Universidade Estadual de CampinasMA225 - Análise de livros didáticos de matemática

Análise de livro estrangeiro

GRUPO FCarla Cristina Zauli Pereira: Ra 154954Débora Aparecida de Passos: Ra 116591Euclides Torres Ometto Stolf: Ra 096733Juscier A. Mamoré de Melo: Ra 091815Raquel Mendonça de Paula: Ra 134607

sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Paralelepípedos e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Volumes de prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Similaridade dos poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Simetrias de figuras espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7 Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1. Introdução

Este artigo é uma análise do capítulo referente a poliedros do livro “Kiselev‘s Geometry - Book II.Stereometry”, um livro russo com tradução para o inglês. A proposta é compará-lo com o currículodo Estado de São Paulo. Porém, não fazer uma análise horizontal do estrangeiro em relação a algumlivro já disponível, a ideia não é salientar os pontos positivos e negativos deste livro tão distânte darealidade brasileira, mas sim valer-se dele como material de referência para o ensino brasileiro.

Observações preliminares sobre a estrutura do texto: Antes de efetivamente pensar nospontos de tangência entre este livro russo, com suas próprias demandas e tão distante da realidadebrasileira, e o currículo das escolas do Estado de São Paulo, talvez seja conveniente uma breveobservação sobre o lugar que ocupa este capítulo, o estudo dos poliedros, dentro da estrutura do livroe do pensamento matemático.

A análise de Poliedros é um assunto que concerne matemáticos (e físicos) das mais diferentesabordagens: da mais aplicada vertente à mais teórica. Não só isso, ela se relaciona com as maisdiversas áreas da própria matemática. De tal forma que, se o exercício for rápido de ser elencado ascompetências 1 necessárias para aprender seu significado, será obtida a ideia da multiplicidade dasrelações possíveis: sensório-motora, espacial, combinatória, lógica, corpórea, simbólica, geométrica,axiomática.

Guardando na mente esta multiplicidade conceitual que a lida com poliedos propicia para olhara sua função na estrutura do livro de Kiselev, pode-se alcançar o porquê deste assunto se encontrarapós as definições de reta, planos, ângulos: ela constitui um coroamento dos tópicos estudados antes,onde tudo se articula. Dentro do capítulo há outro coroamento especial, a sessão final do capítulo: aanálise dos poliedros regulares.

Nesse sentido, pode-se perceber como essa sessão tem uma função oposta à localização doconceito de poliedros regulares no currículo do Estado de São Paulo. Lá, ele nem tem direito denascença, pois não há uma sessão especial para seu ensino, sendo relegado à bondade de algumprofessor em interpretar que poliedro regular pode ser ensinado dentro do conteúdo poliedro.

1este termo foi utilizado com a ideia de resgatar a terminologia do currículo do Estado de São Paulo

4 Chapter 1. Introdução

Porém, é bom ressaltar que esta forma de relacionar os conteúdos proposto pelo Estado deixade lado um ponto principal: não há como relacionar o conceito de poliedro regular ao conceitode simetria, nem à análise de similariedade de poliedros, nem à volumes, ou outros poliedros nãoregulares.

Estes outros assuntos das sessões, no currículo relegados a serem tratados aqui e ali em anosseparados, no Kiselev, se localizam concatenados para uma direção. Tal diferença deixa claro umproblema do currículo do Estado e um ponto positivo do currículo suposto em Kiselev: no currículodo Estado não se pode fazer tantas conexões com outros assuntos quanto em Kiselev. E o maisimportânte: no Estado não se têm esta ponte para o assunto de poliedro regulares, que funcionariacomo um coroamento de todo o capítulo.

Portanto, é possível dizer que o currículo sugerido por Kiselev funciona como uma perversão docurrículo proposto pelo Estado. E isso podemos dizer que é algo interessante para o bom professor,já que é nessa contradição que se pode aproveitar os pontos positivos de um autor como Kiselevpara enriquecer defasagens que o currículo do Estado não supre, trazendo por exemplo tópicos depoliedros para serem permeados pelos tópicos rígidos do currículo do estado nos 1o, 2o e 3o anos doensino médio, onde efetivamente eles podem ser pensados com toda sua riqueza.

2. Metodologia

Conforme a primeira análise do livro, ficou evidente que a abordagem é fortemente diferente daabordagem usada no Brasil por ser muito formal e rigorosa. Com base nisso foi decidido avaliarcom em dois eixos principais, sendo o primeiro a análise e contagem do conteúdo do livro que écontemplado no currículo do Estado de São Paulo e o segundo uma análise dos exercícios em buscade possível aplicação e desenvolvimento deles no Geogebra.• Conteúdos:

Conteúdo pares: São os contemplados no currículo do Estado de SP.Conteúdo díspares: São os não contemplados no currículo do Estado de SP.• Exercícios: Será analisado quanto ao nível de dificuldade e a aplicabilidade no contexto atual

basileiro. Alguns exercícios selecionados serão usados para proposta de desenvolvimento deatividades.

Primeiramente foi realizado um levantamento quantitativo dos conteúdos pares e díspares eestes dados foram organizados em tabelas. Depois disso, foi feita uma análise qualitativa sobre osconteúdos.

