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ANÁLISE DE PERFORMANCE DO MODELO DE HULL & WHITE EM
RELAÇÃO AO MODELO DE BLACK & SCHOLES PARA OPÇÕES DE
TELEBRÁS
porFábio Pinto Coelho
COPPEAD / UFRJ - Instituto de Pós Graduação e Pesquisa em Administração daUniversidade Federal do Rio de Janeiro. Tese de Mestrado em Administração de Empresas
Orientador: Professor Eduardo Facó Lemgruber, PhD UCLA
Rio de Janeiro 2001
ANÁLISE DE PERFORMANCE DO MODELO DE HULL & WHITE EM RELAÇÃOAO MODELO DE BLACK & SCHOLES PARA OPÇÕES DE TELEBRÁS
Autor : Fábio Pinto Coelho
Dissertação ( Tese ) submetida ao corpo docente do Instituto de Pós-Graduação e Pesquisaem Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, como parte dosrequisitos necessários à obtenção do grau de Mestre.
Aprovada por:
________________________________________Prof. Eduardo Facó Lemgruber - OrientadorPhD em Finanças -UCLA - EUA
_________________________________________Prof. Eduardo SalibyPhD em Pesquisa Operacional - Lancaster University
___________________________________________Prof. Luis Felipe Jacques da MotaPhD em Finanças - University of Southern California
Rio de Janeiro2001
iii
Coelho, Fábio Pinto
Análise de Performance do Modelo de Hull & White em
Relação ao de Black & Scholes para Opções de Telebrás /
Fábio Pinto Coelho. Rio de Janeiro: UFRJ / COPPEAD, 2001.
77p.,il.
Dissertação – Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPEAD
.
1. Finanças. 2. Mercado de Capitais 3. Derivativos
4. Tese ( Mestr. – UFRJ / COPPEAD). I. Título
iv
À Andréa, Thalita e Thaiane,
com todo meu amor e gratidão.
v
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais Armando e Zulmira, pelo apoio incondicional e exemplo de vida.
Ao meu Orientador Prof. Eduardo Facó Lemgruber, pela pronta disposição em aceitar o temaproposto e pela orientação sempre inteligente, clara e objetiva.
Aos professores Eduardo Saliby e Luis Felipe Jacques da Mota, pelo interesse em participar dabanca examinadora.
A Andrea, Thalita e Thaiane, pela paciência e apoio durante o curso.
A todos os funcionários do COPPEAD pela presteza permanente.
vi
RESUMO
COELHO, Fábio Pinto. Análise de Performance do Modelo de Hull & White em relação ao de
Black & Scholes para Opções de Telebrás.
Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: COPPEAD/UFRJ,2001. Diss.
Este estudo tem como objetivo analisar a performance ex-post do modelo de avaliação
de opções de Hull & White ( 1987 ) em relação ao modelo de Black & Scholes ( 1973 ) a
partir de testes empíricos realizados com opções de Telebrás PN no período de 04/07/1994 à
29/06/1999.
Em um primeiro momento diversos modelos para a avaliação de opções são descritos
cronologicamente. Posteriormente são apresentadas sumariamente as técnicas e princípios
básicos para a criação de um modelo de avaliação de derivativos ( Equações Diferenciais
Parciais e Teorema de Girsanov ) e, em seguida, os modelos de Black & Scholes e Hull &
White são demonstrados detalhadamente.
A partir de então inicia-se o processo de avaliação de performance dos modelos. A
avaliação de performance é feita a partir de duas metodologias: estática e dinâmica. Sob a
metodologia de performance estática, são calculados os erros relativos de cada um dos
modelos em relação aos prêmios das opções negociadas no mercado para cada uma das séries
selecionadas, com o objetivo de identificar o modelo mais preciso quando consideramos como
padrão de performance a proximidade das avaliações realizadas com os prêmios vigentes no
mercado.
Sob a metodologia dinâmica são aferidos os resultados financeiros decorrentes de
operações de arbitragem realizadas diariamente em cada uma das séries selecionadas, de modo
a identificar o modelo mais eficaz sob uma perspectiva operacional. Sob esta metodologia são
realizadas duas estratégias de hedge: a por mínima variância e a delta hedge. Nas estratégias
por mínima variância busca-se eliminar exclusivamente as variações aleatórias do ativo objeto,
enquanto que nas de delta hedge busca-se a eliminação dos componentes estocásticos contidos
nas Equações Diferenciais Parciais (EDPs) utilizados na elaboração dos modelos em estudo.
Por fim os resultados e conclusões sobre a performance estática e dinâmica dos
modelos são apresentadas.
vii
ABSTRACT
COELHO, Fábio Pinto. Análise de Performance do Modelo de Hull & White em relação ao de
Black & Scholes para Opções de Telebrás
Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: COPPEAD/UFRJ,2001. Diss.
This study has the objective of analyzing the ex-post performance of the Hull & White
option valuation model in relation to the Black & Scholes model, based on empirical tests
done with Telebrás PN options from 07/04/1994 until 06/29/1999.
Firstly, several models of option´s valuation are described chronologically.Next the
mathematical tools and basic principles used in the creation of a derivatives valuation model
are shown. Finally the Black & Scholes and Hull & White models are demonstrated.
Then the process of performance valuation is begun. The performance valuation is
done with the use of two methodologies: static and dynamic. Under the static performance
methodology are calculated the relative errors from each model when compared to the options
premium traded in the market in each one of the selected series, with the objective of
identifying the more precise model, using as performance benchmark the proximity of the
valuations undertaken with the current options premium in the market.
Under the dynamic methodology are presented the financial results derived from
arbitrage operations traded daily at each one of the selected series. Under this methodology are
used two hedge strategies: minimum variance hedge and delta hedge. At the minimum
variance strategies the objective is to eliminate exclusively the random changes from the asset,
while that of the delta hedge strategies targets the elimination of the stochastic components
from the Partial Diferential Equations (PDEs) from which the models are derived.
At the end the results and conclusions on the static and dynamic performance from each model
are exhibited.
viii
SUMÁRIO1. INTRODUÇÃO
1.1 Motivação................................................................................................................1
1.2 Objetivo final da dissertação...................................................................................2
1.3 Relevância do estudo...............................................................................................3
1.4 Delimitação do estudo.............................................................................................5
1.5 Descrição do trabalho..............................................................................................5
2. REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Perspectiva histórica do desenvolvimento de modelos de avaliação de opções.......6
2.2. Os processos estocásticos e os modelos de avaliação de opções............................13
2.2.1 Criação de modelos de avaliação de opções por equações diferenciais
parciais..................................................................................................................15
2.2.2 Criação de modelos de avaliações de opções pelo Teorema de
Girsanov..................................................................................................21
2.3 Os modelos de avaliação pioneiros: o Binomial e o de Black & Scholes........24
2.3.1 Modelo Binomial ...............................................................................25
2.3.2 Modelo de Black & Scholes...............................................................26
2.4 O Modelo de Volatilidade Estocástica de Hull & White ................................27
2. 4.1 O Problema da Volatilidade Estocástica.............................................27
2.4.2 Procedimentos Numéricos Aplicáveis ao Modelo de Hull & White..32
2.5 Simulações e Testes Empíricos com o Modelo de Hull & White....................34
3. METODOLOGIA
3.1 Tipo de Pesquisa.......................................................................................................36
3.2 Universo e amostra....................................................................................................37
3.3 Coleta de dados..........................................................................................................37
3.4 Tratamento dos dados................................................................................................37
3.5 Limitações metodológicas.........................................................................................42
ix
4. RESULTADOS
4.1 Performance Estática...........................................................................................47
4.2 Performance Dinâmica.......................................................................................51
4.2.1 Estratégia de Mínima Variância.............................................................51
4.2.2 Estratégia Delta Hedge...........................................................................59
5. CONCLUSÕES........................................................................................................61
6 APÊNDICE...............................................................................................................64
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................66
x
LISTA DE TABELAS E FIGURAS
Figura 1: Teste de autocorrelação de Lyung Box para os retornos de Telebrás PN..........41
Figura 2: Correlação entre as variações diárias de Telebrás PN e volatilidade EWMA ...44
Figura 3: Volatilidade da volatilidade dos retornos de Telebrás PN..................................45
Figura 4: Explosão dos erros relativos de Hull & White a partir da falta de convergência
do modelo analítico de Hull & White.................................................................................48
Tabela 1: Média e desvio padrão dos erros relativos auferidos pela aplicação dos modelos em
operações de arbitragem ex-post........................................................................................48
Tabela 2: Teste z dos erros relativos dos modelos analisados............................................49
Tabela 3: Regressão múltipla entre os erros relativos do modelo de Black & Scholes e as
variáveis moneyness, tempo para vencimento e volatilidade..............................................50
Tabela 4: Regressão múltipla entre os erros relativos do modelo de Hull & White e as
variáveis moneyness, tempo para vencimento e volatilidade..............................................50
Tabela 5 : Resultado das operações de hedge por mínima variância – 1994......................53
Tabela 6 : Resultado das operações de hedge por mínima variância – 1995......................54
Tabela 7 : Resultado das operações de hedge por mínima variância – 1996......................55
Tabela 8 : Resultado das operações de hedge por mínima variância – 1997......................56
Tabela 9 : Resultado das operações de hedge por mínima variância – 1998......................57
Tabela 10 : Resultado das operações de hedge por mínima variância – 1999....................58
Tabela 11: Consolidação dos resultados das operações por mínima variância...................59
Tabela 12: Teste t ao par para análise da diferença dos resultados auferidos pelos modelos
por mínima variância...........................................................................................................59
Tabela 13: Resultado das operações por modelo utilizando-se a estratégia delta hedge.....60
1
1. INTRODUÇÃO
1.1 Motivação
A motivação para iniciar este trabalho origina-se da época em que o autor trabalhou
como operador e analista de opções de ações e ADRs ( American Depositary Receipts ) de
Telebrás ( 1995 – 1998 ).
Neste período a equipe em que o autor atuou na área de derivativos tinha um grande
objetivo: auferir ganhos sem risco através da realização de operações de arbitragem. Existia
a crença na época de que o mercado de opções de Telebrás era imperfeito o suficiente para
que o objetivo de obtenção de resultados financeiros sem risco pudesse ser alcançado.
O modelo de avaliação de opções utilizado neste período foi o modelo desenvolvido
por Black & Scholes ( 1973 ). Este modelo sempre exerceu o papel de benchmark dos
operadores e analistas de opções, apesar de suas limitações metodológicas representarem
uma grande ameaça a realização de operações de arbitragem livres de risco. A fim de
resolver estes problemas foram desenvolvidos pelo autor e sua equipe alguns paliativos
para amenizar o efeito destas limitações à estratégias de hedge, tal como o estabelecimento
das derivadas parciais do valor do prêmio das opções em relação à variáveis de risco ( as
denominadas “gregas”) e o desenvolvimento de modelos que buscassem aferir com mais
precisão os níveis de volatilidade existentes no mercado ( ex: ARCH, GARCH e EWMA).
Dentre estes paliativos ao modelo de Black & Scholes ( 1973 ), um sempre teve
papel de fundamental importância quando analisado sobre uma perspectiva prática: como
incorporar o efeito das diferenças de volatilidade implícita existentes entre séries de opções
de uma mesmo ativo-objeto para um mesmo vencimento ( denominado efeito smile ) e ao
longo do tempo ( termo de volatilidade ), de forma a entender melhor a existência de
“falsos sinais”, isto é, considerar uma série como estando com prêmio distorcido quando na
verdade não está.
Ao se tornar um aluno do mestrado o autor descobriu que diversos modelos foram
desenvolvidos na academia com esta finalidade. Descobriu também que, apesar da intensa
2
pesquisa na área, poucos modelos ofereciam uma simplicidade de cálculo suficiente para
serem incorporados pelos operadores de opções no dia a dia do mercado.
Dentre os modelos de volatilidade estocástica pesquisados neste período, um
modelo chamou a atenção pela sua proposta para solucionar o problema do termo de
volatilidade: o desenvolvido por Hull & White (1987). Este modelo tem como principal
característica a incorporação do efeito estocástico da volatilidade ao longo do período de
existência da opção, fazendo com que a limitação metodológica de constância da
volatilidade até o exercício das opções existente no modelo de Black & Scholes ( 1973 )
fosse superada. Além disso possui uma forma analítica que poderia ser utilizada pelos
operadores de opções, desde que obedecidas algumas limitações que, em termos práticos,
não possuem importância significativa sob uma perspectiva de longo prazo.
A partir do acima exposto a motivação desta pesquisa é determinar se o Modelo de
Volatilidade Estocástica proposto por Hull e White possui uma performance ex-post melhor
que o modelo de Black & Scholes para avaliar opções de Telebrás sob uma perspectiva
estática (erros relativos) e dinâmica ( estratégias de negociação visando a obtenção de
ganhos sem risco via operações de arbitragem).
1.2 Objetivo final da dissertação
O objetivo final da dissertação será o de determinar se a utilização do Modelo de
Volatilidade Estocástica proposto por Hull e White em 1987 possui uma performance
estática e dinâmica melhor que o modelo de Black & Scholes dentro de um período
especificado no mercado de ações brasileiro.
A restrição do estudo entre os dois modelos existe em função da representatividade
de cada um. O Modelo de Volatilidade Estocástica de Hull e White é o mais renomado e
um dos mais simples modelos de avaliação de opções que levam em consideração a
oscilações de volatilidade de séries de opção para um dado ativo-objeto ao longo de um
exercício. Já o modelo de Black & Scholes, apesar de não levar em conta este efeito
3
heterocedástico, é o modelo de maior utilização pelos investidores brasileiros de opções,
sendo portanto um benchmark das práticas de trading atuais.
O alcance de tal objetivo se dará através da simulação de estratégias de delta-hedge
( metodologia de Becker e Lemgruber - 1987) e de mínima variância ( Ross - 1995 ) dentro
de um período especificado, liquidando-se as operações realizadas somente na data do
vencimento das opções. Fazendo-se ajustes diários, calculam-se os resultados financeiros
conseguidos pela utilização de cada um dos modelos em cada um dos vencimentos. Após
isto faz-se um teste estatístico para se rejeitar a hipótese de que a média dos resultados
aferidos pelo modelo de Hull & White seja diferente da média aferida pelo modelo de
Black & Scholes.
1.3 Relevância do estudo
A relevância do estudo pode ser melhor entendida a partir da experiência
profissional do autor como operador no mercado de opções no período de 1995 a 1998.
Neste período verificou-se empiricamente que a maior dificuldade que os investidores no
mercado de opções tinham não era o cálculo do prêmio “correto” de uma opção, pois a
existe grande disponibilidade de softwares que realizam esta tarefa. A maior dificuldade
destes investidores era avaliar o nível correto de volatilidade que deveriam embutir nos
cálculos para se achar o prêmios de para cada uma das séries ( smile de volatilidade ) e ao
longo do exercício das opções (termo de volatilidade).
A estrutura teórica por trás deste problema é bastante ampla e está além do objetivo
deste trabalho. Pode-se porém sumarizar o problema da seguinte forma: o modelo de Black
& Scholes pressupõe que todas as séries de opções de um determinado ativo-objeto
deveriam embutir a mesma volatilidade esperada até o vencimento. Na prática porém isto
não ocorre. Observamos nos diversos mercados financeiros mundiais organizados que
séries de opções diferentes para um mesmo ativo-objeto e com a mesma data de
vencimento apresentam diferentes expectativas de volatilidade, o que representa uma total
inconsistência teórica, já que o modelo B&S tem como requisitos para sua validade que a
4
expectativa de volatilidade seja única para todas as séries de opções e que esta se
mantenham constantes até o vencimento ( requisitos de inexistência do smile e de estrutura
à termo flat).
