análise de sobretensões e sobrecorrentes transitórias na

ANÁLISE DE SOBRETENSÕES E SOBRECORRENTES TRANSITÓRIAS

NA ENERGIZAÇÃO DE BANCOS DE CAPACITORES

Alessandro Areal Barros

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: João Pedro Lopes Salvador

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2015

ANÁLISE DE SOBRETENSÕES E SOBRECORRENTES TRANSITÓRIAS NA

ENERGIZAÇÃO DE BANCOS DE CAPACITORES


PROJETO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA

ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO

GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA.

Examinada por:

_________________________________________

Prof. João Pedro Lopes Salvador, M.Sc.

_________________________________________

Prof. Juan Carlos Mateus Sánchez, D.Sc.

_________________________________________

Prof. Sebastião Ércules Melo de Oliveira, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

FEVEREIRO DE 2015

Barros, Alessandro Areal

Análise de Sobretensões e Sobrecorrentes Transitórias na

Energização de Bancos de Capacitores / Alessandro Areal Barros.

– Rio de Janeiro: UFRJ / Escola Politécnica, 2015.

XV, 126 p.: il.; 29,7 cm.


Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Departamento de Engenharia Elétrica, 2015.

Referências Bibliográficas: pp. 120 – 121.

1. Correção de Fator de Potência 2. Banco de Capacitores 3.

Análise Transitória.

I. Salvador, João Pedro Lopes. II. Universidade Federal do Rio

de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica. III.

Título.

iii

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica / UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.

Análise de Sobretensões e Sobrecorrentes Transitórias na Energização de

Bancos de Capacitores


Fevereiro/2015


Curso: Engenharia Elétrica

O uso de bancos de capacitores para correção do fator de potência em unidades

industriais é uma importante ferramenta para controlar os reativos gerados pelas cargas

indutivas que existem em um sistema elétrico. Esta técnica já consolidada mostra-se bastante

eficaz na redução dos níveis de correntes que alimentam os circuitos e ajuda a reduzir o

pagamento de multas cobradas pelas companhias de distribuição.

No momento em que um banco de capacitores entra em operação ocorrem

sobretensões e sobrecorrentes transitórias de grande magnitude que, se não forem previamente

estudadas, podem gerar problemas no funcionamento de equipamentos próximos ao banco e

desestabilizarem toda uma planta elétrica, além da possibilidade de rompimento no

isolamento.

Este trabalho realiza uma análise do comportamento transitório diante da

entrada de cada estágio de um banco de capacitores com a utilização de chaveamento

sincronizado e com o uso de resistores e indutores de pré-inserção. A partir de resultados de

simulações em programa de transitórios eletromagnéticos (EMTP/ATP), foi determinada a

técnica mais eficaz de mitigação de tais efeitos transitórios.

iv

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI / UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Engineer.

Transient Overvoltage and Overcurrent Analysis in Capacitor Banks Energization


February/2015

Advisor: João Pedro Lopes Salvador

Course: Electrical Engineering

The usage of capacitors for power factor correction in industrial units is an important

tool to control the reactive power naturally generated by inductive loads that exist in electrical

systems. This well-established technique appears to be quite effective in reducing the levels of

currents that feed the circuits and helps reduce the payment of fines billed by the distribution

companies.

At the moment that a capacitor bank starts its operations, high overvoltages and

overcurrents transients occurs and, if they are not well studied, may cause sudden problems in

the electrical devices near to the bank. Besides, they can destabilize an electric plant and

generate the possibility of insulation breakdown.

This work makes an analysis of the transient behavior before the entrance of each

stage of a capacitor bank with the use of synchronized switching and pre-insertion resistors

and inductors. From simulation results at electromagnetic transient programs (EMTP/ATP)

the most effective techniques to mitigate those transients were determined.

v

AGRADECIMENTOS

A Deus, pela vida e por esta oportunidade de evoluir um pouco mais

intelectualmente;

À espiritualidade amiga pela intuição e sustentação que me deram ao longo desta

caminhada;

À minha Família por compreender minha ausência em alguns momentos, mas em

especial à Luzia, Rogério, Leila e (Dona) Maria por me incentivarem a sempre estudar, desde

cedo, buscando assim o conhecimento e algo melhor para minha vida;

Ao CEFET/RJ pelos anos maravilhosos que me ensinaram a ser mais independente e

buscar meus objetivos, além de ter me proporcionado conviver com pessoas incríveis, mesmo

que com alguns este contato não tenha perdurado até os tempos atuais;

Aos amigos que não estudam ou não estudaram no Fundão, que mesmo sem sentirem

na pele o que é cursar Engenharia na UFRJ souberam também compreender minha ausência

em muitos momentos;

À Transpetro por me proporcionar a oportunidade de fazer parte do seu corpo de

trabalho e me oferecer tantos ensinamentos, tanto intelectuais, como na escola da vida;

A todos que trabalham ou trabalharam comigo na Ilha Redonda. Obrigado pelas

conversas, pelo incentivo e por me ajudarem a finalizar este curso, sem o apoio de vocês

poderia ter desistido no meio do caminho;

Aos amigos e colegas que fiz durante a faculdade, que em muitos momentos

suavizaram a luta que é trabalhar e estudar, mesmo sem compreender o que é estar nesta

situação. Em especial, agradeço aos colegas Felipe Cabral, Jonathan Carvalho e Mayara

Cagido por compartilharem comigo parte do seu material de curso, o que tornou esta jornada

algo “menos impossível”;

Aos Professores com que convivi ao longo destes 13 períodos cursando Engenharia

Elétrica, academicamente vocês me ensinaram muitas coisas, mesmo que em alguns

momentos tenham dificultado desnecessariamente a minha caminhada para conseguir meu

diploma. Tenham certeza de que aprendi muito mais do que Engenharia ao conviver com

vocês;

Aos amigos das artes marciais e do CEIC pelos momentos de descontração e

desabafo;

vi

Mais recentemente à Natália pelo apoio, incentivo, compreensão e pelos momentos

de relaxamento e felicidade que você têm me proporcionado.

E finalmente ao orientador João Salvador por aceitar o desafio de me guiar neste

projeto.

A todos os que aqui citei, e outros mais com os quais cometi o deslize de não citar,

sinceramente: MUITO OBRIGADO!

vii

Sumário

Lista de Figuras ......................................................................................................................... xi Lista de Tabelas ........................................................................................................................ xv

1 Introdução ........................................................................................................................... 1

1.1 Contextualização no Cenário Brasileiro ...................................................................... 1

1.2 Objetivo ....................................................................................................................... 3

1.3 Organização do Trabalho ............................................................................................. 3

2 Fundamentos Teóricos ........................................................................................................ 4

2.1 Potência de Circuitos Monofásicos CA ....................................................................... 4

2.1.1 Representação Temporal ...................................................................................... 4

2.1.2 Representação Fasorial ......................................................................................... 6

2.1.3 Conclusão Parcial ................................................................................................. 7

2.2 Potência em Circuitos Trifásicos Equilibrados ............................................................ 8

2.3 Correção do Fator de Potência ..................................................................................... 9

2.3.1 Triângulo de Potências ......................................................................................... 9

2.3.2 Diagrama Fasorial............................................................................................... 11

2.4 Elevação no Perfil de Tensão ..................................................................................... 12

2.5 Conexões de Capacitores em Circuitos Trifásicos .................................................... 13

2.5.1 Estrela Aterrada .................................................................................................. 13

2.5.2 Estrela Aterrada Dividida ................................................................................... 14

2.5.3 Estrela Isolada..................................................................................................... 15

2.5.4 Estrela Isolada Dividida...................................................................................... 15

2.5.5 Delta ................................................................................................................... 16

2.6 Transitórios em Circuitos Elétricos ........................................................................... 16

2.6.1 Transitório de um Circuito RL ........................................................................... 17

2.6.2 Transitório de um Circuito LC ........................................................................... 19

2.7 Energização Back-to-Back ......................................................................................... 21

3 Metodologia ...................................................................................................................... 23

3.1 Circuito sem Uso de Capacitores – Caso Base .......................................................... 23

3.1.1 Modelagem da Rede ........................................................................................... 26

3.1.2 Modelagem do Barramento de 13,8 kV.............................................................. 27 viii

3.1.3 Modelagem dos Transformadores 6201A/B ...................................................... 28

3.1.4 Modelagem do Barramento de 2,4 kV................................................................ 29

3.1.5 Modelagem das Cargas ....................................................................................... 30

3.1.6 Simulação para o Caso Base ............................................................................... 31

3.2 Circuito com Correção do Fator de Potência – Caso 1 .............................................. 32

3.3 Chaveamento Síncrono .............................................................................................. 33

3.3.1 Chaveamento Síncrono Tripolar – Caso 2 .......................................................... 34

3.3.2 Chaveamento Síncrono Unipolar – Caso 3 ........................................................ 34

3.4 Uso de Resistor de Pré-Inserção – Caso 4 ................................................................. 35

3.5 Uso de Indutor de Pré-Inserção – Caso 5................................................................... 36

4 Apresentação e Análise dos Resultados ........................................................................... 38

4.1 Caso Base ................................................................................................................... 38

4.1.1 Regime Permanente ............................................................................................ 38

4.2 Caso 1 ........................................................................................................................ 39

4.2.1 Regime Permanente ............................................................................................ 39

4.2.2 Regime Transitório ............................................................................................. 41

4.3 Caso 2 ........................................................................................................................ 51


4.4 Caso 3 ........................................................................................................................ 59


4.5 Caso 4 ........................................................................................................................ 66


4.6 Caso 5 ........................................................................................................................ 82


4.7 Comparação das Estratégias de Mitigação dos Transitórios ..................................... 98

4.7.1 Comparação entre os Casos 1 e 2 ....................................................................... 99

4.7.2 Comparação entre os Casos 1 e 3 ..................................................................... 100









ix

5 Conclusões e Trabalhos Futuros ..................................................................................... 117

5.1 Conclusões Gerais .................................................................................................... 117

5.2 Trabalhos Futuros .................................................................................................... 119

Referências Bibliográficas ...................................................................................................... 120

Apêndice A – Memória de Cálculo de Cabos ........................................................................ 122

a) Parâmetros Elétricos dos Cabos Eprotenax Compact .......................................... 122

b) Parâmetros do Barramento de 13,8 kV ................................................................ 123

c) Parâmetros do Barramento de 2,4 kV .................................................................. 123

Apêndice B – Rotinas no Matlab ............................................................................................ 125

a) Código para Obtenção do Valor Eficaz e de Pico em Regime Permanente ......... 125

b) Código para Obtenção do Valor de Pico do Transitório ...................................... 125

c) Código para Analisar a Composição Harmônica do Transitório ......................... 126

x

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Circuito monofásico genérico. ................................................................................. 4 Figura 2.2: Sinais do circuito exemplo. ...................................................................................... 7 Figura 2.3: Parcelas da potência instantânea. ............................................................................. 8 Figura 2.4: Triângulo de Potências. .......................................................................................... 10 Figura 2.5: Triângulo de potências para correção do FP. ......................................................... 10 Figura 2.6: Circuito com injeção de corrente de um capacitor. ................................................ 11 Figura 2.7: Diagrama fasorial para uma correção do fator de potência. .................................. 12 Figura 2.8: Representação de um sistema com alimentação, carga e banco capacitivo. .......... 12 Figura 2.9: Diagrama fasorial com elevação de tensão promovida por um banco capacitivo. 12 Figura 2.10: Configuração estrela aterrada............................................................................... 14 Figura 2.11: Configuração estrela aterrada dividida. ............................................................... 14 Figura 2.12: Configuração estrela isolada. ............................................................................... 15 Figura 2.13: Configuração estrela isolada dividida. ................................................................. 15 Figura 2.14: Configuração delta. .............................................................................................. 16 Figura 2.15: Circuito RL. ......................................................................................................... 17 Figura 2.16: Circuito LC. ......................................................................................................... 19 Figura 2.17: Energização Back-to-Back. .................................................................................. 21 Figura 2.18: Circuito equivalente da configuração Back-to-Back. ........................................... 22 Figura 3.1: Diagrama unifilar de entrada da Ilha d’Água......................................................... 24 Figura 3.2: Unifilar da parcela do circuito tratada como Caso Base. ....................................... 26 Figura 3.3: Circuito simulado para o caso base. ....................................................................... 31 Figura 3.4: Circuito simulado para Caso 1. .............................................................................. 33 Figura 3.5: Circuito simulado para Caso 4. .............................................................................. 36 Figura 3.6: Circuito simulado para Caso 5. .............................................................................. 37 Figura 4.1: Tensão e corrente em regime permanente, caso base. ........................................... 38 Figura 4.2: Transitório de tensões após a entrada do 1° estágio, Caso 1. ................................ 42 Figura 4.3: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 1 após entrada do 1º estágio. ... 42 Figura 4.4: Transitório de correntes após a entrada do 1° estágio, Caso 1. .............................. 43 Figura 4.5: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 1 após entrada do 1º estágio. 43 Figura 4.6: Transitório de tensões após a entrada do 2° estágio, Caso 1. ................................ 45 Figura 4.7: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 1 após entrada do 2º estágio. ... 45 Figura 4.8: Transitório de correntes após a entrada do 2° estágio, Caso 1. .............................. 46 Figura 4.9: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 1 após entrada do 2º estágio. 46 Figura 4.10: Transitório de tensões após a entrada do 3° estágio, Caso 1. .............................. 48 Figura 4.11: Transitório de correntes após a entrada do 3° estágio, Caso 1. ............................ 48 Figura 4.12: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 1 após entrada do 3º estágio. . 49 Figura 4.13: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 1 após entrada do 3º estágio. .................................................................................................................................................. 50 Figura 4.14: Transitório de tensões após a entrada do 1° estágio, Caso 2. .............................. 52 Figura 4.15: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 2 após entrada do 1º estágio. . 52 Figura 4.16: Transitório de correntes após a entrada do 1° estágio, Caso 2. ............................ 53 Figura 4.17: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 2 após entrada do 1º estágio. .................................................................................................................................................. 53

xi

Figura 4.18: Transitório de tensões após a entrada do 2° estágio, Caso 2. .............................. 54 Figura 4.19: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 2 após entrada do 2º estágio. . 55 Figura 4.20: Transitório de correntes após a entrada do 2° estágio, Caso 2. ............................ 55 Figura 4.21: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 2 após entrada do 2º estágio. .................................................................................................................................................. 55 Figura 4.22: Transitório de tensões após a entrada do 3° estágio, Caso 2. .............................. 56 Figura 4.23: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 2 após entrada do 3º estágio. . 57 Figura 4.24: Transitório de correntes após a entrada do 3° estágio, Caso 2. ............................ 57 Figura 4.25: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 2 após entrada do 3º estágio. .................................................................................................................................................. 58 Figura 4.26: Transitório das tensões após a entrada do 1° estágio, Caso 3. ............................. 59 Figura 4.27: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 3 após a entrada do 1° estágio. .................................................................................................................................................. 60 Figura 4.28 Transitório das correntes após a entrada do 1° estágio, Caso 3. ........................... 60 Figura 4.29: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 3 após a entrada do 1° estágio. ...................................................................................................................................... 60 Figura 4.30 Transitório das tensões após a entrada do 2° estágio, Caso 3. .............................. 61 Figura 4.31: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 3 após a entrada do 2° estágio. .................................................................................................................................................. 62 Figura 4.32 Transitório das correntes após a entrada do 2° estágio, Caso 3. ........................... 62 Figura 4.33: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 3 após a entrada do 2° estágio. ...................................................................................................................................... 63 Figura 4.34 Transitório das tensões após a entrada do 3° estágio, Caso 3. .............................. 64 Figura 4.35: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 3 após a entrada do 3° estágio. .................................................................................................................................................. 64 Figura 4.36 Transitório das correntes após a entrada do 3° estágio, Caso 3. ........................... 65 Figura 4.37: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 3 após a entrada do 3° estágio. ...................................................................................................................................... 65 Figura 4.38: Primeiro transitório de tensões após a entrada do 1° estágio, Caso 4. ................. 67 Figura 4.39: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso 4. ..................................................................................................................... 67 Figura 4.40: Correntes após primeiro transitório da entrada do 1° estágio, Caso 4. ................ 68 Figura 4.41: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso 4. ................................................................................................................ 68 Figura 4.42: Tensões após segundo transitório da entrada do 1° estágio, Caso 4. ................... 69 Figura 4.43: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso 4. ..................................................................................................................... 69 Figura 4.44: Correntes após segundo transitório da entrada do 1° estágio, Caso 4. ................ 70 Figura 4.45: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso 4. ................................................................................................................ 70 Figura 4.46: Tensões após primeiro transitório da entrada do 2° estágio, Caso 4. .................. 72 Figura 4.47: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso 4. ..................................................................................................................... 72 Figura 4.48: Correntes após primeiro transitório da entrada do 2° estágio, Caso 4. ................ 73 Figura 4.49: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso 4. ................................................................................................................ 73 Figura 4.50: Tensões após segundo transitório da entrada do 2° estágio, Caso 4. ................... 74 Figura 4.51: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso 4. ..................................................................................................................... 74 Figura 4.52: Correntes após segundo transitório da entrada do 2° estágio, Caso 4. ................ 75

xii

Figura 4.53: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso 4. ................................................................................................................ 75 Figura 4.54: Tensões após primeiro transitório da entrada do 3° estágio, Caso 4. .................. 77 Figura 4.55: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso 4. ..................................................................................................................... 77 Figura 4.56: Correntes após primeiro transitório da entrada do 3° estágio, Caso 4. ................ 78 Figura 4.57: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso 4. ................................................................................................................ 78 Figura 4.58: Tensões após segundo transitório da entrada do 3° estágio, Caso 4. ................... 79 Figura 4.59: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso 4. ..................................................................................................................... 79 Figura 4.60: Correntes após segundo transitório da entrada do 3° estágio, Caso 4. ................ 80 Figura 4.61: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso 4. ................................................................................................................ 80 Figura 4.62: Tensões após primeiro transitório da entrada do 1° estágio, Caso 5. .................. 82 Figura 4.63: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso 5. ..................................................................................................................... 83 Figura 4.64: Correntes após primeiro transitório da entrada do 1° estágio, Caso 5. ................ 83 Figura 4.65: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso 5. ................................................................................................................ 84 Figura 4.66: Tensões após segundo transitório da entrada do 1° estágio, Caso 5. ................... 84 Figura 4.67: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso 5. ..................................................................................................................... 85 Figura 4.68: Correntes após segundo transitório da entrada do 1° estágio, Caso 5. ................ 85 Figura 4.69: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º estágio, Caso 5. ................................................................................................................ 86 Figura 4.70: Tensões após primeiro transitório da entrada do 2° estágio, Caso 5. .................. 87 Figura 4.71: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso 5. ..................................................................................................................... 88 Figura 4.72: Correntes após primeiro transitório da entrada do 2° estágio, Caso 5. ................ 88 Figura 4.73: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso 5. ................................................................................................................ 89 Figura 4.74: Tensões após segundo transitório da entrada do 2° estágio, Caso 5. ................... 89 Figura 4.75: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso 5. ..................................................................................................................... 90 Figura 4.76: Correntes após segundo transitório da entrada do 2° estágio, Caso 5. ................ 90 Figura 4.77: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 2º estágio, Caso 5. ................................................................................................................ 91 Figura 4.78: Tensões após primeiro transitório da entrada do 3° estágio, Caso 5. .................. 93 Figura 4.79: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso 5. ..................................................................................................................... 93 Figura 4.80: Correntes após primeiro transitório da entrada do 3° estágio, Caso 5. ................ 94 Figura 4.81: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso 5. ................................................................................................................ 94 Figura 4.82: Tensões após segundo transitório da entrada do 3° estágio, Caso 5. ................... 95 Figura 4.83: Correntes após segundo transitório da entrada do 3° estágio, Caso 5. ................ 95 Figura 4.84: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso 5. ..................................................................................................................... 96 Figura 4.85: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 3º estágio, Caso 5. ................................................................................................................ 97

