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ANÁLISE DE INCERTEZAS
Análise de Incertezas
1 - INTRODUÇÃO
• Medição: determinação do valor de uma grandeza mediante o emprego de instrumentos e métodos adequados.
• Erro: diferença algébrica entre o valor verdadeiro (convencional) da grandeza medida e o resultado da medição.
• Valor real, exato ou verdadeiro: valor intrínsico de uma grandeza, nas condições que existem quando esta for considerada, e que é independente de qualquer medição. O valor real nunca é obtenível. De um modo geral, a medição influencia modificações no valor real. O valor real é então representado por um valor convencional da grandeza para um determinado fim.
• Incerteza: é um valor razoável utilizado para avaliar o erro. A incerteza faz parte da expressão de um resultado de uma medição, indicando uma faixa de valores entre os quais deverá estar o valor verdadeiro da grandeza medida.(error x uncertainty).
• Exatidão: a exatidão da medição (ou de um instrumento de medição) informa a proximidade entre o valor de uma grandeza obtido através da medição e o valor verdadeiro convencional desta grandeza. (accuracy).
Análise de Incertezas
• Repetibilidade: grau de concordância entre vários resultados de medições sucessivas de uma mesma grandeza, executadas pelo mesmo método, mesmo laboratório, mesmas condições, mesmos instrumentos, mesmo observador e em intervalos de tempo relativamente curtos.(fidelidade, precision).
• Reprodutibilidade: grau de concordância entre vários resultados de medições de uma mesma grandeza, executadas sob condições diferentes (método, laboratório, instrumentos, observador e intervalos de tempo).
• Resolução: expressão quantitativa da aptidão de um instrumento distinguir valores muito próximos da grandeza a medir, sem a necessidade de interpolação. É o menor incremento que um instrumento é capaz de mostrar na escala de trabalho. (resolution).
A resolução pode também ser expressa por: – Número de dígitos do instrumento (Ex. 5 ½ dígitos)
– Número de bits referentes à placa de conversão AD (Ex. 12 bits)
• Sensibilidade: é o quociente da variação da resposta de um instrumento pela correspondente variação do estímulo. Às vezes é definida como o menor incremento de voltagem que pode ser medido considerando a escala mais sensível de um voltímetro. (sensitivity)
• Tendenciosidade: é o erro sistemático ou fixo. (bias).
Deve-se notar que numa medição os erros podem ser: – Sistemáticos ou fixos
– Aleatórios ou acidentais
– grosseiros
Análise de Incertezas
• Sensor: parte de um transdutor ou de um instrumento de medir ou de um sistema de medição onde é aplicada a grandeza a medir, dando a ela uma resposta correspondente. (Ex. Strain gage ou ERE, cristal piezoelétrico).
• Transdutor: dispositivo de medição que fornece uma grandeza de saída que tem uma correlação determinada com a grandeza de entrada.
• Instrumento de medição: dispositivo destinado a executar uma medição, sozinho ou em conjunto com outros instrumentos.
• Sistema de medição: conjunto completo de instrumentos de medição e dispositivos inter-relacionados ou interativos que estão acoplados para executar uma determinada medição.
Exatidão
Repetibilidade
Resolução
Análise de Incertezas
2 – CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS
Qo
Qi
d=%exatidão x fundo de escala
d
valor verdadeiro
F= Fundo de
escala (full
scale)
H=meio de escala
(half scale)
Qo
Qi
desvio de linearidade
desvio admissível
Ajuste por
mínimos
quadrados
F
S
DQo
DQi
Desvio
de
zero
Zero
shift
Análise de Incertezas
Qo
Qi
Mudança de sensibilidade (causada
pela interferência de uma outra
variável que não esteja sendo
considerada na medição. Ex.:
quando não se considera a
variação do módulo de elasticidade
com temperatura quando um
transdutor de força está sendo
utilizado.
