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ANÁLISE DE INCERTEZAS Análise de Incertezas

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Page 1: ANÁLISE DE INCERTEZAS - Análise Experimental de Tensõesedaet.usuarios.rdc.puc-rio.br/AET3-AnalIncertezas.pdf · incremento que um instrumento é capaz de mostrar na escala de trabalho

ANÁLISE DE INCERTEZAS

Análise de Incertezas

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1 - INTRODUÇÃO

• Medição: determinação do valor de uma grandeza mediante o emprego de instrumentos e métodos adequados.

• Erro: diferença algébrica entre o valor verdadeiro (convencional) da grandeza medida e o resultado da medição.

• Valor real, exato ou verdadeiro: valor intrínsico de uma grandeza, nas condições que existem quando esta for considerada, e que é independente de qualquer medição. O valor real nunca é obtenível. De um modo geral, a medição influencia modificações no valor real. O valor real é então representado por um valor convencional da grandeza para um determinado fim.

• Incerteza: é um valor razoável utilizado para avaliar o erro. A incerteza faz parte da expressão de um resultado de uma medição, indicando uma faixa de valores entre os quais deverá estar o valor verdadeiro da grandeza medida.(error x uncertainty).

• Exatidão: a exatidão da medição (ou de um instrumento de medição) informa a proximidade entre o valor de uma grandeza obtido através da medição e o valor verdadeiro convencional desta grandeza. (accuracy).

Análise de Incertezas

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• Repetibilidade: grau de concordância entre vários resultados de medições sucessivas de uma mesma grandeza, executadas pelo mesmo método, mesmo laboratório, mesmas condições, mesmos instrumentos, mesmo observador e em intervalos de tempo relativamente curtos.(fidelidade, precision).

• Reprodutibilidade: grau de concordância entre vários resultados de medições de uma mesma grandeza, executadas sob condições diferentes (método, laboratório, instrumentos, observador e intervalos de tempo).

• Resolução: expressão quantitativa da aptidão de um instrumento distinguir valores muito próximos da grandeza a medir, sem a necessidade de interpolação. É o menor incremento que um instrumento é capaz de mostrar na escala de trabalho. (resolution).

A resolução pode também ser expressa por: – Número de dígitos do instrumento (Ex. 5 ½ dígitos)

– Número de bits referentes à placa de conversão AD (Ex. 12 bits)

• Sensibilidade: é o quociente da variação da resposta de um instrumento pela correspondente variação do estímulo. Às vezes é definida como o menor incremento de voltagem que pode ser medido considerando a escala mais sensível de um voltímetro. (sensitivity)

• Tendenciosidade: é o erro sistemático ou fixo. (bias).

Deve-se notar que numa medição os erros podem ser: – Sistemáticos ou fixos

– Aleatórios ou acidentais

– grosseiros

Análise de Incertezas

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• Sensor: parte de um transdutor ou de um instrumento de medir ou de um sistema de medição onde é aplicada a grandeza a medir, dando a ela uma resposta correspondente. (Ex. Strain gage ou ERE, cristal piezoelétrico).

• Transdutor: dispositivo de medição que fornece uma grandeza de saída que tem uma correlação determinada com a grandeza de entrada.

• Instrumento de medição: dispositivo destinado a executar uma medição, sozinho ou em conjunto com outros instrumentos.

• Sistema de medição: conjunto completo de instrumentos de medição e dispositivos inter-relacionados ou interativos que estão acoplados para executar uma determinada medição.

Exatidão

Repetibilidade

Resolução

Análise de Incertezas

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2 – CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS

Qo

Qi

d=%exatidão x fundo de escala

d

valor verdadeiro

F= Fundo de

escala (full

scale)

H=meio de escala

(half scale)

Qo

Qi

desvio de linearidade

desvio admissível

Ajuste por

mínimos

quadrados

F

S

DQo

DQi

Desvio

de

zero

Zero

shift

Análise de Incertezas

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Qo

Qi

Mudança de sensibilidade (causada

pela interferência de uma outra

variável que não esteja sendo

considerada na medição. Ex.:

quando não se considera a

variação do módulo de elasticidade

com temperatura quando um

transdutor de força está sendo

utilizado.