xiii

Figura 4.86: Tensões, Caso 1 e 2. ............................................................................................. 99 Figura 4.87: Correntes, Caso 1 e 2. ........................................................................................ 100 Figura 4.88: Tensões, Caso 1 e 3. ........................................................................................... 101 Figura 4.89: Correntes, Caso 1 e 3. ........................................................................................ 101 Figura 4.90: Tensões, Caso 1 e primeiro transitório do Caso 4. ............................................ 102 Figura 4.91: Tensões, Caso 1 e segundo transitório do Caso 4. ............................................. 102 Figura 4.92: Correntes, Caso 1 e primeiro transitório do Caso 4. .......................................... 103 Figura 4.93: Correntes, Caso 1 e segundo transitório do Caso 4............................................ 103 Figura 4.94: Tensões, Caso 1 e primeiro transitório do Caso 5. ............................................ 104 Figura 4.95: Tensões, Caso 1 e segundo transitório do Caso 5. ............................................. 104 Figura 4.96: Correntes, Caso 1 e primeiro transitório do Caso 5. .......................................... 105 Figura 4.97: Correntes, Caso 1 e segundo transitório do Caso 5............................................ 105 Figura 4.98: Tensões, Caso 2 e 3. ........................................................................................... 106 Figura 4.99: Correntes, Caso 2 e 3. ........................................................................................ 106 Figura 4.100: Tensões, Caso 2 e primeiro transitório do Caso 4............................................ 107 Figura 4.101: Tensões, Caso 2 e segundo transitório do Caso 4. ........................................... 107 Figura 4.102: Correntes, Caso 2 e primeiro transitório do Caso 4. ........................................ 108 Figura 4.103: Correntes, Caso 2 e segundo transitório do Caso 4. ........................................ 108 Figura 4.104: Tensões, Caso 2 e primeiro transitório do Caso 5............................................ 109 Figura 4.105: Tensões, Caso 2 e segundo transitório do Caso 5. ........................................... 109 Figura 4.106: Correntes, Caso 2 e primeiro transitório do Caso 5. ........................................ 110 Figura 4.107: Correntes, Caso 2 e segundo transitório do Caso 5. ........................................ 110 Figura 4.108: Tensões, Caso 3 e primeiro transitório do Caso 4............................................ 111 Figura 4.109: Tensões, Caso 3 e segundo transitório do Caso 4. ........................................... 111 Figura 4.110: Correntes, Caso 3 e primeiro transitório do Caso 4. ........................................ 112 Figura 4.111: Correntes, Caso 3 e segundo transitório do Caso 4. ........................................ 112 Figura 4.112: Tensões, Caso 3 e primeiro transitório do Caso 5............................................ 113 Figura 4.113: Tensões, Caso 3 e segundo transitório do Caso 5. ........................................... 113 Figura 4.114: Correntes, Caso 3 e primeiro transitório do Caso 5. ........................................ 114 Figura 4.115: Correntes, Caso 3 e segundo transitório do Caso 5. ........................................ 114 Figura 4.116: Tensões, primeiro transitório do Caso 4 e 5. ................................................... 115 Figura 4.117: Tensões, segundo transitório do Caso 4 e 5. .................................................... 115 Figura 4.118: Correntes, primeiro transitório do Caso 4 e 5. ................................................. 116 Figura 4.119: Correntes, segundo transitório do Caso 4 e 5. ................................................. 116 Figura A.1: Compilação das páginas 18 e 19 do catálogo da Prysmian ................................ 122

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 1.1: Faixa de fator de potência atualmente usada pelo PRODIST. ................................ 1 Tabela 1.2: Faixa de fator de potência determinada pelos Procedimentos de Rede. .................. 2 Tabela 3.1: Dados dos motores do caso base. .......................................................................... 25 Tabela 3.2: Lista de cabos na Ilha d’Água. .............................................................................. 27 Tabela 3.3: Reatância dos cabos da Ilha d’Água. ..................................................................... 28 Tabela 3.4: Fechamento tripolar das chaves. ............................................................................ 34 Tabela 3.5: Fechamento unipolar das chaves. .......................................................................... 34 Tabela 4.1: Tensões e correntes de pico e RMS na fase A, caso base. .................................... 39 Tabela 4.2: Tensões de pico e RMS na fase A, Caso 1. ........................................................... 40 Tabela 4.3: Correntes de pico e RMS na fase A, Caso 1. ......................................................... 40 Tabela 4.4: Evolução do fator de potência da unidade. ............................................................ 41 Tabela 4.5: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 1º estágio, Caso 1......... 44 Tabela 4.6: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 2° estágio, Caso 1. ....... 47 Tabela 4.7: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 3° estágio, Caso 1. ....... 51 Tabela 4.8: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 1º estágio, Caso 2......... 54 Tabela 4.9: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 2º estágio, Caso 2......... 56 Tabela 4.10: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 3º estágio, Caso 2....... 58 Tabela 4.11: Tensões e correntes transitórias de pico após a entrada do 1° estágio, Caso 3. .. 61 Tabela 4.12: Tensões e correntes transitórias de pico após a entrada do 2° estágio, Caso 3. .. 64 Tabela 4.13: Tensões e correntes transitórias de pico após a entrada do 3° estágio, Caso 3. .. 66 Tabela 4.14: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso 4. ................................................... 71 Tabela 4.15: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso 4. ................................................... 71 Tabela 4.16: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso 4. ................................................... 71 Tabela 4.17: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso 4. ................................................... 76 Tabela 4.18: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso 4. ................................................... 76 Tabela 4.19: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso 4. ................................................... 76 Tabela 4.20: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso 4. ................................................... 81 Tabela 4.21: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso 4. ................................................... 81 Tabela 4.22: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso 4. ................................................... 81 Tabela 4.23: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso 5. ................................................... 86 Tabela 4.24: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso 5. ................................................... 87 Tabela 4.25: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso 5. ................................................... 87 Tabela 4.26: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso 5. ................................................... 92 Tabela 4.27: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso 5. ................................................... 92 Tabela 4.28: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso 5. ................................................... 92 Tabela 4.29: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso 5. ................................................... 98 Tabela 4.30: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso 5. ................................................... 98 Tabela 4.31: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso 5. ................................................... 98 Tabela 4.32: Resumo da descrição de cada caso. ..................................................................... 99

xv

1 Introdução

1.1 Contextualização no Cenário Brasileiro

Em 1966, por meio do Decreto n° 59.414, foram definidas as primeiras regras

brasileiras acerca da energia reativa. Naquele primeiro momento foi limitado um fator de

potência indutivo médio de 0,90 para consumidores do serviço de transmissão e 0,85 para os

demais consumidores [1].

Desde então os decretos n° 86.463 de 1981 e 479 de 1992, as portarias n° 085 de

1992 e 613 de 1993, ambas do Departamento Nacional de Água e Energia Elétrica e a

resolução n° 456 de 2000 da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) foram

publicados promovendo algumas alterações nos níveis de fator de potência aceitáveis no

sistema elétrico. Atualmente o Módulo 8 do Procedimento de Distribuição de Energia Elétrica

no Sistema Elétrico Nacional (PRODIST), elaborado pela ANEEL, é o documento base para

adequação de itens referentes à Qualidade de Energia Elétrica, entre estes o fator de potência.

Em sua 4ª revisão, com vigência até 31/12/2014, é regulamentado que o fator de

potência para unidades consumidoras ou para conexão entre distribuidoras com tensão inferior

a 230 kV deve estar dentro dos níveis apresentados pela Tabela 1.1.

Tabela 1.1: Faixa de fator de potência atualmente usada pelo PRODIST.

Tensão nominal no ponto de conexão Faixa de fator de potência

Vn ≤ 230 kV 0,92 indutivo a 0,92 capacitivo

Unidades consumidoras com tensão igual ou superior a 230 kV deixam de ser regidas

pelo PRODIST e devem seguir as determinações dos Procedimentos de Rede elaborados pelo

ONS (Operador Nacional do Sistema Elétrico). O Submódulo 3.6 deste documento trata dos

requisitos técnicos mínimos para a conexão à rede básica, estipulando que o fator de potência

operacional dos pontos de conexão deve estar dentro das faixas apresentadas pela Tabela 1.2.

1

Tabela 1.2: Faixa de fator de potência determinada pelos Procedimentos de Rede.

Tensão nominal no ponto de conexão Faixa de fator de potência

Vn ≥ 345 kV 0,98 indutivo a 1,00

69 kV ≤ Vn < 345 kV 0,95 indutivo a 1,00

Vn < 69 kV 0,92 indutivo a 0,92 capacitivo

A legislação regula os níveis de fator de potência aceitáveis para as unidades

consumidoras, podendo haver por parte da empresa distribuidora cobrança de multa ou

taxação sobre o excesso de energia reativa que se está consumindo.

A correção do fator de potência tem como objetivo fazer com que o sistema elétrico

opere com maior eficiência energética e utilize de uma maneira melhor a energia que realiza

trabalho em relação à energia transmitida. No caso de um baixo fator de potência, maiores

correntes irão passar pelo circuito para alimentar uma mesma carga. A consequência direta

deste fato é a necessidade de um sistema de transmissão e distribuição mais robusto e a

existência de maiores perdas em virtude da circulação de maiores níveis de corrente.

Numa instalação são causas para um baixo fator de potência: motores de indução

trabalhando em vazio, motores superdimensionados, transformadores operando em vazio ou

com carga leve, fornos a arco, equipamentos eletrônicos (em algumas situações), entre outras

[2].

Visando um melhor aproveitamento do sistema elétrico e a redução no pagamento de

multas por parte dos consumidores, torna-se interessante a injeção de energia reativa próxima

à carga de acordo com a variação que esta apresenta ao longo do dia para que se busque estar

dentro dos níveis estipulados pelas Tabela 1.1 e Tabela 1.2.

Como a maior parte das cargas conectadas ao sistema elétrico são

predominantemente indutivas, aumentar o fator de potência significa injetar potência reativa

neste. Este aumento do fator de potência pode ser feito de diversas maneiras, entre elas com o

uso de motores síncronos sobre-excitados (compensadores síncronos), através do uso de

eletrônica de potência (compensadores estáticos) ou de capacitores (bancos de capacitores).

A presença de elementos indutivos e capacitivos nos circuitos leva à ocorrência de

fenômenos de ressonância que geram sobretensões e sobrecorrentes intensas no circuito,

sendo necessário estudar a magnitude destes fenômenos e como eles podem impactar o

sistema elétrico em que estão presentes.

2

1.2 Objetivo

O objetivo deste trabalho é a elaboração de um estudo sobre os transitórios gerados

pela energização de bancos de capacitores e quais estratégias podem mitigar seus efeitos. O

principal objeto de estudo são os bancos utilizados por unidades consumidoras comerciais ou

industriais que buscam fazer a correção do seu fator de potência. Busca-se realizar uma

análise qualitativa das sobretensões e sobrecorrentes, bem como do conteúdo harmônico

imposto a um alimentador industrial, no curto período de tempo seguinte ao chaveamento dos

bancos de capacitores.

1.3 Organização do Trabalho

Este trabalho está dividido da seguinte maneira:

• A Seção 2 apresenta alguns conceitos que são utilizados ao longo do trabalho

e permitem a escolha de determinados parâmetros;

• A Seção 3 apresenta a metodologia que conduz a execução do trabalho,

descrevendo o sistema em que foram feitas as análises e realizando a

modelagem de seus componentes, além de apresentar os métodos que seriam

utilizados para minimizar os transitórios gerados pelo chaveamento do banco

de capacitores;

• A Seção 4 apresenta e realiza comparações entre os resultados das simulações

propostas na Seção 3;

• Na Seção 5 são apresentadas algumas conclusões a que os resultados

permitiram chegar, comentadas as limitações e dificuldade encontradas no

decorrer do trabalho e feitas algumas propostas de trabalhos futuros

relacionados aos temas tratados;

• O Apêndice A apresenta um memorial de cálculo que levou a determinação

de alguns parâmetros utilizados nas simulações;

• O Apêndice B apresenta os códigos dos programas que permitiram a coleta

de dados das simulações realizadas.

3

2 Fundamentos Teóricos

Tendo em vista a complexidade de alguns pontos e conceitos que são utilizados ao

longo deste trabalho, faz-se necessária uma revisão de alguns conceitos que ajudam a

compreensão do estudo que será aqui realizado.

Para uma melhor compreensão de alguns conceitos matemáticos utilizados (uso de

funções senoidais no domínio do tempo, fasores, fasores girantes e transformadas de Laplace

e Fourier) podem ser consultadas as referências [3], [4], [5] e [6]; além das referências [4],

[7], [8] e [9] para alguns conceitos referentes aos elementos de circuitos e circuitos trifásicos.

2.1 Potência de Circuitos Monofásicos CA

2.1.1 Representação Temporal

Seja o circuito monofásico em corrente alternada apresentado na Figura 2.1:

Figura 2.1: Circuito monofásico genérico.

Quando alimentado por uma tensão 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎 cossenoidal que fornece uma corrente 𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎, a

potência instantânea 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 que circula por este circuito é dada pela Equação (2.1):

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎 (2.1)

Para uma carga linear, a tensão e a corrente neste circuito são expressas por [10]:

𝑣𝑣𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑉𝑉𝑀𝑀 cos𝜔𝜔𝜔𝜔

𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝐼𝐼𝑀𝑀 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑) (2.2)

4

O termo carga linear é referente a uma classe de cargas que, se alimentadas por uma

fonte de tensão senoidal de uma frequência específica, produz somente corrente senoidal de

mesma frequência que a fonte de alimentação [11]. Com as definições utilizadas pela Equação

(2.2), a Equação (2.1) será:

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑀𝑀𝐼𝐼𝑀𝑀 cos𝜔𝜔𝜔𝜔 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑) (2.3)

As identidades trigonométricas apresentadas por (2.4) permitirão que (2.3) seja

reorganizada como será mostrado:

cos(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) =

12

[cos(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + cos(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)]

cos(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = cos 𝑎𝑎 cos 𝑏𝑏 − sen𝑎𝑎 sen 𝑏𝑏 (2.4)

Assim:

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑀𝑀𝐼𝐼𝑀𝑀12

[cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑) + cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)]

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 =𝑉𝑉𝑀𝑀𝐼𝐼𝑀𝑀

2cos(2𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑) +

𝑉𝑉𝑀𝑀𝐼𝐼𝑀𝑀2

cos(𝜑𝜑)

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 =𝑉𝑉𝑀𝑀𝐼𝐼𝑀𝑀

2[cos(2𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑) + cos(𝜑𝜑)] (2.5)

A Equação (2.5) mostra que a potência instantânea tem uma componente oscilatória

com o dobro da frequência de oscilação do sinal de alimentação acrescida de uma

componente com valor constante.

A potência média fornecida à carga é dada por:

𝑃𝑃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝜔𝜔2𝜋𝜋

� 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑𝜔𝜔2𝜋𝜋 𝜔𝜔�

0

𝑃𝑃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝜔𝜔2𝜋𝜋

�𝑉𝑉𝑀𝑀𝐼𝐼𝑀𝑀

2[cos(2𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑) + cos(𝜑𝜑)]𝑑𝑑𝜔𝜔

2𝜋𝜋 𝜔𝜔�

0

𝑃𝑃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =𝑉𝑉𝑀𝑀𝐼𝐼𝑀𝑀

2�𝜔𝜔2𝜋𝜋

12𝜔𝜔

�sen 2𝜋𝜋 𝜔𝜔� − sen 0� +𝜔𝜔2𝜋𝜋

cos(𝜑𝜑) �2𝜋𝜋 𝜔𝜔� − 0��


2cos(𝜑𝜑) (2.6)

Como para um sinal senoidal a relação entre o valor máximo (valor de pico) e o seu

valor eficaz é de √2 [12], a Equação (2.6) pode ser reescrita em função da tensão e corrente

eficaz:


2cos(𝜑𝜑) =

𝑉𝑉𝑀𝑀√2

𝐼𝐼𝑀𝑀√2

cos(𝜑𝜑)

𝑃𝑃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 cos(𝜑𝜑) (2.7)

5

Retornando à (2.5) com o auxílio das relações trigonométricas de (2.4) e da

representação utilizada por (2.7) é possível definir novos conceitos:

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒[cos 2𝜔𝜔𝜔𝜔 cos𝜑𝜑 + sen 2𝜔𝜔𝜔𝜔 sen𝜑𝜑] + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 cos(𝜑𝜑)

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 cos 2𝜔𝜔𝜔𝜔 cos𝜑𝜑 + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 cos𝜑𝜑 + 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 sen 2𝜔𝜔𝜔𝜔 sen𝜑𝜑 (2.8)

Às parcelas apresentadas em (2.8), o valor médio de Pai será denominado potência

ativa (P) e o valor de pico de Pri será denominado potência reativa (Q). Sendo assim:

�𝑃𝑃 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 cos𝜑𝜑𝑄𝑄 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 sen𝜑𝜑 (2.9)

2.1.2 Representação Fasorial

Como foi dito através das Equações (2.6) e (2.7), a potência média pode ser expressa

através dos valores de amplitude ou dos valores eficazes da tensão e da corrente. Neste ponto

são definidas duas grandezas. A potência aparente (S) é definida como o produto 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 e o

fator de potência (FP) à relação entre a potência ativa e a aparente. Desta maneira:

𝐹𝐹𝑃𝑃 =𝑃𝑃𝑆𝑆

(2.10)

Utilizando a definição de potência ativa apresentada pela Equação (2.9):

𝐹𝐹𝑃𝑃 =𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 cos𝜑𝜑𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒

= cos(𝜑𝜑) (2.11)

No domínio da frequência, a tensão e a corrente que circulam no circuito da Figura

2.1 são:

𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴̇ = 𝑉𝑉𝑀𝑀∠0

𝐼𝐼𝐴𝐴�̇�𝐴 = 𝐼𝐼𝑀𝑀∠ − 𝜑𝜑 (2.12)

Pode-se definir potência complexa (S) entregue a uma carga como o produto da

tensão pelo conjugado da corrente [12]:

�̇�𝑆 =12𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴̇ 𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴∗̇ =

12𝑉𝑉𝑀𝑀𝐼𝐼𝑀𝑀∠𝜑𝜑 (2.13)

�̇�𝑆 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒̇ 𝐼𝐼𝑚𝑚�̇�𝑒∗ = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒∠𝜑𝜑 (2.14)

Ao passar a representação de (2.14) da forma polar para a retangular:

�̇�𝑆 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 cos𝜑𝜑 + 𝑗𝑗𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝐼𝐼𝑚𝑚𝑒𝑒 sen𝜑𝜑 (2.15)

Através das definições de (2.9):

Pri: potência reativa instantânea Pai: potência ativa instantânea

6

�̇�𝑆 = 𝑃𝑃 + 𝑗𝑗𝑄𝑄 (2.16)

2.1.3 Conclusão Parcial

Para diferenciar os termos mostrados em (2.15) são utilizadas unidades de medida

diferentes para eles. A potência ativa é medida em watts (W), a potência reativa é medida em

volt–ampère reativo (VAr) e a potência aparente é medida em volt–ampère (VA).

