analise de sensibilidade - ufjf.br · no entanto, matematicamente, não há problemas p21

Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 1

AnAnáálise de lise de SensibilidadeSensibilidade


Consiste em pesquisar a estabilidade da solução em vista de possíveis variações dos parâmetros aij, bi e cjutilizados na Programação Linear, uma vez que, os parâmetros tecnólogicos (aij), os termos independentes (bi) e os coeficientes de lucro/custo (cj) são geralmente, muito suscetíveis as variações do mercado, da produção, ...

Retomando o problema da fabricação de 2 produtos em 3 máquinas, tinhamos:


21 x5.1xZ += Lucro

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥≤+≤+≤+

0x,x280x2x4

120x2x160x2x2

21

21

21

21 Máquina A

Máquina B

Máquina C

Prod. não negativa


Colocando na forma Normal

280uu0u0x2x4120u0uu0x2x160u0u0ux2x2

0u0u0u0x5.1xz

32321

32221

32121

32121

=++++=++++=++++=−−−−−


A tabela Simplex inicial é:

00005.11280100241200102116000122

buuuxx 32121

−−

A tabela Simplex ótima é:

100021

4100

401230040012

1104001101buuuxx 32121

−−

−


A solução ótima é:

x1 = 40

x2 = 40

u1 = 0

u2 = 0

u3 = 40

z = 100


Intervalo Ótimo dos Coeficientes de Lucro (Custo)

O objetivo desta análise é determinar qual o intervalo de variação dos coeficientes da função objetivo sem que a solução ótima seja mudada.


Supondo que a função-objetivo seja mudada de:

21

21

x5.1x3.1Zpara

x5.1xZ

+=

+= A solução continuará sendo

x1=40 e x2=40, porém Z=112


Através dos gráficos podemos perceber que alterações nos coeficientes da função objetivo ocasionam rotações desta função e conseqüentemente, rotações também nas curvas de nível.

Porém se tais alterações nos coeficientes da função objetivo forem “exageradas”, a solução ótima não poderá ser preservada.


Determinação dos Intervalos Ótimos

Qual o intervalo ótimo para c2 ?

22

2

21

p5.1cFazendo

5.1cx5.1xZ

+=

=+=

( )( ) 0xp5.1xZ

xp5.1xZ

221

221

=+−−++=

fica:


A tabela Simplex, fica:

0000p5.11280100241200102116000122

buuuxx

2

32121

−−−

Resolvendo pelo Simplex, a tabela Simplex ótima é:

222

32121

p401000p21

2p

4100

401230040012

1104001101buuuxx

++−−

−−


Para determinar-mos o intervalo ótimo de c2, precisamos fazer:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+

≥−

)2(0p21

)1(02

p41

2

2

Os lados esquerdos de (1) e (2) são os coeficientes das variáveis de folga u1 e u2, que na solução ótima são V.N.B (=0).

Se tais coeficientes tornarem-se negativos, implica que deverão entrar na base e, portanto, a solução irá mudar.


B.N.Vcontinuamueu21p

21

totanpor

baseénãou21p

0p21)2(

baseénãou21p

41

2p

41

2p0

2p

41)1(

212

22

2

12

222

⇒≤≤−

⇒−≥

⇒≥+

⇒≤

≤⇒−≥−⇒≥−

Uma vez que c2=1.5, o intervalo ótimo é:

1215.1

2215.1

=−

=+


ótimoervaloint2c1totanpor

2 ⇒≤≤

Os valores de p2 podem ser obtidos diretamente da tabela Simplex ótima.

( ) ( ) ( )

100021

4100

401230040012

1104001101buuuxx 32121

−−

−

A unidade na 2o coluna encontra-se na 2o linha. Os coeficientes de u1 e u2 nesta linha são –1/2 e 1, respectivamente.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+

≥−

0p21

02

p41

2

2

Zp40100e 2 =+


Qual o intervalo ótimo para c1 ?