Qo
tempo
Deriva de zero (no
tempo), zero drift
Análise de Incertezas
3 – ANÁLISE DE INCERTEZAS
• Incerteza na leitura de escalas
15 20 25 30
L =26 mm
25.5<L<26.5 mm
4 6 7
5
V =5.4 volts
5.2<V<5.6 volts
Análise de Incertezas
• Estimativa da incerteza em experimentos com repetição
xi = 2.3, 2.4, 2.5, 2.4
Melhor estimativa (valor mais provável) = média = 2.4
Incerteza: 2.3<x<2.5
Considera-se muito rigorosa a expressão da incerteza pelos valores mínimo e
máximo da medição. Um estimador bastante aceito para a incerteza de
uma medição que conta com repetições é o desvio padrão experimental
das n medições realizadas.
1
1
2
n
xx
spadrão_desvio
xn
xmédia
i
i
x
i
i
Análise de Incertezas
• Estimativa da incerteza em experimentos com repetição
(continuação)
1
1
2
n
xx
spadrão_desvio
xn
xmédia
i
i
x
i
i
População
Amostras com
efetivos de n
elementos
Nefetivo
padrão_desvio
média
Média e desvio padrão da amostra são respectivamente as melhores estimativas da média e do desvio
padrão da população.
n
ss
s.zx
x
x
x
x
Análise de Incertezas
• Distribuição Normal ou gaussiana e distribuição de Student
2
2
2
2
2
2
1
10
2
1
z
x
s.
xx
x
x
ezf
,Nz
s
xxz
e.s
xf
s,xNx
x
P(-1<x<1)=0.6827
P(-2<x<2)=0.9545
P(-3<x<3)=0.9973
Se o número de elementos de uma amostra for pequeno, o cálculo dos
intervalos de confiança requer o uso da distribuição de Student. Por exemplo,
para um intervalo de confiança de a90% e n-1 graus de liberdade tem-se:
x,n
x
s.txx
s
xxt
a1
Análise de Incertezas
qnorm 0.05 0 1( ) 1.645
qt 0.05 4( ) 2.132
pnorm 1.645 0 1( ) 0.05
n t z
5 2.13
1.645
10 1.83
20 1.73
50 1.68
100 1.66
Distribuição de
Student para n-
1=4 graus de
liberdade 3 2 1 0 1 2 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
dnorm x 0 1( )
pnorm x 0 1( )
dt x 4( )
x
x 5 4.8 5
5 – ANÁLISE DE INCERTEZAS
Procura estudar como a combinação de diversas fontes de erros aleatórios
influencia no cálculo da incerteza global de um dado sistema experimental.
Cálculo e operações com incertezas Se x e y forem variáveis aleatórias com médias xav e yav e desvios padrões sx e
sy, a variável z terá média zav e desvio padrão sz=(sx2+sy
2)1/2. É possível representar os valores das incertezas destas variáveis por seus
desvios padrões.
yxz
yxz
yyxxzz
zz
yy
xx
avavav
s
s
s
yxz
yxyxz
22
Análise de Incertezas
Cálculo de δz para uma função z=x.y
22
22
..
0.
...
....
.
av
y
av
x
av
z
y
s
x
s
z
s
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
yxxyz
yx
yxyxxyz
yxyxxyyxzz
yyxxzz
22
yxz
av
zz
ccc
z
sc
Análise de Incertezas
......1
..1
......
......
.....,...),(,...),(
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
212211
xx
z
zx
x
z
zz
z
xx
zx
x
zz
xx
zx
x
zz
xx
zx
x
zxxzxxxxzzz
Cálculo de δz para uma função complexa z=z(x1,x2...)
Análise de Incertezas
P +P
A +A
M +M
d +d
Barra sob
tração
Barra sob
flexão Exemplos
d
d
P
P
A
A
P
P
dA
A
P
.2
4
. 2
d
d
M
M
dI
I
dM
.3
64
.
.2
.
4
t
t
D
D
p
p
t
Dp
.2
.
Tubo de parede fina sob pressão
interna
Análise de Incertezas
Barra sob flexão com ERE
Exemplos
22222
4
2
2
3
3
64
2
E
E
h
h.
b
b
L
L
P
P
E
E
h
h.
b
b
L
L
P
P
gulartanre_seção
E
E
d
d.