3. Paralelepípedos e pirâmides

O estudo de Paralelepípedos e Pirâmides está previsto para ser estudado no 4oBimestre do 2oAnodo Ensino Médio.

Ao analisar esse conteúdo no livro de Kiselev pode-se notar o excesso na utilização da liguagemformal em todo o tópico. Nos exercícios, por sua vez, são de alto níveis e convidativos pararaciocionar e até mesmo usar da imaginação. Assim, mesmo o conteúdo estando de acordo com oCurrículo do Estado de São Paulo conforme apresentado abaixo, o livro não está adequado para serutilizado pelo alunos de Ensino Médio no Brasil.

A Tabela 3.1 mostra o levantamento de conteúdos pares de díspares em relação a Paralelepípedose pirâmides.

Table 3.1: Análise Quantitativa

Conteúdo é par? localização no currículo como poderia ser tratado?Definição Poliedro sim 2oEM(4obim) 2oEM(4obim)Definição de Prisma sim 2oEM(4obim) 2oEM (4obim)Definição de Paralelepipedo sim 2oEM(4obim) 2oEM (4obim)Definição de Pirâmides sim 2oEM(4obim) 2oEM (4obim)Definição de Tronco de pirâmide sim 2oEM(4obim) 2oEM (4obim)Teoremas sim 2 oEM(4obim) Sem formalismoCorolários sim 2oEM(4obim) 2oEM (4obim)Exercícios sim 2oEM(4obim) Exercícios desafios ou extras

Conteúdos pares

Definição de Poliedro: utiliza da ideia de polígonos na definição mas não menciona o significadode polígonos. É uma definição formal e que uma figura poderia auxiliar na compreensão. Para umprimeiro contato é provável que não será entendido esta definição.

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Figure 3.1: Definição de poliedros pág. 29

Definição de Prisma:escrita formal, mas o interessante dessa definição é que ele explica passoa passo como se pode construir um prisma e para o melhor entendimento é utilizado uma figura.Geralmente nos livros didáticos brasileiros não é apresentado sua construção, é apenas definido eacrescentado uma imagem.

Figure 3.2: Definição de prisma pág.30

Definição de Paralelepípedo:definição parecida com a que temos nos livros didáticos brasileiros,mas o livro acrescenta a ideia de dimensão que é o encontro das três arestas do paralelepípedoretangular no vértice, relacionando a ideia de altura, largura e comprimento.

Figure 3.3: Definição de paralelepípedo pág.31

Definição de Pirâmides: definição similar com a que vemos nos livros didáticos brasileirosincluindo uma explicação de construção de pirâmide.

Figure 3.4: Definição de pirâmide

8 Chapter 3. Paralelepípedos e pirâmides

Figure 3.5: Figura de uma pirâmide

Definição de Tronco de Pirâmide: definição similar ao que vemos nos livros didáticos brasileiros

Figure 3.6: Definição de tronco de pirâmide pág.32

Todos os Teoremas e corolários mencionados a seguir não são apresentados como teoremas ecorolários nos livros brasileiros.

Teorema 56: Em um paralelepípedo as faces opostas são congruentes e paralelas e que todas asdiagonais interceptam no ponto médio.

Teorema 57: Em um paralelepípedo retangular o quadrado de uma diagonal é igual a soma doquadrado das dimensões.

Corolário do tópico Tronco de pirâmide: Em um paralelepípedo retangular, todas as diagonaissão conguentes.

Teorema 58: Sobre a interceptação de um plano em uma pirâmide

Corolário 1 do tópico Seções transversais paralelas de pirámides: Se duas pirâmides são inter-ceptadas por planos de distânicas iguais desde os vértices, a área da seção transversal é proporcionala área da base.

Corolário 2 do tópico Seções transversais paralelas de pirámides: se as duas bases de ambas aspirâmides com altitudes congruentes são equivalentes (tem áreas iguais) então as seções transversaisequidistantes desde o vértice também são equivalentes.

Teorema 59: A área da superfície lateral de um prisma é igual ao produtos sa aresta lateral e operímetro da seção transversal perpendicular.

Corolário do tópico Área da superfície lateral de prismas: a área da superfície lateral de umprisma é igual ao produto do perímetro da base e a altura.

Teorema 60a) A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual ao produto de uma

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apótema e o semiperímetro da base.Teorema 60b) A área da superfície do tronco de uma pirâmide regular é igual ao produto da

apótema e a soma da metade dos perímetros da base.

Conteúdos díspares

Não é apresentado nenhum conteúdo díspar.

Exercícios

Todos os exercícios deste tópico foram considerados como não aplicáveis no contexto atualbrasileiro pelo alto nível de dificuldade nas resoluções dos exercícios que exigem muitas demon-strações.