Apesar da inconsistência observável nos mercados, o modelo de B&S continua a ser
amplamente utilizado pelos investidores em todo o mundo pelo fato de sua estrutura teórica
ser simples e sua implementação fácil quando comparado a outros modelos. Em suma,
pode-se dizer que os agentes de mercado parecem utilizar o modelo de Black & Scholes
(ignorando uma série de restrições de validação ) pelo simples fato de não possuírem um
modelo alternativo de avaliação que atenda suas necessidades de simplicidade e precisão.
A partir deste cenário alguns teóricos formularam modelos de avaliação que
englobaram estas diferenças de volatilidade embutida nas diversas séries de opções.
Rubinstein ( 1994 ) criou o Modelo Binomial Implícito que, apesar de bem estruturado
teoricamente, apresenta dificuldades de implementação pelos operadores em função da
complexidade dos cálculos relacionados a otimização do diferencial de probabilidades
associadas aos eventos no exercício. Johnson (1979) e Hull e White (1987) foram os
principais pesquisadores que seguiram linha da suposição de que a volatilidade segue um
processo de Wiener, sendo o Modelo de Volatilidade Estocástica de Hull e White o que
alcançou maior prestígio entre os investidores e pesquisadores em função de apresentar
uma solução analítica e de superar a limitação da necessidade da existência de um ativo
com correlação perfeita em relação à volatilidade.
Deste modo a relevância deste trabalho objetiva responder se a incorporação do
efeito heterocedástico ao longo do tempo em um modelo de avaliação de opções pode
tornar o cálculo dos prêmios mais precisos e lucrativos no mercado de opções brasileiro.
5
1.4 Delimitação do estudo
Esta dissertação está delimitada a utilização de somente dois modelos de avaliação
(Hull e White e Black & Scholes). Deste modo o escopo deste trabalho não considera
outros que porventura poderiam ter sido utilizados para o mesmo fim, pois um dos
objetivos intermediários deste trabalho é verificar de maneira representativa se um modelo
de avaliação de opções que assume que a volatilidade do ativo objeto é estocástica ( Hull &
White) é mais eficaz que um que assume a homocedasticidade ( Black & Scholes). Procura-
se alcançar tal objetivo através da simulação das estratégias operacionais de delta hedge e
de mínima variância (performance dinâmica) e do cálculo dos erros de avaliação em
relação aos prêmios de mercado ( performance estática). Ainda assim outros modelos serão
citados ao longo desta dissertação pelas contribuições relevantes que deram ao
entendimento do problema
1.5 Descrição do trabalho
Este trabalho está organizado da maneira que se segue. No Capítulo 2 é apresentado
o referencial teórico que serviu de base para o estudo, explorando a construção, a
diversidade e o desenvolvimento de modelos de avaliação de opções desde os seus
primórdios até os dias atuais. Posteriormente abordo mais detalhadamente os modelos de
Black & Scholes e Hull & White, objetos deste trabalho Em seguida, no Capítulo 3,
exponho a metodologia empregada neste estudo, com especial ênfase sobre as
características da amostra, tratamento dos dados e as limitações do estudo. No Capítulo 4
são apresentados os resultados dos modelos a partir de critérios de performance estática e
dinâmica, tais como definidos por Bakshi, Cao e Chen ( 1997 ). No Capítulo 5 são
apresentadas as conclusões do estudo e algumas sugestões para seu prosseguimento. No
Capítulo 6 está o Apêndice com o resultado dos cálculos das derivadas parciais do prêmio
de uma opção em relação ao ativo objeto ( delta ) e a volatilidade (vega) para um modelo
analítico de Hull & White, representado por uma expansão de 3º ordem de uma Série de
Taylor. No Capítulo 7 estão as referências bibliográficas deste trabalho.
6
2. REFERENCIAL TEÓRICO
2.1 Perspectiva Histórica dos Modelos de Avaliação de Opções
O entendimento de opções como instrumento financeiro vem de longa data. De
acordo com Bernstein ( 1997 ) no Livro I da Política Aristóteles descreveu uma opção
como “uma dispositivo financeiro que envolve um princípio de aplicação universal”. A
febre de opções de compra e venda de tulipas na Holanda do sec. XVI acabou por formar
um mercado bastante ativo entre plantadores e revendedores até sua extinção em
decorrência de movimentos fomentados por especuladores.
Nos Estados Unidos as opções surgiram por volta de 1790, um pouco antes do
Acordo de Button Wood Tree estabelecer o que se tornaria a Bolsa de Valores de Nova
York.
É interessante notar que para o pleno entendimento dos contratos de opções e
seu valor é necessário conhecer sua natureza.. A partir da definição de Lemgruber (1995)
pode-se descrever tais instrumentos como contratos contingenciais que permitem a seus
titulares o direito de transferir a propriedade de um ativo objeto dentro de um prazo tido
como válido e a um preço especificado. Ao comprar o direito de transferir tal propriedade
a um dado preço o titular na verdade está transferindo o risco associado a propriedade
daquele ativo caso as contingências futuras prejudiquem seus fluxos de caixa de alguma
forma.
Por ser um instrumento de transferência de risco a criação de um modelo para
avaliar opções deve levar em conta o preço da incerteza inerente a estes títulos. Após
algumas tentativas seminais de Bachelier ( 1900 ), Sprenkle ( 1962 ), Boness ( 1964 ) e
Samuelson ( 1967 ), modelos de avaliação para estabelecer o preço de opções foram
propostos por Black e Scholes ( 1973 ) e Merton ( 1973 ), ambos com características bem
semelhantes.
7
O pressuposto assumido pelos Black & Scholes foi a noção de que uma opção
pode ser perfeitamente protegida com unidades dos ativo objeto. Deste modo se algum
investidor cria este portfólio livre de risco sistemático terá um retorno equivalente a taxa de
juros livre de risco. Caso tal relação não ocorra é possível a realização de arbitragem de
forma a se aferir lucro sem risco sistemático através da realização de operações de
arbitragem conhecidas como delta-hedge.
A publicação do artigo de Black & Scholes ( 1973 ) coincidiu com a abertura da
Chicago Board Options Exchange (CBOE), o primeiro mercado de bolsa organizado para
negociar opções padronizadas, fazendo com que a aceitação pública do modelo proposto
pelos autores fosse bastante rápida devido a necessidade de se avaliar o preço dos novos
instrumentos de transferência de risco.
O desenvolvimento do modelo de B&S teve ainda um efeito social bastante
importante: a maior interação entre as pesquisas acadêmicas e de agentes financeiros no
sentido de aprimorar modelos de avaliação de ativos. A partir de então profissionais de
diversos ramos do conhecimento antes restritos a academia começaram a ser contratados
como pesquisadores de instituições financeiras com o objetivo de desenvolverem modelos
de avaliação para ativos.
Posteriormente Cox, Ross e Rubinstein ( 1979 ) e Rendleman e Barther ( 1979 )
desenvolveram idéias propostas por Sharpe ( 1978 ) na proposição do modelo binomial de
avaliação de opções. Estes artigos mostram que uma opção pode ser avaliada a partir de
movimentos binomiais estabelecidos pelo ativo objeto dentro de um dado intervalo de
tempo discreto. Assim como o modelo de B&S, considera um mundo neutro a risco onde o
preço de equilíbrio de uma opção é estabelecido pela impossibilidade de arbitragem
existente em mercados eficientes. Outras semelhanças são o fato de se considerar a
homocedasticidade do ativo objeto, a simetria da distribuição probabilística na série
temporal, a estacionariedade das taxas de juros até o vencimento das opções e a
inexistência de fricções de mercado.
8
A aplicação destes modelos no dia a dia dos negócios foi ampla. Apesar da grande
disseminação entre os agentes financeiros, os modelos baseados na neutralidade à risco
apresentavam problemas quando levados ao dia a dia dos negócios. A suposição de que os
investidores são neutros à risco parecia bastante irreal nos mercados financeiros eficientes,
onde a seletividade dos agentes em relação aos diversos tipos de risco existentes é evidente.
A partir desta limitação dos modelos neutros à risco Harrison & Kreps ( 1979 ) e
Harrison e Pliska ( 1981 ) demonstraram formalmente que os preços de todos os ativos
financeiros, descontados pela taxa de juros livre de risco, seguem um martingale, que é
uma variável aleatória cujo valor não se espera mudança. As principais suposições
utilizadas pelos autores são:
• os preços dos ativos financeiros são determinados em um mercado justo e são
observáveis, assim como as taxas de juros e a volatilidade.
• oportunidades de arbitragem não existem.
Harrison–Kreps e Harrison-Pliska demostram que as condições de neutralidade a risco e
um processo martingale são idênticos sob uma abordagem ex post. Quando considerados ex
ante , contudo, é necessário se atribuir probabilidades para os eventos futuros. A obtenção
de probabilidades dos preços futuros dos ativos é difícil, mas felizmente o procedimento de
cálculo por martingales não requer as probabilidades reais, somente as probabilidades que
existiriam se o retorno esperado sobre um ativo fosse a taxa de juros livre de risco. Isto é
essencialmente a mesma coisa que dizer que o preço atual de um ativo é consistente com
um mundo no qual probabilidades artificiais tem sido escolhidas tal que o preço do ativo
esperado no vencimento de uma opção, descontado na taxa de juros livre de risco, é o preço
atual do ativo.
Deste modo a partir das pesquisas de Harrison-Kreps e Harrison-Pliska iniciou-se uma
nova fase na pesquisa de modelos de derivativos: sem o conhecimento das probabilidades
reais futuras ou dos retornos esperados é possível a criação de modelos de avaliação de
derivativos assumindo-se que o retorno esperado dos ativos é a taxa de juros livre de risco.
9
Como este processo chega a mesma suposição de que os investidores são neutros à risco, os
modelos derivados de martingales são denominados como modelos de avaliação neutros a
risco.
Após os trabalhos de Harrison–Kreps e Harrison-Pliska as pesquisas se voltaram para
contornar uma série de restrições metodológicas estabelecidas por Black & Scholes. O
próprio Black ( 1975 ) desenvolve uma derivação de seu modelo no qual o pagamento de
dividendos é levado em consideração. Merton ( 1973 ) demonstra que se os dividendos são
considerados na forma de capitalização contínua, pode-se avaliar o preço de uma opção
pelo modelo de B&S através do simples desconto do ativo objeto pela taxa de retorno dos
dividendos.
O modelo de capitalização contínua de Merton ( 1973 ) gerou a estrutura teórica através
da qual foi possível o estabelecimento de modelos de avaliação de opções para moedas.
Neste caso a taxa contínua da taxa de retorno dos dividendos pode ser substituída pela taxa
de juros da moeda estrangeira e a volatilidade representa o desvio padrão do logarítimo
natural dos retornos da taxa de câmbio. Esta versão do modelo de Black & Scholes
adaptada a opções de moedas estrangeiras é conhecida como modelo de Garman-
Kohlhagen (1983 ).
Ainda na década de 70 diversos modelos de avaliação de opções foram criados como
derivações dos modelos binomial e de Black & Scholes. William Magrabe (1978)
desenvolveu um modelo para avaliar o direito de trocar um ativo por outro. Este
instrumento, denominado de opção de troca, não é efetivamente negociado nos mercados de
opções, mas é facilmente observável que ele se apresenta como uma versão mais ampla do
modelo de Black & Scholes, que trata apenas do direito de troca de um ativo ( papel
moeda) por um outro ativo ( ativo objeto ).
Robert Geske ( 1979 ) desenvolveu um modelo para avaliar opções sobre opções a
partir da premissa assumida no paper original de Black & Scholes no qual os autores
afirmam que o próprio ativo-objeto ( ação ) pode ser considerada como uma opção de
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venda subscrita pelos credores da companhia. A maior importância de seu trabalho porém
foi a contribuição teórica que deu para a avaliação de outros tipos de opções.
Um dos modelos desenvolvidos a partir do modelo de Geske foi o de Roll (1977) para a
avaliação de opções americanas sobre ações que pagam dividendos. Refinamentos
subsequentes feitos por Geske (1979) e Whaley (1981) levaram a fórmula a ser denominada
como modelo de Roll-Geske-Whaley.
Merton ( 1976 ) desenvolveu um modelo levando em consideração a existência de
saltos no preço do ativo objeto em determinados momentos dentro da vigência da opção,
passando a considerar assim a heterocedasticidade do ativo objeto. O modelo de processo
de salto embute estas oscilações bruscas nos preços calculados para as opções,
estabelecendo ainda que tais saltos podem ser considerados como um risco diversificável.
Deste modo poder-se-ia essencialmente ignorar seu prêmio de risco, fazendo com que fosse
possível a formulação de um modelo de avaliação de opções com o risco de salto.
Outro marco no desenvolvimento de modelos de avaliação de opções foi o trabalho não
publicado de John Cox ( 1975 ) no qual o autor propõe um modelo para o cálculo do
prêmio sobre opções de ações nas quais a volatilidade aumenta quando o preço da ação
diminui. Este modelo, denominado de modelo de elasticidade constante da variância,
representou a primeira tentativa de incorporar as mudanças de volatilidade nos modelos de
avaliação de opções.
A incorporação do risco de default nos mercados de balcão foi tratada em dois
modelos. Johnson & Stulz (1987) fornecem fórmulas para a avaliação de opções
incorporando a probabilidade de default do lançador até o vencimento. Rich (1996)
demonstra como o modelo de Black & Scholes poderia ser modificado para permitir a
possibilidade de o lançador entrar em default e decretar falência antes do vencimento da
opção.
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A avaliação de opções sobre futuros e termos originou-se do modelo desenvolvido por
Black ( 1976 ) denominado modelo de avaliação de opções sobre commodities. Esta
fórmula fornece o preço de uma opção cujo o ativo objeto é um contrato a termo ou, sob
certas condições, um contrato futuro. O modelo de Black pode ser considerado como o
modelo de B&S onde o ativo objeto não é um ativo financeiro e sim um contrato forward
ou futuro deste ativo.
Uma inovação em termos de metodologia na avaliação de opções foi proposta por
Scwartz ( 1977 ). O autor estabelece que a metodologia de diferenças finitas, utilizadas em
matemática para a resolução de equações diferenciais, poderiam ser aplicadas a fim de se
obter preços de opções. Enquanto os métodos binomiais permitem ao ativo objeto mover-se
para dois valores possíveis dentro de um dado intervalo de tempo discreto e expandem os
valores possíveis do ativo através de uma estrutura de múltiplos períodos na forma de
seqüência de passos, os métodos de diferenças finitas formam um grid retangular e são
essencialmente equivalentes a um modelo trinomial. Outros papers que tratam do assunto
de maneira esclarecedora são os de Brennan e Scwartz ( 1978 ) e Geske e Shastri ( 1985 ).
A partir do princípio da matemática de que uma função continua pode ser aproximada
por uma equação polinomial, Johnson ( 1983 ) desenvolveu uma fórmula de avaliação de
opções de venda americanas, ainda que imprecisa dentro de certas condições inerentes aos
valores dos inputs. Macmillan ( 1986 ), Barone-Adesi e Whaley ( 1987 ) desenvolveram
fórmulas para opções de venda americanas a partir de aproximações das equações
diferencias que caracterizam tais opções. A mesma linha foi adotada pelo modelo de
Geske-Johnson ( 1986 ): a busca de uma fórmula para opções de venda americanas através
de aproximação usando-se uma técnica denominada extrapolação de Richardson. Com o
desenvolvimento da tecnologia associada ao processamento de dados a adoção de técnicas
de aproximação para se desenvolver modelos vem caindo em desuso, pois cada vez mais os
métodos numéricos vem se tornando mais atrativos.