Vale ressaltar que a potência fornecida por uma fonte é a aquela definida como

potência aparente. Ao separar esta grandeza em duas parcelas apenas se está buscando uma

melhor maneira de quantificar a energia que realiza trabalho da restante. A Equação (2.8)

ilustra essa separação. Para exemplificar estes conceitos são mostrados nas Figura 2.2 e

Figura 2.3 os gráficos dos sinais de um circuito com as seguintes características:

⎩⎨

⎧𝑓𝑓 = 60 𝐻𝐻𝐻𝐻

𝐹𝐹𝑃𝑃 = cos−1(20°)𝑉𝑉(𝜔𝜔) = 5 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔) 𝑉𝑉

𝐼𝐼(𝜔𝜔) = 1,2 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 20°) 𝑉𝑉

(2.17)

Figura 2.2: Sinais do circuito exemplo.

7

Figura 2.3: Parcelas da potência instantânea.

A Figura 2.2 mostra os sinais de tensão, corrente e potência como são apresentados

através de (2.2) e (2.3). Já a Figura 2.3 mostra as parcelas da potência instantânea como são

apresentadas por (2.8). É possível ver que o sinal representado por um traço e um ponto

(potência ativa instantânea) possui duas componentes, uma constante (linha pontilhada) e uma

que oscila com o dobro da frequência do sinal de tensão (linha contínua). Também é possível

ver que o sinal tracejado (potência reativa instantânea) oscila com o dobro da frequência

(linha tracejada).

Torna-se possível entender melhor a razão da potência reativa instantânea não

realizar trabalho. Ao longo de um ciclo de oscilação, a integral desta parcela é nula, i.e. ela

não possui valor médio. Conceitualmente isto significa que a energia que é entregue na parte

do ciclo positiva é consumida na parte negativa.

2.2 Potência em Circuitos Trifásicos Equilibrados

Seja um circuito trifásico cujas tensões de fase são mostradas na Equação (2.18):

�𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔) = √2𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎 cos𝜔𝜔𝜔𝜔

𝑉𝑉𝑏𝑏𝑎𝑎(𝜔𝜔) = √2𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 120°)𝑉𝑉𝑐𝑐𝑎𝑎(𝜔𝜔) = √2𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 120°)

(2.18)

Este circuito alimenta uma carga trifásica equilibrada e ligada em Y cuja impedância

é 𝑍𝑍�̇�𝑌 = 𝑍𝑍∠𝜑𝜑. Neste caso, as correntes que circularão por ele serão:

8

�𝐼𝐼𝑎𝑎(𝜔𝜔) = √2𝐼𝐼𝑎𝑎 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑)

𝐼𝐼𝑏𝑏(𝜔𝜔) = √2𝐼𝐼𝑎𝑎 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑 − 120°)𝐼𝐼𝑐𝑐(𝜔𝜔) = √2𝐼𝐼𝑎𝑎 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑 + 120°)

(2.19)

A potência instantânea de um circuito deste tipo é a soma das potências instantâneas

das três fases, assim:

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜔𝜔) = 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔)𝐼𝐼𝑎𝑎(𝜔𝜔) + 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑎𝑎(𝜔𝜔)𝐼𝐼𝑏𝑏(𝜔𝜔) + 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑎𝑎(𝜔𝜔)𝐼𝐼𝑐𝑐(𝜔𝜔) (2.20)

O tratamento do resultado dos produtos apresentados na Equação (2.20) é feito de

maneira análoga a que foi feita na Seção 0. Com o auxílio das relações trigonométricas

apresentadas pela Equação (2.4) e algumas simplificações [12]:

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜔𝜔) = 3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎 cos𝜑𝜑 (2.21)

Em função das tensões de linha, a Equação (2.21) pode ser apresentada como:

𝑝𝑝𝑖𝑖𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖(𝜔𝜔) = √3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑏𝑏𝐼𝐼𝑎𝑎 cos𝜑𝜑 (2.22)

Tratando-se da potência complexa em termos da tensão de fase e de linha:

�̇�𝑆 = 3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎̇ 𝐼𝐼�̇�𝑎∗ = 3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎∠𝜑𝜑 (2.23)

�̇�𝑆 = √3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑏𝑏̇ 𝐼𝐼�̇�𝑎∗ = √3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑏𝑏𝐼𝐼𝑎𝑎∠𝜑𝜑 (2.24)

Da mesma maneira que para o caso monofásico, �̇�𝑆 = 𝑃𝑃 + 𝑗𝑗𝑄𝑄. As parcelas de

potência ativa e reativa em função das tensões e correntes de fase e de linha são:

�𝑃𝑃 = √3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑏𝑏𝐼𝐼𝑎𝑎 cos𝜑𝜑𝑄𝑄 = √3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑏𝑏𝐼𝐼𝑎𝑎 sen𝜑𝜑

(2.25)

�𝑃𝑃 = 3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎 cos𝜑𝜑𝑄𝑄 = 3𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼𝑎𝑎 sen𝜑𝜑 (2.26)

2.3 Correção do Fator de Potência

2.3.1 Triângulo de Potências

Como foi definido na Seção 0 por (2.10), as potências ativa e aparente podem ser

relacionadas através do fator de potência. É comum representar as grandezas P, Q e S através

do triângulo mostrado na Figura 2.4, conhecido como Triângulo de Potências.

9

Figura 2.4: Triângulo de Potências.

Na Figura 2.4 está representado o triângulo de potências de uma carga qualquer. O

sinal positivo ou negativo atribuído à potência reativa (Q) trata da representação de uma carga

com perfil indutivo ou capacitivo, respectivamente.

Por se tratar o cosseno de uma função par, apenas falar do fator de potência não

fornece todas as informações acerca da carga em questão. Por esta razão é comumente tratado

que as cargas indutivas têm 𝑄𝑄 > 0 e que cargas capacitivas têm 𝑄𝑄 < 0. Cargas resistivas

apresentam 𝑄𝑄 = 0, fazendo com que 𝑆𝑆 = 𝑃𝑃.

A correção do fator de potência consiste em reduzir o montante de potência reativa

que o sistema provê através da injeção de potência reativa, com o intuito de se chegar a um

fator de potência desejado. A determinação da potência reativa a ser injetada é feita através

das relações matemáticas e que envolvem o triângulo de potências da Figura 2.5.

Figura 2.5: Triângulo de potências para correção do FP.

Inicialmente esta instalação tem potência aparente S, potência ativa P e potência

reativa Q. Através de (2.11) é possível determinar o fator de potência dela:


= cos𝜑𝜑 (2.27)

10

Por se tratar de uma instalação com fator de potência indutivo (Q > 0), o uso do

capacitor ou banco de capacitores irá reduzir a potência reativa vista pelo sistema, subtraindo

Qcap do seu montante. Este valor pode ser determinado ao se fixar o valor de potência reativa

desejado após a correção Qcorr [13]:

𝑄𝑄𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑄𝑄 − 𝑄𝑄𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (2.28)

Utilizando a relação entre potência ativa e reativa pode-se determinar a potência do

banco de capacitores:

tg𝜑𝜑 =𝑄𝑄𝑃𝑃

,𝜑𝜑 = cos−1 𝐹𝐹𝑃𝑃 (2.29)

tg𝜑𝜑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑄𝑄𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑃𝑃

,𝜑𝜑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = cos−1 𝐹𝐹𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (2.30)

Assim, (2.28) pode ser reescrita como:

𝑄𝑄𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑃𝑃(tg𝜑𝜑 − tg𝜑𝜑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) (2.31)

2.3.2 Diagrama Fasorial

A correção do fator de potência também pode ser entendida através da injeção de

corrente capacitiva no circuito.

Figura 2.6: Circuito com injeção de corrente de um capacitor.

No circuito da Figura 2.6 uma carga, representada por um resistor em série com um

indutor, consome a corrente IL. Um capacitor é ligado em paralelo a ela e passa a consumir a

corrente IC que é 90° adiantada em relação à tensão. Neste momento o sistema passa a

fornecer a corrente I. O diagrama fasorial desta situação será como o mostrado na Figura 2.7:

11

Figura 2.7: Diagrama fasorial para uma correção do fator de potência.

2.4 Elevação no Perfil de Tensão

A instalação de bancos de capacitores também promove uma elevação no perfil de

tensão no ponto de conexão. Seja uma carga XL alimentada por uma fonte VS. A impedância

equivalente no ponto de conexão da carga é XS. Uma chave S permite a entrada de um banco

capacitivo de reatância XC. Sua representação é mostrada na Figura 2.8.

Figura 2.8: Representação de um sistema com alimentação, carga e banco capacitivo.

Seu diagrama fasorial segue na Figura 2.9:

Figura 2.9: Diagrama fasorial com elevação de tensão promovida por um banco capacitivo.

12

Através de relações geométricas é possível determinar a variação de tensão ΔV

promovida após a chave S ter sido ligada e o circuito ter atingido o regime permanente.

Com a chave desligada:

𝑉𝑉𝑆𝑆2 = (𝑉𝑉𝐿𝐿 + 𝑋𝑋𝑆𝑆𝐼𝐼 sen𝜑𝜑)2 + (𝑋𝑋𝑆𝑆𝐼𝐼 cos𝜑𝜑)2 (2.32)

Com a chave ligada:

𝑉𝑉𝑆𝑆2 = (𝑉𝑉𝐿𝐿′ + 𝑋𝑋𝑆𝑆𝐼𝐼′ sen𝜑𝜑′)2 + (𝑋𝑋𝑆𝑆𝐼𝐼′ cos𝜑𝜑′)2 (2.33)

Igualando-se as relações entre os catetos verticais:

𝑋𝑋𝑆𝑆𝐼𝐼 cos𝜑𝜑 = 𝑋𝑋𝑆𝑆𝐼𝐼′ cos𝜑𝜑′

𝐼𝐼𝐼𝐼′

=cos𝜑𝜑′

cos𝜑𝜑

𝐼𝐼𝐼𝐼′

=𝐹𝐹𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐹𝐹𝑃𝑃

(2.34)

Para os catetos da base:

(𝑉𝑉𝐿𝐿 + 𝑋𝑋𝑆𝑆𝐼𝐼 sen𝜑𝜑)2 = (𝑉𝑉𝐿𝐿′ + 𝑋𝑋𝑆𝑆𝐼𝐼′ sen𝜑𝜑′)2

∆𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝐿𝐿′ − 𝑉𝑉𝐿𝐿

∆𝑉𝑉 = 𝑋𝑋𝑆𝑆(𝐼𝐼 sen𝜑𝜑 − 𝐼𝐼′ sen𝜑𝜑′)

∆𝑉𝑉 = 𝑋𝑋𝑆𝑆 �𝑄𝑄 − 𝑄𝑄𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑉𝑉𝑆𝑆�

∆𝑉𝑉 = 𝑋𝑋𝑆𝑆𝑄𝑄𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑉𝑉𝑆𝑆

(2.35)

2.5 Conexões de Capacitores em Circuitos Trifásicos

Cinco conexões de bancos de capacitores são as mais comuns, a mais indicada para

cada circuito dependerá da tensão de operação a que cada célula será submetida, dos tipos de

fusíveis existentes na instalação e sua proteção da mesma [14].

2.5.1 Estrela Aterrada

Este tipo de conexão oferece uma baixa impedância para terra às correntes

harmônicas, reduzindo assim os níveis de sobretensão alimentados por estas [2].

As vantagens da ligação estrela aterrada em relação à isolada são: o custo inicial do

banco deve ser menor porque não é necessário que o neutro esteja isolado ao nível básico de

isolamento do sistema (NBI); os fenômenos transitórios de restrike de tensão (também 13

chamados de reacendimento, ocorrendo quando a extinção do arco que se forma dentro dos

disjuntores não ocorre eficientemente e após este haver sido extinto acabar se formando

novamente e a condução de corrente continuar ocorrendo) nos disjuntores são reduzidos e os

esforços mecânicos são menos severos para sua estrutura. As desvantagens em relação à

estrela isolada são: maiores correntes de inrush e de terra; possibilidade de ocasionar

interferência em sistemas de comunicação e a necessidade de um relé de neutro devido à

baixa impedância que esta configuração oferece para correntes de falta [15].

Figura 2.10: Configuração estrela aterrada.

2.5.2 Estrela Aterrada Dividida

As características deste tipo de circuito são semelhantes à da configuração com

apenas um grupo, sendo este tipo de arranjo utilizado para bancos de grande capacidade. Suas

vantagens e desvantagens também são semelhantes às da ligação estrela aterrada. Os neutros

de ambos os grupos divididos devem ser conectados e então ser feita uma conexão direta para

o aterramento da instalação [14].

A proteção deste tipo de circuito deve ser capaz de detectar qualquer desbalanço já

que a circulação de correntes de sequência zero afetará ambos os lados do grupo. Caso a

corrente que passa por cada ramo do grupo venha a exceder a capacidade de uma unidade é

possível adicionar mais grupos e tornar o sistema maior [14].

Figura 2.11: Configuração estrela aterrada dividida.

14

2.5.3 Estrela Isolada

A conexão estrela isolada apresenta a vantagem de não permitir a circulação de

correntes de sequência zero, terceiro harmônico ou a passagem de grandes correntes em

situações de falhas que envolvam defeitos com a terra. Outra vantagem desta conexão é o fato

de haver limitação das correntes de defeito pelas impedâncias das fases não envolvidas no

mesmo [2].

Sua desvantagem é a necessidade do neutro ser isolado para a tensão de fase porque

em situações de manobra ou troca de células defeituosas o potencial do neutro pode atingir o

potencial de fase [14].

Figura 2.12: Configuração estrela isolada.

2.5.4 Estrela Isolada Dividida

As vantagens e desvantagens desta configuração são as mesmas da que não é

dividida, sendo utilizada quando se há necessidade de prover uma grande quantidade de

potência reativa por grupo, de maneira análoga à que a estrela aterrada dividida está para a

estrela aterrada [14].

A configuração dividida é popular por permitir uma fácil detecção de desbalanço no

neutro através da conexão de TCs e TPs a eles [14].

Figura 2.13: Configuração estrela isolada dividida.

15

2.5.5 Delta

A conexão Δ geralmente é utilizada em redes secundárias e apresenta a vantagem de

não apresentar sobretensões durante uma situação de falha de algum dos seus ramos,

impossibilidade da circulação de correntes de 3° harmônico no seu interior e a capacidade dos

fusíveis de cada ramo de interromper correntes de defeitos no sistema [2].

Suas desvantagens estão ligadas à complexidade e custo altos da proteção [2].

Figura 2.14: Configuração delta.

2.6 Transitórios em Circuitos Elétricos

Um transitório elétrico é a manifestação aparente de uma súbita mudança nas

condições de um circuito, e.g. quando uma chave é aberta ou fechada ou ocorre uma falha no

sistema. Normalmente o tempo em que os circuitos ficam submetidos ao regime transitório é

insignificante quando comparado ao que passam em regime permanente, mas o

comportamento durante este período é de grande importância, já que nele os componentes dos

circuitos são submetidos a grandes estresses provenientes de altas correntes ou tensões [5].

Dependendo da condição do circuito (transitório ou regime permanente) algumas

características dele serão predominantes. A energia acumulada pela indutância (L) no campo

magnético e capacitância (C) no campo elétrico é função da corrente �12� 𝐿𝐿𝐼𝐼2� e da tensão

�12� 𝐶𝐶𝑉𝑉2� instantâneas, respectivamente, enquanto a resistência apenas dissipa a energia

acumulada a uma taxa de 𝑅𝑅𝐼𝐼2.

Quando uma súbita mudança ocorre no circuito, uma redistribuição da energia nele

contida ocorre para que se adeque às novas condições. Porém, esta redistribuição não ocorre

de maneira instantânea por duas razões:

16

• Para variar a energia magnética é necessária uma variação da corrente no

indutor. A variação da corrente é oposta por uma tensão de magnitude

𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝜔𝜔� . Uma variação instantânea de corrente iria necessitar de uma tensão

infinita para tornar isto possível, o que não é realizável na prática.

• A variação da energia elétrica necessita de uma variação de tensão no

capacitor e como para haver uma variação de tensão no capacitor é necessária

passar por ele uma corrente 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝜔𝜔� , uma variação instantânea de tensão iria

demandar uma corrente infinita, o que também não é realizável na prática.

As subseções seguintes mostrarão alguns modelos de circuitos e seus

comportamentos transitórios.

2.6.1 Transitório de um Circuito RL

Seja um circuito RL como o apresentado na Figura 2.15:

Figura 2.15: Circuito RL.

Através das Leis de Kirchhoff, a partir do momento em que o contato S for fechado:

𝑣𝑣(𝜔𝜔) = 𝑅𝑅𝑖𝑖(𝜔𝜔) + 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔

(2.36)

A equação diferencial que representa este circuito é de primeira ordem, desta

maneira só será necessário o conhecimento de uma condição de contorno.

A tensão que alimenta este circuito pode ter uma forma de onda qualquer, mas neste

caso será escolhida uma do tipo senoidal já que é o caso que se pretende estudar. Desta

maneira, (2.36) passará a ser:

𝑉𝑉𝑚𝑚 sen(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃) = 𝑅𝑅𝑖𝑖(𝜔𝜔) + 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔

(2.37)

17

Segundo Greenwood [5], a fase θ é acrescida à alimentação para permitir o

fechamento da chave S a qualquer momento do tempo.

Após uma simples expansão da soma de senos:

𝑉𝑉𝑚𝑚[sen𝜔𝜔𝜔𝜔 cos 𝜃𝜃 + sen𝜃𝜃 cos𝜔𝜔𝜔𝜔] = 𝑅𝑅𝑖𝑖(𝜔𝜔) + 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔

(2.38)

Utilizando a Transformada de Laplace para (2.38):

𝑉𝑉𝑚𝑚 �𝜔𝜔

𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔2 cos 𝜃𝜃 +𝑠𝑠

𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔2 sen𝜃𝜃� = 𝑅𝑅𝐼𝐼(𝑠𝑠) + 𝐿𝐿[𝑠𝑠𝐼𝐼(𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(0)] (2.39)

Como a chave S estava aberta, no momento do seu fechamento 𝑖𝑖(0) = 0, assim a

corrente será:

𝐼𝐼(𝑠𝑠) =𝑉𝑉𝑚𝑚

𝑅𝑅 + 𝑠𝑠𝐿𝐿�

𝜔𝜔𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔2 cos 𝜃𝜃 +

𝑠𝑠𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔2 sen𝜃𝜃� (2.40)

Utilizando frações parciais e a Transformada Inversa de Laplace em (2.40) é possível

chegar a uma expressão para a corrente no domínio do tempo. Para facilitar a maneira de se

escrever esta, utiliza-se a constante de tempo do circuito 𝛼𝛼 = 𝑅𝑅𝐿𝐿� , assim:

𝑖𝑖(𝜔𝜔) =𝑉𝑉𝑚𝑚

𝐿𝐿(𝛼𝛼2 + 𝜔𝜔2) �𝜔𝜔 cos 𝜃𝜃 �𝑒𝑒−𝛼𝛼𝑖𝑖 − cos𝜔𝜔𝜔𝜔 +𝛼𝛼𝜔𝜔

sen𝜔𝜔𝜔𝜔�

+ sen𝜃𝜃 (𝛼𝛼 cos𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜔𝜔 sen𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝑖𝑖)�


𝐿𝐿(𝛼𝛼2 + 𝜔𝜔2)[(𝜔𝜔 cos 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼 sen𝜃𝜃)𝑒𝑒−𝛼𝛼𝑖𝑖

− (𝜔𝜔 cos 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼 sen𝜃𝜃) cos𝜔𝜔𝜔𝜔

+ (𝛼𝛼 cos𝜃𝜃 + 𝜔𝜔 sen𝜃𝜃) sen𝜔𝜔𝜔𝜔]

(2.41)

Em regime permanente o fator de potência do circuito da Figura 2.15 é:

cos𝜑𝜑 =𝑅𝑅

�𝑅𝑅2 + (𝜔𝜔𝐿𝐿)2 (2.42)

Em função da constante de tempo α:

�cos𝜑𝜑 =

𝛼𝛼√𝛼𝛼2 + 𝜔𝜔2

sen𝜑𝜑 =𝜔𝜔

√𝛼𝛼2 + 𝜔𝜔2

(2.43)

Utilizando (2.43), (2.41) pode ser reescrita como:


�𝑅𝑅2 + (𝜔𝜔𝐿𝐿)2[sen(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜃𝜃 − 𝜑𝜑) − sen(𝜃𝜃 − 𝜑𝜑) 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝑖𝑖] (2.44)

A análise de (2.44) mostra que a resposta transitória do circuito RL é composta por

duas parcelas, a primeira que representa o circuito em regime permanente e a segunda que diz

18

respeito apenas ao estado transitório, já que para um tempo suficientemente grande a parcela

exponencial tenderá para zero. Também é possível notar que no instante inicial (𝜔𝜔 = 0) a

primeira e a segunda parcela possuem valor nulo, mostrando que a corrente realmente parte de

zero.