Proposta de Atividad usando o Geogebra

Para construir um tetraedro e encontrar os pontos médios:- clique em Polígono localizada nas barras de ferramentas superior e construir um triângulono plano cartesiano, para que a imagem fique fácil de ser manipulada a sugestão é que use ospontos (0,0 ;4,0 e 4,2). Depois clicar em Exibir e em seguida em Janela de visualização 3D.- clique em Pirâmide localizada na barra de ferramentas superior e em seguida em Tetraedro.Selecione dois pontos na janela de visualização em 3d e logo surgirá um tetraedro.- clique em Ponto localizada na barra de ferramenta superior e em seguida selecione pontomédio ou centro, depois selecione os pontos que compõe uma aresta, ou seja, dois vértices(por exemplo pontos B e D da figura), faça isso com todas as arestas e automaticamenteteremos todos os pontos médios.Para enconstrar o ponto equidistante entre todas as faces:- clique em Reta que se encontra na barra de ferramenta superior e em seguida selecioneSeguimento, trace todos os segmentos de reta de forma que os pontos médios fiqueminterligados e que alcance o lado oposto da pirâmide, ou seja, os segmentos que serãointerligados são: HL, JN e GM. Marque o ponto de intersecção desses segmentos clicantoem Ponto localizado na barra de ferramenta superior e em seguida selecionando o ponto daintersecção (ponto O). Para facilitar a ligação entre os pontos é sugerido que mova o tetraedroclicando em Girar janela de visualização 3D que se encontra na barra de ferramentas superior.- apague os segmentos construido clicando nos pontos f, g e h no canto superior direito doGeogebra.- clique em Segmento localizado na barra de ferramenta superior e ligue o vértice E em todosos pontos médios das arestas das bases, assim é encontrado a apótema das faces do tetraedro.- clique em Reta Perpendicular localizado na barra de ferramento superior e em seguidaselecione o ponto O com as apótemas das faces.- clique em segmento e selecione o ponto O e o ponto em que a retar é perperndicular naface, faça isso para todos os segmentos e pode-se perceber que as medidas são iguais ouseja foi encontrado um ponto em que a distânci é igual em todas as faces. Para melhorvisualização apague os pontos i, j e k que são as apótemas e também l,m e n que são as retasperpendiculares. Assim temos os pontos p=0,82, q=0,82 e r=0,82.

10 Chapter 3. Paralelepípedos e pirâmides

4. Volumes de prismas e pirâmides

O assunto “Volumes de Prismas e Pirâmides” está previsto para ser estudado na 2a série doEnsino Médio de acordo com o Currículo do Estado de São Paulo, como podemos observar na Figura2.1 retirada da parte de matemática do Currículo do estado de São Paulo.

Sobre esta parte de “Volumes de Prismas e Pirâmides”, é possível notar uma formalidadeexcessiva na apresentação dos conteúdos e nas demonstrações, de uma maneira geral. Além disso, osexercícios apresentam uma dificuldade alta desde o primeiro proposto, nota-se que não há nenhumexercício de fixação do conteúdo abordado. Estes fatores tornam o livro inadequado para a 2a sériedo Ensino Médio.

Sobretudo, ao analisar este tópico no livro de Kiselev, algumas coisas foram aproveitadas paraserem utilizadas pelos alunos da 2a série do Ensino Médio do estado de São Paulo, seja tantopara compor um livro didático quanto para propor algumas atividades ou listas de exercícios maisdesafiadoras.

A Tabela 4.1 mostra o levantamento de conteúdos pares de díspares em relação a Volumes dePrismas e Pirâmides.

Table 4.1: Análise Quantitativa

Conteúdo é par? localização no currículo como poderia ser trabalhado?Definição de volume sim 2oEM(4obim) 2oEM(4obim)Teoremas sim 2oEM(4obim) 2oEM(4obim)Corolários não 2oEM(4obim) 2oEM(4obim)Exercícios não 2oEM(4obim) 2oEM(4obim) desafio

Conteúdos pares

Na p. 39, no item 61, o autor faz uma introdução interessante sobre o conceito de volume quepoderia estar presente num livro didático, assim como as propriedades (1), (2) e (3). O item 62 desta

12 Chapter 4. Volumes de prismas e pirâmides

mesma página apresenta um teorema que diz “o volume de um paralelepípedo retangular é igual aoproduto de suas dimensões”, que é um resultado que aparece nos livros didáticos brasileiros, porém,sem a nomenclatura de teorema.

O teorema do item 64 da p. 42 diz “o volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suaaltura pela área de sua base” também está presente em um livro didático da 2a série do Ensino Médiobrasileiro.

Da mesma maneira, o teorema do item 65 da p. 44 que diz “o volume de um prisma é igual aoproduto de sua altura pela área de sua base” também está presente nos livros didáticos brasileiros.

Na p. 45, no item 66, o autor fala sobre o Princípio de Cavalieri, primeiramente explicando esteprincípio e depois justificando-o. A explicação, assim como a justificativa (Figura 4.1), são claras enão são muito longas, podendo, então, serem apresentadas, da maneira que Kiselev propõe, numlivro didático.

Figure 4.1: Princípio de Cavalieri

No item 68 (p.48), Kiselev apresenta um teorema que diz “o volume de uma pirâmide é igual aoproduto da área de sua base por um terço de sua altura”. Este teorema está presente em um livrodidático para a 2a série do Ensino médio, sem a nomenclatura de teorema.

Conteúdos díspares

Ao final da demonstração do teorema (item 62, p. 39), o autor apresenta um corolário (p.41)que diz “o volume de um paralelepípedo retangular é igual ao produto de sua altura pela área desua base”, este corolário não é apresentado nos livros didáticos brasileiros, porém, é um resultadointeressante e poderia fazer parte do currículo.