Um destaque dentre os modelos numéricos desenvolvidos foi o de Boyle ( 1977 ), que
introduziu a simulação de Monte Carlo para avaliação de opções. O procedimento adotado
12
envolve a geração de milhares de resultados aleatórios representando possíveis preços do
ativo objeto com uma freqüência relativa igual a encontrada na realidade; determina-se
então o valor da opção no vencimento para cada um dos resultados simulados e desconta-se
o retorno esperado pela taxa de juros livre de risco a fim de se chegar ao valor presente da
opção.
Mesmo com o rápido desenvolvimento dos modelos de avaliação de opções, uma das
limitações dos modelos pioneiros ( Black & Scholes e Binomial) permaneceu como crítica
a sua eficácia nos mercados: a volatilidade do ativo objeto. Para a obtenção de um preço de
uma opção, a estimação da volatilidade futura do ativo objeto até o vencimento é um fator
fundamental. Técnicas sofisticadas de estimação tem sido usadas, em particular os modelos
autoregressivos e a família de modelos denominada ARCH ( autoregressive conditional
heterocedasticity) e GARCH ( ARCH generalizado ).
No dia a dia dos operadores de opções um dos mais importantes conceitos é o de
volatilidade implícita. Tal estatística é calculada a partir da consideração do nível de
volatilidade adequado para que determinado modelo reproduza o preço corrente de
mercado. Em seu cálculo existem dois pontos críticos: sua estimação e sua capacidade
preditiva. Referencias sobre a volatilidade implícita estão em Mayhew (1995). Testes sobre
a capacidade preditiva da volatilidade implícita podem ser achados em Beckers (1981) e
Canina e Figlewski (1993). Os resultados não são conclusivos se a volatilidade implícita é
uma boa estimativa da volatilidade futura.
Uma das limitações teóricas que é um dos pontos mais críticos para a aplicação dos
modelos de opções Binomial e de B&S é o de que a volatilidade não muda ao longo da vida
da opção (homocedasticidade). Na realidade é facilmente observável que a volatilidade dos
ativos muda, tendo inclusive um comportamento estocástico. Como a própria volatilidade
possui dispersão, vários modelos buscaram incorporar este fator de forma alternativa, já que
a volatilidade não é um ativo passível de hedge nos mercados. A volatilidade estocástica foi
examinada por Merton ( 1973 ), Geske (1979 ), Jonhson ( 1979 ), Jonhson & Shanno
(1985), Eisenberg (1985 ), Wiggs ( 1985 ) e Scott (1986). Merton ( 1973 ) em seu estudo
13
assume que o preço do ativo objeto segue um processo misto de difusão e jumps. Geske
(1979 ) examina o caso no qual a volatilidade do valor de uma empresa é constante tal que
a volatilidade das variações de preços das ações se comporta de acordo com as oscilações
de preços do ativo objeto. Johnson (1979) formulou um modelo que assume a existência de
um ativo que é instantaneamente correlacionado com sua variância estocástica. A existência
de tal ativo seria suficiente para derivar uma equação diferencial na qual o preço de uma
opção deveria satisfazer, porém o autor não conseguiu solucionar o problema pelo fato de
não ter encontrado um ativo com tais características. Johnson e Shanno ( 1979) , Wiggins
(1985 ) e Scott (1986) formularam soluções numéricas ao construírem seus modelos com a
suposição de que a volatilidade é estocástica. O trabalho mais difundido na incorporação da
volatilidade estocástica porém foi o desenvolvido por Hull & White ( 1985 ), objeto de
pesquisa nesta dissertação. Sumariamente este modelo possui como principal vantagem em
relação aos seus similares o fato de os autores terem conseguido desenvolver um modelo
que dispensa a existência de um ativo perfeitamente correlacionado com a variância
instantânea de um ativo de forma a neutralizar o risco de variância estocástica associada a
esta variância instantânea, superando assim a limitação encontrada por Johnson (1979).
Além disso forneceram uma solução analítica quando a variância da variância instantânea
do ativo objeto multiplicada pelo tempo para o vencimento da opção é relativamente
pequena. Uma abordagem mais detalhada deste modelo será dada no item 2.4.
Outro fenômeno que é objeto de estudo é o comportamento da volatilidade através do
tempo (estrutura a termo da volatilidade) e através dos preços de exercício (smile de
volatilidade). O smile é um fenômeno empírico bastante explorado pelos pesquisadores,
mas leva a uma inconsistência teórica grave: a de que o ativo objeto possui mais de uma
volatilidade. A incorporação do comportamento do smile da volatilidade serviu de base
para a construção dos modelos Binomial Implícito de Rubinstein ( 1994 ), de Dupire (1994)
e o de Derman e Kani (1994).
2.2 Os Processos Estocásticos e os Modelos de Avaliação de Opções
A criação de modelos de avaliação de ativos em finanças tem como fundamento
teórico básico a expectativa matemática dos fluxos de caixa que estes ativos devem gerar
14
no futuro. Pode-se definir o valor de um ativo financeiro na data T com n prováveis fluxos
de caixa em T da seguinte forma:
∑=
=n
iii FPV
1
( 1 )
onde Fi é o fluxo de caixa i na data T com probabilidade de ocorrência Pi ( 0 ≤ Pi ≤ 1).
A avaliação de contratos de opções segue basicamente a mesma lógica. De acordo com Cox
e Rubinstein (1985 ) o valor de uma opção de compra européia no vencimento é:
( )KSMaxC −= ** ;0 ( 2 )
onde C* - Valor de uma opção de compra na data de exercício
S* - Preço do Ativo Objeto S na data de exercício
K – Preço de exercício da opção.
Já o valor de uma opção de venda no vencimento é:
( )** ;0 SKMaxP −= ( 3 )
Sabendo-se que o preço de exercício K é uma constante e que os modelos de B&S e
o de Hull & White tem como pressuposto o cálculo da expectativa matemática de retorno
das opções no vencimento, é de fundamental importância para a avaliação de opções por
estes modelos o cálculo das probabilidades associadas a S* , que vem a ser a única variável
das equações 1 e 21.
Pelo fato destes modelos terem como pressuposto a impossibilidade de se auferir
lucros sem risco com arbitragens, a definição de probabilidades nestes modelos passa
1 As fórmulas relacionadas as expectativas matemáticas do valor de uma opção para os dois modelos serãodescritas na seção 2. Para maiores detalhes ver Hull ( 1999 )
15
necessariamente pela suposição de probabilidades em que os investidores são neutros à
risco2. Tais probabilidades são definidas a partir de processos estocásticos e são
denominadas martingales3.
Para se definir martingales ( ou variações ) é necessário que seja definido em um
primeiro momento as probabilidades associadas a trajetória aleatória pela qual o ativo S se
comportará ao longo do tempo de existência da opção. O estabelecimento destas
probabilidades é realizado através de processos estocásticos.
Segundo Hull (1997 ) os processos estocásticos podem ser classificados com relação
ao tempo e com relação ao tipo de variável. Os processos estocásticos podem ser:
⇒ Discretos: a variável pode mudar de valor somente dentro de pontos fixos ao longo do
tempo ( ex.: no horário do pregão de uma Bolsa de Valores ) e pode assumir somente
determinados valores (usualmente múltiplos das variações mínimas estabelecidas pelas
bolsas que negociam derivativos )
⇒ Contínuos: as mudanças de valor podem ocorrer em qualquer intervalo contínuo ao
longo da série temporal e podem assumir qualquer valor dentro deste intervalo
estabelecido na equação do processo.
É a suposição de que o ativo objeto S se comporta de maneira discreta ou contínua que
diferencia os modelos de avaliação denominados discretos ( tal como o Modelo Binomial)
dos contínuos ( como o de Black & Scholes ).
2 A fundamentação teórica destes “neutral risk models” será descrita na seção 2.23 A obtenção mais detalhada da composição e cálculo de martigales e suas variações está descrita por Neftici(1996 ).
16
2.2.1 Criação de Modelos de Avaliação de Opções por Equações Diferenciais Parciais.
Dois tipos de modelagem de processos estocásticos visando a avaliação de contratos de
opções podem ser realizados: o de equações diferenciais parciais (EDP ) e o Teorema de
Girsanov.
Em ambos os casos o comportamento de ativos financeiros assume teoricamente um
tipo particular de processo estocástico dominante: o Processo de Markov. Tal processo
pressupõe que a trajetória estocástica de uma variável no futuro é independente do
comportamento desta variável no passado. Deste modo somente o valor presente da
variável é relevante. Segundo Hull ( 1997 ) a justificativa da adoção do processo
markoviano como dominante na modelagem estocástica de ativos financeiros estaria no
fato de que tais modelos pressupõe a forma fraca de eficiência de mercado, isto é, que
todas as informações passadas ( públicas e insiders ) já estariam refletidas nos preços dos
ativos financeiros.
A demonstração matemática dos processos markovianos discretos e contínuos se dão a
partir dos denominados Processos de Wiener. Tais processos são um tipo especial de
Processo Estocásticos de Markov e possuem larga utilização nos estudos físicos de
movimentos de partículas que estão sujeitas a um elevado número de choques. Também
são denominados Movimentos Geométricos Brownianos ( MGB ).
O MGB generalizado em sua versão discreta apresenta a seguinte fórmula para
descrição da trajetória de S ao longo da série temporal:
ttSS ∆+∆=∆ σεµ ( 4 )
Onde S é o ativo objeto, µ∆t é o retorno esperado do ativo objeto em um intervalo discreto
∆t e σ ε√∆t é o componente estocástico do retorno.
17
Um Processo de Wiener Generalizado descreve o comportamento do ativo objeto ao
longo de um intervalo temporal contínuo da seguinte forma:
dtdtS
dS σεµ += ( 5 )
onde S é o ativo objeto, µdt é o retorno esperado do ativo objeto em um intervalo onde
∆t→0, σ é a volatilidade de S e ε√dt é um processo de Wiener com média zero e variância
dt.
Tais pressupostos fazem com que a distribuição probabilística esperada do retorno
do ativo-objeto no vencimento S* para cada um dos modelos apresentem diferenças
diretamente relacionadas a diferença entre ∆t e dt. Enquanto no MGB discreto a
distribuição de probabilidade esperada de S* é a de Bernoulli, no MGB em sua versão
contínua a distribuição esperada é lognormal. Outra conseqüência para os modelos de
avaliação que se utilizam deste processo de difusão é a suposição de que o ativo objeto tem
uma taxa de retorno ( drift ) e variância constante (homocedasticidade) ao longo do tempo.
Os dois tipos de processos generalizados de Wiener acima descritos procuram
descrever a trajetória de ∆S ( dS ). Ambos tem seus parâmetros de média de retorno e de
variância estocástica estabelecidos a partir de um caso particular de processo de Wiener
denominado Processo de Ito. Pode-se descrevê-lo algebricamente a partir do pressuposto
de continuidade da seguinte forma:
( ) ( )dztxbtxadx ,, += ( 6 )
onde dx é a variação infinitesimal de x, a é o drift do processo e b é a taxa de variância
estocástica, ambos dependentes da variável estocástica x e o tempo t.
18
Como extensão do processo acima descrito Ito ( 1951 ) estabeleceu uma função de
uma variável estocástica G dependente de variável estocástica x e de t que segue o seguinte
processo:
bdzxGdtb
xG
tGa
xGdG
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂= 2
2
2
21 ( 7 )
onde dz é igual ao componente estocástico do processo generalizado de Wiener
Neste caso
∂∂+
∂∂+
∂∂ 2
2
2
21 b
xG
tGa
xG ( 8 )
é a taxa de drift e
2
∂∂ b
xG ( 9 )
é a taxa de variância de G4.
Considerando-se x como sendo o preço de um ativo financeiro S, temos da equação
5 que na suposição de processos estocásticos contínuos:
SdzSdtdS σµ += ( 10 )
sendo µ e σ constantes ao longo do tempo.
Aplicando-se a equação diferencial estocástica acima descrita para o ativo S no Lema de
Ito tem-se que:
19
SdzSGdtS
SG
tGS
SGdG σσµ
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂= 22
2
2
21 ( 11 )
onde G é um derivativo de um ativo financeiro que segue um processo de Wiener descrito
na equação 10.
Nos modelos de avaliação por equações diferenciais parciais (EDPs) a obtenção da
probabilidade que impossibilita a realização de arbitragens lucrativas ( martingales ) se dá
a partir da construção de portfólios que anulem o risco estocástico dos investimentos e, por
isto, rendem a taxa de juros livre de risco Rf.
Um exemplo típico da modelagem por EDP que supõe a impossibilidade de ganho
por arbitragem para avaliar opções é dado por Black & Scholes ( 1973 )5. Os autores
inicialmente estabeleceram os seguintes pressupostos para a validade de seu modelo para
opções européias:
! não existem custos de transação
! vendas a descoberto são permitidas
! a formação de preços do ativo objeto tem comportamento estocástico contínuo na
forma de um Processo Generalizado de Wiener
! ativo objeto não paga dividendos
! a taxa de juros de investimentos livre de risco e a volatilidade do ativo objeto são
constantes até o vencimento da opção.
Posteriormente os autores constróem o seguinte portfólio:
CSH QCQSV ×+×=
4 A dedução do Lema de Ito a partir do Processo de Ito se dá a partir de uma série de Taylor aplicada aoLema. Para ver sua dedução matemática ver Hull ( 1997 ).
20
onde:
S – Preço do ativo objeto
Qs – Quantidade de S possuídos
C – Preço da opção de compra européia
Qc - Quantidade de C possuída
Seja dVh uma pequena mudança no valor do portfólio,
dCQdSQdV CSH ×+×= ( 12 )
que apresenta comportamento estocástico para uma série de combinações entre ativos e
opções. Entretanto, se Qs e Qc são combinadas tal que:
0=∂∂×+×= dS
SCQdSQdV CSH ( 13 )
eliminando-se assim o risco estocástico do portfólio passando este a render a taxa de juros
livre de risco Rf.
Supondo-se que Qs = 1 então:
SC
QC
∂∂
−= 1 ( 14 )
Em seguida Black & Scholes estabeleceram a equação 10 como a equação diferencial
parcial (EDP ) que melhor representaria um Processo Generalizado de Wiener que o ativo
S segue:
5 Ver Lemgruber ( 1995 )
21
SdzSdtdS σµ += (15)
Aplicando-se o Lema de Ito ( Equação 11 ) ao processo acima os autores chegaram a
seguinte equação diferencial parcial para determinar ∂ C:
∂∂+
∂∂+
∂∂= dtS
SCdt
tCdS
SCdC 22
2
2
21 σ ( 16 )
Substituindo a equação 16 em 13 e fazendo Qs=1 tem-se que:
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂
−= dtSSCdt
tCdS
SC
SC
dSdVH22
2
2
211 σ ( 17 )
Como o portfólio H não possui risco estocástico pela diversificação realizada na alocação
entre Qc e Qs, assume-se que deve render a taxa de juros livre de risco Rf. Deste modo:
dtRVdV fHH = ( 18 )
Igualando-se a equação 18 a 12 tem-se que
dtRC
SC
SdV fH
∂∂
−= 1
que após simplificações e arranjos necessários torna-se:
222
2
21 S
SC
SCSRCR
tC
ff σ∂∂×
∂∂×=
∂∂ ( 19 )
22
que vem a ser a equação diferencial não estocástica para avaliação de opções formulada
por B&S. Após identificarem a equação 19 como a equação do calor encontraram a
solução:
( ) ( )21 dNKedSNC rt−−= ( 20 )
onde:
N(d1 ) – fator probabilístico normal associado ao preço do ativo S.
N(d2) – fator probabilístico normal associado ao preço de exercício K.