Este tipo de circuito é um modelo simplificado razoável para um disjuntor, sendo o

fechamento da chave S equivalente à ocorrência de uma falha [5].

2.6.2 Transitório de um Circuito LC

Seja um circuito LC como o apresentado na Figura 2.16. Como neste caso existem

duas fontes de armazenamento de energia, a equação que irá representar este circuito quando

a chave S for fechada será de segunda ordem.

𝑣𝑣(𝜔𝜔) = 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔

+ 𝑣𝑣𝐶𝐶(𝜔𝜔) (2.45)

Figura 2.16: Circuito LC.

A Equação (2.45) pode ser resolvida em função da corrente no indutor ou da tensão

no capacitor:

⎩⎨

⎧𝑣𝑣(𝜔𝜔) = 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔

+1𝐶𝐶� 𝑖𝑖(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔

𝑣𝑣(𝜔𝜔) = 𝐿𝐿𝐶𝐶𝑑𝑑2𝑣𝑣𝐶𝐶(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔2

+ 𝑣𝑣𝐶𝐶(𝜔𝜔) (2.46)

Para o cálculo da corrente de energização do capacitor (corrente inrush) é comum

que se considere a tensão constante já que a frequência do transitório é muito maior que a do

sistema de potência [5].

Assim, para a primeira equação de (2.46) a Transformada de Laplace é:

𝑉𝑉𝑠𝑠

= 𝐿𝐿[𝑠𝑠𝐼𝐼(𝑠𝑠) − 𝑖𝑖(0)] +1𝑠𝑠𝐶𝐶

[𝐼𝐼(𝑠𝑠) + 𝑞𝑞𝐶𝐶(0)] (2.47)

19

onde 𝑞𝑞𝐶𝐶(0) é a carga inicial no capacitor. Como 𝑣𝑣𝐶𝐶 = 𝑞𝑞𝐶𝐶𝐶𝐶� :

𝑉𝑉 = 𝑠𝑠2𝐿𝐿𝐼𝐼(𝑠𝑠) − 𝑠𝑠𝐿𝐿𝑖𝑖(0) +𝐼𝐼(𝑠𝑠)𝐶𝐶

+ 𝑣𝑣𝐶𝐶(0) (2.48)

Admitindo que a corrente inicial seja nula, a expressão para a corrente é:

𝐼𝐼(𝑠𝑠) =𝑉𝑉 − 𝑣𝑣𝐶𝐶(0)𝑠𝑠2𝐿𝐿 + 1

𝐶𝐶� (2.49)

Definindo neste ponto a frequência natural 𝜔𝜔0 e a impedância característica 𝑍𝑍0 do

circuito:

⎩⎪⎨

⎪⎧𝜔𝜔0 =

1√𝐿𝐿𝐶𝐶

𝑍𝑍0 = �𝐿𝐿𝐶𝐶

(2.50)

Através de (2.50), (2.49) é reescrita como:

𝐼𝐼(𝑠𝑠) =𝑉𝑉 − 𝑣𝑣𝐶𝐶(0)

𝑍𝑍0𝜔𝜔0

𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔02 (2.51)

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

𝑖𝑖(𝜔𝜔) =𝑉𝑉 − 𝑣𝑣𝐶𝐶(0)

𝑍𝑍0sen𝜔𝜔0𝜔𝜔 (2.52)

Através da segunda equação de (2.46) é feito o cálculo da tensão no capacitor já

utilizando as definições de (2.50):

𝜔𝜔02𝑉𝑉 =

𝑑𝑑2𝑣𝑣𝐶𝐶(𝜔𝜔)𝑑𝑑𝜔𝜔2

+ 𝜔𝜔02𝑣𝑣𝐶𝐶(𝜔𝜔) (2.53)

Aplicando a Transformada de Laplace em (2.53):

𝜔𝜔02𝑉𝑉𝑠𝑠

= 𝑠𝑠2𝑉𝑉𝐶𝐶(𝑠𝑠) − 𝑠𝑠𝑣𝑣𝐶𝐶(0) − 𝑣𝑣𝐶𝐶′(0) + 𝜔𝜔02𝑉𝑉𝐶𝐶(𝑠𝑠) (2.54)

Como 𝑖𝑖(0) = 0 ⟹ 𝑣𝑣𝐶𝐶′(0) = 0. Logo, (2.54) passa a ser:

𝑉𝑉𝐶𝐶(𝑠𝑠) =1𝑠𝑠

𝜔𝜔02𝑉𝑉

𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔02 +

𝑠𝑠𝑣𝑣𝐶𝐶(0)𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔0

2 (2.55)

Como o uso de frações parciais, (2.55) pode ser reescrita:

𝑉𝑉𝐶𝐶(𝑠𝑠) = 𝑉𝑉 �1𝑠𝑠−

𝑠𝑠𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔0

2� + 𝑣𝑣𝐶𝐶(0)𝑠𝑠

𝑠𝑠2 + 𝜔𝜔02 (2.56)

Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:

𝑉𝑉𝐶𝐶(𝜔𝜔) = 𝑉𝑉[1 − cos𝜔𝜔0𝜔𝜔] + 𝑣𝑣𝐶𝐶(0) cos𝜔𝜔0𝜔𝜔

20

𝑉𝑉𝐶𝐶(𝜔𝜔) = 𝑉𝑉 − [𝑉𝑉 − 𝑣𝑣𝐶𝐶(0)] cos𝜔𝜔0𝜔𝜔 (2.57)

Apenas com o intuito de mostrar a complexidade que envolve a previsão do

comportamento transitório de um circuito deste tipo, utilizou-se o software Mathematica para

que fosse resolvida a equação diferencial que rege o circuito caso fosse considerado que a

fonte de alimentação não fosse tratada como um degrau, como foi feito nesta sessão. O

resultado obtido é mostrado em (2.58):

𝑉𝑉𝐶𝐶(𝜔𝜔) =1

𝜔𝜔0(𝜔𝜔2 − 𝜔𝜔02)[𝜔𝜔2 sen(𝜔𝜔𝜔𝜔0)𝑉𝑉0 + 𝜔𝜔2 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔0)𝑉𝑉0𝜔𝜔0

− sen(𝜔𝜔𝜔𝜔0)𝑉𝑉0𝜔𝜔02 + cosθ𝜔𝜔 sen(𝜔𝜔𝜔𝜔0)𝑉𝑉𝑚𝑚𝜔𝜔0

2

− cos(𝜔𝜔𝜔𝜔0)𝑉𝑉0𝜔𝜔03 − senθ cos(𝜔𝜔ω)𝑉𝑉𝑚𝑚𝜔𝜔0

3

+ sinθ cos(𝜔𝜔𝜔𝜔0)𝑉𝑉𝑚𝑚𝜔𝜔03 − cosθ sen(𝜔𝜔ω)𝑉𝑉𝑚𝑚𝜔𝜔0

3]

(2.58)

onde 𝑉𝑉𝑚𝑚 é a amplitude da fonte, 𝑉𝑉0 é a tensão inicial no capacitor e 𝜃𝜃 é o ângulo que leva em

consideração o momento em que a chave foi fechada. Também é interessante ressaltar que

este é o caso de um circuito LC e que ao inserir um resistor nesta análise a sua complexidade

aumenta consideravelmente.

2.7 Energização Back-to-Back

Considerando agora um modelo como o da Figura 2.17 em que é feita e energização

de um segundo loop LC. À energização de um capacitor em paralelo com outro já conectado

dá-se o nome de ligação ou configuração Back-to-Back.

Figura 2.17: Energização Back-to-Back.

Quando um capacitor é ligado sua tensão não se altera instantaneamente, um

transitório eletromagnético ocorre e através do fenômeno de ressonância a troca de energia

21

entre os elementos indutivos �12� 𝐿𝐿𝐼𝐼2� e capacitivos �1

2� 𝐶𝐶𝑉𝑉2� do circuito se dá antes que o

circuito retorne à sua frequência de operação (60 Hz).

Ao se energizar apenas um capacitor a frequência de oscilação da tensão é da ordem

de 300 a 1000 Hz. Tratando-se da corrente, esta oscilação varia entre 200 e 600 Hz. Quando é

chaveado um banco em paralelo com um já existente (configuração Back-to-Back), a

frequência transitória da tensão pode ser de 2 a 10 kHz, enquanto para corrente esta pode ficar

entre 5 e 20 kHz [16].

Durante a energização do primeiro banco pode-se dizer que este interage com a fonte

que o alimenta. Não havendo reatâncias em série com a capacitância do segundo banco, a

indutância da fonte pode ser desprezada e ser tratado que a corrente que alimenta o segundo

capacitor vem do primeiro banco. O circuito resultante é mostrado na Figura 2.18:

Figura 2.18: Circuito equivalente da configuração Back-to-Back.

Uma comparação da Figura 2.18 com a Figura 2.16 permite notar que estes circuitos

são idênticos ao se substituir a capacitância do primeiro circuito por uma equivalente do

segundo. Neste caso é possível utilizar (2.52) e (2.57) com os parâmetros do novo circuito e

determinar a corrente inrush e tensão transitória resultante da energização do segundo banco.

Seja:

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧𝐶𝐶𝑚𝑚𝑒𝑒 =

𝐶𝐶1𝐶𝐶2𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2

𝜔𝜔2 =1

�𝐿𝐿2𝐶𝐶𝑚𝑚𝑒𝑒

𝑍𝑍2 = �𝐿𝐿2𝐶𝐶𝑚𝑚𝑒𝑒

(2.59)

Então:

𝑖𝑖𝐶𝐶2(𝜔𝜔) =𝑉𝑉𝐶𝐶1𝑍𝑍2

sen𝜔𝜔2𝜔𝜔 (2.60)

𝑉𝑉𝐶𝐶2(𝜔𝜔) = 𝑉𝑉𝐶𝐶1 − [𝑉𝑉𝐶𝐶1 − 𝑣𝑣𝐶𝐶2(0)] cos𝜔𝜔2𝜔𝜔 (2.61)

22

3 Metodologia

A metodologia do trabalho visa observar o comportamento de um circuito que possui

fator de potência fora da faixa recomendada pelas Tabela 1.1 ou Tabela 1.2 após a instalação

de um banco de capacitores de 3 estágios. São investigados os transitórios apresentados por

este banco mediante a energização do mesmo com o uso de quatro técnicas para mitigar seus

transitórios: chaveamento síncrono tripolar e unipolar, indutor de pré-inserção e resistor de

pré-inserção, concentrando a maioria das observações de resultados no barramento de entrada

da unidade.

Todas as simulações realizadas neste capítulo são feitas no software de simulação de

transitórios eletromagnéticos Electromagnetic Transient Program/Alternative Transient

Program (EMTP/ATP®), com tempo de amostragem de 1 μs e tempo de execução de 5 s, e

seus dados são analisados graficamente com auxílio do software Matrix Laboratory

(MATLAB®).

3.1 Circuito sem Uso de Capacitores – Caso Base

O caso base foi retirado de uma condição operacional da Ilha d’Água, unidade do

Terminal Aquaviário da Baía de Guanabara (TABG), que faz parte da Petrobras Transportes

S.A. – Transpetro, subsidiária integral da Petrobras.

A Ilha d’Água foi construída no final da década de 50 e é responsável pela

transferência e estocagem de derivados de petróleo claros e escuros entre a Refinaria de

Duque de Caxias (REDUC), o Terminal Terrestre de Campos Elíseos (TECAM) e os navios e

barcaças que chegam até seus píeres através de operações de importação, exportação,

cabotagem e abastecimento. A alimentação elétrica da Ilha d’Água é suprida através da Light

Serviços de Eletricidade S.A. – Light, através de duas linhas de 13,8 kV que saem do bairro da

Freguesia na Ilha do Governador, Rio de Janeiro.

Baseando-se no desenho de engenharia DE-4150.30-5140-946-PTG-001 – Esquema

Unifilar Geral de Alta Tensão 13,2/2,4 kV – presente no arquivo técnico da unidade, o

diagrama unifilar que contempla os barramentos de 13,8 e 2,4 kV da instalação é mostrado na

Figura 3.1 [17].

23

Figura 3.1: Diagrama unifilar de entrada da Ilha d’Água.

24

Atualmente a unidade possui um banco de capacitores de dois estágios (900 kVAr

por estágio, ligado em Y no barramento de 13,8 kV) que não vem sendo utilizado por estar

sobredimensionado. Este banco foi projetado e instalado durante um planejamento de

expansão da capacidade de bombeamento da Ilha d’Água. Como durante o desenvolvimento

do projeto houve uma mudança no cenário de produção e escoamento de petróleo e derivados

não esperada pela empresa, as novas cargas que seriam instaladas na unidade não o foram, e

hoje a operação de apenas um dos estágios deste banco já excede a injeção de reativos

necessários à correção do fator de potência, fazendo até mesmo com que este passe a ficar

capacitivo, fazendo com que a tensão ultrapasse os limites admitidos pela distribuidora e

pelos equipamentos instalados na unidade.

Diante deste fato buscou-se dimensionar um banco de capacitores que pudesse suprir

uma condição operacional da unidade, tendo um enfoque em minimizar as sobretensões e

sobrecorrentes geradas pela entrada deste banco, já que algumas cargas mais sensíveis

passaram a fazer parte da unidade e estas podem sentir os efeitos destes transitórios.

A condição operacional escolhida é a operação de três bombas de transferência do

barramento de 2,4 kV simultaneamente, a P-4A (transferência de escuros como óleo

combustível), a P-3D (abastecimento de barcaça com MF-380) e a P-3F (transferência de

claros como nafta). A Tabela 3.1 mostra os dados de tensão, potência, fator de potência e

eficiência dos motores que alimentam estas bombas.

Tabela 3.1: Dados dos motores do caso base.

Tensão

(VL) [kV]

Potência

(Pmec) [cv]

Fator de Potência

(FP)

Eficiência

(η)

Carga 1 P-4A 2,4 1370 0,905 0,955

Carga 2 P-3D 2,4 200 0,900 0,920

Carga 3 P-3F 2,4 710 0,840 0,940

Esta condição operacional representa apenas as cargas de maior potência que estão

ligadas num dado momento. A unidade opera continuamente com alguns equipamentos

auxiliares às suas atividades, tais como compressores de ar, válvulas motorizadas, circuitos de

iluminação, misturadores, bombas do sistema de combate a incêndio, entre outros. Porém, a

contribuição destes equipamentos para a potência total e a mudança do fator de potência da

unidade é pouco representativa para os valores apresentados pela Tabela 3.1. Por este motivo,

estes outros equipamentos não serão aqui representados.

25

Deseja-se observar o comportamento de uma determinada parcela do diagrama

unifilar da unidade, sendo esta mostrada na Figura 3.2. A simulação do caso base tem como

intuito representar as formas de ondas de tensão e corrente no barramento de entrada da

unidade e comprovar os valores de fator de potência desta condição operacional através das

medições de corrente e tensão em regime permanente.

Figura 3.2: Unifilar da parcela do circuito tratada como Caso Base.

A modelagem dos elementos do circuito é feita referindo todo o sistema ao lado de

alta tensão (13,8 kV), já que os capacitores são instalados neste barramento. Desta maneira é

necessário modelar os componentes que aparecem na Figura 3.2 referindo-os para o lado de

alta tensão.

3.1.1 Modelagem da Rede

A rede de alimentação é modelada como uma fonte ideal atrás de uma indutância,

sendo esta determinada através da corrente de curto circuito trifásico da linha em operação. A

Linha Marreiros mostrada na Figura 3.1 é a principal para alimentação da unidade:

𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 ≅ 19,7 𝑘𝑘𝑘𝑘 (3.1)

Baseado em (3.1) [5]:

𝑋𝑋𝑆𝑆 =13,8 𝑘𝑘𝑉𝑉

19,7√3 𝑘𝑘𝑘𝑘

26

𝑋𝑋𝑆𝑆 = 0,4044 𝛺𝛺 (3.2)

Para determinar a indutância a ser utilizada no modelo é necessário usar a relação

entre impedância indutiva e indutância:

𝑋𝑋 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝐿𝐿 (3.3)

Desta maneira:

𝑋𝑋𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝐿𝐿𝑆𝑆

𝐿𝐿𝑆𝑆 = 1,0728 𝑚𝑚𝐻𝐻 (3.4)

3.1.2 Modelagem do Barramento de 13,8 kV

A partir das listas de materiais LI-4150.30-6000-700-EGV-002 – Lista de Cargas –

[18] e LI-4150.30-6500-721-INN-101 – Lista de Eletrodutos e Cabos – [19] são obtidas as

informações sobre os cabos elétricos que são utilizados na unidade. No memorial de cálculo

MC-4150.30-6521-700-CHZ-001 – Cabos de Força da Ilha d’Água – [20] são utilizados os

dados do catálogo da Prysmian para determinação dos parâmetros elétricos dos cabos da

unidade (APÊNDICE A – MEMÓRIA DE CÁLCULO). São utilizados os de modelo

Eprotenax Compact. Os dados de interesse neste estudo são mostrados na Tabela 3.2.

Tabela 3.2: Lista de cabos na Ilha d’Água.

De Para Cabo Tensão

[kV]

Comprimento

[m]

Reatância por

Comprimento [Ω/km]

PN-6201 TF-6201 3x1/C-300mm² 13,8 490 0,091+j0,263

PN-6201 Capacitor 3x4/0 AWG 13,8 25 0,222+j0,1231

TF-6201 PN-6202 6x1000 MCM 2,4 15 0,061+j0,244

PN-6202 P-4A 3X500 MCM 2,4 130 0,100+j0,102

PN-6202 P-3D 3X2/0 AWG 2,4 120 0,343+j0,119

PN-6202 P-3F 3X250 MCM 2,4 130 0,197+j0,110

A partir da Tabela 3.2 pode ser determinada a impedância dos cabos de alimentação.

Estes valores são apresentados na Tabela 3.3.

1 Interpolação, dado não disponível no catálogo. 27

Tabela 3.3: Reatância dos cabos da Ilha d’Água.

