análise de medidas repetidas: Áreas de uso são freqüentemente usadas em pesquisas científicas...
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Análise de Medidas Repetidas: Áreas de Uso
• São freqüentemente usadas em pesquisas científicas em áreas agrícolas, biológicas, médicas, geográficas, demográficas dentre outras.
Medidas Repetidas: Suposições
• As observações para cada unidade experimental devem ser expressas em unidades comparáveis;
• As observações devem se distribuir normalmente com variância constante entre 2 observações dentro de cada unidade experimental;
Medidas Repetidas: Suposições
• Requer que as unidades experimentais sejam independentes.
Disposição dos DadosCondições de AvaliaçãoGrupos Unidade
Experimental 1 2 p1 1
111y 112y py11
1 2121y 122y
p 12y
1 n1
1n1 1y 2n1 1
y pny 11
2 1211y 212y
p 21y
2 2221y 222y
p 22y
2 n2
1n2 2y 2n2 2
y
pny 22
g 1
11gy 12gy
p 1gyg 2
21gy 22gy
p 2gy
g ng
1gngy 2gng
y
pgngy
Análise Univariada: Modelo
ijkikk)i(jiijky
Análise Univariada: Modelo
: representa a média geral;:i representa o efeito do i-ésimo tratamento;
:)(ij representa o efeito aleatório da j-ésima unidadeexperimental dentro do i-ésimo tratamento;
:k representa o efeito da k-ésima condição de avaliação;:ik representa o efeito de interação entre o i-ésimo
tratamento e a k-ésima condição de avaliação;:ijk representa o erro aleatório da observação ijky ,
Onde,
),0( 2)( NIDij
ikkiijkyE )(
),0( 2 NIDijk
)V( ijky
e
)(
2
1
1
1
pxp
: é a matriz de variâncias e covariâncias, também conhecida como matrizuniforme;
: representa a correlação entre dois elementos quaisquer dentro do mesmovetor resposta;
222
Anova e Teste de Efeitos
• A tabela de Anova é composta por dois tipos de erros: entre sujeitos e dentro de sujeitos;
• Esta Análise Univariada de Perfis admite uma estrutura de Covariâncias Uniforme dada pela matriz , significando que todos os pares de observações sobre o mesmo sujeito têm igual correlação;
Anova e Teste de Efeitos• Para os testes dos efeitos dentro de sujeitos a
matriz deve seguir um certo padrão, conhecido como covariância do tipo H (Huynh e Feldt);
• O teste de esfericidade testa este padrão. Se a esfericidade é aceita a matriz segue o padrão exigido, podendo-se usar o teste F tradicional para testar os efeitos dentro de sujeitos;
Anova e Teste de Efeitos
• Se o teste de esfericidade é rejeitado, dependendo da probabilidade de rejeição, pode-se usar o Epsilon de Greenhouse e Geisser ou Epsilon de Huynh-Feldt para se ter um F ajustado para testar cada efeito dentro de sujeitos.
Tabela Anova UnivariadaFonte de Variação GL SQ QM F
Grupo g -1 SQ_Grupo QM_Grupo QM_Grupo/QM_E(A)
Erro (A) n - g SQ_E(A) QM_E(A)
Cond.Avaliação p - 1 SQ_Cond.Aval. QM_Cond.Aval. QM_Cond.Aval./QM_E(B)
Cond.Aval*Grupo (g-1) (p-1) SQ_Cond*Grupo QM_Cond*Grupo QM_Cond*Grupo/QM_E(B)
Erro (B) (n-g) (p-1) SQ_E(B) QM_E(B)
Total np - 1
Análise Multivariada de Perfis
• O tamanho da amostra se baseia no número de unidades experimentais;
• O procedimento multivariado tem menos sensibilidade do que o procedimento univariado;
• Não exige o padrão da matriz de variâncias e covariâncias requerido pelo perfil univariado;
Análise Multivariada de Perfis
• A exemplo da univariada, exige que deve ser comum a todos os tratamentos, sendo que as componentes aleatórias do erro devem seguir uma distribuição normal;
• É assintoticamente equivalente a univariada para os tamanhos de amostras encontrados na prática;
Análise Multivariada de Perfis
• Só pode ser aplicada quando n-g p-1;
• No modelo para análise multivariada as observações são expressas na forma matricial.
Modelo Multivariado
• E(Y) (n x p) = X (n x g) (g x p)
onde,
Y=
gng
g
n
gngpgnggng
pggg
pnnn
p
p
y
y
y
yy
yyy
yyy
yyy
yyyyyy
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...............
...............
...............
...
...
'1
'11
'12
'11
21
112111
11121111
12122121
11112111
ng
n
n
X
1...00.........0...100...01
2
1
'
'2
'1
21
22221
11211
.
.
.
............
...
...
ggpgg
p
p
Y (n x p) : matriz de dados; X (n x g) : matriz de especificação;
(g x p) : matriz de parâmetros que definem a estrutura de variação do comportamento médio da resposta. Os vetores linhas da matriz de parâmetros acima representam o perfil médio de respostas para as unidades experimentais do i-ésimo tratamento.
Análise Multivariada: Matriz de Variâncias e Covariâncias
221
22212
11221
...............
...
...
ppp
p
p
Onde,
ij : representa a covariância entre as observações medidas em
condições de avaliações distintas;
j2 : é a variância das observações medidas na mesma condição de
avaliação.
HipótesesH0 : não existe interação entre Grupo*Condições de Avaliação (Perfis paralelos)
gppg
gg
gg
pppp
H
1
32
21
212
2322
2221
111
1312
1211
0
...
...
......
...
...
...
...
...
...:
Hipóteses
H0 : não existe efeito de Grupo (Perfis Coincidentes)
:0H
gp
g
g
pp
.
.
....
.
.
.
.
.
.2
1
2
22
21
1
12
11
Hipóteses
H0 : não existe efeito das Condições de Avaliação (Perfis Horizontais)
:0H
gp
p
p
gg
.
.
....
.
.
.
.
.
.2
1
2
22
12
1
21
11
Estatísticas de Testes Multivariados
• O critério de Roy;
• O critério de Wilks;
• O traço de Hotelling-Lawley;
• O traço de Pillai.
Análise de Medidas Repetidas: Modelos Mistos
• É o procedimento mais difundido para análise de medidas repetidas;
• Dentre as várias estruturas da matriz de variâncias e covariâncias, tem-se o Componente Simétrico (CS), Auto Regressivo de 1ª Ordem, AR(1), e Não Estruturada (UN).
Modelos Mistos: Modelo
ZXY
Onde,
Y : é o vetor de dados observados; X : é matriz de planejamento para os efeitos fixos; : é o vetor de parâmetros associados aos efeitos fixos; : é o vetor de parâmetros associados aos efeitos aleatórios; Z : é a matriz de planejamento para os efeitos aletórios; : é o vetor de erros aleatórios.
~ N( 0; 2 G ) e ~ N( 0; 2 R ); e são não correlacionados; G : matriz de covariâncias associada a ; R : matriz de covariâncias associada a ;
00
E e
RG
V0
0
V = Var(Y) = ZGZ’ + R
Equações do Modelo Misto
yRZ
yRX
GZRZXRZ
ZRXXRX1
^
1^
^
^
1^
1^
1^
1^
1^
'
'
''
''
Solução para os Efeitos Fixos e Aleatórios
Fixos:
yVXXVX 1^1
1^^
''
Aleatórios:
bXyVZG 1^'^^