2.2.2 Criação de Modelos de Avaliação de Opções pelo Teorema de Girsanov
Métodos recentes de avaliação de derivativos não se utilizam mais
necessariamente de EDPs implícitas em um portfólio livre de risco. A metodologia que
vem passando a ser adotada é a de converter a expectativa de retorno de um ativo S em
martingales. Isto é feito através da transformação das distribuições probabilísticas
associadas a variáveis estocásticas contínuas usando-se as técnicas descritas pelo Teorema
de Girsanov.
O Teorema de Girsanov fornece uma estrutura teórica que transforma uma
medida de probabilidade em outra probabilidade “equivalente” aplicável aos Processos
Generalizados de Wiener. De acordo com Neftci ( 1996 ) o método pode ser descrito da
seguinte forma:
1. Têm-se uma expectativa matemática para se calcular;
2. Transforma-se a medida de probabilidade original tal que a expectativa matemática de S
seja mais fácil de calcular;
3. Calcula-se a expectativa matemática sob a nova probabilidade;
4. Uma vez calculado, transforma-se as probabilidades de volta a distribuição original.
23
Os princípios do Teorema de Girsanov são os seguintes: considera-se uma família de
informações It em um intervalo de tempo [ 0,T ]. T é finito.
Sobre este intervalo define-se o seguinte processo aleatório ξt
∫∫=
−T
u
T
u duxdWux
t ex 0
2
021
( 21 )
onde Xt é um processo estocástico mensurável It representando a variação no drift para
que o processo cresça a uma taxa Rf. Wt é um processo de Wiener com distribuição
probabilística P.
Em um processo contínuo a densidade de ξt tem uma propriedade que é muito importante.
Se a condição de Novikov é satisfeita, então ξt será um martingale integrável quadrático6.
A partir desta propriedade e se o processo do retorno de S é governado pela equação 21
tem-se que:
∫−=t
utt duxWW0
~( 22 )
é um processo de Wiener modificado com probabilidade transformada.
Em termos mais didáticos, o teorema estabelece que, dado processo de Wiener Wt, é
possível achar-se um outro processo de Wiener modificado pela multiplicação de ξt ao
processo original. Para tal transformação ocorrer é essencial que ξt seja um martingale
com E[ξt]=1.
6 Para detalhes sobre a condição de Novikov ver Neftici (1996 )
24
2.3 Os Modelos de Avaliação Pioneiros : Binomial e de Black & Scholes
Na formulação de seu modelo Cox, Ross e Rubinstein (1979) estabeleceram que a
variação de S ao longo do tempo se comportava de acordo com a seguinte versão discreta
do Movimento Geométrico Browniano ( MGB ):
tStSS ∆+∆=∆ ..... εσµ ( 23 )
onde S é o ativo objeto, µ∆t é o retorno esperado do ativo objeto em um intervalo discreto
∆t e σ ε√∆t é o componente estocástico do retorno.
Black & Scholes (1973) assumiram que a variação de S ao longo do tempo pode ser
descrita pela seguinte versão contínua do MGB:
dtSdtSdS ..... εσµ += ( 24 )
onde S é o ativo objeto, µdt é o retorno esperado do ativo objeto em um intervalo onde
∆t→0, σ é a volatilidade de S e ε√dt é um processo de Wiener com média zero e variância
dt.
No processo de avaliação de opções é importante se conhecer a distribuição dos
preços do ativo objeto na data de vencimento. O valor de uma call européias sem
dividendos é definida por:
],0max[ * KSeEC rtP
t−= − ( 25 )
onde:
S* - preço de S no vencimento.
K – preço de exercício.PE – expectativa matemática com probabilidade ajustada a neutralidade de risco.rte− - fator de descapitalização contínua do valor da opção no vencimento.
25
As diferentes versões de MGB utilizadas pelos modelos fazem com que a
distribuição probabilística esperada P do retorno do ativo-objeto no vencimento S* para
cada um dos modelos apresentem diferenças. Enquanto no MGB discreto a distribuição de
probabilidade esperada de S* é a de Bernoulli, no MGB em sua versão contínua a
distribuição esperada é lognormal.
A principal conseqüência deste fato é que os modelos calcularão prêmios diferentes
para opções de iguais características pelo fato de as probabilidades associadas a S* serem
diferentes em cada um dos modelos, ainda que o retorno esperado médio µ e o desvio
padrão σ das duas distribuições sejam iguais.
2.3.1 ) O Modelo Binomial
Cox, Ross e Rubinstein (1979) estabeleceram a seguinte equação para a avaliação de
uma opção de compra européiai:
Tf
nTnnT
ann
R
KSduqqnnT
T
C)1(
],0max[)1(!)!(
!{
+
−−−=
−=∑
( 26 )
Onde:
n: número de passos
q: probabilidade de subida em uma movimento binomial
fR : taxa de juros livre de risco em um intervalo de tempo T e
a: menor inteiro não negativo maior que:
)ln()ln(
duSdK T
26
Se a ≥ T, então o valor da opção de compra é nulo. Este procedimento elimina da
equação precedente todos os cálculos resultantes do somatório de 0 até a-1, ou seja, retira
do cálculo todos eventos em que a opção não será exercida ( S*<K).
De acordo com Lemgruber ( 1995 ) o segundo termo da equação acima pode ser
entendido como sendo o valor atual do preço de exercício K ponderado pela probabilidade
de exercício. O primeiro termo pode ser interpretado como o valor atual esperado de todas
as situações em que o ativo objeto supera o valor do preço de exercício no vencimento,
descontado pela taxa de juros livre de risco.
2.3.2 ) O Modelo de Black & Scholes
Black & Scholes estabeleceram a seguinte equação destinada a avaliar opções de
compra européias:
)()(. 21 dNKedNSC rt−−= ( 27 )
onde:
tt
KeSdrt
σσ 2
1)ln(1 +=
−
e tdd σ−= 12
Cox, Ross & Rubinstein (1979) estabelecem uma situação particular de seu modelo
binomial no qual n→∞ , embutindo ainda as hipóteses de um processo estocástico contínuo
dos retornos do ativo objeto e da distribuição lognormal dos preços até o vencimento das
opções. Nesta situação a avaliação do modelo binomial convergiria para a de Black &
Scholes (B&S) e as equações 4 e 5 seriam equivalentes.
Note que os termos de probabilidade que multiplicam S e K nos dois modelos são os
únicos pontos em que os ambos divergem. Comprova-se este fato ao igualarmos as duas
fórmulas de avaliação de opções a fim de se chegar a seguinte identidade:
27
Ou substituindo:
),,.(),,.()()(. ,21 pnaKepnaSdNKedNS rtrt φφ −− −=−
Para que seja possível obter a convergência dos modelos é necessário que através de
um processo de otimização minimize-se a diferença entre as funções probabilísticos normal
e binomial associadas aos modelos. A hipótese deste estudo está na suposição de que deva
existir um n qualquer a partir do qual possa se obter a convergência na avaliação dos
modelos em um dado nível de confiança pré-estabelecido. De acordo com Neftici (1996)
este processo de convergência pode ser obtido de duas formas : através do Teorema do
Limite Central e pelo conceito de Convergência Fraca.
Como pode-se observar no Capítulo 1 a maioria das pesquisas conduzidas na área
tem como base estes modelos, com especial ênfase na criação de modelos alternativos que
visem a eliminação de suas restrições. Estas limitações metodológicas são as seguintes:
⇒ O ativo objeto tem um comportamento estocástico discreto (binomial) ou
contínuo (Black & Scholes) na forma de um Movimento Geométrico
Browniano.
⇒ A distribuição probabilística dos preços do ativo-objeto em uma data futura é
lognormal e, por conseqüência, a distribuição probabilística do logarítimo
natural das taxas de retorno calculadas de forma contínua e composta é normal.
⇒ a taxa e juros é constante durante toda a vida da opção.
⇒ o ativo-objeto não paga dividendos durante o período.
⇒ vendas à descoberto não são permitidas a qualquer momento.
⇒ não existem margens e outros instrumentos de garantia.
⇒ não existem custos de transação.
⇒ a volatilidade do ativo-objeto é constante durante o período.
})1(!)!(
!{})1(!)!(
!{)()(. 21nTn
T
an
rTrTnTnnTnT
an
rt qqnnT
TKeeduqqnnT
TSdNKedNS −
=
−−−−
=
− −−
−−−
=− ∑∑
28
2.4 O Modelo de Volatilidade Estocástica de Hull & White
De forma a incorporar o efeito da heterocedasticidade, Hull & White ( 1987 )
desenvolveram um modelo de avaliação nas situações nas quais o ativo objeto S possui
volatilidade estocástica.
2.4.1 O Problema da Volatilidade Estocástica
Considere um derivativo f que dependa do preço de um ativo objeto S e de sua
variância instantânea V= 2σ , o qual os autores assumem seguir os seguintes processos
estocásticos:
SdwSdtdS σφ += (28)
VdzVdtdV ξµ += (29)
onde φ é a taxa drift de S, S é o ativo objeto, σ é o desvio padrão de S, µ é a taxa drift
da variância instantânea, ξ é o desvio padrão da variância instantânea V e dw e dz são
respectivamente os processos de Wiener para o ativo S e para a variância instantânea V.
A variável φ é um parâmetro que pode depender de S, σ e t. As variáveis µ e ξ
podem depender de σ e t, mas é assumido que eles não dependem de S. Os processos de
Wiener dz e dw tem correlação ρ. Assumindo-se que S e 2σ são os únicas variáveis de
estado que afetam o preço de um derivativo f, a taxa de juros livre de risco, a qual será
denotada por r, deve ser constante ou ao menos determinística.
Uma razão pela qual o problema da volatilidade estocástica não havia sido
solucionado até então era a inexistência de ativos que fossem perfeitamente
correlacionados com a variável de estado 2σ . Deste modo não parecia possível formar
um portfólio que elimina todo o risco associado ao processo dz.
29
Os autores utilizaram para resolver este problema um estudo de Garman ( 1976 ), na
qual um ativo f que dependa de duas variáveis de estado S e V deve satisfazer a
seguinte equação diferencial:
[ ] ,2*
2
222
23
2
222 )(2
21
Vfr
SfrSrf
VfV
VSfS
SfS
tff V ∂
∂−−−∂∂−=−
∂∂+
∂∂∂+
∂∂++
∂∂∂ σµβµξξρσσ
onde ρ é a correlação instantânea entre S e V. A variável Vβ é o vetor de betas
derivados da regressão múltipla dos “retornos” da variância (dV/V) do portfólio de
mercado e dos portfólios mais estritamente correlacionados com as variáveis de estado,*µ é o vetor dos retornos esperados instantâneos sobre o portfólio de mercado e dos
portfólios mais estritamente correlacionado com as variáveis de estado, f é um ativo
dependente das variáveis de estado V e S e r é a taxa de juros livre de risco.
Destacando que os retornos esperados dependem da utilidade de cada investidor, os
autores assumiram que o termo Vβ ( *µ -r) é zero, considerando assim que a volatilidade
não possui correlação com o consumo agregado. Além disso assumiram que ρ=0, isto é,
que a volatilidade não possui qualquer correlação com o preço do ativo objeto. Com
estes pressupostos o cálculo do valor de uma opção que assuma neutralidade à risco
prevalece. Tendo como condição que )()/( tTrttT eSSSE −= , o preço da opção é deste
modo definido da seguinte forma:
TtTTTTtTr
tt dSSSpTSfetSf ),/(),,(),,( 22)(2 σσσ ∫−−= (30)
onde T é o tempo para o vencimento da opção, tS é o preço do ativo no tempo t, tσ é o
desvio padrão instantâneo no tempo t, p( tS / tS , tσ ) é a distribuição condicional de tS
dado o preço do ativo e a variância no tempo t e ),,( 2 TSf Tt σ é max[0, S-X] . A
condição de que )()/( tTrttT eSSSE −= é estabelecida para explicitar que tal formulação é
30
dada para explicitar que, em um mundo neutro à risco, a taxa de retorno esperado de S é
a taxa de juros livre de risco r.
A fim de se resolver o problema da probabilidade condicional de tS , os autores
definiram _
V como a variância média até o vencimento de uma opção européia,
expressando-a através da integral estocástica
T
T
t T dtT
V ∫−= 2
_ 1 σ
Além disso aplicaram a relação existente entre as funções de densidade condicional de
variáveis aleatórias sobre tS e 2σ e tiveram por resultado:
_2
__2 )/()/()/( VdVhVSgSp tTtT σσ ∫= (31)
Substituindo ( 31 ) em (30) têm-se que
_2
__)(2 )/()/()(),,( VdVhdSVSgSfetSf tTTT
tTrtT σσ ∫ ∫
= −− ( 32)
Sob as suposições assumidas ( ρ=0, µ e ξ independentes de S ), a equação (32) é
equivalente ao preço de Black e Scholes para uma opção européia com variância média_
V , o qual foi caracterizada pelos autores como C(_
V )7
)()()( 2)(
1
_dNXedNSVC tTr
T−−−=
onde
tVtV
KeSdrt _
_1 21)ln( +=
−
e tVdd_
12 −=
31
Tendo em vista a relação existente entre os modelos de Black & Scholes e o de Hull &
White, pode-se reescrever a equação ( 32 ) da seguinte forma:
_2
__2 )/()(),( VdVhVCSf ttT σσ ∫= (33)
Uma solução analítica para a equação (33) é dada pelos autores expandindo C(_
V ) em
uma Série de Taylor sobre o valor esperado da variância V :
....)(61)(
21)()(
_
3
3_
2
22
, +∂∂+
∂∂+= VAssim
VCVVar
VCVCSf tt σ (34)
onde Var (_
V ) e Assim(_
V ) são o segundo e terceiro momentos de _
V . Supondo-se que
µ=0 e aplicando-se as fórmulas de variância e assimetria de _
V sobre (34) tem-se que:
...,3
)618248()189(
8)}()1)(3)[(('
61
)1(24
)1)(('21)(),(
3
3236
5
22
2121211
42
4
321122
+
++++−−
×+−−−−
+
−−−×
−−+=
kkkkeke
dddddddNtTS
kkedddNtTSCSf
kk
k
σ
σ
σσσ
σσ
onde
)(2 tTk −= ξ ( 35)
Na solução analítica apresentada acima dois pontos são de grande importância:
7 Para ver a demonstração desta equivalência ver Hull & White (1987).
32
" Quanto menor for o termo )(2 tTk −= ξ mais rápida é a convergência da expansão
da Série de Taylor. Deste modo a solução analítica apresentada na equação ( 35 )
está diretamente relacionada a dimensão de k: quanto menor, maior a aplicabilidade
da solução. Caso k alcance valores em que a convergência não ocorra para uma
expansão de ordem relativamente baixa então a aplicação de soluções númericas
apresentam a solução mais viável.
" ao assumir que µ=0 o autor pressupõe que a existência do termo de volatilidade se
dá de forma plana, isto é, que não existem diferenças entre níveis de volatilidade
implícita para opções do mesmo ativo objeto e com mesmo preço de exercício mas
com datas de vencimento diversas.
Quando a volatilidade é estocástica, o preço de Black e Scholes tende a superestimar as
opções at-the-money e subestimar as opções deep-in-the-money e deep-out-of-money.
Tal fato pode ser avaliado pela derivada segunda de C(_
V ):
−−
−= )1)(('
4
2)( 2112
3_
_'' dddN
V
tTStT
VC (36)
Observe que se C”(_
V )>0, C é uma função convexa de _
V e então o preço de Hull e
White será mais alto que o de Black e Scholes; se C”(_
V )<0, C é uma função côncava
de _
V e então o preço de Hull e White será mais baixo que o de Black e Scholes. Como
pode-se notar a convexidade tende a ocorrer quando as opções estão ou deep-in-the-
money ou deep-out-of-money e a concavidade tende a ocorrer quando a opção é at-the-
money.