De Para Reatância

[Ω]

PN-6201 TF-6201 0,045+j0,129

PN-6201 Capacitor 0,006+j0,003

TF-6201 PN-6202 0,001+j0,004

PN-6202 P-4A 0,013+j0,013

PN-6202 P-3D 0,041+j0,014

PN-6202 P-3F 0,026+j0,014

O lado de 13,8 kV é representado pela linha que liga o PN-6201 aos T-6201A/B e ao

banco de capacitores:

�𝑍𝑍�̇�𝐴 = 0,045 + j0,129 𝛺𝛺𝑍𝑍�̇�𝐶 = 0,006 + j0,003 𝛺𝛺

(3.5)

Assim, com base na Equação (3.3):

�𝐿𝐿𝐴𝐴 = 0,3418 𝑚𝑚𝐻𝐻𝐿𝐿𝐶𝐶 = 8,156 𝜇𝜇𝐹𝐹 (3.6)

A ligação entre os estágio do banco de capacitores é feita com o mesmo tipo de cabo

da sua alimentação. A distância entre cada um dos estágios é de aproximadamente 2 metros.

Com base na reatância por comprimento apresentada na Tabela 3.2:

�𝑍𝑍𝐶𝐶12̇ = 𝑍𝑍𝐶𝐶23̇ = 0,0001 + 𝑗𝑗0,0005 𝛺𝛺𝐿𝐿𝐶𝐶12 = 𝐿𝐿𝐶𝐶23 = 1,294 𝜇𝜇𝐻𝐻 (3.7)

3.1.3 Modelagem dos Transformadores 6201A/B

Os transformadores T-6201A e T-6201B passam a alimentação de entrada da

subestação de 13,8 kV para 2,4 kV, sendo sua a ligação delta-estrela aterrada. A potência

aparente dos mesmos é dependente do tipo de refrigeração que é feita.

A identificação da classe de resfriamento de transformadores é feita por quatro letras:

a primeira é referente ao meio que faz o isolamento interno do transformador, a segunda é

referente ao mecanismo de troca de calor para o meio interno, a terceira é referente ao meio

que faz o resfriamento externo do Trafo e a quarta é referente ao mecanismo de troca de calor

para o meio externo [21].

O isolamento dos T-6201A/B é feito por um líquido não inflamável com convecção

natural e a troca com o meio externo é feita pelo ar e com convecção natural (LNAN). Desta 28

maneira, a potência aparente deste caso é de 3750 kVA. O Transformador é representado

nesta modelagem como uma indutância. Ao referir esta indutância ao lado de alta do mesmo:

𝑍𝑍𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐 = 5,35 % = 0,0535 𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑍𝑍𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐 = 𝑗𝑗138002

3750 𝑘𝑘0,0535

𝑍𝑍𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐 = 𝑗𝑗2,717 𝛺𝛺 (3.8)

A partir da Equação (3.3):

𝐿𝐿𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐 = 7,2067 𝑚𝑚𝐻𝐻 (3.9)

É importante ressaltar que esta modelagem não representa a defasagem angular entre

o primário e secundário do transformador que passa a existir em função da ligação que é feita

em seus terminais. Para os fins que este trabalho se propõe, este tipo de limitação não será

relevante.

3.1.4 Modelagem do Barramento de 2,4 kV

Para determinar a indutância do barramento de 2,4 kV referida ao lado de 13,8 kV é

necessário utilizar a relação de transformação dos TF-6201A/B. A relação de transformação

em um transformador é definida na Equação (3.10).

𝑛𝑛 =𝑉𝑉𝑃𝑃𝑉𝑉𝑆𝑆

=𝐼𝐼𝑆𝑆𝐼𝐼𝑃𝑃

(3.10)

onde VP e VS são as tensões do primário (de alta) e do secundário (de baixa) do transformador,

respectivamente.

Sendo ZL a impedância de um elemento conectado no secundário de um

transformador, sua relação com a tensão e corrente deste lado é:

𝑍𝑍�̇�𝐿 =𝑉𝑉�̇�𝑆𝐼𝐼�̇�𝑆

(3.11)

A impedância equivalente vista pelo lado do primário do transformador será:

𝑍𝑍𝐿𝐿′̇ =𝑉𝑉�̇�𝑃𝐼𝐼�̇�𝑃

(3.12)

Utilizando as relações estabelecidas pelas Equações (3.10) e (3.11), a Equação (3.12)

pode ser reescrita na Equação (3.13):

𝑍𝑍𝐿𝐿′̇ = 𝑛𝑛2𝑍𝑍�̇�𝐿 (3.13)

29

Com base na Equação (3.13) as impedâncias da linha de alimentação do PN-6202 e

das bombas de transferência, que estão contidas na Tabela 3.3, são mostradas com após serem

referidas ao lado de alta do transformador:

�𝑍𝑍𝐵𝐵−𝑃𝑃𝐴𝐴′̇ = 0,030 + 𝑗𝑗0,121 𝛺𝛺𝐿𝐿𝐵𝐵−𝑃𝑃𝐴𝐴′ = 0,3210 𝑚𝑚𝐻𝐻

(3.14)

�𝑍𝑍𝐵𝐵−4𝐴𝐴′̇ = 0,430 + 𝑗𝑗0,438 𝛺𝛺𝐿𝐿𝐵𝐵−4𝐴𝐴′ = 1,1629 𝑚𝑚𝐻𝐻

(3.15)

�𝑍𝑍𝐵𝐵−3𝐷𝐷′̇ = 1,361 + 𝑗𝑗0,472 𝛺𝛺𝐿𝐿𝐵𝐵−3𝐷𝐷′ = 1,2524 𝑚𝑚𝐻𝐻

(3.16)

�𝑍𝑍𝐵𝐵−3𝐹𝐹′̇ = 0,847 + 𝑗𝑗0,473 𝛺𝛺𝐿𝐿𝐵𝐵−3𝐹𝐹′ = 1,2541 𝑚𝑚𝐻𝐻

(3.17)

3.1.5 Modelagem das Cargas

As cargas deste sistema serão modeladas como uma impedância constante. Desta

maneira é necessário determinar os parâmetros que as modelam. A relação entre a potência

mecânica, elétrica e eficiência do motor é mostrada na Equação (3.18).

𝑃𝑃 =𝑃𝑃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐 ∗ 736

𝜂𝜂 (3.18)

Utilizando a relação estabelecida pela Equação (2.10), os dados apresentados na

Tabela 3.1 e a Equação (3.18):

�𝑃𝑃1 = 1055,8 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑆𝑆1 = 1166,7 𝑘𝑘𝑉𝑉𝑘𝑘

�𝑃𝑃2 = 160,0 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑆𝑆2 = 177,8 𝑘𝑘𝑉𝑉𝑘𝑘

�𝑃𝑃3 = 555,9 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑆𝑆3 = 661,8 𝑘𝑘𝑉𝑉𝑘𝑘

(3.19)

Partindo da Equação (2.23) é possível determinar a impedância de uma carga em

função da sua potência complexa e tensão de fase:

�̇�𝑆 = 3𝑉𝑉�̇�𝐹𝐼𝐼𝐹𝐹∗̇ = 3𝑉𝑉�̇�𝐹 �𝑉𝑉�̇�𝐹𝑍𝑍�̇�𝑌�∗

= 3|𝑉𝑉𝐹𝐹|2

𝑍𝑍�̇�𝑌∗

⇒ 𝑍𝑍�̇�𝑌∗ =

3|𝑉𝑉𝐹𝐹|2

𝑃𝑃 + 𝑗𝑗𝑄𝑄→ 𝑍𝑍�̇�𝑌

∗ =3|𝑉𝑉𝐹𝐹|2

𝑃𝑃 + 𝑗𝑗𝑄𝑄∙𝑃𝑃 − 𝑗𝑗𝑄𝑄𝑃𝑃 − 𝑗𝑗𝑄𝑄

⇒ 𝑍𝑍�̇�𝑌 =3|𝑉𝑉𝐹𝐹|2(𝑃𝑃 + 𝑗𝑗𝑄𝑄)

𝑃𝑃2 + 𝑄𝑄2

30

Como 𝑄𝑄 = 𝑃𝑃 tg(cos−1 𝐹𝐹𝑃𝑃):

𝑍𝑍�̇�𝑌 =3|𝑉𝑉𝐹𝐹|2𝑃𝑃[1 + 𝑗𝑗 tg(cos−1 𝐹𝐹𝑃𝑃)]

𝑆𝑆2 (3.20)

Com os dados de (3.19) e da Tabela 3.1, ao utilizar a tensão de alta na

Equação (3.20), e ao fazer uso da Equação (3.3) para determinar a indutância do elemento:

�𝑍𝑍1𝑌𝑌′̇ = 147,7 + 𝑗𝑗69,44 𝛺𝛺𝐿𝐿1𝑌𝑌′ = 184,2 𝑚𝑚𝐻𝐻

�𝑍𝑍2𝑌𝑌′̇ = 964,1 + 𝑗𝑗466,9 𝛺𝛺𝐿𝐿2𝑌𝑌′ = 1239 𝑚𝑚𝐻𝐻

�𝑍𝑍3𝑌𝑌′̇ = 241,7 + 𝑗𝑗156,1 𝛺𝛺𝐿𝐿3𝑌𝑌′ = 414,2 𝑚𝑚𝐻𝐻

(3.21)

3.1.6 Simulação para o Caso Base

A partir da modelagem realizada até este ponto foi criado no ATP o circuito

mostrado na Figura 3.3:

Figura 3.3: Circuito simulado para o caso base.

Diante da inexistência de uma malha de controle de tensão buscou-se manter esta

próxima do valor nominal das máquinas em seus barramentos (13,8 kV de linha ao refletir os

2,4 kV nominais para o lado de alta). Isto permitiria que o modelo RL proposto para as cargas

consumisse a potência esperada para em cada um dos ramos que as representavam. Este

objetivo foi atingido ao escolher uma tensão de 14 kV para a fonte que representava a

alimentação da rede.

31

3.2 Circuito com Correção do Fator de Potência – Caso 1

Na Equação (2.31) foi determinado o montante de potência reativa capacitiva a ser

injetada em uma instalação para que se chegasse a um fator de potência desejado. Com base

nos valores recomendados pela Tabela 1.1, deseja-se chegar a um fator de potência mínimo de

0,92 indutivo.

Os resultados de (3.19) permitem determinar a potência ativa e aparente total da

unidade. Com a relação estabelecida na Equação (2.10) também é possível determinar o fator

de potência total da unidade:

𝑃𝑃 = 𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2 + 𝑃𝑃3 = 1771,7 𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑆𝑆 = 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆2 + 𝑆𝑆3 = 2006,3 𝑘𝑘𝑉𝑉𝑘𝑘


= 0,8831

(3.22)

A potência consumida para as simulações aqui realizadas não leva em consideração

as outras cargas que estão em funcionamento na unidade, mesmo com algumas delas

permanecendo ligadas durante todo o tempo. Apesar deste fato, deseja-se corrigir o fator de

potência para 0,92 indutivo.

Com os dados de (3.22), ao usar a Equação (2.31) é possível determinar a potência

reativa capacitiva que deve ser injetada para corrigir o fator de potência da unidade. Desta

maneira:

𝑄𝑄𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑎𝑎𝑡𝑡 = 1771,7[tg(cos−1 0,8831) − tg(cos−1 0,92)] 𝑘𝑘

𝑄𝑄𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑎𝑎𝑡𝑡 = 186,6 𝑘𝑘𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘 (3.23)

Um dos objetivos de se dividir um banco de capacitores em 2 ou mais estágios é a

possibilidade de injeção de potência reativa gradual, de acordo com o aumento da demanda.

Pode ser feita uma divisão que proporcione o maior número possível de combinações de

potência que devem ser controlados de maneira a corrigir o fator de potência em diversas

situações operacionais. Como não será feito um estudo que leva em consideração outra

condição operacional, os 3 estágios do banco em questão serão divididos por igual, tendo cada

um a potência de aproximadamente 63 kVAr.

A impedância capacitiva para o banco ligado em Y será:

𝑋𝑋𝐶𝐶1𝑌𝑌 = 3|𝑉𝑉𝐹𝐹|2

𝑄𝑄𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 (3.24)

32

Desta maneira, a capacitância de cada unidade de um estágio é dada por:

𝐶𝐶1𝑌𝑌 =𝑄𝑄𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐

2𝜋𝜋𝑓𝑓|𝑉𝑉𝐿𝐿|2 (3.25)

Considerando a tensão de alta:

𝐶𝐶1𝑌𝑌 = 0,8775 𝜇𝜇𝐹𝐹 (3.26)

A simulação neste caso visa mostrar o efeito do chaveamento dos capacitores num

instante em que a tensão passa por um pico. O circuito usado para simulação é mostrado na

Figura 3.4, onde o primeiro estágio será energizado em um pico de tensão da fase A, próximo

de 0,2 s, o segundo no primeiro pico próximo de 1,5 s e o terceiro no primeiro pico próximo

de 3,0 s para que observar os efeitos da energização simples e da configuração Back-to-Back.

Figura 3.4: Circuito simulado para Caso 1.

Após uma simulação inicial que visava à adequação do momento que as chaves

deveriam ser fechadas foi detectado que utilizar os valores de 0,2 s, 1,5 s e 3,0 s para

fechamento de cada uma das chaves atendia o requisito da fase A estar próxima de um pico.

3.3 Chaveamento Síncrono

O chaveamento síncrono visa minimizar os efeitos causados pela energização do

banco num momento de pico, como foi mostrado nas Equações (2.57) e (2.61). Estando o

capacitor descarregado, ao energizá-lo quando a tensão está próxima de zero a sobretensão e a

33

corrente de inrush terão magnitudes menores. Este chaveamento pode ser feito de maneira

unipolar (cada fase sendo energizada quando a sua tensão for próxima a zero) ou tripolar

(energização das três fases quando uma delas estiver próxima a zero).

O circuito utilizado para simulação do chaveamento síncrono possui a mesma

topologia do apresentado na Figura 3.4, sendo apenas modificado o momento em que as

chaves dos capacitores seriam fechadas.

3.3.1 Chaveamento Síncrono Tripolar– Caso 2

Foi escolhido o momento em que a tensão na fase A estaria próxima de zero para

energizar os capacitores com o fechamento tripolar de cada uma das chaves. Estes instantes

seriam próximos de 0,2 s, 1,5 s e 3,0 s para cada uma das chaves. Os valores escolhidos são

apresentados na Tabela 3.4:

Tabela 3.4: Fechamento tripolar das chaves.

Chave 1 Chave 2 Chave 3

Fechamento da chave 𝜔𝜔 = 0,1959 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = 1,4959 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = 2,9958 𝑠𝑠

3.3.2 Chaveamento Síncrono Unipolar – Caso 3

Foi escolhido o momento em que a tensão de cada uma das fases estaria próxima de

zero para energizar os capacitores com o fechamento tripolar de cada uma das chaves. Estes

instantes seriam próximos de 0,2 s, 1,5 s e 3,0 s para cada uma das chaves. Os valores

escolhidos são apresentados na Tabela 3.5.

Tabela 3.5: Fechamento unipolar das chaves.

Chave 1 Chave 2 Chave 3

Fechamento da fase A 𝜔𝜔 = 0,1959 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = 1,4959 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = 2,9958 𝑠𝑠

Fechamento da fase B 𝜔𝜔 = 0,1847 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = 1,4848 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = 2,9847 𝑠𝑠

Fechamento da fase C 𝜔𝜔 = 0,1903 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = 1,4903 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = 2,9903 𝑠𝑠

34

3.4 Uso de Resistor de Pré-Inserção – Caso 4

O uso de resistores de pré-inserção visa à limitação da corrente que energiza os

capacitores descarregados, minimizando assim a sobretensão e corrente de inrush que surgem

no circuito. Após um tempo os capacitores estarão carregados ou com parte de sua carga

completa, então a chave que está ligada em paralelo a eles é fechada e o resistor deixa de fazer

parte do circuito.

A escolha dos valores de resistência a serem utilizados depende da configuração do

ponto de conexão do banco (energização simples ou Back-to-Back) e da potência do mesmo.

Normalmente a escolha destes valores busca a equalização do transitório gerado no momento

que o ramo RC está energizado com o gerado no momento em que a chave do resistor é aberta

para que apenas os capacitores estejam ligados ao circuito [22].

Inicialmente foi utilizada neste trabalho a recomendação prevista no relatório técnico

n° 16 elaborado pelo ramo Power & Energy Society, Institute of Electrical and Electronics

Engineers (PES, IEEE), onde é definido que o valor ótimo de resistência a ser utilizado para

controlar o transitório na energização de um banco de capacitores é dado por:

𝑅𝑅ótimo = �𝐿𝐿𝑆𝑆𝐶𝐶

(3.27)

onde LS é a indutância da fonte (que neste caso também levará em consideração a indutância

dos cabos desde a entrada da unidade até o capacitor) e C é a capacitância do banco a ser

energizado [23]. Levando em consideração que a indutância da fonte, do barramento de

entrada e do barramento até cada um dos capacitores.

𝑅𝑅ótimo ≅ 40 𝛺𝛺 (3.28)

A simulação foi feita com valores de resistência 5 vezes maiores que este, já que é

recomendado que o resistor de pré-inserção tenha valores maiores ou iguais à resistência

ótima [22]. As chaves dos ramos principais foram configuradas para fecharem em 0,2 s, 1,5 s

e 3,0 s, respectivamente. O fechamento de cada uma das chaves em paralelo aos resistores foi

configurado para ocorrer em 1,2 s, 2,5 s e 3,5 s, respectivamente.

35


3.5 Uso de Indutor de Pré-Inserção – Caso 5

O uso de indutores de pré-inserção limita a corrente que energiza os capacitores

descarregados, da mesma maneira que os resistores de pré-inserção, minimizando assim a

sobretensão e corrente de inrush que surgem no circuito. A redução da sobretensão é

fortemente ligada à indutância da fonte e do indutor escolhido, sendo mais efetiva quando a

indutância escolhida é maior ou igual à da fonte [22]. Levando em consideração que a

indutância da fonte, do barramento de entrada e do barramento até cada um dos capacitores.

𝐿𝐿fonte + 𝐿𝐿barras ≅ 1,4 𝑚𝑚𝐻𝐻 (3.29)

Foi escolhido o mesmo fator de multiplicação entre o valor recomendado e o valor

escolhido que foi usado para os resistores de pré-inserção (5 vezes), e as chaves dos ramos

principais e em paralelo aos indutores foram escolhidas para fecharem no mesmo instante que

o caso anterior utilizou [24].

36


As chaves dos ramos principais foram configuradas para fecharem em 0,2 s, 1,5 s e

3,0 s, respectivamente. O fechamento de cada uma das chaves em paralelo aos resistores foi

configurado para ocorrer em 1,2 s, 2,5 s e 3,5 s, respectivamente.

37

4 Apresentação e Análise dos Resultados

4.1 Caso Base

4.1.1 Regime Permanente

A Figura 4.1 mostra a forma de onda da tensão e corrente de entrada em regime

permanente. O fator de potência pode ser calculado através da diferença entre os ângulos das

formas de onda de tensão e corrente em regime permanente obtida pelo gráfico:

𝜑𝜑 =360°𝑇𝑇

∆𝜔𝜔 (4.1)

Para determinar o fator de potência do caso base foi coletada forma de onda da

tensão e corrente na fase A e aplicada a Equação (4.1) para determinar sua defasagem. Após

isso foi aplicada a Equação (2.11), resultando em:

𝐹𝐹𝑃𝑃 = cos(28,51°) = 0,8787 (4.2)

Figura 4.1: Tensão e corrente em regime permanente, caso base.

38

Com auxílio dos códigos apresentados no APÊNDICE foi elaborada a Tabela 4.1,

que mostra os valores de tensão e corrente, de pico e RMS, na fase A da entrada da unidade e

em cada uma das cargas para que pudesse ser feita uma comparação dos resultados do caso

base com os subsequentes:

Tabela 4.1: Tensões e correntes de pico e RMS na fase A, caso base.