Qo

tempo

Deriva de zero (no

tempo), zero drift

Análise de Incertezas

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3 – ANÁLISE DE INCERTEZAS

• Incerteza na leitura de escalas

15 20 25 30

L =26 mm

25.5<L<26.5 mm

4 6 7

5

V =5.4 volts

5.2<V<5.6 volts

Análise de Incertezas

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• Estimativa da incerteza em experimentos com repetição

xi = 2.3, 2.4, 2.5, 2.4

Melhor estimativa (valor mais provável) = média = 2.4

Incerteza: 2.3<x<2.5

Considera-se muito rigorosa a expressão da incerteza pelos valores mínimo e

máximo da medição. Um estimador bastante aceito para a incerteza de

uma medição que conta com repetições é o desvio padrão experimental

das n medições realizadas.

1

1

2

n

xx

spadrão_desvio

xn

xmédia

i

i

x

i

i

Análise de Incertezas

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• Estimativa da incerteza em experimentos com repetição

(continuação)

1

1

2

n

xx

spadrão_desvio

xn

xmédia

i

i

x

i

i

População

Amostras com

efetivos de n

elementos

Nefetivo

padrão_desvio

média

Média e desvio padrão da amostra são respectivamente as melhores estimativas da média e do desvio

padrão da população.

n

ss

s.zx

x

x

x

x

Análise de Incertezas

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• Distribuição Normal ou gaussiana e distribuição de Student

2

2

2

2

2

2

1

10

2

1

z

x

s.

xx

x

x

ezf

,Nz

s

xxz

e.s

xf

s,xNx

x

P(-1<x<1)=0.6827

P(-2<x<2)=0.9545

P(-3<x<3)=0.9973

Se o número de elementos de uma amostra for pequeno, o cálculo dos

intervalos de confiança requer o uso da distribuição de Student. Por exemplo,

para um intervalo de confiança de a90% e n-1 graus de liberdade tem-se:

x,n

x

s.txx

s

xxt

a1

Análise de Incertezas

qnorm 0.05 0 1( ) 1.645

qt 0.05 4( ) 2.132

pnorm 1.645 0 1( ) 0.05

n t z

5 2.13

1.645

10 1.83

20 1.73

50 1.68

100 1.66

Distribuição de

Student para n-

1=4 graus de

liberdade 3 2 1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

dnorm x 0 1( )

pnorm x 0 1( )

dt x 4( )

x

x 5 4.8 5

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5 – ANÁLISE DE INCERTEZAS

Procura estudar como a combinação de diversas fontes de erros aleatórios

influencia no cálculo da incerteza global de um dado sistema experimental.

Cálculo e operações com incertezas Se x e y forem variáveis aleatórias com médias xav e yav e desvios padrões sx e

sy, a variável z terá média zav e desvio padrão sz=(sx2+sy

2)1/2. É possível representar os valores das incertezas destas variáveis por seus

desvios padrões.

yxz

yxz

yyxxzz

zz

yy

xx

avavav

s

s

s

yxz

yxyxz

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Análise de Incertezas

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Cálculo de δz para uma função z=x.y

22

22

..

0.

...

....

.

av

y

av

x

av

z

y

s

x

s

z

s

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z

yxxyz

yx

yxyxxyz

yxyxxyyxzz

yyxxzz

22

yxz

av

zz

ccc

z

sc

Análise de Incertezas

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......1

..1

......

......

.....,...),(,...),(

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

212211

xx

z

zx

x

z

zz

z

xx

zx

x

zz

xx

zx

x

zz

xx

zx

x

zxxzxxxxzzz

Cálculo de δz para uma função complexa z=z(x1,x2...)

Análise de Incertezas

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P +P

A +A

M +M

d +d

Barra sob

tração

Barra sob

flexão Exemplos

d

d

P

P

A

A

P

P

dA

A

P

.2

4

. 2

d

d

M

M

dI

I

dM

.3

64

.

.2

.

4

t

t

D

D

p

p

t

Dp

.2

.