33
2.4.2 Procedimentos Numéricos Aplicáveis ao Modelo de Hull e White.
As condições estabelecidas na equação ( 32 ) - ρ=0, µ e ξ independentes de S –
podem ser relaxadas a partir da utilização de procedimentos numéricos.
Em um primeiro momento considera-se que a correlação entre os preços e
volatilidade do ativo objeto permanece nula (ρ=0) mas permite-se que µ e ξ dependam
de σ e t. Como principal conseqüência desta dependência V segue um processo de
reversão à média. Os autores estabeleceram que V assume o seguinte processo:
( )σσαµ −= * ( 37 )
assumindo-se que ξ, α e *σ são constantes.
Posteriormente Hull e White dividem o intervalo T-t em n subintervalos. Então através
de uma simulação de Monte Carlo geram-se variáveis iv ( 1 ≤ i ≥ n ) independentes e
com distribuição normal padrão de forma a se estimar a variância iV no tempo
ntTit /)( −+ usando a fórmula:
( )[ ]tvtii
ieVV ∆+∆−−= ξξµ 2/
1
2
onde ∆t=(T-t)/n e, se µ e ξ dependem de σ, seus valores são baseados na suposição que
1−= iVσ . O equivalente ao preço de Black & Scholes, 1p , é conseguida quando a
volatilidade inserida na equação ( 33 ) é calculada pela média aritmética dos iV ´s ( 0 ≤ i
≥ n ). O procedimento é então repetido usando as variáveis aleatórias antitéticas, - iv ( 0
≤ i ≥ n), para se achar o preço 2p , e
34
221 ppy +
=
é calculado. O valor médio de y após um grande número de simulações fornece uma
excelente estimativa do preço de uma opção. Os autores adotam como padrão 1000
simulações em seus testes.
Em um segundo momento os autores permitem que ρ≠0 e que µ e ξ dependam de σ, t e
S. Neste caso a simulação de S e V é realizada e o tempo é dividido da mesma forma
que o exemplo citado acima. Duas variáveis aleatórias independentes e com distribuição
normal padrão são selecionadas em uma amostra e usadas na geração do preço do ativo
objeto iS e da variância iV no tempo i em um mundo neutro à risco usando as
fórmulas:
( )
∆−+∆+∆−
−=tvtut
iiiieVVξρξρξµ 22 12/
1
( )[ ]11 2/1
−− ∆+∆−−= iii tVutVr
ii eSS (38)
Os valores de µ e ξ permanecem baseados na suposição de que 1−= iVσ e 1−= iSS . O
valor de
[ ]0,max)( XSe ntTr −−−
é calculado a fim de gerar o valor amostral, 1p , do preço da opção. Um segundo preço,
2p , é calculado modificando iu pela variável antitética - iu (1 ≤ i ≥ n ) e repetindo os
cálculos; 3p é recalculado pela substituição de iv por - iv (1 ≤ i ≥ n ) e repetindo os
cálculos; 4p é calculado pela substituição de iu pela variável antitética iu e iv por
- iv (1 ≤ i ≥ n ).
35
2.5 Simulações e Testes Empíricos com o Modelo de Hull & White.
Apesar da grande diversidade de estudos relacionados aos modelos de Volatilidade
Estocástica - Merton ( 1973 ), Geske (1979 ), Jonhson ( 1979 ), Jonhson & Shanno
(1985), Eisenberg (1985 ), Wiggs ( 1985 ), Scott (1986). Merton ( 1973 ), Hull & White
( 1987 ), Bakshi, Cao e Chen ( 1997 ) – poucos trabalhos foram realizados com o
objetivo de testar empiricamente o modelo de Hull & White ( 1987 ).
No paper que originou o modelo, Hull & White apresentam um série de simulações
destinadas a comparar a performance estática de seu modelo com o desenvolvido por
Black & Sholes, calculada a partir da técnica de variável antitética desenvolvida por
Hammersley & Handscomb ( 1964 ). A conclusão dos autores é que o modelo de Black
& Scholes (1971 ) avalia opções at-the-money a maior e avalia opções in-the-money e
out-of-the-money a menor. Em simulação com seu modelo analítico chegam a
conclusão que a formula de Black & Scholes ( 1973 ) avalia a maior as séries de opções
com preço de exercício situado em até 10 % do preço do ativo-objeto. A magnitude do
erro do modelo de Black & Scholes ( 1973 ) em relação ao modelo analítico de Hull &
White pode ser de até 5%.
Uma simulação na qual a volatilidade é correlacionada com o preço do ativo-objeto
também é analisada usando-se procedimentos numéricos. Quando existe uma correlação
positiva entre o preço do ativo-objeto e sua volatilidade, opções out-of-the-money são
sub-avaliadas pela fórmula de Black & Scholes (1971 ), enquanto as opções in-the-
money são superavaliadas. Quando a correlação é negativa, o efeito reverso foi
constatado.
Corrado & Su ( 1998 ) realizaram um Teste Empírico destinado a aferir a
performance estática do modelo numérico de Hull & White ( 1987 ) quando comparado
ao modelo de Black & Scholes ( 1973 ). Em seu trabalho Corrado & Su ( 1998 ) fazem
sua análise de performance no mercado de opções do índice S&P 500 negociados na
Chicago Board of Exchange (CBOE). O período estudado é de fevereiro à abril de
36
1995. Os autores utilizam em seus testes a volatilidade implícita da série aferida no dia
anterior como referencial em seus estudos, ponderada a partir da metodologia
desenvolvida por Barone-Adesi & Whaley ( 1986 ). A conclusão a que chegaram é
que o modelo numérico de Hull & White fornece uma melhora de performance estática
estatisticamente significante quando comparado ao modelo de Black & Scholes (1971 ).
37
3. METODOLOGIA
3.1 Tipo de Pesquisa
Quanto aos fins, a pesquisa será metodológica e aplicada.
É metodológica em virtude de buscar instrumentos de manipulação da realidade
(modelos de avaliação) que objetivem capturar as oscilações dos preços das opções em
função do comportamento da volatilidade ao longo do tempo.
É aplicada por ter como objetivo testar a eficiência de um modelo promissor ainda
muito pouco usado no mercado financeiro mas promissor ( Modelo de Volatilidade
Estocástica ) em relação ao modelo de avaliação utilizado como padrão mas com uma série
de limitações importantes para sua validade ( Modelo de Black & Scholes ).
Quanto aos meios de investigação a pesquisa será bibliográfica e experimental
É bibliográfica por se basear em instrumental analítico desenvolvido em material
publicado em livros, revistas e na World Wide Web. Tais fontes estão descritas nas
Referências Bibliográficas.
É experimental por se tratar de uma investigação empírica na qual se busca controlar
as influências dos terceiro e quarto momentos das distribuições probabilidades embutidas
nos dois modelos sobre os preços das opções, de modo a fazer com que os resultados dos
portfólios construídos a partir de estratégias de mínima variância e de delta-hedge
maximizem o lucro de possíveis arbitragens.
Apesar de experimental a pesquisa será realizada com base em uma simulação ex-post
de negócios realizados no período de 04/07/1994 à 29/06/1999. No total foram
considerados 1.456 dias de negócio, 144 séries de opções, 4.217 operações de arbitragem
simuladas e 30 exercícios de séries de opções na Bolsa de Valores de São Paulo
(BOVESPA).
38
3.2 Universo e Amostra
Apesar de experimental a pesquisa será realizada com base em uma simulação de
negócios realizados com opções de compra da Telebrás PN no período de 04/07/1994 à
29/06/1999. Tal amostragem foi coletada junto a BOVESPA.
As opções da Telebrás PN foram escolhidas em função de sua elevada liquidez na
BOVESPA, tendo assim o perfil mais próximo possível do descrito por Black & Scholes
em seu paper original. O período escolhido incorpora uma conjuntura econômica
interessante existente a partir da criação do Plano Real, o que deu maior estabilidade e
eficiência ao mercado de capitais no Brasil. Incorpora ainda situações em que ocorrem
jumps, tal como as crise do México (1995), Sudeste Asiático, Rússia (1997) e Brasil
(1999).
3.3 Coleta de Dados
Como já foi descrito no item anterior, a coleta de dados foi feita junto a BOVESPA.
Foram coletados preços de abertura, mínimo, máximo, média e fechamento para o período
de 04/07/1994 à 29/06/1999 para as opções de compra que tiveram negócios no dia e para o
preço à vista do papel. As projeções de juros foram obtidas junto a BM&F para o período
especificado.
3.4 Tratamento dos Dados
Os passos adotados foram os seguintes:
1. Calculou-se ex-post a volatilidade do ativo objeto para cada um dos dias da amostra
utilizando-se um modelo EWMA (Exponential Weighted Moving Average ) com um fator
de decaimento α=0.94 e calculado com base em uma série de retornos dos últimos 74 dias
de negociação do papel. A escolha do fator de decaimento ótimo se deu pela aplicação da
metodologia de máxima-logverrosemelhança descrita por Hull ( 2000 ) em todos os
39
retornos diários contidos na série e calculada a partir da utilização do software Econometric
Views. A escolha do tamanho da série foi determinada a partir da metodologia de Índice de
Tolerância descrita pelo Riskmetrics Monitor ( 1996 ), expresso pela seguinte equação:
αlnlnTIK = ( 39 )
onde TI é o Índice de Tolerância selecionado para a estimativa de volatilidade e α é o fator
de decaimento selecionado por máxima verrosemelhança. No caso desta pesquisa, o TI
escolhido foi de 1% e α=0.94.
Modelos de estimação de volatilidade com termos autoregressivos e de
heterocedasticidade condicional ( ARCH, GARCH, E-GARCH etc. ) não foram aplicados
em nossa pesquisa. O principal motivo é que a maior parte da série de retornos de Telebrás
objeto deste estudo não apresentaram autocorrelação serial, tornando assim a inserção
destes modelos mais complexos de pouca valia em termos de aumento de precisão
estimativa da volatilidade. Constatou-se tal fato a partir da aplicação do teste de Lyung-Box
sobre a série de retornos de S que compõe o cálculo da volatilidade usada para cada um dos
dias de negociação.
Na Figura 1 pode-se observar claramente este fato. Para os parâmetros utilizados, o
teste de Lyung-Box estabelece que para uma estatística inferior a 25 não pode-se rejeitar a
hipótese de autocorrelação serial dos retornos igual a zero. No gráfico em questão, pode-se
observar que a maior parte do tempo a estatística de Lyung-Box é inferior a 25, indicando
que não devemos rejeitar a hipótese de que os retornos da série temporal sejam
independentes.
A volatilidade implícita não foi considerada neste estudo por duas grandes
limitações existentes:
40
- a falta de simultaneidade entre as cotações das séries de opções e o ativo-objeto: as
cotações de fechamento do ativo objeto e das séries de opções em geral foram
originadas em negócios realizados em horários bastante diferentes. Este fato acarretou
grandes distorções no cálculo da volatilidade implícita, existindo até mesmo situações
em que o valor intrínseco de uma determinada série com base no fechamento de
cotações é negativo.
- viés na na análise comparativa: a utilização da volatilidade implícita baseada no
modelo de Black & Scholes como padrão do estudo poderia levar a um viés na
comparação entre os dois modelos em estudo, já que adotando esta metodologia estaria
se considerando o modelo de Black & Scholes como um modelo referencial de
avaliação e, por definição, consideraria todas as diferenças de avaliação entre os
modelos seriam considerados como erros exclusivos do modelo de Hull & White.
2. Posteriormente foram calculados os prêmios justos das opções pelos modelos de
volatilidade estocástica e o de Black & Scholes para cada um dos dias. O modelo analítico
de Hull & White – expandido através de uma série de Taylor de 3º ordem - foi utilizado
neste estudo, já que existe uma rápida convergência deste modelo na maior parte tempo em
função dos baixos níveis de variância da volatilidade e da correlação entre as variações do
ativo objeto e da volatilidade no período estudado. Os softwares utilizados nesta fase foram
o Mathematica 3.0, o Risk 3.5 e o Excel 97.
3. A seguir foi feita uma filtragem em relação as séries de opções de Telebrás negociadas no
período. Para fazerem parte do estudo as séries de opções tiveram de ter cada umas
seguintes características de negociação:
- no mínimo 10 negócios por dia em cada um dos dias considerados para a realização de
operações de arbitragem;
- que os negócios citados acima fossem realizados em todos os dias de vigência da série.
Neste estudo o início da vigência de uma série foi considerado como sendo o 30º dia
41
útil anterior a data de vencimento da série da opção e o término é a data de vencimento
da série.
Figura 1: Teste de Autocorrelação de Box-Lyung de 74 dias entre os Retornos de
Telebrás PN no período de 04/07/1994 à 29/06/1999.
4. Foram realizadas operações de arbitragem diárias onde houve descasamento entre os
valores achados pelos modelos e os preços vigentes no mercado. A estratégia utilizada em
todo o período foi o do hedge por mínima variância descrita por Ross (1995) em função das
dificuldades de implementação de uma estratégia de delta-hedge para modelos que
possuem mais de um componente de risco estocástico, tal como o modelo de Hull & White.
Tal procedimento foi igualmente adotado por Bakshi, Cao e Chen ( 1997 ) em estudo
semelhante ao aqui proposto.
5. Também foi realizada uma breve simulação de estratégia delta-hedge entre os modelos
durante 15 dias no mês de agosto de 1994. O objetivo é retratar, ainda que sumariamente,
as vantagens de cada um dos modelos sob uma perspectiva de hedge dinâmico mais
42
apurada, onde o componente da volatilidade estocástica no modelo de Hull & White tem
seu risco protegido pela inserção de uma outra série de opção no portfólio. Para as
operações de arbitragem realizadas seguir-se-á a metodologia delta-hedge tal como descrita
por Lemgruber (1995).
6. Ao final de cada um dos exercícios foi realizado um teste de hipótese paramétrico com a
estatística t de modo a se aferir se os resultados de cada modelo foram significativamente
diferentes, isto é, se um modelo realmente possui vantagens comparativas nas operações de
arbitragens ( performance dinâmica ).
7. Foram verificados também os erros de preços de mercado em relação aos preços dos
modelos analisados ( erros relativos ). Um teste de hipótese paramétrico com a estatística z
foi utilizado para testar a hipótese de os erros relativos dos modelos serem iguais a zero.
Posteriormente uma regressão múltipla foi feita com o objetivo de explicar a ocorrência dos
erros relativos dos modelos a partir de três variáveis: moneyness ( relação entre o valor do
ativo objeto e o valor presente do preço de exercício de uma dada série em determinada
data ), tempo para vencimento e volatilidade. A metodologia aplicada nesta regressão foi
mesma utilizada por Bakshi, Cao e Chen ( 1997 ) em estudo com opções do índice S&P
500. O objetivo do estudo sobre os erros relativos foi verificar a performance estática dos
modelos. Os softwares utilizados nesta fase foram o SPSS 3.0, o Excel 97 e o Bestfit 3.0
(para verificação da aderência da distribuição dos erros relativos a distribuição normal).
3.5 Limitações Metodológicas
O estudo apresenta uma série de delimitações listadas a seguir:
• estudo se limitou a analisar os modelos a partir de performances estática e dinâmica em
condições que não refletem a realidade de operações de arbitragem no mercado, tal
como a falta de simultaneidade entre as cotações das séries de opções e do ativo objeto,
o que pode distorcer os valores aferidos no estudo caso fossem realizados efetivamente
pelos operadores nos mercados de opções.