VP [kV] VRMS [kV] IP [A] IRMS [A]

Entrada 11,41 8,066 118,6 83,83

Carga 1 11,26 7,959 68,96 48,76

Carga 2 11,28 7,978 10,53 7,447

Carga 3 11,30 7,987 39,26 27,76

Tratando-se neste caso do regime permanente e de um circuito equilibrado é tratado

que estas grandezas têm os mesmos valores nas outras fases.

Em alguns momentos ao longo da Seção 4 será feita uma análise que busca

investigar se a modelagem do sistema foi compatível com os valores esperados em

determinados parâmetros, sendo utilizada a definição de erro percentual para realizar esta

comparação:

Ε(%) = �𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑚𝑚𝑐𝑐 − 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑚𝑚ó𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑚𝑚𝑐𝑐� ∗ 100 (4.3)

De acordo com os dados de (3.22) era possível determinar a corrente de entrada

utilizando a Equação (2.24), por exemplo:

𝐼𝐼𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 = 83,94 𝑘𝑘 (4.4)

Conforme foi mostrado na Tabela 4.1 o valor obtido a partir da simulação foi:

𝐼𝐼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚 = 83,83 𝑘𝑘 (4.5)

Diante de (4.4) e (4.5) o erro percentual foi menor que 1 % (0,13 %).

4.2 Caso 1

4.2.1 Regime Permanente

As Tabela 4.2 e Tabela 4.3 mostram os valores de tensão e corrente, de pico e RMS,

na fase A da entrada da unidade e em cada uma das cargas antes da utilização dos capacitores

39

e após a entrada de cada estágio do banco coletados com os códigos apresentados no

APÊNDICE.

Tabela 4.2: Tensões de pico e RMS na fase A, Caso 1.

Sem capacitores Um Estágio Dois Estágios Três Estágios

VP

[kV]

VRMS

[kV]

VP

[kV]

VRMS

[kV]

VP

[kV]

VRMS

[kV]

VP

[kV]

VRMS

[kV]

Entrada 11,41 8,066 11,41 8,067 11,41 8,068 11,41 8,069

Carga 1 11,26 7,959 11,26 7,960 11,26 7,961 11,26 7,962

Carga 2 11,28 7,978 11,28 7,979 11,28 7,980 11,29 7,981

Carga 3 11,30 7,987 11,30 7,989 11,30 7,990 11,30 7,991

Tabela 4.3: Correntes de pico e RMS na fase A, Caso 1.


IP [A] IRMS [A] IP [A] IRMS [A] IP [A] IRMS [A] IP [A] IRMS [A]

Entrada 118,6 83,83 116,8 82,60 115,2 81,44 113,6 80,34

Carga 1 68,96 48,76 68,97 48,77 68,98 48,78 68,99 48,79

Carga 2 10,53 7,447 10,53 7,449 10,53 7,450 10,54 7,451

Carga 3 39,26 27,76 39,26 27,76 39,27 27,77 39,27 27,77

De acordo com o que foi apresentado na Seção 2.4, a elevação de tensão poderia ser

calculada através da relação apresentada na Equação (2.35). Ao levar estes conceitos para o

caso simulado será tratado como 𝑉𝑉𝑆𝑆 a tensão de fase da fonte, 𝑋𝑋𝑆𝑆 a reatância da rede, 𝑄𝑄𝐶𝐶𝐴𝐴𝑃𝑃 a

potência capacitiva injetada pelos 3 bancos capacitivo e ∆𝑉𝑉 a variação de tensão na entrada da

unidade, desta maneira:

Δ𝑉𝑉𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 ≅ 5,5 𝑉𝑉 (4.6)

Conforme foi mostrado na Tabela 4.2 o valor obtido a partir da simulação foi:

Δ𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚 ≅ 3 𝑉𝑉 (4.7)

Diante de (4.6) e (4.7) o erro percentual foi elevado, de 82 %.

Utilizando as Equações (4.1) e (2.11) nos intervalos em que não são utilizados os

capacitores e após a entrada de cada um dos estágios foi possível verificar como o fator de

potência ia se comportando de acordo com a ausência ou presença de cada um dos estágios do

banco de capacitores, sendo estes resultados apresentados na Tabela 4.4.

40

Tabela 4.4: Evolução do fator de potência da unidade.


FP 0,8787 0,8893 0,9027 0,9152

𝜑𝜑𝑖𝑖𝑖𝑖 28,51° 27,21° 25,48° 23,77°

Em (3.22) foi determinado o fator de potência da unidade sem a correção do fator de

potência. Com a correção do fator de potência que seria gerada pela presença de um banco de

189 kVAr ao invés dos 186,6 kVAr necessários para levar o fator de potência a 0,92, o fator

de potência esperado após a entrada dos bancos seria de 0,9204. Desta maneira:

�FP𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑜𝑜𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 = 0,8831

FP𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑜𝑜𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 = 0,9204 (4.8)

Através da Tabela 4.4:

�FP𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑜𝑜𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚 = 0,8787FP𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑜𝑜𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚 = 0,9152 (4.9)

Diante de (4.8) e (4.9) o erro percentual foi de 0,5 % para o fator de potência sem

correção e de 0,6% para o corrigido.

4.2.2 Regime Transitório

As formas de onda de tensão e corrente de entrada logo após a entrada de cada

estágio do banco de capacitores são mostradas nas Figura 4.2, Figura 4.4, Figura 4.6, Figura

4.8, Figura 4.10 e Figura 4.11. As Figura 4.2 e Figura 4.4 mostram o transitório gerado pelo

chaveamento do 1° estágio do banco de capacitores, enquanto as Figura 4.3 e Figura 4.5

mostram a composição harmônica da fase A.

41

Figura 4.2: Transitório de tensões após a entrada do 1° estágio, Caso 1.

Figura 4.3: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 1 após entrada do 1º estágio.

42

Figura 4.4: Transitório de correntes após a entrada do 1° estágio, Caso 1.

Figura 4.5: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 1 após entrada do 1º estágio.

As Figura 4.3 e Figura 4.5 mostram que tanto a tensão quanto a corrente de entrada

apresentam grande conteúdo harmônico próximo ao 75° harmônico (4,5 kHz). Através do

código apresentado no Apêndice foi possível elaborar a Tabela 4.5, com a sobretensão e a

sobrecorrente transitória gerada após o chaveamento do 1° estágio do banco de capacitores

nas fases A, B e C.

43

Tabela 4.5: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 1º estágio, Caso 1.

Fase A Fase B Fase C

VP [kV] IP [A] VP [kV] IP [A] VP [kV] IP [A]

Entrada 19,97 391,6 15,25 239,2 15,42 244,9

Carga 1 21,99 70,98 16,06 69,81 16,28 69,87

Carga 2 22,07 10,83 16,11 10,66 16,33 10,67

Carga 3 22,36 40,17 16,25 39,67 16,48 39,69

Conforme apresentado na Seção 2.6.2 o conceito de frequência natural (𝜔𝜔0)

determina a frequência de um circuito oscilatório e a impedância característica (𝑍𝑍0) de um

circuito permite determinar a corrente que passa por ele. O Caso 1 descrevia um circuito em

que o chaveamento do banco de capacitores ocorria num momento de pico na tensão de

alimentação do banco e com este estando desenergizado.

Avaliando o transitório após a energização do 1º estágio do banco de capacitores, a

partir da definição de frequência natural e de impedância característica apresentada na

Equação (2.50):

�𝜔𝜔0−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 = 28,3 ∗ 103 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠

𝑓𝑓0−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 ≅ 4,5 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝑍𝑍0−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 = 40,3 𝛺𝛺

(4.10)

A partir da Equação (2.52), utilizando a tensão de pico de entrada da fase A:

I𝑃𝑃−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 ≅ 284 𝑘𝑘 (4.11)

Através da Tabela 4.5 e da observação feita no parágrafo anterior a esta:

�𝑓𝑓0−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚 ≅ 4,5 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐼𝐼𝑃𝑃−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚 = 391,6 𝑘𝑘 (4.12)

Diante de (4.10), (4.11) e (4.12), o erro percentual foi nulo para a frequência natural

de oscilação e de 27% para a corrente de pico de entrada, o que é um valor alto.

Tratando-se de uma corrente desequilibrada, poderia ser feita uma média aritmética

dos picos de corrente em cada uma das fases para fazer uma segunda comparação. Esta média

foi de 291,9 A e isto levaria a um erro percentual de aproximadamente 3%.

As Figura 4.6 e Figura 4.8 mostram o transitório gerado pelo chaveamento do 2°

estágio do banco de capacitores, enquanto as Figura 4.7 e Figura 4.9 mostram o espectro

harmônico na fase A.

44



45



46

As Figura 4.7 e Figura 4.9 mostram que tanto a tensão quanto a corrente de entrada

apresentam um conteúdo harmônico relevante próximo ao 53° harmônico (aproximadamente

3,2 kHz). A tensão também possui conteúdo perceptível próximo ao 3080° harmônico

(aproximadamente 185 kHz), enquanto nesta região a corrente apresenta um conteúdo suave.

Utilizando novamente o código apresentado no Apêndice foi elaborada a Tabela 4.6, com a

sobretensão e a sobrecorrente gerada após o chaveamento do 2° estágio do banco de

capacitores nas 3 fases.

Tabela 4.6: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 2° estágio, Caso 1.



Entrada 19,22 310,0 14,86 202,7 15,05 207,1

Carga 1 21,05 70,42 15,59 69,52 15,81 69,65

Carga 2 21,12 10,75 15,63 10,62 15,86 10,63

Carga 3 21,39 39,92 15,76 39,51 16,00 39,57

A partir da definição do análogo à frequência natural e à impedância característica

que foi feita na Seção 2.7:

�𝜔𝜔2−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1,33 ∗ 106 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠

𝑓𝑓2−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 ≅ 210 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝑍𝑍2−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1,72 𝛺𝛺

(4.13)

A partir da Equação (2.60), utilizando a tensão de pico de entrada da fase A:

I𝑃𝑃−𝑖𝑖𝑚𝑚𝑐𝑐 ≅ 6,6 𝑘𝑘𝑘𝑘 (4.14)

Através da Tabela 4.6 e da observação feita no parágrafo que anterior a ela:

�𝑓𝑓0−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚 ≅ 185 𝑘𝑘𝐻𝐻𝐻𝐻𝐼𝐼𝑃𝑃−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑚𝑚 = 310,0 𝑘𝑘 (4.15)

De acordo com as definições feitas na Seção 2.7, a frequência natural de oscilação do

sistema seria única, porém foi observado no espectro harmônico da fase A que existiam duas

componentes harmônicas relevantes, uma próxima de 3,2 kHz para tensão e corrente, e outra

na faixa de 185 kHz apenas para a corrente (Figura 4.7 e Figura 4.9). Levando em

consideração esta frequência mais alta, o erro percentual é de aproximadamente 14%; já para

a corrente de pico, o erro percentual foi extremamente alto, maior que 2000%.


estágio do banco de capacitores, enquanto as Figura 4.12 e Figura 4.13 mostram o espectro

harmônico na fase A. 47



48


49


A Figura 4.12 mostra que a tensão de entrada apresenta conteúdo harmônico

perceptível próximo ao 44° harmônico (aproximadamente 2,6 kHz), mais intenso próximo ao

2300° harmônico (aproximadamente 138 kHz) e suave próximo ao 3250° harmônico

(aproximadamente 195 kHz). Já de acordo com a Figura 4.13 é possível notar grande

conteúdo próximo ao 44°, perceptível próximo ao 2300° e suave próximo ao 3250°

harmônico. Mais uma vez utilizando o código apresentado no Apêndice foi elaborada a

50

Tabela 4.7, com a sobretensão e a sobrecorrente gerada após o chaveamento do 3° estágio do

banco de capacitores nas 3 fases.

Tabela 4.7: Tensões e correntes transitórias de pico após entrada do 3° estágio, Caso 1.



Entrada 18,93 276,8 14,77 186,0 14,99 189,6

Carga 1 20,70 70,05 15,49 69,41 15,74 69,50

Carga 2 20,77 10,69 15,54 10,60 15,79 10,62

Carga 3 21,02 39,79 15,65 39,47 15,92 39,48

4.3 Caso 2

Tratando-se do regime permanente o perfil de tensões e correntes de entrada e nas

cargas não é diferente do apresentado nas Tabela 4.2 e

Tabela 4.3 do Caso 1. Diante disso, só serão expostos aqui os resultados coletados

para o regime transitório do Caso 2.


A forma de onda da tensão e corrente de entrada logo após a entrada de cada estágio

do banco de capacitores é mostrada nas Figura 4.14, Figura 4.16, Figura 4.18, Figura 4.20,

Figura 4.22 e Figura 4.24. As Figura 4.14 e Figura 4.16 mostram o transitório gerado pelo


mostram a composição harmônica na fase A.

51



52



Através do código apresentado no Apêndice foi possível elaborar a Tabela 4.8, com a

sobretensão e a sobrecorrente transitória gerada após o chaveamento do 1° estágio do banco

de capacitores nas fases A, B e C:

53




Entrada 11,60 123,0 18,10 350,6 17,74 318,9

Carga 1 11,50 69,00 19,82 70,67 19,18 70,40

Carga 2 11,53 10,54 19,89 10,79 19,25 10,75

Carga 3 11,55 39,28 20,11 40,03 19,47 39,94


estágio do banco de capacitores, enquanto as Figura 4.19 e Figura 4.21 mostram a composição

harmônica na fase A.


54




55

Utilizando novamente o código apresentado no Apêndice foi elaborada a Tabela 4.9,

com a sobretensão e a gerada após o chaveamento do 2° estágio do banco de capacitores:




Entrada 11,57 120,0 17,09 282,5 17,12 259,8

Carga 1 11,48 69,01 18,67 70,13 18,40 70,00

Carga 2 11,50 10,54 18,73 10,70 18,47 10,69

Carga 3 11,52 39,28 18,92 39,77 18,67 39,74


estágio do banco de capacitores.


56



57


Mais uma vez utilizando o código apresentado no Apêndice foi elaborada a Tabela

4.10, com a sobretensão e a sobrecorrente gerada após o chaveamento do 3° estágio do banco

de capacitores.




Entrada 11,55 117,8 16,81 249,2 17,02 235,4

Carga 1 11,43 69,03 18,34 69,96 18,27 69,85

Carga 2 11,46 10,54 18,40 10,68 18,33 10,66

Carga 3 11,48 39,29 18,58 39,73 18,54 39,68

58

É importante ressaltar que a composição harmônica apresenta picos de harmônicos

nas mesmas regiões que o Caso 1 apresentou, tendo apenas sido suavizada a carga harmônica

na fase A em decorrência de haver sido feito o chaveamento sincronizado com esta fase. As

Figura 4.15, Figura 4.17, Figura 4.19, Figura 4.21, Figura 4.23 e Figura 4.25 mostram esta

suavização na fase A.

4.4 Caso 3


A forma de onda da tensão e corrente de entrada logo após a entrada de cada estágio

do banco de capacitores é mostrada nas Figura 4.26, Figura 4.28, Figura 4.30, Figura 4.32,

Figura 4.34 e Figura 4.36. As Figura 4.26 e Figura 4.28 mostram o transitório gerado pelo


mostram a composição harmônica da fase A.

Figura 4.26: Transitório das tensões após a entrada do 1° estágio, Caso 3.

59

Figura 4.27: Espectro harmônico da tensão na fase A do Caso 3 após a entrada do 1° estágio.

Figura 4.28 Transitório das correntes após a entrada do 1° estágio, Caso 3.

Figura 4.29: Espectro harmônico da corrente na fase A do Caso 3 após a entrada do 1° estágio.

60

As Figura 4.27 e Figura 4.29 mostram uma leve composição harmônica próxima ao

75° harmônico (4,5 kHz) para a tensão e próxima ao 53° harmônico (aproximadamente 3,2

kHz) para a corrente. Através do código apresentado no Apêndice foi possível elaborar a

Tabela 4.11, com a sobretensão e a sobrecorrente transitória gerada após o chaveamento do 1°

estágio do banco de capacitores nas fases A, B e C.

Tabela 4.11: Tensões e correntes transitórias de pico após a entrada do 1° estágio, Caso 3.



Entrada 11,60 123,0 11,55 121,4 11,52 120,3

Carga 1 11,50 69,00 11,43 69,00 11,39 68,99

Carga 2 11,53 10,54 11,46 10,54 11,42 10,54

Carga 3 11,55 39,28 11,48 39,28 11,44 39,28

Figura 4.30 Transitório das tensões após a entrada do 2° estágio, Caso 3.

61



62



75° harmônico (4,5 kHz) para a tensão e próxima ao 43° e 3240° harmônicos

(aproximadamente 2,6 kHz e 194 kHz) para a corrente. Através do código apresentado no

Apêndice foi possível elaborar a Tabela 4.12, com a sobretensão e a sobrecorrente transitória

gerada após o chaveamento do 1° estágio do banco de capacitores nas fases A, B e C.

63




Entrada 11,57 120,0 11,60 120,6 11,49 118,5

Carga 1 11,48 69,01 11,51 69,02 11,37 69,00

Carga 2 11,50 10,54 11,53 10,54 11,39 10,54

Carga 3 11,52 39,28 11,55 39,28 11,41 39,27

Figura 4.34 Transitório das tensões após a entrada do 3° estágio, Caso 3.


64



65


53° harmônico (aproximadamente 3,2 kHz) para a tensão e próxima ao 43° e 3240°

harmônicos (aproximadamente 2,6 kHz e 194 kHz) para a corrente. Através do código

apresentado no Apêndice foi possível elaborar a Tabela 4.13, com a sobretensão e a

sobrecorrente transitória gerada após o chaveamento do 1° estágio do banco de capacitores

nas fases A, B e C.




Entrada 11,55 117,8 11,53 117,4 11,49 116,9

Carga 1 11,43 69,03 11,40 69,03 11,35 69,02

Carga 2 11,46 10,54 11,43 10,54 11,38 10,54

Carga 3 11,48 39,29 11,45 39,29 11,49 39,29

4.5 Caso 4

Assim como no Caso 3, os valores de tensão e corrente de entrada e em cada uma das

cargas do Caso 4 coincidem com os do Caso 2, sendo apresentado apenas o comportamento

transitório do Caso 4 aqui.


As formas de onda de tensão e corrente de entrada logo após o fechamento da chave

do barramento geral, que insere o ramo RC ao circuito, e após o fechamento da chave, que dá

um curto-circuito no resistor e deixa apenas o capacitor no circuito, após a entrada de cada

estágio do banco de capacitores, são mostradas nas Figura 4.38, Figura 4.40, Figura 4.42,

Figura 4.44, Figura 4.46, Figura 4.48, Figura 4.50, Figura 4.52, Figura 4.54, Figura 4.56,

Figura 4.58 e Figura 4.60. As Figura 4.38, Figura 4.40, Figura 4.42 e Figura 4.44 mostram o

1° e 2° transitórios gerados pelo fechamento relacionado às chaves do 1° estágio do banco de

capacitores, enquanto as Figura 4.39, Figura 4.41, Figura 4.43 e Figura 4.45 mostram o

espectro harmônico da fase A nestes transitórios.

66

Figura 4.38: Primeiro transitório de tensões após a entrada do 1° estágio, Caso 4.

Figura 4.39: Espectro harmônico do primeiro transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio,

Caso 4.

67

Figura 4.40: Correntes após primeiro transitório da entrada do 1° estágio, Caso 4.

Figura 4.41: Espectro harmônico do primeiro transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º

estágio, Caso 4.

A Figura 4.39 mostra que a tensão de entrada apresenta apenas a componente

fundamental em sua composição. Já a Figura 4.41 mostra que a composição harmônica da

semelhante a da tensão, diferindo desta por um leve conteúdo harmônico até o 85° harmônico

(5,1 kHz) em decorrência da suavização do pico de corrente até voltar ao seu valor de regime.