Nenhuma das demonstrações dos teoremas presentes no livro de Kiselev está presente nos livrosdidáticos. Elas são muito densas, longas e formais, exigindo competencias que não são esperadaspara um aluno da 2a série do Ensino Médio segundo o Currículo do estado de São Paulo, portanto,de fato, não deveriam estar presentes num livro didático brasileiro.

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Exercícios Os exercícios (p.49 e 50) foram classificados em duas categorias:• aplicáveis: exercícios recomendados para um aluno da 2a série do Ensino Médio e podem

fazer parte de um livro didático;• não-aplicáveis: exercícios que não recomendados para um aluno da 2a série do Ensino Médio

e não podem fazer parte de um livro didático.Dentro da categoria de aplicáveis, ainda foram selecionados exercícios que podem compor uma

lista de exercícios desafiadores devido à complexidade deles. Estes dados foram organizados naTabela 4.2.

Table 4.2: Classificação dos Exercícios

Categoria Exercíciosaplicáveis 94, 95, 96*, 97*, 99*, 100*, 105*não-aplicáveis 98, 101, 102,103, 104, 106, 107, 108, 109, 110

*exercícios que podem compor uma lista de exercícios desafiadores

Proposta de atividade usando o GeogebraComo as demonstrações presentes no livro de Kiselev são densas, longas e formais, aatividade proposta consiste em inserir um argumento geométrico para mostrar o teorema doitem 68 (p.48) que diz “o volume de uma pirâmide é igual ao produto da área de sua basepor um terço de sua altura”.A ideia da atividade é decompor um prisma de base triangular em três pirâmides de mesmovolume para mostrar que uma pirâmide tem um terço do volume de um prisma de mesmabase e mesma altura.Esta construção da decomposição do prisma deverá ser feita no Geogebra. É necessário umconhecimento prévio do programa para a execução da atividade, assim, os alunos devemdescobrir como é feita essa decomposição realizando cálculos e utilizando as ferramentas doGeogebra.Espera-se que os alunos, depois de descobrirem a decomposição do prisma, realizem osseguintes passos:- Construir um triângulo ABC qualquer num plano 2D utilizando a ferramenta “Polígonos”,Figura 4.2. Basta selecionar a ferramenta "Polígono" e escolher três pontos no plano paraformar o triângulo.- Na visualização 3D (Exibir > Janela de visualização 3D), construir um prisma utilizando ocomando “Prisma[<Polígono>, <Altura>]” em que, no lugar de “Polígono” deve-se inserir otriângulo ABC construído no Passo 1 (no canto esquerdo, este polígono receberá um nome,no caso, pol1) e no lugar de “Altura” deve-se colocar um número, Figura 4.3.- Utilizando o Prisma construído no Passo 2, construir as três pirâmides de mesmo volume,neste caso, podem ser as pirâmides: DEFA ABCF ABEF, Figura 4.4, utilizando o comando“Pirâmide” para construir cada uma delas. Basta selecionar a ferramenta "Pirâmides eescolheros 4 pontos que vão compor cada uma dessas pirâmides.- É interessante mudar as cores das pirâmides para facilitar a visualização. Para isso, bastaselecionar a pirâmide, clicar com o botão direito do mouse, clicar em "Propriedades > Cor" eselecionar a cor desejada.- Generalizar o resultado para um prisma com uma base de n lados.

14 Chapter 4. Volumes de prismas e pirâmides

5. Similaridade dos poliedros

Table 5.1: Análise Quantitativa

Conteúdo É par? Localização no currículo Como poderia ser tratado?Definição de Similaridade Sim 2oEM (4o Bim) 2oEM (4o Bim)Definição de Homotetia Sim 2oEM (4o Bim) 2oEM (4obim)Teorema 76 Sim 2oEM (4o Bim) 2oEM(4obim)Teorema 74 Não - Não aplicávelTeoremas 77 e 78 Não - Conteúdo adicional se modificado

A Tabela 5.1 mostra o levantamento de conteúdos pares de díspares em relação a Similaridadedos poliedros.

Conteúdos pares

Definição de similaridade de poliedro 69: definição muito parecida com a que utilizamos noBrasil, sobre congruência de ângulos equivalentes e mesma proporção entre arestas equivalentes.

Definição de homotetia e ilustração: Também muito parecida com o que temos, define centro dehomotetia, coeficiente de homotetia e apresenta um desenho também muito usado em livros daquique explicita a ampliação ou redução de uma figura.

Corolário 73: Sobre a similaridade de ângulos de poliedros e poliedros homotéticos. Tambémaparece em conteúdos brasileiros.

Teorema 76: Sobre similaridade de pirâmides originadas por seção plana paralela à base deuma pirâmide dada. Bem escrito e ilustrado. Também ajuda aos alunos perceberem a relação desimilaridade e como obterem uma pirâmide menor utilizando uma maior, para possível aplicação.

16 Chapter 5. Similaridade dos poliedros

Figure 5.1: Teorema bem ilustrado

Conteúdos díspares

Lema 71: "Quando duas figuras são homotéticas a uma outra dada, com o mesmo coeficiente erelativo a centros diferentes, então são congruentes uma a outra". Este lema dificilmente aparece emlivro no Brasil, pois aqui o conteúdo sobre homotetia é bem objetivo e reduzido. No Kiselev’s aparecerigorosamente demonstrado e a figura utilizada não ajuda a tornar o entendimento da demonstraçãomais fácil.