43
• Este estudo partiu do pressuposto de que todas as opções de Telebrás PN (RCTB) são
calls européias, isto é, opções de compra que não podem ser exercidas antes do
vencimento.
• Este estudo considerou que os ajustes decorrentes das estratégias de mínima variância e
de delta-hedge foram feitos de uma só vez ao final de cada dia de negócio ao longo do
período estudado.
• Os ajustes foram feitos pelos preços diários de fechamento dos ativos.
• Em função da inexistência de um mercado de títulos de renda fixa que possa fornecer
sem distorções e consistentemente uma Yield Curve das taxas de juros praticadas no
Brasil ao longo de todo o período do estudo, assumiu-se como proxy de taxas de juros
até o vencimento das opções o CDI – Extra Grupo do CETIP do dia anterior ao dos
negócios com as opções.
• Os modelos de Black & Scholes e de Hull & White foram utilizados em condições nas
quais sua validade pode ser questionada, tais como a ocorrência de variações nos níveis
de taxas de juros, a existência de fricções de mercado e as variações de volatilidade ao
longo do exercício ( está última somente no caso do modelo de Black & Scholes). Fez-
se porém tal pesquisa tendo-se como principal motivação a prática dos operadores no
mercado de opções.
• O modelo analítico de Hull & White foi utilizado em situações nas quais as condições
inerentes a sua validade ( ρ=0 entre o preço e a volatilidade implícita da ação e µ e ξ
independentes de S e σ) não se verificam plenamente.
• O modelo analítico de Hull & White foi utilizado em todo o estudo. Deste modo
limitações inerentes a utilização deste modelo ( ρ=0, µ=0 e ξ de valor que permita a
rápida convergência da série de Taylor) são consideradas como condições verdadeiras e
44
coerentes durante todo o período analisado, apesar de não se verificarem em toda a
série, em especial durante situações de stress nos mercados de ações.
- Correlação entre as variações do ativo objeto e da volatilidade iguais a zero (ρ=0): as
correlações entre as variações de V e S ao longo da série estudada não são nulas em
nenhum momento. Apesar desta constatação, esta característica não afeta em demasia a
aplicação do modelo analítico de Hull & White, já que as correlações aferidas são
pouco significativas ao longo da série estudada, conforme demonstra a Figura 2.
Figura 2: Correlação entre as Variações Diárias de Telebrás PN e da Volatilidade
EWMA de 74 dias para o período de 04/07/1994 à 29/06/1999.
- µ = 0: é um pressuposto bastante razoável em termos práticos, já que para qualquer
valor de µ diferente de zero opções de diferentes maturidades mas com mesmo preço de
exercício apresentariam diferenças sensíveis na volatilidade implícita em uma
determinada data. Tal fato nunca se verifica empiricamente, conforme constataram Hull
& White ( 1987 ).
45
- ξ de valor que permita a rápida convergência da série de Taylor: ao longo deste estudo a
variância da volatilidade se manteve de forma geral em patamares que permitiram a
convergência da série sem maiores problemas ( abaixo de 150 % ao ano ).
Ocasionalmente a convergência não ocorreu, em especial em dias próximos de
vencimento e com altos valores de ξ e em períodos de stress do mercado ( crise do
México em 1995, crise dos mercados asiáticos em 1997 e crise cambial do Real no
início de 1999).
Figura 3: Volatilidade da Volatilidade ( ξ ) para um período de 74 dias do Logarítimo
dos Retornos Diários de Telebrás PN de 04/07/1994 à 29/06/1999.
É ainda interessante notar que os motivos acima descritos fundamentam a não utilização
do modelo numérico de Hull & White, já que nestes casos o ganho de precisão da
solução númerica seria mínimo.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
04/0
7/94
04/0
9/94
04/1
1/94
04/0
1/95
04/0
3/95
04/0
5/95
04/0
7/95
04/0
9/95
04/1
1/95
04/0
1/96
04/0
3/96
04/0
5/96
04/0
7/96
04/0
9/96
04/1
1/96
04/0
1/97
04/0
3/97
04/0
5/97
04/0
7/97
04/0
9/97
04/1
1/97
04/0
1/98
04/0
3/98
04/0
5/98
04/0
7/98
04/0
9/98
04/1
1/98
04/0
1/99
04/0
3/99
04/0
5/99
Datas
Vol-Vol Anu
46
• Não serão consideradas fricções de mercado ( custos de transação, impostos, depósitos
de margem em garantia e impossibilidade de vendas à descoberto ). Quando inseridos,
tais fatores podem modificar os valores absolutos aferidos por cada um dos modelos em
suas estratégias de hedge. A comparabilidade relativa dos modelos porém não é afetada
na estratégia por mínima variância, já que ambos seriam afetados da mesma forma pelas
fricções. No caso da estratégia delta-hedge, o modelo de Hull & White possuiria uma
maior desvantagem comparativa, já que negociaria um ativo ( uma opção ) a mais que o
modelo de Black & Scholes e, como conseqüência, os custos de transação de
arbitragem com o modelo seriam mais altos.
• O estudo considerará que os investidores são neutros a risco ( pressuposto do modelo
B&S e de Hull & White).
• Na realização das operações se considerará que a liquidez do mercado não exerce
nenhuma influência nos preços das operações ( inexistência de prêmios ou descontos
por liquidez ).
47
4. RESULTADOS
4.1 Performance Estática
A primeira análise realizada destinou-se a comparar a performance estática dos modelos.
O objetivo deste tipo de análise é verificar qual dos modelos avalia os prêmios das opções
da maneira mais próxima em relação aos prêmios de mercado e é definida pela mensuração
do erro relativo proposta por Becker & Lemgruber ( 1989 ) através da seguinte equação:
CmerCCmerER mod−=
onde ER é o erro relativo de avaliação do modelo, Cmer é o prêmio de mercado da opção e
Cmod é o prêmio estimado pelo modelo em análise.
Em um primeiro momento os erros relativos de cada um dos modelos foram reunidos por
ano e foram estimadas as médias e os desvios-padrão para cada um destes períodos. Como
podemos observar na Tabela 1, as médias dos erros relativos médios anuais do modelo de
Hull & White ( 1987 ) são menores de em cinco dos seis períodos analisados ( de 1994 à
1998 ), indicando que a incorporação da volatilidade estocástica em um modelo de
avaliação tende a torná-lo mais preciso. Ressalva-se porém que o desvio padrão dos erros
relativos médios agrupados por ano são mais altos em todos os períodos no modelo de Hull
& White ( 1987 ) que no modelo de Black & Scholes, indicando a elevada variância das
médias amostrais calculadas. Pode-se observar também na Figura 4 que existe um aumento
sensível da volatilidade dos erros relativos no modelo de Hull & White ( 1987 ) em
períodos próximos do vencimento ( T< 5 dias úteis ), indicando que o elevado desvio
padrão encontrado é em grande parte decorrência da não convergência da série de Taylor
que representa o modelo analítico de Hull & White (1987 ). Deste modo, nestes períodos, a
utilização do modelo em sua versão numérica ou a ampliação da ordem da série se
apresentariam como fatores que aumentariam seu nível de precisão e, por conseqüência, sua
performance estática.
48
Tabela 1:Média e Desvio Padrão dos Erros Relativos dos Modelos de Black &Scholes (B&S ) e Hull & White ( H&W ) quando comparados aos Prêmios deMercado das Séries de Opções de Telebrás PN no período de 04/07/1994 à29/06/1999.
Figura 4: Explosão dos Erros Relativos do Modelo de Hull & White a partir daFalta de Convergência próxima ao Vencimento das Séries de Opções
Outro fato que deve ser mencionado é que as médias dos erros relativos anuais dos
dois modelos são positivos em cinco dos seis períodos analisados. Tal fator se torna ainda
-1200.00%
-1000.00%
-800.00%
-600.00%
-400.00%
-200.00%
0.00%
200.00%
- 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00
Dias úteis para o vencimento
Erro
Rel
ativ
o H
&W
Ano B&S H&W B&S H&W1994 29.78% 21.70% 49.40% 64.87%1995 33.78% 15.46% 57.67% 126.12%1996 70.58% 63.18% 29.77% 49.89%1997 22.29% 13.42% 75.45% 93.76%1998 16.98% 3.50% 56.88% 90.24%1999 -2.73% -13.45% 61.99% 75.35%
Média Geral 28.44% 17.30% 55.19% 83.37%
Média Desvio Padrão
49
mais significativo levando-se em consideração que o valor máximo positivo do erro relativo
é 100 % e o valor mínimo é infinito ( distribuição assimétrica dos valores ). Este fator é
forte indicativo ou de que ambos os modelos sub-avaliam os prêmios das opções quando
comparados em relação ao mercado ou de que a modelagem EWMA da volatilidade
utilizada neste estudo não foi capaz de estimar com precisão modificações nos níveis de
volatilidade do mercado.
A fim de se determinar de uma maneira mais precisa em termos estatísticos qual
modelo possui melhor performance estática foi feito em teste z bilateral para cada ano
analisado tendo como hipótese nula que a média dos erros relativos diários de cada um dos
modelos é zero. O valor p utilizado no teste foi de 0.05. Como pode-se ver na Tabela 2, só
podemos aceitar Ho em um único período analisado para cada um dos modelos. Deste
modo não é possível chegar a qualquer conclusão sob se existe superioridade de algum dos
modelos sob uma perspectiva de performance estática. Pode-se também chegar a conclusão
que ambos os modelos apresentam um nível de performance estática bastante insatisfatório
em termos estatísticos.
Tabela 2: Teste Z destinado a Verificação da Hipótese Nula Ho de que o Erro
Relativo Diário dos Modelos de Black & Scholes ( B&S ) e Hull & White ( H&W )
é nulo.
Por fim foi feita uma regressão múltipla buscando determinar se a moneyness, o
tempo para o vencimento da opção e a volatilidade podem influenciar os erros relativos dos
prêmios calculados pelos modelos. Nas Tabelas 3 e 4 encontram-se as estatísticas
associadas a esta análise. Não foi encontrada uma relação significativa entre os erros
relativos e aquelas variáveis nos testes para validação do modelo de regressão múltipla com
Ano Z score B&S Resultado Z Score H&W Resultado1994 0.00E+00 Rejeita Ho 2.20E-11 Rejeita Ho1995 0.00E+00 Rejeita Ho 2.45E-04 Rejeita Ho1996 0.00E+00 Rejeita Ho 0.00E+00 Rejeita Ho1997 0.00E+00 Rejeita Ho 2.63E-07 Rejeita Ho1998 2.12E-12 Rejeita Ho 1.84E-01 Aceita Ho1999 8.08E-01 Aceita Ho 1.00E+00 Rejeita Ho
50
as variáveis propostas ( estatística F e R-quadrado ajustado ). As estatísticas t indicaram
que a hipótese de que os coeficientes da regressão sejam diferentes de zero nos dois
modelos pode ser rejeitada para todos os coeficientes nas duas regressões, com a exceção
do coeficiente de moneyness no modelo de Black & Scholes. Tal fato ocorre em virtude da
funções de densidade de probabilidade normal - N(d1) e N(d2) - contidas no modelo de
B&S tenderem a assumir um valor de 0 ou 1, conforme as opções de compra passem a ser
mais out ou in-the-money, respectivamente. A partir desta observação pode-se concluir que
haverá um aumento da convergência entre os prêmios do modelo e o de mercado ao redor
dos denominados boundaries limits [0, S-VP(K)] quanto menor ( maior ) for o moneyness.
Tabela 3: Regressão entre os Erros Relativos do Modelo de Black & Scholes e as
Variáveis Moneyness, Tempo para Vencimento e Volatilidade.
Tabela 4: Regressão entre os Erros Relativos do Modelo de Black & Scholes e as
Variáveis Moneyness, Tempo para Vencimento e Volatilidade.
Estatís tica de regressãoR m últiplo 0,53732 4R -Q uadrado 0,28871 7R -quadrado a jus tado 0,28823 2Erro padrão 0,52493 5O bservações 4403
AN O VAgl SQ M Q F F de s ign ificação
R egressão 3 492,033 8439 164,011 3 595,199 7 0R es íduo 4399 1212,17 4062 0,27555 7T ota l 4402 1704,20 7906
C oefic ientes Erro padrão Stat t va lor-P 95% in feriores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0%In terseção 1,81512 4 0,05873 2962 30,9046 8 5,8E-190 1,69997 7557 1,93026 9762 1,69997 7557 1,93026 9762M one yness -0,620522 0,05357 6408 -11,58201 1,41E-30 -0,725558 95 -0,515485 616 -0,725558 95 -0,515485 616T em po -0,01716 0,00090 7776 -18,90382 1,08E-76 -0,018940 132 -0,015380 738 -0,018940 13 -0,015380 738Volatilidade Anual -1 ,295248 0,03526 7028 -36,72689 8,3E-258 -1,364389 441 -1,226107 267 -1,364389 44 -1,226107 267
Estatística de regressãoR m últiplo 0,407341193R-Q uadrado 0,165926848R-quadrado ajustado 0,165358032Erro padrão 0,701423188O bservações 4403
ANO VAgl SQ MQ F F de significação
Regressão 3 430,553099 143,5177 291,7059 1,0536E-172Resíduo 4399 2164,283753 0,491994T otal 4402 2594,836852
Coefic ientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0%Interseção 1,002276362 0,078479551 12,77118 1,06E-36 0,848417027 1,156135696 0,848417027 1,156135696Moneyness 0,031531862 0,071589314 0,440455 0,659629 -0,108819147 0,171882871 -0,108819147 0,171882871T em po -0,01050905 0,001212979 -8,663835 6,31E-18 -0,012887098 -0,008131002 -0,012887098 -0,008131002Volatilidade Anual -1,277178574 0,047124143 -27,10243 9,9E-150 -1,369565562 -1,184791586 -1,369565562 -1,184791586
51
4.2 Performance Dinâmica
A análise de performance dinâmica neste estudo foi segmentada em estratégia de
hedge por mínima variância e estratégia delta hedge.
4.2.1 Estratégia de Hedge por Mínima Variância.
Este tipo de análise de performance dinâmica busca avaliar os ganhos de operações
de arbitragens com opções utilizando como instrumentos de hedge que busquem minimizar
a variância do portfólio. Como nos dados que estão sendo analisados a correlação entre as
variações de S e V é inexpressiva, a estratégia de mínima variância para os dois modelos se
resume a proteger a posição em opções com um percentual do ativo objeto, nos moldes do
estudo realizado por Bakshi, Cao e Chen ( 1997 ).
Os resultados por ano pesquisado encontram-se nas Tabelas 5 à 10. A Tabela 11
apresenta os resultados financeiros consolidados por ano e a Tabela 12 os testes t
destinados a mensurar se existem diferenças estatísticas relevantes nos resultados
financeiros alcançados pelos dois modelos em operações de hedge por mínima variância.
Pode-se observar que:
• A realização de estratégias de hedge por mínima variância permitiria em termos
teóricos aos investidores auferirem lucros consistentes com risco reduzido ao longo do
período estudado, excetuando-se o ano de 1999.
• O ano de 1995 foi o de melhor resultado realizado pelo modelo de Hull & White
quando comparado ao de Black & Scholes. Como fundamento pode-se apontar os
elevados níveis de volatilidade implícita média encontradas nas séries de opções em
decorrência da crise econômica no México, que acabaram por beneficiar a negociação
com opções deep-in-the money e deep-out-of-the-money. Outro fator relevante foram os
elevados níveis de vol-vol no 1º trimestre do ano, fazendo com que as opções deep-out-
52
of-the-money passassem a se tornar atrativas aos investidores quando avaliadas pelo
modelo de Hull & White. As posições de compra destas opções se apresentaram como o
grande diferencial deste modelo em relação ao de Black & Scholes, já que
posteriormente a maior parte destas séries foram exercidas em função da alta do
mercado que se seguiu no 2º trimestre.