68

Figura 4.42: Tensões após segundo transitório da entrada do 1° estágio, Caso 4.

Figura 4.43: Espectro harmônico do segundo transitório de tensão na fase A após a entrada do 1º estágio,

Caso 4.

69

Figura 4.44: Correntes após segundo transitório da entrada do 1° estágio, Caso 4.

Figura 4.45: Espectro harmônico do segundo transitório de corrente na fase A após a entrada do 1º

estágio, Caso 4.

As Figura 4.43 e Figura 4.45 mostram que existe um conteúdo harmônico suave

próximo ao 75° harmônico (4,5 kHz), mas é importante ressaltar que isto se dá apenas na fase

A, as outras fases apresentam amplitudes um pouco maiores nesta região. Através dos códigos

apresentados no Apêndice foi possível elaborar as Tabela 4.14, 4.15 e 4.16, com a sobretensão

e a sobrecorrente transitória gerada após o chaveamento do 1° estágio do banco de

capacitores.

70

Tabela 4.14: Tensões e correntes de pico na fase A, Caso 4.

Ramo RC Apenas capacitor

VP [kV] IP [A] VP [kV] IP [A]

Entrada 11,69 155,3 11,44 118,0

Carga 1 11,60 69,00 11,31 68,98

Carga 2 11,63 10,54 11,33 10,54

Carga 3 11,66 39,27 11,35 39,27

Tabela 4.15: Tensões e correntes de pico na fase B, Caso 4.



Entrada 11,41 126,4 11,82 130,0

Carga 1 11,26 69,98 11,78 69,07

Carga 2 11,28 10,53 11,81 10,55

Carga 3 11,30 39,27 11,83 39,30

Tabela 4.16: Tensões e correntes de pico na fase C, Caso 4.



Entrada 11,41 117,1 11,89 132,1

Carga 1 11,26 68,98 11,85 69,05

Carga 2 11,28 10,53 11,89 10,55

Carga 3 11,30 39,27 11,92 39,32

As Figura 4.46, Figura 4.48, Figura 4.50 e Figura 4.52 mostram o transitório gerado

pelo chaveamento do 2° estágio do banco de capacitores, enquanto as Figura 4.47, Figura

4.49, Figura 4.51 e Figura 4.53 mostram o espectro harmônico da fase A.

71

Figura 4.46: Tensões após primeiro transitório da entrada do 2° estágio, Caso 4.


Caso 4.

72



estágio, Caso 4.

A Figura 4.47 mostra que o espectro da tensão na fase A é composto praticamente

pela sua fundamental, enquanto na Figura 4.49 é possível notar que na corrente o espectro tem

algum conteúdo harmônico até o 100° harmônico em virtude da oscilação inicial que ocorre

logo após o chaveamento.

73



Caso 4.

74



estágio, Caso 4.

75

A Figura 4.51 mostra um espectro com composição suave próxima ao 3250°

harmônico (195 kHz), enquanto na Figura 4.53 também é possível notar uma composição

suave na região do 3250° harmônico, além de outra região com amplitudes suave próxima do

54° harmônico (3,2 kHz).

Utilizando novamente o código apresentado no Apêndice foi elaborada a Tabela

4.17, com a sobretensão e a gerada após o chaveamento do 2° estágio do banco de

capacitores.




Entrada 12,67 181,4 11,44 116,0

Carga 1 12,85 69,00 11,30 68,99

Carga 2 12,88 10,54 11,33 10,54

Carga 3 12,94 39,28 11,34 39,27




Entrada 11,41 132,7 11,78 124,6

Carga 1 11,26 68,99 11,71 69,06

Carga 2 11,29 10,54 11,74 10,55

Carga 3 11,30 39,27 11,78 39,30




Entrada 11,41 115,4 11,83 126,0

Carga 1 11,26 68,99 11,79 69,07

Carga 2 11,29 10,54 11,82 10,55

Carga 3 11,30 39,27 11,84 39,31

As Figura 4.54, Figura 4.56, Figura 4.58 e Figura 4.60 mostram o transitório gerado pelo chaveamento do

3° estágio do banco de capacitores, enquanto as Figura 4.55, Figura 4.57,

76

Figura 4.59 e Figura 4.61 mostram o espectro harmônico dos sinais da fase A.



Caso 4.

77



estágio, Caso 4.

78

A Figura 4.55 mostra um leve conteúdo harmônico próximo ao 50° e 3250°

harmônicos (aproximadamente 6 kHz e 195 kHz, respectivamente). Já a Figura 4.57 tem um

espectro semelhante nas mesmas regiões, apenas com uma distribuição que acompanha os

harmônicos da faixa do 50° harmônico que vai até o 70° harmônico.



Caso 4. 79



estágio, Caso 4.

A 80

Figura 4.59 mostra uma composição harmônica com componentes suaves próximas

ao 3250° harmônico (195 kHz), enquanto na Figura 4.61 é possível observar uma composição

suave nesta região também, além de outra porção suave próxima ao 44° (2,6 kHz). Presume-

se que os harmônicos desta região estejam presentes tanto na tensão como na corrente das

outras fases, estando apenas mais atenuados na fase A.

Mais uma vez utilizando o código apresentado no Apêndice foram elaboradas as

Tabela 4.20 4.21 e 4.22, com a sobretensão e a sobrecorrente gerada após o chaveamento do

3° estágio do banco de capacitores.




Entrada 12,39 177,7 11,44 114,3

Carga 1 12,50 69,09 11,30 69,00

Carga 2 12,54 10,55 11,33 10,54

Carga 3 12,58 39,31 11,34 39,28




Entrada 11,41 126,1 11,7 121,5

Carga 1 11,26 69,00 11,71 69,06

Carga 2 11,29 10,54 11,74 10,55

Carga 3 11,30 39,28 11,76 39,30




Entrada 11,43 114,0 11,84 122,7

Carga 1 11,28 69,00 11,80 69,06

Carga 2 11,31 10,54 11,83 10,55

Carga 3 11,32 39,28 11,86 39,30

81

4.6 Caso 5

Assim como no Caso 3, os valores de tensão e corrente de entrada e em cada uma das

cargas do Caso 4 coincidem com os do Caso 2, sendo apresentado apenas o comportamento

transitório do Caso 4 aqui.


As formas de onda de tensão e corrente de entrada logo após o fechamento da chave

do barramento geral que insere o ramo LC ao circuito e após o fechamento da chave que dá

um curto-circuito no indutor e deixa apenas o capacitor no circuito, após a entrada de cada

estágio do banco de capacitores, são mostradas nas Figura 4.62, Figura 4.64, Figura 4.66,

Figura 4.68, Figura 4.70, Figura 4.72, Figura 4.74, Figura 4.76, Figura 4.78, Figura 4.80,

Figura 4.82 e Figura 4.83. As Figura 4.62, Figura 4.64, Figura 4.66 e Figura 4.68 mostram o

1° e 2° transitórios gerados pelo fechamento relacionado às chaves do 1° estágio do banco de

capacitores, enquanto as Figura 4.63, Figura 4.65, Figura 4.67 e Figura 4.69 mostram o

espectro harmônico presente na fase A durante o transitório.


82


Caso 5.


83


estágio, Caso 5.

As Figura 4.63 e Figura 4.65 mostram a presença de harmônicos na região do 32°

harmônico (aproximadamente 1,9 kHz), sendo estes de elevada amplitude no caso da corrente

de entrada.


84


Caso 5.


85


estágio, Caso 5.

As Figura 4.67 e Figura 4.69 mostram uma carga suave de harmônicos próximo ao

75° harmônico (4,5 kHz). É interessante notar através das Figura 4.66 e Figura 4.68 que no

momento em que o segundo transitório começa ainda não se pode afirmar que o primeiro

transitório cessou, o que também influencia a magnitude das sobretensões e sobrecorrentes

existentes.

Através do código apresentado no Apêndice foi possível elaborar as Tabela 4.23,

4.24 e 4.25 com a sobretensão e a sobrecorrente transitória gerada após o chaveamento do

1° estágio do banco de capacitores, em cada fase.


Ramo LC Apenas capacitor


Entrada 12,86 234,1 11,58 122,3

Carga 1 13,11 69,66 11,48 69,01

Carga 2 13,14 10,64 11,50 10,54

Carga 3 13,20 39,63 11,52 39,28

86




Entrada 12,12 174,7 11,49 119,3

Carga 1 12,16 69,38 11,35 69,99

Carga 2 12,19 10,60 11,37 10,54

Carga 3 12,23 39,43 11,39 39,27




Entrada 12,14 174,1 11,49 119,5

Carga 1 12,18 69,37 11,36 68,99

Carga 2 12,21 10,60 11,38 10,54

Carga 3 12,25 39,45 11,40 39,27


pelo chaveamento do 2° estágio do banco de capacitores.


87


Caso 5.


88


estágio, Caso 5.

As Figura 4.71 e Figura 4.73 mostram a presença de harmônicos próximo ao 31° e

85° harmônicos (aproximadamente 1,8 kHz e 5,1 kHz, respectivamente), sendo ambos

perceptíveis nas duas regiões da tensão e elevados no 31° harmônico de corrente e perceptível

no 85° harmônico da mesma.


89


Caso 5.


90


estágio, Caso 5.

As Figura 4.75 e Figura 4.77 mostram que existem níveis harmônicos suaves na

região do 3250° harmônico (195 kHz), tanto na tensão como na corrente de entrada.

Utilizando novamente o código apresentado no Apêndice foram elaboradas as Tabela 4.26,

4.27 e 4.28, com as sobretensões e sobrecorrentes geradas após o chaveamento do 2° estágio

do banco de capacitores:

91




Entrada 14,38 290,0 11,44 116,2

Carga 1 15,01 70,01 11,30 68,99

Carga 2 15,06 10,70 11,33 10,54

Carga 3 15,16 39,82 11,34 39,27




Entrada 12,86 195,3 11,43 115,7

Carga 1 13,06 69,37 11,28 68,99

Carga 2 13,10 10,59 11,31 10,54

Carga 3 13,17 39,54 11,32 39,28




Entrada 13,00 203,0 11,42 115,5

Carga 1 13,27 69,47 11,28 68,99

Carga 2 13,31 10,61 11,30 10,53

Carga 3 13,37 39,50 11,32 39,27


pelo chaveamento do 3° estágio do banco de capacitores.

92



Caso 5.

93



estágio, Caso 5.

94

As Figura 4.79 e Figura 4.81 mostram a presença de harmônicos na região do 30°,

61° e 3250° harmônicos (aproximadamente 1,8 kHz, 3,7 kHz e 195 kHz, respectivamente),

sendo as duas primeiras faixas perceptíveis na tensão e a última suave, enquanto para a

corrente a primeira região apresenta harmônicos de grande amplitude, a segunda tem

harmônicos consideráveis e a última tem amplitudes suaves.



95


Caso 5.

96


estágio, Caso 5.

A Figura 4.84 mostra harmônicos suaves na faixa do 43°, 2300° e 3250° harmônicos

(aproximadamente 2,5 kHz, 138 kHz e 195 kHz, respectivamente), enquanto na Figura 4.85 é

possível notar os harmônicos apenas da região do 43° e 3250° harmônicos.

Mais uma vez utilizando o código apresentado no Apêndice foi elaborada a Tabela

4.29, com a sobretensão e a sobrecorrente gerada após o chaveamento do 3° estágio do banco

de capacitores:

97




Entrada 15,03 313,9 11,56 119,2

Carga 1 15,82 70,45 11,46 69,03

Carga 2 15,87 10,75 11,49 10,54

Carga 3 16,00 39,92 11,50 39,29




Entrada 12,77 204,5 11,47 116,0

Carga 1 12,96 69,75 11,35 69,01

Carga 2 12,99 10,65 11,37 10,54

Carga 3 13,05 39,55 11,39 39,29




Entrada 13,11 217,7 11,49 116,3

Carga 1 13,41 69,62 11,36 69,01

Carga 2 13,45 10,63 11,39 10,54

Carga 3 13,51 39,58 11,40 39,29

4.7 Comparação das Estratégias de Mitigação dos Transitórios

Esta seção mostra uma comparação mais visual das tensões e correntes de pico na

entrada em relação aos valores de regime permanente do caso base, mostradas com uma linha

pontilhada. A Tabela 4.32 mostra um resumo da descrição de cada caso para facilitar o

entendimento das comparações seguintes:

98

Tabela 4.32: Resumo da descrição de cada caso.

Caso Base Unidade sem uso de capacitores

Caso 1 Energização do banco de capacitores no pico da fase A

Caso 2 Energização tripolar do banco de capacitores sincronizada com a fase A

Caso 3 Energização unipolar do banco de capacitores sincronizada com cada fase

Caso 4 Energização do banco de capacitores com uso de resistor de pré-inserção

Caso 5 Energização do banco de capacitores com uso de indutor de pré-inserção

4.7.1 Comparação entre os Casos 1 e 2

A Figura 4.86 mostra uma comparação entre os picos de tensão resultantes do

chaveamento tripolar feito durante o pico de tensão da fase A (Caso 1) e durante a passagem

por zero da fase A (Caso 2).

É possível notar uma redução significativa na sobretensão da fase A, passando de

70% quando o chaveamento é feito ao passar pelo pico, a menos de 5% quando é feito

próximo ao zero (primeiro transitório). Também é possível observar que nas outras fases a

sobretensão é maior no Caso 2, sendo de aproximadamente 60% nas fases B e C, enquanto

fica abaixo de 40% nas fases B e C do Caso 1, o que é justificável ao observar a forma de

onda dos casos e verificar que a tensão é próxima de -10 kV na fase B e 10 kV na fase C do

Caso 2 quando a chave foi fechada, enquanto no Caso 1 as tensões nas fases B e C são de -5

kV (Figura 4.2 e Figura 4.14).

Figura 4.86: Tensões, Caso 1 e 2.

99

A Figura 4.87 mostra uma tendência, mesmo que não linear, de maiores picos de

corrente acompanhando sobretensões maiores.

Figura 4.87: Correntes, Caso 1 e 2.

Entende-se que ao ser comparado com o Caso 1, o Caso 2 mostrou-se muito efetivo

no controle de sobretensão e sobrecorrente apenas nos resultados da fase A já que apresentou

transitórios mais elevados nas outras fases.


A Figura 4.88 mostra uma comparação entre os picos de tensão resultantes do

chaveamento tripolar feito durante o pico de tensão da fase A (Caso 1) e ao se fazer o

chaveamento próximo a zero em cada uma das fases (Caso 3).

É possível notar uma redução muito grande na sobretensão de todas as fases,

passando de mais de 70% na fase A e mais de 30% nas fases B e C no Caso 1 para níveis

menores que 2% no Caso 3, mostrando que existe relação direta com entre a sobretensão e a

diferença entre as tensões do capacitor e das fases (Figura 4.2 e Figura 4.26).

100


Já a Figura 4.89 mostra que também ocorre uma grande redução na sobrecorrente ao

se comparar os Casos 1 e 3.



As Figura 4.90 e Figura 4.91 mostram uma comparação entre os picos de tensão

resultantes do chaveamento tripolar feito durante o pico de tensão da fase A (Caso 1) com o

primeiro e segundo transitórios gerados por cada banco de capacitores ao fazer uso de

resistores de pré-inserção (Caso 4).

101

Figura 4.90: Tensões, Caso 1 e primeiro transitório do Caso 4.

Figura 4.91: Tensões, Caso 1 e segundo transitório do Caso 4.

102

Figura 4.92: Correntes, Caso 1 e primeiro transitório do Caso 4.

Figura 4.93: Correntes, Caso 1 e segundo transitório do Caso 4.

Diferentemente da Seção 4.7.3 entende-se que o Caso 4 mostrou-se mais eficaz no

controle dos transitórios, não só em uma fase, mas em todas. No transitório do primeiro banco

de capacitores as sobretensões passam de mais de 70%, 30% e 30% nas fases A, B e C do

Caso 1, respectivamente, para menos de 5% nas 3 fases dos dois transitórios do Caso 4

(Figura 4.2, Figura 4.38 e Figura 4.42).

É interessante ressaltar que a corrente da fase C nos momentos da entrada do 2º e 3º

transitórios (Figura 4.92) está abaixo da corrente de pico de regime, o que se deve ao fato

desta comparação estar sendo feita entre momentos com e sem correção fator de potência, o

103

que modifica a corrente de entrada da unidade já que parte da corrente das cargas passa a ser

fornecida pelos capacitores.



resultantes do chaveamento tripolar feito durante o pico de tensão da fase A (Caso 1) com o


indutores de pré-inserção (Caso 5).



104



Entende-se que o Caso 5 mostra-se mais eficiente que o Caso 1, já que todas as

sobretensões deste foram menores que as daquele. No transitório do primeiro banco de

capacitores as sobretensões passam de mais de 70%, 30% e 30% nas fases A, B e C do Caso

1, respectivamente, para menos de 10% nas 3 fases dos dois transitórios do Caso 5 (Figura

4.2, Figura 4.62 e Figura 4.66).

Porém, com a Figura 4.96 observou-se que as sobrecorrentes do primeiro transitório

da entrada do 3º banco de capacitores do Caso 5 foram maiores que no Caso 1. Acredita-se

que o motivo deste comportamento seja um fenômeno de ressonância que reduz a impedância

105

vista pela fonte e acarreta uma maior corrente enquanto o indutor de pré-inserção encontra-se

no circuito.


As Figura 4.98 e Figura 4.99 mostram uma comparação entre os picos de tensão e

corrente resultantes do chaveamento tripolar sincronizado com a tensão da fase A (Caso 1) e

ao se fazer o chaveamento próximo a zero em cada uma das fases (Caso 3).



106

É possível verificar através da análise das figuras aqui apresentadas que o Caso 3

mostra-se mais eficaz para controlar as sobretensões e sobrecorrentes que surgem ao energizar

os estágios do banco de capacitores.



resultantes do chaveamento tripolar sincronizado com a fase A (Caso 2) com o primeiro e

segundo transitórios gerados por cada banco de capacitores ao fazer uso de resistores de pré-

inserção (Caso 4).



107



Diante das figuras mostradas entende-se que o Caso 4 ofereceu um melhor resultado

e controlou melhor as sobretensões e sobrecorrentes que o Caso 2, apenas sendo superado ao

tratar do primeiro transitório de tensão e corrente na fase A.

108



resultantes do chaveamento tripolar sincronizado com a fase A (Caso 2) com o primeiro e

segundo transitórios gerados por cada banco de capacitores ao fazer uso de indutores de pré-

inserção (Caso 5).



109



Diante das figuras mostradas notou-se que o primeiro transitório de tensão e corrente

na fase A do Caso 5 foi superado em relação ao Caso 2. Exceto por este fato, o Caso 5

mostrou melhores resultados no controle dos transitórios que o Caso 2.

110



resultantes do chaveamento sincronizado com as tensões de cada fase (Caso 3) com o


resistores de pré-inserção (Caso 4).



111



A análise dos dados que são mostrados nas figuras desta seção permite concluir que

o Caso 3 mostra-se mais eficaz por apresentar menores sobretensões de maneira geral que o

Caso 4. Suas sobretensões ficam abaixo de 2% nos transitórios dos 3 estágios. O Caso 4 até

apresenta sobretensões abaixo deste nível, mas são gerados 2 transitórios e quando um deles é

menor que 2% para uma dada fase, o outro acaba sendo maior que 2%.

112



resultantes do chaveamento sincronizado com as tensões de cada fase (Caso 3) com o


indutores de pré-inserção (Caso 4).



