ANLISE DIMENSIONAL

Grandezas Fsicas FundamentaisGrandeza Fsica Comprimento Massa Tempo Temperatura termodinmica Corrente eltrica Intensidade luminosa Quantidade de matria Smbolo da Smbolo da Unidade Unidade no SI Dimenso no SI L M T metro quilograma segundo kelvin I I0 N ampre candela mols m kg s K A cd molwww.laboratoriodefisica.com.br

EXEMPLOS

ALGUMAS FRMULAS DIMENSIONAISVelocidade: Acelerao: Fora: Trabalho: Energia: Torque: Potncia: Momento: Velocidade angular: Freqncia: [v]=LT-1 [a]=LT-2 [F]=MLT-2 [E]=ML2 T-2 [E]=ML2 T-2 [E]=ML2 T-2 [Pot]=ML2 T-3 [Q]=ML T-1 []=T [f]=T-1

Carga eltrica : Campo eltrico : Potencial eltrico : Resistncia eltrica: Campo magntico: Fluxo magntico

[q]=IT [E]=MLT-3I [U]=ML2T-3I-1 [R]=ML2T-3I-2 [B]=MT-2I-1 []=ML2T-2I-1

Calor especfico: [c]=L2 T-2 -1 Coeficiente de dilatao [ ]= -1 Fluxo de calor: [ ]= ML2 T-3 Intensidade sonora [I]=MT-3

GRANDEZAS FSICAS ADIMENSIONAIS

Coeficientes de atrito ndice de refrao Rendimento Nvel de intensidade sonora

Principais usos:

Verificao da homogeneidade de frmulas; Previso de equaes fsicas; Mudana de unidades;

TEOREMA DE BRIDGMANToda grandeza secundria pode ser expressa por um produto de potncias

das grandezas primrias.Suponhamos que uma grandeza secundria G seja uma funo das grandezas primrias A, B,C ... Z. O teorema de Bridgman diz que se poder escrever: G=KABC...Z

ATENO!!!Todo arco adimensional. Toda funo trigonomtrica adimensional Todo expoente adimensional. Toda grandeza definida pela razo de duas grandezas fsicas, de mesma dimenso, adimensional. S podemos somar e subtrair grandezas fsicas de mesma dimenso.

HOMOGENEIDADE DIMENSIONALUma equao fsica verdadeira deve ser dimensionalmente homognea, isto , dever ter em ambos os membros a mesma frmula dimensional.

Homogeneidade das equaesNum movimento oscilatrio, a abscissa (x) da partcula dada em funo do tempo (t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L, obtenha a frmula dimensional de A, B e C.

Resoluo...X= A + B cos(Ct)A] = M 0 LT 0 [ sendo...[Ct ] = M 0 L0T 0

C ][t ] = M 0 L0T 0 = [C ] T [

[C ] = M 0 L0T 1B ] = M 0 LT 0 [

sendo...cos(ct ) = adnensional

exemplosa 2 S = S0 + V0 t + t 2a 2 [S] = [S0 ] + [V0 t] + [ t ] 22 V2 = V0 + 2aS2 [V2 ] = [V0 ] + [2aS]

L = L + LT T + LT T

1

2

2

(LT1)2 = (LT1)2 + LT2L

L =L +L +L

LT

2

2

=LT2

2

+L T2

2

exemplosTeorema do Impulso

I = QFt = mVF mV0[Ft] = [mVF ] [mV0 ]

MLT T = MLTMLT1

2

1

MLT1

1

= MLT

1

MLT

Previso de frmulasA intensidade da resultante centrpeta funo apenas da massa, da velocidade e do raio da trajetria. Por anlise dimensional obter, a menos da constante adimensional(K), a expresso da intensidade da fora centrpeta.

Resoluo Fcp = K m x v y r z M LT2

= K (M

)

x

( LT ) ( L )1 y

z

M LT 2 = K M x L y + z T y x = 1 y + z = 1 x = 1; y = 2; z = 1 y = 2 Fcp = K m 1 v 2 r 1 Fcp mv2 =K r

Previso de frmulasUm cientista, fazendo experincias em um laboratrio, verifica o perodo(t) de oscilao de um pndulo simples alterando o comprimento do fio(L), a massa(m) e considerando a gravidade(g) local. Como pode ele, usando anlise dimensional, obter uma frmula para calcular t, isto , uma funo do tipo t=f(L,m,g).