• O ano de 1999 foi o que apresentou os piores resultados, basicamente em função da
redução da diferença entre os prêmios avaliados pelos modelos em relação aos prêmios
praticados no mercado, indicando a existência de um menor número de oportunidades
para a realização de operações de arbitragens. Outro fator de peso foi o fato de
existirem um grande número de posições compradas em calls em janeiro de 1999 ( crise
cambial no Brasil ), fazendo com que as perdas decorrentes do repentino aumento da
volatilidade fossem bastante sensíveis.
• O ano de 1997 foi o melhor ano para a realização de operações de arbitragens,
independentemente do modelo utilizado. O motivo é a elevada volatilidade dos
mercados financeiros globais neste período ( crises do Sudeste Asiático e Rússia ).
Outro fator favorável na simulação ex-post realizada foi a elevada vol-vol apurada no 2º
semestre, que acabou por beneficiar os portfólios com vega favorável as oscilações que
ocorreram em um dado período. Deste modo pode-se considerar que em boa parte tais
ganhos foram ocasionados por fatores aleatórios, já que as operações de hedge por
mínima variância não são orientadas a buscar resultados financeiros em função das
variações da volatilidade ao longo da existência das séries de opções.
• Os testes t ao par não atestam qualquer diferença estatisticamente relevante nos
resultados projetados pelos modelos, com exceção de 1997. Tal fato pode ser explicado
pelo fato de o modelo de Hull & White ser mais apurado que o de Black & Scholes na
avaliação de opções deep-in-the-money ou deep-out-of-the-money, opções que
adquiriram certa liquidez durante este período de crise nos mercados financeiros dos
países emergentes,
53
Tabela 5: Resultados das Operações de Arbitragem realizadas segundo a Metodologia deHedge por Mínima Variância nas Séries de Opções de Telebrás PN no ano de 1994.
B&S H&W
Projetado R$348.74 R$347.12Realizado R$289.14 R$290.57
Hedge Mínima VariânciaMoneyness B&S H&W B&S H&W B&S H&W
OTC 3 1.15 53.73 50.45 43.36 43.36 10.37 7.09 OTC 19 1.06 49.59 48.92 53.37 53.37 (3.78) (4.45) OTC 36 1.05 53.64 54.18 76.72 72.81 (23.08) (18.63) OTC 24 0.99 38.22 39.12 28.46 28.46 9.77 10.66 OTC 34 0.95 40.51 39.71 98.02 98.02 (57.52) (58.32) OTC 25 0.92 24.76 23.47 (11.45) (11.45) 36.20 34.92 OTC 8 0.88 31.53 32.67 (15.30) (15.30) 46.83 47.97 OTC 31 0.87 14.91 15.07 42.74 42.01 (27.82) (26.94) OTC 28 0.86 14.43 14.25 (31.00) (23.04) 45.44 37.29 OTC 29 0.79 4.28 4.25 15.16 15.01 (10.88) (10.76) OTC 34 0.76 11.49 13.86 (15.90) (16.58) 27.39 30.44 OTC 19 0.73 2.43 2.48 6.59 6.45 (4.16) (3.97) OTC 43 0.68 6.08 6.42 (6.53) (7.25) 12.62 13.67 OTC 20 0.68 1.65 1.23 3.22 3.02 (1.57) (1.79) OTC 22 0.60 1.49 1.04 1.70 1.68 (0.22) (0.64)
- -
Testes T ao par para diferença de médias Testes Z para erros relativos diários de cadaentre os modelos B&S e H&W - 1994 modelo em todas as séries 1994.
Total de 206 observaçõesHo= Média entre B&S e H&W é igual.Valor p 0.05 Erro Relativo B&S H&WProjetado 0.742773523 Aceita Ho Média 29.78% 21.70%Realizado 0.879314005 Aceita Ho DP 49.40% 64.87%
Ho= Média dos erros relativos é zeroB&S H&W z Crítico 2.50% 97.50%
Erro $ Hedge R$3.97 R$3.77 Teste Z B&S 0.000 Rejeita HoMin. Variancia Teste Z H&W 0.000 Rejeita Ho
Projetado RealizadoDiferenças
54
Tabela 6: Resultados das Operações de Arbitragem realizadas segundo a Metodologia de
Hedge por Mínima Variância nas Séries de Opções de Telebrás PN no ano de 1995.
B&S H&W
Projetado R$757.33 R$769.11Realizado R$787.42 R$782.92
Moneyness B&S H&W B&S H&W B&S H&W
OTC 23 1.00 25.13 25.53 22.79 22.92 2.34 2.61 OTC 19 0.88 22.51 23.71 18.75 18.53 3.76 5.17 OTC 42 0.78 10.83 13.09 8.27 7.94 2.55 5.15 OTC 39 0.70 2.40 3.23 1.08 0.98 1.31 2.25 OTC 18 0.64 2.54 4.46 1.97 1.85 0.57 2.61 OTC 12 0.58 1.09 1.09 0.93 0.69 0.15 0.41 OTC 7 0.54 0.82 0.70 0.82 0.60 (0.00) 0.10 OTC 1 1.14 28.67 32.86 34.02 34.02 (5.35) (1.16) OTC 28 0.95 21.43 21.27 15.46 15.46 5.97 5.81 OTC 25 0.81 13.72 13.28 (6.48) (6.56) 20.20 19.84 OTC 24 0.71 10.05 9.91 (2.25) (2.25) 12.29 12.16 OTC 17 0.95 24.01 25.00 27.93 27.53 (3.92) (2.52) OTC 27 0.84 5.94 6.28 9.27 9.09 (3.33) (2.81) OTC 46 0.76 1.70 1.66 1.82 1.82 (0.12) (0.16) OTC 7 1.17 68.78 68.70 76.73 76.73 (7.95) (8.02) OTC 8 1.02 55.07 54.36 59.75 59.75 (4.68) (5.39) OTC 22 0.91 27.40 26.03 35.55 35.55 (8.15) (9.52) OTC 24 0.82 6.41 7.95 5.11 4.71 1.31 3.24 OTC 18 1.12 98.51 95.89 106.79 106.79 (8.28) (10.90) OTC 38 1.01 83.43 81.89 105.60 105.60 (22.18) (23.72) OTC 42 0.92 45.55 48.57 47.08 45.71 (1.54) 2.86 OTC 46 0.84 18.39 18.97 19.76 19.68 (1.37) (0.70) OTC 2 1.08 80.34 82.14 86.88 86.88 (6.54) (4.74) OTC 12 0.97 62.42 63.74 66.47 66.47 (4.05) (2.72) OTC 19 0.89 31.08 30.81 33.47 33.47 (2.39) (2.67) OTC 8 0.81 9.13 7.99 9.83 8.98 (0.70) (0.98)
Testes T ao par para diferença de médias Testes Z para erros relativos diários de cada entre os modelos B&S e H&W para 1995 modelo em todas as séries 1995.
Total de 808 observaçõesHo= Média entre B&S e H&W é igual.Valor p 0.05 Erro Relativo B&S H&WProjetado 0.130074165 Aceita Ho Média 33.78% 15.46%Realizado 0.010280009 Rejeita Ho DP 57.67% 126.12%
Ho= Média dos erros relativos é zeroB&S H&W z Crítico 2.50% 97.50%
Erro $ Hedge (1.16) (0.53) Teste Z B&S 0.000000 Rejeita HoMin. Variancia Teste Z H&W 0.000245 Rejeita Ho
Projetado RealizadoDiferenças
Hedge Mínima Variância
55
Tabela 7: Resultados das Operações de Arbitragem realizadas segundo a Metodologia deHedge por Mínima Variância nas Séries de Opções de Telebrás PN no ano de 1996.
B&S H&W
Projetado R$1,851.96 R$1,841.04Realizado R$1,992.63 R$1,992.13
Moneyness B&S H&W B&S H&W B&S H&W
OTC 15 1.10 118.39 118.32 123.56 123.56 (5.17) (5.23) OTC 24 1.01 103.45 104.78 114.35 114.35 (10.90) (9.57) OTC 28 0.93 63.43 63.29 78.84 78.84 (15.41) (15.55) OTC 44 0.87 20.93 20.45 24.43 24.43 (3.49) (3.98) OTC 16 0.82 11.25 10.18 11.00 11.00 0.24 (0.82) OTC 35 0.77 4.92 3.91 4.79 4.79 0.13 (0.88) OTC 41 0.88 29.05 28.71 29.39 29.39 (0.34) (0.68) OTC 8 0.72 1.91 1.21 1.87 1.60 0.04 (0.39) OTC 1 1.01 113.22 112.74 117.32 117.32 (4.09) (4.57) OTC 18 1.09 132.31 133.77 133.10 133.10 (0.79) 0.66 OTC 29 1.17 134.56 134.11 136.33 136.33 (1.77) (2.22) OTC 39 0.83 4.71 3.78 4.68 4.65 0.03 (0.87) OTC 6 0.94 71.73 71.69 73.74 73.74 (2.01) (2.04) OTC 7 0.88 25.03 24.48 24.77 24.77 0.26 (0.29) OTC 17 1.18 132.93 131.92 136.34 136.34 (3.42) (4.43) OTC 19 1.11 133.10 133.23 139.85 139.85 (6.75) (6.62) OTC 20 0.89 20.73 20.92 22.02 22.02 (1.29) (1.10) OTC 22 1.04 111.04 110.01 119.89 119.89 (8.85) (9.88) OTC 24 0.98 79.34 76.67 99.94 99.94 (20.60) (23.26) OTC 34 0.93 43.30 44.21 49.60 49.60 (6.30) (5.39) OTC 38 0.77 4.25 3.64 4.82 4.82 (0.57) (1.18) OTC 41 0.81 5.68 5.10 6.56 6.52 (0.88) (1.42) OTC 49 0.84 9.69 9.45 10.32 10.20 (0.64) (0.76) OTC 13 0.76 2.06 1.88 2.06 2.04 (0.00) (0.16) OTC 2 0.79 2.98 2.76 3.00 2.98 (0.02) (0.22) OTC 25 0.86 13.84 13.12 14.40 14.40 (0.56) (1.28) OTC 39 0.82 6.39 5.79 6.50 6.48 (0.11) (0.69) OTC 48 1.05 144.43 144.96 152.91 152.91 (8.48) (7.96) OTC 6 1.00 127.09 128.43 152.43 152.43 (25.34) (23.99) OTC 7 0.95 76.02 76.59 86.00 86.00 (9.99) (9.41) OTC 8 0.90 31.68 31.06 33.63 33.63 (1.95) (2.57) OTC 10 0.87 19.38 18.20 19.63 19.63 (0.25) (1.43) OTC 29 0.83 7.48 6.02 7.50 7.50 (0.03) (1.49) OTC 9 0.91 45.66 45.63 47.05 47.05 (1.39) (1.42)
Testes T ao par para diferença de médias Testes Z para erros relativos diários de cadaentre os modelos B&S e H&W para 1996 modelo em todas as séries 1995.
Total de 1048 observaçõesHo= Média entre B&S e H&W é igual.Valor p 0.05 Erro Relativo B&S H&WProjetado 0.032170863 Aceita Ho Média 70.58% 63.18%Realizado 0.088283857 Aceita Ho DP 29.77% 49.89%
Ho= Média dos erros abs. é zeroB&S H&W z Crítico 2.50% 97.50%
Erro $ Hedge (4.48) (4.73) Teste Z B&S 0.00000 Rejeita HoMin. Variancia Teste Z H&W 0.00000 Rejeita Ho
Projetado RealizadoDiferenças
Hedge Mínima Variância
56
Tabela 8: Resultados das Operações de Arbitragem realizadas segundo a Metodologia deHedge por Mínima Variância nas Séries de Opções de Telebrás PN no ano de 1997.
B&S H&W
Projetado R$3,931.40 R$3,975.43Realizado R$3,414.95 R$3,574.10
Moneyness B&S H&W B&S H&W B&S H&W
OTC 19 1.15 164.48 163.95 167.94 167.94 (3.47) (3.99) OTC 20 1.10 164.42 164.25 164.38 164.38 0.04 (0.13) OTC 22 1.05 152.66 152.95 154.45 154.45 (1.79) (1.49) OTC 24 1.00 127.06 137.56 130.45 130.45 (3.39) 7.11 OTC 30 0.96 85.49 87.33 64.52 64.52 20.97 22.81 OTC 38 0.87 19.26 17.54 12.82 12.82 6.43 4.71 OTC 48 1.08 195.59 204.91 199.70 199.70 (4.11) 5.21 OTC 10 1.02 174.32 179.75 183.87 183.87 (9.56) (4.13) OTC 17 0.98 134.55 135.28 168.91 168.91 (34.36) (33.64) OTC 9 0.94 83.00 83.28 83.05 83.05 (0.05) 0.23 OTC 14 0.90 42.31 41.83 37.68 37.48 4.63 4.36 OTC 15 0.86 21.33 20.11 18.46 18.44 2.87 1.68 OTC 18 1.18 241.96 240.94 252.40 252.40 (10.44) (11.46) OTC 19 1.15 242.97 242.45 248.44 248.44 (5.47) (6.00) OTC 20 1.10 235.00 235.27 240.05 240.05 (5.05) (4.78) OTC 31 1.06 208.08 208.81 214.91 214.91 (6.84) (6.10) OTC 41 1.02 188.66 189.74 199.16 199.16 (10.51) (9.42) OTC 30 0.98 162.82 163.16 178.28 178.28 (15.46) (15.12) OTC 33 0.95 125.41 125.78 141.04 141.04 (15.64) (15.26) OTC 13 1.06 152.73 153.25 86.47 94.63 66.26 58.62 OTC 44 1.01 115.04 118.66 92.32 105.46 22.71 13.19 OTC 46 0.97 78.93 82.70 52.58 61.04 26.36 21.65 OTC 4 0.94 53.60 56.43 22.43 27.22 31.18 29.22 OTC 3 0.91 47.98 48.33 (14.46) 6.29 62.44 42.03 OTC 14 0.89 44.47 42.85 (15.49) (15.85) 59.96 58.70 OTC 9 0.86 43.57 43.03 (8.21) (8.40) 51.78 51.43 OTC 10 0.83 40.03 40.31 (3.87) (3.89) 43.90 44.20 OTC 1 0.81 33.60 34.60 (2.67) (2.78) 36.27 37.38 OTC 30 0.79 26.89 28.50 (2.55) (2.79) 29.44 31.29 OTC 35 0.77 20.56 22.63 (2.98) (3.35) 23.54 25.98 OTC 5 1.07 150.98 158.44 201.76 201.76 (50.79) (43.33) OTC 31 0.93 64.53 61.80 58.31 81.22 6.22 (19.42) OTC 36 0.87 26.51 25.20 (12.52) (12.52) 39.03 37.72 OTC 41 0.77 8.17 10.32 (2.17) (3.24) 10.34 13.56 OTC 20 1.09 100.00 104.06 157.71 169.18 (57.71) (65.12) OTC 50 0.99 60.07 65.67 113.11 155.98 (53.04) (90.31) OTC 23 0.91 24.60 22.34 (38.53) (17.13) 63.12 39.47 OTC 30 0.84 27.16 20.84 (76.53) (65.52) 103.69 86.36 OTC 35 0.78 29.41 26.43 (40.96) (40.98) 70.36 67.40 OTC 19 0.82 13.22 14.17 (9.33) (12.56) 22.55 26.73
Testes T ao par para diferença de médias Testes Z para erros relativos diários de cada entre os modelos B&S e H&W - 1997 modelo em todas as séries 1997.