L
L
P
P
.E
d
d.
M
M
d.I
I.
d.M
circular_seção
P L
ERE
Análise de Incertezas
1 - Barra sob flexão com ERE. Comparar os valores determinados
(analiticamente e experimentalmente) para a tensão no ponto onde
está instalado o ERE.
Exercícios
P L
ERE
b
h
Sabe-se que:
P=355g (medido numa balança de laboratório com + 1%)
L=242mm (escala com + 0.5mm)
b=25mm (paquímetro com + 0.05mm)
h=1.30mm (micrômetro com + 0.01mm)
Deformação medida pelo ERE=600 x 10-6
Análise de Incertezas
2 – A concentração C de solvente num verniz utilzado para análise de
tensões é governada pela equação C=a.e-mt onde a e m são
constantes e t é o tempo.
• Qual a contribuição da incerteza t na determinação analítica
de C? Considere a=2.00, m=0.001 e t=1s.
• Qual a incerteza na medição de a se C e t forem medidos com
incertezas iguais a 1%?
• Determine as constantes a e m a partir dos dados abaixo usando o
método dos mínimos quadrados (procure tornar a equação linear para
facilitar o processo).
• Qual a probabilidade da amostra coletada na tabela acima
seguir a equação C=2.00 e-0.001t? Utilize o método do Qui-
quadrado. Sugestão: consulte o capítulo de estatística do livro
texto.
Exercícios
T(s) C(%)
20 2.01
40 1.93
100 1.81
200 1.60
Análise de Incertezas
3 – Foram feitas quatro medições de t (período) e l (comprimento) para um
pêndulo simples.
•Avaliar a aceleração da gravidade g e sua incerteza g para cada uma das
medições.
• Avaliar g e g usando todas as medições de uma só vez.
m
l g
lt 2
l (cm) + 0,1 t (s) + 0,001
93,8 1,944
70,3 1,681
45,7 1,358
21,2 0,922
Análise de Incertezas
4 – Considerando o que está escrito no texto “Aspectos Técnicos da Integridade
Estrutural” sobre Eficiência de Inspeção de um equipamento e sua atualização
bayesiana, estender este conceito para Eficiência de Medição (de tensão).
Propor um exemplo.
Análise de Incertezas
5 – Considerando o que está modelado no arquivo do software Mathcad sobre
média, desvio padrão e probabilidade para uma distribuição normal, estender
este arquivo para a distribuição de student.
Análise de Incertezas
6 - REFERÊNCIAS 1. An introduction to error analysis, John R. Taylor, University Science Books-
Oxford University Press, 1982.
2. Experimental stress analysis, J.W. Dally, W.F. Riley, College House Enterprises –LLC-Knoxville/Tennessee, 4th ed., 2005.
3. Experimental Stress Analysis, A. Shukla & J.W. Dally, College House Enterprises, Knoxville, Tennessee, EUA, 1st ed., 2010
4. Handbook of Experimental Solid Mechanics, W.N. Sharpe, Springer, 2008
5. Instrumentation for engineering measurements, J.W. Dally, W.F. Riley & K.G. MacConnell, John Wiley & Sons, 2nd ed., 1993.
6. Handbook on experimental mechanics, ed. Albert S. Kobaiashi, Society for Experimental Mechanics Inc., Prentice-Hall, 1987.
7. International vocabulary of basic and general terms in metrology, 1984.
8. Experimentation and uncertainty analysis for engineers, H.W. Coleman and W.G. Steele, Wiley-Interscience, 2nd ed., 1999.
9. J.L.F. Freire, Experimental and theoretical load data for design and integrity evaluations, Experimental Techniques, 19-22, 1998.
10. J.L.F. Freire, Castro, J.T.P. And R.D. Vieira, Actual and predicted behavior of a steel-framed structure, Proceedings of the SEM Spring Conference on Experimental Mechanics, 194-195, 1997.
Análise de Incertezas