Teorema 74: Se dois poliedros são similares então cada um deles é congruente a um poliedrohomotético ao outro. Aqui este seria um conteúdo mais aprofundado, dificilmente aparece. Princi-palmente demonstrado da forma rigorosa como presente no livro estrangeiro.

Teoremas 77 e 78: Têm uma abordagem teórica e direta, exageradamente simbólica, semnenhuma ilustração que favoreça a imaginação do aluno e sua percepção para poder gerar umsignificado e construção de exemplo prático/numérico.

O livro se limita aos Teoremas, não continua o assunto exibindo algum exemplo prático nemincita o leitor a fazer isso. Ao final não aparecem exercícios numéricos de aplicação dos teoremas.Aqui dificilmente apareceria em livros dessa forma. Poderiam ser dadas essas relações mas com umaabordagem bem diferente e simplificada.

ExercíciosGrande maioria dos exercícios: são muito teóricos e rigorosos. A maioria é sobre provar alguma

relação. De 12 exercícios desse tópico 7 são para provar algo. Os outros pedem para achar algumarelação mas sempre com valores literais. O currículo do Estado recomenda que se trabalhe commedidas na geometria para desenvolver a percepção do espaço. Neste tópico não há exercíciosenvolvendo relações métricas ou qualquer tipo de valores numéricos.

Exercicio 119: Um dos poucos envolvendo cálculos diretos e que trabalham a percepção doaluno quanto as relações do que foi estudado para aplicar na prática. É possível fazer a representaçãodesse exercício usando algum software, como o geogebra por exemplo. Então variando o lado nafigura tridimensional desenhada o volume vai variar também.

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Figure 5.2: Exercício para aplicação no Geogebra

Proposta de atividade usando o GeogebraObjetivo: Criar um cubo com lado variável para perceber como varia seu volume conformese varia o lado. Possibilidade de visualizar o exercício 119.- Crie um controle deslizante e nomeie de "lado". Mínimo de 1 e máximo de 2.- Crie um segmento com comprimento fixo e a partir dele use o botão "poligono regular" paraconstruir um quadrado.- Crie um vetor em alguma direção transversal aos lados do quadrado e use o botão "vetor apartir de um ponto" para desenhar as arestas laterais do cubo. - Use o botão "polígono" etrace todas as faces do cubo. - Quando estiver pronto, basta variar o controle deslizante parao solido variar seu volume. Perceba que para o sólido ter duas vezes o volume do anterior,fazendo os cálculos, as arestas devem ter lado l = a 3

√2.

Figure 5.3: Cubos gerados no Geogebra

6. Simetrias de figuras espaciais

Possibilidades de articulação com o currículo do Estado de São Paulo: sabemos que osassuntos tratados no livro de Kiselev ultrapassam em pré-requisitos e muito a proposta do Estado,ainda mais se pensarmos no local em que teoricamente simetria estaria dentro do planejamentocurricular do Estado, no 7o ano do ensino fundamental.

Logo, a tentativa será: localizar um bloco de conhecimento proposto por Kiselev e entender sese trata de um conteúdo par com o conteúdo do currículo do Estado. Após, tentaremos ver se elepode ser inserido em outros lugares tanto como conteúdo extra quanto como complementação paradeterminados conteúdos planejados pelo Estado através da ferramenta educacional geogebra.

Table 6.1: Análise Quantitativa

Conteúdo É par? Localização no currículo Como poderia ser tratado?Simetria central (§79) Não - 2oEM(4obim)Simetria bilateral e axial (§80) Sim 7oEF(2obim) 7oEF(2obim) e 2oEM (4obim)Relações entre as simetrias (§81) Não - Material extra 2oEM(4obim)Eixos de simetria de outras ordens (§82) Sim 7oEF(2obim) 7oEF(2obim) e 2oEM(4obim)Simetria do cubo (§83) Sim 7oEF(2obim) 2oEM(4obim)

Conteúdo pares e ímpares:Nesta sessão referente a simetria, o conteúdo pode ser resumido de maneira muito simples, pois setrata de apenas 5 blocos de conhecimento: simetria central (§79); simetria bilateral e simetria axial(§80); relações entre simetria central e bilateral e axial (§81); eixos de simetrias de outras ordens(§82); simetria do cubo (§83). Desta forma, foi possível quantificar os conteúdos pares e localizar omomento em que o assunto poderia ser tratado conforme a tabela acima.footnoteAbreviaturas: EM=ensino médio; EF= ensino fundamental; bim= bimestre; os números se referem aos anos.