Total de 1228 observaçõesHo= Média entre B&S e H&W é igual.Valor p 0.05 Erro Relativo B&S H&WRealizado 0.037932935 Aceita Ho Média 22.29% 13.42%Projetado 0.008530946 Rejeita Ho DP 75.45% 93.76%
Ho= Média dos erros abs. é zeroB&S H&W z Crítico 2.50% 97.50%
Erro $ Hedge 12.91 10.03 Teste Z B&S - Rejeita HoMin. Variancia Teste Z H&W 2.63E-07 Rejeita Ho
Projetado RealizadoDiferenças
Hedge Mínima Variância
57
Tabela 9: Resultados das Operações de Arbitragem realizadas segundo a Metodologia deHedge por Mínima Variância nas Séries de Opções de Telebrás PN no ano de 1998.
B&S H&W
Projetado R$907.18 R$925.00Realizado R$848.30 R$841.40
Moneyness B&S H&W B&S H&W B&S H&W
OTC 19 1.07 137.11 136.40 177.05 177.05 (39.94) (40.65) OTC 22 0.99 95.94 109.09 160.25 160.25 (64.31) (51.15) OTC 28 0.91 42.10 41.70 139.68 139.68 (97.58) (97.98) OTC 34 0.84 4.25 4.47 2.27 (2.26) 1.98 6.73 RCTBL18 1.11 64.30 63.80 18.00 18.00 46.29 45.80 RCTBL30 1.25 90.19 89.85 90.21 90.21 (0.02) (0.36) RCTBL4 0.91 21.56 21.47 1.29 1.23 20.27 20.24 RCTBL5 0.84 27.79 27.31 12.56 12.44 15.23 14.87 RCTBL6 0.77 24.98 25.15 10.22 9.93 14.75 15.22 TELBF89 0.95 54.98 59.15 (10.89) (11.12) 65.88 70.27 TELBF93 0.83 5.75 5.04 2.45 2.55 3.29 2.49 TELBH12 0.75 2.91 4.01 (1.59) (1.25) 4.50 5.26 TELBH13 0.97 63.14 64.60 26.12 25.98 37.02 38.62 TELBH34 1.14 128.19 128.18 144.55 144.55 (16.36) (16.37) TELBH35 1.05 108.35 108.70 83.39 83.39 24.96 25.31 TELBH6 0.90 25.69 26.56 (5.49) (5.55) 31.18 32.11 TELBH8 0.84 9.95 9.51 (1.78) (3.68) 11.73 13.19
Testes T ao par para diferença de médias Testes Z para erros relativos diários de cadaentre os modelos B&S e H&W - 1998 modelo em todas as séries 1998.
Total de 538 observaçõesHo= Média entre B&S e H&W é igual.Valor p 0.05 Erro Relativo B&S H&WRealizado 0.213383554 Aceita Ho Média 16.98% 3.50%Projetado 0.169645107 Aceita Ho DP 56.88% 90.24%
Ho= Média dos erros abs. é zeroB&S H&W z Crítico 2.50% 97.50%
Erro $ Hed 3.46 4.92 Teste Z B&S 0.0000 Rejeita HoMin. Variancia Teste Z H&W 0.1840 Aceita Ho
Projetado RealizadoDiferenças
Hedge Mínima Variância
58
Tabela 10: Resultados das Operações de Arbitragem realizadas segundo a Metodologia deHedge por Mínima Variância nas Séries de Opções de Telebrás PN no ano de 1999.
B&S H&W
Projetado R$325.65 R$339.52Realizado (R$29.45) (R$20.36)
Moneyness B&S H&W B&S H&W B&S H&W
RCTBD14 1.10 52.21 50.96 82.40 82.40 (30.18) (31.44) RCTBD16 1.02 41.30 38.33 (37.05) (30.48) 78.35 68.81 RCTBD28 0.95 48.22 44.53 (86.03) (85.61) 134.25 130.14 RCTBD30 0.89 49.92 47.71 (52.40) (52.84) 102.33 100.55 RCTBD32 0.84 37.71 36.77 (17.55) (17.32) 55.26 54.09 RCTBF28 0.82 9.11 8.09 4.23 4.17 4.88 3.92 RCTBF29 0.78 6.03 5.27 2.71 2.50 3.32 2.76 RCTBF39 1.12 24.77 46.21 25.13 25.13 (0.36) 21.08 RCTBF40 1.04 18.60 20.36 19.48 20.25 (0.88) 0.11 RCTBF41 0.98 16.62 21.02 19.10 21.27 (2.48) (0.26) RCTBF42 0.92 11.48 11.59 6.03 5.81 5.45 5.78 RCTBF43 0.87 9.67 8.68 4.52 4.34 5.15 4.33
Testes T ao par para diferença de médias Testes Z para erros relativos diários de cadaentre os modelos B&S e H&W - 1999 modelo em todas as séries 1999.
Total de 389 observaçõesHo= Média entre B&S e H&W é igual.Valor p 0.05 Erro Relativo B&S H&WRealizado 0.564079407 Aceita Ho Média -2.73% -13.45%Projetado 0.207464943 Aceita Ho DP 61.99% 75.35%
Ho= Média dos erros abs. é zeroB&S H&W 97.50% 2.50% z Crítico
Erro $ Hed 29.59 29.99 Teste Z B&S 0.8078 Aceita HoMin. Variancia Teste Z H&W 0.9998 Rejeita Ho
Projetado RealizadoDiferenças Absolutas
Hedge Mínima Variância
59
Tabela 11: Consolidação dos Resultados das Operações de Arbitragem pela Metodologiade Hedge por Mínima Variância.
Tabela 12: Teste T ao par com Hipótese Nula Ho de que as Diferenças entre as Médias dosResultados Projetados e Realizados pela Utilização dos Modelos de Black & Scholes
(B&S) e Hull & White ( H&W ) é zero para um Valor p bi-caudal de 0.05
4.2.2 Estratégia de Delta Hedge
A mensuração da performance dinâmica de um modelo de avaliação de opções via
aplicação de estratégias delta hedge apresenta-se mais completa, pois outros componentes
de risco que não o ativo objeto tem seu risco gerenciado pela incorporação de outros ativos
ao portfólio.
No caso deste estudo foi feita uma simulação de trading por estratégia delta hedge
no período de 01/08/94 à 15/08/94, onde o única variável de risco hedgeada no modelo de
Black & Scholes foi o ativo objeto. No modelo de Hull & White foram calculadas as
Ano B&S H&W B&S H&W1994 R$348,74 R$347,12 R$289,14 R$290,571995 R$757,33 R$765,82 R$787,42 R$785,171996 R$1.851,96 R$1.841,04 R$1.992,63 R$1.992,131997 R$3.931,40 R$3.975,43 R$3.414,95 R$3.574,101998 R$907,18 R$925,00 R$848,30 R$841,401999 R$325,65 R$339,52 -R$29,45 -R$20,36
Média Geral R$1.353,71 R$1.365,65 R$1.217,17 R$1.243,84
Projetado Realizado
Ano Estatística t Resultado Estatística t Resultado1994 74.28% Aceita Ho 87.93% Aceita Ho1995 13.01% Aceita Ho 1.03% Rejeita Ho1996 3.22% Aceita Ho 8.83% Aceita Ho1997 0.85% Rejeita Ho 3.79% Aceita Ho1998 16.96% Aceita Ho 21.34% Aceita Ho1999 20.75% Aceita Ho 56.41% Aceita Ho
Projetado Realizado
60
derivadas parciais que compõe as “gregas” delta e vega no software Mathematica 3.0 ( vide
Apêndice ) e foram construídos portfólios com duas opções ( uma delas com distorção de
preço ) de forma a neutralizar os componentes estocásticos contidos nos processos de S e
V. Os resultados podem ser vistos na Tabela 13. Pode-se observar que neste caso a
performance dinâmica de Hull & White é muito superior ao de Black & Scholes, já que os
erros de hedge são sensivelmente menores. Os resultados auferidos pelo modelo de Hull &
White se apresentam 29,82 % superiores, indicando que o menor risco é associado a um
maior retorno em função das menores variações aleatórias nos resultados das operações por
conta da maior controle da variabilidade estocástica do portólio de opções. Tais resultados
financeiros mostram significância estatística, demonstrando a superioridade do modelo de
Hull & White quando a análise das performances dinâmica é feita sob esta metodologia.
Tabela 13: Resultado das operações de arbitragem realizadas com a série OTC 24aplicando-se a Estratégia Delta Hedge aos Modelos de Black & Scholes ( B&S ) e Hull &
White ( H&W ) no período de 01/08/1994 à 15/08/94.
ororollldlldddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd
Data Real Esperado Erro Relativo Real Esperado Erro Relativo01/08/94 0,86 0,89 3,32% 0,87 0,91 4,38%02/08/94 0,86 1,34 35,88% 1,26 1,30 2,91%03/08/94 1,02 1,72 40,86% 1,63 1,67 2,78%04/08/94 0,94 1,63 42,34% 1,58 1,69 6,35%05/08/94 1,26 2,17 41,95% 2,30 2,28 -1,02%08/08/94 1,62 2,48 34,92% 2,52 2,48 -1,54%09/08/94 1,50 2,08 27,88% 1,78 2,16 17,59%10/08/94 1,88 2,55 26,26% 1,83 2,83 35,37%11/08/94 2,09 2,78 24,77% 2,66 3,10 14,34%12/08/94 2,70 2,80 3,60% 2,68 2,67 -0,18%
Erros Relativo 28,18% 8,10%de Hedge
Resultados Realizados Teste T ao par para médias
Black & Scholes R$14,72 Ho= Média B&S e H&W iguaisHull & White R$19,11 Valor p 0,05
Projetado 0,1821573 Aceita HoRealizado 0,0056127 Rejeita Ho
B&S H&W
61
5. CONCLUSÕES
De acordo com o estudo realizado, a utilização do modelo analítico de Hull & White
como uma série de Taylor de 3º ordem em substituição ao modelo de Black & Scholes não
traz qualquer vantagem significativa quando analisado sob uma perspectiva de performance
estática. Em média o modelo analítico de Hull & White ( 1987 ) é mais preciso que o
modelo de Black & Scholes ( 1973 ), porém seu desvio padrão é maior em função
principalmente da divergência da série de Taylor em períodos próximos ao vencimento ou
de vol-vol muito elevada ( stress ).
Os erros relativos dos dois modelos se apresentam bastante significativos, pois -
conforme é demonstrado na Tabela 2 - a hipótese de que a média dos erros relativos é zero
foi rejeitada em 5 dos 6 períodos analisados para ambos os modelos. Tal fato pode ser
decorrência basicamente de três fatores:
⇒ Imprecisão dos modelos de avaliação utilizados a partir dos pressupostos
utilizados em seu desenvolvimento, que se apresentam em uma pesquisa
aplicada ex-post.
⇒ Imprecisão da metodologia utilizada para o cálculo da volatilidade usada nos
modelos, o que faz com que as avaliações se apresentem distorcidas.
⇒ A metodologia utilizada favorece o aparecimento de erros relativos inexistentes
na prática por conta da falta de simultaneidade de cotações entre o ativo-objeto e
os prêmios das séries.
Acredito que no caso deste estudo o principal fator que condicionou os elevados
erros relativos foi a falta de simultaneidade de cotações, já que tanto os modelos de
avaliação de opções quanto o de estimativa de volatilidade são amplamente utilizados e
estudados pela academia e pelos profissionais da área pela sua simplicidade e precisão, sem
que ocasionem tais distorções.
No período analisado existiu um grande viés no sentido de os dois modelos
sistematicamente sub-avaliarem os prêmios praticados no mercado, conforme é
62
demonstrado na Tabela 1. Mais uma vez, as causas deste viés podem ser encontradas na
falta de simultaneidade das cotações citada acima, já que na maior parte do período em
análise as cotações médias de Telebrás PN foram superiores as de fechamento, fazendo
com que as distorções existentes em função da falta de simultaneidade ocorressem de modo
a superavaliar a opção negociada no mercado pela consideração nos cálculos de avaliação
dos prêmios de um preço de fechamento do ativo-objeto menor do que o que era vigente à
época da última negociação de opções ocorrida no dia.
Variáveis como o moneyness, o tempo para o vencimento e a volatilidade não são
fatores determinantes para explicar a ocorrência de erros relativos no modelo de Hull &
White. No modelo de Black & Scholes, o moneyness explica em parte os erros relativos em
virtude da própria estrutura conceitual do modelo, conforme explicado anteriormente.
Sob a perspectiva de performance dinâmica, ambos os modelos apresentam
resultados livre de risco bastante satisfatórios e próximos do projetado pelos modelos.
Somente no ano de 1999 ( até junho ) foi observado um resultado negativo, basicamente em
função das perdas incorridas em função da ausência de hedge para as variações nos
patamares de volatilidade implícita ocasionados pela eclosão da crise cambial brasileira.
O modelo de Hull & White de forma geral não traz qualquer vantagem competitiva
em relação ao modelo de Black & Scholes quando analisada sob a metodologia de hedge
por mínima variância, pois ambos apresentam resultados muito semelhantes, tanto na
estimação dos resultados projetados para as operações livre de risco quanto nos resultados
auferidos no mercado, conforme comprovam os testes estatísticos realizados e apresentados
na Tabela 12 e pelos resultados alcançados por período e acumulado apresentados na
Tabela 11. Vale ressaltar porém que em períodos em que o nível de volatilidade implícita
apresenta-se bastante elevado ( ex: crise do México em 1995 ), a realização de operações
com opções deep-in-the-money ou deep-out-of-the-money pode trazer significativas
vantagens comparativas de utilização do modelo de Hull & White em relação ao modelo de
Black & Scholes
63
Quando analisado sob a metodologia de delta-hedge, o modelo de Hull & White
possui melhor desempenho que o modelo de Black & Scholes em virtude dos menores
erros de hedge ( 8,10 % contra 28,10 %) e dos melhores resultados financeiros alcançados,
conforme é demonstrado na Tabela 13. Tais resultados decorrem do controle dinâmico
exercido sobre as variações de volatilidade no portfólio construído a partir do modelo de
Hull & White, que acaba por aproximar os resultados projetados e realizados nas operações
de arbitragem a partir da menor influência da aleatoriedade de variáveis sobre a
performance do portfólio.
Como sugestão para estudos posteriores relacionados ao tema posso citar:
• Fazer um análise de performance estática do modelo analítico de Hull & White em
relação ao Black & Scholes aumentando o número de ordens da série de Taylor que o
compõe, de modo a obter uma convergência mais rápida e evitar alguns elevados erros
relativos em períodos muito próximos ao vencimento.
• Realizar um estudo comparativo entre os dois modelos com estratégias delta-hedge por
um período mais amplo que o analisado neste trabalho, de modo a se verificar se as
vantagens auferidas pelo o modelo de Hull & White se confirmam nesta situação.
• Realizar um estudo comparativo dos modelos tal como o realizado neste trabalho
utilizando a volatilidade implícita das séries de opções, desde que estas possam ser
calculadas com a devida precisão.
• Fazer um estudo comparativo no mercado de opções no Brasil buscando a análise da
performance dinâmica do modelo de Hull & White com modelos que incorporem
processos de difusão simultâneos do ativo objeto, da volatilidade e da taxa de juros, tal
como o modelo proposto por Bakshi, Cao e Chen ( 1997 ).
64
6. APÊNDICE
CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS ∂C/ ∂S ( DELTA ) E ∂C/ ∂V (VEGA) PARAO MODELO ANÁLITICO DE HULL & WHITE ( SÉRIE DE TAYLOR DE 3º ORDEM )
∂C/ ∂S ( DELTA )=
65
∂C/ ∂V (VEGA)=
66
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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