análise de modelos matemáticos por meio de simulações computacionais mini curso: modellus

ModellusAnálise de modelos matemáticos por meio de simulações computacionais

Mini Curso: Modellus

Histórico e objetivos:Modellus é uma aplicação disponível gratuitamente que permite que os alunos e professores (ensino secundário e superior) utilizem a matemática para criar ou explorar modelos de forma interativa.O Modellus é usado para introduzir a modelagem computacional, que nos permiti elaborar de maneira fácil e intuitiva modelos matemáticos usando a notação matemática padrão.Possibilita, também, criar animações com objetos interativos relacionados às expressões matemáticas descritas no modelo. Desta forma, propicia explorar as múltiplas representações e analisar dados experimentais em forma de imagens, animações, gráficos e tabelas. O principal foco do Modellus é a modelagem e o significado dos modelos.


http://en.wikipedia.org/wiki/High_school

http://en.wikipedia.org/wiki/College

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics

Como baixar o Modellus?

1) Acessar a páginahttp://modellus.co/index.php/pt/baixar

2) Seguir a instruções fornecidas


http://modellus.co/index.php/pt/baixar

http://modellus.co/index.php/pt/baixar

Ferramentas oferecias pelo softwareEm um único ambiente (tela) o software oferece as opções:1) Janela do Modelo



Nesta janela digitão-se as funções matemáticas que representam o modelo.Podem ser utilizadas quantas funções quanto forem necessárias.

EXERCÍCIO: Na Janela Modelo digitar x = t^2Que representa a função f(t) = t2.

2) Janela do Gráfico



Nesta janela o software plota o gráfico da função descrita na janela Modelo

EXERCÍCIO: Clique na “setinha” verde localizada no canto inferior à esquerda.

2) Janela do Tabela



Nesta janela o software exibe para cada valor atribuido à variável independente t, o correspondente valor de x(t)

EXERCÍCIO: Observe a tabela criada pelo software

Obtendo uma tela como a seguir


Observe que o software plotou os pontos(-2, 4), (-1, 1), (0,0), (1, 1)e (2, 4), e em seguida uniu tais pontos por meio de um segmento de reta.É assim que o software plota o gráfico. Ou seja, para cada valor de t, ele calcule o x(t) correspondente, marca cada ponto (t, x(t)) e uni cada ponto por meio de um segmento de reta.


Como melhorar o gráfico? Basta alterar o ΔtEXERCÍCIO:Na barra no topo superior, clique em Variável Independente, altere o Δt para 0.1 e clique na “setinha” verde (canto inferior à esquerda) e observe o novo gráfico e a nova tabela.


Assim obtemos uma tela como a seguir


Observe que o gráfico se assemelha à curva esperada e a tabela exibi os valores assumidos por t e os respectivos valores de x(t)


Análise do itens que constam na barra superior

InícioAo clicar em Início

obtemos as opções


Neste item cabe destacar a opção Casas Decimais.Como o software utiliza cálculos para marcar os pontos do gráfico, ele realiza aproximações determinadas pelo número de casas decimais que for escolhida nesta opção.


EXERCÍCIO:Na opção Casas Decimais, altera para 3, por exemplo. Em seguida, retorne ao modelo desenvolvido até o momento e clique na “setinha” verde. Observe o que ocorre no gráfico e na tabela.


Obtemos uma tela como a seguir


Observe que a tabela exibi valores de t e de x(t) com três casas decimais


Variável independenteNesta opção cabe destacar que é possível alterar o “nome” da variável independente, o passo desta variável e o intervalo de variação.


EXERCÍCIO:Altere o nome da variável.Altere o passo para 0.001 (três casas decimais, que é possível, pois na opção Início foi determinado que seriam 3 casas decimais).Altere o intervalo de variação.Clique na “setinha” verde e observe.


ModeloNesta opção pode-se escolher o tipo de função que pretende-se trabalhar.Por exemplo, função potência x^n, função extrair raiz quadrada, etc.


Destaques desta opçãoTaxa de Variação dx/dt

Neste caso o software interpreta dx/dt como a derivada da função descrita no modelo e plota o gráfico desta função.


EXERCÍCIO:Clique em dx/dt.Clique no sinal de igual no teclado do computador.Coloque dx/dt =2.Clique em Interpretar.


O que ocorreu?O software apresentou a opção de determinar Condições Iniciais.Neste caso, o software entende que para t=t_0 (0 valor inicial que foi estipulado no intervalo de variação de t), deve-se colocar x(t_o) = condição inicial desejada.


Por exemplo:Caso 1: x = 0Caso 2: x = 1Caso 3: x = -1Caso 4: x = 10


Obtemos uma tela como a seguir.


Na tabela:2° coluna: x -> caso 1, cor =amarelo3° coluna: x -> caso 2, cor = verde4° coluna: x -> caso 3, cor = ciano5° coluna: x -> caso 4, cor = azul


Na Gráfico:1° coluna: x -> caso 1, cor = amarelo2° coluna: x -> caso 2, cor = verde3° coluna: x -> caso 3, cor = ciano4° coluna: x -> caso 4, cor = azul


E o resultado final éMini Curso: Modellus

Condição

Nesta opção podemos escrever funções que são definidas por partes.