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Possível utilização do conteúdo com a ferramenta educacional geogebra:O tópico 79, localizado da página 59 à página 60 do livro de Kiselev, trata sobre a noção desimetria central. Tal noção é definida através do ponto médio:Ela é entendida, como dizem no inglês, straightaway para um aluno familiarizado com asferramentas de régua e compasso, já que não é necessário mais que três operações paraachar o ponto médio de dois pontos. Tal qualidade é perfeita para um professor que estátrabalhando com o método da régua e o compasso. Porém pode não ser imediato para umaluno acostumado a lidar com a geometria através de movimento, que gostaria de lidar coma definição pensando: é só rodar um objeto ao redor de um ponto. Como sabemos, estaresposta do aluno é incorreta, porém instigante, pois nos leva a perguntar o que falta paraque a resposta do aluno esteja correta (e será respondida no teorema do tópico 81).A ferramenta espacial que nos proporciona o geogebra é, por si só, um contra-exemploilustrado e experimental de que a ideia do aluno do parágrafo anterior está errada. Paraisso desenvolvemos uma atividade que pode ser realizada com a finalidade de reproduzira definição dada por Kiselev e mostrar como ela pode ser útil para fazer ilustrar bem esteconceito.A seguir, estão os passos a serem seguidos no geogebra, no modo gráfico 3D ab. A atividadepode ser realizada, sem nenhuma dificuldade acreditamos, para turmas que estão trabalhandocom geometria espacial no ensino médio, tal como apontamos na tabela acima. A ideia écriar um triângulo que será refletido em um ponto levando em consideração a definição desimetria central de Kiselev:

1. Ponto O (que será o centro de reflexão)2. Ponto A (que será um dos pontos do triângulo)3. Reta AO4. Esfera com centro O e diâmetro OA5. Ponto B na intersecção entre a esfera e a reta AO6. Apagar visualização da esfera c

7. Ponto C8. Fazer os mesmos passos 3 a 6 para o ponto B, e, assim, criando o ponto D na reta CO9. Ponto E

10. Fazer os mesmos passos 3 a 6 para o ponto C, e, assim criando criando o ponto F nareta EO

11. Poligono ACE12. Poligono BDF

a Este modo pode ser acessado na guia viewbA versão utilizada foi o: Geogebra 5.0.284.0-3D, versão em inglêscIsto pode ser feito clicando o botão direito na esfera e desmarcando o toogle em ’show objeto’

Podemos ver, após concluída a construção dos objetos no geogebra, que ao movermos otriângulo ACE a, também movemos o triângulo BDF. Mas também podemos observar que afigura resultante não é congruente à primeira. Tal observação permite corrigir a conclusão doaluno: não basta girar a figura em torno de um centro, há uma inversão do sentido, além darotação, o que é esquerda vira direita. Kiselev aborda tal propriedade da reflexão:

aPoderia ser contruído um poliedro também, o que reforçaria a ideia de que qualquer figura pode ser refletidapor esta operação desde que se faça a mesma operação com todos os pontos

20 Chapter 6. Simetrias de figuras espaciais

Figure 6.1: Geogebra: construir um ponto de reflexão

Figure 6.2: Comentário de Kiselev sobre a reflexão no ponto

O tópico 80, localizado da página 60 à 62 do livro de Kiselev, trata sobre a noção de simetriabilateral e axial. Kiselev define simetria bilateral da seguinte forma:

Figure 6.3: Definição de simetria bilateral de Kiselev

Podemos contruir tal definição utilizando o pacote geogebra. A construção é muito parecidacom a realizada na atividade anterior, porém com o uso da ferramenta disponível no geogebraque realiza a construção de uma reta perpendicular a um plano dado.

Figure 6.4: Geogebra: construção da reflexão bilateral

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Podemos ver que tal reflexão bilateral não é uma simples rotação de uma imagem, ela implicauma reversão de sentido, o que é direita vira esquerda. É o que faz o espelho. Objetos comsimetria bilateral não apresentam diferença quando refletidos no espelho. Kiselev apontaisso e cita objetos do cotidiano que possuem a simetria bilateral. Em união com algumasimagens de objetos de arte e objetos, isto poderia ser tratado na sala de aula também.Da mesma forma Kiselev trata da reflexão axial. Aqui está a sua definição:

Figure 6.5: Definição simetria axial de Kiselev

Agora sim, nosso aluno ideal ficará satisfeito com a sua definição: é só rodar a figura emvolta da reta. A construção pela definição de Kiselev pode ser feita com o geogebra parailustrar tal conexão com a ideia de rotação.

Figure 6.6: Definição simetria axial de Kiselev

O tópico 81, localizado da página 62 à 63, trata sobre a relação entre a simetria central, bilaterale axial. Para isto ele formula um teorema:

Figure 6.7: Teorema da relação entre os tipos de simetria

22 Chapter 6. Simetrias de figuras espaciais

Para ilustrar o teorema faremos uma construção no geogebra. Esta atividade requer umamaior concentração, por isso talvez seja melhor figurar como atividade extra. A ideia éconstruir uma imagem que mostre que o teorema proposto por Kiselev funciona, para istousando um triângulo como exemplo:

1. Ponto A2. Ponto B3. Ponto C4. Plano ABC (este plano será o plano de reflexão)5. Apagar visualização dos pontos A, B e C6. Ponto O noa plano ABC (Este ponto será o ponto de reflexão)7. Ponto E (de preferência fora do plano, este ponto será um dos pontos do triângulo)8. Reta perpendicular no ponto O e o plano ABC b

9. Função Reflexão em Planoc no ponto E e plano ABC, gerando o ponto F10. Função Reflexão em Ponto no ponto E e ponto O, gerando o ponto G11. Ponto H (segundo ponto do triângulo)12. Realizar os mesmos passos 9 e 10 para obter os pontos I e J13. Ponto K14. Realizar os mesmos passos 9 e 10 para obter os pontos L e M15. Polígono EHK (triângulo original)16. Polígono FIL (triângulo gerado por reflexão no plano)17. Polígono GJM (triângulo gerado por reflexão no ponto)

aClicar na função ’Point on object’ e criar o ponto no planobPara criar isso, é necessário clicar na função ’Perpendicular line’ e clicar em O, longe de O, clicar no plano