Tubo de parede fina sob pressão

interna

Análise de Incertezas

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Barra sob flexão com ERE

Exemplos

22222

4

2

2

3

3

64

2

E

E

h

h.

b

b

L

L

P

P

E

E

h

h.

b

b

L

L

P

P

gulartanre_seção

E

E

d

d.

L

L

P

P

.E

d

d.

M

M

d.I

I.

d.M

circular_seção

P L

ERE

Análise de Incertezas

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1 - Barra sob flexão com ERE. Comparar os valores determinados

(analiticamente e experimentalmente) para a tensão no ponto onde

está instalado o ERE.

Exercícios

P L

ERE

b

h

Sabe-se que:

P=355g (medido numa balança de laboratório com + 1%)

L=242mm (escala com + 0.5mm)

b=25mm (paquímetro com + 0.05mm)

h=1.30mm (micrômetro com + 0.01mm)

Deformação medida pelo ERE=600 x 10-6

Análise de Incertezas

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2 – A concentração C de solvente num verniz utilzado para análise de

tensões é governada pela equação C=a.e-mt onde a e m são

constantes e t é o tempo.

• Qual a contribuição da incerteza t na determinação analítica

de C? Considere a=2.00, m=0.001 e t=1s.

• Qual a incerteza na medição de a se C e t forem medidos com

incertezas iguais a 1%?

• Determine as constantes a e m a partir dos dados abaixo usando o

método dos mínimos quadrados (procure tornar a equação linear para

facilitar o processo).

• Qual a probabilidade da amostra coletada na tabela acima

seguir a equação C=2.00 e-0.001t? Utilize o método do Qui-

quadrado. Sugestão: consulte o capítulo de estatística do livro

texto.

Exercícios

T(s) C(%)

20 2.01

40 1.93

100 1.81

200 1.60

Análise de Incertezas

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3 – Foram feitas quatro medições de t (período) e l (comprimento) para um

pêndulo simples.

•Avaliar a aceleração da gravidade g e sua incerteza g para cada uma das

medições.

• Avaliar g e g usando todas as medições de uma só vez.

m

l g

lt 2

l (cm) + 0,1 t (s) + 0,001

93,8 1,944

70,3 1,681

45,7 1,358

21,2 0,922

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4 – Considerando o que está escrito no texto “Aspectos Técnicos da Integridade

Estrutural” sobre Eficiência de Inspeção de um equipamento e sua atualização

bayesiana, estender este conceito para Eficiência de Medição (de tensão).

Propor um exemplo.

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5 – Considerando o que está modelado no arquivo do software Mathcad sobre

média, desvio padrão e probabilidade para uma distribuição normal, estender

este arquivo para a distribuição de student.

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6 - REFERÊNCIAS 1. An introduction to error analysis, John R. Taylor, University Science Books-

Oxford University Press, 1982.

2. Experimental stress analysis, J.W. Dally, W.F. Riley, College House Enterprises –LLC-Knoxville/Tennessee, 4th ed., 2005.

3. Experimental Stress Analysis, A. Shukla & J.W. Dally, College House Enterprises, Knoxville, Tennessee, EUA, 1st ed., 2010

4. Handbook of Experimental Solid Mechanics, W.N. Sharpe, Springer, 2008

5. Instrumentation for engineering measurements, J.W. Dally, W.F. Riley & K.G. MacConnell, John Wiley & Sons, 2nd ed., 1993.

6. Handbook on experimental mechanics, ed. Albert S. Kobaiashi, Society for Experimental Mechanics Inc., Prentice-Hall, 1987.

7. International vocabulary of basic and general terms in metrology, 1984.

8. Experimentation and uncertainty analysis for engineers, H.W. Coleman and W.G. Steele, Wiley-Interscience, 2nd ed., 1999.

9. J.L.F. Freire, Experimental and theoretical load data for design and integrity evaluations, Experimental Techniques, 19-22, 1998.

10. J.L.F. Freire, Castro, J.T.P. And R.D. Vieira, Actual and predicted behavior of a steel-framed structure, Proceedings of the SEM Spring Conference on Experimental Mechanics, 194-195, 1997.

Análise de Incertezas