EXERCÍCIO:Na janela do Modelo digitar:1. x =2. Clicar em Condição, opção

que aparece na barra superior

3. Escolher –t , se t<= 14. t^2 + 2


Observe que:Para 0<= t <= 1, o software plotou o gráfico da função x(t) = -t e para 1 < t <= 3, foi plotado o gráfico da função x(t) = t^2 + 2.No ponto t = 1 ocorreu algo diferente.Observando a tabela, percebe-se o que houve.


ImportanteEste tipo de opção nos permite utilizar os recursos tecnológicos para desenvolver melhor a idéia de Composição de funções.Para entender melhor isso vamos fazer um exercício.


EXERCÍCIO:Na janela do Modelo digite 1. x = sin(t)2. y = abs(x)Observe que a composição

resulta na função |sen(t)|


Assim obtemos como resultado


ParâmetrosEsta opção nos auxilia a plotar gráfico de funções que dependem de um determinado parâmetro.Para entender melhor isso vamos fazer um exercício.


EXERCÍCIO:Na janela modelo digite a expressão x(t) = sin(A x t) e clique em no botão Interpretar, que se localiza na barra superior.


Observe que automaticamente o software abre a opção Parâmetros.Faça:Caso 1: A = 2Caso 2: A = 0.5Caso 3: A = -0.25


Marque os respectivos casos e cores nas opções Tabela e Gráfico.



E assim obtemos a figura

Esta opção nos permite introduzir na tela elementos, tais como


Objetos

Vamos entender melhor isto por meio de um exercício.


EXERCÍCIO:Vamos representar por meio de simulação computacional todas as variáveis que envolvem a equação do movimentoS = s_0 + v_0 t + 0.5 a t^2


Na janela do Modelo digite as expressões:s_0 = 4 x tv_0 = s_0 + t^(0.5) – 2 x t + 4a = sin(t)s = s_0 + v_0 x t + a x t^2


Na janela do Tabela e Gráfico escolha:s_0 -> cor azulv_0 -> cor verdea -> cor vermelhas -> cor amarelo


Assim obtemos a figura


Podemos inserir novos elementos neste ambiente, onde cada elemento representa uma das expressões.


Inserir uma partícula que represente a variação do

espaçoClique em Objetos;Clique em Partícula;Clique no local da tela onde se deseja colocar esta partícula;


Relacionando a partícula com a equação do espaço

Clique na partícula;Escolha sua representação (cão);Em Coordenadas, para Horizontal escolha t e para Vertical escolha s.Escolher cor = amarelo.


Assim obtemos a figuraMini Curso: Modellus

Inserir um Vetor que represente o espaço inicial

Clique em Vetor na barra superior;Clique no local da tela onde deseja-se localizar este vetor;Relacione o vetor com a expressão que representa o espaço inicial, como no caso anterior (Coordenadas -> Horizontal = t , Vertical = s_0, cor = azul)


Assim obtemos uma figura como a seguir.


Inserir uma CanetaClique em Caneta na barra superior;Clique no local da tela onde deseja-se colocar a caneta;Relacionar a caneta à expressão que representa a aceleração a como antes (Coordenadas -> Horizontal = t, Vertical = a);Escolher cor = vermelha.


Assim obtemos uma figura como a seguir


Inserir um objeto AnalógicoClique em Analógico na barra superior;Clique no local da tela onde deseja-se localizar o objeto;Escolha Fundo = branco, Ponteiro = verde, Tipo = relógio;Para relacionar o relógio com a expressão da velocidade inicial, na barra superior, em Variável escolha v_0.


Assim, obtemos uma figura como a seguir


A figura final é como a seguirMini Curso: Modellus

LIMITE DE FUNÇÕESNa definição de limite de uma função f(x), quando x tende à um número real a, temos que estabelecer uma relação entre Epsilon e Delta, que representam distâncias.Uma forma de verificar este tipo de relação é observando a Tabela gerada pelo software, e atentar para as casas decimais. Para entender isso melhor, vamos analisar um exercício.


Exercício:Considere a função

O objetivo é calcular

Pela definição:

Vamos utilizar o software para gerar uma tabela que relaciona as distâncias Epsilon e Delta.


Início: Escolher 3 casa decimais;Variável Independende: Mudar o nome da vriável para xΔx = 0.001Variação de x: de 1.9 à 2Modelo:Digitar


A =2L = 4d = abs(x - a)E = abs(f - L)Tabela:Marcar 1° coluna -> x2° coluna -> f3° coluna -> E4° coluna -> d


Gráfico:1° coluna -> fClicar na “setinha” verde e observar o gráfico e a tabela gerados pelo software.O gráfico nos auxilia a analisar o valor do limite e a tabela nos ajuda a verificar a relação entre os Epsilons e os Deltas.


Assim obtemosMini Curso: Modellus

OBSERVAÇÃO INTERESSANTEObservando a tabela verifica-se que

Isso se deve ao fato de


Faça o seguinte exercício:Troque a função original por

Neste caso, L = 8 (observe os valores de f(x) na tabela).Observando a tabela gerada pelo software percebe-se que


Neste caso, isso ocorre pois


O software gerou


Exercício:f(x) = x^2 – 1a = 2 L = 3Então

Com isso obtemos

Colocar na janela Modelo md = (E + 4)^(0.5) – 2Colocar md na tabela e comparar com o gerado pelo software.


Assim obtemos


análise de modelos matemáticos por meio de simulações computacionais mini curso: modellus

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