(se você clicar duas vezes em O vai dar problema ... experiência própria...).cÉ possível fazer sua própria ferramenta e guardar os caminhos para utilizar em outra ocasião, de tal forma

que talvez seja interessante para algum aluno realizar as atividade dos tópicos anteriores e fazer esta reflexãoatravés de sua própria ferramenta. Porém por questão de brevidade, esta instrução considerou a ferramenta dogeogebra ’Reflection on a Plane’. De qualquer forma, o professor pode comentar o fato desta ferramenta nãoperder em nada para as definições já colocadas por Kiselev

Figure 6.8: Imagem que permite visualizar o teorema que relaciona os tipos de reflexões

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Podemos ver que ao movimentarmos o triângulo EHK, tanto os triângulos FIL e GJM semexem. E mais, é possível ver que o comportamento dos triângulos FIL e GJM são parecidose que eles são congruêntes e podem ser sobrepostos por rotação sobre a reta perpendicular aO. Logo o aluno pode experimentar na prática o que o teorema está mostrando: que umareflexão ponto é equivalente a uma reflexão no plano que contém este ponto seguido de umareflexão na reta perpendicular ao ponto e o plano.Como auxílio à prova do teorema, podemos fazer as semi-retas auxiliares propostas porKiselev, porém os argumentos lógicos não podem ser supridos. A prova do teorema nãopode ser esquivada e é o coroamento desta sessão.Kiselev também retira deste teorema alguns colorários que podem enriquecer a atividade,porém não será abordada aqui, por falta de tempo.

No tópico 82, página 64, Kiselev aborda as rotações sobre uma reta, em união com o tópicode reflexões na reta (§80). Pode-se ilustrar tal rotação utilizando a função do geogebra’Rotation about a line’. Não iremos realizar aqui uma atividade, mas podemos ver que afigura obtida com o geogebra é ilustrativa do que diz Kiselev.

Figure 6.9: Rotação de 120 graus de um poliedro em torno de uma reta

O tópico 83, página 64 e 65, mostra o centro de simetria, os eixos de simetria e os planosde simetria de um cubo. A tarefa pode ser realizada no geogebra. Requer um pouco depaciência, mas, por outros lado, possui a qualidade de ser imediata aos sentidos. Aqui estáuma imagem do resultado ao colocar os nove planos de reflexões em um cubo:

Uma atividade interessante aos alunos talvez seja utilizar a ferramenta ’Reflection on a point’para mostrar que o centro de simetria do cubo realmente é o encontro de suas diagonais. Paraisto basta criar um cubo com a função ’Cube’ e criar os segmentos unindo os vértices desuas diagonais. Após, criar o ponto que é a intersecção destas retas e utilizar a ferramentade ’Reflection on a point’ com os objetos: o cubo e o ponto de intersecção. Será criado umnovo cubo que em nada difere do primeiro. Tal propriedade pode ser estimulante para pensara ideia de que o cubo possui uma simetria central.

24 Chapter 6. Simetrias de figuras espaciais

Figure 6.10: Planos de reflexão de um cubo

Os exercícios desta sessão não são de grande número. Ilustram os conceitos, mas é nosexercícios da sessão seguinte em que estes conceitos vão operar de forma mais importante.Tentaremos fazer uma atividade no geogebra para o exercício 130, para ilustrar o valor destesoftware no entendimento dos conceitos.

Figure 6.11: Exercício 130 do Kiselev

A atividade consiste, após gerar uma pirâmide quadrada regular (o que pode ser um exercícioà parte, como provamos, porém isso pode ser resumido se o professor der o caminho para aconstrução), procurar os planos de reflexão.

Ao lidar com o objeto, alguns alunos podem ver que se olharmos de uma perspectiva de cimada pirâmide, esta atividade é a mesma que a de achar os eixos de simetria do quadrado.

Logo, toda a análise para as pirâmides é resumida a duas dimensões. Podemos dizer assimque o número de planos de simetria para uma pirâmide regular de n lados é n. Mas, há umapegadinha, há o tetraedro:

7. Poliedros Regulares

Na análise quantitativa do conteúdo, Polígonos Regulares, encontrado no livro do Kiselev’s coma diretriz Curricular do estado de São Paulo chegamos na tabela.

Conteúdo é par? localização no currículo como poderia ser tratado?Definição Poliedro regular (§84) sim 2oEM(4obim) 2oEM(4obim)Classificação dos poliedros regulares(§85) Sim 2oEM(4obim) 2oEM (4obim)Construções de sólidos platônicos (§86) Não - Material extra 2oEM(4obim)Teorema (§87) Não - -Observação (§88) Sim 2oEM(4obim) 2oEM(4obim)Exercícios Sim 2oEM(4obim) 2oEM(4obim)

Conteúdos Par

Definição: Segundo o currículo do estado de São Paulo o aluno do segundo ano do ensino médiodeve ter como competencia:

Compreender os fatos fundamentais relativos ao modo geométrico de organiza-ção do conhecimento (conceitos primitivos, definições, postulados e teoremas).