113



A análise dos dados que são mostrados nas figuras desta seção permite concluir que

o Caso 3 mostra-se mais eficaz por apresentar menores sobretensões de maneira geral que o

Caso 5. Suas sobretensões ficam abaixo de 2% nos transitórios dos 3 estágios, enquanto o

Caso 5 até apresenta sobretensões abaixo deste nível no seu segundo transitório, todos os

transitórios do primeiro chaveamento são maiores que 2%.

114



resultantes do primeiro e segundo transitórios gerados por cada banco de capacitores ao fazer

uso de resistores de pré-inserção (Caso 4) com o primeiro e segundo transitórios gerados por

cada banco de capacitores ao fazer uso de indutores de pré-inserção (Caso 5).

Figura 4.116: Tensões, primeiro transitório do Caso 4 e 5.

Figura 4.117: Tensões, segundo transitório do Caso 4 e 5.

115

Figura 4.118: Correntes, primeiro transitório do Caso 4 e 5.

Figura 4.119: Correntes, segundo transitório do Caso 4 e 5.

A análise das figuras desta seção mostra que o Caso 4 oferece um controle mais

eficaz dos transitórios que o Caso 5.

116

5 Conclusões e Trabalhos Futuros

5.1 Conclusões Gerais

Uma limitação de ordem prática neste trabalho foi a dificuldade encontrada para

obtenção de dados mais precisos dos motores que existem na unidade utilizada como Caso

Base. Ao tratar um motor elétrico como uma carga RL deixa-se de representar muito do seu

comportamento e da sua influência no regime transitório do sistema. Por se tratar de uma

unidade com mais de 50 anos, grande parte dos documentos referentes a estes equipamentos

ainda não foi completamente catalogada, e retirar estes motores para um teste em bancada

tornar-se-ia inviável diante da operação quase que ininterrupta destes equipamentos.

Também ocorreu dificuldade em se obter dados dos transformadores da unidade. Isto

certamente altera os resultados simulados em relação aos que forem tomados em campo. A

ausência de um transformador modelado adequadamente em um estudo de comportamento

transitório deixa de permitir a observação de fenômenos de ferrorressonância e de correntes

de inrush gerados por este equipamento, e estes fenômenos influenciam a amplificação da

magnitude dos transitórios.

Diante das análises realizadas na Seção 4, entende-se que o método de modelagem

dos circuitos que realizaram as simulações foi satisfatório tendo em vista os baixos níveis de

erro em regime permanente. As diferenças entre os valores teóricos e simulados para corrente

de entrada e fator de potência da unidade foram abaixo de 1 %, sendo bem mais elevados ao

fazer a previsão de elevação no perfil de tensão (82 %), o que foi atribuído ao fato de não

serem consideradas as resistências envolvidas no circuito, por se tratar este cálculo de um

valor aproximado por natureza e por ter sido modificada a tensão de entrada para que no

barramento das cargas fosse mantida uma tensão próxima de 13,8 kV.

Já as previsões de resultados em regime transitório tiveram grandes erros em relação

aos valores simulados, o que foi fortemente influenciado pelas simplificações que são feitas

para chegar aos valores encontrados. Apenas a frequência de oscilação natural, que tem

influencia no teor dos harmônicos presentes no sinal, apresentaram valores mais consistentes.

Ao se buscar valores mais precisos nas grandezas envolvidas nos circuitos é interessante que

117

se faça uma modelagem mais apurada dos equipamentos, tanto do ponto de vista matemático

como do ponto de vista físico (melhores representações dos componentes).

Considerando os métodos para mitigação dos transitórios, é possível concluir que o

uso da técnica de chaveamento unipolar mostrou-se o método mais eficaz para controlar as

sobretensões e sobrecorrentes inerentes à energização do banco de capacitores, sendo seus

resultados bastante efetivos. O segundo método mais eficiente foi o uso de resistores de pré-

inserção. Já o terceiro foi o do uso de indutores de pré-inserção, mas deve haver atenção

especial para as sobrecorrentes resultantes dos primeiros transitórios da entrada de cada banco

e para o grande conteúdo harmônico existente nos seus transitórios. Os disjuntores e

equipamentos eletricamente mais sensíveis devem suportar estas solicitações para que a

entrada destes bancos não gere problemas elétricos ao sistema em que estão sendo inseridos.

O chaveamento sincronizado tripolar mostrou-se eficaz apenas na fase que o

sincronismo ocorre, gerando transitórios mais intensos nas outras fases. Este tipo de problema

não pode ser corrigido já que a defasagem de 120° entre as fases vai fazer com que a correção

do problema em uma das fases gere problemas maiores nas outras. Isto leva ao pensamento

que o chaveamento tripolar sincronizado com a passagem por zero de uma das fases tem a

mesma eficácia que o chaveamento feito durante a passagem pelo pico de uma das fases ou

mesmo do chaveamento a qualquer momento aleatório.

É importante ressaltar que as sobretensões e sobrecorrentes transitórias que surgiram

em todos os transitórios foram mais intensas nos barramentos das cargas do que no de

entrada, o que também gera a necessidade de uma atenção especial para estes barramentos.

Em um primeiro momento, poder-se-ia imaginar que estes valores seriam menores devido à

queda de tensão natural que ocorre no circuito conforme aumenta a distância da fonte de

alimentação.

Sob o ponto de vista teórico o método mais eficaz foi o chaveamento sincronizado,

mas deve se ter atenção para a necessidade da precisão requerida ao disjuntor utilizado nesta

função, já que a distância entre um zero e um pico de tensão é de apenas 4,2 𝑚𝑚𝑠𝑠, ou seja, se o

equipamento não funcionar com um sistema de controle de detecção e disparo eficaz durante

toda a sua vida útil, pode-se levar o sistema a resultados semelhantes aos obtidos pelo

chaveamento tripolar passando por um pico de tensão, como o apresentado pelo Caso 1.

Também é interessante ressaltar que a alternativa para este problema de precisão ao

longo da vida útil do equipamento poderia ser contornada com a utilização de resistores de

pré-inserção apresentada pelo Caso 4, já que mesmo sendo energizado num pico de tensão da

118

fase A, as sobretensões e sobrecorrentes decorrentes do chaveamento com esta técnica

apresentaram valores não muito distantes do apresentado pelo Caso 3. Neste caso a limitação

imposta ao emprego desta técnica envolve uma análise técnico-econômica mais elaborada, já

que a escolha do valor do resistor deve ser feita cuidadosamente. Além deste fato, o uso desta

técnica envolve um impacto econômico na instalação devido ao custo do equipamento e do

disjuntor adicional que se torna necessário para que o resistor opere apenas durante a

energização do capacitor, além do custo de manutenção que todo o mecanismo envolvido

passa a gerar.

5.2 Trabalhos Futuros

Diante da abrangência deste trabalho, das curiosidades geradas por ele e da não

abordagem de alguns assuntos no seu desenvolvimento, entende-se que complementariam os

conteúdos aqui apresentados os seguintes assuntos:

• Utilização de modelagem mais adequada dos motores de indução presentes e

transformadores com curva de saturação inserida no modelo, para avaliação

semelhante a aqui realizada;

• Estudo para determinação de valores mais precisos do resistor e indutor de pré-

inserção para limitar os transitórios a níveis indicáveis;

• Análise dos efeitos harmônicos existentes num sistema que faça uso de bancos de

capacitores para correção do fator de potência;

• Análise de faltas em sistemas que utilizam métodos de mitigação de transitórios;

• Comparação de resultados de um sistema modelado com os valores obtidos em

campo.

119

Referências Bibliográficas

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[2] MAMEDE, J., Manual de Equipamentos Elétricos. 3 ed. Rio de Janeiro, LTC, 2011.

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[6] TONIDANDEL, D. A. V., ARAÚJO, A. E. A., “Conectando Transformadas: Fourier e

Laplace”. In: Anais do XIV Congresso Brasileiro de Automática, pp. 32-36, Campina

Grande, PB, 2012.

[7] CHAPMAN, S. J., Electric Machinery Fundamentals, 4 ed., India, 2010.

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[10] DECKMANN, S.M., POMILIO, J.A., Condicionamento de Energia Elétrica e

Dispositivos FACTS. Apostila de curso. Unicamp, SP.

[11] VARRICCHIO, S. L., VÉLIZ, F. C., COSTA, C. O., et al., “Identificação das Cargas

Lineares Críticas na Análise Harmônica de Sistemas Elétricos de Potência”. In: VII CBQEE -

Conferência Brasileira sobre Qualidade de Energia Elétrica, Santos, SP, 2007.

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Cidade do México, Mc Graw Hill, 2006.

[13] BENITEZ, J., “Application of Capacitors for Power Factor Correction of Industrial

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[15] NATARAJAN, R., Power System Capacitors, Florida, Taylor & Francis, 2005.

[16] CHAVES, F. S., Avaliação Técnica do Desempenho da Compensação Reativa Shunt

Capacitiva Aplicada à Expansão de Sistemas Elétricos. Tese de D. Sc., PPGEE/UFMG, Belo

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[17] WM-CONTROL, Esquema Unifilar Geral de Alta Tensão 13,2/2,4 kV. Rev. G. Rio de

Janeiro, Petrobras, 2000.

120

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=5483296


[18] ENGEVIX, Lista de Cargas. Rev. D. Rio de Janeiro, Petrobras, 2007.

[19] SB-ENGENHARIA, Lista de Eletrodutos e Cabos. Ver. K. Rio de Janeiro, Petrobras,

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[21] GRIGSBY, L. L., The Electric Power Engineering Handbook, Florida, L.L. Grigsby,

2001.

[22] IEEE, Std 1036-2010 - IEEE Guide for Application of Shunt Capacitor Banks, 2010.

[23] IEEE, PES TR16 – Transient Limiting Inductor Applications in Shunt Capacitor

Banks, 2014.

[24] BHARGAVA, B., KHAN, A. H., IMECE, A. F., et al., “Effectiveness of Pre-Insertion

Inductors for Mitigating Remote Overvoltages due to Shunt Capacitor Energization”. Power

Delivery, IEEE Transactions on, v. 8, n. 3, pp. 1226-1238, Julho 1993.

121



Apêndice A – Memória de Cálculo de Cabos

Aqui são mostrados os cálculos que levaram à determinação dos parâmetros

encontrados nas subseções da seção 3.1, sendo utilizados alguns dados do catálogo da

Prysmian.

a) Parâmetros Elétricos dos Cabos Eprotenax Compact

Figura A.1: Compilação das páginas 18 e 19 do catálogo da Prysmian

122

b) Parâmetros do Barramento de 13,8 kV

Os cabos utilizados da saída do PN-6201 para os T-6201 são do tipo 3x1/C-300 mm².

Utilizando a disposição unipolar com cabos alinhados e espaçados entre si de 20 cm, é

possível obter na Figura A.1 (Eprotenax Compact 12/20 kV) os parâmetros elétricos que

foram utilizados para completar a última coluna da Tabela 3.2.

𝑍𝑍�̇�𝐴 = 0,490 ∗ (0,091 + 𝑗𝑗0,263)

𝑍𝑍�̇�𝐴 = 0,045 + 𝑗𝑗0,129 𝛺𝛺 (A.1)

Já os cabos utilizados entre o PN-6201 e o banco de capacitores são do tipo 3x4/0

AWG. A representação AWG/MCM segue o padrão de unidades americano, enquanto as

bitolas dadas em mm² seguem o padrão brasileiro. A bitola 4/0 AWG tem área de seção

aproximada de 107 mm². De acordo com os dados do catálogo disponível não existe um cabo

com esta bitola e a mesma é o valor intermediário entre as bitolas de 95 e 120 mm². Diante

disto é feita uma interpolação entre os dados destes cabos na configuração tripolar.

𝑍𝑍�̇�𝐶 = 0,025 ∗ (0,222 + 𝑗𝑗0,123)

𝑍𝑍�̇�𝐶 = 0,006 + 𝑗𝑗0,003 𝛺𝛺 (A.2)

c) Parâmetros do Barramento de 2,4 kV

Os cabos utilizados entre os T-6201 e o PN-6202 são do tipo 6x1000 MCM. A bitola

1000 MCM é equivalente à de 500 mm² no padrão brasileiro e utilizando a disposição tripolar

é possível obter na Figura A.1 (Eprotenax Compact 3,6/6 kV) os parâmetros elétricos que são

utilizados para determinar 𝑍𝑍�̇�𝐵:

𝑍𝑍�̇�𝐵 = 0,015 ∗ (0,061 + 𝑗𝑗0,244)

𝑍𝑍�̇�𝐵 = 0,001 + 𝑗𝑗0,004 𝛺𝛺 (A.3)

Os cabos utilizados entre o PN-6202 e a P-4A (Carga 1) são do tipo 3x500 MCM. A

bitola 500 MCM é equivalente à de 240 mm² no padrão brasileiro e utilizando a disposição

tripolar é possível determinar 𝑍𝑍1̇:

𝑍𝑍1̇ = 0,130 ∗ (0,100 + 𝑗𝑗0,102)

𝑍𝑍1̇ = 0,013 + 𝑗𝑗0,013 𝛺𝛺 (A.4)

123

Os cabos utilizados entre o PN-6202 e a P-3D (Carga 2) são do tipo 3x2/0 AWG. A

bitola 2/0 AWG é praticamente equivalente à de 70 mm² no padrão brasileiro e utilizando a

disposição tripolar é possível determinar 𝑍𝑍2̇:

𝑍𝑍2̇ = 0,120 ∗ (0,343 + 𝑗𝑗0,119)

𝑍𝑍2̇ = 0,041 + 𝑗𝑗0,014 𝛺𝛺 (A.5)

Os cabos utilizados entre o PN-6202 e a P-3F (Carga 3) são do tipo 3x250 MCM. A

bitola 250 MCM é equivalente à de 120 mm² no padrão brasileiro e utilizando a disposição

tripolar é possível determinar 𝑍𝑍3̇:

𝑍𝑍3̇ = 0,130 ∗ (0,197 + 𝑗𝑗0,110)

𝑍𝑍3̇ = 0,013 + 𝑗𝑗0,013 𝛺𝛺 (A.6)

124

Apêndice B – Rotinas no Matlab

a) Código para Obtenção do Valor Eficaz e de Pico em Regime

Permanente

function [ fb, a0, cpico, crms ] = fourierrms( t, ft, Ti, dT ) %CHAMADA DA FUNÇÃO EM QUE SE ENTRA COM OS DADOS DO EIXO X (t), EIXO Y (ft), NÚMERO DE HARMÔNICOS QUE SERÃO ANALISADOS (N), TEMPO INICIAL PARA PLOTAGEM PARA ESCOLHA DOS DADOS QUE SERÃO ANALISADOS (Ti) E JANELA DE PLOTAGEM (dT). ta = 1e-6; %TEMPO DE AMOSTRAGEM USADO NAS SIMULAÇÕES. ti = find (t > Ti & t < (Ti+dT)); %TEMPO DE AMOSTRAGEM USADO NAS SIMULAÇÕES. t = t(ti); ft = ft(ti); %UTILIZA OS DADOS DENTRO DO QUE O USUÁRIO INDICOU COMO SENDO UM PERÍODO. T = dT; %RELACIONA O PERÍODO COM OS DADOS QUE O USUÁRIO NA CHAMADA DA FUNÇÃO. w0 = 2*pi/T; %FREQUÊNCIA ANGULAR DO SINAL. an = trapz(t, ft.*cos(1*w0*t))*2/T; bn = trapz(t, ft.*sin(1*w0*t))*2/T; zn = [(an + bn*j)]; %NÚMERO COMPLEXO QUE INDICA A COMPONENTE FUNDAMENTAL DO SINAL A SER ANALISADO. fb = 1/T; %FREQUÊNCIA. a0 = trapz(t, ft)/T; %COMPONENTE CC DO SINAL ANALISADO. cpico = abs(zn); %MÓDULO DO VETOR COMPLEXO COM TODOS OS HARMÔNICOS ANALISADOS. crms = sqrt((1/T)*trapz(t, ft.^2)); %CALCULA O VALOR RMS DOS DADOS INDICADOS NO GRÁFICO end

b) Código para Obtenção do Valor de Pico do Transitório

function [ cm ] = fourierpico( t, ft, Ti, dT ) %CHAMADA DA FUNÇÃO EM QUE SE ENTRA COM OS DADOS DO EIXO X (t), EIXO Y (ft), TEMPO INICIAL PARA PLOTAGEM PARA ESCOLHA DOS DADOS QUE SERÃO ANALISADOS (Ti) E JANELA DE PLOTAGEM (dT). ta = 1e-6; %TEMPO DE AMOSTRAGEM USADO NAS SIMULAÇÕES. ti = find (t > Ti & t < (Ti+dT)); %ISOLA A REGIÃO QUE COLETA OS DADOS. t = t(ti); ft = ft(ti); %UTILIZA OS DADOS QUE O USUÁRIO INDICOU cm = max(abs(ft)); %IDENTIFICA O VALOR DE PICO DENTRO DO INTERVALO DEFINIDO ANTERIORMENTE. end

125

c) Código para Analisar a Composição Harmônica do Transitório

function [ a0, cpico, crms ] = fourierharm( t, ft, N, Ti, dT ) %CHAMADA DA FUNÇÃO EM QUE SE ENTRA COM OS DADOS DO EIXO X (t), EIXO Y (ft), NÚMERO DE HARMÔNICOS QUE SERÃO ANALISADOS (N), TEMPO INICIAL PARA PLOTAGEM PARA ESCOLHA DOS DADOS QUE SERÃO ANALISADOS (Ti) E JANELA DE PLOTAGEM (dT). ta = 1e-6; %TEMPO DE AMOSTRAGEM USADO NAS SIMULAÇÕES. ti = find (t > Ti & t < (Ti+dT)); %TEMPO DE AMOSTRAGEM USADO NAS SIMULAÇÕES. t = t(ti); ft = ft(ti); %UTILIZA OS DADOS DENTRO DO QUE O USUÁRIO INDICOU COMO SENDO UM PERÍODO. T = dT; %RELACIONA O PERÍODO COM OS DADOS QUE O USUÁRIO NA CHAMADA DA FUNÇÃO. w0 = 2*pi/T; %FREQUÊNCIA ANGULAR DO SINAL. an = trapz(t, ft.*cos(1*w0*t))*2/T; bn = trapz(t, ft.*sin(1*w0*t))*2/T; zn = [(an + bn*j)]; %NÚMERO COMPLEXO QUE INDICA A COMPONENTE FUNDAMENTAL DO SINAL A SER ANALISADO. for i = 2:N an = trapz(t, ft.*cos(i*w0*t))*2/T; bn = trapz(t, ft.*sin(i*w0*t))*2/T; zn = [zn (an + bn*j)]; %CRIA UM VETOR COM CADA HARMÔNICO. end a0 = trapz(t, ft)/T; %COMPONENTE CC DO SINAL ANALISADO. cpico = abs(zn); %MÓDULO DO VETOR COMPLEXO COM TODOS OS HARMÔNICOS ANALISADOS. crms = sqrt((1/T)*trapz(t, ft.^2)); %CALCULA O VALOR RMS DOS DADOS INDICADOS NO GRÁFICO axes('fontsize', 16); bar(cpico);grid; %PLOTA UM GRÁFICO DE BARRAS COM A ORDEM DOS HARMÔNICOS PRESENTES NO SINAL ANALISADO. ylabel('Amplitude do i-ésimo harmônico','fontsize', 16); xlabel('i-ésimo harmônico','fontsize', 16); title('Ordem de harmônicos no sinal','fontsize', 20); axis([0 N 0 1.1*max(cpico)]); end

126

análise de sobretensões e sobrecorrentes transitórias na

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