Resoluot = Km x l y g z [t ] = M 0 L0T 1 = ( M ) x ( L) y ( LT 2 ) z M 0 L0T 1 = M x Ly + zT 2 z x = o 1 1 y + z = 0 x = 0; z = ; y = 2 2 2 z = 1 t = Km x l y g z = Km l g l T =K g1 0 21 2

EXERCCIOS(ITA-2009) Sabe-se que o momento angular de uma massa pontual dado pelo produto vetorial do vetor posio dessa massa pelo seu momento linear. Ento, em termos das dimenses de comprimento (L), de massa (M), e de tempo (T), um momento angular qualquer tem sua dimenso dada por dada por a) L0MT1. b) LM0T1. c) LMT1. d) L2MT1. e) L2MT2.

resoluo

EXERCCIOS(Ita 2008) Define-se intensidade I de uma onda como a razo entre a potncia que essa onda transporta por unidade de rea perpendicular direo dessa propagao. Considere que para uma certa onda de amplitude a, freqncia f e velocidade v, que se propaga em um meio de densidade , foi determinada que a intensidade dada por: Indique quais so os valores adequados para x e y, respectivamente. a) x = 2; y = 2 b) x = 1; y = 2 c) x = 1; y = 1 d) x = - 2 ; y = 2 e) x = - 2; y = - 2

Resoluo

Exerccios01- Determine a equao dimensional de Capacitncia de um capacitor.Q C = Q = is = IT U J ML2T 2 w s T Pot = Ui U = = = A A I [U ] = ML2T 3 I 1

[C ] =

IT = M 1 L2T 4 I 2 ML2T 3 I 1

Exerccio 02(Mackenzie) No estudo de um fenmeno da natureza foram envolvidas as grandezas A, B,C e D, diferentes entre A = BC2D2 si. A relao entre as grandezas : Se B tem dimenso de massa, C de comprimento e D dimenso de tempo, a unidade de medida de A no Sistema internacional de Unidade : a)m/s b) N.s c)J/m d)N e)J

resoluoA=BC D2 2 2 2

[A]=[B][C] [D] [A] = ML T2 2

Portanto A representa energia e sua unidade no Sistema Internacional o Joule (J) Resposta E

Exerccio 03Com relao as grandezas fundamentais MLTI, determine as equaes dimensionais das seguintes grandezas: a)Constante Universal dos gases perfeitos (R). b)Resistncia eltrica (R).

resoluoa)PV=nRT [PV]=ML2 T -2 (trabalho) ou F [PV] = V(m3 ) = N.m = A(m2 ) [n] = a dim ensional PV=nRT MLT -2 = [R] [R] = ML2 T -2 1I0

P=Ri En 2 = Ri t 2 2 ML T 2 = [R]I T 2 3 2 0 [R] = ML T I

2

exerccio(FUVEST)Um estudante est prestando vestibular e no se lembra da frmula correta que relaciona o mdulo da velocidade V de propagao do som, com a presso P e a massa especfica , num gs. No entanto, ele se recorda que a frmula do tipo (vide eq. ao lado) , em V que C uma constante adimensional. Aps um exame da equao dimensional ele conclui que os expoentes e valem respectivamente: a)1;2 b)1,1 c)2,1 d)2,2 e) 3,2

C.P =

resoluoV

C .P = 2

[ ] = M L 3 F M LT [P ] = = A L2 s u b s t it u i n d o [L T L T1

= M L1 T2

2

] = [M L 1 T

] [M L 3 ] 12

= M 1L + 3 T

1 = 0 + 3 = = 1; = 2 2 = r e s p.C

ITA-2000A figura abaixo representa um sistema experimental utilizado para determinar o volume de um lquido por unidade de tempo que escoa atravs de um tubo capilar de comprimento L e seo transversal de rea A. Os resultados mostram que a quantidade desse fluxo depende da variao da presso ao longo do comprimento L do tubo por unidade de comprimento (P/L), do raio do tubo (a) e da viscosidade do fluido () na temperatura do experimento. Sabe-se que o coeficiente de viscosidade () de um fluido tem a mesma dimenso do produto de uma tenso (fora por unidade de rea) por um comprimento dividido por uma velocidade. Recorrendo anlise dimensional, podemos concluir que o volume de fluido coletado por unidade de tempo proporcional a

resoluo