Então a parte de definição deve ser uma preocupação do professor e deve conter no livro didático.Classificação dos poliedros regulares: A classificação dos poliedros regulares também é

contemplada pelo curriculo.Observação: Na observação o autor aborda o contexto histórico dos sólidos Platônicos, portanto,

pode ser abordado no ensino médio.

Exercícios: A maioria dos exercícios abordam conceitos de definição e classificação dos poliedro,portanto, poderiam ser ultilizados na sala de aula.

As soluções dos exercícios ficaria interessante, na minha opinião, se ocorrece a contrução dossólidos em algum programa de desenho.

26 Chapter 7. Poliedros Regulares

Conteúdos Díspares

Construções de sólidos platônicos: A contrução dos sólidos platônicos não esta no currículode SP nem tão pouco na maioria dos livros didáticos brasileiros,mas, poderia ser uma atividadeinteressante se usado o livro do Kiselev’s associado a recursos digitais como o Geogebra.

Na construção proposta pelo autor (figuras abaixo) o desenho serve como auxílio para a contruçãoescrita em texto matemático, porém, é muito difícil pois os desenhos são praticamente obra de artistas:

Teorema: O teorema Qualquer poliedro regular é semelhante a um dos cinco sólidos Platônicas.Não esta no Curriculo e é um teorema difícil para ser trabalhado na escola básica.

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Proposta de Atividade usando Geogebra1 ) A definição "Poliedros regulares são poliedros cujas faces são polígonos regulares", estácorreta? Se sim prove. Se não, contrua um contra-exemplo e mostre o que está errado nadefinição.Resposta: A definição não está correta então temos que encontrarum contra exemplo. Um contra exemplo simples que pode ser contruido é o poliedro de seislados, sendo constituido pela junção de duas pirâmides de base triangular, ele possui ascaracteristicas da definição, porém não é um sólido regular.

O sólido ao lado é um poliedro cujas faces sãopolígonos regulares, mas, não é um poliedro regular.

A definição precisa para poliedros regulares é:"Um poliedro é regular quando todas as suas facessão polígonos regulares congruentes e em todos osvértices concorrem o mesmo número de arestas".

Proposta de exercíco usando Geogebra para construção dos sólidos Platônicos.1 ) Construa, usando o Geogebra, a partir de um cubo de aresta 5 todos os sólidos Platônicos.Depois disso escreva passo-a-passo o processo para construir cada sólido.

Resposta:

Um tetraedro regular podem ser construídos tomando quatro dos oito vértices de um cubopara os vértices do tetraedro como mostrado na Figura a. Ou seja, escolher qualquer vérticea do cubo, e nos três faces quadradas adjacentes a este vértice, levam os vértices B, C, e Dopostas para A. as seis arestas que ligam os vértices a, B, C, D emparelhados são diagonaisda face do cubo (uma diagonal em cada face), e, portanto, são congruentes. Isso mostra quetodas as faces do tetraedro são triângulos regulares congruentes.Um octaedro regular pode ser construído, tendo os seis centros das faces do cubo (Figurab) para os vértices. Cada extremidade do poliedro resultante liga os centros de duas facesadjacentes do cubo e, como facilmente calculado, tem o comprimento 1

2√2a em que a indica

a dimensão do cubo.Em particular, todas as arestas têm o mesmo comprimento, e, portanto,todas as faces do octaedro são triângulos regulares congruentes.Um dodecaedro podem ser construídos desenhando 12 planos, uma por cada uma das 12extremidades de um cubo (Figura c), e a escolha dos angulos destes planos de tal maneiraque o poliedro resultante é regular.Uma vez que a existência do dodecaedro é estabelecida, um icosaedro podem ser construídostomando os centros de 12 faces do dodecaedro para os vértices (figura d).

28 Chapter 7. Poliedros Regulares

Após a contrução dos sólidos geométrico ficaria simple, por exemplo, a solução dos exercí-cios:137. Verifique se o número de vértices, arestas e faces de um cubo são iguais, respectivamente,para os números de faces, arestas e vértices de um octaedro.138. O mesmo - para icosaedro e dodecaedro. Existe uma maneira de estabelecer esseresultado sem contar?139. Provar que o poliedro cujos vértices são centros das faces de um tetraedro é um tetraedro,novamente.140. Provar que o poliedro cujos vértices são centros de faces de um octaedro (ou icosaedro)é um cubo (respectivamente um dodecaedro).

8. Conclusão

Figure 8.1: Contemplação de conteúdos

Pode-se concluir através da contagem numérica que há mais conteúdos pares que díspares(Figura 8.1), quase o dobro (28 a 10). Numa interpretação do resultado pode-se dizer que o livrotem uma boa intersecção com o currículo brasileiro. Porém, numa análise qualitativa do nível dosexercícios e teoremas, conclui-se que o nível é muito acima do desenvolvido nas escolas do Estadode São Paulo. A tarefa dos integrantes do grupo em adaptar através do recurso gráfico-visual e lógicoGeogebra para a realidade destas escolas, portanto, tem sua finalidade justificada. Daí o intuito deaproximar ferramenta de construção de figuras espaciais e desenvolver competências dos alunos(como é sublinhado no texto base do currículo de matemática do Estado de São Paulo) e melhoraproximar a demonstração de suas intuições.