( ) ( ) ( )

100021

4100

401230040012

1104001101buuuxx 32121

−−

−

23

211

43

411

1c21p0p

21

41p0p

41

1

11

11

=+

=−

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤⇒≥−

−≥⇒≥+

ótimoervaloint23c

43

totanpor

1 ⇒≤≤


Outro Exemplo

00043230103122001111buuxxx 21321

−−−

Inicial

ótima

6521

25002

352

12

11021

1521

23012

1buuxxx 21321

−

−


V.B. x2,x3

V.N.B. x1, u1, u2

Qual o intervalo ótimo para c2 (coef. de x2) ?( )

( )

( )

43340

4c1p0p21

213

34c

35p0p

23

252

0c3p0p21

231

222

222

222

<<<

=⇒≤⇒≥−

=⇒−≥⇒≥+

=⇒−≥⇒≥+

ótimoervaloint4c34

totanpor

2 ⇒≤≤


Quando a variável não está na base

Qual o intervalo ótimo para c1 (coef. de x1) ?

x1 é V.N.B.

[ ]

27c

21

.21

25c

2,1iyAc

1

1

1i1

≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≤

=≤


Intervalo Ótimo dos Termos Independentes (Valores dos Recursos)

O objetivo desta análise é determinar qual o intervalo de variação dos valores dos recursos. Os gráficos abaixo ilustram o efeito de mudar b3 = 280 para b3 = 240.



00005.1128010024

p1200102116000122

buuuxx

2

32121

−−

+


2p10002

14

100

p24012300p40012

110p4001101

buuuxx

2

2

2

2

32121

+

+−+−−−


Qual o intervalo ótimo para b2 ?

Para determinar-mos o intervalo ótimo de b2, precisamos fazer:

20p0p24040p0p40

40p0p40

22

22

22

−≥⇒≥+−≥⇒≥+

≤⇒≥−

ótimoervaloint40p20totanpor

2 ⇒≤≤−


Os valores de p2 também podem ser obtidos diretamente da tabela Simplex ótima (como no caso dos coeficientes de lucro cj).

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )10002

14

100401230040012

1104001101buuuxx 32121

−−

−

Uma vez que estamos analisando o intervalo que o parâmetro b2pode variar e este está relacionado com a 2o restrição, os coeficientes de p2 são os valores da coluna u2. Assim, fica:

20p0p24040p0p40

40p0p40

22

22

22

−≥⇒≥+−≥⇒≥+

≤⇒≥−


Intervalo Ótimo dos Coeficientes TecnológicosO objetivo desta análise é determinar qual o intervalo de variação dos Coeficientes Tecnológicos. Os gráficos abaixo ilustram o efeito de mudar A[2][1] = 1 para A[2][1] = 1.33



00005.11280100241200102p116000122

buuuxx

21

32121

−−

+


1pp65200

1p5.0

1pp314100

1pp31401

1p2

1pp300

1pp21400

1p1

1pp12110

1p400

1p1

1p101

buuuxx

21

21

2121

21

21

21

2121

21

21

21

2121

21

212121

32121

−+−

−−

−+−

−+−

−−

−+−

−

−+−

−−

−+

−−

−−−


Se os coeficientes de u1 e u2 forem não-negativos, implica que estas variáveis são não básicas (u1 e u2 = 0) e x1, x2 e u3 são básicas. Portanto, se o objetivo for determinar um intervalo para p21 na qual as variáveis básicas e não-básicas permaneçam como descrito acima, faz-se:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−

−

≥−

+−

01p

5.0

01p

p3141

21

21

21

No entanto, o intervalo obtido para p21 através apenas da análise dos coeficientes das variáveis não-básicas pode resultar em algum valor não permitido (bj < 0) para os termos independentes bj, uma vez que estes também são função dos valores de p21.

Para evitar isto, fazemos:


⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥−

+−

≥−

+−

≥−

−

01p

p3140

01p

p2140

01p

40

21

21

21

21

21

Resolvendo p21 para todas as inequações, obtém-se:

31p21 <

Como a[2][1] = 1:

33.1]1][2[a33.1311 <⇒=+


Qual o significado de a[2][1] < 1.33 ?

O coeficiente de a[2][1] = 1 representa que o produto 1 gasta 1 hora para ser fabricado na máquina B.

Se este mesmo produto gastar 1.33 horas para ser fabricado na máquina B (devido a falta de energia, manutenção da máquina, etc...), as variáveis básicas continuaram a ser x1, x2 e u3, apesar de seus valores serem diferentes para a solução quando a[2][1] = 1.

Cabe observar que neste caso não tem sentido a[2][1] < 0, portanto:

31p1 21 ≤≤−

No entanto, matematicamente, não há problemas p21<-1.Rodar sens.m para valores menores que 1/3

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