m F MLT-2 T ML2T-2 E ML2T-2 P ML2T-3 p ML-1T-2 ML-3 ML-1T-1 L2T-1 MT-2 k MLT-3 CP, CV L2T-2-1 Anlise Dimensional e Semelhana 3
  • 4. Semelhana Problemas em Engenharia (principalmente na rea de Trmica e Fluidos) dificilmente so resolvidos aplicando-se exclusivamente anlise terica. Portanto, utilizam-se com freqncia estudos experimentais. Mtodos analticos nem sempre so satisfatrios: - Limitaes devido s simplificaes necessrias para resolver as equaes; Anlise detalhada com grande complexidade/custo; Muito do trabalho experimental feito com o prprio equipamento ou com rplicas exatas. Porm, a maior parte das aplicaes em Engenharia realizada utilizando-se modelos em escala. No entanto, sem planejamento e organizao, os procedimentos experimentais podem: - Consumir muito tempo; - No ter objetividade; - Custarem muito. Anlise Dimensional e Semelhana 4
  • 5. Utilizao de modelos em escala - Vantagens econmicas (tempo e dinheiro); - Podem-se utilizar fluidos diferentes dos fluidos de trabalho; - Os resultados podem ser extrapolados; - Podem-se utilizar modelos reduzidos expandidos (dependendo da convenincia); ou As comparaes so realizadas entre o PROTTIPO (avio, navio) em escala real e o MODELO em escala reduzida ou aumentada. Anlise Dimensional e Semelhana 5
  • 6. Comparao entre Prottipo e Modelo Para ser possvel esta comparao e conseqente a utilizao dos resultados do modelo ao prottipo indispensvel que os conjuntos de condies sejam FISICAMENTE SEMELHANTES. O termo SEMELHANA FSICA um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhana. Semelhana Geomtrica Semelhana Cinemtica Semelhana Dinmica Anlise Dimensional e Semelhana 6
  • 7. Semelhana Geomtrica Semelhana de forma. A propriedade caracterstica dos sistemas geometricamente semelhantes (modelo e prottipo) que a razo entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente no prottipo uma constante. Esta razo conhecida como FATOR DE ESCALA. A semelhana geomtrica o requisito mais bvio para que um modelo possa corresponder a um dado prottipo. Nem sempre fcil obter a semelhana geomtrica perfeita. Deve-se lembrar que no s a forma global do modelo tem que ser semelhante do prottipo, como tambm a rugosidade das superfcies deveria ser geometricamente semelhantes. Anlise Dimensional e Semelhana 7
  • 8. Semelhana Geomtrica Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida no pode ser obtida de acordo com o fator de escala problema de construo/de material/de acabamento das superfcies do modelo. Exemplo: Estudo do movimento dos sedimentos nos rios. Um modelo em escala pode exigir o uso de um p excessivamente fino para representar o sedimento. No caso de prottipos muito grandes, o recurso de modelos distorcidos (fator de escala diferentes entre os comprimentos na horizontal e na vertical) inevitvel. Anlise Dimensional e Semelhana 8
  • 9. Semelhana Cinemtica Semelhana movimento, semelhana geomtrica) e cinemtica a semelhana do o que implica necessariamente de comprimentos (semelhana semelhana de intervalos de tempo. Comprimento no prottipo Tempo no prottipo Comprimento no modelo Tempo no modelo Velocidade (acelerao) no prottipo Velocidade (acelerao) no modelo Exemplo de semelhana cinemtica: Planetrio. O firmamento reproduzido de acordo com um certo fator de escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razo fixa de intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e aceleraes. Anlise Dimensional e Semelhana 9
  • 10. Semelhana Cinemtica Escoamentos que possuem semelhana cinemtica, os padres formados pelas linhas de corrente so geometricamente semelhantes. Prottipo Modelo Uma vez que as fronteiras do escoamento correspondem a linhas de correntes, s possvel obter escoamentos semelhantes, do ponto de vista cinemtico, em fronteiras geometricamente semelhantes. Anlise Dimensional e Semelhana 10
  • 11. Semelhana Cinemtica No entanto, esta condio no suficiente para assegurar a semelhana geomtrica dos padres das linhas de corrente a uma distncia significativa das fronteiras. Prottipo Modelo A semelhana geomtrica nas fronteiras uma condio necessria, mas no suficiente para haver semelhana cinemtica dos escoamentos. Anlise Dimensional e Semelhana 11
  • 12. Semelhana Dinmica Semelhana Dinmica a semelhana das foras. Dois sistemas so dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das foras, em pontos equivalentes dos dois sistemas, esto numa razo fixa. As foras que determinam o comportamento dos fluidos tm vrias origens: 1. Foras devidas s diferenas de presso; pL2 2. Foras resultantes da ao da viscosidade; 3. Foras devido tenso superficial; 4. Foras elsticas; UL L KL2 5. Foras de inrcia. L2U 2 6. Foras devido atrao gravitacional L3 g Anlise Dimensional e Semelhana 12
  • 13. Grupos Adimensionais Grupo Nome Adimensional Nmero de UL Reynolds foras Smbolo habitual Fora de Inrcia Fora Viscosa Re Nmero de Froude Fora de Inrcia Fora da gravidade Fr Nmero de Weber Fora de Inrcia Fora de tenso superficial We Nmero de Mach Fora de Inrcia Fora elstica M U (Lg ) 1 2 L U U c Razo das representadas 1 2 Anlise Dimensional e Semelhana 13
  • 14. Semelhana Geomtrica Semelhana Cinemtica Semelhana Dinmica Semelhana Geomtrica - das formas - das linhas de corrente - das linhas de fora Anlise Dimensional e Semelhana 14
  • 15. Determinao de Grupos Adimensionais em um Problema Fsico Teorema dos Pi de Buckingham Dado um problema fsico no qual um parmetro de interesse uma funo de n-1 parmetros independentes, possvel escrever a seguinte relao: q1 = f (q 2 , q3 ,..., q n ) (1) Pode-se expressar esta mesma relao de uma forma alternativa: g (q 2 , q3 ,..., q n ) = 0 (2) O Teorema dos Pi de Buckingham declara que dada uma relao entre n parmetros da forma da Eq.(2), ento, os n parmetros podem ser agrupados em n-m razes independentes adimensionais, ou parmetros , os quais podem ser expressos como segue: G ( 1 , 2 ,..., n m ) = 0 1 = G1 ( 2 , 3 ,..., n m ) Anlise Dimensional e Semelhana 15
  • 16. Determinao dos Grupos Pi Geralmente, a determinao dos grupos adimensionais segue um roteiro descrito a seguir: PASSO 1: Liste todos os parmetros envolvidos. Define-se n como o nmero de parmetros envolvidos; PASSO 2: Expresse estes parmetros em termos das dimenses primrias. Define-se r como o nmero de dimenses primrias presentes no problema; PASSO 3: Selecione da lista um nmero r de parmetros que, em conjunto, incluam todas as dimenses primrias. Tome cuidado para que estes parmetros no sejam linearmente dependentes. Existe a possibilidade de no ser possvel selecionar r parmetros independentes. Neste caso, o nmero de parmetros independentes, m, deve ser considerado ao invs de r; PASSO 4: